Um enfoque Bayesiano do modelo decaptura-recaptura na presena de covariveisMarcelo de PaulaOrientador: Prof. Dr. Carlos Alberto Ribeiro DinizCo-Orientador: Prof. Dr. Jos Galvo LeiteDissertao apresentada ao Departamento deEstatstica da Universidade Federal de So Car-los - DEs/UFSCar, como parte dos requisitospara obteno do ttulo de Mestre em Estats-tica.So CarlosFevereiro de 2006.+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++"Parai de armazenar para vs tesouros na terra, onde a traae a ferrugem consomem, e onde ladres arrombam e furtam.Antes, armazenai para vs tesouros no cu, onde nem a traanem a ferrugem consomem, e onde ladres no arrombam nem furtam.Pois, onde estiver o teu tesouro, ali estar tambm o seu corao"(Baseado no livro bblico de Mateus Captulo 6 versus 19-21)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++"Pois a sabedoria deste mundo tolice perante Deus;porque est escrito: Ele apanha os sbios na sua prpria astcia"(Baseado na primeira Epstola aos Corntios Captulo 3 versus 19)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++"Se voce tem uma ma e eu tenho outra;e ns trocamos as mas, ento cada um ter sua ma.Mas se voce tem uma idia e eu tenho outra, e ns as trocamos;ento cada um ter duas idias"(George Bernard Shaw)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++"No acredito em sucesso sem disciplina, dedicao,desprendimento e dor""S verdadeiramente feliz quem notem medo do ridculo"Marcelo de Paula (2006)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++AgradecimentosAgradeo, Deus que me protege, me guia em direo ao bem e que me abenoou com umasade excelente, alegria de viver e fora de vontade.ao meu pai Jos de Paula que jamais foi de encontro as minhas aspiraes,a minha me Antnia Ap. Peliceri de Paula que me ajudou de forma incondicional,ao meu irmo Mrcio de Paula que sempre acreditou em minha capacidade e jamaisduvidou dos meus sonhos, e que me ajudou nos momentos de diculdades nanceiras,ao meu irmo Luz Carlos de Paula pela compreenso ao longo deste trabalho,ao professor Dr. Carlos Alberto Ribeiro Diniz pela orientao e pelas idias durantetodo este trabalho.ao professor Dr. Jos Galvo Leite pela co-orientao. CAPES (Coordenao de Aperfeioamento Pessoal de Nvel Superior) pela assistn-cia nanceira,ao professor Dr. Jorge Alberto Achcar pelas correes em meu exame de qualicao,ao professor Dr. Josmar Mazucheli por integrar a banca e pelas idias sugeridas,aos amigos Carla (Karlotinha), Fabola (Biolinha), Erlandson (Mister), Josi (Josi-creide), Elosa (Elouka), Daiane, Daniela, Glaucy (Glau-glau) e Tiago pela grande amizadenas horas alegres e difceis,ao meu primo Beto que tantas vezes me ajudou, quer com caronas, quer com incentivosnos meus momentos de desespero, e que me orientava a no desistir do curso.a Dona Luza pelos conselhos e sabedoria de vida que levarei pra sempre comigo.aos colegas, professores e funcionrios do Departamento de Estatstica da UFSCar,pela grande amizade.ResumoEste trabalho tem como objetivo principal a insero de covariveis nas probabi-lidades de captura do mtodo de captura-recaptura mltipla para populao fechada. Nocaso de populao animal, por exemplo, fatores como clima, poca do ano, tamanho doanimal, podem afetar a probabilidade de captura do animal. Revisamos os conceitos dametodologia, fazemos um breve estudo sobre a sensibilidade das estimativas a posterioriem relao a escolha dos hiperparmetros, apresentamos uma reparametrizao para aprobabilidade de captura em situaes especcas e, motivados nessa reparametrizao,inserimos covariveis no modelo proposto por Castledine (1981) por meio de mtodosbayesianos. A anlise bayesiana foi feita atravs de vrios estudos de simulao estocsticavia MCMC (Monte Carlo Markov Chain) com dados simulados e reais para obter osresultados a posteriori do tamanho populacional.Palavras-chave: Captura-recaptura mltipla, populao fechada, covariveis,anlise bayesiana, simulao estocstica.AbstractThis work has as main objective to insert covariates in the capture probabili-ty of the multiple capture-recapture method for closed animal population. Factors likeclimate, seasons of the year, animal size, could aect the animal capture probability.We revise the methodology concepts, we make a study about the posteriori parameterssensibility, we present new parameters for the capture probability in specic situationsand we insert covariates in the model used by Castledine (1981) through bayesian me-thods. The bayesian analysis was made through several studies of stochastic simulationthrough MCMC (Monte Carlo Markov Chain) with simulated and real data to obtain thepopulation size posteriori results.keywords: Multiple capture-recapture, closed population, covariates, bayesiananalysis, stochastic simulation.Sumrio1 Introduo 12 Mtodo da captura-recaptura simples e mltipla 42.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Captura-recaptura simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Outros estimadores para captura-recaptura simples . . . . . . . . . . . . . 52.4 Captura-recaptura mltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Algumas aplicaes da captura-recaptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.1 Estudos sociais e epidemiolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.2 Aplicaes em oceanograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5.3 Aplicao em dinmica de frota de veculos . . . . . . . . . . . . . . 152.5.4 Modelagem de demograa de insetos . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.5 Estimao da taxa de sobrevivncia de aves marinhas pr-reprodutivascom maturidade tardia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Mtodo de captura-recaptura mltipla para uma populao fechada 173.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Descrio do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Modelo estatstico e a funo de verossimilhana . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Estimativas de Mxima Verossimilhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 O modelo Bayesiano de captura-recaptura 254.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Distribuies a priori dos parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26SUMRIO vi4.2.1 Critrios e metodologias abordadas por diferentes autores nos lti-mos anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Distribuio a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.1 Distribuies a priori no-informativas para o tamanho populacional304.3.2 Distribuio a priori informativa para o tamanho populacional . . . 334.3.3 Um caso especial: modelo hierrquico para a mdia da Poisson . . . 344.4 Estudos de Simulao Estocstica para o mtodo de captura-recaptura compopulao fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.1 Um breve estudo da inuncia dos hiperparmetros nas estimativasa posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.2 Dados reais de captura-recaptura utilizado por Castledine (1981) . . 425 Uma reparametrizao para a probabilidade de captura 485.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2 Modelo estatstico e funo de verossimilhana . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Distribuio a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Estudo de simulao com a reparametrizao da probabilidade de captura . 515.5 Aplicao com dados reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 Insero de Covariveis na probabilidade de captura 626.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2 Modelo estatstico e funo de verossimilhana . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Modelo com presena de uma covarivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.1 Resultados de simulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4 Modelo com presena de duas covariveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4.1 Resultados de simulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.4.2 O problema da no identicabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.5 Modelo com presena de trs covariveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.5.1 Resultados de simulao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5.2 O problema da no identicabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 108SUMRIO vii7 Discusso e consideraes nais 1167.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Sobre a sensibilidade das estimativas a posteriori dos parmetros em re-lao a escolha dos hiperparmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3 Sobre a distribuio a priori informativa de Poisson para o tamanho po-pulacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.4 Sobre a reparametrizao da probabilidade de captura . . . . . . . . . . . . 1187.5 Sobre o modelo na presena de covariveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188 Apndices 1198.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.2 Alguns programas desenvolvidos no Software R . . . . . . . . . . . . . . . 119Captulo 1IntroduoO mtodo da captura-recaptura utilizado na estimao do tamanho populaci-onal. A proposta deste trabalho reescrever as probabilidades de captura dos animaiscomo uma funo de covariveis que podem denotar, por exemplo, o tamanho do animal,a temperatura, o clima do ambiente, etc. Tais fatores podem alterar as probabilidades decaptura dos animais, tornando o modelo proposto por Castledine (1981) mais realstico.Historicamente, Laplace (1786) utilizou o mtodo de captura-recaptura para esti-mar o tamanho da populao da Frana. Em ecologia, o primeiro pesquisador a empregareste mtodo foi o dinamarqus Carl G. J. Petersen (1896) estudando o uxo migratriode peixes no mar Bltico.No sculo XX, um dos primeiros pesquisadores a utilizar o mtodo de captura-recaptura foi Frederick Lincoln (1930) estimando o tamanho da populao de patos sel-vagens da Amrica do Norte. A partir da dcada de 50 outros pesquisadores publicaramvrios trabalhos para estimar parmetros populacionais por captura-marcao-recaptura,tais como Chapman (1954), Darroch (1958, 1959), Parker (1963), Jolly (1965, 1982),Burnham (1972), Burnham et al. (1979, 1987), Seber (1965, 1982, 1986, 1992), Cowan etal. (1986), Pollock (1974, 1991), Pollock et al. (1983, 1984), Bunge e Fitzpatrick (1993),Bell (1993), He et al. (2002), Wang (2002).A abordagem bayesiana sobre problemas de captura-recaptura vem sendo ampla-mente utilizada, para citar alguns trabalhos, Hunter e Griths (1978), Castledine (1981),Smith (1988,1991), George e Robert (1992), Ananda (1997), Yoshida (1996), Yoshida etal. (1999), Leite et al. (2000), King et al. (2001).1. INTRODUO 2A ecincia desta abordagem para a estimao de parmetros populacionais evidenciada principalmente quando o pesquisador dispe de informaes "a priori" arespeito destes parmetros.Nos ltimos anos houve um grande progresso na rea computacional com o sur-gimento de bons algortmos, entre eles os algortmos de Gibbs Sampling ("Amostrador deGibbs", ver Geman e Geman (1984), Gelfand e Smith (1990), Casella et al. (1992), Smithet al. (1993), Gamerman (1996)) e o algortmo de Metropolis Hastings (ver Metropolis etal. (1953), Hastings (1970), Chib et al. (1995)).Tais algortmos so mtodos iterativos de simulao estocstica via Monte CarloMarkov Chain (MCMC) que se constituem numa aproximao numrica facilitandoos clculos dos modelos bayesianos de captura-recaptura. Neste trabalho, a convergnciade tais algortmos foi monitorada pelo pacote CODA - Convergence Diagnostics andOutput Analysis Software for Gibbs Sampling Output (Best et al. 1995).Implementamos o modelo proposto por Castledine (1981) inserindo covariveisnas probabilidades de captura e analisamos seu efeito nas estimativas.No Captulo 2 discutiremos os conceitos e denies do mtodo de captura-recaptura simples e mltipla. Introduziremos o modelo proposto por Castledine (1981)para populaes fechadas.No Captulo 3 aprofundaremos no mtodo de captura-recaptura mltipla parapopulao fechada. Introduziremos o modelo estatstico, a funo de verossimilhana bemcomo as estimativas de mxima verossimilhana para o modelo utilizado por Castledine(1981).No Captulo 4 daremos o enfoque bayesiano para o modelo de captura-recapturaproposto por Castledine (1981),discutiremos as distribuies a priori bem como oscritrios e metodologias abordadas por diferentes autores nos ltimos anos. Como prelimi-nar deste estudo de simulao faremos uma breve anlise da sensibilidade das estimativasa posteriori em relao a escolha dos hiperparmetros. Tambm abordaremos uma estru-tura hierrquica "Poisson-Gama"(ver George e Robert, 1992).No Captulo 5 apresentaremos uma reparametrizao para a probabilidade decaptura am de vericar sua eccia e vantagens em relao ao modelo original. Faremosum estudo amplo de simulao com diferentes probabilidades de capturas para comparar1. INTRODUO 3os resultados entre o modelo original proposto por Castledine (1981) e o modelo com aprobabilidade de captura reparametrizada.No Captulo 6 faremos a insero de covariveis nas probabilidades de captura, de-terminando o modelo estatstico e a funo de verossimilhana. Abordaremos o problemada no-identicabilidade dos parmetros, convergncia e correlao entre os parmetros.No Captulo 7 faremos a discusso e as consideraes nais sobre este trabalho.Captulo 2Mtodo da captura-recapturasimples e mltipla2.1 IntroduoO interesse em estimar o tamanho de populaes surgiu em meados do sculoXVII, segundo White et al. (1982). Basicamente, existem trs abordagens para a esti-mao do tamanho populacional, a partir de amostras obtidas pelo mtodo de captura-recaptura: a primeira a abordagem clssica (Otis et al. (1978), Engen (1978)), a segunda a Bayesiana (Smith (1988), Mingoti (2000), Wang (2002), Madigan et al. (1997), Cas-tledine (1981)) e a terceira a relacionada com a aplicao de modelos log-lineares paratabelas de contingncia incompletas (Coull et al.(1999), Comarck (1989), Bishop et al.(1975), Abeni (1994), Rivest et al. (2004)). Neste trabalho faremos o estudo com oenfoque baseado na abordagem bayesiana.2.2 Captura-recaptura simplesUm estudo na rea Ecolgica, desenvolvido pelo bilogo dinamarqus Carl G. J.Petersen (1896), conhecido como "Mtodo de Petersen", o mtodo de captura-recapturamais simples para se estimar o tamanho de uma populao.O mtodo de captura-recaptura simples (Mtodo de Petersen) consiste primeira-mente na seleo de uma amostra aleatria sem reposio de tamanho :1 da populao.2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 5Em seguida os animais capturados so marcados, devolvidos populao e aps umcerto perodo de tempo selecionada uma segunda amostra aleatria sem reposio detamanho :2 da populao. Observando o nmero : de animais marcados na segundaamostra podemos obter uma estimativa ` para o tamanho populacional `, igualando asrazes entre o nmero de animais marcados na populao antes da seleo da segundaamostra e o tamanho da populao, a1. , e entre o nmero de animais marcados na segundaamostra e o tamanho da segunda amostra,na2. Ento, da igualdade a1. =na2 segue que talestimativa dada por` = :1:2:. (2.1)Na literatura, o estimador ` conhecido como estimador de Petersen de `(Seber, 1982). Tal metodologia j havia sido utilizada anteriormente por Laplace em1786 para estimar o tamanho da populao da Frana (Seber, 1982) e tambm por outrosautores como Frederick Lincoln (1930), um dos primeiros pesquisadores, no sculo XX,a utilizar o mtodo de captura-recaptura.Somente a partir dos anos 50 que surgiramos modelos mais sosticados e complexos que conhecemos atualmente. Contudo, quandono observarmos nenhum animal marcado durante o processo, ou seja, quando : assumeo valor zero, ` innito. No entanto h outros estimadores que contornam esse problemaconforme mostramos a seguir.2.3 Outros estimadores para captura-recaptura sim-plesNo caso de captura-recaptura em apenas dois estgios (simples), o estimadormais comum o de Petersen (1896). Mas tambm podemos destacar mais dois estimadoresmuito importantes encontrados na literatura:(1). Estimador de Chapman (1951):` = (:2 + 1) (:1 + 1)(: + 1)1. (2.2)(2). Estimador de Bailey (1951):2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 6` = :2 (:1 + 1)(: + 1). (2.3)Nos dois casos acima : representa o nmero observado de animais recapturados(marcados) entre as amostras :1 e :2 respectivamente. fcil observar que medida queo nmero de elementos novos cresce o valor de ` estimado tambm cresce. Portanto,quanto maior o nmero de recapturados menor a estimativa do valor real de `.Podemos observar que, ao contrrio do estimador de Petersen, o estimador deChapman (1951) contorna o problema quando : assume valor zero, fornecendo estimati-vas nitas para `. Neste caso o valor mximo que ` assume :` = [(:2 + 1) (:1 + 1) 1] < .E no caso do estimador de Bailey (1951), o valor mximo que ` assume :` = [:2 (:1 + 1)] < .2.4 Captura-recaptura mltiplaO mtodo de Petersen foi estendido por Schnabel (1938) para uma srie de: amostras (:2) cujos tamanhos so dados pelo vetor (:1. :2. .... :c). Neste caso, aestimativa de ` dada por:` =c

