Dispersión

Teoría de la DispersiónLa Teoría de la Dispersión de partículas cuánticas es uno de los temas más importantes

en la Mecánica Cuántica por sus múltiples aplicaciones en la Física Nuclear, en el estudio delas partículas elementales y en la caracterización de átomos, moléculas y sólidos. Debemosrecordar que las partículas cuánticas pueden ser fermiones, como los electrones, protones,neutrones; y bosones, como los diferentes tipos de fotones (Rayos X, Rayos Gammas etc.).La teoría de la dispersión se puede identi�car únicamente desde un punto de vista formal,no de contenido, con la teoría clásica de choques o colisiones. En general, existe diferenciaen la teoría cuando el sistema cuántico que se dispersa y el dispersor son partículas como loselectrones o son partículas como los fotones. Estas notas están enfocadas con mayor énfasisa la dispersión de fermiones. La dispersión de fotones, conocida como teoría de la dispersiónde la radiación, tiene una gran importancia en muchas ramas de la Física donde es necesariala caracterización del objeto a través de sus propiedades ópticas, con la utilización para estepropósito de técnicas espectroscópicas. No es nuestro propósito introducir la teoría formal dela dispersión de la radiación, pero sí de�niremos las magnitudes generales que caracterizanuna dispersión de partículas cuánticas de cualquier tipo.Dentro del marco de la Teoría de la Dispersión son conocidos dos tipos de dispersión, la

elástica y la inelástica; además, la magnitud fundamental que caracteriza la dispersión esconocida como la sección e�caz de dispersión, la cual nos da información del proceso integralde dispersión que incluye al sistema cuántico dispersado y al dispersor.

Sección e�caz de dispersiónLlamaremos proceso de dispersión a la desviación de las partículas respecto de la dirección

inicial del movimiento, provocada por la interacción con un cierto sistema que se llamarádispersor.El estudio de los procesos de dispersión de partículas cargadas y no cargadas es uno de

los métodos experimentales básicos para investigar la estructura de la sustancia.La dispersión de un �ujo de partículas se caracteriza por la sección e�caz elemental �

diferencial. Esta magnitud se de�ne como la razón del número de partículas dNdisp por unidadde tiempo, en el ángulo sólido d, a la densidad de �ujo jinc de las partículas incidentes, esdecir, la sección e�caz diferencial se de�ne por la relación

d� (�; ') =dNdisp (�; ')

jinc,

donde los ángulos � y ' determinan la dirección del movimiento de las partículas dispersadas.El eje z está dirigido en el sentido del movimiento de las partículas incidentes, como muestrala siguiente �gura.

1

Esquema de la dispersión.

Para nuestros �nes, conviene representar dNdisp en la forma

dNdisp (�; ') = jdisp (�; ') dS,

donde jdisp es la densidad de �ujo de partículas dispersadas a grandes distancias del centrodispersor, dS es un elemento de super�cie perpendicular al vector de posición, vector cuyoorigen coincide con el centro dispersor y forma los ángulos � y ' respecto a los ejes decoordenadas adoptados. La magnitud de dS está ligada con el elemento de ángulo sólido dpor la igualdad

dS = r2d.

La sección e�caz diferencial se de�ne, pues, por la fórmula

d� =jdispjinc

dS. (1)

En Mecánica Cuántica se entiende por densidades de �ujos jdisp y jinc las correspondientesdensidades de �ujo de probabilidad.Integrando la expresión (1) sobre todos los ángulos obtenemos la cantidad

� =1

jinc

Ijdisp (r; �; ') dS =

�dispjinc

, (2)

llamada sección e�caz total de dispersión y �disp es el �ujo de partículas dispersadas queatraviesa la super�cie cerrada que rodea al centro dispersor. La super�cie sobre la cual serealiza la integración es asumida a gran distancia del centro dispersor por lo que podemosconsiderar que en cada punto de esta super�cie las partículas dispersadas viajan en direcciónradial.De acuerdo a la ecuación (2), la sección e�caz total de dispersión es la razón de la proba-

bilidad total de dispersión de una partícula (en la unidad de tiempo) a la densidad de �ujode probabilidad en el haz incidente.En la dispersión mutua de dos sistemas mecánico-cuánticos debemos distinguir la disper-

sión elástica de la inelástica. En la dispersión elástica el estado interno, tanto del sistemadispersor como del dispersado, permanece invariable. Por ejemplo, en la dispersión elásticade electrones por átomos el estado de éstos no varía. En la dispersión inelástica sí cambia elestado interno de uno o de ambos sistemas. Por ejemplo, la dispersión de los electrones porátomos será inelástica si en el proceso de dispersión los átomos pasan a un estado excitado.En la dispersión inelástica una parte de la energía cinética se convierte en energía interna o,recíprocamente, la energía interna se transforma en energía cinética.

2

Comenzaremos la exposición de la teoría con el caso más simple, el de la dispersiónelástica. En la dispersión elástica es posible prescindir del estado interno de los sistemas y,simplemente, llamar partículas a sistemas cualesquiera en interacción.En el proceso de dispersión tiene lugar la interacción de dos partículas, la dispersada y

la dispersora. Además, muy a menudo la energía de interacción depende sólo de la distanciaentre partículas. En este caso, el problema del movimiento de las dos partículas en interacciónpuede siempre reducirse al estudio del movimiento de una partícula (con masa reducida �)en el campo de un centro de fuerzas inmóvil y al del movimiento del centro de masa delsistema.En la práctica, siempre es necesario conocer cómo se desarrolla el proceso en el sistema

de coordenadas del laboratorio. Por ello, si se ha resuelto el problema del movimiento deuna partícula en el campo de fuerzas externas, en las fórmulas habrá que pasar al sistemadel laboratorio. Esto se puede hacer fácilmente sabiendo que la sección e�caz (1) permaneceinvariante ante una transformación que lleve de un sistema inercial a otro y sabiendo que losángulos se transforman mediante las relaciones

tan �1 =m1sin�

m1 +m2 cos �; �2 =

� � �

2,

donde � es el ángulo de dispersión de las dos partículas en el sistema del centro de masa,�1 y �2 son los ángulos de dispersión de la primera y segunda partícula en el sistema dellaboratorio, en el cual la segunda se encontraba en reposo antes de la colisión.En lo siguiente vamos a detallar lo que sucede en el sistema del centro de masa de las

partículas que colisionan.

Amplitud de dispersiónVamos a considerar un problema estacionario de dispersión.El movimiento de la partícula dispersada es no acotado y consecuentemente la energía del

sistema es siempre positiva y no cuantizada, por lo que en la teoría de dispersión el espectrode energía es siempre continuo.Si tomamos el origen de coordenadas en el centro dispersor �jo podemos describir la

interacción de la partícula con este centro a través de la función potencial V (r), dondeasumimos que esta función es no nula sólo en una parte limitada del espacio, r � a, quenosotros llamaremos rango de fuerza, donde el movimiento de la partícula que está siendoconsiderada obedece a la ecuación de Schrödinger,

� ~2

2mr2 (r) + V (r) (r) = E (r) , (3)

(m es la masa de la partícula dispersada). Introduciendo la cantidad

k2 =2m

~2E =

p2

~2, (4)

la ecuación (3) toma la forma�r2 + k2

� (r) =

2m

~2V (r) (r) . (5)

3

Fuera del rango de fuerza, la partícula se mueve libremente y su estado es descrito poruna onda plana. Adoptando la dirección de movimiento de la partícula incidente como eleje z, la función de onda que describe el estado de la partícula antes de su interacción con elcentro dispersor es

inc = eikz. (6)

No es difícil ver que esta función es una de las soluciones posibles de la ecuación (5)cuando el miembro derecho se anula.Cerca del centro de fuerzas, la partícula experimenta dispersión y se modi�ca la forma

de su función de onda.Sin embargo, una vez que la partícula dispersada se aleje y salga del rango de fuerza,

