原始関数を求める手法 II

微分積分・同演習 A – p.1/23

原始関数を求める手法 II[部分積分]

∫

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x) −∫

f(x)g′(x)dx

積の微分公式よりなので、この両辺を積分して公式が得られる。例

微分積分・同演習 A – p.2/23

原始関数を求める手法 II[部分積分]

∫

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x) −∫

f(x)g′(x)dx

∵積の微分公式より (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

なので、この両辺を積分して公式が得られる。

例

微分積分・同演習 A – p.2/23

原始関数を求める手法 II[部分積分]

∫

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x) −∫

f(x)g′(x)dx

∵積の微分公式より (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

なので、この両辺を積分して公式が得られる。[例]∫

log xdx =

∫

(x)′ log xdx

微分積分・同演習 A – p.2/23

原始関数を求める手法 II[部分積分]

∫

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x) −∫

f(x)g′(x)dx

∵積の微分公式より (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

なので、この両辺を積分して公式が得られる。[例]∫

log xdx =

∫

(x)′ log xdx

= x log x −∫

x1

xdx = x log x −

∫

1dx = x log x − x + C

微分積分・同演習 A – p.2/23

原始関数を求める手法 II

微分積分・同演習 A – p.3/23

原始関数を求める手法 II[練習問題] n ≥ 2に対し、次の等式を示せ。(A > 0とする。)∫

dx

(x2+A)n

=1

A

(

x

(2n−2)(x2+A)n−1+

2n−3

2n−2

∫

dx

(x2+A)n−1

)

解答

微分積分・同演習 A – p.4/23

原始関数を求める手法 II[練習問題] n ≥ 2に対し、次の等式を示せ。(A > 0とする。)∫

dx

(x2+A)n

=1

A

(

x

(2n−2)(x2+A)n−1+

2n−3

2n−2

∫

dx

(x2+A)n−1

)

[解答]

A

∫

dx

(x2+A)n

=

∫

(x2+A)−x2

(x2 + A)n

dx

微分積分・同演習 A – p.4/23

原始関数を求める手法 II[練習問題] n ≥ 2に対し、次の等式を示せ。(A > 0とする。)∫

dx

(x2+A)n

=1

A

(

x

(2n−2)(x2+A)n−1+

2n−3

2n−2

∫

dx

(x2+A)n−1

)

[解答]

A

∫

dx

(x2+A)n

=

∫

(x2+A)−x2

(x2 + A)n

dx

=

∫

dx

(x2+A)n−1−

∫(

1

−n+1

1

(x2+A)n−1

)

′

x

2dx

微分積分・同演習 A – p.4/23

原始関数を求める手法 II[練習問題] n ≥ 2に対し、次の等式を示せ。(A > 0とする。)∫

dx

(x2+A)n

=1

A

(

x

(2n−2)(x2+A)n−1+

2n−3

2n−2

∫

dx

(x2+A)n−1

)

[解答]

A

∫

dx

(x2+A)n

=

∫

(x2+A)−x2

(x2 + A)n

dx

=

∫

dx

(x2+A)n−1−

∫(

1

−n+1

1

(x2+A)n−1

)

′

x

2dx

=

∫

dx

(x2+A)n−1− x

2(−n+1)(x2+A)n−1+

∫

dx

2(−n+1)(x2+A)n−1

微分積分・同演習 A – p.4/23

原始関数を求める手法 II[練習問題] n ≥ 2に対し、次の等式を示せ。(A > 0とする。)∫

dx

(x2+A)n

=1

A

(

x

(2n−2)(x2+A)n−1+

2n−3

2n−2

∫

dx

(x2+A)n−1

)

[解答]

A

∫

dx

(x2+A)n

=

∫

(x2+A)−x2

(x2 + A)n

dx

=

∫

dx

(x2+A)n−1−

∫(

1

−n+1

1

(x2+A)n−1

)

′

x

2dx

=

∫

dx

(x2+A)n−1− x

2(−n+1)(x2+A)n−1+

∫

dx

2(−n+1)(x2+A)n−1

=x

(2n−2)(x2+A)n−1+

2n − 3

2n − 2

∫

dx

(x2+A)n−1

微分積分・同演習 A – p.4/23

原始関数を求める手法 II

微分積分・同演習 A – p.5/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

微分積分・同演習 A – p.6/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

微分積分・同演習 A – p.6/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

1. 多項式

微分積分・同演習 A – p.7/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

1. 多項式

2.1

(x − a)n

微分積分・同演習 A – p.8/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

1. 多項式

2.1

(x − a)n

3.(x − a)

