Upload
kohlbeci
View
229
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
1/382
VÅIKTKBKN-NÔCTWK_
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
2/382
@ prjgklt lkrktåokh kblåszòbt t`h`hy`ijl7
@hy`itkdahjbôieàl
N`tkre`bs tkdahjbjiy
@hy`itucjnàhy Àr`nbàstkdahel`e iåpkl
D@C t`hlöhyv
D@C Ojjl
D@C/D@N/D@K kbkltrjhelus påbc`tàr
D@N t`hlöhyv
Nåråstkdahel`
Nårhöle jpten`bezàdeô
Khiehkkrehi Jptenez`tejh
Våikskbkn-`h`bîzes
Fehetk Kbknkht Nktajck
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
3/382
Tzkrlksztkttk7
LJVÀDT ÀCÀN Îrt`7
NJA@_JT ETSVÀH JBC@B ETSVÀH TWKL_ÅHUKT @HC_ÀT
VÅIKTKBKN-NÔCTWK_
Kiyktkne t`h`hy`i
Ouc`pkste NŰsz`le ås I`zc`sàitucjnàhye Kiyktkn
Iåpåsznårhöle L`r
Ôouc`e Kiyktkn
Oàhle Cjhàt Iåpåsz- ås Oeztjhsàitkdahel`e Nårhöle L`r
Tzkht Estvàh Kiyktkn
Iåpåsznårhöle L`r
?=00
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
4/382
DJ]U_EIAS7 ?=0?-?=09, cr. Ljvàds Àcàn, cr. Tzklråhyks @hcràs, Ouc`pkste NŰsz`le ås
I`zc`sàitucjnàhye Kiyktkn Iåpåsznårhöle L`r,
Nja`rjs Estvàh, Ôouc`e Kiyktkn Oàhle Cjhàt Iåpåsz- ås Oeztjhsàitkdahel`e Nårhöle L`r,
cr. Jbc`b Estvàh, Tzkht Estvàh Kiyktkn Iåpåsznårhöle L`r
BKLSJ_ÀBS@7 Ajrvàtahå cr. V`ri` Àihks, cr. Lkppbkr Estvàh, cr. ]jnàze B`gjs, cr. [g Gôzskf
Drk`tevk Djnnjhs HjhDjnnkrde`b-HjCkrevs 4.= (DD OU-HD-HC 4.=)
@ szkrzŐ hkvåhkl fkbtòhtktåsk nkbbktt hkn lkrkslkckbne dåbb`b sz`o`cjh
nàsjba`tô, tkrgksztaktŐ, nkigkbkhtktaktŐ ås kbŐ`ca`tô, ck hkn nôcjsîta`tô.
ETOH 591-564-?95-;45-4
LÅTWÒBS7 ` Sypjtkx Le`cô ijhcjzàsào`h
FKBKBŝT VKWKSŝ7 Vjtesly Wsuzs`
SÀNJI@SÀT7
Låszòbt ̀ SÀNJ]-3.0.?-=1/?/@/LN_-?==5-==?5 szàn÷, ‘LN_ Iåpåsznårhöle L`rjl ehfjrn`tel`e
aàttkrŰ `hy`i`e ås t`rt`bne lecjbijzàs`e„ dînŰ prjgklt lkrktåokh.
L[BDTTW@V@L7
Våikskbkn-nôcszkr, @HTUT, DJTNJT/N, r÷cfkb`c`t, a`gbîtjtt r÷c, sîlfkszòbtsåi, sîl`b`lvàbtjzàs,
r÷cszkrlkzkt, fjriàsszennktrelus, bknkz, aåg
ÖTTWKFJIB@BÀT7
@ t`h`hy`i esnkrtkte ` våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktåt, n`tkn`tel`e ̀ b`pg`et åsszkrkpåt ̀ iåpåsznårhöle tkrvkzŐe nuhlào`h. Sàriy`bg` ` nôcszkr nkiårtåsåakz szòlsåiks
ljhtehuunnkda`hel`e ̀ b`pfji`bn`l`t ås kiykhbktklkt. Oknut`tg` ̀ tkrvkzŐ nuhlàlo`h
bkiiy`lr`oo`h a`szhàbt kbkntîpusjl`t (r÷c, ikrkhc`, sîl, tkhikbyszennktrelus, våljhy bknkz ås
aågkbknkl). @ tkbgks pjtkhdeàbes khkrie` nehenun kbvåoŐb leehcubv` t`rt`bn`zz` ` tårokh ceszlrktezàbt
behkàres`h rui`bn`s tkstklrk vjh`tljzô nàtrex kiykhs÷bye kiykhbkt bkvkzktåsåt ås ` lòböhfåbk
njckbbklrk vjh`tljzô kiyòtta`tô nàtrexjl fkbåpîtåsåt. _÷cfkb`c`tjlhàb oknut`tg` `
njziàskiykhbkt fkbåpîtåsåt ås ̀ s`gàtfrklvkhdeàl szànîtàse nôcgàt.
@z kbnåbkte fkgkzktkl nkiårtåsåt h`iyo`h kbŐskiîte ` szànjs lecjbijzjtt neht`påbc` ås `z ep`re
iy`ljrb`toôb vktt v`bôs fkb`c`tjl nkijbcàsàh`l råszbktks tàriy`bàs`.
http://www.typotex.hu/http://www.typotex.hu/http://www.typotex.hu/http://www.typotex.hu/
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
5/382
© Nja`rjs Estvàh, Jbc`b Estvàh, Tzklråhyks @hcràs www.t`hljhyvt`r.au
S@_S@BJNGKIUWÅL
0.
@ VÅIKTKBKN-NÔCTWK_ LE@B@L[BÀTÀH@L SÖ_SÅHKSK, @ NÔCTWK_FKGBŝCÅTK, KBSK_GKCÅTK, TWK_K]K @ IÅ]ÅTWNÅ_HÖLE SK_VKWŝEN[HLÀLO@H ................................................................................................................. 00 0.0. Ôljre ̀ bl`bn`zàs......................................................................................................... 00 0.?. V`reàdeôszànîtàs le`b`lubàs`, ̀ b`pfji`bn`e ............................................................... 0?
0.?.0. Or`daesz tjdarjh (bkiröveckoo ecŐ)- prjobån` ................................................ 0? 0.?.?. Fuhldejhàbjl, v`reàdeô ................................................................................... 03 0.?.4. Cerklt nôcszkr ............................................................................................... 06
0.4. _etz-nôcszkr ............................................................................................................... 01 0.3. Njckrh våikbkn-nôcszkr le`b`lubàs` ........................................................................ ?=
0.3.0. KrŐnôcszkr ..................................................................................................... ?= 0.3.?. Njziàsnôcszkr .............................................................................................. ?= 0.;. Våikskbkn-nôcszkr ̀ nŰsz`le iy`ljrb`to`h ............................................................. ?=
0.6. Nkbbålbkt ..................................................................................................................... ?? 0.6.0. V`reàdeôszànîtàs nŰvkbkte sz`oàby`e ............................................................. ?? 0.6.?. Kubkr- B`ir`hik ceffkrkhdeàbkiykhbkt ............................................................. ?4
Oeobejiràfe` ........................................................................................................................ ?3 ?. LJHSEH[[NNKDA@HEL@E @B@]FJI@BN@L. @ _[I@BN@TTÀIS@H
CEFFK_KHDEÀBKIUKHBKS-_KHCTWK_K ÅT ]K_KNÅ_SÅL ]_JOBÅNÀG@. .... ?; ?.0. Ljhtehuunnkda`hel`e ̀ b`pfji`bn`l ......................................................................... ?; ?.?. _ui`bn`ssàit`h ceffkrkhdeàbkiykhbkt-rkhcszkrk ås pkrknårtål prjobånàg` .............. 44
?.?.0. Kiykhs÷bye kiykhbktkl .................................................................................... 44 ?.?.?. Ikjnktre`e kiykhbktkl .................................................................................... 46 ?.?.4. @hy`ikiykhbktkl ............................................................................................. 3= ?.?.3. ]krknfkbtåtkbkl ............................................................................................... 30 ?.?.;. ]krknårtål prjobån` ..................................................................................... 30
Oeobejiràfe` ........................................................................................................................ 3? 4. @ _[I@BN@TTÀIS@H KHK_IE@KBVKE, V@_EÀDEÔT KBVKE, VÅIKTKBKN-
NÔCTWK_, NK_KVTÅIE KIUKHBKS NKIA@SÀ_JWÀT@ ÅT NKIJBCÀT@TÎLOKBE, A×WJSS _×CKBKN_K ................................................................................ 34 4.0. LözkbîtŐ nkzŐl ........................................................................................................... 34
4.0.0. Lehkn`tel`eb`i bkaktsåiks kbnjzcubàsnkzŐ ................................................... 34 4.0.?. Tt`tel`eb`i bkaktsåiks fkszòbtsåinkzŐ ............................................................ 34
4.?. Vertuàbes nuhl` kbvk ................................................................................................... 33 4.4. ]jtkhdeàbes+ khkrie` nehenun kbvk ............................................................................ 3; 4.3. B`ir`hik-fåbk v`reàdeôs kbv ......................................................................................... 39 4.;. Njziàsnôcszkrkh `b`pubô våikskbkn-nôcszkr ......................................................... 31
4.;.0. VkltjrnkzŐl okvkzktåsk ................................................................................. 31 4.;.?. _ui`bn`ssàit`he prjobån` ås nkijbcàse nôcszkrk ...................................... ;0 4.;.4. Våikskbkn, lözkbîtŐ kbnjzcubàsnkzŐ ............................................................. ;?
