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QM-A2-ZH 1/2012 (1222)

定量分析方法大卫·塔戈特教授

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定量分析方法

《定量分析方法》教程由巴斯大学管理学院信息系统教授、伦敦商学院决策科学前高级讲师大卫·塔戈特撰写。塔戈特教授拥有多年的教学经验，在教学中指导管理人员将量化分析引入多项管理技术中，从而使他们能够平衡地进行决策。他的教学风格是，在阐明复杂方法的同时，说明这些方法在实践中如何应用以及它们的不足之处。他的著作包括 Coping with Numbers 和 The Economist Guide to Business Numeracy，相对于技巧方面的严密性而言，他更强调读者对内容的理解。这些著作现已行销全球。

他编写过五十多个案例研究，反映了定量分析方法与其他管理课题不断融合的趋势。这些案例涉及各行各业，阐明了定量分析方法不断变化的性质以及在信息技术时代对决策者日益增加的影响。同时，这也表明，塔戈特教授在一些国际性的公共机构和私营公司中积累了广泛的实践经验。

塔戈特教授撰写过许多论文，其中一篇（对提供管理信息的研究）荣获了 1986 年的 Pergamon 奖。

他曾经是伦敦商学院卓有成效的业余 MBA 教学计划的设计组成员，并在 1985 至 1988 年担任小组主任。在此期间，他带领参与初期工作的研究小组考察了香港、新加坡和美国，从而在国际教学方面拓展了空间。他曾在伦敦商学院的所有主要教学计划中执教，并为几十家大型公司设计和开设管理培训课程，其中包括以下公司：

British Rail Citicorp Marks and Spencer Shell

2001 年在英国首次出版

© David Targett 1990, 2000

根据英国《1988 年版权、设计、专利法案》，大卫·塔戈特教授教授作为本著作的合法作者，拥有本书的版权。

保留所有权利。事先未经出版商书面许可，不得以任何形式或通过任何方式（电子、机械、影印、录制或其他方式）复制、在可检索系统上存储或传播本出版物中的任何内容。事先未经出版商同意，不得将本书以出版形式之外的任何装订或包装形式外借、转售、出租或用于其他商业用途。

定量分析方法 Edinburgh Business School v

目录

第 1 部分导论和背景资料第 1 单元统计学导论：一些简单的应用及错用实例 1/1

1.1 简介 1/1 1.2 概率 1/3 1.3 离散统计分布 1/5 1.4 连续统计分布 1/8 1.5 标准分布 1/10 1.6 统计数据的错用 1/14 1.7 如何查找统计错误 1/18 1.8 小结 1/19 复习题 1/21 案例分析 1.1：订机票 1/23 案例分析 1.2：JP Carruthers Co. 1/23 案例分析 1.3：读者来信 1/27

第 2 单元基础数学：应用到管理中的数学课堂知识。 2/1 2.1 简介 2/1 2.2 图示法 2/2 2.3 方程的转换 2/7 2.4 线性函数 2/10 2.5 联立方程 2/13 2.6 指数函数 2/17 复习题 2/25 案例分析 2.1：列出代数方程式 2/28 案例分析 2.2：CNX 军备公司 2/29 案例分析 2.3：Bonzo 公司 2/29 案例分析 2.4：Woof 狗粮 2/29

第 2 部分数字处理第 3 单元数据表达 3/1

3.1 简介 3/1 3.2 数据表示规则 3/2 3.3 会计数据特例 3/11 3.4 通过图形表达数据 3/14 3.5 小结 3/19 复习题 3/20

目录

vi Edinburgh Business School 定量分析方法

案例分析 3.1：地方政府绩效指标 3/22 案例分析 3.2：跨国公司的损益表 3/22 案例分析 3.3：国家 GDP 3/23 案例分析 3.4：能源效率 3/23

第 4 单元数据分析 4/1 4.1 简介 4/1 4.2 数据分析中的管理问题 4/2 4.3 数据分析指导原则 4/5 4.4 小结 4/14 复习题 4/14 案例分析 4.1：交通通讯记者 4/16 案例分析 4.2：地域帐目 4/16 案例分析 4.3：工资项目 4/18

第 5 单元汇总指标 5/1 5.1 简介 5/1 5.2 指标的实用性 5/3 5.3 定位指标 5/5 5.4 离散程度指标 5/14 5.5 其他汇总指标 5/21 5.6 处理离群值 5/22 5.7 指数 5/23 5.8 小结 5/30 复习题 5/30 案例分析 5.1：电灯泡试验 5/34 案例分析 5.2：Smith 先生的报销帐单 5/34 案例分析 5.3：就业水平统计月报 5/35 案例分析 5.4：上下班的路程 5/35 案例分析 5.5：石油产品 5/35

第 6 单元抽样方法 6/1 6.1 简介 6/1 6.2 抽样的应用 6/2 6.3 抽样的方法 6/3 6.4 随机抽样法 6/4 6.5 判断抽样 6/9 6.6 样本的精确度 6/10 6.7 抽样过程中的典型难点 6/11

目录

定量分析方法 Edinburgh Business School vii

6.8 样本应为多大 6/13 6.9 小结 6/14 复习题 6/15 案例分析 6.1：商学院毕业生 6/17 案例分析 6.2：清算银行 6/17

第 3 部分统计方法第 7 单元分布 7/1

7.1 简介 7/1 7.2 实测分布 7/2 7.3 概率概念 7/7 7.4 标准分布 7/12 7.5 二项分布 7/13 7.6 正态分布 7/17 7.7 小结 7/25 复习题 7/25 案例分析 7.1：考试成绩 7/28 案例分析 7.2：汽车零件 7/28 案例分析 7.3：信用卡帐户 7/28 案例分析 7.4：早餐谷类食品 7/29

第 8 单元统计推断 8/1 8.1 简介 8/1 8.2 统计推断的应用 8/2 8.3 置信水平 8/2 8.4 抽样的均值分布 8/3 8.5 估计 8/5 8.6 基本的显著性检验 8/8 8.7 其他类型的显著性检验 8/16 8.8 有关使用显著性检验的限制 8/21 8.9 小结 8/22 复习题 8/24 案例分析 8.1：食品店 8/26 案例分析 8.2：管理协会 8/26 案例分析 8.3：纺织品公司 8/27 案例分析 8.4：Titan 保险公司 8/27

目录

viii Edinburgh Business School 定量分析方法

第 9 单元其他分布 9/1 9.1 简介 9/1 9.2 泊松分布 9/2 9.3 自由度 9/6 9.4 t 分布 9/8 9.5 卡方分布 9/13 9.6 F 分布 9/18 9.7 其他分布 9/20 9.8 小结 9/21 复习题 9/23 案例分析 9.1：飞行事故 9/25 案例分析 9.2：警车 9/26

第 10 单元方差分析 10/1 10.1 简介 10/1 10.2 应用 10/2 10.3 单因素方差分析 10/5 10.4 双因素方差分析 10/9 10.5 方差分析的推广 10/13 10.6 小结 10/13 复习题 10/14 案例分析 10.1：洗衣粉 10/15 案例分析 10.2：大型超市 10/16

第 4 部分统计关系第 11 单元回归与相关 11/1

11.1 简介 11/1 11.2 应用 11/3 11.3 数学基础知识 11/4 11.4 简单线性回归 11/6 11.5 相关 11/8 11.6 检验残差 11/12 11.7 在个人计算机 (PC) 上进行回归分析 11/14 11.8 影响回归与相关的若干因素 11/17 11.9 小结 11/20 复习题 11/20 案例分析 11.1：铁路售票处 11/23 案例分析 11.2：连锁百货商店 11/23