ésta se moverá nuevamente como partícula libre. A grandes distancias de esta región laspartículas dispersadas se mueven en dirección radial a partir del centro de fuerza, por loque el movimiento de las partículas dispersadas deberá describirse por una onda esféricadivergente,

disp = A (�; ')eik�r

r, (7)

donde r, �, ' son coordenadas esféricas.Debemos notar que, en la dispersión elástica, la cantidad k en las expresiones (6) y (7)

es la misma y está determinada por la relación (4).La función A (�; ') es llamada amplitud de dispersión y depende, por lo general, de

ambos ángulos, � y '. Cuando V (r) = V (r) la amplitud de dispersión depende solamentedel ángulo �.La función de onda total que describe el movimiento de las partículas incidentes y dis-

persadas a grandes distancias del centro dispersor (cuando r � a) puede presentarse en laforma

= eikz + A (�; ')eikr

r, (8)

donde el primer término describe el movimiento de las partículas incidentes y el segundo, elde las dispersadas.Debemos notar que el primer término en esta expresión está escrito en coordenadas

cartesianas, y el segundo en coordenadas esféricas.Según (1), hay que calcular las densidades de �ujo de las partículas incidentes y disper-

sadas. Como sabemos, el �ujo incidente está dado por

jinc =~2mi

( �incr inc � incr �inc) ;

teniendo en cuenta que inc depende sólo de z obtenemos

jinc =~2mi

� �inc

d

dz inc � inc

d

dz �inc

�=~km=

p

m= v, (9)

donde v es la velocidad de las partículas incidentes. Aquí la función (6) está normalizada.El gradiente, en coordenadas esféricas, está dado por la expresión

r = @

@rer +

1

r

@

@�e� +

1

rsin�

@

@'e'.

4

Estamos interesados en la componente radial jr del �ujo de partículas dispersadas. Estapuede ser encontrada sustituyendo r por la componente radial @

@r, esto es,

jr =~2mi

� �disp

@ disp@r

� disp@ �disp@r

�=~kmr2

jA (�; ')j2 . (10)

Sustituyendo (9) y (10) en (1) se obtiene la siguiente expresión para la sección e�cazdiferencial de dispersión:

d� (�; ') = jA (�; ')j2 d; (11)

es decir, la determinación de la sección e�caz diferencial de dispersión consiste en encontrarla amplitud de dispersión.El cálculo de esta última se realiza de la siguiente forma:Se obtiene la solución de la ecuación de Schrödinger para el movimiento de una partícula

en el campo del centro dispersor tal que a grandes distancias del mismo tenga la forma (8).Entonces el coe�ciente del factor eikr=r dará la amplitud de dispersión.La representación de la función de onda que describe el movimiento de una partícula

lejos del centro dispersor en la ecuación (8), es decir, como suma de las ondas incidentey divergente, se ha llevado a cabo tomando como base consideraciones físicas simples eintuitivas; sin embargo, se puede demostrar que lejos del centro dispersor inmóvil V (r), lasolución de la ecuación de Schrödinger puede efectivamente escribirse en la forma (8).

Ejercicio resuelto:

Demostrar que la amplitud de dispersión de una partícula en un campo externo arbitrarioestá relacionada con su función de onda a través de la ecuación

f (k) = � �

2�~2

Ze�ikrV d�:

Respuesta.La ecuación de Schrödinger del problema es de la forma

� ~2

2�r2 + V = E :

Introduciendo, como es usual, k2 = 2�E~2 , la ecuación se transforma en

r2 + k2 =2�

~2V : (12)

Consideremos el lado derecho como una inhomogeneidad. Debemos entonces encontraruna solución de una ecuación inhomogénea que satisface las siguientes condiciones de con-torno:

r!1

� exp [i (k0 � r)] + fexp (ikr)

r:

Usando la expresión para la función de Green de la ecuación (12),

G (r� r0) = � 1

4�

exp (ik jr� r0j)jr� r0j ;

5

fácilmente encontramos la solución requerida:

= exp [i (k0 � r)]��

2�~2

ZV (r0) (r0)

exp (ik jr� r0j)jr� r0j d3r0:

Para valores grandes de r tenemos

exp (ik jr� r0j)jr� r0j � exp (ikr)

r� exp [�i (k � r0)] (~r !1) ;

donde k = k rr: Luego,

� exp [i (k0 � r)]��

2�~2exp (ikr)

r

Zd3r0 exp [�i (k � r0)]V (r0) (r0) ;

entonces

f (k) = � �

2�~2

Zd3r exp [�i (k � r)]V (r) (r) :

Esta ecuación es convenientemente utilizada en varios cálculos aproximados.Por ejemplo, sustituyendo (r) � exp [i (k0 � r)] se obtiene la amplitud de dispersión en

la primera aproximación de Born, la cual estudiaremos a continuación.

Aproximación de BornLa resolución exacta de la ecuación de Schrödinger y el obtener A (�; ') entrañan, en

la mayoría de los problemas, grandes di�cultades matemáticas; por ello, en la teoría de ladispersión se aplican métodos aproximados, siendo el más importante de ellos la aproximaciónde Born. Este método se basa en la hipótesis de que la energía potencial de interacción de lapartícula dispersada con el centro de fuerzas es pequeña, por lo que es posible considerarlacomo una perturbación. En este caso, la función de onda que describe el estado de unapartícula dispersada puede ser descrita como

= (0) +� (1), (13)

donde (0) es la función de onda del problema no perturbado que describe el comportamientode la partícula antes de interactuar con el centro dispersor, luego,

(0) = eik0�r.

Para encontrar la función de onda en primera aproximación se introduce (13) y E = E(0)

en la ecuación del problema perturbado, esto es,�� ~

2

2mr2 + V

�� (0) +4 (1)

�= E(0)

� (0) +4 (1)

�,

de donde se obtiene que

r24 (1) (r) + k20 4 (1) (r) =2m

~2V (r) (0) (r) , (14)

6

donde

k20 =2mE(0)

~2.

Ahora bien, de la Electrodinámica se sabe que un potencial escalar ' (r; t) producido poruna densidad de carga � (r; t) satisface la ecuación de D�Alembert,

r2' (r; t)� 1

c2@2' (r; t)

@t2= �4�� (r; t) , (15)

cuya solución es el potencial retardado

' (r; t) =

Z��r0;�R

ct�

RdV 0,

siendoR = jr� r0j .

Si consideramos que la densidad de carga en cada punto varía según una ley armónica,

� (r; t) = �0 (r) e�i!t, (16)

entonces,

' (r; t) =

Z�0 (r

0) ei!Rc e�i!t

RdV 0 = '0 (r) e

�i!t, (17)

donde

'0 (r) =

Z�0 (r

0) ei!Rc

RdV 0. (18)

Introduciendo las funciones (16) y (17) en (15) y cancelando el factor e�i!t, obtenemosuna ecuación diferencial para '0 (r),

r2'0 (r) +!2

c2'0 (r) = �4��0 (r) , (19)

cuya solución es la función (18).La ecuación (14) que estamos interesados en resolver es similar a la ecuación (19), luego,

su solución puede ser obtenida reemplazando en la expresión (18) !cpor k0 y �0 (r

0) por� m2�~2V (r

0) (0) (r0), esto es,

4 (1) (r) = � m

2�~2

Z1

RV (r0) ei(k0�r

0+k0R)dV 0. (20)

Estamos interesados en una expresión asintótica para 4 (1) (r), esto es, la forma de lafunción para grandes distancias r del centro dispersor. Esta integral está evaluada sobre elrango de fuerzas, para r0 � a; luego, r � r0. Para grandes distancias una partícula viaja enuna dirección radial con origen en el centro dispersor, esto es, su vector de onda k coincideen dirección con r.