)=2:)`)c

)=2:). (2.4)onde:) : o tamanho da j-sima amostra, , = 1. 2. .... :.:) : o nmero de elementos marcados na j-sima amostra, , = 1. 2. .... :.`) : o nmero de elementos marcados na populao anterior a j-sima amostra,, = 1. 2. .... :.Podemos notar que para : = 2, o estimador dado em (2.4) se resume no estimador2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 7de Petersen:` = :2`2:2= :2:1:2 .A literatura sugere uma variedade de modelos tericos baseados em amostragemmltipla para a estimao do tamanho de uma populao fechada.Para Seber (1982), os mais robustos e proveitosos para a Ecologia so: o mtodooriginal de Schnabel (1938), o mtodo de regresso de Schumacher e Eschmeyer (1943) eo mtodo de Darroch (1958).Para o caso de captura-recaptura mltipla, podemos ter um nico estgio de mar-cao (ver por exemplo Shimizu, 2002), ou seja, somente a primeira amostra de tamanho:1 marcada, depois conta-se o nmero de animais marcados nas demais amostragens.Podemos notar que se tivermos somente duas pocas (:1 e :2) esse mtodo se resume nomtodo de captura-recaptura simples.Temos tambm o mtodo de captura-recaptura mltipla em que h vrios estgiosde marcao (ver por exemplo Castledine, 1981). O procedimento de amostragem envolveselecionar uma amostra aleatria de tamanho :1 de uma populao de animais marcando-os e devolvendo-os populao. Aps um certo perodo de tempo seleciona-se umasegunda amostra de tamanho :2 e conta-se o nmero de animais marcados e marca-se os animais no marcados, devolvendo-os populao. Aps um certo perodo detempo seleciona-se uma terceira amostra de tamanho :3 e conta-se o nmero de animaismarcados, marca-se os animais no marcados e assim por diante. Esse processo realizado: vezes (:2). Quando temos : = 2 pocas de amostragem, o mtodo se reduz ao mtodode captura-recaptura simples.As tcnicas de captura-recaptura podem ser usadas para populaes fechadas ouabertas. Uma populao fechada aquela que no muda seu tamanho durante o perodode estudo, ou seja, aquela cujos efeitos de nascimento, mortalidade e migrao no soconsiderados (Comack, 1992). Uma populao aberta aquela que durante a realizao doexperimento se altera em tamanho e em composio por ocorrncia de nascimentos, mortese migraes.Para o estudo de populaes abertas, vrios outros autores destacaram-se,entre os mais citados esto Jolly e Seber (1965), Pollock (1991) e Schwarz e Arnason(1996).2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 8Para populaes abertas necessrio incorporar no modelo parmetros que des-crevam os processos de nascimento, morte ou migrao que podem ocorrer durante operodo de coleta de dados. Alguns modelos para populaes abertas so: Jolly-Seber quederiva de dois trabalhos publicados independentemente por Jolly (1965) e Seber (1965) eo modelo de Parker (1955).No vamos entrar em detalhes em relao a estes modelos.Maiores detalhes podem ser obtidos em Abuabara e Petrere Jr. (1997).Alm da estimao pontual, possvel tambm construir-se intervalos de conanapara o valor verdadeiro de `. Uma forma simplista aquela que utiliza a distribuionormal como uma aproximao para a construo dos intervalos de conana. No en-tanto, metodologias mais precisas esto implementadas em softwares especcos para aestimao de tamanhos populacionais via modelos probabilsticos clssicos. Particular-mente, o software Capture (Rexstad e Burnham, 1991; Otis et al., 1978) tem sido muitoutilizado por conter todos es estimadores usuais implementados para dois ou mais estgiosde captura. Este software de fcil utilizao, funciona na forma de menu e est escritona linguagem Fortran.H tambm um programa de Captura-Recaptura (Software) desenvolvido porSilva et al. (1998) do departamento de estatstica da UFMG. Porm, todas as progra-maes desenvolvidas para o estudo de simulao estocstica via Monte Carlo MarkovChain (MCMC) deste trabalho foram implementadas no Software R cuja convergn-cia dos algortmos Gibbs Sampling ("Amostrador de Gibbis") e Metropolis Hastings foimonitorada pelo pacote CODA - Convergence Diagnostics and Output AnalysisSoftware for Gibbs Sampling Output (Best et al. 1995). Mais detalhes sero vistosno Captulo 4 quando adotaremos o procedimento bayesiano para o modelo.2.5 Algumas aplicaes da captura-recaptura2.5.1 Estudos sociais e epidemiolgicosA maior parte das aplicaes do mtodo de captura-recaptura diz respeito inferncia sobre populaes animais (Seber (1986, 1992), Boswell et al. (1988), Chan-drasekan et al. (1949), Pollock (1974, 1991), Pollock et al. (1983, 1984), Raftery et al.(1998), Beverton et al. (1957)). No entanto, mais recentemente, esta metodologia passou2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 9a ser utilizada em estudos sociais e epidemiolgicos com o objetivo de estimar tamanhosde populaes humanas de difcil acesso. Algumas referncias interessantes so Wittes(1974), Mastro et al. (1994), McKeganey et al. (1992), LaPorte et al. (1992, 1995),Bernillon et al. (2000), Ismail et al. (2000).A utilizao da metodologia de captura-recaptura para a implantao de sistemasrotineiros para a vigilncia de doenas certamente uma das aplicaes mais interessantesda tcnica, embora tambm seja a de mais difcil implementao.Para que um sistemapossa ser implantado a um custo que viabilize a sua manuteno, necessrio que este-jam disponveis fontes de dados em sade diversicadas que permitam cobrir diferentessegmentos da populao. Estas fontes devem apresentar os seguintes atributos: possibi-litar a captao e processamento gil dos dados, contemplar informaes sobre o nome eendereo de residncia dos pacientes e apresentar informaes vlidas.A utilizao da metodologia de captura-recaptura no mbito da epidemiologiaainda bastante recente, e a maioria dos estudos citados a seguir aplicaram a metodolo-gia para a avaliao da cobertura de sistemas de registros e renamento das estimativas deincidncia e prevalncia de doenas em estudos pontuais. Uma das poucas experincias deaplicao da tcnica para a vigilncia rotineira de uma doena envolve o projeto mundialpara a avaliao do diabetes mellitus insulino-dependente (Green et al. (1992), IWGDMF(1995b)).Papoz et al.(1996) alertam para a diculdade da utilizao desta metodolo-gia em pases em desenvolvimento em funo da baixa disponibilidade de sistemas deinformao em sade.Nos ltimos anos, porm, pode ser observado um crescimento da difuso da tec-nologia de informtica em nosso pas, o que tornou possvel o acesso gil a bases dedados com informaes variadas e desagregadas sobre mortalidade, internaes hospita-lares, registro de nascidos vivos, entre outras.Tais bancos de dados representam fontesimportantes que podem ser empregadas rotineiramente na vigilncia de doenas.A idia de estimar o tamanho de uma populao com uma determinada carac-terstica (por exemplo, presena de doena) no lugar de enumerar todos os indivduosque a compem, no estranha aos epidemiologistas. Na realidade, a extrapolao deresultados para a populao fundamentada na observao de uma amostra de indivduos amplamente empregada na pesquisa epidemiolgica, sendo a base dos inquritos epi-2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 10demiolgicos desenvolvidos para a estimativa da prevalncia de doenas na populao.LaPorte (1992) fez um estudo da incidncia de infarto do miocrdio aplicando as tcnicasde captura-recaptura, porm, LaPorte (1993, 1994) salienta que estes estudos so caros,demorados e cobrem reas geogrcas reduzidas, fazendo com que a sua aplicao para oplanejamento e avaliao dos servios e aes de Sade Pblica seja limitada.Listas de doenas de noticao compulsria, estatsticas hospitalares e de outrosservios de sade, registro de bitos, entre outros, so fontes de dados sobre morbidadeusualmente disponveis. A utilizao conjunta de duas ou mais destas fontes e a apli-cao da metodologia de captura-recaptura so uma alternativa barata e efetiva para omonitoramento de doenas na populao.Nas aplicaes em epidemiologia, cada lista (fonte de morbidade) consideradauma amostra aleatria simples da populao alvo (Wittes e Sidel, 1968). "Ser capturadopor uma amostra"seria substitudo por "estar registrado em uma lista"(IWGDMF, 1995a).Vrios autores presentes na literatura apresentam trabalhos com o interesse em estimar onmero de elementos no-observveis em uma populao ou, equivalentemente, estimar otamanho populacional, utilizando mltiplas listas ou ocasies amostrais com estrutura dedependncia atravs de modelos log-lineares.Cada elemento da lista deve ser identicadounivocamente ("marca") de maneira a permitir o conhecimento do nmero de indivduosque aparece simultaneamente em mais de uma lista (relacionamento de registros).Esteidenticador geralmente formado com base na combinao de dois ou mais atributos taiscomo: nome, sobrenome, data de nascimento, endereo, etc.Ao contrrio do observadonas aplicaes em Ecologia, no existe uma ordenao temporal das amostras (Hook(1992), Hook e Regal (1993, 1995)).As aplicaes da metodologia de captura-recaptura na rea da epidemiologia en-volvem a vigilncia em Sade Pblica, a avaliao da cobertura de registros (por exemplo,registros de nascidos vivos), o renamento de estimativas de incidncia e prevalncia ea derivao de valores plausveis para os limites superior e inferior das estimativas, nassituaes em que estimativas pontuais precisas no possam ser obtidas (Hook e Regal,1995).As limitaes e as solues propostas do mtodo de captura-recaptura aplicadoa epidemiologia pode ser vista em IWGDMF (1995a), Hook e Regal (1995), Hook et al.2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 11(1980), LaPorte (1994), Camargo Jr.e Coeli (1998), White et al.(1982), Wittes et al.(1974), Fienberg (1972), Hilsenbeck et al.(1992), McGilchrist et al.(1996) e Robles etal. (1987).A seguir abordamos brevemente algumas aplicaes recentes do mtodo de captura-recaptura em estudos sociais e epidemiolgicos:Estudos populacionais: Em alguns pases o censo populacional, registros denascimentos e de bitos conseguem contar a maioria da populao, mas no so completos.O mtodo de captura-recaptura, por suas caractersticas, permite fazer estimativas maisprecisas da populao (Wolter (1991), Sekar e Deming (1949)).Incidncia e prevalncia de doenas comuns ou raras: As estimativas deprevalncia e incidncia de doenas tm derivado da combinao de informaes de vriasfontes onde se somam os casos no duplicados. Quando a condio estudada tem altaprevalncia na comunidade, a estimativa de prevalncia feita atravs de uma amostraaleatria (Almeida-Filho et al. 1992). A menos que a condio tenha realmente umaalta prevalncia, o tamanho da amostra aleatria precisa ser proibitivamente grande oque torna o estudo caro, demorado e inecaz por causa da proporo pequena de casosem relao aos no-casos. O mtodo de captura e recaptura permite fazer estimativascorretas de incidncia e prevalncia, mesmo que sejam usados dados provenientes de fontesincompletas. Pode ser usado, portanto, em situaes onde no possvel conhecer onmero exato de casos. Uma grande variedade de doena tem sido estudada utilizando estemtodo, por exemplo: estimativa da dedignidade dos registros de casos de cncer (Robleset al. 1988), a incidncia de infarto do miocrdio (LaPorte et al., 1992), a prevalnciade espinha bda (Hook et al., 1980) e "lbio leporino"(Chapman, 1983), incidncia dedoenas do tecido conjuntivo (McCarty, 1992 e 1993), a incidncia de diabetes em crianas(WHO, 1990) e a incidncia de rubola congnita (Cochi et al., 1989).Populaes esquivas e difceis de encontrar: Algumas populaes so difceisde estudar pois no so encontradas nos servios hospitalares, ou tm altas percentagensde migrao, ou o comportamento a ser estudado estigmatizado pela sociedade ou ile-gal. Nestas, o mtodo captura e recaptura tem sido usado com sucesso, por exemplo:o tamanho da populao dos sem tetos em Londres (Fisher et al., 1994); a prevalnciade usurio de drogas endovenosas em Glasgow, Esccia (Frischer et al., 1991); o nmero2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 12de prostitutas que trabalham na rua, tambm em Glasgow (McKeganey et al., 1992); ea prevalncia de infeco HIV no Bronx, Nova Iorque (Drucker e Vermund, 1989). Osusurios de drogas injetveis constituem um exemplo de uma populao difcil de en-contrar devido ao carter ilegal de suas atividades.Um dos problemas encontrados noslevantamentos populacionais a omisso de informao para a elaborao do diagnstico,isto porque, o indivduo nesta situao teme ser identicado e, com isso, sofrer algum tipode punio devido a caracterstica ilegal desta atividade. Nesta situao, o mtodo decaptura e recaptura pode ser til, uma vez que ele permite a utilizao de fontes de casosonde o problema da indenticao no exista. Frischer (1991) e Frischer et al. (1992)estudaram a prevalncia de usurios de drogas injetveis, utilizando trs fontes: serviosde tratamento de drogados, registro de teste de HIV na Esccia e registro de pessoasapreendidas pela polcia por uso de drogas. Para manter o sigilo no estudo, os detalhes deidenticao dos pacientes no foram registrados, mas foi construdo um algoritmo comas iniciais do nome do paciente, data do nascimento, sexo e, tambm, a primeira parte donmero do cdigo de endereamento postal.Tcnicas de investigao clnica: O mtodo de captura e recaptura podeser utilizado para estimar o volume e a sobrevivncia de clulas vermelhas usando ordio-isotopo para marc-las (Internacional Committee for Standardization in Hematolo-gy, 1980) e, tambm, pode ser usado para estimar o nmero de falsos negativos em pro-cedimentos de rastreamento mdico (Goldberg e Wittes (1978), Goldberg et al. (1980)).Mais recente foi usado para analisar protenas e DNA (Morrissey et al. (1989), Sidow(1992), Sidow et al. (1994)).Vigilncia de doenas no transmissveis em populao idosa: Sistemasde vigilncia baseados na utilizao do mtodo de captura-recaptura representam umaalternativa potencial para o monitoramento de doenas no transmissveis em nosso meio.As estatsticas sobre morbidade na populao