目录

定量分析方法 Edinburgh Business School ix

第 12 单元高级回归分析 12/1 12.1 简介 12/1 12.2 多元回归分析 12/2 12.3 非线性回归分析 12/5 12.4 回归与相关的统计基础 12/11 12.5 回归分析总结 12/19 12.6 小结 12/19 复习题 12/21 案例分析 12.1：CD 销售 12/23 案例分析 12.2：废金属处理 I 12/24 案例分析 12.3：废金属处理 II 12/25

第 5 部分商情预测第 13 单元预测背景知识 13/1

13.1 简介 13/1 13.2 预测方法回顾 13/2 13.3 应用 13/3 13.4 定性预测方法 13/4 13.5 小结 13/13 复习题 13/14 案例分析 13.1：汽车设计 13/16

第 14 单元时间序列方法 14/1 14.1 简介 14/1 14.2 成功应用时间序列法的情况 14/2 14.3 平稳序列 14/2 14.4 具有趋势的序列 14/6 14.5 具有趋势和季节变化的序列 14/7 14.6 具有趋势、季节变化和周期的序列 14/9 14.7 时间序列方法回顾 14/16 14.8 小结 14/18 复习题 14/19 案例分析 14.1：室内装饰品 14/21 案例分析 14.2：园艺设备制造 14/22 案例分析 14.3：McClune & Sons 14/22

目录

x Edinburgh Business School 定量分析方法

第 15 单元预测系统管理 15/1 15.1 简介 15/1 15.2 管理人员在预测过程中的作用 15/2 15.3 组织预测系统的指导原则 15/3 15.4 预测错误 15/11 15.5 小结 15/12 复习题 15/14 案例分析 15.1：室内装潢公司 15/16 案例分析 15.2：剧院 15/16 案例分析 15.3：酿酒厂 15/17

附录1 统计分布表 A1/1 附录2 考试用公式表 A2/1

简便公式: 2/1 二项分布 2/1 估计 2/2 泊松分布 2/2 正态分布 2/2 t 分布 2/3 卡方分布 2/3 F 分布 2/3 单因素方差分析 2/3 双因素方差分析 2/4 回归 2/4 相关系数 2/4 游程检验 2/4 指数平滑 2/4 霍尔特法 2/5 均方误差 2/5

附录3 实习期末试题 A3/1

实习期末试题 1 3/2 实习期末试题 2 3/11

目录

定量分析方法 Edinburgh Business School xi

附录4 复习题和案例分析的答案 A4/1

第 1 单元 4/1 第 2 单元 4/6 第 3 单元 4/12 第 4 单元 4/18 第 5 单元 4/22 第 6 单元 4/31 第 7 单元 4/36 第 8 单元 4/43 第 9 单元 4/51 第 10 单元 4/57 第 11 单元 4/63 第 12 单元 4/70 第 13 单元 4/75 第 14 单元 4/81 第 15 单元 4/93

索引 I/1

定量分析方法 Edinburgh Business School

第 1 部分

导论和背景资料

第 1 单元统计学导论：一些简单的应用及错用实例第 2 单元基础数学：应用到管理中的数学课堂知识。

定量分析方法 Edinburgh Business School 1/1

第 1 单元

统计学导论：一些简单的应用及错用实例

目录

1.1 简介 ....................................................................................................................... 1/1 1.2 概率 ....................................................................................................................... 1/3 1.3 离散统计分布 ........................................................................................................ 1/5 1.4 连续统计分布 ........................................................................................................ 1/8 1.5 标准分布 .............................................................................................................. 1/10 1.6 统计数据的错用 ................................................................................................... 1/14 1.7 如何查找统计错误 ............................................................................................... 1/18 1.8 小结 ..................................................................................................................... 1/19 复习题 ........................................................................................................................... 1/21 案例分析 1.1：订机票 ................................................................................................... 1/23 案例分析 1.2：JP Carruthers Co. ............................................................................... 1/23 案例分析 1.3：读者来信 ............................................................................................... 1/27

学前必读：无

学习目标

本单元对统计学进行了概述，简要介绍了一些基本思想和概念，后面的单元将对这些

概念进行更详细的说明。本单元的目的是让那些没有统计学背景知识的读者能够对该

学科有初步的了解，以改变人们那种未曾学过统计知识就无法读懂相关文章的世俗观

念。对于已具备一定统计学背景知识的读者来说，通过本单元可以了解有关这一科目

的主要框架。

1.1 简介 “统计”既可以指数字的集合，也可以指研究数字集合的学科。不管在哪种定义下，人

们对统计的滥用已经远远超过了其特定的限度（统计变成了“谎言、十足的虚假信

息…”）。造成这种情况的主要原因是人们无法理解“统计学就像一门语言”。正如政治

家和记者们可能会滥用文字语言一样，他们（政治家和记者们）也同样会滥用数字语

第 1 单元 / 统计学导论：一些简单的应用及错用实例

1/2 Edinburgh Business School 定量分析方法

言。如果将这一问题归咎于统计学，那么这就好比人们因选举承诺未得到兑现而责怪

英语一样，都是毫无道理的。一个人不必精通统计即可以有意滥用统计数字（“数字可以撒谎，撒谎者可以编造

数字”），但是，滥用的情况通常很难被识破，因为具备相应的知识和信心来处理数

字的人比具备同样能力处理文字的人要少得多。识字的人总是比精通计算的人多。尽

管如此，您只需要一些常识和一小部分技术知识，便可以识破统计数字的滥用问题。那些具备统计知识的人所持有的不切实际的态度又增加了识破数字滥用的难度。例

如，如果某公司的年度财务报告显示其实际库存水平为£34 236 417 英镑（或

£34 236 000 英镑），那么这一数字看上去会很真实，因为它非常精确。但是，如果您

是估算出该数字的会计师的同事，您可能就会想到，通过这种数据收集方法并不能确

保得到如此精确的数字。如果在市场调查中说，10 只狗有 9 只更喜欢吃 Bonzo 狗

粮，这同样是一种误导，但人们对这样的说法更是习以为常。如果提出以下问题，您

会发现这样的说法完全没有任何意义：“与什么相比狗更喜欢吃这种狗粮？”、“在什么

情况下更喜欢吃这种狗粮？”、“哪 10 只狗中的 9 只？” 这些示例以及许许多多其他类似示例给统计学造成了不良的声誉，人们也常常因此

而始终忽视这门学科。不幸的是，在商业领域中人们会不可避免地用到统计信息。决

策的依据是信息，而信息也通常是以数字的形式表示的。为了进行有效决策，我们有

必要对数字进行组织并加以理解。这就是统计学的实质，也是人们需要掌握一定相关

知识的重要性所在。统计学可以分为两个部分。第一部分称为描述性统计 (descriptive statistics)。这一

部分主要解决的问题是，以能够直观反映数据主要特征的方式对所收集的大量数据进

行整理。它主要介绍如何将数字转换成有用的实际信息。这一部分介绍了一些简单的

概念，如对数据进行组织和排列以反映数据所具有的模式、对数据进行汇总以简化数

据处理过程以及向他人传递数据信息。此外，这部分还涉及了当今一个非常重要的领

域，即关于管理信息系统和决策支持系统所提供的计算机化商业统计信息的处理问

题。第二部分主要介绍了推断性统计 (inferential statistics)。这一部分所解决的问题是，如何

对已收集的少量数据（称为样本 (sample)）进行分析，以推断出有关实际未被抽取的

类似数据（称为总体 (population)）的总量的一般结论。例如，在进行民意调查时，

可以利用推断性统计方法根据仅仅几百个采访结果得出有关某个国家全体选民民意的

结论。这两种类型的统计方法都有可能被错用。但是，如果具备了一点统计知识并运用大

量的常识，您便可以发现此类错误并找到适当的纠正方法。本单元将介绍有关统计学

的一些基本概念。后面的部分将讨论有关统计信息的滥用问题以及相应的解决方法。首先要介绍的基本概念是“概率”(probability)，它是统计工作的基础。由于人们使用

