磁鋼板 磁気電磁鋼板の磁気ヒステリシス特性のモデル化手法特性のモデル化手法

松尾 哲司 (京都大学)松尾 哲司 (京都大学)

電気四学会関西支部 専門講習会「電磁界解析における高速大規模数値計算技術」(2006)より

鉄心の磁気特性

♦ 現代社会の電力消費の半分以上がモータによる

♦ モータ損失 ⇒ 鉄損と銅損• 鉄損

- ヒステリシス損- 渦電流損

モータ鉄心の磁気特性の正確な表現は容易でない

• ヒステリシス特性• ベクトル特性 ⇐ 回転磁界

常 電流損• 異常渦電流損

2

ヒステリシス特性

電磁界解析の際、無視されることが多い

• 複雑な特性表現 ⇒ 解析上の困難，計算コストの増大

テリシ 特性の評価の必要性• ヒステリシス特性の評価の必要性

- ヒステリシス損

- 残留磁気、偏磁

簡単で正確なヒステリシス特性の表現手法• 簡単で正確なヒステリシス特性の表現手法

⇒ 過去の状態遷移(履歴)が現在の状態に及ぼす影響を表現

- 高調波の重畳によって生じるマイナーループ

- 偏磁条件下における非対称マイナーループ

3

ヒステリシスモデル

◎ プライザッハ(Preisach)モデル

⇒ 高い記述能力（マイナーループなど）⇒ 高い記述能力（マイナ ル プなど）

○ Jiles-Athertonモデル

○ Stoner Wohlfarth モデル○ Stoner-Wohlfarth モデル

プライザッハモデルの有限要素解析への応用

• 記憶容量大（２次元の積分領域）• 計算量大（２次元積分 逆関数）

ライザッ デ 有限要素解析 応用

• 計算量大（２次元積分，逆関数）

プレイモデル＆ストップモデル

• 簡潔な表現プライザッハモデルと同等の記述能力

プレイモデル＆ストップモデル

4

• プライザッハモデルと同等の記述能力⇒ プレイモデルはプライザッハモデルと等価

プライザッハモデル

∫ ∫== S Sx x

uv vuxDvuKxhy dd)(),()( ∫ ∫− Sx v uvy )(),()(

K(u v): 分布関数 x : 飽和点を与えるパラメータK(u,v): 分布関数，xS: 飽和点を与えるパラメ タ

⎪⎧ ≤+ )(2/1 xu

⎪⎩

⎪⎨ ≤−=

)()(2/1)(

それ以外不変

vxxDuv

反時計回りのループ

⎩ )(

反時計回りのル プ

磁界Hを入力、磁束密度Bを出力とするのが自然

5

逆分布関数法

1000 10001000

入力をB，出力をHとする ⇐ 磁気ベクトルポテンシャルの使用

500

1000

500

1000

500

1000

0(A/m

)

0(A/m

)

0(A/m

) ↘→

↖

-500

H

-500

H

-500

H ← ↖

= +

-1000-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1000-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1000-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

B (T) B (T)B (T)元のヒステリシス特性 = 可逆部 + 不可逆部

⇒ 負の分布関数

6

負 分布関数

プレイモデル

ζζ ζ d ))(,()(s

0∫=x

xpfxP ζ0∫

pζ(x) = max(min(pζ0, x+ζ), x−ζ)ζ ζ

⇒ プレイヒステロン

0 前時点でのpζ0: 前時点でのpζ

f(ζ,p): 形状関数（一価関数）f(ζ,p): 形状関数（ 価関数）

変数変換 ( u, v ) = ( p + ζ, p − ζ) により

プライザッハモデル（ 2K(u, v) = ∂f(ζ, p) /∂p ）に変換される

⇒ 等価性

7

プレイモデルの離散化

∑=Np

nn xpfxP ))(,()( ζζ pζ(x) = max( min( pζ0, x+ζ ), x−ζ )

Np: プレイヒステロンの数

∑=n

nn pf1

))(,()( ζζ pζ( ) ( ( pζ , ζ ), ζ )

p

ζn= nxS/Np

• 前時点でのpζnを

記憶しておけばよいx y 記憶しておけばよい

⇒ 履歴の記憶は

一次元配列一次元配列

• 簡潔な表現

8

プレイモデルによるBHループの表現（B→H）

JIS50A290対称ループ群 下降曲線群

20個の対称BHループから同定（Np=40）

9高精度な表現

ストップモデル

∑=Ns

xsgxS ))(()( η∑=

=n

nn xsgxS1

))(,()( ηη

時計回りのル プ

η: ストップヒステロンの高さ

時計回りのループgn: 形状関数 (一価関数)sη: ストップヒステロンη

sη(x)=max( min( x−x0+sη0, η ), −ηn )

0 0 : 前時点におけるx0, sη0 : 前時点における x, sη

• 様々な高さ ηn のストップヒステロン

y

様々な高さ ηn のストップヒステ ン

の重ね合わせ

• 簡潔な表現x

10

• 簡潔な表現

ストップモデルによるBHループの表現

対称ループ群 下降曲線群JIS

50A290

20個の対称BHループから同定（Ns=20）

11低い表現精度

マイナーループの性質

周期入力 : x=u+x0 (−a≤u≤a)

⇒ 上昇曲線 ： h+(a,x)下降曲線 ： h−(a,x)

h+(a, u+x0) − h−(a, u+x0) = Δh(a, u)

