Probabilidad

Definiciones

Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un numeroindefinido de veces.

Experimento aleatorio: Es aquel experimento cuyo resultado no se puede predecir, es decir, co-nociendo el conjunto de resultados posibles, no es posible predecir cual sera el resultado particulardel experimento.

Experimento determinıstico: Es aquel experimento cuyo resultado se puede predecir.

Espacio muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se repre-senta por E.

Evento o suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, esun subconjunto del espacio muestral.

Tipos de eventos

Evento o suceso cierto: Es el propio espacio muestral, es decir, es un evento que siempreocurrira.

Evento o suceso imposible: Es aquel subconjunto del espacio muestral que no tiene ele-mentos, es decir, es el conjunto vacıo y esta asociado a algun evento que nunca puede ocurrir.

Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellosimpide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultaneamente). En otras palabras,cuando dos o mas eventos no tienen elementos comunes.

Eventos Complementarios: Son aquellos eventos que no tienen elementos comunes y launion de ellos es el espacio muestral.

Observacion: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas,etc..., se supondra que no estan cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa.

Probabilidad clasica

La probabilidad de ocurrencia de un suceso A se obtiene dividiendo el numero de casos favorablesal evento A por el numero total de casos posibles (cardinalidad del espacio muestral).La probabilidad de A se denotara por P(A).

P(A)=Numero de casos faborables para A

numero total de casos posibles

Observacion:

La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que noocurra. P (A) = 1− P (A′); A′ = A no ocurre.

0 ≤ P (A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P (A) ≤ 100%.

Probabilidades de eventos

Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la proba-bilidad de que ocurran A o B o ambos esta dada por:

P (A o B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la proba-bilidad de que ocurra A o B esta dada por:

P (A o B) = P (A ∪B) = P (A) + P (B)

Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de unono influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A,dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposicion de que el suceso Bha ocurrido.

P (A/B) =P (A ∩ B)

P (B)

Probabilidad y triangulo de Pascal (Caras y sellos)

En el triangulo de Pascal se aprecia cuantas combinaciones de caras y sellos pueden salir al lanzarmonedas. Ası se puede averiguar la probabilidad de cualquier combinacion. Por ejemplo, si se lanzauna moneda tres veces, solo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras desacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), tambien tres de sacar una cara y dos sellos (CSS,SCS, CSS) y solo una de sacar tres sellos (SSS). En resuen la secuencia numerica en el triangulode pascal sera: 1 - 3 - 3 - 1.

Ejemplo:¿Cual es la probabilidad de sacar exactamente dos caras en el experimento de lanzar 4 monedas?

Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 = 16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos

caras. Ası que la probabilidad es6

16, o 37,5%

Triangulo de Pascal

Diagrama de arbol:

Representa de manera grafica todos los resultados posibles del experimento de lanzar una monedareiteras veces.

Por ejemplo, calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres vecesseguidas una moneda.

Resultados favorables: 8 (CCC - CCS - CSC - CSS - SCC - SCS - SSC - SSS)Casos favorables: 3 (CCS - CSC - SCC)

Probabilidad =3

8

La ley de los grandes numeros, tambien llamada ley del azar, afirma que al repetir un ex-perimento aleatorio un numero de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende aaproximarse a un numero fijo, llamado probabilidad de un suceso.

Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso ”salir cara al lanzaruna moneda”.

Lanzamientos 100 150 200 300 400 500fi 56 68 108 132 208 255hi 0, 56 0, 45 0, 54 0, 44 0, 52 0, 51

Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0, 5. Esa es laprobabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.

La probabilidad de un suceso es el numero al que se aproxima su frecuencia relativa

cuando el experimento se repite un gran numero de veces.