4.6. Nkrkvsåie kiykhbkt nkia`tàrjzàs` ås nkijbcàs` sîlokbe, a÷zjtt r÷ckbknrk ............. ;; 4.6.0. Nkrkvsåie kiykhbkt ?C a÷zjtt r÷ckbknrk ....................................................... ;; 4.6.?. ]åbc` ............................................................................................................... 6=
Oeobejiràfe` ........................................................................................................................ 64
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
6/382
6 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Nja`rjs Estvàh, Jbc`b Estvàh, Tzklråhyks @hcràs
3. TÎLOKBE A×WJSS _[C@L VEWTIÀB@S@ VÅIKTKBKN NÔCTWK_KH @B@][BÔ]_JI_@N_KHCTWK_ TKIÎSTÅIÅVKB ..................................................................... 63 3.0. Tîlokbe r÷cszkrlkzktkl ................................................................................................ 63 3.?. @ r÷cszkrlkzktkl njckbbkzåsåakz ̀ bl`bn`zjtt våikskbknkl ..................................... 6;
3.?.0. S_[TT kbknkl tub`gcjhsài`e ......................................................................... 6; 3.?.?. @ OK@N kbknkl tub`gcjhsài`e ....................................................................... 66 3.4. Fkb`c`t nkijbcàs......................................................................................................... 69 3.3. Nkigkiyzåskl .............................................................................................................. 96
;. TÎLOKBE A@GBÎSJSS _[C@L V@_EÀDEÔT FKB@C@S@, NK_KVTÅIEKIUKHBKSKE, NKIJBCÀT@ VÅIKTKBKN-NÔCTWK__KB ................................... 99 ;.0. Tîlokbe a`gbîtjtt r÷ckbkn v`reàdeôs fkb`c`t` ................................................................. 99 ;.?. Fkb`c`tnkijbcàs våikskbkn-nôcszkrrkb ..................................................................... 95
;.?.0. @z kbkn nkrkvsåie nàtrex` ............................................................................. 95 ;.?.?. @ szkrlkzkt tkbgks nkrkvsåie nàtrex` .............................................................. 1; ;.?.4. @ tkbgks kiykhbktrkhcszkr ås nkijbcàs` ......................................................... 16
;.4. Nkigkiyzåskl .............................................................................................................. 19 6. TÎLOKBE A@GBÎSJSS _[C@L VEWTIÀB@S@ VÅIKTKBKN NÔCTWK_KH
@B@][BÔ ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB ............................................ 11 6.0. r÷cszkrlkzktkl ............................................................................................................. 11 6.?. @ njckbbkzås sjràh ̀ bl`bn`zjtt våikskbknkl ............................................................ 11
6.?.0. @ OK@N kbknkl tub`gcjhsài`e ....................................................................... 15 6.?.?. @ hyîràsoôb szàrn`zô `b`lvàbtjzàs feiykbknokvåtkbk ..................................... 15
6.4. Fkb`c`t nkijbcàs......................................................................................................... 50 6.3. Nkigkiyzåskl ............................................................................................................ 0=3
9. @ ]JSKHDEÀBET KHK_IE@ NEHEN[N KBVÅHKL @BL@BN@WÀT@ SÅ_OKBEA@GBÎSJSS _×CKBKN_K, _ESW-NÔCTWK_ ÅT VÅIKTKBKN NÔCTWK_@BL@BN@WÀT@........................................................................................................... 0=6 9.0. Sårokbe r÷ckbkn v`reàdeôs fkb`c`t` ............................................................................ 0=6 9.?. Fkb`c`tnkijbcàs våikskbkn nôcszkrrkb ................................................................... 000 9.4. Nkigkiyzåskl ............................................................................................................ 003
1. SÅ_OKBE A@GBÎSJSS _[C@L VEWTIÀB@S@ VÅIKTKBKN NÔCTWK_KH@B@][BÔ ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB .......................................... 00; 1.0. Sårokbe r÷cszkrlkzktkl .............................................................................................. 00; 1.?. @ njckbbkzås sjràh ̀ bl`bn`zjtt våikskbknkl .......................................................... 00;
1.?.0. @ OK@N4C kbknkl tub`gcjhsài`e ................................................................ 006 1.?.?. @ OK@N4C kbkn spkdeàbes tub`gcjhsài è .................................................... 001
1.4. Fkb`c`t nkijbcàs....................................................................................................... 0?0
1.3. Nkigkiyzåskl ............................................................................................................ 046
5. _×CTWK_LKWKSKL CEH@NELÀG@, @ SÖNKINÀS_EQ OKVKWKSÅTK, T@GÀSF_KLVKHDE@ NKIA@SÀ_JWÀT@ ............................................................... 049 5.0. @ våikskbkn-nôcszkr letkrgksztåsk .......................................................................... 049 5.?. _ui`bn`s tkstkl s`gàtrkziås fkb`c`tàh`l våikskbknks nkifji`bn`zàs ̀................. 049 5.4. Tîlokbe r÷cszkrlkzkt s`gàtbkhiåskehkl szànîtàs` våikskbkn nôcszkrrkb .................. 045
5.4.0. @z kbkn tönkinàtrexàh`l nkia`tàrjzàs ̀................................................... 03= 5.4.?. @z kbkn nkrkvsåie nàtrexàh`l nkia`tàrjzàs` .......................................... 03? 5.4.4. @ z rkhcszkr tkbgks tönki - ås nkrkvsåie nàtrex` ........................................... 034
5.3. Nkigkiyzåskl ............................................................................................................ 03;
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
7/382
S`rt`bjngkiy zål 9
© Nja`rjs Estvàh, Jbc`b Estvàh, Tzklråhyks @hcràs www.t`hljhyvt`r.au
0=. SÅ_OKBE _[C@L CEH@NEL@E VEWTIÀB@S@, T@GÀSF_KLVKHDE@NKIA@SÀ_JWÀT@ VÅIKTKBKN-NÔCTWK_KH @B@][BÔ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB ............................................................. 039 0=.0. Okvkzktås ............................................................................................................... 039 0=.?. @z ̀ bl`bn`zjtt våikskbknkl tub`gcjhsài`e ........................................................... 039 0=.4. @ fkb`c`t esnkrtktåsk .............................................................................................. 031 0=.3. @ fkb`c`t våikskbknks nkijbcàs` ......................................................................... 035 0=.;. Nkigkiyzåskl ........................................................................................................ 0;1
00. OKVKWKSÅT TÎLFKB@C@SJL SÅN@LÖ_OK. TÎLFKTWÒBSTÅIE,TÎL@B@LVÀBSJWÀTE ÅT FJ_IÀTTWENNKS_EL[T (SKHIKBUTWENNKS_EL[T)NJCKBBKL @BL@BN@WÀT@ .................................................................................... 0;5 00.0. Tîlfkb`c`tjl ̀ b`ptîpus`e......................................................................................... 0;5 00.?. Kiykhs÷bye kiykhbkt, kbnjzcubàs ås `b`lvàbtjzàs ................................................. 06= 00.4. Ljhstetutîv kiykhbktkl ........................................................................................... 06?
00.4.0. Tîlfkszòbtsåie àbb`pjt .................................................................................... 064 00.4.?. Tîl`b`lvàbtjzàse àbb`pjt................................................................................ 063
00.3. Tîlfkb`c`tjl ̀ b`pkiykhbktke ................................................................................... 06; 00.3.0. Ljnp`teoebetàse kiykhbkt ............................................................................... 06; 00.3.?. @z @ery- fåbk fkszòbtsåifòiivåhy .................................................................... 066 00.3.4. @ H`vekr- fåbk kiykhbkt .................................................................................. 069 00.3.3. ]krknårtål -fkb`c`tjl ................................................................................... 061
00.;. ]åbcàl sîlfkszòbtsåie àbb`pjtr` ............................................................................... 065 00.;.0. Håiyzkt `b`l÷ bknkz pkrkntkrakbåsåhkl nkia`tàrjzàs` ............................. 065 00.;.?. S`hikhdeàbes`h tkrakbt bknkz vezsiàb`t` ...................................................... 090
00.6. Tîlfkb`c`tjl ̀ b`pkiykhbktke pjbàrljjrcehàtàl skiîtsåiåvkb .................................. 094 00.9. Skhikbyszennktrelus sîlfkb`c`tjl ........................................................................ 096
00.9.0. Sönör lörakhikr ås v`st`if`b÷ dsŐ ............................................................. 099 00.9.?. Fjriô tàrdsàl ............................................................................................... 095
Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... 014 0?. TÎLFKTWÒBSTÅIE ÀBB@]JS NJCKBBKWÅTK VKN ]_JI_@N_KHCTWK_KL
TKIÎSTÅIÅVKB. NJCKBBKWÅT, LEÅ_SÅLKBÅT ]_JOBÅN@LÖ_ÅHKLKBKNWÅTK ..................................................................................................................... 01; 0?.0. Tîlfkb`c`tjl våikskbknks nkijbcàs` .................................................................... 01; 0?.?. Behkàres aàrjn dsjnôpjhtjs aàrjnszöikbkn ....................................................... 019
0?.?.0. @z kbnjzcubàsnkzŐ ehtkrpjbàdeôg` ............................................................... 019 0?.?.?. @ nkrkvsåie nàtrex szànîtàs` ...................................................................... 05= 0?.?.4.
@ tkrakbåskl nki`càs` ................................................................................. 050
0?.4. Lecjbijzjtt påbc` behkàres aàrjnszöikbknrk — sîlfkszòbtsåie àbb`pjt ................... 054 0?.3. Lv`cr`telus a`t dsjnôpjhtjs aàrjnszöikbkn ..................................................... ?=? 0?.;. Ezjp`r`nktrelus håiy dsjnôpjhtjs håiyszöikbkn ............................................... ?=?
0?.;.0. @ ikjnktre` ehtkrpjbàdeôg` ........................................................................... ?=? 0?.;.?. @z kbnjzcubàsnkzŐ ehtkrpjbàdeôg` ............................................................... ?=6 0?.;.4. @z `b`lvàbtjzàse gkbbknzŐl szànîtàs`, G`djoe nàtrex ås G`djoe cktkrnehàhs?=6 0?.;.3. @ G`djoe cktkrnehàhs gkbkhtŐsåik, påbc ̀..................................................... ?=5 0?.;.;. @ fkszòbtsåinkzŐ szànîtàs` .......................................................................... ?00 0?.;.6. @ nkrkvsåie nàtrex szànîtàs` ...................................................................... ?00 0?.;.9. @ tkakrvkltjr szànîtàs` ............................................................................... ?0?
0?.6. Hunkrelus ehtkiràbàs, ` I`uss-fåbk sz`oàby .......................................................... ?03
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
8/382
1 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Nja`rjs Estvàh, Jbc`b Estvàh, Tzklråhyks @hcràs
0?.6.0. Kiycenkhzeôs I`uss- sz`oàby ....................................................................... ?0; 0?.6.?. Låtcenkhzeôs I`uss- sz`oàby ........................................................................ ?06
0?.9. Lecjbijzjtt påbc` ̀ z ezjp`r`nktrelus håiyszöikbkn ̀ bl`bn`zàsàr` .................... ?05 0?.1. Lv`cr`telus ezjp`r`nktrelus håiyszöikbkn ......................................................... ??; Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... ??9 04. FJ_IÀTTWENNKS_EL[T ÀBB@]JS NJCKBBKWÅTK VKN]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB. NJCKBBKWÅT, LEÅ_SÅLKBÅT]_JOBÅN@LÖ_ÅHKL KBKNWÅTK ........................................................................... ??1 04.0. Skhikbyszennktrelus fkb`c`tjl våikskbknks nkijbcàs` ..................................... ??1 04.?. Fjriàsszennktrelus behkàres aàrjnszöikbkn ........................................................ ?40 04.4. Lecjbijzjtt påbc` tkhikbyszennktrelus aàrjnszöikbknrk ................................... ?44 04.3. Fjriàsszennktrelus ezjp`r`nktrelus håiyszöikbkn ............................................ ?49 04.;. Lecjbijzjtt påbc` tkhikbyszennktrelus, ezjp`r`nktrelus håiyszöikbknrk ......... ?3= Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... ?31
03. VÅLJHUF@B× AÅG@L, BKNKWKL NJCKBBKWÅTK. @ VÅIKTKBKNAÅGNJCKBBKL KBNÅBKSÅHKL OKN[S@SÀT@ .................................................. ?35 03.0. Bknkz ås aågnjckbbkl ........................................................................................... ?35 03.?. @ Lerdaajff-fåbk bknkzkbnåbkt `b`pkiykhbktke ...................................................... ?35
03.?.0. @z kbnjzcubàsnkzŐ ....................................................................................... ?35 03.?.?. @z `b`lvàbtjzàse gkbbknzŐl ............................................................................ ?;= 03.?.4. @ fkszòbtsåinkzŐ ås ` lözåpfkbòbkt eiåhyokvåtkbke ....................................... ?;= 03.?.3. @z kiykhs÷by ås njziàskiykhbktkl ............................................................... ?;?
03.4. Våljhy bknkzkl våikskbknks nkijbcàsàh`l kiykhbktke ...................................... ?;; 03.3. @ tkdahel`e aågkbnåbkt ̀ b`pkiykhbktke ................................................................... ?;9
03.3.0. Ikjnktre`e összkfòiiåskl ............................................................................ ?;9 03.3.?. ÅbkrŐl ås åbhyjn`tåljl, kiykhs÷bye kiykhbktkl ........................................... ?6= 03.3.4. KbnjzcubàsnkzŐ, `b`lvàbtjzàse gkbbknzŐl .................................................... ?60 03.3.3. Lözkbîtåskl ` tkdahel`e aågkbnåbkt lkrktkeh okbòb ......................................... ?64
03.;. Aåg`l våikskbknks njckbbkzåsåhkl fŐoo båpåske .................................................. ?63 Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... ?66
0;. TÎLOKBE ÅT TÎL_@ NK_ŝBKIKT SK_AKBÅTŽ, TÎLOKBE VÅLJHUF@B× AÅG@LNJCKBBKWÅTK VÅIKTKBKN-NÔCTWK_KH @B@][BÔ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB ............................................................. ?69 0;.0. A`gbîtjtt bknkzkbknkl ............................................................................................ ?69 0;.?. Aàrjnszöi ̀ b`l÷ sîl bknkzkbkn v`iy Sjdakr -fåbk aàrjnszöikbkn .................... ?69 0;.4. Lecjbijzjtt påbc` ` Sjdakr-fåbk aàrjnszöi ̀ b`l÷ bknkzkbkn ̀ bl`bn`zàsàr ̀...... ?9? 0;.3.