idosa brasileira so escassas, o que em parte explicado pelo nmero reduzido de trabalhos cientcos na rea da Terceira Idade (Verase Aves, 1995). Podemos destacar Travassos-Veras (1992), Yazaki e Saad (1990) e Panzram(1987).2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 132.5.2 Aplicaes em oceanograaEm oceanograa podemos destacar o estudo dos organismos marinhos por meiode pesquisas quantitativas orientadas para o estudo da populao (distribuio, abundn-cia etc.), como por exemplo a metodologia de estudo e coleta do ncton (originria dogrego nekts, que nada), ou seja, estes organismos podem nadar com os prpriosmeios e com capacidade suciente para torn-los independentes dos movimentos de guae aptos a realizarem migraes em larga escala, ou ainda amostragem dos InvertebradosBentnicos Marinhos Mveis (ver Lincoln et al. (1979), Omori et al. (1984), Harris etal. (2000)). Comparando-se com o plncton e o bentos, o ncton no constitui um grupomuito diverso e, considerando a totalidade dos organismos, corresponde a apenas cercade 0,1% da biomassa viva nos oceanos.Mas, devido ao tamanho e a visibilidade, o ncton se constitui no grupo maisfamiliar dentre os vrios componentes da comunidade biolgica marinha. Embora algunsmamferos, rpteis, aves e at alguns invertebrados (moluscos cefalpodes lulas e spias),sejam considerados nectnicos, os peixes constituem o grupo mais abundante e, portanto,so os mais estudados.Em parte devido explorao da pesca e necessidade em se obter informaesacerca dos estoques, vrios mtodos foram desenvolvidos desde o incio do sculo passado,tanto para os estudos biolgicos das espcies, como para estudos relacionados com adinmica de populaes, identicao dos estoques, estimativa de abundncia, etc. Essaspesquisas constituem vastos campos de estudo, com inmeras metodologias de coleta eanlise especcas (ver Gulland, 1973, 1975).Nos estudos biolgicos os seguintes aspectos so considerados: gentica,sis-temtica, taxonomia, eletroforese, anlise cromossmica, histologia, bioenergtica, si-ologia, toxicologia aqutica, reproduo, comportamento, autoecologia e ecologia de co-munidades. Em termos de estudos ecolgicos, podemos considerar a autoecologia queinclui a distribuio, abundncia e migrao das espcies, enquanto que a ecologia de co-munidades inclui a diversidade, a interao entre as espcies e a anlise da trama trca.Para os estudos relacionados com a dinmica de populao, so importantes osseguintes parmetros: crescimento e determinao de idade, mortalidade (natural e porpesca) e recrutamento. Dinmica de populao pode ser denido como sendo o estudo de2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 14uma populao como uma unidade vivente, em termos de balano do que entra e o quesai desta populao. A entrada se d atravs do crescimento somtico e recrutamentode novos indivduos para a populao, enquanto que a sada se refere perda devido amortalidade que pode ser natural ou por pesca.Outro dado importante a ser obtido a estimativa de abundncia ou biomassa dapopulao. Essa estimativa feita atravs de modelos matemticos que requerem, almdas informaes sobre os processos biolgicos, dados sobre o esforo de pesca e sobre odesembarque. Atravs deles pode-se fazer previses sobre o desempenho da captura eo impacto de mudanas no esforo de pesca (no de barcos, tipo de redes, etc.) visandoprincipalmente subsidiar as medidas de gerenciamento no sentido de conservar os estoquespesqueiros.A abundncia pode ser considerada em termos relativos ou absolutos.O ndicede abundncia relativa mais utilizada a Captura Por Unidade de Esforo (CPUE). Oprincpio bsico do uso desse ndice que as variaes no CPUE reetem as variaes naabundncia no estoque de peixes. Atravs da observao das variaes deste ndice em di-ferentes profundidades, reas ou pocas, pode-se inferir sobre as mudanas na abundnciaabsoluta do estoque pesqueiro. A CPUE pode ser tomada de diversas formas, dependendodo tipo de pescaria e das espcies capturadas. Alguns exemplos so: peso ou nmero deindivduos capturados por anzol por hora; por armadilha por dia; ou por hora de arrasto.A abundncia absoluta refere-se ao nmero real de indivduos do estoque. Na maioria doscasos este valor estimado atravs de mtodos de avaliao direta como o senso visual e,principalmente atravs de avaliao indireta.Os principais mtodos de avaliao indireta descritos so: Levantamento hidroacs-tico; Marcao e recaptura; Mtodo de anlise de dados estatsticos (captura e esforo);Estimativa do estoque desovante atravs do ictioplncton; Mtodo da rea varrida (Tc-nica da pesca exploratria). As amostras de peixes para os estudos biolgicos, assimcomo informaes sobre a estatstica de pesca so geralmente obtidas de duas formas: dapesca comercial (industrial ou artesanal) ou atravs de pesca experimental realizada porpesquisadores. O primeiro tipo apresenta como vantagem o baixo custo e a abundncia dedados, porm as informaes fornecidas pelos pescadores so, as vezes, pouco conveis.A amostragem a partir de pescas experimentais so conveis e existe a vantagem de2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 15se poder coletar conjuntamente outros dados importantes para o estudo, como os dadoshidrogrcos.Os dados mais importantes obtidos da pesca so os dados estatsticos de captura(quantidade, local, data etc.) e de esforo de pesca (tipo de aparelho, nmero de lancesetc.), bem como os dados biolgicos (freqncia de comprimento, peso, idade etc.). Ascapturas so geralmente muito grandes para serem examinadas nas suas totalidades, demodo que necessrio separar alguns indivduos para serem analisados, isto , fazersubamostragens, o que exige um procedimento cuidadoso e adequado para assegurar umaamostra representativa.2.5.3 Aplicao em dinmica de frota de veculosO mtodo de captura-recaptura foi utilizado por Oliveira et al. (2004) paraestimar a rotatividade (entrada e sada) da frota de veculos que estacionam no centrode Lavras-MG. O perodo estudado incluiu a ltima semana de agosto at a segundasemana de setembro de 2002, que coincidiu com as frias semestrais. Foram utilizadosmodelos generalizados Poisson (log-lineares), segundo apresentado por Cormack (1989).Tais modelos requerem registros de cada indivduo e sua histria de captura anterior,compondo grupos mutuamente exclusivos com a mesma histria de captura. As placasdos veculos foram utilizadas em sua marcao. No foi detectada qualquer fonte deinterao signicativa entre as recapturas, o que indica uma populao fechada geogrcae demogracamente.Estimativas pontuais para o tamanho da frota apresentaram valorprximo de 6.000 veculos.No entanto, os intervalos de conana foram muito amplos.Oliveira et al. (2004) sugeriram o uso de modelos mais parcimoniosos (de populaofechada) resultando em estimativas mais precisas do tamanho da frota.2.5.4 Modelagem de demograa de insetosTradicionalmente entomologistas usam o mtodo JollySeber analytical method(JSAM) para estimar os parmetros demogrcos pelo mtodo de captura-recaptura,embora aproximaes mais poderosas como os modelos os modelos lineares (CLM) tenhamsido desenvolvidos e aplicados com sucesso em vertebrados.2. MTODO DA CAPTURA-RECAPTURA SIMPLES E MLTIPLA 16Schtickzelle et al. (2003) usaram a metodologia de CLM para determinar osparmetros demogrcos da populao adulta de Borboletas do Pntano de Fritillary(Lepidoptera Nymphalidae) e compararam com o mtodo JollySeber analytical method(JSAM). Esta borboleta umas espcies em extino na Europa Ocidental porque seuhbitat fortemente afetado pela mudana de paisagem.Schtickzelle et al.(2003) tra-balharam parmetros populacionais tais como taxa de recrutamento, sobrevivncia, cap-turabilidade, sexo e tamanho da populao. O estudo foi feito com dados reais de capturano perodo de onze anos (1992 2002).Schtickzelle et al. (2003) mostraram que os modelos CLM so ferramentas maispoderosas pois permitem uma tima explorao dos dados de capturarecaptura. Estemtodo permite a identicao de variaes padro de parmetros demogrcos con-siderando caractersticas de vida e histrico de captura. Alm disso d estimativas maisprecisas destes parmetros populacionais e a anlise da populao se torna mais vivel.2.5.5 Estimao da taxa de sobrevivncia de aves marinhas pr-reprodutivas com maturidade tardiaMuitas espcies de aves marinhas exibem maturidade tardia e no regressam ssuas colnias natais para reproduo at passar vrios anos. Com frequncia estudos soconduzidos em tais colnias utilizando o mtodo de captura-recaptura. Porm, devido aausncia dessas aves que foram marcadas quando idade pr-adulta mas que no retornams suas colnias por vrios anos, os dados obtidos nestes grupos no se ajustam devida-mente aos modelos existentes de captura-recaptura. Nichols et al. (1990) apresentam ummtodo para estimar a taxa de sobrevivncia de aves marinhas pr-reprodutivas que apre-sentam maturidade tardia baseados em dados obtidos de uma colnia de Sterna dougalliina ilha Falkner, Connecticut. Tal mtodo ajusta bem os dados e enfatiza a importnciade se ajustar o mtodo de captura-recaptura s situaes especcas.Captulo 3Mtodo de captura-recapturamltipla para uma populao fechada3.1 IntroduoConforme visto no captulo anterior, temos algumas formas variadas para omtodo de captura-recaptura mltipla no que diz respeito aos estgios de marcao.Temos o mtodo da captura-recaptura mltipla com um nico estgio de marcao (verpor exemplo Shimizu (2002), Ananda (1997)) e com vrios estgios de marcao (ver porexemplo Castledine (1981), Wang (2002)). Neste trabalho discutiremos somente o casoem que temos o nmero de estgios de marcao igual ao nmero de amostragens, isto, para cada amostra aleatria sem reposio haver um estgio de marcao conformemodelo utilizado por Castledine (1981).3.2 Descrio do problemaA seguir mostraremos o problema da estimao do tamanho populacional pelomtodo de captura-recaptura mltipla. Esquematicamente temos:3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 18Tabela (3.1). Esquema do mtodo de captura-recaptura mltipla.Amostragens (pocas de Captura)Populao animal fechada 1 2 3:1 j11j12j13 j1c2 j21j22j23 j2c3 j31j32j33 j3c..................` j.1j.2j.3j.c(3.1)Onde ji) a probabilidade do i-simo animal, i = 1. 2. .... `. ser capturado naj-sima amostra (j-sima poca de captura , = 1. 2. .... :). Porm, no podemos falar em"i-simo" animal j que no sabemos qual o valor de ` pois queremos estim-lo. Podemosobservar que trata-se de um problema em estimar `: + 1 parmetros.Por exemplo, sesupuzermos uma populao de tamanho ` = 5000 e zermos o estudo em : = 8 pocasde captura, teremos 40000 parmetros mais a estimao de `, isto 40001 parmetros aserem estimados.Casos particulares:1cCaso: ji) = ji : A probabilidade de captura varia de acordo com o animal inde-pendentemente da poca de captura, isto , xado um animal, ele tem a mesmaprobabilidade de ser capturado em qualquer uma das pocas de captura.2cCaso: ji) = j) : A probabilidade de captura varia de acordo com a poca de capturaindependentemente do animal, isto , xada uma poca de captura, todos os animaistem a mesma probabilidade de serem capturados (ver Castledine, 1981).3cCaso: ji) = j :Esse o caso mais simples dentro do mtodo de captura-recapturamltipla. A probabilidade de captura constante, isto , a probabilidade de captura a mesma para todos os animais e para todas as pocas de captura.3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 193.3 Modelo estatstico e a funo de verossimilhanaNesta seo construmos o modelo estatstico e determinaremos a funo deverossimilhana para o mtodo de captura-recaptura com : estgios de marcao (: _ 2)proposto por Castledine (1981).Adotaremos` : tamanho desconhecido da populao,: : nmero de amostras extradas (conhecido na literatura por pocas de captura),j) : probabilidade de qualquer animal ser capturado na j-sima amostra, , =1. 2. .... :.p : o vetor de probabilidades de captura dado por (j1. j2. .... jc).:) : nmero de animais na j-sima amostra, , = 1. 2. .... :.:) : nmero de animais marcados na j-sima amostra, , = 1. 2. .... :, e`) : nmero de animais marcados na populao imediatamente antes da j-simaamostra, , = 1. 2. .... :.Podemos notar ento que o esquema de amostragem do mtodo de captura-recaptura mltipla detalhado pela Tabela (3.2):Tabela (3.2). Esquema de amostragem., :):)`)1 :1:1 = 0 `1 = 02 :2:2`2 = `1 + :1:1 = :13 :3:3`3 = `2 + :2:2............, + 1 :)+1:)+1`)+1 = `) + :):)............: :c:c`c = `c1 + :c1:c1(3.2)Vamos supor que as seguintes condies so vericadas:1. a populao fechada;2. o nmero de animais marcados na primeira amostra (primeira poca de captura) zero, isto , :1 = 0;3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 203. h inicialmente `1 = 0 animais marcados na populao, isto , no houve nenhumestudo antecessor na referida populao fechada.No caso em que j houve algumestudo anterior, supe-se que os animais perderam as marcas ou so marcas dife-rentes das marcas do estudo atual e, portanto, so desconsideradas;4. em uma dada amostra (poca de captura), todos os animais tm a mesma probabili-dade de ser capturado, desconsiderando o histrico de captura do animal (se ele jfoi capturado anteriormente). Esse o caso particular em que ji) = j), , = 1. 2. .... :,onde : (: _ 2) o nmero de pocas de captura. Em outras palavras, probabili-dade de captura varia de acordo com a poca de captura independentemente doanimal, isto , dada uma poca de captura xada, todos os animais tem a mesmaprobabilidade de serem capturados;5. os animais comportam-se independentemente;6. as marcas no afetam a capturabilidade do animal;7. os animais no perdem suas marcas no intervalo de tempo entre as amostras;8. todas as marcas recuperadas a partir da segunda amostra so registradas;9. h independncia entre as capturas dos animais em uma dada amostragem;10. tambm assumimos independncia entre as pocas de amostragem;3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 21Logo,1 (:1. :1; :2. :2; ...; :c. :c [ p. `)= 1 (:1. :1 [ j1. `)c

