Upload
others
View
22
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE JOISPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
DOMAGOJ MAROŠEVIĆ
GIBANJE SVJETLOSTI U EINSTENOVOJ TEORIJI
GRAVITACIJE
Završni rad
Osijek, 2015.
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STORSSMAYERA U OSIJEKU
ODJEL ZA FIZIKU
DOMAGOJ MAROŠEVIĆ
GIBANJE SVJETLOSTI U EINSTEINOVOJ TEORIJI
GRAVITACIJE
Završni rad
Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja zvanja
prvostupnika fizike
Osijek, 2015.
Ovaj završni rad izrađen je u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc Josipa Brane u sklopu
Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja
Strossmayera.
Sadržaj
UVOD .......................................................................................................................................................... 7
1. SVJETLOST U SPECIJALNOJ TEORIJI RELATIVNOSTI .................................................................. 8
1.1 POSTULATI SPECIJALNE TEORIJE RELATIVNOSTI................................................................. 8
1.2 SVJETLOSNI STOŽAC .................................................................................................................... 9
2. JEDNADŽBE GIBANJA ZA SVJETLOST U OTR-u........................................................................... 11
2.1 UKRATKO O OTR-u ...................................................................................................................... 11
2.2 RIEMANNOV TENZOR ZAKRIVLJENOSTI ............................................................................... 12
2.3 GEODETSKE KRIVULJE............................................................................................................... 12
2.3 KORIŠTENJE UVJETA 𝒅𝒔𝟐 = 𝟎 ................................................................................................... 14
3. GIBANJE SVJETLOSTI U SCHWARZSCHILDOVOM GRAVITACIJSKOM POLJU ..................... 15
3.1 SCHWARZSCHILDOVO RJEŠENJE EINSTENOVIH JEDNADŽBI ........................................... 16
3.2 GIBANJE ČESTICA U GRAVITACIJSKOM POLJU OPISANOM SCHWARZSCHILDOVIM
RJEŠENJEM .......................................................................................................................................... 17
3.3 STAZE MASIVNIH ČESTICA U SCHWARZSCHILDOVOJ METRICI ..................................... 19
3.4 SAVIJANJE SVJETLOSNE ZRAKE U PODRUČJU VELIKIH MASA ........................................ 19
3.5 UČINCI GRAVITACIJSKIH LEĆA ............................................................................................... 21
3.6 GRAVITACIJSKI PLAVI I CRVENI POMAK .............................................................................. 22
4. GIBANJE SVJETLOSTI U KERROVOJ METRICI ............................................................................. 25
4.1 KERROVO RJEŠENJE.................................................................................................................... 25
4.2 GIBANJE ČESTICA I FOTONA U KERROVOJ METRICI .......................................................... 27
ZAKLJUČAK ............................................................................................................................................ 29
LITERATURA ........................................................................................................................................... 30
ŽIVOTOPIS ............................................................................................................................................... 31
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Završni rad
Odjel za fiziku
GIBANJE SVJELTOSTI U EINSTENOVOJ TEORIJI GRAVITACIJE
DOMAGOJ MAROŠEVIĆ
Sažetak
Opća teorija relativnosti je fizikalna teorija koju je razvio i objavio Albert Einstein
1915.godine i opisuje gravitaciju u modernoj fizici. Ona je geometrijska teorija koja postulira da
prisutnost mase i energije zakrivljuje prostor-vrijeme i da ta zakrivljenost određuje put čestica i
svjetlosti. U radu je pojašnjeno gibanje čestica u gravitacijskom polju, kao i gibanje čestica,
odnosno svjetlosti koristeći Schwarzschildovo i Kerrovo rješenje Einstenovih jednadžbi
Rad pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku
Ključne riječi: Einsteinove jednadžbe/ Kerrovo rješenje/Schwarzschildovo rješenje/teorija
relativnnosti
Mentor: doc.dr.sc Josip Brana
Ocjenjivači:
Rad prihvaćen: odlukom odbora za završne radove
University Josip Juraj Storssmayer Bachelor of Physics Thesis
Department of Physics
GIBANJE SVJELTOSTI U EINSTENOVOJ TEORIJI GRAVITACIJE
DOMAGOJ MAROŠEVIĆ
Abstract
The general theory of relativity is a physical theory which was developed and published
by Albert Einstein in 1915, and which describes gravitation in modern physics. The general
theory of relativity is a geometrical theory which postulates that the presence of mass and energy
curves space-time, and that the curvature affects the path of particles and light. The thesis
explains the motion of particles in a gravitational field, as well as the motion of particles, i.e., of
light, using the Schwarzschild’s and Kerr’s solution of Einstein’s equations.
Thesis deposited in Department of Physics library
Keywords: Einsteins equations/Kerr's decisions/Schwarzschild's decisions/theroy of releativity
Supervisor: doc.dr.sc Josip Brana
Reviewers:
Thesis accepted: odlukom odbora za završne radove
7
UVOD Krajem XIX. i početkom XX. stoljeća fizika se suočavala s ogromnim problemima.
Osnovne tvrdnje teorije − Newtonove klasične mehanike, koja je smatrana točnom i kroz više od
200 godina mnogo puta provjerenom, bile su u suprotnosti s temeljnim tvrdnjama tadašnje "nove
fizike" − Maxwellove elektrodinamike. Vodeći znanstvenici ulagali su ogroman trud
pokušavajući razriješiti taj paradoks. Tek je 1905. mladi, nepoznati fizičar Albert Einstein, u
članku publiciranom u Annalen der Physik1 1905., riješio problem na spektakularan način:
Newtonova klasična mehanika samo je približno točna teorija kad su brzine male u udnosu na
brzinu svjetlosti, a Maxwellova elektrodinamika je ispravna teorija bez ikakvih ograničenja! Tu
novu Einsteinovu teoriju koja zamjenjuje Newtonovu klasičnu mehaniku i predstavlja temelj
moderne fizike nazivamo Specijalna teorija relativnosti ( u daljnjem dijelu teksta STR2). Bit
nesuglasja između klasične mehanike i elektrodinamike najlakše se vidi na primjeru
najjednostavnijih fizikalnih veličina. Cjelokupna fizika, i klasična i moderna, bazirana je na
principu relativnosti. Teorija nosi naziv relativnosti jer je u okviru nje relativizirano vrijeme. Ne
postoji apsolutno vrijeme i ne postoji apsolutni prostor. Rečene veličine mjerljive su samo u
odnosu na nekog promatrača. Točka s koje promatrač promatra događaj (sustav promatranja)
jednako je točna kao točka gledišta (sustav promatranja) bilo kojeg drugog promatrača koji se
giba nekom drugom brzinom. Opća i specijalna teorija relativnosti našle su praktičnu primjenu u
novije vrijeme – GPS. Točnost atomskih satova omogućila je izgradnju GPS-a, ali bez
uračunavanja utjecaja velikih masa, kao i gibanja na tijek vremena, taj sustav se za globalno
pozicioniranje ne bi mogao biti izgrađen. Također razvojem astronomije i satelita postignut je
veliki napredak u istraživanju svemira, što je bilo važno za STR jer razvojem satelita i velikih
teleskopa, poput Hubbleovog teleskopa, mogli su se promatrati učinci gravitacijskih leća, crveni
gravitacijski pomaci, a isto tako 1999.g je otkriveno da se svemir ubrzano širi. Opća teorija
relativnosti (u daljnjem dijelu teksta OTR), kao teorija zasnovana na čvrstim principima, također
predviđa i objekte poput crnih rupa, za čije postojanje imamo čvrste dokaze, postojanje paralelnih
svemira i crvotočina, bijelih rupa i sl. Einsteinova opća teorija relativnosti nije tek puko
proširenje Newtonovog općeg zakona gravitacije. Ona je puno više od toga. Opća teorija
relativnosti ne omogućava samo precizniji račun gibanja u gravitacijskom polju nego predviđa
1 Jedan od najstarijih znanstvenih časopisa koji izlazi od 1799.g 2 1915.g Einstein uveo taj naziv
8
cijeli niz potpuno novih fenomena povezanih s gravitacijom. Prve tri pojave koje su bile izvan
dosega Newtonovog zakona gravitacije, a koje je opća teorija relativnosti uspješno objasnila bile
su: anomalija u zakretu Merkurova perihela, skretanje svjetlosti u blizini Sunca i gravitacijski
crveni pomak. To su tri klasična testa opće teorije relativnosti koje je predložio (i objasnio)
Einstein 1916. godine. U narednim godinama provedeni su brojni, sve precizniji, eksperimenti
koji su pokazali izvrsno slaganje opažanja s teorijom.
