Econometria 1. Heterocedasticidade 2. Consequências da violação 3. Testes para detectar...
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Econometria 1. Heterocedasticidade 2. Consequências da violação 3. Testes para detectar heterocedasticidade 4. O que fazer? Erro padrão robusto e MQG Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
Econometria 1. Heterocedasticidade 2. Consequências da violação 3. Testes para detectar heterocedasticidade 4. O que fazer? Erro padrão robusto e MQG Danielle
Heterocedasticidade Hiptese do modelo linear: erros so
esfricos, ou seja, possuem varincia uniforme e no esto
correlacionados entre si. Matriz varincia-covarincia (N colunas e N
linhas): termos diagonais so iguais e fora da diagonal so nulos
homocedasticidade e inexistncia de auto- correlao.
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Violao das hipteses Quando h heterocedasticidade, o termo de
erro concebido como sendo retirado de uma distribuio diferente para
cada observao. Se todos os termos fora da diagonal so zero, os
erros so no correlacionados, ou seja, em amostras repetidas, no
existe a tendncia de que o erro associado a uma observao esteja
relacionado ao erro associado a qualquer outra observao. Quando
isto no acontece, h auto- correlao entre os erros.
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Exemplo:. xx1x1 x2x2 y f(y|x) x3x3.. E(y|x) = 0 + 1 x
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Mostrar a matriz de varincia-covarincia no quadro. Neste caso,
o modelo de regresso linear conhecido como Modelo de Regresso
Linear Generalizado. (RLG)
Consequncias Exemplo: consumo uma funo do nvel de renda. Em
nveis mais altos de renda, os consumidores podem ter comportamentos
mais diferenciados da mdia. Erros associados a medio do consumo
tambm podem ser maiores para nveis de renda mais altos. FAZER
GRFICO Valores absolutos mais altos dos resduos direita indicam um
relacionamento positivo entre a varincia do erro e a varivel
dependente. EMQO no viesado porque os erros positivos grandes so
compensados por erros negativos grandes na amostragem repetida, os
casos incomuns se cancelariam. Contudo, a variao da linha de
regresso em torno da mdia ser maior.
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Consequncias Estimadores de MQO ainda no so viesados.
Inferncia: O estimador da varincia do EMQ viesado e no consistente.
Estimativa de intervalo e o teste de hiptese estaro errados.
Usualmente, o vis da varincia para baixo. Formas de correo: estimao
robusta da varincia (estimadores da matriz varincia-covarincia
consistentes com a heterocedasticidade elimina o vis assinttico).
Ateno: o vis permanece para amostras pequenas!
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Consequncias Eficincia: Apesar do EMQ ser no viesado, no mais o
estimador com varincia mnima dentre todos estimadores lineares no
viesados. O EMQG o melhor estimador linear no viesado (BLUE). Este
estimador mais eficiente. Reconhece explicitamente que os erros no
so esfricos. MQG: minimizao de uma soma ponderada dos resduos ao
quadrado (erros com varincias elevadas recebem peso menor e
vice-versa).
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Consequncias Mxima verossimilhana: O EMQ no o EMV no modelo de
RLG com hiptese de normalidade dos termos de erro. O EMQG que o EMV
neste contexto. No contexto de RLG, o EMQG deve ser usado, contudo,
o problema a matriz de varincia- covarincia ser conhecida.
Alternativa: EMQGF estimador de minimos quadrados generalizados
factvel.
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Consequncias Como estimar a matriz varincia-covarincia usando
os dados? N 2 elementos, sendo que N(N+1)/2 elementos diferentes.
Existem apenas N observaes: impossvel estimar esta matriz na forma
geral. Usualmente, devemos supor uma forma especfica para esta
matriz.
Testes grficos Quadrado dos resduos /Resduos so plotados junto
com variveis independentes. Identificar se h uma relao funcional
entre a varivel independente e os resduos.
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Testes grficos
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Testes que usam os resduos EMQO consistente mesmo na presena de
heterocedasticidade. Os resduos gerados do MQO se aproximam, de
forma imperfeita, da heterocedasticidade presente na distribuio
verdadeira dos termos de erro. Testes de diagnstico sero aplicados,
quase sempre, nos resduos MQO.
