21.10.2013.

1

DSP TRANSFORMACIJE

Matematifki izraz transformacija, intenzivno se koristi u DSP. Fazorska transformacija, Fourierova

transformacija, Laplaceova transformacija, Z transformacija, Hilbertova transformacija, Wavelet transformacija,…itd.

Što je transformacija?

SPIE09 Obrada zvučnih signala 01_03. DSP transformacije

Ozren Bilan, viši predavaf

1. UVOD 1.1. Kontinuirani i diskretni signali i DSP 1.2. Analiza u vremenskom i frekvencijskom podrufju 1.3. DSP transformacije 1.4. Projektiranje digitalnih filtera 2. Zvufni signali visoke razlufivosti HD Audio 3. Digitalna obrada govora 4. Sažimanje zvufnih datoteka 5. Uvod u obradu zvufnih signala umjetnim neuralnim mrežama 6. Uvod u obradu i analizu zvufnih signala va lidem Wavelet

7. Razlike DSP i procesora 30 sati predavanja + 30 sati laboratorijskih vježbi

Svi MATLAB kodovi nalaze se u skripti LAB VJEŽBE DOZS

Što je transformacija? Da bi odgovorili na ovo pitanje moramo znati što je funkcija.

Funkcija je algoritam ili postupak koji mijenja jednu vrijednost u drugu. Funkcija je izraz y=2x+1. Izaberemo vrijednost za x, uvrstimo je u jednadžbu i dobijemo vrijednost y. Funkcija može mijenjati nekoliko vrijednosti istovremeno u jednu vrijednost, kao y =2a+3b+4c, gdje se a, b, i c mijenjaju u y.

To je transformacija koji omogudava da ulaz i izlaz imaju višestruke vrijednosti. Pretpostavimo signal sastavljen od 100 uzoraka. Ako netko postavi jednadžba, algoritam ili postupak za promjenu tih 100 uzoraka u drugih 100 uzoraka, postavio je transformaciju. Transformacije se ne ogranifavaju na ogranifeni specififan tip ili broj podataka. Npr., može biti 100 uzoraka diskretnih podataka za ulaz i 200 uzoraka diskretnih podataka za izlaz. Slifno tome, može biti ustaljen (kontinuiran) signal za ulaz i ustaljen (kontinuiran) signal za izlaz. Dozvoljeni su i miješani signali; npr., diskretan ulaz, a ustaljen (kontinuiran) izlaz ili obrnuto.

Transformacija je bilo koja procedura koja skup jednih podataka mijenja (transformira) u skup drugih podataka

PRI TOME JE BITNO DA DRUGI SKUP OLAKŠAVA RAD.

2 Ozren Bilan

Zašto pri dekompoziciji signala koristimo baš sinusoide, a ne kvadratni ili trokutasti val? Postoji beskonafni broj nafina na koji se neki signal može rastaviti. Cilj nam je uvijek dobivanje nečeg što je jednostavnije od izvornog signala. Tako impulsna dekompozicija omogudava provjeru signala tofku po tofku, što dovodi do vrlo snažne tehnike konvolucije.

Sinusne i kosinusne komponente su jednostavnije od izvornog signala jer posjeduju svojstvo koje nema izvorni

signal: sinusoidalnu vjernost. Pokazali smo da sinusoidalni ulaz u sustav jamči sinusoidalni izlaz. Mogu se promijeniti samo amplituda i faza signala; frekvencija i valni oblik MORAJU ostati isti. Sinusoidalni valovi su jedini valni oblici koji imaju ovo korisno svojstvo. Iako su kvadratna i trokutna dekompozicija mogude, ne postoji ni jedan razlog zbog kojeg bi to bilo korisno.

3 Ozren Bilan

Uvod u kompleksne transformacije

Kompleksni brojevi imaju svojstvo predstavljanja i obrade dvije varijable kao jedne veličine. To je korisno za Fourierovu analizu kod koje je frekvencijsko podrufje sastavljeno od dva signala – realnog i imaginarnog dijela. Kompleksni brojevi smanjuju broj jednadžbi koji se koriste u DSP i omogudavaju tehnike koje bi bile vrlo teške ili neizvedive s realnim brojevima. Brza Furierova transformacija temeljena je na kompleksnim brojevima. Međutim kompleksne tehnike su vrlo složene i zahtijevaju veliku praksu i znanje kako bi se ufinkovito koristile. Slijededa poglavlja analizirat de važne postupke temeljene na kompleksnim brojevima: kompleksnu Furierovu transformaciju, Laplaceovu transformaciju i z-transformaciju.

Navedene kompleksne tehnike su sama bit teoretske DSP.

Kompleksni brojevi u eksponencijalnom obliku su okosnica DSP matematike. Prednost eksponencijalnog prikaza u polarnom obliku je taj što je pojednostavljeno množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva:

Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva.

Kompleksni brojevi u polarnom obliku množe se tako da im se pomnože magnitude i sumiraju fazni kutovi. Najlakši nafin zbrajanja i oduzimanja u polarnom obliku je pretvorba u ortogonalni oblik, izvođenje operacije i ponovna pretvorba u polarni oblik. Kompleksni brojevi obifno se izražavaju pri rafunalskim rutinama u ortogonalnom obliku, a u polarnom obliku pri pisanju i rješavanju jednadžbi. Kao što se Re( ) i Im( ) koriste pri dobivanju ortogonalnih komponenti kompleksnog broja, operatori Mag( ) i Faza( ) koriste se za ekstrakciju polarnih; ako je A =5ej/7 , tada je Mag(A)=5 i Faza(A)=/7 .

Supstitucija dva realna fizifka parametra smješta u realan dio i imaginarni dio kompleksnog broja. To omogudava da sa dvije vrijednosti istovremeno manipuliramo kao s jednom vrijednosti, tj., kompleksnim brojem. Nakon potrebnih matematifkih operacija, kompleksni broj se dijeli u svoj realan i imaginarni dio, koji odgovaraju fizifkim parametrima koje obrađujemo.

Evo najjednostavnijeg primjera. Vektori mogu predstavljati silu, brzinu, ubrzanje, itd. Zamislimo jedrilicu koju u jednom smjeru gura vjetar, a u drugom smjeru morske struje. Rezultanta je suma dva vektora, što pokazuje slika : dva vektora, A i B, sumirana su paralelogramom u C. Problem možemo predstaviti kompleksni brojevim tako da koordinatu istok/zapad smjestimo u realni dio, a koordinatu sjever/jug u imaginarni dio. To nam dopušta da svaki vektor promatramo kao jedan kompleksni broj, iako je sastavljen od dva dijela. Npr. silu vjetra, vektor A, možemo prikazati kao smjer 2 dijela na istok i 6 dijelova na sjever, što prikazujemo kao kompleksni broj: 2+6j. Slifno tome, sila morskih struja, vektor B, može biti u smjeru 4 dijela na istok i 3 dijela na jug, što prikazujemo kompleksnim brojem: 4-3j. Ta dva vektora sumiramo jednadžbom što daje kompleksni broj koji predstavlja vektor C: 6+3j. Fizikalno znafenje je: kombinirana sila na brod je u smjeru 3 dijela sjeverno i 6 dijelova istočno.

Bit je što SJEVER i JUG nisu KOMPLEKSNE VRIJEDNOSTI.

Realna os

Imag

inar

na

os

2, 6

4, -3

6, 3

21.10.2013.

2

Problem se može riješiti i bez kompleksnih brojeva fija primjena predstavlja formalizirani nafin prikaza dvije komponente u jednom vektoru. Treba samo zapamtiti da se fizikalni problem može pretvoriti u kompleksni oblik dodavanjem j jednoj od komponenti. Pretvorba na stvarni fizikalni problem sastoji se samo u ispuštanju j. To je bit postupka supstitucije. Pitanje je kako znamo da se takav postupak može primijeniti? Jednostavno, držat demo se primjera koji su matematifari ved primijenili i za koje je dokazano da funkcioniraju i primjenjiva su na kompleksnu analizu jer pokazana pravila nisu uvijek primjenjiva.

Sumiranje vektora kompleksnim brojevima. Vektori A i B predstavljaju izmjerene sile u odnosu na sjever/jug i istok/zapad. Silu u smjeru istok/zapad supstituiramo realnim dijelom kompleksnog broja, a smjeru sjever/jug imaginarnim dijelom. Supstitucija dopušta primjenu kompleksne matematike na cjeloviti realni problem.

Kompleksni prikaz sinusne funkcije Kompleksni brojevi vrlo su korisni u elektronici i obradi signala jer na kompaktan nafin predstavljaju i manipuliranju svim: sinusnim i cosinusnim valnim oblicima. Uobifajeni nafin prikaza sinusoide je: Mcos(ωt+φ) ili Acos(ωt)+Bsin(ωt), u polarnom i ortogonalnom obliku. Potrebno je uofiti kako smo prikazali frekvenciju pomodu ω, prirodne frekvencije u rad/s. Zamijenimo li ω s 2Πf dobili bi izraze u Hz. Međutim, DSP matematika piše se korištenjem skradenog prikaza pa se na to potrebno naviknuti. Bududi da su potrebna dva parametra kako bi prikazali sinusoidu (tj., A i B ili M i φ) bit de prirodno korištenje kompleksnih brojeva. Koristedi supstituciju, promjena prikaza sinusnog valnog oblika korištenjem kompleksnih brojeva je vrlo jednostavna. U ortogonalnom obliku vrijedi: gdje se Aa, i B-b. Amplituda cosinus vala postaje realan dio kompleksnog broja, a negativna amplituda sinusnog vala imaginarni dio. Važno je uofiti da taj oblik ne predstavlja jednažbu nego nafin kojim kompleksnim brojem možemo predstaviti sinusoidu. Supstitucija se može primijeniti i u polarnom obliku: gdje MM i θ-φ. Pri polarnom prikazu supstitucija ne mijenja amplitudu, a mijenja predznak faznog kuta. Možemo se upitati zašto mijenjamo predznak imaginarnog dijela i faznog kuta? Razlog je u tome što supstitucija onda poprima isti oblik kao i kompleksna Fourierova transformacija koju demo opisati. Tehnike supstitucije prikazane u ovom poglavlju ne dobivaju ništa od promjene predznaka, međutim tako se postupa kako bi zadržali konzistentnost s naprednim postupcima.

Korištenje kompleksnih brojeva pri prikazu sinusoida je uobifajena tehnika u analizi sklopova i DSP. Tome je razlog što su zakoni i pravila kojima se pokorava sinusoida isti kao i oni kojima se pokoravaju kompleksni brojevi. Drugim rijefima, sinusoidu možemo predstavit kompleksnim brojevima, izvršiti brojne matematičke manipulacije i konačno dobiti iste rezultate kao da smo radili sa sinusnim funkcijama ali na mnogo lakši način. Međutim, potrebno je obratiti pozornost da je mogude korištenje samo onih matematifkih operacija koje pravilno zamjenjuju fizikalni problem. Tako ako kompleksne varijable A i B, predstavljaju dvije sinusoide iste frekvencija razlifitih amplituda i faznih pomaka, sumom dva kompleksna broja dobit demo tredi. On de predstavljati tredu sinusoidu. Dakle, kompleksno zbrajanje usklađeno je s ponašanjem fizifkog sustava. Ako pomnožimo kompleksne brojeve A i B, dobivamo tredi kompleksni broj; međutim, kompleksno množenje nije usklađeno s fizifkim sustavom jer množenje dvije sinusoide ne daje tredu sinusoidu. To je razlog zbog kojeg ga ne smijemo koristiti. Sve ispravne operacije vrlo su jasno definirane. Moraju biti zadovoljena dva uvjeta. Prvo, sve sinusoide moraju biti iste frekvencije. Npr., ako kompleksni brojevi: 1+1j i 2+2j predstavljaju sinusoide iste frekvencije, onda de suma dvije sinusoide biti prikazana kompleksnim brojem: 3+3j. Međutim, ako 1+1j i 2+2j predstavljaju sinusoide razlifitih frekvencija, nije mogude ništa razumno dobiti kompleksnim prikazom. U tom slufaju suma kompleksnih brojeva, 3+3j je besmislena jer ne predstavlja rješenje fizikalnog problema. Usprkos ovome, frekvenciju možemo ostaviti kao varijablu pri korištenju kompleksnih brojeva, ali mora uvijek biti iste frekvencije. Drugi zahtjev je da prikazane operacije moraju biti linearne. Tako sinusoide možemo kombinirati zbrajanjem i oduzimanjem, a ne možemo množenjem ili dijeljenjem. Slifno tome, sustavi mogu biti pojafala, atenuatori, visokopropusni i niskopropusni filtri, a ne mogu biti sklopovi za kvadriranje, odrezivanje i detekciju praga.

Treba zapamtiti da konvolucija i Fourierova analiza vrijede samo za linearne sustave.

Kompleksni prikaz sustava

Pokazat demo primjer korištenja kompleksnih brojeva pri predstavljanju propusta sinusne funkcije kroz linearni sustav. U primjeru koristimo ustaljen (kontinuiran) signal iako se diskretni signali obrađuju na isti nafin. Bududi da je ulazni signal sinusna funkcija, a sustav je linearan na izlazu de također biti sinusna funkcija iste frekvencije. U našem primjeru ulazni signal možemo konvencionalno predstaviti izrazom 3cos(ωt+Π/4) ili ekvivalentnim izrazom: 2.1213cos(ωt)-2.1213sin(ωt). Ako -jΠ/4 prikažemo kompleksnim brojem: 3e-jΠ/4 ili 2.1213+j2.1213. Slifno tome, konvencionalno prikazan izlaz je: 1.5cos(ωt-Π/8) ili alternativno: 1.3858cos(ωt)+ 0.5740sin(ωt). Prikažemo li jΠ/8 kompleksnim brojem: 1.5ejΠ/8 ili 1.3858 - j 0.5740 .

Karakteristike sustava mogu se prikazati kao kompleksni broj. Magnituda kompleksnog broja je magnituda ulaza i izlaza (tj., Mout/Min). Slifno tome, kut kompleksnog broja je negativna razlika ulaznog i izlaznog kuta (tj., -*Φout-Φin]). U ovom primjeru, sustav opisuje kompleksni broj 0.5ej3Π/8. Drugim rijefima, amplituda sinusoide smanjena je 0.5, a fazni kut je promijenjen za -3Π/8 .