1. SVJETLOST U SPECIJALNOJ TEORIJI RELATIVNOSTI
Michelson-Morleyev pokus bio je pokus iz 1887. godine koji su sprovela dvojica
nanstvenika Albert Abraham Michelson i Edward Williams Morley. Pokusom su htjeli dokazati
postojanje apsolutnog prostora s eterom, ali njihov pokus nije dokazao postojanje etera. Pokus je
promijenio postulate klasične fizike. Rezultati ovog pokusa i do danas se smatraju definitivnim
dokazom da svjetlonosni eter ne postoji. Pokusom su pokušali su odrediti razliku u brzini dva
svjetlosna snopa. Za mjerenje im je poslužio Michelsonov interferometar, uređaj koji u
suvremeno doba ima primjenu u spektrometriji. Prvi svjetlosni snop koji su mjerili dolazio je iz
pravca orbitalnog kretanja Zemlje oko Sunca. Drugi svjetlosni snop dolazio je iz pravca koji je
pod pravim kutem u odnosu na Zemljino gibanje. Prema njihovoj nultoj hipotezi, svjetlosni snop
iz smjera gibanja Zemlje kreće se protiv "eterskog vjetra", zbog čega bi mu brzina morala biti
manja od brzine drugog svjetlosnog snopa. Pokus je više puta ponovljen. Nije uočena nikakva
razlika u brzinama. Lorentz-Fitzgeraldova hipoteza kontrakcije pokušala je objasniti rezultate
neuspjeha pokusa, a konačno rješenje dao je 1905. Albert Einstein
1.1 POSTULATI SPECIJALNE TEORIJE RELATIVNOSTI Albert Einstein je 1905. protumačio rezultat Michelsonovog eksperimenta. Kao posljedicu
invarijantnosti Maxwellovih jednadžbi uvodi princip da je brzina svjetlosti univerzalna i neovisna, a
vrijeme ovisno o sustavu motrenja. Zaključio je da eter ne postoji, te daje sljedeće postulate:
1. postulat specijalne teorije relativnosti – princip konstantnosti brzine svjetlosti: Brzina svjetlosti
u vakuumu (c = 2,998·108 m/s) jednaka je u svim inercijskim referentnim sustavima i ne ovisi o gibanju
izvora ili detektora svjetlosti.
9
2. postulat specijalne teorije relativnosti (proširenje Galileijevog principa relativnosti): Svi
prirodni zakoni imaju isti oblik u svim inercijskim sustavima, tj. u sustavima koji se relativno jedan prema
drugom gibanju jednoliko po pravcu.
Einstein je pokazao da ova dva postulata nisu proturječna, kako je izgledalo u klasičnoj
fizici, nego da, uzeta zajedno, objašnjavaju sve poteškoće klasične fizike, a i predviđaju niz
posljedica koje su kasnije bile eksperimentalno provjerene. Polazeći od ova dva postulata,
Einstein je izgradio specijalnu teoriju relativnosti. Primjetimo da je drugi postulat uključen u prvi.
Kada brzina svjetlosti ne bi bila konstantna, mjerenjem te brzine mogli bismo ustanoviti da li se
nalazimo u sustavu koji miruje ili se giba jednoliko pravocrtno.
Na taj način shvaća elektromagnetsko titrajuće polje kao samosvojan fizikalni objekt koji ima
valnu narav i širi se u vakuumu brzinom c=299792.458 km/s. Dvadesetak godina kasnije je ustanovljeno
da i ostale materijalne čestice kao što su npr. elektroni imaju valnu narav.
1.2 SVJETLOSNI STOŽAC
Svjetskim događajem, nazivamo svaki događaj koji se može dogoditi trenutno u nekoj
točki prostora. To npr. može biti raspad neutrona, emisija ili apsorbcija fotona u atoma i sl.
Razmotrimo u sustavu S dva svjetska događaja A i B. Događaj A u trenutku tA u točki s
koordinatama (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝑎) i događaj B u trenutku tB u točki s koordinatama (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵). Izraz:
∆𝑠2 = 𝑐2(𝑡𝐴 − 𝑡𝐵)2 − (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)
2 − (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2 − (𝑧𝐴 − 𝑧𝐵)
2 (1.0)
nazivamo intervalom između dva svjetska događaja A i B.
Interval se ne mijenja pri Lorentzovim transformacijama. Veličine koje se ne mijenjaju pri
Lorentzovim transformacijama zovemo invarijantama ili skalarima. Interval je invarijanta –
skalar i smatra se najznačajnijom invarijantom u teoriji relativnosti. Iz definicije intervala očito je
da interval može biti pozitivan, nula ili negativan.
Interval pozitivan ∆𝑠2 > 0, prevladava njegova vremenska komponenta pa ga zovemo
interval vremenskog tipa. Takav tip intervala uvijek je povezan s gibanjem jedne točkaste
čestice.
10
Interval jednak 0 ∆𝑠2 = 0, interval je svjetlosnog tipa, zato što je za sve procese vezane
uz širenje svjetlosti interval jednak nuli.
Interval negativan ∆𝑠2 < 0, prevladava njegova prostorna komponenta pa ga zovemo
interval prostornog tipa.
Gornje osobine su apsolutno. Ukoliko je interval negativan u nekom sustavu motrenja S, on je
negativan u bilo kojem drugom sustavu motrenja S'.
