-
1
GFS - T E O R I J A V J E R O V A T N O E I S T A T I S T I K
A
Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih
osnova slian je moreplovcu koji ulazi u brod bez krme i busole
ne znajui
kuda se plovi. ( LEONARDO DA VINCI )
P r e d a v a n j a na Poslijediplomskom doktorskom studiju
graevinarstva
u akademskoj 2009/2010. godini
D R U G I D I O
O P T A I M A T E M A T I K A S T A T I S T I K A
1. U V O D
1.1. Poeci, razvoj, znaaj i definicija statistike
Pri izuavanju Teorije vjerovatnoe upoznali smo se sa nekim
pojmovima koje prouava ili na kojima se zasniva statistika.
Oslanjajui se na ve izneeni razvijeni aparat teorije vjerovatnoe
(TVJ), koja, inae, predstavlja matematiku strukturu na kojoj su
zasnovane statistike metode, u ovom poglavlju date su osnove
statistike u mjeri koja je neophodna za primjenu statistike u
tehnikim naukama, posebno u saobraaju, komunikacijama i
informatici, ali i koja je neophodna za logiki tok daljeg dubljeg
izuavanja i odgovarajuih primjena. Rije statistika potie od
latinske rijei status to znai stanje, drava, ... . Kao nauka
pojavljuje se u XVII vijeku, mada neki korijeni statistikih metoda
potiu jo iz vremena najstarijih civilizacija. Smatra se da je rije
statistika prvi upotrijebio naunik Gotfrid Ahenval (Gottfried
Achenwall, 1719-1772), unosei ovaj naziv u svoje radove i u naziv
jednog predmeta (pod nazivom Notitia politica vulgo statistica) na
njemakom univerzitetu u Getingenu. Dok je u Njemakoj i ostalim
razvijenim zemljama kontinentalne Evrope razvoj statistike
djelatnosti bio pod snanim uticajem osnivaa univerzitetske
kole-dravopisa, dotle se u Engleskoj razvio drugi pravac, tzv.
Politika aritmetika koja svoje teorijske osnove ima u racionalnoj
filozofiji Leonarda da Vinija, Dekarta i dr. Osniva ove kole bio je
Don Graunt (John Graunt, 1602-1674), dok je osniva pravca
univerzitetska statistika bio prof. Hermann Conring (1606-1671) /
profesor istraivaa Gotfrida /. U XIX vijeku statistika se znatno
razvila po sadrini i metodama, naroito koritenjem rauna
vjerovatnoe. Prve takve radove nalazimo kod Laplasa (Pierre Simon
de Laplace) i (Jean Baptiste Joseph) Fouriera poetkom XIX vijeka,
kada su u Parizu i departmanima Sene vrili procjenu broja ukupnog
stanovnitva na bazi uzorka sa izraunavanjem najvjerovatnije
greke.
Meutim, najznaajnije ime u razvoju statistike XIX vijeka je
belgijski fiziar i astronom (Lambert Adolphe Jacob) Ketle
(Quetelet, 1796-1874), na iju je inicijativu odran
-
2
i kongres statistiara u Briselu (Brussels, Belgique-Belgium)
1853. godine, a zatim jo est kongresa u zemljama srednje Evrope.
Kao to je XX vijek postao vijek tehnike i hemije, a isto tako je to
i vijek statistike koja proima sav na ivot, jer se danas statistike
metode koriste u raznim istraivanjima (u fizici, tehnici,
socioloko-politikim istraivanjima, ekonomiji itd.). Od kraja XIX
vijeka na ovamo statistika se naglo razvija i kao nauka i kao
djelatnost-praksa. Poetkom ovog vijeka javljaju se razliite metrije
(biometrija, ekonometrija, sociometrija, ...), a sredinom ovog
vijeka javljaju se i neke bliske discipline kao to su: kibernetika,
teorija informacija, teorija veza i sl. Javlja se kao posebna
disciplina i matematika statistika, koja je oznaila upotpunjavanje
i dalje razvijanje teorije i metodologije kvantitativnog
istraivanja masovnih pojava. U mnogim knjigama nalaze se razni
pokuaji definiranja statistike. Tako npr., Silvio Elazar (u knjizi:
Matematika statistika) daje ovu definiciju: Matematika statistika
je nauka koja se bavi prouavanjem zakona sluajnih dogaaja na osnovu
teorije vjerovatnoe, matematikom obradom podataka mjerenja masovnih
pojava., dok neki drugi autori daju i ovu definiciju: Nauka koja
prouava pojave koje obuhvataju vrlo veliki broj elemenata koji
imaju neko zajedniko svojstvo (obiljeje) naziva se matematika
statistika. Matematika statistika javlja se u XVIII vijeku,
prvenstveno u radovima D. Bernoullija i fiziara Maxwella. No,
savremena uenja u XX vijeku mogla bi se izrei po pitanju
definiranja statistike kao naune discipline u smislu da se usvoji
ova (opisna) definicija: Statistika je nauka o varijacijama
obiljeja, zakonitostima razvoja i odnosa masovnih pojava i njihovih
elemenata u vremenu i prostoru. (U vezi sa gore navedenim
definicijama i u vezi sa osnovnim pojmovima opte i ekonomske
statistike moe se nai u knjizi: Dr. Milo Blai, Opta statistika,
Savremena administracija, Beograd, 1982.) Statistike metode
istraivanja primjenjuju se na gotovo sva podruja ljudske
djelatnosti, gdje god se javlja veliki broj posmatranja,
eksperimentisanja i mjerenja (kao npr., pri izuavanju problema
dohotka-profita, nataliteta, mortaliteta, te raznih mjerenja u
fizici, hemiji, tehnici, ...). U statistici se prvo prikupe podaci
o pojavama koje se istrauju pomou opaanja, anketa, popisa i dr., pa
se ti podaci obrauju i izvode odreeni zakljuci i prognoze.
1.2. Predmet i zadaci statistike. Osnovni skup i obiljeje
U okviru statistike kao discipline razvijaju se i primjenjuju
metode izuavanja (dobivanja, opisivanja i obrade) statistikih
podataka s ciljem ustanovljavanja zakonitosti koje vae u odreenim
sluajnim masovnim pojavama i procesima masovnog karaktera. Pri tome
se razlikuju sljedea dva osnovna problema:
1) Razvoj metoda prikupljanja i grupisanja statistikih podataka
koji se istrauju (dobijenih ili pomou zapaanja odnosno na osnovu
posmatranja ili kao rezultat specijalno izvedenih pokusa kao to su
ankete, popisi, mjerenja i sl.).
2) Razrada i razvoj metoda analize statistikih podataka u
zavisnosti od cilja istraivanja.
U okviru problema pod 2) mogu se identifikovati dvije grupe
metoda: a) Metode za ocjenu funkcije distribucije i parametara
distribucije (raspodjele,
razdiobe). Npr., na osnovu odreenih statistikih podataka moe se
ocijeniti da oni pripadaju normalnoj (ili binomnoj) raspodjeli, a
zatim se mogu odrediti i parametri (oekivanje) i (standardna
devijacija) te distribucije.
b) Metode za provjeru (testiranje) tzv. statistikih hipoteza o
obliku (vrsti) zakona distribucije ili ako je oblik zakona
distribucije poznat, o parametrima zakona distribucije. Npr., moe
se provjeriti da je pretpostavka o normalnoj distribuciji ispravna
ili pogrena.
-
3
Osnovni predmet razmatranja u statistici su skupovi elemenata
koji imaju izvjesne zajednike karakteristike. Pri tome se,
intuitivno, pojam osnovnog skupa najee uvodi na jedan od sljedeih
(priblino) ekvivalentnih naina:
(i) Osnovni skup (populacija, generalni skup, statistiki skup,
statistika masa) je skup (cjelina) svih istorodnih elemenata
(objekata) koji podlijeu (statistikom) ispitivanju.
(ii) Skup elemenata sa nekom zajednikom osobinom ija mjera
vrijednosti varira od elementa do elementa zove se statistiki (ili
osnovni skup i sl.).
(iii) Statistiki skup predstavlja cjelinu sastavljenu od
istorodnih meusobno uporedivih elemenata sa zajednikim varijabilnim
obiljejem to je u stvari tekua varijabla (npr. ix ) sluajne
promjenljive (npr. X ).
(iv) Skupovi elemenata koje prouava statistika zovu se osnovni
skupovi (ili populacije i sl.).
U definicijama (i), (ii) i (iv) definira se jo i pojam obiljeja,
tj. kae se jo da se zajedniko svojstvo elemenata odreenog osnovnog
skupa zove obiljeje tog skupa. Obiljeje moe biti numerikog ali i
atributivnog karaktera. No, obiljeja atributivnog karaktera mogu se
svesti na obiljeja numerikog karaktera.
Iz prethodnih definicija slijedi da osnovni skup mora biti
homogen, tj., sastavljen od istovrsnih i meusobno uporedivih
elemenata u odnosu na tekuu varijablu ( )ix sluajne veliine ( )X
zajednikog obiljeja, te mora biti i varijabilan, tj. elementi
osnovnog skupa moraju biti istovrsni ali ne i istovjetni u odnosu
na zajedniko svojstvo (obiljeje) koje karakterie skup istovrsnih
objekata. Ako je na osnovnom skupu definirano samo jedno obiljeje,
skup je jednodimenzionalan. Ako su definirana dva obiljeja, skup je
dvodimenzionalan. Zavisno od toga da li je obiljeje skupa
kontinualno (neprekidno), diskretno ili mjeovitog tipa, razlikuju
se kontinualni, diskretni i mjeovitog tipa statistiki skup.