Kompleksni broj koji predstavlja sustav mogude je pretvoriti u ortogonalni oblik: 0.1913 - j0.4619, ali potrebna je pomnjivo interpretirati znafenje. To ne znafi da se sinusoida propuštena kroz sustav promijenila amplitudno 0.1913 niti da je kosinusoida promijenjena -0.4619.

Opdenito vrijedi da se fisti sinusna ili kosinusna funkcija koja uđe u linearni sustav pretvara u mješavinu sinusnih i kosinusnih funkcija.

ulazni signal izlazni signal

Sinusoide predstavljene kompleksnim brojevima. Kompleksni brojevi se koriste u DSP i elektronici jer su prikladni nafin predstavljanja i manipulacije sinusoidama. Primjer pokazuje kako se sinusoidalni ulazni i izlazni signal mogu predstaviti kao kompleksni brojevi, izraženi u polarnom ili ortogonalnom obliku. Uz to, promjena koja linearni sustav pretvara u sinusoidalan također se predstavlja kao kompleksni broj.

LINEARNI SUSTAV

ili ili

ili ili ili

vrijeme vrijeme

Kompleksna matematika automatski zadržava sve tragove ovih križnih izraza. Pri propustu sinusne funkcije kroz linearni sustav, kompleksni brojevi koji predstavljaju ulazni signal i sustav se množe što rezultira kompleksnim brojem koji predstavlja izlaz. Ako poznajemo bilo koja dva kompleksna broja mogude je odrediti tredi. Pri tome prorafun možemo izvršiti u polarnom ili ortogonalnom obliku, što pokazuje prethodna slika. Opisali smo nafin kojim Fourierova transformacija vrši dekompoziciju signala u kosinusne i sinusne funkcije. Amplitude kosinusa nazivamo realan dio, a amplitude sinusoida imaginarni dio. Te amplitude prikazuju se ordinarnim brojevi, a izrazi realno i imaginarno koriste se kako bi ih odvojili. Međutim, sada je ofito odakle ime dolazi. Imamo li signal od 1024 tofke rastavljen u 513 kosinusoida i 513 sinusoida, korištenjem supstitucije mogude je predstaviti spektar pomodu 513 kompleksnih brojeva. Međutim, to nije kompleksna Fourierova transformacija. To je još uvijek realna Fourierova transformacija kojoj je spektar prikazan u kompleksnom formatu korištenjem supstitucije.

21.10.2013.

3

Analiza električnih sklopova Postupak supstitucije kosinusnih i sinusnih signala kompleksnim brojevima naziva se fazorska transformacija i predstavlja glavni alat pri analizi sklopova sastavljenih od otpora, kondenzatora i induktiviteta. Prvi korak je razumijevanje odnos struje i napon za svaku komponentu. U slufaju otpora ponašanje opisuje Ohmov zakon: v=iR , gdje je i trenutna struja kroz komponentu, v trenutni napon na komponenti, a R otpor. Kondenzator i induktivitet opisuju diferencijalne jednadžbe: i =C dv/dt, i v =L di/dt, gdje je C kapacitet, a L induktivitet. U najopdenitijem postupak analize sklopova postavljaju se diferencijalne jednadžbe koje uvjetuje konfiguracija sklopa te se rješavaju po parametru koji nas interesira. Iako ovaj jednostavni postupak pruža sve odgovore o sklopu, sam postupak matematifkog rješavanja može postati vrlo složen i dugotrajan. To se može znatno pojednostavniti ogranifenjem signala na sinusnu funkciju. Predstavimo li sinusoide s kompleksnim brojevima složene diferencijalne jednadžbe zamjenjujemo s mnogo jednostavnijim algebarskim jednadžbama. Slikom demo ilustrirati opisani postupak. Obrađujemo svaku od tri komponente (otpor, kondenzator i induktivitet) kao sustav. Ulaz sustava je sinusna funkcija struje kroz komponentu, a izlaz je sinusna funkcija napona na prikljufnicama. Dakle, predstavljamo ulaz i izlaz sustava pomodu dvije kompleksne varijable: I (za struju) i V (za napon). Relaciju između ulaza i izlaza također možemo prestaviti kompleksnim brojem. Taj kompleksni broj nazivamo impedancija i oznafavamo simbolom Z:

I × Z =V

To znafi da je kompleksni broj koji predstavlja sinusni napon jednak kompleksnom broju koji predstavlja sinusnu struju pomnožen impedancijom predstavljenom kao kompleksni broj. Ako su bilo koja dva poznata možemo izrafunati tredi. U polarnom obliku, magnituda impedancije je odnos amplituda V i I. Slifno tome, faza impedancije je fazna razlika između V i I.

otpornik kondenzator induktivitet

Definicija impedancije; Ako sinusne napone i struje prikazujemo kompleksnim brojevima, njihov odnos nazivamo impedancija i označavamo kompleksnom varijablom Z. Otpori, kondenzatori i induktiviteti

imaju impedancije R, -j/C i jL.

Relaciju možemo shvatiti kao Ohmov zakon za sinusoide. Ohmov zakon (v=iR) opisuje kako otpor dovodi u vezu trenutne struje i napon u otpor. Ako su signali sinusne funkcije prikazane kompleksnim brojevima, relacije postaje: V=IZ. Dakle, impedancija povezuje struju i napon. Otpor je ordinarni broj, bududi da dovodi u vezu dva ordinarna broja. Impedancija je kompleksni broj, bududi da dovodi u vezu dva kompleksna broja. Impedancije sadržavaju mnogo više informacije od otpora jer određuju ne samo amplitudu nego i fazni kut.

Analiza analognog uskopojasnog nepropusnog filtra Iz diferencijalnih jednadžbi koji opisuju rad elemenata, možemo pokazati da su otpor, kondenzator i induktivitet: R, -j/C , i jL. Kao primjer zamislimo da je struja kroz svaku komponentu kosinusni val jedinifne amplitude, kao što pokazuje slika. Koristedi supstituciju kompleksni broj: 1+0 j napon na otporu bit de V =IZ=(1+0 j)R=R+0j. Drugim rijefima, kosinusni val amplitude R. Napon na kondenzator bit de: V=IZ =(1+0j)(-j/C) Nakon sređivanja: 0-j/C , sinusni val amplitude 1/C. Slifno tome, napon induktiviteta je: V=IZ=(1+0j )(jL). Nakon sređivanja dobiva se: 0+jL, negativni sinusni val amplitude, L. Prednost postupka je u tome što ne moramo koristiti diferencijalne jednadžbe kako bi analizirali RLC sklop. Impedancije otpora, kondenzatora i induktiviteta obrađujemo isto kao i otpore u istosmjernom sklopu, ukljufujudi sve kombinacije: serije, paralele, djelitelje, itd.

RLC notch filter. Ovaj sklop izdvaja usko

frekvencijsko područje iz signala. Korištenjem

kompleksne supstitucije pojednostavljujemo analizu

ovog i sličnih sklopova

Primjer: shema pokazuje RLC sklop notch filter, kojeg koristimo za izdvajanje uskog frekvencijskog pojasa. Tako filter može eliminirati smetnju npr. 50 Hz nekog zvufnog ili instrumentacijskog signala. Kada bi ovaj sklop napravili od tri otpora (umjesto otpora, kondenzatora i induktiviteta), odnos ulaznog i izlaznog signala bio bi određen formulom naponskog djelitelja: vizlazno/vulazno=(R2+R3)/(R1+R2+R3). Bududi da se sklop sastoji od kondenzatora i induktiviteta u jednadžbu naponskog djelitelja možemo supstituirati impedancije: gdje su: Vout, Vin, Z1, Z2, i Z3 kompleksne varijable. Uvrstimo li impedancije svake komponente: Jednadžbu odvojimo na realni i imaginarni dio tako da odijelimo sve što sadržava j od onoga što ga ne sadržava. Taj postupak može biti dugotrajan i težak, a alternativa mu je rješavanje diferencijalnih jednadžbi, što je još teže. Kad odijelimo realan i imaginarni dio, dobiva se prijenosna funkcija notch filtra: Konačno relaciju pretvorimo u polarni oblik i nacrtamo sliku :

RLC notch filter. Ovaj sklop izdvaja usko

frekvencijsko područje iz signala. Korištenjem kompleksne supstitucije pojednostavljujemo analizu

ovog i sličnih sklopova

gdje je

Frekvencijski odziv filtra. Krivulje dobivene s komponentama: R =50 Ohm, C =470 pF, i L =54 µH.

Iz ovih primjera najvažnije je zapamtiti kako supstitucija omogudava

kompleksnim brojevima predstavljanje problema iz stvarnog svijeta.

Obitelj Furierovih transformacija Opdenito se Fourierova transformacija dijeli u fetiri kategorije, što je posljedica fetiri tipa signala koje susredemo u radu. Signal može biti ustaljen (kontinuiran) ili diskretan, može biti periodifan ili aperiodifan. Kombinacije ova dva svojstva rezultiraju s fetiri kategorije koje demo opisati i prikazati. • Aperiodičan-ustaljen (kontinuiran) signal FT Ukljufuju gušede eksponencijalne funkcije i Gaussove krivulje. Ti signali protežu se u plus i minus beskonafnost bez ponavljanja periodifnog oblika. Fourierova transformacija ovakvih signal jednostavno se naziva Fourierova transformacija. • Periodički-ustaljen (kontinuiran) signal FS Primjeri ukljufuju: sinusne valove, kvadratne valove i sve valne oblike koji se pravilno ponavljaju od minus do plus beskonafnosti. Ovakav oblik Fourierove transformacije naziva se Fourierovi redovi. • Aperiodički-diskretni signali DTFT To su signali koji su definirani samo u diskretnim tofkama između plus i minus beskonafnost, a ne ponavljaju se periodifki. Fourierova transformacija onda se naziva Diskretna vremenska Fourierova transformacija. • Periodički-diskretni signali DFT To su diskretni signali koji se ponavljaju periodifki od negativne do pozitivne beskonafnosti. Ova klasa Fourierove transformacije ponekad se naziva Diskretni Fourierovi redovi, a fešde se naziva Diskretna Fourierova transformacija.

18 Ozren Bilan

21.10.2013.

4

Sva fetiri tipa signala protežu se na negativnu i pozitivnu beskonafnost. Što napraviti ako imamo konafan broj uzoraka u rafunalu, npr. signal formiran od 1024 tofke? Postoji li oblik neke Fourierove transformacije koja koristi konačne uzorke signala?

Odgovor je: ne, ne postoji!

Sinusni i kosinusni valovi definirani su dok se protežu od minus do plus beskonafnosti. Nije mogude koristiti grupu beskonafno dugafkih signala da bi se sintetiziralo nešto konafne dužine. Nafin rješenja je ufiniti podatke konafne dužine da slife na signale beskonafne dužine. To se radi na način da zamislimo kako signal ima beskonačni broj uzoraka na lijevo i desno od stvarnog broja uzoraka. Ako svi zamišljeni uzorci imaju vrijednost jednaku nuli, signal de izgledati diskretan i aperiodičan, pa demo modi primijeniti Diskretnu vremensku Fourierovu transformaciju. Kao alternativu, svi zamišljeni uzorci mogu biti kopija stvarnih 1024 tofke. Sada signal izgleda diskretan periodifki pa se može primijeniti Diskretna Fourierova transformacija.

Ofito je da je potreban beskonačni broj sinusoida kako bi smo sintetizirali aperiodičan signal. To onemogudava proračun Diskretne vremenske Fourierove Transformacije DTFT računalskim algoritmom.

19 Ozren Bilan

Sistemom eliminacije, jedini tip Fourierove transformacije koju možemo koristiti u DSP je DFT. Digitalna rafunala rade samo s diskretnim informacijama konafne dužine. Dok se analitifki rješavaju teoretski problemi, korisna su prva tri tipa obitelji Fourierove transformacije. Dok smo za računalom, možemo koristiti samo DFT. U nastavku demo kratko analizirati ova tri tipa Fourierove transformacije, a za sada demo se koncentrirati na razumijevanje Diskretne Fourierove transformacije. Svaka od fetiri Fourierove transformacije može se podijeliti u realnu i kompleksnu verziju. Realni oblik je najjednostavniji, korištenjem kardinalnih brojeva i algebre pri sintezi i dekompoziciji. Slika je primjer realne DFT. Kompleksni oblici fetiri Fourierove transformacije su mnogo složeniji i koriste kompleksne brojeve.

20 Ozren Bilan

Algoritam vrijeme frekvencija

CTFT kontinuirano kontinuirana

DTFT diskretno kontinuirana

DFT diskretno diskretna

Furierova transformacija i Furierov red

x(t) --- vremenski kontinuirani (analogni) signal X(f) --- Fourierova transformacija, frekvencijska karakteristika Možemo li odrediti ako nemamo matematifku jednadžbu za x(t) ? Ne! Što možemo napraviti? Sampliramo x(t) => kako bi dobili uzorke x0, x1, … , xN-1 u vremenu T (npr. 100 sekundi) Period (interval) sampliranja je Δt N (uzoraka) za vrijeme T => Δt=T/N Mogu li T i N biti beskonačni? Nemogude!

21

dtetxfX ftj 2)()(

Ozren Bilan

Razvoj u Fourierov red

1

0 )sin()cos(2

1)(

n

nn tnbtnaatf

T

n dttntfT

a0

)cos()(2

T

dttfT

a0

0 )(2

T

n dttntfT

b0

)sin()(2

T

2

22 Ozren Bilan

Frekvencijsko podrufje sadržava potpuno iste informacije kao i vremensko podrufje, samo u razlifitom obliku. Ako se poznaje signal u jednom podrufju, mogude je izrafunati drugo. Ako je zadan signal vremenskog podrufja, postupak prorafuna frekvencijskog podrufja naziva se dekompozicija, analiza ili DFT. Ako je poznat signal u frekvencijskom podrufju, prorafun vremenskog podrufja naziva se sinteza ili inverzna DFT. Sinteza i analiza mogu se predstaviti u obliku jednadžbi i rafunarskim algoritmima. Broj uzoraka u vremenskom podrufju obifno je predstavljen varijablom N. Dok N može biti bilo koja pozitivna cjelobrojna vrijednost, obifno se izabire potencija dva, tj., 128, 256, 512, 1024, itd. Za to su dva razloga. Prvo, digitalni podaci pri pohrani koriste binarno adresiranje, pa su potencije dva prirodna dužina signala. Drugo, najučinkovitiji algoritmi proračuna DFT, Brze Fourierove transformacije (FFT), najčešde operiraju s N koji je potencija broja dva. Tipifno, N se bira između 32 i 4096. U najvedem broju slufajeva, uzorci se protežu od 0 do N-1, umjesto od 1 do N.