Nadalje, postavlja se pitanje: Ukoliko se u nekom sustavu motrenja dva događaja A i B
zbivaju u različitim trenutcima, da li je moguće i kada je moguće naći neki sustav motrenja S'
u kojem su oni istovremeni? Pretpostavimo li da je moguće tada je u S' 𝑡𝐴′ = 𝑡𝐵
′ pa se vidi da
je u S' interval negativan, odnosno prostornog tipa. Zbog invarijantnosti on je negativan u bilo
kojem drugom sustavu motrenja S. Dakle, moguće je naći neki sustav motrenja S' u kojem su
događaji istovremeni ako i samo ako je interval prostornog tipa.
Npr. uzmimo da se događaj A zbio u 0, tj 𝑡𝐴 = 0, 𝑥𝐴 = 0, 𝑦𝐴 = 0, 𝑧𝐴 = 0, a trenutak i
koordinate događaja B obilježimo s 𝑡𝐵 = 𝑡, 𝑥𝐵 = 𝑥, 𝑦𝐵 = 𝑦, 𝑧𝐵 = 𝑧. Tadaa je interval
između 0 i B u sustavu S:
𝑠2 = 𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2
(1.1)
Koji može biti pozitivan, nula ili negativan. Razmotrimo interval svjetlosnog tipa, tj.
jednadžbu:
𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 0
(1.2)
Predočimo ovu jednadžbu u 3D prostoru isključivanjem, zbog simetrije, jedne komponente,
npr. z. Tada jednadžba:
𝑐2𝑡2 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0
(1.3)
Predstavlja jednadžbu kružnog stošca. Takav stožac zovemo svjetlosnim stošcem.
11
Slika 1. Svjetlosni stožac
2. JEDNADŽBE GIBANJA ZA SVJETLOST U OTR-u
2.1 UKRATKO O OTR-u
Opća teorija relativnosti fizikalna je teorija koju je Albert Einstein objavio u
članku Osnove opće teorije relativnosti (njem. Die Grundlage der allgemeinen
Relativitätstheorie), 20. ožujka 1916. godine. Ova teorija predstavlja relativističko
poopćenje Newtonove teorije gravitacije. Einstein kaže da je STR bila dječja igra u usporedbi s
OTR-om. Leži na osnovnim principima.
Princip relativnosti: zakoni fizike isti u svim sustavima (inercijalnim i
neinercijalnim)
Princip kovarijantnosti: zakoni fizike moraju imati isti oblik u svim koordinatnim
sistemima
Lorentzova invarijantnost: zakoni specijalne relativnosti vrijede lokalno za sve
inercijalne sustave
Prostorvrijeme je zakrivljeno
To je geometrijska teorija gravitacije koja ujedinjuje specijalnu relativnost, Newtonov zakon
gravitacije i činjenicu da je gravitacijska akceleracija posljedica zakrivljenosti prostorvremena.
12
Koristi 3Riemannovu geometriju i tenzorski račun. Također OTR predviđa gravitacijski crveni
pomak, gravitacijsku dilataciju vremena, gravitacijsko skretanje svjetlosti, postojanje crnih rupa
itd.
2.2 RIEMANNOV TENZOR ZAKRIVLJENOSTI
Riemannov tenzor zakrivljenosti je mjerilo zakrivljenosti prostora. On je različit od nule
tj. bar jedna njegova komponentra je različita od nule, kada je prostor doista zakrivljen.
Veličine:
𝑅 𝜇𝛽𝛾𝛼 = 𝛤𝛽𝜇|𝛾
𝛼 − 𝛤𝛾𝜇|𝛽𝛼 + 𝛤𝜈𝛾
𝛼𝛤𝛽𝜇𝜈 − 𝛤𝜈𝛽
𝛼 𝛤𝛾𝜇𝜈
(2.0)
čine tenzor i nazivamo ga Riemannov tenzor zakrivljenosti. U slučaju ravnog prostora sve su
njegove komponente jednake nuli, u bilo kojem sustavu koordinata:
𝑅 𝜇𝛽𝛾𝛼 = 0
(2.1)
Gornju jednadžbu možemo smatrati jednadžbom koja vrijedi za ravan prostor tj. prostor bez
gravitacije.
2.3 GEODETSKE KRIVULJE
U okviru Eninsteinova programa opisa gravitacijskog polja čestica se giba u zakrivljenom
prostor-vremenu (zakrivljuju ga velike mase) po stazama najkraćeg puta tzv. geodetskim
krivuljama, koje u takvom prostoru uopće nisu pravci nego krivulje.
U pseudo-Riemannovu prostor-vremenu, udaljenost između dviju točaka a i b, određena je
sa:
𝑆𝑎𝑏 = ∫𝑑𝑠 = ∫√𝑔𝛼𝛽𝑑𝑥𝛼𝑑𝑥𝛽 = ∫√𝑔𝛼𝛽(𝑥𝜇)�̇�𝛼�̇�𝛽𝑑𝑠
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(2.2)
3 Georg Friedrich Bernhard Riemann (17. rujna 1826. – 20. srpnja 1866.) njemački matematičar
13
gdje je uvedena skraćenica: 𝑑𝑥𝛼
𝑑𝑠= �̇�𝛼
Čestica se giba po takvim krivuljama 𝑥𝑎(𝑝) u prostoru duž koji je 𝑆𝑎𝑏 najmanji. Ukoliko
za parametar 𝑝 odaberemo luk 𝑠, to bi značilo da moramo pronaći minumum funkcije (2.2).
Minimiziranje te funkcije, ekvivalentno je riješavanju Euler-Lagrangeovih jednadžbi:
𝑑
𝑑𝑠(𝜕𝐿
𝜕�̇�𝜇) −
𝜕𝐿
𝜕𝑥𝜇= 0
(2.3)
gdje je 𝐿 = √𝑔𝛼𝛽(𝑥)�̇�𝛼�̇�𝛽. Nakon deriviranja dobiju se sljedeće jednadžbe:
∆𝜕𝐿
𝜕𝑥𝜇=
1
2√𝑔𝛼𝛽(𝑥)�̇�𝛼�̇�𝛽𝑔𝛼𝛽|𝜇(𝑥)�̇�
𝛼�̇�𝛽
(2.4)
𝑑
𝑑𝑠(𝜕𝐿
𝜕�̇�𝜇) =
1
√𝑔𝛼𝛽(𝑥)�̇�𝛼�̇�𝛽[𝑔𝛼𝜇|𝛽�̇�
𝛽�̇�𝛼 + 𝑔𝛼𝜇�̈�𝛼]
(2.5)
što ukupno za jednadžbu (2.4) daje:
�̈�𝜈 + 𝛤𝛼𝛽
𝜈 �̇�𝛼�̇�𝛽 = 0
(2.6)
To su jednadžbe geodetskih krivulja za česticu u zakrivljenom prostor-vremenu, gdje su 𝛤𝛼𝛽𝛾
Christoffelovi simboli i potpuno su određeni metričkim tenzorom:
𝛤𝛼𝛽𝜇 =
𝑔𝜇𝛾
2[𝑔𝛼𝛾|𝛽 + 𝑔𝛽𝛾|𝛼 − 𝑔𝛼𝛽|𝛾] (2.7)
14
Slika 2. Mreža nulgeodetskih krivulja sa svjetlosnim stošcima u zakrivljenom prostoru
2.3 KORIŠTENJE UVJETA 𝒅𝒔𝟐 = 𝟎
Znamo da za svjetlost vrijedi 𝑑𝑠2 = 0, tako da gore napisano ne možemo koristiti. Da
bismo uzeli u obzir i tzv. nul-geodetske krivulje definiramo geodetske krivulje s 𝑥𝑎(𝑝) u pseudo-
Riemannovom prostoru, duž kojih se njihov tangencijalni vektor 𝑡𝛼 =𝑑𝑥𝛼
𝑑𝑝 ne mijenja, tj. vrijedi:
𝐷𝑡𝛼 = 0, odakle s dijeljenjem 𝑑𝑝 dolazimo do jednadžbi geodestkih krivulja u kojima je
potrebno samo zamijeniti parametar elementa luka 𝑠 bilo s kojim afinim parametrom 𝑝. Iz
definicije možemo zaključiti da se tangente paralelno premještaju duž geodetske krivulje.