Definicija 1.2.1. Obimom osnovnog skupa nazivamo broj njegovih
elemenata (objekata) u sluaju da je skup konaan, odnosno obim je
kardinalni broj (mo skupa) u sluaju beskonanog skupa.
Posmatrajmo osnovni skup (obima N ) kod kojeg se vrijednost 1x
posmatra ili uzima u razmatranje ( )1 1n f= puta, vrijednost 2 ,x (
)2 2n f= puta, ... , vrijednost ,kx ( )k kn f= puta, pri emu je
1
k
ii
n N=
= ( )1 . Posmatrane vrijednosti ix ( )1,i k= nazivaju se
varijantama (varijansama), a niz
varijansi napisan u rastuem poretku zove se varijacioni red
osnovnog skupa. Brojevi ( )i in f= zovu se uestanostima
(frekvencijama) odnosno apsolutnim frekvencijama, a
njihov odnos prema obimu osnovnog skupa N se zove relativna
frekvencija (relativna uestanost) i oznaava se esto sa i ( )ili ip
, tj.
( ), 1,ii n i kN = = . ( )2 .
-
4
Definicija 1.2.2. Skup (ureenih) parova ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, ,
, , , , ,n nx f x f x fL L vrijednosti ix i njihovih frekvencija if
obiljeja X , ureen po rastuim vrijednostima
1, , nx xK obiljeja X , zove se distribucija ili raspodjela
(statistika raspodjela) frekvencija obiljeja X osnovnog skupa.
Dakle, statistika raspodjela frekvencija (odnosno relativnih
frekvencija) je
pridruivanje (preslikavanje) izmeu vrijednosti obiljeja
(varijansi) i njihovih frekvencija (odnosno relativnih
frekvencija). Takoe se uvodi i pojam statistike raspodjele osnovnog
skupa kao zajedniki naziv za statistiku raspodjelu relativnih
frekvencija i statistiku raspodjelu apsolutnih frekvencija, tj.
statistika raspodjela osnovnog skupa je pridruivanje izmeu
vrijednosti obiljeja (varijansi) i njihovih frekvencija ili
relativnih frekvencija. Najee se statistika raspodjela prikazuje
tabelarno a ponekad i grafiki. Tabela je obino u obliku:
Pri tome su vrijednosti 1, , kx xK uzete u rastuem poretku a
osnovni skup je konaan. Meutim, grafiki se statistika raspodjela
prikazuje analogno kao i zakon raspodjele vjerovatnoe u Teoriji
vjerovatnoe pomou poligona, histograma i dr. Naime izlomljena
linija koja povezuje ureene parove ( ),i ix f (odnosno ( )iix ,
zove se poligon frekvencija (odnosno, poligon relativnih
frekvencija). Obino se pod histogramom frekvencija (relativnih
frekvencija) podrazumijeva unija pravougaonika ije osnovice na osi
apscisa x imaju mjerni broj duine 1, a takoe su sredita osnovica
vrijednosti ix posmatranog obiljeja X , a mjerni brojevi visina su
jednaki vrijednosti pojedinih frekvencija (relativnih frekvencija).
Pri tome se najee dijagram frekvencija produi do ose apcisa xO ,
tako da povrina omeena tim dijagramom i osom xO bude jednaka
povrini posmatranog histograma.
Primjer 1.2.1.a). U jednom razredu od 30 uenika uspjeh iz
matematike prikazan je sljedeom tabelom:
Tabela 1
Ocjena iz matematike x Frekvencija f Relativna frekvencija f /
30
x1 = 1 1 3f = 1 0,1 = x2 = 2 2 6f = 2 0,2 = x3 = 3 3 10f = 3 0,3
= x4 = 4 4 8f = 4 0,3 = x5 = 5 5 3f = 5 0,1 =
ta je ovdje osnovni skup? Nacrtati odgovarajui poligon i
histogram frekvencija.
x x1 x2 . . . xk
f f1 f2 . . . fk
-
5
Rjeenje. Skup uenika u razredu je osnovni skup iji je obim N =
30, a njihov uspjeh izraen ocjenom je obiljeje koje se posmatra. U
prvoj koloni unijete su vrijednosti koje poprima obiljeje X . U
drugoj koloni unijeti su brojevi if (i = 1, 2, ... , 5) uenika koji
su postigli ocjenu ix ( if - su apsolutne frekvencije), u treu
kolonu upisuju se relativne frekvencije elemenata osnovnog
skupa.
Sl.1.2.1. Primjer 1.2.1.b). Na jednoj stonoj farmi je statistiki
posmatrana mlijenost stotinu
krava, tj. broj X hl mlijeka koje svaka krava daje godinje.
Podaci su prvo sreeni, pa su onda napisani u Tabeli 2. Nacrtati
odgovarajui dijagram frekvencija i histogram frekvencija, te
izvesti odgovarajue prirodne zakljuke.
Tabela 2
Klase obiljeja
x
Sredina Klase
Broj krava
f
Relativna frekvencija
f / 100 29 - 31 30 2 0,02 31 - 33 32 10 0,1 33 - 35 34 18 0,18
35 - 37 36 30 0,3 37 - 39 38 22 0,22 39 - 41 40 13 0,13 41 - 43 42
3 0,3 Ukupno 100 1
Rjeenje. U ovom primjeru je osnovni skup krdo od 100 krava (
)100N = , a obiljeje koje se posmatra je mlijenost tih krava. Poto
je broj elemenata populacije veliki (broj krava 100), a ima i puno
vrijednosti obiljeja X, ne bi bilo pregledno kada bi se dala
raspodjela za svaku vrijednost obiljeja posebno. Zato je segment [
]43,29 , duine 29 43 = 14 izmeu najvee i najmanje vrijednosti
podijeljen na sedam intervala duine 2 ( )14 : 7 2= (napomenimo da
se esto u praksi broj klasa uzima tako da on bude priblino jednak n
;
0 1 2 3 4 5
3
6
8
10
-
6
gdje je n broj elemenata osnovnog skupa (konanog), ali se uz to
esto uzima da je tim brojem klasa djeljiva razlika izmeu najvee i
najmanje vrijednosti obiljeja X). Aritmetika sredina donje i gornje
granice jedne klase zove se sredina te klase. U statistikoj obradi
podataka klasu moe reprezentovati njena sredina. Na sljedeoj slici
je prikazan dijagram raspodjele tih sredina, tj. dijagram
raspodjele klasa kao i histogram frekvencija. Sl. 1.2.2. Sl.
1.2.3.
Jo o pojmu statistikog skupa i statistike raspodjele
U statistici se posmatraju problemi sa vrlo mnogo podataka, tj.
(vrijednosti obiljeja),
pa se javlja veliki broj intervala tih vrijednosti. Duine tih
intervala su male pa se poligon raspodjele frekvencija pribliava
tzv. krivoj (krivulji) frekvencija kao na sl. 1.2.3.
Vie formalno moemo ovako uvesti pojam osnovnog skupa i obiljeja.
Osnovni
predmet razmatranja u statistici je skup, recimo (neprazan skup)
elemenata, recimo , koji se zove osnovni skup ili populacija. Kod
svakog elementa posmatra se neka numerika karakteristika, recimo (
)X , koja se zove obiljeje (svojstvo, osobina) X. Dakle, obiljeje X
je funkcija (preslikavanje) sa (ili iz ) u skup R (ili u R ili u C
ili u jo optiji skup). Za ovu funkciju pretpostavlja se da je F -
izmjeriva, tj. da je
[ ]( ) { }( )1 , :X a b a X b = < F (tj. da je ovaj skup
dogaaj) za svaki interval [ a, b ) R, gdje je F - algebra ( -
polje) podskupova skupa . Takoer smo mogli zahtijevati da je ( )(
)1 ,X x F ( x R ) jer je ( ){ }, :x x R =
{ } { }, : , :x x x x = + = + =R R[ ) [ ) BR, gdje je BR -
algebra Borelovih skupova na R (tj. najmanja - algebra podskupova
iz R koja sadri familiju svih otvorenih skupva na R). Svaki otvoren
skup na R je prebrojiva unija otvorenih intervala
0 29 31 33 35 37 39 41 43
3
10
18
30
x
(36,30)
(32,10)
f
x
f
-
7
( ),B a b= ( ),a b a bR 1.
xF x q
=
Primjer 1.2.3. Populaciju ini skup svih mjerenja neke veliine
izraene brojem m.
Kao obiljeje X = X ( ) moemo uzeti upravo rezultat mjerenja .
Vjerovatnoa P neka je definirana relacijom { } ( )
2
2212
x mb
a
P a X b e dx = , gdje su mR i + R . Tada
imamo da je obiljeje X sluajna veliina s Gaussovom distribucijom
(normalnom)
N ( )2,m , zadanu funkcijom gustoe: ( ) ( )2
2212
x m
f x e = .
10.3. Sluajni uzorak
-
8
Pod statistikim pokusom ili statistikim eksperimentom
podrazumijeva se registriranje vrijednosti obiljeja X kod elemenata
iz nekog podskupa osnovnog skupa . Osnovni predmet statistikih
zakljuivanja jeste da se na osnovu statistikih pokusa neto zakljui
o distribuciji ( )xF x obiljeja X . Pretpostavimo da treba ispitati
neko svojstvo (obiljeje) koje karakterie skup istorodnih objekata,
tj. neki osnovni skup . Da bi to uradili moe se sprovesti potpuno
ispitivanje posmatranog skupa . No, oigledno je da ako je konaan i
statistikim pokusom registrujemo obiljeje X svakog elementa , onda
je distribucija xF ptpuno odreena. Meutim, redovna je situacija
takva da statistiki pokus sproveden nad pravim podskupom od koji se
naziva uzorak. Razlozi za to mogu biti slijedei: 1) principijelna
nemogunost da se obiljeje X registruje kod svakog elementa ,
odnosno da pri velikom broju objekata (elemenata) ostvariti
potpuno ispitivanje nije mogue;
2) trokovi ili praktina besmislenost takvog postupka tj.
isptivanje vezano za unitavanje objekata ili je vezano za velike
materijalne trokove, (npr., ako je osnovni skup mjesena proizvodnja
jedne fabrike sijalaica, a obiljeje X recimo vijek trajanja
sijalice, registriranje obiljeja na cijeloj populaciji dovodi do
unitavanja cijele mjesene proizvodnje).