)=21 (:). :) [ :1. :1; :2. :2; ...; :)1. :)1; p. `)Como :1= 0 temos= _`:1_ja11(1 j1).a1

c

)=2_` `):):)_jajnj)(1 j)).Ajaj+nj_`:)_jnj)(1 j))Ajnj= _`:1_ja11(1 j1).a1c

)=2_`):)__` `):):)_jaj)(1 j)).aj=c

)=2_`):)_c

)=1_` `):):)_jaj)(1 j)).aj.e comoc

)=1_` `):):)_=`!(` :1)!:1! (` `2)!(` `2:2 + :2)! (:2:2)!

(` `3)!(` `3:3 + :3)! (:3:3)!...(` `c1)!(` `c1:c1 + :c1)! (:c1:c1)!

(` `c)!(` `c:c + :c)! (:c:c)!=_c

)=11(:):))!_`!(` `2)! (` `2)!(` `3)!

(` `3)!(` `4)! ... (` `c1)!(` `c)! (` `c)!(` :)!=_c

)=11(:):))!_`!(` :)!.onde : = :1 + (:2:2) + (:3:3) + ... + (:c:c) =c

)=1:)c

)=1:),temos3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 221 (:1. :1; :2. :2; ...; :c. :c [ p. `) =`!(` :)!c

)=2_`):)_c

)=11(:):))!jaj)(1 j)).aj.Assim, a funo de verossimilhana tal que1(`. p [ 1) = 1 (:1. :1; :2. :2; ...; :c. :c [ p. `) _`:_c

)=1jaj)(1 j)).aj. (3.3)` > :. onde : =c

)=1:)c

)=1:), 0 6 j) 6 1, , = 1. 2. .... :.Em particular, se j) = j. , = 1. 2. .... :, ento a funo de verossimilhana dadaem (3.3) tal que1(`. j [ 1) _`:_js

j=1aj(1 j).cs

j=1aj, ` > :. (3.4)3.4 Estimativas de Mxima VerossimilhanaNesta seo vamos apresentar as estimativas de mxima verossimilhana de ` ep, denotados por ` e p respectivamente. Tomando o logartmo de 1(`. p [ 1), temosln 1(`. p) = ln__`:_c

)=1jaj)(1 j)).aj_= ln_`:_+ ln_c

)=1jaj)(1 j)).aj_= ln_`:_+c

)=1[:) ln j) + (` :)) ln (1 j))] .onde ` > : , 0 < j) < 1, , = 1. 2. .... :. Logo,J ln 1(`. p)Jj)= :)j) ` :)1 j)= 0 == :)j) = ` :)1 j)== j) = :)` , , = 1. 2. .... :.3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 23Por outro lado, como ` aproximadamente igual a soluo da equao 1(`. p) =1(` 1. p), ` > : + 1, temos_`:_c

)=1jaj)(1 j)).aj= _` 1:_c

)=1jaj)(1 j)).aj1. ` > : + 1== _`` :_c

)=1(1 j)) = 1. ` > : + 1==` :`=c

)=1(1 j)) . ` > : + 1==1 :` =c

)=1(1 j)) . ` > : + 1.Assim, a estimativa de mxima verossimilhana de p = (j1. j2. .... jc) p =( j1. j2. .... jc) onde j) = :)` , , = 1. 2. .... :. (3.5)E a estimativa de mxima verossimilhana de `, `, aproximadamente a soluoda equao1 :` =c

)=1(1 j)) . ` > : + 1. (3.6)3.4.1 ExemplosA Tabela (3.7) mostra as estimativas de mxima verossimilhana para diferen-tes dados amostrais. Para o clculo das E.M.V foi elaborado um algortmo no SoftwareR onde, atravs de iteraes, o algortmo pra no momento em que (3.6) e (3.5) sosatisfeitos.3. MTODO DE CAPTURA-RECAPTURA MLTIPLA PARA UMA POPULAO FECHADA 24Tabela (3.7). E.MV. e estimativas a posteriori.: :): 1`\:1 = 400 900 24002 :2 = 600 980 12000

: = 1000 1000 :1 = 10 80 80:2 = 50 120 2603 :3 = 80 130 520

: = 140 140 :1 = 260 1200 1610:2 = 380 1500 3120:3 = 500 1800 127205 :4 = 450 1850 23630:5 = 320 1900 143690

: = 1910 1910 :1 = 180 1300 1400:2 = 290 1700 2140:3 = 510 2100 3480:4 = 550 2600 89307 :5 = 490 2900 41080:6 = 360 2950 93300:7 = 610 2980 375280

: = 2990 2900 (3.7)Observamos na Tabela (3.7) que as estimativas a posteriori de ` so nitas comexceo onde temos : = 2 e : =c