Ejercicios

1. La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es1

3. ¿Cual es la probabilidad de sacar

una bola que no sea roja?

a)1

3b) 1

c)2

3

d)1

6e) Falta informacion

2. Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cual es la probabilidad de que sumen 3 o 4?

a)1

6

b)7

36

c)4

36

d)5

36

e)21

36

3. Una rueda esta dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. ¿Cual es la probabilidadde obtener un numero impar y mayor que 3?

a)7

8

b)1

4

c)1

2

d)3

8

e)5

8

4. En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamano. 12 son rojas, 20 son cafes y 18 sonamarillas. ¿Cual es la probabilidad de sacar una roja, una cafe, una amarilla y nuevamenteuna roja, en ese orden y sin reposicion?

a)12

50+

20

50+

18

50+

11

50

b)12

50+

20

49+

18

48+

11

47

c)12

50· 2050

· 1850

· 1250

d)12

50· 2049

· 1848

· 1247

e)12

50· 2049

· 1848

· 1147

5. En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectoresy ella nunca cae en los lımites de dichos sectores. ¿Cual(es) de las siguientes proposicioneses(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el numero 1 es de 1/2

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el numero 2 es de 1/4

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el numero 2 o en el 3es de 2/3

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

6. En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona sacauna a una las 4 fichas, ¿cual es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?

a)1

4

b)1

2

c)3

4

d)1

8

e)1

24

7. Alberto, Bastian y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una sumapar. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastian un 3 y Carlos un 6. ¿Cual delas afirmaciones siguientes es verdadera?

a) Todos tienen probabilidad 1/2 de ganar.

b) Todos tienen probabilidad 1/3 de ganar.

c) El que tiene mas probabilidad de ganar es Carlos.

d) Carlos tiene mas probabilidad de ganar que Alberto.

e) Bastian tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.

8. ¿Cual es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultaneamente, 2 sean caras y 1 seasello?

a)3

8

b)1

8

c)2

8

d)1

3

e)2

3

9. ¿Cual es la probabilidad de obtener tres numeros unos al lanzar tres dados?

a)3

216

b)1

216

c)3

8

d)1

18e) Ninguno de los valores anteriores

10. En una tombola hay 11 pelotitas de igual tamano y peso numeradas del 1 al 11. Las primeras5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar unapelotita al azar, esta sea roja y par es:

a)1

2

b)2

5

c)5

11

d)2

11

e)1

4

11. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cual es la probabilidad de que elsuceso no ocurra?

a) 0,45

b) 0,55

c) 0,65

d) -0,45

e) -0,55

12. ¿En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a 1?

a) Nacer en un ano bisiesto

b) Que al tirar una moneda salga cara

c) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trebol

d) Que un mes tenga 30 dıas

e) Que al tirar un dado, el numero obtenido sea igual o inferior a 6

13. Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados

Cara 1 2 3 4 5 6Frecuencia 13 15 17 16 20 19

¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener par es de un 50%

II) La probabilidad de obtener las caras 1 o 3 es de 30%

III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%

a) Solo II

b) Solo III

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

14. Al lanzar un dado comun, ¿cual(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?

I) Que salga un 2 es mas probable que salga un 6.

II) La probabilidad de obtener un numero impar es1

2.

III) La probabilidad de obtener un numero multiplo de 3 es1

6.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

15. Se lanza una vez un dado comun, ¿cual es la probabilidad de que salga un numero menorque 2 o mayor que 4?

a)1

6

b)1

2

c)1

3

d)2

3

e)5

6

16. En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma:

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO

Ninos 15 20 18 12Ninas 30 25 27 33

Si se elige un estudiante al azar ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que sea un nino es65

180.

II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es45

180.

