Universita degli Studi di Torino

Facolta di Scienze M.F.N.

Appunti di Meccanica Analitica

Meccanica Analitica e Statistica

Corso di Laurea in Fisica

W.M. Alberico, M. Nardi

Universita degli Studi di Torino - Dipartimento di Fisica Teoricae

Istituto Nazionale di Fisica Nucleare - Sezione di Torino

Indice

1 Richiami di Meccanica 3

1.1 Dinamica di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Dinamica di un sistema di particelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Sistema di riferimento del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Formalismo Lagrangiano 8

2.1 Vincoli e coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Potenziali dipendenti dalla velocita: l’elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Moto di una particella descritto in coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Moto di una particella descritto in coordinate polari piane . . . . . . . . . . . . 172.5.3 Macchina di Atwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.4 Corpo vincolato a scorrere su un filo in rotazione uniforme . . . . . . . . . . . 182.5.5 Corpo su un piano inclinato mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.6 Spostamenti virtuali e spostamenti reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.7 Pendoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.8 Disco rotolante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.9 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Teoremi di conservazione e proprieta di simmetria 26

3.1 Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Momenti generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Coordinate cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Omogeneita dello spazio: conservazione dell’impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Isotropia dello spazio: conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7 Teorema del viriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

Capitolo 1

Richiami di Meccanica

1.1 Dinamica di una particella

Legge fondamentale del moto: la quantita di moto (o impulso) ~p di una particella soggetta aduna forza (totale) ~F varia nel tempo secondo l’equazione:

~F =d~p

dt(1.1)

La velocita istantanea della particella e

~v = lim∆t→0

∆~s

∆t=

d~r

dt

ed e, in ogni punto, tangente alla traiettoria percorsa dallaparticella, identificata dalla variabile ~s.Ricordiamo inoltre che la quantita di moto (classica) e definitacome ~p = m~v, per cui la relazione (1.1) si puo riscrivere, in-

troducendo l’accelerazione istantanea ~a = d~vdt = d2~r

dt2, nel modo

seguente:O

~r1

~r2

~s∆~s = ~r2 − ~r1

~F =d(m~v)

dt= m

d~v

dt= m~a. (1.2)

Nella relazione precedente e sottinteso che la massa m e costante (altrimenti dovrebbe essere soggettaanch’essa a derivazione): questa ipotesi sara sistematicamente adottata anche nel seguito, salvo diversaindicazione.Segnaliamo inoltre che la (1.2) e valida solo per velocita piccole rispetto alla velocita della luce nelvuoto c, cioe per |~v| ≪ c ∗.

Momento della quantita di moto o momento angolare:

~L = ~r × ~p (1.3)

Momento della forza applicata:

~M = ~r × ~F (1.4)

Calcolando la derivata temporale di ~L si ottiene:

d~L

dt=

d

dt(~r × ~p) = ~v × ~p+ ~r ×

d~p

dt;

∗Ricordiamo che c ≃ 3 · 108 m/s= 300 000 km/s.

3

CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MECCANICA 4

il primo termine dell’ultimo membro e nullo essendo il prodotto vettoriale di due vettori paralleli:~v × ~p = ~v ×m~v = 0, quindi tra ~M ed ~L intercorre una relazione analoga alla (1.1):

~M = ~r × ~F = ~r ×d~p

dt=

d~L

dt(1.5)

Lavoro di una forza, per l’azione della quale un corpo si sposta dal punto 1 al punto 2:

W12 =

∫ 2

1

~F · d~s = m

∫ 2

1

d~v

dt· ~vdt =

m

2

∫ 2

1

d(v2)

dtdt =

1

2mv22 −

1

2mv21 . (1.6)

Energia cinetica:

T =1

2mv2 . (1.7)

Anche questa definizione e valida solo per piccole velocita: |~v| ≪ c (limite non relativistico).

Teorema delle forze vive:

W12 = T2 − T1 (1.8)

1.1.1 Leggi di conservazione

Conservazione della quantita di moto: se la forza totale applicata e nulla (cio vale, in particolare,per un sistema libero) l’impulso si conserva nel tempo:

~F = 0 =⇒d~p

dt= ~p = 0 =⇒ ~p = costante. (1.9)

Conservazione del momento angolare: se il momento della forza applicata e nullo, il momentoangolare si conserva nel tempo:

~M = 0 =⇒d~L

dt= ~L = 0 =⇒ ~L = ~r × ~p = costante. (1.10)

~M e nullo sia nel caso, ovvio, in cui ~F = 0, sia nel caso in cui la forza applicata e parallela al raggiovettore: ~F ‖ ~r (forze centrali).

Forza conservativa

Quando il lavoro di una forza lungo una traiettoria chiusa e nullo la forza si dice conservativa:

1

2

A

B

∮

~F · d~s = 0 =⇒

∫ 2

1

~F · d~s+

∫ 1

2

~F · d~s = 0 (1.11)

ne segue

W12 =

∫ 2

1(A)

~F · d~s =

∫ 2

1(B)

~F · d~s = V (1)− V (2) (1.12)

Il lavoro e indipendente dal cammino seguito e ~F · d~s = −dV e il differenziale esatto di una funzionedel punto detta energia potenziale o, piu semplicemente, potenziale.In generale una forza conservativa e esprimibile come gradiente di una funzione scalare:

~Fc = −~∇V (~r) . (1.13)

Notiamo che il rotore di una forza conservativa e nullo: ~∇× ~Fc = ~∇× (−~∇V ) = 0.

5 1.2. DINAMICA DI UN SISTEMA DI PARTICELLE

Conservazione dell’energia totale

Considerando il caso di una forza conservativa, dal confronto tra l’equazione (1.8) e la (1.12) si trova

W12 = T2 − T1 = V1 − V2 =⇒ T1 + V1 = T2 + V2 (1.14)

quindi la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ovvero l’energia totale, e una quantitaconservata:

E = T + V =1

2mv2 + V (r) = costante. (1.15)

Le equazioni (1.11) e (1.15) non sono valide se ci sono forze d’attrito (forze dissipative).

1.2 Dinamica di un sistema di particelle

Consideriamo un sistema formato da N particelle†. Distinguiamo tra forze esterne, agenti dall’esterno

sulle singole particelle, ~F(e)i (i = 1, 2, . . . , N), e forze interne, dovute all’interazione reciproca tra coppie

di particelle, ~Fij (i 6= j = 1, 2, . . . , N).La forza totale che agisce sulla particella i-esima, e la conseguente legge del moto, e:

~F(e)i +

N∑

j=1(j 6=i)

~Fji = ~pi . (1.16)

Assumiamo che valga, per le forze interne, la 3a legge di Newton e che tali forze siano diretteparallelamente al vettore ~rij congiungente le due particelle interagenti ‡:

~Fij = −~Fji~Fij ‖ ~rij . (1.17)

Sommando le (1.16) su tutte le particelle:

N∑

i=1

d~pidt

≡d

dt

N∑

i=1

~pi =

N∑

i=1

~F(e)i +

N∑

i,j=1(j 6=i)

~Fij =

N∑

i=1

~F(e)i = ~F (e) , (1.18)

dove ~F (e) e la risultante delle forze esterne (le forze interne si elidono a coppie per la (1.17)).

Definiamo la quantita di moto totale, o impulso totale, del sistema:

~P =

N∑

i=1

~pi =

N∑

i=1

mid~ridt

=d

dt

N∑

i=1

mi~ri , (1.19)

(l’ultimo passaggio e valido solo se le masse mi sono costanti nel tempo) e ne segue

~F (e) =d~P

dt. (1.20)

Definiamo anche il centro di massa del sistema, situato nel punto ~R:

~R =

∑

imi~ri∑

imi=

1

M

∑

i

mi~ri (1.21)

†Le considerazioni di questa sezione si possono estendere anche ai corpi estesi: le sommatorie vanno sostituite daintegrali e le masse mi da dm = ρdV .

‡Questa ipotesi non e valida per la forza elettromagnetica; le considerazioni del resto di questo paragrafo non sonoapplicabili a tale forza, che dovra quindi essere esaminata separatamente.

CAPITOLO 1. RICHIAMI DI MECCANICA 6

essendo M =∑

i mi la massa totale del sistema di particelle. Dalle equazioni (1.19) e (1.20) seguonoallora

~P = Md~R

dt~F (e) = M

d2 ~R

dt2, (1.22)

che implicano che il centro di massa (c.m.) si muove come se la forza esterna totale agisse sull’interamassa M come se questa fosse concentrata nel c.m. stesso; inoltre le forze interne non hanno alcuneffetto sul moto del c.m.Infine definiamo anche il momento della quantita di moto totale (o momento angolare totale)del sistema:

~L =

N∑

i

~ri × ~pi . (1.23)

1.2.1 Leggi di conservazione

Se la risultante delle forze esterne e zero (questo vale, in particolare, per un sistema libero), la quantitadi moto totale e costante:

~F (e) = 0 =⇒ ~P = 0 =⇒ ~P =∑

i

~pi = costante .

Inoltre dalla prima delle (1.22) si ha:

d~R

dt=

~P

M= costante ,

che equivale a dire che il centro di massa si muove con velocita rettilinea e uniforme (come casoparticolare, puo essere fermo).Calcoliamo la derivata temporale del momento angolare totale:

d~L

dt=

N∑

i

~ri × ~pi =

N∑

i

~ri ×

~F(e)i +

N∑

j=1(j 6=i)

~Fji

,

ma, usando le (1.17),

N∑

i,j=1(j 6=i)

~ri × ~Fji =1

2

N∑

i,j=1(j 6=i)

(

~ri × ~Fji + ~rj × ~Fij

)

=1

2

N∑

i,j=1(j 6=i)

(~ri − ~rj)× ~Fji =1

2

N∑

i,j=1(j 6=i)

~rji × ~Fji = 0 .

Quindi il momento totale delle forze applicate coincide con il momento delle sole forze esterne:

d~L

dt= ~M =

N∑

i

~ri × ~F(e)i . (1.24)

Il momento angolare totale si conserva se il momento delle forze esterne e nullo.

1.2.2 Sistema di riferimento del centro di massa

In molte situazioni il moto del centro di massa del sistema in esame non riveste particolare interesse e sipreferisce studiare la dinamica (interna) riferita al c.m., scelto come origine del sistema di riferimento(SR). Ovviamente questo sara un sistema inerziale se sul sistema non agiscono forze esterne (oppurese quelle agenti hanno risultante nulla).

7 1.2. DINAMICA DI UN SISTEMA DI PARTICELLE

~R

O

O∗(c.m.)

x

x∗

y y∗

~r~r ∗

Indicheremo con un asterisco le quantita riferite al SR del c.m.