Primijetimo da je u primjeru 1.2.1.b) utvrena klasa obiljeja
(mlijenosti) za svaku
pojedinu kravu populacije. Najee populacija ima veoma mnogo
elemenata (a esto beskonano), pa je u praksi teko ili ak nemogue za
svaki od njih ustanoviti odgovarajuu klasu, odnosno ispitati
posmatrano obiljeje svih elemenata te populacije. Ovakvim
sluajevima, i openito u sluajevima navedenim pod 1) ili 2), za
ispitivanje obiljeja X koje nas interesuje, primjenjuje se metod
izbora. Sutina ovog metoda sastoji se u tome to se ispitivanju
podvrgnu ne svi objekti (elementi), ve jedan njihov dio sluajno
izabranih iz posmatranog osnovnog skupa. Rezultati koji se dobiju
pri ispitivanju tog dijela prenose se na sve elemente posmatranog
skupa elemenata.
Definicija 10.3.1. Izabranim skupom ili uzorkom naziva se skup
objekata sluajno
izabranih iz osnovnog skupa. Ponekad se pod pojmom statistiki
skup ili statistika masa podrazumjeva bilo osnovni skup bilo
uzorak.
Dakle, iz osnovnog skupa izdvojimo, putem sluajnog odabiranja,
jedan pravi podskup
na kojem vrimo ispitivanja i donosimo zakljuke, koji se zove
sluajni uzorak osnovnog skupa. Prouavanjem sluajnog uzorka donosimo
zakljuke o samom osnovnom skupu, tj. zakljuke koji e pod izvjesnim
uslovima vaiti za itav osnovni skup. Da bi ti zakljuci bili to
pouzdaniji, potrebno je da uzorak to bolje predstavlja populaciju,
tj. da bude reprezentativan, to je sluaj ako on ima dovoljan broj
elemenata i ako su oni odabrani sluajno, a svi elementi osnovnog
skupa treba da imaju jednaku vjerovatnou da uu u uzorak. U praksi
postoji niz metoda za formiranje sluajnih reprezentativnih uzoraka
(na bazi tablice sluajnih brojeva i dr.).
Analogno, kao to smo i kod osnovnog skupa imali, definiraju se i
za uzorak analogni pojmovi kao to su obim, varijansa, statistika
raspodjela uzorka (relativnih ili apsolutnih frekvencija), poligon,
histogram (varijacioni red, varijacioni interval itd.).
-
9
Definicija 1.3.2. Obimom (ili veliinom, duinom) uzorka naziva se
broj njegovih elemenata (objekata), jasno ukoliko je ozorak konaan.
Ako sa N oznaimo obim osnovnog skupa, a sa n obim uzorka, tada je
po pravilu n N
-
10
odgovarajuih frekvencija i (ili in onda se na osu apcisa nanosi
ix , a na osu ordinata ni (ili i ). Dobijemo take, recimo ( )1 1
1,M x n , ( )2 2 2,M x n , , koje strogo uzevi predstavljaju
grafik statistike raspodjele u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Dobijene take povezujemo odrescima pravih. Tako dobijena linija
(izlomljena) zove se poligon frekvencija (apsolutnih ili
relativnih) uzorka. Ako je statistika raspodjela uzorka zadana
preko intervala i odgovarajuih frekvencija, onda se konstruie
histogram frekvencija. Naime, interval kome pripadaju sve
posmatrane vrijednosti neprekidnog obiljeja X dijeli se na nekoliko
podintervala jednake duine h. Na svaki i - ti podinterval unosimo
broj ni (suma frekvencija varijanti koje pripadaju i tom
podintervalu. Na osu apscisa nanosimo podintervale duine h, a na
istim podintervalima
konstruiemo pravougaonike visine h. Kolinik inh
zove se gustoa frekvencije. Stepenasta
figura koja se sastoji iz pomenutih pravougaonika zove se
histogram frekvencije uzorka. Povrina S histograma jednaka je sumi
svih frekvencija obima uzorka. Naime, ako je Si
povrina i tog pravougaonika, onda je ii inS h nh
= = , pa je 1 1
k k
i ii i
S S n n= =
= = = . Na isti nain konstruie se i histogram relativnih
frekvencija uzorka, tj. stepenasta
figura predstavljena pravougaonicima ija je osnovica duine
(podintervala) h, a visina ix
h= . Odnos ix
h= zove se gustoa relativnih frekvencija uzorka. Povrina S
histograma
relativnih frekvencija uzorka jednaka je 1. Zaista, kako je
1
, ,k
ii i i
iS S S h
h
== = = to je
1 1 1 1
1 1k k k k
ii i i
i i i i
nS nn n
= = = =
= = = = = .
Vratimo se ponovo pojmu uzorka. Iz navedenog se vidi da je
osnovni problem da uzorak bude reprezentativan, tj. da informacija
o distribuciji Fx koju on daje za obiljeje X, bude u izvjesnom
smislu tana. Jasno je da se, openito govorei, reprezentativnost
uzorka postie ako je nain uzimanja elemenata u uzorak nezavisan od
obiljeja koje se posmatra. Meutim, esto je teko provjeriti tu
nezavisnost kao to pokazuje sljedei interesantan primjer. Primjer
1.3.2. Dati su podaci jedne ankete socijalnog osiguranja u
Poljskoj. Osnovni skup ine svi zaposleni osiguranici iji je broj 2
757131,N = a obiljeje X je vrsta posla i ono uzima slijedee etiri
razliite vrijednosti: 1) Radnici, izuzev zaposlenih u ugljenokopima
i elianama, 1 1778 446,N = 1 152 812;n = 2) Radnici u ugljenokopima
i elianama, 2 250 397,N = 2 22 493;n = 3) Drutvene i javne slube, 3
564147,N = 3 44 040;n = 4) Uslune djelatnosti, 4 164141,N = 4 14
088;n =
Svega: 2 757131,N = 230 433n = .
-
11
Raspodjela vjerovatnoa za obiljeje X je , ( 1, 2, 3, 4)iiNp
iN
= = . Uzorak obima 230 433n = zaposlenih ine svi oni ija
prezimena poinju sa P . Raspodjela obiljeja X u tom uzorku
je inn
, ( 1, 2, 3, 4)i = . Pokazuje se pomou tzv. Pearsonovog metoda,
tj. pomou tzv. 2 - testa, da postoje vrlo znaajne razlike izmeu
obiljeja X u osnovnom skupu i u uzorku,
tako da se uzorak ne moe smatrati reprezentativnim. Napomenimo
da je u ovom primjeru bilo teko predvidjeti zavisnost izmeu
zaposlenja i poetnog slova prezimena.
O metodi sluajnog uzorka
Do sada smo izlagali o uzorku i metodi uzorka intuitivno, a sada
emo to initi vie sa formalnog aspekta. Razmatranja u teoriji
vjerovatnoe navode nas kako treba uzeti uzorak da bi on bio
reprezentativan. Naime, kao to je obrazloeno u prethodnom dijelu
teksta, elemente osnovnog skupa treba birati u uzorak sluajno, jer
onda oekujemo da se neutraliu sve mogue zavisnosti izmeu
posmatranog obiljeja i uzorka. Tako izabran uzorak zove se sluajni
uzorak. Nadalje emo se uglavnom baviti uzorkom konstantnog obima n.
Kako elemente osnovnog skupa biramo u uzorak sluajno to imamo n
sluajnih ishoda 1, , n K naeg statistikog pokusa. Obiljeje X naeg
statistikog pokusa posmatrano kod svakog od tih n ishoda daje n -
dimenzionalnu sluajnu veliinu ( )1, , nX XK , gdje je ( )k kX X =
za
1, ,k n= K . Kako emo se uglavnom baviti samo jednim obiljejem,
npr. X , to imamo n dimenzionalnu sluajnu veliinu ( )1, , nX XK
koju emo takoe zvati sluajni uzorak. Otuda vidimo da se sa
formalnog aspekta moe rei da je jednodimenzionalni sluajni uzorak
obima n ustvari n dimenzionalna sluajna veliina ( )1, , nX XK . Ako
pak posmatramo dva obiljeja, recimo X i Y , tj. ako se radi o
dvodimenzionalnom statistikom skupu, onda njemu odgovara sluajni
uzorak oblika ( ) ( )( )1 1, , ... , , .n nX Y X Y Openito se moe
posmatrati k - dimenzionalan statistiki skup, gdje je k prirodan
broj. Kada je statistiki pokus jednom sproveden u uzorak je uzeto
nekih n elemenata i n dimenzionalna sluajna veliina ( )1, , nX XK
postaje n torka brojeva ( )1, , nx xK koja predstavlja tzv.
realizovani uzorak. Jednom realizovani uzorak je dakle jedna
realizovana vrijednost n - dimenzionalne sluajne veliine.
Definicija 1.3.4. Sluajni uzorak ( )1, , nX XK zove se prost ako
su sluajne promjenljive ( )1, , nX XK nezavisne i jednako
distribuirane, tj. svaka od njih ima funkciju distribucije ( )F x
kao i obiljeje X. Pri tome je zajednika funkcija distribucije za (
)1, , nX XK zadana izrazom ( )( ) ( )( )( ) ( )11 , , 1
1
, , : , ,n
n
n X X n ii
Q x x F x x F x=
= =KK K .