7

Teniendo esto en cuenta obtenemos, para r � r0,

R2 = (r� r0)2 = r2 � 2r � r0 + r02

� r2�1� 2r � r

0

r2

�,

o bien,

R � r

�1� r � r

0

r2

�= r � k � r

0

k,

ya que r=r = k=k.Sustituyendo este valor aproximado de R en la integral (20), y en el factor fraccional

usando simplemente r en lugar de R, se obtiene que

4 (1) (r) = � m

2�~2reikr

ZV (r0) ei(k0�k)�r

0dV 0.

Comparando esta expresión con (8) vemos que la amplitud de dispersión en la aproxi-mación de Born está dada por la expresión

A (�; ') = � m

2�~2

ZV (r0) eiq�r

0dV 0, (21)

donde q = (k0 � k) es denominado vector colisión, cuya magnitud es

q = k jn� n0j = 2ksin�

2=2mv

~sin

�

2, (22)

donde � es el ángulo entre los vectores k0 y k, es decir, el ángulo de dispersión (k0 estádirigido a lo largo del haz incidente y el vector k a lo largo del vector de posición que vadesde el centro dispersor al punto de observación de las partículas dispersadas).Si la función V (r0) es esféricamente simétrica, V (r0) = V (r0), en (21) podemos integrar

sobre los ángulos � y ' (donde el ángulo � es medido desde la dirección del vector k0 y elángulo ' es medido desde la dirección del vector q). En este caso, la amplitud de dispersiónno depende de '

A (�) = � m

2�~2

Z 1

0

V (r0) r02dr0Z �

0

eiqr0 cos'2�sin'd'

= �2m~2

Z 1

0

V (r0)sinqr0

qr0r02dr0. (23)

Sustituyendo (23) en (11) obtenemos la expresión para la sección e�caz diferencial dedispersión,

d� =4m2

~4

����Z 1

0

V (r0)sinqr0

qr0r02dr0

����2 d; (24)

esta expresión es conocida como fórmula de Born.Prosiguiendo con las aproximaciones sucesivas cabría hallar la función de onda y la ampli-

tud de dispersión en segunda aproximación. El término adicional a la amplitud de dispersión

8

se determinaría en segunda aproximación por la integral del cuadrado de la energía potencialde interacción. De la misma manera se pueden hallar correcciones de orden superior.Para valores pequeños del ángulo de dispersión, de (24) tenemos que

d� =4m2

~4

����Z 1

0

V (r0) r02dr0����2 d,

luego, la sección e�caz resulta independiente de la velocidad de la partícula.La aplicabilidad de la aproximación de Born está dada para una rápida convergencia de

la serie de aproximaciones sucesivas, por lo que es necesario que la corrección en primeraaproximación a la función de onda, (1), sea pequeña comparada con la función de onda dela aproximación de orden cero, (0), esto es,��� (1)���� ��� (0)��� ,es decir,

m

2�~2

����Z eikz0eikjr�r

0j

jr� r0j V (r0) dV 0����� 1. (25)

Dado que (1) (r0) disminuye al aumentar la distancia desde el centro de dispersión, lacondición (25) se cumplirá si se cumple en el origen de coordenadas. Por lo tanto, la condición(25) se puede sustituir por la desigualdad��� (1) (0)��� = m

2�~2

����Z eik(r0+z0)V (r0)

r0dV 0

����� 1. (26)

También se pueden analizar dos casos límites:1. Cuando se cumple la condición ka � 1. Esto corresponde a una pequeña energía de

las partículas,

E � ~2

ma2.

2. Cuando se cumple la desigualdad opuesta ka� 1. Esto corresponde a la condición

E � ~2

ma2.

En el primer caso, al estimar la integral (26) se puede hacer eik(r0+z0) � 1. Entonces,

m

2�~2

����Z V (r0)

r0dV 0

���� � m

2�~2jV0j

ZdV 0

r0=m

~2jV0j a2 � 1,

donde V0 es un cierto valor medio de la energía de interacción en la región de radio a, luego,

jV0j �~2

ma2.

La expresión ~2ma2

es igual, en orden de magnitud, a la profundidad mínima de un pozo depotencial de radio a para la cual aparece un primer nivel. Vemos así que las condiciones de

9

aplicabilidad de la fórmula de Born a la dispersión de partículas lentas tiene un signi�cadosencillo: la energía media de interacción debe ser pequeña comparada con la energía potencialmínima de la partícula en el pozo para la cual se forma el estado ligado.En el segundo caso, la región de aplicabilidad de la aproximación de Born se amplía

considerablemente. El factor exponencial en (26) oscila rápidamente, lo que conduce a unadisminución del valor total de la integral. Si sacamos fuera de la integral el factor lentamentevariable tenemos que��� (1) (0)��� =

m

2�~2jV0j

����Z eikz0eikr

0

r0dV 0

����=

m jV0j~2

����Z a

0

Z �

0

eikr0(1+cos �)sin�d�r0dr0

����=

m jV0j~2k

����Z a

0

�1� e2ikr

0�dr0����

� m jV0j a~2k

� 1. (27)

Además, hemos omitido la integral de la cantidad rápidamente oscilante eikr0por ser

pequeña frente a la integral que se conserva.De (27) tenemos que

jV0j a~v

� 1. (28)

Luego, la aproximación de Born es válida para partículas que tengan una energía tantomayor cuanto mayor sea el producto V0a determinado por las propiedades del centro disper-sor.En el caso del campo de Coulomb, el potencial Ze2

rdisminuye tan lentamente que es

imposible introducir el concepto de tamaño efectivo del rango de fuerza a.Sin embargo, para V0 = Ze2

ael producto V0a que aparece en (28) no depende de a, luego,

en un campo de Coulomb se cumple,

Ze2

~v� 1; (29)

esta desigualdad signi�ca que si se introduce la velocidad del electrón en la primera órbitade Bohr de un átomo hidrogenoide con carga del núcleo Ze (es decir, la cantidad �k = Ze2

~ ),la desigualdad (29) se convierte en

�kv� 1;

es decir, la velocidad de la partícula debe ser grande comparada con la del electrón en laprimera órbita de Bohr.La desigualdad (29) exige, para la aplicabilidad de la aproximación de Born, energías

tanto mayores cuanto mayor sea la carga del núcleo dispersor.

Ejercicios resueltos:

1) Calcular la sección e�caz para la dispersión por átomos de partículas rápidas con carga.

10

Respuesta.Asumiremos que el núcleo del átomo, con carga Ze, se encuentra en el origen de coor-

denadas y que la carga de la envoltura atómica está distribuida en el espacio con densidadn (r); consideraremos, además, que el núcleo es puntual.La sección e�caz diferencial de dispersión viene dada por (11), que para V = e', donde

e es la carga y ' el potencial del campo eléctrico que actúa sobre la partícula dispersada,toma la forma

d� =m2e2

4�2~4

����Z ' (r0) eiq�r0dV 0

����2 d;esta integral conviene expresarla en función de la distribución de densidad de carga en elátomo. Como

R' (r0) eiq�r

0dV 0 es la componente de Fourier del potencial, esta componente

puede expresarse en función de la componente de Fourier de la densidad de carga, la cualliga la componente de Fourier de la densidad de corriente con la componente de Fourier delpotencial; tenemos entonces,

d� =4m2e2

q4~4

����Z � (r0) eiq�r0dV 0

����2 d.La densidad de carga en el átomo puede escribirse en la forma

� (r) = Ze�(r)� en (r) ,

que al sustituir en la sección e�caz diferencial nos da

d� =4m2e4

~4q4

����Z Zeiq�r0� (r0) dV 0 �

Zn (r0) eiq�r

0dV 0

����2 d=

4m2e4

~4q4jZ � F (q)j2 d, (30)

donde

F (q) =

Zn (r0) eiq�r

0dV 0. (31)

La cantidad F se llama factor de forma atómico. Su valor se determina por la distribuciónde densidad de la carga electrónica.Sustituyendo en (31) el valor del vector colisión, según (22), tenemos la sección e�caz

diferencial en la forma

d� =

�e2

2mv2

�2jZ � F (q)j2 d

sin4 �2

. (32)

Si la dispersión se produce por un núcleo puntual privado de capas electrónicas, n (r) = 0,se tendrá en consecuencia, F = 0; entonces obtenemos para la sección e�caz diferencial

d� =

�Ze2

2mv2

�2d

sin4 �2

.