U slučaju masivne čestice: 𝑑𝑢𝛼
𝑑𝑠= 0, (𝑢𝛼 − č𝑒𝑡𝑣𝑒𝑟𝑜𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 č𝑒𝑠𝑡𝑖𝑐𝑒) . Prirodno poopćenje
jednadžbe gibanja slobodne čestice u zakrivljenom prostoru je 𝑑𝑢𝛼 = 0. Raspisano:
𝑑𝑢𝛼 + 𝛤𝛽𝛾
𝛼 𝑢𝛽𝑑𝑥𝛾 = 0
(2.8)
Gore navedeni izraz, dijeljenjem s 𝑑𝑠 odmah daje jednadžbu geodetskih krivulja.
15
U slučaju 4D prostor-vremena, jednadžbe geodetskih krivulja su 4 obične difernecijalne,
nelinearne jednadžbe drugog reda. Pri njihovom rješavanju, umjesto jedne od njih, možemo
iskoristiti jednadžbe za kvadrat elementa luka kao prvi integral:
𝑐2 = 𝑔𝛼𝛽�̇�𝛼�̇�𝛽 (2.9)
Gdje je deriviranje po vlastitom vremenu 𝜏, a u slučaju gibanja svjetlosti u gravitacijskom polju:
0 = 𝑔𝛼𝛽�̇�𝛼�̇�𝛽 (2.10)
U zakrivljenom prostoru staze čestica, odnosno geodetske krivulje leže unutar svjetlosnih
stožaca, a svjetlosne zrake tj. nul-geodetske krivulje leže na njima.
3. GIBANJE SVJETLOSTI U SCHWARZSCHILDOVOM
GRAVITACIJSKOM POLJU Albert Einstein je 1915.g objavio 10 jednadžbi opće teorije relativnosti koje opisuju
gravitacijsku silu kao zakrivljenje prostor-vremenu uzrukovano materijom i energijom. Te
jednadžbe se nazivaju Einsteinove jednadžbe gravitacijskog polja, a one su oblika:
𝑅𝜇𝜈 =
8𝜋𝐺
𝑐4(𝑇𝜇𝜈 −
1
2𝑔𝜇𝜈𝑇)
(3.011)
ili s kozomološkom konstantom:
𝑅𝜇𝜈 =
8𝜋𝐺
𝑐4(𝑇𝜇𝜈 −
1
2𝑔𝜇𝜈𝑇) − 𝑔𝜇𝜈𝛬
(3.112)
U ovom pogavlju ramatrat će se gibanje svjetlosti u gravitacijskom polju određenom
4Schwarzschildovim rješenjem Einsteinovih jednadžbi. Karl Schwarzschild je 1916.g egzaktno
riješio Einsteinove jednadžbe teorijom gravitacije zaokruženom za sfernosimetrični statički
slučaj.
4 Karl Schwarzschild (9. listopada, 1873. – 11. svibnja, 1916.) njemački fizičar i astronom
16
3.1 SCHWARZSCHILDOVO RJEŠENJE EINSTENOVIH JEDNADŽBI
Schwarzschildovo rješenje einstenovih jednadžbi:
𝑔𝛼𝛽 =
(
1 −𝑟𝑔
𝑟0 0 0
0 −1
1 −𝑟𝑔𝑟
0 0
0 0 −𝑟2 00 0 0 −𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜗)
(3.2)
Gdje je 𝑟𝑔 gravitacijski polumjer 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀
𝑐2. Zadržat ćemo se na slučaju gibanja nerelativističkim
brzinama (𝑣 ≪ 𝑐) u slabim pojima (𝑟𝑔 ≪ 𝑟), tj. tipičnoj Keplerovoj zadaći o gibanju planeta u
polju Sunca (𝑟𝑔 ≈ 3𝑘𝑚 𝑧𝑎 𝑆𝑢𝑛𝑐𝑒).
Pripadajući interval je:
𝑑𝑠2 = (1 −𝑟𝑔
𝑟) 𝑐2𝑑𝑡2 −
1
1 −𝑟𝑔𝑟
𝑑𝑟2 − 𝑟2(𝑑𝜗2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜗𝑑𝜑2)
(3.2)
Iz ovog rješenja se vidi da je u ovoj metrici opseg kružnice u ravnini 𝜗 = 𝜋 2⁄ sa zadanim
𝑟 jednak 2𝑟𝜋, a udaljenost između dviju točaka 𝑟1 i 𝑟2 duž 𝑟 je:
∫𝑑𝑟
√1 −𝑟𝑔𝑟
≥ 𝑟2 − 𝑟1
𝑟2
𝑟1
(3.3)
Vrijeme koje protječe u nekoj prostornoj točki – vlastito vrijeme 𝑑𝜏 je:
𝑑𝜏 = (1 −
𝑟𝑔
𝑟) 𝑑𝑡 ≤ 𝑑𝑡
(3.413)
Vlastito se vrijeme usporava u blizini masa, satovi kucaju sporije nego daleko od masa. Ovi
učinci, iako su u blizini zemlje mali, moraju se uzimati u obzir u GPS-u pri mjerenju udaljenosti
pomoću elektromagnetskih valova. U točki 𝑟 = 𝑟𝑔 metrički tenzor ima singularitet.