23 Ozren Bilan

DFT osnovne funkcije Sinusni i kosinusni valovi koji se koriste u DFT uobičajeno se nazivaju DFT osnovne funkcije. Drugim rijefima, izlaz DFT je skup brojeva koji predstavljaju amplitude. Temeljne funkcije su set sinusnih i kosinusnih valova jedinifne amplitude. Ako se svakoj amplitudi (frekvencijskog podrufja) pridruži tofni sinusni ili kosinus val (temeljne funkcije), rezultat je skup skaliranih sinusnih i kosinusnih valova koji sumiranjem tvore signal u vremenskom podrufju. DFT temeljne funkcije generiraju se jednadžbama: Problem: ako u DFT ulazi N uzoraka, a izlazi N+2 uzoraka, odakle dolaze dodatne informacije? Odgovor: dva izlazna uzorka ne sadrže informacije što omogudava da preostalih N uzoraka bude potpuno neovisno. Tofke koje ne sadržavaju informacije su Im X[0] i Im X[N/2], uzorci koji uvijek imaju nultu vrijednost.

24 Ozren Bilan

21.10.2013.

5

Sinteza, proračun Inverzne DFT Sumiramo li sve što je dosada refeno, možemo napisati jednadžbu sinteze: Iskazano rijefima, bilo koji signal u N tofaka, x[i], može se kreirati sumiranjem N/2+1 kosinus valova i N/2+1 sinusnih valova. Amplitude kosinus i sinus valova su u postavi Re [k] i Im [k]. Jednadžba sinteze množi amplitude temeljnim funkcijama kako bi nastao skup skaliranih sinusnih i kosinusnih valova. Sumiranjem skaliranih sinusnih i kosinusnih valovi nastaje signal u vremenskom podrufju, x[i]. U jednadžbi, postave su nazvane Re [k] i Im [k], a ne ImX[k] i ReX[k]. Zbog toga što su amplitude potrebne za sintezu (koje nazivamo: Re [k] i Im [k].), razlifite od frekvencijskog podrufje signala (oznafen s: Im X[k] i Re X[k]). Iako se postupak pretvorbe svodi na normalizaciju, može nastati bug u programu. U obliku jednadžbe, pretvorba je određena:

25 Ozren Bilan

Pretpostavimo signal zadan u frekvencijskom području, a potrebno je sintetizirati odgovarujudi signal u vremenskom području. Za pofetak, prvo se određuju amplitude sinusnih i kosinusnih valova. Drugim rijefima, za zadane Im X[k] i Re X[k], potrebno je odrediti Re [k] i Im [k]. Jednadžba to pokazuje u matematifkom obliku. Prikažemo li postupak programom, moramo poduzeti tri radnje. 1. podijeliti sve vrijednosti u frekvencijskom podrufje s N/2. 2. promijeniti predznak svih imaginarnih vrijednosti. 3. podijeliti prvi i posljednji uzorak realnog dijela, ReX[0] i ReX[N/2], s dva. To de nam dati amplitude potrebne za sintezu, koje su opisane jednadžbama. Dva su nafina kojim se sinteza može programirati. U prvom postupku, svaka skalirana sinusoida generira se jedna po jedna i sumira u akumulatoru, koji završava prijelazom u signal u vremenskom područje. U drugom postupku, svaki uzorak u vremenskom području signala računa se jedna po jedan, kao suma svih odgovarajudih uzoraka u kosinusne i sinusne valove. Oba postupka daju isti rezultat. Razlika između programa je minimalna.

26 Ozren Bilan

Analiza, proračun DFT

DFT se može riješiti na tri razlifita nafina: Prvo, problemu možemo pristupiti nizom jednadžbi. Postupak je koristan za razumijevanje ali nepraktifan za primjenu rafunalom. Drugi postupak koristi ideju korelacije. Temeljen je na detektiranju poznatog valnog oblika u drugom signalu. Tredi postupak, Brza Fourierova transformacija (FFT) predstavlja alogoritam koji rastavlja DFT s N točaka, u N DFT svaki s jednom točkom. FFT je više stotina puta brža od bilo kojeg drugog postupka. Kratko demo objasniti prva dva postupka, a FFT u posebnom poglavlju. Važno je zapamtiti kako svi postupci daju potpuno isti rezultat. Koji onda koristiti u radu? Odgovor:

korelaciju ako DFT ima manje od 32 točke, inače treba koristiti FFT.

27 Ozren Bilan

Primjena DFT

Diskretna Fourierova transformacija (DFT) je jedan od najvažnijih alata digitalne obrade signala. Tri glavne primjene su: • DFT može proračunati frekvencijski spektar signala. Omogudava

neposredan uvid u informaciju kodiranu u frekvenciji, fazi i amplitudi sinusnih komponenti. Primjeri su ljudski govor i sluh jer koriste takav nafin kodiranja.

• DFT ne može odrediti frekvencijski odziv sustava iz impulsnog odziva sustava i obrnuto. Omogudava analizu sustava u frekvencijskom podrufju kao što konvolucija omogudava analizu sustava u vremenskom podrufju.

• DFT se može koristiti kao međukorak pri elaboriranim DSP metodama. Klasifni primjer je FFT konvolucija, algoritam za konvoluiranje signala koji je sto puta brži od konvencionalnih postupaka.

28 Ozren Bilan

Fourierovi redovi, Furierova transformacija i DFT

Fourierovi redovi Ponovit demo da je Fourier pokazao kako linearnom superpozicijom sinusoida možemo tvoriti složene valne oblike (i obrnuto). Periodifkim signalima (onima koji se ponavljaju)

1

0 )cos()(n

nnn tAAtx

1 nn

29 Ozren Bilan

Pokazali smo da je razvoj u Fourierov red

1

0 )sin()cos(2

1)(

n

nn tnbtnaatf

T

n dttntfT

a0

)cos()(2

T

dttfT

a0

0 )(2

T

n dttntfT

b0

)sin()(2

T

2

30 Ozren Bilan

21.10.2013.

6

Primjer: kvadratni valni oblik

Period je T=2 pa je ω=π (slijedi iz -> )

Integriramo od t= 0 do 1 i t=1 do 2

Kako bi odredili red moramo poznavati

koeficijente a0, an i bn

2 < t < 1 1- =

1 < t < 0 1 = ) t ( f

T=2

T

2

31 Ozren Bilan

Kako bi odredili red rafunamo koeficijente a0, an i bn

Pri procjeni tona sinus funkcija jednaka je 0 za svaki kut koji je višekratnik π

1

0

2

1

0

2

0

0

011

)(

adtdt

dttfa

0)sin()sin(1

)cos()cos(

)cos()(

2

1

1

0

1

0

2

1

2

0

n

n

atntnn

dttndttn

dttntfa

32 Ozren Bilan

Ako znamo

Trebamo analizirati funkciju kosinus kako bi odredili vrijednosti koeficijenata bn za n=1,2,3,…. itd

))2cos(1)cos(2(1

))cos()2(cos()1)(cos(1

)cos()cos(1

)sin()sin()sin()(

2

1

1

0

2

0

1

0

2

1

nnn

nnnn

tntnn

dttndttndttntfbn

))2cos(1)cos(2(1

nnn

bn

nnbn

nbn

nnbn

nbn

nnbn

4)11)1(2(

1 ,5

0)11)1(2(1

,4

4)11)1(2(

1 ,3

0)11)1(2(1

,2

4)11)1(2(

1 ,1

2

4

3

2

1

33 Ozren Bilan

Odredili smo koeficijente

a0=0,

an=0,

pa je Fourierov red kvadratnog vala

1,3,5...n je kada 4

n

bn

1

0 )sin()cos(2

1)(

n

nn tnbtnaatf

] ... + t 5 + t 3 + t [ 4

= t n b = ) t ( f51

31

n

1 = n

sinsinsinsin

34 Ozren Bilan

Uvrstimo Furierov red (prva 3 flana) kvadratnog valnog oblika u Matlab

f=500;

w=2*pi*f;

t=linspace(0,1/f*5,100);

y1=4/pi*(sin(w*t)+1/3*sin(3*w*t)+1/5*sin(5*w*t));

plot(t,y1)

zbog Gibbsovog ufinka

35 Ozren Bilan

Za konafni broj flanova reda zbog Gibbsovog ufinka vidimo da kvadrati nisu idealni. Dodat demo 10 harmonika, t.j. n=10, a zatim n=1000. 3D površinom predstavljamo postupnu transformaciju sinusnog vala u kvadratni valni oblik

36 Ozren Bilan

Nastanak kvadratnog vala: Gibbsov učinak

-1

-0.5

0

0.5

1

21.10.2013.

7

Pilasti valni oblik

Istim postupkom Fourierov red za pilasti valni oblik daje:

....)4sin(4

1)3sin(

3

1)2sin(

2

1)(sin(

2)( tttttf

37 Ozren Bilan

Trokutni valni oblik

Istim postupkom Fourierov red trokutnog valnog oblika je:

...))7cos(49

1)5cos(

25

1)3cos(

9

1)(cos(

8)(

2 tttttf

38 Ozren Bilan

Fourierova transformacija

Fourierova transformacija glasi

Inverzna Fourierova transformacija

dtetxXtx tj )()()(

deXtx tj)(2

1)(

39 Ozren Bilan

Diskretna Fourierova transformacija

Diskretna Fourierova transformacija

eksponencijale !

Inverzna diskretna Fourierova transformacija

1

0

21 n

k

n

mkj

km exn

X

1

0

21 n

m

n

mkj

mk eXn

x

40 Ozren Bilan

Primjena DFT Promatramo signal u diskretnom vremenu signal u diskretnom vremenu

U biti sumiramo produkte svakog elementa signal pomnoženog s eksponencijalom za zadanu vrijednost m signal u frekvencijskom podrufju

Dakle, pomodu ove sume gradimo frekvencijski spektar

gdje je

41 Ozren Bilan

Svaki element novog spektra je kompleksni broj pa moramo odrediti njegovu magnitudu kako bi smo ga mogli nacrtati. Primjenimo DFT u Matlabu na Furierov red kvadratnog, pilastog i trokutastog valnog oblika koji smo prethodno izrafunali: close all; clear all; f=100; w=2*pi*f; duration=0.1; sampleRate=2000; t=linspace(0,duration,duration*sampleRate); % Sinus y1=sin(w*t); % Kvadrat %y1=4/pi*(sin(w*t)+1/3*sin(3*w*t)+1/5*sin(5*w*t)); % Pila %y1=2/pi*(sin(w*t)-1/2*sin(2*w*t)+1/3*sin(3*w*t)-1/4*sin(4*w*t)); % Trokut

%y1=8/(pi*pi)*(cos(w*t)+1/9*sin(3*w*t)+1/25*sin(5*w*t)+1/49*sin(7*w*t)); x=y1; n=length(y1); fRange=sampleRate; fNyquist=fRange/2; for m=0:n-1 sum=0; for k=0:n-1 sum=sum+x(k+1)*exp(-j*2*pi*m*k/n); end X(m+1)=1/n*sum; end fAxis=linspace(0,fRange,n-1); plot(fAxis(1:n/2),abs(X(1:n/2)));

42 Ozren Bilan

Pet

lja

op

tere

ćuje

res

urs

e

21.10.2013.

8

Ovakva primjena programa optereduje resurse računala pa se primjenjuje optimizirani algoritam poznat kao Brza Furierova transformacija (FFT)

Kvadratni valni oblik Pilasti valni oblik Trokutasti valni oblik

DFT i FFT mogu otkriti neharmonifke sadržaje signala koji nisu periodifni – harmonifke i neharmonifko komponente signala zajednifki nazivamo parcijale.

Komponente spektra prva 3 flana reda

43 Ozren Bilan

FFT transformacija 1 % FFT algoritam u N točaka N=input ('upiši vrijednost N = '); xn=input ('upiši ulaznu sekvencu = '); k=0:1: N-1; L=length(xn) if (N<L) error ('N MORA BITI>=L'); end; x1= [xn zeros(1, N-L)] for c=0:1:N-1; for n=0:1:N-1; p=exp (-i*2*pi*n*c/N); x2(c+1, n+1)=p; end; Xk=x1*x2'; end; magXk=abs(Xk); angXk=angle(Xk); subplot (2, 1, 1); stem (k, magXk); title ('MAGNITUDA DFT UZORAKA'); xlabel ('---->k'); ylabel ('-->Amplituda'); subplot (2, 1, 2); stem (k, angXk); title ('FAZA DFT UZORAKA'); xlabel ('---->k'); ylabel ('-->Faza'); disp ('abs (Xk) ='); disp (magXk) disp ('angle='); disp (angXk)

44 Ozren Bilan

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2MAGNITUDA DFT UZORAKA

---->k

-->

Am

plit

uda

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

-1

0

1

2FAZA DFT UZORAKA

---->k

-->

Faza

upiši vrijednost N = 5 upiši ulaznu sekvencu = *1 1 0+ L = 3 x1 = 1 1 0 0 0 abs (Xk) = 2.0000 1.6180 0.6180 0.6180 1.6180 angle= 0 0.6283 1.2566 -1.2566 -0.6283

FFT transformacija 2

45 Ozren Bilan

% Odredi FFT zadanog 1-D signala i nacrtaj N=input ('duzina sekvence='); M=input ('duzina DFT='); u=input ('ulazna sekvenca u (n) ='); U=fft (u, M) A=length (U) t=0:1: N-1; subplot (2, 2, 1); stem (t, u); title ('IZVORNA SEKVENCA'); xlabel ('---->n'); ylabel ('-->Amplituda'); subplot (2, 2, 2); k=0:1:A-1; stem (k, abs (U)); disp ('abs (U) ='); disp (abs (U)) title ('MAGNITUDA DFT UZORAKA'); xlabel ('---->k'); ylabel ('-->Amplituda'); subplot (2, 1, 2); stem (k, angle (U)); disp ('angle (U) =') disp (angle (U)) title ('FAZA DFT UZORAKA'); xlabel ('---->k'); ylabel ('-->faza');

duzina sekvence=3 duzina DFT=3 ulazna sekvenca u (n) =[1 2 3] U = 6.0000 -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i A = 3 abs (U) = 6.0000 1.7321 1.7321 angle (U) = 0 2.6180 -2.6180