~ri = ~r ∗i + ~R

~vi = ~v ∗i + ~V

con ~V =d~R

dt(velocita del c.m.) (1.25)

Relativamente al c.m. le velocita sono:

~v ∗i =

d~r ∗i

dt= ~vi − ~V (1.26)

Riscriviamo ora il momento angolare totale (si assume m∗i = mi, cioe le masse sono invarianti):

~L =

N∑

i=1

~ri × (mi~vi) =

N∑

i=1

mi(~r∗i + ~R)× (~v ∗

i + ~V ) =

=

N∑

i=1

~r ∗i ×mi~v

∗i +

N∑

i=1

mi~r∗i × ~V +

N∑

i=1

~R×mi~v∗i +

N∑

i=1

mi~R× ~V (1.27)

nel secondo termine compare l’espressione del centro di massa calcolata nel SR del c.m. stesso:∑N

i=1 mi~r∗i = M ~R ∗ = 0, e analogamente, nel terzo termine, si ha l’espressione della quantita di moto

totale misurata nel c.m.∑N

i=1mi~v∗i =

∑Ni=1 ~p

∗i = ~P ∗, che e nulla per definizione, come segue da

~P ∗ =d

dt

[

N∑

i=1

mi~ri −

N∑

i=1

mi~R

]

=d

dt

(

M ~R−M ~R)

= 0 .

Pertanto l’equazione (1.27) si riduce a

~L =

N∑

i=1

~r ∗i ×mi~v

∗i +

N∑

i=1

mi~R× ~V =

N∑

i=1

~l ∗i +M ~R× ~V (1.28)

e concludiamo che il momento angolare di un sistema rispetto all’origine O di un SR qualunque e parial momento angolare della massa totale M come se fosse concentrata nel c.m. piu il momento angolaredel moto del sistema rispetto al c.m.

L’energia cinetica totale e:

T =1

2

N∑

i=1

miv2i =

1

2

N∑

i=1

mi

(

~v ∗i + ~V

)

·(

~v ∗i + ~V

)

=1

2

N∑

i=1

mi~v∗i2 +

1

2

N∑

i=1

mi~V 2 +

N∑

i=1

(mi~v∗i ) ·

~V ,

ma l’ultimo termine e nullo poiche∑

(mi~v∗i ) =

~P ∗ = 0, quindi l’energia cinetica totale risulta

T =1

2

N∑

i=1

mi~V 2 +

1

2

N∑

i=1

mi~v∗i2 (1.29)

e corrisponde alla somma dell’energia cinetica della massa totale M come se fosse concentrata nel c.m.piu l’energia cinetica riferita al c.m. stesso.

Capitolo 2

Formalismo Lagrangiano

2.1 Vincoli e coordinate generalizzate

Non sempre la soluzione di un problema di meccanica di un sistema di N particelle si riduce a quelladi N equazioni differenziali del tipo

mi~ri = ~F(e)i +

∑

j 6=i

~Fji . (2.1)

Talvolta esistono vincoli che limitano la possibilita di movimento di parti o del sistema globale (es.corpo rigido, gas in un contenitore, corpo su una superficie rigida, ecc.).Un vincolo si dice olonomo se puo essere descritto da una o piu funzioni delle coordinate ed,eventualmente, del tempo:

f(~r1, ~r2, . . . , ~rN ; t) = 0 . (2.2)

L’esempio piu comune di vincolo olonomo e rappresentato da un corpo rigido, costituito da tante partivincolate ad avere distanza costante le une dalle altre:

(~ri − ~rj)2 − cij = 0 ∀ i, j = 1, 2, . . . , N .

Un altro esempio ovvio e quello di una particella vincolata a muoversi lungo una curva o su unasuperficie.Vincoli non esprimibili nella forma (2.2) si dicono anolonomi. Ad esempio le pareti di un recipienteche contiene gas sono un vincolo anolonomo. Pure anolonoma e la condizione che una particella simuova solo all’esterno di una sfera di raggio a (r ≥ a). Le forme piu comuni di vincoli anolonomi siesprimono tramite disuguaglianze o tramite relazioni che coinvologono le velocita.

Vincoli indipendenti dal tempo si dicono scleronomi, quelli che invece ne dipendono esplicitamentesono detti reonomi.Un esempio di vincolo scleronomo e quello di un pendolo con il punto di sospensione fisso; se invece ilpunto di sospensione e mobile si ha un vincolo reonomo. Un altro esempio di vincolo reonomo e quellodi un punto che puo muoversi solo lungo una circonferenza che ruota attorno ad un suo diametro.

L’esistenza di uno o piu vincoli fa sı che non tutte le coordinate ~ri sono indipendenti e quindi neppurele equazioni del moto che le determinano. Inoltre le forze che producono i vincoli stessi (per esempiola reazione di un piano sul quale un corpo e vincolato a muoversi, o la tensione del filo di un pendolo)non sono note a priori: esse fanno parte delle incognite del problema e si possono ricavare solo dallasoluzione del problema in esame.

Se il sistema e soggetto a vincoli olonomi, per eliminare il problema delle coordinate non indipendentisi possono convenientemente introdurre delle coordinate generalizzate.Un sistema con N particelle che si muovono nello spazio tridimensionale (x, y, z) possiede, in assenzadi vincoli, 3N coordinate indipendenti, ossia 3N gradi di liberta.

8

9 2.1. VINCOLI E COORDINATE GENERALIZZATE

Se invece nel sistema esistono vincoli olonomi espressi da k equazioni del tipo (2.2), possiamo utilizzarequeste equazioni per eliminare k delle 3N coordinate e ci restano solo 3N −k coordinate indipendenti:si dice allora che il sistema ha 3N − k gradi di liberta. Nel seguito useremo la notazione n = 3N − k.Questa riduzione del numero di gradi di liberta puo essere effettuata introducendo n nuove variabiliindipendenti q1, q2, . . . , qn, che chiameremo coordinate generalizzate. Usando le k equazioni divincolo per eliminare le variabili dipendenti, possiamo esprimere le vecchie coordinate in termini dellenuove come segue:

~r1 = ~r1 (q1, q2, . . . , qn; t)...~rN = ~rN (q1, q2, . . . , qn; t)

(n = 3N − k) . (2.3)

Tali equazioni di trasformazione si possono anche considerare come la rappresentazione parametricadelle variabili ~ri .Per esempio, se un punto puo solo muoversi su un piano orizzontale, esso non ha 3 gradi di liberta(x, y, z) ma solo due, poiche la coordinata z e fissa: z = z0. Se inoltre esso puo muoversi solo lungouna circonferenza di raggio a (x2 + y2 − a2 = 0) i gradi di liberta si riducono a uno, esprimibile conl’angolo θ (che e la coordinata generalizzata):

{

x = a cos θy = a sin θ

Analogamente, se un punto materiale e fissato all’estremita di un’asta rigida di lunghezza l, la cuialtra estremita e fissata nell’origine, la condizione x2 + y2 + z2 − l2 = 0 riduce da 3 a 2 i suoi gradi diliberta. Come coordinate generalizzate potremo scegliere, in questo caso, gli angoli θ e ϕ:

x = l cos θ sinϕy = l sin θ sinϕz = l cosϕ

Le coordinate generalizzate saranno, in generale, diverse da quelle cartesiane, e talvolta risultano piuutili anche in assenza di vincoli (ad esempio le coordinate polari sono piu convenienti quando le forzesono di tipo centrale). Le coordinate generalizzate non hanno necessariamente le dimensioni di unalunghezza, come nel caso degli esempi precedenti in cui le coordinate generalizzate sono degli angoli(grandezze adimensionali).Oltre alle coordinate generalizzate introduciamo le velocita generalizzate:

qα =dqαdt

α = 1, 2, . . . , n (n = 3N − k) . (2.4)

Dalle equazioni (2.3) si ottiene

~vi = ~ri ≡d~ridt

=

n∑

α=1

(

∂~ri∂qα

)

qα +∂~ri∂t

(2.5)

da cui segue un’utile relazione (si presti attenzione alle derivate parziali!)

∂~ri∂qα

=∂~ri∂qα

i = 1, 2, . . . , Nα = 1, 2, . . . , n (n = 3N − k)

(2.6)

Osservazione: le equazioni del moto si possono risolvere compiutamente solo conoscendo le condizioniiniziali ~ri(t0), ~vi(t0) = ~ri(t0). Tenendo conto dei vincoli e delle (2.3), se conosciamo le qα(t0) e qα(t0),ovvero un insieme di 2n (n = 3N − k) costanti, allora lo stato iniziale del sistema sara completamenteidentificato.

Se ci sono dei vincoli anolonomi, non e possibile utilizzare le condizioni dei vincoli per eliminarele coordinate dipendenti. La trattazione del problema risulta quindi piu complicata e dovra essereesaminata caso per caso.Nel seguito ci limiteremo a considerare solo vincoli olonomi.

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 10

2.2 Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange

Si chiama spostamento virtuale (infinitesimo) di un sistema un cambiamento infinitesimo della con-figurazione del sistema, ossia un’arbitraria variazione delle coordinate δ~ri, compatibile con le forze ed i

vincoli imposti al sistema ad un dato istante t. Tale spostamento e chiamato virtuale per distinguerloda uno spostamento reale d~ri che avviene in un intervallo di tempo dt durante il quale forze e vincolipossono cambiare. Gli esempi concreti che studieremo alla fine del capitolo aiuteranno a capire meglioquesto concetto (paragrafo 2.5.6).Supponiamo che il sistema, ed ogni sua componente, sia in equilibrio, ossia la forza (totale) agente suogni particella e nulla ~Fi = 0, quindi e uguale a zero anche il prodotto scalare ~Fi · δ~ri che e il lavorovirtuale compiuto dalla forza ~Fi nello spostamento virtuale δ~ri. La somma, su tutte le particelle, diquesti prodotti tutti nulli sara ovviamente uguale a zero:

N∑

i=1

~Fi · δ~ri = 0 . (2.7)

La forza ~Fi si puo scomporre nella somma delle forze applicate ~F(a)i e delle forze vincolari ~fi, sicche

N∑

i=1

~F(a)i · δ~ri +

N∑

i=1

~fi · δ~ri = 0 (2.8)

Limitiamoci ora a considerare sistemi per i quali il lavoro (virtuale) delle forze vincolari e nullo. Questacondizione e verificata in molti casi di interesse fisico, in particolare vale per i corpi rigidi (in cui ladistanza tra due punti e costante), o per una particella vincolata a muoversi su di una superficie liscia(in cui la reazione vincolare e sempre perpendicolare alla superficie, mentre lo spostamento virtuale etangente ad essa). Abbiamo quindi ~fi · δ~ri = 0 e

