EJEMPLOS:1.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 x + 2 y = 12 y que tiene

como centro el punto C (-4,-1)

el radio es la distancia del centro a la tangente:

r = 2

C(-4,-1); r = 2 ; ( x + 4 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = ( 2 )2 = 52

x2 + 8 x + 16 + y2 + 2 y + 1 – 52 = 0

x2 + y2 + 8 x + 2 y – 35 = 0 Forma general

( x + 4 )2 + ( y + 1 )2 = 52 Forma ordinaria

2.- Reducir a la forma Ordinaria la ecuación 2 x2 + 2 y2 – 10 x + 6 y – 15 = 0

dividiendo entre dos y pasando el termino independiente al 2o miembro.

( x2 – 5 x ) + ( y2 + 3 y ) =

completando el trinomio cuadrado perfecto para x y y.

la forma ordinaria es:

esta ecuación representa una circunferencia con centro y radio igual a 4.

3.-CARACTERÍSTICAS DE LA ECUACIÓN EN RELACION CON EL RADIO.En la forma general de la ecuación de la circunferencia con A = C =1; x2 + Dx + y2 + E y + F = 0,

y realizando las operaciones algebraicas que se indican:

que se representa en la forma ordinaria: ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2; de donde:

el centro es y el radio es r =

Las características de la circunferencia son:

1) Si D2 + E2 – 4 F > 0; la circunferencia es real.

2) Si D2 + E2 – 4 F < 0; la circunferencia es imaginaria.3) Si D2 + E2 – 4 F = 0; la circunferencia es un punto.

IDENTIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE SU FORMA CANONICA

1.-FORMA SIMPLE DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.La ecuación de la circunferencia cuando su centro es

el origen y tiene el radio r es la siguiente:

x2 + y2 = r2 Forma canónica

en la figura, se tiene una circunferencia con centro (0,0) en

el origen. La ecuación ordinaria para este caso es:

r2 = ( x – h )2 + ( y – k )2; r2 = ( x - 0)2 + ( y – 0 )2

x2 + y2 = r2

EJEMPLO:1.- Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tenga un radio de 13 unidades y

la abscisa de su centro sea –12.La circunferencia pasa por el origen:

h2 + k2 = r2

( -12 )2 + k2 = 132

144 + k2 = 169

k2 = 169 – 144 = 25

k = 5

( x + 12 )2 + ( y – 5 )2 = 169

x2 + y2 + 24 x – 10 y = 0

( x + 12 )2 + ( y + 5 )2 = 169

x2 + y2 + 24 x + 10 y = 0

EJERCICIOS XVIII

1) Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el punto ( - 2, 3 ) y la longitud del radio igual a 4 ( general y ordinaria ).

2) Encontrar las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 – 3 x + 5 y – 14 = 0

3) Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el punto ( 5, -2 ) y que pasa por el punto ( -1, 5 ).

4) Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro el segmento determinado por los puntos ( 5, -1 ) y ( - 3, 7 ).

5) Determinar si cada una de las siguientes ecuaciones representan un círculo, un punto o no tiene gráfica:

a) x2 + y2 – 6 x + 2 y + 10 = 0b) x2 + y2 + 4 x - 8 y – 5 = 0c) x2 + y2 + 10 y = 0d) x2 + y2 + 7 x + 5 y + 16 = 0

e) x2 + y2 – 4 x - 4 y + 9 = 0

f) x2 + y2 – 5 x - 3 y + = 0

6) Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, su radio es 10 y la abscisa de su centro es – 6.

7) Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, su radio es 4 y la ordenada de su centro es 2.

8) Encontrar el centro y radio de la circunferencia cuya ecuación es: x2 + y2 = 0

9) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que tiene una tangente en la recta 8 x – 15 y = 12

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DADAS TRES CONDICIONES

1.-CONDICIONES EN LA CINCURFERENCIA.La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria:

1 ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2

tiene a “h”, “k” y “r” como constantes arbitrarias independientes. En la forma general.2 x2 + y2 + D x + E y + F = 0

tiene a “D”, “E” y “F” como constantes arbitrarias independientes.

