*Qu tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero.Bien... Dando probabilidad y estadstica... Respondo.Ah! Probabilidad... Yo suelo jugar a la lotera...Dice mientras me pasa la cuchilla.Distribuciones discretasCuando compro un nmero, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de probabilidad de ganar y un 50% de perder.-Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribuciones discretas: Bernouilli, binomial, Poisson y multivariante. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nmero determinado de valores: Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un nmero de 1 al 6; en una ruleta el nmero puede tomar un valor del 1 al 9

DISTRIBUCION DE BERNUILLILa distribucin de Bernuilli es el modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso: Cuando es acierto la variable toma el valor 1 Cuando es fracaso la variable toma el valor 0Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale); p robabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten); p robabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas)

Al haber nicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios: A la probabilidad de xito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q"Verificndose que: p + q = 1Veamos los ejemplos antes mencionados : Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire: Probabilidad de que salga cara: p = 0,5 Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad: Probabilidad de ser admitido: p = 0,25 Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1Ejemplo 3: Probabilidad de acertar una quiniela: Probabilidad de acertar: p = 0,00001 Probabilidad de no acertar: q = 0,99999 p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1

DISTRIBUCION BINOMIALLas distribucin binomial parte de la distribucin de Bernouilli: La distribucin de Bernouilli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene nicamente dos posibles resultados (xito o fracaso), por lo que la variable slo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribucin binomial se aplica cuando se realizan un nmero"n" de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido xitosEjemplo: se tira una moneda 10 veces: cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10La distribucin de probabilidad de este tipo de distribucin sigue el siguiente modelo:

Ejemplo 1: Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? " k " es el nmero de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6) " n" es el nmero de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 " p " es la probabilidad de xito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5La frmula quedara:

Luego, P (x = 6) = 0,205Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.

Ejemplo 2:Cul es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero 3 al lanzar un dado 8 veces? " k " (nmero de aciertos) toma el valor 4 " n" toma el valor 8 " p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)La frmula queda:

Luego,

P (x = 4) = 0,026Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el nmero 3 al tirar un dado 8 veces.

EjemplosLa probabilidad de que cierta clase de componentes sobreviva a una prueba de choques es . Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los 4 componentes que se prueben.

Sol 27/128

ejemploLas posibilidades de que un bit transmitido a travs de un canal se reciba con error es de 0.1. Suponga adems que los ensayos de transmisin son independientes. Sea x el numero de bits con error en los siguientes 4 bits transmitidos, determine la probabilidad de que lleguen 2 bits con error0.0486

APLICACIONESTodo experimento que tenga resultados binarios (xito/fracaso, defectuoso/no defectuoso, enfermo/sano, mujer/hombre, etc.) y cuyos ensayos sean independientes.Ejemplos:Medicina: frmacos, cura/no curaMilitares: misiles dan en el blanco/no dan.Comunicaciones: error de una cadena de bits.

MEDIA Y VARIANZALa media y varianza de la distribucin binomial, es: = npVarianza = npqEjemplo: en el de 4 bits, = 4 x 0.1= .4Varianza= 4 x 0.1x0.9= 0.36

Distribucin Poisson.Las distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial: Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo:

Vamos a explicarla: El nmero "e" es 2,71828 " l " = n * p (es decir, el nmero de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de xito en cada ensayo) " k " es el nmero de xito cuya probabilidad se est calculandoVeamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson.

Luego, P (x = 3) = 0,0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9%

Otro ejemplo: La probabilidad de que un nio nazca pelirrojo es de 0,012. Cul es la probabilidad de que entre 800 recin nacidos haya 5 pelirrojos?

Luego, P (x = 5) = 4,602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recin nacidos es del 4,6%..

MEDIA Y VARIANZALa media y varianza de la distribucin POISSON , es: = npVarianza = npConsecuencia: Si la varianza de los conteos es mucho ms grande que la media de los mismos, entonces la distribucin de Poisson no es buen modelo para la distribucin de la variable.

ejemploUn conmutador recibe en promedio 5 llamadas sobre autos extraviados por hora. Cul es laprobabilidad de que en una hora tomada al azar reciba?a) Ninguna llamada.b) Exactamente 3 llamadas.c) No ms de 3 llamadas.

ejemploa) Ninguna llamada. x = 0 sol. 0.00674963b) Exactamente 3 llamadas: x = 3 sol. 0.1404No ms de 3 llamadas: x < 4P(x < 4) = P(x 3) = P(x0 = 0) + P(x1 = 1) + P(x2 = 2) + P(x3 = 3)Sol. P(x < 4) = 0.0067+ 0.0337 + 0.0842 + 0.1406 = 0.2652 = 26.52 %

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICALos experimentos que tienen este tipo de distribucin tienen las siguientes caractersticas:a)Al realizar un experimento con este tipo de distribucin, se esperan dos tipos de resultados.b)Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.c)Cada ensayo o repeticin del experimento no es independiente de los dems.d)El nmero de repeticiones del experimento (n) es constante.

hipergeomtricaLa distribucin hipergeomtrica sigue el siguiente modelo:Donde:

Vamos a tratar de explicarlo:N: es el nmero total experimentosN1: es el nmero total que favorecen el evento 1N2: es el nmero total que favorece el evento 2k: es el nmero de eventos cuya probabilidad se est calculandon: es el nmero de ensayos que se realiza

Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar Cul es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan slo del 1,75%.

hipergeometricaVeamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas Cul es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.Pero este modelo no slo se utiliza con experimentos con bolas, sino que tambin se aplica con experimentos similares:

Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, cul es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?Solucin:N = 10 objetos en total

Sol. 0.3

k = 3 objetos defectuososn = 4 objetos seleccionados en muestrax = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

Una caja contiene 9 bateras de las cuales 4 estn en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres bateras. Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan,A) Ninguna batera en buen estadoB) Al menos una batera en buen estadoC) No mas de dos bateras en buen estado

Respuesta:Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeomtrico conN=9(total de elementos del conjunto)K=4(total de elementos considerados xitos)n=3(tamao de la muestra)X: cantidad de bateras en buen estado en la muestra (variable aleatoria discreta)Entonces la distribucin de probabilidad de X es:f(x) =P(X=0) = f(0) ==0.119P(X1) = 1 P(X

MEDIA Y VARIANZALa media y varianza de la distribucin hipergeometrica es , es: = np = nk/NVarianza = npq= (nk/N) [N-n/ N-1 ]

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