17
3.2 GIBANJE ČESTICA U GRAVITACIJSKOM POLJU OPISANOM
SCHWARZSCHILDOVIM RJEŠENJEM
U Einsteinovu programu gibanje masa (probnih čestica) u gravitacijskom polju određeno je
geodetskim krivuljama:
�̈�𝜈 + 𝛤𝛼𝛽
𝜈 �̇�𝛼�̇�𝛽 = 0 → �̇�𝛼 ≡𝑑𝑥𝛼
𝑑𝜏
(3.5)
Za metrički tenzor (𝑔𝛼𝛽) Cristoffelovi simboli različiti od nula su:
𝛤100 =
𝑟𝑔𝑟2
2 (1 −𝑟𝑔𝑟), 𝛤001 =
𝑟𝑔
2𝑟2(1 −
𝑟𝑔
𝑟) , 𝛤11
1 =−𝑟𝑔𝑟2
2 (1 −𝑟𝑔𝑟),
𝛤221 = −𝑟 (1 −
𝑟𝑔
𝑟) , 𝛤33
1 = −𝑟 (1 −𝑟𝑔
𝑟) 𝑠𝑖𝑛2𝜗,
𝛤122 =
1
𝑟, 𝛤332 = −sin𝜗 cos 𝜗 ,
𝛤133 =
1
𝑟, 𝛤233 = 𝑐𝑡𝑔𝜗,
(3.6)
gdje je 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀
𝑐2 gravitacijski polumjer, a 𝛤𝛼𝛽
𝜈 su simetrični.
Jednadžbe geodetskih krivulja tada su za 𝑥0 = 𝑐𝑡:
𝑑
𝑑𝑠[(1 −
𝑟𝑔
𝑟) 𝑡 ̇] = 0
(14)
Jednadžba za 𝑥1 = 𝑟:
(1 −
𝑟𝑔
𝑟)−1
�̈� +𝑟𝑔
2𝑟2𝑐2�̇�2 − (1 −
𝑟𝑔
𝑟)−2 𝑟𝑔
2𝑟2�̇�2 − 𝑟(�̈�2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜗�̇�2) = 0
(3.8)
Za 𝑥2 = 𝜗:
�̈� +
2
𝑟�̇��̇� − sin 𝜗 cos 𝜗 �̇�2 = 0
(3.9)
Za 𝑥3 = 𝜑:
18
�̈� + 2𝑐𝑡𝑔𝜗�̇��̇� +
2
𝑟�̇��̇� = 0
(150)
Rješenje jednadžbe (3.9) isto kao u klasičnoj Kepplerovoj zadaći (gibanje je u ravnini)
→ 𝜗 = 𝜋 2⁄
Lako se može uočiti da se iz gornjih jednadžbi mogu dobiti prvi integrali:
(1 −
𝑟𝑔
𝑟) �̇� = 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(1611)
𝑟2�̇� = ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(3.12)
Tada jednadžba (3.8) ima oblik:
(1 −
𝑟𝑔
𝑟)−1
�̈� +𝑟𝑔
2𝑟2𝑐2�̇�2 − (1 −
𝑟𝑔
𝑟)−2 𝑟𝑔
2𝑟2�̇�2 − 𝑟�̇�2 = 0
(3.13)
Formula 𝑝𝜇 = 𝑚𝑢𝜇 u slučaju jedinične mase prelazi u 𝑝𝜇 = �̇�𝜇, ali kako je 𝑝𝜈 = 𝑔𝜇𝜈𝑝𝜇,
dobivamo za cikličke koordinate 𝑥0 = 𝑐𝑡, 𝑥3 = 𝜑:
𝑝0 = 𝑔00𝑝0 = 𝑔00�̇�
0 = (1 −𝑟𝑔
𝑟) 𝑐𝑡,̇
𝑝3 = 𝑔00𝑝3 = 𝑔33�̇�
3 = −𝑟2�̇�
No, prema (3.11) i (3.12) imamo: 𝑝0 = 𝑐𝑘, 𝑝3 = −ℎ, ali prema () je 𝑝0 =𝐸
𝑐, dok je 𝑝3 negativni
moment impulsa jedinične mase. Tako da je konačno: 𝑘 =𝐸
𝑐2, a ℎ je 𝐿𝑧 moment impulsa
jedinične mase duž Oz.
U slučaju bilo koje mase: 𝑘 =𝐸
𝑚𝑐2, ℎ =
𝐿𝑧
𝑚.
Umjesto jednadžbe drugog reda (3.13) moguće je koristiti prvi integral, tj. „energijsku“
jednadžbu 𝑝𝜇𝑔𝜇𝜈𝑝𝜈 = 𝑝𝜇𝑝𝜇 = 𝑚
2𝑐2 koja je u slučaju jedinične mase:
𝑔𝜇𝜈�̇�
𝜇�̇�𝜈 = 𝑐2,
(3.1417)
a za nul-geodetske krivulje (𝑚 = 0)
𝑔𝜇𝜈�̇�
𝜇�̇�𝜈 = 0
(3.15)
19
U slučaju jedinične mase deriviranje u jednadžbi (3.14) obavlja se po vlastitom vremenu 𝜏, a u
slučaju od nul-geodetskih krivulja po nekom afinom parametru duž geodetskih krivulja.
3.3 STAZE MASIVNIH ČESTICA U SCHWARZSCHILDOVOJ METRICI
Za Schwarzschildovu metriku jednadžbe geodetskih krivulja (3.11),(3.12) i energijska jednadžba
(3.14) su:
(1 −
𝑟𝑔
𝑟) �̇� = 𝑘
(3.1618)
𝑐2 (1 −𝑟𝑔
𝑟) �̇�2 − (1 −
𝑟𝑔
𝑟)−1
�̇�2 − 𝑟2�̇�2 = 𝑐2 (3.17)
𝑟2�̇� = ℎ
(3.18)
Deriviranje se obavlja po vlastitom vremenu. Ukoliko zamjenimo (3.16) i (3.18) u (3.17)
dobivamo energijsku jednadžbu u obliku:
�̇�2 +
ℎ2
𝑟2(1 −
𝑟𝑔
𝑟) − 𝑐2
𝑟𝑔
𝑟= 𝑐2(𝑘2 − 1)
(3.19)
3.4 SAVIJANJE SVJETLOSNE ZRAKE U PODRUČJU VELIKIH MASA
Gibanje zrake svjetlosti u gravitacijskom poljut u OTR-u opisano je gore u tekstu i slično
je kao i u masivnih objekata. Razlika je u drugačijem obliku nulgeodetskih krivulja:
�̈�𝜈 + 𝛤𝛼𝛽𝜈 �̇�𝛼�̇�𝛽 = 0 → �̇�𝛼 ≡
𝑑𝑥𝛼
𝑑𝑞 (3.2019)
jer je za bilo koja dva beskonačno bliska događaja povezana s prostiranjem svjetlosti:
𝑑𝑠2 = 0 (2021)
Iz jednadžbe (3.20) u slučaju Schwarzschildove metrike određene sa (3.2) podjednake su kao i u
slučaju masivne čestice (3.7). Jednostavnim matematičkim računom i kombiniranjem jednadžbi
dolazimo do jednadžbe čije približno rješenje nas zanima:
𝑢′′ + 𝑢 =3𝑟𝑔
2𝑢2 (3.2221)
20
Član na desnoj strani jednadžbe je malen u usporedbi s ostallima, što je očito ako ga napišemo u
obliku 3𝑟𝑔
2𝑟𝑢, jer je omjer gravitacijskog polumjera Sunca 𝑟𝑔 i polumjera Sunca vrlo mali. Zbog
toga član na desnoj strani jednadžbe (3.22) možemo smatrati malom smetnjom i rješenje potražizi
računom smjetnje do prvih popravaka:
𝑢0′′ + 𝑢0 = 0
𝑤′′ + 𝑤 =3𝑟𝑔
2𝑢02
(3.23)
Rješenje prve jednadžbe je:
𝑢0 = 𝑎 sin𝜑 (3.24)
gdje je početak računanja kuta uzet 𝜑 = 0. Rješenje (3.24) izraženo preko polumjera je:
𝑟 sin𝜑 = 𝑟0 (225)
gdje 𝑟0 ima smisao najbližeg rastojanja zrake od Sunca.