Toda ecuación de la circunferencia puede escribirse como 1 o como 2 por lo que, contando con tres condiciones independientes se pueden obtener tres ecuaciones que resueltas determinan la ecuación de una circunferencia.

EJEMPLO:

1.- Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos: A(-1, 1), B(3,5) y C(5, -3).

la ecuación es: x2 + y2 + D x + E y + F = 0, para determinar las constantes D, E y F se hace lo siguiente:

para A(-1,1) 1 + 1 – D + E + F = 0; D – E – F = 2

para B(3,5) 32 + 52 + 3 D + 5 E + F = 0; 3D + 5E + F = -34para C(5,-3) 52 + 32 + 5 D – 3 E + F = 0; 5D - 3E + F = -34

la solución de este sistema de tres ecuaciones es:

se demostrará que la ecuación es: ; es decir:

5 x2 + 5 y2 – 3 2 x – 8 y – 34 = 0para la obtención del centro y radio se escribe la ecuación de la forma ordinaria:

en donde el centro es:

2.- Encontrar la ecuación , centro y radio de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados: x + y = 8, 2 x + y = 14 y 3 x + y = 22.

la intersección de los lados son los vértices del triángulo, puntos por los que pasa la circunferencia.

en 2 x + y = 14 y x + y = 8 se tiene que x = 6; y = 2 V1(6,2)

en 3 x + y = 22 y x + y = 8 se tiene que x = 7; y = 1 V2(7,1)

en 3 x + y = 22 y 2x + y = 14 se tiene que x = 8; y = -2 V3(8,-2)

los vértices del triángulo son: V1 ( 6 , 2 ), V2( 7 , 1 ), V3( 8, -2 )

sustituyendo los valores de los vértices en x2 + y2 + D x + E y + F = 0

V1(6,2) 62 + 22 + 6 D + 2 E + F = 0; 6 D + 2 E + F = -40V2(7,1) 72 + 1 2 + 7 D + E + F = 0; 7 D + E + F = -50V3(8,-2) 82 + 22 + 8 D – 2 E + F = 0; 8 D – 2 E + F = -68

resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: D = -6; E = 4 y F = -12x2 + y2 – 6 x + 4 y – 12 = 0 Forma general

( x2 – 6 x ) + ( y2 + 4 y ) = 12 ; ( x2 – 6 x + 9 ) + ( y2 + 4 y + 4 ) = 12 + 9 + 4( x – 3 )2 + ( y + 2 )2 = 25 Forma ordinaria

el centro y el radio son: C ( 3, - 2 ); r = 5EJERCICIOS XIX

1) Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y el radio indicado en cada inciso:

a) r = 6, b) r = , c) r = , d) r =

2) Determinar la ecuación de la circunferencia ( ordinaria y general ) si tiene como diámetro el segmento determinado por los puntos:a) A ( 5, - 1 ) y B ( - 3, 7 ).b) A ( - 7, 0 ) y B ( 0, 4 ).

c) A ( 6, - 2 ) y B ( - 4, 3 ).d) A ( 5, - 2 ) y B ( 7, 2 ).

3) La ecuación de una circunferencia es (x – 2)2 + (y +3)2 = 16; demuestra que el punto A ( 4, - 2 ) es interior a la circunferencia y que el punto B ( 7, - 5 ) es exterior.

4) Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C ( - 2, 5 ) y que es tangente a la recta x = 7.

5) Encontrar la ecuación de la circunferencia de radio 7 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.

6) Encontrar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos que en cada inciso se señala:a) A ( 5, 3 ); B ( 6, 2 ); C ( 3, - 1 ) b) A ( 0, 0 ); B ( 3, 6 ); C ( 7, 0 ) c) A ( 4, - 1 ); B ( 0, - 7 ); C ( - 2, - 3 )

7) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto C ( - 4, 2 ) y tiene una tangente en la recta 3x + 4y – 16 = 0.