的大部分数据都是不精确和不完整的，因此，统计学要解决的是近似和“ 佳推测”问题。人们一般很少会作出确定的陈述和结论。概率是对所得到的信息和结论的可信度

进行量化的一种方式。



1.2 概率所有未来事件在某种程度上都是不确定的。例如，英国本届政府将继续执政一年时间

（假设当年不是选举年）是可能的，却远远不能肯定；共产党政府将执政一年时间的

可能性很小，但不是不可能。概率理论使我们能够借助一定的尺度来衡量事件的可能

性，进而更精确地反映事件的不确定性差异。

图1.1 概率比例尺

图1.1 显示了概率比例尺。在比例尺的一端，不可能事件（例如，“您可以游过大西

洋”）的概率为零。在另一端，绝对的必然事件（人总有一天会死）的概率为 1。根

据事件的可能性，所有既非必然事件又非不可能事件的概率均落在比例尺两个端点之

间。例如，旋转一枚质量均匀的硬币，正面朝上的概率为 12；在 100 张彩票中，抽出

某张特定的中奖彩票的概率为 0.01。 “事件 A 发生的概率为 0.6”，简记为： A 0.6

1.2.1 概率的计算

计算概率的方法有三种。这些方法不能相互替代使用，因为对于特定的事件而言，仅

可以使用一种特定的计算方法。但是，它们反映了人们在观念上对概率的不同认识。

在介绍这些方法时，您会清楚地了解到这一点。 (a) 先验法。在这种方法中，事件的概率是通过逻辑推理来计算的。不需要进行试验

或判断。与硬币、骰子、扑克牌有关的概率计算可归入这一类。例如，我们注意

到硬币共有两面，而且这两面在落地时朝上的可能性完全相同（请注意：前提是

它不会直立），因此便可以计算硬币“正面朝上”的概率。由于硬币落下的结果必

然是一面朝上，因此两个事件在全部可能性 1.0 中必定各占一半。因此：

（正面朝上） 0.5（背面朝上） 0.5

0.5

��

0

��

1

�

��

�� !"#$



(b) “相对频率”法。如果事件已经或可以重复多次发生，则可以通过以下公式来计算

其概率：

（事件）事件发生的次数

试验次数

例如，为了估算伦敦九月份某日下雨的概率，我们查看了过去 10 年的记录，结

果发现在九月份这一日中有 57 天在下雨。可以得出以下公式：

（下雨）记录中显示下雨的天数

总天数 10 30573000.19

(c) 主观法。某些统计学家（贝叶斯学派）认为，可以将某人对某特定事件的确信度

表示为概率。贝叶斯学派统计学家认为，在某些情况下可以并且应该采用主观法

来估算概率。古典统计学家的传统观点认为，只可采用客观法估算概率。我们会

在后面介绍主观概率法的具体应用领域和相关技术方法。就目前来说，重要的是

要了解：我们可以对概率进行主观估算，而统计学家们对这种方法的合理性存在

争议。以主观法为例，如果假定事件是：到公元 2010 年欧洲将实现政治统一。那

么，前两种方法都不能用来计算这一概率。但是，人们可以通过将该事件与一个

已知的概率事件进行比较，来表达自己对该事件可能性的看法。例如，这一事件

与旋转硬币时正面朝上的事件相比，其可能性更大还是更小？经过多次的比较和

校验过程，其结果可能是：（到公元 2010 年欧洲实现政治统一） 0.10

对主观概率进行准确估算本身属于一项研究课题，因此不应将其看作是纯粹的

猜测。我们在此仅对确定概率的三种方法进行了简单介绍，并且在介绍中所采用的方式也

并非十分严格。不管采用哪种方法，只要计算出了概率，其处理方式都是完全相同

的。

示例 1. 掷一次骰子，出现点数 6 的概率是多少？采用先验法，总共可能出现六种结果：骰子点数

为 1、2、3、4、5 或 6。所有结果都具有相同的可能性，因此：

（点数为 6） 162. 第二条英吉利海峡隧道（公路隧道）于公元 2025 年前完工的概率是多少？

此时只能采用主观法，因为仅靠逻辑思维无法得到答案，而且没有历史记录可查。我个人的估计是可能性很小，约为 0.02。



3. 如何计算旋转偏心的硬币时正面朝上的概率？如果您了解硬币在空气动力表现方面的信息，则可以使用先验法。还可以采用一种更实

际的方法，即进行几次硬币旋转试验并数正面朝上的次数：

（正面朝上）观察到的正面朝上的次数

旋转试验的次数

4. 从一副扑克牌中抽出一个 A 的概率是多少？使用先验法，总共可能有 52 种结果（一副牌中的每张牌代表一种结果），而且抽出任何

一张牌（如方块 A）的概率为。一副扑克牌中有四个 A，因此：

（抽出一张 A） 452 1131.3 离散统计分布

我们可以通过概率来研究统计分布，这是统计工作的另一个基本组成部分。您可以将

它看作是初步的描述性统计，也可以将其视为推断性统计的基础。我们首先将统计分

布作为一种描述法来研究。假设有一组数据，初如图1.2 中所示。

图1.2 美国销售数据

这些数字是某个变量的所有的可能取值。变量一词本身就说明了其所指含义。它是

某种可以测量的实体，而且对该实体的多种不同观测会产生不同的量值。变量既可以

是法国各政府部门重大犯罪的数量，也可以是瑞典所有 20 岁男性青年的身高。图

1.2 中显示了美国各销售区域中某品牌罐装甜玉米的年销售量（以千计）。这些数字

被称为观测值 (observation) 或数据点 (data point)。它看上去一团糟，几乎不能说明任何问题。当然，凌乱的数字可以有各种表现形

式。例如，您先看到的某组数据可能是一堆布满灰尘的生产情况简报或手写发票卷

宗，虽然形式不同，但情况都有可能都是一团糟。为了理清这些数据，我们首先要做

的就是，按表1.1 所示对这些数字进行排序。

106

66

71

83

41

53

110

7220

75

99 92

40



表1.1 数字列 . 52 59 66 . 54 60 66

41 55 60 . 43 56 60 . 45 57 61 . 46 57 62 . 48 58 62 49 58 63 49 58 65 50 59 65

表1.1 是已排序的数据组。这些数字现在看上去比以前整齐了，但我们仍无法看出

这些数据所反映的某些信息（如平均值）。因此，下一步应对数据进行分组，然后将

数据组按顺序排列。分组是指按一定范围（例如 50–54）对数值进行组织，以简化数

据处理。每组数据都具有一定的频数，即该组范围内的数据点数。这种表示方法称

为频数表 (frequency table)，如表1.2 所示。其中有 7 个数据点大于等于 40、但小

于 50，12 个数据点大于等于 50、但小于 60，等等。表中总共有 100 个数据点。

表1.2 频数表数据组频数 40 ≤ < 50 7 50 ≤ < 60 12 60 ≤ < 70 22 70 ≤ < 80 27 80 ≤ < 90 19 90 ≤ < 100 10 100 ≤ < 110 3

