SGC ライブラリ- 125

重点解説

スピンと磁性現代物理学のエッセンス

川村 光　著

サイエンス社

まえがき

この本は「スピン」と「磁性」をテーマとしている．この 2つを合わせると，潜在的に対象となる分野は，大変広大なものになる．「スピン」は，20世紀前半の量子力学の発見と展開に伴って人類にその存在を明らかにした自由度で，今や，素粒子物理学から始まり，ほぼ全てのカテゴリーの物

性物理学，化学や応用物理学・電子工学等において，極めて重要な要素になっている．また「磁性」

は，古来人類にとって馴染みの深い現象で，昔から磁石などの形で広く利用されてきたし，様々な

場面で現代のテクノロジーを支えている．磁性の真の起源は長らく謎であったが，量子力学の建設

とスピンの発見を待って，ようやく人類にその素性を明らかにした．実はスピン自由度こそが，多

種多様な磁性現象の素となる要素であった．一方，自然界は，電子などの極微の素粒子のレベルか

ら，鉄などのマクロレベルの磁性体に至るまで，階層構造を成して存在している．当然，素粒子レ

ベルのスピンが理解できたからと言って，直ちにマクロな磁性体が示す多様な磁性現象が理解でき

るわけではなく，その間には，いくつかのステップにわたる法則性とコンセプトが存在する．

本書では，物理学の範囲ではあるが，素粒子のスピン自由度からマクロな磁性体が示す多様な巨

視的磁性現象に至るまで，「スピン」と「磁性」の全体像を，有機的な一つながりのものとして記述

しようと試みた．その際，各々の階層，各々の現象・法則性の間の相互関係が明らかになるよう，

最大限，努力した．「スピンと磁性」トータルに対してのイメージを持って頂けることを最優先に，

図等を多用し，なるべく平易な説明を心掛けた．必要な知識は，学部レベルの力学，電磁気学，量

子力学，統計力学である．

書き終えて見直してみると，本書で扱った内容は，期せずして過去 1 世紀の物理学の断面史になっている感がある．筆者の能力の限界もあり，このような試みが上手く行ったかどうかは甚だ心

許ないが，読者の皆さんに，お付き合い頂ければ幸いである．

2016年 3月　 川村 光

目 次

第 1章 序 11.1 スピンとは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 物質の磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 スピンと磁性 ― 本書の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

第 2章 スピンの発見 82.1 アルカリ原子の 2準位項分裂とシュテルン–ゲルラッハの実験 . . . . . . . . . . . . 82.2 自転する電子とスピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 スピン磁気モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 スピン軌道相互作用とトーマス因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第 3章 パウリのスピン理論 ― 非相対論的量子力学 153.1 非相対論的量子力学とシュレーディンガー方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 パウリ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 パウリ行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 スピノール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

第 4章 ディラックのスピン理論 ― 相対論的量子力学 204.1 ディラック方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 スピン角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 空孔理論と反粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 スピン磁気モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 スピン軌道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

第 5章 スピンと統計 285.1 同種粒子の統計性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 量子理想気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 理想フェルミ気体の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.4 理想ボース気体の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第 6章 磁性の起源 ― スピンと軌道 366.1 電子スピンによる磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 電子の軌道運動による磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 ランジュバン常磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 ラーモア反磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.5 パウリ常磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.6 ランダウ反磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

第 7章 自由イオンの磁性 437.1 LS 多重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 フントの規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3 LS 結合と全角運動量 J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.4 ランデの g 因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

第 8章 固体内の磁性イオンと結晶場 488.1 結晶場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.2 立方対称結晶場 ― 1電子の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.3 立方対称結晶場 ― 多電子の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.4 低対称結晶場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.5 軌道角運動量の消失とヤーン–テラー効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.6 磁気異方性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.7 ヴァン・ヴレック常磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.8 クラマースの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.9 強い結晶場と弱い結晶場 ― 高スピンと低スピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 9章 交換相互作用 609.1 直接交換相互作用 ― ポテンシャル交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.2 直接交換相互作用 ― 運動交換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.3 超交換相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.4 異方的交換相互作用 ― ジャロシンスキー–守谷相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . 699.5 結晶の対称性とスピンの変換性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.6 結晶の対称性とジャロシンスキー–守谷相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.7 間接交換相互作用 ― RKKY相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

第 10章協力現象としての磁性と磁気相転移 7810.1 磁気相転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7810.2 臨界現象と臨界指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.3 対称性の自発的破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.4 ユニヴァーサリティ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.5 スケーリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

iii

第 11章新奇な磁性 I ― フラストレート磁性体 9311.1 フラストレーションとは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.2 幾何学的フラストレート磁性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.3 カイラリティ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.4 フラストレート系の臨界現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.5 多自由度間カップリング I : 格子 ― 巨大磁歪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911.6 多自由度間カップリング II : 誘電 ― マルチフェロイクス . . . . . . . . . . . . . . 10111.7 多自由度間カップリング III : 伝導電子 ― 異常ホール効果 . . . . . . . . . . . . . 10211.8 トポロジカル励起，スピンテクスチャ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

第 12章新奇な磁性 II ― 乱れとスピングラス 11112.1 スピングラスとは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11112.2 スピングラス秩序状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11312.3 スピングラスの統計力学モデルとレプリカ対称性の破れ . . . . . . . . . . . . . . . 11312.4 ランダム磁気異方性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.5 スピングラスとカイラリティ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

第 13章新奇な磁性 III ― 量子効果とスピン液体 12213.1 スピン液体とは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12213.2 1次元量子スピン系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12313.3 量子スピン液体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12713.4 RVB状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813.5 実験的に観測された「量子スピン液体」 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13013.6 ランダムネスが誘起する「量子スピン液体」 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

第 14章遍歴する電子と磁性 14014.1 遍歴磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14014.2 局在モーメントと伝導電子 ― 近藤効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14014.3 電子相関とハバードモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14314.4 強相関電子系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14514.5 最後に . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

参考文献 147索 引 152

iv 目 次

第 1 章序

1.1 スピンとは？今や物理学の様々なレベルにおいて，「スピン」という量は決定的に重要な

量であることは広く認識されている．スピン（spin）という量が物理学者に認識されるようになったのは，実はそう遠い昔のことではなく，1920年代以降本格的な量子力学（quantum mechanics）の建設と相前後する頃からのことである．パウリ（W. Pauli），クローニッヒ（R. Kronig），ウーレンベック（G.E.Uhlenbeck），カウシュミット（S. Goudsmit）といった物理学者によって，その存在が明らかにされた．スピンは，電荷（charge）や質量（mass）などと並んで電子（electron）などの素粒子が持つ基本的な属性である．例えば「電子や陽子はスピン 12 を持つ」というような言い方をする．ただし，スピンという

量は本質的な意味で量子力学的な内部自由度であるため，直感的にはなかなか

把握しにくく，そのためその発見は人類が量子力学を見出して原子分子の世界

に本格的に踏み込むまで遅れた．

スピンは物理量としては角運動量（angular momentum）の一形態であり，スピン角運動量（spin angular momentum）とも言われる．素粒子のスピン角運動量は「量子化」（quantize）されており，プランク定数（Planck’s constant）hを 2π で割った �を単位とした，飛び飛びの離散的な値しか取れない．例えば，電子（electron）や陽子（proton），中性子（neutron）のスピン角運動量は，ともに 12� である．スピンは内部自由度なので，粒子の運動に伴って生じ

る通常の力学的な角運動量― 軌道角運動量（orbital angular momentum）という ― とは本質的に異なる量である．他方，ともに角運動量という意味では