)=1:). Quando a estatstica : est prximac

)=1:),ou seja, quandoc

)=1:) ~= 0, temos um considervel aumento nas estimativas de mximaverossimilhana de `.Captulo 4O modelo Bayesiano decaptura-recaptura4.1 IntroduoSob o enfoque da inferncia clssica, a estimativa do tamanho populacional pelomtodo de captura-recaptura no existe se no for observado nenhum animal marcadodurante todo o processo de amostragem. Por exemplo, a estimativa obtida pelo estimadorde Petersen dado em (2.1) no existe quando : = 0. Em contrapartida, o estimadorde Bailey (1951) dado em (2.3) tende a zero quando : tende a zero. Neste captuloa inferncia sobre ` ser tratada sob o enfoque Bayesiano, ou seja, ser utilizado oconhecimento a priori tanto do tamanho populacional `, como do vetor de probabili-dades p = (j1. j2. .... jc) de captura dos animais, onde : (: _ 2) o nmero de pocasde amostragens. Mtodos bayesianos podem ser preferveis uma vez que informaesprvias do pesquisador so incorporadas ao modelo, melhorando assim as estimativas.Estas informaes prvias so expressas atravs de distribuies a priori dos parmetrosdo modelo e quando nenhuma informao for disponvel podemos utilizar distribuies apriori no informativas para p e para `.4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 264.2 Distribuies a priori dos parmetrosO conhecimento sobre as densidades a priori dos parmetros pode vir de diversasfontes.(a). Primeiro, podemos ter a informao direta sobre o tamanho da populao atravs,por exemplo, de um exame mais detalhado realizado na mesma localizao, ou oconhecimento do tamanho provvel da populao.(b). Segundo, podemos ter uma idia dos valores provveis das probabilidades de capturaobtidos dos exames precedentes em espcies similares usando mtodos similares dacaptura.(c). Terceiro, podemos ter o conhecimento dos parmetros em exames precedentes dandoa informao prvia sobre o tamanho populacional ` ou do vetor de probabilidadesp = (j1. j2. .... jc).Em muitos casos prticos, nosso conhecimento a priori sobre p = (j1. j2. .... jc) tal que ji = j, i = 1. 2. .... :, ou seja, a probabilidade de um animal xado ser capturado igual para cada um dos : estgios de amostragem. Isto no ser apropriado se, paracada amostra, for aplicado diferentes esforos em sua captura ou ainda quando tivermoscovariveis presentes na probabilidade de captura, como o caso do Captulo 6 destetrabalho.4.2.1 Critrios e metodologias abordadas por diferentes autoresnos ltimos anosAs diferentes metodologias clssicas e bayesianas para estimar o tamanho po-pulacional bem como os critrios utilizados para a escolha da distribuio a priori parao processo de captura-recaptura tem sido abordado nos trabalhos cientcos por diversosautores, dentre eles podemos destacar:Wang (2002) fez uma reviso ampla de vrios modelos que considera a variaodas probabilidades de capturas levando em conta a heterogeneidade das respostas do4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 27animal, da poca de captura e de ambos. Tal estudo de captura-recaptura foi feito empopulao fechada atravs da anlise bayesiana.Shimizu (2002) considerou o problema da estimao do tamanho populacionalanimal fechada por utilizar o mtodo de captura-recaptura mltipla com um nico estgiode marcao. Para alguns casos especcos, tal mtodo prefervel ao mtodo de captura-recaptura mltipla usual, como por exemplo situaes onde os animais tem habitat dedifcil acesso, ou quando se consome muito tempo em cada uma das pocas de amostragem(ver por exemplo Ananda (1997)).Fienberg et al. (1999) apresentaram vrias metodologias clssicas e bayesianaspara estimar o tamanho de populaes utilizando mltiplas listas (ocasies amostrais) emmodelos com estruturas log-lineares (Rash, 1960), considerando os efeitos dos elementosdesta populao e efeitos dessas listas. Tambm abordam ainda tcnicas sob o ponto devista dos modelos bayesianos hierrquicos via MCMC (simulaes por Monte Carlo viaCadeias de Markov).Madigan e York (1997) propuseramuma metodologia para a estimao do tamanhode uma populao fechada administrando mltiplas amostras incompletas, permitindouma variedade de estruturas de dependncia para as mdias dessas amostras e o uso decovariveis no modelo (ver da Silva (1999), da Silva et al. (1999, 2000)).Dupuis (1995) props um estimador bayesiano obtido via algortmo Gibbs Sam-pling para a probabilidade de sobrevivncia em populaes abertas.Garthwaite et al. (1995) sugeriram um critrio para a escolha de uma distribuioa priori no-informativa para o modelo bayesiano baseados na idia de que se conhece otamanho das amostras.George e Robert (1992) introduziram um procedimento usando o algortmo GibbsSampling na obteno das estimativas do modelo bayesiano para os modelos de captura-recaptura.Smith (1991) abordou o uso de mtodos como "empirical bayes"(obteno doshiperparmetros da distribuio a priori atravs dos dados), fundamentado nas infernciassobre o tamanho populacional `.Bolfarine et al. (1972) pesquisaram vrias formas alternativas na obteno dasestimativas de ` em amostras de populaes fechadas, fundamentando-se na mxima4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 28verossimilhana, verossimilhana perlada e verossimilhana perlada ajustada ortogo-nalmente.Sanathanan (1972) sugeriu um modelo clssico baseado no M.M.I. (ModeloMultinomial Incompleto). Tal modelo clssico consiste na fatorao da funo de mximaverossimilhana global em duas partes, sendo que uma delas dependente exclusivamentede um dos parmetros presentes no modelo facilitando assim a estimao deste e dos de-mais parmetros de interesse posteriormente (para maiores detalhes ver Bolsoni, 2002).Em outros trabalhos, Sanathanan (1972, 1973) apresenta alguns modelos estatsticos quese aplicam ao problema dos scanners aplicando o modelo multinomial incompleto.Castledine (1981) props um mtodo bayesiano para a inferncia do tamanhopopulacional ` usando uma aproximao da distribuio a posteriori.Durante todo este trabalho ser considerado dois casos para a distribuio a priorida probabilidade de captura.Suposio 1. A probabilidade de captura para um animal xado a mesma em cadaamostra, j) = j, , = 1. 2. .... :, o que implica que as amostras foram extradas sobcircunstncias idnticas atravs de mtodos muito bem controlados.Suposio 2. A probabilidade de captura so independentes e identicamente distribu-das com uma distribuio conhecida, o que implica que temos uma boa idia dadistribuio amostral da probabilidade de captura. natural usar a distribuio a priori Beta para a probabilidade de captura, poiso suporte da distribuio de probabilidades est no intervalo [0. 1]. Um parmetro o temdistribuio a priori Beta com parmetros c e , se sua densidade dada por:: (o) =11(c. ,)oc1(1 o)o1. com 0 < o < 1. c0. ,0. (4.1)onde 1(c. ,) =(c + ,)(c) (,)e (.) a funo Gama.Deste modo a distribuio a priori para a probabilidade de captura da i-simapoca dada por:4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 29: (j)) =11(c. ,)jc1)(1 j))o1, 0 < j) < 1. , = 1. 2. .... :. c0. ,0. com1 (j)) =cc + ,e \ 1(j)) =c,(c + ,)2(c + , + 1). , = 1. 2. .... :.Para o caso do tamanho populacional ` podemos usar uma distribuio infor-mativa de Poisson truncada em zero com parmetro ` conhecido (`0). Se no forpossvel nenhuma informao prvia de `, podemos usar a distribuio no informativade Jereys, isto : (`) = `1, ` = 1. 2. ..., ou ainda : (`) = 1, ` = 1. 2. ....Podemos ainda usar uma estrutura hierrquica para : (`), por exemplo ` temdistribuio de Poisson com parmetro `, que por sua vez tem distribuio Gama comparmetros c e ,.4.3 Distribuio a posterioriSupomos nesta Seo que as probabilidades de captura sejam, a priori, inde-pendentes e identicamente distribudas com j), , = 1. .... :, tendo distribuio Beta comparmetros c e , conhecidos (c0. ,0) e que a distribuio a priori conjunta de `e p dada por:: (`. p) = : (`) : (p) =c

)=111(c. ,)jc1)(1 j))o1: (`) . (4.2)Temos a funo de verossimilhana dada por1(`. p) _`:_c

)=1jaj) (1 j)).aj. (4.3)Como a distribuio a posterioriconjunta proporcional ao produto da dis-tribuio a priori conjunta dada por (4.2) com a funo de verossimilhana (4.3), entotemos que a distribuio a posteriori conjunta de p e ` descrita como:(`. p [ 1) _`:_c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1:(`). ` _ :. (4.4)4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 30A distribuio a posteriori marginal de ` pode ento ser obtida integrando adistribuio a posteriori conjunta (4.4) em relao a j1. j2. .... jc, isto ,:(` [ 1) =1_01_0...1_0:(`. p [ 1)dj1dj2...djc1_01_0...1_0_`:_c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1:(`)= _`:_c

)=11(:) + c; ` :) + ,) :(`)= _`:_c

)=1(:) + c) (` :) + ,)(` + c + ,):(`).Deste modo obtemos a distribuio marginal de `:(` [ 1) `!(` :)!c

)=1(` :) + ,)(` + c + ,) :(`). ` > :. (4.5)Em particular, se c e , forem inteiros positivos temos que (4.5) dado por::(` [ 1) `!(` :)!c

)=1(` :) + , 1)!(` + c + , 1)! :(`), ` > :. (4.6)4.3.1 Distribuies a priori no-informativas para o tamanhopopulacionalA seguir determinaremos as distribuies condicionais atravs de diferentes dis-tribuies a priori para o tamanho populacional. Todas as provas da obteno destasdistribuies condicionais bem como a prova de existncia da distribuio a posterioriconjunta podem ser consultadas de forma mais completa em Zacharias (2000). Podemosobservar a seguir que a distribuio condicional para o caso do tamanho populacional ` sempre uma distribuio binomial negativa.Teorema 4.3.1 Se as distribuies a priori de j). 0 < j) < 1. , = 1. 2. .... : foremBeta com parmetros c e , e a distribuio a priori de ` for no informativa do tipo4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 31: (`) = 1, ` = 1. 2. ... ,ento(1).: (` [ p. 1) =_`:__1 c

)=1(1 j))_v+1_c

)=1(1 j))_.v. ` > : (4.7)(2).: (p [ `. 1) =c

)=111ctc (:) + c. ` :) + ,)jaj) (1 j)).aj. (4.8)0 < j) < 1. , = 1. 2. .... :.Prova (1). Sabemos que: (` [ p. 1) =: (`. p. 1): (p. 1)= : (`. p [ 1): (p [ 1)=: (`. p [ 1)

A>v: (`. p [ 1)=_.v_c

)=1jaj) (1 j)).aj

A>v_Av_c

)=1jaj) (1 j))Aaj=_.v__c

)=1(1 j))_.

A>v_Av__c

)=1(1 j))_A. ` > :.Fazendo , = ` :, obtemos

A>v_`:__c

)=1(1 j))_A= )>0_: + ,:__c

)=1(1 j))_v+)=_c

)=1(1 j))_v

)>0_: ,:__c

)=1(1 j))_)=_c

)=1(1 j))_v_1 c

)=1(1 j))_v1.Assim,: (` [ p. 1) = _.v__1 c

)=1(1 j))_v+1_c

)=1(1 j))_.v. ` > :, o que prova otem (1).4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 32Prova (2). Novamente: (p [ `. 1) =: (`. p. 1): (`. 1)= : (`. p [ 1): (` [ 1)=: (p [ `. 1)1_01_0...1_0: (`. p. 1) dj1dj2...djc=_.v_c

)=1jaj) (1 j)).aj1_01_0...1_0_.v_c

)=1jaj) (1 j)).ajdj1dj2...djc=c

)=1jaj) (1 j)).ajc

)=11_01_0...1_0jaj) (1 j)).aj=c

)=1jaj) (1 j)).ajc

)=11ctc (:) + c. ` :) + ,).o que implica em: (p [ `. 1) =c

)=111ctc (:) + c. ` :) + ,)jaj) (1 j)).aj.0 < j) < 1. , = 1. 2. .... : ,provando o tem (2).Do teorema acima temos os seguintes corolriosCorolrio 4.3.2 A distribuio de probabilidades condicional de `, dados p e 1, iguala distribuio de probabilidades da varivel aleatria A + :, onde A tem distribuiobinomial negativa com parmetros : + 1 e 1 c

)=1(1 j)) . isto ,` : [ p. 1 s 1`_: + 1. 1 c

)=1(1 j))_. (4.9)Corolrio 4.3.3 A distribuio de probabilidades de p = (j1. j2. .... jc), dados ` e 1, igual a distribuio de probabilidades do produto de : variveis aleatrias independentes4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 33A1. A2. .... Ac, onde A) tem distribuio Beta com parmetros :) + c e ` :) + ,,, = 1. 2. .... :. isto ,: (p [ `. 1) c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1. , = 1. 2. .... :. (4.10)Se as distribuies "a priori" de j). 0 < j) < 1. , = 1. 2. .... : forem Beta comparmetros c = 1 e , = 1 (no informativas) e a distribuio "a priori "de ` for noinformativa de Jereys : (`) = `1. ` N

