Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Daha önce beşinci bölümde
denklemlerini ele almıştık. Burada
fazla olduğu diferansiyel denklemlerden
üzerinde duracağız. Genel olarak
denklemden oluşan diferansiyel
yazabiliriz:
(((( , ,dx
x f x y t= == == == =� ((((
((((
, ,
, ,
dxx f x y t
dt
dyy g x y t
dt
= == == == =
= == == == =
�
�
tek değişken durumunda fark
değişken sayısının iki ya da daha
denklemlerden oluşan bir sistemin çözümü
22
iki tane birinci sıra diferansiyel
diferansiyel denklemler sistemini şöyle
)))), ,x f x y t ))))
))))
, ,
, ,
x f x y t
y g x y t
t
x ax by ce
y rx sy qe
= − −= − −= − −= − −
= + −= + −= + −= + −
�
�(1)
(2)x ax by
y rx sy
= −= −= −= −
= += += += +
�
�
(3)
x ax bxy
y rx sxy
= −= −= −= −
= += += += +
�
�
33t
t
x ax by ce
y rx sy qe
Yukarıda yer alan üç diferansiyel
sıradandır. Yani her bir sistem,
türevine göre yazılmıştır. 1. vetürevine göre yazılmıştır. 1. ve
değişkenleri olan x ve y bağlamında
Buna karşın 3. sistem, x ve y xy biçiminde
yer aldığından, doğrusal değildir
değişken olarak yer almıyorsa, sistem
değil, buna karşın 2. ve 3. sistemler
diferansiyel denklem sistemi de birinci
değişkenlerin en yüksek birinci
2. sistemler, sistemin bağımsız
44
2. sistemler, sistemin bağımsız
bağlamında doğrusal olduğundan doğrusaldır.
biçiminde çarpım olarak denklemlerde
değildir. Eğer denklemlerde t bağımsız
sistem otonomdur. 1. sistem otonom
sistemler homojendir.
Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde
sistem homojendir. Bu anlamda
homojen değildir.homojen değildir.
İki diferansiyel denklemden oluşan
değişkenlerini t ’ye bağlayan x=x(t)
bulunmasıdır. Elde edilecek denklemler,bulunmasıdır. Elde edilecek denklemler,
Ayrıca, sistemin belirli çözümünün
koşullarının da verilmiş olması gerekir
denklemlerde sabit terimler yoksa,
1. sistem, cet teriminden dolayı
55
oluşan bir sistemin çözümü, x ve y
) ve y=y(t) biçimindeki denklemlerin
denklemler, t ’te göre türevlenebilirdir.denklemler, t ’te göre türevlenebilirdir.
çözümünün elde edilebilmesi için, başlangıç
gerekir.
Buna göre, iki değişkenli bir diferansiyel
olarak şöyle tanımlayabiliriz:
(((( )))), ,x f x y t====� (((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))0 0 0 0
, ,
, ,
,
x f x y t
y g x y t
x t x y t y
====
====
= == == == =
�
�
diferansiyel denklem problemini genel
66
0 0 0 0x t x y t y= == == == =
ÖrnekÖrnek 11::
(((( )))) (((( ))))
2
2 , 3
x x
y y
x t x y t y
====
====
= = = == = = == = = == = = =
�
�
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
0 0 0 0
2
2 , 3
2 , 3t t
x t x y t y
x t e y t e
= = = == = = == = = == = = =
= == == == =
Yukarıda elde ettiğimiz (t ’ye bağlı)Yukarıda elde ettiğimiz (t ’ye bağlı)
yapmak istersek, çözümü aşağıdaki
yörünge, Şekil 1’de gösterilmiştir.
3 2y x====
77
2 , 3x t x y t y= = = == = = == = = == = = =0 0 0 0
2 , 3
2 , 3t t
x t x y t y
x t e y t e
= = = == = = == = = == = = =
bağlı) çözümlerden, x-y düzlemine geçişbağlı) çözümlerden, x-y düzlemine geçiş
aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Buna ilişkin
3 2
Şekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci Şekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci
(Örnek 1)(Örnek 1)
ty
4
6
8
5 10
2
88
ekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci ekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci
(Örnek 1)(Örnek 1)
3 2y x==== 3 2y x====
10 15 20t
x
ÖrnekÖrnek 22::
(((( )))) (((( ))))
2x x t
y y
= += += += +
====
= = = == = = == = = == = = =
�
�
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) ((((
0 0 0 0
2
2 , 3
9 1, 3
4 2
t
x t x y t y
e tx t y t e
= = = == = = == = = == = = =
−−−−= − == − == − == − =
1 4 2y x t= + += + += + += + +
99
= = = == = = == = = == = = =
))))
0 0 0 02 , 3
, 3t
x t x y t y
x t y t e
= = = == = = == = = == = = =
= − == − == − == − =
Şekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci Şekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci
(Örnek 2)(Örnek 2)
10t
y
4
6
8
5 10
2
1010ekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci ekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci
(Örnek 2)(Örnek 2)
0t ====5t ====10t ====
1 4 2y x t= + += + += + += + +
0t ====
10 15 20t
x
Otonom sistemlerin zamandan bağımsız
Yani değişkenlerin zamana göre
denklem sisteminin çözümüyle eldedenklem sisteminin çözümüyle elde
Yukarıda örnek 1 otonom, örnek
Otonom bir diferansiyel denklem sisteminde
grafiği, t ’den bağımsızdır.
bağımsız davrandığına dikkat edelim.
göre türevleri sabittir. Diferansiyel
elde ettiğimiz x ve y, t ’ye bağlıdır.
1111
elde ettiğimiz x ve y, t ’ye bağlıdır.
2 otonom olmayan sistemlerdir.
sisteminde (x, y düzlemindeki) süreç
Yukarıda sözünü ettiğimiz gibi,
diferansiyel denklem sisteminin çözümüyle
fonksiyonlarının, y=f(x, t) fonksiyonuna
başlangıç koşulu altında çizilmesiyle
noktasından hareketle, zamana bağlı
bir seyir izleyeceğini gösterir. Bu
grafiği de (orbit) denilebilir. Örnek
süreç (yörünge) grafiğidir.
süreç grafiği (phase diagram),
çözümüyle elde ettiğimiz, x(t) ve y(t)
1212
fonksiyonuna dönüştürülüp, tanımlı bir
çizilmesiyle elde edilir. Bu grafik, başlangıç
bağlı olarak x değiştikçe, y ’nin nasıl
Bu nedenle bu grafiklere, yörünge
Örnek 1 ve örnek 2’deki grafikler, birer
ÖrnekÖrnek 33::
0 0
3
2
2 , 3
x x y
y x y
x y
= −= −= −= −
= − += − += − += − +
= == == == =
�
�
0 02 , 3x y= == == == =
Bu diferansiyel denklem sistemini,
çözelim.
33 3
x x x xx x y y y
− + − +− + − +− + − +− + − += − → = → == − → = → == − → = → == − → = → =
� �� �� �
3 3
2 23 3
2 5 0
x x x xy x y x
x x x
− + − +− + − +− + − +− + − += − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +
− − =− − =− − =− − =
�� � ��
�� �
1313
sistemini, ilk olarak indirgeme yöntemiyle
3 3
x x x xx x y y y
− + − +− + − +− + − +− + − += − → = → == − → = → == − → = → == − → = → =
� �� �� �
3 3
2 23 3
x x x xy x y x
− + − +− + − +− + − +− + − += − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +
�� � �
1 2
2
1 2 1 2
2 5 0 2 5 0 1 6
r t r t
t t
x x x r r r
x A e A e x A e A e
− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =
= + → = += + → = += + → = += + → = +
�� �
(((( )))) (((( )))) ((((
1 2 1 2
1 6 1 6
1 21 6 1 6
3
t t
t t
x A e A e x A e A e
x A e A e
x xy
+ −+ −+ −+ −
= + → = += + → = += + → = += + → = +
= + + −= + + −= + + −= + + −
− +− +− +− +====
�
�
(((( )))) ((((1 6 1 6
1 2
3
6 6
3 3
t t
t
y
y A e A e+ −+ −+ −+ −
====
= − += − += − += − +
1414
(((( )))) (((( ))))
1,2
1 6 1 6
1 2 1 2
2 5 0 2 5 0 1 6
t t
x x x r r r
x A e A e x A e A e+ −+ −+ −+ −
− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =
= + → = += + → = += + → = += + → = +
∓
)))) (((( ))))
1 2 1 2
1 6 1 6
1 21 6 1 6
t t
x A e A e x A e A e
x A e A e+ −+ −+ −+ −
= + → = += + → = += + → = += + → = +
))))1 6 1 6t ty A e A e
+ −+ −+ −+ −
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
1 6 1 6
1 2
1 6 1 6
1 2
6 6
t t
t
t t
x A e A e
y A e A e
+ −+ −+ −+ −
+ −+ −+ −+ −
= += += += +
= − += − += − += − +
(((( )))) (((( ))))
1 2
0 0
1 2
3 3
2 , 3
1 6 1 6 2
ty A e A e
x y
A A
= − += − += − += − +
= == == == =
+ + − =+ + − =+ + − =+ + − =(((( )))) (((( ))))1 2
1 2
6 63
3 3A A− + =− + =− + =− + =
1515
(((( ))))1 6 1 6
1 2
t t
t ty A e A e
+ −+ −+ −+ −
1 2
1 6 1 6 2 3 61
y A e A e
A+ + − =+ + − =+ + − =+ + − = = −= −= −= − 1
2
14
3 61
4
A
A
= −= −= −= −
= += += += +
(((( ))))1 6 1 63 6 3 61 1
4 4
t t
tx e e
+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +
(((( ))))1 6 1 63 6 3 6
2 3 2 3
t t
ty e e
+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +
1616
(((( ))))1 6 1 63 6 3 61 1
4 4
t tx e e
+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +
(((( ))))1 6 1 63 6 3 6
2 3 2 3
t ty e e
+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +
Denge değerlerini belirlemek için,
ğiz.
x
3 0
2 0
x x yx y
y x y
= − == − == − == − =
= − + == − + == − + == − + =
�
�
Bu örneğe ilişkin denge eğrileri (isoclines
6.3a, 6.3b ve 6.3c’de gösterilmiştir
görülebilmektedir. Şekil 6.3c’deki mavi
iki doğru, ve sıfıra eşitlenerekx� y�
2 0y x y= − + == − + == − + == − + = �
iki doğru, ve sıfıra eşitlenerek
ların üzerindeki tüm noktalarda x ve
kesişim noktası da, tüm diferansiyel
göstermektedir.
x� y�
1717
ve terimlerini sıfıra eşitleyece-x� y�
* *0 , 0x y= == == == =
isoclines) ve süreç grafikleri, Şekil
gösterilmiştir. Sürecin bir eyer dengesi olduğu
mavi doğrular, denge eğrileridir. Bu
eşitlenerek belirlenmektedir. Yani, bu doğru-eşitlenerek belirlenmektedir. Yani, bu doğru-
ve y dengededirler. Her iki eğrinin
diferansiyel denklem sisteminin dengesini
60
Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Iraksama Süreci (Örnek 3)Iraksama Süreci (Örnek 3)
0.5 1
-20
20
40
-60
-40
-20
1818ekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Iraksama Süreci (Örnek 3)Iraksama Süreci (Örnek 3)
ty
1.5 2t
tx
Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Iraksama Süreci (Örnek 3)Iraksama Süreci (Örnek 3)
-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0
6.0
1919ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Iraksama Süreci (Örnek 3)Iraksama Süreci (Örnek 3)
ty
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0 t
•••• 0 0( , )x y
0.0
1.0
-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0t
x
Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Örnek 3)(Örnek 3)
y
••••
3
IV
(((( ))))* *,x y
III
2020ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
(Örnek 3)(Örnek 3)
ty 0y ====�
I
0x ====�
tx••••
(((( ))))0 0,x y
2
••••
I
II
Süreç grafiğini, denge eğrilerinin grafiği
inceleyebiliriz. Her bir alanı Romen
alanların içinde kalan kırmızı (küçük)
noktasından hareket edildiğinde, sürecin
da noktalara) doğru akacağını bize
Örneğin başlangıç noktasının I. bölgede
durumda x ve y nasıl değişecektir. Ix y
tünde, denge eğrisinin ise
denge eğrilerini yeniden yazalım ve
bölgelerin hareket yönlerini x ve y için
0y ====�
2121
grafiği böldüğü dört alan üzerinden
Romen rakamlarıyla tanımladık. Bu
(küçük) oklar, veri bir başlangıç
sürecin hangi yöne ve noktaya (ya
göstermektedir.
bölgede bulunduğunu varsayalım. Bu
I. bölge, denge eğrisinin üs-0x ====�
altında yer almaktadır. Buna göre,
ve bunun üstünde ve altında kalan
için belirleyelim.
0x ====�
İlk olarak denge eğrilerini (Şekil
yazalım.
3 0x x y y= − = → == − = → == − = → == − = → =�
2 0 2y x y y x= − + = → == − + = → == − + = → == − + = → =�
I. bölge için şunları yazabiliriz:
x3 0
3
2 2 0
xy x x y
y x y x y
> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <
< → = − + << → = − + << → = − + << → = − + <
�
�
2222
6.3c’deki mavi doğrular) yeniden
3
xx x y y= − = → == − = → == − = → == − = → =
3
2 0 2y x y y x= − + = → == − + = → == − + = → == − + = → =
3 0
2 2 0
y x x y
y x y x y
> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <
< → = − + << → = − + << → = − + << → = − + <
x azalıyor.
y azalıyor.
Yukarıdaki sonuca göre, I. bölgede
(yatay oklar sol yöne ve dikey oklar
oklarla gösterilecektir.
Buna benzer biçimde IV. bölgeyi deBuna benzer biçimde IV. bölgeyi de
yazabiliriz:
3 03
2 2 0
xy x x y
y x y x y
> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <
> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + >
�
�2 2 0y x y x y> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + >�
Buna göre, IV. bölgede x azalma
doğru) ve y artma yönünde (dikey oklar
oklarla gösterilecektir.
2323
bölgede x ve y ’nin her ikisi de azalma
oklar aşağı yöne doğru) yönündeki
de inceleyelim. IV. bölge için şunlarıde inceleyelim. IV. bölge için şunları
3 0
2 2 0
y x x y
y x y x y
> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <
> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + >
x azalıyor.
y artıyor.2 2 0y x y x y> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + > y artıyor.
azalma yönünde (yatay oklar sol yöne
oklar yukarı yöne doğru) yönündeki
ÖrnekÖrnek 44::
3 3
3
4 , 5
x x y
y x y
x y
= − += − += − += − +
= −= −= −= −
= == == == =
�
�
0 04 , 5x y= == == == =
Bu diferansiyel denklem sistemini
çözdüğümüzde şunları elde ederiz:
2 2
4 4
9 1 1 9,
2 2
t t
t tt t
e ex y
e e
− +− +− +− += == == == =
Bu çözümlere ilişkin grafikler aşağıda
2424
sistemini Örnek 3’te olduğu gibi
2 2
4 4
9 1 1 9
2 2
t t
t tt t
e ex y
e e
− +− +− +− += == == == =
aşağıda yer almaktadır.
5
Şekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)
ty
2
3
4t
y
tx
0.5
1
2525ekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)
1 1.5 2t
Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Yakınsama Süreci (Örnek 4)Yakınsama Süreci (Örnek 4)
6.0 y
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0t
y
0.0
1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0••••
2626ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin
Yakınsama Süreci (Örnek 4)Yakınsama Süreci (Örnek 4)
••••0 0
( , )x y
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
tx
Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Örnek 4)(Örnek 4)y
••••
IV
III
2727ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
(Örnek 4)(Örnek 4)
ty 0y ====�
I
0x ====�
tx••••
(((( ))))0 0,x y
4
••••
II
İlk olarak Örnek 3 ve farklı bir örneği
DiferansiyelDiferansiyel DenklemDenklem SistemlerininSistemlerinin
11.. İkiİki FarklıFarklı ReelReel KökKök DurumuDurumu
genel olarak diferansiyel denklem
yazılabileceğini ve çözülebileceğini
3 1 3
2 2 1
x x y x x
y x y y y
= − −= − −= − −= − − ====
= − += − += − += − +
� �
� �2 2 1y x y y y
= − += − += − += − + � �
2 5 2 1 5
3 4 1 3 4 1
x x y x x
y x y y y
= − + − − −= − + − − −= − + − − −= − + − − −
= − + −= − + −= − + −= − + −
� �
� �
2828
örneği matris biçimde yazalım ve sonra
SistemlerininSistemlerinin MatrisleMatrisle ÇözümüÇözümü
DurumuDurumu::
denklem sistemlerinin matrisle nasıl
görelim.
3 1 3
2 2 1
x x y x x
y x y y y
= − −= − −= − −= − − ====
2 2 1y x y y y
2 5 2 1 5
3 4 1 3 4 1
x x y x x
y x y y y
= − + − − −= − + − − −= − + − − −= − + − − − = += += += +
= − + −= − + −= − + −= − + −
� �
� �
Şimdi genel olarak iki değişkenli birinci
diferansiyel denklem sistemini yazalım
11 12 1x a x a y b= + += + += + += + + �
�
11 12 1
21 22 2
x = Ax + b
x a x a y b
y a x a y b y y
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
�
� �
�
Denge değerlerini belirleyebilmek için,
x vektörünü belirlememiz gerekir.
* * 10 = Ax + b x A b→ = −→ = −→ = −→ = −
2929
birinci sıradan homojen olmayan bir
yazalım.
11 12 1a a bx x
= += += += +�
� � �
11 12 1
21 22 2
x xA b
a a bx x
a a by a x a y b y y
= += += += +
�
�
� ������������
için, vektörünü sıfır kabul ederek,
* * 10 = Ax + b x A b
−−−−→ = −→ = −→ = −→ = −
x�
Homojen olmayan diferansiyel denklem
indirgeyerek çözüm yapabiliriz.
x = Ax + b�
(((( ))))
*
*
x = Ax + b
0 = Ax + b
x A x x= −= −= −= −
�
�
Daha önce birinci sıra diferansiyel denklemin
etmiştik:
.rtx c e====
3030
denklem sistemini, homojen duruma
))))
denklemin çözümü olarak şunu elde
Bu çözümü, sistemin çözümünde de
x vrte====
Burada v, rasgele sabitlerden oluşan
olacaktır:olacaktır:
x v x v
x Ax v A v
v Av Av v 0 A I v 0
rt rt
rt rt
e re
re e
r r r
= → == → == → == → =
= → == → == → == → =
= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =
�
�
1 1 2 2
1 2
1 2
v Av Av v 0 A I v 0
A I 0 ,
x v vr t r r t r
r r r
r r r
A e A e
= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =
− = →− = →− = →− = →
= += += += +
3131de kullanabiliriz.
oluşan vektördür. Çözüm sırasıyla şöyle
(((( ))))
x v x v
x Ax v A v
v Av Av v 0 A I v 0
rt rtre e
r r r= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =(((( ))))v Av Av v 0 A I v 0r r r= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =
ÖrnekÖrnek 55::
* *
2 4
x x yx y
y x y
= += += += +
= − += − += − += − +
�
�
0 01 , 3x y= == == == =
Bu, homojen bir diferansiyel denklem
olmadan, çözümünü doğrudan yapacağız
biçimde tanımlayalım.biçimde tanımlayalım.
A
1 1
2 4
x x
y y
====
−−−−
�
����������
3232
* *0x y= == == == =
denklem olduğundan, indirgemeye gerek
yapacağız. Bunu ilk olarak matris
1 1A
2 4
1 1r
====
−−−−
−−−−
(((( )))) 1
1 2
1
1 1A I 0 5 6 0
2 4
2 , 3
A I v 0r
rr r r
r
r r
r
−−−−− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =
− −− −− −− −
= == == == =
− =− =− =− =(((( ))))
1 1 1
1 1 1
1
1 1 2
2 1 2
1 1 0
2 2 0 2 2 0
r r r
r r r
v v v
v v v
−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
−−−− − + =− + =− + =− + =
3333
2A I 0 5 6 0r r r
r− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 2
1 2
2 1 2
01 , 1
2 2 0
r r r
r r
r r r
v v vv v
v v v
− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
− + =− + =− + =− + =
(((( )))) 2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 2
A I v 0
2 1 0 2 0
2 1 0 2 0
r
r r r
r r r
r
v v v
v v v
− =− =− =− =
−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
−−−− − + =− + =− + =− + = 2 2 2
1 2
1 2
1 2
2 1 2
1 1
2 2
2 1 0 2 0
V v v
x v v
r r r
r r
r r
r r
r t r r t r
v v v
v v
v v
A e A e
= = == = == = == = = −−−− − + =− + =− + =− + =
= = == = == = == = =
= += += += +1 1 2 2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
2
x v vr t r r t r
r
t r t r t
r
t
A e A e
x v vA e A e
y v
= += += += +
= += += += +
2
2
1
2
r
rv
3434
2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 2
1 2
2 01 , 2
2 0
r r r
r r
r r r
v v vv v
v v v
− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
− + =− + =− + =− + = 2 2 2
1 2
2 1 2
1 , 22 0
1 1
1 2
r r rv v
v v v= = == = == = == = =
− + =− + =− + =− + =
= = == = == = == = =
v v 2
2
1
2
r
rv
2 3
1 2
2 3
1 1
1 2
t t t
t
t t
xA e A e
y
x A e A e
= += += += +
= += += += +2 3
1 2
1 22 3
1 2 1 2
1 2
2 1 , 2
(0) 1 , (0) 3
t t
t
t t
t
x A e A e
A Ay A e A e A A
A A
x y
= += += += +
+ =+ =+ =+ == + = − == + = − == + = − == + = − =
+ =+ =+ =+ == == == == =
2 3
2 3
2
4
t t
t
t t
t
x e e
y e e
= − += − += − += − +
= − += − += − += − +
3535
1 2
1 2 1 2
1 2
12 1 , 2
2 3
A Ay A e A e A A
A A
+ =+ =+ =+ = = + = − == + = − == + = − == + = − =
+ =+ =+ =+ =
2 3
2 3
t t
t t
x e e
y e e
Daha önce tek reel kök durumunda,
denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik
22.. TekTek ReelReel KökKök DurumuDurumu::
1 2
rt rtx A e A e t= += += += +
Aynı çözümü, denklem sistemi içinde
durum çıkabilir: ya iki farklı öz-vektör
İki farklı öz-vektör durumunda çözümü
1 2
1 2x v v
rt rtA e A e= += += += +
3636
durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel
belirlemiştik:
1 2
rt rtx A e A e t
içinde kullanalım. Karşımıza iki olası
vektör (v1, v2) ya da tek öz-vektör (v).
çözümü şöyle yazabiliriz:
1 2
1 2x v v
rt rtA e A e= += += += +
Öz-vektör tek olduğunda ise çözümü
((((1 2
1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +
ÖrnekÖrnek 66::
* *
1 , 2
x xx y
y y
x y
==== = == == == =
====
= == == == =
�
�
0 01 , 2
1 0
0 1
x y
x x
y y
= == == == =
====
�
�
3737çözümü şöyle yazabiliriz:
))))1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +
0= == == == =
(((( ))))
2
1 2
1 0A - I 2 1 0 1
0 1
rr r r r r r
r
v v
−−−−= = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = =
−−−−
(((( ))))
1 2
1 21 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
A - I v 0 v , v
x v vrt rt
v vr
v v
A e A e
x v v
= → = = = == → = = = == → = = = == → = = = =
= += += += +
1 2
1 1
1 21 2
2 2
1 2,
t rt rt
t
rt rt
t t
x v vA e A e
y v v
x A e y A e
= += += += +
= == == == =
3838
1 2
1 2
A - I 2 1 0 1
1 0
r r r r r r
v v
= = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = =
1 2
1 21 1
1 2
2 2
1 0A - I v 0 v , v
0 1
v v
v v
= → = = = == → = = = == → = = = == → = = = =
ÖrnekÖrnek 77::
* *
3
x x yx y
y x y
= −= −= −= − = == == == =
= += += += +
�
�
Bu örnek, tek reel kökün olduğu
göre, şu çözümü oluşturacağız.
((((1 1 2
1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +((((1 2
1 21 1 2
1 2
v , v vrt rt rt
x xe e t e
y y
= = += = += = += = +
3939
* *0x y= == == == =
bir durumu göstermektedir. Buna
))))1 1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + + ))))
1 1 2v , v v
rt rt rte e t e
= = += = += = += = +
İlk olarak v1 öz-vektörünü, sonra da
aşamada da her iki çözümü birleştirerek
1 1x x−−−− � 1 1
1 3
1 1A - I 4 4 0
1 3
x x
y y
rr r r
r
−−−− ====
− −− −− −− −= = − + == = − + == = − + == = − + =
−−−−
�
�
1 2
1 3
2
r
r r r
−−−−
= = == = == = == = =
4040
da v2 öz vektörünü belirleyelim. Son
birleştirerek genel çözüme ulaşalım.
2A - I 4 4 0r r r= = − + == = − + == = − + == = − + =
(((( )))) 1A - I v 0 vr
x x
= → = == → = == → = == → = =
1 12 1 2
1 1
2 2 1 2 2
2
v
v v
t t
t t
x xe e
y y
xe t e
y
= → = == → = == → = == → = =
= += += += +
2
2 2 2
2
1
1
t t
y
x ve t e
y v
= += += += +
−−−−
41411
1
1
2
2
1
1
1 t
v
v
x x e
= → = == → = == → = == → = =
−−−−
2
1 12 1 2
2
1 1
1
1
t
t t
t
x x ee e
y y e
= → = == → = == → = == → = =
−−−− −−−−
2
1
2
2
v
v
2 2 2
2 1
2 2 2
2 2
t t
t t
x e t e v
y e t e v
= += += += +
= − += − += − += − +
t ’ye göre türevi alalım.
((((
((((
2 2
1
2 2
1
2 2 1
2 2 1
t
t
x e t v
y e t v
= + += + += + += + +
= − + −= − + −= − + −= − + −
�
� (((( 12 2 1y e t v= − + −= − + −= − + −= − + −�
Yukarıdaki tüm denklemleri, asıl
yerlerine yazalım ve düzenleyelim.
4242
))))
))))
2 2 1
2 2 1y e t v
= + += + += + += + +
= − + −= − + −= − + −= − + − ))))2 2 1y e t v= − + −= − + −= − + −= − + −
diferansiyel denklem sistemdeki
(((( )))) ((((
(((( )))) ((((
2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 1
2 2 1 3
t t t
t t t
e t v e t v e t v
e t v e t v e t v
+ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − +
− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +
2 2
1 22 2
2 12 2
1 2
2 2
2
10 , 1
1
t t
v vv v
v v
x e t e
+ = −+ = −+ = −+ = − = = −= = −= = −= = −
+ = −+ = −+ = −+ = −
= −= −= −= −
Şimdi her iki çözümü birleştirerek,
edelim.
2
2
2
ty e t= −= −= −= −
4343
)))) (((( ))))
)))) (((( ))))
2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 22 2 1 3
t t t
t t t
e t v e t v e t v
e t v e t v e t v
+ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − +
− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +
2 2
2 10 , 1v v= = −= = −= = −= = −
belirli olmayan genel çözümü elde
((((1 1 2
1 2
1 2 2 2
x v v v
1 1 1
rt rt rt
t t
A e A e t e
x xxA e A e t
= + += + += + += + +
= + = + += + = + += + = + += + = + +
((((
1 2 2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 1 1
1
t t
t t
x xxA e A e t
y yy
x A e A t e
= + = + += + = + += + = + += + = + +
− −− −− −− −
= + −= + −= + −= + −
2 2
1 2
t ty A e A te= − −= − −= − −= − −
4444
))))1 1 2
2 2
x v v v
1 1 1
rt rt rt
t tA e A e t −−−−
= + = + += + = + += + = + += + = + +
))))
2 2
1 2
2 2
1 1 1
1 1 0
1
t t
t t
A e A e t
x A e A t e
−−−− = + = + += + = + += + = + += + = + + − −− −− −− −
= + −= + −
t t
Daha önce karmaşık kökler durumunda,
denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik
33.. KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu::
1 2cos sin
ht
tx e A vt A vt= += += += +
Burada;
,r r h vi= ±= ±= ±= ±1 2
1
,
,2 2
r r h vi
ah v
= ±= ±= ±= ±
= − == − == − == − =
4545
durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel
belirlemiştik:
1 2cos sinx e A vt A vt= += += += +
2
2 14
2 2
a a−−−−
Şimdi tek denklem (tek değişken)
denklemden (iki değişkenden) oluşan
için de yazalım.
(((( ))))
1 2
1 2
1 11
2 2
x u u
u cos sinht
A A
u we vt vt
u w
= += += += +
= −= −= −= −
(((( ))))
2 2
1 12
2 2
u cos sinht
w ue vt vt
w u
= − −= − −= − −= − −
4646
değişken) için yazdığımız bu çözümü, iki
oluşan bir diferansiyel denklem sistemi
(((( ))))1 1
2 2
u cos sinu w
e vt vtu w
= −= −= −= −
(((( ))))
2 2
1 1
2 2
u cos sinw u
e vt vtw u
= − −= − −= − −= − −
1 21 1 1 1
2 2 2 2
v , vr r
u w i u w i
u w i u w i
+ −+ −+ −+ − = == == == =
+ −+ −+ −+ −
cos sin (cos sin )h vi R Ri R i Re± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =
Ayrıca De Moivre teoreminden
tanımlayabiliriz.
cos , sinh v
R Rθ = θ =θ = θ =θ = θ =θ = θ =
4747
1 21 1 1 1
2 2 2 2
v , vr r
u w i u w i
u w i u w i
+ −+ −+ −+ − = == == == =
+ −+ −+ −+ −
cos sin (cos sin )ih vi R Ri R i Re± θ± θ± θ± θ± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =
yararlanarak, polar biçimde de
ÖrnekÖrnek 88::
3 4
2
x x yx y
y x y
= − += − += − += − +
= − += − += − += − +
�
�
Bu örnek, iki sanal kökün olduğuBu örnek, iki sanal kökün olduğu
olarak bunu matris biçimde yazalım
3 4
2 1
x x
y y
−−−− ====
−−−−
�
�
1 2
3 4A - I 2 5 0
2 1
1 2 , 1 2
rr r r
r
r i r i
− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =
− −− −− −− −
= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −
4848
* *0x y= == == == =
olduğu bir durumu göstermektedir. İlkolduğu bir durumu göstermektedir. İlk
yazalım ve karakteristik kökleri bulalım.
2A - I 2 5 0
1 2 , 1 2
r r rr
r i r i
= = + + == = + + == = + + == = + + =
= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −
Şimdi öz-vektörleri belirleyelim.
(((( )))) 11
1
3 4A - I v
2 1
rr
r− −− −− −− −
= == == == = − −− −− −− −
(((( ))))
(((( ))))
1 1
1
1 2
2 1
2 , 1
3 4
r rv v i
r
− −− −− −− −
= = += = += = += = +
− −− −− −− − (((( )))) 1
2 2
2
2
1 2
3 4A - I v
2 1
2 , 1
r
r r
rr
v v i
− −− −− −− − = == == == =
− −− −− −− −
= = −= = −= = −= = −
4949
1
1
13 4 0
2 1 0
r
r
v
r v
= == == == = − −− −− −− −
1
2
1 22 1 0
3 4 0
r
r
r v
v
− −− −− −− −
2
2
1
2 2
3 4 0
2 1 0
r
r
v
r v
= == == == = − −− −− −− −
Buna göre, genel çözüm:
(((( ))))1 2 1 2
1 2
2 2
1 1
i t i tt
t
xA e A e
y i i
− − + − −− − + − −− − + − −− − + − − = += += += +
+ −+ −+ −+ −
Bu genel çözümü reel terimlere dönüştürerek
1
1
1 1 1 112
1
r
r
u w i u wv
u w i u wiv
+ = =+ = =+ = =+ = = = = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = =++++
1
2 2 2 221r u w i u wiv
= = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = =++++
5050
(((( ))))1 2 1 2
1 2
2 2
1 1
i t i tA e A e
i i
− − + − −− − + − −− − + − −− − + − − = += += += +
+ −+ −+ −+ −
dönüştürerek ifade edelim.
1 1 1 12 0
1 1
u w i u w
u w i u wi
+ = =+ = =+ = =+ = = = = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = = 2 2 2 2
1 1u w i u wi= = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = =
(((( ))))
1 2
1 2
1 11
2 2
x u u
u cos sinht
A A
u we vt vt
u w
= += += += +
= −= −= −= −
(((( ))))
(((( ))))
1 12
2 2
1
u cos sin
2 0u cos 2 sin 2
ht
t
w ue vt vt
w u
e t t−−−−
= − −= − −= − −= − −
= −= −= −= − (((( ))))
(((( ))))
1
2
2 0u cos 2 sin 2
1 1
0 2u cos 2 sin 2
1 1
t
t
e t t
e t t
−−−−
−−−−
= −= −= −= −
= − −= − −= − −= − −
5151
(((( ))))1 1
2 2
u cos sinu w
e vt vtu w
= −= −= −= −
(((( ))))
(((( ))))
1 1
2 2
u cos sin
2 0u cos 2 sin 2
w ue vt vt
w u
e t t
= − −= − −= − −= − −
= −= −= −= − (((( ))))
(((( ))))
2 0u cos 2 sin 2
1 1
0 2u cos 2 sin 2
1 1
e t t
e t t
= −= −= −= −
= − −= − −= − −= − −
1
2 0x cos 2 sin 2
1 1
0 2
t t
t
xA e t t
y
−−−−
= = −= = −= = −= = −
(((( ))))((((
2
1 2
0 2
1 1
2 cos 2 sin 2
t
t
t
A e t t
x e A t A t
−−−−
−−−−
+ − −+ − −+ − −+ − −
= −= −= −= −(((( ))))((((
(((( )))) ((((((((
1 2
1 2 1 2
2 cos 2 sin 2
cos 2 sin 2
t
t
t
x e A t A t
y e A A t A A t−−−−
= −= −= −= −
= − − += − − += − − += − − +
5252
(((( )))) (((( ))))2 0
x cos 2 sin 21 1
0 2
A e t t
= = −= = −= = −= = −
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))))))1 2
0 2cos 2 sin 2
1 1
2 cos 2 sin 2
A e t t
x e A t A t
+ − −+ − −+ − −+ − −
(((( ))))))))
)))) (((( )))) (((( ))))))))
1 2
1 2 1 2
2 cos 2 sin 2
cos 2 sin 2
x e A t A t
y e A A t A A t= − − += − − += − − += − − +
Şimdi çözümü elde edilmiş olan bir
(iki değişkenli bir sistemi dikkate
DiferansiyelDiferansiyel DenklemDenklem SistemininSisteminin
noktadayken zaman içerisinde nasıl
(phase diagrams) yoluyla inceleyelim
incelediğimiz gibi farklı durumlar vardır
kök, sanal kökler gibi. Ya da eldekök, sanal kökler gibi. Ya da elde
pozitif olmalarına göre de, sistemin
Aşağıda, bu türden farklı durumları
olarak iki farklı reel kökten başlayalım
5353
bir diferansiyel denklem sisteminin
dikkate alıyoruz), denge dışı bir
SistemininSisteminin DinamikDinamik DavranışıDavranışı
nasıl hareket edeceğini, süreç grafikleri
inceleyelim. Karşımızda, yukarıda
vardır. İki farklı reel kök, tek reel
edeceğimiz reel kökler negatif veedeceğimiz reel kökler negatif ve
sistemin hareket sürecini belirleyecektir.
durumları içeren bir yaklaşım yapıyoruz. İlk
başlayalım.