Ehljnp`teoebes tåib`b`p ̀ b`l÷ bknkzkbkn .............................................................. ?9;
0;.;. Lecjbijzjtt påbc` ̀ z ehljnp`teoebes tåib`b`p ̀ b`l÷ bknkzkbknrk ......................... ?1= 0;.6. Ljnp`teoebes tåib`b`p ̀ b`l÷ bknkzkbkn ................................................................. ?14 0;.9. Tîlokbe ås sîlr` nkrŐbkiks tkrakbåsŰ bknkzkl ........................................................ ?16 Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... ?16
06. SÅ_OKBE VÅLJHUF@B× AÅG@L NJCKBBKWÅTK VÅIKTKBKN-NÔCTWK_KH@B@][BÔ ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB .......................................... ?19 06.0. KiyszkrŰ sîlaåg-kbknkl ......................................................................................... ?19 06.?. @ behkàres sîlnknoràh ås ` Sjdakr -fåbk a`gbîtjtt aàrjnszöikbkn szupkrpjzîdeôg` ... ?19 06.4. Lecjbijzjtt påbc` ` behkàres sîlnknoràh ås ` Sjdakr -fåbk (a`gbîtjtt) aàrjnszöikbkn
összkl`pdsjbàsàr`...................................................................................................... ?54 Oeobejir àfe` ...................................................................................................................... ?55
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
9/382
S`rt`bjngkiy zål 5
© Nja`rjs Estvàh, Jbc`b Estvàh, Tzklråhyks @hcràs www.t`hljhyvt`r.au
09. KIUTWK_ ÅT LÅSTWK_ IÖ_OÒBS AÅG@L NJCKBBKWÅTK VÅIKTKBKN-NÔCTWK_KH @B@][BÔ ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB ................ 4== 09.0. Iöroòbt aågkbknkl ................................................................................................. 4== 09.?. Våljhy lörakhikr -aågkbkn ................................................................................... 4== 09.4. Fjriàsszennktrelus aågfkb`c`tjl — l÷pjs aågkbkn ............................................... 4=9 09.3. V`st`if`b÷ aågkbknkl ............................................................................................. 404 09.;. Àtnkhkte kbkn aågkbkn ås tårokbe kbkn összkl`pdsjbàsàajz ................................. 405 Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... 4?=
01. SÅ_OKBE FKB@C@SJL VEWTIÀB@S@ VÅIKTKBKN-NÔCTWK_KH @B@][BÔ]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB. 4C-T KBKNKL OKN[S@SÀT@. .... 4?0 01.0. Akx`åckr kbknkl ................................................................................................... 4?0
01.0.0. 1 dsjnôpjht÷ akx`åckr kbkn ....................................................................... 4?? 01.0.?. ?= dsjnôpjht÷ akx`åckr kb kn ..................................................................... 4?3 01.0.4. 4? dsjnôpjht÷ akx`åckr kbkn ..................................................................... 4?; 01.0.3. ]kht`åckr kbknkl ......................................................................................... 4?9
01.?. Sktr`åckr kbknkl ................................................................................................... 4?9 01.?.0. 3 dsjnôpjht÷ tktr`åckr kbkn ....................................................................... 44= 01.?.?. 0= dsjnôpjht÷ tktr`åckr kbkn ..................................................................... 440 01.?.4. ?= dsjnôpjht÷ tktr`åckr kbkn ..................................................................... 443
01.4. Aekr`rdaelus ̀ b`lfòiivåhykl ................................................................................ 44; 01.3. Nkrkvsåie nàtrex ås dsjnôpjhte tkrakbåskl kbŐàbbîtàs` ......................................... 44;
01.3.0. I`uss- fåbk hunkrelus ehtkiràbàs .................................................................. 44; 01.3.?. 4C-s kbknkl nkrkvsåie nàtrexàh`l kbŐàbbîtàs` ............................................ 446 01.3.4. Dsjnôpjhte tkrakbåskl kbŐàbbîtàs` tårfji`te tkrakbåsoŐb .............................. 449 01.3.3. Dsjnôpjhte tkrakbåskl kbŐàbbîtàs` fkbòbkte tkrakbåsoŐb ................................. 449
Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... 445 05. SÅ_OKBE FKB@C@SJL VEWTIÀB@S@ VÅIKTKBKN-NÔCTWK_KH @B@][BÔ
]_JI_@N_KHCTWK_KL TKIÎSTÅIÅVKB. 4C-T KBKNKL @BL@BN@WÀT@. . 43= 05.0. Ikjnktre`e njckbb båtrkajzàs` .............................................................................. 43=
05.0.0. Krkckte ikjnktre` lekiåszîtåsk ..................................................................... 43= 05.0.?. Åbkl, s`rljl njckbbkzåsk .............................................................................. 430 05.0.4. Skrakbktbkh råszkl njckbbkzåsk .................................................................... 430 05.0.3. Tzennktrelus `bl`tråszkl njckbbkzåsk ......................................................... 43?
05.?. Våikskbkn-njckbb båtrkajzàs` .............................................................................. 43? 05.?.0. Aàbôzàs okàbbîtàs`e ....................................................................................... 434 05.?.?. Kbknnårkt a`tàs` ......................................................................................... 434 05.?.4.
Kbkntîpus a`tàs` .......................................................................................... 43;
05.4. ]krknfkbtåtkbkl ...................................................................................................... 439
05.4.0. Skrakbåskl ..................................................................................................... 431 05.4.?. Låhyszkrkl .................................................................................................... 4;=
?=. NJCKBBKWÅTE, ]JHSJTTÀIE, @BL@BN@WA@SÔTÀIE LÅ_CÅTKL. @LÒBÖHOÖWŝ VÅIKTKBKN NJCKBBKL ÖTTWKA@TJHBÎSÀT@, K_KCNÅHUKLVEWTIÀB@S@. ............................................................................................................... 4;4 ?=.0. S`rtôl njckbbkzåsk ................................................................................................ 4;4
?=.0.0. Lör lkrksztnktszktŰ t`rtô vezsiàb`t` ............................................................ 4;4 ?=.0.?. Våljhy f`b÷ zàrt szkbvåhyŰ r÷c njckbbkzåsk ................................................ 4;; ?=.0.4. Våljhy f`b÷ hyetjtt szkbvåhyŰ r÷c njckbbkzåsk ............................................ 4;9 ?=.0.3. V`st`i f`b÷ dsŐ njckbbkzåsk ......................................................................... 464
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
10/382
0= Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Nja`rjs Estvàh, Jbc`b Estvàh, Tzklråhyks @hcràs
Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... 469 ?0. TWÀNÎSÀTE K_KCNÅHUKL LEÅ_SÅLKBÅTK ÅT @BL@BN@WÀT@ @
IÅ]ÅTWNÅ_HÖLE SK_VKWÅTE ÅT NEHŝTÎSÅTE FKB@C@SJLNKIJBCÀTÀO@H. VÅIKTKBKN TWÀNÎSÀTJL ÅT TW@OVÀHUJT
NÅ_KSKWÅTE KBGÀ_ÀTJL L@]DTJB@S@. ............................................................ 461 ?0.0. Våikbkn-nôcszkr pjhtjssài` ............................................................................... 461 ?0.0.0. Aeo`okdsbås a tîpus÷ lözkbîtåsljr ................................................................ 49= ?0.0.?. Aeo`szànîtàs a tîpus÷ lözkbîtåsljr .............................................................. 499 ?0.0.4. p tîpus÷ lözkbîtås .......................................................................................... 41= ?0.0.3. Ljhvkrikhde` szehiubàres akbyklkh .............................................................. 410 ?0.0.;. Njckbbkzåse aeoàl ......................................................................................... 410
?0.?. Tzànîtjtt krkcnåhykl leårtålkbåsk ....................................................................... 410 ?0.?.0. Fjbyàsa`tàrhàb n`i`s`oo fkszòbtsåikl ........................................................ 410 ?0.?.?. Tzehiubàres akbykl ......................................................................................... 41? ?0.?.4. Tz`ovàhyjs kbgàràsjl ås ` VKN ................................................................... 41?
Oeobejiràfe` ...................................................................................................................... 414
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
11/382
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
0. @ VÅIKTKBKN-NÔCTWK_ LE@B@L[BÀTÀH@L SÖ_SÅHKSK, @NÔCTWK_ FKGBŝCÅTK, KBSK_GKCÅTK, TWK_K]K @ IÅ]ÅTW-
NÅ_HÖLE SK_VKWŝE N[HL ÀLO@H
0.0. Ôljre ̀ bl`bn`zàs Våiks kbknkl7 `bl`bn`zàsull`b ojhyjbubt (ås `cjtt löròbnåhykl lözött hkn nkijbca`tô)fkb`c`tjl`t kiyszkrŰsîtòhl bk. @z kiyszkrŰsîtås `b`pg`, ajiy ` tkst ikjnktreàgàt våiks szàn÷leskoo, kiyszkrŰoo `b`l÷ kbknrk ojhtgul, îiy nkijbca`tôvà vàbel ` prjobån`. Klljr ` lkvk-skoo, ck ojhyjbubt`oo szànîtàs akbyktt töoo, ck kiyszkrŰoo szànîtàst lkbb kbvåikzhòhl.
@ ceszlrktezàdeô ̀ bl`bn`zàs` ikjnktre`e prjobånàl nkijbcàsàr`
— l ör lkròbktk, tkròbktk (0.0 àor`) — akhikr, iöno tårfji`t`, — kiyåo ojhyjbubt ikjnktreàl.
`) o)
0.0. àor`7 Lör tkròbktåhkl lözkbîtåsk
@ lör tkròbktåhkl szànîtàs`ljr ` lörb`pjt h c`r`o kiykhbŐ szàr÷ aàrjnszöirk ojhtgul 0.0.`)àor` szkreht. Klljr ` lözkbîtŐ årtålåhkl ås aeoàgàh`l `b`lubàs` ` fkbjsztàs fòiivåhyåokhbàta`tô `z 0.?. àoràh, `ajb
hh
h?
46=seh
?
46=djs , ås %0==
?
46=seh
?
46=djs
hh
h
aeo` .
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
12/382
0? Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
0.?. àor`7 ύ szànîtjtt årtålk ås aeoàg` ` fkbjsztàs hövkbåskljr
Sszu Ds`hi Dsel lîh`e nårhöl (e. sz. 31=-o`h) fkbtåtkbkzaktŐkh tåib`b`pjl skiîtsåiåvkb nkiàb-b`pîtjtt`, ajiy årtålk 4,030;5?6 ås 4,030;5?9 lözött v`h.
0.?. V`reàdeôszànîtàs le`b`lubàs`, ̀ b`pfji`bn`e 0.?.0. Or`daesztjdarjh (bkiröveckoo ecŐ)- prjobån` 0656- o`h Okrhjubbe fji`bn`zt` nki ` prjobånàt, `nkby nkijbcàsàh`l lkrksåsk kbehcîtjtt` `v`reàdeôszànîtàs lefkgbŐcåsåt.
@ prjobån`7 `cjtt låt lòböhoözŐ n`i`ssàio`h ås hkn kiy fòiiŐbkikskh kiykhkskh kbak-bykzlkcŐ pjht. Vkiyòl `zjl`t ` låt pjht àbt`b legkböbt fòiiŐbkiks sîlo`h båvŐ iöroålkt, `nk-byklkh ` n`i`s`oo pjhtoôb lkzcŐskokssåi ås s÷rbôcàs håblòb ehcîtv` kbguta`t kiy `hy`ie pjht`z `b`dsjhy`oo`h fklvŐ pjhto`. Lårcås, ajiy båtkzel -k kzkl lözött ` iöroål lözött jby`h,`nkbykt ` pjht nehenàbes ecŐ `b`tt fut ok ås a` eikh, ajiy`h bkakt nkia`tàrjzhe:
0.4. àor`7 Or`daesztjdarjh- prjobån`
@ lkrksktt y fòiivåhy ir`feljhg` àtnkiy 0 ] ås ? ] pjhtjljh, tkaàt7
=)=( y ås ?? )( y x y . (0.0)
] 0
] ?
x
y
x ?
y ?
=
0=
?=
4=
3=
;=
6=
9=
= ; 0= 0; ?= ?; 4=
h
aeo`\%^
=
=,;
0
0,;
?
