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スピントロニクスセミナー 2005.12.08. 磁性入門 磁性とスピンエレクトロニクスの基礎. 農工大 佐藤勝昭 応用物理学会 スピンエレクトロニクス研究会幹事. １．はじめに. 半導体の人は「磁性はわかりにくい」という。まず、基礎となる原子の磁気モーメント、原子間交換相互作用などの概念が難しい。それも、金属磁性体と絶縁性磁性体とで異なった電子状態を考える必要があり概念がつかみにくい。 スピンに依存するバンド構造、それにもとづくハーフメタルの概念や、スピンに依存するトンネル電気伝導、スピン注入磁化反転のように、難解な先端的な話題が多い。 - PowerPoint PPT Presentation
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磁性入門磁性とスピンエレクトロニクスの基
礎
農工大 佐藤勝昭応用物理学会
スピンエレクトロニクス研究会幹事
スピントロニクスセミナー20051208
１はじめに bull 半導体の人は「磁性はわかりにくい」というまず基礎と
なる原子の磁気モーメント原子間交換相互作用などの概念が難しいそれも金属磁性体と絶縁性磁性体とで異なった電子状態を考える必要があり概念がつかみにくい
bull スピンに依存するバンド構造それにもとづくハーフメタルの概念やスピンに依存するトンネル電気伝導スピン注入磁化反転のように難解な先端的な話題が多い
bull その一方では強磁性体の特徴ともいえる磁気ヒステリシスや磁区が物質固有のものではなく形状サイズ構造に対する敏感性をもちミクロな磁性では説明できず巨視的な磁気モーメントの運動を考えなければならないこと等々大学特に工学部の学士課程では教えきれないくらい多岐にわたる物理現象が関連していることが「わかりにくさ」の原因である
bull この解説では細かい枝葉の厳密性には目をつぶって磁性についてのおよその概念をつかんでいただくことをめざす
半導体と磁性体の対比bull 半導体
ndash 電子物性パラメータは基本的にバンド構造で決まるキャリア密度は人為的に制御される
ndash 量子構造を考えない限り電子を古典粒子として有効質量近似で扱える
ndash 応用されるのは電子構造で決まる移動度などのミクロな電子物性である
ndash 電子物性が寸法方位形状にほとんど依存しない
ndash 単位系は CGS をもとにした実用単位系が使われる
bull 磁性体ndash 金属磁性体の磁性は
スピン偏極バンド構造で決まるが非金属磁性体の磁性は局在多電子系のフント則で決まる
ndash 交換相互作用スピン軌道相互作用など量子力学が基本
ndash 応用されるのは磁区により生じるヒステリシスに関連したマクロ磁気物性である
ndash 磁性は磁気異方性の影響を受け寸法方位形状により大幅に変化する
ndash 単位系が複雑で CGS と SIが混在して使われている
磁性体と誘電体の対比bull 磁性体
ndash 磁気モーメントμ( 軸性ベクトル )
ndash 磁化 Mndash 自発磁化 Msndash 反磁界ndash 磁気ヒステリシス
bull 飽和磁化残留磁化保磁力
ndash 磁区 ( ドメイン )ndash キュリー温度
bull 誘電体ndash 電気双極子
qr( 極性ベクトル )ndash 電気分極 Pndash 自発分極 Psndash 反電界ndash 誘電ヒステリシス
bull 飽和分極残留分極抗電界
ndash 分域 ( ドメイン )ndash キュリー温度
２磁性の起源bull バンドモデル（遍歴電子磁性）
ndash遷移金属合金bull 局在モデル（局在電子磁性）
ndash遷移金属酸化物bull 共存モデル
ndash希土類金属ndash希薄磁性半導体
強磁性 (Ferromagnetism)
bull Ferro というのは「鉄の」という意味で鉄に代表されるような磁気的性質という意味である
bull 鉄に代表される性質とは外部磁界を加えなくても磁化をもつ即ち自発磁化をもつことである
bull 強磁性体の例遷移金属 Fe Co Ni
遷移金属合金 Fe1-xNix Fe1-xCox Co1-xCrx Co1-xPtx Sm1-xCox
金属間化合物 PtMnSb MnBi NdFe2B14
酸化物カルコゲナイドニクタイドハライドLa1-xSrxMnO3 CrO2 CdCr2S4 Cr3Te4 MnP CrBr3
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
１はじめに bull 半導体の人は「磁性はわかりにくい」というまず基礎と
なる原子の磁気モーメント原子間交換相互作用などの概念が難しいそれも金属磁性体と絶縁性磁性体とで異なった電子状態を考える必要があり概念がつかみにくい
bull スピンに依存するバンド構造それにもとづくハーフメタルの概念やスピンに依存するトンネル電気伝導スピン注入磁化反転のように難解な先端的な話題が多い
bull その一方では強磁性体の特徴ともいえる磁気ヒステリシスや磁区が物質固有のものではなく形状サイズ構造に対する敏感性をもちミクロな磁性では説明できず巨視的な磁気モーメントの運動を考えなければならないこと等々大学特に工学部の学士課程では教えきれないくらい多岐にわたる物理現象が関連していることが「わかりにくさ」の原因である
bull この解説では細かい枝葉の厳密性には目をつぶって磁性についてのおよその概念をつかんでいただくことをめざす
半導体と磁性体の対比bull 半導体
ndash 電子物性パラメータは基本的にバンド構造で決まるキャリア密度は人為的に制御される
ndash 量子構造を考えない限り電子を古典粒子として有効質量近似で扱える
ndash 応用されるのは電子構造で決まる移動度などのミクロな電子物性である
ndash 電子物性が寸法方位形状にほとんど依存しない
ndash 単位系は CGS をもとにした実用単位系が使われる
bull 磁性体ndash 金属磁性体の磁性は
スピン偏極バンド構造で決まるが非金属磁性体の磁性は局在多電子系のフント則で決まる
ndash 交換相互作用スピン軌道相互作用など量子力学が基本
ndash 応用されるのは磁区により生じるヒステリシスに関連したマクロ磁気物性である
ndash 磁性は磁気異方性の影響を受け寸法方位形状により大幅に変化する
ndash 単位系が複雑で CGS と SIが混在して使われている
磁性体と誘電体の対比bull 磁性体
ndash 磁気モーメントμ( 軸性ベクトル )
ndash 磁化 Mndash 自発磁化 Msndash 反磁界ndash 磁気ヒステリシス
bull 飽和磁化残留磁化保磁力
ndash 磁区 ( ドメイン )ndash キュリー温度
bull 誘電体ndash 電気双極子
qr( 極性ベクトル )ndash 電気分極 Pndash 自発分極 Psndash 反電界ndash 誘電ヒステリシス
bull 飽和分極残留分極抗電界
ndash 分域 ( ドメイン )ndash キュリー温度
２磁性の起源bull バンドモデル（遍歴電子磁性）
ndash遷移金属合金bull 局在モデル（局在電子磁性）
ndash遷移金属酸化物bull 共存モデル
ndash希土類金属ndash希薄磁性半導体
強磁性 (Ferromagnetism)
bull Ferro というのは「鉄の」という意味で鉄に代表されるような磁気的性質という意味である
bull 鉄に代表される性質とは外部磁界を加えなくても磁化をもつ即ち自発磁化をもつことである
bull 強磁性体の例遷移金属 Fe Co Ni
遷移金属合金 Fe1-xNix Fe1-xCox Co1-xCrx Co1-xPtx Sm1-xCox
金属間化合物 PtMnSb MnBi NdFe2B14
酸化物カルコゲナイドニクタイドハライドLa1-xSrxMnO3 CrO2 CdCr2S4 Cr3Te4 MnP CrBr3
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
半導体と磁性体の対比bull 半導体
ndash 電子物性パラメータは基本的にバンド構造で決まるキャリア密度は人為的に制御される
ndash 量子構造を考えない限り電子を古典粒子として有効質量近似で扱える
ndash 応用されるのは電子構造で決まる移動度などのミクロな電子物性である
ndash 電子物性が寸法方位形状にほとんど依存しない
ndash 単位系は CGS をもとにした実用単位系が使われる
bull 磁性体ndash 金属磁性体の磁性は
スピン偏極バンド構造で決まるが非金属磁性体の磁性は局在多電子系のフント則で決まる
ndash 交換相互作用スピン軌道相互作用など量子力学が基本
ndash 応用されるのは磁区により生じるヒステリシスに関連したマクロ磁気物性である
ndash 磁性は磁気異方性の影響を受け寸法方位形状により大幅に変化する
ndash 単位系が複雑で CGS と SIが混在して使われている
磁性体と誘電体の対比bull 磁性体
ndash 磁気モーメントμ( 軸性ベクトル )
ndash 磁化 Mndash 自発磁化 Msndash 反磁界ndash 磁気ヒステリシス
bull 飽和磁化残留磁化保磁力
ndash 磁区 ( ドメイン )ndash キュリー温度
bull 誘電体ndash 電気双極子
qr( 極性ベクトル )ndash 電気分極 Pndash 自発分極 Psndash 反電界ndash 誘電ヒステリシス
bull 飽和分極残留分極抗電界
ndash 分域 ( ドメイン )ndash キュリー温度