Llegamos así a la conocida fórmula de Rutherford que tiene la misma forma que laobtenida en en la Mecánica Clásica.

11

El hecho de que la sección e�caz tienda a in�nito para dispersiones según ángulos in-�nitesimales, está vinculado con la lenta variación del potencial coulombiano. Por ello, laspartículas serán dispersadas aún cuando pasen lejos del centro dispersor. Sin embargo, enrealidad la acción de pantalla debida a la envoltura electrónica garantiza, conforme veremosmás adelante, un valor �nito para la sección e�caz de dispersión.Consideremos ahora el factor de forma atómico (31). La región efectiva de integración

tiene dimensiones que son del orden del tamaño del átomo a. Fuera de esta región n (r) seanula. Por lo tanto, para ángulos � pequeños, cuando sea ka � 1, en la integral (31) sepodrá desarrollar el exponente en serie. Tenemos entonces,

Z � F (q) = Z � Z � iq

Zn (r0) r0dV 0 +

1

2

Zn (r0) (q � r0)2 dV 0,

los dos primeros términos se anulan puesto que la carga de la envoltura electrónica del átomoes igual a la carga del núcleo. El tercer término representa el momento dipolar del átomo,que es igual a cero. En el último término, integrando respecto de los ángulos, se obtiene

Z � F =2�q2

3

Z 1

0

n (jrj) r4dr.

La sección e�caz diferencial en el caso límite ka� 1 tendrá la forma

d� =

�4�me2

3~2

�2 ����Z n (r) r4dr

����2 d.De esta manera, gracias al apantallamiento debido a la envoltura electrónica, la sección

e�caz diferencial resulta �nita para pequeños ángulos de dispersión y constante (independi-ente de los ángulos). Por el contrario, en el caso de ángulos de dispersión grandes, cuando secumple la desigualdad opuesta, ka � 1, el exponente en la integral (31) comienza a oscilarrápidamente y el factor de forma resulta ser una cantidad pequeña. Despreciándolo frente aZ, llegamos a (32).El apantallamiento de la carga del núcleo no se mani�esta para ángulos de dispersión

grandes.

2) Evaluar la sección e�caz diferencial de dispersión por un campo repulsivo V = Br2apli-

cando la aproximación de Born y el mecanismo clásico. Determinar el límite de aplicabilidadde la fórmula obtenida.

Respuesta.La amplitud de dispersión en la aproximación de Born está dada por la ecuación

ABorn = ��

2�~2

Zd3r exp [�i (q � r)]V (r) = ���B

~2q;

donde q = k0 � k, q = 2k sin 12�. Luego, considerando que d = 2� sin �d�, entonces

d�Born = jA (�)j2 d =�3�B2

2~2Ecot

1

2�d�:

12

En el mecanismo clásico tenemos la siguiente relación entre el ángulo de dispersión y elparámetro de impacto �: Z 1

r0

�v�dr

r2q2� (E � V )�

��v�r

�2 = � � �

2;

donde r0 es el cero de la expresión bajo el símbolo de la raíz. Si integramos obtenemos

�2 =B

E

1

�

(� � �)2

2� � �;

y entonces

d� = �2��d�d�d� =

2�3B

E

� � �

�2 (2� � �)2d�:

Si 8�B~2 � 1 podemos aplicar la aproximación de Born para todos los ángulos.En el caso del límite opuesto, donde 8�B

~2 � 1 el resultado clásico se mantiene tambiénpara ángulos no pequeños, � & ~2

8�B, mientras que para ángulos pequeños, � . ~2

8�B, el

resultado de la aproximación de Born es válido.

3) Utilizar la aproximación de Born para hallar la sección e�caz diferencial y total paradispersión elástica de electrones rápidos por: a) un átomo de hidrógeno; b) un átomo dehelio.

Respuesta.a) Evaluamos el factor de forma para el átomo de hidrógeno,

F (q) =

Zexp [i (q � r)]n (r) d� = 1

�a3

Zexp

�i (q � r)� 2r

a

�d� =

1�1 + q2a2

4

�2 ,donde a = ~2

�e2es el radio de Bohr.

Entonces, considerando la ecuación (30), la sección e�caz diferencial es

d� =4a2 (8 + q2a2)

2

(4 + q2a2)4d

�q = 2k sin

1

2�

�(33)

y la sección e�caz total

� =�a2

3

7k4a4 + 18k2a2 + 12

(k2a2 + 1)3:

En este caso la aproximación de Born puede ser aplicada, con tal de que ka � 1, tal quepodemos simpli�car la última expresión a

� =7�

3k2: (34)

13

b) Para el átomo de helio, utilizando el método variacional, se obtiene la siguiente expre-sión para la densidad de electrones:

n (r) =2

�b3exp

�� 2rb

�; b =

1

2

6

7a:

La sección e�caz diferencial y total para la dispersión elástica para el átomo de heliotiene en esta aproximación la misma forma que para el átomo de hidrógeno. Necesitamossolamente reemplazar a por b en las ecuaciones (33) y (34), e introducir un factor Z2 = 4.En particular, � = 28�

3k2:

4) Evaluar la sección e�caz para la dispersión elástica por el potencial V (r) = B e�{r

ren

la aproximación de Born. Discutir la aplicabilidad de esta aproximación.

Respuesta.Es bien conocido que la solución del problema de dispersión elástica por un potencial

V (r) en la aproximación de Born lleva a la siguiente expresión para la función de onda:

� (0) +� (1) (35)

donde (0) (r) = exp [i (k � r)] ;� (1) (r) = � �

2�~2RV (r0) (0) (r0) exp(ikjr�r

0j)jr�r0j d3r0;

(36)

así que asintóticamente tenemos

� (1) (r)r!1

��� �

2�~2

ZV (r0) exp [i (q � r0)] d3r0

�exp (ikr)

r� A (�)

exp (ikr)

r(37)

donde q = k� k0 es el cambio en el vector de onda de la partícula durante la dispersión y �es el ángulo de dispersión.La sección e�caz diferencial para la dispersión en un ángulo sólido d sobre un ángulo �

con la dirección k de la partícula entrante es igual a

d� = jA (�)j2 d = �2

4�2~4

����Z V (r0) exp [i (q � r0)] d3r0����2 d: (38)

Evaluemos la integral en la ecuación (38). Tomando el eje polar de nuestro sistema decoordenadas polares esféricas a lo largo del vector q y sustituyendo para V (r0) obtenemosZ

exp [�{r0 + i (q � r0)] d3r0

r0= 2�

Z 1

0

exp (�{r0) r0dr0Z 1

�1exp (iqr0x) dx

=4�

{2 + q2;

y entonces

d� =

�2B�

~2

�2d

({2 + q2)2; q = 2k sin

1

2�: (39)

14

Integrando la expresión (39) sobre el ángulo sólido obtenemos la sección e�caz total

� =4�

{2 + 4k2

�2B�

{~2

�2: (40)

Consideremos algunos casos límite de la ecuación (39).i) k � {, de manera que también q � {:

d� ��2B�

{2~2

�2d; (41)

que es, la sección e�caz de dispersión, en completo acuerdo con la teoría de la dispersión departículas lentas, no existiendo dependencia sobre el ángulo de dispersión ni sobre la energíade la partícula.ii) k � { (partículas rápidas).Existen ahora dos rangos característicos del ángulo de dispersión,a) � � {

k, ó q � {; la sección para esos ángulos pequeños de dispersión tiende, para

� ! 0, al límite constante (41);b) � � {

k, ó q � { (de�exión grande). En este caso tenemos que introducir la energía

de la partícula E = ~2k22�,

d� ��B

4E

�2d

sin2 12�: (42)