III) La probabilidad de que sea una nina y de segundo es25

45.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

17. Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos ca-minos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cual(es) de los puntos tiene mayorprobabilidad de llegar el competidor?

a) P

b) Q

c) R

d) S

e) T

18. En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cual es la menorcantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una

bolita al azar la probabilidad de que esta sea negra, sea3

4?

a) 1 blanca y 0 negra

b) 0 blanca y 1 negra

c) 0 blanca y 5 negras

d) 3 blancas y 5 negras

e) 2 blancas y 2 negras

19. Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas,¿cual es la probabilidad de que la suma de los numeros de ellas sea diferente de 10?

a)8

9

b)17

18

c)16

17

d)9

10

e)7

8

20. Si se ha lanzado 3 veces un dado comun y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cual es laprobabilidad de que en el proximo lanzamiento salga un 4?

a)1

3

b)1

6

c)1

4

d)3

6

e)4

6

21. Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorıasA (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cual es la probabilidad de que sea mujer y juegueen la categorıa A?

a)7

13· 1

350

b)1

4

c)3

5

d)7

12

e)7

20

22. Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cual es la suma de puntos que tiene mayor probabilidadde salir?

a) 12

b) 10

c) 9

d) 7

e) 6

23. En un automovil viajan 5 personas, dos adelante y tres atras. Si solo uno de ellos sabemanejar. ¿De cuantas formas se pueden ordenar?

a) 5

b) 6

c) 10

d) 24

e) 120

24. En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si se extraen dos cartas sin reposicion. ¿Cuales la probabilidad de sacar dos reyes?

a)3

52· 2

51

b)4

52· 3

51

c)3

52· 1

51

d)4

52

e)3

51

25. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas del 1 al 9. ¿Cual es la probabilidad desacar una bolita gris con un numero par?

a)4

9

b)2

9

c)3

9

d)1

9

e)5

9

26. Al lanzar un dado dos veces. ¿Cual es la probabilidad de que salga un 5 en la primera y un2 en la segunda?

a)1

6

b)2

6

c)1

12

d)1

36

e)7

36

27. En un juego de azar hay 30 resultados posibles y equiprobables. Jose tiene 10 resultadosprobables, Paula tiene 8 y Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. ¿Cual(es)es(son) verdadera(s)?

I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar.

II) La probabilidad de que Paula No gane es4

15.

III) Jose tiene1

3de probabilidad de ganar.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) I y III

e) I, II y III

28. ¿En cual de los siguientes colegios existe mayor probabilidad de que al elegir un alumno alazar este sea extranjero?

Colegio Total de alumnos Extranjeros

F 380 20G 580 29H 600 30I 450 25J 400 20

a) F

b) J

c) H

d) I

e) G

29. ¿En cual(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad de ocurrencia el suceso mencio-nado, es siempre igual a la probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso?

I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda.

II) Que salga un numero impar, al lanzar un dado comun.

III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna que contiene solo fichasrojas y verdes, todas del mismo tipo.

a) Solo en I

b) Solo en III

c) Solo en I y en II

d) Solo en I y en III

e) En I, en II y en III

30. Al lanzar cuatro dados comunes, ¿cual es la probabilidad de que en todos los dados salga un4?

a)1

1296

b)1

6

c)4

6

d)4

1296e) Ninguno de los valores anteriores

Estadıstica

La estadıstica es una rama de la matematica que comprende Metodos y Tecnicas que se empleanen la recoleccion, ordenamiento, resumen, analisis, interpretacion y comunicacion de conjuntos dedatos

Definiciones

Poblacion: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna caracterıstica comun que se quiereestudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de metodos, de medidas, de producciones,de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

Muestra: Es un subconjunto de la poblacion, que debe ser representativa y aleatoria.

Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numericas), por ejemplo: sexo, naciona-lidad, profesion, etc.

Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un numero real, por ejemplo: peso, tem-peratura, salario, etc.

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:

Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: numero de hijos, numero de departa-mentos en un edificio, etc.

Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor real, por ejemplo: el peso, la estatura, etc.