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3IZVORNA SEKVENCA

---->n

-->

Am

plit

uda

0 0.5 1 1.5 20

2

4

6MAGNITUDA DFT UZORAKA

---->k

-->

Am

plit

uda

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-2

0

2

4FAZA DFT UZORAKA

---->k

-->

faza

FFT spektar složenog sinusoidalnog signal dobiven s 10, 100, 1000, 10000 uzoraka

N=10; % ukupni broj uzoraka – izbriši znak komentara po potrebi

% N=100; % ukupni broj uzoraka

% N=1000; % ukupni broj uzoraka

% N=10000; % ukupni broj uzoraka

%

fs=8000; % frekvencija sampliranja

f=1000; % frekvencija signala

n=0:N-1;

% generiramo sinusoidalni signal

f1=600; % upiši harmonički sadržaj po volji

f2=1200;

f3=1800;

f4=2400;

f5=3000;

f6=3600;

x= 2*sin(2*pi*(f1/fs)*n)+0.05*sin(2*pi*(f2/fs)*n)+ 0.03*sin(2*pi*(f3/fs)*n) +0.02*sin(2*pi*(f4/fs)*n)+0.07*sin(2*

pi*(f5/fs)*n) +0.001*sin(2*pi*(f6/fs)*n);

% procjenjujemo spektar fft naredbom

X=fft(x);

magX=abs(X);

% gradimo pripadajudu frekvencijsku os

fx=0:(N/2)-1; % određujemo vektor

f=0,1,2,...(N/2)-1

fx=(fx*fs)/N;

% skaliramo kako bi predstavljao frekvencije u Hz

figure(1);

subplot(1,1,1);

plot(fx,20*log10(magX(1:N/2)));

grid;

title('Spektar složenog sinusoidalnog signal dobiven s 10, 100, 1000, 10000 uzoraka');

xlabel('Frekvencija (Hz)');

ylabel('Magnituda (dB)');

Ozren Bilan 46

Odredi spektar složenog signala: x= 2*sin(2*pi*(f1/fs)*n) +0.05*sin(2*pi*(f2/fs)*n)+ 0.03*sin(2*pi*(f3/fs)*n) +0.02*sin(2*pi*(f4/fs)*n)+ 0.07*sin(2*pi*(f5/fs)*n) + 0.001*sin(2*pi*(f6/fs)*n);

koristedi 10, 100, 1000 i 10000 uzoraka.

Laplaceova transformacija

U stvarnom svijetu mnogi parametri sustava međusobno djeluju putem diferencijalnih jednadžbi. Impulsni i frekvencijski odziv takvih sustava ne može biti arbitraran, nego mora biti usklađen s rješenjima diferencijalnih jednadžbi. To znafi da se njihov impulsni odziv mora sastojati samo od eksponencijalne i sinusne funkcije. Laplaceova transformacija je tehnika koja analizira ove posebne sustave kada su signali kontinuirani.

47 Ozren Bilan

Laplaceova transformacija

Konvolucija i Fourierova analiza (dvije glavne tehnike digitalne obrade signala) govore da se ponašanje linearnog sustava može u potpunosti razumjeti iz njegovog impulsnog ili frekvencijskog odziva. To je vrlo uopdeni pristup jer impulsni i frekvencijski odziv mogu poprimiti bilo koji oblik. U stvari, takav pristup je preopdenit za mnoge naufne primjene. U stvarnom svijetu mnogi parametri sustava međusobno djeluju putem diferencijalnih jednadžbi. Npr. napon na induktivitetu proporcionalan je derivaciji struje koja teee kroz induktivitet. Slifno tome, sila koja djeluje na masu proporcionalna je derivaciji brzine kojom se masa giba. Prirodne znanosti obiluju ovakvim tipovima relacija. Impulsni i frekvencijski odziv takvih sustava ne može biti arbitraran, nego mora biti usklađen s rješenjima diferencijalnih jednadžbi. To znafi da se njihov impulsni odziv mora sastojati samo od eksponencijalne i sinusne funkcije. Laplaceova transformacija je tehnika koja analizira ove posebne sustave kada su signali kontinuirani.

z-transformacija je slifna tehnika koja se koristi u diskretnim slučajevima.

48 Ozren Bilan

21.10.2013.

9

Kako smo pokazali, kompleksna Fourierova transformacija određena je izrazom:

Možemo je razviti u Laplaceovu transformaciju tako da prvo pomnožimo signal u vremenskom podrufju eksponencijalnim flanom:

Konafno, lokacija u kompleksnoj ravnini može se prikazati kompleksnom varijablom, s, gdje je s=σ+jω. To omogudava reduciranje jednadžbe u još kompaktniji izraz:

Prikazan je konačni oblik izraza Laplaceove transformacije, što predstavlja jednu od najvažnijih jednadžbi u obradi signala i elektronici. Posebnu pozornost posvetite izrazu e-st, kojeg nazivamo kompleksna eksponencijala. Izvod pokazuje da su kompleksne eksponencije kompaktan nafin prikaza sinusoide i eksponencijalne funkcije u jedinstvenom izrazu.

49 Ozren Bilan

Kako bi smo dublje sagledali prirodu jednadžbe, pogledajmo nekoliko tofaka u s-podrufju pa ispitajmo kako su vrijednosti na tim lokacijama povezane sa signalom u vremenskom podrufju. Za pofetak, prisjetimo se kako su individualne tofke u frekvencijskom području povezane sa signalom u vremenskom podrufju. Svaka tofka u frekvencijskom podrufju, identificira specififnu vrijednost ω, odgovara to dvjema funkcijama cos(ωt) i sin(ωt). Realni dio određuje se množenjem signala u vremenskom podrufju kosinus valom i integriranjem od -∞ do ∞. Imaginarni dio se odredi istim postupkom, samo se koristi sinusni val. Analiziramo li kompleksnu Fourierovu transformacija, vrijednosti za negativne frekvencija, -ω, bit de konjugirano kompleksne (isti realni dio, a negativni imaginarni dio) od vrijednosti ω. Laplace transformacija je proširenje istog koncepta. Slijededa slika pokazuje tri para točaka u s-ravnini: A i A’, B i B’, C i C’. Kao i u kompleksnom frekvencijskom spektru, tofke A, B i C (pozitivne frekvencije) su kompleksni konjugati tofaka A’, B’ i C’ (negativne frekvencije). Gornja polovina s-ravnine je zrcalna slika donje polovine, a obje su potrebne za uspostavljanje relacije s realnim signalom u vremenskom podrufju. Drugim rijefima, obrada ovih točaka u paru zaobilazi kompleksnu matematiku tako što nam dozvoljava obradu u vremenskom podrufju korištenjem realnih brojeva.

50 Ozren Bilan

Valni oblici u s-području. Svaku lokaciju u s-području određuju dva parametra: σ i ω. Ti parametri definiraju dva valna oblika pridružena svakoj lokaciji. Promatramo li samo parove točaka (kao što su: A i A’, B i B’, C i C’), dva valna oblika pridružena svakoj lokaciji su sinusni i kosinusni val frekvencija ω, s eksponencijalno promjenjivom amplitudom koju određuje σ.

51 Ozren Bilan

Analiza električnih sklopova - filtera Laplaceova transformacija je inherentno matematifki postupak; koristi se pri pisanju i manipuliranju jednadžbama. Problem je što se lako izgubiti u apstraktnoj prirodi kompleksne algebre i izgubiti povezanost sa stvarnim svijetom. Zadada nam je povezati ta dva pristupa. Laplace transformacija je primarni postupak analize elektronifkih sklopova. Treba imati na umu da razne sustave koje opisujemo različitim jednadžbama možemo obrađivati na isti način; koristimo primjer elektrifnih sklopova. Slika pokazuje primjer sklopa kojeg demo analizirati Laplaceovom transformacijom. To je RLC notch filter. Bududi da je analiza ista za sve elektrifne sklopove, izvest demo je u koracima.

Vin

Vout

Korak 1. Transformiramo svaku komponentu u s-područje. Drugim rijefima, zamjenjujemo vrijednost svakog otpora s R, svakog induktiviteta s sL, a svakog kondenzatora s 1/sC. To je napravljeno na slici.

52 Ozren Bilan

Vidjeli smo, notch je vrlo uski pojasno nepropusni filter

R

1/sC

sL

Korak 2: Određujemo prijenosnu funkciju H(s); izlaz podijeljen s ulazom. Obrađujemo svaku komponentu tako da slijedi Ohmov zakon, s impedancijama : R, sL i 1/sC . Koristimo standardne jednadžbe za otpore u seriji, otpore u paraleli, naponske djelitelje, itd. Analiziramo li RLC sklop iz primjera kao naponski djelitelj, prijenosna funkcija H(s) je: Prisjetimo li se Fourierove analize, frekvencijski spektar izlaznog signal podijeljen frekvencijskim spektrom ulaznog signala jednak je frekvencijskom odzivu sustava, što oznafavamo H(T). Gornja jednadžba predstavlja proširenje u s-podrufje. Signal H(s), nazivamo prijenosna funkcije sustava i jednaka je izlaz signalu u s-podrufju podijeljenim s ulaznim signalom u s-podrufju. H(s) jednaka je Laplaceovoj transformaciji impulsnog odziva, isto tako kako je H(T) jednaka Fourierovoj transformaciji impulsnog odziva. Sve do sada, postupak je identifan, s razlikom što koristimo s umjesto jω. Određivanje H(s) kljufno je za Laplaceovu analizu; međutim, potrebno je napisati u posebnom obliku kako bi bila korisna. Napravit demo dva koraka algebarske manipulacije.

53 Ozren Bilan

Korak 3: Napišemo prijenosnu funkciju H(s) u obliku kvocijenta polinoma: Prijenosnu funkciju uvijek je mogude napisati u ovakvom obliku ako sustavom upravljaju diferencijalne jednadžbe. Npr. pravokutni impuls ne predstavlja rješenje diferencijalne jednadžbe pa se njegova Laplaceova transformacija ne može se napisati u gornjem obliku. Za usporedbu, prijenosnu funkciju bilo kojeg elektronifkog sklopa sastavljenog od otpora, kondenzatora i induktiviteta, može se napisati u gornjem obliku. Za RLC notch filter kojeg analiziramo, korak 2 pokazuje da ved ima prijenosnu funkciju u tofnom obliku:

gdje su: (u brojniku) a=L, b=0, c =1/C; i (u nazivniku) a=L, b=R, c=1/C

54 Ozren Bilan

21.10.2013.

10

Korak 4: Faktorizacija polinoma brojnika i nazivnika. Rastavimo polinome brojnika i nazivnika u komponente koji svaki sadržavaju jedno s. Ako komponente pomnožimo moraju vratiti izvorni brojnik i nazivnik. Drugim rijefima, jednadžba de bit faktorizirana u obliku:

Faktorizirano s-područje. U ovom obliku s-područje se može izraziti u obliku polova i nula.

Korijeni brojnika, z1, z2, z3..., su nule jednadžbe, a korijeni nazivnika p1, p2, p3... su polovi. To su isti polovi i nule koje smo prethodno upoznali pa demo opisati kako se koriste.

Izraz u s-području možemo faktorizirati ako su brojnik i nazivnik polinomi drugog reda. Korijene polinoma drugog reda ax2 + bx + c možemo odrediti koristedi kvadratnu jednadžbu: x=[-b± (b2 - 4ac)½]/2a. Prijenosna funkcija onda se faktorizira: Gdje je:

55 Ozren Bilan

U ovom primjeru sustav drugog reda ima maksimum dvije nule i dva pola. Broj polova u sustavu jednak je broju komponenti koji pohranjuju energiju. Induktiviteti i kondenzatori pohranjuju, a otpori disipiraju energiju. Broj nula bit de jednak ili manji od broja polova. Polinomi višeg od drugog reda opdenito se teško faktoriziraju algebarskim postupcima, pa potrebni složeniji numerički postupci. Međutim, kao alternativu mogude je sklopove sastaviti kao kaskadu stupnjeva drugog reda. Tako osam polni filter projektiramo kao kaskadu fetiri stupnja dvopolnih filtra. Pri tome je važno uofiti kako ovaj pristup s kaskadom više stupnjeva koristimo samo kako bi smo doskofili matematifkim, a ne elektronifkim ogranifenjima.

56 Ozren Bilan

Dijagram polova i nula u s-području pokazuje odnos između s-područja i frekvencijskog odziva. Vrijednosti komponenti notch filtra korištenog u grafu su: R=220

Ω, C=470 μF, i L = 54 μH. Izabrane vrijednosti postavljaju centar klanca na:

ω = 6.277·106, tj., frekvenciju oko 1 MHz.

Kako bi sve bilo manje apstraktno, koristit demo stvarne vrijednosti komponenata notch filter kojeg smo analizirali: R =220Ω, L =54 μH, C =470 μF. Uvrstimo li te vrijednosti u gornje jednadžbe, polovi i nule bit de na lokacijama:

z1 =0 + j 6.277×106 p1 =-2.037×106 + j 5.937×106 z2 =0 - j 6.277×106 p2 =-2.037×106 - j 5.937×106

Te lokacije polova i nula pokazuje slika. Svaka nula prikazana je kružifem, a svaki pol prikazan je x. Graf se naziva dijagram polova i nula i uobifajen je nafin kojim prikazujemo podatke u s-podrueju.

57 Ozren Bilan

Slika pokazuje topografski prikaz s-ravnine. Zbog jednostavnosti prikazana je samo magnituda, a ne smijemo zaboraviti da ga prati i dijagram faze. Isto tako kako planine i doline određuju površinu zemlje, tako polovi i nule određuju oblik s-ravnine. Za razliku od planina i udolina svi polovi i nule su istog oblika i velifine, a pri tome je jedina razlika njihova lokacija. Važnost polova i nula je u tome što koncizno predstavljaju vrijednost svake tofke s-ravnine.