共通の面も持つ．

スピンの起源は一体何なのか？という問いは，その発見当初から，多くの

物理学者を悩ませた問いである．パウリは，スピンを「古典的記述不可能な

二価性」と表現した．最終的には 1927年にディラック（P.A.M. Dirac）が，

第 2 章スピンの発見

2.1 アルカリ原子の 2準位項分裂とシュテルン–ゲルラッハの実験

素粒子が持つ量子力学的な内部自由度としてのスピンの存在は，1920年代量子力学の建設の進行に伴って研究者に認識されるようになった．スピン自由

度の存在を示唆するような新たな実験結果が，当時出てきた訳である．前期量

子論のピークを形成するボーア（N. Bohr）の水素原子の理論は 1913年に発表されており，原子のエネルギー準位の解明，これに基づいた原子のスペクト

ル線の研究は既に相当程度進んでいた．もちろん，ボーアの理論にはスピンは

一切登場していない．当時スピン自由度の存在を示唆した実験を 2 つ紹介する．1つは，アルカリ原子（alkari atom）であるナトリウムのD線の準位分裂，もう 1つはシュテルン–ゲルラッハ（Stern–Gerlach）の実験である．アルカリ原子のナトリウムは，最外殻にいる電子が最低励起状態（3p）から基底状態（3s）へと遷移するのに伴い，D線と呼ばれる強い黄色い光を放出する．このD線は近接した，波長 589.995cmと 589.592cmの 2本の線（D1とD2）に分裂していることが知られている（図 2.1）．実は，このような 2重の準位分裂は，ナトリウムの D線に限らずアルカリ原子のスペクトル線で広く観測される一般的な性質である．また外から磁場（magnetic field）をかけると，2本のスペクトル線の分裂がより顕著になる．ナトリウムは原子番号 11の元素であり，1s準位に 2個，2s準位に 2個，2p準位に 6個，3s準位に 1個の電子を持っている．ここで，1,2,3というのが主量子数 n （principal quantumnumber），s,pというのが軌道量子数 � （azimuthal quantum number） で，それぞれ角運動量 � = 0, 1 に対応しているのは，量子力学で習う通りである．ナトリウムの場合，2p までの 10 個の電子は閉殻を形成しており，最外殻の3s 電子がスペクトル線を担っている．即ち，この電子が最低励起状態の 3p 準位から 3s へ落ちてくる際に D線を出す．ところで，3s準位は � = 0 なので

第 3 章パウリのスピン理論 ― 非相対論的量子力学

3.1 非相対論的量子力学とシュレーディンガー方程式スピン自由度を取り入れた量子力学の話に入る前に，スピン自由度を持たな

い場合の量子力学を簡単におさらいしておこう．本格的な量子力学の最初の定

式化は，ハイゼンベルグ（W.Heisenberg）による行列力学（matrix mechanics）とシュレーディンガー（E. Shrödinger）による波動力学（wave mechanics）によって，それぞれ 1925年と 1926年になされた．以下では，シュレーディンガーの波動方程式によって話を進めよう．ポテンシャル V (�r ) 中の，場所 �r ，時刻 t における質量m の粒子の 1粒子波動関数を φ(�r, t) とすると，シュレーディンガー方程式（Schrödinger equation）は，[

− �2

2m�∇2 + V (�r )

]φ(�r, t) = i� ∂

∂tφ(�r, t) (3.1)

で与えられる．時間に関して 1階，空間に関して 2階の微分方程式（differentialequation）になっている．定常状態（stationary state）に関しては，エネルギー固有値（energy eigenvalue）を E として，[

− �2

2m�∇2 + V (�r )

]φ(�r ) = Eφ(�r ) (3.2)

である．

3.2 パウリ方程式さて，スピン自由度を含んでいないシュレーディンガー方程式を拡張して，

スピン自由度を記述するには，どのようにしたら良いだろうか？この問題は，

パウリによって考察された．パウリは，電子の自転といったモデル的思考を廃

し，純粋に数学的にシュレーディンガー方程式にスピン自由度を導入した．2.3節で述べたように，s = 12 の場合，スピン自由度まで考えたときの状態を表す電

第 4 章ディラックのスピン理論 ― 相対論的量子力学

4.1 ディラック方程式ハイゼンベルグやシュレーディンガーの量子論は非相対論的な理論であった

ため，次なる大きな目標として多くの理論家が相対論的量子力学の建設に取り

組んだ．相対論的な電子の量子論は，最終的には 1928年にディラックによって見出された．

外部の場の影響を受けない粒子を自由粒子（free particle）と呼ぶ．非相対論的な自由粒子のエネルギー E として運動エネルギーのみ考えればよい．古

典的な場合には，粒子の質量を m，運動量を �pとして，E = �p2

2m である．量

子論に移るには，これに置き換え

�p → �i

�∇, E → i� ∂∂t

(4.1)

を適用すればよい．すると，

− �2

2m�∇2φ = i� ∂

∂tφ, (4.2)

が得られるが，これは自由場のシュレーディンガー方程式に他ならない．シュ

レーディンガー方程式は，時間に関して 1階，空間に関して 2階の微分方程式であったことに注意されたい．

では相対論的な場合にはどうなるか？相対論的な自由粒子のエネルギー

は，ドゥブロイ（L. de Broglie）–アインシュタイン（A. Einstein）の式，E =

√(c�p)2 + (mc2)2 で与えられる（cは光速である）．あるいは，両辺を 2

乗すると，E2 = (c�p)2 + (mc2)2 である．この式に，先の置き換えを行い，c2

で割ると [�2 ∂

2

c2∂t2− �2�∇2 + (mc)2

]φ = 0 (4.3)

という方程式が得られる．この方程式をクライン–ゴルドン方程式（Klein–Gordon equation）という．時間と空間双方に関して共に 2階の微分方程式に

第 5 章スピンと統計

5.1 同種粒子の統計性ところで，自然界には同一の素粒子が多数個存在する．例えば，自然界には

膨大な数の電子が存在している．全ての電子は，量子力学的には完全に同じ属

性 ― 質量，電荷，スピンといった属性 ― を持っていて，お互いを区別する

手立てはない．これを「同種粒子の不可別性」という．この同種粒子の不可別

性は，同種粒子の量子力学に深甚な影響を及ぼす．即ち全ての素粒子には「統

計性」（particle statistics）という重要な属性があり，「フェルミ統計」（Fermistatistics）に従うか「ボース統計」（Bose statistics）に従うかのどちらかである．前者をフェルミ粒子（フェルミオン, fermion）後者をボース粒子（ボソン,boson）と呼ぶ．フェルミ統計は，1926年にフェルミオンである電子の従う統計を定式化したフェルミ（E. Fermi）にちなんだネーミングであり，「フェルミ–ディラック統計」と呼ばれることもある．ボース統計は，1924年にボソンである光子（photon）の従う統計を定式化したボース（S.N. Bose）にちなんだネーミングであり，「ボース–アインシュタイン統計」と呼ばれることもある．2個の同種粒子の場合を，具体的に考えてみよう．2個の同種粒子系を記述する量子力学的波動関数があったとき，仮想的に 2 つの電子を入れ替えたとき（入れ替え操作のことを「置換」（permutation）という），入れ替え後の波動関数は元の波動関数と同一の状態を記述していなくてはならない．量子力学

では，位相因子（phase factor） c 分の自由度は直接観測できないので，粒子1,2の一般化された座標を �ξ1, �ξ2 とすると，φ(�ξ2, �ξ1) = cφ(�ξ1, �ξ2)が要求される．さらに，もう一度置換を行うと元に戻らないといけないので，c2 = 1 でないといけない．即ち，位相因子は c = 1か c = −1である必要がある．どちらかは想定している粒子の種類毎に決まっており，前者 c = 1がボソン，後者c = −1がフェルミオンである．ボソンは粒子の入れ替えに対して波動関数が対称（symmetric），フェルミオンは粒子の入れ替えに対し波動関数が反対称