Tabulacion de datos

La tabulacion consiste en presentar los datos estadısticos en forma de tablas o cuadros. Algunosconceptos importantes a considerar en ella son:

Frecuencia (ni): Numero de veces que se repite un dato (tambien se le denomina frecuencia ab-soluta)

Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de lavariable y el total de datos

Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias ab-solutas hasta la que ocupa la ultima posicion

Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la fre-cuencia relativa hasta la que ocupa la ultima posicion

Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los lımites superior e inferior

Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmetico) entre los lımites superior e inferior decada intervalo

Medidas de tendencia central

Media aritmetica: Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el numero de datos. Paraencontrar la media aritmetica con datos organizados en una tabla de frecuencias, siendo los datos:x1, x2, x3, ..., xn, y las frecuencias respectivas: f1, f2, f3, ..., fn, entonces la media aritmetica es:

X =

∑

n

i=1xi · fiN

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que mas se repite. Si nohay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribucion de frecuencia es amodal

Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posicion central de la muestra cuando estos se encuentranordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un numero par de datos, la medianaes la media aritmetica de los dos terminos centrales

Representacion grafica de datos

Pictogramas: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo queplantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamanoproporcional a la frecuencia con que aparece cada uno.

Grafico por sectores (torta): La representacion grafica se hace por medio de un cırculo, divididoen sectores de areas proporcionales a las frecuencias de la variable.

Diagrama de barras: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen,junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcionala la frecuencia.

Histogramas:Mediante un histograma se representa graficamente las distribuciones de frecuenciasde variables estadısticas continuas. Se construyen rectangulos que tienen como bases cada intervalode la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos.

Polıgono de frecuencias: Cada par ordenado (Variable,Frecuencia)=(xi, fi) da origen a unpunto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una lınea poligonal, se obtieneun polıgono de frecuencias.

Medidas de localizacion

Los cuantiles son medidas de posicion o localizacion que no necesariamente son centrales, peroinforman acerca de como distribuyen los datos.

Cuartiles: Son valores de la variable que dividen a la distribucion en cuatro partes iguales, porlo tanto los cuartiles son tres C1 que deja por detras de el al 25% de la poblacion, C2 que dividea la poblacion en dos partes iguales y C3 que deja atras al 75% de la poblacion.

Deciles: Son valores e la variable que dividen a la distribucion en diez partes iguales, por lo tantolos deciles son nueve, D1 deja al 10% antes, D2 al 20% y ası sucesivamente hasta D9 que deja al90% antes y al 10% despues de el.

Percentiles: Son valores de la variable que dividen a la distribucion en cien partes iguales, por lotanto los percentiles son 99.

En realidad tanto cuartiles como deciles se calculan con el correspondiente percentil.

D1 = P10 D9 = P90 C1 = P25 C2 = D5 = P50 = ME.

Medidas de dispersion

Las medidas de dispersion nos indican el mayor o menor alejamiento de los valores de una variablerespecto a un promedio. Casi siempre acompanando a un promedio debe ir una medida de disper-sion que nos indica la mayor o menor representatividad del promedio.Las medidas de dispersion absoluta mas utilizadas son:

Rango o recorrido.

Recorrido intercuartılico.

Desviacion media.

Varianza.

Desviacion tıpica.

Rango o recorrido: Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.R = xn − x1

Recorrido intercuartılico: Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil.RI = Q3 −Q1

Desviacion media: Es la suma de los valores en valor absoluto de la diferencia entre cada valorde la variable y la media aritmetica por su frecuencia y dividido por el numero de datos.

DX=

n∑

i=1

(

xi −X)

· fi

N

Varianza: Corresponde al promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y el pro-medio del conjunto dado.

σ2 =

n∑

i=1

(

xi −X)2 · fi

N

Propiedades:

1. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Tan solo hay un caso en que es cero y escuando todos los valores de la variable son iguales.

2. Si a los valores de la variable le sumo una constante, la varianza de la nueva variable es lamisma que la que tenıa antes.

3. Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la varianza de la nuevavariable es la que tenıa por el cuadrado de la constante.

4. la varianza de la variable Y = aX + b es la varianza de X multiplicada por el cuadrado de a.

5. Calculo abreviado de la varianza que es la formula mas utilizada: σ2 =

n∑

i=1

x2

i

n−X

2

Desviacion tıpca o estandar (σ): Es la raız cuadrada positiva de la varianza y es la medida dedispersion mas utilizada.