Dakle, karakteristike sustava možemo potpuno opisati koristedi vrlo mali broj parametara. U slufaju RLC notch filtra sustav specificiramo pomodu samo četiri kompleksna parametra: z1, z2, p1, p2 (svaki se sastoji od realnog i imaginarnog dijela).

Kako bi bolje shvatili pojam polova i nula, zamislimo da se gibamo po s-ravnini. Za bilo koju tofku ravnine (tj., za neku vrijednost s), postoji odgovarajuda vrijednost prijenosne funkcije H(s). Ta vrijednost je kompleksni broj koji se može izraziti kao magnituda i faza ili kao realni i imaginarni dio. Pretpostavimo da smo došli do nule u s-ravnini. Vrijednosti koje izmjerimo za realni i imaginarni dio na ovom mjestu bit de jednaki nuli. To se može lako shvatiti ispitivanjem matematifke jednadžbe prijenosne funkcije H(s). Ako je lokacija s, jednaka nuli, jedan od izraza u brojniku bit de jednak nuli pa de cijeli izraz biti jednak nuli.

Konafno, dolazimo do polova, gdje mjerimo vrijednosti realnog i imaginarnog dijela H(s). Izmjerena vrijednost postaje sve veda kako se približavamo tofnoj lokaciji pola. To se lako shvada iz jednadžbe. Ako je lokacija s, jednaka bilo kojem p, nazivnik de biti jednak nuli, a dijeljenje nulom ufinit de izraz beskonafnim.

58 Ozren Bilan

Ako se slufajno gibamo po s-ravnini, a ne samo po lokacijama nula i polova, vrijednost prijenosne funkcije H(s) na bilo kojoj lokaciji u potpunosti ovisi o položaju polova i nula. Razlog tome je što u s-ravnini nisu dozvoljeni bilo koji drugi oblici osim polova i nula. Nalazimo li se u blizini pola, vrijednosti de biti velike; ako smo u blizini nule, vrijednosti de biti vrlo male. Jednadžba opisuje i interakciju višestrukih polova i nula pri oblikovanju signala u s podrufju. Oduzimemo li dva kompleksna broja dobit demo njihovu međusobnu udaljenost u kompleksnoj ravnini. Tako je (s– z0) udaljenost arbitrarne lokacije s i nule locirane u z0. Jednadžba specificira tu vrijednost za svaku lokaciju s, koja je jednaka udaljenosti svih pomnoženih nula, podijeljenih s udaljenostima svih pomnoženih polova. Možemo se upitati kako lokacije polova i nula omogudavaju dublje razumijevanje frekvencijskog odziva sustava. Frekvencijski odziv jednak je vrijednosti prijenosne funkcije H(s) duž imaginarne osi, oznafenom tamnom linijom na topografskom dijagramu na slici. Zamislimo da se kredemo od ishodišta uzduž ove putanje. U okolišu ishodišta udaljenost do nula približno je jednaka udaljenosti do polova. Zbog toga se brojnik i nazivnik jednadžbe poništavaju dajudi jedinifni frekvencijski odziv na niskim frekvencijama. Situacija se bitno ne mijenja dok ne dođemo u okoliš lokacija pola i nule. U blizini nule, vrijednost H(s) naglo pada i postaje jednaka nuli tofno u nuli. Pomaknemo li se nakon para pola i nule, vrijednost H(s) pojafanja ponovno poprima jedinifnu vrijednost. Koristedi ovakvu vizualizaciju može se uofiti kako je širina klanca funkcija udaljenosti između pola i nule. 59 Ozren Bilan

Izračunaj frekvencijski odziv (uvrsti pa izračunaj prijenosnu funkciju)

Izrafunaj frekvencijski odziv (uvrsti pa izrafunaj prijenosnu funkciju) R =220Ω, L =54 μH, C =470 μF. Uvrstimo li te vrijednosti u gornje jednadžbe, polovi i nule bit de na lokacijama: z1 =0 + j 6.277×106 p1 =-2.037×106 + j 5.937×106 z2 =0 - j 6.277×106 p2 =-2.037×106 - j 5.937×106

H=tf([54e-6 0 2.1277e3],[54e-6 220 2.1277e3]); bode(H), grid rlocus(H)

Ozren Bilan 60

21.10.2013.

11

Projektiranje filtra u s-području Najsnažnija primjena Laplace transformacija je projektiranje sustava neposredno u s-podrufju. Sastoji se od dva koraka: 1. s-područje se projektira specificiranjem broja i lokacija polova i nula. To je čisto matematički problem s ciljem dobivanja najboljeg frekvencijskog odziva 2. Izvodi se elektronički sklop koji omogudava predstavljanje specificiranog s-područja. To je dijelom umjetnost, bududi da postoje mnoge konfiguracije koje imaju zadani dijagram polova i nula. Kako smo ved naglasili, 4. korak postupka Laplaceove transformacije je težak ako sustav sadržava više od dva pola ili dvije nule. Uobifajeno rješenje je primjena višestrukih polova i nula u sukcesivnim stupnjevima. Tako 6 polni filter implementiramo u obliku tri sukcesivna stupnja, gdje svaki stupanj sadržava po dva pola i nula. Bududi da se svaki stupanja može prikazati u s-podrufju podijelom kvadratne jednadžbe brojnika s nazivnikom, neki taj postupak nazivaju projektiranje s biquadima.

61 Ozren Bilan

Slika pokazuje uobifajen biquad sklop, koji smo koristili u projektu filtra - naziva se Sallen-Key sklop po Sallenu i Keyu, autorima flanka koji opisuje ovu tehniku. Iako postoji nekoliko varijacija, uobifajen je sklop koji koristi dva otpora jednake vrijednosti, dva kondenzatora jednakih vrijednost i pojačalo s faktorom pojačanja između 1 i 3. Pojafala se mogu konstruirati jednostavnim operacionalnim pojafalima s odgovarajudim otporima povratne veze. Izvršimo li analizu sklopa u fetiri koraka, lokacije polova sklopa mogu se odrediti vrijednostima komponenata:

Sallen-Key lokacije polova. Jednadžbe povezuju položaj polova, σ i ω, s pojačanjem A, otporom R i kapacitetom C

62 Ozren Bilan

Jednadžbe pokazuju da polovi uvijek leže na obodu kružnice polumjera: 1/RC. Tofan položaj duž kružnice zavisi o faktoru pojafanju. Slika (a) pokazuje da jedinično pojačanje postavlja oba pola na realnoj osi. Frekvencijski odziv konfiguracije je nisko propusni filter s relativno glatkim prijelazom između propusnog i nepropusnog podrufja. -3dB (0.707) odrezna frekvencija sklopa, oznafena s ω0, nalazi se na presjecištu kružnice s imaginarnom osi ω0 =1/RC.

63 Ozren Bilan

Porastom pojafanja, polovi se kredu duž kružnice uz odgovarajudu promjenu frekvencijskog odziva.

Slika (b) pokazuje se uz pojafanje 1.586 polovi smještaju pod kutem od 45 stupnjeva, što daje oštriji frekvencijski prijelaz. Daljnje pojafanje pomife polove sve bliže imaginarnoj osi uz frekvencijski odziv koji pokazuje vrhove krivulje.

To ilustrira slika (c), gdje pojafanje iznosi 2.5. Amplitude vrhova nastavljaju rasti daljnim porastom pojafanja, sve dok ne dođe do 3.

Slika (d) pokazuje poseban slufaj kada su polovi na imaginarnoj osi. Pripadajudi frekvencijski odziv pokazuje beskonačno veliku vrijednost vrhova. U praksi to znafi: filter se pretvorio u oscilator. Daljnjim porastom pojafanja polovi sve dublje ulaze u desnu s-poluravninu. Kako smo prethodno naglasili, to znafi sustav je postao nestabilan (spontane oscilacije).

64 Ozren Bilan

Koristedi Sallen-Key sklop kao gradivni blok, mogude je konstruirati veliki broj raznih tipova filtara. Npr., niskopropusni Butterworth filtar dobije se jednolikim smještanjem izabranog broja polova oko lijeve polukružnice, što prikazuje slika. Svaki od polova u ovoj konfiguraciji zahtijevaju jedan Sallen-Key stupanj. Butterworth filter je maksimalno linearan, dakle, ima najoštriji prijelaz između propusnog i nepropusnog podrufje bez vrha u frekvencijskom odzivu. Prijelaz je brži što je primijenjeno više polova. Bududi da svi polovi Butterworth filtra leže na istoj kružnici, svi stupnjevi kaskade koriste iste R i C vrijednosti. Među stupnjevima razlifito je samo pojafanje. Zašto ovaj kružni položaj polova omogudava optimalno linearan odziv? Za to ne postoji ni očit ni intuitivan odgovor;

to je izvan matematike.

65 Ozren Bilan

Slika pokazuje idudu razinu sofistikacije pri strategiji projekta filtra: eliptifni filter. On postiže najoštriji mogudi prijelaz pri dozvoljenom valovanju u propusnom i nepropusnom podrufje. U s-podrufje, to se postiže nulama na imaginarnoj osi, a prva je u okolišu odrezne frekvencije. Eliptifni filteri mogu imati nekoliko varijacija i znatno se teže projektiraju od Butterworth i Čebiševljeve konfiguracije. To je zbog toga što polovi i nule eliptifnog filtra ne leže na jednostavnim geometrijskim oblicima nego u matematifkim postovama kao što su eliptifne funkcije i integrali pa odatle i njihov naziv. Bududi da svaki biquad daje dva pola, filtri parnog reda (2 polni, 4 polni, 6 polni, itd.) konstruiraju se kaskadom biquad stupnjeva. Međutim, filtri neparnog reda (1 polni, 3 polni, 5 polni, itd.) zahtijevaju nešto što biquad nikako ne može omoguditi: jedan pol na realnoj osi. Taj zahtjev pri projektiranju pretvara se u jednostavni RC sklop dodan kaskadi. Tako 9 polni filter možemo konstruirati iz 5 stupnjeva: 4 Sallen-Key biquada plus jedan stupanj koji se sastoji od kondenzatora i otpora. Nabrojeni klasifni oblici polova i nula koriste se za nisko propusne filtre. Međutim, mogude ih je modificirati u druge frekvencijske odzive. Prvo se projektira nisko propusni filter, a zatim se izvede potrebna transformacija u s-podrufju. Prvo se prorafunaju položaji polova nisko propusnog filtra pa napiše prijenosna funkcija H(s) u obliku jednadžbe 32-3. Prijenosna funkcije pripadajudeg visoko propusnog filtra odredi se zamjenom svakog "s" sa "1/s" i sređivanjem izraza kako bi dobili izraz za pojafanje u obliku polova i nula kao u jednadžbi 32-3. Tako dobivamo nove lokacije polova i nula koje implementiraju visoko propusni filtar. Mnogo složenijim transformacijama s-podrufja možemo projektirati pojasno propusne i pojasno nepropusne filtre iz pofetnog niskopropusnog. Prikazana matematifka manipulacija u s-podrufje je centralna tema projektiranja filtra i tome su posvedene cjele knjige.

Projektiranje analognih filtera je 90% matematike, a samo 10% elektronike. 66 Ozren Bilan

21.10.2013.

12

Međutim, projekti visoko propusnih filtra koristedi Sallen-Key stupanj ne zahtijevaju ovu matematifku manipulaciju. Jednostavnom zamjenom "1/s" s "s" u s-podrufje odgovara zamjena otpora i kondenzatora u sklopu. U s-ravnini, ovaj postupak postavlja polove na nove pozicije i dodaje dvije nule upravo na ishodište. Tako dobivamo frekvencijski odziv s vrijednošdu nula u ishodištu (istosmjerni napon), kao što i ofekujemo od visoko propusnog filtra. Tako Sallen-Key sklop dobiva puni potencijal: primjena dva pola i dvije nule.

67

Butterworth s-ravnina. Niskopropusni Butterworth filter dobiva se

smještanjem polova na istoj udaljenosti oko lijeve polukružnice. Što je broj polova vedi brže je gušenje odziva.

Ozren Bilan

Klasični oblik polova i nula. Tri klasična oblika polova i nula pri projektiranju filtra. Butterworth filtri imaju polove jednoliko raspodijeljene po kružnici, što daje maksimalno ravan odziv. Čebiševljevi filtri imaju polove locirane na elipsi, što daje oštriji prijelaz uz valovanje u propusnom području. Eliptični filtri dodaju nule u nepropusno područje. Tako se dobiva brži prijelaz s valovanjem u propusnom i nepropusnom području.

68 Ozren Bilan

z – TRANSFORMACIJA

Isto tako kako se analogni filtri projektiraju primjenom Laplaceove transformacije, rekurzivni digitalni filtri (IIR) projektiraju se primjenom z-transformacije. Postupci su vrlo slifni.

z ravninu prikazujemo u polarnom sustavu.

69 Ozren Bilan

z – TRANSFORMACIJA

Isto tako kako se analogni filtri projektiraju primjenom Laplaceove transformacije, rekurzivni digitalni filtri (IIR) projektiraju se primjenom z-transformacije. Postupci su vrlo slifni: ispitamo impulsni odziv sinusnim i eksponencijalnim valnim oblicima kako bi smo odredili nule i polove sustava. Pri tome Laplaceova transformacija koristi diferencijalne jednadžbe, s-domenom i s-ravninom. z-transformacija koristi jednadžbe diferencija, z-podrufje i z-ravninu. Pri tome s-ravninu prikazujemo u Kartezijevom ortogonalnom koordinatnom sustavu, a z ravninu u polarnom sustavu. Rekurzivni digitalni filtri najfešde se pofinju projektirati s klasifnim analognim filtrom kao što je Butterworth, Čebiševljev ili eliptifki, a zatim se primjenjuje serija matematifkih pretvorbi kako bi se dobio željeni digitalni filter.

Matematički alat koji to omogudava zove se z-transformacija.

70 Ozren Bilan

z – TRANSFORMACIJA z-transformacija se primjenjuje pri analizi i projektiranju DSP sustava isto tako kako se Laplaceova transformacija koristi za analogne ili vremenski ustaljene sustava . Fourierova analiza razvijena je za kontinuirane signale u vremenskom podrufju ali je korisna i za diskretne signale i sustave. z-transformacija i Fourierova transformacija su povezane. Glavna tema bit de definicija transformacije, transformacijski parovi i svojstva, dijagram polova i nula, podrufje konvergencije, stabilnost sustava, inverzna transformacija, filteri, tranzijentni odziv i sustavi s pofetnim uvjetima.

z-transformacija primjenjuje se na diskretne signale i sustave. Za sada znamo da se sustav može opisati • ulazno-izlaznom jednadžbom diferencija, • impulsnim odzivom ili • frekvencijskim odzivom. Pogledajmo četvrtu karakterizaciju sustava.

