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EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 14
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Esta aula: ! Sistema de representação de grandezas por
unidade (pu) Há quatro grandezas elétricas fundamentais: • Tensão, • Corrente, • Impedância, • Potência (aparente).
Dadas duas delas, as outras duas podem ser calculadas. Sistema por unidade: • Escolhemos valores para duas das
grandezas fundamentais e determinamos os valores das outras duas grandezas, formando, assim, o conjunto de grandezas base;
• Todas os valores de tensão, corrente, impedância e potência de um circuito são, então, expressas como frações das grandezas base.
Grandeza de base: sempre um número real
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Por exemplo: Suponha que as grandezas base sejam: • Tensão base bV • Potência aparente base bS
Portanto:
• Corrente base: b
bb VSI =
• Impedância base: b
bb SVZ2
=
Assim, tensões, correntes, impedâncias e potências poderão ser expressas como frações de bV , bI , bZ e bS . Exemplo: Seja a tensão fasorial φ∠= 0VV volts. Essa tensão pode ser expressa em pu como
φφ
∠=∠
=bb VV
VV 00v pu.
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A potência complexa θ∠= SS volt-ampere pode ser expressa em pu como
bbb SQj
SP
SS
+=∠
=θs
Exercício (Retirado das notas de aula do ET720, do Prof. Castro) Consideremos o circuito abaixo:
Ω8,0 Ω6,0
EkVA100=CSV200=CVatrasado 8,0=FP
Vamos adotar como grandezas base a tensão e a potência na carga:
kVA 100=bS e V 200=bV .
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Portanto, a corrente base e a impedância base são:
Ω=== 4,0000.100
20022
b
bb SVZ
AVSIb
bb 500== .
Portanto, a potência complexa da carga agora pode expressa como (usando o FP = 0,8 atrasado)
pu 9,361 oc ∠=s ,
Se assumirmos que a tensão na carga é a referência de fase do circuito, temos
pu 01 oc ∠=v .
Podemos redesenhar o circuito com as grandezas expressas apenas em pu:
pu5,1
Epu 9,361∠=Cs
pu 01∠=Cv
pu2
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Sistema por unidade em circuitos com transformadores
Veremos a seguir que o uso do sistema por unidade permite eliminar a representação de transformadores, ficando os efeitos de um transformador (aumento ou diminuição de corrente e tensão) incorporados intrinsicamente pelo sistema por unidade. Consideremos o transformador ideal abaixo, com suas especificações de potência aparente e de relação entre tensões indicadas.
V2V1
I1 I2
100 kVA 138/13,8 kV
Área 2 Área 1
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Portanto, a relação entre os números de espiras é
1,0000.138800.13
1
2 ===NNa .
A potência aparente especificada (100 kVA) corresponde à potência aparente nominal referente ao primário e ao secundário, pois estamos assumindo que o transformador é ideal. Note que o transformador foi dividido em duas áreas, pois serão definidos dois conjuntos de grandezas base para serem usadas em cada uma das áreas: Área 1:
kVA 1001 =bS e V .0001381 =bV
Área 2: kVA 1002 =bS e V 800.132 =bV
Note-se que foram escolhidas como grandezas base a potência aparente e a tensão de cada lado (área). Essa regra deverá ser observada para se garantir que a representação do transformador possa ser eliminada.
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Vamos supor que a tensão no primário seja igual V 00.01301 =V . Se quisermos expressar essa tensão por unidade, usaremos as bases da área 1, ou seja,
0,942V = 000.138000.130
1 =v
Voltando ao transformador, uma tensão no primário V 00.01301 =V corresponde a uma tensão no secundário de
V 000.1300.01301,01,0 21
2 =×=⇒= VVV
Agora, para expressarmos V 00.0132 =V por unidade, usamos as bases da área 2, resultando:
0,942V = 8000.13000.13
2 =v
Portanto, os valores em pu, 1v e 2v , são iguais, indicando que o transformador pode ser eliminado.