?,;
4
4,;
aeo`
pe
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
13/382
0. @ våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktk 04
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
Khkrie`nkin`r`càs tåtkbk `cjtt ksktrk7
niynv ??
0. (0.?)
@ skokssåi7
ct
csv . (0.4)
@z kbkne ÷tajssz7
??? cycxcs (0.3)
(0.?) tönkiikb kiyszkrŰsîtvk ås akbykttksîtvk (0.4) ås (0.3)-t7
iyct
cy
ct
cx
??
?
0 (0.;)
rkhckzvk7
iy
cx
cx
ct
cy
ct
cx?
??
(0.6)
iyct
cx
cx
cy?0
??
. (0.9)
Tzåtvàb`sztv` ̀ vàbtjzôl`t, ̀ z ÷t nkitåtkbåakz szòlsåiks S ecŐ7
?
=
?
?
'0 xcx
y i
yS . (0.1)
Lkrkssòl `zt ` fòiivåhyt, `nkby kbkikt tksz (0.0)-hkl ås `nkbyrk (0.1)-h`l nehenun`v`h. @ nkijbcàs kiy delbjes7
??
0
0
0 ?`rdseh)( d x xdd
xdt y , (0.5)
`ajb ?0,dd àbb`hcôl ̀ z (0.0) fkbtåtkbkloŐb nkia`tàrjza`tôl. Kz ` prj obån`, `ajb kiy sl`bàr nkhhyesåi nehen`bezàbàsàajz fòiivåhyt lkbbktt lkrkshe,
eràhyîtjtt` ` feiykbnkt ` v`reàdeôszànîtàs fkbå ås ehcîtjtt` kb `hh`l fkgbŐcåsåt.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
14/382
03 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
0.?.?. Fuhldejhàbjl, v`reàdeô @ or`daesztjdarjh prjobånàajz a`sjhbô ` tkrnåszkt- ås tàrs`c`bjntucjnàhyjlo`h sjlszjrkbŐfjrcub. S`bàbljzuhl jby`h nut`tôll`b, nkhhyesåikllkb, `nkbykl årtålåt fòiivåhykl a`tà-rjzzàl nki. BkikiyszkrŰoo kskt kiy a`tàrjzjtt ehtkiràb årtålk, `nkby ` levàb`sztjtt fòii-våhytŐb fòii. Ck ebykh kiy îvajssz, fkbòbkt, tårfji`t v`iy kiy t`rtô pjtkhdeàbes khkrieàg` es. @zebykh nkhhyesåiklkt ̀ fuhldejhàbh`l hkvkzzòl.
V`b`nkby a`bn`zh`l ` v`bôs szànjl a`bn`zào` v`bô bklåpkzåsåt (v`bôs) fuhldejhàb h`lv`iy jpkràtjrh`l hkvkzzòl.
@z àbt`bàhjs n`tkn`tel`e ckfehîdeôh`l kiy spkdeàbes ksktk, `neljr ` fòiivåhykl a`bn`zàt` v`bôs szànjl a`bn`zào` v`bô bklåpkzåsåt hkvkzzòl fuhldejhàbh`l .
Bkiykh7 _ _ f 4 `cjtt fòiivåhy, ås _ _ y nkikhikcktt fòiivåhy, `nkby år-
tkbnkzåse t`rtjnàhyàh fjbytjhjs`h ckrevàba`tô ^,\ ?00 x xD y ås àtnkiy ` t r̀tjnàhy szåbkehröizîtktt ),( 000 y x ] , ),( ??? y x ] pjhtjljh7
00)( y x y , ?? )( y x y . (0.0=)
Klljr nehckh y fòiivåhyakz rkhckbgòl ajzzà ̀ z
?
0
)('),(,^\ x
x
cx x y x y x f y E (0.00)
v`bôs szànjt. Îiy årtkbnkzzòl `z E fuhldejhàbt.
@ fkb`c`t bkitöooször ` fuhldejhàbjl szåbsŐårtålåhkl nkia`tàrjzàs`. @ szåbsŐårtål bkakt`oszjb÷t v`iy bjlàbes.
A` y E fuhldejhàb tkbgks årtkbnkzåse t`rtjnàhyàh fkhhàbb y y ~ fòiivåhyrk, ajiy y E y E ~ , `lljr y E ~ `oszjb÷t nehenun.
A` y E fuhldejhàb årtkbnkzåse t`rtjnàhyàh`l kiy råszåh fkhhàbb, ajiy y E y E ~ , `lljr
y E ~ bjlàbes nehenun.
@ v`reàdeôs prjobån` lb`sszelus årtkbnkzåsk `h`bôieàt nut`t ` ceffkrkhdeàbszànîtàss`b.B`ir`hik ` ceffkrkhdeàb nehtàgàr` okvkzkttk ` v`reàdeôt — ` gkbk — ås nki`ct` ` vkbk v`bônŰvkbkte sz`oàbyjl`t. Vezsiàbgul ̀ lb`sszelus årtkbnkzåst7
y~ fòiivåhy v`reàdeôg` y , `nkbyrŐb tucgul, ajiy =)( 0 x y ås =)( ? x y . y ` t`rtjnàhy
0 x ås ? x våipjhtg`eo`h esnkrt fòiivåhyårtålklhåb kbtŰhel, löztk tktszŐbkiks. Klljr
y y y kiy fòiivåhyskrkikt (nkikhikcktt fòiivåhy) `c, `nkby t`rt`bn`zz` ` nkijbcàst.@ fuhldejhàb v`reàdeôgàt ÷iy årtkbnkzzòl, ajiy
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
15/382
0. @ våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktk 0;
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
?
0
x
x
cx f E . (0.0?)
@ fkb`c`t y~ nkijbcàsàt `lljr l`pgul, a` ` fuhldejhàbh`l nehenun` v`h. V`reàdeôs nki-fji`bn`zàso`h
= E . (0.04)
Kz ̀ szåbsŐårtål szòlsåiks fkbtåtkbk.
@z `oszjb÷t ås bjlàbes nehenun `h`bôieàgàr` kiy fuhldejhàb (pb. pjtkhdeàbes khkrie`) nehe-nunjh ̀ b`pubô nôcszkr ksktåokh ckfeheàba`tgul kiy prjobån` kiz`lt ås lözkbîtŐ nkijbcàsàt.
Kiz`lt nkijbcàs, a` `z összks bkaktsåiks fòiivåhy lözòb vàb`sztgul le `zt, `nkbyelrk `fuhldejhàb nehenàbes.
Khhkl kbŐàbbîtàs` ds`l h`iyjh kiyszkrŰ ksktklokh bkaktsåiks. @ bkitöoo ksktokh `z kiz`ltnkijbcàst hkn tucgul nkit`bàbhe, nevkb `h`betelus`h hkn tucgul nkijbc`he `z kiykhbktklkt,` våitkbkh szàn÷ fòiivåhy lözòb nehckt nkivezsiàbhe szehtåh hkn bkaktsåiks. @ prjobånàt`lljr es nki lkbb jbc`he, a` hkn tucgul ` pjhtjs nkijbcàst kbŐàbbît`he, klljr lözkbîtŐ nkijb-càst lkrksòhl.
LözkbîtŐ nkijbcàs, a` hkn `z összks bkaktsåiks fòiivåhy lözòb vàb`sztgul le `zt, `nk-byelrk ` fuhldejhàb nehenàbes.
x
y
x 0 x ?
] ?
] 0
y
0.3. àor`7 V`reàdeô B`ir`hik- fåbk lb`sszelus årtkbnkzåsk
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
16/382
06 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@ lözkbîtŐ nkijbcàsjl nkilkrksåsårk göttkl båtrk ` cerklt nôcszkrkl. @z Kubkr-fåbk tör öttvjh`b`l Kubkr v`reàdeôs nôcszkråhkl kbknke vjbt`l. @ nôcszkr ` n`tkn`tel` njckrh kszl ö-zkehkl oertjlào`h ÷gr` kbŐtårok lkròbt, ås ` v`reàdeôszànîtàs cerklt nôcszkråhkl `b ̀pg`.
0.?.4. Cerklt nôcszkr @ fuhldejhàb szåbsŐ årtålåt `cô kxtrknàbes fòiivåhykl nkia`tàrjzàs̀ vjbt ` v`reàdeôszànîtàskbsŐ prjobånàeh`l kiyelk.
Kubkr nôcszkråhkl båhykik7 vkzkssòl vessz` ` prjobånàt våiks sjl vàbtjzôtôb fòiiŐfòiivåhykl szåbsŐårtålkehkl vezsiàb`tàr`. @z`z nkikhikcktt fòiivåhyklhkl våiks sjl ( h szàn÷) `c`tt`b bkîr a`tô fòiivåhyklkt vkszòhl ås ` fuhldejhàblåht ckfeheàbt ehtkiràbt (0.00)kiy lözkbîtŐ összkiikb akbykttksîtgòl. A` h t`rt våitkbkhakz, ` lözkbîtŐ összki t`rt `z ehtkiràbårtålåakz.
Kubkr nkijbcàs`7 sz`l`szjhlåht behkàres, fjbytjhjs fòiivåhykl, ‘Kubkr -fåbk törött vjh`-
b`l„ a`szhàb`t .̀ Jsszul fkb ?0, x x ehtkrv`bbunjt 0h kiykhbŐ sz`l`szr` ås `cguhl nki tkt-szŐbkiks h ,...,0 v`bôs szànjl`t. Klljr ` sz`l`szjl ajssz`7
00?
h
x xt .
@z ??0?00000 ,,,,...,,?,,,, y xht xt xt x y x h pjhtjl`t összklötŐ törtvjh`b`lkiy fjbytjhjs fòiivåhyt `bljth`l, `nkbyhkl låt våipjhtg` ` röizîtktt ),( 000 y x ] ås
),( ??? y x ] .
0.;. àor`7 Kubkr - fåbk tört vjh`b`l
Klljr ̀ z (0.04) fuhldejhàbt nôcjsîta`tgul7
t t t e x f E
h
e
ee
eh
0
0
0
0 ,,
, (0.03)
x
y
x 0 x ?
] ?
] 0
x +et 0
e
t
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
17/382
0. @ våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktk 09
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
?0 7 yh .
A` ` fuhldejhàb h E lözkbîtŐ årtålk v`b`nkby Kubkr -fåbk tört vjh`bjh szåbsŐårtålkt vksz fkb,
`lljr `z ??0?00000 ,,,,...,,?,,,, y xht xt xt x y x h pjhtjlo`h
=
g
h E
, h g ,...,0 . (0.0;)
Vkzkssòl ok ` p`rdeàbes ckrevàbtr` ` fòiivåhy `bsô ehckxklåht ` vàbtjzôt, `ne szk reht ckre-vàbuhl7
y
f f y
7 ,
'7'
y
f f y
, …
ås `z `b`pfòiivåhyrk `z
t t g x f f
g g
g g
0
0 ,,7
gkböbåst. Îiy7
0'' g y g y g y gh f f t f E
. (0.06)
(0.0;) ås (0.06)- oôb rkhckzvk7
='0'
t
f f f
g y g y
g y. (0.09)
A` h , =t ås ` tört vjh`b`l sjrjz`t` t`rt kiy låtszkr fjbytjhjs`h ckrevàba`tô y
fòiivåhyakz, ̀ lljr (0.09)- oŐb kbŐàbb
=)',,()',,( ' y y x f cx
c y y x f y y , (0.01)
v`iy nàs fjrnào`h
='
y
f
cx
c
y
f . (0.05)
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
18/382
01 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
ceffkrkhdeàbkiykhbkt, `nkby `z f `b`pfòiivåhyakz t`rtjzô Kubkr -B`ir`hik ceffkrkhdeàbkiykh-bkt. Nkijbcàs` y , `nkby `z (0.00) fuhldejhàb nehenunàt `cg`. Îiy `z (0.04) ås (0.01) lefkgk-zås kiy `cjtt fuhldejhàb szåbsŐårtål lkrksåse prjobån` lòböhoözŐ nkifji` bn`zàsàt gkbkhte.Kzt `z kiykhbktkt ` n`tkn`telào`h kiyp`r`nåtkrks fòiivåhyskrki szåbsŐårtålåhkl vezsiàb`-
tàoôb l`pgul (0.6. nkbbålbkt), `zjho`h Kubkr tört vjh`b`e ` cerklt nôcszkrkl `b`pgàt låpkzel,kzårt vezsiàbtul ` lb`sszelus årtkbnkzåst.