Esta es en esencia la fórmula de la dispersión de Rutherford, como debía esperarse, dadoque en la región fundamental de distancias, r s 1

q, el campo es prácticamente el campo de

Coulomb.La condición de aplicabilidad de las fómulas de Born, (38) y (39), es que el término

de la corrección � (1), el cual describe la in�uencia del campo de dispersión, es pequeñocomparado con el término principal (0). Esta condición siempre se satisface si

���� (1)���r=0

���� (0)��� = 1. Esta condición de aplicabilidad es su�ciente; sin embargo puede ser demostradoque resulta ser demasiado fuerte, especialmente para ángulos pequeños de dispersión.Tenemos

� (1) jr=0 = � �B

2�~2

Zexp [i (k � r)] exp (�{r

0 + ikr0)

r02d3r0

= �2�B~2

Z 1

0

exp (�{r0 + ikr0)sin kr0

kr0dr0: (43)

Para partículas lentas (k . {) la región importante en la integral es r0 s 1{ , donde

exp (ikr0) (sin kr0=kr0) s 1, así que la integral es del orden de magnitud de 1{ y la condición

requerida de aplicabilidad de la ecuación (39) es de la forma

jBj�{~2

� 1: (44)

Para las partículas rápidas (k � {) la presencia de la función rápidamente oscilante,[exp (ikr0) sin kr0], signi�ca que la región importante es r0 s 1

k, así que la integral es del orden

15

de magnitud de 1k, y la condición de aplicabilidad de la ecuación de Born será (introduciendo

la velocidad de la partícula v = ~k�):

jBj~v

� 1: (45)

El signi�cado de las desigualdades (44) y (45) viene a ser muy obvio si las consideramosen conjunto con los casos límites de la expresión (40) para la sección e�caz total. Eliminandocoe�cientes numéricos vemos que ambas desigualdades son equivalentes a la condición � � 1

{2o bien

p� � 1

{ .La condición de aplicabilidad de la aproximación de Born es entonces que la sección e�caz

de dispersión sea pequeña comparada al cuadrado del rango efectivo del campo de dispersión,o en otras palabras, que la amplitud de dispersión

p� sea pequeña comparada al rango del

campo 1{ .

Los resultados de este problema pueden utilizarse para considerar el caso particular dela dispersión de electrones por un átomo neutro (que es el caso del campo de Coulombapantallado). Para ello, debemos reemplazar B por �Ze2 y 1

{ por el radio de Thomas-Fermidel átomo, el cual es del orden de magnitud de ~2=Z 1

3�e2:

Método de ondas parcialesEste método se utiliza cuando el campo del centro dispersor presenta simetría esférica,

esto es, V (r) = V (r), el cual admite que lejos del centro de dispersión la función de ondade la partícula dispersada tenga la forma

= eikz + A (�)eikr

r, (46)

donde la amplitud de dispersión no depende de ' debido a la simetría del campo.Como V (r) = V (r), este método está relacionado con la solución del problema del

movimiento de una partícula en un campo de fuerza central. Como estamos considerandomovimiento no acotado, la solución debe satisfacer condiciones de frontera de�nidas, estascondiciones consisten en que la forma asintótica de la solución (para r ! 1) debe estardeterminada por la ecuación (46).Como sabemos, la solución general de la ecuación de Schrödinger para un campo de

fuerza central es (r; �; ') =

Xl;m

blmRl (r)Ylm (�; ') ,

donde blm son coe�cientes constantes que se determinan por las condiciones de frontera ycondición de normalización. Como estamos interesados en soluciones que no dependen delángulo ' debemos tomar sólo los términos con m = 0, luego,

(r; �) =1Xl=0

blRl (r)Pl (cos �) , (47)

donde Pl (cos �) son los polinomios de Legendre.Cada término de la serie (47) lo denominaremos onda parcial, o más concretamente, onda

parcial l-ésima, al término l-ésimo.

16

Podemos obtener una forma asintótica de la función (47) introduciendo en ella la formaasintótica de Rl,

Rl (r) = alsin�kr + �l � l�

2

�r

,

luego,

(r !1) �1Xl=0

blPl (cos �)alsin

�kr + �l � l�

2

�r

(48)

(por razones que veremos después, hemos tomado la fase �l en la forma �l � l�2).

Introduciendo la notaciónblal =

clk,

tenemos que

(r !1) =1Xl=0

clPl (cos �)sin�kr + �l � l�

2

�kr

. (49)

Para encontrar la expresión de la amplitud de dispersión A (�) en términos de los coe�-cientes cl y las fases �l debemos expresar (46) en la forma (49). Para hacer esto tenemos quedesarrollar la expresión (46) en serie de polinomios de Legendre (los polinomios de Legendreforman un sistema completo).Para el primer término de (46),

eikz = eikr cos � =1Xl=0

fl (r)Pl (cos �) , (50)

donde fl (r) son coe�cientes a determinar. Para abreviar hacemos x = cos �, luego,

eikrx =1Xl=0

fl (r)Pl (x) . (51)

Multiplicando (51) por Pl0 (x) e integrando sobre x de �1 a 1,Z 1

�1eikrxPl0 (x) dx =

1Xl=0

fl (r)

Z 1

�1Pl (x)Pl0 (x) dx;

pero, Z 1

�1Pl (x)Pl0 (x) dx =

2

2l + 1�ll0, (52)

luego,

fl (r) =2l + 1

2

Z 1

�1eikrxPl (x) dx;

integrando por partes y teniendo en cuenta que Pl (1) = 1 y Pl (�1) = (�1)l obtenemos,para valores grandes de r,

fl (r) =2l + 1

2

eikr � (�1)l e�ikrikr

.

17

Para simpli�car tomamos

(�1)l =�ei��l= eil

�2 eil

�2 ;

esto es,

fl (r) =2l + 1

2eil

�2ei(kr�

l�2 ) � e�i(kr�

l�2 )

ikr,

pero,�ei

�2

�l= il, luego,

fl (r) = il (2l + 1)sin�kr � l�

2

�kr

. (53)

Ahora queda claro por qué escribimos la fase �l en la forma �l � l�2en la fórmula (48).

Sustituyendo (53) en (50) se obtiene la expresión asintótica para el primer término de lafunción (46),

eikz =1Xl=0

il (2l + 1)Pl (cos �)sin�kr � l�

2

�kr

. (54)

Para el segundo término de (46) desarrollamos el coe�ciente A (�) en serie de polinomiosde Legendre,

A (�) =1Xl=0

glPl (cos �) , (55)

donde gl son números.Sustituyendo las expresiones (54) y (55) en (46) obtenemos la forma asintótica de la

función de onda de una partícula dispersada,

=1Xl=0

il (2l + 1)Pl (cos �)sin�kr � l�

2

�kr

+1Xl=0

glPl (cos �)eikr

r. (56)

Igualando las expresiones (56) y (49) y expresando las funciones sin (x) en términos dela diferencia de exponenciales, así como il en la forma ei

l�2 obtenemos,

1Xl=0

1

2ikrcl

hei(kr+�l�

l�2 ) � e�i(kr+�l�

l�2 )iPl (cos �)

=1Xl=0

1

r

�ei

l�2 (2l + 1)

1

2ik

hei(kr�

l�2 ) � e�i(kr�

l�2 )i+ gle

ikr

�Pl (cos �)

Esta igualdad debe cumplirse para cualquier valor de �, luego, es necesario que los coe�-cientes Pl en ambos miembros sean iguales,

1

2ikcl

heikrei(�l�

l�2 ) � e�ikre�i(�l�

l�2 )i=2l + 1

2ik

�eikr � e�ikreil�

�+ gle

ikl.

Como esta igualdad debe cumplirse para toda r, los coe�cientes de ambos miembros deeikr y e�ikr deben ser iguales; igualando estos coe�cientes obtenemos dos relaciones,

1

2ikcle

i(�l� l�2 ) =

2l + 1

2ik+ gl ; � 1

2ikcle

�i(�l� l�2 ) = �2l + 1

2ikeil�.