{(x − a)2 + b}n

(b > 0)

微分積分・同演習 A – p.9/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

1. 多項式

2.1

(x − a)n

3.(x − a)

{(x − a)2 + b}n

(b > 0)

4.1

{(x − a)2 + b}n

(b > 0)

微分積分・同演習 A – p.10/23

原始関数を求める手法 II[有理関数の原始関数](多項式)(多項式)

の形の関数を有理関数とよぶ。

この形の関数は部分分数に分けることによって、

1. 多項式

2.1

(x − a)n

3.(x − a)

{(x − a)2 + b}n

(b > 0)

4.1

{(x − a)2 + b}n

(b > 0)

の形の関数の和で表すことが出来る。微分積分・同演習 A – p.11/23

原始関数を求める手法 IIよってその原始関数は、

微分積分・同演習 A – p.12/23

原始関数を求める手法 IIよってその原始関数は、

1. 多項式

微分積分・同演習 A – p.13/23

原始関数を求める手法 IIよってその原始関数は、

1. 多項式

2.1

−n + 1· 1

(x − a)n−1(n ≥ 2) と log |x − a|

微分積分・同演習 A – p.14/23

原始関数を求める手法 IIよってその原始関数は、

1. 多項式

2.1

−n + 1· 1

(x − a)n−1(n ≥ 2) と log |x − a|

3.1

2(−n + 1)· 1

{(x − a)2 + b}n−1(n ≥ 2) と

1

2log |(x − a)2 + b|

微分積分・同演習 A – p.15/23

原始関数を求める手法 IIよってその原始関数は、

1. 多項式

2.1

−n + 1· 1

(x − a)n−1(n ≥ 2) と log |x − a|

3.1

2(−n + 1)· 1

{(x − a)2 + b}n−1(n ≥ 2) と

1

2log |(x − a)2 + b|

4. 有理関数と∫

1

(x − a)2 + bdx =

1√b

tan−1x − a√

b

微分積分・同演習 A – p.16/23

原始関数を求める手法 IIよってその原始関数は、

1. 多項式

2.1

−n + 1· 1

(x − a)n−1(n ≥ 2) と log |x − a|

3.1

2(−n + 1)· 1

{(x − a)2 + b}n−1(n ≥ 2) と

1

2log |(x − a)2 + b|

4. 有理関数と∫

1

(x − a)2 + bdx =

1√b

tan−1x − a√

b

の形の関数の和で表すことが出来る。

微分積分・同演習 A – p.17/23

原始関数を求める手法 II

微分積分・同演習 A – p.18/23

原始関数を求める手法 II[置換積分] f(x)において x = ϕ(t)と変数変換すると、

∫

f(x)dx =

∫

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

つまり、形式的に と置き換えられる。例

が を含むときはと置く

が を含むときはと置く

微分積分・同演習 A – p.19/23

原始関数を求める手法 II[置換積分] f(x)において x = ϕ(t)と変数変換すると、

∫

f(x)dx =

∫

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

つまり、形式的に dx = ϕ′(t)dtと置き換えられる。

例が を含むときは

と置く

が を含むときはと置く

微分積分・同演習 A – p.19/23

原始関数を求める手法 II[置換積分] f(x)において x = ϕ(t)と変数変換すると、

∫

f(x)dx =

∫

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt

つまり、形式的に dx = ϕ′(t)dtと置き換えられる。[例]

• f(x) が√

a2 − x2 を含むときはx = a sin t

(

−π

2≤ t ≤ π

2

)

と置く

• f(x) が√

x2 + a2 を含むときはx = a tan t

(

−π

2< t <

π

2

)

と置く

微分積分・同演習 A – p.19/23

原始関数を求める手法 II[練習問題]次の原始関数を求めよ。∫ √

a2 − x2dx (a > 0)

解答と置くと なので

微分積分・同演習 A – p.20/23

原始関数を求める手法 II[練習問題]次の原始関数を求めよ。∫ √

a2 − x2dx (a > 0)