@ törtvjh`b`l `b`pgàh vkiyòl ` nkikhikcktt fòiivåhykl v`b`nkby l sjrjz`tàt ås `z ̀o-
szjb÷t szåbsŐårtålrk vjh`tljzô prjobån` l -`cel båpåsokh `
l
e
ee`=
(0.?=)
összkikt, `nkby nehckh båpåsokh kiy fòiivåhyt `c. @z îiy l`pjtt fòiivåhysjrjz`t a`tàr-fòiivåhyåhkl (a` ljhvkrikhs) `z kxtrknàbes vjbtàt vezsiàbgul. Kzt ` nôcszkrt fkba`szhàba`t-
gul7
— v`reàdeôs fkb`c`tjl lözkbîtŐ nkijbcàsàr`, — a` ` a`tàrfòiivåhy szåbsŐårtålkt vksz fkb, `lljr lekbåiîte (0.01)-`t, îiy kiy
ceffkrkhdeàbkiykhbkt nkijbcàsàt vkzktaktgòl vessz` v`reàdeôs prjobånàr`.
Kzt aîvgul ` v`reàdeôszànîtàs cerklt nôcszkråhkl.
0.4. _etz-nôcszkr @ _etz-nôcszkrokh ` v`reàdeôszànîtàs cerklt nôcszkråt `bl`bn`zzul lözkbîtŐ nkijbcàs lkr k-
såsårk, ̀ våikskbkn-nôcszkrtŐb kbtårŐkh ett nåi ` tkbgks t`rtjnàhyt kiy fòiivåhhykb îrgul bk.
Ckfehîdeô7 Bkiykh h sjrjz`t kiy behkàres hjrnàbt tårkh ås h` sjrjz`t v`bôs szànjljh.
h sjrjz`t tkbgks, a` nehckh kbknakz båtkzel
hh`` ...00
sjrjz`t, ̀ nkby tktszŐbkikskh nkilözkbîte.
Ckfehîdeô7 Bkiykh E fuhldejhàb, ås h sjrjz`t khhkl årtkbnkzåse t`rtjnàhyàh. @zt njhc-
gul, ajiy E nehen`bezàba`tô h behkàres ljnoehàdeôeh`l a`bn`zàh, a` tkbgksòb7
— båtkzel jby`h behkàres hjrnàbt tår, `nkbyhkl råszk E årtkbnkzåse t`rtjnàhy` ås `nkbyrk
h tkbgks,
— h nehckh behkàres ljnoehàdeôg` E årtkbnkzåse t`rtjnàhyào`h v`h,
— nehckh h ksktåokh båtkzel h E nehenàbes kbknk, `ajb
h
e
ee E ` C h0
7 . (0.?0)
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
19/382
0. @ våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktk 05
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
_etz tåtkbk szkreht, a` E fuhldejhàb h sjrjz`t behkàres ljnoehàdeôeh`l a`bn`zàh nehen`-
bezàba`tô, E -hkl båtkzel nehenàbes kbknk ås fjbytjhjs, `lljr `z h E fuhldejhàb nehenàbes
fòiivåhykeoŐb àbbô h y sjrjz`t E fuhldejhàb nehen`bezàbô sjrjz`t`.
_etz nôcszkrk ` rui`bn`ssàit`ho`h
Vàb`sszul fuhldejhàbh`l ` rui`bn`s tkst pjtkhdeàbes khkrieàgàt. h szàn÷, våiks p`r ̀ nåtkrskiîtsåiåvkb kbŐàbbîtuhl kiy lehkn`tel`eb`i bkaktsåiks (ckfehîdeôl ` 4.0.0. ås 4.4. fkgkzktkl-
okh) kbnjzcubàsnkzŐt lözkbîtŐ fòiivåhyt. @ pjtkhdeàbes khkrie` nehenun kbvk lenjhcg`,ajiy ` pjtkhdeàbes khkrie` ̀ v`bôs kbnjzcubàsjl ksktåokh nehenàbes.
@ l ehkn`tel`eb`i bkaktsåiks kbnjzcubàsnkzŐt kiy fòiivåhysjrr`b lözkbîtgòl7
),...,,(... ?000 hhh ```u``u
. (0.??)
@z kooŐb fkbîrt pjtkhdeàbes khkrie` es uiy`hkzt `z h szàn÷ p`r`nåtkrt t`rt`bn`zz`7
),...,,( ?0 h```
. (0.?4)
@ pjtkhdeàbes khkrie` kiy fuhldejhàb, îiy szåbsŐårtålåt
=
(0.?3)
ksktokh vksze fkb. @z`z7
=...??
0
0
h
h
``
``
``
. (0.?;)
Nevkb kz p`r`nåtkrkltŐb fòiiŐ ehtkiràb, ` szåbsŐårtålkt ` p`r`nåtkrkl szkrehte ckrevàbt`lzårus år tålåhåb vksz fkb7
=0
` ,
=?
`,
…,
=
h`, h c`r`o behkàres `bikor`e kiykhbktakz gutuhl `nkby ` fkbvktt h fòiivåhykl kiyòtt-
a`tôet `cg`. Skrnåszktkskh, nevkb ` fòiivåhysjrt fkbvksszòl, îiy lözkbîtŐ nkijbcàst l`puhl.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
20/382
?= Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@ nôcszkr fjhtjs kbknk, ajiy `z (0.??) kbnjzcubàsnkzŐ lehkn`tel`eb`i bkaktsåiks bkiykh,`z`z lekbåiîtsk ` lehktel`e pkrknfkbtåtkbklkt. Ebykh fòiivåhyklkt ojhyjbubt`oo ksktklokh hk-aåz t`bàbhe, kzårt kiyszkrŰoo fkb`c`tjl nkijbcàsàr` `bl`bn`s ` nôcszkr. @ våikskbkn-nôcszkr `oo`h gkbkht kbŐrkbåpåst, ajiy ` tkst ikjnktreàgàt kiyszkrŰ kbknklrk ojhtg`, îiy lö-
zkbîtŐ fòiivåhykl löhhykh kbŐàbbîta`tô`l.
0.3. Njckrh våikbkn-nôcszkr le`b`lubàs` 0.3.0. KrŐnôcszkr 053=-ks åvklokh nkigkbkhhkl ` suiàra`gtàs÷ rkpòbŐiåpkl. @ h`iy skokssåi ne`tt ojhyjbub-t`oo ikjnktreàg÷ szkrlkzktkl gkbkhhkl nki, ds`pjtt ås ckbt` szàrhy`l. Kzkl szànîtàsàr` `ljràooe nôcszkrkl hkn fkbkbhkl nki. @ rkpòbåshåb hkn bkakt ` szànîtàse oezjhyt`b`hsàijl`th`iy oeztjhsàie tåhykzŐllkb ljnpkhzàbhe, nkrt ` fkba`szhàbt `hy`ijl es cràiàoo`l, v`b`neht`z òzknkbktktåse löbtsåikl es nkihövklkchkl. Fkbnkròbt `z eiåhy kiy ojhyjbubt ikjnktreàl`t
es nkifkbkbŐ pjhtjssàii`b lkzkbŐ szànîtàse nôcszkrrk. Bkvy `bl`bn`zt` kbŐször `z krŐnôcszkrt, `nkby ` lb`sszelus rui`bn`ssàit`h `b`pg`eh `zkrŐl kiykhs÷byàoôb ehcub le, ås kooŐb szànît kbnjzcubàsjl`t. 0539- okh ds`pjtt szàrhy÷ rkpò-bŐiåpklrk puobelàbt` nkijbcàsàt. Ckbt` szàrhy ksktåokh prjobånàl nkròbtkl fkb `z krŐnôc-szkr `bl`bn`zàsàv`b, nàs nkilözkbîtåsrk vjbt szòlsåi ̀ nkijbcàsàajz.
0.3.?. Njziàsnôcszkr @z krŐnôcszkrrkb pàrauz`njs`h lut`tàsjl fjbyt`l `z kbnjzcubàsjljh `b`pubô nôcszkr lefk g-bksztåsårk ås `bl`bn`zàsàr`. @ Ojkehi dåi kiy Surhkr àbt`b vkzktktt lut`tôdsjpjrtg` 05;6-o`h
puobelàbt kiy ÷g nôcszkrrkb nkijbcjtt prjobånàt. Khhkl båhykik kiy fkbtåtkbkzktt kbnjzcubà-
sjll`b fkbîrt nkrkvsåinàtrexjh `b`pubô nôcszkr iy`ljrb`te `bl`bn`zàs` vjbt, `ne ` njckrhvåikskbkn-nôcszkr båhykiåt nàr t`rt`bn`zt`.
@ lövktlkzŐ åvtezkcklokh nkiszòbkttkl ` låt ås aàrjncenkhzeôs `bl`bn`zàsjl, h`iybka`gbàse ås kiyåo ikjnktre`e ås ̀ hy`ie hknbehkàres nkijbcàsjl.
@ ljhvkrikhde` vezsiàb`t` ås ` nàtrexkiykhbktkl ås rui`bn`ssàit`he kbvkl `h`bôieàgàh`lfkbesnkråsk utàh ` 6=-`s åvklokh ` rui`bn`ssàit`h v`reàdeôs kbvkehkl `b`pgàr` akbykztål `våikskbkn-nôcszkrt. Klljr tkrgkct kb szåbks lörokh ` vertuàbes kbnjzcubàsjl kbvåh `b`pubônôcszkr, ås szehtk kiykcur`bljcôvà vàbt. @z `bl`bn`zjtt n`tkn`tel`e prjobånàl ås lecjbij-zàsul, ̀ szànîtàstkdahel` fkgbŐcåsk fjby`n`tjs`h t`rt.
@ våikskbkn-nôcszkrt n` nàr szkrlkzkte, aŐ-, àr`nbàst`he, kbkltrjnjs, nàihksks behkàresås hknbehkàres fkb`c`tjlr` ås kzkl ljnoehàdeôer`, l`pdsjbt fkb`c`tjlr` es `bl`bn`zzàl. @
szànîtôiåpkl tkbgksîtnåhyk ås ` pe`djh nkit`bàba`tô szjftvkrkl lkzkbaktŐsåik kbgutjtt `rr` `szehtrk, ajiy ` nårhölöl lkzåok kiy löhhykh t`huba`tô ås fkba`szhàbôo`ràt kszlözt `ch`l.@zjho`h `z kbnåbkte esnkrktkl aeàhyào`h ` pkrknfkbtåtkbkl, njckbbkl hkn nkifkbkbŐ levà-b`sztàsàv`b ` l`pjtt nkijbcàs sjl ksktokh hkn ` v`bôsàijs fkb`c`t nkijbcàs`.
0.;. Våikskbkn-nôcszkr ̀ nŰsz`le iy`ljrb`to`h @ våikskbkn-nôcszkr kbtkrgkcåsk ` iy`ljrb`to`h nkivàbtjzt`tt` ` lb`sszelus iyàrtàse fjby`-n`tjt (0.6. àor`), okåpòbt ` iyàrtàse bàhdo`.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
21/382
0. @ våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktk ?0
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
]rjtjtîpusbkiyàrtàs`
hkn fkbkb nki
IyàrtàsSkrvkzås ]rôo`òzkn nkifkbkb
0.6. àor`7 Lb`sszelus iyàrtàse njckbb kiyszkrŰsîtktt fjby`n`tàoràg`
@ iyàrtàse löbtsåi gkbkhtŐs råszk ` lîsårbkte c`r`ojl bkiyàrtàs` ås prôo`òzknåhkl våirka`gtà-s`. Nevkb kzklakz szòlsåi v`h `hy`ir`, `hh`l nkinuhlàbàsàr`, ` prôo`òzknakz szòl såiks
pkrknfkbtåtkbkl oeztjsîtàsàr`, lîsårbkte kszlözölrk. Skrnåszktkskh szòlsåi v`h nehc ` prjtj-tîpus-iyàrtàs, nehc ` prôo`òzkn kbvåizåsåakz sz`lszknåbyzktrk. Kzkh löbtsåikl ds`l h`iyc`r`oszàn ås/v`iy n`i`s tkrnålàr ksktåh tåròbhkl nki. Kzt ` löbtsåikt dsöl lkhte gkbkhtŐsnårtålokh ̀ våikskbknks szenubàdeô (0.9. àor`).