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN FORMA CANONICA (PRIMERA FORMA ORDINARIA) PARA LA OBTENCIÓN DE SUS PARÁMETROS O VICEVERSA

1.- DEFINICIÓN.Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se

mueve en un plano de tal manera que la distancia a una

recta fija, situada en el mismo plano, es siempre igual a la

distancia a un punto fijo del plano y que no pertenece a la

recta.

2.- ELEMENTOS DE LA PARÁBOLAF Foco; l Directriz

a Eje de la parábola; LL1 Lado recto

FP Radio focal; CC1 Cuerda focal

BB1 Cuerda V Vértice y punto medio del segmento AF;

3.- ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE ELEJE DE LAS “x” (PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA)

Sean: P( x, y ) un punto cualquiera de la curva

F( p, o ) Coordenadas del foco sobre el eje de las “x”

Y la ecuación de la directriz x = - p; por ser la

misma distancia de esta a la recta (pero signo

cambiado)

por definición de la parábola se debe cumplir con:

(1) | F P | = | P A | (Expresión

geométrica)

Donde:

| F P | será la distancia entre dos puntos, en este caso: el foco y el punto móvil. Siendo sus coordenadas F ( p, 0 ) y P ( x, y ) respectivamente; dicha distancia será:

(2)

| P A | será la distancia entre un punto y una recta; siendo – x = p o x + p = 0 la ecuación de la recta y P(x,y) las coordenadas del punto. Dicha distancia será dada por la ecuación:

de donde obtenemos :

(3)

ahora, sustituyendo (2) y (3) en (1)

elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical.

( x – p )2 + y2 = x2 + 2 x p + p2; x2 – 2 x p + p2 + y2 = x2 + 2 x p + p2

y2 = 2 x p + 2 x p expresión Analítica; realizando operaciones se obtiene:

y2 = 4 p x; ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje el de las “x”.

La longitud del lado recto será igual a 4P atendiendo al siguiente criterio.siendo las coordenadas del foco F( p, 0 ) y si el lado recto (LL’) pasa por F, la abscisa será igual a p y la ordenada tendrá en P( x, y ) el siguiente valor: si x = p, entonces

y = 2 p y el lado recto será igual a 4p.

Los resultados anteriores se resumen en seguida:

y2 = 4 p x ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje el eje de las “x”

F( p, 0 ) coordenadas del foco

x = - p la ecuación de la directriz

LR = 4 p

p > 0 la parábola abre hacia la derecha

p < 0 la parábola abre hacia la izquierda

4.- ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE EN “y” (PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA)

La demostración de dicha ecuación se obtiene en forma análoga a la anterior, siendo su resumen el siguiente:

x2 = 4 p y ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje el eje de las “y”

F( 0, p ) coordenadas del foco

y = - p la ecuación de la directriz

LR = 4 p

p > 0 la parábola abre hacia arriba

p < 0 la parábola abre hacia abajo

EJEMPLOS:

1. Una parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y” pasa por el punto (4, - 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de su directriz y longitud de su lado recto.

la ecuación de la parábola será de la forma x2 = 4 p y, ya que su eje coincide con el eje “y”, como la parábola pasa por P(4, - 2) debe satisfacer la ecuación anterior; por lo tanto

( 4 )2 = 4 p( - 2 ); 16 = - 8 p; p = - 2

siendo la ecuación buscada x2 = 4 ( - 2 )yx2 = - 8 ylas coordenadas del foco serán F( 0, p ) o F ( 0, - 2 )

la ecuación de la directriz es y = - p; y = 2

la longitud del lado recto |4P| = 8

2.-Hallar las coordenadas del foco, ecuación de la directriz y longitud del lado recto para la ecuación y2 = 12 x

sabiendo que la ecuación es de la forma y2= 4 p x;

de donde 4p = 12; es decir: p = 3

como la ecuación tiene como eje el eje de las “x”,

las coordenadas del foco serán F (3,0) y la ecuación

de la directriz será x = - 3; lado recto igual a 12.