[解答]

x = a sin tと置くと dx = a cos tdtなので∫ √

a2 − x2dx =

∫

a2 cos2 tdt

微分積分・同演習 A – p.20/23

原始関数を求める手法 II[練習問題]次の原始関数を求めよ。∫ √

a2 − x2dx (a > 0)

[解答]

x = a sin tと置くと dx = a cos tdtなので∫ √

a2 − x2dx =

∫

a2 cos2 tdt =a2

2

(

1

2sin 2t + t

)

+ C

微分積分・同演習 A – p.20/23

原始関数を求める手法 II[練習問題]次の原始関数を求めよ。∫ √

a2 − x2dx (a > 0)

[解答]

x = a sin tと置くと dx = a cos tdtなので∫ √

a2 − x2dx =

∫

a2 cos2 tdt =a2

2

(

1

2sin 2t + t

)

+ C

=a2

2(sin t cos t+t) + C

微分積分・同演習 A – p.20/23

原始関数を求める手法 II[練習問題]次の原始関数を求めよ。∫ √

a2 − x2dx (a > 0)

[解答]

x = a sin tと置くと dx = a cos tdtなので∫ √

a2 − x2dx =

∫

a2 cos2 tdt =a2

2

(

1

2sin 2t + t

)

+ C

=a2

2(sin t cos t+t) + C =

1

2

(

x√

a2−x2 + a2 sin−1x

a

)

+ C

微分積分・同演習 A – p.20/23

原始関数を求める手法 II[例]続き

• f(x) が√

ax2 + bx + c (a > 0) を含むときは√ax +

√ax2 + bx + c = t と置く

練習問題 次の原始関数を求めよ。

微分積分・同演習 A – p.21/23

原始関数を求める手法 II[例]続き

• f(x) が√

ax2 + bx + c (a > 0) を含むときは√ax +

√ax2 + bx + c = t と置く

[練習問題]次の原始関数を求めよ。(i)

∫ √x2 + A dx (A 6= 0)

(ii)∫

1√x2 + A

dx (A 6= 0)

微分積分・同演習 A – p.21/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt =

1

8

(

t2−A2

t2

)

+A

2log |t|+C

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt =

1

8

(

t2−A2

t2

)

+A

2log |t|+C

=1

8

(

t − A

t

) (

t +A

t

)

+A

2log |t| + C

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt =

1

8

(

t2−A2

t2

)

+A

2log |t|+C

=1

8

(

t − A

t

) (

t +A

t

)

+A

2log |t| + C

=1

2

(

x√

x2 + A + A log∣

∣

∣x +

√x2 + A

∣

∣

∣

)

+ C

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt =

1

8

(

t2−A2

t2

)

+A

2log |t|+C

=1

8

(

t − A

t

) (

t +A

t

)

+A

2log |t| + C

=1

2

(

x√

x2 + A + A log∣

∣

∣x +

√x2 + A

∣

∣

∣

)

+ C

(ii)∫

1√x2+A

dx=

∫

2t

t2+A

t2+A

2t2dt

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt =

1

8

(

t2−A2

t2

)

+A

2log |t|+C

=1

8

(

t − A

t

) (

t +A

t

)

+A

2log |t| + C

=1

2

(

x√

x2 + A + A log∣

∣

∣x +

√x2 + A

∣

∣

∣

)

+ C

(ii)∫

1√x2+A

dx=

∫

2t

t2+A

t2+A

2t2dt = log |t| + C

微分積分・同演習 A – p.22/23

原始関数を求める手法 II

[解答] x+√

x2+A= tとおくと x=t2−A

2tなので dx=

t2+A

2t2dt

(i)∫ √

x2+Adx=

∫

t2+A

2t

t2+A

2t2dt =

1

8

(

t2−A2

t2

)

+A

2log |t|+C

=1

8

(

t − A

t

) (

t +A

t

)

+A

2log |t| + C

=1

2

(

x√

x2 + A + A log∣

∣

∣x +

√x2 + A

∣

∣

∣

)

+ C

(ii)∫

1√x2+A

dx=

∫

2t

t2+A

t2+A

2t2dt = log |t| + C

= log∣

∣

∣x +

√x2 + A

∣

∣

∣+ C

微分積分・同演習 A – p.22/23

宿題

問題集122ページ～135ページ (例題と演習A)

微分積分・同演習 A – p.23/23