第 6 章磁性の起源 ― スピンと軌道

6.1 電子スピンによる磁性第 4 章で見たように，電子は相対論的効果により，内部自由度としてスピン自由度を持ち，それに付随した磁気モーメント �μは，電子のスピンを �s と

して，

�μ = −gμB�s (6.1)で与えられた．比例定数 g は g 因子であり，ディラック理論からは g = 2 である．実際には 2から僅かにずれるのであったが，ずれは定量的には僅かなので，通常は g = 2 が用いられる．

6.2 電子の軌道運動による磁性スピンは，古典的には電子の自転に対応付けられる電子の内部自由度とみな

せたが，電子の実空間での軌道運動によっても軌道磁気モーメントが生じる．

これは，基本的には電磁気学の法則に従って生じるもので，電子の運動は電流

を生じ，電流は周囲の空間に磁場を生じるという効果に他ならない．電子の軌

道運動に伴って生じる軌道磁気モーメントは

�μ = −μB�� (6.2)

で与えられる．ここで，�� は電子の軌道運動に伴う角運動量ベクトル ― 軌道

角運動量 ― で，ここでは � を単位に測り，

�� = �r × �p�

(6.3)

で定義する．（6.2, 6.3）式の古典的な導出は，2.3節で与えた．結局スピンと軌道運動双方を考えると，電子の磁気モーメントは，g = 2 として，

第 7 章自由イオンの磁性

7.1 LS 多重項マクロな結晶固体は，ミクロな原子分子やイオンが周期的に並んで形成さ

れている．磁性体でも，この点は同様である．マクロな結晶固体における磁性

を理解するためには，まず原子分子，イオンの磁気的性質を理解する必要が

ある．この章では，孤立したイオン（自由イオン）の磁性を調べる．典型的な

磁性体は，遷移金属（transition metal）や希土類金属（rare-earth metal）等の金属イオンを，磁性イオン（magnetic ion）として持つ．通常金属イオンは陽イオン（cation）になので，これを電気的に補償する陰イオン（anion, 酸素（oxygen）やハロゲン（halogen）等）と一緒に化合物を形成している．実際の結晶固体中では，磁性イオンは隣の陰イオンから結晶場と呼ばれるポ

テンシャルを受けている．結晶場の空間的対称性（spatial symmetry）は結晶格子の空間的対称性を反映し，自由イオンの持つ高い球対称性は失われる．こ

のような結晶場の効果については次章で考察することにして，本章では球対称

な孤立自由イオンの磁性を扱う．

自由イオン中の電子に着目しよう．電子が受けるポテンシャルとしては，中

心にある核の（もしくは芯の正イオンの）正電荷による引力ポテンシャルと，

イオンに含まれる他の電子とのクーロン斥力相互作用である．実際には 2.4節や 4.5節で扱ったスピン軌道相互作用等も働くが，当面はクーロン力のみを考えよう．仮に電子間のクーロン相互作用（Coulomb interaction）が無視できるのであれば，球対称ポテンシャル（中心力）中の量子力学的 1電子問題を解けばよく，主量子数 n に加え，軌道角運動量の大きさを表す方位量子数 � と

その z 成分を表す磁気量子数 （magnetic quantum number） m で，1電子軌道が定まることになる．多電子の場合は，各 1 電子軌道に下から順番に電子を詰めていけばよい．例として 3 価のバナジウムイオン V3+ を考えると，1s, 2s, 2p, 3s, 3p 軌道は全て占有され閉殻を形成していて，磁性を担うのは 3d

第 8 章固体内の磁性イオンと結晶場

8.1 結晶場結晶固体中では，磁性陽イオンは，周囲の陰イオンから結晶の空間的対称性

を反映したポテンシャルを受ける．これが結晶場である．この結晶場のため，

磁性イオン内の電子が感じるポテンシャルは，前章までの球対称なものから，

結晶の対称性で決まるより低対称なものへと低下する．対称性の低下を反映し

て，球対称の場合のエネルギー準位はサブ準位へと分裂していくことになる．

結晶場の効果は，特に遷移金属化合物（transition metal compound）の d電子系で重要となる．d電子系では，結晶場の効果は 7.3節で扱ったスピン軌道相互作用の効果より一般に大きい．対して希土類化合物（rare earth compound）の f 電子系では，結晶場の効果はスピン軌道相互作用に比べて相対的に弱くな

る．遷移金属イオンでは，3d軌道はイオンの一番外側に位置しているので，隣の陰イオンのポテンシャルの影響を大きく受けるのに対し，希土類イオンの場

合，不完全殻の 4f 軌道に加え 4f 軌道のさらに外側に位置している 5s,5p軌道も占有されており，これらの 5s, 5p電子が陰イオンのポテンシャルをスクリーン（screen）する．このため，4f 電子が感じる結晶場ポテンシャルが実効的に弱められる．

比較的対称性が高い結晶場の例として，結晶が立方対称性（cubic symmetry）を持つ場合を考えよう．磁性陽イオンに対する陰イオンの配置が，図 8.1上に示すような 8面体配位（octahetral coordination），図 8.1下に示すような 4面体配位（tetrahedral coordination）の 2つの場合がある．どちらも，結晶場の対称性自体は立方晶であるが，ポテンシャルの高低の方向がちょうど相補

的になっている．陽イオンの中心位置から測った電子の座標を �r = (x, y, z) としよう．格子間隔に比べて |�r| = r が小さいとしてベキ展開すると，立方対称の結晶場に対しては，一般に

第 9 章交換相互作用

9.1 直接交換相互作用 ― ポテンシャル交換ここまでは，単一の原子やイオンを対象とした磁性について説明してきた．

実際の磁性体はアボガドロ数程度の多数の原子，イオンから成るので，マクロ

な物質を舞台とした磁性の発現に当たっては，磁性原子，磁性イオン間の磁気

的な相互作用が重要になる．特に強磁性や反強磁性等の長距離磁気秩序の発現

では，系全体でスピンが規則配列する（強磁性の場合なら系全体でスピンが同

じ方向に揃う）必要があり，これには隣り合う磁性原子，磁性イオンのスピン

間に何らかの相互作用が働いている必要がある．このような磁性原子，磁性イ

オン間の相互作用の代表的なものが，この章で説明する交換相互作用である．

交換相互作用は，量子力学の建設者の一人であるハイゼンベルグによって，

鉄などの強磁性の原因として量子力学に基づいて導出された．交換相互作用

にもいくつかのタイプが有り，その分類の仕方や名称については必ずしも十

分統一されているとも言い難い状況であるが，この節ではまず隣り合う磁性

イオン間に交換相互作用が直接働く「直接交換相互作用」（direct erxchangeinteraction）から説明する．直接交換相互作用は，さらに「ポテンシャル交換」（potential exchange）と「運動交換」（kinetic exchange）に分類できる．ポテンシャル交換は，「原子軌道」（atomic orbital）の考え方に基づくと理解しやすい．原子軌道は，しばしば「分子軌道」（molecular orbital）と対比させて議論される（図 9.1）．2つの磁性原子ないしは磁性イオンがあり，それぞれに属する電子を 1,2，磁性イオンの量子力学的な電子状態を a, bとし，対応する軌道波動関数を φa, φb 等と表す． φa, φb が原子軌道である．状態 aと bが直交する，即ち 〈a|b〉 = 0のとき，ポテンシャル交換は特に重要となる．これは 〈a|b〉 = 0のときは，次節で説明するもう 1つの直接交換相互作用である運動交換がゼロになるためである．〈a|b〉 = 0なら 2つの軌道の重なり（overlap）はゼロであり，電子は 1つの原子から隣の原子に乗り移ることはできない．そ