总频数 100

注：≤ 表示“小于等于”；< 表示“小于”。

现在就比较容易从总体上认识这些数据了。例如，我们可以看出其中大多数数字都

在 60 与 90 之间，两个极值为 40 和 110。当然，有时可能还需要对这些数字进行详细

的计算，以得到一些具体的信息，但是，我们现在的目标只是在短的时间内对数据

有一个大致的了解。此外，还有另一种更为直观的表示法，称为频数直方

图 (frequency histogram)。通过这种方法可以实现上述目标。

图1.3 频数直方图

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

10

20

30

7

12

22

27

19

10

3

%&



从表1.2 转换到图1.3 的过程非常简单明了，但是，通过频数直方图可以立即看出数

据的特征。这些数字对称地分布在从 40 到 100 多一点之间的范围内，大部分数字都落

在该范围的中心位置附近。作为一种描述工具，频数直方图非常有效，我们无需对其进行进一步推敲。另外，

如果我们需要对数据进行分析，则可以将图1.3 的直方图转换为统计分布。严格地

说，我们讨论的所有数据构造都是统计分布，而我们所寻求的是易于处理和通用

的形式。要实现这一转换过程，首先要注意在利用“相对频率”法进行概率计算时频率与概率

之间的关系。我们可以按下列公式计算任何随机选取的量值位于特定数据组内的概

率：

（位于组的频数

总频数

柱高

总频数

例如 40 50 7100 0.07通过将纵坐标轴的频数单位改为概率（按上述方法计算），可以将频数直方图转换

成概率直方图 (probability histogram)。直方图的形状仍保持不变。我们通常将表现为

概率形式的直方图称为分布，在此例中为离散分布。如果在一定限度内变量的取值是

有限的，则该变量为离散变量。例如，如果数据仅在如上所示的数据组内取值，则该

变量就是离散变量。同样，如果某个变量仅限于整数（整数变量），则该变量也属于

离散变量。使用概率直方图，我们可以更容易地计算出合并的数据组的概率。例如，如果两个

数据组的概率分别为： 50 60 0.12 60 70 0.22 那么： 50 70 0.12 0.220.34 不管是用概率计算，还是用导出该值的频数计算，都会得到同样正确的结果。

示例请使用图1.3 中的数据计算以下概率： 1. 80 100 ? 2. 70 ? 3. 60 100 ?



答案

80 100 80 90 90 10019100 101000.19 0.100.29 70 50 50 60 60 700.07 0.12 0.220.41

60 100 0.22 0.27 0.19 0.100.78 1.4 连续统计分布

到目前为止，我们介绍了变量的概率直方图，通过它可以确定变量的任何一个量值落

在直方图中某个数据组内的概率。我们将此类分布称为离散分布 (discrete distribu-tion)。它是一种分布，是因为该变量可以取一定的范围内的任意值；它同时又是离散

的，因为该变量并非连续取值，而是取一些离散的值。连续变量的取值可能有无穷多个。它可以是整数和整数间的所有值；它不对数据进

行分组，而仅仅区分数字，如 41.73241 和 41.73242。由连续变量形成的分布是连续分

布 (continuous distribution)。我们可以将它看作是离散分布的推广。其推广过程如

下。（该过程旨在说明离散分布与连续分布之间的联系，在实际运算中并不需要执行

这一过程。）图1.4(c) 再现了图1.3 中的离散分布。图中的柱宽被逐渐缩小。例如，在 (b) 中，柱

宽缩短了一半；数据组 50 60 被分为 50 55 和 55 60 两个组。

在 (c) 中，数据组被进一步细分。随着此过程的继续进行，分布图也变得越来越光

滑，直到我们终得到连续分布 (d)。现在出现了一个概率计算方面的难题。在图1.4(a) 的离散分布中，变量所取各值的

相应概率等于柱高。如果柱高一直等于概率，则经过 (a) → (b) → (c) → (d) 这一过程

后，分布会变得越来越平滑。图1.4(d) 将显示出完全平滑的分布，因

为 41.73241 和 41.73242 等数值的概率必定是无穷小。通过按面积计算连续分布中的概

率，就可以解决这一问题。例如， 50 60 等于 50 和 60 之间曲线以下的面

积，即图1.4(d) 中阴影线之间的面积。以下是使用面积来计算概率的理由。在图1.4(a) 中，所有柱宽均相等，因此，既可

以按面积计算概率，也可以按高度计算。图1.5 举例说明了将数据组一分为二时

从 (a) 到 (b) 的转换过程。在这个过程中，假定可以根据原来的数据计算新数据组的概

率。在使用面积来计算概率时，新数据组的柱高与原数据组的柱高近似相等。缩小后的

新数据组的概率比原来的低，可以用原来的一半柱宽来表示，而不需要改变柱高。随

着细分过程的继续，并没有出现分布变得越来越平坦的趋势。由此可见，连续分布具

有明确的形状，我们可以采用在解释离散分布时的相同方式来理解连续分布，但连续



分布的概率是按面积来计算的。离散分布的柱高之和等于 1（因为每次观测肯定会得

到一定的值），同样，连续分布的总面积也等于 1。

图1.4 从离散到连续

图1.5 缩小数据组规模

表1.3 中归纳了离散分布与连续分布之间的区别。

表1.3 离散分布与连续分布之间的区别离散分布连续分布

变量仅限于某些取值对变量的取值没有限定

形状通常为阶梯形形状通常为平滑的曲线

概率等于柱高概率等于曲线以下的面积

柱高之和 = 1 总面积 = 1

'() (a)

50 60

'() (b)

*+'( (d) '() (c)

6050 6050

0.120.07

55

P (50 < x < 55) = 0.05P (55 < x < 60) = 0.07

55 < x < 6050 < x < 55

P (50 < x < 60) = 0.12

50 < x < 60

,-

0.05,- ,-



示例

图1.6 图中显示了每段曲线以下的面积。总面积等于 1.0

某连续分布如图1.6 所示，请问该变量的某个值落在下列区间的概率是多少？

1. 60? 2. 100? 3. 60 ≲ 110? 4. 135? 5. 110?

答案 1. 60 0.01 2. 100 0.01 0.49 0.5 3. 60 ≲ 110 0.49 0.27 0.76 4. 135 0.02 5. 110 0.21 0.02 0.23 连续分布在实际应用中也存在一些问题。第一，我们不可能收集到足够多且计算非常准确的数据来建立连续分布。第二，即使能够做到这一点，要准确计算曲线下面部分的面积也会非常困难。连续分布在实际中应用得最多的是标准分布 (standard distribution)，下一节将讨论这一课题。

1.5 标准分布图1.2、表1.1、表1.2 和图1.3 中所示的美国销售数据分布是一种实测 (observed) 分布。

也就是说，我们需要先收集数据，然后绘制直方图，后确立相应的分布。标准 (standard) 分布具有一定理论基础，而不是根据观测到的数据建立的。它是人们根据

某种理论情况从数学角度定义的一种分布。人们先以数学方式表现情况特征，然后再

从理论角度构想终得到的情况。如果实际情况与理论情况相似，那么就可以应用相

应的标准分布。例如，正态 (normal) 分布就是根据以下理论情况推导出来的。在这一情况中，某个

过程所生成的变量本来应该是一个常数，但由于该过程中存在许多小的扰动，其实测

结果并非如此。因此，该变量会呈现出围绕一个中心值分布的情况（请参见图1.7）。

我们可以用数学方式来表示这种情况（存在一个中心值和许多因小的扰动而形成的

值），也可以从数学角度预测其终的分布结果，也就是说，可以找到一个公式来描

述该分布状态。

100 110 135

0.210.270.49 0.020.01

60



图1.7 面包重量的正态分布

如果实际情况与理论情况相似，则可以应用正态分布。我们现在就可以进行分析

了，其方法类似于美国销售数据的概率计算。通过数学公式可以计算出曲线下面部分

的面积，更简便的方法是从正态分布表中得到该面积。例如，我们可以用正态分布表

示机切钢筋的长度。所有钢筋的长度在理论上都应相等，但实际并非如此，因为机器

振动、设备不精确及操作人员等因素都会引起偏差。在对此类情况进行分析时，通常

要计算切割后的钢筋有可能超出钢筋设计公差的百分比。正态分布适用于许多具有类似特征的情况。对于表现出不同特征的情况，可以应用

其他类型的标准分布。因为实际情况不可能与数学所依据的理论情况完全一致，我们

只能近似地应用标准分布。但是，使用标准分布可以节约收集数据的时间和精力，其

优点远远大于其缺点。建立实测分布 (observed distribution）时通常需要收集大量的数

据。我们不仅要收集足够多的数据来绘制分布图，而且还必须针对每种情况分别收集

数据。总之，使用实测分布意味着先收集数据，再绘制直方图；使用标准分布则意味着，

数据生成时的实际情况应非常接近从数学角度构建分布时的理论情况。

1.5.1 正态分布

现在，我们将详细讨论常用的一种分布，即正态分布。在图1.7 有关面包重量的示

例中，我们大致了解了正态分布的形状。其主要特征是：图形为对称钟形，只有一个

峰值（即为单峰 (unimodal))），峰值为变量的平均值。但是，并非所有的正态分布都完全相同。否则，它们就无法既可以表示面包的重量

（平均值为 500 克，偏差小于 10 克），又可以表示男性成年人的身高（平均值为 1.75 米，偏差约为 0.40 米）了。所有正态曲线都具有一些共同特征（如上所述），但它们