２磁性の起源bull バンドモデル（遍歴電子磁性）
ndash遷移金属合金bull 局在モデル（局在電子磁性）
ndash遷移金属酸化物bull 共存モデル
ndash希土類金属ndash希薄磁性半導体
強磁性 (Ferromagnetism)
bull Ferro というのは「鉄の」という意味で鉄に代表されるような磁気的性質という意味である
bull 鉄に代表される性質とは外部磁界を加えなくても磁化をもつ即ち自発磁化をもつことである
bull 強磁性体の例遷移金属 Fe Co Ni
遷移金属合金 Fe1-xNix Fe1-xCox Co1-xCrx Co1-xPtx Sm1-xCox
金属間化合物 PtMnSb MnBi NdFe2B14
酸化物カルコゲナイドニクタイドハライドLa1-xSrxMnO3 CrO2 CdCr2S4 Cr3Te4 MnP CrBr3
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁性体と誘電体の対比bull 磁性体
ndash 磁気モーメントμ( 軸性ベクトル )
ndash 磁化 Mndash 自発磁化 Msndash 反磁界ndash 磁気ヒステリシス
bull 飽和磁化残留磁化保磁力
ndash 磁区 ( ドメイン )ndash キュリー温度
bull 誘電体ndash 電気双極子
qr( 極性ベクトル )ndash 電気分極 Pndash 自発分極 Psndash 反電界ndash 誘電ヒステリシス
bull 飽和分極残留分極抗電界
ndash 分域 ( ドメイン )ndash キュリー温度
２磁性の起源bull バンドモデル（遍歴電子磁性）
ndash遷移金属合金bull 局在モデル（局在電子磁性）
ndash遷移金属酸化物bull 共存モデル
ndash希土類金属ndash希薄磁性半導体
強磁性 (Ferromagnetism)
bull Ferro というのは「鉄の」という意味で鉄に代表されるような磁気的性質という意味である
bull 鉄に代表される性質とは外部磁界を加えなくても磁化をもつ即ち自発磁化をもつことである
bull 強磁性体の例遷移金属 Fe Co Ni
遷移金属合金 Fe1-xNix Fe1-xCox Co1-xCrx Co1-xPtx Sm1-xCox
金属間化合物 PtMnSb MnBi NdFe2B14
酸化物カルコゲナイドニクタイドハライドLa1-xSrxMnO3 CrO2 CdCr2S4 Cr3Te4 MnP CrBr3
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
２磁性の起源bull バンドモデル（遍歴電子磁性）
ndash遷移金属合金bull 局在モデル（局在電子磁性）
ndash遷移金属酸化物bull 共存モデル
ndash希土類金属ndash希薄磁性半導体
強磁性 (Ferromagnetism)
bull Ferro というのは「鉄の」という意味で鉄に代表されるような磁気的性質という意味である
bull 鉄に代表される性質とは外部磁界を加えなくても磁化をもつ即ち自発磁化をもつことである
bull 強磁性体の例遷移金属 Fe Co Ni
遷移金属合金 Fe1-xNix Fe1-xCox Co1-xCrx Co1-xPtx Sm1-xCox
金属間化合物 PtMnSb MnBi NdFe2B14
酸化物カルコゲナイドニクタイドハライドLa1-xSrxMnO3 CrO2 CdCr2S4 Cr3Te4 MnP CrBr3
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
強磁性 (Ferromagnetism)
bull Ferro というのは「鉄の」という意味で鉄に代表されるような磁気的性質という意味である
bull 鉄に代表される性質とは外部磁界を加えなくても磁化をもつ即ち自発磁化をもつことである
bull 強磁性体の例遷移金属 Fe Co Ni
遷移金属合金 Fe1-xNix Fe1-xCox Co1-xCrx Co1-xPtx Sm1-xCox
金属間化合物 PtMnSb MnBi NdFe2B14
酸化物カルコゲナイドニクタイドハライドLa1-xSrxMnO3 CrO2 CdCr2S4 Cr3Te4 MnP CrBr3
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
(1) バンドモデルbull 通常の磁性の教科書は原子磁石から出発して常磁
性を説明し原子間交換相互作用をつかって強磁性反強磁性などを説明し分子場理論で磁化の温度変化キュリー温度などを説明する局在電子モデルに基づいており金属のバンドモデルにもとづく遍歴電子磁性に触れるのはその後になっている
bull 一方半導体を学んできた研究者にとってはバンドモデルを出発点にすることに慣れているまたスピンエレクトロニクスにおいてはスピン偏極バンドをベースに考えることが多い
bull ここではバンドモデルにもとづく金属磁性を出発点にとって電子相関の強い極限として局在モデルを扱う
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
スレーターポーリング曲線bull 種々の遷移金属合金
について１原子あたりの原子磁気モーメントと平均電子数の関係を示した曲線
bull Cr から始まって 45の傾斜で上昇する半直線か Fe30Co70付近から Ni60Cu40 に向かって -45 で下降する半直線のいずれかに載っている Fe Co Ni の磁気モーメントはそれぞれ 22 17
06μB この値はフント則から期待される値より小さい
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
３ｄ遷移元素
bull WebElementsTM Periodic table （ httpwwwwebelementscom）より
[Ar]3d14s2 2D32
[Ar]3d24s2 3F2
[Ar]3d34s2 4F32
[Ar]3d54s1 7S3
[Ar]3d54s2 6S52
[Ar]3d64s2 5D4
[Ar]3d74s2 4F92
[Ar]3d84s2 3F4
[Ar]3d104s1 2S12
スカンジウム チタン バナジウム クロム マンガン
鉄 コバルト ニッケル 銅
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
鉄のバンド構造bull 磁性体といえばだれもが鉄 Fe を思い浮かべ
る Fe は金属であるbull 一般に金属であればエネルギーバンドモデルで
は伝導帯の電子状態の一部が占有され残りが空いているような電子構造を持つはずである
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
通常金属と遷移金属の状態密度(a) はアルカリ金属
（ NaK など ) の s電子に由来するバンド状態密度である
（ｂ）は磁性をもたない遷移金属のバンド状態密度であるＳ電子帯に加えて狭く状態密度の高いd 電子帯が重畳している
(b)
Energy
bull D O S
EFEC
(a)
Energy
bull D O S
EFEC
Fig1 (a) アルカリ金属の状態密度曲線と (b) 遷移金属の状態密度曲線
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
常磁性金属と強磁性遷移金属
bull 磁性がある場合のエネルギーバンドを考えるに当たっては電子のスピンごとにバンドを考えなければならない右側が上向きスピン左側が下向きスピンを持つ電子の状態密度である
bull 普通の非磁性金属では図 (a) のように左右対称となるこれに対し強磁性体では図 (b) に示すように上向きスピンバンドと下向きスピンバンドとに分裂する分裂は狭い 3d バンドで大きく広い sp バンドでは小さい この分裂を交換分裂という
DOS(down spin)
EC
EF
(b)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(up spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(down spin)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
パウリのスピン常磁性の説明図
山田佐藤伊藤佐宗沢田著機能材料のための量子工学縮退系
非縮退系 Curie law
（永宮久保「固体物理学」より）
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
強磁性金属のスピン偏極バンド構造
Callaway Wang Phys Rev B16(lsquo97)2095
uarrスピンバンド
darrスピンバンド
uarrスピンバンドとdarrスピンバンドの占有状態密度の差によって磁気モーメントが決まる
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
AuFe のバンドダイヤグラムスピン依存量子井戸状態
Au Fe
Y Suzuki et al 応用物理 63 (94)1261
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
広いバンド狭いバンド
Fe
狭いバンド d- 電子性
Si
広いバンド sp 電子性
バンド幅電子の広がりの尺度
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Fe と Ni のバンド状態密度