71 Ozren Bilan

Zašto transforimiramo u z-podrufje?

z-transformacija pretvara sekvencu {x[n]}, u funkciju neke arbitrarne kompleksne variable z, X(z).

Zašto to radimo?

• Kompleksne funkcije mnogo se lakše obrađuju nego sekvence

• Korisne operacije koje se izvode sa sekvencama odgovaraju vrlo jednostavnim operacijama sa z-transformiranim izrazima:

zbrajanje, množenje, skaliranje, vremenski pomak, konvolucija

Dvostrana

definicija:

72 Ozren Bilan

21.10.2013.

13

Definicija X(z), z-transformacija kauzalnog diskretnog vremenski promjenjivog signala x(n) definirana je: z je kompleksna varijabla transformacijskog podrufja i poimamo je kao kompleksnu frekvenciju. Prisjetimo se da indeks n može biti vrijeme, prostor ili nešto trede, ali je najfešde rijef o vremenu. Prema navedenoj definiciji, X(z) je cjelobrojni red potencija koji odgovaraju x(n) kao koeficijentima. Razvijamo X(z) u red potencija: Jednadžba sumira od n= 0 do ∞. Dakle, X(z) nije ni na koji način u odnosu sa prethodnim (prošlim) vrijednostima x(n). To je jednostrana ili unilateralna z-transformacija. Ona može uzeti u obzir pofetne uvjete x(n). Opdenito, signal postoji u prošlosti i bududnosti (tj. cijelo vrijeme trajanja) pa dvostranu ili bilateralnu z–transformaciju definiramo:

Zato jer X(z) predstavlja beskonafni red potencija z-1 , transformacija postoji samo za vrijednosti pri kojima red konvergira (tj. teži nuli kad n-> ∞ ili -∞ ). Dakle kada je z-transformacija konafna pridruženo joj je područje konvergencije.

Jedinifna kružnica

73

z-ravnina

Ozren Bilan Ozren Bilan 74

Definicija z-transformacije iz DTFT

Prisjetimo se da je DTFT definirana

Bududi da zamjenjujemo gradivne blokove kompleksne eksponencijale pomodu , razumno proširenje

bilo bi

To moramo shvatiti kao građenje vremenske funkcije ponderiranom sumom funkcija umjesto .

X(e j ) x[n]e j

n

e jn

zn X(e j )

X(z) x[n]zn

n

zn e jn

Inverzna z-transformacija

Signal x(n) i njegova transformacija X(z) tvore transformacijski par: Jedan od nafina određenja inverzne transformacije, kad je to mogude, je korištenje definicije z-transformacije. Opdenite metode inverzne z-transformacije analizirat demo naknadno. z–transformacijski parovi Tablica pokazuje z-transformacijske parove gdje je jedinifna kružnica s centrom u ishodištu koordinatnog sustava. Svi signali su kauzalni (na desnoj strani), osim dva koji su antikauzalni (s lijeve strane). Transformacija se može ekvivalento izraziti ili kao funkcija z , npr.: Opdi parovi z-transformacije

75

ili

Ozren Bilan

Pogodniji oblik ovisi o tome što želimo postidi s transformacijom

76 Ozren Bilan

Primjer: Odredi matematifki izraz signala na slici pa odredi z-transformaciju

(a) Signal je kauzalan i jednoliko slabi, a vrijednost mu je 0,8n za n≥ 0. Pišemo x(n) = 0.8n u(n) i koristimo transformaciju:

X(z) = 1 + 0.8z–1 + 0.64z–2 + 0.512z–3 +…

= 1 + (0.8z–1) + (0.8z–1)2 + (0.8z–1)3 + …

Primjenom sume beskonafnog geometrijskog reda:

1 + x + x2 + x3 + … = = , x< 1

Uz dobivamo X(z) = =

Rješenje možemo napisati u bilo kojem od dva oblika.

Uvjet znafi .

0

n

n

x

1

1 x10.8x z 10.81

1 z 80.z

z

1| 0.8 | 1z | | 0.8z

77 Ozren Bilan

(b) Signal je izmjenifno pozitivan i negativan s porastom vrijednosti, dakle signal je divergentan. Nakon nekoliko pokušaja, određujemo mu matematifki izraz:

x(n) = (-1.2)n–1 u(n-1)

gdje (-1.2)n u(n) kasni za jedan indeks

(uzorak). Transformacijom dobivamo:

X(z) = =

= 0 + 1.0(z–1) – 1.2(z–1)2 + 1.44(z–1)3 – 1.718(z–1)4 + … = = z–1 [1 + (-1.2z–1) + (-1.2z–1)2 + (-1.2z–1)3 + …] =

= z–1 = =

0n

nz)nx(

1z211

1 . 1

1

211

z.

z

21

1

.z

78 Ozren Bilan

21.10.2013.

14

Ozren Bilan 79

Prorafun z-transformacije

Zadane je diskretna funkcija

x[n] nu[n]

X(z) x[n]zn nzn (z1)n

n0

n0

n

1

1z1

z

z

Ozren Bilan 80

Prorafun z-transformacije

Zadane je diskretna funkcija

Neka je

Onda je

x[n] nu[n1]

X(z) x[n]zn nzn (z1)n

n

1

n

1

n

l n;n l ;n 1 l 1

(z1)n (z 1)l 1

l1

n

1

(z 1)l 11

1 z 1

1

1z1l0

Ozren Bilan 81

Znafaj podrufja konvergencije

U primjerima 1. i 2. iako su vremenske funkcije razlifite, imaju istu z-transformaciju. Dakle, nešto nedostaje!? Područje konvergencije.

U primjeru 1., suma konvergira samo za U primjeru 2, suma konvergira samo za

Dakle, opdenito moramo specificirati ne samo z-

transformaciju vremenske funkcije, nego i njeno područje konvergencije.

X(z) nzn

n0

z

X(z) nzn

n

1

z

Z-transformacija u Matlabu

82 Ozren Bilan

83

Za određivanje polova i nula z-transformacije funkcije X(z) u Matlabu koristimo funkciju residuez. Funkciju X(z):

Matlab naredba je [r, p, k] = residuez (b, a) Gdje je r vektor nula, p vektor polova, a vektor koeficijenata brojnika, b vektor koeficijenata nazivnika.

Ozren Bilan

Detaljnije na LABORATORIJSKIM VJEŽBAMA: 84 Ozren Bilan

21.10.2013.

15

Razvoj u parcijalne razlomke

U Matlabu razvoj u parcijalne razlomke izvodi se funkcijom residue( ).

Primjer 1

Želimo odrediti inverznu Laplaceovu transformaciju

Potrebno je F(s) rastaviti u jednostavniji oblik razvojem u parcijalne razlomke:

Matlab

b =[1 0 12]; % Generiramo polinom brojnika

n = [1 5 6 0]; % Generiramo polinom nazivnika

[r,p,k] = residue(b, n)

% Rezultat:

r = 7.0000 -8.0000 2.0000

p = -3.0000 -2.0000 0

k = []

Ozren Bilan 85

Primjena: [r, p, k] = residue(b, n) r su koeficijenti parcijalnih razlomaka p su polovi k je direktni izraz

sss

ssF

65

12)(

23

2

Primjer 2 Odredi Laplaceovu transformaciju izraza Potrebni je izvršiti razvoj u parcijalne razlomke. Matlab omogudava prorafun koeficijenata parcijalnih razlomaka: num = [38400000]; den = [1 64000 1600000000 0]; [r, p, k] = residue(num, den) Rješenje

r = -0.0120 + 0.0160i -0.0120 - 0.0160i 0.0240 p = 1.0e+004 *

-3.2000 + 2.4000i -3.2000 - 2.4000i 0 k = [ ] Rezultat možemo napisati u obliku: Nakon sređivanja:

Ozren Bilan 86

)101664000(

10384)(

82

5

ssssIL

2400032000

87,1261020

24000000,32

87,12610201024)(

333

jsjsssIL

[A] )87,12624000cos(10401024)( 3200033 teti t

L

z–transformacija sustava

z-transformacija može se primijeniti na signale i sustave zbog toga što sustave možemo predstaviti impulsnim odzivom koji su kao i signali u funkciji indeksa n. Zbog ovog svojstva z-transformacija je korisna pri analizi i sintezi sustava jer signali i sustavi međusobno djeluju.

U specififnom slufaju, z–transformacija impulsnog odziva h(n) je:

jednostrana

ILI

dvostrana

transformacija

87 Ozren Bilan

Primjer: impulsni odziv sustava h(n)=[1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6] Odredi prijenosnu funkciju

Rijef je o nekauzalnom FIR sustavu. Prijenosna funkcija određena mu je jednadžbom:

H(z) = = =

=

U suprotnom zadatku, ako poznajemo (prijenosnu funkciju) H(z) lako možemo odrediti (impulsni odziv sustava) h(n).

n

nzn)(h

3

2

)(hn

nzn

32112 65432 zzzzz

88 Ozren Bilan

Prijenosna funkcija izražena koeficijentima filtera

Prisjetimo se opde jednadžbe diferencija filtera

Gdje su ak i bk konstante koeficijenata filtera.

Izvršimo li supstituciju

x(n) = zn

y(n) = znH(z)

dobivamo:

89 Ozren Bilan

Iz prethodnog izraza izvodimo izraz H(z) za rekurzivne filtere: (rekurzivni filteri) Nerekurzivnim filterima je izraz (nerekurzivni filteri) Navedene prijenosne funkcije proizlaze iz jednadžbe filtera U literaturi se može nafi ovaj izraz napisan sa svim vrijednostima y s lijeve strane jednadžbe, pa je izraz za H(z) razlifit. Ovdje prikazana ideja sugerira da ako je poznata jednadžba filtera, koeficijente možemo diretnno uvrstiti u jednadžbu H(z) bez izvođenja z-transformacije. U suprotnom, ako znamo H(z) poznajemo i koeficijente

90 Ozren Bilan

21.10.2013.

16

Primjer: zadana je H(z) odredi jednadžbu diferencija filtera

H(z) =

Napišemo H(z) kao funkciju z-1 tako da pomnožimo brojnik i nazivnik s z-2 :

H(z) =

Koeficijenti su onda

b0 = 2 b1 = -3 a1 = -0.5 a2 = 0.8

Pa je jednadžba diferencija filtra:

y(n) = -0.5y(n-1) – 0.8y(n-2) + 2x(n) - 3x(n-1)

8050

322

2

.z.z

zz

)8050(1

32

80501

3221

1

21

1

z.z.

z

z.z.

z-

91 Ozren Bilan

SVOJSTVA z –TRANSFORMACIJE

Svojstva dvostrane (bilateralne) z–transformacije možemo shvatiti kao teoreme. Osnovna svojstva, koja demo kratko obraditi, su:

• Linearnost • Vremenski pomak • Vremenska konvolucija • Odnos sa Fourierovom Transformacijom u diskretnom

vremenu (DTFT) • Druga svojstva

Pri tome podrazumijevamo z-transformacijski par

x(n) X(z).

92 Ozren Bilan

Linearnost

Linearnost možemo izraziti kao:

a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(z) + a2X2(z)

Gdje su a1 a2 konstante. Isti oblik izraza primjenjiv je i na više ulaznih signala. Dakle, linearnost znafi da de linearna kombinacija izlaza dati istu linearnu kombinaciju izlaza.

Za z–transformaciju (i mnoge ostale transformacije) linearnost je temeljno i vrlo važno svojstvo. Omogudava nam određivanje transformacije i inverzne transformacije u slufajevima kombinacija velikog broja izraza.

93 Ozren Bilan

Vremenski pomak

Prvo analizirajmo z-transformaciju jedinifnog uzorka (ili jedinifnog impulsa) (n) i jedinifnog uzorka pomaknutog unazad (n-n0): X(z) = = = 1 X(z) = = = Dakle, kašnjenje za n0 (podrazumijevamo n ) uzoraka odgovara faktoru transformacijskog izraza. Izrazimo li signal x(n) u obliku jedinifnih uzoraka pa primijenimo linearnost dobivamo opde rješenje: x(n – n0) X(z) (pomak unazad, kašnjenje) x(n + n0) X(z) z +n0 (pomak unaprijed, prethođenje)

To je razlog zbog kojeg u blok dijagramima sustava, pišemo za jedinično kašnjenje z-1, a z za jedinično prethođenje.

94

0n

n(n)zδ

0n

n

0 znn )δ(

0

z

nz

0nz

nz

0n

z

00

0nz

Ozren Bilan

Konvolucija u vremenu

Kao i za Fourierovu transformaciju, najvažnije i najsnažnije svojstvo ili teorem z–transformacije je vremenska konvolucija koja kaže: Konvolucija dvije vremenske funkcije odgovara normalnom umnošku

njihovih z-transformacija x1(n) x2(n) X1(z) X2(z)

Najfešda je konvolucija ulaznog signala x(n) i impulsnog odziva h(n) sustava: x(n) h(n) X(z) H(z) Gdje je H(z) prijenosna funkcija. Izlazni signal u vremenskom podrufju određen je izrazom: y(n) = x(n) h(n), a u z–podrufju: Y(z) = X(z) H(z) Proizlazi: H(z) = Dakle, prijenosna funkcija ili funkcija sustava je odnos z–transformacije izlaza prema z-transformaciji ulaza. Ovo stajalište omogudava određivanje prijenosne funkcije sustava, a preko inverzne transformacije, određivanje impulsnog odziva.

95

)(

)(

zX

zY

Ozren Bilan

Vremenski obrat

x(-n) X(z–1)

dokaz:

Z[x(-n)] = = = X(z–1)

Npr.

u(n) u(-n)

96

n

nznx )(

k

k)zkx 1)((

11

1 z z1

1

Ozren Bilan

21.10.2013.

17

Skaliranje diskretnom eksponencialom

anx(n) X(a–1z)

Dokaz:

Tako npr. poznajemo li transformaciju izraza:

lako možemo odrediti transformaciju

(vidi tablicu).