Popularno govorei, prosti sluajni uzorak znai da se statistiki
pokus sastoji od n nezavisnih registriranja vrijednosti obiljeja X
. Prije sprovoenja takvog pokusa vrijednosti
-
12
koje emo dobiti su sluajne veliine ( )1, , nX XK , a kada je
pokus sproveden imamo brojeve ( )1, , nx xK (ili neke optije
elemente), tj. realizovan je prosti sluajni uzorak. Kako emo se
dalje baviti uglavnom prostim sluajnim uzorkom govoriemo kratko
uzorak. Ako se radi o sloenom (stratifikovanom) uzorku posebno emo
naglasiti. Primjer 1.3.3. U Primjeru 1.2.2. prost sluajni uzorak
obima n moe se realizovati tzv. sluajnim uzorkom sa vraanjem (sa N
jednakovjerovatnih ishoda): sluajno biramo kuglicu da bi
realizovali obiljeje X, kuglicu vraamo nazad u kutiju, sluajno
biramo kuglicu, itd. Pri tome su oigledno ( )1, , nX XK nezavisne
sluajne veliine sa istom funkcijom raspodjele. No drugaija je
situacija kod sluajnog uzorka bez vraanja. Naime, tada biramo
kuglicu da bismo registrirali obiljeje X , a zatim kuglicu ne
vraamo u kutiju ve biramo sluajno slijedeu kuglicu itd. Sluajne
veliine ' '1, ... , nX X ( )n N ovako definirane nisu nezavisne,
jer se pokazuje da je npr. vjerovatnoa dogaaja da je '2 1X = uz
uslov da se desio dogaaj '1 1,X = razliita od vjerovatnoe dogaaja
da je '2 1X = uz uslov da se desio dogaaj '1 0X = . Zapravo, u tom
sluaju imamo:
{ } { }( ) { } { }( ){ }( ) { } { }( )' '2 1' ' ' '
2 1 2 1'1
1 1 11 1 1 01 11
P X X N p N qP X X P X XN NP X
= = = = = = = = = = = I
Nije teko pokazati (primjenom formule potpune vjerovatnoe) da u
ovom primjeru
svaka sluajna veliina 'kX ( )1, ,k n= K ima istu distribuciju
kao obiljeje X.
1.4. Empirijska funkcija raspodjele (distribucije).
Fundamentalna teorema statistike
1.4.1. Empirijska funkcija raspodjele
U cilju davanja odgovora na pitanje reprezentativnosti uzorka,
tj. u kom sluaju uzorak ( )1, , nX XK daje potpunu informaciju o
raspodjeli ( )F x obiljeja X na cijelom osnovnom skupu ; definira
se prvo tzv. empirijska funkcija distribucije.
Definicija 1.4.1. Neka je ( )1, , nX XK sluajni uzorak obima n
iz funkcije distribucije
F, tj. neka su ( )1, , nX XK nezavisne jednako distribuirane
sluajne veliine sa zajednikom funkcijom distribucije F. Funkcija nF
( ili F
ili stF ili nS ili empF ) definirana na R formulom
( ) ovabroj koji su manji od : in X xF x n= , ( )xR , tj. ( ) {
}
1
1i
n
n X xi
F xn
=
= < ili ( )i
ni
nx X
fF xn
=
pod uslovom da je ( )F x neprekidna funkcija distribucije.
Primjer 1.4.1. Nai empirijsku funkciju raspodjele prema datoj
statistikoj raspodjeli:
Rjeenje. Kako su ve sve varijante uzorka napisane po veliini, to
datu tabelu ve moemo smatrati tablinim prikazom statistike
raspodjele apsolutnih frekvencija. (Da bi odredili analitiki izraz
empirijske funkcije distribucije moe se prvo dati tabelarni prikaz
statistike raspodjele relativnih frekvencija.) Imamo:
( ) 0nF x = za 6x , ( )20in n= = , za 6 8x< je ( ) 0,1nF x =
,
xi 6 8 12 15 (fi =) ni 2 3 10 5
-
15
za 12x8 < je ( ) 0,25nF x = , za 15x12 < je ( ) 0,75nF x =
, za 15x > je ( ) 1nF x = , tj.
( )0, 6,0,1, 6 8,
0, 25, 8 12,0,75, 12 15,1, 15.
n
xx
F x xx
x
< = < < >
Sl. 1.4.1.
1.4.2. O karakteristinim funkcijama distribucije i tipovima
konvergencije u teoriji vjerovatnoe
Jedan vrlo moan matematiki aparat u teoriji vjerovatnoe, pa i u
statistici, predstavlja metoda karakteristinih funkcija
distribucije i u vezi s tim je izgraena itava teorija
karakteristinih funkcija. Te se funkcije mogu korisno upotrijebiti
u dokazima graninih teorema u teoriji vjerovatnoe i u njenim
primjenama u statistici. Ovdje emo dati samo njenu definiciju i
navesti njena osnovna svojstva.
Definicija 1.4.3. Funkcija zove se karakteristina funkcija
sluajne veliine X
(ili karakteristina funkcija funkcije distribucije F, gdje je F
funkcija distribucije sluajne veliine X na nekom prostoru
vjerovatnoe ( ), ,F P ), ako je funkcija zadana izrazom ( ) ( ):
itXt E e = ( i imaginarna jedinica), tj. ako je ( ) ( )itXt e dF x
+
= , ( )tR .
Napomenimo da je itXe primjer kompleksne sluajne veliine ( ) :Z
X iY = + C pri emu je kao to znamo ta sluajna veliina odreena parom
( ),X Y nezavisnih sluajnih veliina ,X Y , koji preslikava skup u C
(gdje je C skup kompleksnih brojeva).
Pokazuje se da karakteristina funkcija ima ova osnovna
svojstva:
1) ( ) 1t , ( )t ( )tR ; 2) je neprekidna ( )t ( )tR ;
6 8 12 15 x
1
0
-
16
3) ( )0 1 = ; 4) ( ) ( )t t = , ( )t ( )tR ; 5) ( ) ( ) ( )0j j
ji E X = , ( )j n , ako je ( )nE X < + , za neki nN ( izvod
funkcije
reda j u taki 0); 6) iz ( ) ( ): itXt E e = se dobije funkcija
gustoe f: ( ) ( )1
2itxf x e t dt
+
= , ( 1lim 1 , 2,718
n
ne e
n = + ).
Primjer 1.4.2. Lako se vidi da je funkcija 2
2:t
t e
karakteristina funkcija normalne sluajne varijable.
Definicija 1.4.4. Kaemo da niz { } 1n nX = sluajnih veliina
konvergira gotovo
sigurno (konvergira jako) prema sluajnoj veliini Y ako je
( ) ( ){ }( )lim 1nnP Y Y = = (tj. konvergira svuda osim
eventualno na skupu vjerovatnoe 0). To se oznaava sa
. .g snY y ( )n + ili (g. s.) ( ) ( )lim nn Y x Y x = .
Definicija 1.4.5. Kaemo da niz { }nY sluajnih veliina konvergira
po vjerovatnoi
(konvergira slabo) ka sluajnoj veliini Y ako za svaki 0 >
vrijedi relacija ( ) ( ){ }( )lim : 0nn P Y Y = ,
to se simboliki oznaava sa PnY Y , ( )n ili ( ) ( ) ( )lim nnP Y
x y x = .
Osim ova dva tipa konvergencije u teoriji vjerovatnoe, pa i u
statistici, posebno su znaajna i sljedea dva tipa.
Definicija 1.4.6. Kaemo da niz { }nY sluajnih veliina konvergira
po distribuciji
ka Y ako je ( ) ( )limnY Yn
F x F x = , za svaki ( )Yx C F , gdje je C(FY) skup svih taaka
neprekidnosti funkcije distribucije FY sluajne veliine Y , a
nYF je funkcija distribucije
sluajne veliine Yn. To se simboliki esto pie u obliku nY Y
F FD ( )n . Definicija 1.4.7. Neka je 1 p + i neka postoji
konani apsolutni p-ti moment
( )pnE Y . Kaemo da niz { }nY konvergira u srednjem reda p prema
Y ako je ( )lim 0pnn E Y Y = , to esto oznaavamo sa pmnY Y , ( )n
.
P
mp g.s.
D
-
17
Sl. 1.4.2. Posebno vaan sluaj konvergencije u srednjem je za 2p
= , u kom sluaju se
najee pie . .s knY Y , ( )n i kae da dati niz konvergira u
srednjem, odnosno da je to srednjekvadratna konvergencija.
Pokazuje se da su konvergencija gotovo sigurno i konvergencija u
srednjem
neuporedive (tj. jedna drugu ne implicira), dok obje impliciraju
konvergenciju u vjerovatnoi, a ova implicira konvergenciju u
distribuciji (a obrnuto ne vrijedi; tj. pokazuje se da vrijedi
odnos konvergencija sluajnih veliina dat emom na sl. 1.4.2.
1.4.3. O zakonima velikih brojeva, graninim teoremama i
teoremama centralnog limesa u teoriji vjerovatnoe
Zakon velikih brojeva je jedan od osnovnih i najznaajnijih
zakona u statistici..