Slika 3. Savijanje zrake svjetlosti u blizini velikih masa
Rješenje jednadžbe:
𝑤′′ +𝑤 =3𝑟𝑔
2𝑟02 𝑠𝑖𝑛𝜑
2 =3𝑟𝑔
4𝑟02 (1 − cos 2𝜑) (23.26)
je:
𝑤 =3𝑟𝑔
4𝑟02 (1 +
1
3cos 2𝜑) (2427)
Pa je ukupno rješenje:
21
𝑢 =sin𝜑
𝑟0+3𝑟𝑔
4𝑟02 (1 +
1
3cos 2𝜑) (3.28)
U graničnom slučaju koji nas zanima 𝑟 → ∞ pa 𝑢 =1
𝑟→ 0, a 𝜑 → 𝛿 ≈ 0 i jednadžba (3.28)
prelazi u:
0 =𝛿
𝑟0+3𝑟𝑔
4𝑟02 (1 +
1
3) (3.29)
Ako uzmemo u obzir da je i na drugoj strani isti preostali kut, to je ukupan kut skretanja zrake
svjetlosti u gravitacijskom polju Sunca:
∆𝜑 = 2𝛿 =2𝑟𝑔
𝑟0=4𝑀𝐺
𝑐2𝑟0 (3.30)
Proračun vrijednosti ∆𝜑 za prolazak zrake tik pored sunčeva diska daje ∆𝜑 = 1.75′′. Valja
napomenuti kako je Eddingtonova ekspedicija 1919.g u Afriku za potpune pomrčine Sunca
potvrdila predviđanja OTR-a.
3.5 UČINCI GRAVITACIJSKIH LEĆA
Gravitacijske leće su galaktike ili skupine galaktika koje svojim gravitacijskim poljem
skreću svjetlost udaljenih izvora na putu prema Zemlji pa nastaju lažne slike, često složene i
nepravilne, oblika djeteline, lukova, a katkada i prstena (Einsteinov prsten). Za razliku od
galaktika koje su makroleće, zvijezde djeluju kao mikroleće. Gravitacijske leće uzrokuju
treptanje svjetlosti udaljenih izvora u vremenu od nekoliko dana koliko im je u gibanju potrebno
da prijeđu preko svjetlosnog puta. Učinak gravitacijskih leća poslužio je da se uoči razdioba
tamne tvari u svemiru. Napravljena je karta tamne tvari do udaljenosti ≈ 7𝑚𝑙𝑟𝑑. svjetlosnih
godina.
22
Slika 4. Učinak gravitacijske leće
3.6 GRAVITACIJSKI PLAVI I CRVENI POMAK
U schwarzschildoboj metrici kvadrat elementa luka određen je jednadžbom (3.2), a
jednadžbe nulgeodetskih krivulja sa jednadžbom:
0 = (1 −𝑟𝑔
𝑟) 𝑐2�̇�2 −
�̇�2
1 −𝑟𝑔𝑟
− 𝑟2(�̇�2 + 𝑠𝑖𝑛2𝜗�̇�2) (3.31)
Za slučaj radijalnog gibanja zrake svjetlosti, tj. 𝜗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ostaju samo jednadžbe za
𝑟 i 𝑐𝑡, gdje je komplciranija jednadžba za 𝑟 zamjenjena prvim integralom:
0 = (1 −𝑟𝑔
𝑟) 𝑐2𝑑𝑡2 −
𝑑𝑟2
1 −𝑟𝑔𝑟
(3.32)
Odnosno:
0 = (1 −𝑟𝑔
𝑟) 𝑐2�̇�2 −
�̇�2
1 −𝑟𝑔𝑟
(3.33)
a jednadžba za 𝑐𝑡 je:
𝑑
𝑑𝑝[(1 −
𝑟𝑔
𝑟) �̇�] = 0 (3.34)
23
gdje se derivira po nekom afinom parametru p. Množenjem jednadžbe (3.33) s: 1 −𝑟𝑔𝑟⁄ i
integriranje (3.34) dobije se da je parametar 𝑝 linearno povezan s koordinatom 𝑟 pa je bolje
odmah integrirati jednadžbu (3.32). Iz nje slijedi:
𝑐𝑑𝑡 = ±𝑑𝑟
|1 −𝑟𝑔𝑟| (25)
Gornji znak „+“ u jednadžbi pokazuje da se 𝑟 povećava kada 𝑡 raste, tj zraka svjetlsoti odlazi od
gravitirajućeg objekta. Ta se rješenja nazivaju odlazeća, a preostala sa suprotnim predznakom,
dolazeća.
Slika 5. Mreža nulgeodetskih krivulja sa svjetlosnim stošcima za Schwarzschildovo rješenje
Potražit ćemo i usporedit periode titranja svjetlosti koja polazi iz jedne fiksne prostorne
točke (E) i dolazi u drugu (M) s istima 𝜗, 𝜑 odnosno radi se o fiksnom izvoru zračenja u E i
fiksnom motritelju u M, duž polumjera 𝑟. Iz gornje slike vidljivo je da dvije zrake svjetlosti
emitirane iz E u razmaku ∆𝑡𝐸 koordinatnog vremena, stižu duž nulgeodetskih krivulja točku M u
istom razmaku koordinatnog vremena. Vlastito i koordinadno vijeme u svakoj točki prostora
definirani su sa ∆𝜏 =∆𝑠
𝑐= √𝑔(00)(�⃗�)∆𝑡 pa dalje slijedi:
24
∆𝜏𝐸∆𝜏𝑀
=√𝑔(00)(�⃗�𝐸)
√𝑔(00)(�⃗�𝑀)
(26)
Ukoliko se radi o periodima titranja svjetlosti (𝑇𝐸𝑖 𝑇𝑀) u dvjema različitim točkama:
𝑇𝐸𝑇𝑀=𝑓𝑀𝑓𝐸=√𝑔(00)(�⃗�𝐸)
√𝑔(00)(�⃗�𝑀)
(27)
Gdje je 𝑓 = 1 𝑇⁄ pripadajuća frekvencija titranja svjetlosti. Gornji izraz je općenit i vrijedi za
svaku stacionarnu metriku. Iz njega je vidljivo kada je 𝑔(00)(�⃗�𝐸) → 0 tada 𝑓𝑀 → 0, 𝜆 → ∞. Dakle
imamo beskonačan gravitacijski crveni pomak. Plohe na kojimaje 𝑔(00)(�⃗�𝐸) = 0 nazivamo
plohama beskonačnog crvenog pomaka. U Schwarzschilodovoj metrici:r
𝑇𝐸𝑇𝑀=𝑓𝑀𝑓𝐸= √
1 −𝑟𝑔𝑟𝐸
1 −𝑟𝑔𝑟𝑀
(3.38)
Pa je ploha beskonačnog crvenog pomaka sfera polumjera 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀
𝑐2.