97 Ozren Bilan

Množenje u vremenu

Svojstvo je poznato iz Fourierove transformacije ali izraz u z–podrufju je integral umjesto obifne konvolucije:

Gdje je C krivulja oko ishodišta koja leži unutar podrufja konvergencije X1 i X2

98 Ozren Bilan

Deriviranje u z-području

Dokaz: Deriviramo obje strane definicije pa dobivamo Što je drugi oblik izraženog svojstva. Npr. odredimo z-transformaciju signala Uvrstimo z-transformacija x(n) prema tablici je Onda je:

99 Ozren Bilan

Kompleksna konjugacija x*(n) ↔

100

Početna i konačna vrijednost Početna vrijednost x(0) = X(z)

Znafaj svojstva: ako poznajemo X(z), a želimo odrediti x(0) tada ne treba izvršiti inverznu transformaciju. Konačna vrijednost x(n) = Znafaj svojstva je slifno prethodnom ali u odnosu na konafnu vrijednost x(n). Primjena svojstva je određivanje ustaljenog odziva sustava u odnosu na jedinifni step ulaz. z-transformacija jedinifnog stepa je: Ustaljeni odziv sustava H(z) s jedinifnim step ulazom određen je :

Zamjenom z sa u H(z) dobivamo frekvencijski odziv H(ω). Dakle, z=1 odgovara ω=0, a odziv H(ω) je odziv na nultoj frekvenciji.

**zX ))((

zlim

zlim ))z(X1)z((lim

1z

𝑋 𝑧 =𝑧

𝑧 − 1

lim𝑛→∞

𝑠 𝑛 = lim𝑧→1

𝑧 − 1𝑧

𝑧 − 1𝐻 𝑧 = lim

𝑧→1𝐻(𝑧)

𝑒𝑗𝜔

Ozren Bilan

Primjer svojstva konačne vrijednosti

Ako je jednadžba diferencija sustava y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n) Možemo odrediti odziv na step 𝑠 𝑛 = [𝟏, 1.8, 2.44, … , 𝟓. 𝟎] Vrijednost 5.0 je konafna ustaljena vrijednost. Iz zadane jednadžbe diferencija možemo odrediti prijenosnu funkciju: 𝐻 𝑧 =

𝑧

𝑧−0.8

Konafna vrijednost odziva na step primjenom svojstva bit de

lim𝑛→∞

𝑠 𝑛 = lim𝑧→1

𝐻 𝑧 =1

1 − 0.8= 𝟓. 𝟎

Ogranifenje lim𝑛→∞

𝑠 𝑛 = lim𝑧→1

𝑧 − 1𝑧

𝑧−1𝐻 𝑧 = lim

𝑧→1𝐻(𝑧)

postoji samo u slufaju ako podrufje konvergencije (z- 1)H(z) ukljufuje jedinifnu kružnicu.

101 Ozren Bilan

Odnos s Fourierovom transformacijom u diskretnom vremenu (DTFT)

Z-transformacija dovodi u vezu diskretne signale i sustave s Fourierovom transformacijom na isti nafin kojim Laplaceova transformacija dovodi kontinuirane signale i sustave s Fourierovom transformacijom. Napravimo li suspstituciju: z = ejω u definiciju z-transformacije dobivamo: X(ω) = (signal) H(ω) = (sustav) To su upravo Fourierove transformacije koje poznajemo. Pri tome su X(ω) i H(ω) periodični s periodom 2 . Zakljufujemo da je preslikavanje: H(ω) = Odnos X(ω) i X(z) je slifan. Magnituda i faza z u odnosu na ω su:

102

z = ejω = 1 z = ejω = ω Fourierova transformacija je z–transformacija kada je z ograničen na jediničnu kružnicu. Kako se z krede uzduž kružnice mijenja se frekvencija. X(ω) i H(ω) su 2 periodifne pa ih analiziramo samo u periodu 2 , u intervalu [- , ] ili [0 , 2 ].

jωz =eH z

n

nj(n)ex

-n

jn(n)eh

Jedinifna kružnica

z-ravnina

Ozren Bilan

21.10.2013.

18

DIJAGRAM POLOVA I NULA

z-transformacija realnih signals i linearnih vremenski npromjenjivih sustava su racionalne funkcije dva polinoma od z, pa pišemo X(z) ili H(z) = Gdje je N(z) polinom brojnika, a D(z) polinom nazivnika.

Ako su z1, z2, z3 … korjeni N(z), a p1, p2, p3 … korijeni D(z), tada z-transformaciju možemo napisati u obliku H(z) = =

Gdje je G pojafanje ; z1, z2, z3 … su nule u kojima je H(z)=0; a p1, p2, p3 … su polovi u kojima H(z)→∞, L je red brojnika , M nazivnika.

H(z) je racionalni polinom samo onda kada je L≤ M (red brojnika je manji od reda nazivnika).

M

k

k

L

k

k

M

L

z-p

zz

Gz-p... pzpzpz

z-z... zzzzzzG

1

1

321

321

))()((

))()((

(z)

(z)

D

N

103

)(

)(

zD

zN

Ozren Bilan

Raspored polova i nula X(z) u z-ravnini nazivamo dijagram polova i nula. Slika prikazuje dijagram polova i nula za nekoliko jednostavnih signala. Jedinični uzorak δ(n) je jedina funkcija koja nema ni pol ni nulu. Dijagram polova i nula vrlo je koristan pri analizi i projektiranju digitalnih filtera i sustava. U stvarnosti samo položaj polova djeluje na signale.

Kada je signal x(n) ili impulsni odziv h(n) realan, polovi i nule su realni ili se javljaju ka kompleksno konjugirani parovi.

104 Ozren Bilan

Jedinifna kružnica Dvostruki pol

Magnitudni dijagram X(z), H(z) Prijenosna funkcija – površina u z-području

Prijenosna funkcija H(z) je kompleksna funkcija (kompleksni polinom s realnim koeficijentima) kompleksne varijable z. Sve vrijednosti z smještene su u kompleksnoj ravnini pa se H(z) može prikazati kao površina u z-podrufju. Magnituda površine određena je konturama koje određuju nule i polovi prijenosne funkcije. Frekvencijski odziv predstavljen je vrijednostima oko jedinifne kružnice u ishodištu. Nacrtat demo magnitudu prijenosne funkcije za vrijednosti varijable z, za visokopropusni filter kvantizera oblikovanja šuma 1. reda. MATLAB funkcije omogudavaju nam trodimenzionalni prikaz promjene magnitude |H(z)| u odnosu na koordinate Re(z) i Im (z).

Magnitudni dijagram prijenosne funkcije H(z)

105

jedinifna kružnica

Ozren Bilan

15.01

1)(

zzH

Polovi i nule u ishodištu

Polovi i nule u ishodištu ne djeluju na magnitudni i fazni odziv nego na vrijeme pojave odziva. Odziv se javlja ranije ili kasnije s obzirom na vrijeme pojave pobude. Nula u ishodištu kasni odziv za jedan indeks. Pol u ishodištu prethodit de odziv za jedan indeks. Pri projektiranju možemo dodavati polove i nule sustavu kako bi dobili trenutni odziv ili ga ufinili kauzalnim.

Analizirajmo prijenosnu funkciju s 3 pola u z = 0, 1 i 2

Jednadžba diferencija de biti: y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n-3), pa de izlazni signal ovisiti o 3 prethodna indeksa ulaznog signala. Kako bi se sustav trenutno odazvao na pobudu prethodimo izlaz za 3 indeksa dodavanjem 3 nule u ishodište. Prijenosna funkcija postaje

S odgovarajudom jednadžbom diferencija: y(n) = 3y(n-1) – 2y(n-2) + x(n)

Kako bi se sustav trenutno odazvao na ulazni signal, njegova prijenosna funkcija treba imati jednak broj polova i nula.

Drugim riječima polinomi brojnika i nazivnika trebaju biti jednaki.

106 Ozren Bilan

Poništavanje polova i nula

Ako se u racionalnom polinomu z–transformacije podudara nula s polom, ovaj para nule i pola se poništava. Tako se reducira red polinoma, a kao poslijedicu imamo da se pojednostavljuje jednadžba diferencija. Ova tehnika poništavanja pola s nulom ponekad se koristi u digitalnoj obradi signala i pri projektiranju sustava upravljanja. Bududi da je izlaz predstavljen interakcijom ulaznog signala i sustava mogude je izabrati takav sustav koji de poništiti pol ili nulu ulaznog signala. Poništenje pola nulom može seizvršiti unutar sustava. Međutim, može nastati problem ako poništavanje pola i nule nije idealno zbog ufinka konačne dužine riječi i drugih razloga, pa projektirani sustav može postati nestabilan.

107 Ozren Bilan

Primjer: poništavanje polova i nula

U nekim situacijama dva nestabilna sustava mogu postati stabilna postupkom poništavanja polova i nula. Međutim, može dodi i do promjene odziva.

Nestabilan

pomnožimo s

108 Ozren Bilan

21.10.2013.

19

PODRUČJE KONVERGENCIJE, STABILNOST Red kojim definiramo z–transformaciju: može pofeti divergirati pa definicija više ne vrijedi. Područje konvergencije je područje u kojem z-transformacija X(z) ili H(z) konvergira. Podrufje konvergencije omogudava jedinstveno određivanje inverzne z–transformacije. Pogledajmo primjere: • Jedinifni uzorak ima z-transformaciju jednaku 1, zbog toga je podrufje

konvergencije cijela z ravnina . • Signal (n+k) s k>0 ima z–transformaciju zk , podrufje konvergencije je cijela z–ravnina, osim u z = . • Signal x(n) = [1 , 2 , 3 , 4 , 5] ima z-transformaciju X(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 4z-3 + 5z-5 podrufje konvergencije je cijela z–ravnina, osim u z = 0 (ishodište). • Sgnal h(n) = [1 , 2 , 3 , 4 , 5] ima z-transformaciju H(z) = z2 + 2z + 3 + 4z-1 + 5z-2 podrufje konvergencije je cijela z-ravnina osim z = 0 i z =

109 Ozren Bilan

PODRUČJE KONVERGENCIJE KAUZALNIH I NEKAUZALNIH SUSTAVA

Kauzalni signal Zadan je x(n) = 0.8nu(n) = 1 , 0.8 , 0.82 , 0.83 , … X(z) = = = Korišten je razvoj u beskonafni geometrijski red.

Uvjet0.8z-1< 1 znafi z> 0.8 . Podrufje konvergencije je sva površina izvan kružnice polumjera 0.8. Transformacija ima nulu u ishodištu i pol u z = 0.8.

110

0 8 ( )n n

n

. u n z

0

1)80(n

nz. 1801

1 z. 18.0 1 z

Ozren Bilan

Nekauzalni signal Zadan Sumiranje daje: Uvjet0.8-1z< 1 znafiz< 0.8. Podrufje konvergencije je površina unutar kružnice polumjera 0.8 Opdenito Kauzalan: (desnostrani) Nekauzalan (lijevostrani) Konstanta a može biti realna ili kompleksna. Kada signal posjeduje mnogo kauzalnih izraza, podrufje konvergencije je izvan kružnice s najvedim polumjerom. Kada signal ima mnogo nekauzalnih izraza, podrufje konvergencije je unutar kružnice s najmanjim polumjerom.

Problem: što napraviti ako signal ima kauzalne i nekauzalne flanove? 111 Ozren Bilan

Postoje situacije kada ne postoji podrufje konvergencije dakle, z-transformacija ne postoji.

Tako npr. signal

ima podrufje konvergencije z> 1.2 za prvi izraz, az< 0.8 za drugi izraz pa je ukupno podrufje konvergencije jednako nuli, za razliku od jedinifnog impulsa kojem je podrufje konvergencije cijela z-ravnina.

112

)1(8.0)(2.1)( nununx nn

jedinifna kružnica

jedinifna kružnica

Ozren Bilan

Stabilnost i kauzalnost Za pouzdani rad sustava nužna je stabilnost – ona osigurava da u vremenskom podrufju impulsni odziv ne divergira. U z podrufju nužan i dovoljan uvjet stabilnosti LTI sustava je područje konvergencije unutar jednične kružnice. Stabilnost ne ukljufuje kauzalnost. Kauzalni sustav je stabilan kada su mu svi polovi unutar jedinifne kružnice, a nule su nevažne. Uvjet je: gdje je magnituda najvedeg pola sustava. Antikauzalni sustav je stabilan kada su mu svi polovi izvan jedinifne kružnice, a nulu se nevažne: Gdje je magnituda najmanjeg pola. Slika ilustrira podrufje konvergencije. Također postoje i sustavi fije je impulsdi odziv nije niti konvergentan niti divergentan nego ostaje nepromijenjiv. Takvim sustavima polovi su upravo na jediničnoj kružnici. Nazivamo ih marginalno stabilni (oscilatorni).

U DSP stabilnost je mnogo važnija od kauzalnosti.

113 Ozren Bilan

1max p

maxp

1min p

minp

jedinifna kružnica

jedinifna kružnica

INVERZNA z-TRANSFORMACIJA

Signali sustavi karakterizirani vlastitim impulsnim odzivom su u funkciji indeksa vremena n. Transformacija u kompleksno vremensko podrufje z potrebna je zbog razloga ispitivanja dodatnih karakteristika. Međutim, najčešde izvodi se inverzna z-transformacija kako bi mogli analizirati rezultat u vremenskom području.

Kao i pri svim ostalim transformacijama, inverzna transformacija daleko je složenija. Standardni postupak inverzije je

• Razvoj u parcijalne razlomke.

Osim toga poznati su i postupci:

• Teoretska inverzna z-transformacije

• Metoda redova potencija

• Transformiranje jednadžbi u z-podrufju u jednadžbe u vremenskom podrufju

114 Ozren Bilan

21.10.2013.

20

METODA PARCIJALNIH RAZLOMAKA

Primjenom metode parcijalnih razlomaka, nakon razvoja zadanog izraza z-transformacije u parcijalne razlomke koristimo transformacijske parove koje smo prikazali tablifno uz svojstva z transformacije kako bi odredili pripadajude izraze u vremenskom podrufju.

Prikazat demo kratki uvod u koncept metode parcijalnih razlomaka.