各自所描述的对象则具有不同的特征。我们可以用两个称为参数 (parameter) 的因子

来表示这些特征，这两个因子足以将一条正态曲线与另一条正态曲线区分开来（而且

还可以完全确定正态曲线）。参数是指描述总体的某些特征的指标。

500499498497 501 502 503

= 500./�0



第一个参数是分布的平均值 (average) 或均值。尽管我们尚未对“平均值”这一术语

进行正式的定义，但它与我们平常的表达方式并无差异（例如，2 和 4 的平均值为 3）。如果两个正态分布只有该参数不同，则两个正态分布会具有完全相同的形状，

但是它们将位于横轴的不同位置。第二个参数是标准离差 (standard deviation)。后面将给出它的准确定义。我们可以

用这个参数来衡量变量的散布或偏差范围。也就是说，某些变量的取值会密集地集中

在平均值附近（如面包的重量）。此类分布的标准离差很小，其形状为细高型。如果

变量的取值散布在平均值周围的很大范围内，则变量的标准离差也会很大，其分布为

扁平型。图1.8 举例说明了在高、低两种标准离差下的变量分布情况：某家医院职工

的薪金分布范围很广，从清洁工到会诊医生，其薪金各不相同；而某个学校教师的薪

金分布范围很小。

图1.8 薪金：(a) 医院– 高标准离差；(b) 学校– 低标准离差

正态分布的另一个特征是标准离差（请参见图1.9）。其中的数据表示面包的重量，

其平均重量为 500 克，标准离差为 2 克。图1.9 中所描述的正态分布的性质是从相应的数学原理推导出的，这部分知识已超

出了本导论的范围。无论如何，相比有关正态分布性质的数学证明而言，正态分布的

应用更重要。不管是扁长型的，还是细高型的，只要是正态分布，就可以应用这一特

性。如果给出了此类特性，我们就可以计算出事件的概率。以下示例说明了如何在统

计分析中使用标准分布（本例为正态分布）。

(b)

(a)

19 00012 28 0001210 00012

33 000126 00012 60 00012



图1.9 正态分布中标准离差的特性

502500498

1s 1s

68%

3(（.）

68% 6789/�0 :;<+1s

68% ,=3(9 > ?@498 502. .

504500496

2s 2s

95%

95% +2s 6789/�0 :;<

95% 496 504 ,=3(9 .> .?@

506500494

3s 3s

99%

99% 6789/�0 :;<+3s

99% ,=3(9 > ?@494 506. .

3(（.）

3(（.）



示例某台机器可以生产特定长度的钢制组件。从生产的组件中抽取了 1000 个样本，并对其长度进行了测量。根据这些量值，我们估算出了所有组件的平均值和标准离差，它们分别为 2.96 厘米和 0.025 厘米。那么，该机器所生产的 95% 的组件最有可能处于什么区间内？

解题步骤如下： 1. 假设生产的所有组件的长度符合正态分布。这样的假设很合理，因为这种情况属于典型的

正态分布。 2. 此分布的参数是：平均值 = 2.96 厘米，标准离差 = 0.025 厘米。组件长度的分布如图

1.10 所示。

图1.10 钢制组件的长度分布

该机器生产的所有组件的分布（总体分布）与样本中组件长度的分布之间存在差异。我们关心的是前者的分布，该分布如图1.10 所示。样本只是用来估算参数。

3. 从上述正态分布的特性中得知，95% 的总体分布（即 95% 的组件）在平均值的两个标准离差范围之内。区间的计算结果如下：

2.96 2 0.025 和2.96 2 0.0252.91和3.01厘米

估算的结果是，95% 的产品处于 2.91 厘米和 3.01 厘米之间。

1.6 统计数据的错用只要统计数据的应用有可能导致错误的结论，那么此类情况就属于统计数据错用。广告标准管理机构一直在努力保护公众免遭误导性广告的侵害，但管理人员却没有采取