σ =

√

√

√

√

√

n∑

i=1

(

xi −X)2 · fi

N

Coeficiente de variacion de Pearson: Nos indica la mayor o menor homogeneidad de los datosrespecto de la media y por lo tanto nos entrega la representatividad de la media de la distribucion.

CVx =σx

X

EJERCICIOS

1. Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8, ¿que se obtiene?a) Mediana

b) Media Aritmetica

c) Moda

d) Media geometrica

e) Desviacion estandar

2. El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuanto pesa el quinto si la suma de los 4primeros es 302?

a) 78

b) 68

c) 62

d) 58

e) 72

3. La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cual(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La moda es 17 anos.

II) La mediana es mayor que la media (promedio).

III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 anos.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II yIII

e) I, II y III

Edad ( en anos ) 15 16 17 18 19Alumnos 50 40 60 50 20

4. El grafico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades depor-tivas. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ?

I) La frecuencia relativa del grupo de futbol es de 40%.

II) La frecuencia relativa del grupo de basquetbol es de 30%.

III) La mitad del grupo no prefirio futbol ni tenis.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

5. El grafico de la figura aparecio en un periodico de una ciudad. En el se indica la preferenciapor el noticiero central de cinco canales de television, segun una muestra aleatoria, en unano determinado. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto es TV5.

II) El grafico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieros centralesde esta ciudad.

III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estos cincocanales.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

6. Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los alumnos de un curso,¿cual de las opciones siguientes es siempre verdadera?

a) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.

b) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

c) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura mas frecuente.

d) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura mas frecuente.

e) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

7. La tabla adjunta muestra la distribucion de los puntajes obtenidos por los alumnos de uncurso en una prueba de matematica. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verda-dera(s)?

I) El total de alumnos que rindio la prueba es40.

II) La mediana se encuentra en el intervalo 20-29.

III) El intervalo modal (o clase modal) es el in-tervalo 30-39.

Intervalos de puntaje Frecuencia10− 19 620− 29 830− 39 1240− 49 550− 59 9

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y III

e) I, II y III

8. Tres cursos rindieron una misma prueba obteniendose los resultados que se indican en latabla adjunta. ¿Cual es el promedio total de la prueba?

a) 4,25

b) 5,00

c) 5,16

d) 5,25

e) 5,50

Curso Numero de alumnos Promedio

P 20 6Q 18 5R 12 4

9. Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Fısica fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7;6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) Solo II

b) Solo III

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

I) La mediana es 7

II) La moda es 5

III) La media aritmetica (o promedio) es 5

10. El cuadro siguiente muestra el numero de artıculos vendidos en distintos dıas de la semana yuno de sus valores acumulados ¿Cuantos artıculos se han vendido en total hasta el terminodel dıa miercoles?

a) 24

b) 20

c) 30

d) 8

e) Ninguna de las anteriores

Dıas N◦ de artıculos Total acumulado

LunesMartes 12 16

Miercoles 8Jueves 6

11. Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. Uno de ellos, con 20 estudiantes, la notapromedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la notapromedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es:

a) 5,7

b) 5,6

c) 5,5

d) 5,4

e) 5,3

12. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribucion de edades. Lamoda y la mediana de las edades de ese grupo son:moda mediana

a) 16 17

b) 17 15

c) 15 17

d) 5 1

e) 17 16

Edad Frecuencia

13 514 1115 116 517 13

13. Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. ¿Cual(es) delas siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Su media aritmetica (o promedio) es 4,5.

II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.

III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

14. A dos cursos distintos se les aplico la misma prueba en iguales condiciones, obteniendoselas desviaciones estandares que se muestran en la tabla adjunta. ¿Cual(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El curso Q es el mas homogeneo.

II) El curso R es el mas homogeneo.

III) El curso Q presenta mayor disper-sion en las notas.

Curso Promedio Desviacion estandar

Q 4, 6 1R 5, 2 0, 8

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo II y III

e) Ninguna de ellas

15. El grafico de la figura, representa la distribucion de los puntajes obtenidos por un curso enuna prueba. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos.