11.. İkiİki FarklıFarklı ReelReel KökKök DurumundaDurumunda
İki farklı reel kök durumunda şu çözümü
1 1 2 2
1 2x v v
r t r r t rA e A e= += += += +
1 2x v vA e A e= += += += +
Köklerin (r1 , r2) işaretine ve sayısal
min hareketi için şu olası durumlardan
� ise;1 2 1 2
0 , 0 ,r r r r< < >< < >< < >< < >1 2 1 2
1 2lim 0 , lim 0
lim 0 , lim 0
r t r t
t t
t tt t
e e
x y
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
= == == == =
= == == == =
5454DurumundaDurumunda SüreçSüreç GrafikleriGrafikleri
çözümü elde etmiştik:
1 1 2 2
1 2x v v
r t r r t rA e A e
1 2x v vA e A e
sayısal büyüklüklerine bağlı olarak siste-
durumlardan söz edilebilir:
1 2lim 0 , lim 0
lim 0 , lim 0
r t r t
t t
e e
x y
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
= == == == =
= == == == =
Bu durum Şekil 6.4’de gösterilmiştir
olduğunu kabul edelim. Başlangıç
(c2=0), sistem zaman içinde orijin(c2=0), sistem zaman içinde orijin
şekilde başlangıç noktası öz-vektörü
kararlı davranarak, yine denge noktasına
anlamda orijin noktasındaki bu
2rv
noktası diyoruz.
5555
gösterilmiştir. Orijin noktasının denge noktası
noktası öz-vektörü üstündeyse
noktasına hareket edecektir. Aynı
1rv
noktasına hareket edecektir. Aynı
vektörü üstündeyken (c1=0) de sistem
noktasına limitte yaklaşacaktır. Bu
denge noktasına, kararlı denge
Şekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç GrafiŞekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafi
ty
2rv
••••
5656ki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiğiki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği
1 2 1 20 , 0 ,r r r r< < >< < >< < >< < >
1rv
tx
v
(((( ))))* *,x y
� ise;1 2
0 , 0r r> >> >> >> >
1 2lim , limr t r t
e e= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞lim , lim
lim , lim
t t
t tt t
e e
x y
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞
= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞
Bu durumda Şekil 6.4’deki orijin noktasına
ters yöne dönük olacaktır. Yaniters yöne dönük olacaktır. Yani
sapma, sistemin dengeden giderek
anlamda, orijin noktasındaki denge,
5757
noktasına yönelmiş olan oklar, tam
sistem kararsızdır. Dengeden birsistem kararsızdır. Dengeden bir
giderek uzaklaşmasına neden olur. Bu
denge, kararsız bir denge noktasıdır.
ÖrnekÖrnek 99::
* *2
2
x x yx y
y x y
= − += − += − += − + = == == == =
= −= −= −= −
�
�
2 1
1 2
2 1A - I 4 3 0
x x
y y
rr r r
−−−− ====
−−−−
− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =
�
�
1 2
2 1A - I 4 3 0
1 2
3 , 1
rr r r
r
r r
− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =
− −− −− −− −
= − = −= − = −= − = −= − = −
5858
* *0x y= == == == =
2A - I 4 3 0r r r= = + + == = + + == = + + == = + + =2A - I 4 3 0r r r
r= = + + == = + + == = + + == = + + =
(((( )))) 1
1 1 1
1 1
1 1 1
A I v 0 , 3
1 1 0
1 1 0
r
r r r
r r r
r r
v v v
v v v
− = = −− = = −− = = −− = = −
+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −
+ =+ =+ =+ =
(((( ))))
1 1 1
2
2 2 2
2 2 2
2 1 1
2 2
1 1 1
1 1 0
A I v 0 , 1
1 1 0
1 1 0
r r r
r
r r r
r r r
v v v
r r
v v v
v v v
= = = −= = = −= = = −= = = − + =+ =+ =+ =
− = = −− = = −− = = −− = = −
−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
−−−− − + =− + =− + =− + = 2 2 2
1
2 1 11 1 0
V v v
r r r
r r
v v v
−−−− − + =− + =− + =− + =
====1 2
2
1 2
1 1
2 1
r r
r r
v v
v v
= == == == =
5959
1 1 1
1 11 1 1
1 2
01 , 1
0
r r r
r r
r r r
v v vv v
v v v
+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −
+ =+ =+ =+ =1 1 1
2 2 2
2 2
2 2 2
1 2
2 1 1
1 1 1
1 2
1 , 10
01 , 1
0
r r r
r r r
r r
r r r
v vv v v
v v vv v
v v v
= = = −= = = −= = = −= = = − + =+ =+ =+ =
− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
− + =− + =− + =− + = 2 2 2
1 2
2 1 10
r r rv v v
− + =− + =− + =− + =
1 1
1 1
= == == == =
−−−−
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
x v vr t r r t r
r rt r t r t
r r
A e A e
x v vA e A e
y v v
= += += += +
= += += += +
1 2
1 2
2 2
3
1 2
1 1
1 1
r rt
t t t
t
y v v
xA e A e
y
− −− −− −− −
= += += += +
−−−−
3
1 2
3
1 2
t t
t
t t
t
x A e A e
y A e A e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= += += += +
= − += − += − += − +
6060
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
x v vr t r r t r
r r
r t r t
r r
v vA e A e
v v
1 21 2
2 2
1 2
1 1
1 1
r r
t t
v v
A e A e− −− −− −− −
Şekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Örnek 9)(Örnek 9)y
2
2
x x y
y x y
= − += − += − += − +
= −= −= −= −
�
�1rv
••••((((
6161ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
(Örnek 9)(Örnek 9)
0x ====�t
y
1 23 , 1r r= − = −= − = −= − = −= − = −
2rv
tx
0y ====�
••••(((( ))))* *
,x y
� ise;1 2
0 , 0r r> <> <> <> <
1 2lim lim 0
lim , lim lim 0 , lim 0
r t r t
t te e
x y x y
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞= ∞ == ∞ == ∞ == ∞ =
= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =lim , lim lim 0 , lim 0t t t t
t t t tx y x y
→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =
Bu durum Şekil 6.6’da gösterilmiştir
öz-vektörü üzerinde bulunduğu2rv
Bunun dışındaki tüm olası durumlarda
öz-vektörüne kararlı yol, öz
Denge, bir eyer noktasıdır.
1rv2rv
6262
1 2lim lim 0
lim , lim lim 0 , lim 0
r t r t
t te e
x y x y
→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞= ∞ == ∞ == ∞ == ∞ =
= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =lim , lim lim 0 , lim 0t t t t
t t t tx y x y
→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =
gösterilmiştir. Başlangıç noktasının yalnızca
bulunduğu durumlarda sistem kararlıdır.
durumlarda sistem kararsızdır. Bu nedenle
öz-vektörüne de kararsız yol diyoruz.
Şekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç GrafiŞekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafi
ty
2rv
••••
6363ki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiğiki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği
1rv
1 20 , 0r r> <> <> <> <
tx
ÖrnekÖrnek 1010::
* *
4
x x yx y
y x y
= += += += +
= += += += +
�
�
1 1
4 1
1 1
x x
y y
r
====
−−−−
�
�
1 2
1 1A - I 2 3 0
4 1
3 , 1
rr r r
r
r r
−−−−= = − − == = − − == = − − == = − − =
−−−−
= = −= = −= = −= = −
6464
* *0x y= == == == =
2A - I 2 3 0r r r
r= = − − == = − − == = − − == = − − =
(((( )))) 1
1 1 1
1 1
1 1 2
A I v 0 , 3
2 1 0 2 0
4 2 0 4 2 0
r
r r r
r r r
r r
v v v
v v v
− = =− = =− = =− = =
−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
−−−−
(((( ))))
1 1 1
2
2 2 2
2 2 2
2 1 2
2 2
1 1 2
2 1 2
4 2 0 4 2 0
A I v 0 , 1
2 1 0 2 0
4 2 0 4 2 0
r r r
r
r r r
r r r
v v v
r r
v v v
v v v
= = == = == = == = = −−−−
− = = −− = = −− = = −− = = −
+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −
+ =+ =+ =+ = 2 1 24 2 0 4 2 0
V v
v v v+ =+ =+ =+ =
====1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
v
r r
r r
r r
v v
v v
= == == == =
6565
1 1 1
1 11 1 2
1 2
2 01 , 2
4 2 0
r r r
r r
r r r
v v vv v
v v v
− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =
− =− =− =− = 1 1 1
2 2 2
2 2
2 2 2
1 2
2 1 2
1 1 2
1 2
2 1 2
1 , 24 2 0
2 01 , 2
4 2 0
r r r
r r r
r r
r r r
v vv v v
v v vv v
v v v
= = == = == = == = = − =− =− =− =
+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −
+ =+ =+ =+ = 2 1 24 2 0v v v+ =+ =+ =+ =
1 1
2 2
−−−−
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
x v vr t r r t r
r r
t r t r t
r r
A e A e
x v vA e A e
y v v
= += += += +
= += += += +
1 2
2 2
3
1 2
1 1
2 2
r r
t
t t t
t
y v v
xA e A e
y
= += += += +
3
1 2
3
1 2
t t
t
t t
t
x A e A e
y A e A e
−−−−
−−−−
= += += += +
= − += − += − += − +
6666
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
x v vr t r r t r
r r
r t r t
r r
v vA e A e
v v
1 2
2 2
1 2
1 1
2 2
r r
t t
v v
A e A e−−−−
−−−−
Şekil 6.7. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.7. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Örnek 10)(Örnek 10)y
4
x x y
y x y
= += += += +
= += += += +
�
�2rv
••••
6767ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
(Örnek 10)(Örnek 10)
0x ====�ty
0y ====�
1 23 , 1r r= = −= = −= = −= = −
1rv
tx••••
ÖrnekÖrnek 1111::
* *3 2
2 2
x x yx y
y x y
= −= −= −= −
= −= −= −= −
�
�
3 2
2 2
3 2
x x
y y
r
−−−− ====
−−−−
− −− −− −− −
�
�
1 2
3 2A - I 2 0
2 2
1 , 2
rr r r
r
r r
− −− −− −− −= = − − == = − − == = − − == = − − =
− −− −− −− −
= − == − == − == − =
6868
* *0x y= == == == =
2A - I 2 0r r r
r= = − − == = − − == = − − == = − − =
(((( )))) 1
1 1 1
1 1 1
1 1
1 1 2
A I v 0 , 1
4 2 0 4 2 0
2 1 0 2 0
r
r r r
r r r
r r
v v v
v v v
− = = −− = = −− = = −− = = −
−−−− = = == = == = == = =
−−−−
(((( ))))
1 1 1
2
2 2 2
2 2 2
2 1 2
2 2
1 1 2
2 1 0 2 0
A I v 0 , 2
1 2 0
2 4 0 2 4 0
r r r
r
r r r
r r r
v v v
r r
v v v
v v v
= = == = == = == = = −−−−
− = =− = =− = =− = =
−−−− = = == = == = == = =
2 2 2
2 1 22 4 0 2 4 0
V vr
v v v
====1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
v
r r
r
r r
v v
v v
= == == == =
6969
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 2
1 2
4 2 01 , 2
2 0
r r r
r r
r r r
v v vv v
v v v
− =− =− =− = = = == = == = == = =
− =− =− =− = 1 1 1
2 2 2
2 2
2 2 2
1 2
2 1 2
1 1 2
1 2
1 , 22 0
2 02 , 1
2 4 0
r r r
r r r
r r
r r r
v vv v v
v v vv v
v v v
= = == = == = == = = − =− =− =− =
− =− =− =− = = = == = == = == = =
+ =+ =+ =+ = 2 2 2
2 1 22 4 0v v v+ =+ =+ =+ =
1 2
2 1
= == == == =
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
x v vr t r r t r
r r
t r t r t
r r
A e A e
x v vA e A e
y v v
= += += += +
= += += += +
1 2
2 2
1 2
1 2
2 1
r r
t
t t t
t
y v v
xA e A e
y
−−−−
= += += += +
2
1 2
2
1 2
2
2
t t
t
t t
t
x A e A e
y A e A e
−−−−
−−−−
= += += += +
= += += += +
7070
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
x v vr t r r t r
r r
r t r t
r r
v vA e A e
v v
1 2
2 2
2
1 2
1 2
2 1
r r
t t
v v
A e A e
Şekil 6.8. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.8. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Örnek 11)(Örnek 11)y3 2
2 2
x x y
y x y
= −= −= −= −
= −= −= −= −
�
�
••••
7171ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
(Örnek 11)(Örnek 11)
0x ====�ty
0y ====�
1 21 , 2r r= − == − == − == − =
1rv
tx••••
2rv
22.. TekTek ReelReel KökKök DurumundaDurumunda SüreçSüreç
Tek reel kök durumunda iki olası çözümün
Birinci olası çözüm, bağımsız öz-vektörlerBirinci olası çözüm, bağımsız öz-vektörler
1 2
1 2x v v
rt rtA e A e= += += += +
İkinci olası çözüm, tek bağımsız öz-
((((1 1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +((((1 1 2
1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +
Şimdi her bir duruma sırasıyla bakalım
t’den bağımsızdır, yalnızca öz-vektörlere
7272SüreçSüreç GrafikleriGrafikleri
çözümün olduğunu söylemiştik.
vektörler durumudur:vektörler durumudur:
1 2x v v
rt rtA e A e
-vektör durumudur:
))))1 1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + + ))))1 1 2x v v v
rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +
bakalım. Birinci durumda x/y=A1/A2
vektörlere bağlıdır.
Tüm çözümler, orijinden çıkan düz
eğer karakteristik kök negatif ise,
Kararlı denge noktası orijindir. Aksi
Şekil 6.9’da görebiliriz.Şekil 6.9’da görebiliriz.
İkinci olası durumda sistemin hareketini
terim ’dir. Eğer karakteristik
Bunun yanında A2=0 ise, sistem v
2v
rtA e t
dengeye (orijin noktasına) yaklaşacaktır
Örnek 7, kararlı olmayan bir
yansıtılmıştır. Ayrıca Şekil 6.10
göstermektedir.
7373düz doğru üzerinde yer alacaktır ve
ise, sistem kararlı hareket edecektir.
Aksi halde sistem kararsızdır. Bunu
hareketini belirleyecek olan (baskın)
karakteristik kök negatifse, süreç kararlıdır.
vektörü üzerinde hareket ederek
yaklaşacaktır. Daha önce çözdüğümüz
süreç olarak, Şekil 6.10a’da
10b ve 6.10c kararlı süreçleri
Şekil 6.9. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.9. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Bağımlı Öz(Bağımlı Öz--Vektör Durumu, Örnek 6)Vektör Durumu, Örnek 6)
tyx x
y y
====
====
�
�
••••
y y====�
1r ==== v
7474ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
Vektör Durumu, Örnek 6)Vektör Durumu, Örnek 6)
ty
tx••••
1rv
2rv
Şekil 6.10. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.10. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Bağımlı Öz(Bağımlı Öz--Vektör Durumu, Örnek 7)Vektör Durumu, Örnek 7)
ty
3
x x y
y x y
= −= −= −= −
= += += += +
�
�
••••
3y x y= += += += +�
2r ====
2rv
7575ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
Vektör Durumu, Örnek 7)Vektör Durumu, Örnek 7)
ty
tx••••
1rv
İkinci durumda süreç oklarının dengeye
vektörlerine bağlıdır. Bunu görebilmek
olası çözümü kullanalım.
((((
(((( ))))
1 1 2
1 2
1 2 1
1 2 2
x v v v
x v v v
rt rt rtA e A e t e
A A A t e
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
Buradan görüldüğü gibi, vektör denklemiBuradan görüldüğü gibi, vektör denklemi
noktasından geçer ve
işaretine ve sayısal değerine bağlı
olacaktır.
1 2
1 2v vA A++++
7676
dengeye ne şekilde yaklaşacağı, v ve v2
görebilmek için, tek reel kök durumundaki
))))1 1 2
1 2 1
1 2 2
x v v v
x v v v
rt rt rt
rt
A e A e t e
A A A t e
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
denklemi doğrusaldır. Bu denklemdenklemi doğrusaldır. Bu denklem
ve v ’ye paraleldir. A2 katsayısının
bağlı olarak da farklı bir konumda
Şekil 6.11. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.11. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi
(Bağımsız Öz(Bağımsız Öz--Vektör Durumu)Vektör Durumu)
y4
2
x x y
y x y
= −= −= −= −
= −= −= −= −
�
�
••••
2y x y= −= −= −= −�
3r = −= −= −= − v
7777ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği
Vektör Durumu)Vektör Durumu)
ty
tx••••
33.. KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumundaDurumunda
Bu durum altında iki olası alt
karakteristik kökleri şöyle belirlemiştik
1,2r h vi==== ∓∓∓∓
Birinci olarak h≠0, v>0 alt durumuna
sistemini şu şekilde ifade edebiliriz:
x hx vy
y vx hy
= += += += +
= − += − += − += − +
�
�
7878DurumundaDurumunda SüreçSüreç GrafikleriGrafikleri
duruma bakacağız. Daha önce
belirlemiştik:
r h vi∓∓∓∓
durumuna bakalım. Diferansiyel denklem
:
x hx vy
y vx hy
B
ty
Şekil 6.12. Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi)Şekil 6.12. Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi)
••••
R
θθθθC
0••••••••
D••••
7979
(((( )))),P x y
ık Sayılar (Argand Gösterimi)ık Sayılar (Argand Gösterimi)
••••
y
x
R
θθθθ
(((( ))))
At
x••••
••••
x
x h v x
y v h y
====
−−−−
�
�
Bunu kutupsal koordinatlar olarak (Bunu kutupsal koordinatlar olarak (
(((( ))))12
2 2 2
2 2
, tanR x y
R x y
= + θ == + θ == + θ == + θ =
= += += += +(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
2
1 12 2
2 2
2 2 2 21 1
2 22 2
R x y
R x x y x y x y y− −− −− −− −
= += += += +
= + + += + + += + + += + + +� � �
8080
x h v x
y v h y
(R ve θ cinsinden) ifade edelim.(R ve θ cinsinden) ifade edelim.
y
x= + θ == + θ == + θ == + θ =
(((( )))) (((( ))))1 12 22 2 2 2
1 12 2
2 2R x x y x y x y y
− −− −− −− −= + + += + + += + + += + + +� �
(((( ))))(((( ))))1
22 2
1 1R xx yy R xx yy
x y= + → = += + → = += + → = += + → = +
++++
� �� � � �
2
2
xx hx vxyxx yy hR
yy vyx vy
= += += += + + =+ =+ =+ =
= − += − += − += − +
�� �
�
21 R
R hR h R ceR R
= → = → == → = → == → = → == → = → =�
�
8181
(((( ))))1 1
R xx yy R xx yyR
= + → = += + → = += + → = += + → = +� �� � � �
2xx yy hR+ =+ =+ =+ =� �
htR hR h R ce= → = → == → = → == → = → == → = → =
2 2
1tan
cos
1
y yx yx
x x
x R
θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =θθθθ
θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =
�
2 2
2
2
1cos
cos
x R
R x
yx hxy vyxy yx vR
xy vx hxy
θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =θθθθ
= += += += + − = −− = −− = −− = −
= − += − += − += − +
�� �
�
2 2
2 2
xy vx hxy
R vR
x x
= − += − += − += − +
−−−−θ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θ
�
� �
8282
2 2
2
y yx yx
x x
x R
−−−−θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =
θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =
� �
2
2 2
2
x R
R x
xy yx vR
θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =
− = −− = −− = −− = −� �
0v vtθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θ� �
Şu anda elimizde iki parametrik denklem
htR ce
vt
====
θ = − + θθ = − + θθ = − + θθ = − + θ0vtθ = − + θθ = − + θθ = − + θθ = − + θ
İkinci denkleme göre, v>0 olduğundan,
hareket saat yönünde çalışır. tÆ∞
tÆ∞ h>0 RÆ∞tÆ∞ iken, h>0 durumunda RÆ∞ olacaktır
gerçekleşen sarmal (spiral) hareket
ya da merkezden uzaklaşacak şekilde
8383
denklem var:
olduğundan, θ zaman içinde azalır. Yani
iken, h<0 durumunda RÆ0 ya da
olacaktır. Buna göre, saat yönünde
hareket ya merkeze (sabit noktaya) doğru
şekilde oluşacaktır.
İkinci olarak h=0, v>0 alt durumuna
kökler şöyledir:
1,2r h vi==== ∓∓∓∓1,2
1 2,
r h vi
r vi r vi
====
= = −= = −= = −= = −
∓∓∓∓
Diferansiyel denklem sistemini de şöyle
0
0
x x vy
y vx y
= += += += +
= − += − += − += − +
�
�
8484
durumuna bakalım. Bu durumda karmaşık
r vi r vi= = −= = −= = −= = −
şöyle yazabiliriz:
0
0
x v x
y v y
−−−− ====
−−−−
�
�
Bir önceki durumda olduğu gibi, R
yazalım.
0R R c= → == → == → == → =� 0R R c
v vt
= → == → == → == → =
θ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θ
�
�
Bu denklemler, hareketin merkez etrafında
ya da elips) biçim oluşturacağını söylemektedir
yönündedir. Hareketin bir tam aşama
8585
R ve θ için parametrik denklemleri
R R c= → == → == → == → =
0
R R c
v vt
= → == → == → == → =
θ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θ
etrafında kapalı bir dairesel (çember
söylemektedir. v>0 ise hareket saat
aşama süreci 2π/v ’dir.
ÖrnekÖrnek 1212::
4 1 4
4 4 1
x x y x x
y x y y y
= − + −= − + −= − + −= − + − = − − − −= − − − −= − − − −= − − − −
� �
� �
1 4A - I 2 17 0
4 1
1 4 1 , 4
rr r r
r
r i h v
− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =
− − −− − −− − −− − −
= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =∓1,2
0 0
1 4 1 , 4
ht t
r i h v
R ce R ce
vt t
−−−−
= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =
= → == → == → == → =
θ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θ
∓
8686
4 1 4
4 4 1
x x y x x
y x y y y
= − + −= − + −= − + −= − + − ====
= − − − −= − − − −= − − − −= − − − −
� �
� �
2A - I 2 17 0
1 4 1 , 4
r r rr
r i h v
= = + + == = + + == = + + == = + + =− − −− − −− − −− − −
= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =
0 0
1 4 1 , 4
4
ht t
r i h v
vt t
= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =
θ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θ
h≠0 olması, sürecin sarmal biçimli
merkezden giderek uzaklaşan bir sarmal
giderek yaklaşan bir sarmal biçimdegiderek yaklaşan bir sarmal biçimde
h=−1<0 nedeniyle, sürecin başlangıç
noktasına (merkeze) giderek yaklaştığını
görebiliriz. v ’nin değeri ise, sarmal
ters yönde mi olacağını belirler
oluşacaktır. Örnek 12’de v=4>0 olduğuna
8787
biçimli olmasını; h>0 olması, sürecin
sarmal; h<0 olması, sürecin merkeze
biçimde olmasına yol açar. Örnek 12’debiçimde olmasına yol açar. Örnek 12’de
başlangıç noktasından (x0=2, y0=3), denge
yaklaştığını Şekil 6.13a ve b’de
sarmal hareketin saat yönünde mi yoksa
belirler. v>0 ise, süreç saat yönünde
olduğuna dikkat edelim.
Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar:
4
x x y
y x y
= − += − += − += − +
= − −= − −= − −= − −
�
�
1.0
2.0
3.0
4.0
4y x y= − −= − −= − −= − −�
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
-2.0 -1.0 0.0 1.0
8888şık Sayılar: şık Sayılar: hh==−1−1 , , vv=4=4
4x x y
y x y
= − += − += − += − +
= − −= − −= − −= − −
••••0 0
( , ) (2,3)x y ====
y x y= − −= − −= − −= − −
1.0 2.0 3.0 4.0
Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar:
4x x y= − += − += − += − +�
1,2
4
1 4
y x y
r i
= − −= − −= − −= − −
= −= −= −= −
�
∓
8989
ık Sayılar: ık Sayılar: hh==−1−1 , , vv=4 =4 (Örnek 12)(Örnek 12)
0x ====�t
y 0y ====�1rv
tx
2rv
ÖrnekÖrnek 1313::
4 1 4
4 4 1
x x y x x
y x y y y
= += += += + = − + −= − + −= − + −= − + −
� �
� �
1 4A - I 2 17 0
4 1
1 4 1 0 , 4 0
rr r r
r
r i h v
−−−−= = − + == = − + == = − + == = − + =
− −− −− −− −
= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >∓1,2
0 0
1 4 1 0 , 4 0
ht t
r i h v
R ce R ce
vt t
= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >
= → == → == → == → =
θ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θ
∓
9090
4 1 4
4 4 1
x x y x x
y x y y y
====
= − + −= − + −= − + −= − + −
� �
� �
2A - I 2 17 0
1 4 1 0 , 4 0
r r rr
r i h v
= = − + == = − + == = − + == = − + =
= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >
0 0
1 4 1 0 , 4 0
4
ht t
r i h v
R ce R ce
vt t
= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >
θ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θ
Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar:
4
4
x x y
y x y
= += += += +
= − += − += − += − +
�
� 4y x y= − += − += − += − +�
-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0
30.0
35.0
9191
ık Sayılar: ık Sayılar: hh==11 , , vv=4 =4 (Örnek 13)(Örnek 13)
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
( , ) (1,1)x y ====
-15.0
-10.0
-5.0
0.0-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0
••••0 0
( , ) (1,1)x y ====
Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar:
y4x x y= += += += +
= − += − += − += − +
�
�
1,2
4
1 4
y x y
r i
= − += − += − += − +
====
�
∓
9292
ık Sayılar: ık Sayılar: hh==11 , , vv=4=4 (Örnek 13)(Örnek 13)
0x ====�t
y 0y ====�1rv
tx
2rv
IS-LM modelini daha önce statik biçimiyle
yeniden tanımlayarak, örneğin bir parayeniden tanımlayarak, örneğin bir para
nasıl bir gelişime yol açacağını
oluşturalım. Toplam reel harcamayı
(((( ))))1( ) 1 ( ) ( )ex t a c t y t er t= + − −= + − −= + − −= + − −(((( ))))1
Burada t1, marjinal vergi oranını tanımlamaktadır
9393
biçimiyle incelemiştik. Şimdi modeli
para politikasının etkisinin zamanlapara politikasının etkisinin zamanla
görelim. İlk olarak reel piyasayı
harcamayı şöyle yazabiliriz:(((( ))))( )ex t
( ) 1 ( ) ( )ex t a c t y t er t= + − −= + − −= + − −= + − −
tanımlamaktadır.
Para piyasında para talebi ve arzını
0
( ) ( ) ( )
,
dm t fy t gr t
MM M m
= −= −= −= −
= == == == = 0
0 0,
SM M m
P= == == == =
Reel piyasada reel gelir (y(t)), reel
gelir arasındaki farka bağlı olarak
piyasasında ise, reel para talebi ile
bağlı olarak da faiz oranı değişecektir
(((( )))) ((((((((
(((( )))) ((((0 0
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , 0
( ) ( ) ( ) , 0d
y ex t y t a c t y t er t y t
r m t m fy t gr t m
= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >
= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >
�
�
9494
da şöyle tanımlayabiliriz:
0
( ) ( ) ( )m t fy t gr t
M0
P
reel toplam harcama (ex(t)) ile reel
olarak değişim gösterecektir. Para
ile reel para arzı arasındaki farka
değişecektir.
)))) ))))
))))
1
0 0
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , 0
( ) ( ) ( ) , 0
y ex t y t a c t y t er t y t
r m t m fy t gr t m
= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >
= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >
Şekil 6.14’de IS ve LM eğrileri yer
tüm noktalar reel piyasanın dengede
üzerindeki tüm noktalar da para piyasasının
eder. Yani reel piyasa dengedeyken
piyasası dengedeyken faiz oranı
durumunu, LM eğrisi,
alarak IS ve LM denklemlerini belirleyelim
0y ====� 0r ====�
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
1
0
1 0y a c t y er y r
fy mr fy gr m r
= α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → =
= β − − → == β − − → == β − − → == β − − → =
�
�
9595
almaktadır. IS eğrisinin üzerindeki
dengede olduğunu, LM eğrisinin
piyasasının dengede olduğunu ifade
dengedeyken gelir değişmez ( ) ; para
oranı değişmez ( ). IS eğrisi,
durumunu gösterir. Bunu dikkate
belirleyelim.
0y ====�
0r ====�
(((( ))))1
0
(1 ) 11 0
a c t yy a c t y er y r
e
fy m
g
+ − −+ − −+ − −+ − −= α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → =
−−−−
Şekil 6.14, ekonominin denge dışı
dinamik süreçlerin nasıl oluşacağını
IS eğrisinin sağında bulunduğumuzu
yazabiliriz:
(((( ))))1(1 ) 1
0 (1 ) 1
0
a c t yr a c t y er
e
y
+ − −+ − −+ − −+ − −> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −
<<<<�
Yani ekonomi IS eğrisinin sağında
Şekil 6.14’te bu, sola doğru okla gösterilmiştir
9696
dışı bir durumda bulunduğunda,
oluşacağını oklarla göstermektedir. Örneğin
bulunduğumuzu varsayalım. Bu durumda şunu
(((( ))))10 (1 ) 1r a c t y er> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −
yer aldığında, reel gelir (y) azalır.
gösterilmiştir.
r
••••*rE
*y
9797
( 0)LM r ====�
y
( 0)IS y ====�
Benzer biçimde, ekonomi para piyasası
oranı değişimine de bakabiliriz. Örneğin
ise şunu yazabiliriz:
0
0
fy mr fy gr m
g
r
−−−−< → − − >< → − − >< → − − >< → − − >
>>>>�
Yani ekonomi LM eğrisinin sağında
(r) artar. Şekil 6.14’te bu, yukarıya
9898
piyasası dengesizliği içindeyken faiz
Örneğin ekonomi LM eğrisinin sağında
00r fy gr m< → − − >< → − − >< → − − >< → − − >
sağında yer aldığında, nominal faiz oranı
doğru okla gösterilmiştir.
IS ve LM eğrilerine ilişkin bu
değerlendirdiğimizde, sistemin (grafiğin)
bir bütün olarak saatin dönüş yönününbir bütün olarak saatin dönüş yönünün
Şimdi nominal para arzının azaltıldığı
inceleyelim (Şekil 6.15). Para arzının
sol tarafa doğru kayacaktır. Nihai
geliş süreci için olası dört farklı sürece
9999
bu dinamik davranışları birlikte
(grafiğin) dört bölgesindeki hareket
yönünün tersi yönde gerçekleşmektedir.yönünün tersi yönde gerçekleşmektedir.
azaltıldığı bir para politikasının etkisini
arzının azaltılması sonucunda LM eğrisi
Nihai yeni denge E1’dir. Yeni dengeye
sürece bakalım.
rLM m
S••••A
••••*0
r0
E
••••1
E*
1r
1S
4S
2S
3S
*0
y*1
y
100100
0 0( )LM m
1 1( )LM m
y
( 0)IS y ====�
Birinci olası durum S1 ile gösterilmiştir
para politikası karşısında daha esnek
arzındaki artış kısa sürede faizarzındaki artış kısa sürede faiz
artırmakta; artan faiz oranları karşısında
çarpan etkisiyle reel gelir düzeyi yeni
Gelirdeki düşme para talebini
azalmaktadır (LM eğrisi boyuncaazalmaktadır (LM1 eğrisi boyunca
süreçte faiz oranı daha hızlı tepki
yapmakta), gelir ise daha yavaş bir
101101
gösterilmiştir. Bu durum, para piyasasının
esnek olduğunu varsaymaktadır. Para
oranlarını (A noktasına kadar)oranlarını (A noktasına kadar)
karşısında yatırımlar azalmakta ve
yeni denge değerine gerilemektedir.
azalttığından, faiz oranları da
E denge noktasına hareket). BuE1 denge noktasına hareket). Bu
tepki vermekte (yani anlık sıçramalar
uyarlanma süreci yaşamaktadır.
İkinci olası durum S2 ile gösterilmiştir
uyarlanma süreci yavaştır. Faiz oranları
gelmez. Üçüncü olası durumda (Sgelmez. Üçüncü olası durumda (S3
hızlı bir uyarlanma göstermektedir
hareket daha az olası bir durumdur
S4 ile gösterilmiştir. Bu süreç de
uyarlanma sürecine sahip olduğunuuyarlanma sürecine sahip olduğunu
uyarlanmasının daha hızlı olması,
ilgilidir. Reel piyasanın uyrlanma hızını
102102
gösterilmiştir. Bu durumda her iki piyasanın
oranları yeni dengeye sıçramalarla
) faiz oranları ikinciye göre daha3) faiz oranları ikinciye göre daha
göstermektedir. Ancak saatin tersi yöndeki bu
durumdur. Daha çok görülmesi olası durum
para piyasasının daha esnek bir
olduğunu varsaymaktadır. Para piyasasınınolduğunu varsaymaktadır. Para piyasasının
olması, β katsayısının büyük olasıyla
hızını da α katsayısı belirlemektedir.
Şimdi bir sayısal örnek yapalım.