Karakter i sadraj statistike kao nauke i prakse zasniva se na
zakonu velikih brojeva. Osnovni smisao i znaenje zakona velikih
brojeva u statistici moe se najjednostavnije izraziti u sljedeem:
to je vei broj dogaaja, posmatranja ili elemenata to je vea
vjerovatnoa da e nai sudovi i zakljuci biti realni, istiniti,
odnosno to je manja greka u tanosti naih zakljuivanja. Pri tome
treba voditi rauna da je primjena zakona velikih brojeva opta
(generalna) u statistici, tj. ne treba shvatiti da to zavisi od
metoda da li posmatranje i prebiranje vrimo putem potpunog
obuhvatanja svih jedinica nekog osnovnog skupa ili samo putem
djeliminog (selektivnog) posmatranja, odnosno, putem uzorka, tj. u
svakom sluaju teimo da nae sudove i zakljuke temeljimo na zakonu
velikih brojeva, samo to kod primjene metode uzorka to
procjenjujemo sa manjim stepenom pouzdanosti nego kad to vrimo
potpunim obuhvatanjem svih elemenata osnovnog skupa.
U sutini, zakon velikih brojeva zasniva se na zakonima
vjerovatnoe pa se i njihov dokaz izvodi tim putem.
U klasinom obliku problematika zakona velikih brojeva sastoji se
u ispitivanju
potrebnog i dovoljnog uslova da niz aritmetikih sredina 1
211
1, , ..., , ...2
n
ii
X XX Xn =
+ nezavisnih sluajnih veliina 1, , nX XK K konvergira u odreenom
smislu ka nekom broju. Ako se ne istakne suprotno, u daljem
izlaganju smatramo da su sve sluajne veliine, koje se istovremeno
posmatraju, definirane na istom prostoru vjerovatnoe ( ), ,F P .
Sada emo preciznije formulisati zakon velikih brojeva: Neka je {
}nX niz nezavisnih sluajnih veliina (definiranih na fiksnom
prostoru vjerovatnoe ( ), ,F P ). Posmatra se konvergencija niza (
)
1 1
1 1n ni i
i iX E X
n n= = ( )1, 2,n = K ka 0 (ili, optije, niza
nSn
ili niza n nS an ka konsanti, gdje je
1
n
n ii
S X=
= , na R , ( )1, 2,n = K ).
-
18
Ako je u pitanju konvergencija u vjerovatnoi odgovarajua teorema
zove se slabi zakon velikih brojeva, a kod skoro sigurne
konvergencije zove se strogi (jaki) zakon velikih brojeva.
Neki osnovni zakoni velikih brojeva
Pokazuje se da niz 1
1 ni
iX
n = (Xi nezavisne) konvergira gotovo sigurno ka konstanti
ili da divergira gotovo sigurno. Takoe se dokazuje da vrijede
sljedei zakoni velikih brojeva (a i neki drugi, kao to su ebievljev
zakon, Hinijev zakon /slabi zakoni/, te jaki zakon Kolmogorova i
dr.).
Teorema 1. 4.1. (Bernulijev slabi zakon velikih brojeva). U
Bernulijevoj emi (tj.
ako je nS ~ ( ),n pB , ili, to je isto, ako je Sn binomna
sluajna veliina) za svaki 0 > vrijedi da je 0nSP p
n
, ( )n , tj. 1
1 n Pi
iX p
n = , ( )n .
(Ovaj zakon govori o konvergenciji po vjerovatnoi niza
relativnih frekvencija u Bernulijevoj emi u svakom pojedinom
pokusu. Ovaj zakon pretpostavlja klasian rezultat teorije
vjerovatnoe i jedan je od prvih vanijih teorema teorije vjerovatnoe
a objavljen je 1715. godine.) Dokaz. Prema poznatoj nejednakosti
ebieva: Ako je X sluajna veliina sa konanim oekivanjem i varijansom
na nekom prostoru vjerovatnoe ( ), ,F P , onda za svaki 0 >
vrijedi da je ( ) ( ){ }( ) ( )2Var XP X E X , (a esto se koristi i
Markovljeva nejednakost ( ){ }( ) ( ): rE XP X , 0r > , ( )rE X
+< ), imamo:
( ) 22 2 21
: 0
n
n
SVar n p qS p qn nP pn n
= = , n ,
jer iz ( )( )nVar S n p q= i ( ) ( )2Var a X a Var X = slijedi
da je 21nSVar n p qn n = . Prema tome, Bernulijev slabi zakon
velikih brojeva je dokazan.
Napomenimo jo da Bernulijev zakon velikih brojeva daje jedno
tumaenje grupisanja
relativnih frekvencija nSn
oko vjerovatnoe p. Ali to grupisanje je opisano sljedeom
jaom
teoremom koju je dokazao Borel 1909. godine i zove se Borelov
jaki zakon velikih brojeva.
-
19
Teorema 1.4.2. U Bernulijevoj emi (tj. za binomnu sluajnuveliinu
nS ~ ( ),n pB ) vrijedi jaki zakon velikih brojeva dat sa ( ): ,
1nSP p n
n =
, tj.
. .1
1 n g si
iX p
n = , ( )n .
Dokaz. Dokazuje se primjenom ebievljeve nejednakosti i
Borel-Cantellijeve leme I.
Napomenimo da se u primjenama koristi i pooptena ebievljeva
nejednakost data
sljedeom teoremom. Teorema 1.4.3. (Kolmogorovljeva nejednakost).
Ako su 1, , mX XK nezavisne sluajne veliine i ako je ( )jVar X +
< za svaki 1, ,j m= K , onda za svaki 0 > vrijedi
( ){ }( ) ( )1, , 21
1: maxn
n m kk
P Y Var X = = K , gdje je ( )( )1n
n k kk
Y X E X=
= .
Navedimo i ovaj (moni) jaki zakon velikih brojeva: Teorema
1.4.4. (Teorema Kolmogorova). I. Neka je ( )nX niz nezavisnih
sluajnih veliina takav da je 1iX XF F= , ( )i , tj. sve
iX su jednako distribuirane. Ako postoji ( )1E X , onda je ( ).
.1 g si iX E Xn , ( )n .
II. Obrnuto: Ako je 1lim 1inP X postojin = , onda ( )1E X
postoji i prema I. je
( ). . 11
1 n g si
iX E X
n = , ( )n , ili krae: Niz
1
1 ni
iX
n =
, gdje su iX nezavisne i jednako distribuirane sluajne veliine,
konvergira gotovo sigurno ako i samo ako
( )1E X postoji i u tom sluaju je ( )11
1limn
in iX E X
n == .
Dokaz. Izlazi iz okvira ovog kursa.
Granine teoreme (teorem centralnog limesa) u teoriji
vjerovatnoe
U primjenama najee je potrebno izraunati vjerovatnou da neka
sluajna veliina
poprimi vrijednost iz nekog intervala kao npr. vjerovatnou da se
broj uspjeha u Bernulijevoj emi (tj. ako je ( )~ ,X n pB (binomna
sluajna veliina) ) nalazi izmeu realnih brojeva, recimo, a i b. Ta
vjerovatnoa je
-
20
( ) ( ) ( ) k n ka k b a k b
np k P a X b P X k p q
k
= = = = . Brojeve ( )p k , a posebno ( )P a X b vrlo teko je
izraunati za velike n. U tom
smislu koriste se neke teoreme (granine) da se dobiju pribline
vrijednosti ovih brojeva. Navedimo stoga slijedee vane (klasine
teoreme) granine teoreme u teoriji vjerovatnoe:
Teorema 1.4.5. (Poissonova teorema). Neka je nX ~ ( ),n pB ( )nN
i lim 0nn p = , lim nn n p = , 0 > fiksan broj. Tada slijedi da
za svaki 0,1, 2,k = K vrijedi
( )lim lim!
kk n k
n n nn n
nP X k p q e
k k
= = = ,
tj. imamo ( )!
n
kn
nP X k ek = , ( ); 0,1, ,n nn p k n = = K , a koristi se ako je
20n , a
10nn p < .
Osim ove teoreme imamo dvije Laplaceove teoreme. Teorema 1.4.6.
(Lokalna Moivre Laplaceova teorema). Neka je 0 1p< < i
nX ~ ( ),n pB i neka je k k n pX n p q = , ( 0,k n= , nN ). Tada
vrijedi
( )22
2lim 1
k
nxn
n p q P X k
e
= = ( ) i to uniformno na svakom ogranienom segmentu [ ],a b ,
gdje je ka x b za sve k i n .
Dokaz. Uputa: Primjenjuje se Stirlingova formula ! 2 r r t rr r
r e e = , 10
12t r
r< < . Napomenimo da se iz ( ) dobije praktina priblina
formula
( ) ( )21 12
k nn p
n kP X k e f xn p q n p q = = .
Teorema 1.4.7. (Integralna Moivre Laplaceova teorema). Neka je 0
1p< < i
nX ~ ( ),n pB ( )nN . Tada za proizvoljne ,a bR il ,a bR , a
b< , vrijedi 2
21lim2
b xn
na
X n pP a b e dxn p q
= , tj. ( )0,1nX n pn p q
D N ( )n . Dokaz. Moe se dokazati da je ova konvergencija u
teoremi 4.4.7. uniformna u
odnosu na ,a b , pri emu je a b + < . Teorema 1.4.7. je
specijalan sluaj opte centralne granine teoreme. Poznati
matematiar G. Polya je uveo naziv centralan da bi naglasio da je
taj problem bio u centru istraivanja u teoriji vjerovatnoe u XVIII
vijeku. Ali, etrdesetih godina ovog vijeka
-
21
dobijeno je potpuno rjeenje proirene verzije centralnog graninog
teorema i taj dio teorije je jedan od najljepih dijelova teorije
vjerovatnoe. Navedimo jednu od verzija opte teoreme centralnog
limesa:
Teorema 1.4.8. (Lvyjeva teorema centralnog limesa). Neka je nX
niz nezavisnih
sluajnih veliina jednake distribucije, tj. nX X
F F= ( )n , sa oekivanjem ( )1E X = i ( ) 2nVar X = ( )20 <
< . Tada za sve aR vrijedi
2
1 21lim2
n
ii
n
X nP a e dx
n
+ =
=
,
ili krae ( )0,1nS nn
N , gdje je
1
n
n ii
S X=
= .