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Teste Godfeld-Quandt As observaes so ordenadas cfe. a magnitude
da varivel independente relacionada com o erro. Diviso dos dados em
dois grupos: Valores baixos da VI com baixa varincia. Valores altos
da VI com alta varincia. Se a varincia do erro for associada a esta
varivel, a varincia mdia deve ser diferente entre esses dois
grupos. Regresses separadas razo de suas varincias de erros (F) se
for 1, os erros so homocedsticos.
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O teste de Breusch-Pagan No observamos o erros, mas podemos
utilizar suas estimativas: os resduos da regresso por MQO. HIPTESE
NULA: modelo homocedstico. Aps fazer a regresso dos quadrados dos
resduos em todos os xs, podemos utilizar o R 2 para obter um teste
F ou LM. A estatstica F simplesmente a estatstica F da significncia
da regresso: F = [R 2 /k]/[(1 R 2 )/(n k 1)], que tem distribuio F
k, n k 1. A estatstica LM LM = nR 2, que tem distribuio 2 k
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Exemplo Verificar a heterocedasticidade em uma equao simples de
preos de imveis. Aps fazer a regresso original, geramos os resduos
e o quadrado destes resduos em todos os xs (Gravar Resduos
Quadrados cria uma nova varivel no banco de dados chamada
usq1).
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23 Exemplo P-valor baixo, forte evidncia contra a hiptese nula
LM = 88.(0,1601)=14,09 P-valor =~0,0028
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O teste de White O teste de Breusch-Pagan ir detectar formas de
heterocedasticidade lineares. O teste de White permite
no-linearidades por utilizar quadrados e produtos cruzados de todos
os xs. Basta computar a estatstica F ou LM para testar se todos os
x j, x j 2 e x j x h so conjuntamente significativos. Problema: se
muitos regressores, usa muitos graus de liberdade e o teste pode
ter rejeitado a hiptese nula pela existncia de erro de especificao
(omisso de varivel).
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Forma alternativa do teste de White Suponha que o valores
ajustado por MQO, , funo de todos os xs. Logo, 2 ser funo dos
quadrados e produtos cruzados e, portanto, e 2 sero proxies para
todos os x j, x j 2 e x j x h ; ento: Faa a regresso dos resduos ao
quadrado em e 2 e use o R 2 para obter a estatstica F ou LM. Agora
o teste para apenas 2 restries.
Erros-padro robustos Agora que temos uma estimativa consistente
da varincia, sua raiz quadrada ser uma estimativa do erro-padro.
Tais erros-padro so chamados de erros- padro robustos. s vezes a
varincia estimada corrigida pelos graus de liberdade, pela
multiplicao por n/(n k 1). Quando n, essa correo faz pouca
diferena. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Erros-padro robustos (cont.) importante lembrar que esses
erros-padro robustos tm justificativa apenas assinttica com
amostras pequenas, as estatsticas ts obtidas com os erros-padro
robustos no tero distribuio prxima da t, e as inferncias no sero
corretas. No Gretl h a opo de se calcular tais erros- padro
robustos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Mnimos quadrados ponderados Embora seja possvel estimar os
erros-padro robustos para os estimadores de MQO, se soubermos
alguma coisa sobre a forma especfica da heterocedasticidade,
poderemos obter estimadores mais eficientes que os de MQO. Como
devemos especificar a natureza da heterocedasticidade, o processo
de estimao mais trabalhoso. A idia bsica transformar o modelo em
outro cujos erros sejam homocedsticos.
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Exemplo de mnimos quadrados ponderados Suponha que a
heterocedasticidade seja dada por Var(u|x) = 2 h(x). h(x) uma funo
das variveis explicativas e determina a forma da
heterocedasticidade, ou seja, como a varincia depender de x. h(x)
> 0, pois a varincia positiva e h(x) conhecida. O parmetro
populacional 2 no conhecido, mas pode ser estimado atravs do uso
dos dados.