任何针对误导性管理数据的相应措施。数据提供者在表述方式上给人造成的误导可能

是有意的，也可能是无意的。如果是后一种情况，那么统计数据错用便可以称得上是

一门富有创造性的艺术了。尽管如此，我们还是可以识别一些常见的错用情况。

3.012.962.91

95%



1.6.1 定义

统计术语及变量本身可能并没有确切的定义。但是，统计数据的使用者会误认为数据

提供者采用了另一种不同的定义。如果假设的定义有误，人们就会得出错误的结论。

“平均值”这一统计术语就可能有多种解释。例如，某家会计师事务所在其招聘广告中

称，其合格的会计师的平均年薪为£44 200 英镑。求职人员可能会据此得出这样的结

论：从薪金的角度考虑，这家事务所具有吸引力。经过进一步调查得知，该事务所的

会计师及其薪金情况如下：

3 个合伙人 86 000 英镑 8 个高级会计师 40 000 英镑 9 个初级会计员 34 000 英镑

平均薪金为：

均值3 86 000 8 40 000 9 34 00020 £44 200“中间”值 £40 000

以及出现频率高的值 £34 000 以上三个数字都可以作为平均薪金。毫无疑问，该事务所选择了有利的一种表述

方式。即使我们能够肯定该事务所使用了正确的统计定义，但是，我们仍有必要提出

以下问题，以了解他们是如何对变量（薪金）进行定义的。合伙人的薪金中是否包括

利润分成？会计师的薪金是否包括了奖金？会计师的薪金是否包括各种福利（如汽

车）？如果扣除这些项目，其终情况可能会是：

3 个合伙人 50 000 英镑 8 个高级会计师 37 000 英镑 9 个初级会计员 32 400 英镑

现在的平均薪金为 36 880 英镑。这家事务所在报酬方面一下子就变得没那么吸引人

了。

1.6.2 图形

使用统计图的目的是为了能够清晰而迅速地传递数据所表达的信息。对数据的第一印

象十分重要。如果第一印象不正确，以后恐怕很难纠正。数据的图示法有很多种，而图形可能是常用的一种。如果图形比例尺是隐藏的或

根本没有显示，就可能得出错误的结论。图1.11 显示了某公司过去三年的销售额。公

司在销售方面看上去很成功。



图1.11 销售记录（无比例）

但是，上图并未显示比例。实际上，该公司的销售记录如下所示：

1994 11 250 000 英镑 1995 11 400 000 英镑 1996 11 650 000 英镑

图1.12 显示了比例并提供了更多的信息。由此看来，公司的销售额几乎没有增加。

如果考虑到通货膨胀因素，实际上销售额反而有所下降。

图1.12 销售记录（显示比例）

1.6.3 样本偏差

大多数统计数据是作为样本收集的，也就是说，这些数据只是全部可用数据（总体）

的一小部分。一般是先从样本中得出结论，然后再将结论推广到总体。只有样本具有

代表性时，这种推广才有效。如果样本不具有代表性，就会得出错误的结论。样本偏

差可能会在三种情况下发生。首先，它发生在数据收集过程中。某左翼政治家声称，在他收到的信件中，80% 都

反对右翼政府的某项政策，因此认定绝大多数选民在该问题上均反对政府的提议。这

一结论就是从有偏差的样本中得出的。

1994 1995 1996ABC

1994 1995 1996

2

4

6

8

10

12

ABC（DE12）



其次，样本偏差与收集数据时所提出的问题有关。例如：“您定期去教堂礼拜

吗？”，这类问题所传递的信息是不可靠的。由于一些人通常认为去教堂礼拜是值得

去做的一件事，因此可能会倾向于夸大其出席次数。“定期”这一措辞也会引起问题。

一年中在圣诞节和复活节两次去教堂算是定期。同样，每周日去两次教堂也是定期。

这样，很难从所提的问题中得出有意义的结论。因此，应该对“定期”进行定义，以使

问题更加明确。第三，调查人员可能对样本信息持有偏见。例如，一位年轻的男性调查员就购买习

惯问题对超级市场进行调查，他询问了 50 位购物者。如果您看到后的样本大部分

都是年轻有魅力的女性，这就不足为怪了。本教程将在后面详细介绍抽样方法，以解决上述大多数问题。

1.6.4 遗漏

未提供的统计信息与提供的统计信息同样重要。一位电视广告商自称，十只狗中有九

只狗喜欢 Bonzo 狗粮。电视观众可能会得出这样的结论，即 90% 的狗喜欢 Bonzo，而

不喜欢其它狗粮。如果了解到以下情况，您可能会得出不同的结论： (a) 样本大小仅为十只狗。 (b) 狗只能在 Bonzo 和市场上便宜的狗粮中选择一种。 (c) 引用的样本是用过的第十二组样本，也只有在这组样本中喜欢 Bonzo 的狗达九

只。

1.6.5 逻辑错误

使用统计信息可以得出与数字有关的结论。但是，人们所关心的通常是数字背后的研

究对象。常见的逻辑错误有以下两种：首先，数字与研究对象可能不一致。例如，员工的不满意度有时可以通过员工流动

比例来衡量。但是，研究对象是离职员工，数字所表现的却是在职员工。因此，两者

不会总保持一致。财务分析人员研究公司利润数据的目的是为了判断公司的赢利能

力。但是，利润数据作为会计指标，只是公司“实际赢利能力”的一种（但愿是有效

的）近似反映，而实际赢利能力是很难界定和衡量的。其次，有关数字的结论不一定就能反映研究对象之间的因果效应。例如，牧师们的

平均工资与朗姆酒的价格之间存在着一种稳定的关系。这两个变量是协同变化的。这

一点可以用统计方法加以验证。但是，这并不表示牧师们直接支撑着朗姆酒的价格。

原因是，这两个变量是通过第三个因素 — 通货膨胀相互联系的。这些变量会随着生活

费用的上升而同时上升。但是，它们之间不可能存在因果关系。根据统计上的关联性

进行决策时必须考虑到这一点。如果进一步分析上述示例，就会得出这样的结论：如

果二者之间存在因果关系，那么，降低牧师们的工资时，朗姆酒的价格也会降低。但

是，如果二者之间只是关联，就不存在这种情况。



1.6.6 技术性的错误

错误往往是在连基本术语都不理解的情况下发生的。举一个我们经常见到的很简单的

例子，某工会领导声称，他会一直工作下去，直到工会所有成员的收入都超过他们的

平均水平，以此来表示他对低收入者的关心。(实际上，这只是他冠冕堂皇的说法。) 另一个简单错误与百分比的使用有关。例如，如果认为今年增加的 20% 的产量可

以抵消去年降低的 20%，是不正确的。假定两年前的产量指数是 100，则减

少 20% 后，产量指数变成了 80，那么今年增加 20% 后，产量指数为 96，并没有恢复

到先前的水平。

1.7 如何查找统计错误很多类型的统计错误只能在特定的定量分析法环境中纠正。不过，通过几个一般问题

可以帮助我们识别统计错误和欺骗。只要使用统计资料，就应该提出这些问题。

1.7.1 资料是由谁提供的？

在这方面，法律给我们提供了很好的参照。在法律案件中，证人的身份是评定证据的

重要因素。辩护律师不可能自愿提供对其当事人不利的信息。同样，在统计学中，了

解是谁提供的统计资料也很重要。如果资料提供者因为您接受他们的结论而获益时，

尤其需要注意。很难想象会有这样的事发生：Bonzo 狗粮生产商竟宣称“我们始终坚信 Bonzo 是好

的狗粮。但是，在近对 2000 只狗的随机抽样调查中发现，由 Woof 公司生产的狗

粮……”相反，由独立消费者组织提供的资料的可靠性会更高一些。

1.7.2 数据来自何处？

1992 年政府部门就人们的洗澡习惯所做的调查报告中说：“与两年前每周洗 1.15 次澡

相比，现在英国人每周洗 2.38 次澡。”表面上看，似乎非常可信，但其可靠度有多大

呢？数据来自何处？我们可以设想这并非个人观察所得的结果。有可能的是，人们接

受了调查询问。因为不勤于洗澡是件让人羞于承认的事，所以回答往往会有一定的偏

颇。因此，2.38 次这个数字可能要高于真实值。即便如此，仍然可以同二十年前作比

较，不过条件必须是人们当时的偏差和现在的偏差相同。而实际上可能不同。二十年

前的数据是从哪儿来的呢？很可能来自结构不同的调查，即调查的抽样规模不同、问

题不同、所处的社会环境也不同。因此，这种与二十年前的调查结果进行的比较也值

得怀疑。另外，在上述案例中，数据的精确度也会误导人。2.38 这个数字表明精确度很高，

但数据收集的方法又完全不能保证这一点。如果数据的小数点后有很多位时，我们就

应该怀疑这样的精确度是不是适当。



1.7.3 在常识上是否合理？

有时，任何课题的专家都会因为受自己工作的影响过深，而只注意到技术性问题，忽

略了主要问题。而那些门外汉，会因自己缺乏专业知识而忽略一些常识性的问题，从

而给项目或研究课题带来不良的影响。因此，任何看起来不合情理的东西都应该受到

质疑。某学术研究人员在调查人的毕生总收入和死亡年龄之间的关系时，发现这两个变量

之间存在着密切的关系。他得出的结论是：贫穷会导致早逝。我们首先要对该研究人员在统计关联性的基础上得出因果结论的事实提出质疑。可

能更重要的是，一般人会认为，活得越长，就有更多的时间来累积财富。因此，至少

将上述因果关系反过来讲是能够成立的。即：早逝会导致更低的毕生总收入。这名研

究人员受工作的影响太深，也可能是事先已有了很强的贫穷导致早逝的观念，以致未

运用常识判断。

1.7.4 是否犯了六种常见错误？

后一节介绍了几种较为常见的统计学错误。您是否犯了其中的一种错误？请逐一对

照以下六种错误，看看是否适用： (a) 是否使用了不明确的定义？可能运用了有多种解释的统计学术语（特别是平均

值）。 (b) 是否使用了有误导作用的图示法？请仔细斟酌一下，看看是否能得出其他结论。

尤其要检查一下是否给出了比例。 (c) 是否存在样本偏差？对两个样本所做的比较是否属于同类比较？ (d) 是否遗漏了什么？是否还有任何其他应包括在内、并可能改变结论的信息？ (e) 是否存在逻辑错误？数字可能不完全代表要衡量的实体。事物之间很强的关联关