Ni
スピン状態密度
EfE
Fe
スピン状態密度
E
Ef
bull Ni はuarrスピンバンドは満ちdarrバンドにはわずかな正孔しかない nuarr-ndarr=06
bull Fe はuarrスピンバンドに比しdarrバンドの状態密度がかなり小さい nuarr-ndarr=22
darr バンドに 06 個の空孔があるとCu から s 電子が流れこみ Cu が 40 合金したときモーメントを失う
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ハーフメタルとは
(a) 通常の強磁性体金属は up spin down spin とも金属的(b)Half metal では up spin は金属 down spin は半導体
DOS(down spin)
EC
EF
(a)
uarrdarr
DOS(up spin)
E
DOS(down spin)
EC
EF
(b) uarr
darr
E
DOS(up spin)
darr
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ハーフメタル PtMnSb
bull uarrスピンは金属darrスピンは半導体
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ハーフメタルとスピンエレクトロニクス
bull たとえば磁気トンネル接合 (MTJ)素子のところで出てくるホイスラー合金 Co2CrAl などがその例
bull 上向きスピンのバンドを見る限り金属のように伝導帯の一部が占有された構造をとるのに対し下向きスピンのバンドにおいては半導体のように電子に占有された価電子帯と電子に占有されない伝導帯がバンドギャップを隔てて分かれておりフェルミ準位はバンドギャップの中に存在する
bull このような構造をとるとフェルミ準位における電子状態は 100 スピン偏極する MTJ において磁気抵抗比はスピン偏極率の関数で与えられるのでハーフメタルが注目される
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
バンドと電子相関bull 通常のバンド計算では電子間の位置の相関を平均的なものに置
き換える近似を行うので真の電子間相互作用は求まらないbull バンドモデルが適用できるのは金属磁性体に限られる MnO
や NiO のような絶縁性の磁性体を単純にバンド計算すると金属になってしまうこれは電子相関が考慮されていないからである
bull 電子相関とはフントの規則のように電子同士のクーロン相互作用がスピンに依存することから生じるつまり同じ向きのスピンをもつ 2 つの電子は同じ軌道に入ることがないので重なりが小さくクーロン相互作用も小さいが逆向きスピンの２つの電子は同じ軌道を運動できるのでクーロン相互作用が強くなってエネルギー的に不安定になるため電子の移動を妨げる効果であるこの２つの状態の間のエネルギー差は電子相関エネルギーと呼ばれ U で表され数 eV のオーダーである
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ハバードモデルbull バンドモデルに電子相関を導入す
る手法がハバードモデルであるFig 3 は横軸を U にとったとき電子のエネルギー準位が U に対しどのように変わるかを示した図であるここにはバンド幅で電子の移動のしやすさの尺度である T0 は満ちたバンドの平均エネルギーである
bull バンド幅が電子相関エネルギーに比べ十分小さなときすなわちUltlt2312 のときは禁制帯が現れ系は絶縁体となる U0 は局在性の強い極限で電子移動が起きるには U だけ余分のエネルギーが必要であるこのため電子は原子付近に束縛され局在電子系として振る舞う
Fig 3 電子相関を考慮したエネルギーバンド図
lower Hubbard band
upper Hubbard band
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
電荷移動型絶縁体bull MnO は電荷移動型絶縁体と考
えられている Mn2+ においては 3d 電子 5 個がスピンを揃えて lower Hubbard band の 5 個の軌道を占有しているここに1 個電子を付け加えようとすると逆向きのスピンを付け加えなければならないので upper Hubbard band に入り電子相関 U だけエネルギーを損する
bull 実際には酸化物イオンの p 軌道からなる価電子帯が満ちたバンドの頂にくるのでギャップはこの状態と 3d 電子系の upper Hubbard band の間に開いているこれを電荷移動型ギャップという
CT( 電 荷 移動 ) ギャップ
Lower Hubbard band
Upper Hubbard band
電子相関 U
Fig 4 電荷移動型絶縁体のエネルギーバンド構造
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
(2) 局在電子モデルbull 原子の位置に局在した多電子系では通常フ
ントの規則に従うように軌道角運動量とスピン角運動量が決められる
bull ３ｄ遷移金属イオンでは 3d 電子が配位子のｐ軌道と混成し軌道角運動量はほぼ消失している
bull ４ｆ希土類では４ｆ軌道は孤立原子内の状態とあまり変わらないので全角運動量がよい量子数である
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁界（磁場） H 磁束密度 B 磁化 M
bull 磁界 H中に置かれた磁化 M の磁性体が磁束密度は真空中の磁束密度に磁化による磁束密度を加えたものであるすなわち B=0H+M
B=0H B=0H+M
M
磁性体があると磁束密度が高くなる
真空中での磁束密度
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁化とはbull 物質に磁界を加え
たとき物質の表面に磁極が生じ一時的に磁石のようになるがそのとき物質が磁化されたという
(b)(a)
(高梨初等磁気工学講座 ) より
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁化の定義bull K 番目の原子の１原子あ
たりの磁気モーメントを k とするときその単位体積についての総和 k
を磁化 M と定義する M= k
bull 磁気モーメントの単位はWbm であるから磁化の単位は Wbm2 となる
(高梨初等磁気工学講座 ) より
常磁性
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁極と磁気モーメントbull 磁石には N 極と S 極があるbull 磁界中に置かれた磁性体にも磁極が誘起される磁
極は必ず NS の対で現れる ( 単極は見つかっていない )
bull 磁極の大きさを q [Wb] とすると磁界によって NSの対に働くトルクは -qdHsin [N m]=qdsin [Wbm] H[Am]
bull 必ず N と S が対で現れるなら m=qr を磁性を扱う基本単位と考えることが出来るこれを磁気モーメントという単位は [Wbm]
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁気モーメント
bull 一様な磁界 H 中の磁気モーメントに働くトルク T は
T=qH r sin=mH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は
E=Td= mH sin d=mH(1-cos) bull ポテンシャルの原点はどこにとってもよいから E=-mH
ndash mH のときエネルギーは極小になる
bull m は H に平行になろうとする
(高梨初等磁気工学講座 ) より
Ｓ
Ｎ
r 磁気モーメントm=qr [Wbm]
-q [Wb]
+q [Wb]
qH
-qH
rsin
単位 E[J]=-m[Wbm] H[Am]
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
環状電流と磁気モーメント
bull 電子の周回運動rarr環状電流-e[C] の電荷が半径 a[m] の円周上を線速度 v[ms] で周回rarr１周の時間は 2av[s] rarr電流は i=-ev2πa[A]
bull 磁気モーメントは電流値 i に円の面積S= a2 をかけることにより求められ =iS=-eav2 となる
bull 一方角運動量は =mav であるからこれを使うと磁気モーメントは =-(e2m) となる
-e
r
N
S
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
軌道角運動量の量子的扱い
bull 量子論によると角運動量は を単位とするとびとびの値をとり電子軌道の角運動量は l=L である L は整数値をとる
=-(e2m) に代入すると次式を得る軌道磁気モーメント
l=-(e2m)L=- BL
ボーア磁子 B=e2m =92710-24[JT]単位 [JT]=[Wb2m][Wbm2]=[Wbm]
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
もう一つの角運動量スピンbull 電子スピン量子数 s の大きさは 12
bull 量子化軸方向の成分 sz は plusmn12 の２値をとる
bull スピン角運動量は を単位として s=s となる