3.-Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (0, -3)

partiendo del resumen de la parábola con vértice

en el origen, la ecuación será de la forma x2 = 4 p y,

su foco ( 0, p ), la ecuación de la directriz y = - p, por

todo esto se deduce que si F(0,-3), entonces p será

igual a –3, de donde la ecuación será: x2 = 4 ( -3 ) y;

x2 = - 12 y; la ecuación de la directriz es y = 3 y la

longitud del lado recto es 12

EJERCICIOS XX

1) Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que tiene como directriz la recta cuya ecuación es x – 5 = 0

2) Una cuerda de la parábola y2 – 4 x = 0 es un segmento de la recta x – 2 y + 3 = 0. Hallar su longitud.

3) Determinar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para cada caso siendo su vértice el origen:a) x2 = 20y b) y2 = 20x c) x2 + 12y = 0d) y2 + 8x = 0 e) y2 = - 2x f) x2 = 18y

4) Determinar la ecuación, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola con V ( 0, 0 ), eje coincidente con el eje “x” y que pasa por:a) ( - 2, 4 ) b) ( 5, 7 ) c) ( - 6, - 4 ) e) ( 2, - 4 )

5) Determinar la ecuación, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola con V ( 0,0 ), eje coincidente con el eje “y” y que pasa por:a) ( 4, - 2 ) b) ( 7, 5 ) c) ( - 4, - 6 ) e) ( - 4, 2 )

6) Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto si tiene como foco el que se indica en cada caso:a) F ( 4, 0 ) b) F ( 0, - 4 ) c) F ( - 6, 0 ) e) F ( 0, - 3 )

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.

SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA EN SUS DOS FORMAS PARA LA OBTENCIÓN DE SUS PARÁMETROS Y VICEVERSA

1.- SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE V ( h, k ) ( FUERA DEL ORIGEN) Y EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO

Consideremos ahora una parábola de vértice el punto ( h, k ) y cuyo eje es paralelo al eje “x”. La

ecuación de la parábola con referencia a los nuevos ejes estará dada por:

y’2 = 4 p x’ (1)

las coordenadas de p con referencia a su nuevo eje serán:

x = x’ + h; y = y’ + k

x’ = x – h; y’ = y - k

si sustituimos los valores de x’ y y’ en la ecuación (1)

obtenemos:

( y – k )2 = 4 p ( x – h ); segunda ecuación ordinaria

para este caso, se establece el siguiente resumen:( y – k )2 = 4 p ( x – h ) ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo al eje

de las “x” F( h + p, k ) coordenadas del focox = h - p la ecuación de la directriz

LR = 4 p

p > 0 la parábola abre hacia la derecha.

p < 0 la parábola abre hacia la izquierda.

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto ( h, k ) y cuyo eje es paralelo al eje “y” tiene por ecuación ( x – h )2 = 4 p ( y – k ); el resumen es el siguiente:

( x – h )2 = 4 p ( y – k ) ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo al eje de las “y”

F( h, k + p ) coordenadas del focoy = k - p la ecuación de la directriz

LR = 4 p

p > 0 la parábola abre hacia arriba.

p < 0 la parábola abre hacia abajo.

EJEMPLOS

1.- Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V ( 3, 4 ) y cuyo foco es el punto F ( 3, 2 ). Hallar la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Como el V y el F de una parábola están sobre su eje y como en este caso cada uno de estos puntos tiene la misma abscisa 3, se determina que el eje de esta parábola es paralelo a “y” y es de la forma ( x – h )2 = 4 p ( y – k ), como el vértice es V ( h, k ), siendo para este caso V ( 3, 4 ), la ecuación puede escribirse ( x – 3 )2 = 4 p ( y – 4 )

| p | = | F V | = | 4 - 2 | = 2; pero como F esta debajo de

V, p será negativo; p = - 2

siendo la ecuación de la parábola: ( x – 3 )2 = - 8( y – 4 )

LR ( longitud del lado recto será ) = |4 p| = | 4 ( 2 ) | = 8,

por definición, se conoce que la distancia del vértice al

foco, es la misma que del vértice a la directriz, siendo

para este caso dicha distancia igual a 3; por lo tanto, la

ecuación de la directriz es:

y = 6 ó y – 6 = 0

2.- La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco el punto ( 4, - 3 ). Hallar la ecuación de la parábola.