]rjtjtîpusbkiyàrtàs`
IyàrtàsSkrvkzås
]rôo`òzkn
nkifkbkb
hkn fkbkb nki
Våikskbknszenubàdeô
]rjtjtîpusszòlsåiks
nkifkbkbhkn fkbkb nki
eikh
hkn
0.9. àor`7 Våikskbknks szenubàdeôv`b skiîtktt iyàrtàse njckbb
@ szòlsåiks prjtjtîpusjl szànàt dsöllkhte ̀ våikskbknks szenubàdeô, ̀ nkhhyeokh gôb njckb-bkzaktŐ prjobånàrôb v`h szô, `lljr `làr kb es a`iya`tô ` prjtjtîpus bkiyàrtàs`. Klljr nàr `sjrjz`tiyàrtàsr` bkakt `zjhh`b okrkhckzlkche, ås kbkikhcŐ ` hubbszåreàh prôo`òzknkt våikzhe.
@ szenubàdeô hknds`l ` szebàrcsàie vezsiàb`tjl tkròbktåh hy÷gt skiîtsåikt, a`hkn ` tkda-hjbôie`e tkrvkzåsljr es. Båtkzhkl jby`h dåbszjftvkrkl es, `nkbykllkb kiy fröddsöhtåse, ljvà-dsjbàse, nåbya÷zàse, sto. fjby`n`tjt tucuhl szenubàbhe, îiy kzkl ` n`i`s szkrszànlöbtsåiŰiyàrtàse nôcszkrkl es jbdsôooà vàbh`l.
Kbnjhca`tgul, ajiy ` tkrvkzåsljr `bl`bn`zjtt våikskbkn-njckbbkzås töoo tkròbktrk esletkrgkc7
— tkrnål szebàrcsàie, aŐt`he, àr`nbàst`he, kbkltrjnjs, nàihksks vezsiàb`t`, a`szhàb`telöròbnåhykl lözt, `nkby ` tkrnål nehŐsåiåt g`vîtg`, löbtsåiåt (pb. s÷by) dsöllkhte,
— tkrnål iyàrtàs lözokhe szenubàdeôg` (iyàrtàstkdahjbôie` szenubàdeôg`), `z jptenàbeslöbtsåiŰ, ck nkifkbkbŐ tkrnål iyàrtàstkrvkzåsåakz,
— szkrszànjl szenubàdeôg ,̀ `nkby `zjl åbktt`rt`nàt, jptenàbes òzkne fkbtåtkbket `cg`.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
22/382
?? Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@ våikskbkn-nôcszkr tkrnåszktkskh hknds`l ` iåpiyàrtàso`h tkrgkct kb, a`hkn kiyåo tu-cjnàhytkròbktklkh es. @ iåpiyàrtàs `h`bôieàgàr` kbnjhca`tgul, ajiy ` szòlsåiks prjtjtîpu-sjl, lîsårbkte njckbbkl szàn` dsöllkhtaktŐ, îiy ` tkrvkzås összkssåiåokh jbdsôoo, iyjrs`oo,
pjhtjs`oo.
0.6. Nkbbålbkt 0.6.0. V`reàdeôszànîtàs nŰvkbkte sz`oàby`e u fòiivåhy, )',,( uu x F F fuhldejhàb.
@ fòiivåhy v`reàdeôg` ̀ hh`l lesnårtålŰ nkivàbtjzt`tàs`, gkbk7 u .@ fuhldejhàb kbsŐ v`reàdeôg`7
''
uu
F u
u
F F
, (0.?6)
tkbgks ceffkrkhdeàg`7
''
' cuu
F cu
u
F cx
x
F F
. (0.?9)
0 F , ? F fuhldejhàb ksktåh fkhhàbb7
?0?0 )( F F F F , (0.?1)
?0?0?0 )( F F F F F F , (0.?5)
??
?0?0
?
0
F
F F F F
F
F
, (0.4=)
F hF F hh 0)( . (0.40)
u fòiivåhyrk fkhhàbb7
cx
cuu
cx
c , (0.4?)
cx xucx xu )()( . (0.44)
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
23/382
0. @ våikskbkn-nôcszkr le`b`lubàsàh`l törtåhktk ?4
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
0.6.?. Kubkr- B`ir`hik ceffkrkhdeàbkiykhbkt Bkiykh7 _ _ f 4 `cjtt fòiivåhy (`b`pfòiivåhy), ås _ _ y nkikhikcktt fòii-våhy, `nkby årtkbnkzåse t`rtjnàhyàh fjbytjhjs`h ckrevàba`tô ^,\ ?00 x xD y ås àtnkiy `
t`rtjnàhy szåbkeh röizîtktt ),( 000 y x ] , ),( ??? y x ] pjhtjljh7 00)( y x y , ?? )( y x y .Klljr nehckh y fòiivåhyakz rkhckbgòl ajzzà ̀ z
?
0
)('),(,^\ x
x
cx x y x y x f y E (0.43)
v`bôs szànjt.
Lkrkssòl `zt `z y fòiivåhyt, `nkbyrk ^\ y E fuhldejhàb st`dejhàreus. (Kiyåo fkbtåtkbkl
nkbbktt szåbsŐ årtålkt vksz fkb).
Bkiykh7 _ _ tktszŐbkiks fòiivåhy, röizîtktt pjhtjll`b
=)()( ?0 x x , (0.4;)
ås _ v`bôs szàn. Klljr ckfeheàba`tô kiy _ _ ? kiyp`r`nåtkrks fòiivåhyskrki7
)()(),( x x y x . (0.46)
x
y
(x, ) y> (x)
x 0 x ?
] ?
] 0
y(x)
0.1. àor`7 @ v`reàdeôs fkb`c`t nkijbcàs` ås v`reàbt iöroåe
(0.43)-o` (0.46)-jt akbykttksîtvk7
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
24/382
?3 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
?
0
?
0
)(')('),()(,)('),(, x
x
x
x
cx x x y x x y x f cx x x x f E . (0.49)
@cjtt )( x fòiivåhy ksktåh E fuhldejhàb ds`l fòiivåhyk. )( E `lljr bksz st`dejhàr e-us (tkbgksîte ` szåbsŐårtål szòlsåiks fkbtåtkbåt), a`
= c
cE , (0.41)
ås
= . (0.45)
@ p`r`nåtkrks ehtkiràbjl ceffkrkhdeàbàse sz`oàby`e szkreht7
='
''
'?
0
?
0
?
0
x
x
x
x
x
x
cx y
f cx
y
f cx
y
f
y
f
c
cE
. (0.3=)
'' y
f
ehtkiràbgàr` ̀ bl`bn`zzul ̀ p`rdeàbes ehtkiràbàs sz`oàbyàt7
?
0
?
0
?
0''''
x
x
x
x
x
x cx y
f
cx
c
y
f
cx y
f
. (0.30)
(0.30) gjoo jbc`bàh`l kbsŐ t`ig` zårus (0.4;) szkreht, khhkl nkifkbkbŐkh (0.3=)-ok akbykt-tksîtvk7
='
?
0
x
x
cx y
f
cx
c
y
f . (0.3?)
Nevkb tktszŐbkiks, îiy `z ehtkiràb ds`l `lljr bkakt zårus, a` ='
y
f
cx
c
y
f
.
Kzt Kubkr-B`ir`hik ceffkrkhdeàbkiykhbkthkl hkvkzzòl.
Oeobejiràfe`
\0^ ]àdzkbt Estvàh, Våikskbkn-nôcszkr ` nårhöle iy`ljrb`to`h, E. lötkt . Nesljbde Kiyk-tkne Le`cô, Nesljbd, 0555.
\?^ Åikrt Gàhjs, Lkppbkr Estvàh, @ våikskbknnôcszkr nkda`hel`e `b`pg`e, [hevkrset`s-IyŐr Lft., IyŐr, ?==9.
\4^ Lôs` @hcràs, V`reàdeôszànîtàs, S`hlöhyvle`cô, Ouc`pkst, 0594.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
25/382
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
?. LJHSEH[[NNKDA@HEL@E @B@]FJI@BN@L.@ _[I@BN@TTÀIS@H CEFFK_KHDEÀBKIUKHBKS-_KHCTWK_K
ÅT ]K_KNÅ_SÅL ]_JOBÅNÀG@.
?.0. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`lNjckbb7 ` vezsiàbt gkbkhsåiakz a`sjhbô`h veskblkcŐ, ̀ hh`l kiyszkrŰsîtktt nàs`.
Tzebàrcsàit`he prjobånàl nkijbcàsàajz szòlsåiòhl v`h7
— ikjnktre`e, — `hy`i-, — l`pdsjb`te (tkrakbås, låhyszkr) njckbbklrk.
@ ikjnktre`e njckbbkl cenkhzeô szkreht bkakthkl7
— = cenkhzeôs7 pjhtszkrŰ tkst, a` kba`hy`ijbgul `z összks ikjnktre`e nårktåt, — 0 cenkhzeôs7 a` kiyel nårktk ` nàsel låt letkrgkcåsåakz låpkst kba`hy`ijba`tô. @
lb`sszelus ruc`l, t`rtôl, ràdsjs szkrlkzktkl, ås ` våikskbkn-nôcszkrokh a`szhàbtvjh`bkbknkl.
— ? cenkhzeôs7 kiy nårktk kba`hy`ijba`tô ` nàsel låt nårktåakz låpkst. Bknkzkl, aåg`l. — 4 cenkhzeôs7 tkstnjckbb, kiyel nårktåt skn a`hy`ijbgul kb. @zjho`h kz bkitöooször
hkn gkbkhte ` tkbgks ikjnktreàt, nkrt ` nkda`hel`e szknpjhtoôb kba`hy`ijba`tô, ck `szànîtàse eiåhy hövkbŐ råszket föbösbkiks ̀ njckbbokh nkigkbkhîtkhe.
Ljhtehuun (tkst) njckbb7 fjbytjhjs (fjbytjhjs`h ckrevàba`tô) fòiivåhykllkb bkîra`tô,tktszŐbkiks szàn÷ (våitkbkh) råszrk fkbjszta`tô njckbb. @ ljhtehuun tkstkl pjhtg`et `cjttljjrcehàt`rkhcszkrokh
l z g ye xr (?.0)
vkltjrr`b îrgul bk.
cx
y
z
cy cz
x
ljhtehuun tkst
kbkne tårfji`t
r
e g
l
?.0. àor`7 Ljhtehuun tkst ås kbkne a`sào
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
26/382
?6 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
Kbkne tkst7 kiy ljhtehuun tkst kbkne (tktszŐbkikskh les nårktŰ) råszk, njckbbtŐb fòiiŐkhkbkne tönki v`iy kbkne tårfji`t.
Nkrkv tkst7 jby`h tkst, `nkby oàrnkby låt pjhtgàh`l tàvjbsài` àbb`hcô. Fòiiktbkhòb `tkrakbås h`iysàiàtôb.
_ui`bn`s tkst7 `b`lvàbtjzàsr` låpks tkst. Skrakbås a`tàsàr` pjhtg`eh`l tàvjbsài` vàbtjzel. Behkàres`h rui`bn`s `hy`injckbb7 ` tkrakbås ås `b`lvàbtjzàs lözt behkàres fòiivåhy-l`pdsjb`t v`h.
Hknbehkàres`h rui`bn`s ̀ hy`injckbb7 ` tkrakbås ås `b`lvàbtjzàs lözt hknbehkàres fòii-våhyl`pdsjb`t v`h.