bull スピン磁気モーメントは s=-(em)s と表される
bull 従って s=-(em)s=- 2Bs
bull 実際には上式の係数は 2 より少し大きな値 g( 自由電子の場合 g=20023) をもつので s=- gBsと表される
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
スピンとは
bull ディラックの相対論的電磁気学から必然的に導かれる
bull スピンはどのように導入されたかndash Na( ナトリウム ) の D線のゼーマン効果（磁界をか
けるとスペクトル線が２本に分裂する）を説明するためには電子があるモーメントを持っていてそれが磁界に対して平行と反平行とでゼーマンエネルギーが異なると考える必要があったため導入された量子数である
bull 電子スピン核スピン
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Na の D線のゼーマン効果
bull D1線3s12rarr3p12
bull D2線3s12rarr3p32
httphyperphysicsphy-astrgsueduhbasequantumsodzeehtmlc3
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
軌道角運動量量子と電子分布の形
bull s p d f は軌道の型を表しそれぞれが方位量子数 l=0 1 2 3 に対応する s には電子分布のくびれが 0 であるがｐには１つのくびれがｄには２つのくびれが存在する
1s 2s 2p 3d
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
局在した原子 ( 多電子系 ) の合成角運動量
bull 軌道角運動量の加算軌道角運動量 (方位 ) 量子数を l とするとその量子化方向成分（磁気量子数） m=lz は l l-1 -l+1 -l の 2l+1 とおりの値を持ちうる
bull １原子に２個の p 電子があったとするp 電子の方位量子数 l は 1 であるから磁気量子数は m=1 0 -1 の３つの値をもつ原子の合成軌道角運動量 L=2 Lz=2 1 0 -1 -2 をとる
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
フントの規則
bull 原子が基底状態にあるときの L S を決める規則1 原子内の同一の状態 (n l ml ms で指定される状態 )
には 1 個の電子しか占有できない (Pauli排他律 )
2 基底状態では可能な限り大きな S と可能な限り大きな L を作るように s と l を配置する (Hundの規則 1)
3 上の条件が満たされないときは S の値を大きくすることを優先する (Hund の規則 2)
4 基底状態の全角運動量 J は less than half では J=|L-S| more than half では J=L+S をとる
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
多重項の表現bull 左肩の数字 2S+1 ( スピン多重度 )
ndash S=0 12 1 32 2 52 に対応して 1 2 3 4 5 6ndash読み方 singlet doublet triplet quartet quintet sextet
bull 中心の文字 L に相当する記号ndash L=0 1 2 3 4 5 6 に対応して S P D F G H I
bull 右下の数字 Jz bull 例Mn2+(3d5) S=52 (2S+1=6) L=0 (rarr記号 S)
6S52
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
遷移金属イオンの電子配置
3d1 3d2 3d3 3d4 3d5
3d6 3d7 3d8 3d9 3d10
2
-2-101
2
-2-101
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
これだけは覚えておいてキュリーの法則bull ピエールキュリーは「種々の温
度における物体の磁気的性質」(1895) で多くの金属無機物気体の磁性を調べて論じた
bull キュリーの法則とは「物質の磁化率が絶対温度に反比例する」という法則である（これは「常磁性物質」において磁界が小さい場合に成り立つ）
bull χ=MH＝ CT キュリーの法則 =CT の例CuSO4K2SO46H2O
(中村伝磁性より )
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ランジェバンの常磁性
( 佐藤越田応用電子物性工学 )
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論bull 原子 ( あるいはイオン ) が磁気モーメントをもち
互いに相互作用がないとするbull 磁界 H の中に置かれるとそのエネルギーは
E=- H で与えられるので平行になろうとトルクが働くがこれを妨げるのが熱運動 kT である両者のせめぎ合いで原子磁気モーメントの向きが決まる
bull 統計力学によると磁界方向に極軸をとって θ と θ+Δθ の間にベクトルを見出す確率は
11 )(cos)cosexp(2
)(cos)cosexp(2)(
dkTH
dkTHP
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ちょっと面倒な式が続きますがランジェバンの理論つづきbull 従って磁界方向のの平均値は次式で与えられる
)(
)(cos)cosexp(
)(cos)cosexp(cos
)(coscos
11
11
11
kT
HL
dkTH
dkTH
P
ここに L(x) はランジェバン関数と呼ばれ次式で表される
453
1)coth()(
3xx
xxxL
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ランジェバン理論によりキュリー則を導くbull x=HkT が小さいとして展開の第１項のみをとる
と 1 モルの原子数 N としてbull M=N (H3kT)=(N23kT)H
が得られるbull これを磁化率の定義式 χ=MH に代入すると χ=N2
3kT が得られキュリーの式χ=CT が得られたここにキュリー定数は C=N23k である
=neffB とおくここに neff はボーア磁子を単位にしたときの原子磁気モーメントの大きさを表し有効ボーア磁子数と呼ばれる C=(NB
23k) neff2
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
量子論によるランジェバンの式bull 外部磁界のもとで相互作用 - H によって MJ=J-1
J-2hellip-J+1-J の縮退した状態は 2J+1個に分裂する温度T でこれらの準位にどのように分布するかを考慮して平均の磁気モーメントを計算する結果を先に書いておくと磁界が小さいとき近似的に次式で表される
13
22
JJkT
Ng B
古典的ランジェバンの式と比較して有効ボーア磁子数は右のように得られる
)1( JJgneff
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 温度 T において MJ が 2J+1個の状態のうち１つを
とる確率は次式のようになる
bull 磁界方向の平均の磁気モーメントは gBMJ に P(MJ)をかけて MJ について和をとれば良く下記のようになる
MJJB
JBJ kTHMg
kTHMgMP
)exp(
)exp()(
MJJB
JBMJ
J
JMJ
JJ kTHMg
kTHMgMgMPMg
)exp(
)exp()( BB
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull ちょっと面倒な数学的手続きによって ltJgt は次の
ように求められる
bull ここに BJ(x) はブリルアン関数と呼ばれ x の増加とともにはじめは１次関数的に増大し x の大きな極限では１に飽和する非線形な関数である x の小さな時次のように展開できる
kT
HJgBJg
JkT
HJg
JkT
HJg
J
J
J
JJg
BJB
BBBJ
2
coth2
1
2
12coth
2
12
xJ
JxBJ 3
1)(
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
参考ブリルアン関数bull 磁化の磁界依存性はブリルアン関数で表され HkT
が小さいときは直線で大きくなると飽和する
J=12
J=32
J=52
J=72
x=gBJHkT
y=M
M0
10
000 10 20 30 40 50
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
参考ブリルアン関数に従う常磁性磁化曲線
bull 常磁性塩の磁気モーメントの HT 依存性 (HenryPR 88 (rsquo52) 559)
bull 強磁界低温では常磁性磁化は飽和する
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ちょっと面倒ですが量子論によるランジェバンの式の導出bull 単位体積あたり N個の磁性原子が存在すると
き M は NltJgt で表され磁化率は MH で表されるから結局次式を得る
kT
JJNg
kT
HJg
J
J
H
NJg
kT
HJgB
H
