ECONOMETRIA I · universidad nacional de piura facultad de economÍa departamento acadÉmico de economÍa e c o n o m e t r i a i m. sc. eco. luis a. rosales garcÍa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA

E C O N O M E T R I A I

M. Sc. Eco. LUIS A. ROSALES GARCÍA

CASTILLA, JUNIO DEL 2010.

CAPITULO I

MODELOS DINÁMICOS

1. INTRODUCCIÓN

1.1. JUSTIFICACIÓN

La necesidad de incluir la dinámica temporal en los modelos es:

Existencia de desfases en la disponibilidad de información que hacen que las•decisiones se tomen en base a datos del pasado.

Las decisiones se toman tras un proceso de evaluación que genera un desfase entre la•información evaluada y la acción final.

Determinados procesos complejos necesitan de un periodo de ejecución que,•nuevamente desfasa la acción final de la información valorada.

Existencia de medidas o acciones que tienen efecto en más de un periodo.•

La consideración explícita de la evolución pasada como una expectativa de los valores•presentes.

Existencia de procesos progresivos de ajuste hasta niveles deseados u óptimos.•

Sabemos que las variables económicas tienen bastante inercia, lo que hace que unavariable dependa de su propio pasado, además de otras causas. Así por ejemplo: para tratarde explicar el comportamiento de la inflación , tendría sentido introducir como variablesexplicativas, junto con la tasa de crecimiento monetario , retardo de la propia tasa deinflación:

Es importante observar que la existencia de una relación dinámica entre variables, asícomo su mayor o menor persistencia (número de retardos precisos para representarla),dependen crucialmente de cual sea la frecuencia de observación de los datos que se empleanen la estimación. Por ejemplo, si una variable influye sobre otra no sólocontemporáneamente, sino también durante los dos meses siguientes, entonces la relaciónsería dinámica si el investigador utiliza datos mensuales, pero resultará estática si utilizasedatos anuales.

2

Y X X Yt t t t t= + + +− −β β β ε1 2 1 3 1

Y Xt t t= +β ε1

Y Yt t t= +−β ε3 1 β β1 2 0= =

∆ ∆Y Xt t t= +−β ε1 1

1.2. TIPOS DE MODELOS

Una tipología de modelos uniecuacionales dinámicos (Basado en Hendry, Pagan ySargan, 1984)), el modelo ADL(1,1) es:

donde es exógena débil en relación a los parámetros de interés , y elZt ( )β β β1 2 3, y

error es: .( )ε σ εt N~ ,0 2

Aún cuando todos los modelos tienen una varianza del error, el modelo anterior es

denominado modelo de "tres parámetros". Pese a que es una ecuación muy simple, el modeloADL(1,1) incluye representaciones esquemáticas de nueve distintos tipos de modelosdinámicos como casos especiales. La tabla siguiente presenta estos 9 tipos.

Tipo de modelo Ecuación Restricciones enADL(1,1)

1º Regresión estática β β2 3 0= =

2º Serie de tiempounivariante

3ºEn diferencias / tasade crecimiento

β β β3 2 11= = −;

3

Tipo de modelo Ecuación Restricciones enADL(1,1)

Y Xt t t= +−β ε2 1 β β1 3 0= =

Y X Xt t t t= + +−β β ε1 2 1 β3 0=

Y X Yt t t t= + +−β β ε1 3 1 β2 0=

Y X u u ut t t t t t= + = +−β β ε1 3 1 β β β2 1 3= −

( )( )∆Y X X Yt t t t t= + − − +− −β β ε1 3 1 11 βi∑ = 1

Y X Yt t t t= + +− −β β ε2 1 3 1 β1 0=

4º Indicadoradelantado (leadingindicator)

5º Retardosdistribuidos(distributed lags)

6º Ajuste parcial

7º Common factor(errorautocorrelacionado)

8º Mecanismo deCorrección del Error

9º Forma reducida(dead start)

Los nueve modelos describen muy diferentes estilos de retardos y respuestas de largoplazo de y desde x, tiene diferentes ventajas y desventajas como descripciones decomportamientos de series de tiempo, están diversamente afectados por varios problemas demala especificación, y finalmente, conducen a diferentes estrategias de modelización yestimación.

Los modelos 1º a 4º son claramente modelos de un parámetro, mientras 5º a 9º son dedos parámetros. Con los supuestos planteados, todos menos el modelos 7º son estimables porMínimos Cuadrados Ordinarios (mientras 7º requiere un procedimiento iterativo por mínimoscuadrados). Cada modelo puede ser interpretado como un modelo "por derecho propio", otambién como una derivación (o una aproximación) del modelo ADL(1,1).