N∑

i=1

~F(a)i · δ~ri = 0 (2.9)

ossia il lavoro virtuale delle forze applicate si annulla, relazione nota come principio dei lavori

virtuali.Si noti che nell’ equazione (2.9) i coefficienti dei δ~ri = 0 non sono tutti nulli, cioe in generale ~F

(a)i 6= 0

(a differenza delle ~Fi nella (2.7)), perche i δ~ri = 0 non sono tutti linearmente indipendenti ma sonolegati dalle condizioni dei vincoli. Per poter annullare i coefficienti della sommatoria bisognerebbe farcomparire gli spostamenti virtuali delle coordinate generalizzate δqα, che sono linearmente indipendentiper costruzione, ma prima di questo passo e meglio procedere ad un’altra generalizzazione.L’equazione (2.9) si riferisce ad un problema di statica, in quanto discende da una condizione diequilibrio del sistema. Vogliamo ora ricavare una relazione analoga che sia applicabile al moto piugenerale di un sistema, cioe anche al caso in cui le forze ~Fi non sono tutte nulle.Seguendo un ragionamento di d’Alembert, scriviamo allora le equazioni del moto, ~Fi = ~pi, nella forma

~Fi − ~pi = 0 (2.10)

e ripetiamo i passaggi precedenti applicandoli alle “forze” ~Fi − ~pi :

N∑

i=1

(

~Fi − ~pi

)

· δ~ri = 0 .

e separando anche in questo caso le forze attive da quelle vincolari,

N∑

i=1

(

~F(a)i − ~pi

)

· δ~ri +

N∑

i=1

~fi · δ~ri = 0 . (2.11)

11 2.2. PRINCIPIO DI D’ALEMBERT ED EQUAZIONI DI LAGRANGE

Nell’ipotesi che le forze vincolari non compiano lavoro otteniamo percio

N∑

i=1

(

~F(a)i − ~pi

)

· δ~ri = 0 (2.12)

noto come principio di d’Alembert. Abbiamo cosı raggiunto lo scopo di fare scomparire le forzevincolari: d’ora in poi possiamo sopprimere l’apice (a) delle forze attive senza ambiguita, dato checonsidereremo solo forze di questo tipo.Per sfruttare questo principio al fine di scrivere le equazioni del moto (senza pero far rientrare in giocole forze vincolari) occorre riscriverlo per coordinate effettivamente indipendenti, ossia in termini dellecoordinate generalizate qα. Dalle equazioni di trasformazione (2.3) segue che gli spostamenti virtualiδ~ri sono dati da

δ~ri =

n∑

α=1

∂~ri∂qα

δqα . (2.13)

Si noti che nelle variazioni δ~ri non compare alcuna variazione δt del tempo perche, per definizione,uno spostamento virtuale comporta solo spostamenti delle coordinate ad un tempo t fissato. Anche levelocita ~vi, ovviamente, si devono esprimere nelle nuove coordinate:

~vi =d~ridt

=

n∑

α=1

∂~ri∂qα

qα +∂~ri∂t

(2.14)

L’equazione (2.12) diventa

N∑

i=1

(

~Fi −mi~vi

)

· δ~ri =

N∑

i=1

(

~Fi −mi~ri

)

·

n∑

α=1

∂~ri∂qα

δqα = 0 . (2.15)

Consideriamo separatamente i due termini:

N∑

i=1

n∑

α=1

~Fi ·∂~ri∂qα

δqα =

n∑

α=1

Qαδqα, (2.16)

avendo introdotto le componenti Qα delle forze generalizzate applicate:

Qα ≡

N∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂qα

. (2.17)

Si noti che le Qα non hanno necessariamente le dimensioni di una forza, ma il prodotto Qαδqα deveavere le dimensioni di un lavoro (ossia di energia).Il secondo termine della (2.15) si puo riscrivere come:

N∑

i=1

n∑

α=1

mi~ri ·∂~ri∂qα

δqα =

N∑

i=1

n∑

α=1

[

d

dt

(

mi~ri ·∂~ri∂qα

)

−mi~ri ·d

dt

(

∂~ri∂qα

)]

δqα

e, utilizzando l’equazione (2.6),

=N∑

i=1

n∑

α=1

[

d

dt

(

mi~vi ·∂~vi∂qα

)

−mi~vi ·∂~vi∂qα

]

δqα ,

nell’ultimo termine e stato scambiato l’ordine delle derivate, poiche ddt

(

∂~ri∂qα

)

=∑

β∂2~ri

∂qα∂qβqβ + ∂2~ri

∂qα∂t

che coincide con ∂~vi∂qα

(come appare evidente dallo sviluppo (2.14)), quindi

N∑

i=1

n∑

α=1

mi~ri ·∂~ri∂qα

δqα =

n∑

α=1

{

d

dt

∂

∂qα

(

N∑

i=1

1

2miv

2i

)

−∂

∂qα

(

N∑

i=1

1

2miv

2i

)}

δqα . (2.18)

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 12

Sostituendo la (2.16) e la (2.18) nella (2.15) otteniamo infine

n∑

α=1

{

d

dt

(

∂T

∂qα

)

−∂T

∂qα−Qα

}

δqα = 0 , (2.19)

dove si e indicata con T =∑N

i=112miv

2i l’energia cinetica del sistema.

Ricordiamo ora che in presenza di vincoli olonomi (il caso qui considerato) le coordinate qα sonoindipendenti e pertanto anche gli spostamenti virtuali δqα sono tutti indipendenti tra loro. Ne segueche l’unico modo per soddisfare l’equazione precedente consiste nel richiedere che tutti i coefficientidelle δqα siano nulli:

d

dt

(

∂T

∂qα

)

−∂T

∂qα−Qα = 0 α = 1, 2, . . . , n (2.20)

Se le forze applicate sono conservative (~Fi = −~∇iV ) le forze generalizzate si possono riscrivere comesegue:

Qα =

N∑

i=1

~Fi ·∂~ri∂qα

= −

N∑

i=1

∂V

∂~ri·∂~ri∂qα

= −∂V

∂qα; (sistemi conservativi) (2.21)

si noti che V non puo dipendere esplicitamente dal tempo. Quindi per forze conservative le equazioni(2.20) diventano

d

dt

(

∂T

∂qα

)

−∂

∂qα(T − V ) = 0 α = 1, 2, . . . , n.

Infine bastera osservare che V e funzione solo delle coordinate e come tale non dipende dalle velocitageneralizzate (∂V/∂qα = 0, ∀α) ∗; cio ci permette di riscrivere le equazioni precenti come

d

dt

[

∂

∂qα(T − V )

]

−∂

∂qα(T − V ) = 0 α = 1, 2, . . . , n ,

e definendo la funzione Lagrangiana

L = T − V (2.22)

e possibile scrivere le equazioni di Lagrange

d

dt

(

∂L

∂qα

)

−∂L

∂qα= 0 α = 1, 2, . . . , n. (2.23)

Le equazioni (2.23) costituiscono un sistema di n equazioni differenziali del secondo ordine nelle inco-gnite qα e la loro soluzione generale contiene 2n costanti arbitrarie, che verranno fissate se specifichiamolo stato del sistema ad un istante iniziale t0, ossia se conosciamo qα(t0) e qα(t0).

Osservazioni:

1. Se il sistema non e soggetto a vincoli, le (2.23) valgono anche rispetto alle coordinate cartesianexi, yi, zi.

2. La moltiplicazione per una costante arbitraria della Lagrangiana di un sistema non altera leequazioni del moto. Stesso discorso vale per la somma di una costante arbitraria.

∗Il caso dell’elettromagnetismo, come e gia stato osservato, e molto particolare e verra esaminato nel paragrafo 2.3.

13 2.3. POTENZIALI DIPENDENTI DALLA VELOCITA: L’ELETTROMAGNETISMO

3. La Lagrangiana di una particella libera e

L = T =1

2mv2 =

1

2m(

x2 + y2 + z2)

Ne derivano le seguenti equazioni del moto

d

dt

(

∂L

∂x

)

=∂L

∂x=⇒

d

dt(mx) = 0 =⇒ px = mx = cost.

d

dt

(

∂L

∂y

)

=∂L

∂y=⇒

d

dt(my) = 0 =⇒ py = my = cost.

d

dt

(

∂L

∂z

)

=∂L

∂z=⇒

d

dt(mz) = 0 =⇒ pz = mz = cost.

come e noto dalla meccanica elementare.

4. Lo scopo principale nel derivare il formalismo lagrangiano e stato di eliminare i gradi di libertaresi superflui dalla presenza dei vincoli (olonomi), ma si sono cosı ottenuti ulteriori benefici.Infatti il metodo lagrangiano necessita soltanto di due funzioni scalari L e V e si “perde” lacomplessita delle equazioni (vettoriali) del moto.

5. Nel caso di vincoli olonomi-scleronomi si ha ~ri = ~ri(q1, . . . , qn) e l’energia cinetica e data da:

T =

N∑

i=1

1

2mv2i =

N∑

i=1

1

2m

(

n∑

α=1

∂~ri∂qα

qα

)2

=

n∑

α,β=1

aαβ qαqβ

ossia e una forma quadratica omogenea nelle velocita generalizzate.