NJg
H
N
H
M
BBB
BJ
BJ
3
)1(
3
1 22
（ H が小さいとき） キュリーの法則
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
復習＋発展3d遷移金属イオンの角運動量と磁性bull 実測した常磁性磁化率から得られた有効ボーア磁子数 neff は
全角運動量 J から理論的に求めた値 を使ってうまく説明できず J ではなく S を使って説明できる
1 JJgneff
イオン 電子配置 基底状態
neff 実測値
Ti3+ [Ar]3d1 2D32155 173 17
V3+ [Ar]3d2 3F2163 283 28
Cr3+ [Ar]3d3 4F32070 387 38
Mn3+ [Ar]3d4 5D0000 490 48
Fe3+ [Ar]3d5 6S52592 592 59
Fe2+ [Ar]3d6 5D4671 490 55-52
Co2+ [Ar]3d7 4F92559 387 52-44
)1( JJg )1(2 SS
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
復習＋発展4f希土類イオンの角運動量と磁性bull 希土類イオンの有効ボーア磁子数は (Sm Eu をのぞ
き ) J によってよく説明できるイオン 電子配置 基底状態 neff 実測値
Ce3+ 4f15s25p6 2F52254 25
Pr3+ 4f25s25p6 3H4358 36
Nd3+ 4f35s25p6 4I92362 38
Pm3+ 4f45s25p6 5I4268
Sm3+ 4f55s25p6 6H52084 15
Eu3+ 4f65s25p6 7F0000 36
Gd3+ 4f75s25p6 8S72794 79
Tb3+ 4f85s25p6 7F6972 97
Dy3+ 4f95s25p6 6H1521063 105
Ho3+ 4f105s25p6 5I81060 105
Er3+ 4f115s25p6 4I152959 94
Tm3+ 4f125s25p6 3H6757 72
Yb+ 4f135s25p6 2F72454 45
)1( JJg
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
遷移金属イオンと希土類イオンbull 3d遷移イオン磁気モーメントの実験値スピンの
みの値に一致（軌道角運動量は消滅している）bull 4f希土類イオン磁気モーメントの実験値全角運
動量による値と一致（軌道は生きている）
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
宝石の色と遷移金属
配位子場理論と
その応用
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
局在電子系と多重項bull 局在電子系では多電子系の多重項という状
態が基底状態になる遷移元素のイオンの電子状態は元素を取り囲む配位子の対称性の影響を受けて縮退が解け分裂するこれを「配位子場分裂」という
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
遷移金属イオンを取り囲む酸化物イオンの配位子八面体 (上 ) および四面体
(下 )
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道の広がり
(a) t2g
(b) e
g
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
結晶中の t2g(d-) 軌道と eg(d-) 軌道
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
８面体配位と４面体配位の比較
bull ８面体配位イオン結合性強いndash 反転対称性をもつndash t2g 軌道は eg 軌道より低エネル
ギーbull ４面体配位共有結合性強い
ndash 反転対称性なしndash e 軌道は t2 軌道より低エネルギー
tet=(49)oct
eg
t2
t2g e
oct
tet
８面体配位 ４面体配位
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
多電子状態と配位子場遷移
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ルビーの光吸収スペクトル
R線B線
Y帯U帯
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Oh 対称における Cr3+ イオンの田辺菅野ダイアグラム
結晶場の強さ
エネ
ルギ
ー
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
局在モデルと強磁性
bull 常磁性体に誘起される平均の磁気モーメントは室温で B=100mT の磁界のもとでも 10-
2emucc 程度の小さな量であるbull これに対して強磁性体では磁界を印加し
なくても 103emucc という大きな自発磁気モーメントを持っている
bull ワイスは原子の磁気モーメントが周りの磁気モーメントからの場（分子場）を受けて整列しているというモデルを立てて強磁性体の自発磁化を説明した
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ワイスの分子場理論bull １つの磁気モーメントを取り出しその周りにある
すべての磁気モーメントから生じた有効磁界によって考えている磁気モーメントが常磁性的に分極するならば自己完結的に強磁性が説明できる
bull これを分子場理論有効磁界を分子磁界または分子場 (molecular field) と呼ぶ
Heff
周りからの磁場 Heff=H+AM が働く
磁化 M
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
分子場理論分子場係数bull 磁化 M をもつ磁性体に外部磁界 H が加わっ
たときの有効磁界は Heff=H+AM と表されるA を分子場係数と呼ぶ
bull 分子場係数 A は Jex を交換相互作用係数 z を配位数として A=2zJexN(gB)2 で与えられる
bull この磁界によって生じる常磁性磁化 M は M=M0BJ(gBHeffJkT) という式で表されるndash M0=NgBJ はすべての磁気モーメントが整列したときに期待される磁化
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
分子場理論自発磁化が生じる条件を求めるbull Heff=H+AM であるから H=0 のとき Heff=AMbull 自発磁化が生じるには Heff=AM を M=M0BJ(gBHeffJ
kT) に代入して bull MM0=BJ(gBJHeffkT)=BJ(gBJAMkT)
が成立しなければならない bull A に分子場係数の式 A=2zJexN(gB)2 を代入して
MM0= BJ(2zJexgBMJ N(gB)2kT)
bull ここで M0=NgBJ を使って書き直すとMM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を得る
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
MM0= BJ((2zJexJ2kT) MM0) を解くbull y=MM0 x=(2zJexJ2kT) MM0 とすると上の方程式を解くことは曲線 y=BJ(x)と直線 (2zJexJ2kT) y=x を連立して解くことと同じである
x=gBJHkT
y=M
M010
00 0 10 20 30 40 50
J=52 のブリルアン関数
(2zJexJ2kT) y=x T が小さいとき解が存在する自発磁化あり
(2zJexJ2kT) y=x T が大きいとき解が存在しない自発磁化なし
キュリー温度においては直線はブリルアン関数の接線
温度が上がると
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
分子場理論キュリー温度bull 温度が低いとき直線の傾斜はゆるくブリルア
ン曲線と直線はは y=MM0 =1 付近で交わるbull 温度が上昇するとｙの小さいところ交わるbull 高温になると 0以外に交点を持たなくなるbull (2zJexJ2kT) y=x の勾配と y=BJ(x) の接線の勾配が等
しいときがキュリー温度を与えるbull x=0 付近では yx3 であるから 3y=x と書けるbull 従って Tc は 2zJexJ2kTc=3 によってきまる即ち
Tc=2zJexJ23k となる
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
分子場理論自発磁化の温度変化bull さまざまな J につ
いて分子場理論で交点の MM0 をT に対してプロットすると磁化の温度変化を求めることができるニッケルの磁化温度曲線は J=12 でよく説明される times は鉄はニッケルはコバルトの実
測値実線は J としてスピン S=121infin をとったときの計算値
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
分子場理論キュリーワイスの法則bull キュリー温度 Tc以上では磁気モーメントはバラバラ
の方向を向き常磁性になる分子場理論によればこのときの磁化率は次式で与えられる