130 kV 13 kV 0, 92pu 0, 92pu
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Ou:
0, 92pu 0, 92pu
Vamos agora supor que no circuito secundário há uma impedância de valor 2Z . Seu valor em pu será
222
2
2
22
bbb SVZ
ZZz == .
Se essa impedância for transportada para o circuito primário, valerá, em ohms
22
1 aZZ = ,
e, em pu, valerá
121
1
1
11
bbb SVZ
ZZz == .
Lembrando que
21 bb SS = e 12 bb aVV = ,
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então, temos,
z1 =Z1
Vb12 Sb1
=Z2 a2
Vb22 a2( ) Sb2
=Z2
Vb22 Sb2
= z2 .
Portanto, se expressa em pu, usando as bases de cada área, uma impedância mantém o seu valor quando é transferida de um circuito para outro no transformador. Essa propriedade constata que, quando usamos o sistema por unidade, podemos eliminar a representação do transformador no circuito. Exemplo: Considere o circuito abaixo.
1Ω
1:10
I1 I2
200Ω
Inicialmente determinamos os valores das correntes no circuito usando o método convencional, e chegamos a
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10
1Ω
1:10
I1 = 33,3A I2 = 3,33A
200Ω 666, 7V33,3V
66, 7V100V 666, 7V
Vamos agora redesenhar o circuito, usando a representação por unidade. Para tal, vamos adotar: Primário: kVA 511 =bS e V 0011 =bV Secundário: kVA 512 =bS e V 000.12 =bV Note que adotamos um valor arbitrário para a potência aparente base, mas que é igual para ambas as áreas. Por outro lado, ou 1bV ou 2bV é arbitrário, mas devemos garantir 12 bb aVV = . Portanto, temos:
Primário Secundário kVA 511 =bS kVA 512 =bS
V 0011 =bV V 00012 =bV A 0151 =bI A 152 =bI Ω= 667,01bZ Ω= 7,662bZ
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Assim, usando essas grandezas base, o circuito fica:
1Ω
1:10
i1 = 0, 222A i2 = 0, 222A
3Ω 0, 667V0,33V
0, 667V1V 0, 667V
Note, portanto, que a representação do transformador nesse circuito é desnecessária, pois o seu efeito está embutido na relação entre as grandezas base 1bV ou 2bV , ou seja, usamos
12 bb aVV = . Caso tenhamos um transformador em que a impedância de dispersão não seja desprezível, podemos representa-lo como um transformador ideal, associado a uma impedância de dispersão (referida ao primário ou ao secundário). Em geral, a impedância de dispersão é expressão em pu, ou seja, uma porcentagem da impedância base.
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Circuito com diversos transformadores Quando um circuito tem diversos transformadores conectados em cascata, aparecerão diversas áreas, e os limites entre essas áreas serão os acoplamentos magnéticos dos transformadores. Cada uma dessas áreas terá a sua própria base, como nos exemplos vistos até agora. Para garantir a vantagem do sistema por unidade de eliminar a representação de transformadores, devemos: • Adotar em todas as áreas o mesmo valor
para a grandeza base da potência aparente; • Adotar valores de grandeza base de tensão
que obedeçam as relações entre os números de espiras dos transformadores.
Note que esse procedimento nada mais é do que uma extensão do procedimento adotado nos exemplos mostrados acima.
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Exemplo: Considere o circuito abaixo.
1:10 2 :1
300Ω
10.000 kVA kVA 000.12
1T 2T
kV 38/691kV 3,8/1381 As reatâncias de dispersão dos transformadores 1T e 2T referidas ao secundário são,
respectivamente, Ω20j e Ω50j (essas impedâncias não estão desenhadas no circuito). Vamos desenhar o circuito equivalente usando grandeza por unidade.
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Note que o circuito possui três áreas, como mostrado na figura abaixo:
1:10 2 :1
300Ω
10.000 kVA kVA 000.12
1T 2T
Área A Área B Área C
kV 38/691kV 3,8/1381 Adotando a tensão base da área C igual a
kV 69=bCV , então as tensões bases de cada área serão:
kV 13821
21
2 =⇒=""#
$%%&
'= bB
TbB
bC VNN
VV
e
kV 8,131011
2 =⇒=""#
$%%&
'= bA
TbA
bB VNN
VV .