2.3 Potenziali dipendenti dalla velocita: l’elettromagnetismo

Le equazioni di Lagrange si possono scrivere nella forma (2.23) anche se il sistema non e conservativoin senso stretto, purche le forze generalizzate si possano ottenere da una funzione U(qα, qα) comesegue:

Qα = −∂U

∂qα+

d

dt

(

∂U

∂qα

)

. (2.24)

In tal caso valgono ancora le (2.23) con una Lagrangiana data da

L = T − U . (2.25)

U si dice potenziale generalizzato (o potenziale dipendente dalle velocita).La forza elettromagnetica e un esempio particolarmente importante di questo tipo di potenziali; laforza di Lorentz, infatti, dipende esplicitamente dalla velocita della particella carica:

~F = q(

~E + ~v × ~B)

. (2.26)

Dalle equazioni di Maxwell

~∇ · ~E =ρ

ε0~∇× ~E = −

∂ ~B

∂t

~∇ · ~B = 0 ~∇× ~B = µ0~j + µ0ε0

∂ ~E

∂t

si deduce che campo elettrico e campo magnetico si possono esprimere in termini del potenziale scalareφ e del potenziale vettore ~A nel modo seguente:

~E = −~∇φ−∂ ~A

∂t~B = ~∇× ~A . (2.27)

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 14

In questo modo la forza di Lorentz si puo scrivere come:

~F = q

[

−~∇φ−∂ ~A

∂t+ ~v ×

(

~∇× ~A)

]

(2.28)

Se ci fosse solo il primo termine, ~F sarebbe una forza conservativa in senso stretto, come richiestodalla (1.13). La presenza degli altri termini fa sı che la relazione (1.11) non sia soddisfatta: il lavorocompiuto dalla forza quindi dipende dal cammino seguito e la forza non e conservativa.Mostreremo ora che la forza di Lorentz puo essere espressa nella forma (2.24); osserviamo innanzitutto che il doppio prodotto vettoriale nella (2.28) puo essere esplicitato in componenti, ad esempionella componente x, come:

[

~v ×(

~∇× ~A)]

x= vy

(

~∇× ~A)

z− vz

(

~∇× ~A)

y= vy

(

∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)

− vz

(

∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)

=

= vy∂Ay

∂x− vy

∂Ax

∂y− vz

∂Ax

∂z+ vz

∂Az

∂x+ vx

∂Ax

∂x− vx

∂Ax

∂x=

= ~v ·∂ ~A

∂x− vx

∂Ax

∂x− vy

∂Ax

∂y− vz

∂Ax

∂z=

∂

∂x

(

~v · ~A)

− vx∂Ax

∂x− vy

∂Ax

∂y− vz

∂Ax

∂z.

Notiamo ora che

dAx

dt=

∂Ax

∂t+

∂Ax

∂xx+

∂Ax

∂yy +

∂Ax

∂zz =

∂Ax

∂t+ vx

∂Ax

∂x+ vy

∂Ax

∂y+ vz

∂Ax

∂z

quindi

[

~v ×(

~∇× ~A)]

x=

∂

∂x

(

~v · ~A)

−dAx

dt+

∂Ax

∂t

e la componente x della forza di Lorentz si esprime come:

Fx = q

[

−∂φ

∂x−���

∂Ax

∂t+

∂

∂x

(

~v · ~A)

−dAx

dt+���

∂Ax

∂t

]

.

Introducendo il potenziale (generalizzato)

U = qφ− q ~A · ~v (2.29)

si vede che la forza generalizzata, data dalla definizione (2.24), coincide con la forza di Lorentz:

Fx = −∂U

∂x+

d

dt

(

∂U

∂vx

)

= q

[

−∂φ

∂x+

∂

∂x

(

~v · ~A)

−dAx

dt

]

. (2.30)

In conclusione la Lagrangiana per una particella soggetta all’azione di un campo elettromagnetico sipuo scrivere nella forma

L = T − U = T − qφ+ q ~A · ~v (2.31)

e da essa si possono ricavare le equazioni del moto di Lagrange (2.23) per una particella carica in uncampo elettromagnetico.

15 2.4. PRINCIPIO DI HAMILTON

2.4 Principio di Hamilton

Definiamo lo spazio delle configurazioni di un sistema, descritto da coordinate generalizzateq1, q2, . . . , qn, uno spazio n-dimensionale ogni punto del quale rappresenta la configurazione istan-tanea del sistema stesso. Con il passare del tempo il punto rappresentativo si muove nello spazio delleconfigurazioni descrivendo una traiettoria che corrisponde all’evoluzione temporale del sistema.

qα

qβ

t1

t2

Consideriamo nel seguito sistemi per i quali e possibile definire una La-grangiana (cioe sistemi conservativi piu il caso dell’elettromagnetismo).L’azione del sistema e definita da

S =

∫ t2

t1

L(qα, qα; t)dt (2.32)

dove agli istanti t1 e t2 il sistema occupa le posizioni definite dagliinsiemi di valori qα(t1) e qα(t2) (α = 1, 3, . . . , n).

Notiamo che, poiche la Lagrangiana ha le dimensioni di energia, l’azione ha le dimensioni di ener-gia×tempo (o anche lunghezza×impulso).

Il principio di Hamilton (o di minima azione) stabilisce che il moto di un sistema dal tempo t1 altempo t2 avviene lungo quella traiettoria, nello spazio delle configurazioni, che rende estrema (minimao massima) l’azione:

δS = δ

∫ t2

t1

L(qα, qα; t)dt = 0 (2.33)

essendo fissati (e noti) i valori delle coordinate negli estremi del cammino di integrazione:

qα(t1) = qα1 qα(t2) = qα2 . (2.34)

A differenza del principio dei lavori virtuali, quello di Hamilton e un principio variazionale, applicatoad un quantita integrale, ossia ad un’espressione globale del moto del sistema fra due istanti di tempofissati.Si puo dimostrare che il principio di Hamilton e equivalente alle equazioni di Lagrange, ovvero che:

i) Se vale il principio variazionale (2.33), se ne possono dedurre le equazioni di Lagrange (2.23).

ii) se valgono le equazioni di Lagrange (2.23), il principio variazionale (2.33) e soddisfatto.

Dimostriamo che il principio di Hamilton implica le equazioni di Lagrange come condizione necessaria.La variazione dell’azione (2.33) si puo realizzare sostituendo le qα(t) che producono una certa traiettoriacon altre coordinate infinitamente vicine

qα(t) → qα(t) + δqα(t) , (2.35)

essendo le δqα(t) variazioni arbitrarie infinitesime, tali che

δqα(t1) = δqα(t2) = 0 ∀ α = 1, 2, . . . , n (2.36)

che assicurano la validita delle condizioni al contorno richieste (2.34). Al tempo stesso le velocitageneralizzate qα(t) varieranno nel modo seguente

qα(t) → qα(t) + δqα(t) = qα(t) +d

dt(δqα(t)) . (2.37)

La variazione infinitesima dell’azione si potra quindi scrivere come:

δS =

∫ t2

t1

[

L( qα+δqα , qα+δqα ; t)− L(qα, qα; t)]

dt .

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 16

Sviluppando L al primo ordine negli infinitesimi δqα e δqα si ottiene:

δL = L( qα+δqα , qα+δqα ; t)− L(qα, qα; t) =������L(qα, qα; t) +

∑

α

(

∂L

∂qαδqα +

∂L

∂qαδqα

)

(((((((−L(qα, qα; t)

e usando la (2.37) in un’integrazione per parti:

∑

α

∫ t2

t1

dt∂L

∂qα

d

dt(δqα) =

∑

α

∂L

∂qαδqα

∣

∣

∣

∣

t2

t1

−∑

α

∫ t2

t1

(

d

dt

∂L

∂qα

)

δqα dt .

Il termine finito si annulla identicamente a causa delle condizioni al contorno (2.36). Pertanto ilprincipio di Hamilton assume la forma

δS =

∫ t2

t1

∑

α

[

∂L

∂qα−

d

dt

(

∂L

∂qα

)]

δqα dt = 0 . (2.38)

Quest’ultima equazione vale per tempi t1 e t2 arbitrari percio, affinche l’integrale si annulli, deve essereidenticamente nullo l’integrando. Quindi, per ogni istante t (compreso tra t1 e t2):

∑

α

[

∂L

∂qα−

d

dt

(

∂L

∂qα

)]

δqα(t) = 0 ,

ma le quantita δqα sono arbitrarie (e linearmente indipendenti, in quanto coordinate generalizzate),quindi ogni termine della somma si deve annullare separatamente :

∂L

∂qα−

d

dt

(

∂L

∂qα

)

= 0 ∀ α = 1, 2, . . . , n

Cio dimostra che se vale il principio di Hamilton devono essere soddisfatte le equazioni di Lagrange.

La condizione di sufficienza (ii) e immediata da dimostrare. Infatti se valgono le eq. di Lagrange

∂L

∂qα−

d

dt

∂L

∂qα= 0

l’integrando della (2.38) e identicamente nullo e il principio di Hamilton e soddisfatto.

L’equivalenza dimostrata tra principio di Hamilton ed equazioni del moto di Lagrange ci permette diadottare il primo come principio basilare della meccanica, in luogo delle equazioni di Newton. Inoltreesso e la via maestra da percorrere quando si vogliono trattare sistemi che esulano dalla meccanica,come nella teoria dei campi.

Notiamo che se due Lagrangiane differiscono solo per la derivata totale rispetto al tempo di una funzionearbitraria delle coordinate e del tempo:

L(qα, qα; t) = L(qα, qα; t) +d

dtf(qα; t)

le equazioni del moto restano invariate. Infatti l’azione S ottenuta dalla Lagrangiana L differisce daquella calcolata con L solo per una costante:

S =

∫ t2

t1

L(qα, qα; t)dt =

∫ t2

t1

L(qα, qα; t)dt+

∫ t2

t1

d

dtf(qα; t)dt = S +

[

f(qα(t2); t2)− f(qα(t1); t1)]

e quindi δS = δS.

In generale diremo che la Lagrangiana di un sistema e definita solo a meno della derivata totale rispettoal tempo di una qualsiasi funzione delle coordinate e del tempo.

17 2.5. ESEMPI

2.5 Esempi

2.5.1 Moto di una particella descritto in coordinate cartesiane

Consideriamo una particella non soggetta a vincoli, in moto in un campo di forza conservativo descrittodal potenziale V . Le coordinate cartesiane sono indipendenti, data l’assenza di vincoli, quindi possonoessere adottate come coordinate generalizzate. Anche le componenti cartesiane della forza coincidonocon le componenti generalizzate. Scriviamo la Lagrangiana della particella:

L = T − V =1

2m(

x2 + y2 + z2)

− V (x, y, z) . (2.39)

Scriviamo ora le equazioni del moto di Lagrange. Per la componente x

∂L

∂x=

∂T

∂x−

∂V

∂x= −

∂V

∂x= Fx

d

dt

(

∂L

∂x

)

=d

dt(mx) = mx

cioe (ripetendo calcoli analoghi per le altre due componenti)

mx = Fx my = Fy mz = Fz (2.40)

Ritroviamo cosı le equazioni di Newton per il moto della particella.

2.5.2 Moto di una particella descritto in coordinate polari piane

Consideriamo una particella vincolata a muoversi su un piano, ad esempio il piano z = 0, soggettaad un campo di forze conservativo. I gradi di liberta sono ovviamente solo due. Possiamo quindidescrivere il moto della particella adottando come coordinate generalizzate la coppia (x, y) oppurepossiamo decidere di usare le coordinate polari (r, θ).Scegliamo la seconda opzione (che sara anche la piu naturale nel caso che il potenziale abbia simmetriacentrale).Le equazioni di trasformazione sono

x = r cos θ y = r sin θ

e, in analogia con le (2.14), le velocita sono date da

x = r cos θ − r sin θ θ y = r sin θ + r cos θ θ .