18

De la segunda relación encontramos que

cl = (2l + 1) ei(�l+ l�

2 ). (57)

Introduciendo este valor en la primera relación encontramos la expresión para gl,

gl =2l + 1

2ik

�e2i�l � 1

�.

Sustituyendo esta expresión en (55) obtenemos que la amplitud de dispersión está dadapor

A (�) =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1)�e2i�l � 1

�Pl (cos �) . (58)

Luego, la sección e�caz diferencial estará dada por

d� (�) =1

4k2

�����1Xl=0

(2l + 1)�e2i�l � 1

�Pl (cos �)

�����2

d. (59)

Es decir, la sección e�caz diferencial de dispersión está determinada por el conjunto defases �l.Integrando (59) sobre el ángulo sólido total 4� obtenemos la sección e�caz total de dis-

persión.El cuadrado del módulo de un número complejo es igual al producto de este número y

su complejo conjugado y como d = 2�sin�d� = �2�d (cos �),

� =

Zd� (�) =

1

4k2

Z ( 1Xl=0

(2l + 1)�e2i�l � 1

�Pl (cos �)

)�( 1X

l;=0

(2l0 + 1)�e�2i�l0 � 1

�Pl0 (cos �)

)2� [�d (cos �)]

=1

4k2

Xll0

(2l + 1) (2l0 + 1)�e2i�l � 1

� �e�2i�l0 � 1

�(�2�)

Z �1

1

Pl (x)Pl0 (x) ,

donde se ha hecho x = cos �. Teniendo en cuenta (52) obtenemos

� =�

k2

1Xl=0

(2l + 1)�e2i�l � 1

� �e�2i�l � 1

�=

(2i)2

k2�

1Xl=0

(2l + 1)ei�l�ei�l � e�i�l

�e�i�l

�e�i�l � ei�l

�(2i)2

,

luego,

� =4�

k2

1Xl=0

(2l + 1) sin2�l; (60)

19

haciendo�l =

4�

k2(2l + 1) sin2�l

tenemos que

� =

1Xl=0

�l,

la sección e�caz total � puede ser escrita como la suma de las secciones parciales �l.Cada sección e�caz parcial corresponde a la dispersión de una partícula con un momento

angular de�nido (determinado por el número cuántico l).El máximo valor de la sección e�caz de dispersión de una partícula con momento angular

l está dado por

(�l)m�ax =4�

k2(2l + 1) .

El cálculo de las fases �l, de manera general, es un problema muy difícil. El valor prácticode las expresiones (59) y (60) aparece cuando el número de términos de la serie que jueganun papel fundamental es pequeño (cuando la serie converge rápidamente).Un razonamiento simple prueba que a medida que aumenta la energía de la partícula,

crece el número de fases �l que es necesario tener en cuenta en las series (59) y (60). Porello, este método es particularmente útil para el estudio de la dispersión de partículas lentas.Debemos notar que introduciendo el valor (57) para cl en la fórmula (49) obtenemos la

expresión asintótica para la función de onda,

=1Xl=0

(2l + 1) ei(�l+l�2 )Pl (cos �)

sin�kr + �l � l�

2

�kr

.

Expresando la función sin (x) en términos de exponenciales y eliminando el factor de faseigual a i, podemos dar a esta expresión la forma

=1

2k

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos �)

�(�1)l e

�ikr

r� Sl

eikr

r

�, (61)

dondeSl = e2i�l. (62)

El primer término en el corchete de la fórmula (61) es una onda esférica convergente deamplitud (�1)l y el segundo término es una onda esférica divergente con amplitud Sl. Elvalor absoluto de ambas amplitudes es la unidad. Luego, la función de onda que describe ladispersión elástica tiene la forma de una onda estacionaria formada por la superposición deondas esféricas convergentes y divergentes.La densidad de corriente de probabilidad correspondiente a una onda convergente es

jconv =~2mi

���(�1)l���2�eikrrr�e�ikr

r

�� e�ikr

rr�eikr

r

��= � ~k

mr2er, (63)

20

donde er es el vector unitario del vector posición r.De manera similar se obtiene la densidad de corriente de probabilidad de una onda

divergente,

jdiv = jSlj2~kmr2

er. (64)

Como jSlj2 = 1, los vectores (63) y (64) di�eren solamente en su dirección. La densidadde corriente de probabilidad a través de cualquier super�cie, incluyendo una esfera de radioR correspondiente a la función (61), es cero. Esto está de acuerdo con el hecho de que enla dispersión elástica el número de partículas que viaja desde el centro dispersor es igual alnúmero de partículas que viaja hacia este centro.

Ejercicios resueltos:

1) Encontrar la sección e�caz diferencial para la dispersión de partículas lentas por unpozo de potencial (considere la longitud de onda de De Broglie grande comparada con lasdimensiones del pozo).

Respuesta.La energía potencial de las partículas está dada por la expresión:

V (r) =

��V0 (r < a)0 (r > a):

Es necesario encontrar los corrimientos de fase; esto es, la forma asintótica de las funcionesradiales que satisfacen las ecuaciones

�00l +

�k2 � l (l + 1)

r2

��l = 0; k2 =

2�E

~2; r < a

y

�00l +

�k02 � l (l + 1)

r2

��l = 0; k02 =

2� (E + V0)

~2; r > a

con la condición de frontera �l (0) = 0.Cuando la longitud de onda de De Broglie es considerablemente mayor que las dimen-

siones del pozo, la contribución principal a la dispersión surge de la onda S, esto es, paral = 0. La solución �0 que satisface la condición de frontera es de la forma

�0 = A sin k0r (r < a)

�0 = sin (kr + �0) (r > a):

La fase �0 y el coe�ciente A se obtienen de la condición de que tanto la función de ondacomo su derivada sean continuas en r = a. De esta forma obtenemos:

�0 = arctan

�k

k0tan k0a

�� ka:

La sección e�caz para l = 0 es entonces

�0 =4�

k2sin2 (�0) =

4�

k2sin2

�arctan

�k

k0tan k0a

�� ka

�:

21

Para velocidades pequeñas de las partículas incidentes (k ! 0) �0 será proporcional a k

�0 � ka

�tan k0a

k0a� 1�; k20 =

2�V0~2

:

Debido al factor 1k2la sección e�caz �0 será

� � 4�a2�tan k0a

k0a� 1�2

(para k pequeña).

Consideremos la sección e�caz �0 como una función de la profundidad del pozo, la cualdetermina k0. Si el pozo es angosto (k0a� 1), tenemos

�0 = 4�a2k

40a4

9=16�

9

a6V 20 �

2

~4:

Notemos que de la teoría de perturbaciones obtenemos

A (�) = � 1

4�

2�

~2

ZV (r) d� =

2�

~2V0a3

3

y así, después de integrar obtenemos

� = 4� jA (�)j2 = 16�

9

a6V 20 �

2

~4:

La sección e�caz crece con el incremento de V0 y diverge para k0a = �2. La condición

k0a =�2es la condición para la aparición del primer nivel energético en el pozo. Si se aumenta

la profundidad del pozo, la sección e�caz empieza a decrecer otra vez y tiende a cero paratan k0a = k0a. Cuando V0 se incrementa aún más, la sección e�caz continua oscilando entre0 e1, llegando a ser in�nita cuando aparece un nuevo nivel en el pozo. La oscilación agudade la sección e�caz de dispersión de partículas lentas explica por qué la sección e�caz dedispersión de electrones lentos por un átomo puede diferir apreciablemente de la seccióntransversal geométrica.

2) Encontrar los corrimientos de fase en el campo V = Br2. Determine la sección e�caz

diferencial de dispersión para ángulos pequeños.