1
0
50 , 0.75 , 0.25 , 1.525
0.25 , 0.5 , 8
a c t e
f u m
= = = == = = == = = == = = =
= = == = == = == = =0
Bu verilere göre ekonominin başlangıçtaki
* *0 0
( , ) (62 ,15)y r ====
Reel para arzının 8’den 5’e düştüğünü
Bu durumda yeni denge değerleri şöyle
* *1 1
( , ) (54 ,17)y r ====
103103
50 , 0.75 , 0.25 , 1.525= = = == = = == = = == = = =
başlangıçtaki denge değerleri şöyledir:
düştüğünü varsayalım: 15m ====
şöyle oluşacaktır.
Buna göre IS-LM modelinin dinamik
için şu diferansiyel denklemlerle tanımlanacaktır
0.4375 1.525 50y y r= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α�
Ekonominin para politikası sonrasında
denge noktasına ulaşacağını α ve
belirleyecektir. Üç olası süreci dikkate
0.4375 1.525 50
0.25 0.5 5
y y r
r y r
= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α
= β − β − β= β − β − β= β − β − β= β − β − β
�
�
belirleyecektir. Üç olası süreci dikkate
1
2
3
: 0.05 , 0.8
: 0.1 , 0.8
: 0.5 , 0.8
S
S
S
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
104104
dinamik yapısı reel piyasa ve para piyasası
tanımlanacaktır.
0.4375 1.525 50y y r= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α
sonrasında hangi süreci izleyerek yeni
ve β parametrelerinin büyüklükleri
dikkate alalım:
0.4375 1.525 50y y r= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α
dikkate alalım:
: 0.05 , 0.8
: 0.1 , 0.8
: 0.5 , 0.8
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
Ekonomiyi daraltıcı bir para politikasının
karşısında Şekil 6.16 ile gösterilmiştir
süreci, α ve β parametrelerininsüreci, α ve β parametrelerinin
oluşmaktadır.
Şekil 6.17 ise, hem para hem
genişlemeci olduğu bir durum için oluşturulmuştur
Para piyasası uyarlanma katsayısının
uyarlanma katsayısının düşük değer
dengeye daha az dolambaçlı ve hızlı
105105
politikasının etkisi, üç olası durum
gösterilmiştir. Ekonominin yeni dengeye geliş
parametrelerinin alacağı sayısal değerlere göreparametrelerinin alacağı sayısal değerlere göre
de maliye politikasının birlikte
oluşturulmuştur.
katsayısının yüksek ve reel piyasanın
değer aldığı durumda (S1) ekonomi yeni
hızlı ulaşmaktadır.
20
50
14
16
18
••••* *1 1
( , ) (54 ,17)y r ====
8
10
12
106106
1LM
60 65 70••••
0LM
IS
1S
2S
3S
* *0 0
( , ) (62 ,15)y r ====
0IS
1
2
3
: 0.05 , 0.8
: 0.1 , 0.8
: 0.5 , 0.8
S
S
S
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
20
50 55 60 65
10
15••••
1S
2S
3S
* *1 1
( , ) (54 ,17)y r ====
0
5
107107
1LM
0LM
70 75 80 85
1LM
0IS
* *0 0
( , ) (62 ,15)y r ====
1IS
••••
1
2
3
: 0.05 , 0.8
: 0.1 , 0.8
: 0.5 , 0.8
S
S
S
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
α = β =α = β =α = β =α = β =
Şimdi IS-LM modelini, yatırımların
düzeyince de belirlendiğini varsayarak
yazabiliriz:
(((( ))))1 , 0ex a c t y er jy j= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >(((( ))))
0
1 , 0
( )
( )
d
d
ex a c t y er jy j
m fy gr
y ex y
r m m
= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >
= −= −= −= −
= α −= α −= α −= α −
= β −= β −= β −= β −
�
�
Bu diferansiyel denklemleri yeniden
(((( ))))(((( ))))((((
0
1 1y A c t j y er
r fy gr m
= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α
= β − β − β= β − β − β= β − β − β= β − β − β
�
�
108108
yatırımların aynı zamanda gelir (talep)
varsayarak genişletelim. Modeli şöyle
1 , 0ex a c t y er jy j= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >1 , 0ex a c t y er jy j= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >
yeniden düzenleyelim:
)))) ))))1 1y A c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α
Yukarıdaki diferansiyel denklemleri
LM eğrilerini belirleyelim:
((((((((1 10 ( )
a c t j yy r IS
− − − −− − − −− − − −− − − −= → == → == → == → =�
Bu modelle bir önceki modeli birbirinden
((((((((
0
0 ( )
0 ( )
y r ISe
m fyr r LM
g
= → == → == → == → =
− +− +− +− += → == → == → == → =
�
�
değere bağlı olarak IS eğrisinin hem
alabilmesidir (Şekil 6.18a ve 6.18b)
(((( ))))1 1 0c t j− − −− − −− − −− − −
109109
denklemleri sıfıra eşitleyerek sırasıyla IS ve
)))) ))))1 10 ( )
a c t j yy r IS
− − − −− − − −− − − −− − − −
birbirinden ayıran nokta, j ’nin alacağı
)))) ))))0 ( )
0 ( )
y r ISe
r r LM
hem pozitif hem de negatif biçim
b).
1 1 0c t j >>>>− − −− − −− − −− − − <<<<
r((((1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >
••••*rE
*y
110110
( 0)LM r ====�
))))1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >
( 0)IS y ====�
y
r((((1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >
••••*rE
*y
111111
( 0)IS y ====�
))))1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >
( 0)LM r ====�
y
Şimdi modeli tanımlayan diferansiyel
ve r ’yi denge değerlerinde alalım.
(((( ))))(((( ))))((((0 1 1a c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α
Diferansiyel denklemlerden, bunların
(((( ))))(((( ))))((((* *
0
0 1 1
0
a c t j y er
fy gr m
= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α
= β − β − β= β − β − β= β − β − β= β − β − β
(((( ))))(((( )))) (((((((( ))))(((( )))) ((((
(((( )))) (((( ))))* *
1 1y c t j y y e r r
r f y y g r r
= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −
= β − − β −= β − − β −= β − − β −= β − − β −
�
�
112112
diferansiyel denklemleri sıfıra eşitleyerek, y
)))) ))))* *0 1 1a c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α
bunların farkını alarak yazalım.
)))) ))))* *0 1 1a c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α
)))) (((( )))))))) (((( ))))* *y c t j y y e r r= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −
Bu sistemin matrisi:
(((( ))))(((( ))))1 1c t j eA
f g
α − + − −αα − + − −αα − + − −αα − + − −α ==== β −ββ −ββ −ββ −β
Bu matrisin izini ve determinantını
f gβ −ββ −ββ −ββ −β
(((( ))))((((
(((( ))))((((
( ) 1 1
det( ) 1 1
tr A c t j g
A g c t j e f
= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β
= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β(((( ))))((((det( ) 1 1A g c t j e f= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β
Şimdi bu durumu bir örnekle gösterelim
113113
c t j e
f g
α − + − −αα − + − −αα − + − −αα − + − −α β −ββ −ββ −ββ −β
da şöyle yazabiliriz:
f gβ −ββ −ββ −ββ −β
))))
))))
( ) 1 1
det( ) 1 1
tr A c t j g
A g c t j e f
= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β
= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β))))det( ) 1 1A g c t j e f= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β
gösterelim.
Parametre değerlerinin aşağıdaki gibi
1
0
25 , 0.75 , 0.25 , 1 , 0.95
0.22 , 0.75 , 8 , 0.05 , 0.8
a c t e j
f g m
= − = = = == − = = = == − = = = == − = = = =
= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =
Bu değerler için denge gelir düzeyi
Şimdi diferansiyel denklemi, denge
yeniden yazalım (dengeden sapmaya
* *0 0
65.4 , 10.5y r= == == == =
yeniden yazalım (dengeden sapmaya
(((( ))))
(((( ))))
* *
* *
0.0256 0.05
0.176 0.6
y y y r r
r y y r r
= − − −= − − −= − − −= − − −
= − − −= − − −= − − −= − − −
�
�
114114
gibi olduğunu varsayalım:
25 , 0.75 , 0.25 , 1 , 0.95
0.22 , 0.75 , 8 , 0.05 , 0.8
a c t e j= − = = = == − = = = == − = = = == − = = = =
= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =
ve faiz oranı şöyle olur:
denge durumundan farkını alarak
sapmaya göre tanımlayalım):sapmaya göre tanımlayalım):
(((( ))))
(((( ))))
* *
* *
0.0256 0.05
0.176 0.6
y y y r r
r y y r r
= − − −= − − −= − − −= − − −
= − − −= − − −= − − −= − − −
Bu diferansiyel denklemin karakteristik
2
0
0.0256 0.05
A rI
rr r
− =− =− =− =
− −− −− −− −= + − == + − == + − == + − =
İlk çözümü yazalım:
2
1 2
0.176 0.6
0.0112 , 0.586
r rr
r r
= + − == + − == + − == + − =− −− −− −− −
= = −= = −= = −= = −
(((( ))))
* * * *
1* * * *
* *
0.0256 0.05
0.176 0.6
0.288
y y y y y y y yA r
r r r r r r r r
r r y y
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → == → == → == → =
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −
− = −− = −− = −− = −
115115
karakteristik kökleri (özdeğerleri):
0.5744 0.0066 0r r= + − == + − == + − == + − =0.5744 0.0066 0r r= + − == + − == + − == + − =
* * * *
* * * *
0.0256 0.050.0112
0.176 0.6
y y y y y y y y
r r r r r r r r
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → == → == → == → =
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −
Benzer biçimde ikinci özdeğeri kullanarak
* * * *
2* * * *
0.0256 0.05
0.176 0.6
y y y y y y y yA r
r r r r r r r r
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → = −= → = −= → = −= → = −
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −
Bu çözüm için IS, LM eğrileri ile öz
süreç grafiği Şekil 6.19’la gösterilmiştir
(((( ))))* *12.23r r y y
− = −− = −− = −− = −
ettiğimiz öz-vektör boyunca sürecin
gelen öz-vektör boyunca da kararsız
genel çözüm bir eyer noktası tanımlamaktadır
116116
kullanarak ikinci çözümü yazalım.
* * * *
* * * *
0.0256 0.050.586
0.176 0.6
y y y y y y y y
r r r r r r r r
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → = −= → = −= → = −= → = −
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −
öz-vektörlerin bir arada tanımlandığı
gösterilmiştir. r1 öz-değerine karşılık elde
sürecin kararlı, r2 öz-değerine karşılık
kararsız olduğuna dikkat edelim. Yani
tanımlamaktadır.
1rv
••••
117117
( 0)LM r ====�
( 0)IS y ====�1rv
2rvv
Şimdiye kadar IS-LM modelinde
üzerinde duralım. Acaba menkul kıymetlerüzerinde duralım. Acaba menkul kıymetler
gelir ve faizleri etkileyebilir mi? Bu
değinmiştir: q yatırım teorisi. q değişkeni,
olarak menkul değerin piyasa karşılığını
menkul değerlerin gelecekteki getirileri
piyasa faiz oranından (r) günümüze
eşitlenir.
118118
modelinde dikkate almadığımız bir konu
kıymetler piyasasındaki davranışlar,kıymetler piyasasındaki davranışlar,
Bu konuya ilk olarak Tobin (1969)
değişkeni, bir yenileme maliyeti oranı
karşılığını göstermektedir. Yani, tüm
getirileri eşit olursa (R), bu getirileri
günümüze indirgediğimizde V=R/r ’ye
Diğer yandan firmalar, yatırımların
stokunun yenilenme maliyetine (RC
sürdüreceklerdir. Burada ρ sermayenin
mektedir. Buna göre q ’yu yeniden yazalım
V R rq
RC R r= = == = == = == = =
ρρρρ
Bu denklem, net yatırımın q ’nun bir
tedir. Uzun dönemde her iki yatırımın
r=ρ , yani q=1 olacaktır. Dolayısıyla
Buradan çıkarılacak sonuç şudur: Yatırımlar,
toplam harcamalar q ’nun pozitif yönlü
119119
yatırımların getiri oranı (R/ρ), sermaye
RC) eşitleninceye kadar yatırımlarını
sermayenin marjinal etkinliğini göster-
yazalım:
V R r
RC R r
ρρρρ= = == = == = == = =
ρρρρ
bir fonksiyonu olduğunu göstermek-
yatırımın getiri oranı eşitleneceğinden,
Dolayısıyla net bir yatırım yapılmayacaktır.
Yatırımlar, dolayısıyla ekonomideki
yönlü bir fonksiyonudur.
Ekonominin toplam harcamalarını
tanımlayalım:
1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) , 0 1 , 0a t a y t a q t g a a= + + < < >= + + < < >= + + < < >= + + < < >
Burada g0 kamu harcamalarıdır. Dinamik
reel piyasada bir harcama gelir dengesizliği
uğrayacaktır (gecikmeli değişim):
(((( ))))( ) ( ) , 0y ex t y t= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >�
Reel piyasadaki gecikmeli uyarlanmaya
dengesizliğe uyarlanmanın hemen gerçekleştiğini
0( ) ( ) , 0 , 0fy t gr t m f g− = > >− = > >− = > >− = > >
120120
(ex), q ’yu dikkate alarak yeniden
1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) , 0 1 , 0a t a y t a q t g a a= + + < < >= + + < < >= + + < < >= + + < < >
Dinamik IS-LM modelinde olduğu gibi,
dengesizliği durumunda gelir değişime
( ) ( ) , 0= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >
uyarlanmaya karşın, para piyasasındaki
gerçekleştiğini varsayalım:
( ) ( ) , 0 , 0fy t gr t m f g− = > >− = > >− = > >− = > >
Şimdi de bono getiri oranını (ya
tanımlayalım:
1( ) ( )eb y t q t
r++++
====�
1
( )r
q t====
Burada b1y(t) milli gelirin bir oranı olarak
beklenen kazançlarını göstermektedir
Ayrıca rasyonel bekleyişlerin olduğunu
121121
(ya da eşdeğer olan hisse senedi)
olarak firma karlarını, firmanın
göstermektedir.
olduğunu varsayıyoruz:
( )eq t�
( )eq t q====� �
Tüm bu belirlemelerden sonra modeli
temel denklem üzerine kuruludur:
1 2 0e a y a q g= + += + += + += + +
(((( ))))
0
1
m fy gr
y e y
b y qr
q
= −= −= −= −
= σ −= σ −= σ −= σ −
++++====
�
�
q
122122
modeli yeniden yazalım. Model dört
Bu dört denklemi yeniden düzenleyerek,
diferansiyel denkleme indirgeriz:
(((( ))))1 2 01y a y a q g= σ − + σ + σ= σ − + σ + σ= σ − + σ + σ= σ − + σ + σ�
0
1
qmfqq b y
g g
= − −= − −= − −= − −
�
İlk olarak bu diferansiyel denklem
değerini belirleyelim:
(((( ))))1 2 0
0
1
1 0 ( )
0 ( )
y a y a q g q IS
qmfqq b y q LM
g g fy m
= σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → =
= − − = → == − − = → == − − = → == − − = → =
�
�
123123
düzenleyerek, doğrusal olmayan iki
denklem sisteminin uzun dönem denge
(1 )a y g− −− −− −− −1 0
2
1
0
(1 )1 0 ( )
0 ( )
a y gy a y a q g q IS
a
gb yq b y q LM
g g fy m
− −− −− −− −= σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → =
= − − = → == − − = → == − − = → == − − = → =−−−−
Şekil 16.20, IS eğrisini ve reel piyasa
bir harekete yol açacağını göstermektedir
elde edilmiştir. Dolayısıyla bu doğru
(1 )a y g− −− −− −− −1 0
2
(1 )0
a y gy q
a
− −− −− −− −= → == → == → == → =�
Bu doğrunun sol üst tarafı için de şu
1 0
2
(1 )(1 ) 0 0
a y gq a y a q g y
a
− −− −− −− −> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >
2a
Yani ekonomi IS doğrusunun sol
düzeyi (y) artar. Bu, Şekil 16.20’de
gösterilmiştir.
124124
piyasa dengesinden sapmaların nasıl
göstermektedir. IS doğrusu, yapılarak
doğru boyunca şu geçerlidir:
0y ====�
a y g1 0
a y g
şu yazılabilir:
1 2 0(1 ) 0 0q a y a q g y> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >�
sol üst kısmında bulunuyorsa, gelir
’de sağ yana yönlenmiş kırmızı ok ile
1 0
2
(1 )
0
a y gq
a
y
− −− −− −− −>>>>
>>>>�
125125
1 0(1 )
0a y g
y q− −− −− −− −
= → == → == → == → =� 1 0
2
(1 )0
a y gy q
a
− −− −− −− −= → == → == → == → =�
1 0(1 )a y g
qa
− −− −− −− −<<<<
IS
y
2
0
a
y <<<<�
Bu doğrunun sağ alt tarafı için de şu
1 0
1 2 0
2
(1 )(1 ) 0 0
a y gq a y a q g y
a
− −− −− −− −< → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → <
Yani ekonomi IS doğrusunun sağYani ekonomi IS doğrusunun sağ
düzeyi (y) azalır. Bu, Şekil 16.20’de
gösterilmiştir.
Şimdi de LM eğrisini oluşturalım.
denklemce tanımlanmaktadır. Bu denklemin
alarak, gelir karşısında göreli firma
olduğunu görebiliriz.
(((( ))))
(((( )))) ((((0 1 1 1
2 2
0 0
fy m gb gb fy bdq
dy fy m g rfy m fy m
− −− −− −− −= = − == = − == = − == = − =
−−−−− −− −− −− −
126126
şu yazılabilir:
1 2 0(1 ) 0 0q a y a q g y< → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → <�
sağ alt kısmında bulunuyorsa, gelirsağ alt kısmında bulunuyorsa, gelir
’de sol yana yönlenmiş mavi ok ile
. LM eğrisi, doğrusal olmayan bir
denklemin y ’e göre birinci türevini
firma değerinin nasıl değişmekte
))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))21 11
2 2
00 0
g b f g y b q f gb
dy fy m g rfy m fy m
−−−−= = − == = − == = − == = − =
−−−−− −− −− −− −
Bu sonuca göre LM eğrisinin şekli
dır. ise pozitif, aksi
durumda Şekil 6.21’in a ve b panellerinde
Şimdi LM eğrisinin negatif ya da pozitif
b q f g
(((( ))))1b q f g>>>>
Şimdi LM eğrisinin negatif ya da pozitif
anlamına bakalım. Gelirde bir yükselme
şekilde de A noktasından B noktasına
amaçlı para talebini artıracağından
yükselir (q azalır). Bunun sonucunda
yükseleceğinden, karlılık artacaktıryükseleceğinden, karlılık artacaktır
gelirdeki artış hisse senedinden
oranlarındaki artıştan daha az artırırsa,
getirisindeki denge yeniden sağlanacak
6.21a’da B ’den C ’ye hareket).
127127
farkının işaretine bağlı-
aksi durumda negatif eğimlidir. Her iki
panellerinde gösterilmiştir.
pozitif olabilmesinin iktisadi açıdan
(((( ))))1b q f g−−−−
pozitif olabilmesinin iktisadi açıdan
yükselme olduğunu varsayalım (Her iki
noktasına hareket). Gelirdeki artış işlem
artıracağından (para arzı sabitken) faiz oranları
sonucunda firmanın hisse senedi değeri
artacaktır. Bu aktarım sürecinde eğerartacaktır. Bu aktarım sürecinde eğer
senedinden elde edilen kazançları faiz
artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi
sağlanacak şekilde q azalır (Şekil
Gelirdeki artışın, hisse senedi piyasasında
bu durumu Blanchard “kötü haberler”
Eğer gelirdeki artış hisse senedindenEğer gelirdeki artış hisse senedinden
oranlarındaki artıştan daha çok artırırsa,
getirisindeki denge yeniden sağlanacak
6.21b’de B ’den C ’ye hareket). Blanchard
olarak tanımlamaktadır.
128128
piyasasında fiyat düşüşlerine yol açtığı
haberler” olarak tanımlamaktadır.
senedinden elde edilen kazançları faizsenedinden elde edilen kazançları faiz
artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi
sağlanacak şekilde q yükselir (Şekil
Blanchard bu durumu da “iyi haberler”
qgb y
q
LM
•••• ••••
••••
AB
C
1
0
gb yq
fy m>>>>
−−−−
1
0
gb yq
fy m<<<<
−−−−
129129
gb y
0
gb y
fy m
y
1
0
gb yq
fy m====
−−−−
q1
gb yq >>>>
q
••••
••••
••••A
B
C
1
0
gb yq
fy m>>>>
−−−−
q <<<<
LM
q <<<<
130130
1
0
gb yq
fy m====
−−−−
1gb y
<<<<
y
1
0
gb y
fy m<<<<
−−−−
Şimdi reel kesim ile parasal kesim
ve 6.22.b’de görelim. Her iki şekilde
vektör boyunca süreç kararlı, diğer
Rasyonel beklentiler varsayımı ve
ekonomide kararlı dengeye yeniden
vardır.
131131
kesim davranışlarını birlikte Şekil 6.22a
şekilde de r1 öz-değeriyle tanımlanan öz-
diğer öz-vektör boyunca da kararsızdır.
ve veri tek y düzeyine karşılık
yeniden dönüşü sağlayan tek q değeri
q0q ====�
2rvq0q ====�
••••
IS
132132
0y ====� 0y ====�
1rv
y
LM
q 2rvq
••••
LM
IS
133133
0y ====�
0q ====�
0y ====�
1rv
y
Bu modeli bir de sayısal olarak
haberlerin iyi olduğu varsayımına göre
0.8 0.2 7ex y q= + += + += + += + +
= −= −= −= −
(((( ))))
8 0.25 0.2
2
0.1
y r
y ex y
y qr
q
= −= −= −= −
= −= −= −= −
++++====
�
�
Bu dört denklemi düzenleyerek aşağıdakiBu dört denklemi düzenleyerek aşağıdaki
elde ederiz.
14 0.4 0.4
1.25 0.1 40
y y q
q qy y q
= − += − += − += − +
= − −= − −= − −= − −
�
�
134134
olarak oluşturalım ve çözelim. Modeli,
göre yazalım.
0.8 0.2 7ex y q= + += + += + += + +
y r
aşağıdaki iki diferansiyel denklemiaşağıdaki iki diferansiyel denklemi
14 0.4 0.4
1.25 0.1 40
y y q
q qy y q= − −= − −= − −= − −
İlk olarak modelin uzun dönem denge
0 14 0.4 0.4 0
0 1.25 0.1 40 0
y y q
q qy y q
= → − + == → − + == → − + == → − + =
= → − − == → − − == → − − == → − − =
�
�
Diferansiyel denklemleri durağan-
sıra Taylor açılımı yaparak doğrusallaştıralım
* * *35.76 , 0.76 , 4.7y q r= = == = == = == = =
(((( )))) (((( ))))* *0.4 0.4y y y q q= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −� (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))* * * * * *
0.4 0.4
1.25 0.1 40 1.25
y y y q q
q q y y y y q q y q q
= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −
= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −
�
�
135135
denge değerlerini belirleyelim:
0 14 0.4 0.4 0
0 1.25 0.1 40 0
y y q
q qy y q
= → − + == → − + == → − + == → − + =
= → − − == → − − == → − − == → − − =
-durum denge değerlerinde birinci
doğrusallaştıralım.
* * *35.76 , 0.76 , 4.7y q r= = == = == = == = =
(((( )))) (((( ))))* * * * * *1.25 0.1 40 1.25q q y y y y q q y q q= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −
Son denklemleri yeniden düzenlersek
(((( )))) ((((
(((( ))))
* *
* * *
0.4 0.4
0.85 4.7
y y y q q
q q y y q q
= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −
= − + −= − + −= − + −= − + −
�
�
Bu diferansiyel denklem sisteminin
lim.
(((( ))))0.85 4.7q q y y q q= − + −= − + −= − + −= − + −�
0.4 0.4
0.85 4.7
rA rI r r
r
− −− −− −− − − = = − − =− = = − − =− = = − − =− = = − − =
−−−−
1 2
0.85 4.7
4.7658 , 0.4658
r
r r
−−−−
= = −= = −= = −= = −
136136
düzenlersek:
))))
(((( ))))
* *
* * *
0.4 0.4
0.85 4.7
y y y q q
q q y y q q
= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −
= − + −= − + −= − + −= − + −
sisteminin karakteristik köklerini belirleye-
(((( ))))0.85 4.7q q y y q q= − + −= − + −= − + −= − + −
2 4.43 2.22 0A rI r r− = = − − =− = = − − =− = = − − =− = = − − =
Buna göre sistemin belirsiz çözümü
* 4.7658 0.46581 2
* 4.7658 0.46583 4
( )
( )
t t
t t
y t y A e A e
q t q A e A e
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
Öz-vektörleri de şöyle bulabiliriz:
(((( )))) 1
1 1
1
1 2
0.4 4.7658 0.4 00
0.85 4.7 4.7658 0
1 , 12.9145
r
r r
A r I v
v v
− −− −− −− − − = → =− = → =− = → =− = → =
= == == == =
(((( )))) 2
1 1
1 2
1
1 2
1 , 12.9145
0.4 ( 0.4658) 0.4 00
0.85 4.7 ( 0.4658) 0
1 , 0.1645
r
r r
v v
A r I v
v v
= == == == =
− − −− − −− − −− − − − = → =− = → =− = → =− = → =
= = −= = −= = −= = −
137137
çözümü şöyledir:
* 4.7658 0.46581 2
* 4.7658 0.46583 4
t t
t t
y t y A e A e
q t q A e A e
−−−−
−−−−
= + += + += + += + +
1
1
1
2
0.4 4.7658 0.4 0
0.85 4.7 4.7658 0
r
r
v
v
− = → =− = → =− = → =− = → = −−−−
2
2
1
2
0.4 ( 0.4658) 0.4 0
0.85 4.7 ( 0.4658) 0
r
r
v
v
− = → =− = → =− = → =− = → = − −− −− −− −
qIS2rv
q
••••
138138
y
LM
1rv
Hükümetin kamu harcamalarını artırdığını
üzerinde bir etki yaratmaz, ancak IS eğrisini
kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının
yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında
Ekonomi başlangıçtaki E1 denge durumundan
vektörü boyunca hareket ederek yeni dengevektörü boyunca hareket ederek yeni denge
haber durumlarının her ikisinde de gelir
durumunda hisse senedi fiyatları düşer.
139139
artırdığını varsayalım. Bu politika LM eğrisi
eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru
durumlarının her ikisi de Şekil 6.23a ve 6.23b’de
sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez.
durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz-
denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi
2rv
denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi
gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber
q1
y�
0q ====�
••••
••••
1E
2E
E′′′′
1IS
2IS
140140
10y ====�
1rv
2rv
20y ====�
y
LM
2rv
q
LM
••••1
E
E′′′′
LM
1IS
2IS
141141
10y ====�
0q ====�
10y ====�
1rv
2rv
20y ====�
••••2
E
y
Merkez Bankasının para arzını artırdığını
üzerinde bir etki yaratmaz, ancak LM eğrisini
kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının
yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında
Ekonomi başlangıçtaki E1 denge durumundan
vektörü boyunca hareket ederek yeni dengevektörü boyunca hareket ederek yeni denge
haber durumlarının her ikisinde de gelir
durumunda hisse senedi fiyatları düşer.
142142
artırdığını varsayalım. Bu politika IS eğrisi
eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru
durumlarının her ikisi de Şekil 6.23a ve 6.23b’de
sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez.
durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz-
denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi
2rv
denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi
gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber
q2
0q ====�
10q ====�
••••1
E
2EE′′′′
••••
2
IS
143143
0y ====� 0y ====�
rv
2rv••••
y
1LM
1rv2
LM
q
1LM
••••1
E
2E
E′′′′ ••••
1E
IS
2LM
144144
10q ====�
0y ====�
1rv
2rv2
0q ====�
••••
y
Gregory Mankiw, David Romer ve DavidGregory Mankiw, David Romer ve David
girdilerinin yanına beşeri sermayeyi (
genişletmişlerdir. Bu modelde de teknolojik
Bir ekonomide nihai ürünün (Y) Cobb-DouglasBir ekonomide nihai ürünün (Y) Cobb-Douglas
girdileri kullanılarak üretildiğini varsayalım
(((( ))))1
, 0 , 0 , 1Y K H AL−α−β−α−β−α−β−α−βα βα βα βα β= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <
David Weil (1992) çalışmasında, K ve L
145145
David Weil (1992) çalışmasında, K ve L
(H) katarak, Solow büyüme modelini
teknolojik gelişme dışsal alınmıştır.
Douglas üretim fonksiyonu ile, K, H ve LDouglas üretim fonksiyonu ile, K, H ve L
varsayalım.
, 0 , 0 , 1= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <
Fiziksel sermaye ve beşeri sermaye birikimi
olmak üzere şöyle yazılabilir:
K K
K YK s Y dK s
K K= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ
��
İşgücü istihdam artış hızı ve teknolojik gelişme
L�
H H
K K
H YH s Y dH s
H H= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ
��
0
0
nt
gt
LL L e n
L
AA A e g
A
= → == → == → == → =
= → == → == → == → =
�
�
146146
birikimi aynı yıpranma oranına (δ) sahip
K K
K YK s Y dK s
K K= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ
�
gelişme hızı dışsaldır:
H H
K K
H YH s Y dH s
H H= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ
�
Solow büyüme modelindekine benzer
birikim denklemleri ile Harrod-nötr teknolojik
üretim fonksiyonunu kullanarak, Genişletilmiş
dinamik denklemlerine ulaşalım.dinamik denklemlerine ulaşalım.
(((( ))))1
, , ,
Y K HY K H AL
AL AL AL
Y K Hy k h y k h
AL AL AL
−α−β−α−β−α−β−α−βα βα βα βα β
α βα βα βα β
= → == → == → == → =
= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡, , ,y k h y k hAL AL AL
= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡
147147
benzer biçimde, fiziksel ve beşeri sermaye
teknolojik gelişmeye göre tanımladığımız
Genişletilmiş Solow Büyüme Modelinin temel
, , ,
Y K H
AL AL AL
Y K Hy k h y k h
AL AL AL
α βα βα βα β
= → == → == → == → =
= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡, , ,y k h y k hAL AL AL
= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡
Şimdi k ve h’nin dinamiğini belirlemek
zamana göre türevini alalım ve düzenleyelim
K k K L Ak
≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +
� �� �
(((( ))))
K k K L Ak
AL k K L A
H h H L Ah
AL h H L A
k Ys n g k s k h n g k
≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +
≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +
= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ
� �� �
� �� �
�(((( ))))
(((( ))))
K K
H H
k Ys n g k s k h n g k
k K
h Ys n g h s k h n g h
h H
= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ
= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ
�
�
148148
belirlemek için önce logaritmasını, sonra da
düzenleyelim.
K k K L A ≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +
� �� �
(((( ))))
K k K L A
AL k K L A
H h H L A
AL h H L A
s n g k s k h n g kα βα βα βα β
≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +
≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +
= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ
� �� �
� �� �
� (((( ))))
(((( ))))
K K
H H
s n g k s k h n g k
s n g h s k h n g h
α βα βα βα β
α βα βα βα β
= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ
= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ
�
�
Genişletilmiş Solow Modelinin temel dinamiklerini
aynı anda çözülmesi gereken (yani ekonomide
sermaye hem de beşeri sermaye için
dereceden, doğrusal olmayan diferansiyel
eşanlı diferansiyel denklemi çözebilmek
etrafında birinci sıra Taylor açılımı yaparız
( , ) ,F k h k s k h k n gα βα βα βα β= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ�( , ) ,
( , )
K
H
F k h k s k h k n g
G k h h s k h h
α βα βα βα β
α βα βα βα β
= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ
= = − θ= = − θ= = − θ= = − θ
�
�
149149
dinamiklerini gösteren bu iki denklem,
ekonomide eşanlı olarak hem fiziksel
için durağan durumu gösteren), birinci
diferansiyel denklemlerdir. Bu doğrusal olmayan
çözebilmek için, ilk olarak durağan durum değeri
yaparız.
( , ) ,F k h k s k h k n g= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ( , ) ,F k h k s k h k n g
G k h h s k h h
= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ
= = − θ= = − θ= = − θ= = − θ
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
* * * *
* * * *
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k h
k h
F k h F k h F k k F h h
G k h G k h G k k G h h
F F
= + − + −= + − + −= + − + −= + − + −
= + − + −= + − + −= + − + −= + − + −
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
(((( ))))
1 1
1 1
* * * * 1 *
0
,
,
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
k K h K
k H H H
K K
F FF s k h F s k h
k h
G GG s k h G s k h
k h
F k h s k h k s k h k k
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
α β α− βα β α− βα β α− βα β α− β
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ
∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂
= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ − �������������������0
(((( ))))* * * * 1 * * * * 1 *
0
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H H
G k h s k h h s k h k k s k h h hα β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ − �������������������
150150
))))F k h F k h F k k F h h
G k h G k h G k k G h h
1 1
1 1
* * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
F s k h F s k h
G s k h G s k h
F k h s k h k s k h k k
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
α β α− βα β α− βα β α− βα β α− β
≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β
≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ
= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ − (((( )))) (((( ))))* * * 1 *( ) ( )K
s k h h hα β−α β−α β−α β−+ β −+ β −+ β −+ β −
(((( )))) (((( ))))* * * * 1 * * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H H
G k h s k h h s k h k k s k h h hα β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −
((((
((((
* 1 * * * * 1 *
* 1 * * * * 1 *
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
K KF k h k s k h k k s k h h h
G k h h s k h k k s k h h h
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −
= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −
�
�
Açılımın sağındaki ilk terim, durağan durumda
((((* 1 * * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( )H H
G k h h s k h k k s k h h hα− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ − �
k* ve h* terimlerinin birer sabit değer olacağını
denklemleri yeniden matris biçiminde düzenleyelim
k (((( ))))
(((( ))))
*
*
*
*
1
1
k
k h
hh
k
α− θ βθα− θ βθα− θ βθα− θ βθ
= += += += + αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ
�
�
151151
)))) (((( ))))
)))) (((( ))))
* 1 * * * * 1 *
* 1 * * * * 1 *
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
K KF k h k s k h k k s k h h h
G k h h s k h k k s k h h h
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−
= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −
= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −
durumda sıfır olacaktır.
)))) (((( ))))* 1 * * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( )H H
G k h h s k h k k s k h h hα− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −
olacağını dikkate alarak, bu diferansiyel
düzenleyelim.