La Lagrangiana dunque e

L = T − V =1

2m(

x2 + y2)

− V (x, y) =1

2m(

r2 + r2θ2)

− V (r, θ) (2.41)

Notiamo che la velocita, in coordinate polari, e scomposta in una componente radiale (vr = r) ed inuna tangenziale (vθ = rθ), ortogonali tra loro.Per scrivere le equazioni di Lagrange calcoliamo le varie derivate:

∂L

∂r= mrθ2 −

∂V

∂r

∂L

∂θ= −

∂V

∂θ

∂L

∂r= mr

∂L

∂θ= mr2θ

e le equazioni del moto sono:

mr = mrθ2 −∂V

∂r

d

dt

(

mr2θ)

= 2mrrθ +mr2θ = −∂V

∂θ

Le componenti della forza generalizzata si ottengono dalle (2.17):

Fr = Fx∂x

∂r+ Fy

∂y

∂r= Fx

x

r+ Fy

y

r= ~F · ~ur ≡ Fr = −

∂V

∂r

Fθ = Fx∂x

∂θ+ Fy

∂y

∂θ= Fx(−r sin θ) + Fy(r cos θ) = ~F · (r~uθ) ≡ rFθ = −

∂V

∂θ.

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 18

2.5.3 Macchina di Atwood

Due masse, m1 edm2, sono collegate da un filo inestensibile di lunghezza l e massa trascurabile, avvoltoattorno ad una carrucola C, anch’essa di massa trascurabile, che ruota senza attrito. E un esempio disistema conservativo, soggetto a vincoli olonomi e scleronomi, che puo essere completamente descrittodalla coordinata x del peso m1, dal momento che la posizione dell’altro peso resta univocamentedeterminata dalla lunghezza della corda. C’e, quindi, un solo grado di liberta (si assume che i duepesi possano muoversi solo in verticale, senza dondolare).

Le posizioni delle due masse sono dunque†

C

m1

m2

x

x

l − x

x1 = x x2 = l − x (2.42)

e le loro velocitav1 = x v2 = −x .

L’energia cinetica e data da

T =1

2m1x

2 +1

2m2x

2 .

Scriviamo l’energia potenziale del sistema (l’asse x e orientato versol’alto)

V = m1gx+m2g(l − x) = (m1 −m2)gx +m2gl ,

quindi la Lagrangiana e (omettendo il termine costante m2gl, irrilevanteai fini della determinazione dell’equazione del moto)

L = T − V =1

2(m1 +m2)x

2 − (m1 −m2)gx .

L’equazione del moto che si ricava (m1 + m2)x = −(m1 − m2)g puo essere facilmente risolta,ottenendo

x(t) =1

2

m2 −m1

m1 +m2gt2 +At+B .

Le costanti A e B saranno determinate imponendo le condizioni iniziali desiderate.

Allo stesso risultato si giunge anche utilizzando i metodi piu elementari, considerando esplicitamentela tensione della fune. Questo semplice esempio mette in evidenza il fatto che le forze vincolari nonfigurano mai in una descrizione lagrangiana, di conseguenza non possono essere determinate con questometodo.

2.5.4 Corpo vincolato a scorrere su un filo in rotazione uniforme

y

mωx

z

θ

θ = ωt

r

Consideriamo un punto materiale di massa m che puo scorrere senzaattrito lungo un filo rigido che ruota con velocita uniforme ω attorno aduna delle sue estremita. Si tratta di un esempio di vincolo dipendentedal tempo (reonomo), per il quale cioe le equazioni di trasformazionedipendono esplicitamente da t:

x = r cosωt y = r sinωt .

Anche in questo caso c’e un solo grado di liberta: la coordinata radialer. La velocita ha componenti date da

vx = r cosωt− ωr sinωt vy = r sinωt+ ωr cosωt

†Nello scrivere la coordinata x2 in funzione di x1 nella (2.42) non abbiamo considerato il tratto di corda avvoltoattorno alla carrucola: e una lunghezza costante e darebbe luogo ad un termine aggiuntivo costante nel potenziale e nellaLagrangiana, del tutto irrilevante per le equazioni del moto.

19 2.5. ESEMPI

quindi l’energia cinetica si scrive come

T =1

2m(v2x + v2y) =

1

2m(r2 + ω2r2) .

Non ci sono forze esterne, quindi la lagrangiana coincide con l’energia cinetica L = T . L’equazionedel moto e allora

mr −mω2r = 0 r = ω2r ,

che costituisce il ben noto risultato, secondo il quale il corpo si muove verso l’esterno a causadell’accelerazione centripeta.La soluzione della equazione del moto e semplice da ricavare:

r(t) = Aeωt +Be−ωt ,

avendo indicato con A e B le costanti arbitrarie, da fissare con le condizioni iniziali.

2.5.5 Corpo su un piano inclinato mobile

y

m

0 x MA α

h

Un corpo puntiforme di massa m scivola lungo la faccia incli-nata di un corpo di massa M (angolo alla base α e altezza h)che, a sua volta, scivola su un piano orizzontale. Un campogravitazionale uniforme agisce in direzione verticale. Non cisono attriti.

Lo stato del sistema e completamente definito se conosciamo la posizione x dello spigolo A‡ del corpodi massa M (piano inclinato) e l’altezza y del corpo puntiforme rispetto alla base del piano. Scegliamoquindi x e y come coordinate generalizzate. La posizione del corpo di massa m si esprime in funzionedelle due variabili x e y:

xm = x+y

tanαym = y .

(Ovviamente queste relazioni sono valide finche i due corpi restano in contatto. Quando, alla fine delrotolamento, il corpo m si stacca dal corpo M , m non si muove piu sul piano inclinato ma sul piano dibase orizzontale, allontanandosi da M . L’equazione del vincolo cambia e anche le equazioni del motocambieranno in conseguenza.)

L’energia cinetica del corpo di massa M e data da: TM =1

2Mx2 ,

mentre quella del corpo di massa m e: Tm =1

2m(

x2m + y2m)

=1

2m

(

x2 +y2

sin2 α+

2xy

tanα

)

.

L’energia potenziale del corpo di massa m e: Vm = mgym = mgy . Il corpo di massa M si muovesolo orizzontalmente quindi la sua energia potenziale resta costante ed e irrilevante per le equazionidel moto.Scriviamo quindi la Lagrangiana:

L = TM + Tm − Vm =m+M

2x2 +

m

2 sin2 αy2 +

m

tanαxy −mgy ,

da cui si ricavano le equazioni del moto:

x

tanα+

y

sin2 α= −g

m+M

mx+

y

tanα= 0 (2.43)

Ricavando y dalla seconda equazione del moto e sostituendolo nella prima, si ottiene una sempliceequazione per x(t):

x = gm sinα cosα

M +m sin2 α≡ ax =⇒ x(t) = A+Bt+

1

2axt

2

‡Volendo, si puo considerare la posizione del baricentro del corpo di massa M , ma cio e ininfluente per le equazionidel moto perche corrisponde ad aggiungere alla lagrangiana un termine costante.

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 20

essendo A e B delle costanti arbitrarie. E immediato ricavare anche la y:

y = −g(m+M) sin2 α

M +m sin2 α≡ −ay =⇒ y(t) = C +Dt−

1

2ayt

2

Assegnando delle condizioni iniziali e possibile ricavare le costanti A,B,C,D.

2.5.6 Spostamenti virtuali e spostamenti reali

I due esempi precedenti offrono l’occasione di capire concretamente la differenza tra gli spostamentivirtuali e reali, introdotti nel paragrafo 2.2.Nella figura seguente esaminiamo il caso del corpo che si muove lungo un filo in rotazione.

y y

x xθ(t)

ωω

dθ d~rδ~r

θ + dθ

Nel grafico di sinistra vediamo la rappresentazione dello spostamento virtuale: il sistema viene con-siderato ad un certo istante t ed il vincolo (il filo rotante) viene “fissato” in tale istante. Il corposi muove lungo il filo, come mostrato dal vettore δ~r. Nel grafico di destra invece consideriamo lospostamento reale che avviene in un intervallo di tempo infinitesimo dt, durante il quale il filo ruota diun angolo dθ. Lo spostamento compiuto effettivamente dal corpo (spostamento reale) e quindi quelloindicato dal vettore d~r.In modo analogo rivediamo l’esempio del corpo sul piano inclinato mobile:

m

M Mx x+ dx

d~rδ~r

La figura di sinistra mostra uno spostamento virtuale, preso in un istante t in cui il piano inclinato sitrova nella posizione x. La figura di destra mostra invece lo spostamento reale che avviene tenendoconto dello spostamento del piano di un tratto dx nell’intervallo di tempo dt. Da questo esempioappare evidente l’utilita e la potenzialita del formalismo lagrangiano che ha permesso di determinareil moto di questo sistema in modo semplice. L’impostazione e soluzione di questo problema con ilmetodo tradizionale (leggi di Newton) e molto piu complicato!

2.5.7 Pendoli

Pendolo elastico

Consideriamo un oggetto puntiforme di massa m, attaccato ad una estremita di una molla ideale dicostante elastica k, lunghezza a riposo l0 e massa trascurabile. L’altra estremita della molla molla efissa. Sul sistema agisce la forza di gravita uniforme.Scegliamo come coordinate generalizzate la terna r, θ, ϕmostrate in figura (le normali coordinate polarisferiche sono r, θ′, ϕ, con θ = π− θ′) in termini delle quali le coordinate cartesiane si esprimono come:

x = r cosϕ sin θ′ = r cosϕ sin θ y = r sinϕ sin θ′ = r sinϕ sin θ z = r cos θ′ = −r cos θ

21 2.5. ESEMPI

e le velocita sono date da:

y

m

z

x

θ′

ϕ

r

θ

x = r cosϕ sin θ − r ϕ sinϕ sin θ + r θ cosϕ cos θ

y = r sinϕ sin θ + r ϕ cosϕ sin θ + r θ sinϕ cos θ

z = −r cos θ + r θ sin θ

L’energia cinetica e quindi:

T =1

2m(

x2 + y2 + z2)

=1

2m(

r2 + r2θ2 + r2ϕ2 sin2 θ)

L’energia potenziale ha due contributi, quello gravitazionale equello elastico (ricordare che il segno del potenziale del cam-po gravitazionale uniforme dipende dal verso scelto per l’asseverticale!):

V = mgz +1

2k(r − l0)

2 = −mgr cos θ +1

2k(r − l0)

2

per cui possiamo scrivere la Lagrangiana:

L =1

2m(

r2 + r2θ2 + r2ϕ2 sin2 θ)

+mgr cos θ −1

2k(r − l0)

2 .

