414 ARCH. MATH.

Dynamisdm Divergenz und Sprays

Von

KLAUS HORNEFFER

In [1] fiihrte R. A R ~ s den Begriff der dynamischen Divergenz eines Vektorfeldes auf folgende Weise ein. Das dynamisehe Vektorfeld eines dynamisehen Systems ist ein Vektorfeld auf dem Tangentialbiindel M , einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, das bez/iglich lokaler Koordinaten x ~ yon M die Gestalt hat

y ~ (~1 . . . . . ~ n , _ A1 . . . . . - - An).

Mit Hilfe der At wird die dynamische Divergenz wie folgt definiert : Es sei

i . 1 ~2 A ~ LJJk'~ 2 0M0& ~ "

Dann setzt man (mit Summenkonvention)

0X~ ': X) X1 (1) d i v X : = -~}~-- + (A 0- o .

I s t Y das geodgtisehe Vektorfeld einer Riemannsehen Metrik, so erhiilt man die iibliehe Divergenz des gektorfeldes X. I s t D eine torsionsfreie kovariante Diffe- rentiation, so ist die dadurch best immte Divergenz des Vektorfeldes X gegeben durch

(2) d i v X : = < D X > .

( > bedeutet die Verjfingung; in Koordinaten ist

0X~ F~i XJ . d i v X = ax~ ~-

Es erhebt sieh die Frage, ob die obige Divergenzbildung (1) als yon einer ko- varianten Differentiation herrfihrend verstanden werden kann. Dies ist in der Ta t der Fall; wir zeigen, dab zu jedem Paar (X, Y), bestehend aus einem Vektorfeld X auf der Mannigfaltigkeit M nnd einer , ,Str6mung" Y auf dem Tangentialbiindel M , eine torsionsfreie kovariante Differentiation D X , r geh6rt, deren Divergenz im Sinne von (2) gerade dutch (1) gegeben ist. I s t speziell Y ein Spray (als Vektorfeld auf M ,

verstanden, vgl. [4] und [3]), so ist durch D x : = D X 'Y die zugeh6rige torsionsfreie kovariante Differentiation D definiert. Dies Ergebnis enthglt daher den Satz yon AMBROSE-PALAIs-S~NoI~R [2], dal~ jeder Spray eindeutig eine torsionsfreie kovariante Differentiation best immt.

Sei M eine (Itausdorffsche zusammenhiingende unendlieh oft differenzierbare) Mannigfaltigkeit, 7t: M , --> M die natfirliche Projektion des Tangentialbiindels. Ein Vektorfeld Y auf M , heiBe S t r i imung , falls ffir a l lev e M , gilt z , Y v = v. Is t / eine

Vol. XVHI, 1967 Dynamisdm Divergenz und Sprays 415

(differenzierbare) Funktion auf M, so sei die Funktion ]" auf M , definiert durch

[(v) : = (v, d[> = v(/). Mit ~(X) bezeichncn wir die vertikale Liftung eines Vektor- feldes X auf M. Sie ist charakterisiert durch

o ~ ( x ) / = x~,(~) l , e ( x ) ( I o ~) = o .

Definition. Seien X ein Vektorleld au I get Manni~]laltiffkeit .M, Y eine Str6mung au] dem Tangentialbi~,ndel M, . Dann sei ]i~r Vektor]elder A, B und Funktionen / au/ M erkl~irt

(DJ "'r B)1: = A B / - - -~ ~x(A) e(B) Y] .

Satz 1. D x,Y ist eine torsions[reie kovariante Di//erentiation au/ M.

B e w e i s . Es ist D ~ Y B = gD~"YB und D ~ " r B - - D~ ' rA = [A, B] , da

e x ( / A ) = / p x ( A ) und [~(A), e(B)] = 0 .

Dutch t(X, Y) Z : = DX'Yx ist jetzt ein 1 - - 1-Tensorfeld t(X, ]z) auf M erkl~rt. Die Kontrakt ion (t(X, Y)~ gibt die dynamische Divergenz (1) yon X beziiglich Y, wie man leicht nachpriift.

Satz 2. Ist Y ein Spray, 8o ist durch DA B : ~ D~ 'Y B

eine torslons]reie kovariante DiHerentiation 1) de/iniert, deren geodgtischer Spray gerade Y ist.

B e w e i s . Y ist ein Spray genau dann, wenn Y eine StrSmung ist und Y~v] : ~2 Yv'[ erfiillt, d .h . Y / h o m o g e n yore 2. Grad ist. Dann ist e(B) y] homogen vom 1. und

~(A) ~(B) Y[ homogen vom 0. Grad. Also gilt DfAB = / D A B . I s t F homogen yore Grad k, so gilt Qv(v)F = kF(v). Daher wird die horizontale Komponente eines Vektorfeldes Z auf M . bezfiglich D gegeben durch

h ( Z ) ( l o ~ ) = Z ( I o ~ ) , h ( Z ~ ) ] = ~ e v ( ~ , Z ~ ) Y ] .

I s t Z der geod&tische Spray yon D, so ist Z horizontal, also gilt

z~i= h(z~)i= ~ ev(~) Y i= r~i, da Y selbst ein Spray war. Da auch Z ( / o ~) - ~ / ' ~ Y([ o ~) gilt, folgt die Behaup- tung.

Literatarverzeiehnis [I] R. Am~s, Wave Mechanization of Dynamical Systems. J. Iviath. Anal. AppI. 10, 135--160

(1965) [2] W. AMBROSE, 1:~. S. PALA1S and I. M. SING~, Sprays. An. Acad. Bras. Ci. 82, 163--178 (1960). [3] P. DOMBROWSK~, On the Geometry of the Tangent Bundle. J. reine angew. Math. 210, 73--88

(1962). [4] S. LANO, Introduction to Differentiable Manifolds. New York 1962.

Eingegangen am 24.6. 1966 Anschrift des Autors: Klaus Horneffer Mathematisches Institut der Universit~t, 34 GSttingen, Bunsenstr. 3/5