第 10 章協力現象としての磁性と磁気相転移

10.1 磁気相転移物質の磁性は，原子分子レベルのミクロな磁気モーメントをユニットとして

発現している．ここまで，単一の磁性原子，磁性イオンの磁気的性質，および

2つの磁性原子，磁性イオン間の磁気的相互作用について議論してきた．磁気モーメントには，電子のスピン自由度由来のものと軌道運動由来のものとが

あった．d電子が磁性を担う遷移金属磁性体の場合には，磁性の主役はスピン

が担っていて，軌道角運動量の役割はスピンの磁気的相互作用に修正を与える

という形で表せた．これを具体的に表現したのが，第 8，9章で扱ったスピンハミルトニアンである．希土類などの f 電子系では，スピン軌道相互作用が強

いことを反映して，スピン角運動量 �S ではなく全角運動量 �J が良い量子数に

なっている．ただしこの場合も，スピンハミルトニアンにおいて �S を �J と読

み替えれば，同様の取り扱いが可能になる場合も多い．

磁性体の巨視的磁性においては，物質全体にわたる莫大の数の磁気モーメン

トがある磁気秩序を形成している．例えば強磁性であれば，系全体にわたり原

子分子の磁気モーメントが一方向に揃っているし，反強磁性であれば，隣り合

う原子分子の磁気モーメントが系全体にわたって「互い違いに」揃っている．

このような巨視的秩序を実現させるには，原子分子レベルのミクロなスピン

（磁気モーメント）の間の相互作用が重要である．スピン間相互作用はミクロ

なスピン自由度間のマクロな協力現象（cooperative phenomena）としての物質の磁性を発現させるが，一方では問題は本質的な意味で多体問題になる．即

ち，物質の巨視的磁性の発現を理解しようとすると，多体問題，協力現象の統

計力学を避けて通れない．これは大変難しい問題なので，出発点のハミルトニ

アンは極力単純にする必要がある．このような事情で，巨視的な磁気秩序化あ

るいは磁気相転移現象を取り扱う際には，単純化されたスピンハミルトニアン

を用いることが多い．この章では，単純化したスピンハミルトニアンに基づ

第 11 章新奇な磁性 I ― フラストレート磁性体

11.1 フラストレーションとは？「フラストレーション」とは，系を最適化するいくつかの条件がお互いに競

合した「あちらを立てれば，こちらが立たず」といった状況を指す．幾何学的

フラストレート磁性体と呼ばれる一連の磁性体が，磁性体におけるフラスト

レーションの典型例である．図 11.1に，3 角形の各頂点に位置し，お互い同士が反強磁性的にカップルした 3個のイジングスピンの例を示す．図から明らかなように，3角形上の全てのスピン対を互いに逆向きにすることは不可能である．3角形のどこか 1つの辺（ボンド）で隣り合うスピンの向きが揃ってしまい，そこでエネルギーが上がってしまう．図中？で示したスピンに着目して

みると，このスピンは上を向こうが下を向こうが，系のどこかのボンドでエネ

ルギーが上がってしまう．結果として，このスピンの向きは全く決まらなくな

り，スピンはいわばフラフラの状態になる．このように，フラストレート系で

は通常の秩序は不安定化しやすく，大きな揺らぎの効果が発現する．このよう

な不安定性や揺らぎが，フラストレート磁性体特有の新奇な物性を生む母体に

なる．

このように，イジングスピンの場合には状態の離散性を反映した強い縮退が

発現したが，ハイゼンベルグ型のベクトルスピンの場合は，上向き・下向きの

2状態だけではなく “斜め”向きも取ることができる．等方的な交換相互作用で反強磁性的にカップルした 3個の古典的なハイゼンベルグスピンの例を考えると（図 11.2），基底状態では，スピンはお互いに 120度傾いた（キャントした）構造を取る．興味深いことに，スピンがこのように傾くと，それに伴って

スピンの回り ―「右回り」か「左回り」か ― の自由度が新たに出現する．こ

の「右・左」の自由度がカイラリティ（chirality）に対応する．9.6節で導入されたカイラリティベクトルは �κ = �S1 × �S2 で定義されていた．今の例のように，スピンが面内（xy 面）にある場合には， カイラリティベクトルは紙面垂

第 12 章新奇な磁性 II ― 乱れとスピングラス

12.1 スピングラスとは？本節では，スピングラスと呼ばれる磁性体を扱う．スピングラスとは，隣

り合うスピンを平行に揃えようとする強磁性的な相互作用と反平行に揃えよ

うとする反強磁性的な相互作用が混在，拮抗したランダム磁性体（randommagnets）のことを指す．金（gold），銀（silver），銅（cupper）などの貴金属（noble metal）にスピンを持つ鉄やマンガンなどの磁性金属元素が微量混ざった「カノニカルスピングラス」（canonical spin glass）と呼ばれる希薄磁性合金（dilute magnetic alloy）系で最初に発見された．1972年マイドッシュ（J.A. Mydosh）らは，一連のカノニカルスピングラスの帯磁率の温度依存性に，相転移の存在を示唆するような鋭いカスプ状の異常が現れることを報告

した（図 12.1）．合金中での局在スピン間の主たる相互作用はRKKY相互作用であり，距離に応じて強磁性的にも反強磁性的にもなる．このため，スピン

がランダムな位置に配置した磁性合金中では，各スピンがお互いに矛盾なく平

行，反平行の配置を取ることができなくなり（図 12.2），フラストレーションが生じる．スピングラスは，希薄磁性合金系以外にも金属・絶縁体，結晶・非

晶質（amorphous），様々な異方性タイプを含む広範な磁性体で次々と見出され，1970年代半ばから 1980年代にかけスピングラス研究は急速に展開した．スピングラス磁性体では，フラストレーションに加えてランダムネス（乱

れ, randomness）の効果のため，低温でスピンはランダムな方向に凍結した磁気的な「ガラス状態」（glassy state）にある．強磁性とも反強磁性とも異なる新しいガラス的な磁気秩序状態ということで，発見当初から大きな注目を集め

た．その後の実験研究により，スピングラス転移は 2次転移であり，スピングラス状態は熱平衡秩序相だということが明らかになった．またスピングラス

転移点では非線形帯磁率（nonlinear susceptibility）が負の発散的挙動を示すことも，都福仁氏らにより実験的に明らかにされた．他方，スピングラスは非

第 13 章新奇な磁性 III ― 量子効果とスピン液体

13.1 スピン液体とは？ここまでの章では，磁性体のスピンが低温で何らかの磁気秩序を形成する場

合を扱ってきた．金属では伝導電子がフェルミ液体（Fermi liquid）を形成したり超伝導になったりするので少し話が異なるとしても，局在スピン系（磁

性絶縁体）の場合には，スピンは低温で必ず何らかの磁気秩序を ― ランダム

なスピングラスの場合のようなランダム凍結も含めて― 形成するのであろう

か？あるいは，極低温まで非磁性状態のままにとどまる磁性体も存在するであ

ろうか？

実は量子スピン系の一番簡単な例とも言える，2 個の s = 12 スピンが互いに交換相互作用 J で相互作用している 2 スピン系（ハミルトニアンがH = −J �S1 · �S2 で与えられる）の基底状態は，J が反強磁性的な場合（J < 0）には非磁性状態になっている．J < 0で反強磁性カップルした 2スピン系の基底状態は，古典的な場合には，互いに反平行の向きを向いたいわゆるネール状