Dokaz. Relativno lako se izvodi dokaz koristei metod
karakteristinih funkcija i razvoja karakteristinih funkcija prema
Taylorovoj formuli (MacLaurinovoj formuli), tj.
koristei razvoj: ( ) ( ) ( ) ( )0 !
knk n
k
itt E X o t
k
== + , ako ( )nE X postoji.
10.4.4. Fundamentalna teorema statistike
U okviru ove take dokaimo ranije navedenu fundamentalnu
(centralnu) teoremu statistike.
Teorema 1.4.9. (Fundamentalna teorema statistike). Ako je ( )F X
funkcija
distribucije sluajne promjenljive X (teoretska funkcija
distribucije) i ( )nS X empirijska funkcija distribucije koja
odgovara prostom uzorku ( )1, , nX XK , onda vrijedi:
( ) ( )sup 0 , 1nx
P S X F X n +
= < , ili recimo, imamo dovoljno razloga da pretpostavimo da
X ima uniformnu raspodjelu na segmentu [ ]0,b , pri
-
24
emu je b nepoznat. Tada je familija raspodjela kojoj pripada
raspodjela za X data sa ( ){ }0, , 0b b>U . Uopte, redovno
pretpostavljamo da obiljeje X ima distribuciju
(raspodjelu) koja pripada familiji distribucija ( ){ }, ,F x .
Ova familija se naziva dopustiva familija distribucija, gdje
parametar prolazi kroz skup dopustivih vrijednosti . ta emo
usvojiti kao dopustivu familiju raspodjela u konkretnoj situaciji
zavisi od nekih naih ranijih informacija i od problema koji nas
interesuje. Izbor te familije je u optem sluaju subjektivan.
Meutim, noviji pravac u statistici, tzv. Bajesovski prilaz, jo je
ortodoksniji u tom smislu, jer on pretpostavlja da parametar koji
odreuje raspodjelu ( ),F x obiljeja X pripada skupu
pretpostavljajui jednu sluajnu veliinu sa nekom
apriornom raspodjelom vjerovatnoe ( )G iji izbor zavisi od
prethodnih informacija obiljeja X, tj. subjektivan je.
1.6. Ocjene parametara po uzorku
Neka sluajna veliina X ima distribuciju ( ),F x , gdje je
nepoznat parametar.
Pretpostavimo da treba ocijeniti parametar , odnosno da treba
odrediti priblino njegovu vrijednost u zavisnosti od nekog uzorka
1: , , nn x xK . Oznaimo tu ocjenu sa . Oigledno zavisi od uzorka
1: , , nn x xK , tj. ( )1, , nX X = K . Kako u i-toj seriji iz
n-ogleda uzima neku vrijednost i to se javlja kao sluajna veliina :
R , te se moe govoriti o distribuciji (raspodjeli) te veliine, a i
o njenim numerikim karakteristikama. Da bi ocjena nepoznatog
parametra imala praktinu (upotrebljivu) vrijednost, na nju se
postavljaju odreeni zahtjevi. Otuda imamo sljedee definicje o
ocjenama parametara:
Definicija 1.6.1. Ocjena ( )1, , nX X = K nepoznatog parametra
zove se
centrirana (nepristrasna, nepomjerljiva), ako je ( )E = . ( )
Ako svojstvo ( ) nije ispunjeno, onda je ocjena pristrasna i tada
je ( )E = + ili ( )E = , gdje je pristrasnost.
Eliminacijom pristrasnosti (odnosno ' = ) ili ' = dobije se
nepristrasna ocjena. Definicija 1.6.2. Ocjena n parametra zove se
asimptotski centrirana ako ( ) ,nE n .
Definicija 1.6.3. Ocjena parametra zove se stabilna (postojana,
konzistentna, mona) ako za proizvoljan 0 > vrijedi da je { }lim
1n P = , tj. P , n .
-
25
. Definicija 1.6.4. Nepristrasna i stabilna ocjena zove se
najefektivnijom
(najefikasnijom) ako ona ima najmanju varijansu (disperziju) od
svih nepristrasnih i stabilnih ocjena parametra iz familije ,
tj.
inf .Var Var
= Napomenimo, da se esto efektivnost definira u klasi
nepristrasnih ocjena (procjena).
1.7. Grupisanje statistikih podataka. Numerike (statistike)
karakteristike obiljeja
1.7.1. Grupisanje statistikih podataka
O grupisanju statistikih podataka govorili smo ranije kada smo
definirali pojmove
statistike raspodjele uzorka, te govorili o pojmovima grafikog
metoda u statistici, (a i u teoriji vjerovatnoe). Neka je iz nekog
statistikog skupa formiran uzorak od n elemenata
1: , , nn x xK . Obino se taj uzorak prikazuje u obliku
statistikog niza zadanom tabelom
Da bi se izraunale numerike karakteristike kao to su: sredine
uzorka (aritmetika, geometrijska, harmonijska, kvadratna i dr.),
medijana, modus, statistiki momenti, kvartili, karakteristike
poloaja, asimetrije ekscesa i dr. (na osnovu centralnog graninog
teorema prirodno je oekivati da e ove uzorake karakteristike biti
dobre ocjene za odgovarajue karakteristike osnovnog skupa) i ocjene
raspodjele sluajne veliine X obino se vri grupisanje ovih podataka.
Pri tome se u sluaju diskretne sluajne veliine vrijednosti ix
poredaju po veliini i raunaju frekvencije mi ili imn
(n obim) pojavljivanja sluajne veliine
X. Kao rezultat dobije se tablica: tj. dobije se kao prikaz
statistike raspodjele uzorka.
Ako se radi o neprekidnoj sluajnoj veliini, podaci se grupiu
tako da se interval posmatrane vrijednosti podijeli na k
podintervala (podsegmenata) jednake duine: [ ]0 1 1, , , ,k kx x x
x K i izrauna relativna frekvencija sluajnog dogaaja koji se
sastoji u tome da sluajna veliina uzme vrijednosti u posmatranom
intervalu. Tako se dobije tabela
i 1 2 ... n xi x1 x2 ... xn
xi x1 L xn mi m1 L mn
xi x1 L xn i
mn
1mn
L nmn
-
26
interval [ ]0 1,x x L 1,k kx x
imn
1mn
L kmn
pri emu je 1
1k
i
i
mn== .
Broj podintervala se bira na osnovu iskustvenih formula, tako
npr. moe se uzeti da je k
najvei prirodni broj za koji je log1log 2
nk + . Poreenjem poligona i kumulativa (empirijskih funkcija
distribucije za diskretne i intervalne nizove) i histograma
frekvencija za intervalne nizove sa graficima funkcija frekvencija
(funkcije vjerovatnoe) i funkcija distribucije teoretskih
raspodjela, moe se donijeti ocjena (pretpostavka) o raspodjeli
posmatrane sluajne veliine.
1.7.2. Osnovna sredina, sredina uzorka i ocjena oekivane
sredine
Svakodnevno ujemo da se govori o prosjeku plata radnika jedne
fabrike, ili o srednjoj ocjeni uspjeha uenika jednog razreda i sl.
Slobodno govorei, prosjek je srednji broj ili sredina oko koje se
grupiu vrijednosti obiljeja, pa esto daje dobru obavijest o tom
obiljeju. Pretpostavimo da treba izuiti obiljeje X za diskretni
osnovni skup.
Definicija 1.7.1. Osnovnom sredinom naziva se aritmetika sredina
obiljeja X osnovnog skupa.
Oznaimo osnovnu sredinu sa OX . Ako su sve vrijednosti 1, , nx
xK obiljeja X osnovnog skupa obima N razliite, onda prema datoj
definiciji imamo
1
1 NO i
iX X
N == . ( )1
Ako se obiljeje (osobina) X razmatra kao sluajna veliine ije su
mogue vrijednosti
1, , nx xK sa istom vjerovatnoom 1pN
= , onda je matematiko oekivanje takve sluajne
veliine dato sa ( ) 1 21
1 1 1 1 nn i
iE X x x x x
N N N N == + + + = L , tj. slijedi da je oekivanje
obiljeja X dato izrazom ( ) OE x X= . ( )2
Ako vrijednosti 1, , kx xK imaju respektivno frekvencuiju 1, ,
kN NK , pri emu je
1
k
ii
N N=
= , onda je
-
27
1
1 kO i i
iX N X
N == . ( )3
Nije teko zakljuiti da jednakost ( )2 vai i za ovaj sluaj.
Meutim, za neprekidnu raspodjelu obiljeja X uzima se po definiciji
da je ( )OX E X= . ( )4
Pretpostavimo da za izuavanje osnovnog skupa u odnosu na
obiljeje X iz njega izdvojimo uzorak obima n. Tada se definiraju
slijedei pojmovi (u skladu sa ranijim definicijama): Definicija
1.7.2. Sredina uzorka nX naziva se aritmetika sredina vrijednosti
obiljeja uzorka. Ako su sve vrijednosti 1, , nx xK razliite, onda
je
1
1 nn i
iX x
n == . ( )5
Ako pak vrijednosti 1, , kx xK imaju, respektivno, frekvencije
1, , kn nK , pri emu je 1 kn n n+ + =L , onda je
1
1 kn i i
iX n x
n == . ( )6
Kako je svaki uzorak obima n izvuen iz osnovnog skupa kome
odgovara broj nX odreen sa ( )5 ili ( )6 , to se sredina uzorka moe
smatrati kao sluajna veliina nX . Sredina uzorka uzima se kao
kvalitetna ocjena osnovne sredine, jer se pokazuje da je ova ocjena
nepomjerljiva i mona. Zapravo, pokazuje se da je (kao to smo
vidjeli) ( )n OE X X= i da je
( )lim 1n On P X X =< za svaki 0 > . Otuda slijedi da pri
neogranienom poveanju obima uzorka sredina uzorka tei po
vjerovatnoi ka osnovnoj sredini. Posljednja jednakost znai da
sredina uzorka predstavlja monu ocjenu osnovne sredine. Slijedi
takoe, da su sredine uzorka, naene po vie uzoraka sa dovoljno
velikim obimom iz nekog osnovnog skupa, jednake meusobno, to
izraava svojstvo stabilnosti sredine uzorka.