Respuesta.La función radial satisface la ecuación

�00l +

�k2 � l (l + 1)

r2� 2�B~2r2

�� (r) = 0

así como las condiciones de frontera �l (0) = 0 y � �nita cuando r ! 1. La solución quesatisface estas condiciones es

�l =prJ� (kr) ;

donde

� =

s�l +

1

2

�2+2�B

~2:

22

A partir del comportamiento asintótico de J� (kr) obtenemos los corrimientos de fase:

�l = ��

2

��� l � 1

2

�= ��

2

8<:s�

l +1

2

�2+2�B

~2��l +

1

2

�9=; :

La independencia de �l sobre k signi�ca que para la amplitud de dispersión obtenemos

A (�; k) =1

kA0 (�) ;

donde A0 (�) es independiente de la energía de las partículas dispersadas. La sección e�cazde dispersión

d� =1

k2jA0 (�)j2 d

es inversamente proporcional a la energía y está caracterizada por una distribución angularuniversal.Dado que la suma

A (�) =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos �) [exp (2i�l)� 1] ;

que determina la amplitud de dispersión, diverge para � ! 0, es claro que los valores grandesde l son esenciales para la evaluación de A (�) en valores pequeños de �. Ahora, para valoresgrandes de l tenemos

��l � ���B

(2l + 1) ~2� 1;

tal que

A (�) � 1

k

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos �) �l

� ���B~2k

1Xl=0

Pl (cos �) = ���B

k~21

2 sin 12�:

Si 8�B~2 � 1, la expresión para �l es válida para toda l y así para todos los valores de �

A (�) � ���Bk~2

1

2 sin 12�

y

d� =�3�B2

2~2Ecot

1

2� d�:

3) Calcular la sección e�caz diferencial de dispersión de partículas por una esfera perfec-tamente rígida e impenetrable de radio a.

Respuesta.

23

Podemos modelar el efecto dispersor de la esfera con el potencial central

V (r) =

�1 r � a0 r > a:

La condición de total impenetrabilidad se puede expresar alternativamente como la condiciónde frontera que corresponde a re�exión total (r) jr=a = 0:La ecuación radial de Schrödinger está dada por la ecuación (19.1) y es

R00 +2

rR0 +

�k2 � l (l + 1)

r2

�R = 0; k2 =

2mE

~2; r � a:

La solución para r > a puede escribirse en términos de las funciones esféricas de Bessel.En este caso es conveniente tomar como soluciones independientes a las funciones jl (kr) yh(1)l (kr), en donde la función esférica de Hankel de primer tipo está de�nida como de laforma usual:

h(1)l (x) =

r�

2xH(1)l+1=2 (x)

y se comporta asintóticamente como una onda esférica saliente, según sigue:

h(1)l (kr) !

kr!1(�i)l+1 e

ikr

kr:

Esta es precisamente la propiedad que hace especialmente útil a esta función en problemasde dispersión. Por lo tanto, escribimos para r > a:

=1Xl=0

�(2l + 1) iljl (kr) + Clh

(1)l (kr)

�Pl (cos �) :

El coe�ciente del primer término se ha escogido apropiadamente para reproducir la ondaplana incidente, como se pondrá en claro un poco más adelante. La condición de fronterasobre la super�cie de la esfera se puede cumplir sólo si el coe�ciente de cada polinomio deLegendre se anula por separado en r = a. Por tanto, cada una de las ecuaciones

(2l + 1) iljl (ka) + Clh(1)l (ka) = 0

debe satisfacerse por separado; de ellas obtenemos el valor de los coe�cientes Cl. Despejandoy sutituyendo en la función se obtiene

=1Xl=0

(2l + 1) il

"jl (kr)�

jl (ka)

h(1)l (ka)

h(1)l (kr)

#Pl (cos �)

= eikz �1Xl=0

(2l + 1) iljl (ka)

h(1)l (ka)

h(1)l (kr)Pl (cos �) :

La segunda igualdad se obtuvo usando el desarrollo de la onda plana en ondas esféricas

eikz =

1Xl=0

(2l + 1) iljl (kr)Pl (cos �)

24

y justi�ca la selección anterior de los coe�cientes de las funciones jl. Esta es una soluciónexacta de la ecuación de Schrödinger, cuyo comportamiento asintótico es

(r; �) jr!1 = eikz +i

k

eikr

r

1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

Pl (cos �) :

Comparando esta expresión con la forma general de la solución asintótica del problema dis-persivo, ecuación (8), obtenemos la siguiente expresión exacta para la amplitud de dispersiónpor una esfera impenetrable:

A (�) =i

k

1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

Pl (cos �) : (65)

De (65) siguen, inmediatamente, la sección e�caz diferencial

d�

d=1

k2

�����1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

Pl (cos �)

�����2

y la sección e�caz total elástica

� =4�

k2

�����1Xl=0

(2l + 1)jl (ka)

h(1)l (ka)

�����2

:

Debido a la interferencia entre los términos que componen a la sección e�caz diferencial,notamos que ella presenta una serie de máximos y mínimos conforme cambia el ángulo �.Para ka � 1 hay un máximo muy acentuado en la dirección hacia adelante y oscilacionesque decrecen rápidamente alrededor de la sección e�caz diferencial clásica a2

4(ver �gura).

Sección e�caz diferencial para la dispersión por una esfera dura, en el caso ka� 1:

Para ka � 1 se cumple que jl (ka) =h(1)l (ka) � (ka)2l+1, por lo que la contribución

dominante proviene de la onda s. En este caso, y como es usual a bajas energías, la dispersiónpor el potencial central de corto alcance es isotrópica:

d�

d= a2

y la sección e�caz total es cuatro veces la sección clásica de una esfera impenetrable o dosveces la sección e�caz total de una esfera perfectamene absorbente

� = 4�a2:

25

Dispersión inelásticaEl término inelástico es aplicado a procesos en los cuales el estado interno de las partículas

que intervienen en éste cambia, por ejemplo, la excitación de átomos, ionización de átomos,desintegración del núcleo, desintegración o creación de partículas.Cada uno de los procesos que tiene lugar en la colisión de partículas es llamado canal

de reacción. Si el proceso es compatible con las leyes de conservación, el canal se cali�ca deabierto.Si hay varios canales de reacción diferentes la expresión asintótica de la función de onda

de las partículas que colisionan es la suma de términos, cada uno de los cuales correspondea uno de los canales de reacción. Estos canales también incluyen un canal de entradacorrespondiente a la dispersión elástica.Como en la dispersión elástica, la función de onda correspondiente al canal de entrada

puede ser representada como la suma de una onda esférica convergente y una divergente,

=1

2k

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos �)

�(�1)l e

�ikr

r� Sl

eikr

r

�. (66)

Ahora, los Sl no están determinados por la fórmula (62) pero son generalmente cantidadescomplejas con módulo menor que la unidad. Luego, el �ujo de partículas en el canal deentrada que viaja desde el centro dispersor es menor que el �ujo de partículas incidentes enel centro (ver (63) y (64)).Cálculos similares al utilizado para obtener la fórmula (58) dan la siguiente expresión

para la amplitud de dispersión,

A (�) =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1) (Sl � 1)Pl (cos �) .

Ésta di�ere de (58) en que contiene la cantidad Sl como un valor absoluto menor que launidad, en lugar de e2i�l.Introduciendo esta expresión en la fórmula de d� (�; ') obtenemos la sección e�caz difer-

encial de dispersión elástica,

d�el = jA (�)j2 d

= � 1

4k2

Xll0

(2l + 1) (2l0 + 1) (S�l � 1) (Sl0 � 1)PlPl0d,

luego,

�el = � 1

4k2

Xll0

(2l + 1) (2l0 + 1) (S�l � 1) (Sl0 � 1) 2�2

2l + 1�ll0

=�

k2

Xl

(2l + 1) jSl � 1j2

=�

k2

1Xl=0

(2l + 1) j1� Slj2 .