, ento teremos as seguintes distribuiescondicionais:` : [ p. 1 s 1`_:. 1 c

)=1(1 j))_. (4.11): (p [ `. 1) c

)=1jaj)(1 j)).aj. , = 1. 2. .... :. (4.12)4.3.2 Distribuio a priori informativa para o tamanho popula-cionalVamos assumir agora que ` tem distribuio a priori de Poisson truncada emzero com parmetro ` conhecido, `0, ou seja: (`) =cA`.`!(1 cA). ` = 1. 2. .... (4.13)Ento da distribuio a priori dada em (4.1), da funo de verossimilhana dadaem (4.3) e da distribuio a priori dada em (4.13) temos que a distribuio a posterioriconjunta de p e ` tal que: (p. ` [ 1) `.(` :)!c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1. (4.14)0 < j) < 1, , = 1. .... :, ` _ :.De (4.14) temos que a distribuio a posteriori marginal de ` dada por4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 34: (` [ 1) `.(` :)!c

)=1(` :) + ,)(` + c + ,) . ` _ :. (4.15)0 < j < 1. ` _ :.Da distribuio a posteriori conjunta dada em (4.14) temos as distribuies condi-cionais necessrias para o algortmo Gibbs Sampling:(a). A distribuio condicional de ` : dados p = (j1. j2. .... jc) e os dados dada por:` : [ p.1 s 1oi::o:_`c

)=1(1 j))_. (4.16)(b). A distribuio condicional de p = (j1. j2. .... jc) dados ` e os dados dada por:: (p [ `. 1) c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1. , = 1. 2. .... :. (4.17)4.3.3 Um caso especial: modelo hierrquico para a mdia daPoissonPara a distribuio a priori do tamanho populacional ` com uma estruturahierrquica usual o tipo "Poisson-Gama"(George e Robert, 1992). Para o primeiroestgio assumimos que, dado `, ` tem uma distribuio a priori de Poisson `, truncadaem zero dada por:: (`) =cA`.`!(1 cA). ` = 1. 2. .... (4.18)Para o segundo estgio assumimos que ` tem uma distribuio Gama com hiper-parmetros c e / conhecidos, dada por: (`) =/o(c)`o1exp `/ . isto , (4.19): (`) s G(c. /) ==1 (`) = c/ e \ c: (`) = c/2. c0. /0.4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 35Em situaes onde h poucas informaes sobre `, necessria ento uma dis-tribuio a priori no-informativa. Sabemos que quando c 0 e / 0, a distribuioa priori de ` satisfaz : (`) `1e a distribuio marginal a priori de ` satisfaz: (`) `1. Na prtica, quando no temos idia sobre o valor de ` tomamos valorespequenos para os hiperparmetros (por exemplo c = 0. 0005 e / = 0. 0005) tornando adistribuio Gama no informativa.Ento da distribuio a priori para p = (j1. j2. .... jc) dada em (4.1), da funode verossimilhana dada em (4.3) e da distribuio a priori dada em (4.18) e (4.19) temosque a distribuio a posteriori conjunta de p, ` e ` tal que:: (p. `. ` [ 1) _`:_c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1

cA`.`!(1 cA) /o(c)`o1exp `/ . isto ,: (p. `. ` [ 1) `.+o1cA(1+b)(1 cA) (` :)!c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1. (4.20)Da distribuio a posteriori conjunta (4.20) temos as distribuies condicionaisnecessrias para o algortmo Gibbs Sampling dadas por:(a). A distribuio condicional de ` dados ` , p = (j1. j2. .... jc) e os dados dada por:` : [ p. `. 1 s 1oi::o:_`c

)=1(1 j))_. (4.21)(b). A distribuio condicional de p = (j1. j2. .... jc) dados ` , ` e os dados dada por:: (p [ `. `. 1) c

)=1jaj+c1)(1 j)).aj+o1. , = 1. 2. .... :. (4.22)(c). A distribuio condicional de ` dados p = (j1. j2. .... jc), ` e os dados dada por:` [ `. p. 1 s Gc:c (` + c. 1 + /) . (4.23)4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 364.4 Estudos de Simulao Estocstica para o mtodode captura-recaptura com populao fechadaNesta Seo estudaremos dois algortmos utilizados para a implementao dosmodelos Bayesianos apresentados nos captulos anteriores, o amostrador de Gibbs e o al-gortmo de Metropolis Hastings. At pouco tempo atrs, muitos desses modelos exigiamo uso de mtodos aproximados como o mtodo de Laplace (ver Tierney e Kadane (1986),Tierney (1994)). Em tempos recentes, porm, no h mais o problema de resoluo deintegrais. O surgimento de novas tcnicas de simulao, citadas acima, extremamentepoderosas e ao mesmo tempo relativamente simples permitiram que a maioria dos proble-mas aplicados pudessem ser tratados atravs da abordagem bayesiana. Todas as progra-maes desenvolvidas para o estudo de simulao estocstica via Monte Carlo MarkovChain (MCMC) deste trabalho foram implementadas no Software R, cuja convergn-cia dos algortmos Gibbs Sampling ("Amostrador de Gibbis") e Metropolis Hastings foimonitorada pelo pacote CODA - Convergence Diagnostics and Output AnalysisSoftware for Gibbs Sampling Output (Best et al. 1995).4.4.1 Um breve estudo da inuncia dos hiperparmetros nasestimativas a posterioriCom o objetivo de analisar a sensibilidade a posteriori dos parmetros ` e p emrelao a distribuio a priori das probabilidades de captura, foi realizado um estudo desimulao onde os hiperparmetros (c. ,) da distribuio a priori Beta foram alterados detal forma que obtivssemos diferentes mdias a priori para p e vericssemos os resultadosa posteriori. Utilizamos a distribuio a priori no informativa de Jereys ((:) `1)para o tamanho populacional `.Este estudo de simulao envolveu um esquema de amostragem com : = 6 pocasde captura, supondo uma populao de tamanho ` = 1000. Foram considerados quatrocasos de probabilidade de captura: p = (0. 04; 0. 04; ...; 0. 04) , p = (0. 08; 0. 08; ...; 0. 08),p = (0. 12; 0. 12; .... 0. 12) e p = (0. 16; 0. 16; ...; 0. 16), onde obtivemos as estatsticas : =209, : = 407, : = 551 e : = 651 respectivamente. Lembremos que a estatstica : dada4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 37por : =c

)=1:)c

)=1:), ou seja, o nmero de animais distintos marcados na populaodurante todo o processo de captura-recaptura.Para cada caso e para cada par de valores arbitrrios de c e , da priori de j),, = 1. 2. .... 6, foi gerado uma cadeia de 30000 iteraes descartando as primeiras 10000como "burn-in"e considerando um salto de tamanho 10 resultando em uma amostra nalde tamanho 2000 da distribuio a posteriori conjunta de ` e p = (j1. j2. .... j6).A Tabela (4.24) contm os dados amostrais gerados para os quatro casos consi-derados com : = 6 pocas de captura.Tabela (4.24). Dados amostrais para os casos considerados.1cCaso: ` = 1000, : = 209 2cCaso: ` = 1000, : = 407j) = 0. 04 , , = 1. 2. .... 6. j) = 0. 08 , , = 1. 2. .... 6., j):):)`), j):):)`)1 0. 04 25 0 0 1 0. 08 82 0 02 0. 04 40 1 25 2 0. 08 82 4 823 0. 04 38 3 64 3 0. 08 79 13 1604 0. 04 39 4 99 4 0. 08 72 16 2265 0. 04 44 8 134 5 0. 08 84 20 2826 0. 04 47 8 170 6 0. 08 80 19 3463cCaso: ` = 1000, : = 551 4cCaso: ` = 1000, : = 651j) = 0. 12 , , = 1. 2. .... 6. j) = 0. 16 , , = 1. 2. .... 6., j):):)`), j):):)`)1 0. 12 132 0 0 1 0. 16 177 0 02 0. 12 121 12 132 2 0. 16 160 22 1773 0. 12 106 28 241 3 0. 16 140 47 3154 0. 12 124 31 319 4 0. 16 163 57 4085 0. 12 125 49 412 5 0. 16 159 86 5146 0. 12 124 61 488 6 0. 16 147 83 587(4.24)Pela Tabela (4.24) podemos observar que, xado o tamanho populacional `,a medida que aumentamos a probabilidade de captura, aumentamos os tamanhos das4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 38amostras e, consequentemente, aumentamos o valor da estatstica :. Veremos mais adianteque as estimativas a posteriori dos parmetros so sempre satisfatrias (prximas dosverdadeiros valores) quando : _ .2 . As Tabelas (4.25), (4.26), (4.27) e (4.28) mostram osresultados a posteriori para os quatro casos considerando diferentes mdias a priori dej. O objetivo vericar a sensibilidade das estimativas a posteriori em relao a escolhados hiperparmetros para cada um dos quatro casos considerados.Tabela (4.25). Sensibilidade do modelo em relao a escolha dos hiperparmetros.1cCaso: ` = 1000, : = 209 e j) = 0. 04 , , = 1. 2. .... 6.Mdia a priori j Mdia j a Intervalo de Mdia ` a Intervalo dec ,cc+oposteriori Cred.(95%) de j posteriori Cred.(95%) de `1 99 0. 01 0. 0387 0. 0251 0. 0545 1030 718 15161 19 0. 05 0. 0442 0. 0283 0. 0625 914 635 13241 9 0. 10 0. 0448 0. 0298 0. 0619 900 639 12831 4 0. 20 0. 0450 0. 0300 0. 0632 894 629 12961 37,16 0. 30 0. 0454 0. 0298 0. 0635 888 627 12831 3,2 0. 40 0. 0453 0. 0292 0. 0631 892 629 13051 1 0. 50 0. 0454 0. 0297 0. 0631 890 633 12833,2 1 0. 60 0. 0461 0. 0306 0. 0636 876 622 12587,3 1 0. 70 0. 0475 0. 0318 0. 0650 850 613 12024 1 0. 80 0. 0502 0. 0335 0. 0685 808 584 11459 1 0. 90 0. 0582 0. 0409 0. 0775 710 529 95519 1 0. 95 0. 0732 0. 0538 0. 0933 581 458 75799 1 0. 99 0. 1677 0. 1435 0. 1927 314 279 356(4.25)Podemos notar pela Tabela (4.25) que as estimativas a posteriori foram satis-fatrias apenas para as situaes onde os hiperparmetros nos fornecem mdias a prioride j prximas do verdadeiro valor de j. So os casos onde usamos (c = 1; , = 99) e(c = 1; , = 19).Isto signica que as estimativas a posteriori so muito sensveis em relao a4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 39escolha dos hiperparmetros. Por exemplo, para as trs ltimas prioris onde usamos(c = 9; , = 1), (c = 19; , = 1) e (c = 99; , = 1) as estimativas a posteriori do tamanhopopulacional foram subestimadas e das probabilidades de captura foram superestimadas aponto de sarem do intervalo (95%) de credibilidade. Este fato ocorre porque a probabili-dade de captura muito pequena resultando em uma estatstica : pequena_c