1.7.3. Osnovna disperzija, disperzija uzorka i empirijska
disperzija
Kao karakteristike rasijanja vrijednosti obiljeja X osnovnog
skupa oko svoje srednje vrijednosti (ili u okolini svoje srednje
vrijednosti) slue sljedei pojmovi: osnovna varijansa (disperzija)
te osnovno kvadratno odstupanje (standardna devijacija), to se
definira na sljedei nain:
Definicija 1.7.3. Osnovnom srednjom disperzijom OD naziva se
aritmetika sredina kvadrata odstupanja vrijednosti obiljeja X
osnovnog skupa od njegove srednje vrijednosti OX . Ako su sve
vrijednosti 1, , Nx xK obiljeja X osnovnog skupa obima N razliite,
onda je prema datoj definiciji
2
1
1 ( )N
O i Oi
D x XN =
= , ( )
-
28
a ako vrijednosti 1, , kx xK imaju respektivno frekvencije 1, ,
kn nK , 1 kn n n+ + =L , onda je 2
1
1 ( )k
O i i Oi
D n x XN =
= . ( ) Definicija 1.7.4. Osnovnim srednjim kvadratnim
odstupanjem O naziva se
kvadratni korijen osnovne disperzije OD , tj. O OD = (aritmetiki
korijen). Kao karakteristike rasijanja vrijednosti osobine uzorka u
okolini nX uvode se pojmovi
disperzija uzorka i srednje kvadratno odstupanje uzorka.
Definicija 1.7.5. Varijsnsom uzorka Var (X) (ili Disperzijom uzorka
nD ) naziva se
aritmetika sredina kvadrata odstupanja. Ako su vrijednosti 1, ,
nx xK obiljeja X uzorka
obima n sve razliite, onda je 21
1 ( )n
n i ni
D x Xn =
= , a ako vrijednosti 1, , kx xK imaju respektivno frekvencije
1, , kn nK , za koje je 1 2 kn n n n+ + + =L , onda je
2
1
1 ( )k
n i i ni
D n x Xn =
= . Definicija 1.7.6. Srednje kvadratno odstupanje n uzorka
definira se izrazom
n nD = (aritmetiki korijen). Za izraunavanje disperzije uzorka
moe se koristiti formula: ( )22n nD X X= , gdje
je 1
1 kn i i
iX n x
n == , 2 2
1
1 kn i i
iX n x
n == .
Slino se dokazuje da vai da je: ( )22O O OD X X= , odnosno da
vai ( ) 1n OnE D Dn
= . Kako je oekivanje ( )n OE D D , to se disperzija uzorka nD
javlja pomjerljivom (nije centrirana) ocjenom osnovne disperzije nD
. Da bi dobili nepomjerljivu ocjenu (centriranu) osnovne disperzije
OD , uvodi se pojam empirijske (ispravljene) disperzije 2S sljedeom
definicijom:
Definicija 1.7.7. Empirijska disperzija 2S definira se formulom
21 n
nS Dn
= . Otuda imamo da je
2 2 2
1 1
1 1( ) ( )1 1
k k
i i n i i ni i
nS n x X n x Xn n n= =
= = . Kako je ( ) ( )2 1 1
1 1n n O On n n nE S E D E D D D
n n n n = = = = ,
to je empirijska disperzija nepomjerljiva (nepristrasna) ocjena
osnovne disperzije. Za ocjenu srednjeg kvadratnog odstupanja
osnovnog skupa koristi se ispravljeno srednje kvadratno odstupanje
ili empirijska standardna devijacija koja se definira formulom
-
29
2 2
1
1 ( )1 1
n
n ii
nS S D x Xn n =
= = = , tj. S je nepristrasna ocjena standardne devijacije O
osnovnog skupa.
Na kraju dokaimo da je ( ) 1n OnE D Dn= . Zaista, imamo:
( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 21 1
1 1( )k n
nn k n k ni k
E D E S E x X E X E Xn n= =
= = = , a kako je
( )( ) ( ) ( )( )22 22 221 1
1 1 1 1n nn k k i j
k k i j
nE X E X E X X X E X E Xn n n n= =
= = + = + ,
to imamo:
( ) ( ) ( )( )2 22 21 1 1n n n nE S E X E Xn n n = = , .t.d.
1.7.4. Statistiki parametri sluajne veliine (statistikog
obiljeja) Najvaniji statistiki parametri sluajne veliine
(statistikog obiljeja) su njena srednja
vrijednost (matematiko oekivanje) i standardna devijacija
odnosno varijansa (disperzija). Tu se mogu ubrojati i ostali
momenti sluajne veliine. Osim toga uvode se jo neki parametri
(medijana, moda i dr.).
Neka je X sluajna veliina (statistiko obiljeje) na proizvoljnom
prostoru vjerovatnoe (, F, P) i XF njena funkcija distribucije
(definirana formulom ( ) ( )XF x P X x= . Medijan(a) sluajne
veliine (statistikog obiljeja) X, u oznaci Me, je broj X takav da
vrijedi
1 1( ) ( )2 2X X
P X P X , tj. 1( ) ( )2X X X X
F F . (*) Oigledno je da medijana sluajne veliine uvijek
postoji, ali valja primijetiti da ona ne
mora biti jedinstvena. Npr., ako je 1 ,2
0, 0,
, 0 1
1, 1,
( ):X
x
x
x
F x ) sluajne veliine (statistikog obiljeja) X je broj rm
definiran formulom | | d ( )
rrm x F x
+
= . Broj r ( 0r> ) definiran formulom
( ( )) d ( )rr x E X F x+
= nazivamo centralni moment reda r sluajne veliine
(statistikog
obiljeja) X, a broj r ( 0r> ) definiran formulom | ( ) | d (
)rr x E X F x+
= nazivamo
apsolutni centralni moment reda r sluajne veliine (statistikog
obiljeja) X . Primijetimo da je E(X) = 1m , Var (X) =
22 2 1m m = .
Pomoni momenti distribucija predstavljaju odstupanja pojedinanih
vrijednosti
sluajne veliine (statistikog obiljeja) od nule, podignuta na
odreeni stepen.
Za neprekidne sluajne veliine (neprekidna statistika obiljeja) u
pretodnim formulama za momente vrijedi da je d ( ) ( )d ( )dF x F x
x f x x= = , gdje je f funkcija gustoe sluajne veliine X, dok se za
diskretnu sluajnu veliinu (diskretno statistiko obiljeje) X
prethodni integrali svode na odgovarajue konane sume ili beskonane
sume (sume beskonanih redova), tj. vrijede formule
, | | , ( ( )) , | ( ) |r r r rr i i r i i r i i r i i
i i i i
m x p m x p x E X p x E X p = = = = .
Formulom 33 3 = definira se koeficijent asimetrije kao numeriki
pokazatelj koji
izraava u kojoj meri je neka distribucija (raspodjela, razdioba,
raspored) asimetrina u odnosu na normalnu (Gaussovu)
distribuciju.
Ako je: 3 = 0, distribucija je simetrina, 3 > 0, distribucija
je asimetrina udesno (pozitivna asimetrija), 3 < 0, distribucija
je asimetrina ulijevo (negativna asimetrija). U zavisnosti od
veliine koeficijenta asimetrije, odreuje se i jaina asimetrije.
Gradacija
je sljedea: | 3 | 0,25 mala asimetrija, 0,25 < | 3 | 0,50
srednja asimetrija, | 3 | > 0,50 jaka asimetrija.
-
33
Formulom 44 4 = definira se koeficijent spljotenosti kao
numeriki pokazatelj koji
izraava u kojoj meri je neka distribucija (raspodjela, razdioba,
raspored) spljotena u odnosu na normalnu (Gaussovu)
distribuciju.
Na osnovu ove formule, koeficijent spljotenosti prua sljedeu
informaciju: 4 = 3, raspored je normalno spljoten (zaobljen), 4
> 3, raspored je vie izduen u odnosu na normalnu distribuciju, 4
< 3, raspored je vie spljoten u odnosu na normalnu distribuciju
.
Formulom 100V = definira se koeficijent varijacije statistikog
obiljeja za osnovni
skup, a formulom 100uVuX= definira se koeficijent varijacije
statistikog obiljeja za
uzorak kao relativna mjera varijacije koja pokazuje koliko
procenata iznosi standardna devijacija od aritmetike sredine.
Formulom XU = definira se normalizovano (standardizovano)
odstupanje (z-skor)
za osnovni skup, a formulom 100uuU X= definira se normalizovano
(standardizovano)
odstupanje (z-skor) za uzorak kao mjera varijacije koja pokazuje
odstupanje jedne vrijednosti statistikog obiljeja od aritmetike
sredine u standardnim devijacijama.
Neka je X sluajna veliina (statistiko obiljeje) na proizvoljnom
prostoru vjerovatnoe
(, F, P) i 0r> . Po dogovoru je 0 0( ) (| | ) 1.E X E X= =
Kao mjeru prosjenog odstupanja sluajne veliine X od njene srednje
vrijednosti X (oekivanja E(X)) uveli smo standardnu devijaciju .