Låpbålkhy `hy`injckbb7 `z `hy`i ` tkrakbås nkiszŰhåsk utàh hkn hykre vessz` krkckte`b`lgàt. Tzànjs låpbålkhy `hy`injckbb båtkzel ` behkàres ås hknbehkàres ebb. rui`bn`s ås låp -bålkhy tub`gcjhsàijl cjneh`hdeàgàtôb fòiiŐkh.
behkàres`h rui`bn`s hknbehkàres`h rui`bn`s låpbålkhy
?.?. àor`7 @hy`injckbbkl
Ezjtrôp `hy`i7 `z `hy`i veskblkcåsk eràhytôb fòiiktbkh, oàrnkbyel eràhyo`h `zjhjs tub`g-cjhsàijl`t nut`t.
Kbnjzcubàsvkltjr7 ` tkst kiy pjhtgàh`l kbnjzcubàsvkltjr` ` tkst `cjtt pjhtgàh`l tkrak-bås kbŐtte ] ås utàhe ' ] akbyzktåhkl (akbyvkltjràh`l) lòböhosåik.
l w gveuu ] ] ] ] (?.?)
KbnjzcubàsnkzŐ7 ` tkst összks pjhtgàh`l kbnjzcubàsvkltjr` ` (?.0) akbyvkltjr fòii-våhyåokh.
l r w gr ver ur u )()()()( (?.4)
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
27/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l ?9
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
Les kbnjzcubàs7 ` tkst pjhtg`eh`l kbnjzcubàs` kba`hy`ijba`tô`h ledse ` tkst ikjnktre`enårktkeakz låpkst.
Lehkn`tel`e pkrknfkbtåtkbkl7 ` tkst esnkrt (v`iy kbŐîrt) kbnjzcubàs`e. Ceh`nel`e pkrknfkbtåtkbkl7 ` tkst esnkrt (v`iy kbŐîrt) tkrakbåske. @b`lvàbtjzàs7 ` tkst kiyks pjhtg`eh`l kiynàsajz låpkst törtåhŐ f`gb`ijs (kiysåihye
ajsszr` vjh`tljzô) kbnjzcubàs`.
— f`gb`ijs hy÷bàs7 ` vkltjr ajsszàh`l nkivàbtjzàs ,̀ — szöitjrzubàs7 `z kiynàsr` nkrŐbkiks tkhikbykl szöivàbtjzàs` (?.3.o. àor`), ` szöi-
tjr zubàs szennktrelus. — @ nkrkvtkst-szkrŰ njziàst (?.3.`. àor`) hkn vksszòl feiykbknok.
y
z x
r ]
]
]―
u ]
tkrakbås kbŐtt
tkrakbås utàh
r ]―
?.4. àor`7 Kbnjzcubàsvkltjr
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
28/382
?1 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@b`lvàbtjzàse vkltjr7 `cjtt eràhy÷ kiysåivkltjr kbtjbôcàsàt bkîrô vkltjr. l ge ,,
kiysåivkltjrjll`b (treåckr) årtkbnkzvk7
l ge` xz xy x x ?
0
?
0 , (?.3)
l ge` yz y yx y ?
0
?
0 , (?.;)
l ge` z zy zx z ?
0
?
0, (?.6)
`ajb
zx xz zy yz yx xy ,, .
@ vkltjrjl ljjrcehàtàeh`l tub`gcjhsài`e7
— f`gb`ijs hy÷bàsjl7 z y x ,, nårtålkiysåi håblòbe gkbbknzŐl,
= , ` ajssz hövklszel,= , ` ajssz dsöllkh.
— szöitjrzubàsjl7 xz yz xy ,, nårtålkiysåiòl r`ceàh
= , ` szöi dsöllkh, = , ` szöi hövklszel.
]
x
y
x
]― ]―
y
0
y
yx
xy xy yx> +
`) o)
?.3. àor`7 Nkrkvtkst- szkrŰ njziàs ås `b`lvàbtjzàs x- y sîlo`h
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
29/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l ?5
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
@b`lvàbtjzàse àbb`pjt7 `cjtt pjhto`h `z összks eràhyajz t`rtjzô `b`lvàbtjzàse vkltjrjlösszkssåik. Bkîràs` bkaktsåiks7 kiysåiljdl` treåckråhkl `b`lvàbtjzàse vkltjr`ev`b, `b`l -vàbtjzàse tkhzjrr`b, Njar -löröh.
Skhzjr7 behkàres, ajnjiåh vkltjr -vkltjr fòiivåhy. Bkîràs` ce`celus fjrnào`h v`iy `cjttljjrcehàt`rkhcszkrokh ckfeheàbt nàtrexsz`b.
@b`lvàbtjzàse tkhzjr7 rui`bn`s tkst `cjtt pjhtgàh`l `b`lvàbtjzàse àbb`pjtàt îrg` bk ÷iy,ajiy tktszŐbkiks eràhyajz ajzzàrkhckbe `z `cjtt eràhy `b`lvàbtjzàse vkltjràt. @cjttljjrcehàt`rkhcszkrokh bkîrt vkltjraàrn`ss`b ckfeheàba`tô ce`celus v`iy nàtrexjs fjrnào`h.
— Ce`celus fjrnào`h7
l ` g`e` z y x . (?.9)
— Nàtrexjs fjrnào`h7
z yz xz
zy y xy
zx yx x
?
0
?
0?
0
?
0 ?
0
?
0
, (?.1)
`nkby jszbjp`eo`h x, y, z eràhyajz t`rtjzô ̀ b`lvàbtjzàse vkltjrjl ljjrcehàtàe szkrkpkbhkl. h kiysåivkltjrr`b ckfeheàbt eràhyajz t`rtjzô h` `b`lvàbtjzàse vkltjr7
h` h . (?.5)
z
x
xe
g
l
y
z
xy?
0
xz ?0
yx?
0
yz ?
0
zx?0
zy?0
?.;. àor`7 @b`lvàbtjzàse àbb`pjt `b`lvàbtjzàse vkltjrljjrcehàtàll`b
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
30/382
4= Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@b`lvàbtjzàse tkhzjrnkzŐ7 ` tkst összks pjhtgàh`l `b`lvàbtjzàse tkhzjr` ` akbyvkltjrfòiivåhyåokh.
r r r
r r r
r r r
r
z yz xz
zy y xy
zx yx x
?
0
?
0?
0
?
0?
0
?
0
(?.0=)
Fkszòbtsåi7 ` tkst okbsŐ fkbòbktåh nkijszbô krŐrkhcszkr sŰrŰsåivkltjr` (ehtkzetàs`).
Nårtålkiysåik7 ]`n
H 00
? .
Fkszòbtsåivkltjr7 ` fkszòbtsåikt fkszòbtsåivkltjrr`b `cgul nki. @cjtt pjhto`h, h
eràhyajz, c@ fkbòbktkbknakz rkhckbth
fkszòbtsåivkltjr7
c@
F c h
. (?.00)
— @cjtt fkbòbktkh ` fkszòbtsåivkltjr fkbòbktrk nkrŐbkiks ljjrcehàtàgàt hjrnàbfkszòbtsåihkl hkvkzzòl, gkbk7 .
= , a÷zàs ksktåh, = , hyjnàs ksktåh.
— @ fkszòbtsåivkltjr fkbòbkttkb pàrauz`njs ljjrcehàtàet ds÷szt`tô fkszòbtsåiklhklhkvkzzòl, gkbk7 .
l ge ,, vkltjrjll`b ckfeheàbt fkbòbktklkh ̀ fkszòbtsåivkltjrjl7
l ge xz xy x x , (?.0?)
l ge yz y yx y , (?.04)
l ge z zy zx z , (?.03)
`ajb zx xz zy yz yx xy ,, .
Fkszòbtsåiàbb`pjt7 `cjtt pjhto`h `z összks eràhyajz t`rtjzô fkszòbtsåivkltjrjl összks-såik. Bkîràs` bkaktsåiks7 kbkne a`sàojh fkszòbtsåivkltjrjl ljjrcehàtàev`b, fkszòbtsåie tkh-zjrr`b, Njar-löröh.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
31/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l 40
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
Fkszòbtsåie tkhzjr7 rui`bn`s tkst `cjtt pjhtgàh`l fkszòbtsåiàbb`pjtàt îrg` bk ÷iy, ajiytktszŐbkiks eràhyajz ajzzàrkhckbe `z `cjtt eràhy fkszòbtsåie vkltjràt. @cjtt ljjrcehàt`-rkhcszkrokh bkîrt vkltjraàrn`ss`b ckfeheàba`tô ce`celus v`iy nàtrexjs fjrnào`h.
— Ce`celus fjrnào`h7
l ge z y x
. (?.0;)
— Nàtrexjs fjrnào`h7
z yz xz
zy y xy
zx yx x
. (?.06)
h kiysåivkltjrr`b ckfeheàbt eràhyajz t`rtjzôh
fkszòbtsåivkltjr7
hh
. (?.09)
Fkszòbtsåie tkhzjrnkzŐ7 ` tkst összks pjhtgàh`l fkszòbtsåitkhzjr` ` akbyvkltjrfòiivåhyåokh.
r r r
r r r
r r r
r
z yz xz
zy y xy
zx yx x
(?.01)
z
x
x xz
xy
yx
zy
yz
zx
y
z
?.6. àor`7 Fkszòbtsåiàbb`pjt kbkne a`sàojh
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
32/382
4? Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@ fkszòbtsåie ås `b`lvàbtjzàse tkhzjr kbknkehkl ehckxkbåsårk ` oknut`tjttajz låpkst fjrcîtjtt sjrrkhc es a`szhàb`tjs.
KrŐ nuhlàg`7 kiy krŐ r c kbnjzcubàs` sjràh r c F kbkne nuhlàt våikz (` ?.9 àoràhbàta`tô ` sl`bàr szjrz`t ikjnktre`e årtkbnkzåsk, `z krŐt `z krŐ eràhy÷ kbnjzcubàs ljnpj-
hkhsskb szjrjzzul). Våiks kbnjzcubàs sjràh ` våizktt nuhl` `z kbkne nuhlàl összkik7
r c r F Y
r
r
?
0
)( (?.05)
OkbsŐ khkrie`7 (`b`lvàbtjzàse khkrie`) ` okbsŐ krŐl nuhlàg`
cV [ V
xz xz yz yz xy xy z z y y x x ?0
(behkàres kskt) (?.?=)
KbŐàbbîta`tô ̀ fkszòbtsåi ås `b`lvàbtjzàse tkhzjr lkttŐs sl`bàr szjrz`t`låht7
cV [ V ?
0 (?.?0)
A`nebtjh-fåbk jpkràtjr7 (h`ob` jpkràtjrvkltjr) jby`h vkltjr, `nkbyhkl nehckh ljjr ce-hàtàg` `z `cjtt ljjrcehàt` szkrehte p`rdeàbes ckrevàbàse ut`sîtàs. CkrålszöiŰ cksd`rtks-e ljjr-cehàt`rkhcszkrokh7
l z
g y
e x
. (?.??)
Akhikr (pjbàr) ljjrcehàt`rkhcszkrokh7
r 0
x
y
z
r
r ?
r r +c
F
F
cr
c r F
cY> c >Frdjs >Fcr F r F
?.9. àor`7 KrŐ nuhlàg`
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
33/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l 44
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
z _ k z
k _
k _
0. (?.?4)
?.?. _ui`bn`ssàit`h ceffkrkhdeàbkiykhbkt-rkhcszkrk ås pkrknårtål prjobånàg` ?.?.0. Kiykhs÷bye kiykhbktkl@z kiykhs÷bye kiykhbktkl ` tkstrk a`tô )(r q tårfji`te tkrakbåsnkzŐ ås ` r fkszòbtsåietkhzjrnkzŐ lözte l`pdsjb`tjt îrgàl bk.
