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Docenti: Proff.: Renata Graziani – Fausto Martire Tutor: Prof.ssa Anna AlfieriDocenti: Proff.: Renata Graziani – Fausto Martire Tutor: Prof.ssa Anna Alfieri
ITC ROSSANOITC ROSSANO
PROGETTO DIGI SCUOLAPROGETTO DIGI SCUOLA
0vvero come risolvere i problemi con le equazioni0vvero come risolvere i problemi con le equazioni
ProblemaProblema
Un televisore, dopo che è stato Un televisore, dopo che è stato praticato lo sconto del 12% sul prezzo praticato lo sconto del 12% sul prezzo
originario è stato pagato 308 euro. originario è stato pagato 308 euro. Qual’era il prezzo del televisore ?Qual’era il prezzo del televisore ?
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Familiarizziamo con il problemaFamiliarizziamo con il problema DATIDATI
Sconto effettuato sul Sconto effettuato sul prezzo del televisore: prezzo del televisore:
12%12% Prezzo scontato:Prezzo scontato:
308 euro308 euro
OBIETTIVOOBIETTIVO
Del problemaDel problema Il Il prezzoprezzo originario del originario del
televisoretelevisore
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Costruiamo il modello del problemaCostruiamo il modello del problema
Indichiamo conIndichiamo con X X ( INCOGNITA ) il prezzo ( INCOGNITA ) il prezzo originario del televisore (che è il nostro obiettivo)originario del televisore (che è il nostro obiettivo)
Osserviamo che deve essere X>308 ( il prezzo Osserviamo che deve essere X>308 ( il prezzo originario deve essere maggiore del prezzo originario deve essere maggiore del prezzo scontato.scontato.
Per determinare x impostiamo un’Per determinare x impostiamo un’EQUAZIONE EQUAZIONE che tiene conto dei dati.che tiene conto dei dati.
L’equazione è la seguente:L’equazione è la seguente:
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Dal problema all’equazioneDal problema all’equazione
308100
12 xx
Prezzo
originario meno
Il 12% del Prezzo
originarioè uguale al Prezzo
scontato
Prezzo
originario
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Riscriviamo l’equazioneRiscriviamo l’equazione
ossiaossia
30825
3 xx
Osserva che
25
3
100
12
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Risolviamo l’equazioneRisolviamo l’equazione
30825
3 xx
25308325 xx2530822 x
Moltiplichiamo entrambi i membri per 25
35022
25308
x
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RispondiamoRispondiamo
La soluzione trovata è accettabileLa soluzione trovata è accettabile
( infatti il prezzo trovato è maggiore di ( infatti il prezzo trovato è maggiore di 308 )308 )
Concludiamo che il prezzo originario Concludiamo che il prezzo originario del televisore era di € 350.del televisore era di € 350.
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Dal concreto
Definiamo il modelloAll’astratto
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Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano.Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado.La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione stessa. Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata; se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette soluzioni.
Definizione di equazioneDefinizione di equazione
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Equazioniax = b con a,b,x
Equazioni determinate
(una soluzione)
ax = b
Equazioniindeterminate
(infinite soluzioni)
0x = 0
Equazioniimpossibili
(nessuna soluzione)
0x = b
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Data una generica equazione:
ax = b con a, b, x
Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.
x – 1 + 2x = 3x - 1
1° membro 2° membro
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ClassificazioneEquazioni
RazionaliLe incognite non
compaiono sotto un segno di radice
IrrazionaliLe incognite
compaiono sotto un segno di radice
NumericheOltre alle incognite non compaiono altre
lettere
letteraliOltre alle incognite
compaiono altre lettere
Interele incognite non compaiono in un
denominatore
FratteLe incognite
compaiono anche nei denominatori
Grado di
un’equazione in
tera
nella fo
rma P(x)=
0:
È il gra
do del
polinomio
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5x = 15
x 1° membro 2° membro-3 -15 15-2 -10 15-1 -5 150 0 151 5 152 10 153 15 15
x = 3 è la soluzione cercata
Data un’equazione ax = b determinare una soluzione significa determinare quel particolare valore dell’incognita che rende il primo membro uguale al secondo
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EQUAZIONI EQUIVALENTI
Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione
Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.
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A = B A + k = B + k
1° principio
A = B A p = B p
2° principio
Le equazioni possono essere paragonate ad una bilancia. Il contenuto del piatto di sinistra corrisponde al primo membro, quello di destra al secondo membro:
Se si aggiunge un pesetto su un piatto per mantenere l’equilibrio bisogna aggiungere un pesetto uguale anche sul 2° piatto
Quindi il “primo principio della bilancia” può essere sintetizzato dicendo: se in una bilancia, in equilibrio, si aggiungono pesetti uguali su due piatti si ha ancora l’equilibrio.
Se si raddoppia il contenuto di un piatto per mantenere l’equilibrio bisogna raddoppiare il contenuto del 2° piatto
Quindi il “secondo principio della bilancia” può essere sintetizzato dicendo: se, in una bilancia, in equilibrio, si raddoppia il contenuto dei due piatti si ha ancora l’equilibrio. Lo stesso succede se si triplica, dimezza ecc….
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Come si costruiscono equazioni equivalenti?
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si aggiunge o si sottrae una stessa espressione letterale, contenente o no l’ incognita, per entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente.
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si moltiplica o si divide entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da 0, una stessa espressione letterale ( escludere i valori delle lettere che la annullano o che la rendono priva di significato), si ottiene un’equazione equivalente alla precedente.
Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri l’espressione: 6 – 7x:
8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10
Esempio: 8x = -16 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:
8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2
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Le diapositive che seguono
possono essere presentate agli
allievi come attività di laboratorio
in Excel.
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I D E N T I T A’
x2 - 4x + 4 = ( x - 2)2
x= -9 2
81 - -36 + 4 = ( -9 - 2 )
=
6
attribuisci un valore alla x
121 121
l'uguaglianza è verificata
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4 x + 7 = 7
x= 0,6
2,4 + 7 = 7
= 7
x=la soluzione dell'equazione è: 0
attribuisci un valore alla x
Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree evidenziate in verde
9
il valore indicato non è soluzione dell'equazione
E Q U A Z I O N E
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3 x + 9 = 7 procedi
3 x + 9 - 9 = 7 - 9
procedi
3 x = 7 - 9
cioè
3 x = -2
ESEGUENDO I CALCOLI:
NOTA BENE:QUESTO RISULTATO SI SAREBBE POTUTO OTTENERE
TRASPORTANDO DIRETTAMENTE IL TERMINE NOTO AL 2° MEMBRO E
CAMBIANDOLO DI SEGNO
Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree evidenziate in verde
seleziona procedi nella casella evidenziata in rosso per calcolare la somma algebrica dei termini membro a membro
applicando il primo principio di equivalenza si può scrivere che:
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3 x - 9 = 5 x - 9procedi
3 x - 9 + 9 = 5 x procedi
3 x = 5 x
Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree
evidenziate in verde
Trasportando i termini noti al primo membro si otterrebbe:
si sarebbero potuti direttamente eliminare i termini uguali posti su membri diversi, ottenendo lo stesso risultato
1° PRINCIPIO - ELISIONE