Za slučaj kada je 𝑟𝑔
𝑟𝑖≪ 1 gornja se funkcija razvojem u red po malim veličinama može
približno napisati:
𝑓𝑀𝑓𝐸= √
1 −𝑟𝑔𝑟𝐸
1 −𝑟𝑔𝑟𝑀
≈1 −
𝑟𝑔2𝑟𝐸
1 −𝑟𝑔2𝑟𝑀
≈ (1 −𝑟𝑔
2𝑟𝐸) (1 +
𝑟𝑔
2𝑟𝑀) ≈ 1 +
𝑟𝑔
2(1
𝑟𝑀−1
𝑟𝐸) (28)
U blizini površine Zemlje: 𝑟𝑀 = 𝑅𝑧 + ℎ𝑀, 𝑟𝐸 = 𝑅𝑧 + ℎ𝐸, gdje je 𝑅𝑧 polumjer Zemlje, ℎ𝑀 i ℎ𝐸 su
visine motritelja i emitera od površine Zemlje. Ukoliko su ℎ𝑀 i ℎ𝐸 malene u usporedbi s
polumjerom, razvijanjem u red po malim parametrima ℎ𝑀 𝑅𝑧⁄ i ℎ𝐸 𝑅𝑧⁄ i uvrštavanjem izraza za
gravitacijski polumjer Zemlje 𝑟𝑔 =2𝐺𝑀𝑧
𝑐2 u (3.39), dobivamo omjer frekvencija na različitim
visinama od Zemlje:
25
𝑓𝑀𝑓𝐸≈ 1 −
𝐺𝑀𝑧𝑅𝑧2
1
𝑐2(ℎ𝑀 − ℎ𝐸) = 1 −
𝑔
𝑐2(ℎ𝑀 − ℎ𝐸) (29)
Što je točno izraz 𝑓𝑀 = 𝑓𝐸 (1 −𝑔ℎ
𝑐2) dobiven iz princima ekvivalencije. Vidimo, ako je ℎ𝑀 > ℎ𝐸,
da će motritelj opaziti manje frekvencije od izračenih, tj. postoji gravitacijski crveni pomako, kao
i u obratnom slučaju gravitacijski plavi pomak. Važno je napomenuti poznavanje crvenog i
plavog gravitacijskog pomaka vrlo važno u izgradnji GPS sustava.
4. GIBANJE SVJETLOSTI U KERROVOJ METRICI Šezdesetih godina 20.st još jedan poznati matematičar je našao točno rješenje Einstenovih
jednadžbi, ali u slučaju rotirajućih masa. Bio je to Roy Patrick Kerr, novozelandski matematičar,
proučavajući rotirajuće crne rupe došao do interesantnih zaključaka. Dok "obična" crna rupa
jednostavno guta sve što joj dođe u blizinu, postajući sve veća i veća, rotirajuća crna rupa ima
oblik (neutronskog) prstena. Prolaskom kroz takav prsten, neki bi objekt izronio na nekom
drugom mjestu ali i u nekom drugom vremenu! Kerrovo rješenje Einsteinovih jednadžbi bio je
ustvari prvi matematički opis vremeplova. Ovo rješenje je znatno matematički kompliciranije od
Schwarzschildovog.
4.1 KERROVO RJEŠENJE
Koordinatama 𝑡 i 𝜑 opisujemo vrijeme i kut oko osi vrtnje. Stacionarnost i osna simetrija
prostorno-vremenske metrike pretpostavlja da metrički tenzor ne ovisi o tim koordinatama. Kod
„čiste“ rotacije tijela bez translacije metrika bi morala biti invarijantna na istovremenu zamjenu iz
čega se može zaključiti da mora vrijediti:
𝑔01 = 𝑔02 = 𝑔31 = 𝑔32 = 0 (30)
Iz čega slijedi kvadrat elementa luka:
𝑑𝑠2 = 𝑔00𝑐2𝑑𝑡 + 2𝑔03𝑐𝑑𝑡𝑑𝜑 + 𝑔33𝑑𝜑
2 + [𝑔11(𝑑𝑥1)2 + 2𝑔12𝑑𝑥
1𝑑𝑥2 + 𝑔22(𝑑𝑥2)2] (31)
26
Na velikim udaljenostima od rotirajuće mase prostor prelazi u 5prostor Minkowskog, to bi u
ovom slučaju dio kvadrata elementa luka u uglatoj zagradi prešao u oblik: −𝐶[(𝑑𝑥1)2 +
(𝑑𝑥2)2]. Tada (4.1) možemo zapisati u obliku:
𝑑𝑠2 = 𝐴𝑑𝑡2 − 𝐵(𝑑𝜑 − 𝜔𝑑𝑡)2 − 𝐶[(𝑑𝑥1)2 + (𝑑𝑥2)2] (32)
Metrika opisana s (4.2) ima nekoliko značajnih osobina koje se mogu naslutiti i
proučavati i prije određivanja funkcija 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑖 𝜔 iz Ensteinovih jednadžbi. Prvi je učinak
„povlačenje metrike“ zbog vrtnje tijela. U takvoj metrici svi slobodno padajući sustavi motrenja
bivaju povučeni u smjeu vrtnje.
Slika 6. Zanošenje metrike
Druga osoina metrika izvan rotirajućeg tijela je postojanje stacionarnih graničnih ploha, što je u
vezi sa „zanošenjem“ slobodno padajućih sustava motrenja. I treća osobina ove metrike je
postojanje nekoliko obzora događaja.