系可能并不是因果关系。 (f) 是否存在技术错误？是否正确应用了统计学定义/技巧/方法？要回答这个问题，

通常需要在统计学方面具备较深厚的理论知识。

1.8 小结本导论具有双重目的。首先是为了说明一些统计学概念，为更详细地研究这一课题奠

定基础。所有概念都将在以后进一步阐述。第二个目的是，提倡大家在衡量统计资料

时持有理性的怀疑态度，营造建设性的批评氛围。在应用到目前为止所引入的概念以及整个统计学领域的其他概念时，都应该持理性

的怀疑态度。概率和分布都容易被误用。应用概率时，通常会犯逻辑错误。举个例子，假设就营销方法向所选的公司发放调

查问卷。在 200 份答复中，有 48 位回答者不是从事营销工作的。同时，有 30 位回答

者在其公司的职位较低。那么，由那些既不从事营销工作、职位又较低的人填写的那

部分问卷的概率是多少？试着用以下公式计算：

概率48 30200 39%



这样做几乎可以肯定是错的，原因在于进行了重复计算。48 位非销售人员当中也可

能有职位较低的。如果有 10 名回答者既不是销售人员，又职位较低，则：

概率48 30 10200 34%

只有在回答者中职位较低的人都不是销售人员的情况下，第一种计算方法才是正确

的，而这种情况是极少数。

图1.13 公务员的薪金

在分布图上，经常能看到错误。图1.13 显示的是某政府部门公务员的薪金实测数据

分布。因为各数据组的间格并不完全相等，所以，这些数据会使人对薪金的分布产生

错误的印象。人们很容易认为图中的薪金高于实际薪金。较低的薪金数据组都相差 8000 英镑，包括 0–8、8–16 和 16–24 这三组。较高的数据组薪金相差较大。绘制分布

图时，所有数据组间隔的大小应该相等，如图1.14 所示。

图1.14 公务员的薪金（修改后）

就象文字报告那样，统计学概念也容易被误用和错误解释。所以，我们对这两者都

应该提高警惕。

500

1000

1500

2000

FGH&(

60+0-8 8-16 16-24 24-40 40-60

IJ（K12）

500

1000

1500

2000

FGH&(

64+0-8 8-16 16-24 24-32 32-40 40-48 48-56 56-64

IJ（K12）



复习题

1.1 在统计学中，概率之所以重要，原因之一是，如果以样本方式处理数据，不可能得到百分之百肯定的结论。这句话是否正确？

1.2 假定随手从一副牌中抽出的一张牌是 A。不将此牌放回这副牌中。第二次抽牌时抽到 A的概率是多少？ A. 14

B. 113

C. 352

D. 117

E. 13

1.3 下面哪句叙述是正确的？ A. 某事件的概率是一个介于 0 和 1 之间的数字。 B. 因为世上没有任何事始终是确定的，所以，事件的概率不可能等于 1。 C. 古典学派统计学家认为主观概率没有有效性。 D. 贝叶斯学派统计学家认为只有主观概率具有有效性。

1.4 众所皆知，硬币不存在偏差，即：它正面朝上或背面朝上的可能性相同。假如投币八次，每次得到的结果都是正面朝上。那么第九次投币时，背面朝上的概率是多少？ A. 小于

B. 12

C. 大于

D. 1

问题 1.5–1.7都基于以下信息：

某火车站上个季度（相当于 13 周或 78 天）的日售票额（单位是千英镑）已用直方图绘出，如图1.15 所示。



图1.15 火车票销售额

1.5 销售额不少于 50 000 英镑的天数是多少？ A. 17 B. 55 C. 23 D. 48

1.6 销售额大于或等于 60 000 英镑的天数的概率是多少？ A. 113

B. 2378

C. 7278

D. 0

1.7 上季度 90% 的天数中都超过的销售额是多少？ A. 20 000 英镑 B. £30 000 C. 40 000 英镑 D. 50 000 英镑 E. 60 000 英镑

1.8 以下有关正态分布的叙述，哪句是正确的？ A. 正态分布也叫标准分布。 B. 正态分布是标准分布的一种。 C. 正态分布是离散分布。 D. 正态分布可能对称也可能不对称，具体情况视其参数而定。

LM 30 NM�M 60

8

2225

17

6

30–39.9 40–49.9 50–59.9



1.9 正态分布的均值和标准离差分别是 60 和 10。读数介于 60 和 70 之间的可能性是多少？ A. 68% B. 50% C. 95% D. 34% E. 84%

1.10 某交警检查站记录了汽车驾驶员一周的车速。这些车速呈正态分布，其均值和标准离差分别是 82 公里/小时和 11 公里/小时。97.5％的汽车驾驶员的车速均超过了哪个值？ A. 49 B. 60 C. 71 D. 104

案例分析 1.1：订机票

某航空公司计划在一个市中心售票处安装新设备，为此，它首先收集了顾客在订票服务台花费的时间（服务时间）。在对一百名顾客进行调查后，得到了每位顾客在问询台花费的时间（以分钟计算）。数据如下所示。

0.9 3.5 0.8 1.0 1.3 2.3 1.0 2.4 0.7 1.02.3 0.2 1.6 1.7 5.2 1.1 3.9 5.4 8.2 1.51.1 2.8 1.6 3.9 3.8 6.1 0.3 1.1 2.4 2.64.0 4.3 2.7 0.2 0.3 3.1 2.7 4.1 1.4 1.13.4 0.9 2.2 4.2 21.7 3.1 1.0 3.3 3.3 5.50.9 4.5 3.5 1.2 0.7 4.6 4.8 2.6 0.5 3.66.3 1.6 5.0 2.1 5.8 7.4 1.7 3.8 4.1 6.93.5 2.1 0.8 7.8 1.9 3.2 1.3 1.4 3.7 0.61.0 7.5 1.2 2.0 2.0 11.0 2.9 6.5 2.0 8.61.5 1.2 2.9 2.9 2.0 4.6 6.6 0.7 5.8 2.0

1 以一分钟的间隔对上述数据进行分组。然后，绘制频数直方图。请计算一个时间限度，使得只有 10% 的顾客服务时间超出这个限度。

案例分析 1.2：JP Carruthers Co.

JP Carruthers Co. 是一家中等规模的制造公司。在过去十年，其销售额约为 2.2 亿英镑，员工接近 1100 名。该公司的大部分销售额来自汽车业。JPC 去年的利润是 14480 000 英镑。一直以来，该公司以其可靠而享有盛名，业界也普遍认为其管理水平很高。



JPC 的直接劳动力有 600 人，他们是运输工会的会员，只有几个人例外。在这个行业，员工的福利通常是在整个公司范围内进行讨论的，但每个工种的工资则是分别在各个工厂协商的。然而多年来，这种过时的惯例几乎变成了一种形式。按理说，这个制度让工人有机会表达他们自己的观点，但事实上，最先达成协议的工种将肯定成为一个公司内其他所有工种的榜样。在去年的工资谈判中，JPC 的车门装饰工种是个重要的团体。作为第一团体，车门装饰的工资解决方案为当年的 JPC 作了示范。

Annie Smith 是车门装饰工种的女工长。车门装饰有很多种，Annie 最重要的工作就是确保各种装饰都有适当的产量。制造装饰的工作基本上相同，与具体的品种无关。换而言之，这是直接的计件工作，标准价格是每件 72 便士，不论品种。这项工作本身虽然主要是装配性质，但相对复杂，并要求一定的技能。

在去年的工资谈判中，工会照例先对总体上的计件价格表示不满。之后，进展却出人意料。根据会议记录，下面是工会对车门装饰工种的工资要求：

我们直入主题。每件 72 便士的价格实在令人难以接受……公平的价格应该是每件 80 便士。女工平均每天约能完成 71 件。因此，我们期望增加 8 便士，这样，每名女工平均每天就能增加 5.68 英镑。这是我们最近所要求的最低增长额。如果低于 80 便士，我们将不接受。

（长久以来，该工厂都是以日平均值来计算产量。虽然实际上每天都记录每个人的产量，但奖金却是按一周的平均日产量支付。这样计算的好处是，如果某女工碰巧有一两天状态不佳，她还有机会可以补回来。）