態である．他方量子スピン系では，s = 12 の場合にこの 2 スピン問題を解くと，9.1節で説明したような解が得られる．即ち J < 0の場合の基底状態はシングレットで，全スピンが S = 0，エネルギーが � = − 34 |J |，波動関数は，

1√2(| ↑↓〉 − | ↓↑〉) (13.1)

と，「アップ‐ダウン」状態と「ダウン‐アップ」状態の反対称結合で与えられ

る．S = 0 なので，実際にスピン自由度が「死んだ」非磁性状態である．ちなみに，励起状態はトリプレットで，全スピンが S = 1，エネルギーは � = 14 |J |，波動関数は

| ↑↑〉,1√2(| ↑↓〉+ | ↓↑〉),

| ↓↓〉, (13.2)

第 14 章遍歴する電子と磁性

14.1 遍歴磁性本書では，ここまで主として局在磁性― 即ち磁性を担うスピンが空間的に

はそれぞれの結晶格子点にとどまっていて動かない― を対象としてきた．絶

縁体の示す磁性は，基本，局在磁性と考えてよい．もちろん，自然界には金属

の磁性体も数多く存在する．前述したように，金属磁性体も大別すると，（I）磁性を担う局在性が高い電子と伝導を担う遍歴電子との相互作用系とみなせる

タイプと，（II）磁性を担う電子自身がもはや局在せずに結晶全体を遍歴しているタイプに，大別できる．本書の最後となる本章では，このような遍歴磁性体

が示す磁性について，ごく簡単に触れたい．タイプ（I）について次節で，タイプ（II）については 3，4節で扱う．

14.2 局在モーメントと伝導電子 ― 近藤効果この節では，金属磁性の第 1のタイプを扱う．1個の局在スピンが結晶全体を動き回る伝導電子と相互作用している場合から考えよう．スピン s の局在量

子スピン �Si は格子点 i に局在していて動かないとして，9.7節で導入した sdモデルを考える．

カップリング J が反強磁性的（J < 0）な場合に sdモデルに基づいて電気抵抗を sd相互作用 J の摂動で計算すると，摂動の 2次項より T → 0で − lnTで対数的に発散する異常項が現れる．この対数的異常項は，近藤淳氏によっ

て 1964年に理論的に見出された．実験的にも，Au, Ag, Pt等の貴金属に Fe,Mn等の磁性原子を微量固溶させた希薄磁性合金（第 12章のスピングラスのところで紹介したタイプの系）において，磁性原子濃度がスピングラス領域よ

りさらに薄い場合に，電気抵抗の温度変化に低温において極小が観測され，近

藤効果と呼ばれる．通常，金属の電気抵抗は温度の降下とともに低温で小さく

参考文献

以下では，さらに勉強したいと思われる読者の参考に，本文での章毎に，参考文献を挙げる．本

文中で結果を引用したものの本文中では詳細な文献情報を挙げられなかった論文の情報も，以下に

挙げさせて頂く．本文中で引用した図の出典については，図のキャプション中に文献情報を挙げて

あるので，そちらも合わせて参照頂きたい．また筆者が影響を受けたり，本書を書くに当たって参

考にさせて頂いた文献についても，以下のリストに含ませて頂いた．基本，本文第 10章までの部分については，書籍や教科書類の紹介とさせて頂き，個別の原著論文の引用は省かせて頂いた．第

11章以降については，最近の研究の話題の紹介なので，原著論文についても一部挙げさせて頂いた．ただし，あくまで読者の参考としての文献リストで，学術的な意味で完備した文献リストであ

ることは意図していないので，その点は御承知おき頂きたい．　

第 1～5章1.「スピンはめぐる」　朝永振一郎　みすず書房．本文中でも何度か言及させて頂いたが，本書が特に参照させて頂いた文献である．朝永振一郎博士にしか書けない，「物理学とは何だろうか」（岩波新書）と並ぶ，朝永先生畢生の名著．

2.「量子力学 II」　岡真　パリティ物理教科書シリーズ　丸善．相対論的量子力学のテキストで，角運動量やスピンについても詳細な説明がある．

3.「ディラック方程式」　日笠健一　臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ 105　サイエンス社．本ライブラリの中の一冊で，場の理論も含めて，ディラック方程式関連の事項が平易に解説されている．

第 5章5章の量子理想気体については標準的な統計力学のテキストには必ず記述が有るが，例えば以下を参照頂きたい．4.「統計物理」　川村光　パリティ物理学コース　丸善．筆者自身による学部向き（後半は一部，大学院前期課程向き）の統計力学のテキスト．その 4章に，本書では省略した具体的な計算の過程の詳細が与えられている．

第 6～9章磁性のテキストは数多くあるが，以下，和文のテキストをいくつか挙げておく．5.「磁性」　金森順次郎　新物理学シリーズ 7　 培風館．磁性全般にわたる豊富な内容がコンパクトに記述されている．

6.「磁性 I」　久保健，田中秀数　朝倉物性物理シリーズ 7　朝倉書店．実験家と理論家の共著．後半では最近の話題までカバーしており，バランスの取れた好著である．

7.「磁性」　芳田奎　岩波書店．

この分野の大家の手による．電子相関や遍歴磁性の部分に重点が置かれている．8.「磁性入門　スピンから磁石まで」　志賀正幸　内田老鶴圃．実験家の手になる．金属磁性も含めた磁性現象全般が平易にまとめられている．

9.「磁性体の統計理論」　小口武彦　物理学選書 12　裳華房．磁性の統計物理的な側面に焦点を当てた，理論家によるテキスト．

10.「磁性物理学」　守谷享　朝倉書店．この分野の大家の手による，著者の個性が光るテキスト．特に後半部の遍歴磁性の部分に特徴がある．

第 10章相転移，臨界現象の和文のテキストとしては，以下の 2つを挙げておく．さらに専門的な勉強をしたい方は，そこに挙げられている文献を参照されたい．11.「統計物理」　パリティ物理学コース 5, 6章　川村光　丸善．12.「相転移・臨界現象の統計物理学」　新物理学シリーズ 35　西森秀稔　培風館．南部陽一郎先生による対称性の自発的破れについては，本ライブラリの以下の号で取り上げられている．13.「対称性の自発的破れ」　臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ 121　菅本晶夫，曹基哲　サイエンス社．

様々なスピン模型の性質や解法については，上記 11.,12.でも取り上げられているが，本ライブラリでも以下の号で扱われている．14.「格子模型の数理物理」　臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ 108　南和彦　サイエンス社．

第 11章フラストレート磁性のレヴュー（総説）を，和文，英文を取り混ぜて，以下，いくつか挙げておく．また上記 6.中の 8章にも，フラストレート磁性に関する話題の紹介がある．15.「矛盾が引き起こすエキゾチックな現象：幾何学的フラストレーション」R. メスナー，A.P.ラミレス，川村光訳　パリティ　丸善　 21巻 9号 (2006) pp.20-29.

16.「フラストレート系の新物性」　川村光　パリティ　丸善　 22巻 1号 (2006) pp.25-28.17. 文部科学省・科学研究補助金・特定領域研究「フラストレーションが創る新しい物性」ホームページ (http://www.frustration.jp)．

18. “Novel States of Matter Induced by Frustration” ed. by H. Kawamura, Special Topics, J.Phys. Soc. Jpn. 79, 011001 (2010).

19. “Introduction to Frustrated Magnetism” ed. by C. Lacroix, P. Mendelse and F. Mila(Springer, Berlin, 2011).