II) 30 alumnos obtuvieron mas de 20 puntos.

III) 1

10de los alumnos obtuvo 10 puntos.

a) Solo I

b) Solo III

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

16. En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribucion de edades ¿Cualde las siguientes formulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra?

a)E1 + E2 + E3 + E4

4

b)E1 + E2 + E3 + E4

N1 +N2 +N3 +N4

c)N1 · E1 +N2 · E2 +N3 · E3 +N4 · E4

N1 +N2 +N3 +N4

d)N1 · E1 +N2 · E2 +N3 · E3 +N4 · E4

4

e)N1 +N2 +N3 +N4

4

Edad Frecuencia

E1 N1

E2 N2

E3 N3

E4 N4

17. El grafico siguiente muestra los precios de cierto producto durante el primer semestre de esteano. ¿Cual(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El precio mas alto fue en Abril.

II) El precio mas bajo se registro enJunio.

III) La mayor diferencia ocurrio enMayo.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) I y II

e) Ninguna de las anteriores.

18. Dados los siguientes datos : 3 - 6 - 4 - 6 - 5 - 6, la desviacion tıpica es:

a)√2

3

b)√3

2

c)√

4

3

d) 1

e) 3√2

3

19. Tres muestras de datos han arrojado los siguientes parametros:

I) x = 30, σ = 5II) x = 30, σ = 3III) x = 30, σ = 10

¿Cual de las siguientes es(son) la(s) mas dispersa(s)?

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y IIe) Todas son presentan igual dispersion.

20. Dados los datos 1,3,5,7 y 9. si a cada uno le sumamos 10, podemos decir que:

I) La nueva media aritmetica es 10.II) La nueva mediana es 9.

III) La nueva desviacion tipica es√8.

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y IIe) Solo I y III

21. Una muestra tiene los siguinetes datos: 2, 4, 6, 8, 5, 5, 7, 3, 5, 5. Por lo tanto el valor delrango es:

a) 4b) 5c) 6d) 10e) No se puede determinar

22. Si se calcula la sumatoria de todas las diferencias al cuadrado, entre el promedio y cada unode los dartos de una muestra, y posteriormente se calcula la raiz cuadrada del cuociente entreesta sumatoria y el total de datos, se obtiene:

a) La mediana.b) El rango.c) La varianza.d) La desviacion estandar.e) La media ponderada.

23. Si en una muestra de datos, todos son iguales ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son)siempre verdaderas?I) La media aritmetica es 0.II) La media, mediana y moda son iguales.III) La desviacion tipica es 0.

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y IIe) Solo II y III

24. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos por dos cursos en un examen.¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas?

Curso Promedio Varianza

A 6 0, 36B 6, 5 1

I) El curso A es el mas homogeneo.II) El curso B presenta menor dispersion en las notas.III) El promedio aproximado del total de alumnos de los dos curso es 6,3.

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y IIIe) Ninguna de las anteriores.

25. Si la moda de una muestra es 5, la media aritmetica es 5 y el rango es cero. De las siguientesafirmaciones no se cumple que:

a) La mediana es 5.b) No se puede determinar la cantidad de datos de la muestra.c) Todos los datos son iguales.d) La varianza es cero.e) Todas las afirmaciones anteriores son falsas.

26. Dados los siguientes conjuntos de datos: A = {2, 4, 6, 8} B = {3, 5, 7, 9}¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a estos conjuntos?

I) La varianza del conjunto A es mayor que la del conjunto B.II) Las medianas de ambos conjuntos son iguales.III) La moda del conjunto B es menor que la moda del conjunto A.

a) Solo IIIb) Solo I y IIc) Solo II y IIId) I, II y IIIe) Ninguna de las anteriores.

27. Si a,b,c son tres numeros enteros cuya desviacion estandar es σ,entonces la desviacion estandarde pa, pb y pc, con n un numero positivo, es

a) p2σb) σc)

√pσ

d) pσe) 3pσ