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Relembrando, precisamos usar o mesmo valor de potência aparente base em todas as áreas, de forma a garantir que a representação dos transformadores possa ser eliminada. Assim, adotaremos.
kVA 000.10=== bCbBbA SSS .
Note que poderíamos ter adotado outro valor, como, p.ex. 12.000 kVA. O importante é usar o mesmo valor para todas as áreas. Agora, podemos calcular as outras grandezas bases das três áreas, usando:
b
bb VSI = e
b
bb SVZ2
= .
Fazendo-se os cálculos, os valores mostrados na tabela abaixo resultam: Área bS (kVA) bV (kV) bI (kA) bZ (Ω)
A 10.000 13,8 724,6 19 B 10.000 138 72,5 1.904,4 C 10.000 69 144,9 476,1
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Agora, vamos tratar das impedâncias do circuito. Explicitando tais impedâncias, temos o circuito:
5,02 =a
300Ω
Ω=19bAZ
Área A Área B Área C
101 =a
Ω=1904bBZ Ω= 1,476bCZ
Ω50jΩ20j
Usando os valores das impedâncias base de cada área, o circuito pode ser redesenhado como mostra a figura abaixo:
pu63,0
Ω=19bAZ
Área A Área B Área C
Ω=1904bBZ Ω= 1,476bCZ
puj 105,0puj 0105,0
12 =a11 =a Note que o valor por unidade de qualquer uma das três impedâncias permanece inalterado se a
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impedância for transferida para as outras áreas (usando o conceito de impedância refletida). Por exemplo, se mudássemos a posição da impedância de dispersão referida ao secundário do segundo transformador (cujo valor é j50 ohms), passando-a para o primário desse transformador (ou seja, mudar a impedância de j50 ohms da área C para a área B), o seu novo valor, em ohms, seria
Ω== 20025,05050
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jjaj .
Agora, o valor por unidade dessa impedância é calculado com base no valor Ω=1904bBZ , resultando em
puj 105,01904200
= ,
Portanto, o mesmo valor obtido quando a impedância estava no secundário do transformador (na área C). Uma vez que o valor da impedância de dispersão expresso por unidade é o mesmo,
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independentemente se for referido ao primário ou ao secundário, podemos apenas indicar o seu valor em pu, não sendo necessário especificar se aquele valor se refere ao primário ou ao secundário. É claro, precisamos conhecer os valores base usados. Por fim, o circuito com os dois transformadores pode ser apresentado como mostra a figura.
pu63,0
puj 105,0puj 0105,0
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Escolha dos valores base Equipamentos elétricos são tipicamente especificados pelos seus valores nominais de tensão e de potência aparente. Esses valores são aqueles de operação normal do equipamento. Assim, a tensão nominal e a potência aparente nominal são geralmente escolhidas como valores bases para o sistema por unidade. • Lembre-se que a corrente e a impedância
base podem ser obtidas a partir da tensão e da potência aparente base.
Assim, as características relacionadas a impedância de um equipamento (p.ex., a sua reatância de dispersão) são tipicamente expressas em pu, usando como base a tensão e a potência aparente nominais daquele equipamento.
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Mudança de base É comum o caso em que temos num circuito equipamentos com potências aparentes e/ou tensões nominais diferentes. Se alguma característica desses equipamentos está expressa por unidade que usa como base os valores de potência e tensão nominais, teremos que fazer a mudança de base antes de analisar o circuito. O procedimento de mudança de base resulta diretamente do conceito de expressar grandezas com relação a bases. Se uma tensão 0V , expressam em pu, vale v1 na base 1bV , então, essa mesma tensão expressa na base 2bV valerá v2 , tal que
!"#!"#00
2211
V
b
V
b VvVv ×=×
e, portanto,
2
112
b
b
VVvv ×= .
A mesma ideia valor para as outras grandezas.