Se conoce que las coordenadas del vértice son el punto medio del segmento del foco a la directriz,si designamos como “A” el punto de intersección de la directriz con el eje y cuyas coordenadas serán (4, 1); por lo anterior:

| p | = | F V | = | -1 + 3 | = 2; pero como F esta

debajo de V, p será negativo; p = -2

LR = longitud del lado recto = 8

la ecuación de la parábola será de la forma

( x – h )2 = 4 p ( y – k ) siendo esta

( x – 4 )2 = - 8 ( y + 1 )

2.- SEGUNDA FORMA DE LA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA

Si la segunda ecuación ( y – k )2 = 4 p ( x – h ) se desarrolla y se agrupan términos obtenemos:

1 y2 – 4 p x – 2 k y + k2 + 4 p h = 0; y si: - 4 p = D; - 2 k = E; k2 + 4 p h = F, 1 = C;

tendremos que:

C y2 + D x + E y + F = 0; representa una parábola con eje paralelo o coincidente con el eje “x”.

Análogamente, si se desarrolla la ecuación ( x – h )2 = 4 p ( y – k ) se obtiene:

A x2 + D x + E y + F =0. que representa una parábola con eje paralelo o coincidente al eje “y”

EJEMPLO

1.- Demostrar que la ecuación 4 x2 – 20 x – 24 y + 97 = 0 representa una parábola, hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

Conforme a lo anterior; la ecuación es de la forma:

A x2 + D x + E y + F = 0 con eje paralelo a “y”

Reduciendo la ecuación y completando el cuadrado

para “x” obtenemos:

4 x2 – 20 x = 24 y – 97; x2 – 5 x = 6 y - ;

x2 – 5 x + = 6 y - + ; ( x - )2 = 6 y - ; ( x - )2 = 6 y – 18

( x - )2 = 6 ( y - 3 ), ecuación de la parábola; el vértice ( h, k ) es V ( , 3 )

el valor de 4 p = 6, de donde p = = ; el foco F ( h, k + p ) es ( , 3 + ),

o sea F ( , ); LR = lado recto = = | 4 p | = = | 4 ( ) |= 6

La ecuación de la directriz y = k – p = 3 - = ; o sea y =

EJERCICIOS XXI

1) Determinar la ecuación de la parábola y los elementos faltantes según el caso ( ecuación de la directriz, longitud del lado recto, foco, vértice, ecuación del eje de simetría ) con la información de cada inciso:a) Foco F ( 3, - 5 ); directriz y = 1b) Foco F ( 3, 4 ); directriz x – 1 = 0c) Foco F ( 0, 0 ); vértice V ( 2, 0 ) d) Foco F ( 4, - 3 ); directriz y – 1 = 0e) Foco F ( 3, - 1 ); directriz y – 5 = 0f) Vértice V (- 4, 3 ); foco F ( -1, 3 )g) Vértice V (4, 3 ); directriz x + 1 = 0

2) Reduzca la ecuación dada en cada inciso, a la segunda forma ordinaria, determinando las coordenadas del vértice y el foco, las ecuaciones de su directriz y su eje y la longitud del lado recto.a) 4 y2 – 48 x – 20 y = 71b) 9 x2 + 24 x + 72 y + 16 = 0

c) y2 + 4 x = 7 d) 4 x2 + 48 y + 12 x = 159

3) Determina la ecuación de la parábola con vértice en V ( 2, 3 ), de eje paralelo al eje “y” y que pasa por el punto ( 4, 5 ).

En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.