Equazione di Lagrange per r:

∂L

∂r= mrθ2 +mrϕ2 sin2 θ +mg cos θ − k(r − l0)

d

dt

∂L

∂r=

d

dtmr = mr

=⇒ r = rθ2 + rϕ2 sin2 θ + g cos θ −k

m(r − l0) .

Equazione di Lagrange per θ:

∂L

∂θ= mr2ϕ2 sin θ cos θ −mgr sin θ

d

dt

∂L

∂θ=

d

dt

(

mr2θ)

= 2mrrθ +mr2θ

=⇒ 2rrθ + r2θ = r2ϕ2 sin θ cos θ − gr sin θ .

Equazione di Lagrange per ϕ:

∂L

∂ϕ= 0

d

dt

∂L

∂ϕ=

d

dt

(

mr2ϕ sin2 θ)

=⇒d

dt

(

mr2ϕ sin2 θ)

= 0 ;

dall’ultima equazione si ottiene immediatamente r2ϕ sin2 θ = A = costante (la costante A si ricavadalle condizioni iniziali), ma questo semplifica di poco il problema. Si ottiene il sistema di equazionidifferenziali accoppiate:

r = rθ2 + rϕ2 sin2 θ − g cos θ −k

m(r − l0)

2rrθ + r2θ = r2ϕ2 sin θ cos θ − gr sin θr2ϕ sin2 θ = A

(2.44)

che non si sa risolvere esattamente per via analitica.

Pendolo sferico

Se nell’esempio precedente la molla viene sostituita da un’asta rigida di lunghezza l0 (e di massatrascurabile) si ottiene il pendolo sferico. I gradi di liberta ora sono due e le coordinate generalizzatesono θ e ϕ. La Lagrangiana e:

L =1

2m(

l20θ2 + l20ϕ

2 sin2 θ)

+mgl0 cos θ .

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 22

Per ottenere le equazioni del moto basta procedere come nel’esempio precendete (in pratica bastasostituire r → l0, r = 0 nelle equazioni (2.44); l’equazione per r non esiste dato che non e piu unavariabile indipendente):

{

θ = ϕ2 sin θ cos θ −g

l0sin θ

ϕ sin2 θ = A(2.45)

e anche per questo sistema, purtroppo, non si sa trovare la soluzione esatta per via analitica.

Pendolo semplice

Se nell’esempio del pendolo sferico introduciamo un’ulteriore semplificazione, cioe poniamo ϕ = 0 (ilpendolo oscilla nel piano xz) perdiamo un altro grado di liberta. L’unica variabile generalizzata ora eθ. La Lagrangiana e

L =1

2ml20θ

2 +mgl0 cos θ

e l’equazione del moto e

θ = −g

l0sin θ (2.46)

che e la ben nota equazione del moto del pendolo semplice, la cui soluzione esatta non puo pero essereespressa tramite funzioni semplici. Nel caso particolare di piccole oscillazioni tuttavia l’equazionestessa e la relativa soluzione assumono una forma particolarmente semplice. Consideriamo quindi illimite θ ≪ 1: possiamo usare l’approssimazione sin θ ≃ θ e l’equazione (2.46) diventa quella del motoarmonico semplice:

θ = −g

l0θ = −ω2θ

la cui soluzione e

θ(t) = A sin(ωt+ α) ,

essendo A e α delle costanti arbitrarie.

2.5.8 Disco rotolante

C

A

x

θR

B

y

Consideriamo un disco di massa M e raggio R, che rotola sul pianoz = 0, lungo l’asse x. Per definire completamente lo stato del disco sonosufficienti due variabili: l’ascissa x del centro C del disco (l’ordinata e‘fissa: y = R, questa e una condizione di vincolo), e l’angolo θ che ilraggio passante per il punto A del disco (scelto arbitrariamente, purchediverso da C) forma con la verticale.Se il disco puo scivolare le variabili x e θ sono indipendenti ed il sistemaha due gradi di liberta (il punto B di contatto del disco con il piano dibase puo avere qualsiasi velocita)

Ma se il disco puo solo rotolare il punto B e fermo, allora il centro C ruota attorno al punto di contattoB e vale la condizione:

x = Rθ =⇒ x = Rθ + x0 , (2.47)

e la costante x0 e determinabile dalle condizioni iniziali. Il sistema ha allora solo un grado di liberta, lascelta tra x o θ come variabile indipendente e, in generale, arbitraria. Notiamo che il vincolo, espressoinizialmente in termini delle velocita, e integrabile: posto nella forma finale x = Rθ+x0 e chiaramenteun vincolo olonomo.

23 2.5. ESEMPI

L’energia cinetica e data dalla somma di due contributi: l’energia cinetica del centro di massa piul’energia cinetica relativa al centro di massa stesso (vedere (1.29)):

T =1

2Mx2 +

1

2Iθ2 =

1

2

(

M +I

R2

)

x2 =1

2

(

MR2 + I)

θ2 ,

(I e il momento di inerzia§ del disco) e coincide con la Lagrangiana.

yh

θ

α

α

C

x

Supponiamo ora che il disco rotoli lungo un piano inclinato(fisso). La posizione del disco e individuata dalla coordinatax (misurata lungo il piano a partire dal vertice superiore)punto di contatto con il piano. L’angolo di rotazione e legatoa x dall’equazione del vincolo Rθ = x e il sistema ha sempreun grado di liberta, ma ora l’energia potenziale non e nullaperche c’e la gravita che agisce in direzione verticale.

Le coordinate del centro del disco sono:

xC = x cosα+R sinα yC = y +R cosα = h− x sinα+R cosα .

Energia cinetica:

T =1

2M(

x2C + y2C)

+1

2Iθ2 =

1

2Mx2 +

1

2Iθ2 =

1

2

(

M +I

R2

)

x2

Energia potenziale: V = MgyC = Mg (h− x sinα+R cosα).Possiamo quindi scrivere la lagrangiana (omettiamo i termini costanti del potenziale):

L = T − V =1

2

(

M +I

R2

)

x2 +Mgx sinα.

L’equazione del moto si ottiene facilmente:(

M +I

R2

)

x = Mg sinα =⇒ x =g sinα

1 + IMR2

.

Osserviamo che il disco scende con un’accelerazione, e quindi una velocita, minore di quella con cuiscenderebbe un oggetto puntiforme (g sinα).Se il rotolamento non avviene in una direzione prestabilita, ad esempio lungo l’asse x, i gradi di libertaaumentano.

Si consideri ad esempio un disco di spessore trascurabileche ruota liberamente, mantenendosi verticale, sul pianoxy: la posizione del disco e individuata dalle coordina-te (x, y) del centro del disco (la terza coordinata e fissaz = R, per il vincolo imposto), dall’angolo ϕ di rotazio-ne attorno al proprio asse (e utile, anche in questo caso,scegliere un punto A arbitrario -ma diverso dal centro- deldisco per specificare la rotazione) e dall’angolo θ formatotra la direzione dell’asse del disco e l’asse x.

y

z

x

θ

C

ϕ

A

La velocita del centro C e Rϕ, la sua direzione e ortogonale all’asse del disco (il cui versore hacomponenti (cos θ, sin θ)) per cui

x = Rϕ sin θ y = −Rϕ cos θ .

I gradi di liberta sono quindi due, grazie al vincolo appena scritto la cui forma e simile a (2.47), maqueste due equazioni non sono integrabili (senza prima aver risolto il problema!), quindi il vincolo inquesto caso e anolonomo. Per trattare questi sistemi si usano delle tecniche particolari che qui nonesamineremo.

§Se il disco e omogeneo I = 1

2MR2, se invece tutta la massa e concentrata sulla circonferenza esterna I = MR2. Le

stesse formule di questo paragrafo sono valide anche nel caso di una sfera omogenea (I = 2

5MR2) o cava (I = 2

3MR2).

CAPITOLO 2. FORMALISMO LAGRANGIANO 24

2.5.9 Equilibrio

Consideriamo un sistema con n gradi di liberta che obbedisce alle equazioni del moto di Lagrange(2.23). Supponiamo che l’energia potenziale non dipenda dalle velocita.E lecito chiedersi se possano esistere soluzioni di queste equazioni in cui tutte le coordinate generaliz-zate sono costanti nel tempo, in cui cioe il sistema e fermo in equilibrio. Se le coordinate sono costantiallora le velocita generalizzate e le corrispondenti accelerazioni sono nulle:

qα(t) = cα = costante (α = 1, 2, . . . , n) =⇒ qα = 0 qα = 0 .

L’energia cinetica e, a sua volta, nulla e la lagrangiana coincide, a meno del segno, con l’energiapotenziale: L = −V (qα). Le equazioni di Lagrange diventano:

d

dt

(

∂L

∂qα

)

−∂L

∂qα=

∂V

∂qα= 0 .

Le configurazioni di equilibrio si trovano quindi cercando gli estremi del potenziale. In corrispondenzadi ogni minimo del potenziale si ha una configurazione di equilibrio stabile, in corrispondenza deimassimi (o dei punti a sella) si ha l’equilibrio instabile.Consideriamo il seguente esempio:

Un sistema materiale, situato nel piano verticale xy, e costituito daun punto materiale di massa m, indicato con P , che si muove su unacircoferenza di raggio a e centro O, ed e collegato mediante una mollaideale (costante elastica k, lunghezza a riposo nulla) ad un altro puntomateriale Q di massa m, vincolato a muoversi sull’asse x. Sul sistemaagisce la forza di gravita, non ci sono attriti.