bull この式をキュリーワイスの法則というbull C はワイス定数 p は常磁性キュリー温度というbull 1 を T に対してプロットすると 1=(T- p)C とな
り横軸を横切る温度が p である
pT
C
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
分子場理論キュリーワイスの法則を導くbull Heff=H+AM
bull MHeff=CT (M と Heff の間にキュリーの法則が成立すると仮定する )
bull M(H+AM)=CTrarrMT=C(H+AM)従って M(T-CA)=CH より
=MH=C(T-CA) となる CA=p と置けばキュリーワイスの法則が導かれるすなわち =C(T- p)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
自発磁化の温度変化bull 強磁性体の自発磁化の
大きさは温度上昇とともに減少しキュリー温度 Tc において消滅する
bull Tc以上では常磁性である常磁性磁化率の逆数は温度に比例しゼロに外挿するとキュリー温度が求まる
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 (exchange interaction)
bull 交換相互作用という言葉はもともとは多電子原子の中で働くクーロン相互作用の算出において電子同士を区別できないことから来るエネルギーの補正項のことで原子内交換相互作用といいます (intra-atomic exchange interaction)
bull この概念を原子間に拡張したのが原子間交換相互作用 (inter-atomic exchange interaction) です
ウンチクコーナーイントラ (intra) とインター (inter) イントラは内部のといういみの接頭辞インターは複数のものの間のという意味の接頭辞ですイントラネットインターネットということばもここから来ています
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull 原子内交換相互作用は本質的にクーロン相互作用
です２つの電子 (波動関数を１２とする ) の間に働くクーロン相互作用のエネルギー H はH＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2) で表されます
bull K12 は次式で与えられるクーロン積分です
bull J12 は次式で与えられる交換積分で電子が区別できないことからくる項です
K dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 1 2 2
J dr dr r re
rr r12 1 2 1 1 2 2
2
12
1 2 2 1
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
「ちょっと量子力学」コーナー原子内交換相互作用bull H＝ K12－ (12) J12(1+4s1s2)
の固有値は =K12ndashJ12 （ s1 と s2 が同符号のとき）= K12 （ s1 と s2 が異符号のとき）
bull H と平均のエネルギー（ H0=K12－ J122）との差 ndash 2J12s1s2 のことを原子内交換エネルギーという
K12
K12-J12
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
「ちょっと量子力学」コーナー原子間交換相互作用
bull本来磁気秩序を考えるには物質系全体のスピンを考えねばならないのであるが電子の軌道が原子に局在しているみなして電子のスピンを各原子 I の位置に局在した全スピン Si で代表させて原子 1 の全スピン S1 と原子 2 の全スピン S2 との間に原子間交換相互作用が働くと考えるのがハイゼンベルグ模型であるこのとき交換エネルギー Hex は原子内交換相互作用を一般化して見かけの交換積分 J12 を用いて Hex =-2J12S1S2
で表される J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば反強磁性的である
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
「ちょっと量子力学」コーナー交換相互作用 bull ハイゼンベルグ模型 Hex =-2J12S1S2 bull J が正であれば相互作用は強磁性的負であれば
反強磁性的 bull 交換積分の起源
ndash隣接原子のスピン間の直接交換（ direct exchange ） ndash 酸素などのアニオンのｐ電子軌道との混成を通して
スピン同士がそろえあう超交換（ superexchange ） ndash伝導電子との相互作用を通じてそろえあう間接交換
（ indirect exchange ） ndash 電子の移動と磁性とが強く結びついている二重交換
相互作用 (double exchange)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
さまざまな交換相互作用bull 直接交換bull 超交換bull 間接交換（ RKKY)
bull 二重交換
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
超交換相互作用 bull 酸化物磁性体では局在電子系の磁気モーメ
ントの間に働く相互作用は遷移金属の 3d電子どうしの重なりで生じるのではなく配位子の p 電子が遷移金属イオンの 3d 軌道に仮想的に遷移した中間状態を介して相互作用するこれを超交換相互作用と称する主として反強磁性的に働く 酸素イオン
遷移金属イオン
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
超交換相互作用模式図bull ９０度強磁性bull 180 度反強磁
性（ Goodenough)
アニオン
遷移金属イオン
アニオン
遷移金属イオン
(a)
(b)
Fig 9 超交換相互作用の模式図
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
間接交換 (RKKY) 相互作用 bull 希土類金属の磁性は 4f 電子が担うが伝導電子であ
る 5d 電子が 4f 電子と原子内交換相互作用することによってスピン偏極を受けこれが隣接の希土類原子の f 電子と相互作用するという形の間接的な交換相互作用を行っていると考えられている
bull これを RKKY (Rudermann Kittel Kasuya Yoshida)相互作用という
bull 伝導電子を介した局在スピン間の磁気的相互作用は距離に対して余弦関数的に振動しその周期は伝導電子のフェルミ波数で決められる
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
RKKY振動
bull テキスト Fig11
21F
2
F
2
RKKY 29 SS
Rkf
N
NJH e
4
sincos
x
xxxxf
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
二重交換相互作用 bull LaMnO3 ではすべての Mn 原子は 3 価なので eg バ
ンドには１個の電子が存在しこの電子が隣接Mn 原子の eg 軌道に移動しようとすると電子相関エネルギー U だけのエネルギーが必要であるため電子移動は起きずモット絶縁体となっている
bull La を Sr で置き換え 4 価の Mn が生じると Mn4+ の eg 軌道は空であるから他の Mn3+ から電子が移ることができ金属的な導電性を生じる
bull このとき隣接する Mn 原子の磁気モーメントのなす角とすると eg 電子の飛び移りの確率は cos( 2) に比例する =0 （スピンが平行）のとき飛び移りが最も起きやすく運動エネルギーの分だけエネルギーが下がるので強磁性となる
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
二重交換の模式図
Mn3+ Mn4+
Fig 12 二重交換相互作用
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
３磁気ヒステリシスの由来bull 磁気ヒステリシスについてbull 反磁界と静磁エネルギーbull 磁気異方性bull 磁区と磁壁磁壁移動と磁化回転bull 保磁力
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁化曲線bull 磁性体を磁界中に置き磁界を増加していくと
磁性体の磁化は増加していき次第に飽和するbull 磁化曲線は磁力計を使って測定する
VSM試料振動型磁力計試料を 01～ 02mm 程度のわずかな振幅で 80Hz 程度の低周波で振動させ試料の磁化による磁束の時間変化を電磁石の磁極付近に置かれたサーチコイルに誘起された誘導起電力として検出する誘導起電力は試料の磁化に比例するので磁化を測定することができる
電磁石磁極付近に置いたサーチコイル
スピーカーと同じ振動機構
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
VSMブロック図
丸善実験物理学講座「磁気測定 I 」p68 より
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Y2BiFe4GaO12 の磁気ヒステリシス