*
*
( 1) )
( 1) )
k k
h h
θ α+β −θ α+β −θ α+β −θ α+β −
= += += += + θ α+β −θ α+β −θ α+β −θ α+β − αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ
Çözüm iki kısımdan oluşacaktır. İlk olarak
değerlerini (k* ve h* ) MRW Büyüme Modelinin
ve ’yi sıfıra eşitleyerek elde edeceğiz
siyonları bulabilmek için, doğrusallaştırılmış
k� h�
siyonları bulabilmek için, doğrusallaştırılmış
çözeceğiz. İlk olarak durağan durum denge
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
* * *
* * *
Kk s k h k
h s k h h
α βα βα βα β
α βα βα βα β
= − θ == − θ == − θ == − θ =
= − θ == − θ == − θ == − θ =
�
� (((( )))) (((( ))))
(((( ))))
* * *
1 1
1 1* * * *1 1,
H
K H
h s k h h
s sk h h k
β αβ αβ αβ α−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β
= − θ == − θ == − θ == − θ =
= == == == = θ θθ θθ θθ θ
�
152152
olarak k ve h ’nin durağan durum (denge)
Modelinin asıl dinamik denklemlerinde
edeceğiz. Bunun ardından tamamlayıcı fonk-
doğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerekdoğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerek
denge değerleri şöyledir:
0
0
= − θ == − θ == − θ == − θ =
= − θ == − θ == − θ == − θ =
(((( ))))
1 1
1 1* * * *1 1
0
,K Hs s
k h h kβ αβ αβ αβ α−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β
= − θ == − θ == − θ == − θ =
= == == == = θ θθ θθ θθ θ
Şimdi doğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerek
yonları bulalım. Bunu yaparken k ve
diğine dikkat edelim.
(((( ))))
((((*
*
1k
hh
k
α− θ βθα− θ βθα− θ βθα− θ βθ
==== αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ
�
�
153153
homojenleştirerek tamamlayıcı fonksi-
h’nin durağan durumda değerlendiril-
))))
*
*
1
k
kh
h
α− θ βθα− θ βθα− θ βθα− θ βθ
αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ
İlk olarak karakteristik kökleri (özdeğerleri)
vektörleri (özvektörleri) belirleyelim.
(((( ))))1 r
A rI
α− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ
− = =− = =− = =− = =
((((
(((( )))) ((((
(((( )))) ((((
*
*
2 21 1 0
A rIh
k
r r
− = =− = =− = =− = =
αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =
(((( )))) ((((
((((
1,2
1 2
2 2 4 1
0 , 1 0
r
r r
− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ ====
= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <
∓
154154
(özdeğerleri) ve buna bağlı olarak karakteristik
*
*
0
k
hα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ
− = =− = =− = =− = =
))))
))))
)))) (((( ))))
*
2 2
2
0
1
1 1 0
h
r
− = =− = =− = =− = =
αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =
)))) (((( ))))
))))
222 2 4 1
2
0 , 1 0
− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ
= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <
Karakteristik vektörler (özvektörler):
[[[[ ]]]](((( ))))
*
1 *1
kr
hA rI v v
h
α− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ
− = =− = =− = =− = = [[[[ ]]]](((( ))))
(((( )))) (((( ))))
((((
*
*
11 *
*
1
1
A rI v vh
k
A r I vh
k
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
α− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθ
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ
((((*
* *
1 1 1 11 2 1 2* *
0 1 ,
k
k hv v v v
h k
αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ
θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −
155155
*
*
0
k
hA rI v v
− = =− = =− = =− = =
)))) (((( ))))
1
*
1*1
12
0
0
1
A rI v v
r
k
vh
v
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
α− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθ
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ
)))) (((( ))))
* *
1 1 1 11 2 1 2* *
1
0 1 ,k h
v v v vh k
αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ
ααααθα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −
ββββ
[[[[ ]]]](((( ))))
(((( ))))
*
2 *
*
1
1
kr
hA rI v v
hr
α− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))((((
*
22 *
*
1
1 1
rk
A r I vh
k
αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
α− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθ
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −
* *
2 2 2 21 2 1 2* *
0 1 ,k h
v v v vh k
−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =
156156
2
0A rI v v
r
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
))))))))
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
2
*
2*1
22
1 1
0
1 1
r
k
vh
v
αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
α− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθ
− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −
* *
2 2 2 21 2 1 2* *
k hv v v v
h k−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =
Buna göre karakteristik kökleri ve vektörleri
111
1 12
vr v
v
= −θ → = == −θ → = == −θ → = == −θ → = = −−−−
(((( ))))
2
22
1r v
= −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = =
Bu sonuçları dikkate alarak belirsiz genelBu sonuçları dikkate alarak belirsiz genel
*1 2
*
1( )
( )
tk t
A e A ehh t
k
−θ−θ−θ−θ
= + += + += + += + +αααα −−−−
ββββ
157157
vektörleri birlikte yeniden yazalım.
*
*
1
h
k
αααα −−−−ββββ
*
212 *22 *
1
k
vr v h
vk
ββββ
= −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = =
genel çözümü yazalım.genel çözümü yazalım.
(((( ))))*
1 *1 2 *
*
1t
kA e A e h
hk
−θ −α−β−θ −α−β−θ −α−β−θ −α−β
= + += + += + += + +
Belirsiz çözümü belirli çözüme dönüştürebilmek
sahip olduğu fiziksel ve beşeri sermaye
bildiğimizi kabul edelim. Belirsiz çözümde
* *1 2
* *
*
1 1(0)
(0)
(0)
k k
A Ah hh hk k
Ak A A k
= + += + += + += + +αααα −−−− ββββ
===== + += + += + += + + *11 2
* *
*1 2* *
2
(0)
(0)
Ak A A k
h hh A A h
k k A
===== + += + += + += + + αααα = − + += − + += − + += − + +
ββββ ====
158158
dönüştürebilmek için başlangıçta ekonominin
sermaye stokunu sırasıyla k(0) ve h(0) olarak
çözümde t=0 alarak A1 ve A2 ’yi belirleyebiliriz.
(((( ))))(((( ))))
*
*
* *(0) (0)
k
h
h k h k
β −β −β −β −====
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
*
* * * *
*
(0) (0)
h
h k k k h h
h
====α+βα+βα+βα+β
α − +β −α − +β −α − +β −α − +β −====
α+βα+βα+βα+β
Buna göre belirli çözüm:
(((( ))))(((( ))))
* * * * * *
* (1 )
* *
(0) (0) (0) (0)( ) t t
h k h k h k k k h hk t k e e
h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −= + += + += + += + +
α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
* * * * * *
* (1 )
* *
(0) (0) (0) (0)( ) t t
h h
h k k h h k k k h hh t h e e
k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β
α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −= + += + += + += + +
α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β
Şimdi fiziksel ve beşeri sermayenin asimptotikbakalım.
* *lim ( ) , lim ( )t t
k t k h t h→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞
= == == == =
159159
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
* * * * * *
* (1 )
* *
(0) (0) (0) (0)t t
h k h k h k k k h hk t k e e
h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −
α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β(((( ))))
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
* * * * * *
* (1 )
* *
(0) (0) (0) (0)t t
h h
h k k h h k k k h hh t h e e
k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β
α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −
α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β
asimptotik olarak nasıl hareket ettiğine
(((( ))))(((( ))))*k �
Doğrusallaştırma yoluyla elde ettiğimiz
aşama grafikleriyle de görelim. İlk olarak
gösteren eğrileri tanımlayalım.
(((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))(((( ))))
*
*
* *
*
*
1 ( 1) 0
( 1)
1 1
kk k h k
h
k kk h
h
h
= α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − =
α+β − βα+β − βα+β − βα+β − β= += += += +
− α − α− α − α− α − α− α − α
�
� (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
*
*
**
*
1 ( 1) 0
1( 1)
hh k h h
k
kkk h
h
= αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − =
−β−β−β−βα+β −α+β −α+β −α+β −= += += += +
α αα αα αα α
�
160160
ettiğimiz modelin zaman içindeki davranışını
olarak k ve h için durağan durum değerlerini
*
*
1 ( 1) 0k k h k
k hh
= α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − =
Sarı Renkli DoğruSarı Renkli Doğru
*
*
1 ( 1) 0h k h h
kk h
= αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − =
Yeşil Renkli DoğruYeşil Renkli Doğru
Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş
Sürecinin DinamiğiSürecinin Dinamiği
kIV
(((( ))))
*( 1)
1
kα + β −α + β −α + β −α + β −
− α− α− α− α
*k
0 *( 1)kα + β −α + β −α + β −α + β −
αααα
III
161161Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş
Sürecinin DinamiğiSürecinin Dinamiği
0h ====�
(((( )))) **
*
1( 1) kkk h
h
− β− β− β− βα + β −α + β −α + β −α + β −= += += += +
α αα αα αα α
IE
0k ====�
����(((( )))) (((( ))))
* *
*
( 1)
1 1
k kk h
h
α + β − βα + β − βα + β − βα + β − β= += += += +
− α − α− α − α− α − α− α − α
I
*k h*h
II
Şimdi Şekil 4.11’i kullanarak, bir iktisat
ekonominin nasıl davranış göstereceğini
etkin işgücü başına fiziksel sermaye,
başına beşeri sermaye dengededir. Her
denklemlerinin, durağan durum denge noktasında
açılımı ile elde edilmiştir. Bu nedenle asıl
ve mavi eğriye k* ve h* noktasında teğettirler
Bu iki doğru koordinat sistemini dört bölgeyeBu iki doğru koordinat sistemini dört bölgeye
rakamlarıyla tanımladık. Ekonomi, politika
dengesindeyken, bir politika değişikliği
birine geçiş yapacaktır (geçici süreyle).
162162
iktisat politikası değişikliği sonrasında
göstereceğini inceleyelim. Sarı renkli doğru boyunca
yeşil doğru boyunca da etkin işgücü
iki doğru, MRW modelinin asıl dinamik
noktasında (k* ve h*) birinci sıra Taylor
asıl dinamik denklemleri gösteren kırmızı
teğettirler.
bölgeye ayırmıştır. Bu bölgeleri Romenbölgeye ayırmıştır. Bu bölgeleri Romen
politika değişikliği öncesinde k* ve h*
sonrasında ilk olarak bu dört bölgeden
Dengeden uzaklaşma sonrasında ekonominin
görebilmek için, her bir bölgede hem fiziksel
yönlerde değişeceğini belirleyelim. Bunun
denklemleri yeniden kullanalım.denklemleri yeniden kullanalım.
İlk olarak fiziksel sermayenin davranışını
ve IV. bölgeler) için şu eşitsizliği yazabiliriz
(((( )))) ((((
* *( 1)
1 1
k kk h
α + β − βα + β − βα + β − βα + β − β> +> +> +> +
− α − α− α − α− α − α− α − α(((( )))) ((((1 1− α − α− α − α− α − α− α − α
Bu eşitsizliği düzenleyerek şunu yazabiliriz
(((( ))))(((( ))))*
*1 ( 1) 0 0
kk h k k
h
α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <
163163
ekonominin nasıl bir seyir izleyeceğini
fiziksel hem de beşeri sermayenin hangi
Bunun için doğrusallaştırılmış diferansiyel
davranışını görelim. Sarı doğrunun üst bölgesi (I.
yazabiliriz:
))))
* *
*1 1
k kk h
h
α + β − βα + β − βα + β − βα + β − β
− α − α− α − α− α − α− α − α))))1 1 h− α − α− α − α− α − α− α − α
yazabiliriz:
*1 ( 1) 0 0k h k kα − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <�
Buna göre, ekonomi sarı renkli eğrinin
işgücü başına fiziksel sermaye azalacaktır
olacağını söyleyebiliriz. Özetlersek;
I. ve IV. bölgelerde: 0k <<<<�
II. ve III. bölgelerde: 0k >>>>�
durumu, k için azalmayı; durumu
üzerinde fiziksel sermayedeki azalmayı
0k <<<<� 0k >>>>�
üzerinde fiziksel sermayedeki azalmayı
yönlü okla gösterdik.
Benzer analizi etkin işgücü başına beşeri
164164
eğrinin üst bölgesinde bulunduğunda etkin
azalacaktır. Alt bölge için bunun tersinin geçerli
0
0
durumu da artmayı göstermektedir. Şekil
azalmayı aşağı yönlü okla, artmayı da yukarıazalmayı aşağı yönlü okla, artmayı da yukarı
beşeri sermaye için de yapalım.
(((( )))) **
*
1( 1) kkk h
h
− β− β− β− βα + β −α + β −α + β −α + β −> +> +> +> +
α αα αα αα α
Yeşil doğru boyunca fiziksel sermaye birikimi
(III. ve IV. bölgeler) için şu eşitsizliği yazabiliriz
III. ve IV. bölgelerde:
(((( ))))(((( ))))
*
*
*1 ( 1) 0 0
k hh
hk h h h
k
> +> +> +> +α αα αα αα α
αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <
I. ve II. bölgelerde:
durumu, h için azalmayı; durumu
üzerinde beşeri sermayedeki azalmayı sola
okla gösterdik.
0h <<<<� 0h >>>>�
165165
k h
birikimi yoktur. Yeşil doğrunun üst bölgesi
yazabiliriz:
0h <<<<�
�
*1 ( 1) 0 0
k h
k h h hαθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <�
0h >>>>�
durumu da artmayı göstermektedir. Şekil
sola yönlü okla, artmayı da sağa yönlü
MRW büyüme modelinin temel dinamik
ettiğimiz sonuçlar ve grafik analizi, zaman
yeni bir denge durumunu tanımlayacağını
sonrası hangi bölgeye gelmiş olursa olsun,
h denge değeri tanımlayacaktır.
Bir iktisat politikası ya da dışsal değişim
sermayenin zaman içinde nasıl bir değişim
nüfus artış hızında bir gerileme, etkin işgücünüfus artış hızında bir gerileme, etkin işgücü
sermeyenin artarak yeni bir denge değeri
yeni denge değerlerine k** ve h** diyelim
166166
dinamik denklemlerinin çözümüyle elde
zaman içinde ekonominin asimptotik olarak
tanımlayacağını göstermektedir. Ekonomi, politika
olsun, değişim süreci mutlaka yeni bir k ve
değişim sonrasında fiziksel ve beşeri
değişim izleyeceğine de bakalım. Örneğin
işgücü başına hem fiziksel hem de beşeriişgücü başına hem fiziksel hem de beşeri
değeri tanımlamasına neden olacaktır. Bu
diyelim.
Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel
Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin DinamiğiSermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği
k
*k
**k
(0)k
0
*k
167167Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel
Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin DinamiğiSermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği
t
h
Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri
Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin DinamiğiSermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği
*h
**h
(0)h
0
*h
168168Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri
Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin DinamiğiSermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği
t
Her iki şekilden de görüleceği gibi, değişimin
başına fiziksel ve beşeri sermaye değerleri
yükselmekte, azalan verimlerin etkisiyle
yüksek yeni bir denge değerine (k** ve
seyir izlemesinin ana nedeni, α ve β ’nın
(((( ))))(((( ))))
* * * * * *
* *
(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t
h k h k h k k k h hkt e t e
n h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −∂∂∂∂= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <
∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β
(((( ))))(((( ))))
* * * * * *
* *
(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t
h k k h h k k k h hht e t e
n k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −∂∂∂∂= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <
∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β
169169
değişimin hemen sonrasında etkin işgücü
değerleri sırasıyla k(0) ve h(0) değerlerine
etkisiyle önceki değerinden (k* ve h* ) daha
ve h**) yakınsamaktadır. Bunun böyle bir
’nın birden küçük olmasıdır.
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
* * * * * *
(1 )
* *
(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t
h k h k h k k k h ht e t e
n h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <
∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
* * * * * *
(1 )
* *
(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t
h k k h h k k k h ht e t e
n k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β
α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <
∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β
Şimdi bir sayısal örnek verelim.
α=0.5 , β=0.3, θ=0.08 , sK=0.2 , sH=0.075
lemleri oluşturalım.lemleri oluşturalım.
0.5 0.3
0.5 0.3
0.2 0.08
0.075 0.08
k k h k
h k h h
= −= −= −= −
= −= −= −= −
�
�
Bu temel diferansiyel denklemleri kullanarakbelirleyelim.
0.5 0.3
0.5 0.3
* *
0 0 0.2 0.08
0 0 0.075 0.08
22.43 , 8.41
k k h k
h k h h
k h
= → = −= → = −= → = −= → = −
= → = −= → = −= → = −= → = −
= == == == =
�
�
170170
075 varsayalım. Buna göre temel denk-
0.075 0.08h k h h
kullanarak önce durağan durum değerlerini
0.5 0.3
0.5 0.3
0 0 0.2 0.08
0 0 0.075 0.08
22.43 , 8.41
k k h k
h k h h
= → = −= → = −= → = −= → = −
= → = −= → = −= → = −= → = −
Özdeğerler:
(((( ))))*
*1
kr
hA rI
α− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ
− = = =− = = =− = = =− = = =
(((( ))))*
*
2
2
1
0.096 0.00128 0
0.096 (0.096) 4(0.00128)
A rIh
k
r r
r
− = = =− = = =− = = =− = = =
αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
+ + =+ + =+ + =+ + =
− −− −− −− −====
∓1,2
1 2
0.096 (0.096) 4(0.00128)
2
0.08 , 0.016
r
r r
− −− −− −− −====
= − = −= − = −= − = −= − = −
∓
171171
0.04 0.0640
r− −− −− −− −− = = =− = = =− = = =− = = =
− −− −− −− −0
0.015 0.056
0.096 (0.096) 4(0.00128)
rr
− = = =− = = =− = = =− = = =− −− −− −− −
αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−
0.096 (0.096) 4(0.00128)
Birinci özvektörü, durağan durum denge
11
0.04 ( 0.08) 0.064
0.015 0.056 ( 0.08)A r I v
− − −− − −− − −− − − − = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −
(((( )))) (((( ))))1 * 1 * 1 11 2 1 2
1 11 2
1 1
0.04 0.064 0
35.89 1.6
1 0.624
v k v h v v
v v
v v
− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −
= −= −= −= −
==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −1 11 2
111
12
1 0.624
1
0.624
v v
vv
v
==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −
= == == == = −−−−
172172
denge noktasında elde edelim:
11
12
0.04 ( 0.08) 0.0640
0.015 0.056 ( 0.08)
v
v
− = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −
* *
1 * 1 * 1 11 2 1 2
0.04 0.064 0.064
0.04 0.04
k hv k v h v v
++++ − + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −
İkinci özvektörü, durağan durum denge
22
0.04 ( 0.016) 0.064
0.015 0.056 ( 0.016)A r I v
− − −− − −− − −− − − − = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −
(((( )))) (((( ))))2 * 2 * 1 11 2 1 2
1 11 2
1 11 2
0.024 0.064 0
0.003 2.67
1 0.374
v k v h v v
v v
v v
− − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = +
= += += += +
==== ⇒⇒⇒⇒ ====1 2
212
22
1 0.374
1
0.374
v v
vv
v
==== ⇒⇒⇒⇒ ====
= == == == =
173173
noktasında elde edelim:
21
22
0.04 ( 0.016) 0.0640
0.015 0.056 ( 0.016)
v
v
− = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −
* *
2 * 2 * 1 11 2 1 2
0.024 0.064 0.064
0.024 0.024
k hv k v h v v
− +− +− +− + − − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = + −−−−
Bu sonuçları dikkate alarak belirsiz genel
0.08 0.0161 2
( ) 1 1 22.43
( ) 0.624 0.374 8.41
t tk t
A e A eh t
− −− −− −− −
= + += + += + += + + −−−−
ya da şöyle yazabiliriz:
0.08 0.0161 2
0.08 0.0161 2
( ) 22.43
( ) 0.624 0.374 8.41
t t
t t
k t A e A e
h t A e A e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= + += + += + += + +
= − + += − + += − + += − + +
Fiziksel ve beşeri sermeye için birer başlangıç
çözerek belirli genel çözüme ulaşabiliriz
yapalım: (0) 30 , (0) 12k h= == == == =
174174
genel çözümü yazalım.
0.08 0.016( ) 1 1 22.43
( ) 0.624 0.374 8.41
t tA e A e− −− −− −− −
= + += + += + += + +
0.08 0.016
( ) 22.43
( ) 0.624 0.374 8.41t th t A e A e− −− −− −− −= − + += − + += − + += − + +
başlangıç değeri kabul edip A1 ve A2 ’yi de
ulaşabiliriz. Başlangıç değerleri için şu varsayımı
1 2
1 2
1 2
(0) 22.43 30
(0) 0.624 0.374 8.41 12
0.76 , 8.33
k A A
h A A
A A
= + + == + + == + + == + + =
= − + + == − + + == − + + == − + + =
= − == − == − == − =1 2
0.08 0.016
0.08 0.016
0.76 , 8.33
( ) 0.75 8.33 22.43
( ) 0.470 3.12 8.41
t t
t t
A A
k t e e
h t e e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − == − == − == − =
= − + += − + += − + += − + +
= + += + += + += + +
Bu çözüm, dengenin kararlı (istikrarlı) olduğunu
dışında oluşabilecek bir şok sonucu ekonomi
h* ile belirtilen başlangıç denge noktasına
175175
(0) 0.624 0.374 8.41 12= − + + == − + + == − + + == − + + =
( ) 0.75 8.33 22.43
( ) 0.470 3.12 8.41
= − + += − + += − + += − + +
olduğunu göstermektedir. Yani, sistemin
ekonomi ulaştığı noktadan, yeniden k* ve
noktasına dönecektir.
Şekil 4.13, bu örneği yansıtmaktadır.
zaman içerisindeki hareketin başlangıç
göstermektedir. Ancak modelde meydana
nüfus artış hızının düşmesi, tasarrufnüfus artış hızının düşmesi, tasarruf
noktasının tanımlanmasına neden olacaktır
Örneğin nüfus artış hızının azaldığını
başına fiziksel ve beşeri sermaye artarak,
denge oluşturacaktır. Bu, Şekil 4.14’tedenge oluşturacaktır. Bu, Şekil 4.14’te
azalmanın hemen ardından ekonomi
Ardından etkin işgücü başına fiziksel
azalmanın etkisiyle, yeni uzun dönem durağan
176176
Küçük kırmızı oklar, tüm durumlarda
başlangıç denge noktasına doğru olacağını
meydana gelebilecek bir içsel değişim (örneğin
oranlarında bir artış), yeni bir dengeoranlarında bir artış), yeni bir denge
olacaktır.
varsayalım. Bu durumda etkin işgücü
artarak, k** ve h** düzeyinde yeni bir kararlı
’te gösterilmiştir. Nüfus artış hızında bir’te gösterilmiştir. Nüfus artış hızında bir
önce geçici olarak E2 noktası gelir.
fiziksel ve beşeri sermaye verimliliğindeki
durağan durum dengesine (E1) ulaşır.
Şekil Şekil 4.13. 4.13. MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde
k
*k
177177
MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde Geçiş Geçiş Sürecinin Sürecinin DinamiğiDinamiği
1 11 2
0.003 2.67v v= += += += +
0h ====�
E����
0k ====�
1 11 2
35.89 1.6v v= −= −= −= −
h*h
Şekil Şekil 4.14. 4.14. MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde
Nüfus Artış Hızında Bir AzalmaNüfus Artış Hızında Bir Azalma
k h ====�
*k0
E����
1E
**k
2E
����
����
35
*h **h 15
178178MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde Geçiş Geçiş Sürecinin Sürecinin Dinamiği: Dinamiği:
Nüfus Artış Hızında Bir AzalmaNüfus Artış Hızında Bir Azalma
1 11 2
0.006 2.67v v= += += += +0k ====�
0====�
1 11 2
49.55 1.6v v= −= −= −= −
h
Nüfus artış hızında 0.005 birimlik bir
çözümü şudur (bunun için θ değerini
edin):
0.075 0.015( ) 1.88 5.91 30.97t tk t e e− −− −− −− −= − + += − + += − + += − + +0.075 0.015
0.075 0.015
( ) 1.88 5.91 30.97
( ) 1.18 2.22 11.61
t t
t t
k t e e
h t e e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − + += − + += − + += − + +
= + += + += + += + +
Şekil 4.14, değişim öncesi ve sonrası
yansıtmaktadır.
179179
azalma varsayımı durumunda modelin
değerini 0.08’den 0.075’e indirdiğimize dikkat
0.075 0.015( ) 1.88 5.91 30.97t t= − + += − + += − + += − + +0.075 0.015( ) 1.88 5.91 30.97
( ) 1.18 2.22 11.61
t t
t t
= − + += − + += − + += − + +
= + += + += + += + +
sonrası durumların her ikisini birden
Bu model R. Dornbusch tarafındanBu model R. Dornbusch tarafından
sermaye hareketliliği, para ve döviz piyasalarına
kesim ve ekonomik karar birimlerinin
varsayımlarını kullanarak döviz kuru hareketliliğini
Model, bir parasal genişleme sonrasınaModel, bir parasal genişleme sonrasına
11.. Kısa dönemde döviz kurunda hızlı bir
ve hem döviz kuru hem de dış ticaret dengesinde
(1976) ortaya atılmıştır. Model, tam
180180
(1976) ortaya atılmıştır. Model, tam
piyasalarına göre daha ağır uyarlanan reel
birimlerinin tutarlı bekleyişlere sahip olduğu
hareketliliğini açıklamaya çalışmaktadır.
ilişkin şu üç sonuca ulaşmaktadır:ilişkin şu üç sonuca ulaşmaktadır:
bir yükseliş (yerli paranın değer yitirmesi)
dengesinde salınımlı bir seyir.
22.. Dengeye yeniden uyarlanma sürecinde
genel düzeyinde yükselme.
33.. Döviz kurlarının fiyatlar genel düzeyi üzerinde33.. Döviz kurlarının fiyatlar genel düzeyi üzerinde
Bu anlamda modelde döviz kuru, parasal
etkilerinde önemli bir aktarım mekanizması
politikasının faiz oranları ve döviz kuru
davranışına sıkı sıkıya bağlıdır. Eğer reel
dönemde faiz oranlarını düşürüp, döviz
bir sıçrama yapmasına neden olur. Aksi
uyarlanma süreci yaşar.
sürecinde düşen döviz kuruyla birlikte fiyatlar
üzerinde doğrudan etkisinin bulunması.
181181
üzerinde doğrudan etkisinin bulunması.
parasal bir genişlemenin reel kesime
mekanizması görevini üstlenmiştir. Para
kuru üzerindeki etkisi, reel milli gelirin
reel gelir sabitse, parasal genişleme kısa
döviz kurunun uzun dönem değerine aniden
Aksi durumda ise, her ikisi de daha ağır bir
Modelde üç kesim tanımlanmaktadır: Reel
ve uluslar arası para piyasası. Her üç piyasayı
Reel Kesim (Mal Piyasası):
(((( )))) , 0 1 , 0ex cy g h s p c h= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >(((( ))))
(((( ))))
, 0 1 , 0
, 0
ex cy g h s p c h
p ex y
= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >
= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >�
Para Piyasası:, 0 , 0
d
s d
m p fy ur f u
m m m
= + − > >= + − > >= + − > >= + − > >
= == == == =s d
m m m= == == == =
Uluslararası Para Piyasası:
* e
e
r r s
s s
= += += += +
====
�
� �
(tam sermaye hareketliliğini
Reel kesim (mal piyasası), para piyasası
piyasayı tanımlayan denklemler şöyledir:
182182
, 0 1 , 0ex cy g h s p c h= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >, 0 1 , 0ex cy g h s p c h= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >
, 0 , 0m p fy ur f u= + − > >= + − > >= + − > >= + − > >
hareketliliğini tanımlamaktadır)
Yukarıdaki denklemlerde yer alan değişkenlerin
ex, toplam harcama; i, özel kesim yatırım
yurtiçi fiyatlar genel düzeyi; y, reel milli
arzı; r*, yurtdışı faiz oranı; s, spot dövizarzı; r*, yurtdışı faiz oranı; s, spot döviz
döviz kuru uzun dönem denge değeri (ya
Değişkenlerin küçük harfli gösterimi,
gelmektedir.
Modelde tanımlayacağımız bir diğer değişken,
*
PR
SP====
Burada P*, yurtdışındaki fiyatlar genel düzeyidir
183183
değişkenlerin anlamları şöyledir:
yatırım harcamaları; g, kamu harcamaları; p,
milli gelir; md, nominal para talebi; ms, para
döviz kuru; se, beklenen spot döviz kuru; s*,döviz kuru; se, beklenen spot döviz kuru; s*,
(ya da satınalma gücü paritesi değeri).
bunların doğal logaritmaları anlamına
değişken, reel döviz kurudur (R).
düzeyidir.
Diğer bir ifadeyle R, yurtiçi genel fiyat düzeyinin,
mış olan yurtdışı genel fiyat düzeyine oranıdır
tanımlayan tek fiyat yasasını kabul edecek
dolayısıyla R=1 yazabiliriz.dolayısıyla R=1 yazabiliriz.
Şimde R oranının her iki yanının doğal
varsayımı ve yurtdışı fiyatlar genel düzeyinin
varsayımını kullanalım.
*
*
ln ln ln ln
1 , 1 0
R P S P
R P s p
= − −= − −= − −= − −
= = → − == = → − == = → − == = → − =
184184
düzeyinin, yerli para birimiyle tanımlan-
oranıdır. Eğer satınalma gücü paritesini
edecek olursak (uzun dönemde), P=SP* ve
doğal logaritmasını alalım ve yukarıdaki
düzeyinin de birim değere sahip olduğu
1 , 1 0R P s p= = → − == = → − == = → − == = → − =
s’deki bir yükselme (ki yerli paranın değeri
demek), yerli para cinsinden yurtdışındaki
ve bunun sonucu olarak da yurtiçinde
olur. Bu durum ihracatın yükselmesine,
ve toplam yurtiçi harcamaların artmasına
Reel kesimi tanımlayan ikinci denklemde
düzeyinde bulunduğunun varsayılması
gelir düzeyi yerine fiyatlar genel düzeyi yükselecektir
185185
değeri yabancı para karşısında azalıyor
yurtdışındaki fiyatların yükselmesi anlamına gelir
üretilen mallar göreli olarak ucuzlamış
yükselmesine, ithalatın azalmasına yani net ihracatın
artmasına neden olur.
denklemde ekonominin tam kaynak kullanım
nedeniyle, aşırı bir talep durumunda
yükselecektir.
Uluslararası para piyasalarını tanımlayan
düşmesi ya da yükselmesi olduğunda,
oranından sapacağını söylemektedir. Bunun
tam hareketli olmasıdır. Tam tersi döviztam hareketli olmasıdır. Tam tersi döviz
spot döviz kuru beklentisinde hiçbir değişme
Fiili ve beklenen spot döviz kuru aynı hale
oranları da sapma göstermeyecektir.
Yukarıda görüldüğü gibi, genel olarak
ilişkileri üzerine kuruludur. Her iki piyasada
s’dir.
186186
tanımlayan denklem de, döviz kurunda bir değer
olduğunda, yurtiçi faiz oranının yurtdışı faiz
Bunun arkasındaki varsayım sermayenin
döviz kurlarını sabit kabul edecek olursak,döviz kurlarını sabit kabul edecek olursak,
değişme gerçekleşmeyecektir:
hale geleceğinden, yurtiçi ve yurtdışı faiz
0es ====�
model mal piyasası ve para piyasası
piyasada da ana belirleyici değişkenler p ve
Toplam harcama fonksiyonunu, fiyatlar
tanımlayan denklemdeki yerine yazarak
(((( )))) (((( ))))1p c y h s p g = α − + − += α − + − += α − + − += α − + − + �
Reel kesimde denge, fiyatlar değişmediğinde
(((( )))) ((((
(((( ))))
0 0 1
1
p c y h s p g
c y gp s
h h
= → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − +
−−−−= − += − += − += − +
�
Uzun dönemde satınalma gücü paritesiUzun dönemde satınalma gücü paritesi
durumda reel kesim dengesini gösteren
harcama denklemindeki h(p-s) teriminin
bir doğru biçimini alır (Şekil 4.15).
187187
fiyatlar genel düzeyindeki hareketleri
yazarak düzenleyelim.
p c y h s p g
değişmediğinde oluşur.
(((( ))))p c y h s p g = → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − +
geçerli olacağından, p=s gerçekleşir. Bu
Reel kesim eş-denge eğrisi
geçerli olacağından, p=s gerçekleşir. Bu
gösteren eğri, reel kesimi tanımlayan toplam
teriminin sıfır olması nedeniyle, orijinden geçen
Şekil Şekil 4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi
p
045
188188
4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi
0p ====� 0p ====�
s
(((( )))) ((((
(((( ))))
0 1 0
1
p c y h s p g
c y gp s
h h
> → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >
−−−−< − +< − +< − +< − +
�
h h
Yani reel kesim eş-denge eğrisinin altında
armakta, üst bölgede ise azalmaktadır.
denge durumundan, sağ-altındaki bölgeye
spot döviz kuru (s) yükselir, yurtiçinde
ucuzlayacağından rekabet avantajına veucuzlayacağından rekabet avantajına ve
harcamadaki bu artış da, (gelir düzeyi
düzeyinin (p) artmasına neden olur (yukarı
189189
))))0 1 0p c y h s p g > → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >
altında kalan bölgede fiyatlar genel düzeyi
. Örneğin bir parasal genişleme sonucu
bölgeye geçtiğimizi varsayalım. Bu durumda
yurtiçinde üretilen mallar göreli olarak daha
ve ihracatın artmasına yol açar. Toplamve ihracatın artmasına yol açar. Toplam
düzeyi sabit olduğundan) fiyatlar genel
(yukarı yönlü ok).
Şimdi de para piyasasına bakalım. Ekonomik
yapabildiği varsayımını, para piyasası dengesi
para piyasası eş-denge eğrisini elde ederek,
nasıl bir davranış sergileyeceğini inceleyelim
(((( ))))
(((( ))))
*
*
,
1 1
m p fy ur r r s
m p fy u r s
s p fy m ru u
= + − = += + − = += + − = += + − = +
= + − += + − += + − += + − +
= + − −= + − −= + − −= + − −
�
�
.
*
1 10 0s p fy m r
u u
p m fy ur
= → = + − −= → = + − −= → = + − −= → = + − −
= − += − += − += − +
�
Para
190190
Ekonomik karar birimlerinin tam öngörü
dengesi denkleminde dikkate alalım ve
ederek, denge dışı durumlarda ekonominin
inceleyelim.