P

O x

θ

Q

a

y

Scegliamo come coordinate generalizzate l’angolo θ che individua il punto P sulla circoferenza e l’ascissax del punto Q. Abbiamo:

xP = a cos θ yP = a sin θ xQ = x yQ = 0

L’energia potenziale totale e

V = mg(yP + yQ) +1

2k PQ

2= mg a sin θ +

1

2k(a2 + x2 − 2ax cos θ)

e i punti di equilibrio si ricavano risolvendo il sistema:

∂V

∂x= 0 ,

∂V

∂θ= 0

{

x− a cos θ = 0mga cos θ + kax sin θ = 0

{

x = a cos θcos θ (mg + ka sin θ) = 0

(2.48)

Le due posizioni (x = 0, θ = π2 ) e (x = 0, θ = −π

2 ) sono di equilibrio, per ogni valore dei parametria, m e k. Se poi ka > mg compare un’altra coppia di posizioni di equilibrio, simmetriche rispettoall’asse verticale:

(

a

√

1−(mg

ka

)2, −arcsin

mg

ka

) (

−a

√

1−(mg

ka

)2, π + arcsin

mg

ka

)

(2.49)

Consideriamo prima il caso ka < mg, in cui ci sono solo due punti di equilibrio; dallo studio dellafunzione V attorno a questi punti stazionari, ricaviamo che (x = 0, θ = π

2 ) e instabile (punto a sella)mentre (x = 0, θ = −π

2 ) e stabile.Nel caso invece in cui ka > mg, le due configurazioni (x = 0, θ = ±π

2 ) sono entrambe instabili, mentrei due nuovi punti dati dalle (2.49) sono stabili.Lo studio delle equazioni del moto si puo continuare normalmente. L’energia cinetica e

T =1

2m(x2P + y2P ) +

1

2m(x2Q + y2Q) =

1

2ma2θ2 +

1

2mx2

25 2.5. ESEMPI

e la lagrangiana risulta (omettendo un termine costante irrilevante)

L = T − V =m

2a2θ2 +

m

2x2 −mg a sin θ −

k

2x2 + kax cos θ .

Equazioni del moto:

mx = −kx+ ka cos θ maθ = −mg cos θ − kx sin θ .

E possibile ritrovare i punti di equilibrio anche dalle equazioni del moto, cercando le soluzioni costanti,cioe imponendo che tutte le velocita e tutte le accelerazioni siano nulle. Si ritrovano cosı le equazionidel sistema (2.48).

Capitolo 3

Teoremi di conservazione e proprieta di

simmetria

Le equazioni di Lagrange fin qui considerate sono un sistema di n equazioni differenziali del secondoordine (nel tempo), la cui soluzione richiede, in tutto, 2n costanti di integrazione, tipicamente deter-minate dalle condizioni iniziali qα(t0) e qα(t0). Talvolta siamo in grado di integrare tale equazioni,trovando una soluzione esplicita per la legge oraria del moto: qα = fα(t), α = 1, 2, . . . , n.

Ma molto piu frequentemente il problema in esame non e completamente integrabile e non e possibileottenere una soluzione esplicita completa delle equazioni del moto. Tuttavia tale informazione non esempre indispensabile e la conoscenza di altre caratteristiche del sistema, ottenibile senza integrare leequazioni del moto, puo risultare ancora piu utile.

Importanti proprieta della natura del moto del sistema si possono dedurre da leggi di conservazionegenerali o dalle sue proprieta di simmetria. Consideriamo pertanto gli integrali primi del moto,che, nella forma piu generale, si possono rappresentare con relazioni del tipo:

f(q1, q2, . . . , qn, q1, q2, . . . , qn; t) = costante (3.1)

e sono equazioni differenziali del primo ordine. Tali relazioni ci danno informazioni importanti sulsistema fisico e sono dette costanti del moto quando corrispondono a grandezze (del sistema) chenon variano nel tempo.

3.1 Uniformita del tempo: conservazione dell’energia. Funzione di

Hamilton

Consideriamo un sistema conservativo, tale cioe che esista un poteziale non dipendente dalle velocita.Limitiamoci al caso di vincoli indipendenti dal tempo: in tal caso anche la Lagrangiana non dipendeesplicitamente dal tempo, ossia

∂L

∂t= 0 =⇒ L = L(qα, qα) .

Cio equivale a dire che il tempo scorre in modo uniforme per il sistema.

Consideriamo ora la derivata totale di L rispetto al tempo:

dL

dt=∑

α

(

∂L

∂qαqα +

∂L

∂qαqα

)

e, utilizzando le equazioni di Lagrange,

dL

dt=∑

α

[(

d

dt

∂L

∂qα

)

qα +∂L

∂qα

(

d

dtqα

)]

=d

dt

∑

α

(

∂L

∂qαqα

)

(3.2)

26

27 3.2. MOMENTI GENERALIZZATI

Ma T e una funzione omogenea quadratica delle velocita, come mostrato dalla (2.24), e quindi ancheL = T − V e una funzione quadratica delle velocita (non omogenea, perche V non dipende dallevelocita). Per il teorema di Eulero sulle forme quadratiche si ha

∑

α

∂L

∂qαqα =

∑

α

∂T

∂qαqα = 2T . (3.3)

Cio dimostra che, in generale,

dL

dt=

d

dt(2T ) 6= 0

ossia la Lagrangiana non e una costante del moto.Introduciamo allora la grandezza

H =∑

α

∂L

∂qαqα − L . (3.4)

Per l’equazione (3.2), chiaramente, dH/dt = 0 quindi H e un integrale primo del moto (cioeuna costante del moto) e prende il nome di Hamiltoniana (o funzione di Hamilton) del sistema.Ricordando la (3.3) e sostituendola nella (3.4) otteniamo

H = 2T − L = 2T − (T − V ) = T + V = E . (3.5)

Quindi per sistemi conservativi l’Hamiltoniana coincide con l’energia totale del sistema ede questa quantita che si conserva (in conseguenza, anche, dell’uniformita del tempo).

3.2 Momenti generalizzati

Nelle considerazioni precedenti appare la quantita ∂L/∂qα, il cui ruolo e essenziale nel passaggio dallaLagrangiana all’Hamiltoniana. Per comprenderne il significato fisico consideriamo un sistema di massepuntiformi soggette a forze conservative:

L =

N∑

i=1

{

1

2m(

x2i + y2i + z2i)

− V (xi, yi, zi)

}

.

Derivando rispetto, per esempio, ad xi, otteniamo

∂L

∂xi=

∂T

∂xi−

∂V

∂xi=

∂T

∂xi=

∂

∂xi

N∑

j=1

1

2m(

x2j + y2j + z2j)

= mxi = pxi

che e la componente x della quantita di moto dell’i-esima particella. Questo risultato ci suggerisceun’estensione del concetto di momento (in questo caso momento lineare o impulso): definiamo ilmomento generalizzato associato alla coordinata qα come

pα ≡∂L

∂qα(3.6)

Spesso pα viene anche detto momento canonico o momento coniugato alla coordinata qα.Osserviamo che se la coordinata qα ha le dimensioni di una lunghezza, allora pα ha le dimensioni diuna quantita di moto (dato che la Lagrangiana ha sempre le dimensioni di energia). Se invece qα hadimensioni diverse da una lunghezza, allora anche le dimensioni di pα cambiano.Consideriamo l’esempio di una particella libera di muoversi nel piano (x, y), utilizzando coordinatepolari:

x = r cos θ y = r sin θ .

CAPITOLO 3. TEOREMI DI CONSERVAZIONE E PROPRIETA DI SIMMETRIA 28

Se la particella non e soggetta a forze, L = T ossia

L =1

2m(

x2 + y2)

=1

2m(

r2 + r2θ2)

,

come abbiamo visto nel paragrafo 2.5.2. I momenti coniugati, rispettivamente, a r e θ risultano

pr =∂L

∂r= mr pθ =

∂L

∂θ= mr2θ ;

pr ha effettivamente le dimensioni di una quantita di moto, mentre pθ ha le dimensioni di un momentoangolare (essendo infatti associato ad una variabile angolare):

[pθ] = massa× lunghezza2 × tempo−1 .

In ogni caso i prodotti rpr e θpθ (e in generale qαpα) hanno le dimensioni di un’azione.

Con la nuova notazione l’Hamiltoniana si puo scrivere come:

H =∑

α

pαqα − L . (3.7)

Anche nel caso di potenziali dipendenti dalla velocita (come nel caso dell’elettromagnetismo) i momenticoniugati differiscono dalla definizione usuale di quantita di moto, anche in coordinate cartesiane.Infatti dalla (2.29) scriviamo la Lagrangiana di un sistema di particelle (tutte) di carica q :

L = T (~ri)− q φ(~ri) + q∑

i

~A(~ri) · ~ri .

Quindi, per esempio,

pxi =∂L

∂xi= mxi + qAx ossia ~pi = m~vi + q ~A .

3.3 Coordinate cicliche

Se la Lagrangiana di un sistema non dipende da una certa coordinata qα (ma dipende dalla cor-rispondente velocita qα) allora tale coordinata si dice ciclica (o ignorabile). Dalle equazioni diLagrange

d

dt

(

∂L

∂qα

)

=∂L

∂qα= 0

segue:

d

dt

(

∂L

∂qα

)

=dpαdt

= 0 =⇒ pα = costante (3.8)

quindi il momento coniugato ad una coordinata ciclica e una costante del moto, ossia e unaquantita che si conserva.

Si puo usare l’equazione (3.8) per trovare (integrando) la legge oraria di qα ed eliminare dal problemala coordinata ciclica stessa.

29 3.4. OMOGENEITA DELLO SPAZIO: CONSERVAZIONE DELL’IMPULSO

3.4 Omogeneita dello spazio: conservazione dell’impulso

L’omogeneita dello spazio implica che le proprieta meccaniche di un sistema non sono alterate daun’arbitraria traslazione dell’intero sistema. Cio vale se il sistema non e soggetto a forze esterne, siapure conservative, che renderebbero lo spazio inomogeneo per il sistema stesso, per effetto del campodi forza in questione.Consideriamo un sistema isolato di N particelle, non soggette a vincoli. Come coordinate generaliz-zate scegliamo le coordinate cartesiane delle particelle stesse. Consideriamo dunque una traslazioneinfinitesima arbitraria sulle coordinate del sistema:

~ri → ~r ′i = ~ri + ~ε δ~ri ≡ ~r ′

i − ~ri = ~ε

e la conseguente variazione della Lagrangiana:

δL =N∑

i=1

∂L

∂~ri· δ~ri =

N∑

i=1

∂L

∂~ri· ~ε .

Poiche il sistema non e alterato, per ipotesi, da tale traslazione

δL = 0 =⇒N∑

i=1

∂L

∂~ri· ~ε = 0 ,

e, per l’arbitrarieta di ~ε:

N∑

i=1

∂L

∂~ri= 0 .

Sostituiamo questa relazione nelle equazioni di Lagrange:

N∑

i=1

[

d

dt

(

∂L

∂~ri

)

−∂L

∂~ri

]

= 0 ,

ricaviamo cosı

d

dt

N∑

i=1

∂L

∂~ri= 0 ossia

N∑

i=1

∂L

∂~ri= costante . (3.9)

Il significato fisico di tale costante si deduce immediatamente considerando il seguente esempio: laLagrangiana di un sistema di particelle interagenti, non soggette a vincoli e

L =

N∑

i=1

1

2m~r 2

i − V (~r1, ~r2, . . . , ~rN ) ,

infatti

∂L

∂~ri= −

∂V

∂~ri

e la forza interna ~Fi =∑

j 6=i~Fji

∗ che, per il principio di azione e reazione, si annulla quando vienesommata su tutte le particelle:

N∑

i=1

∂L

∂~ri=

N∑

i=1

N∑

j=1j 6=i

~Fji = 0 ,

∗per ipotesi il sistema e isolato, quindi non ci sono forze esterne.