Ukoliko pretpostavimo da na velikim udaljenostima od rotirajućeg tijela (𝑟 → ∞) metrika
prelazi u metriku prostora Minkowskog i da je metrika izvan obzora događaja nesingularna, tada
postoji jedinstveno rješenje Einstenovih jednadžbi, koje zove Kerrovo rješenje u Boyer-
Lindquist-ovim koordinatama:
𝑑𝑠2 = (1 −2𝜇𝑟
𝜌2) 𝑐2𝑑𝑡2 +
4𝜇𝑎𝑟𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜌2𝑐𝑑𝑡𝑑𝜑 −
𝜌2
𝑟2 − 2𝜇𝑟 + 𝑎2𝑑𝑟2 − 𝜌2𝑑𝜃2
− (𝑟2 + 𝑎2 +2𝜇𝑟𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜌2) 𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜑2
(33)
5 Četverodimenzionalna prostorno-vremenska mnogostrukost
27
Nakon uvođenja konstanti i određenih funkcija, dolazimo do Kerrovog rješenja u konačno obliku:
𝑑𝑠2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑧2 −2𝜇𝑟3
𝑟4 + 𝑎2𝑧2[𝑐𝑑𝑡 +
𝑟𝑥 + 𝑎𝑦
𝑟2 + 𝑎2𝑑𝑥 +
𝑟𝑦 + 𝑎𝑦
𝑟2 + 𝑎2𝑑𝑦 +
𝑧
𝑟𝑑𝑧]
2
(34)
4.2 GIBANJE ČESTICA I FOTONA U KERROVOJ METRICI
Pri gibanju čestica u gravitacijskom polju s Kerrovom metrikom promatrat ćemo samo
slučaj gibanja u ekvatorijalnoj ravnini određenoj s 𝜃 = 𝜋 2.⁄ Čestica čiji je impuls u početku u
ekvatorijalnoj ravnini ostaje u njoj i dalje. U tom slučaju (4.3) prelazi u:
𝑑𝑠2 = (1 −2𝜇
𝑟) 𝑐2𝑑𝑡2 +
4𝜇𝑎
𝑟𝑐𝑑𝑡𝑑𝜑 −
𝑟2
𝑟2 − 2𝜇𝑟 + 𝑎2𝑑𝑟2
− (𝑟2 + 𝑎2 +2𝜇𝑎2
𝑟)𝑑𝜑2
(35)
odakle je Lagrangeova funkcija za česticu jedinične mase, kao i za foton:
𝐿 = (1 −2𝜇
𝑟) 𝑐2�̇�2 +
4𝜇𝑎
𝑟𝑐�̇��̇� −
𝑟2
𝑟2 − 2𝜇𝑟 + 𝑎2𝑑𝑟2 − (𝑟2 + 𝑎2 +
2𝜇𝑎2
𝑟) �̇�2 (36)
Odmah slijede konstate gibanja 𝑝𝑡 , 𝑝𝜑, jer lagranžijan ne ovisi od tih koordinata:
𝑝𝑡 = (1 −2𝜇
𝑟) 𝑐2�̇� +
2𝜇𝑎
𝑟𝑐�̇� = 𝑘𝑐2
𝑝𝜑 =2𝜇𝑎
𝑟𝑐�̇� − (𝑟2 + 𝑎2 +
2𝜇𝑎2
𝑟) �̇�2 = −ℎ
(37)
Konstante k i h uvedene su tako da u graničnom slučaju 𝑎 → 0 prelaze u konstante uvedene u
poglavlju za Schwarzschildov slučaj. Jednadžbe (4.7) su linearni sustav čije je rješenje:
�̇� =1
∆[(𝑟2 + 𝑎2 +
2𝜇𝑎2
𝑟)𝑘 −
2𝜇𝑎
𝑐𝑟ℎ],
�̇� =1
∆[2𝜇𝑎𝑐
𝑟𝑘 + (1 −
2𝜇
𝑟)ℎ]
(38)
28
Jednadžba za �̇� glasi:
�̇�2 = 𝑐2𝑘2 − 𝜅2 +2𝜅2𝜇
𝑟+𝑎2(𝑐2𝑘2 − 𝜅2) − ℎ2
𝑟2+2𝜇(ℎ − 𝑎𝑐𝑘)2
𝑟3 (39)
gdje je 𝜅2 = 𝑐2 za jediničnu masu, a 𝜅2 = 0 za foton.
Ova se jednadžba u slučaju čestice jedinične mase može napisati u mnogo prikladnijem
energijskom obliku:
1
2�̇�2 + 𝑉𝑒𝑓(𝑟) =
1
2𝑐2(𝑘2 − 1) (40)
gdje je 𝑉𝑒𝑓 efektivni potencijal.
Jednadžbe (4.8) i (4.9) su parametarske jednadžbe gibanja jedinične mase ili fotona u
ekvatorijalnoj ravnini. Deriviranje se provodi po nekom afinom parametru. To su jednadžbe koje
se za razne slučajeve rješavaju numerički. Na donjoj slici, prikazane su nulgeodetske krivulje,
odnosno staze svjetlosti u ekvatorijalnoj ravnini u Kerrovom gravitacijskom polju. Može se lako
uočiti zanošenje staze u smejru vrtnje gravitirajućeg objekta, kao i različito gibanjo ukoliko je
upadna zraka u smjeru ili u suprotnom smjeru od vrnje gravitirajućeg objekta.
Slika 7. Zanošenje staze u smjeru vrtnje gravitirajućeg objekta
29
ZAKLJUČAK Prije 100.g ljudi su živjeli u uvjerenju da su prostor i vrijeme ravni i apsolutni. Nije bilo
mjerljivih pojava ni potreba da se klasična relativnost Galilea i Newtona zamjeni sa nekom
drugom. Danas, međutim, imamo potvrđeno saznanje da živimo u zakrivljenom i relativnom
prostor-vremenu, pa je potreba uključivanja teorije relativnosti u svakodnevnicu postala nužnost.
OTR predstavlja učinkovit model gravitacije i do sada je prošla mnoge promatačke i
eksperimentalne testove. Iako općenito ideja OTR-a nije komplicirana, matematička realizacija je
teška i komplicirana. Danas najveći svjetski znanstvenici rade na idejama koje je Einstein
započeo, ali nije dovršio. Ove godine Einsteinova teorija relativnosti slavi 100.-u godišnjicu i
trenutno je najprihvatiljivija teorija gravitacije i temelj moderne fizike. Potvrđena je u mnogo
pokusa, a jedan od njih je opažanje savijanja zraka svjetlosti u blizini Sunca (velikih masa).
30
LITERATURA
1. BRANA JOSIP, Opća teorija relativnosti, Einsteinova teorija gravitacije
(prvi dio), Odjel za fiziku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, 2011.g
2. HOBSON M. P., G . P . EFSTATHIOU, A . N . LASENBY, General
relativity, An Introduction for Physicist, Cambridge, university Press, 2006.g
3. CHENG TA-PEI, Relativity, Gravitatio and Cosmology, A basic
introduction; Oxford master series in particle physics, astrophysics and
cosmology, Oxford university press, 2005.g
4. http://static.astronomija.co.rs/teorije/relativnost/teorije/postulati.htm
5. http://eskola.hfd.hr/susreti/Zasto_nam_danas_treba_teorija_relativnosti_M_
Martinis.pdf
6. http://www.mathos.unios.hr/~mdjumic/uploads/diplomski/CVE10.pdf
7. https://en.wikipedia.org/wiki/General_relativity
8. http://albert51.tripod.com/bhole.htm
9. http://inspirehep.net/record/1120647/plots
31
ŽIVOTOPIS Rođen sam 03. kolovoza 1992.g u Vinkovcima, Republika Hrvatska. Pohađao sam Osnovnu
školu „Zrinskih“ u Nuštru. Nakon završene osnovne škole, 2007.g upisao sam Opću gimnaziju u
Vinkovcima, koju sam završio 2007.g. Iste godine, upisao sam preddiplomski studij fizike na
Odjelu za fiziku, pri sveučilištu J. J. Strossmayera, te sam trenutno na 3. godini istog studija.
32