*
*
m p fy ur r r s
s p fy m r
= + − = += + − = += + − = += + − = +
= + − −= + − −= + − −= + − −
�
(((( )))) *s p fy m ru u
= → = + − −= → = + − −= → = + − −= → = + − −
Para piyasası eş-denge eğrisi
Para piyasası eğrisi yataydır (Şekil 4.16
döviz kuru piyasası dengesini ifade eder
daralma sonrasında ekonomi bu eğrinin
kuru ve fiyatların nasıl değişim göstereceğine
Örneğin eğrinin üst bölgesine geçersek,
sahip olduğu varsayıldığından) ani bir sıçrama
* *1 1
0
p m fy ur p fy m ru u
s
> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >
>>>>�
sahip olduğu varsayıldığından) ani bir sıçrama
yapacak, sonra fiyatlar genel düzeyi (p)
yükselecektir (ya da düşecek). Para politikası
para ve döviz piyasası yoluyla başlayarak
mekanizması reel kesimde daha geç devreye
191191
16). Bu eğrinin üzerindeki tüm noktalar,
eder. Örneğin bir parasal genişleme ya da
eğrinin üst ya da alt bölgesine geçerse, döviz
göstereceğine bakalım.
geçersek, döviz kuru (yeterince yüksek esnekliğe
sıçrama (ya da ters yönde bir sıçrama)
(((( ))))* *1 10p m fy ur p fy m r
u u
> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >
sıçrama (ya da ters yönde bir sıçrama)
ve spot döviz kuru (s) ağır bir hareketle
politikası sonrası değişim süreci öncelikle
başlayarak ekonomiye yayılmakta, aktarım
devreye girmektedir.
Şekil Şekil 4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi
p
*p m fy ur= − += − += − += − +
192192
4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi
0s ====�
s
Şekil Şekil 4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge
p
*p ••••
045
0p ====�
193193
4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge
0p ====�
0s ====�••••
s*s
Dornbusch Modeli İçin Sayısal Örnek:
0.8 4 0.01( )
0.1( )
ex y s p
p ex y
= + + −= + + −= + + −= + + −
= −= −= −= −
= + − = == + − = =
�
Uzun dönemde satın alma gücü paritesinin
*
*
0.5 0.5 , 105
,
20 , 10
d d s
e e
m p y r m m
r r s s s
y r
= + − = == + − = == + − = == + − = =
= + == + == + == + =
= == == == =
� � �
para piyasaları dengesini ( ) dikkate
biliriz (Şekil 4.18).
0s ====�
0
105 0.5(20) 0.5(10) 100
s p m fy ur
p
= → = − += → = − += → = − += → = − +
= − + == − + == − + == − + =
�
194194
= + − = == + − = =
paritesinin geçerli olacağını varsayarak (s=p) ve
0.5 0.5 , 105d d s
m p y r m m= + − = == + − = == + − = == + − = =
dikkate alarak her iki eş-denge eğrisini çize-
*
105 0.5(20) 0.5(10) 100
s p m fy ur
= − + == − + == − + == − + =
Şekil Şekil 4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge
p
* 100p ==== ••••
045
*s
0p ====�
195195
4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge
0p ====�
0s ====�••••
11
v
s* 100s ====
21
v
Modelin diferansiyel denklemleri şöyledir
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) *
1 0.001 0.001
1 1
p c y h s p g p p s
s p fy m r s pu u
= α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − +
= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −
� �
� �(((( ))))s p fy m r s pu u
= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −
� �
Diferansiyel denklem sisteminin katsayılar
0.001 0.001
2 0A
−−−− ====
Öz-değerleri belirleyelim.Öz-değerleri belirleyelim.
2
1 2
0.001 0.001
2 0
0.0452 , 0.0442
rA rI r r
r
r r
− −− −− −− −− = = + − =− = = + − =− = = + − =− = = + − =
−−−−
= − == − == − == − =
196196
şöyledir:
1 0.001 0.001
2 200
p c y h s p g p p s
s p fy m r s p
= α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − +
= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −
� �
� � 2 200s p fy m r s p= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −� �
katsayılar matrisi:
2 0.001 0.002 0A rI r r− = = + − =− = = + − =− = = + − =− = = + − =
Özvektörler:
[[[[ ]]]] 1
0.001 ( 0.0452) 0.001 0
2 0 ( 0.0452) 0
rA rI v− − −− − −− − −− − −
− = =− = =− = =− = =
[[[[ ]]]]
1 1
2
2 144.2
0.001 (0.0442) 0.001 0
2 0 (0.0442) 0
r r
r
v v
A rI v
= −= −= −= −
− −− −− −− − − = =− = =− = =− = =
Kararsız Yol
2 2
2 145.2
r rv v==== Kararlı Yol
197197
1
1
1
2
0.001 ( 0.0452) 0.001 0
2 0 ( 0.0452) 0
r
r
v
v
− = =− = =− = =− = = − −− −− −− −
2
2
2
1
2
0.001 (0.0442) 0.001 0
2 0 (0.0442) 0
r
r
v
v
v
− −− −− −− −
− = =− = =− = =− = = −−−−
Kararlı yolun denklemini şöyle belirleriz
* *0.0452( ) 2( )
0.0452( 100) 2( 100)
s s p p
s p
− − = −− − = −− − = −− − = −
− − = −− − = −− − = −− − = −
102.26 0.023p s= −= −= −= −
Kararsız yolun denklemi de şöyledir
* *0.0442( ) 2( )
0.0442( 100) 2( 100)
s s p p
s p
− = −− = −− = −− = −
− = −− = −− = −− = −0.0442( 100) 2( 100)
97.79 0.022
s p
p s
− = −− = −− = −− = −
= −= −= −= −
198198
belirleriz:
0.0452( ) 2( )
0.0452( 100) 2( 100)
şöyledir:
Şekil Şekil 4.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:4.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:
EşEş--denge Eğrileridenge Eğrileri
p
*p ====
*s ====
1991994.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:4.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:
denge Eğrileridenge Eğrileri
0p ====�
•••• 0s ====�
====s
Şimdi de bu iki diferansiyel denklem
Yukarıda iki farklı ve ters işaretli
çözüm:
*x v v xr t r r t rA e A e= + += + += + += + +1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
*1 2
1 1
1 2
2 2
0.0452 0.04421 2
x v v x
1 1 100
45.2 44.2 100
r t r r t r
r r
t r t r tr r
t
t t t
A e A e
s v vA e A e
p v v
sA e A e
p−−−−
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
= + += + += + += + + 1 2
0.0452 0.04421 2
1
45.2 44.2 100
100
100 45.2
t
t tt
t
A e A ep
s A e A e
p A e
−−−−
−−−−
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
= += += += + 0.0452 0.044244.2t t−−−−
200200
denklem için eşanlı çözümü görelim.
işaretli öz-değer bulmuştuk. Buna göre
*x v v x
1 2
1 2
*
*1 1
*2 2
0.0452 0.04421 2
x v v x
1 1 100
45.2 44.2 100
r r
r r
t t
sv v
pv v
A e A e
= + += + += + += + +
= + += + += + += + +
−−−−1 2
0.0452 0.0442
45.2 44.2 100
t t
A e A e
s A e A e
= + += + += + += + + −−−−
0.0452 0.04422
44.2t tA e−−−−
Çözüm genel bir yapıdadır. Örneğin
dengeden uzaklaşan ekonominin
kabul edilerek, A1 ve A2 bilinmeyenleri
Şimdi ekonomide bir genişleyiciŞimdi ekonomide bir genişleyici
gidildiğini varsayalım ve bunun olası
genişleme doğrudan reel kesimi etkilemediğinden,
kalır. Reel kesime etkisi dolaylı olacaktır
rıya kaydırır (Şekil 4.19). Yukarıda
devamı olarak uygulamayı bu çerçevededevamı olarak uygulamayı bu çerçevede
birim artırılarak 110’a çıkarıldığını
birim kadar yukarı kayacaktır. Yeni
Bu arada iki öz-vektörün de yeni denge
yer değiştireceğine dikkat edelim.
201201
Örneğin bir parasal genişleme sonrasında
ilk durumu bir başlangıç noktası
bilinmeyenleri de belirlenebilir.
genişleyici para politikası uygulamasınagenişleyici para politikası uygulamasına
olası etkisini inceleyelim. Parasal
etkilemediğinden, eğrisi yerinde
olacaktır. İlk olarak, eğrisini yuka-
Yukarıda verdiğimiz sayısal örneğin bir
çerçevede sürdürelim. Para arzının 5
s�
p�
çerçevede sürdürelim. Para arzının 5
çıkarıldığını varsayalım. Dolayısıyla eğrisi 5
Yeni denge noktası E1’de (105, 105)’tir.
denge noktasından geçecek şekilde
s�
Şekil Şekil 4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge
p
••••
*0
p
*1
p
0E
1E
••••
T
2T
045
*0
p
*1
s
••••
0p ====�
202202
4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge
0p ====�
0s�
1s�
20
SP
11
v
••••
1T
3T
•••• ••••
100.36 0.022p s= −= −= −= −
s
0s�
21
v
11
SP
•••• •••• ••••A B C
107.37 0.023p s= −= −= −= −
Şekil Şekil 4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci
(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)
1E
••••0p ====�
1E
••••
0E
••••Döviz kurundaki ani sıçrama
203203
4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci
(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)
107.37 0.023p s= −= −= −= −107.37 0.023p s= −= −= −= −
••••Döviz kurundaki ani sıçrama
Şekil Şekil 4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma
(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)
1E
0p ====�
••••1
E
••••
0E
••••0s�
Döviz kurundaki ani sıçrama
204204
4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma
(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)
0
s�1
s�
••••Döviz kurundaki ani sıçrama
Şekil Şekil 4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma
(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)
0p ====�
1E
••••
0E
••••0s�
Döviz kurundaki ani sıçrama
205205
4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma
(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)
1s�
••••Döviz kurundaki ani sıçrama
Parasal genişleme, yukarıda hesapladığımız
lerini etkilemeyecektir. Şimdi yeni
leri belirleyelim.
* *0.0452( ) 2( )s s p p− − = −− − = −− − = −− − = −* *1 1
0.0452( ) 2( )
0.0452( 105) 2( 105)
107.37 0.023
s s p p
s p
p s
− − = −− − = −− − = −− − = −
− − = −− − = −− − = −− − = −
= −= −= −= −
* *1 1
0.0442( ) 2( )s s p p− = −− = −− = −− = −
Kararlı
1 10.0442( ) 2( )
0.0442( 105) 2( 105)
100.36 0.022
s s p p
s p
p s
− = −− = −− = −− = −
− = −− = −− = −− = −
= −= −= −= − Kararsız
206206
hesapladığımız diferansiyel denklem kök-
dengeden geçecek olan öz-vektör-
0.0452( ) 2( )0.0452( ) 2( )
0.0452( 105) 2( 105)
Kararlı yol ( )11
SP
Kararsız yol ( )21
SP
Ekonomik karar birimleri, tam öngörü
döviz kurunun hızla değer yitireceğini
ler. (Şekil 4.20’de E0 ’dan B ’ye). B
vektör eğrisi üzerine düşmektedir.vektör eğrisi üzerine düşmektedir.
denkleminde, B noktasındaki s değerini
107.37 0.023
100 107.37 0.023 326.28
p s
s s
= −= −= −= −
= − → == − → == − → == − → =
Ekonomi B noktasından hareketle
denge noktasına ulaşacaktır. s değerini
dikkati çeken en önemli nokta, döviz
bir sıçrama yapmış olmasıdır. Sonra
hareketle 105 birim denge değerine
207207
öngörü yapabildikleri varsayımı altında,
yitireceğini (yani s ’nin artacağını) bekler-
B noktası tam olarak yeni kararlı öz-
. Bu nedenle yeni kararlı öz-vektör. Bu nedenle yeni kararlı öz-vektör
değerini belirleyebiliriz.
100 107.37 0.023 326.28s s= − → == − → == − → == − → =
yeni kararlı yolu (T1) izleyerek, E11 1
değerini belirleyebiliriz. Bu süreçte
döviz kurunun hızlı ve büyük miktarda
Sonra kararlı yol boyunca ağır bir
değerine azalma göstermektedir.
Ekonomik karar birimleri tam öngörüye
değişim gösterecektir? Böyle bir durumda
parasal genişleme sonrası oluşacak
daha fazla (C noktası) ya da dahadaha fazla (C noktası) ya da daha
lerdir. Ekonominin C noktasından sonra
dan sonra da izleyeceği yol T2 ile gösterilmiştir
sızdır, yani nihai olarak bir denge değeri
Para politikası uygulamasında, para
uygulayan kurumun, ekonomik kararuygulayan kurumun, ekonomik karar
politikayı duyurup duyurmaması,
açısından önemlidir. Yukarıdaki
açıklama yapmadan parasal genişlemeye
alınmıştır.
208208
öngörüye sahip değillerse sistem nasıl
durumda ekonomik karar birimleri,
oluşacak yeni döviz kurunu 326.28’den ya
düşük (A noktası) tahmin edecek-düşük (A noktası) tahmin edecek-
sonra izleyeceği yol T3, A noktasın-
gösterilmiştir. Her iki yol da karar-
değeri tanımlamamaktadır.
para politikasına karar veren ve
karar birimlerine yapmak istediğikarar birimlerine yapmak istediği
döviz kuru ve fiyat değişimleri
örnekte, para otoritesinin hiçbir
genişlemeye gittiği bir durum dikkate
Para otoritesi yapmak istediği genişleyici
ekonomik karar birimlerine duyurursa,
otoritesinin açıklamasını tümüyle yerine
döviz kurunun ani bir sıçramayladöviz kurunun ani bir sıçramayla
(satın alma gücü değerine) yükseleceğini,
göstererek, bir önceki denge düzeyinden
değerine ulaşacağını öngörecekler,
düzeyinin de yükselmesini bekleyeceklerdir
yurtdışı varlıklardan yurtiçi varlıklarayurtdışı varlıklardan yurtiçi varlıklara
oldukları varlıkların değerini korumaya
olduğu kadar çabuk yaparak, avantajı
çalışırlar. Bu işlemler döviz kurunun
artış önceki örnekten daha düşük bir
209209
genişleyici para politikasını önceden
duyurursa, ekonomik karar birimleri, para
yerine getireceğinden emin olarak,
önce uzun dönem denge değerineönce uzun dönem denge değerine
yükseleceğini, ardından ağır ağır düşme
düzeyinden daha yüksek yeni bir denge
öngörecekler, aynı şekilde fiyatlar genel
bekleyeceklerdir. Bu beklentiler ışığında,
varlıklara doğru hareket ederek, sahipvarlıklara doğru hareket ederek, sahip
korumaya; bu işlemleri de mümkün
avantajı kendi lehlerine dönüştürmeye
kurunun ani artışına yol açar, fakat bu
bir değerdir.
Bu durum Şekil 4.21’de yer almaktadır
otoritesinin duyuru yapmadan parasal
döviz kurundaki sıçrama, uzun dönem
kadar olmaktaydı. Para otoritesi belirlikadar olmaktaydı. Para otoritesi belirli
yıl) para arzını artıracağını duyurursa,
yukarıda anlattığımız davranışları nedeniyle
B noktasından daha soldaki bir
Ekonomide döviz kuru ve fiyatlar
dengeye ulaşacaktır. Yine tam öngörüdengeye ulaşacaktır. Yine tam öngörü
karar birimleri veri parasal genişleme
ve fiyatların nerede oluşacağını tam
210210
almaktadır. Bir önceki örnekte (yani para
parasal genişlemeye gittiği durum)
dönem denge değeri olan B noktasına
belirli bir zaman sonra (örneğin birbelirli bir zaman sonra (örneğin bir
duyurursa, ekonomik karar birimlerinin
nedeniyle döviz kurundaki sıçrama
bir noktaya (B′) ulaşabilecektir.
fiyatlar E0-B′-A-E1 yolunu izleyerek yeni
öngörü varsayımı nedeniyle, ekonomiköngörü varsayımı nedeniyle, ekonomik
genişleme altında yeni denge döviz kuru
tam öngörebilmektedirler.
Şekil Şekil 4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:
Parasal Genişlemenin Önceden AçıklanmasıParasal Genişlemenin Önceden Açıklanması
p
••••
*0
p
*1
p
0E
1E
•••• ••••
045
*0
p
*1
s
•••• ••••B
0p ====�
211211
4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:
Parasal Genişlemenin Önceden AçıklanmasıParasal Genişlemenin Önceden Açıklanması
0p ====�
0s�
1s�
20
SP
11
v′′′′
••••
3T
••••A
100.36 0.022p s= −= −= −= −
••••
s
0s�
21
v
••••B′′′′
107.37 0.023p s= −= −= −= −
21
v′′′′B••••
EnflasyonEnflasyon veve İşsizlikİşsizlik İlişkisiİlişkisi:: PhillipsPhillips
Phillips eğrisi kavramı ilk olarak
ortaya atılmıştır. Kavram orijinal biçimiyle
ücretlerde değişme) ve işsizlik arasındakiücretlerde değişme) ve işsizlik arasındaki
maktadır. Bu ilişki şöyle yazılabilir:
( ) , ( ) 0w f u f u′′′′= <= <= <= <
Burada w, parasal ücretlerdeki artış
maliyete göre fiyatlamayı (kar marjı yamaliyete göre fiyatlamayı (kar marjı ya
işsizlik oranı ile parasal ücret artış hızı ilişkisini,
indirgeyebiliriz. Yani ücretler ortalama
firmalar ortalama maliyetlere belirli
belirleyecek.
212212
PhillipsPhillips EğrisiEğrisi
olarak A.W. Phillips tarafından (1958)
biçimiyle enflasyon oranı (parasal
arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalış-arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalış-
( ) , ( ) 0w f u f u′′′′= <= <= <= <
hızını; u, işsizlik oranıdır. Ortalama
ya da mark-up kuralı) dikkate alırsak,ya da mark-up kuralı) dikkate alırsak,
ilişkisini, enflasyon oranı-işsizlik ilişkisine
maliyetleri belirleyecek ve dolayısıyla
bir yüzde ekleyerek kendi fiyatlarını
Parasal ücretlerde artış olduğu sürece,
düzeyinde de bir artışa dönüşecektir
Buna göre Phillips eğrisini yeniden
( ) , ( ) 0f u f u′′′′π = <π = <π = <π = <
M. Friedman para politikasını incelediği
enflasyon oranına ilişkin beklentilerin de
Bu nedenle kavram günümüzde, “genişletilmişgenişletilmiş
dır.
( ) , ( ) 0f u f u′′′′π = <π = <π = <π = <
dır.
( ) , ( ) 0 , 0 1ef u f u′′′′π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <
Bu denklemin, Phillips’in asıl çalışmasından
213213
sürece, bu aynı ölçüde fiyatlar genel
dönüşecektir:
tanımlayalım:
w = π= π= π= π
incelediği çalışmasında (1968), bu ilişkinin
de eklenerek genişletilmesini önermiştir.
genişletilmişgenişletilmiş PhillipsPhillips eğrisieğrisi” olarak anılmakta-
( ) , ( ) 0 , 0 1f u f u′′′′π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <
çalışmasından farkı, δπe terimidir.
Bekleyişlerin uyarlamacı biçimde oluşturulduğunu
(((( )))) , 0e eπ = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >�
Gerçekleşen enflasyon oranı (π),
aşarsa, ekonomideki enflasyon oranıaşarsa, ekonomideki enflasyon oranı
durumda düşürülecektir.
Şimdi hükümetin işsizlik oranını u
ğini ve bunu başardığını varsayalım
görebilmemiz için, genişletilmiş Phillips
türevini alalım ve bunu ’deki yerineeππππ
(((( ))))
(((( ))))*( ) 1
e e e e
f u
π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −
π = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ π
� �
�
ππππ
Türev alırken, f(u*) terimin sabit bir
214214
oluşturulduğunu varsayalım:
, 0π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >
), beklenen enflasyon oranını (πe)
oranı beklentileri yükseltilecek, aksioranı beklentileri yükseltilecek, aksi
u* gibi bir düzeyde korumak istedi-
varsayalım. Bu politikanın etkilerini
Phillips denkleminin zamana göre
yerine yazarak düzenleyelim.
*, ( )e e e e f uπ = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −
değer olduğuna dikkat edelim.
Düzenlediğimiz son denklemin grafiği
Enflasyon oranı ile enflasyon oranındaki
için denge değerine (sabit noktaya)
* *0 0 ( ) 1f uπ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ π�
*
*( )
1
f uπ =π =π =π =
− δ− δ− δ− δ
�
0<δ<1 olması, ile π arasındaki fonksiyonel
mektedir. δ=1 durumunda ise enflasyon
edilmektedir:
ππππ�
0e eπ = π → π =π = π → π =π = π → π =π = π → π =�edilmektedir:
İşsizlik oranı da enflasyon oranından
işsizlik oranı, “doğaldoğal işsizlikişsizlik oranıoranı”
maktadır.
0e eπ = π → π =π = π → π =π = π → π =π = π → π =�
215215
grafiği Şekil 4.22’de yer almaktadır.
oranındaki değişme arasındaki bağlantı
noktaya) bakalım.
(((( ))))* *0 0 ( ) 1π = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ π(((( ))))
fonksiyonel ilişkiyi kararlı hale getir-
enflasyon oranı herzaman doğru tahmin
oranından bağımsızdır. Bu durumdaki
(un) ya da NAIRUNAIRU olarak tanımlan-
Şekil Şekil 4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Enflasyon Oranındaki DeğişmelerEnflasyon Oranındaki Değişmeler
ππππ�
0*ππππ••••
216216
4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Enflasyon Oranındaki DeğişmelerEnflasyon Oranındaki Değişmeler
ππππ
(((( ))))*( ) 1f uπ = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ π�
Doğal işsizlik oranı Şekil 4.23’de gösterilmiştir
Eğer hükümet işsizlik oranını, doğal
hedeflerse (u*<un), enflasyon oranı
nedeni, enflasyon oranı beklentisinin,
gecikmeli olarak izlemesidir. Dolayısıyla
ğini yakalamaya çalışacaktır. Yani
artıyor olacaktır.
Şimdi ekonominin sahip olduğu milli
katalım. Bunun için yukarıdaki tartışmayı
eğrisini yeniden tanımlayalım ve Okuneğrisini yeniden tanımlayalım ve Okun
tin işsizlik oranını, doğal işsizlik
hedeflemesine göre enflasyon oranı
alarak Phillips eğrisi denklemini yeniden
217217
gösterilmiştir.
doğal işsizlik oranı altına çekmeyi
oranı yükselmeye başlar ( ). Bunun
beklentisinin, gerçekleşen enflasyon oranını
0π >π >π >π >�
Dolayısıyla ekonomi her seferinde izledi-
Yani enflasyon oranı sürekli olarak
milli gelir düzeyini de bu analize
tartışmayı dikkate alarak Phillips
Okun yasasına başvuralım. Hüküme-Okun yasasına başvuralım. Hüküme-
oranının üzerinde ya da altında
oranı da değişmektedir. Bunu dikkate
yeniden tanımlayalım.
Şekil Şekil 4.23. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.23. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Enflasyon Oranındaki DeğişmelerEnflasyon Oranındaki Değişmeler
ππππ( ) 0f u
ππππ
0 u
218218
4.23. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.23. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Enflasyon Oranındaki DeğişmelerEnflasyon Oranındaki Değişmeler
( ) 0n
f u ====
nu u
(((( ))))1 1, 0e
nu uπ = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >
Diğer yandan işsizlik oranındaki
arasındaki bağlantıyı belirten OkunOkun
(((( ))))2 2, 0
n nu u y y− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >
Bu son denklemi bir öncekinde yerine
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
1 2 1 2
, 0
n n
e
y y y y
y y
π = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + π
π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >(((( )))) , 0en
y yπ = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >
Burada y, milli gelir düzeyi (logaritması)
karşılık gelen milli gelir düzeyi (logaritması)
219219
1 1, 0π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >
oranındaki değişmeyle milli gelir açığı
OkunOkun yasasıyasası şöyledir:
2 2, 0− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >
yerine yazalım.
(((( ))))1 2 1 2
, 0
e en n
y y y yπ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + π
π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >, 0π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >
(logaritması); yn , doğal işsizlik oranına
(logaritması).
Phillips eğrisine ilişkin bu tanımlamaların
LM modeli çerçevesinde ele alarak
dinamiklerini inceleyelim. Modelin denklemleri
Reel Kesim (Mal Piyasası):
0
(1 )
( )e
y c i g
c a b t y
i i h r
= + += + += + += + +
= + −= + −= + −= + −
= − − π= − − π= − − π= − − π
Reel Kesim (Mal Piyasası):
Para Piyasası:Para Piyasası:
d
s
d s
m ky ur
m m p
m m
= −= −= −= −
= −= −= −= −
====
220220
tanımlamaların ardından, kavramı bir IS-
alarak işsizlik oranı ve enflasyon
denklemleri şöyledir:
Bu modelde y, reel milli gelir; c,
nominal faiz oranı; g, reel kamu harcaması
reel para arzı; m, nominal para arzı
Mal ve para piyasası denklemlerini
denge değerlerini elde ederiz.
(((( )))) (((( )))) (((((((( )))) ((((
(((( ))))
0*
1 1
a i g h u m p hy
b t hk u
+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π====
− − +− − +− − +− − +
− −− −− −− −(((( ))))*
*ky m p
ru
− −− −− −− −====
221221
, reel tüketim; i, reel yatırım; r,
harcaması; md, reel para talebi; ms ,
arzı; p, fiyatlar genel düzeyidir.
y ve r için eşanlı çözerek, modelin
(((( ))))(((( ))))
ea i g h u m p h
b t hk u
+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π
− − +− − +− − +− − +
Diğer yandan para piyasası denkleminden
piyasasındaki yerina yazarak düzenlersek,
eğrisini (AD) elde edebiliriz. Burada
kısalttıkkısalttık
(((( ))))0 1 2y a a m p a= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π
Burada katsayılara a0, a1 ve a2 diyerek
222222
denkleminden y’i çekerek mal
düzenlersek, ekonominin toplam talep
Burada katsayılara a0, a1 ve a2 diyerek
0 1 2ey a a m p a= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π
diyerek kısaltma yaptık.
Bu denklem hem mal hem de para
yansıttığından dolayı toplam talep
lemi şöyle de ifade edebiliriz:
1a a m ++++0 1
1 1 1
1a a mp y
a a a
++++= − + π= − + π= − + π= − + π
Diğer yandan toplam arz eğrisini
arasındaki fonksiyonel ilişki olarak
(((( )))) , 0en
y yπ = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >(((( )))) , 0n
y yπ = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >
Uzun dönemde fiyatların tam esnek
varsaydığımızda π=πe olacağından,
alır. Şekil 4.24 toplam talep ve arz eğrilerini
223223
para piyasası dengesini aynı anda
eğrisini göstermektedir. Bu denk-
a 2
1 1 1
ea
p ya a a
= − + π= − + π= − + π= − + π
de, enflasyon oranıyla çıktı açığı
yazalım.
, 0π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >, 0π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >
esnek ve öngörülebilir olduğunu
olacağından, uzun dönem eğrisi dik bir biçim
eğrilerini göstermektedir.
Şekil Şekil 4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin
Toplam Talep ve Arz EğrileriToplam Talep ve Arz Eğrileri
p eπ = ππ = ππ = ππ = πp π = ππ = ππ = ππ = π
••••*p
0n
y
224224
4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin
Toplam Talep ve Arz EğrileriToplam Talep ve Arz Eğrileri
0 1 21e
a a m ap y
a a a
++++= − + π= − + π= − + π= − + π
y
1 1 1
p ya a a
= − + π= − + π= − + π= − + π
Dikkatlice baktığımızda toplam talep
biçimde), reel para arzında (m-p)
toplam talep eğrisi sağ-üst yönde kaymaktadır
Şimdi bu konuyu bir sayısal örnekleŞimdi bu konuyu bir sayısal örnekle
alalım.
(((( ))))
9 0.4( ) , 0 , 5
0.2 , 6
e
n n
y m p m
y y y
= + − π = == + − π = == + − π = == + − π = =
π = − =π = − =π = − =π = − =
Şekil 4.25 bu örneğin grafiğidir. Denge,Şekil 4.25 bu örneğin grafiğidir. Denge,
olarak hesaplanabilir. Bu denge fiyatın
dinamikler ekonomiyi yeniden dengeye
Bu durum, grafiğin alt bölümündeki
oklarla gösterilmiştir.
225225
talep denkleminde (ilk yazdığımız
bir değişme meydana geldiğinde,
kaymaktadır.
örnekle sürdürelim. Şu modeli dikkateörnekle sürdürelim. Şu modeli dikkate
9 0.4( ) , 0 , 5
0.2 , 6
y m p m= + − π = == + − π = == + − π = == + − π = =
Denge, y=yn olacağından, p*=12.5Denge, y=yn olacağından, p =12.5
fiyatın dışında bir fiyat oluşursa,
dengeye sürükleyecek biçimde çalışır.
bölümündeki mavi eğri üzerindeki sol-alt yönlü
Şekil Şekil 4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin
Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)
p LRAS
E
06
ny ====
••••* 12.5p ====
ππππ( ) 0
nf u
0E
0 •••• 6n
y ====
226226
4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin
Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)
y
AD
( ) 0n
f u ====
A••••
(((( ))))y yπ = α −π = α −π = α −π = α −
y
••••(((( ))))n
y yπ = α −π = α −π = α −π = α −
Uzun dönemde ekonominin enflasyon
kabul ettik. Bu değer sıfır olmazsa
olursa), ekonomi doğal işsizlik oranında
yanıt verebilmek için yeniden toplamyanıt verebilmek için yeniden toplam
Toplam talep eğrisinin zamana göre
denklemine ulaşmış oluruz.
(((( ))))
(((( ))))
0 1 2
1 2e
y a a m p a
y a m a
= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π
= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π� � �
Talep baskısı denklemini genişletilmiş
birleştirerek, fiyat beklentilerini dinamik
227227
enflasyon bekleyişlerinin sıfır olacağını
olmazsa (yani bir pozitif değere sahip
oranında olacak mıdır? Bu soruya
toplam talep eğrisi tanımını ele alalım.toplam talep eğrisi tanımını ele alalım.
göre türevini alırsak, talep baskısı
0 1 2e
e
y a a m p a= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π
= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π�
genişletilmiş Phillips eğrisi denklemiyle
dinamik biçimde tanımlamış oluruz.
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1 2
, 0
e
en
e e
y a m a
y y
= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π
π = α − + ππ = α − + ππ = α − + ππ = α − + π
π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >
� � �
�
Bu model Şekil 4.26’da yer almaktadır
eğrisini; LPC, uzun dönem Phillips
göstermektedir. Grafiğin dikey ekseninde
yatay eksende de milli gelirin (y
dönemde π=πe olacağından, ve
(((( ))))
0eπ =π =π =π =�
Modelin dinamiklerini görebilmemiz
denkleme indirgeyerek yazabiliriz
denklemini üçüncüdeki yerine yazarak
(((( ))))en
y yπ = αβ −π = αβ −π = αβ −π = αβ −�
228228
almaktadır. SPC, kısa dönem Phillips
Phillips eğrisini ve DP, talep baskısını
ekseninde enflasyon oranının (π),
y) olduğuna dikkat edelim. Uzun
ve gerçekleşir.m = π= π= π= π�
görebilmemiz için, modeli iki diferansiyel
yazabiliriz. Yukarıdaki modelin ikinci
yazarak düzenleyelim.
Şekil Şekil 4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri
ππππ LPCππππ
π = π =π = π =π = π =π = π =
••••m = π= π= π= π�
LPC
0n
y
229229
4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri
LPC
0eπ = π =π = π =π = π =π = π =
LPC
SPC
y
DP
Talep baskısı denklemini elde etmek
denklemindeki π yerine yazalım ve düzenleyelim
(((( ))))
(((( ))))((((
1 2ey a m a= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π
= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −
� � �
� � (((( ))))((((
(((( )))) ((((
1 2
1 1 2 1
en n
y a m y y a y y
y a m a a y y a
= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −
= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π
� �
� �
Şimdi elimizde, modelin dinamiklerini
denklem bulunuyor:
(((( ))))π = αβ −π = αβ −π = αβ −π = αβ −� (((( ))))
(((( )))) ((((1 1 2 1
en
y y
y a m a a y y a
π = αβ −π = αβ −π = αβ −π = αβ −
= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π
�
� �
230230
etmek için, kısa dönem Phillips eğrisi
düzenleyelim.
)))) (((( )))) = − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −)))) (((( ))))
))))
1 2
1 1 2 1
en n
en
y a m y y a y y
y a m a a y y a
= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −
= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π
dinamiklerini tanımlayan iki diferansiyel
))))1 1 2 1e
ny a m a a y y a= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π
İlk olarak sistemin denge değerlerini
(((( ))))
((((1 1 2 1
0 0
0 0
en n
y y y y
y a m a a y y a m
π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =
= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π
�
� � �
Her iki diferansiyel denklem için eş
Üstteki şekil enflasyon beklenti
Ekonominin çıktı düzeyi doğal düzeyin
beklentisi azalmakta, tersi durumda
((((0 0y y y y> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >((((
((((
0 0
0 0
n n
n n
y y y y
y y y y
> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >
< → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π <
231231
değerlerini (sabit noktayı) belirleyelim.
)))) (((( ))))1 1 2 1
n n
e en
y y y y
y a m a a y y a m
π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =
= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π� � �
eş-denge eğrileri Şekil 4.27’dedir.
beklenti dinamiğini göstermektedir.
düzeyin altında ise enflasyon oranı
durumda artmaktadır.
))))0 0ey y y y> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >�))))
))))
0 0
0 0
en n
en n
y y y y
y y y y
> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >
< → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π <
�
�
Şekil Şekil 4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş
eππππ0eπ =π =π =π =�
LRAS
0
ny y====
eππππ
0
232232
4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş--Denge Eğrileri Denge Eğrileri
y
y
0y ====�
(((( ))))2
1
1en
am y y
a
ββββπ = − α − −π = − α − −π = − α − −π = − α − −
�
Şimdi de alttaki şekli inceleyelim ve
((((
((((
1 1 2 1
2
0 0
1e
y a m a a y y a
am y y
a
= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π
ββββπ = − α − −π = − α − −π = − α − −π = − α − −
� �
�
Görüldüğü gibi eş-denge eğrisi denklemi
negatif eğimlidir. Eğrinin üst ve
şöyledir:
((((1
1m y ya
π = − α − −π = − α − −π = − α − −π = − α − −
�
((((a ββββ
π < − α − −π < − α − −π < − α − −π < − α − −� ((((
(((( )))) (((( ))))
2
1
1 1 2 1
1en
n
am y y
a
a m a a y y a y
ββββπ < − α − −π < − α − −π < − α − −π < − α − −
− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >
�
� �
233233
ve eş-denge eğrisini belirleyelim.