CAPITOLO 3. TEOREMI DI CONSERVAZIONE E PROPRIETA DI SIMMETRIA 30

inoltre

∂L

∂~ri= mi~ri = ~pi

e quindi la quantita

N∑

i=1

∂L

∂~ri=

N∑

i=1

~pi ≡ ~P (3.10)

e l’impulso totale del sistema: esso si conserva come conseguenza dell’omogeneita dello

spazio (o invarianza della Lagrangiana per traslazioni).

Ritroviamo cosı la legge di conservazione dell’impulso totale di un sistema isolato, che vale anchequando i suoi costituenti interagiscono tra loro (nel qual caso i singoli impulsi ~pi non sono costanti).

Come corollario di questo teorema possiamo dire che se la Lagrangiana di un sistema e invariante pertraslazioni in una certa direzione, allora la componente della quantita di moto totale del sistema in

quella stessa direzione e conservata.

3.5 Isotropia dello spazio: conservazione del momento angolare

Si dice che lo spazio e isotropo per un sistema meccanico se le proprieta del sistema non varianoquando esso viene ruotato di un angolo arbitrario.

O

θ

~r i

δ~ri

~r i+δ~ri

δϕ~n

Consideriamo un sistema isolato e senza vincoli e compiamo una rotazioneinfinitesima δϕ intorno ad un asse arbitrario, di versore ~n, con

δ~ϕ = ~n δϕ .

Per effetto della rotazione il raggio vettore dell’i-esima particella cambieracome segue:

~ri → ~r ′i = ~ri + δ~ri (3.11)

dove (vedi figura)

|δ~ri| = ri sin θ δϕ = |~n× ~ri| δϕ = |δ~ϕ× ~ri| ,

quindi, anche vettorialmente, possiamo scrivere

δ~ri = δ~ϕ× ~ri = δϕ~n × ~ri .

Per esprimere l’invarianza del sistema rispetto a tale rotazione, imponiamo che la Lagrangiana siainvariante rispetto alla variazione (3.11):

δL = L(~ri+δ~ri , ~ri+δ~ri ; t)− L(~ri , ~ri ; t) = 0

Sviluppiamo e utilizziamo le equazioni del moto:

δL =∑

i

{

∂L

∂~ri· δ~ri +

∂L

∂~ri· δ~ri

}

=∑

i

{

∂L

∂~ri· δ~ri +

d

dt

(

∂L

∂~ri

)

· δ~ri

}

=d

dt

∑

i

(

∂L

∂~ri· δ~ri

)

. (3.12)

Notiamo che, a differenza del caso delle traslazioni, ora δ~ri 6= 0, infatti

d

dtδ~ri =

d

dt(δ~ϕ × ~ri) = (ϕ~n)× ~ri + δ~ϕ× ~ri .

31 3.6. ESEMPI

Utilizzando, nella (3.12), la definizione di impulso coniugato ~pi = ∂L/∂~ri (qui coincidente con ladefinizione di quantita di moto, ~pi = mi~vi) si ottiene

δL =d

dt

∑

i

~pi · δ~ri =d

dt

∑

i

~pi · (~n× ~ri)δϕ

e usando la proprieta ciclica del prodotto misto

δL = ~n ·

(

d

dt

∑

i

~ri × ~pi

)

δϕ = 0 .

La relazione precedente deve valere per una variazione arbitraria δϕ, quindi

~n ·

(

d

dt

∑

i

~ri × ~pi

)

= 0 cioe ~n ·d~L

dt= 0

essendo ~L =∑

i ~ri × ~pi il momento angolare (totale) del sistema rispetto ad O. Ne segue che

~n · ~L = costante

ossia l’invarianza della Lagrangiana per rotazioni attorno all’asse ~n implica la conservazione dellacomponente del momento angolare lungo lo stesso asse ~n.Se questa invarianza vale qualunque sia il versore ~n, allora si conserva il vettore completo ~L, ossial’isotropia dello spazio implica la conservazione del momento angolare del sistema.Come nel caso dell’impulso, osserviamo che se il sistema e composto da piu parti, il momento angolaredelle singole parti puo cambiare (per effetto delle forze interne): ma il momento angolare totale ecostante.

Anche in questo caso possiamo enunciare il seguente corollario: se la Lagrangiana di un sistema einvariante per rotazioni attorno ad un asse, allora la componente del momento angolare totale delsistema lungo la direzione di quell’asse e conservata.

3.6 Esempi

Riesaminiamo, alla luce degli ultimi sviluppi, alcuni degli esempi discussi alla fine del capitolo prece-dente.Per la particella considerata nell’esempio 2.5.1, assumiamo che il potenziale dipenda da una solacoordinata, come ad esempio in un campo gravitazionale uniforme (assumendo l’asse z orientato versol’alto):

V (z) = mgz .

e le equazioni del moto (2.40) diventano

mx = 0 my = 0 mz = Fz = −mg .

E immediato vedere che le componenti px e py della quantita di moto della particella sono costantidel moto, in accordo con il fatto che le variabili x e y sono cicliche; la componente pz invece varia. Latraiettoria descritta da un corpo soggetto a questo potenziale e data dalla sovrapposizione di un motouniforme in direzione x e y e da un moto uniformemente accelerato in direzione verticale: la ben notaparabola.La Lagrangiana in questo esempio non dipende dal tempo: in base ai ragionamenti del paragrafo 3.1concludiamo che anche l’energia totale E = T + V e una costante del moto.

Anche all’esempio studiato nel paragrafo 2.5.5 si possono applicare le stesse considerazioni: La variabilex e ciclica ed il suo momento coniugato,

px =∂L

∂x= (m+M)x+

m

tanαy

CAPITOLO 3. TEOREMI DI CONSERVAZIONE E PROPRIETA DI SIMMETRIA 32

e conservato, come e evidente dalla seconda delle equazioni (2.43). Esso ha il significato fisico dicomponente orizzontale della quantita di moto del centro di massa, che si muove di moto uniformein direzione orizzontale (dove non ci sono forze applicate), mentre si muove di moto accelerato indirezione verticale, a causa della forza di gravita. Anche in questo caso ∂L/∂t = 0 e l’energia totale eun’altra costante del moto.

Per la particella dell’esempio 2.5.1, supponiamo che il potenziale abbia simmetria centrale cioe siadella forma V = V (r) (non dipende dall’angolo θ). La Lagrangiana del sistema e quindi invariante perrotazioni attorno all’asse z e, in base a quanto visto nel paragrafo 3.5, la componente z del momentoangolare totale e conservata. Come nei precedenti esempi di forze conservative, anche qui l’energiatotale e conservata.

Nel pendolo elastico e nel pendolo sferico del paragrafo 2.5.7 la variabile ϕ e ciclica ed il suo momentocanonicamente coniugato

pϕ = mr2ϕ sin2 θ = costante oppure pϕ = mϕ sin2 θ = costante

e una costante del moto. Il significato fisico di pϕ, in entrambi i casi, e la componente z del momentoangolare, che si conserva poiche entrambi i sistemi godono della simmetria per rotazioni attorno all’asseverticale passante per il punto di sospensione. Anche in questi casi l’energia totale e costante.Nell’esempio del paragrafo 2.5.9 non ci sono variabili cicliche, ma la lagrangiana e indipendente daltempo quindi l’energia totale T + V e costante.

3.7 Teorema del viriale

E un teorema di natura statistica, che coinvolge medie temporali di grandezze meccaniche ed e statointrodotto per studiare la termodinamica dei gas (e anche detto teorema di Clausius).Consideriamo un generico sistema di masse puntiformi mi a cui sono applicate le forze ~Fi (ivi inclusele eventuali forze vincolari). Le equazioni fondamentali del moto sono

~pi = ~Fi .

Definiamo ora la quantita (la somma e su tutte le particelle del sistema):

G =∑

i

~pi · ~ri ; (3.13)

la sua derivata rispetto al tempo risulta

dG

dt=∑

i

(

~pi · ~ri + ~pi · ~ri

)

=∑

i

~Fi · ~ri +∑

i

mi~v2i

l’ultimo termine essendo il doppio dell’energia cinetica totale. Quindi

dG

dt=∑

i

~Fi · ~ri + 2T .

Calcoliamo ora la media temporale della precedente equazione tra i tempi t = 0 e t = τ :

1

τ

∫ τ

0

dG

dtdt = 2T +

∑

i

~Fi · ~ri,

avendo indicato con una barra la media temporale dei termini a secondo membro. Il primo membropuo essere integrato:

1

τ[G(τ) −G(0)] = 2T +

∑

i

~Fi · ~ri .

33 3.7. TEOREMA DEL VIRIALE

Il primo membro di quest’ultima espressione si annulla se il moto e periodico (di periodo τ). Ma anchenel caso di moto non periodico, se coordinate e velocita di tutte le particelle restano finite (in modotale che G sia limitata), il primo membro puo essere reso piccolo a piacere (al limite, nullo) prendendoτ sufficientemente grande (al limite, τ → ∞) . Ne segue che

2T = −∑

i

~Fi · ~ri (3.14)

relazione nota come teorema del viriale.Assumendo che il campo di forza sia conservativo (~Fi = −~∇iV ), la (3.14) diventa

T =1

2

∑

i

(

~∇iV)

· ~ri ; (3.15)

questa relazione e particolarmente utile quando il potenziale e una funzione omogenea di grado α,infatti, in tal caso, per il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee:

∑

i

(

~∇iV)

· ~ri = αV (~r1, . . . , ~rN )

e quindi

T =α

2V . (3.16)

Poiche, in ogni caso, l’energia e una costante del moto,

T + V = E

segue (purche sia α 6= −2)

T =α

α+ 2E , V =

2

α+ 2E (α 6= −2) . (3.17)

Per esempio, per piccole oscillazioni armoniche (α = 2)

T = V =E

2. (3.18)

Per il potenziale gravitazionale o coulombiano invece α = −1. Bisogna limitarsi a considerare il casodi orbite chiuse (per rispettare la condizione di moto in una regione finita, indispensabile per giungerealla (3.14)) e allora l’energia totale e negativa:

T = −E , V = 2E . (3.19)