Ovdje nas zanima vjerovatnoa velikih odstupanja X od X , npr.
vjerovatnoa da to odstupanje bude vee od k . U tom smislu pokazuje
se da vrijede sljedee injenice:
Propozicija 1.7.1. (Nejednakost Markova). Neka je 0r> i (| |
)rE X vrijedi nejednakost (| | )(| | )
r
r
E XP X . Propozicija 1.7.2. (Nejednakost ebieva). Neka je X
sluajna veliina s konanim oekivanjem i varijansom. Tada za
proizvoljan 0> vrijedi nejednakost
2
( )(| | ) Var XP X X .
Zamjenom k = ( 0k > ) u prethodnu nejednakost dobijemo
nejednakost 2
1(| | )P X X kk
,
-
34
koja pokazuje da kakva god bila distribucija vjerovatnoe sluajne
veliine (statistikog obiljeja) za koju je definirana varijansa
vjerovatnoa velikih odstupanja sluajne veliine X od njene srednje
vrijednosti X (oekivanja E(X)) je mala, i tei nuli kad k + . S
praktine strane gledanja moe se konstatovati da su odstupanja
sluajne veliine (statistikog obiljeja) od nekoliko standardnih
devijacija od srednje vrijednosti veoma malo vjerovatna, to
predstavlja opti rezultat. Meutim, za konkretne distribucije
vjerovatnoe mogu se dobiti preciznije procjene. Tako, npr., za
Gaussovu distribuciju se pokazuje da je vjerovatnoa odstupanja (X
od X ) od 3 mnogo manja od vrijednosti koja se dobije primjenom
ebievljeve nejedenakosti. Propozicija 1.7.3. Neka je X sluajna
veliina i g nenegativna Borelova funkcija takva da je ( ( ))E g X
vrijedi nejednakost
( ( ))( )( )
E g XP Xg
. Dokaz: Neka je { }: | |A X = . Tada je ( ( )) ( )d ( )d ( ) d
( ) ( ).
cA AA
E g X g X P g X P g P g P A = + = Q.E.D.
Neka je ( )1: ,... , nX X X= n dimenzionalna sluajna veliina (n
- dimenzionalni sluajni vektor) (odnosno n-dimenzionalno statistiko
obiljeje) na proizvoljnom prostoru vjerovatnoe (, F, P). Tada se
matematiko oekivanje od X definira formulom
( )1( ): ( ),... , ( ) nnE X E X E X R= uz pretpostavku da je (
)iE X R za svaki i = 1, . . . , n . Za sluajni vektor , uz
oekivanje, najvaniji su momenti drugog reda. Neka je
2( )iE X
-
35
Uslovna funkcija distribucije sluajne veliine (statistikog
obiljeja) X uz uslov da se desio dogaaj A definira se formulom
{ } )(( | ): ( | )( )X
AP X xF x A P X x A
P A= = ,
a uslovna funkcija gustoe od X uz uslov da se desio dogaaj A
zadana je formulom
{ }0 0
)( / 2 / 2 | ) ( / 2 / 2( | ): lim lim .( )X x x
AP x x X x x Ax
P x x X x xf x A
x P A + + < < +
< < += =
Uslovna funkcija distribucije i uslovna funkcija gustoe od X uz
uslov da se desio dogaaj A imaju ista svojstva kao i odgovarajue
bezuslovne funkcije, a analogno se uvode i pojmovi uslovne srednje
vrijednosti (uslovnog oekivanja), uslovne varijanse i , openito,
uslovnih momenata. Tako, npr., uslovna funkcija distribucije je
neopadajua funkcija i neprekidna zdesna na R.
1.7.5. Neki primjeri zadataka za ponavljanje i utvrivanje
gradiva Zadatak 1.7.1. Zadana je raspodjela apsolutnih frekvencija
sluajnog uzorka :
a) Odrediti raspodjelu relativnih frekvencija , empirijsku
funkciju raspodjele 30 ( )F x , a zatim skicirati grafik dobijene
funkcije 30 ( )F x . b) Nai matematiko oekivanje, disperziju,
standardnu devijaciju i empirijsku disperziju prema zadanoj
statistikoj raspodjeli apsolutnih frekvencija sluajnog uzorka.
Zatim konstruisati poligon i histogram relativnih frekvencija
zadanog sluajnog uzorka. Zadatak 1.7.2. a) Za proizvoljan uzorak
obiljeja X , zadan tabelom (statistikom raspodjelom)
xi 1x 2x ... kx 1kx + ... nx
ii
npn
= 1p 2p ... kp 1kp + ... np izraunati medijanu. b) Na osnovu a)
izraunati medijanu i (aritmetiku) sredinu uzorka zadanog sljedeom
tabelom:
xi 0 1 2 3 4 ni 36 38 18 6 2
xi 6 8 12 15
(fi =) ni 2 15 5 8
-
36
Koliki su koeficijenti/mjere asimetrije ( 3 ) i zaobljenosti
(spljotenosti, 4 ) posmatrane distribucije?
Zadatak 1.7. 3. Statistika raspodjela sluajnog uzorka hidroloke
veliine (statistikog obiljeja) X zadana je sljedeom tabelom:
xi 10 8 12 14 16 20 18 ni 15 16 5 24 10 17 13
a) Odrediti (empirijske) statistike momente i pokazatelje
disperzije vieg reda (obine
statistike momente 1
1 k rr i i
im x f
n == , centralne statistike momente
1
1 ( ) ,k
rr i i
iM x X f
n == za
3, 4,5r = i centralni apsolutni moment 3. reda zadanog obiljeja
X . b) Izraunati karakteristike poloaja, asimetrije, ekscesa i
druge vane uzorake karakteristike, pa dati ocjene za odgovarajue
karakteristike itavog osnovnog skupa. Zadatak 1.7. 4. Na jednoj
stonoj farmi je statistiki posmatrana mlijenost stotinu krava, tj.
broj X hl mlijeka koje svaka krava daje godinje. Podaci su prvo
sreeni, pa su onda napisani u sljedeoj tabeli. Nacrtati odgovarajui
dijagram frekvencija i histogram frekvencija, te izvesti
odgovarajue prirodne zakljuke.
Klase
obiljeja x
Sredina Klase
Broj krava
f
Relativna frekvencija
f / 100 29 - 31 30 2 0,02 31 - 33 32 10 0,1 33 - 35 34 18 0,18
35 - 37 36 30 0,3 37 - 39 38 22 0,22 39 - 41 40 13 0,13 41 - 43 42
3 0,3 Ukupno 100 1
Zadatak 1.7.5. Zadana je zajednika funkcija vjerovatnoe
(dvodimenzionalne)
sluajne veliine (X, Y) :
X \ Y - 3 2 4 1 3
0,1 0,3
0,2 0,1
0,2 0,1
Odrediti analitike oblike i grafiki predstavite marginalne
funkcije vjerovatnoe i njihove odgovarajue funkcije distribucije,
te izraunati oekivanja E(X) i E(Y) i kovarijansu C (X, Y). Zadatak
1.7.6. Funkcija raspodjele/distribucije obiljeja X neke populacije
zadana je formulom
-
37
a)
0, 0,2
( ) : , 0 2 ,4
1, 2;
x
xF x xX
x
=
Odredite koeficijent A i analitiki oblik funkcije distribucije
FX , a zatim izraunajte matematiko oekivanje, varijansu i
standardnu devijaciju zadane sluajne varijable X, te skicirajte
grafike funkcija f X i FX .
Uputa. Iz ( ) d 1X
f x x+
= slijedi da je A = 2 2h , pa iz
( )E X = ( ) dX
x f x x+
i ( )22( ) ( ) ( )V ar X E X E X= dobijemo oekivanje ( )E X i
varijansu ( )V ar X
Zadatak 1.7.10. Zadana je zajednika funkcija vjerovatnoe
(dvodimenzionalne) sluajne promjenljive veliine (X, Y ) :
Odredite analitike oblike i grafiki predstavite marginalne
funkcije vjerovatnoe i njihove
X \ Y - 3 2 4 1 3
0,1 0,3
0,2 0,1
0,2 0,1
-
38
odgovarajue funkcije distribucije, te izraunajte oekivanja E (X)
i E(Y) i kovarijansu C (X, Y). Zatim ispitajte zavisnost zadanih
sluajnih veliina X, Y i odredite oekivanje sluajne veliine : 2 5Z X
Y= . Rezultat. Marginalne funkcije vjerovatnoe f i g sluajnih
veliina X i Y su zadane sljedeim tabelama: E (X) = 2, E(Y) = 0, 6;
C (X, Y) = - 1,2; ( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 2 5 0, 6 1E Z E X E Y= = = . Iz
(1) 0, 5, ( 3) 0, 4, (1, 3) 0, 1,f g h= = = gdje je h zajednika
funkcija vjerovatnoe, slijedi da je (1, 3) (1) ( 3)h f g , pa su
sluajne veliine X i Y zavisne.
jy - 3 2 4 ( )jg y 0,4 0,3 0,3
ix 1 3 ( )if x 0,5 0,5
Jo o pojmu statistikog skupa i statistike raspodjele 1.7.5. Neki
primjeri zadataka za ponavljanje i utvrivanje gradiva Zadatak 1.7.
3. Statistika raspodjela sluajnog uzorka hidroloke veliine
(statistikog obiljeja) X zadana je sljedeom tabelom: Odrediti
vrijednost konstante a, mod(us), medijan(u), (aritmetiku) srednju
vrijednost, varijansu i analitiki oblik funkcije gustoe vjerovatnoe
za zadanu sluajnu varijablu (obiljeje) X , a zatim skicirati
grafike funkcija i .