)))) (((( ))))
))))
1 1 2 1e
n
n
y a m a a y y a
m y y
= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π
denklemi (1-(a2β)/a1>0) olduğunda
ve alt bölgesindeki dinamikler de
))))nm y y
))))))))
1 1 2 10 0
n
e
m y y
a m a a y y a y− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >� �
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
2
1
1 1 2 1
1en
n
am y y
a
a m a a y y a y
ββββπ > − α − −π > − α − −π > − α − −π > − α − −
− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <
�
� �
Eş-denge eğrisinin üst bölümünde y
yor. Her iki eş-denge eğirisi de Şekil
belirlediğimiz tüm dinamikleri bu
ekonominin denge dışındaki bir
dengeye ulaşacağını ya da dengeden
Sistemin yakınsayan ya da ıraksayan
parametre ve dışsal değişkenlerinin
Şimdi bir sayısal örnekle bunu görelim
234234
1 1 2 10 0ea m a a y y a y− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <� �
y azalıyor, üst bölümünde de artı-
Şekil 4.28’de gösterilmiştir. Yukarıda
grafikte birlikte ele aldığımızda,
durumdan sarmal bir hareketle
dengeden uzaklaşacağını söyleyebiliriz.
ıraksayan sarmal hareketini, sistemin
değişkenlerinin alacağı değerler belirlemektedir.
görelim.
Şekil Şekil 4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge
ππππ eπ =π =π =π =�
••••em = π= π= π= π�
0n
y
235235
4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge
0π =π =π =π =�
yn
y
0y ====�
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
10 15 0.5
0.2 15
1.5
e
e
e e
y
y
= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π
π = − + ππ = − + ππ = − + ππ = − + π
π = π − ππ = π − ππ = π − ππ = π − π
� �
�
Bu modeli önce iki diferansiyel denkleme
177.75 1.85 10
4.5 0.3e
y y
y
= − − π= − − π= − − π= − − π
π = − +π = − +π = − +π = − +
�
�
Uzun dönem denge değerlerini belirleyelim
* *
0 0 177.75 1.85 10
0 0 4.5 0.3
15 , 15
e
en
y y
y y
= → = − − π= → = − − π= → = − − π= → = − − π
π = → = − +π = → = − +π = → = − +π = → = − +
= = π == = π == = π == = π =
�
�
236236
denkleme indirgeyelim.
177.75 1.85 10 e= − − π= − − π= − − π= − − π
belirleyelim.
0 0 177.75 1.85 10
0 0 4.5 0.3
15 , 15
ey y
y
= → = − − π= → = − − π= → = − − π= → = − − π
π = → = − +π = → = − +π = → = − +π = → = − +
Şimdi para arzı artış hızında bir
enflasyon ve çıktı üzerindeki
başlangıçta para arzı artış hızının
düşürüldüğünü varsayalım. Budüşürüldüğünü varsayalım. Bu
grafiği ve değişkenlerin zaman
fonksiyonları) aşağıdaki şekillerde
birimlik bir çıktı düzeyine karşılık
birimdir. Para arzı artış hızı 12 birime
yeni (uzun dönem denge) (15, 12yeni (uzun dönem denge) (15, 12
Yukarıda incelediğimiz genişletilmiş
dönemde para arzı artış hızı ile
olacağını unutmayalım.
237237
bir düşmenin, enflasyon beklentisi,
etkilerini inceleyelim. Örneğin
%15 olduğunu ve bunun %12’ye
politika sonrası sistemin süreçpolitika sonrası sistemin süreç
zaman içindeki değişimi (etki-tepki
şekillerde yer almaktadır. Başlangıçta 15
karşılık enflasyon oranı beklentisi de 15
birime düşürüldüğünde, ekonomide
12) biçiminde gerçekleşmektedir.12) biçiminde gerçekleşmektedir.
genişletilmiş Phillips modelinde, uzun
ile enflasyon beklentisinin aynı
h≠0 olması, sürecin sarmal biçimli
merkezden giderek uzaklaşan bir
merkeze giderek yaklaşan bir sarmal
İncelediğimiz bu örnekte h=−0.925
noktasından yeni denge noktasına
görebiliriz (Şekil 4.30). Bu model
bir sarmal hareket yaparak dengeye
uzaklaşacaktır. Genel olarak örneğimizeuzaklaşacaktır. Genel olarak örneğimize
artış hızındaki bir azalmanın sonrasında
çıktıda yeni bir denge tanımlayacak
kararlı bir sarmal hareket yapmaktadır
238238
biçimli olmasını; h>0 olması, sürecin
bir sarmal; h<0 olması, sürecin
sarmal biçimde olmasına yol açar.
925<0 nedeniyle, sürecin başlangıç
noktasına (merkeze) giderek yaklaşacağını
model her durumda saatin tersi yönde
dengeye yaklaşacak ya da dengeden
örneğimize baktığımızda, para arzıörneğimize baktığımızda, para arzı
sonrasında ekonomi, enflasyon ve
tanımlayacak biçimde, saatin tersi yönünde
yapmaktadır.
Şekil 4.32’ye baktığımızda, başlangıçta
yon oranının beklenen enflasyon
görmekteyiz. Bunun nedeni, daraltıcı
toplam talebin tam istihdam
(Şekil4.31) sonucu enflasyonun baskılanmasıdır
diliminde gelir düzeyi yükseldikçe,
geçmektedir.
239239
başlangıçta bir süre gerçekleşen enflas-
enflasyon oranının altında seyrettiğini
daraltıcı para politikasının ardından
gelir düzeyinin altına düşmesi
baskılanmasıdır. İlerleyen zaman
yükseldikçe, gerçekleşen enflasyon da artışa
Şekil Şekil 4.29. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.29. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Süreç Grafiği ve Denge: Sayısal ÖrnekSüreç Grafiği ve Denge: Sayısal Örnek
ππππ
eπ =π =π =π =�
* 15em = π == π == π == π =�
π =π =π =π =�
••••••••
15
y y
••••
240240
4.29. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.29. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Süreç Grafiği ve Denge: Sayısal ÖrnekSüreç Grafiği ve Denge: Sayısal Örnek
0eπ =π =π =π =�
0y ====�
0π =π =π =π =�
••••
y
*
15
ny y====
16.0
Şekil Şekil 4.30. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.30. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Süreç Grafiği ve Denge: Sayısal ÖrnekSüreç Grafiği ve Denge: Sayısal Örnek
Para Arzı Artış Hızının DüşürülmesiPara Arzı Artış Hızının Düşürülmesi
e
tππππ
13.0
14.0
15.0
10.0
11.0
12.0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0
2412414.30. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.30. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
Süreç Grafiği ve Denge: Sayısal ÖrnekSüreç Grafiği ve Denge: Sayısal Örnek
Para Arzı Artış Hızının DüşürülmesiPara Arzı Artış Hızının Düşürülmesi
0eπ =π =π =π =�
•••• 0E
0( 15)y m ====� �
10.0 12.0 14.0 16.0 18.0
y
1E
1( 12)y m ====� �
••••
18.0
Şekil Şekil 4.31. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.31. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
y y ’nin Davranışı’nin Davranışı
y
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
••••
0.0
2.0
4.0
6.0
0.0 10.0 20.0
242242
4.31. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.31. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
’nin Davranışı’nin Davranışı
30.0 40.0 50.0 60.0
t
16.0
,eπ ππ ππ ππ π
Şekil Şekil 4.32. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.32. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
ππee ve ve π π ’nin Davranışı’nin Davranışı
12.0
13.0
14.0
15.0
••••
e
tππππ
10.0
11.0
12.0
0.0 10.0 20.0 30.0
tππππ
243243
4.32. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.32. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde
’nin Davranışı’nin Davranışı
30.0 40.0 50.0 60.0
t
Sistemi çözebilmek için dengeden
biçimde yeniden tanımlayalım.
(((( )))) ((((
(((( ))))
* *
*
1.85 10
4.5 0.3
e e
e
y y y
y y
= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π
π = − + −π = − + −π = − + −π = − + −
�
� (((( ))))*4.5 0.3e y yπ = − + −π = − + −π = − + −π = − + −�
Katsayılar matrisi:
1.85 10
0.3 0A
− −− −− −− − ====
Özdeğerler:Özdeğerler:
1 2
1.85 10
0.3 0
0.925 1.464 , 0.925 1.464
rA rI r r
r
r i r i
− − −− − −− − −− − −− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =
−−−−
= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −
244244
dengeden sapmalar cinsinden homojen
))))* *e e= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π
2 1.85 3 0
0.925 1.464 , 0.925 1.464
A rI r rr
r i r i
− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =
= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −
Şimdi öz-vektörleri belirleyelim.
(((( ))))((((
1
1
1.85 0.925 1.464 10A - I v
0.3 0 0.925 1.464
ri
r − − − + −− − − + −− − − + −− − − + −
= == == == =
(((( ))))((((
1 1
1
1 2
2
1 , 0.0925 0.1464
1.85 0.925 1.464 10A - I v
0.3 0 0.925 1.464
r r
r
v v i
ir
= = − −= = − −= = − −= = − −
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= == == == =
2 2
1 21 ,
r rv v= = −= = −= = −= = −0.0925 0.1464i++++
245245
))))(((( ))))
1
1
1
2
1.85 0.925 1.464 10 0
0.3 0 0.925 1.464 0
r
r
i v
i v
− − − + −− − − + −− − − + −− − − + − = == == == = − − +− − +− − +− − +
))))(((( ))))
2
2
1
2
1.85 0.925 1.464 10 0
0.3 0 0.925 1.464 0
r
r
i v
i v
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = == == == = − − −− − −− − −− − −
Buna göre, genel çözüm:
0.925
1 2
1 1
0.0925 0.1464 0.0925 0.1464
t t
e
t
ye A A−−−−
= += += += + ππππ − + − −− + − −− + − −− + − −
Bu genel çözümü reel terimlere dönüştürerek
1
1
1 11
2 220.0925 0.1464
r
r
u w iv
u w iv
++++ = == == == = ++++ − +− +− +− +
1 1
2 2
1 0
0.0925 0.1464
u w
u w
= == == == =
= − == − == − == − =
246246
1 2
1 1
0.0925 0.1464 0.0925 0.1464e A A
i i
= += += += + − + − −− + − −− + − −− + − −
dönüştürerek ifade edelim.
1
0.0925 0.1464i
− +− +− +− +
1 0
0.0925 0.1464
(((( )))) ((((
1 2
1 2
1 11
2 2
x u u
u cos sinht
A A
u we vt vt
u w
= += += += +
= −= −= −= −
(((( ))))
((((
2 2
1 12
2 2
1 0.925
u cos sin
1 0u cos 1.1464 sin 1.1464
ht
t
u w
w ue vt vt
w u
e t t−−−−
= − −= − −= − −= − −
= −= −= −= − ((((1 0.925
2 0.925
u cos 1.1464 sin 1.14640.0925 0.1464
0u cos 1.1
0.1464
t
t
e t t
e
−−−−
−−−−
= −= −= −= − −−−−
= −= −= −= −
(((( 464 sin 1.1464
247247
(((( ))))u cos sine vt vt
(((( ))))
)))) (((( ))))
u cos sin
1 0u cos 1.1464 sin 1.1464
e vt vt
e t t
= −= −= −= − )))) (((( ))))u cos 1.1464 sin 1.1464
0.0925 0.1464e t t= −= −= −= −
)))) (((( ))))1
464 sin 1.14640.0925
t t
−−−− −−−−
(((( ))))
(((( ))))
0.925
1
2
1 0cos 1.464 sin 1.464
0.0925 0.1464
0 1 15cos 1.464 sin 1.464
0.1464 0.0925 15
t t
e
t
ye A t t
A t t
−−−−
= −= −= −= − ππππ −−−−
+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + −−−−
(((( )))) ((((((((0.925
1 2
0
0.1464 0.0925 15
15 cos 1.464 sin 1.464
15
t
t
e
t
y e A t A t
e
−−−−
−−−−
−−−−
= + −= + −= + −= + −
π = +π = +π = +π = + (((( )))) ((((((((.925
1 2 1 2
1 2
0.0925 0.1464 cos 1.464 0.1464 0.0925 sin 1.464
3 , 22.38
t A A t A A t
A A
− − − −− − − −− − − −− − − −
= − = −= − = −= − = −= − = −
(((( )))) ((((((((
(((( )))) ((((((((
0.925
0.925
15 3cos 1.464 22.38sin 1.464
15 3cos 1.464 2.51sin 1.464
t
t
e t
t
y e t t
e t t
−−−−
−−−−
= + − += + − += + − += + − +
π = + − −π = + − −π = + − −π = + − −
248248
(((( ))))
(((( ))))
1 0cos 1.464 sin 1.464
0.0925 0.1464
0 1 15cos 1.464 sin 1.464
0.1464 0.0925 15
e A t t
A t t
+ − − ++ − − ++ − − ++ − − +
))))))))
0.1464 0.0925 15
15 cos 1.464 sin 1.464y e A t A t
(((( )))) (((( )))) (((( ))))))))1 2 1 20.0925 0.1464 cos 1.464 0.1464 0.0925 sin 1.464A A t A A t− − − −− − − −− − − −− − − −
))))))))
))))))))
15 3cos 1.464 22.38sin 1.464
15 3cos 1.464 2.51sin 1.464
y e t t
e t t
DeflasyonistDeflasyonist SarmalSarmal
Bu başlık altında, nominal faiz oranlarının
reel para talebinin sonsuz esnek hale
bir deflasyonist sarmala girdiğibir deflasyonist sarmala girdiği
şöyledir:
0
(1 )
( )
, ,
e
y c i g
c a b t y
i i h r
m ky ur m m p m m
= + += + += + += + +
= + −= + −= + −= + −
= − − π= − − π= − − π= − − π
= − = − == − = − == − = − == − = − =
(((( ))))
, ,
,
d s d s
e e en
m ky ur m m p m m
y y
= − = − == − = − == − = − == − = − =
π = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − π�
Bu haliyle model, uyarlamacı bekleyişlere
bir genişletilmiş Phillips eğrisi modelidir
249249
oranlarının sıfır düzeyine indiğinde,
hale dönüştüğü ve ekonominin olası
bir model ele alınacaktır. Modelbir model ele alınacaktır. Model
, ,m ky ur m m p m m= − = − == − = − == − = − == − = − =
(((( ))))
, ,d s d s
e e e
m ky ur m m p m m= − = − == − = − == − = − == − = − =
π = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − π
bekleyişlere göre şekillendirilmiş olan
modelidir.
Modeli, reel para arzı ve enflasyon
ele alıp inceleyeceğiz. Yani şu iki
duymaktayız:
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
,
,
es s
e es
m f m
g m
= π= π= π= π
π = ππ = ππ = ππ = π
�
�
Para arzı ile enflasyon beklentisi arasındaki
s sm m p m p= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π� �
(((( ))))
s s
es n
m y y = − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π
� �
�
250250
beklentisi dinamikleri çerçevesinde
diferansiyel denkleme gereksinim
arasındaki ilişkiyi şöyle kurabiliriz:
m m p m p= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π� �
� �
Ayrıca modelde sırasıyla genişletilmiş
bekleyişi tanımlayan son iki denklemi
(((( ))))
(((( ))))
e en n
y y y yπ = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −
Son denklemden reel geliri yok etmemiz
tanımlayan denklemleri kullanarak
(((( ))))e e eπ = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −� �
01 1
ea i g
r − −− −− −− −+ ++ ++ ++ + = + π −= + π −= + π −= + π −
e
s
rh h
m kyr
u u
= + π −= + π −= + π −= + π −
−−−−= += += += +
251251
genişletilmiş Phillips eğrisi ve uyarlamalı
denklemi kullanarak şu ilişkiyi yazabiliriz:
(((( ))))
(((( ))))
e en n
y y y yπ = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −
etmemiz için, mal ve para piyasalarını
şu eşitlikleri tanımlayalım:
(((( ))))ny yπ = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −
(((( ))))1 1b t y − −− −− −− − h h
İkinci r denklemini ilkiyle eşitleyerek
düzeyini elde ederiz.
(((( )))) (((((((( )))) ((((
0*
1 1
ea i g h h u my
b t kh u
+ + + π ++ + + π ++ + + π ++ + + π +====
− − +− − +− − +− − +
Bu denklemi de,
düzenleyelim:
(((( )))) ((((1 1b t kh u− − +− − +− − +− − +
(((( ))))s nm y y = − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π �
(((( )))) (((((((( )))) ((((
0
1 1
e
s n
a i g h h u mm y
b t kh u
+ + + π ++ + + π ++ + + π ++ + + π += − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π − − +− − +− − +− − +
�
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
0
1 1 1 1
11 1
s n s
a i gm y m
b t kh u b t kh u
h
b t kh u
−α + +−α + +−α + +−α + += + α −= + α −= + α −= + α − − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +
αααα− + π− + π− + π− + π − − +− − +− − +− − +
�
252252
eşitleyerek y için çözersek, denge gelir
))))))))
sa i g h h u m
b t kh u
denklemindeki y yerine yazarak
))))b t kh u
e = − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π
))))))))
s es n
a i g h h u mm y
b t kh u
= − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π
(((( ))))(((( )))) (((( ))))1 1 1 1
s n s
e
h um y m
b t kh u b t kh u
αααα= + α −= + α −= + α −= + α − − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +
− + π− + π− + π− + π
Yukarıdakine benzer biçimde y ifadesini
ki yerine yazarak düzenleyelim.
(((( ))))en
y yπ = βα −π = βα −π = βα −π = βα −�
(((( )))) (((((((( )))) ((((
(((( ))))(((( )))) (((( ))))
0
0
1 1
1 1 1 1
e
e
e
a i g h h u m
b t kh u
a i gy m
b t kh u b t kh u
+ + + π ++ + + π ++ + + π ++ + + π +π = βα −π = βα −π = βα −π = βα − − − +− − +− − +− − +
−α + +−α + +−α + +−α + +π = − αβ +π = − αβ +π = − αβ +π = − αβ + − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +
�
�
(((( )))) (((( ))))1 1e
h
b t kh u
αβαβαβαβ+ π+ π+ π+ π − − +− − +− − +− − +
253253
ifadesini denkleminde
.
(((( ))))en
y yπ = βα −π = βα −π = βα −π = βα −�
))))))))
(((( ))))(((( )))) (((( ))))1 1 1 1
s
n
n s
a i g h h u my
b t kh u
h uy m
b t kh u b t kh u
π = βα −π = βα −π = βα −π = βα −
αβαβαβαβπ = − αβ +π = − αβ +π = − αβ +π = − αβ + − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +
Her iki diferansiyel denklem de ms ve
sayısal örnekle sistemi çözelim ve dinamik
060 , 0.75 , 0.2 , 430 , 4 , 330 , 0.25 , 10a b t i h g k u= = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = =
450 , 0 , 2000 , 0.1 , 0.08
60 0.75(1 0.2)
430 4( )
n
e
m p y
c y
i r
= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =
= + −= + −= + −= + −
= − − π= − − π= − − π= − − π
(((( ))))
820 0.75(1 0.2) 4( )
0.25 10 , 450 ,
0.1 2000 , 0.08
e
d s d s
e e e
y y r
m y r m p m m
y
= + − − − π= + − − − π= + − − − π= + − − − π
= − = − == − = − == − = − == − = − =
π = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − π�
254254
ve πe ’ye göre doğrusaldır. Şimdi bir
dinamik davranışını inceleyelim.
60 , 0.75 , 0.2 , 430 , 4 , 330 , 0.25 , 10a b t i h g k u= = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = =
450 , 0 , 2000 , 0.1 , 0.08= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =
(((( ))))
820 0.75(1 0.2) 4( )
0.25 10 , 450 ,
0.1 2000 , 0.08
e
d s d s
e e e
m y r m p m m= − = − == − = − == − = − == − = − =
π = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − π
Örnekteki değerleri dikkate alarak
diferansiyel denklemleri oluşturalım
36 0.08 1.8
2.88 0.0064 0.064
s s
e e
m m
m
= − − π= − − π= − − π= − − π
π = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π
�
� 2.88 0.0064 0.064e es
mπ = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π�
İlk olarak uzun dönem denge değerlerini
eğrilerini belirleyelim.
0 0 36 0.08 1.8 20 0.044
0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1
s s s
e e e
m m m
m m
= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −
π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −
�
�
* *
0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1
450 , 0
e e es s
es
m m
m
π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −
= π == π == π == π =
�
Eş-denge eğrilerinin grafiği Şekil 4.
255255
alarak sistemin dinamiğini tanımlayan
oluşturalım.
36 0.08 1.8
2.88 0.0064 0.064
e
e e
= − − π= − − π= − − π= − − π
π = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π2.88 0.0064 0.064e eπ = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π
değerlerini (sabit noktayı) ve eş-denge
0 0 36 0.08 1.8 20 0.044
0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1
e es s s
e e e
m m m
m m
= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −
π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1e e es s
m mπ = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −
.33’de yer almaktadır.
Ayrıca eş-denge eğrilerinin ayırdığı
hareket edeceğini belirleyelim.
20 0.044 0 36 0.08 1.8 0
20 0.044 0 36 0.08 1.8 0
e es s s
e e
m m m
m m m
π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >
π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <
Buna göre, eğrisinin üst bölgesinde
20 0.044 0 36 0.08 1.8 0
45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0
45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0
e es s s
e e es s
e e es s
m m m
m m
m m
π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <
π > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < π
π < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > π
0s
m ====�
π =π =π =π =�azalıyor; eğrisinin üst bölgesinde
artıyor. Bu belirlemeleri sola, sağa,
Şekil 4.33 üzerinde işaretledik. Görünüm,
yönde olacağını söylemektedir.
0eπ =π =π =π =�
256256
ayırdığı dört bölgede ms ve πe ’nin nasıl
20 0.044 0 36 0.08 1.8 0
20 0.044 0 36 0.08 1.8 0
e es s s
e e
m m m
m m m
π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >
π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <
�
�
bölgesinde ms artıyor, alt bölgesinde
πe
20 0.044 0 36 0.08 1.8 0
45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0
45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0
e es s s
e e es s
e e es s
m m m
m m
m m
π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <
π > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < π
π < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > π
�
�
�
bölgesinde πe azalıyor, alt bölgesinde
sağa, aşağıya ve yukarıya yönlü oklarla
Görünüm, dinamik sürecin saatin tersi
2.0
3.0
Şekil Şekil 4.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması 4.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması
Karşısında Ekonomideki Enflasyonist SüreçKarşısında Ekonomideki Enflasyonist Süreç
20 0.044es
mπ = −π = −π = −π = −
-1.0
0.0
1.0
2.0
420.0 430.0 440.0 450.0
••••0
E
-4.0
-3.0
-2.0
2572574.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması 4.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması
Karşısında Ekonomideki Enflasyonist SüreçKarşısında Ekonomideki Enflasyonist Süreç
450.0 460.0 470.0 480.0
••••
45 0.1es
mπ = −π = −π = −π = −
Şekil 4.33’de, nominal para arzı
sonra, ekonomi saatin tersi yönünde
hareket yaparak yeniden başlangıçtaki
dönmektedir. Genel olarak Pagan’ın
sürece, ekonomi kararlı bir davranış
Örneğimiz için bu değere bakalım:
Pagan Kararlılık Koşulu
uββββ*
0.0018 1s
u
m
ββββ= <= <= <= <
Diğer yandan öz-değerlerin (karakteristik
negatif olması (h=–0.008), bize aynı
258258
450 birimden 425’e düşürüldükten
yönünde daralan (kararlı) bir sarmal
başlangıçtaki denge düzeyine geri
Pagan’ın şu kararlılık koşulu sağlandığı
davranış gösterecektir.
*: 1
s
uulu
m
ββββ<<<<
0.0018 1
(karakteristik köklerin) reel kısmının da
aynı şeyi söylemektedir.
Şimdi sistemin genel çözümüne
dengeden sapmalar cinsinden homojen
lım.
(((( )))) ((((
(((( ))))
* *36 0.08 1.8s s s
m m m= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π�
Katsayılar matrisi:
0.08 1.8
0.0064 0.064A
− −− −− −− − ====
Özdeğerler:
(((( ))))* *2.88 0.0064 0.064e e es s
m mπ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − π�
Özdeğerler:
1 2
0.08 1.8
0.0064 0.064
0.008 0.08 , 0.008 0.08
rA rI r r
r
r i r i
− − −− − −− − −− − −− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =
−−−−
= − + = − += − + = − += − + = − += − + = − +
259259
bakalım. Sistemi çözebilmek için
homojen biçimde yeniden tanımlaya-
(((( ))))
(((( ))))
* *36 0.08 1.8 e e= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π
(((( ))))* *2.88 0.0064 0.064e e eπ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − π
2
0.08 1.80.016 0.0064 0
0.008 0.08 , 0.008 0.08
A rI r rr
r i r i
− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =−−−−
= − + = − += − + = − += − + = − += − + = − +
Şimdi öz-vektörleri belirleyelim.
(((( ))))(((( ))))
1
1
0.08 0.008 0.08 1.8A - I v
0.0064 0.064 0.008 0.08
ri
r − − − + −− − − + −− − − + −− − − + −
= == == == =
(((( ))))(((( ))))
1 1
1
1 2
2
1 , 0.04 0.044
0.08 0.008 0.08 1.8A - I v
0.0064 0.064 0.008 0.08
r r
r
v v i
ir
= = − −= = − −= = − −= = − −
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= == == == =
2
1
rv 2
21 , 0.04 0.044
rv i= = − += = − += = − += = − +
260260
(((( ))))
1
1
1
2
0.08 0.008 0.08 1.8 0
0.0064 0.064 0.008 0.08 0
r
r
i v
i v
− − − + −− − − + −− − − + −− − − + − = == == == = − − +− − +− − +− − +
(((( ))))
2
2
1
2
0.08 0.008 0.08 1.8 0
0.0064 0.064 0.008 0.08 0
r
r
i v
i v
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = == == == = − − −− − −− − −− − −
Buna göre, genel çözüm:
0.008
1 2
1 1
0.04 0.044 0.04 0.044
st t
e
t
me A A−−−−
= += += += + ππππ − + − −− + − −− + − −− + − −
Bu genel çözümü reel terimlere dönüştürerek
1
1
1 11
2 220.04 0.044
r
r
u w iv
u w iv
++++ = == == == = ++++ − +− +− +− +
1 1
2 2
1 0
0.04 0.044
u w
u w
= == == == =
= − == − == − == − =
261261
1 2
1 1
0.04 0.044 0.04 0.044e A A
i i
= += += += + − + − −− + − −− + − −− + − −
dönüştürerek ifade edelim.
1
0.04 0.044i
− +− +− +− +
0.04 0.044
(((( ))))
1 2
1 2
1 11
2 2
x u u
u cos sinht
A A
u we vt vt
u w
= += += += +
= −= −= −= −
(((( ))))
((((
2 2
1 12
2 2
1 0.008
u cos sin
1 0u cos 0.08 sin 0.08
ht
t
u w
w ue vt vt
w u
e t t−−−−
= − −= − −= − −= − −
= −= −= −= − ((((
((((
1 0.008
2 0.008
u cos 0.08 sin 0.080.04 0.044
0 1u cos 0.08
0.044 0.0
t
t
e t t
e t
−−−−
−−−−
= −= −= −= − −−−−
= − −= − −= − −= − −
262262
(((( ))))u cos sine vt vt
(((( ))))
)))) (((( ))))
1 1
2 2
u cos sin
1 0u cos 0.08 sin 0.08
w ue vt vt
w u
e t t
= −= −= −= − )))) (((( ))))
))))
u cos 0.08 sin 0.080.04 0.044
0 1u cos 0.08
0.044 0.0
e t t
e t
= −= −= −= −
= − −= − −= − −= − −−−−−
(((( ))))sin 0.084
t
(((( ))))
(((( ))))
0.008
1
2
1 0cos 0.08 sin 0.08
0.04 0.044
0 1 450cos 0.08 sin 0.08
0.044 0.04 0
st t
e
t
me A t t
A t t
−−−−
= −= −= −= − ππππ −−−−
+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + (((( ))))
(((( ))))((((
2
0.008
1 2
0.008
1
cos 0.08 sin 0.080.044 0.04 0
450 cos 0.08 sin 0.08
0.04
t
st
e t
t
A t t
m e A t A t
e A
−−−−
−−−−
+ − − ++ − − ++ − − ++ − − +
= + −= + −= + −= + −
π = −π = −π = −π = −(((( )))) (((((((( 2 1 2
1 2
0.044 cos 0.08 0.044 0.04 sin 0.08
25 , 22.72
A t A A t
A A
− − −− − −− − −− − −
= − == − == − == − =
(((( ))))((((
(((( ))))(((( ))))
1 2
0.008
0.008
25 , 22.72
450 25cos 0.08 22.72sin 0.08
2sin 0.08
t
st
e t
t
A A
m e t t
e t
−−−−
−−−−
= − == − == − == − =
= + − += + − += + − += + − +
π = −π = −π = −π = −
263263
(((( ))))
(((( ))))
1 0cos 0.08 sin 0.08
0.04 0.044
0 1 450cos 0.08 sin 0.08
0.044 0.04 0
e A t t
A t t
= −= −= −= −
+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + −−−−
(((( ))))
(((( ))))))))
cos 0.08 sin 0.080.044 0.04 0
450 cos 0.08 sin 0.08
A t t
m e A t A t
+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + −−−−
(((( )))) (((( )))) (((( ))))))))2 1 20.044 cos 0.08 0.044 0.04 sin 0.08A t A A t− − −− − −− − −− − −
(((( ))))))))450 25cos 0.08 22.72sin 0.08m e t t
Örneğe bir de IS-LM eğrilerini dikkate
LM eğrilerinin denklemlerini türetelim
sı denklemlerini kullanarak ve her
nımlayarak r için çözelim.nımlayarak r için çözelim.
* *
: 205 0.1
: 45 0.025
5 , 2000n
IS r y
LM r y
r y y
= −= −= −= −
= − += − += − += − +
= = == = == = == = =
IS-LM grafiği Şekil 4.34’tedir. ŞimdiIS-LM grafiği Şekil 4.34’tedir. Şimdi
oranının (r) sıfıra düştüğü bir durumu
ekonominin para talebini hesaplayalım
* *0.25 10 0.25(2000) 10(0) 500d d
m y r m= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =
264264
dikkate alarak bakalım. İlk olarak IS ve
türetelim. Bunun için mal ve para piyasa-
iki piyasada denge durumunu ta-
: 45 0.025
5 , 2000
IS r y
LM r y
Şimdi ekonomide denge nominal faizŞimdi ekonomide denge nominal faiz
durumu dikkate alalım. Bu faiz oranında
hesaplayalım.
0.25 10 0.25(2000) 10(0) 500d d
m y r m= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =
Şekil Şekil 4.34. 4.34. ISIS--LMLM Modelinde Deflasyonist SarmalModelinde Deflasyonist Sarmal
r
••••* 5r ====
0 ••••*
ny y= == == == =
265265
Modelinde Deflasyonist SarmalModelinde Deflasyonist Sarmal
( 450)LM m ====
π =π =π =π =
y
( 0)eIS π =π =π =π =
••••2000y y= == == == =
( 5)eIS π = −π = −π = −π = −
Ekonomi dengedeyken md=ms=500
enflasyon beklentisi de 5 puan azalark
nedenle (LM eğrisi sabitken) IS
Ekonomik karar birimleri nominalEkonomik karar birimleri nominal
alamayacağını bildiğinden, nominal
olduğunun farkında olacaktır. Bu,
tuzağında ekonominin para balansları
parasal genişleme politikasının nominal
sıfırdır.sıfırdır.
266266
olacaktır. reelr=r-πe olduğundan,
azalark -5 değerine düşecektir. Bu
eğrisi sol alt tarafa kaymıştır.
nominal faiz oranlarının negatif değerlernominal faiz oranlarının negatif değerler
nominal faizlerin en alt sınırında
likidite tuzağı durumudur. Likidite
balansları-faiz esnekliği sonsuzdur. Yani,
nominal faiz oranları üzerindeki etkisi
4.0
Şekil Şekil 4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal
eππππ
-4.0
-2.0
0.0
2.0
350.0 400.0 450.0
0E
••••
2T
••••
-8.0
-6.0
267267
4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal
* 0r ====205 0.4e
smπ = − +π = − +π = − +π = − +
500.0 550.0 600.0s
m
•••• 0s
m ====�
205 0.4s
mπ = − +π = − +π = − +π = − +
•••• 0eπ =π =π =π =�
1T ••••A
Şimdi ekonominin resesyonda olduğu
Şekil 4.35’de E0 noktasıdır. Ekonomide
Ekonomi, kararlı denge sürecini tanımlayan
yeniden dengeye ulaşabilecektir.yeniden dengeye ulaşabilecektir.
davranışa sahipse (örneğin T1),
halinde (A noktası) kararlı süreci yakalaması
andan itibaren ekonomi bir deflasyonist
yörünge çizer. Çıktı açığı her seferinde
çok derinleştirir, ancak nominalçok derinleştirir, ancak nominal
sabitlenen nominal faiz oranı ve deflasyonist
faiz oranları giderek yükselir, bunun
Kısacası bu süreç bir deflasyonist sarmaldir
268268
olduğu bir durumu dikkate alalım. Bu,
Ekonomide bir aşırı kapasite (y<yn) vardır.
tanımlayan T2 yolunu izlediği sürece
Eğer kararlı yolun dışında birEğer kararlı yolun dışında bir
nominal faizlerin sıfıra düşmesi
yakalaması olanak dışı olacaktır. Bu
deflasyonist sarmala yakalanmış bir
seferinde deflasyonist beklentiyi daha
faizler düşmez. Sıfır düzeyindefaizler düşmez. Sıfır düzeyinde
deflasyonist sarmal nedeniyle reel
bunun sonucunda da çıktı açığı artar.
sarmaldir.
Bu soruna bağımsız bir merkez bankası
düşünelim. Ekonomi resesyonda
Ancak genişleyici para politikasına
ekonomi sarmal deflasyonist süreceekonomi sarmal deflasyonist sürece
noktasında ya da bu noktadan
politikası yapılmalıdır. Ekonominin kararlı
olan yol ile arasında yer
için bir çıkış kapısıdır. Merkez bankası
uygulamada, ekonominin bu koridora
0s
m ====� 0eπ =π =π =π =�
uygulamada, ekonominin bu koridora
geç hareket ederse, T1 gibi kararsız,
olacaktır.