在此次会议中，工会的策略让人感到吃惊。工会向来都会先故意提出过分的要求，所以双方都不会予以认真考虑。如今，他们要求的价格同 JPC 管理层盘算的不谋而合。

在与工会召开完会议之后，JPC 的管理层在第一次会议上听取了会计师的意见：

a. 工会报告的每人每天 71 件的数字是正确的。我对照最新的“生产报表”进行了核实。结果可由如下算法得出：

本年度迄今为止，平均每周的产量是 7100 件，因此，平均日产量是： 71005 1420 件/天直接从事这一工种的女工有 20 人，所以，平均日产量是： 142020 71 件/天/女工

b. 工会要求增加 11.1%： 80 7272 100 11.1



c. 按当前的计件价格，直接人工费用估计为 26 000 000 英镑。假定，会议通过了增加 11.1% 的提议（当然，这正是我们必须预计的），那么每年的直接人工费用将增加到约 29 000 000 英镑：

£26 000 000 11.1% £2 886 000 谈判前，管理层曾认为增加 7% 比较合理，因为这几乎是近几年产量和通货膨胀的增长率。于是，

他们私下将其最终出价定为最多增加 10%。在这个标准上，他们觉得应该引入某种方案来刺激生产，提高产量，不过他们尚未考虑此类方案的具体细节。

但为了尽快对工会的提议作出响应，JPC 的谈判小组决定不再犹豫。商量到很晚之后，他们决定以 10% 的标准作为“最佳”方案。该计划的要点如下：

a. 维持每件 72 便士的价格标准，但如果每人平均日产超过 61 件，则按照 50 便士/件的标准另外支付奖金。

b. 因为每人每天的平均产量是 71，所以，这表明每人每天平均可以获得 10 件的奖金。

c. 这样，每周的预期成本是 5612 英镑： 71 0.72 10 0.50 56.12 56.12 5 20 £5612d. 而目前每周的成本是 5112 英镑： 71 0.72 5 20 £5112 e. 这样，平均增长达到了每周 500 英镑，略低于 10% 的上限： 5005112 100 9.78% f. 该计划还具有其他优势，工人可以立刻获得平均 10 件的奖金，使该计划更具吸引力。

g. 由于每周的产量变化不大，同时由于产量提高最显著的是那些当前产量低于平均水平的员工，所以，增长的最大部分应该来自以较低的单件成本 72 便士计算的工件。而那些当前产量高于平均水平的员工不会有很大的提高。当然，如果一切都照上述情况进行，而没有任何变化，则平均成本将趋于减少，低于每件 79 便士： 561271 5 20 79.0便士

在这一点上，管理层必须决定他们是否应该立刻将自己的计划托出，还是应该坚持其原来 7% 的出价。另外，还要进一步考虑以下两个问题：

a. 这种计价有多大好处？

b. 按照建议的 9.8% 的出价，是否真能增加产量？

工长 Annie Smith 参加了会议，她提供了以下信息：

a. 只有少数工人能够将自己的平均产量提高一点，但是，与日产量巨大的总量相比，这个比例太小了。

b. 这并不表示每个人的工作水平都相当，而是各人都尽了自己最大的努力。

c. 相当多的人每天平均工作量都低于 61 件。在那些能稳定提高产量的员工中，大多数人的日产量低于 61 件。

就这样，事情定了下来。JPC 决定召开会议，以 9.8% 作为“最佳”出价。次日，公司提出了这个价格。工会要求时间考虑，并定于次日下午举行下次会议。



次日上午，Annie Smith 报告说，“生产绩效报表”（请参见表1.4）丢失。她不知道谁拿走了报表，但可以肯定这是工会干事所为。

表1.4 生产绩效报表财务周：10 成本中心：172 工长：Smith

员工工资编号本周日均产量本年度迄今为止的日均产量 11 98 98 13 88 89 17 72 76 23 44 43 24 52 50 26 79 78 30 77 79 32 52 52 34 96 96 35 86 87 40 67 69 42 64 66 43 95 98 45 86 88 47 50 53 48 42 41 52 43 44 54 45 46 55 94 97 59 68 70 平均值71

本周日均产量– 1398 本年度迄今为止的日均产量– 1420

与工会的第二次会议只持续了几分钟。工会领导阐述了他对该出价的理解并确定其理解正确无误后，宣布工会同意该计划，并打算建议其成员接受。他还补充说，他期望此项决议可以像以前那样成为其他部门的解决方案基础，并期望能够以创记录的速度完成工资谈判。

事情就是这样。否则，还会怎样？JPC 的谈判小组仍心存疑虑。为什么工会如此迅速就同意了呢？为什么“生产绩效报表”会给人偷了？当他们对这些问题仍旧迷惑不解的时候，Annie Smith 打来电话说，“生产绩效报表”已经找到。

1 为了满足谈判小组成员的好奇心，他们要求 Annie 将此报表送到办公室来。是否出现了什么错误？

JPC 的出价真的是 9.8% 吗？如果不是，实际出价是多少？



案例分析 1.3：读者来信

最近，报纸上刊登了两篇相关的读者来信。在第一篇来信中，X 博士认为牙医没有资格给病人注射麻醉剂。在第二篇来信中，Y 先生认定牙医是最安全的麻醉师。

牙椅上的危险

尊敬的先生：我是一名有行医资格的麻醉师，负责大量的牙科麻醉。6 月 17 日，我怀着悲痛和失望的心情读完了 A 小姐死于麻醉的消息。

牙医可以施行麻醉术这件事让我非常担心。静脉注射再简单不过了，但是，处理麻醉过程中发生的紧急情况却需要相当多的技术和经验。

但是，对任何人来说，无论他多有资格，能力有多强，在无人帮助的情况下独自施行麻醉术是一种愚蠢的犯罪行为。BDA、BMA 和各个为医师提供专业保险的协会都会对此表示认同。

我呼吁，在任何情况下，每个人都要抵制牙医注射麻醉剂的行为。

此致

X 博士，艾塞克斯郡柯彻斯特市

一份无与伦比的牙科安全记录

尊敬的先生：X 博士在 6 月 25 日的信中表达了对 A 小姐死亡悲剧的感想，这将引起很多人的共鸣。这种感情应受到赞许，但也会把将他引入歧途。

A 小姐并非受到麻醉而是因大剂量服用多种药物镇静剂，导致严重的呼吸衰竭，经医务人员抢救无效而死的。

X 博士号召禁止牙医实施全身麻醉，这是毫无根据的。拥有医学学位本身并不能保证不会出现愚蠢或疏忽的行为。如果能保证的话，很多人现在就不会死亡。

如果 X 博士查阅人口普查与调查机构的记录，他会发现，与专业麻醉师注射牙用麻醉剂有关的死亡案例要多于牙医注射麻醉剂的死亡案例。

除医院服务（医院的所有麻醉师都具有行医资格，但是 50％的死亡事件是他们造成的）外，专业麻醉师注射牙用麻醉剂的比例是 36％，其中 45% 的死亡事件与其相关。由此看来，不仅是牙科麻醉师，即便是水平很高的专业麻醉师，也会让人面临这样的不幸。

我认为，即便是 X 博士，他也不会认为，所有出现在专业麻醉师手下的死亡事件，都是运气不佳所致，而所有出现在牙医手下的死亡只不过是因为工作疏忽。

不管怎样，我们都应该从正确的角度来理解这些数据。普通牙科和社区牙医服务每年施行的麻醉大约是 150 万例。在过去 15 年间，死亡事件为平均每年 4 起。这是个出色的安全记录，任何其他形式的常规麻醉术都不能与其相比。

此致

Y 先生，牙科麻醉发展协会会长（当选尚未就职）。

1 我们就得出这两个结论的证据和推断（见下面的来信）发表一下看法。

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