本文中で紹介したフラストレート系の臨界現象については20. H. Kawamura, J. Phys. Condens. Matter 10, 4707 (1998).フラストレート磁性体の磁気相転移の臨界性，特にカイラルユニバーサリティの可能性に関する初期研究のレヴュー．

上記レヴュー以降の理論的発展として本文中で触れたトピックについて，原著論文を挙げておくと，21. A. Pelissetto, P. Rossi and E. Vicari, Phys. Rev. B 63, 140414(R) (2001); P. Calabrese,

P. Parruccini, A. Pelissetto and E. Vicari, Phys. Rev. B 70, 174439 (2004).摂動的高次繰り込み群の計算で，前者が “massive zero-momentum scheme”という繰り込みの処方での 6次の計算，後者が “minimal subtraction scheme”という繰り込みの処方での 5次の計算．

148 参考文献

22. M. Tisser, B. Delamotte and D. Mouhanna, Phys. Rev. Lett. 84, 5208 (2000); Phys.Rev. B 67, 134422 (2003).非摂動的な汎関数繰り込み群の計算．

23. Y. Nakayama and T. Ohtsuki, Phys. Rev. D 91, 021901(R) (2015).本文中でも紹介したブートストラップ共形場理論による臨界現象の解析．

複合自由度系の部分については，本文中図のキャプションに挙げた論文以外に，本文中で紹介した話題の出典として以下の原著論文を挙げておく．24. G. Tatara and H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 71, 2613 (2002).本文中で結果を紹介した，sdモデルに対する摂動計算による，弱結合領域でのカイラリティ起源の異常ホール効果の理論解析．

25. J. Ye, Y.B. Kim, A.J. Millis, B.I. Shraiman, P. Majumdar and Z. Tesanovic, Phys. Rev.Lett. 83, 3737 (1999); K. Ohgushi, S. Murakami and N. Nagaosa, Phys. Rev. B 62(2000) R6065.強結合領域でのカイラリティ起源の異常ホール効果の理論解析．前者はマンガン酸化物を対象，後者はカゴメ格子系を対象としている．

26. H. Katsura, N. Nagaosa and A.V. Balatsky, Phys. Rev. Lett. 95, 057205 (2005).マルチフェルイックスのスピンカレント機構を提案した論文．

27. H. Kawamura and S. Miyashita, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 4138 (1984); H. Kawamura,A. Yamamoto and T. Okubo, J. Phys. Soc. Jpn. 79, 023701 (2010); T. Okubo and H.Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 79, 084706 (2010).3角格子ハイゼンベルグ反強磁性体における Z2 渦の理論的な提案と数値シミュレーション．

28. U.K. Rosler, A.N. Bagdanov and C. Pfleiderer, Nature 442, 797 (2006).B20型化合物 MnSi における磁場中スカーミオン格子相の実験的同定．

29. T. Okubo, S. Chung and H. Kawamura, Phys. Rev. Lett., 108, 017206 (2012).フラストレーション起源の対称的スカーミオン（反スカーミオン）格子相の理論的提案．

第 12章スピングラス全般に関するレヴュー（総説）を，以下，いくつか挙げておく．30. K. Binder and A. P. Young, Rev. Mod. Phys. 58, 801 (1986).スピングラスの実験，理論に関する初期のレヴュー論文．

31. M. Mezard, G. Parisi and M.A. Virasoro, Spin glass theory and beyond (World Scientific,1987).スピングラスの理論研究，特にレプリカ対称性の破れと関連するトピックに関する総論．

32. J.A. Mydosh, spin glasses, Taylor & Francis (1993).スピングラス研究に関する，この分野を主導した実験家の手によるテキスト．

33. J.A. Mydosh, Rep. Prog. Phys. 78, 052501 (2015).上記 32.と同一の著者による，上記に取り入れられていなかった最近の話題を加えたレヴュー．

34. H. Kawamura and T. Taniguchi, “Spin glass”, in Handbook of Magnetic Materials, vol.24,ed. by K.H.J. Buschow, (Elsevier, 2015), p.1.筆者自身による，スピングラスの実験，理論全般に関わるレヴュー．この中に，本文中で簡単に触れたスピングラス磁性体の臨界性質や磁場中相図に関する様々な実験結果についても，詳細な文献情報と共にまとめられているので，必要に応じて参照頂きたい．

以下では，本文中で取り上げたものを中心に個別のトピックに関する参考文献を，原著論文を中心にいくつか挙げておく．

149

35. S. F. Edwards and P. W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975)．エドワーズ–アンダーソン（EA）モデルの導入の原著論文．

36. D. Sherrington and S. Kirkpatrick, Phys. Rev. Lett. 35, 1972 (1975).シェリントン–カークパトリック (SK)モデルの導入．

37. G. Parisi, Phys. Rev. Lett. 43, 1754 (1979) ; G. Parisi, Phys. Rep. 67, 25 (1980) ; ParisiG., Phys. Rev. Lett. 50, 1946 (1983) .レプリカ対称性の破れを正しく取り入れた SKモデルの平均場解の提出．

38. H. Kawamura, J. Phys. Conf. Series 233, 012012 (2010).イジングおよびハイゼンベルグ・エドワーズ–アンダーソン（EA）モデルに関する数値研究の現状に関するレヴュー．本文中で紹介した 3次元イジング・エドワーズ–アンダーソン（EA）モデルの臨界指数についても，詳しい文献情報とともに紹介されている．

39. D.X. Viet and H. Kawamura, Phys. Rev. B 80, 064418 (2009); D.X. Viet and H. Kawa-mura, Phys. Rev. Lett. 102 , 027202 (2009).本文中で紹介した 3次元ハイゼンベルグ・エドワーズ–アンダーソン（EA）モデルのモンテカルロシミュレーションによる転移温度とカイラルグラス臨界指数の評価の原著論文．

40. 川村光，「隠れた秩序」，数理科学 2011年 7月号, p.46（サイエンス社）; “隠されたオーダーパラメータ － スピングラスとカイラリティ”　日本物理学会誌 59, No.1, p.9 (2004).スピングラスとカイラリティに関する和文の紹介記事．

41. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 79, 011007 (2010) .スピングラスとカイラリティに関する理論，実験の英文レヴュー．

42. H. Kawamura, Phys. Rev. Lett. 68, 3785 (1992).スピングラスのカイラリティ・シナリオ提案の原著論文．

第 13章1次元量子スピン系については，上記 6.中の 6, 7章でも，詳しく取り上げられている．加えて，本文中で紹介したトピックについて，以下，原著論文を挙げておく．43. J. des Cloizeau and I. Pearson, Phys. Rev. 128, 2131 (1962).デクロアゾー–ピアソンモードに関する原著論文．

44. F.D.M. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983).ハルデーンギャップの導入．

45. I. Affleck, T. Kennedy, E.H. Lieb and H. Tasaki, Commun. Math. Phys. 115, 477 (1988).AKLTモデルの導入．

46. M. den Nijs and K. Rommelse, Phys. Rev. B 40, 4709 (1989).ストリングオーダーパラメータの導入．

47. C.K. Majumdar and D.K. Gosh, J. Math. Phys. 10, 1399 (1969).マジャンダー–ゴッシュモデルに関する原著論文．

スピン液体のレヴューを，以下，和文と英文 1つずつを挙げておく．48. 川村光　「フラストレーションが生みだす特異なスピンの液体状態」　固体物理　アグネ社49. L. Balents, Nature, 464, 199 (2010).本文中で触れた，スピン液体のトピックに関連した原著論文を，以下いくつか挙げておく．50. Y. Shimizu, K. Miyagawa, K. Kanoda, M. Maesato and G. Saito, Phys. Rev. Lett. 91,

107001 (2003).本文中で紹介した，3角格子有機反強磁性体が低温で示す量子スピン液体的な挙動に関する，最初の実験的な報告の原著論文．

150 参考文献

51. M.P. Shores, E.A. Nytko, B.M. Bartlett and D.G. Nocera, J. Am. Chem. Soc. 127,13462 (2005).本文中で紹介した，カゴメ格子反強磁性体ハーバートスミス石が低温で示す量子スピン液体的な挙動に関する，最初の実験的な報告の原著論文．

