Upload
april-casey
View
54
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej promieniowaniem laserowym. dr inż. Monika Lewandowska. Plan seminarium. Cel pracy Sformułowanie zagadnienia Model matematyczny zagadnienia - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku
cienkiej warstwy obustronnie ogrzewanej promieniowaniem laserowym
dr inż. Monika Lewandowska
Plan seminarium• Cel pracy • Sformułowanie zagadnienia • Model matematyczny zagadnienia
– Model w zmiennych wymiarowych– Model w zmiennych bezwymiarowych
• Rozwiązanie modelu– Transformacja Laplace’a – Rozwiązanie w dziedzinie obrazu– Rozwiązanie w dziedzinie oryginału– Weryfikacja poprawności rozwiązania
• Przykładowe obliczenia i dyskusja wyników• Podsumowanie i wnioski
Cel pracy
Celem pracy było znalezienie niestacjonarnego pola temperatury
w cienkiej warstwie ogrzewanej obustronnie promieniowaniem
laserowym
Podstawowe założenia
• Badany ośrodek - cienka warstwa o grubości l
• Stała temperatura początkowa T0
• W chwili początkowej rozpoczyna się ogrzewanie obu powierzchni ośrodka
• Zagadnienie jednowymiarowe
• Izolowane brzegi
• Stałe parametry termofizyczne
x0 l
Model matematycznyR ó w n a n ie b ila n su e n e r g ii
),( txgx
q
t
Tc p
gęstość ośrodka [kg/m3]cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu [J/(kg K)]
q – gęstość strumienia ciepła [W/(m2 K)]g – wydajność wewnętrznego źródła ciepła [W/m3]
R ó w n a n i e C a t t a n e o
xT
ktq
tq k
k – przewodność cieplna [W/(m K)]tk – czas relaksacji strumienia ciepła [s]
Model matematyczny
Hiperboliczne równanie przewodzenia ciepła
gt
gt
cx
Ta
t
T
t
Tt k
pk
12
2
2
2
- dyfuzyjność cieplna ośrodka [m2/s] - prędkość propagacji fali termicznej [m/s]
)/( pcka
ktaw /
txgtxgtxg rl ,,,
xRtItxgl exp1,
xlRtItxgr exp1,
Model ogrzewania laserowego
I(t) – intensywność padającego promieniowania laserowego [W/m2] R – współczynnik odbicia powierzchni metalu – współczynnik pochłaniania metalu [m-1]
Warunki graniczne
Warunki początkowe:
0)0,( TxT
)0,(1
)0,( 0)0,( xgc
xtT
xqp
Warunki brzegowe:
0,0 0),0( t
xT
tq
0, 0),(
tLx
TtLq
Zmienne bezwymiarowe
awxX 2/
ktt 2/
00 / TTTT m
0/ TTcgt mpk
0/ TTcwq mp
Model w postaci bezwymiarowej
4222
2
2
2
X
Równanie przewodzenia ciepła:
Warunki graniczne:
00, X
0,20, XX
0,0 X
0,
LX
Model źródła ciepła:
,,, XXX rl XXl exp, 0
XLXr exp, 0
Rozwiązanie zagadnienia metodą transformacji Laplace’a
,,,,, XLXXXX llrl
Transformata Laplace’a równania i warunków brzegowych
XsssXssdX
sXdl
l
exp22,2,
02
2
0,0 sdX
d l
0, sLdX
d l
Rozwiązanie w dziedzinie obrazu
XsBsAXsBsAXsAsXl expexpexp, 210
20
0 2
22
ss
sssA
LsBLsB
LLsB
sB
sAsA
expexp
expexp01
LsBLsB
LLsB
sB
sAsA
expexp
expexp02
2/12 sssB
Rozwinięcie w szereg dwumianowy
0
0
01
)(
)12()(exp)exp(
)(
2)(exp
)()(exp)(
n
n
sB
XLnsBL
sB
XnLsB
sAXsBsA
0
1
02
)(
)12()(exp)exp(
)(
2)(exp
)()(exp)(
n
n
sB
XLnsBL
sB
XnLsB
sAXsBsA
Rozwiązanie w dziedzinie oryginału
0
0
0 1
0
,)12()exp(
,)12()exp(
),2(),2(
)exp()(),(
ni
ni
n nii
Hil
XLnhL
XLnhL
XnLhXnLh
XfX
pduufpuIu
pph
pHi
i
for)()exp(
0for0),( 2/122
0
duuuuf pmmpHi )(exp)(exp)(1
)(0
2/121 1m 1 p
Weryfikacja poprawności rozwiązania
• Porównanie wyników otrzymywanych na podstawie rozwiązania analitycznego z wynikami obliczeń numerycznych uzyskanych za pomocą algorytmu MacCormacka
• Sprawdzenie czy uzyskane rozwiązania spełniają równanie bilansu energii dla całego ośrodka
),(2
XX
0
0
0 00exp1
4),(2, dLdXdXdXX
LL
Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X
0 .0 1
0 .1
1
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X
0 .1
1
XXX l exp)(),(),( 0
5 , 1 , 1 , )()( 0 L
Wyniki obliczeń dla źródła impulsowego
0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0X
0 .0
0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
0 2 4 6 8 1 0
X
0 .0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 .2
5 , 1 , )()( 0
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
)( u
1L 10 1
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
)( u
1L 10 10
Wyniki obliczeń dla źródła stałego
)( u
10 1 10L
Podsumowanie i wnioski
• Otrzymano rozwiązanie analityczne hiperbolicznego równania przewodzenia ciepła dla przypadku cienkiej warstwy ogrzewanej obustronnie promieniowaniem laserowym
• Poprawność rozwiązania została zweryfikowana przez porównanie z wynikami obliczeń numerycznych oraz sprawdzenie bilansu energii dla całego ośrodka
• Wyniki porównano z wynikami obliczeń numerycznych z pracy Torii et al. Uzyskane przez nas przyrosty temperatury są wyższe od opisanych przez Torii et al. (szczególnie dla małych wartości i L), a rozbieżności narastają dla dłuższych czasów. Świadczy to o zastosowaniu przez Torii et al. błędnego schematu różnicowego dla brzegów ośrodka.
Literatura
• M. Lewandowska: Hyperbolic heat conduction in the semi-infinite body with a time dependent laser heat source. Heat Mass Transfer 37 (2001) 333-342.
• M. S. Torii, W-J Yang: Heat transfer mechanisms in thin film with laser heat source. Int. J. Heat Mass Transfer 48 (2005) 537-544.
• M. Lewandowska, L. Malinowski: An analytical solution of the hyperbolic heat conduction equation for the case of a finite medium symmetrically heated on both sides. Int. Com. Heat Mass Transfer 33 (2006) 61-69