A` kiy tkst okbskgåokh levàb`sztjtt kbkne tkst hyui`bjno`h v`h, `lljr lòbsŐ (?.1.` àor`) ås okbsŐ (?.1.o àor`) tkrakbåske kiykhs÷byo`h v`hh`l. @z x eràhy÷ tkrakbåsklkt nkivezsiàbv`(?.5.` àor`) bàta`tgul, ajiy a` hehds lòbsŐ tkrakbås, `lljr ` okbsŐ krŐl (fkszòbtsåikl) ` tkstnkifkbkbŐ jbc`b`eh kiyfjrn` h`iysài÷`l ås kbbkhtåtks årtkbnŰkl. @ vàbtjzàst ` tkstrk a`tôlòbsŐ tårfji`te tkrakbås jljzz`. @ fkszòbtsåi fkbòbktkh nkijszbô okbsŐ krŐ, kzårt àt lkbbszànît`he `z kbkne tårfji`tr`. @ x ` cycz fkbòbktkh åorkc, tårfji`te tkrakbås `lljr bksz, a`
cx åbajssz`b kbjsztgul. Kaakz a`sjhbô`h ` zx fkszòbtsåikt cz , ` yx fkszòbtsåikt cy åb-ajssz`b lkbb jszt`he. Klljr `z kbkne tkstrk a`tô összks x eràhy÷ tårfji`te krŐ kiykhs÷byo`hv`h7
=
x
yx yx yx zx zx zx x x x qcycycz cz cxcx
. (?.?3)
y
z
cV
x
r
e g
l
q(r)
`)
z
x
x xz
xy
yx
zy
yz
zx
y
z
o)
?.1. àor`7 Kbkne tkst tkrakbåske
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
34/382
43 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@ fkszòbtsåikl vàbtjzàs`e `z `cjtt eràhy÷ p`rdeàbes ckrevàbtt`b îra`tô`l bk7 cx x
x x
,
cz z
zx zx
, cy y
yx
yx
, `nkbyklkt (?.?3)- ok akbykttksîtvk l`pgul7
=
x zx yx x q
z y x
. (?.?;)
Khhkl `h`bôieàgàr` ` nàsel låt eràhyo`h7
=
y
zy y xyq
z y x
, (?.?6)
=
z z yz xz q
z y x
. (?.?9)
@ (?.?;)-(?.?9) kiykhbktkl ` cksd`rtks-e ckrålszöiŰ ljjrcehàt`rkhcszkrokh fkbîrt
kiykhs÷bye kiykhbktkl.
@z kiykhs÷bye kiykhbktkl àbt`bàhjs nkifji`bn`zàsàajz vkiyòhl kiy tkstkh okbòbe V tårfji`tråszt ̀ ?.0=. àoràh`l nkifkbkbŐkh.
`) o)
z
x
x
yx
zx
zx
yx
x
z
x
x+ x
yx+ yx
zx+ zx
zx
yx
xq x
cxcz
cy
?.5. àor`7 Kbkne tkst x eràhy÷ tkrakbåske
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
35/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l 4;
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
@ cV tårfji`t÷ kbkne tkstrk a`tô tårfji`te tkrakbåsoŐb szàrn`zô kbkne krŐ7
cV q F c .
@ c@ kbkne fkbòbktkh `h
fkszòbtsåivkltjroôb szànîtjtt kbkne krŐ7
c@hc@ F c h .
@ V okbsŐ tkst kiykhs÷byo`h v`h, tkaàt ` rà a`tô fkbòbkte ås tårfji`te tkrakbåskloŐbszàrn`zô krŐl összkik zårus7
@V
c@hcV q F = . (?.?1)
@ I`uss-Jsztrjir`cszleg-fåbk ehtkiràbàt`b`lîtàse tåtkb szkreht7
cV c@hV @
.
Kzt akbykttksîtvk (?.?1)-o`7
cV cV qV V
= ,
` t`ijhlåhte ehtkiràbt összki ehtkiràbgàvà ̀ b`lîtv`7
cV
y
z
c@
x
k s t r ji`tr sz
r
V @
y
z x
r
hq r ( )
h
`) o)
?.0=. àor`7 Skstkh okbòbe V tårfji`tråsz fkbòbkte ås tårfji`te tkrakbåske
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
36/382
46 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
cV qV
= (?.?5)
Nevkb ` V tårfji`t tktszŐbkiks bkakt, kzårt (?.?5) ds`l `z ehtkir`hcusz zårus årtålk nkbbktt
ei`z, ̀ nkby összkfòiiås ̀ rui`bn`ssàit`h kiykhs÷bye kiykhbktk.
= q . (?.4=)
?.?.?. Ikjnktre`e kiykhbktkl@ ikjnktre`e (lehkn`tel`e) kiykhbktkl `z )(r u kbnjzcubàse vkltjrnkzŐ ås `z r `b`l-
vàbtjzàse tkhzjrnkzŐ l`pdsjb`tàt îrgàl bk. Cksd`r tks-e ckrålszöiŰ ljjrcehàt`rkhcszkrokh,
y x sîlo`h kiy kbkne ljdl` ckfjrnàdeôgàt bàtgul ` ?.00. àoràh.
Sklehtsòhl kb ` nkrkvtkst-szkrŰ njziàstôb, ås ds`l ` ] ås P pjhtjl kiynàsajz låpkste
kbnjzcubàsàt vezsiàbgul. Kiynàsr` vktîtvk ` ] ås ` ' ] pjhtjl`t, ` ]P sz`l`sz ajsszàh`l
vàbtjzàs` ` 'PP vkltjr, `nkbykt l cw gcvecuuc kbkne kbnjzcubàsvkltjrr`b
gkböbòhl. Tîlo`h khhkl låt ljjrcehàtàg` cu ås cv . Nehclåt ljjrcehàt` låt råszrk ojhta`tô
y x cucucu , x y cvcvcv .
xcu 7 ` cx åb hy÷bàsàoôb ( x fòiivåhyk),
ycu 7 ` cy åb tjrzubàsàoôb ( y fòiivåhyk), kzårt
] x
xy xy yx> +
cucx
cv
cy yx
xy
xy
cu x cu y
cu y
cv x
cv y
cv x
P―
]―
P cu
?.00. àor`7 @b`lvàbtjzàsjl ikjnktre`e ehtkrprktàdeôg`
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
37/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l 49
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
=
cx
cu
x
u
x
u
x
u x y x ås cy
cu
y
u
y
u
y
u y y x
= .
ycv 7 ` cy åb hy÷bàsàoôb ( y fòiivåhyk), xcv 7 ` cx åb tjrzubàsàoôb ( x fòiivåhyk), kzårt
=
cx
cv
x
v
x
v
x
v x y x ås cy
cv
y
v
y
v
y
v y y x
= .
@ ?.00. àor` `b`pgàh ` f`gb`ijs hy÷bàsjl cx
cu x x ,
cy
cv y y , ås ` szöitjrzubàs7
cycu
cxcv
cycu
cxcv y x y x
yx xy xy `rdt`h`rdt`h .
Fkba`szhàbv` ̀ z kbnjzcubàsvkltjrr` fkbîrt p`rdeàbes ckrevàbt`l`t7
x
u x
,
y
v y
,
y
u
x
v yx xy
.
Kz nehcaàrjn sîlo`h kbvåikzaktŐ, `nehkl krkcnåhyklåht nkil`pgul cksd`rtks-eckrålszöiŰ ljjrcehàt`rkhcszkrokh ̀ ikjnktre`e kiykhbktkl kt7
x
u x
, y
v y
, z
w z
, (?.40)
y
u
x
v yx xy
, y
w
z
v zy yz
, z
u
x
w zx xz
. (?.4?)
@ ikjnktre`e kiykhbktklkt àbt`bàhjs fjrnào`h es nki tucgul fji`bn`zhe. Kaakz vezsiàbgulnki kiy szebàrc tkst låt — kiynàstôb lkzcktokh l cz gcyecxr c kbkne tàvjbsàir` båvŐ —
pjhtgàh`l akbyzktåt tkrakbktbkh ås tkrakbt àbb`pjto`h. @z `b`lvàbtjzàs ckfehîdeôg` szkreht kzkhlåt pjht kiynàsajz låpkste akbyzktåhkl nkivàbtjzàsàt lkbb bkîrhuhl .
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
38/382
41 Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
@ ] ås P pjhtjl rkb`tîv kbnjzcubàs` ` låt pjht kbnjzcubàsàh`l lòböhosåik7
] ] P uuuuu .
KooŐb P kbnjzcubàs`7
uuu ] . (?.44)
@ ] pjht lörhykzktåokh `z z y xu ,, kbnjzcubàsfòiivåhyt lözkbîtsòl ] -rk îrt S`ybjr -sjr skiîtsåiåvkb7
y
z
x
r ]
]
]― u ]
tkrakbktbkh àbb`pjt
tkrakbt àbb`pjt
r ]―
P
P―
uP
cr
c ― r
?.0?. àor`7 Kbnjzcubàs ås `b`lvàbtjzàs
] ]―
u ]
P
P―
uP> u
cr
c ― r
u ]
u
cr
?.04. àor`7 Kbnjzcubàs ås ̀ b`lvàbtjzàse vkltjrjl
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
39/382
?. Ljhtehuunnkda`hel`e `b`pfji`bn`l 45
© Jbc`b Estvàh, TWEK www.t`hljhyvt`r.au
uc ucx x
ucz
z
ucy
y
ucx
x
uur u ]
] ] ] ]
]
...?
0 ??
?
. (?.43)
@ (?.44) ås (?.43)- oŐb lövktlkzel, ajiy ] pjht lörhykzktåokh `z kbnjzcubàsceffkrkhdeàg` ås ceffkrkhdeàbtg` lözkbîtŐbki nkikiykzel. Les kbnjzcubàsjl ksktåh ` n`i`s`oorkhcŰ t`ijl`t kba`hy`ijbv`7
cz z
ucy
y
ucx
x
uuc u
] ] ]
.
Feiykbknok våvk r c ecx , r c gcy , r c l cz kiykhbŐsåiklkt, v`b`neht ` sl`bàres
ås ce`celus szjrz`t lözte do`do` dsjpjrtjsîta`tôsàie sz`oàbyt, ̀ z kbnjzcubàsnkzŐkbkne nkivàbtjzàs 7̀
r c l z
u g
y
ue
x
ur c l
z
ur c g
y
ur c e
x
uuc
] ] ] ] ] ]
.
Fkba`szhàbv` ̀ A`nebtjh-fåbk jpkràtjrt7
r c uuc . (?.4;)
@ajb uS `z kbnjzcubàsnkzŐ ckrevàbt tkhzjr`, `nkby fkbojhta`tô szennktrelus ås
`htenktrelus (fkrckszennktrelus) tkhzjr összkiårk.
S uuuuS S S S S S S
?
0
?
0
?
0
?
0
@ szennktrelus råsz `z kbkne tkst `b`lvàbtjzàsàt îrg` bk, `z `htenktrelus råsz pkcei `z kbk -ne tkst szöikbfjrcubàsàt. @z `b`lvàbtjzàse tkhzjr kbnjzcubàsnkzŐoŐb törtåhŐ szàrn`zt`tàsàtbkîrô kiykhbktkt
uu ?0
(?.46)
ikjnktre`e kiykhbkthkl hkvkzzòl.
@ tkhzjrkiykhbkthkl nkifkbkbŐ sl`bàres kiykhbktkl ` cksd`rtks-e ckrålszöiŰ ljjrcehàt`-rkhcszkrokh, ` nàr ljràoo`h fkbîrt (?.40) ås (?.4?) kiykhbktkl.
@ ikjnktre`e kiykhbktkl kiy nàsel `b`lg` ` T`eht-Vkh`ht-fåbk ljnp`teoebetàse kiykhbkt7 = . @ ljnp`teoebetàs vjh`tljzel ` szjnszåcjs kbkne råszklrk es, nkrt `z `hy`i
fjbytjhjssài` nkbbktt ̀ szjnszåcjs kbnjzcubàsjlh`l nki lkbb kiykzheòl.
8/15/2019 dr. Kovács Ádám, dr. Szekrényes András, Moharos István, dr. Oldal István - Végeselem-módszer [2011]
40/382
3= Våikskbkn-nôcszkr
www.t`hljhyvt`r.au © Jbc`b Estvàh, TWEK
?.?.4. @hy`ikiykhbktkl@z `hy`ikiykhbktkl ` fkszòbtsåie ås `b`lvàbtjzàse àbb`pjt lözte l`pdsjb`tjt îrgàl bk. @ ?.?.àor