面内面直方向の比較
- 005
0
005
- 60000 - 40000 - 20000 0 20000 40000 60000
磁場（Ａｍ）
磁化（Ｔ）
面内方向
面直方向
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁性体を特徴づけるもの (1)磁気ヒステリシス
bull 強磁性体においてはその磁化は印加磁界に比例せずヒステリシスを示す
( 高梨初等磁気工学講座テキスト )
bull OrarrBrarrC初磁化曲線bull CrarrD 残留磁化bull DrarrE 保磁力bull CrarrDrarrErarrFrarrGrarrC
ヒステリシスループ
縦軸磁化
横軸磁界
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁気ヒステリシスと応用
bull 保磁力のちがいで用途が違う
bull Hc小軟質磁性体ndash 磁気ヘッド変圧器鉄心磁気シールド
bull Hc中半硬質磁性体ndash 磁気記録媒体
bull Hc 大硬質磁性体ndash永久磁石 このループの面積が磁石に蓄積される磁気エネルギ
ー高周波の場合はヒステリシス損失となる
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
永久磁石の最大エネルギー積 (BH)max
の変遷 (httpwwwaacgbhamacukmagnetic_materialshistoryhtm)
BHmax
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
なぜ初磁化状態では磁化がないのか磁区 (magnetic domain)
bull 磁化が特定の方向を向くとすると N 極から S 極に向かって磁力線が生じますこの磁力線は考えている試料の外を通っているだけでなく磁性体の内部も貫いていますこの磁力線を反磁界といいます反磁界の向きは磁化の向きとは反対向きなので磁化は回転する静磁力を受けて不安定となります
bull 磁化の方向が逆方向の縞状の磁区と呼ばれる領域に分かれるならば反磁界がうち消し合って静磁エネルギーが低下して安定するのです
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
反磁界 (demagnetization field)
bull 磁性体表面の法線方向の磁化成分を Mn とすると表面には単位面積あたり = Mn という大きさの磁極 (Wbm2) が生じる
bull 磁極からはガウスの定理によって全部で μ0 の磁力線がわき出すこのうち反磁界係数 Nを使って定義される磁力線 NMは内部に向かっており残りは外側に向かっているすなわち磁石の内部では M の向きとは逆方向の反磁界が存在する
bull 外部では磁束線は磁力線に一致する
(b) 磁力線
M- +
(a) 磁化と磁極 反磁界
S N
S N
(c) 磁束線
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
反磁界係数 N ( 近角強磁性体の物理より）
N の x y z 成分を Nx Ny Nz とすると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間には Nx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0
xy
z
z
x
y
z
x
y
Nz=1
Nx= 0Ny= 0
Nx= 12
Ny= 12Nx=13
Ny=13
Nz=13
Nz=0
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
反磁界補正bull N の x y z 成分を Nx Ny Nz と
すると Hdi=-NiMi0 (i=xyz)と表され Nx Ny Nz の間にはNx+ Ny+ Nz=1 が成立する
bull 球形 Nx= Ny= Nz=13
bull z方向に無限に長い円柱 Nx= Ny= 12 Nz=0
bull 無限に広い薄膜の場合 Nx= Ny= 0 Nz=1 となる
bull 実効磁界 Heff=Hex-NM0 ( 近角強磁性体の物理より )
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
反磁界と静磁エネルギーbull 磁化 M が反磁界 Hdのもとにおかれると
U=MHd だけポテンシャルエネルギーが高くなる
bull 一様な磁界 H中の磁気モーメント M に働くトルク T は T=-MH sinbull 磁気モーメントのもつポテンシャル E は U=Td= - 0
MH sin d=MH (1-cos) bull エネルギーの原点はどこにとってもよいので
ポテンシャルエネルギーは U=-M H と表される H=-Hd を代入すると反磁界によるポテンシャルの増加はU=M Hd
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
表面磁極の分割による静磁エネルギーの減少
bull 結晶表面を xy面にとるbull 表面で z=0 とするbull 磁区の磁化方向は plusmnzbull 磁区の x方向の幅 dbull 磁極の表面密度
=Is 2mdltxlt(2m+1)d
=-Is (2m+1)dltxlt2(m+1)d
bull 磁気ポテンシャルを Laplace の方程式で求める
＋ ＋- -
z
x
y
d
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
bull 境界条件( z)z=-0=20
bull 境界条件のもとにラプラス方程式を解くと =n An sin n(d)x exp n(d)z
bull 係数 An は次式を満たすように決められる(d) n nAn sin n(d)x =I20 2mdltxlt(2m+1)d
= - I20 (2m+1)dltxlt2(m+1)d
rarrAn=2Isd20n2
(x=0)=(2Isd20) n (1n2)sin n(d)x bull 単位表面積あたりの静磁エネルギー
=(2Is220) n (1n2)int0
d sin n(d)x
=(2Is2d20) n=odd (1n3)=540104Is
2d
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
磁気異方性bull 磁性体は半導体と違って形状寸法結晶方位とか磁化の方位など
によって物性が大きく変化するbull １つの原因は上に述べた反磁界係数で形状磁気異方性と呼ばれま
す反磁界によるエネルギーの損を最小化することが原因ですbull このほかの原因として重要なのが結晶磁気異方性です結晶磁気異
方性というのは磁界を結晶のどの方位に加えるかで磁化曲線が変化する性質です
bull 電子軌道は結晶軸に結びついているので磁気的性質と電子軌道との結びつき ( スピン軌道相互作用 ) を通じて磁性が結晶軸と結びつくのです半導体にも詳しい測定をすると異方性を見ることができますこれに比べ一般に半導体の電子軌道は結晶全体に広がっているので平均化されて結晶軸に依存する物性が見えにくいです
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
結晶磁気異方性bull 磁化しやすさは結晶の方位に依存するbull 鉄は立方晶であるが [100] が容易軸 [111] は困難軸
x
y
z
[111
]
[100]
容易軸
困難軸
[110]
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
円板磁性体の磁区構造bull 全体が磁区に分かれることにより全体の磁化がなくなっているこれが初磁化状態である
bull 磁区の内部では磁化は任意の方向をランダムに向いている訳ではない
bull 磁化は結晶の方位と無関係な方向を向くことはできない磁性体には磁気異方性という性質があり磁化が特定の結晶軸方位 ( たとえば Feでは [001] 方向および等価な方向 )を向く性質がある
bull [001]容易軸では図のように (001)面内では [100][010][-100][0-10] の４つの方向を向くので 90 磁壁になる
bull [111]容易軸では
(a) (b)
( 近角強磁性体の物理 )
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
ヒステリシスと磁区
残留磁化状態 逆磁区の発生と成長
磁気飽和
核発生
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
さまざまな磁区とマイクロマグネティクス
bull Fig 21 は結晶の対称性により磁区が変わる様子の例として縞状磁区 (stripe domain) と環流磁区(closure domain) を示している磁性体を微細化して直径 1μm付近になるとスピンは面内に分布して vortex 状態となり中心部に垂直方向のスピン成分をもつようになるさらに微細化すると単磁区になる
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
微小磁区の MFM観察bull 磁区の観察にはビッター法といって磁性微粒子を含むコロ
イドを磁性体上に滴下して光学顕微鏡で観察する方法が古くから使われているこのほか磁気光学顕微鏡ローレンツ電子顕微鏡磁気力顕微鏡走査型ホール顕微鏡走査型 SQUID顕微鏡スピン偏極電子顕微鏡 X線MCD顕微鏡などで観察することが可能である Fig 22 にはいくつかの例について筆者のMFM観察結果を示す