)=1:) ~= 0_.Quando isso ocorre, a distribuio a priori acaba fornecendo mais informaopara o modelo do que os prprios dados amostrais. Observaremos nas prximas Tabelasque essa sensibilidade diminui a medida que aumentamos a estatstica :, ou seja, a medidaque mais animais marcados so observados.Tabela (4.26). Sensibilidade do modelo em relao a escolha dos hiperparmetros.2cCaso: ` = 1000, : = 407 e j) = 0. 08 , , = 1. 2. .... 6.Mdia a priori j Mdia j a Intervalo de Mdia ` a Intervalo dec ,cc+oposteriori Cred.(95%) de j posteriori Cred.(95%) de `1 99 0. 01 0. 0612 0. 0484 0. 0744 1303 1078 15951 19 0. 05 0. 0654 0. 0526 0. 0798 1232 1021 14951 9 0. 10 0. 0658 0. 0526 0. 0799 1224 1016 14891 4 0. 20 0. 0664 0. 0527 0. 0809 1219 1012 14991 37,16 0. 30 0. 0665 0. 0528 0. 0807 1216 1009 14891 3,2 0. 40 0. 0663 0. 0529 0. 0810 1219 1007 14961 1 0. 50 0. 0665 0. 0527 0. 0810 1215 1002 14873,2 1 0. 60 0. 0668 0. 0531 0. 0813 1212 1000 14697,3 1 0. 70 0. 0674 0. 0539 0. 0813 1200 1000 14534 1 0. 80 0. 0686 0. 0543 0. 0833 1183 981 14399 1 0. 90 0. 0726 0. 0582 0. 0873 1127 944 137119 1 0. 95 0. 0802 0. 0653 0. 0956 1041 886 124099 1 0. 99 0. 1333 0. 1163 0. 1508 708 635 794(4.26)Pela Tabela (4.26) observamos que o modelo ainda sensvel a escolha dos hiper-parmetros. As estimativas a posteriori foram satisfatrias apenas para os casos onde usa-4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 40mos os hiperparmetros (c = 7,3; , = 1), (c = 4; , = 1), (c = 9; , = 1) e (c = 19; , = 1).Isto signica que a distribuio a priori ainda fornece mais informaes do que os dadosamostrais.Tabela (4.27). Sensibilidade do modelo em relao a escolha dos hiperparmetros.3cCaso: ` = 1000, : = 551 e j) = 0. 12 , , = 1. 2. .... 6.Mdia a priori j Mdia j a Intervalo de Mdia ` a Intervalo dec ,cc+oposteriori Cred.(95%) de j posteriori Cred.(95%) de `1 99 0. 01 0. 1094 0. 0958 0. 1240 1102 984 12371 19 0. 05 0. 1146 0. 1006 0. 1297 1067 958 11951 9 0. 10 0. 1151 0. 1009 0. 1302 1064 958 11901 4 0. 20 0. 1153 0. 1013 0. 1296 1062 953 11881 37,16 0. 30 0. 1155 0. 1010 0. 1300 1059 950 11871 3,2 0. 40 0. 1156 0. 1007 0. 1308 1060 952 11861 1 0. 50 0. 1156 0. 1012 0. 1301 1061 949 11823,2 1 0. 60 0. 1157 0. 1021 0. 1307 1059 957 11807,3 1 0. 70 0. 1162 0. 1013 0. 1315 1055 943 11894 1 0. 80 0. 1170 0. 1025 0. 1327 1050 945 11759 1 0. 90 0. 1195 0. 1049 0. 1347 1035 929 115819 1 0. 95 0. 1244 0. 1095 0. 1399 1006 911 111999 1 0. 99 0. 1599 0. 1443 0. 1759 851 787 920(4.27)Ao contrrio dos casos anteriores, a Tabela (4.27) mostra que, com exceo daltima priori usada (c = 99; , = 1), todas as estimativas a posteriori foram satisfatrias,tanto para o tamanho populacional quanto para as probabilidades de captura.Isto signica que o modelo no mais sensvel em relao a escolha dos hiper-parmetros, ou seja, a informao contida nos dados fala mais alto do que a informaoa priori de j. Este fato acontece sempre quando : _.2 . Notemos que para este casoestudado temos : = 551 e ` = 1000.4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 41Tabela (4.28). Sensibilidade do modelo em relao a escolha dos hiperparmetros.4cCaso: ` = 1000, : = 651 e j) = 0. 16 , , = 1. 2. .... 6.Mdia a priori j Mdia j a Intervalo de Mdia ` a Intervalo dec ,cc+oposteriori Cred.(95%) de j posteriori Cred.(95%) de `1 99 0. 01 0. 1465 0. 1321 0. 1611 1063 978 11501 19 0. 05 0. 1516 0. 1366 0. 1663 1039 963 11271 9 0. 10 0. 1521 0. 1376 0. 1666 1037 962 11251 4 0. 20 0. 1525 0. 1376 0. 1670 1036 959 11251 37,16 0. 30 0. 1526 0. 1379 0. 1679 1036 959 11271 3,2 0. 40 0. 1526 0. 1380 0. 1679 1036 960 11221 1 0. 50 0. 1527 0. 1387 0. 1678 1034 961 11163,2 1 0. 60 0. 1528 0. 1376 0. 1670 1035 961 11207,3 1 0. 70 0. 1532 0. 1384 0. 1681 1033 958 11244 1 0. 80 0. 1537 0. 1395 0. 1684 1030 956 11149 1 0. 90 0. 1557 0. 1408 0. 1706 1022 949 110419 1 0. 95 0. 1595 0. 1443 0. 1744 1007 935 108899 1 0. 99 0. 1870 0. 1717 0. 2025 916 861 977(4.28)Assim como o 3cCaso estudado na Tabela (4.27), a Tabela (4.28) mostra que,com exceo da ltima priori usada (c = 99; , = 1), todas as estimativas a posterioriforam satisfatrias, tanto para o tamanho populacional quanto para as probabilidadesde captura. Novamente as estimativas a posteriori no so mais sensveis em relao aescolha dos hiperparmetros, ou seja, a informao contida nos dados fala mais alto doque a informao a priori de j.Notemos que para este caso estudado temos : = 651 e` = 1000.A Figura (4.29) mostra o comportamento das estimativas do tamanho popula-cional ` para os quatro casos considerados.4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 42Figura (4.29). Comportamento das Estimativas de ` para os quatro casos.1cCaso 2cCaso` = 1000 e : = 209 ` = 1000 e : = 4073cCaso 4cCaso` = 1000 e : = 551 ` = 1000 e : = 651(4.29)4.4.2 Dados reais de captura-recaptura utilizado por Castledine(1981)Foi feito um estudo de simulao para estimar o nmero de peixes (Sunsh)capturados no Lago Gordy, Indiana (USA) em : = 14 pocas de capturas (Gerking, 1953)onde podemos notar um grande nmero de ocasies de amostragem e um pequeno nmerode unidades de captura observadas em cada ocasio amostral.Os dados reais referentes a tal experimento foram abordados por vrios autores,entre eles, Ricker (1958, 1975) ilustrando mtodos clssicos frequentistas para estudos decaptura-recaptura, e por Castledine (1981), Smith (1988) e Wang (2002) para ilustrar4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 43mtodos bayesianos. As mortes decorrentes do processo de amostragem foram ignoradas,caracterizando assim uma populao fechada.A Tabela (4.30) mostra os dados reais de captura-recaptura (Castledine, 1981).Tabela (4.30). Dados reais de captura-recaptura.Peixes (Sunsh) capturados no Lago Gordy, Indiana (USA).i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14:i10 27 17 7 1 5 6 15 9 18 16 5 7 19:i0 0 0 0 0 0 2 1 5 5 4 2 2 3`i0 10 37 54 61 62 67 71 85 89 102 114 117 122(4.30)Temos ento a estatstica : =14

)=1:)14

)=1:) = 138.Como o tamanho das amostras obtidas foram signicativamente diferentes, as-sumimos que a probabilidade de captura diferente para cada uma das : = 14 pocas decaptura.Foi considerado uma distribuio a priori no informativa de Jereys : (`) _`1, para o tamanho populacional ` e um produto de prioris no informativas 1ctc(1. 1)para o vetor de probabilidades p = (j1. j2. .... j14).Foram geradas duas cadeias paralelas de 50000 iteraes descartando as primeiras10000 e considerando um salto de tamanho 10, construindo assim uma amostra nal detamanho 4000 da distribuio a posteriori conjunta de ` e p = (j1. j2. .... j14). A Tabela(4.31) mostra os resumos a posteriori dos parmetros.4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 44Tabela (4.31). Resumos a posteriori dos parmetros (Dados reais).Parmetro Mdia 1cQuartil Mediana 3cQuartil Int. Cred(95%)` 331 299 324 354 254 438j10. 0336 0. 0256 0. 0325 0. 0401 0. 0154 0. 0573j2 0. 0858 0. 0725 0. 0842 0. 0972 0. 0525 0. 1283j3 0. 0551 0. 0450 0. 0540 0. 0642 0. 0304 0. 0880j4 0. 0244 0. 0179 0. 0232 0. 0299 0. 0102 0. 0462j5 0. 0062 0. 0029 0. 0052 0. 0084 0. 0007 0. 0173j6 0. 0184 0. 0128 0. 0172 0. 0230 0. 0063 0. 0374j7 0. 0213 0. 0155 0. 0202 0. 0261 0. 0083 0. 0413j8 0. 0487 0. 0393 0. 0477 0. 0572 0. 0260 0. 0777j9 0. 0307 0. 0233 0. 0296 0. 0370 0. 0138 0. 0550j10 0. 0582 0. 0477 0. 0571 0. 0677 0. 0328 0. 0912j11 0. 0519 0. 0422 0. 0509 0. 0602 0. 0284 0. 0837j12 0. 0184 0. 0127 0. 0174 0. 0232 0. 0066 0. 0372j13 0. 0247 0. 0180 0. 0236 0. 0302 0. 0101 0. 0459j14 0. 0611 0. 0508 0. 0601 0. 0708 0. 0346 0. 0967(4.31)A Tabela (4.32) mostra o diagnstico de convergncia de Gelman e Rubin.4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 45Tabela (4.32). Diagnstico de convergncia de Gelman e Rubin.Parmetros Est. Pontual Q. 97,5% Parmetros Est. Pontual Q. 97,5%` 1. 00 1. 01 j8 1. 00 1. 01j11. 00 1. 00 j9 1. 00 1. 00j2 1. 00 1. 00 j10 1. 00 1. 01j3 1. 00 1. 00 j11 1. 00 1. 01j4 1. 00 1. 00 j12 1. 00 1. 00j5 1. 00 1. 00 j13 1. 00 1. 00j6 1. 00 1. 00 j14 1. 00 1. 01j7 1. 00 1. 00(4.32)A Figura (4.33) o histograma marginal do tamanho populacional `.Figura (4.33). Histograma marginal do tamanho populacional `.(4.33)Considerando o modelo hierrquico para o tamanho populacionalAgora consideraremos o caso de probabilidades diferentes onde zemos um estudode simulao considerando um modelo hierrquico onde atribumos uma distribuio apriori de Poisson de parmetro ` para o tamanho populacional ` .Para ` atribumos4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 46uma distribuio a priori no informativa Gama de parmetros conhecidos c = 0. 002 e/ = 0. 002. Para o vetor de probabilidades de captura p = (j1. j2. .... j14) atribumos umadistribuio a priori no informativa Beta com parmetros c = 1 e , = 1. Os resultadosa posteriori esto a seguir.Foram geradas duas cadeias paralelas de 70000 iteraes descartando as primeiras20000 e considerando um salto de tamanho 10, construindo assim uma amostra nal detamanho 5000 da distribuio a posteriori conjunta de `, ` e p = (j1. j2. .... j14). ATabela (4.34) mostra os resultados a posteriori das estimativas.Tabela (4.34). Sumrio a posteriori dos estimativas.Parmetros Mdia a posteriori Intervalo Cred. (95%)` 327 253 428` 327 245 436j10. 0341 0. 0163 0. 0589j2 0. 0866 0. 0527 0. 1289j3 0. 0554 0. 0311 0. 0870j4 0. 0247 0. 0104 0. 0456j5 0. 0062 0. 0007 0. 0179j6 0. 0186 0. 0067 0. 0373j7 0. 0215 0. 0083 0. 0406j8 0. 0497 0. 0264 0. 0795j9 0. 0306 0. 0143 0. 0545j10 0. 0587 0. 0327 0. 0929j11 0. 0527 0. 0290 0. 0844j12 0. 0186 0. 0066 0. 0374j13 0. 0247 0. 0104 0. 0460j14 0. 0617 0. 0350 0. 0961(4.34)Podemos observar pela Tabela (4.34) que no h diferenas signicativas nasestimativas em relao a Tabela (4.31).Quando usamos uma estrutura hierrquica para o tamanho populacional `, asaber distribuio de Poisson de parmetro ` onde ` tem distribuio a priori Gama de4. O MODELO BAYESIANO DE CAPTURA-RECAPTURA 47parmetros (c. /) conhecidos ("Poisson-Gama", ver George e Robert (1992)) onde (c. /)so de tal sorte que Gama seja no informativa (c = 0. 002 e / = 0. 002 por exemplo),ento temos estimativas equivalentes ao modelo com priori no informativa de Jereyspara `.A Figura (4.35) mostra o histograma marginal do tamanho populacional `.Figura (4.35). Histograma marginal do tamanho populacional `.(4.35)Captulo 5Uma reparametrizao para aprobabilidade de captura5.1 IntroduoNesta Seo apresentaremos uma alternativa de reparametrizao para o vetorde probabilidades de captura p = (j1. j2. .... jc) , (: _ 2), no modelo usado por Castledine(1981), atravs de uma estrutura hierrquica. Faremos um estudo de simulao abordandoo efeito desta reparametrizao nas estimativas a posteriori dos parmetros com diferen-tes probabilidades e vericaremos se h alguma vantagem em us-la e em quais casosespeccos.5.2 Modelo estatstico e funo de verossimilhanaNesta Seo determinaremos a funo de verossimilhana para o modelo utilizadopor Castledine (1981) com probabilidades de captura reparametrizadas. Recordemos quea funo de verossimilhana de ` e p, 1(`. p [1) estudada no Captulo 3 dada por1(`. p [1) _`:_c