269269
bankası olarak çözüm aradığımızı
olduğundan para arzını artırırız.
politikasına ne zaman başvuracağız. Burada
sürece yakalanmadan önce (Şekilde Esürece yakalanmadan önce (Şekilde E0
hemen sonra) genişlemeci para
kararlı sürece girmesini sağlayacak
alan koridordur ve merkez bankası
bankası genişleyici para politikasını
koridora girmesini engelleyecek ölçüdekoridora girmesini engelleyecek ölçüde
kararsız, deflasyonist sarmala yakalanmış
Şekil 4.35’de ve eğrilerinin
edilmelidir. Bu dirsek noktasının
gelmektedir. Yani dirsek, sıfır olan
gelen likidite tuzağını ifade etmektedir
0s
m ====� 0eπ =π =π =π =�
gelen likidite tuzağını ifade etmektedir
gelen beklenen enflasyon oranı ile
(diğer bir ifadeyle dirseğin tam olarak
lim). Örnek modelimizi bir bütün
nominal faiz oranını reel para arzı
yazalım.yazalım.
* 41 0.08 0.2 es
r m= − + π= − + π= − + π= − + π
270270
eğrilerinin birer dirsek yaptığına dikkat
sağında her ikisi de yatay hale
olan nomainal faiz oranına karşılık
etmektedir. Şimdi likidite tuzağına karşılketmektedir. Şimdi likidite tuzağına karşılk
reel para arzı düzeyini belirleyelim
olarak nerede oluşacağını belirleye-
bütün olarak dikkata alalım ve denge
arzı ve beklenen enfasyon cinsinden
Şimdi nominal faiz oranını sıfır alarak,
oluşturalım.
* 0 41 0.08 0.2 0s
r m= → − + π == → − + π == → − + π == → − + π =
π = − +π = − +π = − +π = − +205 0.4es
mπ = − +π = − +π = − +π = − +
Bu denklemi, ve denklemleriyle
πe için çözersek, kırılma noktalarını
0s
m ====� 0eπ =π =π =π =�
0 0 36 0.08 1.8 205 0.4
506.3 , 2.48
s s s
e
m m m
m
= → = − − − += → = − − − += → = − − − += → = − − − +
= π = −= π = −= π = −= π = −
�
506.3 , 2.48
0 0 2.88 0.0064 0.064 205 0.4
500 , 5
es
e
es
m
m
= π = −= π = −= π = −= π = −
π = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +
= π = −= π = −= π = −= π = −
�
271271
alarak, ms ile πe arasındaki bağlantıyı
0 41 0.08 0.2 0e= → − + π == → − + π == → − + π == → − + π =
denklemleriyle eşitleyerek sırasıyla , ms ve
bulmuş oluruz.
(((( ))))0 0 36 0.08 1.8 205 0.4s s s
m m m= → = − − − += → = − − − += → = − − − += → = − − − +
(((( ))))0 0 2.88 0.0064 0.064 205 0.4s s
m mπ = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +
Bu olaya 2001 yılı ortalarında yaşanmış
Resesyona gireceği düşünülen ABD’de
tür (yani para arzını genişletmiştir)
bankası da aynı politikayı izlemiş,bankası da aynı politikayı izlemiş,
oranlarını sabit tutmuştur (para arzını
Avrupa Birliği genelinde işsizlik oranları
açığı vardır. Bu gelişmelerin bir
yukarıda sözü edilen deflasyonist sarmal
272272
yaşanmış bir gerçek örnek verilebilir.
ABD’de FED faiz oranlarını düşürmüş-
genişletmiştir). Hemen ardından İngiltere merkez
fakat Avrupa Merkez Bankası faizfakat Avrupa Merkez Bankası faiz
arzını genişletmemiştir). Bu sırada
oranları hayli yüksektir, yani bir çıktı
sonucu olarak Avrupa Birliği’nde,
sarmal gerçekleşmiştir.
AçıkAçık EkonomiEkonomi DinamikleriDinamikleri:: KatıKatı
Farklı döviz kuru rejimlerini ilk olarak
içerisinde ele alacağız. Model şöyledir
E C I G NX= + + += + + += + + += + + +0
0
, 0 , 0 1
, 0 1
, 0
d
d
E C I G NX
C a bY a b
Y Y T
T T tY t
I I jY j
= + + += + + += + + += + + +
= + > < <= + > < <= + > < <= + > < <
= −= −= −= −
= − < <= − < <= − < <= − < <
= + >= + >= + >= + >0
0
0
, 0
, 0 1
I I jY j
M M mY m
NX X M
= + >= + >= + >= + >
= + < <= + < <= + < <= + < <
= −= −= −= −
273273
KatıKatı FiyatFiyat ModelleriModelleri
olarak fiyatların sabit olduğu bir model
şöyledir:
, 0 , 0 1
, 0 1
C a bY a b= + > < <= + > < <= + > < <= + > < <
, 0 1= + < <= + < <= + < <= + < <
Mal piyasasında zaman içindeki değişim,
arasındaki farka bağlı olarak gerçekleşir
firmalar üretimi genişleterek gelir
meye başlar.meye başlar.
(((( )))) , 0dY
E Ydt
= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >
Bu dinamiği, modelin denklemlerini
(((( 0 0 0 0 0
dYa bT I G X M b t j m Y
dt= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +((((
((((
0 0 0 0 0
1 (1 )
a bT I G X M b t j m Ydt
dYA b t j m Y
dt
= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +
= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +
274274
değişim, toplam gelir ve harcama
gerçekleşir. Harcamalar geliri aştığında,
yaratırlar, dolayısıyla gelir yüksel-
, 0= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >
denklemlerini de katarak yeniden tanımlayalım:
)))) (((( ))))0 0 0 0 01 (1 )a bT I G X M b t j m Y= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +)))) (((( ))))
))))
0 0 0 0 01 (1 )a bT I G X M b t j m Y
A b t j m Y
= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +
Mal piyasası dengesini belirleyelim.
((((0 0 1 (1 )dY
A b t j m Ydt
A
= → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − +
Modelin grafiği Şekil 4.36’da ve 3
sistemde tek denge noktası olduğundan,
kararlıdır ya da kararsızdır. Şekil
*
1 (1 )
AY
b t j m====
− − − +− − − +− − − +− − − +
kararlıdır ya da kararsızdır. Şekil
kararsız durum çizilmiştir.
275275
.
))))0 0 1 (1 )A b t j m Y= → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − +
3.37’de gösterilmiştir. Genel olarak
olduğundan, sistem bir bütün olarak ya
4.36’da kararlı durum, 4.37’de de4.36’da kararlı durum, 4.37’de de
Şekil Şekil 4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası 4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası
E
Y�
••••
*Y0
0 ••••*Y0
Y
276276
4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası 4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası
E
Y E====
Y
Y1
Y
Şekil Şekil 4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası 4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası
E
Y�
••••
*Y0
0*Y0
Y••••
277277
4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası 4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası
E
Y E====
Y
Y1
Y
Kararlılık koşulunu belirleyebilmek
tanımlayan diferansiyel denklemi çözelim
sistemin denge değerine yakınsak olduğuna
((((1 (1 )dY
A b t j m Y= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +((((
(((( ))))* *
1 (1 )
( ) (0)
1 (1 ) 0 lim ( )
dYA b t j m Y
dt
Y t Y Y Y e
b t j m Y t Y
= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +
= + −= + −= + −= + −
− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →
Kararlılık koşulu incelendiğinde,Kararlılık koşulu incelendiğinde,
kararsızlığın yaşanabildiği görülebilir
Şekil 4.36’da görüldüğü gibi, mal piyasası
negatif eğimli olmaktadır.
278278
belirleyebilmek için, mal piyasası dinamiğini
çözelim ve t→∞ iken hangi durumda
olduğuna bakalım.
))))1 (1 )A b t j m Y= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − + ))))
(((( ))))1 (1 )
*
1 (1 )
1 (1 ) 0 lim ( )
b t j m t
t
A b t j m Y
Y t Y Y Y e
b t j m Y t Y
−λ − − − +−λ − − − +−λ − − − +−λ − − − +
→∞→∞→∞→∞
= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +
− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →
farklı durumlarda kararlılık vefarklı durumlarda kararlılık ve
görülebilir. Kararlılık koşulu sağlandığında,
piyasası dinamiğini tanımlayan eğri,
((((
((((
1 (1 )
1 (1 )
Y A b t j m Y
dYb t j m
dY
= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +
= − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − +
�
�
(1 ) 1 0b t j m− + − < → <− + − < → <− + − < → <− + − < → <
Ancak bu aşamada dikkat edilmesi
koşulunun bu modelde kendiliğinden
neden yoktur. Dış ticaretin olmadığıneden yoktur. Dış ticaretin olmadığı
gelire çok duyarlıysa ve marjinal tüketim
durumu ortaya çıkabilir. Dış ticaret,
layarak, kararsızlık sürecini ortadan
279279
))))
))))
Y A b t j m Y
b t j m
= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +
= − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − +
�(1 ) 1 0
dY
dY− + − < → <− + − < → <− + − < → <− + − < → <
�
gereken bir nokta vardır. Kararlılık
kendiliğinden sağlanmasını gerektiren bir
olmadığı (m=0) bir durumda, yatırımlarolmadığı (m=0) bir durumda, yatırımlar
tüketim eğilimi yüksekse, kararsızlık
ticaret, yüksek harcama eğilimini baskı-
kaldırabilir.
ÖdemelerÖdemeler DengesiDengesi veve ParaPara ArzıArzı
Şimdi modeli, ödemeler dengesini
bulunduracak biçimde genişletelim
den oluşmaktadır: Birincisi dış ticaretden oluşmaktadır: Birincisi dış ticaret
akımları dengesi (CF). Ödemeler dengesini
bp nx cf= += += += +
Eğer yurtiçi fiyatlar genel düzeyi P ise
NX Px Pz= −= −= −= −
Bu eşitlikte NX nominal net dış ticareti,
göstermektedir.
280280
dengesini ve döviz kurlarını da gözönünde
genişletelim. Ödemeler dengesi iki ana bölüm-
ticaret dengesi (NX), diğeri de sermayeticaret dengesi (NX), diğeri de sermaye
dengesini reel terimlerle yazalım.
ise;
ticareti, x reel ihracatı, z reel ithalatı
Spot döviz kurunu S ile, yurtdışı fiyatları
dikkate alarak net dış ticareti yeniden
*NX SP
NX Px SP z x zP P
= − → = −= − → = −= − → = −= − → = −
Bu eşitlikte R, reel döviz kurunu göstermektedir
betçi düzeyini de belirtmektedir. Reel
gelir düzeyine (x ), bir ölçüde de pozitif
P P
nx x Rz= −= −= −= −
gelir düzeyine (x0), bir ölçüde de pozitif
na bağlıdır.
0, 0x x fR f= + >= + >= + >= + >
281281
fiyatları da P* ile gösterelim. Bunları
yeniden yazalım.
*NX SPNX Px SP z x z
P P
= − → = −= − → = −= − → = −= − → = −
göstermektedir ve ekonominin reka-
Reel ihracat bir ölçüde yurtdışı reel
pozitif yönlü olarak reel döviz kuru-
P P
pozitif yönlü olarak reel döviz kuru-
, 0= + >= + >= + >= + >
Net ithalatı da şöyle yazabiliriz:
0, 0 1 , 0Rz z my gR m g= + − < < >= + − < < >= + − < < >= + − < < >
Reel ihracat ve ithalat tanımlamalarını
Şimdi de sermaye dengesini yazalım
(((( ))))*0
, 0cf cf v r r v= + − >= + − >= + − >= + − >
0( )nx nx f g R my= + + −= + + −= + + −= + + −
Burada r yurtiçi faiz oranını, r* yurtdışıBurada r yurtiçi faiz oranını, r* yurtdışı
aşamada döviz kuru beklentilerini
Sonra bu varsayımı gevşeteceğiz.
akımları, faiz oranı farklarına (r-r*)
282282
, 0 1 , 0Rz z my gR m g= + − < < >= + − < < >= + − < < >= + − < < >
tanımlamalarını birleştirelim.
yazalım.
, 0cf cf v r r v= + − >= + − >= + − >= + − >
nx nx f g R my= + + −= + + −= + + −= + + −
yurtdışı faiz oranını göstermektedir. İlkyurtdışı faiz oranını göstermektedir. İlk
sabit varsayarak analiz yapacağız.
. Bu varsayımlar altında sermaye
bağlı olarak gerçekleşecektir.
Yukarıdaki düzenlemeleri dikkate alarak
yazalım.
(((( ))))
bp nx cf
bp bp f g R my v r r
= += += += +
= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
Sabit döviz kuru rejimi altında, ödemeler
durumda yurtiçi faiz oranıyla ekonominin
bağlantıyı, yukarıdaki eşitlikten hareketle
(((( ))))0bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
((((0 0bp bp f g R my v r r= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −((((
(((( ))))
0
0*
0 0bp bp f g R my v r r
bp f g Rr r y
v v
= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −
+ ++ ++ ++ += − += − += − += − +
283283
alarak ödemeler dengesini yeniden
(((( ))))*bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
ödemeler dengesinin dengede olduğu
ekonominin reel gelir düzeyi arasındaki
hareketle türetebiliriz.
(((( ))))*bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
)))) (((( ))))*bp bp f g R my v r r= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −)))) (((( ))))*bp bp f g R my v r r
mr r y
v v
= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −
= − += − += − += − +
Ödemeler dengesinin sağlandığı durumda
aynı zamanda Şekil 4.38’de yer almaktadır
üst bölgesinde ödemeler dengesi
tedir. Eğrinin üzerindeki tüm noktalardatedir. Eğrinin üzerindeki tüm noktalarda
maktadır. Ekonominin örneğin ithalat
noktasına geçtiğini, yani ödemeler
lım. Yurtiçi faiz oranı sabitken gelir
talebini (para arzı sabitken) artırır,
sermaye akmasına yol açar. Bu yollasermaye akmasına yol açar. Bu yolla
noktada yeniden sağlanmış olur. Ödemeler
geçildiğinde ekonominin rezervleri
tadır.
284284
durumda faiz oranı-gelir bağlantısı
almaktadır. Pozitif eğimli olan eğrinin
fazla, alt bölgesinde açık vermek-
noktalarda ödemeler dengesi sağlan-noktalarda ödemeler dengesi sağlan-
ithalat artışı gibi bir nedenle B
dengesinin açık verdiğini varsaya-
gelir düzeyi artmıştır. Gelir artışı para
artırır, faiz hadleri yükselerek yurtiçine
yolla ödemeler dengesi C gibi biryolla ödemeler dengesi C gibi bir
Ödemeler dengesinin üst bölgesine
artmakta, aksi yönde ise azalmak-
Şekil Şekil 4.38. Ödemeler Dengesi 4.38. Ödemeler Dengesi
r
(((( ))))bp f g R+ ++ ++ ++ +
0bp >>>>
••••A
(((( ))))0*bp f g R
rv
+ ++ ++ ++ +−−−− •••• 0bp <<<<
285285
4.38. Ödemeler Dengesi 4.38. Ödemeler Dengesi
0bp ====
••••
••••
B
y
Ekonominin rezerv durumunu şu faktörler
1. Rezerv değişiminden kaynaklanan
2. Parasal yetkililerin para arzı genişlemesinin
ölçüde bertaraf edecek önlemler
3. Hükümetin döviz kuru aracını kullanması
Şimdi ödemeler dengesinin şekline
bakalım.
v=0 olursa, BP eğrisi dik biçim alır (Şekil
((((
(((( ))))
0
0
0 0v bp f g R my
bp f g Ry
m
= → = + + −= → = + + −= → = + + −= → = + + −
+ ++ ++ ++ +====
286286
faktörler belirler:
kaynaklanan para arzı değişimi.
genişlemesinin yol açacağı etkileri ne
önlemler aldığı.
kullanması.
şekline ilişkin bazı özel durumlara
(Şekil 4.39a).
(((( ))))v bp f g R my= → = + + −= → = + + −= → = + + −= → = + + −
Şekil Şekil 4.39. Ödemeler Dengesi 4.39. Ödemeler Dengesi
r ( 0)BP v ====
y
a) Sermaye Hareketliliği Yoka) Sermaye Hareketliliği Yok
0
287287
4.39. Ödemeler Dengesi 4.39. Ödemeler Dengesi
r
( )BP v = ∞= ∞= ∞= ∞
y
b) Sermaye Hareketliliği Tamb) Sermaye Hareketliliği Tam
0
v=∞ olursa, BP eğrisi yatay biçim alır
Pozitif eğimli BP eğrisi durumunda
vardır. Ancak bu durumda da LM eğrisinin
önem taşımaktadır. Şu iki olasılıönem taşımaktadır. Şu iki olasılı
LM’den daha dik ya da daha yataydır
Son olarak IS eğrisini tanımlayalım.
[[[[ ]]]]
[[[[
(1 ) ( )
1 (1 )( )
e a b t j y hr nx f g R my
a nx f g R
= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −
− − − +− − − +− − − +− − − ++ + ++ + ++ + ++ + + [[[[01 (1 )( )a nx f g R
r yh h
− − − +− − − +− − − +− − − ++ + ++ + ++ + ++ + += −= −= −= −
288288
alır (Şekil 4.39b): r = r*
sermaye hareketliliği kısıtlı ölçüde
eğrisinin BP eğrisine göre konumu
karşımıza çıkabilir. BP eğrisi yakarşımıza çıkabilir. BP eğrisi ya
yataydır.
.
]]]]
0(1 ) ( )
1 (1 )
e a b t j y hr nx f g R my
b t j m
= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −
− − − +− − − +− − − +− − − + ]]]]1 (1 )b t j mr y
h h
− − − +− − − +− − − +− − − +
AçıkAçık EkonomideEkonomide ParaPara PolitikasıPolitikası
Kapalı ekonomi IS-LM modelinde
Ancak sabit döviz kuru rejimini uygulayan
varsayım artık geçerli değildir. Çünküvarsayım artık geçerli değildir. Çünkü
arzının tanımı değişmektedir. Bu nedenle
için yeniden tanımlayalım.
0 , 1M Cp CBR M M Cp D= + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = +
Burada; M0, parasal taban; Cp,
tuttukları para miktarı; CBR, MB’deki
serbest mevduat. Parasal tabanla para
çarpanı ilişkisini dikkate alalım.
1 0s
M M qM≡ =≡ =≡ =≡ =
289289
para arzını dışsal kabul etmiştik.
uygulayan açık bir ekonomide bu
Çünkü açık bir ekonomi için paraÇünkü açık bir ekonomi için para
nedenle para arzını açık bir ekonomi
sM Cp CBR M M Cp D= + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = +
ekonomik karar birimlerinin elde
MB’deki ticari banka rezervleri; D,
para arzı arasında da basit bir para
1 0M M qM
Yukarıda tanımladığımız parasal taban,
lerini göstermektedir. MB’nin varlıkları
(CBC) uluslararası rezervlerinden
parasal tabanı ya da MB bilançosunuparasal tabanı ya da MB bilançosunu
((((
0
0s
M Cp CBR CBC IR
M qM q CBC IR
= + = += + = += + = += + = +
= = += = += = += = +
Parasal tabandaki değişimler iki
sterilizasyonu da içerecek şekildesterilizasyonu da içerecek şekilde
değişimler); ikincisi, sabit döviz kuru
sindeki değişimlere özdeş olan uluslararası
290290
taban, MB bilançosunun yükümlülük-
varlıkları da, MB’nin açtığı kredilerle
rezervlerinden (IR) oluşmaktadır. Buna göre
bilançosunu çift taraflı olarak yazabiliriz:bilançosunu çift taraflı olarak yazabiliriz:
))))
M Cp CBR CBC IR
M qM q CBC IR
= + = += + = += + = += + = +
= = += = += = += = +
iki kaynaktan beslenir: Birincisi,
şekilde açık piyasa işlemleri (CBC’dekişekilde açık piyasa işlemleri (CBC’deki
kuru rejimi altında ödemeler denge-
uluslararası rezervlerdeki değişimler.
Açık piyasa işlemleri (∆CBC) otonom
değişimler (∆IR) olarak iki bölüme sahiptir
, 0 1CBC IR∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤
Bu eşitlikte λ sterilizasyon katsayısıdır
anlamına gelmektedir. Eğer ödemeler
nedenle parasal taban uluslararası
parasal otorite karşı bir hareketle parasal
(((( ))))s sM q CBC IR M q CBC IR= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆(((( ))))
(((( ))))
(1 )
s s
s s
s
M q CBC IR M q CBC IR
M q CBC IR M q IR
M q q IR
P P P
= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆
∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆
∆∆∆∆ µ − λ ∆µ − λ ∆µ − λ ∆µ − λ ∆= += += += +
291291
otonom (µ)ve uluslararası rezervlerdeki
sahiptir.
, 0 1∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤
katsayısıdır. λ=1, tam sterilizasyon
ödemeler dengesi fazla verirse ve bu
uluslararası rezerv artışı nedeniyle artarsa,
parasal tabanı aynı ölçüde azaltır.
(((( ))))s sM q CBC IR M q CBC IR= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆(((( ))))
[[[[ ]]]](1 )
s s
s s
M q CBC IR M q CBC IR
M q CBC IR M q IR
= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆
∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆
Şimdi iki uç durumu dikkate alalım.
1. µ=0 ve λ=0. Birincisi yalnızca otonom
dığını, ikincisi de sterilizasyon politikasına
tedir. Bu durumu son denklemdeki yerlerinetedir. Bu durumu son denklemdeki yerlerine
sM q IR
qbpP P
∆∆∆∆ ∆∆∆∆= == == == =
Bu sonuç, bir ödemeler dengesi açığının
ölçüsünde bir para arzında azalmaya
etmektedir.
292292
.
otonom açık piyasa işlemleri yapıl-
politikasına gidilmediğini söylemek-
yerlerine yazarak düzenleyelim.yerlerine yazarak düzenleyelim.
açığının (fazlasının), para çarpanı
azalmaya (artmaya) neden olacağını ifade
2. µ=0 ve λ=1. Birincisi yalnızca otonom
dığını, ikincisi de tam sterilizasyon
tedir.
0sM∆∆∆∆
==== 0s
P====
Para arzıyla ödemeler dengesi arasındaki
durumdadır. Ödemeler dengesindeki
arzında hiçbir değişime neden olmamaktadır
Açık bir ekonomide para arzını dışsal
işlemleri yapılmadığını ve tam sterilizasyonişlemleri yapılmadığını ve tam sterilizasyon
varsaymakla aynıdır. Sabit döviz
yapılmıyorsa, bir ödemeler dengesi
kaydırır (Şekil 4.40).
293293
otonom açık piyasa işlemleri yapıl-
sterilizasyon politikasına gidildiğini söylemek-
arasındaki bağ tamamen kopmuş
dengesindeki gelişmeler, yurtiçi reel para
olmamaktadır.
dışsal kabul etmek, otonom açık piyasa
sterilizasyon politikası uygulandığınısterilizasyon politikası uygulandığını
kuru rejimi altında sterilizasyon
dengesi açığı LM eğrisini sol-üste doğru
Şekil Şekil
r
0
294294
Şekil Şekil 4.404.40
LM
0LM
1LM
2LM
y
SabSabiitt DDöövviizz KuruKuru RejRejiimmiindende GenişleyiciGenişleyici
GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye PolitikasıPolitikası
Yurtiçi ve yurtdışı fiyatları, spot döviz
kısa dönemde faiz oranı ve gelir düzeyi
tarafından belirlenecek, ödemeler
olacaktır:
(((( ))))0bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
Konuyu anlayabilmek için modeli
sayısal örnekle inceleyelim.
295295
GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye veve ParaPara PolitikalarıPolitikaları
döviz kurunu sabit varsaydığımızda,
düzeyi yurtiçi mal ve para piyasaları
dengesi de şu şekilde belirlenmiş
(((( ))))*bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −
topluca bir arada yazalım ve bir
ModelModel::
(((( )))) (1 )
d d
e a f g R b t y hr jy my
m M P ky ur
= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −
= = −= = −= = −= = −
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
0 0
*
0 0
d d
s s
m M P ky ur
m M P q CBC IR q IR
R SP P
nx x z f g R my
= = −= = −= = −= = −
= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆
====
= − + + −= − + + −= − + + −= − + + −
(((( ))))
(((( )))) ((((
*0
, , 0 , 0d s
cf cf v r r
bp nx cf
y e y r m m
= + −= + −= + −= + −
= += += += +
= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >� �
296296
e a f g R b t y hr jy my= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −
)))) (((( ))))(1 )m M P q CBC IR q IR
nx x z f g R my
= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆
)))), , 0 , 0d s
y e y r m m= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >
SayısalSayısal DeğerlerDeğerler::
a m S f P P
b t h j g k u
67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1
0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5
= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =b t h j g k u
q v R S x z cf IR
CBC r
nx x z bp nx cf
0 0 0 0
*
0 0 0 0 0 0
0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5
1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3
0 , 15 , 0.05 , 0.8 , 0 , 0
24 , 3.5
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ =
= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −
bp IR Pbp0 0= → ∆ = == → ∆ = == → ∆ = == → ∆ = =
297297
a m S f P P
b t h j g k u
*67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1
0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5
= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =b t h j g k u
q v R S x z cf IR
nx x z bp nx cf
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5
1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3
0 , 15 , 0.05 , 0.8 , 0 , 0
24 , 3.5
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ =
= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −
İlk olarak IS, LM ve BP eğrilerini belirleyelim
[[[[01 (1 )( )a nx f g R
r yh h
+ + ++ + ++ + ++ + += −= −= −= −
(((( ))))0 0
27.924 0.3375
6 0.5
r y
q CBC IR q IRr y
u u
r y
= −= −= −= −
+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +
= − += − += − += − + 0LM
(((( ))))0*
6.152 0.2
bp f g Rr r y
v v
r y
+ ++ ++ ++ += − += − += − += − +
= += += += +0
BP
298298
belirleyelim (Şekil 4.41).
]]]]1 (1 )b t j mr y
h h
− − − +− − − +− − − +− − − +
(((( ))))1q CBC IR q IR kr y
u u
+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +
0IS
mr r y
v v
= − += − += − += − +
0BP
Veri değerler altındaki denge faiz
için yukarıda topluca yazdığımız IS
lım.
0 014.253 , 40.506r y= == == == =
0 014.253 , 40.506r y= == == == =
Denge durumu Şekil 4.41’de çizilmiştir
Şimdi kamu harcamalarının 10 birim
4.42). Kamu harcama artışı sırasıyla
(para arzı sabitken) yükseltecek,
gelebilmesi için faiz oranları da artacaktır
vererek yeni dengenin oluşmasını
dönemde E0 ’dan ’ye doğru hareket0
E′′′′
299299
oranı ve gelir düzeyini belirlemek
IS, LM ve BP denklemlerini kullana-
14.253 , 40.50614.253 , 40.506
çizilmiştir.
birim artırıldığını varsayalım (Şekil
sırasıyla gelir düzeyini ve para talebini
yükseltecek, para piyasasının dengeye
artacaktır. Para piyasası hemen tepki
oluşmasını sağladığından, ekonomi kısa
hareket etmiş olur.
Şekil Şekil 4.41. 4.41. ISIS, , LMLM ve ve
r
••••0
E
014.253r ====
00
40.506y ====
300300
ve ve BPBP Eğrileri ve DengeEğrileri ve Denge
0LM
0LM
0IS
6.152 0.2r y= += += += +
6 0.5r y= − += − += − += − +
0( 0)BP bp ====
y
0IS
27.924 0.3375r y= −= −= −= −
40.506
Şekil Şekil 4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği SınırlıSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Sınırlı
r
0E
014.253r ==== ••••
116.114r ====
0 0
40.506y
301301
4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği SınırlıSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Sınırlı
0LM
LM0LM
0BP
1LM
1E
1IS
••••0
E′′′′
••••••••
y
0IS
1IS
0
40.506y
1
49.809y
noktasında ödemeler dengesi fazlası
yapılmadığını varsaydığımızdan, para
fazlası kadar gerçekleşir. Yani MB’nin
artış gösterir. Bu para arzı artışı,
0E′′′′
artış gösterir. Bu para arzı artışı,
yeniden kuruluncaya kadar sağa doğru
harcama politikasının oluşturduğu
süreçten görüldüğü gibi, para arzı
düzeyi başlangıçta 3 birimken, son
tir( ).0 , 0s
M IRµ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆tir( ).0 , 0s
M IRµ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆
(((( ))))
((((
0 0
0 0
q CBC IR q IRr y
u u
IR ur ky q CBC IR M
+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +
∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆
302302
fazlası oluşur. Sterilizasyonun hiç
para arzı artışı, ödemeler dengesi
MB’nin uluslararası rezervleri bu kadar
artışı, LM eğrisini, ödemeler dengesiartışı, LM eğrisini, ödemeler dengesi
doğru kaydırır. Genişleyici bir kamu
oluşturduğu yeni denge noktası E1 ’dir. Bu
arzı dışsal değil içseldir. Para arzı
son durumda 4.395 birime yükselmiş-
(((( ))))
))))0 0
1
1.395s
q CBC IR q IR kr y
u u
IR ur ky q CBC IR M
+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +
∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆
Tam sterilizasyon politikası uygulanmış
başlayarak LM0 eğrisi boyunca hareket
caktı. Tam sterilizasyon politikasıyla
verilmeyeceğinden, nihai denge noktasıverilmeyeceğinden, nihai denge noktası
Sermaye hareketliliği tümüyle serbestse
harcama politikası sonrasında faiz
kalacak, ancak gelir düzeyi yükselecektir
düzeyindeki yükselme para talebini
yükselme, (r-r*>0) farkı nedeniyleyükselme, (r-r*>0) farkı nedeniyle
açacak, aynı ölçüde para arzında bir
sağlayacaktır. Faiz oranları yeniden
sermaye girişi olur.
303303
uygulanmış olsaydı, ekonomi E0’dan
hareket edecek ve noktasına ulaşa-
politikasıyla para arzı genişlemesine izin
noktası olacaktı.
0E′′′′
0E′′′′noktası olacaktı.
serbestse (r=r*), genişleyici kamu
faiz oranları yurtdışı düzeyinde sabit
yükselecektir (Şekil 4.43). Gelir
talebini artıracak, faiz oranlarındaki
yurtdışından sermaye girişine yol
0E′′′′
yurtdışından sermaye girişine yol
bir artış faiz oranlarının düşmesini
yeniden yurtdışı düzeyine ulaşana kadar
Şekil Şekil 4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği TamSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Tam
r
0E
*0
r r====
••••E
••••
0 0y
304304
4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği TamSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Tam
LM0
LM
0BP
1LM
1E
IS
••••0
E′′′′
••••
y
0IS
1IS
1y
GenişleyiciGenişleyici ParaPara PolitikasıPolitikası
MB kredisinin (CBC) 0’dan 2 birime
artışı, para arzını da 2 birim yükseltir
birime çıkar. LM eğrisi sağ tarafa doğrubirime çıkar. LM eğrisi sağ tarafa doğru
LM1 ve IS0 eğrilerinin kesişim noktasında
oluşur (kısa dönemde).
0 1: 6 0.5 : 10 0.5LM r y LM r y= − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +
(((( ))))bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −
Uzun dönemde rezervler azalır,
başlangıçtaki faiz oranı ve milli gelir
(((( ))))0bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −
305305
birime artırıldığını varsayalım. Kredi
yükseltir. Yani para arzı 3 birimden 5
doğru kayar (Şekil 4.44).doğru kayar (Şekil 4.44).
noktasında ( ) ödemeler dengesi açığı
0 1: 6 0.5 : 10 0.5LM r y LM r y= − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +
0E′′′′
(((( ))))* 2.567bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −
para arzı düşer ve nihai denge
gelir düzeyinde oluşur.
(((( ))))* 2.567bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −
Şekil Şekil 4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği SınırlıSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Sınırlı
r
0 1E E====
014.253r ==== ••••
012.641r′′′′ ====
••••10.253 E
0 0
40.506y
••••10.253 E
306306
4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği SınırlıSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Sınırlı
0LM
LM0LM
0BP
0 1E E====
1LM
•••• 0E′′′′
••••
••••E
2.567bp = −= −= −= −
y
0IS
0
40.506y 45.282
•••• 2E
Bir dengeden bir başka dengeye
almış olduk. Bu sürece bir de dinamik
dönemde para arzı artışı faiz oranının
düşmesine neden olur. Faiz oranındakidüşmesine neden olur. Faiz oranındaki
taraftan çarpan yoluyla yatırımları
sermaye çıkışı nedeniyle rezervleri
(LM eğrisi sola doğru kayar). E
hareket nasıl bir seyir izleyecektir?
çizilmiştir. Bu yolu belirleyen, paraçizilmiştir. Bu yolu belirleyen, para
dengesi açığına ne ölçüde duyarlı
politikasının yapısıdır. Ekonominin
yukarıdaki işleyişi etkilemez.
307307
geçişi durağan bir çerçevede ele
dinamik bir çerçevede bakalım. Kısa
oranının E2 noktasına (10.253 düzeyine)
oranındaki bu düşüş, eşanlı olarak biroranındaki bu düşüş, eşanlı olarak bir
yatırımları artırır, diğer yandan yurtdışına
ve dolayısıyla da para arzını azaltır
E2’den E1’e doğru gerçekleşen bu
izleyecektir? Şekil 4.44’de bir örnek yol
para arzındaki değişimin ödemelerpara arzındaki değişimin ödemeler
olduğu ve uygulanan sterilizasyon
tam sermaye akışına sahip olması
Bu örneklerden hareketle Mundell-
edebiliriz:
SabitSabit dövizdöviz kurukuru rejimirejimi altındaaltında genişleyicigenişleyici
gelirigeliri artırırartırır;; ancakancak parapara politikasıpolitikası etkisizdiretkisizdirgelirigeliri artırırartırır;; ancakancak parapara politikasıpolitikası etkisizdiretkisizdir
Bu değişim sürecinde para piyasaları,
bir ayarlanma yapmaktadır. Gelirin
uyarlanmaya göre düşüktür. Örneğin
girişi nedeniyle oluşan fazla, para
düşürecek, yurtiçi özel yatırımlar
doğru kayacaktır. Diğer yandan uluslararası
bir şekilde döviz kurunun yükselmesine
değişim de, dış ticaret dengesini etkileyerek
değiştirir.