52. H. Kawamura, K. Watanabe and T. Shimokawa, J. Phys. Soc. Jpn. 83, 103704 (2014);K. Watanabe, H. Kawamura, H. Nakano and T. Sakai, J. Phys. Soc. Jpn. 83, 034714(2014); T. Shimokawa, K. Watanabe and H. Kawamura, Phys. Rev. B 92, 134407 (2015).本文中で紹介した，ランダムネス（不均一性）を有する量子フラストレート反強磁性体におけるランダムシングレット状態における理論解析の論文．

第 14章遍歴磁性，電子相関については，本文中では簡単に紹介するにとどまっている．より詳しく勉強したい読者のために，いくつか和文の書物を挙げておくので参照されたい．53.「量子多体系の物理　量子現象の基礎を理解するために」　藤本聡，川上則雄　臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ 87　サイエンス社．

54.「電子相関の物理」　斯波弘行　岩波書店．55.「固体の電子論」　斯波弘行　パリティ物理学コース　丸善．56.「電子相関における場の量子論」　永長直人　岩波書店．

151

索 引

欧字AKLTモデル, 125

d�軌道, 51dγ 軌道, 51D線の準位分裂, 8d電子, 45, 48, 145d波, 145�D-ベクトル, 71, 74

eg 軌道, 51

f 電子, 45, 48, 145

γ 行列, 23γ 項, 137g 因子, 12, 26g テンソル, 57

J 多重項, 45

LS 多重項, 44, 52

RKKY相互作用, 76, 111, 141RSB, 113RVB, 128

sd相互作用, 77, 104sdモデル, 140s波, 145

t2g 軌道, 51

VBC, 128VBS, 125

XY ユニヴァーサリティ, 88

Z2 渦, 106, 107

アアハロノフ–ボーム位相, 104アハロノフ–ボーム効果, 104

アンダーソン局在, 138アンダーソン転移, 144アンダーソンモデル, 141

異常磁気モーメント, 12異常ホール効果, 105, 121イジングユニヴァーサリティ, 881次元量子スピン系, 1231次転移, 79, 821重項, 61一般化された磁化, 83一般化された磁場, 83一般化された帯磁率, 83陰イオン, 65

ヴァン・ヴレック常磁性, 58運動交換, 63

エドワーズ–アンダーソンの秩序変数, 113エドワーズ–アンダーソンモデル, 114

オーダーパラメータ, 82重い電子, 141, 145

カ階層的 RSB, 115回転, 72, 76カイラリティ, 93カイラリティ・シナリオ, 117カイラリティベクトル, 75, 106カイラルグラス相, 118カイラルグラス転移, 118カイラルユニヴァーサリティクラス, 97角運動量の交換関係, 12カゴメ格子, 95, 133カゴメ格子ハイゼンベルグ反強磁性体, 131金森–グッドイナフ則, 67金森–ハバードモデル, 143カノニカルスピングラス, 111還元温度, 80

間接交換相互作用, 77

寄生強磁性, 72軌道角運動量, 13, 36軌道角運動量の消失, 56軌道磁気モーメント, 13, 36希土類化合物, 48希薄磁性合金, 111, 140ギャップ指数, 90ギャップト, 124ギャップレス, 123, 131, 137キャント, 71, 93, 10290度配列, 66球対称ポテンシャル, 43球面調和関数, 49キュリー則, 38鏡映, 72, 75共形場ブートストラップ理論, 99強磁性, 2強相関電子系, 145共変形, 18, 23強誘電体, 102協力現象, 78局在スピン, 103, 140巨大磁歪, 100金属磁性体, 76, 140

空間反転, 72空孔理論, 24クーロン相互作用, 43クラマース 2重項, 58クラマースの定理, 58繰り込み群, 92, 99

結晶場, 48結晶歪, 54原子軌道, 60

交換積分, 62交換相互作用, 60格子自由度, 99高スピン状態, 59構造ガラス, 112交流誘電率, 134近藤効果, 104, 140

近藤格子モデル, 141近藤シングレット, 141

サ3角格子, 95, 1313角格子ハイゼンベルグ反強磁性体, 1313重項, 61三方晶, 54残留エントロピー, 95

シェリントン–カークパトリックモデル, 115磁化曲線, 83時間反転, 74時間反転対称性, 58磁気異方性, 57, 116, 118磁気相転移, 79磁気モーメント, 36軸性ベクトル, 72磁性イオン, 65磁性強誘電体, 102自転電子, 10自発磁化, 794面体配位, 48弱強磁性, 72斜方晶, 54ジャロシンスキー–守谷相互作用, 70, 74, 109, 116,133

自由イオン, 43シュテルン–ゲルラッハの実験, 9常磁性, 4, 38シングレット, 61, 122, 145

スカーミオン, 106, 108スカーミオン格子, 107, 108スカーミオン数, 107スカーミオンホール効果, 108スカラー, 17スカラーカイラリティ, 96, 104, 107, 118スカラーポテンシャル, 17, 25スケーリング, 89, 92スケーリング仮説, 89スケーリング関係式, 89スケーリング関数, 90スタガード磁場, 83

153

ストリング相関, 125スピネル化合物, 95, 100スピノール, 18, 30スピノン, 124, 129スピン‐カイラリティ分離, 118スピン・ヤーン–テラー効果, 100スピン液体, 128スピン角運動量, 11, 24スピンカレント, 101スピンカレント機構, 101スピン軌道相互作用, 11, 13, 26, 45, 46, 56, 69スピングラス, 4, 111スピン磁気モーメント, 12, 26スピンテクスチャ, 106スピン波, 124スピン波速度, 124スピンハミルトニアン, 56

整数スピン, 29正方晶, 54ゼーマンエネルギー, 14ゼーマン分裂, 40, 47積層 3角格子, 97遷移金属化合物, 48全角運動量, 45全軌道角運動量, 44全スピン角運動量, 44

相関関数, 84相関長, 84相対論的量子力学, 20束縛軌道, 63

タ対称性の自発的破れ, 85ダイマー相, 127多極子, 146多谷構造, 115単斜晶, 54

秩序変数, 82長距離秩序, 83超交換相互作用, 65直接交換相互作用, 60直接積分, 62

低スピン状態, 59ディラックスピノール, 22ディラック方程式, 22, 25デクロワゾー–ピアソンモード, 124電気分極, 101電子移動, 65電子相関, 143テンソル, 17, 30伝導電子, 76, 103, 140電場, 101

統計性, 28銅酸化物高温超電導体, 145動的ヤーン–テラー効果, 55ドゥブロイ–アインシュタインの式, 20等方的, 88トーマス因子, 11, 14, 27トポロジカルな安定性, 106トポロジカルホール効果, 108朝永–ラッティンジャー液体, 123, 126トリプレット, 61, 122

ナ南部–ゴールドストンボソン, 124南部–ゴールドストンモード, 124

2価表現, 182次転移, 79, 822重交換相互作用, 1042重交換相互作用モデル, 141

ネール状態, 127熱力学第 3法則, 95

ハハーバートスミス石, 133ハーフフィリング, 144ハイゼンベルグ相互作用, 62ハイゼンベルグモデル, 62, 144, 145ハイゼンベルグユニヴァーサリティ, 88ハイパースケーリング, 89, 91パイロクロア化合物, 95パイロクロア格子, 95, 100パウリ行列, 16, 17パウリ原理, 31