等振幅の周期入力に対するマイナーループの縦方向幅は直流バイ や履歴に直流バイアスx0や履歴に依らず等しい

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入力依存形状関数を持つストップモデル

∑=Ns

nn xxsgxS )),(,()( ηη∑=n

nng1

)),(,()( ηη

g(η s x): 入力依存形状関数g(η,s,x): 入力依存形状関数

g(η,s,x) = w(x) g0(η,s) （w(x): 重み関数） とおくと0

従来のストップモデル∑=Ns

xsgxS0 ))(,()( η ⇒ 従来のストップモデル

⇒ S(x)/w(x)がマイナーループの等幅性を持つようにする

∑=n

nn xsgxw 1

0 ))(,()( ηη

⇒ S(x)/w(x)がマイナ ル プの等幅性を持つようにする

w(x): メジャーヒステリシスループの幅

13

改良ストップモデルによるBHループの表現

対称ループ群 下降曲線群JIS

50A290

20個の対称BHループから同定（Ns=40）

14表現精度の改善

入力依存形状関数を持つプレイモデル

∑=Np

xxpfxP )),(,()( ζζ⇐ 入力依存形状関数を持つ

ストップモデルと等価∑=n

nn xxpfxP1

)),(,()( ζζ

f(ζ p x): 入力依存形状関数

ストップモデルと等価

f(ζ,p,x): 入力依存形状関数

f(ζ,p,x) = w(x) f0(ζ,p) （w(x): 重み関数） とおくと0

従来のプレイモデル∑=Np

xpfxP0 ))(,()(

ζζ ⇒ 従来のプレイモデル

⇒ P(x)/w(x)がマイナーループの合同性を持つようにする

∑=n

nn xpfxw 1

0 ))(,()( ζζ

⇒ P(x)/w(x)がマイナ ル プの合同性を持つようにする

w(x): メジャーヒステリシスループの幅

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プレイモデルとストップモデルのまとめ

♦ プレイモデル• プライザッハモデルと等価• プライザッハモデルと等価

⇒ マイナーループの合同特性

♦ ストップモデル• マイナーループの直流バイアスによらない等幅特性

電磁鋼板の磁気特性と合致しない⇒ 電磁鋼板の磁気特性と合致しない

♦ 入力依存形状関数を持つプレイモデル・ストップモデル♦ 入力依存形状関数を持つプレイモデル ストップモデル• 非線形(入力依存)プライザッハモデルと等価

⇒ マイナーループの等幅特性• 高い表現能力• 積形式の形状関数を用いた同定

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マイナーループを含む直流BHループ

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交流特性と異常渦電流損

磁壁付近への渦電流の集中

プライ&ビ ンモデル 1D周期的磁区構造プライ&ビーンモデル

B小 (xW<<L) のときの電力損失

⇐ 1D周期的磁区構造

22E

2 dcoth1dσ8⎟⎞

⎜⎛=⎟

⎞⎜⎛= ∑

∞ BdkLnBLdP σπ

: 異常渦電流

odd 33 d12

cothd

⎟⎠

⎜⎝

=⎟⎠

⎜⎝

= ∑ tdntP

n

σπ

∑∞

coth196 LnLPk π : 異常渦電流損係数

2L: 平均磁区幅

∑==odd

33C

E cothn dndP

kπ

22 d⎟⎞

⎜⎛ Bdσ

18

: 古典渦電流損2L: 平均磁区幅xW: 磁区の位置

C dd

12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

tBdP σ

交流モデル

Bd d2σtBdkBHBH

dd

12)()( EDCAC

σ+= : 均質化モデル

HDC: 直流特性

： アノマリーファクター

⇑ P & B モデル

∑∞

=odd

33E coth196n d

Lnnd

Lk ππ

⇑ Pry & Bean モデルd: 厚み，2L : 平均磁壁間隔

19

交流BHループの表現

kE = 1 kE = 2.5t ⇑

2L/d ≈ 1.5

at50Hz

20表現精度の改善

表皮効果の考慮

線形解析による渦電流損 ⎪⎪

⎧ ) smallfor (6

2max

2 ffBdσπ

渦電流損（１周期あたり）

⎪⎪⎩

⎪⎨=

) largefor (2

62/12

max

22/3E

ffBdW

μσπ

渦電流による磁界 ⇒ HE ∝ f1/2

⎪⎩ 2 μ

実際の電磁鋼板 ⇒ WE ∝ f γ, HE ∝ f γ (0.5 ≤ γ ≤ 1)

γσ⎟⎞

⎜⎛==

BdBkcBBhH d)()d(2

拡張モデル ⎟⎠

⎜⎝

==t

Bkct

BhHd12

)()d

,( EAEE拡張モデル

⎬⎫

⎨⎧

⎟⎞

⎜⎛

⎬⎫

⎨⎧

⎟⎞

⎜⎛

1h1h BLnBLn ππ

21∑

∞ ⎭⎬

⎩⎨ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎭⎬

⎩⎨ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=odd 3

SS3E 2sinh

1cosh1cosh192)(

n

dLnn

BB

dLn

BB

dLn

dLBk π

ππ

π

正弦波条件下での計算結果

hE(0) hE(B)E( )γ = 1

E( )γ = 0.75

22

マイナーループを生じる波形に対する計算結果

hE(0) hE(B)E( )γ = 1

E( )γ = 0.75

23

むすび

♦ プレイモデルとストップモデルによる電磁鋼板のヒステリシス特性の表現

⇒ 高精度で簡潔な直流スカラーモデルの構築⇒ 高精度で簡潔な直流スカラ モデルの構築

♦ 今後の課題

- 複雑なマイナーループ

交流モデル- 交流モデル

- ベクトルモデル

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