26

La sección e�caz parcial de dispersión elástica es

�l;el =�

k2(2l + 1) j1� Slj2 . (67)

Para encontrar la sección e�caz de dispersión inelástica vamos a rodear el centro dispersorcon una super�cie esférica imaginaria de radio grande R y a evaluar el �ujo de partículas �,determinado por la función (66), a través de esta super�cie; tenemos así,

� =~2mi

I � �@

@r�

@ �

@r

�R

R2d (68)

(tomamos la componente radial del gradiente a la distancia R desde el centro). Despre-ciando términos del orden de 1

r2en comparación con términos del orden de 1

r(R es grande),

obtenemos la siguiente expresión para la derivada de la función (66) con respecto a r,

@

@r=

1

2kr

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos �)h�ik (�1)l e�ikr � ikSle

ikri.

La derivada @ �

@rdi�ere de la anterior sólo en los signos de i. Sustituyendo en (68),

� =~2mi

1

4k2

1Xl=0

(2l + 1)2 (�2ik)�1� jSlj2

� IP 2l d

= � ~4mk

1Xl=0

(2l + 1)2�1� jSlj2

�2�

2

2l + 1

= � �~mk

1Xl=0

(2l + 1)�1� jSlj2

�. (59.4)

El �ujo es negativo porque jSlj < 1. Viendo que un cierto número de partículas experi-mentan dispersión inelástica o absorción, el �ujo de partículas dispersadas elásticamente esmenor que el de partículas incidentes en el centro dispersor.El �ujo de partículas que experimenta dispersión inelástica es evidentemente igual al �ujo

(59.4) tomado con signo opuesto,

�inel =�~mk

1Xl=0

(2l + 1)�1� jSlj2

�.

Dividiendo este �ujo por la densidad de �ujo de partículas incidentes jinc, obtenemos, apartir de

� =�dispjinc

;

la sección e�caz total de dispersión inelástica (sobre todos los canales inelásticos),

�inel =�

k2

1Xl=0

(2l + 1)�1� jSlj2

�. (69)

27

Cada término de la suma es una sección e�caz parcial de dispersión inelástica,

�l;inel =�

k2(2l + 1)

�1� jSlj2

�. (70)

Cuando Sl = 1, la expresión (70) se anula -la dispersión inelástica de partículas con un ldado está ausente. El caso Sl = 0 corresponde a la absorción completa de partículas con ldado. En este caso, por las fórmulas (67) y la (69) tenemos

�l;el = �l;inel =�

k2(2l + 1) .

Cuando la sección e�caz (70) es no nula, la sección (67) es también no nula. Aquí, laexistencia de canales de reacción inelásticos siempre conduce a dispersión elástica.

Ejercicio resuelto:

Demuestre que en el caso general de la dispersión inelástica, la siguiente fórmula, querelaciona la sección e�caz de dispersión total � = �el + �inel y la amplitud de dispersiónelástica para � = 0, es válida:

� =4�

kImA (0)

Respuesta.Usamos el desarrollo de A (�), �el y �inel en términos correspondientes a los diferentes

valores del momento angular orbital en la siguiente forma:

A (�) =1

2ik

1Xl=0

(2l + 1) (Sl � 1)Pl (cos �) ;

�el =�

k2

1Xl=0

(2l + 1) j1� Slj2 ;

�inel =�

k2

1Xl=0

(2l + 1)�1� jSlj2

�:

Para � = 0 =) Pl (1) = 1 y consideremos que podemos escribir Sl como la suma de unaparte real SlR y otra imaginaria SlI . De esta forma es fácil ver que la parte imaginaria deA (0) es igual

A (0) =1

2k

1Xl=0

(2l + 1) (1� SlR) :

La sección e�caz total �, según el desarrollo de �el y �inel, es

� =�

k2

1Xl=0

(2l + 1)�j1� Slj2 +

�1� jSlj2

��;

donde �j1� Slj2 +

�1� jSlj2

��= 2 (1� SRl) :

28

Sustituyendo este resultado en la expresión anterior se obtiene la forma de � que se buscaba.

Problemas Propuestos

1. Demuestre que cuando una partícula de masa m colisiona elásticamente con unapartícula en reposo de masa M , el retroceso de ésta es siempre dentro del hemisferio frontalen el sistema L (sistema de laboratorio).2. Supóngase que en la situación descrita en el problema anterior, la dispersión tiene

simetría esférica en el sistema CM (sistema centro de masa). ¿Cuál es la distribución angularde las partículas del blanco en el sistema L?3. Usar la aproximación de Born para encontrar la amplitud de dispersión además de la

sección total y diferencial para el potencial exponencial

V = V0e� rR .

4. Lo mismo que en el problema 3 pero considerando un pozo de potencial,

V =

��V0, r < R0, r � R.

5. El efecto de apantallamiento de los electrones en un átomo neutro modi�ca la inter-acción electrostática entre un átomo y una partícula incidente cargada. Una aproximaciónrazonable a este efecto de apantallamiento del potencial coulombiano es,

V (r) =Zze2

re�

rR ,

que en la forma es igual al conocido potencial de Yukawa. En esta expresión, Z es el númeroatómico del átomo, ze es la carga de la partícula incidente y R es el radio atómico efectivo.a) Demostrar que de la aproximación de Born se obtiene el resultado exacto para la

sección e�caz de Rutherford en el límite de R!1.b) Usando la aproximación de Born estimar el intervalo angular para el cual la sección e�-

caz diferencial de dispersión de un potencial coulombiano de este tipo di�ere de la dispersiónde Rutherford en los casos siguientes:i) una partícula alfa de 5 MeV dispersada por oro;ii) un protón de 1 MeV, dispersado por carbón;iii) un electrón de 100 eV dispersado por carbón.Por facilidad tomar R = 1Å en todos los casos y suponer que todas las energías se toman

en el sistema del centro de masa.6. Muestre que la sección e�caz diferencial de dispersión en la aproximación de Born

debida a una barrera esférica de radio R y altura �ja V0 es

d�

d=

�2mV0~2

�2[sin qR� qR cos qR]2

q6.

7. a) Para una energía de 5 MeV en el centro de masa, los desfasamientos que describenla dispersión elástica de un neutrón por un núcleo, tienen los valores siguientes:

�0 = 32:50, �1 = 8:6

0, �2 = 0:40.

29

Suponiendo que todos los demás son despreciables, dibujar d�dcomo función del ángulo

de dispersión. ¿Cuál es la sección e�caz total �? Por sencillez, tomar la masa reducida delsistema como la masa del neutrón.b) Hacer lo mismo en el caso de cambiar los signos de los tres desfasamientos.c) Hacer lo mismo en el caso en que se cambia sólo el signo de �0:d) Usando los resultados de la parte a), calcular el número total de neutrones dispersados

por segundo de un haz de 1010 neutrones por cm2 por seg, y área transversal de 2 cm2, queincide sobre una lámina conteniendo 1021 núcleos por cm2. ¿Cuántos neutrones se dispersanpor segundo hacia un contador a 900 respecto al haz incidente que subtiende un ángulo sólidode 2� 10�5 esterradianes?8. Protones con energía de 0:3 MeV son dispersados por una hoja delgada de aluminio.

Se observa que el número de protones dispersados hacia atrás es 0:96 veces el valor predichopara un potencial de interacción coulombiano. Interpretando esta discrepancia como debidaa los efectos de apantallamiento y suponiendo que esta modi�cación del potencial afectasensiblemente sólo a la onda s, determine el cambio en el valor de �0. Especi�que si se tratade una interacción atractiva o repulsiva.9. Neutrones con energía de 4 MeV en el sistema CM son dispersados por una hoja �na

de núcleos pesados. Se observan los siguientes corrimientos importantes de fase: �0 = 26:10,�1 = 7:6

0, �2 = 0:30. El �ujo incidente es de 1011 neutrones/cm2 seg y el blanco posee unadensidad de 1021 núcleos/cm2. Use estos datos para determinar:a) la sección e�caz total de dispersión;b) el número medio de neutrones que inciden cada segundo sobre sendos detectores con

apertura de 10�5 esterradianes, colocados a 900 y 1800 respecto del haz incidente.

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