154 索 引

パウリ常磁性, 40パウリスピノール, 18パウリの排他律, 31パウリ方程式, 168面体配位, 48ハバードモデル, 143ハルデーンギャップ, 124バレンスボンドグラス, 137バレンスボンド結晶, 128バレンスボンド固体, 125反強磁性, 4反強磁性絶縁体, 144反強磁性揺らぎ, 145反磁性, 39反スカーミオン, 109半整数スピン, 29反束縛軌道, 63反転中心, 72, 75バンド絶縁体, 144反粒子, 24

非線形帯磁率, 111120度構造, 130180度配列, 66

フェルミエネルギー, 33フェルミオン, 28フェルミ温度, 33フェルミ統計, 28, 31フェルミ波数, 33フェルミ分布関数, 33フェルミ粒子, 28フォノン, 145不均一性, 135複合自由度系, 99, 134複雑系, 112不対電子, 3負のエネルギー解, 24普遍性, 87普遍性のクラス, 87フラストレーション, 93, 111, 126フラストレート磁性体, 93, 97, 109ブリルアン関数, 37分子ガラス, 112

分子軌道, 63フントカップリング, 104フントの規則, 44, 52, 59

平均場, 89, 114ベーテ仮説, 123ベキ乗則, 79ベクトル, 17ベクトルカイラリティ, 96, 101ベクトルポテンシャル, 18, 25, 38ヘリカル磁性, 72ヘリシティ, 25偏極中性子散乱, 102

ボーア磁子, 12ボース–アインシュタイン凝縮, 35ボース統計, 28, 31ボース分布関数, 34ボース粒子, 28ホール係数, 121ホール伝導度, 105ボソン, 28ポテンシャル交換, 60

ママグノン, 124マジャンダー–ゴッシュモデル, 127マルチフェロイック系, 101マンガン酸化物, 141, 146

無限レンジモデル, 115

モット絶縁体, 144, 145モット転移, 144, 145モリブデン酸化物, 146

ヤヤーン–テラーイオン, 55, 133ヤーン–テラー効果, 54ヤーン–テラーの定理, 56ヤーン–テラー歪, 55

有機分子磁性体, 131誘電自由度, 101誘電リラクサー, 134輸送現象, 103

155

ユニヴァーサリティ, 87, 92ユニヴァーサリティクラス, 87

陽イオン, 65容易軸的, 88容易面的, 88陽電子, 25

ララーモア反磁性, 39らせん, 72ランジュバン関数, 38ランジュバン常磁性, 38ランダウ–ギンツブルグ–ウィルソンハミルトニアン, 98ランダウ準位, 41ランダウ反磁性, 41ランダウ量子化, 41ランダム磁性体, 111ランダムシングレット, 134, 137ランダムシングレット状態, 139ランダムネス, 111, 133, 135, 144

ランダム平均, 114ランデ（Lande）の g 因子, 47

理想フェルミ気体, 32理想ボース気体, 34立方晶, 48量子効果, 122量子スピン液体, 127量子ベリー位相, 104量子理想気体, 30臨界異常, 79臨界温度, 79臨界現象, 79, 97臨界指数, 79, 87, 89, 117臨界振幅, 81, 87臨界振幅比, 87

レプリカ対称性の破れ, 113レプリカ法, 114レンツの法則, 39

ローレンツ不変性, 21ローレンツ変換, 21, 23

156 索 引

著者略歴

川かわ村むら 　光ひかる

1982年 東京大学大学院理学系研究科物理学専攻博士課程修了1982年 理学博士現　在 大阪大学大学院理学研究科教授

専　門 物性理論，統計物理主要著書 「統計物理」パリティ物理学コース（丸善, 1997）．

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ - 125『重点解説 スピンと磁性　現代物理学のエッセンス』（電子版）著　者 川村 光

2020年 3月10日 初版発行　 ISBN 978–4–7819–9975–3この電子書籍は 2016年 5月25日初版発行の同タイトルを底本としています．

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本誌の内容を無断で複写複製・転載することは，著作者および出版者の権利を侵害することがありますので，その場合にはあらかじめサイエンス社著作権担当者あて許諾をお求めください．

組版　 (株) ディグ　

第1章　序1.1 スピンとは？1.2 物質の磁性1.3 スピンと磁性 ― 本書の構成

第2章　スピンの発見2.1 アルカリ原子の2準位項分裂とシュテルン–ゲルラッハの実験2.2 自転する電子とスピン2.3 スピン磁気モーメント2.4 スピン軌道相互作用とトーマス因子

第3章　パウリのスピン理論 ― 非相対論的量子力学3.1 非相対論的量子力学とシュレーディンガー方程式3.2 パウリ方程式3.3 パウリ行列3.4 スピノール

第4章　ディラックのスピン理論 ― 相対論的量子力学4.1 ディラック方程式4.2 スピン角運動量4.3 空孔理論と反粒子4.4 スピン磁気モーメント4.5 スピン軌道相互作用

第5章　スピンと統計5.1 同種粒子の統計性5.2 量子理想気体5.3 理想フェルミ気体の性質5.4 理想ボース気体の性質

第6章　磁性の起源 ― スピンと軌道6.1 電子スピンによる磁性6.2 電子の軌道運動による磁性6.3 ランジュバン常磁性6.4 ラーモア反磁性6.5 パウリ常磁性6.6 ランダウ反磁性

第7章　自由イオンの磁性7.1 LS多重項7.2 フントの規則7.3 LS結合と全角運動量J7.4 ランデのg因子

第8章　固体内の磁性イオンと結晶場8.1 結晶場8.2 立方対称結晶場 ― 1電子の場合8.3 立方対称結晶場 ― 多電子の場合8.4 低対称結晶場8.5 軌道角運動量の消失とヤーン–テラー効果8.6 磁気異方性8.7 ヴァン・ヴレック常磁性8.8 クラマースの定理8.9 強い結晶場と弱い結晶場 ― 高スピンと低スピン

第9章　交換相互作用9.1 直接交換相互作用 ― ポテンシャル交換9.2 直接交換相互作用 ― 運動交換9.3 超交換相互作用9.4 異方的交換相互作用 ― ジャロシンスキー–守谷相互作用9.5 結晶の対称性とスピンの変換性9.6 結晶の対称性とジャロシンスキー–守谷相互作用9.7 間接交換相互作用 ― RKKY相互作用

第10章　協力現象としての磁性と磁気相転移10.1 磁気相転移10.2 臨界現象と臨界指数10.3 対称性の自発的破れ10.4 ユニヴァーサリティ10.5 スケーリング

第11章　新奇な磁性Ⅰ― フラストレート磁性体11.1 フラストレーションとは？11.2 幾何学的フラストレート磁性体11.3 カイラリティ11.4 フラストレート系の臨界現象11.5 多自由度間カップリングⅠ: 格子 ― 巨大磁歪11.6 多自由度間カップリングⅡ: 誘電 ― マルチフェロイクス11.7 多自由度間カップリングⅢ: 伝導電子 ― 異常ホール効果11.8 トポロジカル励起，スピンテクスチャ

第12章　新奇な磁性Ⅱ ― 乱れとスピングラス12.1 スピングラスとは？12.2 スピングラス秩序状態12.3 スピングラスの統計力学モデルとレプリカ対称性の破れ12.4 ランダム磁気異方性12.5 スピングラスとカイラリティ

第13章　新奇な磁性Ⅲ ― 量子効果とスピン液体13.1 スピン液体とは？13.2 1次元量子スピン系13.3 量子スピン液体13.4 RVB状態13.5 実験的に観測された「量子スピン液体」13.6 ランダムネスが誘起する「量子スピン液体」

第14章　遍歴する電子と磁性14.1 遍歴磁性14.2 局在モーメントと伝導電子 ― 近藤効果14.3 電子相関とハバードモデル14.4 強相関電子系14.5 最後に

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