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Saturation magnetization (Ms) 800 emucm3
Exchange field (A) 1times10-6 ergcm3
Anisotropic constant (Ku) 1000 ergcm3
Gyro magnetic constant （ γ) -176times107 rad(s Oe)
Damping constant （ α ） 02
Easy axis Y direction
Dot Size 200 nmtimes200 nmtimes100 nm
Number of dot 1
Mesh size 10 nmtimes10 nmtimes10 nm
Hy = 10 kOe rarr 0 Oe
divM divMy
LLG 方程式を用いたマイクロ磁気解析
Dot model
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
200 x 200 thickness 50 nm
Magnetic moment - dv M Force gradient
200 x 200 thickness 100 nm
90 degree walls propeller-like distortion
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
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x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Calculation of a single dot
Spin structure
-divM
Isolated square dot
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
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x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Force gradient image Spin distribution image
Four-dot system
Shift of the center occurs Reversal of chirality
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
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x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
MFM image with low-moment tip(CoPtCr240Å in HV)
Spin distribution imagewith the force-gradient image overlapped
Inversion of chirality
Comparison between MFM and simulation of spin distribution
bull Simulation was carried out in the model structure consisting of four square dots with a dimension of 200 nmtimes200 nmtimes20 nm with 50nm separation between dots
bull The calculated spin structure shows a closure domain structure with the 90-wall appears
bull The chirality of the spin direction in adjacent dots is opposite to each other as shown by white arrows
bull The Z-component force-gradient image taking into account the tip-sample interaction is overlapped
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
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x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
Calculated magnetization configuration of Y-shaped permalloy dot
Calculation parametersWidth 300 nmThickness 100 nmEasy axis 0 ergcm3
x
y
z
Force gradient－ divM
Force gradient(Magnified)
Experimental MFM images
bull Single domains appear in two armsbull Multi-domain of 4 chained closer-domains on the restbull Spin-flow at crossing region turns left in two steps
500nm2
m
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
L
C
R
C
L
R
x
y
z
Calculated magnetization configurations of Y-shaped permalloy mirror-dots
Calculation parametersWidth 200 nmThickness 40 nmEasy axis X 1000 ergcm3
Force gradient－ divM
Single dot
Experimental MFM images
15 m
bull Calculated spin-flows similar to experimental resultbull Vortices with same chirality appear at the ends of all armsbull Chirality of adjacent dot shows a mirror-reflection
Easy axisEasy axis
Easy axis
Easy axis－ divM
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
おわりに bull 磁性特有のテクニカルタームがあるが慣れれ
ばそれほど難しいものではないbull 大部分の話は量子力学なしでも理解できる
電磁気学の知識があればよいbull 応用につながるのは磁区磁壁の物理であるbull メゾスコピック系では量子的な現象が現れる
これが得意なスピン依存伝導現象をもたらす
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
参考書
bull 中村 伝「磁性」槙書店 (1965)bull 金森順次郎「新物理学シリーズ 磁性」培風館 (1969)bull 芳田 奎「物性物理学シリーズ 磁性 I II 」朝倉書店 (1972)bull 太田恵造「磁気工学の基礎 I II 」共立全書 (1973)bull 近角聡信編「磁性体ハンドブック」朝倉書店 (1975)bull 近角聡信「強磁性体の物理 (上下 ) 」裳華房 (1977 1984)bull 芳田 奎「磁性」岩波書店 (1991)bull 高梨弘毅「初等磁気工学講座」日本応用磁気学会 (1996)bull 川西健次郎編「磁気工学ハンドブック」朝倉書店 (1999)bull 近桂一郎安岡弘志編「実験物理学講座 6 磁気測定 I 」丸善 (2000)
![物理システム工学科３年次 物性工学概論 第火曜１限 0035 教室 第 13 回 スピンエレクトロニクスと材料 [3] 磁気記録、磁気抵抗効果、](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/56815915550346895dc6405b/-0035-56efd903009ac.jpg)
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![物理システム工学科３年次 物性工学概論 第火曜１限 0023 教室 第 13 回 スピンエレクトロニクスと材料 [3] 磁気記録材料](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/56815140550346895dbf5ccc/-0023-56a2466169cea.jpg)
![物理システム工学科３年次 物性工学概論 第火曜１限 0023 教室 第 11 回 スピンエレクトロニクスと材料 [1] 磁性入門](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/568148da550346895db5f44e/-0023-56984f7d798db.jpg)