)=1jaj) (1 j)).aj. (5.1)Reescrevendo a probabilidade de captura como5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 49j) =exp_j)_1 + exp_j)_. , = 1. 2. .... :. (5.2)A motivao para essa reparametrizao o uso de um parmetro que tenhaseu espao paramtrico na reta real, isto , samos da situao onde j tem seu espaoparamtrico no intervalo [0. 1] e adotamos j que tem seu espao paramtrico na reta(< j < ) .Temos a funo de ligao|oq_j)1 j)_= j). < j) < . , = 1. 2. .... :.Temos a funo de verossimilhana reparametrizada como1(`.[1) _`:_c

)=1exp_:)j)__1 + exp_j)_.. (5.3)5.3 Distribuio a posterioriPara a implementao de um modelo bayesiano hierrquico adotaremos para oprimeiro estgio as seguintes distribuies a priori :: (`) `1. j) s `_j. o2_. , = 1. 2. .... :. (5.4)onde ` (j. o2) denota uma distribuio normal com mdia j e varincia o2. Parao segundo estgio temos:j s `_c. /2_. o2s 1G(c. d) . (5.5)Com j e o2independentes onde ` (c. /2) denota uma distribuio normal commdia c e varincia /2e 1G(c. d) denota uma distribuio gama inversa com mdiaoc1 evarinciao2(c1)2(c2), c2. (c, /, c e d hiperparmetros conhecidos).Temos ento a seguinte distribuio a posteriori conjunta de `,= j1. j2. .... jc,j, o2:5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 50:_`. . j. o2[ 1_ _`:_c

)=1exp_:)j)__1 + exp_j)_. 1_2:o2 exp_12o2_j)j_2_ (5.6)

1_2:/2 exp_ 12/2 (j c)2_

_o2_(c+1)exp_do2_

1`.As distribuies condicionais necessrias para o algortmo Gibbs Sampling (verpor exemplo, Geman e Geman, 1984 e Gelfand e Smith, 1990) conjuntamente com oalgortmo de Metropolis Hastings a partir de (5.6) so dadas a seguir.(1). A distribuio condicional de ` :, dados= j1. j2. .... jc, j, o2e os dados dada por` : [ . j. o2. 1 s 1`_:. 1 c

)=1_11 + cjj__. (5.7)(2). A distribuio condicional , dados `. j. o2e os dados dada porj) [ `. j. o2. 1 exp_12o2_j)j_2_

exp_:)j)__1 + exp_j)_.. , = 1. 2. .... :. (5.8)(3). A distribuio condicional de j, dados `.= j1. j2. .... jc, o2e os dados dadaporj [ `. . o2. 1 s `______/2c

)=1j) + o2c:/2 + o2.:/2o2:/2 + o2______. (5.9)(4). A distribuio condicional de o2, dados `.= j1. j2. .... jc, j e os dados dadaporo2[ `. . j. 1 s 1G_:2 + c.c

)=1_j)j_22+ d_. (5.10)5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 515.4 Estudo de simulao com a reparametrizao daprobabilidade de capturaCom o objetivo de analisar e comparar a ecincia das estimativas a posterioridos parmetros ` e p =(j1. j2. .... jc) atravs da reparametrizao das probabilidades decaptura, foi realizado um estudo de simulao com : = 6 pocas de captura, supondo umapopulao de tamanho ` = 5000 considerando o modelo original utilizado por Castledine(1981) e considerando o modelo com a probabilidade reparametrizada.Foram considerados 24 casos de probabilidades de captura. Como escrevemosj) =exp(jj)1+exp(jj), , = 1. 2. .... 6, temos ento que para cada valor de j um valor de j e umvalor da estatstica :, como apresentada na Tabela (5.11).5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 52Tabela (5.11). Simulaes com diferentes valores de j.Tamanho populacional Prob. Captura Reparametrizao Estatstica` j j :5000 0. 005 5. 2933 1345000 0. 01 4. 5951 2755000 0. 02 3. 8918 5215000 0. 03 3. 4761 8745000 0. 04 3. 1781 11245000 0. 05 2. 9444 13365000 0. 10 2. 1972 23195000 0. 15 1. 7346 31115000 0. 20 1. 3863 36265000 0. 25 1. 0986 41455000 0. 30 0. 8473 43435000 0. 35 0. 6190 45565000 0. 40 0. 4055 47135000 0. 45 0. 2007 49075000 0. 50 0 49695000 0. 55 0. 2007 49105000 0. 60 0. 4055 50005000 0. 65 0. 6190 50005000 0. 70 0. 8473 50005000 0. 75 1. 0986 50005000 0. 80 1. 3863 50005000 0. 85 1. 7346 50005000 0. 90 2. 1972 50005000 0. 95 2. 9444 5000(5.11)Lembremos que a estatstica : dada por : =c

)=1:) c

)=1:), ou seja, o5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 53nmero de animais distintos marcados na populao durante todo o processo de captura-recaptura. Podemos observar pela Tabela (5.11) que j simtrico em torno de zero e quea partir da probabilidade j = 0. 60 j houve a saturao da populao, isto , todos osanimais foram marcados, : =c

)=1:)c

)=1:) = `.As tabelas (5.12) e (5.13) mostra os resultados a posteriori do tamanho popula-cional ` e das probabilidades de captura segundo o modelo I e o modelo II a saber.Modelo I. Modelo original de captura-recaptura mltipla utilizado por Castledine (1981)onde temos os parmetros ` e o vetor de probabilidades p = (j1. j2. .... jc) . Uti-lizamos uma distribuio a priori no informativa para j) s1ctc (1. 1) . , =1. 2. .... :. e Jereys (: (`) `1) para o tamanho populacional `.Modelo II. Modelo de captura-recaptura utilizado por Castledine (1981) com repara-metrizao das probabilidades de captura. Neste modelo com estrutura hierrquicatemos os parmetros ` e j). , = 1. 2. .... :.usamos a priori de Jereys (: (`) `1) para o tamanho populacional ` e uma distribuio a prioriNormal commdia centrada em zero e varincia o2= 1000 para j). , = 1. 2. .... :. Para cadaiterao das cadeias recuperamos os valores de j) =expjj1+expjj am de compararmosas probabilidades de captura com o Modelo I.Para cada um dos 24 casos considerados na Tabela (5.11) para o modelo I, foramgeradas duas cadeias de 40000 iteraes descartando as primeiras 20000 como "burn-in"eum salto de tamanho 20 resultando numa amostra nal de tamanho 1000 de distribuio aposteriori conjunta. Para cada um dos 24 casos do modelo II foram geradas duas cadeiasde 70000 iteraes descartando as primeiras 20000 como "burn-in"e um salto de tamanho50 resultando numa amostra nal de tamanho 1000 da distribuio a posteriori conjunta.As Tabelas (5.12) e (5.13) mostram os resumos a posteriori dos parmetros dosmodelos I e II respectivamente.5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 54Tabela (5.12). Resumos a posteriori referentes ao modelo I.Prob. : 1 (` [ 1) I.C.(95%) de ` 1 (j [ 1) I.C.(95%) de j0. 005 134 40075 2014 220930 0. 0031 0. 0001 0. 01170. 01 275 5487 2717 10602 0. 0106 0. 0047 0. 01900. 02 521 4571 3314 6379 0. 0226 0. 0157 0. 03050. 03 874 7330 5547 9704 0. 0210 0. 0155 0. 02030. 04 1124 5130 4332 6087 0. 0391 0. 0324 0. 04640. 05 1336 5233 4579 5963 0. 0487 0. 0422 0. 05590. 10 2319 4883 4614 5176 0. 1038 0. 0969 0. 11080. 15 3111 5049 4873 5229 0. 1497 0. 1430 0. 15630. 20 3626 5083 4958 5209 0. 1966 0. 1902 0. 20340. 25 4145 5003 4917 5091 0. 2495 0. 2430 0. 25640. 30 4343 5020 4956 5086 0. 2983 0. 2918 0. 30470. 35 4556 5032 4986 5080 0. 3485 0. 3422 0. 35490. 40 4713 5024 4991 5059 0. 3988 0. 3928 0. 40530. 45 4907 5021 4995 5048 0. 4488 0. 4428 0. 45490. 50 4969 5010 4992 5028 0. 4996 0. 4936 0. 50570. 55 4910 4987 4975 5001 0. 5508 0. 5449 0. 55670. 60 5000 4988 4980 4998 0. 6007 0. 5949 0. 60610. 65 5000 5009 5004 5016 0. 6504 0. 6449 0. 65580. 70 5000 5004 5000 5008 0. 7000 0. 6947 0. 70520. 75 5000 5001 5000 5004 0. 7501 0. 7453 0. 75500. 80 5000 5000 5000 5002 0. 7986 0. 7941 0. 80300. 85 5000 5000 5000 5001 0. 8487 0. 8447 0. 85280. 90 5000 5000 5000 5000 0. 8985 0. 8951 0. 90190. 95 5000 5000 5000 5000 0. 9487 0. 9461 0. 9511(5.12)A Tabela (5.12) mostra que as estimativas a posteriori dos parmetros ` e jso satisfatrias quando j _ 0. 04.Nas situaes onde j < 0. 04, o tamanho populacio-nal foi superestimado. Como j mencioado anteriormente, isso ocorre devido ao fato da5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 55probabilidade de captura ser pequena resultando numa estatstica : pequena, isto , hfalta de dados_c

)=1:) ~= 0_.Tabela (5.13). Resumos a posteriori referentes ao modelo II.Prob : 1 (` [ 1) I.C.(95%) de ` 1 (j [ 1) I.C.(95%) de j j0. 005 134 136121 2009 478402 6. 3809 9. 83364. 4520 0. 00320. 01 275 5405 2544 11604 4. 7065 5. 57383. 9861 0. 00970. 02 521 5768 3757 8727 3. 8813 4. 36643. 4231 0. 02080. 03 874 4508 3713 5506 3. 3431 3. 60443. 0944 0. 03440. 04 1124 4611 3996 5386 3. 0779 3. 29272. 8656 0. 04420. 05 1336 4787 4225 5457 3. 0210 3. 21732. 8340 0. 04670. 10 2319 4886 4608 5212 2. 2651 2. 38382. 1432 0. 09420. 15 3111 4957 4782 5132 1. 7026 1. 79321. 6173 0. 15420. 20 3626 4835 4728 4947 1. 4155 1. 48681. 3375 0. 19540. 25 4145 5069 4983 5151 1. 1011 1. 16941. 0351 0. 24960. 30 4343 4894 4833 4954 0. 8787 0. 93920. 8147 0. 29350. 35 4556 4910 4868 4954 0. 6519 0. 71300. 5928 0. 34260. 40 4713 4933 4902 4968 0. 4414 0. 49630. 3869 0. 39140. 45 4907 5054 5028 5080 0. 2034 0. 25970. 1457 0. 44930. 50 4969 5053 5034 5072 0. 0072 0. 0615 0. 0490 0. 49820. 55 4910 4948 4936 4961 0. 2089 0. 1543 0. 2634 0. 55200. 60 5000 5022 5012 5032 0. 4065 0. 3508 0. 4603 0. 60020. 65 5000 5010 5004 5017 0. 6112 0. 5519 0. 6680 0. 61120. 70 5000 5004 5000 5004 0. 8537 0. 7945 0. 9119 0. 70130. 75 5000 5001 5000 5004 1. 1374 1. 0685 1. 2041 0. 75720. 80 5000 5000 5000 5002 1. 3784 1. 3098 1. 4482 0. 79870. 85 5000 5000 5000 5001 1. 7264 1. 6510 1. 8050 0. 84890. 90 5000 5000 5000 5000 2. 1844 2. 0908 2. 2748 0. 89880. 95 5000 5000 5000 5000 2. 9256 2. 8033 3. 0581 0. 9490(5.13)5. UMA REPARAMETRIZAO PARA A PROBABILIDADE DE CAPTURA 56De acordo com a Tabela (5.13) as estimativas a posteriori so satisfatrias quandoj _ 0. 03. Notemos que o 1C(95%) de j contm o zero no intervalo quando j = 0. 50 poisexp(0)1+exp(0) = 0. 50.A Figura (5.14) mostra gracamente o comportamento das estimativas do tamanhopopulacional ` segundo ambos os modelos:Figura (5.14). Comportamento das estimativas de ` para ambos os modelos.Modelo I Modelo II(5.14)Podemos observar atravs da Figura (5.15) que com relao a probabilidade decaptura, no h diferena entre o modelo I e o modelo II.Figura (5.15). Comportamento das estimativas de j para ambos os modelos.Modelo I Modelo II(5.15)Quando temos um nmero muito pequeno de animais marcados observados, o5. UMA REPARAMETRI