115 Ozren Bilan

Racionalni polinom i jednostavni polovi

Nule izraza X(z) ili H(z) (ovdje uzimamo X(z) kao primjer) su nevažni jer metoda razmatra samo polove. Racionalni polinom pišemo u obliku: X(z) = Podrazumijevamo jednostruke polove. Kada je red brojnika niži od reda nazivnika racionalni polinom je ispravan. Razvoj u parcijalne razlomke glasi X(z) = Međutim, poznavajudi transformacijske parove, razvijamo X(z)/z umjesto X(z) = Pomnožit demo obe strane jednadžbe sa izrazom (z - pi ) , i = 1,2,…, pa procijeniti izraze polova p1, p2 … To nas dovodi do izraza za konstante: Ai = (z - pi ) i = 0,1,2...

116

iPzz

X(z)

))()((

)(

)(

)()(

321 pzpzpzz

zN

zzD

zN

z

zX

...3

3

2

2

1

10

pz

A

pz

A

pz

A

z

A

...3

3

2

2

1

1

pz

A

pz

A

pz

A

)...pz)(pz)(pz(

)z(

)z(

)z(

321

N

D

N

Ozren Bilan

Racionalni polinom i jednostavni kompleksni polovi

Razlika je u tome što su polovi kompleksni. Pamtimo da se kompleksni polovi uvijek pojavljuju kao kompleksno konjugirani par. Opdi postupak je isti, ali je prorafun duži zbog kompleksnih brojeva. Inverzna z-transformacija su sinusoidalne funkcije.

Višestruki polovi Racionalnom polinomu s višestrukim polovima razvoj je bitnmo razlifit. Višestruki pol p može biti realna ili kompleksan. Razvoj je Potrebno je dodati i izraz koji uzima u obzir eventualne jednostavne polove, ako postoje. Postupak možemo ilustrirati slufajem dvostrukog pola (pol drugog reda):

117

mpz

zN

z

zX

)(

)()(

m

m

m

m

pz

A

pz

A

pz

A

pz

A

z

zX

)()(...

)(

)(1

1

2

21

Ozren Bilan

Red brojnika vedi od reda nazivnika

U ovakvoj situaciji može se podijeliti brojnik s nazivnikom kako bi dobili ostatak:

X(z) = N(z) = Q(z)D(z) + R(z)

Red ostatka R(z) mora biti manji od brojnika D(z). Nakon toga:

X(z) = =

Razvijamo racionalni polinomni izraz kako je uobifajeno.

Drugim nafinom: pofetno zanemarimo N(z), pa rješavamo izraz 1/D(z), nakon toga množimo s N(z-1) za rješenje X(z).

118

)(

)(

zD

zN

)(

)(

zD

zN

)(

)()(

)(

)()()(

zD

zRzQ

zD

zRzDzQ

Ozren Bilan

Razvoj u parcijalne razlomke u Matlabu

Razvoj u parcijalne razlomke javlja se u DSP kao jedna od metoda određivanja inverzne z-transformacije prijenosne funkcije. Tako razvoj u parcijalne razlomke izraza

dobivamo naredbom residuez

is

odgovara

Kako bi odredili inverznu z-transformaciju H(z), određujemo sumu inverzne z-transformacije dva dodatna flana H(z), što daje kauzalni impulsni odziv.

Provjera u MATLAB-u

119 Ozren Bilan

Analiza polova i nula u Matlabu

zplane funkcija crta polove i nule linearnog sustava. Tako filter s nulom u -1/2 i kompleksnim parom polova u 0.9e j2π(0.3) i 0.9e -j2π(0.3) je:

zer = –0.5;

pol = .9*exp(j*2*pi*[–0.3 .3]');

Dijagram polova i nula filtera je

zplane(zer,pol)

Sustavu prikazanom u obliku nula i polova upiši stupfaste argumente vektora z i p u zplane.

zplane(z,p)

Ako je sustav u obliku prijenosne funkcije, upiši u retku vektore b i a kao argumente zplane.

zplane(b,a)

Sada de zplane odrediti korjene b i a primjenom funkcije koja izrafunava korijene i prikazati rezultirajude nule i polove.

120 Ozren Bilan

21.10.2013.

21

Jednostrana z-transformacija Dvostrana ili bilateralna z-transformacija definirana je u cijelom vremenskom intervalu ∞-<n<∞, pa je nije mogude primijeniti na nerelaksirane sustave koji su opisani jednadžbom diferencija s početnim ili rubnim uvjetima. Tada se koristi jednostrana ili unilateralna z-transformacija. Oznafavamo s X +(z). Donja granica sumiranja uvijek je 0 bez obzira da li je signal x(n) kauzalan ili nije. To znafi da X +(z) ne sadržava prošlost informacije (n < 0) signala. Kauzalni signalima onda je bilateralna i unilateralna transformacija jednaka. Podrufje konvergencije kauzalnih signala je uvijek izvan kružnice koja prolazi najširim polom. Unilateralna transformacija antikauzalnog signala uvijek je jednaka nuli . Svi navedeni signali x1(n) = [2 , 3 , 4 , 5] x2(n) = [1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 4 , 5] x3(n) = [3 , 2 , 1, 2 , 3 , 4 , 5] Imaju istu transformaciju koja glasi:

X+(z) = 2z–0 + 3z–1 + 4z–2 + 5z–3 = 2 + 3z–1 + 4z–2 + 5z–3

121 Ozren Bilan

Svojstva bilateralne z-transformacije primjenjuju se i na unilateralnu transformaciju s izuzetkom vremenske translacije. Ako signal kasnimo, pojavljuje se njegova prošlost (n<0), koja mijenja X+(z). Iz transformacije signala koji kasni razvojem dobivamo: Z+[x(n – n0)] = = dakle ako je x(n) X+(z) Onda je x(n–n0) , n0 > 0 Kauzalnim signalima drugi flan nestaje pa dobivamo poznatu transformaciju. Npr., kada x1(n), x2(n), x3(n) kasnimo 2 uzorka transformacija postaje: X1(z) = (2 + 3z–1 – 4z–2 + 5z–3) z–2 X (z) = (2 + 3z–1 + 4z–2 + 5z–3) z–2 + (3z + 2z2) z–2 X3(z) = (2 + 3z–1 + 5z–2 + 5z–3) z–2 + (z + 2z2) z–2

122

1

nk 0k

kkn

0

0 (k)zx(k)zxz

0

0

n

1k

kn(z)X(-k)zxz

0

0 0

n-n -n+ k

k =1

z X z + z x k z

Ozren Bilan

Kada signal translatiramo za n uzoraka bit de manji broj uzoraka u odnosu na novo izvorište. Pogledajmo signal x(n) kojemu je transformacija X+(z) translatiran n uzoraka, koji postaje x(n + n0 ), nova transformacija je Z+[ x(n+n0)] = = Izvornu X+(z) signala možemo napisati u obliku X+(z) = = + Možemo zakljufiti ako x(n) X+(z) onda x(n+n0) , n0 > 0 Možemo provjeriti sa signalima x1(n), x2(n), x3(n). U stvarnosti je bolje izvršiti z- transformaciju translatiranog signala nego koristiti navedene formule. Više u projektiranje digitalnih filtera.

123

0n

n

0 )zn(nx

0

0

nk

kn(k)zxz

0k

k(k)zx

1n

0k

k0

(k)zx

0k

k(k)zx

0

0 0

n -1n n+ -k

k =0

z X z - z x k z

Ozren Bilan

ZADATAK z transformacija

Diskretni sustav je zadan jednadžbom diferencija

y(n) = 0.6x(n) + 0.3x(n-1) - 0.2y(n-2) + 0.7x(n-3)

a) Z transformacijom odredi prijenosnu funkciju sustava H(z)

b) Ispitaj je li sustav rekurzivan ?

c) Ispitaj je li sustav stabilan ?

d) Ispitaj je li sustav kauzalan ?

e) Napiši Matlab program koji de nacrtati polove i nule u kompleksnoj z ravnini

RJEŠENJE

a) Prvo se prebaci y na jednu, a x na drugu stranu jednakosti

y(n) + 0.2y(n-2) = 0.6x(n) + 0.3x(n-1) + 0.7x(n-3)

Ozren Bilan 124

Primjenjujemo Z transformaciju tako da

y(n) suspstituiramo sa Y(z)Z0 ili Y(z)

y(n-1) suspstituiramo sa Y(z)Z -1

y(n-2) suspstituiramo sa Y(z)Z -2

y(n+1) suspstituiramo sa Y(z)Z 1

y(n+2) suspstituiramo sa Y(z)Z 2

itd…

x(n) suspstituiramo sa X(z)Z 0 ili X(z)

x(n-1) suspstituiramo sa X(z)Z -1

x(n-2) suspstituiramo sa X(z)Z -2

x(n+1) suspstituiramo sa X(z)Z 1

x(n+2) suspstituiramo sa X(z)Z 2

itd….

Koeficijenti se prepisuju. Dobije se jednadžba:

Y(z) + 0.2Y(z)Z -2 = 0.6X(z) + 0.3X(z)Z -1 + 0.7X(z)Z -3

Ozren Bilan 125

Sredimo tako da je Y(z) sa jedne, a X(z) sa druge strane

Y(z) ( 1 + 0.2Z -2 ) = X(z) ( 0.6 + 0.3Z -1 + 0.7Z -3 )

Prijenosna funkcija po definiciji je H(z) = Y(z)/X(z), dalje slijedi

H(z) = ( 0.6 + 0.3Z -1 + 0.7Z -3 ) / (1 + 0.2 Z -2 )

Množimo funkciju sa Z3/Z3 kako bi smo dobili samo Z-ove sa pozitivnim eksponentom. Dobije se:

H(z) = ( 0.6Z3 + 0.3Z2 + 0.7 ) / ( Z3 + 0.2Z )

koef. brojnika su 0,6 0,3 0 0,7

koef. nazivnika 1 0 0,2 0

Iz prijenosne funkcije zakljufujemo da je sustav IIR tipa jer u nazivniku funkcije ima polinom od Z. Da funkcija H(z) ima samo konstante u nazivniku sistem bi bio FIR tipa.

Ozren Bilan 126

21.10.2013.

22

b) Je li sustav rekurzivan ?

Ukoliko je sustav IIR tipa (kao ovaj slufaj), uvijek je rekurzivan, za razliku od FIR tipa koji je uvijek

nerekurzivan. Sustav je rekurzivan.

c) Je li sustav stabilan ?

FIR sistem je uvijek stabilan, za razliku od IIR pa se mora dodatno ispitati stabilnost. Brojnik

prijenosne funkcije predstavlja nule sustava, a nule nazivnika predstavljaju polove sustava.

Stabilnom sustavu svi polovi moraju biti unutar jediničnog kruga. Tražimo polove tako što nazivnik

izjednafimo s 0.

Z 3 + 0.2Z = 0

Z(Z 2 + 0.2) = 0

Z = 0 ili Z 2 + 0.2 = 0

Z = 0 ili Z 2 = -0.2 - nerealno

Z = 0

Imamo jedno rešenje Z = 0. Ukoliko je |Zn| < = 1 sustav je stabilan u suprotnom sustav nije stabilan.

Da imamo Z1, Z2 i Z3 morali bi promatrati da li je svako Z po apsolutnoj vrijednosti manje ili jednako

od 1. Dovoljno je da samo jedan Z bude vedi od 1 i da sistem bude nestabilan. Sustav je stabilan

Ozren Bilan 127

d) Je li sustav kauzalan ?

Sistem je kauzalan ako ne postoji izlaz prije pobude. Dakle ukoliko na ulazu (x je ulaz) ne postoji neki x koje prednjafi (x+konst) sistem je kauzalan. U zadanom izrazu na ulazu ne postoji signal koji prednjafi, dakle ne postoji ni jedan x+konst, pa je sustav je kauzalan.

e) Napiši matlab kod koji crta polove i nule u z-kompleksnoj ravnini.

U matlabu postoji funkcija sa sintaksom zplane(z,p) gdje su z nule, a p polovi sustava. Pri pisanju se unose koeficijenti tako što se pofinje od najviše potencije. Ukoliko ne postoji konstanta za određenu potenciju upiše se 0.

H(z) = ( 0.6Z3 + 0.3Z2 + 0.7 ) / ( Z3 + 0.2Z )

koef. brojnika su 0,6 0,3 0 0,7

koef. nazivnika 1 0 0,2 0

Pišemo matlab kod:

z = [0.6 0.3 0 0.7];

p = [1 0 0.2 0];

zplane(z,p)

Ozren Bilan 128

Vrlo kratka rekapitulacija Furierov red: Linearnom superpozicijom sinusoida možemo tvoriti složene valne oblike (i obrnuto). Periodifkim složenim signalima možemo odrediti koeficijente sinusnih i kosinusnih komponenti.

DTFT predstavlja frekvencijski sadržaj diskretnog neperiodičkog signala, a DFT je frekvencijski sadržaj periodičkog vremenski diskretnog signala. DFT pokazuje periodifnost u vremenskom i frekvencijskom podrufju. Međutim, uvijek se rafuna i prikazuje samo jedan period DFT. DFT je transformacija konafnog i ogranifenog broja uzoraka periodifkog signala bez obzira je li promatrani signal stvarno periodifan. DTFT je transformacija cjelovitog sempliranog signala od -∞ do +∞, koji nužno ne mora biti periodifan. DTFT je matematifki precizna, a DFT je fizifki realizabilna. DTFT je reverzna transformacija DFS.

DFT je vrlo važno podrufje analize spektra (frekvencijskih komponenti koje su sadržane u signalu). DFT to postiže tako što diskretni signal u vremenskom podrufju transformira u diskretno frekvencijsko podrufje. Transformacija iz diskretnog vremena u diskretnu frekvenciju omogudava prorafun Furierove transformacije na DSP ili rafunalu.

FFT je Brza Furierova transformacija, mnogo brža verzija DFT. Omogudavaju je posebni algoritmi.

Laplaceova transformacija koristi se za određivanje polova i nula koji predstavljaju signal ili sistem u s ravnini.

z transformacija određuje polove i nule diskretnog signala ili sustava x[n] u z-ravnini.

Fourierovu transformaciju u ustaljenom vremenu CTFT određujemo iz Laplaceove transformacije u s=jω.

Fourierovu transformaciju u diskretnom vremenu DTFT određujemo iz z-transformacije u z = ejΩ. 129 Ozren Bilan