308308
-Fleming’in önermesini şöyle ifade
genişleyicigenişleyici kamukamu harcamaharcama politikasıpolitikası millimilli
etkisizdiretkisizdir..etkisizdiretkisizdir..
piyasaları, mal piyasalarına göre çok hızlı
Gelirin uyarlanma hızı, faiz oranı yoluyla
Örneğin ödemeler dengesinde sermaye
para arzını artırarak faiz oranlarını
artacaktır. Yani IS eğrisi sağ yöne
uluslararası rezervlerdeki artış, hızlı
yükselmesine yol açar. Döviz kurundaki
etkileyerek mal piyasası dengesini
YurtdışıYurtdışı FaizFaiz OranlarındaOranlarında ArtışArtış
Yurtdışı faiz oranlarındaki artışın
açık ekonomi için tanımladığımız
alalım.alalım.
(((( ))))bp f g Rr r y
v v
0* + ++ ++ ++ +
= − += − += − += − +
r* ’daki bir artış, BP eğrisini sol-üste
Örneğin yurtdışı faiz oranı başlangıçta
olsun. BP eğrisi, BP0 konomundan,
ekonomide sterilizasyon politikası
uygulanıyorsa, yurtdışına sermaye
daralacaktır (LM eğrisi LM0’dan LM1
309309
etkilerini değerlendirebilmek için,
tanımladığımız BP denklemini yeniden dikkate
bp f g R mr r y
v v
= − += − += − += − +
üste doğru kaydıracaktır (Şekil 4.45).
başlangıçta %15 iken, %18’e yükselmiş
konomundan, BP1 konumuna geçecektir. Eğer
yoksa ve sabit döviz kuru rejimi
sermaye çıkışı oluşacak, para arzı
1’e kayacaktır).
Şekil Şekil 4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi VarSterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi Var
r LMr
E0
14.253r ====
LM
••••
E1
••••r0
16.137′′′′ ====
••••B
T1T
2
0 0
40.506y34.925
310310
4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:
Sterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi VarSterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi Var
1LM
BP r*( 18)====
0LM
BP r*
0( 15)====
E0
1LM
••••
BP r*
1( 18)====
bp 3= −= −= −= −
T1
y
0IS
0
40.506y
Bu gelişmeler sonucunda ekonominin
oluşmuştur. Eğer para piyasaları
uyumlanmaya girerse, E1 dengesine
lanma süreci daha ağır çalışırsa, örneğinlanma süreci daha ağır çalışırsa, örneğin
Yurtdışı faiz oranındaki artış, BP0
eşittir (∆r*=3). Dikkat edilirse, yurtiçi
(∆r=1.884). Çünkü gelir düzeyindeki
dış ticaret artacak, dolayısıyla ödemeler
kaçışından daha düşük gerçekleşecektirkaçışından daha düşük gerçekleşecektir
oranındaki yükselme daha düşük
sermaye hareketliliğinin tam olması
yurtdışı faiz oranları kadar yükselecektir
311311
ekonominin yeni dengesi E1 noktasında
bu gelişmeler karşısında hızlı bir
dengesine geliş T1 yoluyla olacaktır. Uyum-
örneğin T gibi bir yol izlenecektir.örneğin T2 gibi bir yol izlenecektir.
ile BP1 arasındaki dikey uzaklığa
yurtiçi faiz oranı bu ölçüde artmamıştır
azalma ithalatı azaltacağından, net
ödemeler dengesindeki açık, sermaye
gerçekleşecektir. Bunun sonucu olarak da faizgerçekleşecektir. Bunun sonucu olarak da faiz
düşük bir ölçüde oluşacaktır. Ancak
olması durumunda yurtiçi faiz oranları
yükselecektir.
EsnekEsnek DDöövviizz KuruKuru RejRejiimmiindende GenişleyiciGenişleyici
GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye PolitikasıPolitikası
Yukarıda, Bretton Woods sisteminde
rejimi uygulamaları altında maliye
üzerindeki etkilerini inceledik. 1973
ekonomi esnek döviz kuru rejimlerine
lerdir. Burada yurtiçi ve yurtdışı fiyatların
esnek olduğu bir durum için maliye
Yani reel döviz kurundaki değişmeleri
değişmelerine bırakmaktayız. Bir maliye
da döviz ve para piyasalarının, döviz
uyumlanma süreci içinde olacağını varsayıyoruz
312312
GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye veve ParaPara PolitikalarıPolitikaları
sisteminde olduğu gibi, sabit döviz kuru
maliye ve para politikalarının ekonomi
1973 yılından sonra çoğu gelişmiş
rejimlerine doğru bir geçiş gerçekleştirmiş-
fiyatların sabit, döviz kurununu da
maliye politikasının etkilerine bakacağız.
değişmeleri tamamıyle spot döviz kuru
maliye politikası değişikliği karşısın-
döviz kuru ve faiz oranı yoluyla hızlı bir
varsayıyoruz.
Şimdi bir örnek yardımıyla kamu harcamalarındaki
döviz kuru sisteminde yol açacağı
değerler aşağıda verilmiştir. Buna
Kamu harcamalarının 10 birim artırıldığını
‘dan IS1’e kayacaktır. Kamu harcama
talebini yükseltecek, faiz oranları
ödemeler dengesinde bir fazla meydana
kurunun değerlenmesine (spot dövizkurunun değerlenmesine (spot döviz
olarak, BP eğrisini sol-üste ve IS eğrisini
nihai denge E2’de oluşacaktır.
313313
harcamalarındaki bir artışın, esnek
açacağı olası etkileri görelim. Sayısal
Buna ilişkin grafik de Şekil 4.46’dır.
artırıldığını varsayalım. IS eğrisi, IS0
harcama artışı ile oluşan gelir artışı para
artacak, sermaye girişi nedeniyle
meydana gelecektir. Bu fazla döviz
döviz kurunun düşmesine) nedendöviz kurunun düşmesine) neden
eğrisini sol-alta (IS2’ye) kaydıracak,
S S
IS r y
IS r y
0 1
0
1
1.764 1.547
: 27.924 0.3375
: 32.924 0.3375
= → == → == → == → =
= −= −= −= −
= −= −= −= −
IS r y
LM r y
BP r y
BP r y
y r
2
0
0
1
: 32.165 0.3375
: 6 0.5
: 6.152 0.2
: 7.671 0.2
40.506 , 14.253
= −= −= −= −
= − += − += − += − +
= += += += +
= += += += +
= == == == =y r
y r bp
y r
0 0
1 1 1
2 2
40.506 , 14.253
46.476 , 17.238 , 1.791
45.57 , 16.785
= == == == =
= = == = == = == = =
= == == == =
314314
1.764 1.547
y r bp46.476 , 17.238 , 1.791= = == = == = == = =
Şekil Şekil 4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye Hareketliliği
rbp = −= −= −= −
E0
014.253r ====
r1
17.238====
bp = −= −= −= −
B
••••
r2
16.785====
0 y0
40.506
••••
315315
4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye Hareketliliği
3= −= −= −= −0
LM
BP0
BP1
3= −= −= −= −
IS1
BP2••••
E1
••••E
2
y
0IS
40.506
IS2
IS1
y2
45.57y
1
46.476
Sermaye hareketliliğinin tam olduğu
miştir. Genel işleyiş itibariyle aynı
gelir artışı bakımından farklıdır.
Buradan şu iki sonucu çıkarabiliriz:Buradan şu iki sonucu çıkarabiliriz:
SonuçSonuç 11:: KısmiKısmi sermayesermaye hareketliliğininhareketliliğinin
sistemisistemi içerisindeiçerisinde kamukamu harcamaharcama artışıartışı
tamtam sermayesermaye hareketliliğihareketliliği durumundadurumunda
yaratmamaktadıryaratmamaktadır..
SonuçSonuç 22:: KısmiKısmi sermayesermaye hareketliliğihareketliliği
larınınlarının herher ikisindeikisinde dede kamukamu harcamaharcama
anidenaniden sıçramasıçrama yapmasınayapmasına nedenneden olurolur
316316
olduğu durum da Şekil 4.47’de gösteril-
olan iki durum, nihai sonucu, yani
hareketliliğininhareketliliğinin bulunduğubulunduğu birbir esnekesnek dövizdöviz kurukuru
artışıartışı gelirigeliri artırmakta,artırmakta, bunabuna karşınkarşın
durumundadurumunda gelirgelir düzeyidüzeyi üzerindeüzerinde hiçhiç birbir etkietki
veve tamtam sermayesermaye hareketliliğihareketliliği durumdurum--
harcamaharcama artışı,artışı, faizfaiz oranıoranı veve dövizdöviz kurununkurunun
olurolur..
Şekil Şekil 4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye Hareketliliği
r
E0
r r*====
r1
••••
0
••••
317317
4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye Hareketliliği
0LM
BP0
BP1••••
E1
y
0IS
IS1
GenişleyiciGenişleyici ParaPara PolitikasıPolitikası
Şimdi de para arzı artışının etkilerine
eğrisini LM0’dan LM1’e kaydırır (Şekil
faiz oranları azaldığı için sermayefaiz oranları azaldığı için sermaye
dengesi açığı verir. Esnek döviz kuru
anında yükselir (ulusal paranın
düşer). BP eğrisi BP0’dan BP1’e düşer
kuru değerinin düşmesi net ihracatı
doğru kayar. Gelir düzeyinin artışı,doğru kayar. Gelir düzeyinin artışı,
yurtiçi faiz oranı artar. Net ihracatla
olmaması nedeniyle, faiz oranındaki
kadar olmadığından, faiz oranı başlangıç
318318
etkilerine bakalım. Para arzındaki artış LM
(Şekil 4.48). Para arzı artışı sonrasında
sermaye çıkışı olur ve ekonomi ödemelersermaye çıkışı olur ve ekonomi ödemeler
kuru rejimi nedeniyle spot döviz kuru
yabancı para karşısındaki değeri
düşer (yeni denge noktası E1’dir). Döviz
ihracatı artırır, yani IS eğrisi sağ-üste
artışı, para talebini yükselteceğinden,artışı, para talebini yükselteceğinden,
ihracatla gelirinin sermaye kaçışı kadar
oranındaki bu artış başlangıçtaki düşüş
başlangıç düzeyinin altında kalır.
Şekil Şekil 4.48. Para Arzı Artışının Etkileri:4.48. Para Arzı Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye Hareketliliği
r
014.253r ====
r1
12.641====
r2
16.785====
E0••••
••••E
0 y0
40.506y
1
45.282
B••••
319319
4.48. Para Arzı Artışının Etkileri:4.48. Para Arzı Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye Hareketliliği
0LM
BP
LM1
BP1
BP0
bp 2.567= −= −= −= −
BP2
E2
••••E
1
y
0IS
IS1
y2
46.582
Şekil Şekil 4.49. Para Arzı Artışının Etkileri:4.49. Para Arzı Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye Hareketliliği
r
r r*====E
0••••
••••
0
••••
••••B
320320
4.49. Para Arzı Artışının Etkileri:4.49. Para Arzı Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye Hareketliliği
0LM
BP0
BP1
••••
E1
E2
••••
LM1
y
0IS
IS1
••••
Tam sermaye hareketliliği durumunda
olarak yurtdışı faiz oranlarıyla aynı
Her iki durumda da ekonominin hangi
ulaşacağı, para piyasası, döviz piyasasıulaşacağı, para piyasası, döviz piyasası
hızlarına bağlıdır. Para piyasaları, mal
etmektedir. Bir parasal genişleme
bunun ardından yine hızlıca spot
Dolayısıyla kısa dönemdeki bu hızlı
denge noktasına sürüklemektedir. Dahadenge noktasına sürüklemektedir. Daha
piyasası ise, uzun dönemde hem faiz
değişimlerinin etkisiyle değişerek
düzeyi yükselecek) para piyasasını
321321
durumunda ise yurtiçi faiz oranları nihai
düzeyde kalır.
hangi yolu izleyerek yeni dengeye
piyasası ve mal piyasası uyumlanmapiyasası ve mal piyasası uyumlanma
mal piyasalarına göre hızlı hareket
hızlıca faiz hadlerini düşürmekte,
spot döviz kurları yükselmektedir.
hızlı uyarlanma süreci ekonomiyi E1
Daha ağır uyumlanma yaşayan malDaha ağır uyumlanma yaşayan mal
faiz oranı hem de spot döviz kuru
(IS eğrisi sağ-üste kayacak, gelir
ve döviz piyasasını etkileyecektir.
Buradan şu iki sonucu çıkarabiliriz:
SonuçSonuç 11:: EsnekEsnek dövizdöviz kurukuru rejiminderejiminde
artırmaartırma gücünegücüne sahiptirsahiptir.. SermayeSermaye hareketliliğihareketliliği
dede oo ölçüdeölçüde güçlügüçlü olurolur..
SonuçSonuç 22:: EsnekEsnek dövizdöviz kurukuru rejiminderejiminde
oranıoranı hemhem dede spotspot dövizdöviz kurunukurunu anidenaniden
kadarkadar kısıtlıysa,kısıtlıysa, bubu yükselmeyükselme dede oo ölçüdeölçüde
322322
rejiminderejiminde genişleyicigenişleyici parapara politikasıpolitikası gelirigeliri
hareketliliğihareketliliği nene kadarkadar serbestse,serbestse, bubu etkietki
rejiminderejiminde parasalparasal genişlemegenişleme hemhem yurtiçiyurtiçi faizfaiz
anidenaniden yükseltiryükseltir.. SermeyeSermeye hareketliliğihareketliliği nene
ölçüdeölçüde fazlafazla olurolur..
YurtdışıYurtdışı FaizFaiz OranlarındaOranlarında ArtışArtış
r* ’daki bir artış, BP eğrisini sol-üste
BP eğrisi, BP0 konomundan, BP1 konumuna
oranındaki artış sermaye kaçışınaoranındaki artış sermaye kaçışına
açığı yaratarak), spot döviz kurunun
mesine neden olur. Net ihracat artar
sağ-üst yöne doğru kayar. Gelir
yükselteceğinden, yurtiçi faiz oranı
(ödemeler dengesi açığı azalır). Bu(ödemeler dengesi açığı azalır). Bu
noktasında oluşur. Bu gelişme sürecinde
spot döviz kurunda ani bir yükselme
323323
üste doğru kaydıracaktır (Şekil 4.50).
konumuna geçecektir. Yurtdışı faiz
kaçışına neden olarak (ödemeler dengesikaçışına neden olarak (ödemeler dengesi
kurunun ve rakabet edebilirliğin yüksel-
artar (gelir düzeyi yükselir), IS eğrisi
Gelir artışı para talebini ve ithalatı
oranı artar, yurtiçine sermaye girişi olur
Bu gelişmelerin sonucunda dengeBu gelişmelerin sonucunda denge E1
sürecinde ekonomi, ne faiz oranı ne de
yükselme yaşamamıştır.
Şekil Şekil 4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi VarEsnek Döviz Kuru Rejimi Var
rr
E0
E
••••
0
E0
324324
4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:
Esnek Döviz Kuru Rejimi VarEsnek Döviz Kuru Rejimi Var
LM0
LM
BP0
BP1
IS
BP2
E1
••••
y
0IS
IS1
EsnekEsnek DövizDöviz KuruKuru RejimiRejimi veve SabitSabit
DinamikleriDinamikleri
Şu ana kadar dinamik analize hemen
politikalarının açık ekonomi üzerinepolitikalarının açık ekonomi üzerine
durağanlık) çerçevede baktık. Şimdi
nasıl bir seyir yarattıklarını görelim
ekonomiyi temsil edecek olan dinamik
(((( ))))y e y= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >�Mal Piyasası: (((( ))))
((((
(((( )))) , 0
d s
y e y
r m m
S bp
= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >
= β − β >= β − β >= β − β >= β − β >
= γ γ >= γ γ >= γ γ >= γ γ >
�
�
�
Mal Piyasası:
Para Piyasası:
Döviz Piyasası:
325325
SabitSabit FiyatlarFiyatlar AltındaAltında AçıkAçık EkonomininEkonominin
hemen hiç girmedik. Maliye ya da para
üzerine etkilerine statik (karşılaştırmalıüzerine etkilerine statik (karşılaştırmalı
Şimdi bu etkilerin zaman içerisinde
görelim. Bu amaçla, ilk olarak, aşağıda
dinamik modeli tanımlayalım.
, 0y e y= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >
))))
, 0
, 0
, 0
d s
y e y
r m m
= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >
= β − β >= β − β >= β − β >= β − β >
= γ γ >= γ γ >= γ γ >= γ γ >
Basitlik sağlamak amacıyla, şu ek varsayımı
* 1P P= == == == =
Bu durumda R=S olur. Şimdi modelin
varsayımı da dikkate alarak yenidenvarsayımı da dikkate alarak yeniden
gösteren dinamik denklemdeki yerine
(((( )))) [[[[
(((( ))))
0(1 )e a nx b t j m y hr f g S
y e y
= + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + +
= α −= α −= α −= α −�
(((( )))) [[[[((((
(((( )))) [[[[
0
0
(1 )
(1 ) 1
y a nx b t j m y hr f g S y
y a nx b t j m y hr f g S
= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −
= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +
�
�
326326
varsayımı da koyalım:
modelin harcama denklemini, bu
yeniden yazalım ve mal piyasasınıyeniden yazalım ve mal piyasasını
yerine koyalım.
]]]] (((( ))))e a nx b t j m y hr f g S= + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + +
]]]] (((( )))) ))))
]]]] (((( ))))(1 ) 1
y a nx b t j m y hr f g S y
y a nx b t j m y hr f g S
= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −
= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +
(((( ))))
(((( ))))
d sr m m= β −= β −= β −= β −�
Benzer biçimde para piyasası dinamiklerini
elde edelim.
(((( ))))r ky ur m r m ky ur0 0
= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β� �
Son olarak da döviz piyasası dinamiklerini
(((( )))) (((( ))))S bp bp f g S my v r r0
= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + − �
(((( ))))S bp vr my vr f g S*0
= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +�
327327
dinamiklerini tanımlayan denklemi de
r ky ur m r m ky ur0 0
= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β� �
dinamiklerini tanımlayalım.
(((( ))))S bp bp f g S my v r r* = γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −
(((( ))))S bp vr my vr f g S= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +
(((( )))) [[[[y a nx b t j m y hr f g S0
(1 ) 1= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +�
Yukarıda ayrı ayrı tanımladığımız
yazalım.
(((( ))))
r m ky ur
S bp vr my vr f g S
0
*0
= −β + β − β= −β + β − β= −β + β − β= −β + β − β
= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +
�
�
İlk denklem mal piyasası (IS), ikinci
üçüncü denklem de ödemeler dengesiüçüncü denklem de ödemeler dengesi
maktadır. Şimdi grafiksel olarak bu
Aşağıda Şekil 4.51, 4.52 ve 4.53, sırasıyla
leri göstermektedir.
328328
]]]] (((( ))))y a nx b t j m y hr f g S(1 ) 1= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +
piyasa dinamiklerini, toplu olarak
(((( ))))S bp vr my vr f g S= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +
ikinci denklem para piyasası (LM) ve
dengesi (BP) dinamiklerini tanımla-dengesi (BP) dinamiklerini tanımla-
bu dinamikleri oklarla gösterelim.
sırasıyla IS, LM ve BP için dinamik-
İlk olarak Şekil 4.51’e bakalım. Negatif
IS eğrisi üzerindeki noktalar, tüm
bileşimlerinde mal piyasasının uzun
tanımlar. IS denklemini şöyle türetiriz
(((( )))) [[[[
(((( )))) (((( )))) [[[[
y a nx b t j m y hr f g S
a nx f g S b t j mr y
h h
0
0
0 0 (1 ) 1
1 (1 )
= → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α +
+ + ++ + ++ + ++ + + − − − +− − − +− − − +− − − += −= −= −= −
�
tanımlar. IS denklemini şöyle türetiriz
IS denklemini türetirken, spot döviz
mıza dikkat edelim.
329329
Negatif eğimli olan eğri, IS eğrisidir.
tüm veri faiz oranı ve gelir düzeyi
uzun dönemde dengede olmasını
türetiriz:
]]]] (((( ))))
]]]]
y a nx b t j m y hr f g S
b t j mr y
h h
0 0 (1 ) 1
1 (1 )
= → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α +
− − − +− − − +− − − +− − − +
türetiriz:
IS
döviz kurunu (S) sabit olarak aldığı-
IS eğrisi boyunca mal piyasası dengede
değişime uğramaz. Ancak eğrinin sol
piyasası dengesi bozulduğundan, gelir
ğını belirleyelim. Örneğin IS eğrisininğını belirleyelim. Örneğin IS eğrisinin
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) [[[[
a nx f g Sr y
h h
a nx b t j m y hr f g S
y
0
0(1 ) 1 0
0
+ + ++ + ++ + ++ + +> −> −> −> −
+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <
<<<<�y 0<<<<�
Yani IS eğrisinin sağ-üst kısmında
cektir. Bu azalmayı göstermek için
Eğrinin sol-alt kısmı için de bunun
330330
dengede olduğundan, gelir düzeyi hiç
sol-alt ve sağ-üst kısımlarında mal
gelir değişir. Değişimin nasıl olaca-
eğrisinin sağ üst bölgesi için;eğrisinin sağ üst bölgesi için;
[[[[ ]]]]
]]]] (((( ))))
b t j mr y
h h
a nx b t j m y hr f g S
1 (1 )
(1 ) 1 0
− − − +− − − +− − − +− − − +> −> −> −> −
+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <
gelir azalan bir davranış göstere-
için oklar sol yöne doğru çizilmiştir.
tersini söyleyebiliriz.
Şekil Şekil 4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri
r
y 0>>>>�
0
331331
4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri
y 0<<<<�
y
y IS0 ( )====�
r m ky ur0
0 0= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β�
Benzer biçimde LM ve BP eğrileri
belirleyebiliriz.
m kr y
u u
0= − += − += − += − + LM
LM eğrisinin sol-üst bölgesi için:
m kr y m ky ur r0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <r y m ky ur r
u u
0
0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <
Bu bölgede oklar aşağı yönü (yani
mektedir (Şekil 4.52). LM eğrisinin
bunun tersi olacaktır.
r m ky ur= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β
332332
eğrileri için de bu dinamik davranışları
r y m ky ur r0 0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <�r y m ky ur r0 0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <�
(yani faiz oranında azalmayı) göster-
eğrisinin sağ-alt bölgesi için davranış
Şekil Şekil 4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri
r
r�
r�
0
333333
4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri
r LM0 ( )====�
r 0>>>>�
r 0<<<<�
y
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
S bp vr my vr f g S
bp vr f g Sr y
v v
*0
*0
0 0= → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ +
− + +− + +− + +− + += − += − += − += − +
�
v v
Spot döviz kuru azalırsa (yerli
değerlenirse) BP eğrisi üste doğru
(((( ))))S bp vr my vr f g S
mr y
v v
= → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ +
= − += − += − += − +
334334
BPv v
(yerli para yabancı para karşısında
kayar (Şekil 4.53).
Şekil Şekil 4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri
r
S 0<<<<�
S >>>>�
0
335335
4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri
bp S azalıyor0 ( )>>>>
S BP0 ( )====�
bp S azalıyor0 ( )>>>>
bp S artıyor0 ( )<<<<S 0>>>>�
y
Ekonominin kısa ve uzun dönemlerde
görmek için, mal piyasası, para piyasası
lerini tanımlayan denklemleri eşanlı
gerekir. Şimdi daha önce verdiğimizgerekir. Şimdi daha önce verdiğimiz
çözüm yapalım.
a m S f P P
b t h j g k u
q v R S x z cf IR
67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1
0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5
1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3
= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =q v R S x z cf IR
CBC r
nx x z bp nx cf
0 0 0 0
*
0 0 0 0 0 0
1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3
0 , 15 , 0 , 0, 0.05 , 0.8 , 0.0001
24 , 3.5
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ =
= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −
336336
dönemlerde nasıl bir seyir izleyeceğini
piyasası ve döviz piyasası dinamik-
eşanlı olarak y, r ve S için çözmemiz
verdiğimiz sayısal örneği dikkate alarakverdiğimiz sayısal örneği dikkate alarak
a m S f P P
b t h j g k u
q v R S x z cf IR
*67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1
0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5
1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3
= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =q v R S x z cf IR
nx x z bp nx cf
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3
0 , 15 , 0 , 0, 0.05 , 0.8 , 0.0001
24 , 3.5
= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =
= = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ =
= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −
İlk olarak veri koşullar altında
değerlerini (durağan-durum değerlerini)
0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35y y r S= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +�
* * *
0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35
0 0 2.4 0.2 0.4
0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007
40.506 , 14.253 , 1.764
y y r S
r y r
S y r S
y r S
= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +
= → = − + −= → = − + −= → = − + −= → = − + −
= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +
= = == = == = == = =
�
�
�
337337
ekonominin uzun dönem denge
değerlerini) belirleyelim.
0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35y y r S= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +
* * *
0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35
0 0 2.4 0.2 0.4
0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007
40.506 , 14.253 , 1.764
y y r S
r y r
S y r S
y r S
= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +
= → = − + −= → = − + −= → = − + −= → = − + −
= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +
= = == = == = == = =
Şimdi de ekonominin kısa dönemde
Bunun için sistemi homojen diferansiyel
lım ve çözelim.
0.03375 0.1 0.35
0.2 0.4 0
0.00002 0.0001 0.0007
0.03375 0.1 0.35
y y r S
r y r S
S y r S
y y
= − − += − − += − − += − − +
= − += − += − += − +
= − + += − + += − + += − + +
− −− −− −− −
�
�
�
� 0.03375 0.1 0.35
0.2 0.4 0
0.00002 0.0001 0.0007
y y
r r
S S
− −− −− −− − = −= −= −= − −−−−
�
�
�
338338
dönemde nasıl bir izleyeceğini bulalım.
diferansiyel denklem olarak tanımlaya-
0.03375 0.1 0.35
0.00002 0.0001 0.0007
0.03375 0.1 0.35
y y r S
S y r S
y y
= − + += − + += − + += − + +
0.03375 0.1 0.35
0.2 0.4 0
0.00002 0.0001 0.0007
y y
r r
S S
r
A rI r
0.03375 0.1 0.35
0.2 0.4 0
0.00002 0.0001 0.0007
− − −− − −− − −− − −
− = − −− = − −− = − −− = − −
− −− −− −− −
[[[[ ]]]]
r
r r r
A r
r r
I
23
1 2 3-0.333 , -0.101 , 0.00082
v 0
0.43305 0.0332034 0.00002+ ++ ++ ++ +
= = == = == = == = =
− =− =− =− =
−−−−
0.03375 (-0.333) 0.1 0.35
0.2 0.4 (-0.333) 0
0.00002 0.0001 0.0007 (
− −− −− −− − −−−−
−−−−
− −− −− −− −
−−−−
339339
A rI r
r
0.03375 0.1 0.35
0.2 0.4 0
0.00002 0.0001 0.0007− −− −− −− −
-0.333 , -0.101 , 0.00082
0.43305 0.0332034 0.00002765 0====
0.03375 (-0.333) 0.1 0.35
0.2 0.4 (-0.333) 0
0.00002 0.0001 0.0007 (-0.333− −− −− −− −
v
v
v
11
12
13
0
0
) 0
====
1 1 11 2 3
1 1 11 2 3
1 1 11 2 3
0.29925 0.1 0.35 0
0.2 0.067 0 0
0.00002 0.0001 0.3337 0
v v v
v v v
v v v
− + =− + =− + =− + =
− + =− + =− + =− + =
− + + =− + + =− + + =− + + =
1 1 11 2 3
0.317 , 0.9484 , 0.00027v v v= − = − == − = − == − = − == − = − =
r1 için bulduğumuz birinci öz-vektörü,
üçüncü öz-vektörler içinde belirleriz
yazalım.
1 2 31 1 1
1 2 32 2 2
1 2 33 3 3
0.317 0.8314 0.8746
0.9484 , 0.5557 , 0.4364
0.00027 0.00038 0.2111
v v v
v v v
v v v
− −− −− −− − = − = − == − = − == − = − == − = − =
340340
1 1 11 2 3
0.00002 0.0001 0.3337 0v v v− + + =− + + =− + + =− + + =
0.317 , 0.9484 , 0.00027= − = − == − = − == − = − == − = − =
vektörü, benzer yöntemle ikinci ve
belirleriz. Şimdi üç vektörü de topluca
1 2 31 1 1
1 2 32 2 2
1 2 33 3 3
0.317 0.8314 0.8746
0.9484 , 0.5557 , 0.4364
0.00027 0.00038 0.2111
v v v
v v v
v v v
− −− −− −− − = − = − == − = − == − = − == − = − =
1 2
* 1 2 31 1 1
* 1 2 31 2 2 2 3 2
( )
( ) r t r t
y t y v v v
r t r A e v A e v A e v
= + + += + + += + + += + + +
Belirsiz çözüm şöyle olacaktır:
1 2 2 2 3 2
* 1 2 33 3 3
0.3331
( )
( ) 40.506 0.317
( ) 14.253 0
( ) 1.764
t
S t S v v v
y t
r t A e
S t
−−−−
−−−− = + −= + −= + −= + −
.9484 0.5557 0.4364
0.00027 0.00038 0.2111
+ − ++ − ++ − ++ − + ( ) 1.764S t 0.00027 0.00038 0.2111
341341
3
* 1 2 31 1 1
* 1 2 31 2 2 2 3 2
r t
y t y v v v
r t r A e v A e v A e v
= + + += + + += + + += + + +
1 2 2 2 3 2
* 1 2 33 3 3
S t S v v v
0.101 0.000382 3
0.8314 0.8746
.9484 0.5557 0.4364
0.00027 0.00038 0.2111
t tA e A e−−−−
−−−− + − ++ − ++ − ++ − + 0.00027 0.00038 0.2111
0.333 0.101 0.000381 2 3
0.333 0.101 0.00038
( ) 40.506 0.317 0.8314 0.8746
( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364
t t t
t t t
y t A e A e A e
r t A e A e A e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − − += − − += − − += − − +
= − − += − − += − − += − − +
Çözümleri ayrı ayrı yazalım.
0.333 0.101 0.000381 2 3
0.333 0.101 0.000381 2 3
( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364
( ) 1.764 0.00027 0.00038 0.2111
t t t
t t t
r t A e A e A e
S t A e A e A e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − − += − − += − − += − − +
= + + += + + += + + += + + +
Belirli çözümü elde etmek için,
gereksinimimiz var. Başlangıç değerlerinin
varsayalım.
(0) 45.57 , (0) 16.785 , (0) 1.547y r S= = == = == = == = =
342342
0.333 0.101 0.000381 2 3
0.333 0.101 0.00038
( ) 40.506 0.317 0.8314 0.8746
( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364
t t t
t t t
y t A e A e A e
r t A e A e A e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − − += − − += − − += − − +
= − − += − − += − − += − − +0.333 0.101 0.000381 2 3
0.333 0.101 0.000381 2 3
( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364
( ) 1.764 0.00027 0.00038 0.2111
t t t
t t t
r t A e A e A e
S t A e A e A e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − − += − − += − − += − − +
= + + += + + += + + += + + +
için, modelin başlangıç değerlerine
değerlerinin aşağıdaki gibi verildiğini
(0) 45.57 , (0) 16.785 , (0) 1.547y r S= = == = == = == = =
1 2 3
1 2 3
45.57 40.506 0.317 0.8314 0.8746
16.785 14.253 0.9484 0.5557 0.4364
A A A
A A A
= − − += − − += − − += − − +
= − − += − − += − − += − − +
1 2 3
1 2 3
1.547 1.764 0.00027 0.00038 0.2111
1.36 , 7.68 , 1.02
A A A
A A A
= + + += + + += + + += + + +
= = − = −= = − = −= = − = −= = − = −
343343
1 2 3
1 2 3
45.57 40.506 0.317 0.8314 0.8746
16.785 14.253 0.9484 0.5557 0.4364
A A A
A A A
= − − += − − += − − += − − +
= − − += − − += − − += − − +
1 2 31.547 1.764 0.00027 0.00038 0.2111
1.36 , 7.68 , 1.02
A A A= + + += + + += + + += + + +
= = − = −= = − = −= = − = −= = − = −
0.333 0.101 0.00038
0.333 0.101 0.00038
( ) 40.506 0.432 6.38 0.89
( ) 14.253 1.29 4.27 0.44
t t t
t t t
y t e e e
r t e e e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − + −= − + −= − + −= − + −
= − + −= − + −= − + −= − + −
Buna göre belirli genel çözümler:
0.333 0.101 0.00038
0.333 0.101 0.00038
( ) 14.253 1.29 4.27 0.44
( ) 1.764 0.00036 0.00295 0.214
t t t
t t t
r t e e e
S t e e e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − + −= − + −= − + −= − + −
= + + −= + + −= + + −= + + −
Ayrıca IS, LM ve BP eğrilerinin denklemlerini
y y r
r y r
S y r
0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35(1.764)
0 0 2.4 0.2 0.4
0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007(1.764)
= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +
= → = − + −= → = − + −= → = − + −= → = − + −
= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +
�
�
�
344344
0.333 0.101 0.00038
0.333 0.101 0.00038
( ) 40.506 0.432 6.38 0.89
( ) 14.253 1.29 4.27 0.44
t t t
t t t
y t e e e
r t e e e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − + −= − + −= − + −= − + −
= − + −= − + −= − + −= − + −0.333 0.101 0.00038
0.333 0.101 0.00038
( ) 14.253 1.29 4.27 0.44
( ) 1.764 0.00036 0.00295 0.214
t t t
t t t
r t e e e
S t e e e
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= − + −= − + −= − + −= − + −
= + + −= + + −= + + −= + + −
denklemlerini de yazalım (S=1.764).
y y r
r y r
S y r
0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35(1.764)
0 0 2.4 0.2 0.4
0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007(1.764)
= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +
= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +
25.000
30.000
Şekil Şekil 4.53. Açık Ekonomide 4.53. Açık Ekonomide
-5.000
0.000
5.000
10.000
15.000
20.000
0 5 10 15 20 25 30
-10.000
r y
r y
r y
27.924 0.3375
6 0.5
6.152 0.2
= −= −= −= −
= − += − += − += − +
= += += += +
IS
LM
BP
:
:
:
345345
LM
4.53. Açık Ekonomide 4.53. Açık Ekonomide Genel DengeGenel Denge
35 40 45 50 55 60
IS
BP
E0
••••
r y
r y
r y
27.924 0.3375
6 0.5
6.152 0.2
= −= −= −= −
= − += − += − += − +
= += += += +