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Exemplo de mnimos quadrados ponderados Neste caso, a varincia
do erro proporcional ao nvel de renda. Quanto maior o nvel de
renda, maior a varincia do termo de erro, ou seja, maior a
variabilidade da poupana. Danielle Carusi Machado - UFF -
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Exemplo de mnimos quadrados ponderados Como usamos a informao
sobre o formato da heterocedasticidade para estimar os parmetros do
modelo e fazer inferncia? Modelo original heterocedstico: Temos que
transformar esta equao de forma que os erros virem homocedsticos.
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Exemplo de mnimos quadrados ponderados E(u i /h i |x) = 0, pois
h i apenas uma funo de x, e Var(u i /h i |x) = 2. Logo, se
dividirmos toda a equao porh i, teremos um modelo com erros
homocedsticos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
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Exemplo de mnimos quadrados ponderados Podemos obter os
estimadores de tal forma que as propriedades de eficincia destes
estimadores MQO sejam melhores do que no modelo anterior com
presena de heterocedasticidade. No exemplo da poupana: O novo
modelo satisfaz as hipteses do modelo linear clssico. Danielle
Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010
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Mnimos quadrados generalizados A estimao da equao transformada
por MQO um exemplo de mnimos quadrados generalizados, MQG. MQG ser
BLUE neste caso. MQG igual aos mnimos quadrados ponderados, MQP (ou
WLS, em ingls) onde cada resduo ao quadrado ponderado pelo inverso
da Var(u i |x i ). Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
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Mnimos quadrados ponderados (cont.) A idia minimizar a soma dos
quadrados ponderados por 1/h i. D-se menos peso para as observaes
com maior varincia. MQO timo se conhecermos Var(u i |x i ). Mas, em
geral, no a conhecemos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
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MQG Factvel Quando no conhecemos a forma da
heterocedasticidade, precisamos estimar h(x i ). Em geral,
iniciamos com uma hiptese flexvel, tal como: Var(u|x) = 2 exp( 0 +
1 x 1 + + k x k ) Precisamos, ento, estimar os s. Danielle Carusi
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MQGF (cont.) Nossa hiptese implica que u 2 = 2 exp( 0 + 1 x 1 +
+ k x k )v, onde E(v|x) = 1; ento se E(v) = 1: ln(u 2 ) = + 1 x 1 +
+ k x k + e, onde E(e) = 1 e e independente dos xs. Agora, podemos
substituir u por , e estimar a equao por MQO. Danielle Carusi
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MQGF (cont.) A estimativa de h obtida por = exp(); o peso ser o
inverso dessa estimativa. Resumindo: Faa a regresso por MQO da
equao original, salve os resduos, , eleve-os ao quadrado e tire o
log. Faa a regresso de ln( 2 ) em todas as variveis independentes o
obtenha o valor ajustado . Faa a regresso por MQP utilizando
1/exp() como ponderador.
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Observaes sobre MQP Lembre-se que utiliza-se MQP apenas por
eficincia, pois MQO continua no tendencioso e consistente. As
estimativas sero diferentes devido a erros amostrais, mas se forem
muito diferentes, ento alguma outra hiptese de Gauss-Markov tambm
deve estar sendo violada. Danielle Carusi Machado - UFF -
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MQG (ponderado MQP) Caso heterocedstico
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49 Exemplo Banco de dados: food.gdt Relacionar gastos em
alimentos com a renda mensal Definir a varivel peso: 1/x (inverso
da renda). Cada varivel, inclusive a constante, multiplicada pela
raiz quadrada do peso. Modelo: outros modelos lineares\mnimos
quadrados ponderados
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Exemplo
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MQGF Heterocedasticidade tem uma forma especfica.
Heterocedasticidade multiplicativa: A varivel explicativa z
determina como a varincia muda para cada observao. Defina Estima os
parmetros por MQO e usa o valor predito para calcular o peso.
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Exemplo 52
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Exemplo 53 Salva os resduos ao quadrado e tira o log
destes.
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Exemplo Tira exponencial dos valores preditos (acha h). Ache o
peso (w=1/h) 54
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Exemplo Rode MQP 55
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Exemplo 56
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Observaes sobre MQP Lembre-se que utiliza-se MQP apenas por
eficincia, pois MQO continua no tendencioso e consistente. As
estimativas sero diferentes devido a erros amostrais, mas se forem
muito diferentes, ento alguma outra hiptese de Gauss-Markov tambm
deve estar sendo violada.