La generalización de cada "tipo" en términos de un número mayor de lags y/o variosregresores naturalmente aproximan los casos entre sí. En el cuadro se plantean los modelosmás simples para resaltar sus diferencias y sus propiedades específicas.

De todas maneras, las restricciones necesarias para obtener los distintos casos (aúnsuponiendo modelos con mayor número de lags y/u otros regresores) en general son difícilesde justificar. Aún cuando pueden, en ocasiones, existir argumentos teóricos relevantes paraexplicar una forma específica, es siempre preferible testear el modelo seleccionado versus laforma general no restringida (el ADL(1,1)), lo que contribuye a evitar errores deespecificación importantes.

4

1.3. CLASIFICACIÓN

1.3.1. MODELOS INGENUOS DE EXPECTATIVAS

Los modelos más antiguos de expectativas empleaban valores pasados de las variablesrelevantes, o bien sencillas extrapolaciones de los mismos, como medición de las variablesesperadas.

Consideremos el modelo:

A menos que se especifique de otra manera, las expectativas se forman con base en losperiodos anteriores de tiempo. Por lo tanto, el modelo sume:

es decir, la compañía cree que la utilidades del próximo periodo serán iguales a las de éste.

Un modelo sencillo de extrapolación indicaría que los beneficios del siguiente periodose elevarán en una cantidad igual a la del último incremento. Es decir,

Otro modelo de extrapolación sería indicar que las utilidades se elevarán en unporcentaje igual al del último aumento. Esto da:

En todos los casos se sustituye en el modelo la utilidad esperada por su fórmula deformación de expectativas, quedando:

como la formación de expectativas se deriva del exterior y son ajenas al modelo económico,estas expectativas se consideran exógenas. Por lo tanto, el modelo se estima por mínimoscuadrados ordinarios.

5

ttt eXY ++= *10 βα

)( *11

*1

*−−− −=− tttt XXXX λ

∑∞

=−−−=

01

* )1(i

iti

t XX λλ

Es necesario modificar de manera adecuada la formación de expectativas, cuando secuenta con datos trimestrales o mensuales; porque existen fluctuaciones estacionales. Porejemplo, las ventas de diciembre de este año serían comparables con las del mismo mes delaño pasado, debido a la temporada navideña. La formación de expectativas quedaría:

obsérvese que se comparan meses o trimestres correspondientes y que se toma comoparámetro el último aumento porcentual.

No se recomiendan estos modelos, sin embargo, su uso es frecuente como puntos dereferencia para juzgar los datos de cualquier encuesta sobre expectativas.

1.3.2. MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÁMICOS

Los planteamientos teóricos que conducen a una especificación dinámica son:

Modelo de EXPECTATIVAS ADAPTABLES. Cagan (1956).

Modelo de AJUSTE PARCIAL Nerlove (1956).

Modelo de EXPECTATIVAS RACIONALES. Munth (1960, 1961).

Aº Modelo de Expectativas Adaptativas

El nivel de la variable endógena depende de un valor no observado deYtexpectativas de la exógena , así:Xt

*

Las expectativas se revisan o actualizan en función de las desviacionesobservadas en el pasado, así:

Resolviendo la anterior ecuación diferencial se obtiene:

Sustituyendo el valor de la expectativa en la 1ª ecuación:

6

ti

iti

t eXY +−+= ∑∞

=−−

0110 )1( λλβα

11110 )1()1( −−− −−+−++= ttttt eeYXY λλλβλα

Transformado la expresión anterior, queda:

EJEMPLO:

P. Cagan propuso un modelo analítico en el que la demanda de saldosmonetarios reales se hacía depender del valor esperado de la tasa de inflación futura:

El mecanismo de expectativas adaptativas, utilizado por Cagan (así como M.Friedman en su Teoría de Consumo), es:

que postula que los agentes modifican la expectativa a partir de las expectativas delperiodo anterior y considerando el error de predicción cometido.

Si las expectativas de inflación son estáticas y no se⇒hacen depender del error de predicción que se haya cometido.

Si las expectativas de inflación son totalmente⇒adaptativas, ya que se adapta como valor esperado de la inflaciónfutura el valor que la tasa de inflación ha tomado en este período.Se ignora la información que condujo a formar las expectativaspasadas.

Si en el mecanismo de expectativas se colocan todas las variables de expectativaen el primer miembro, nos queda:

Si se incorporan las expectativas adaptativas al modelo, se tiene el siguienteprocedimiento:

1º Se retarda el modelo un periodo, así:

( )π λ π λπt t t+ − − =1 1* *

7

ttt eXY ++= 10* βα

)( 1*

1 −− −=− tttt YYYY γ

)( 1101 −− −++=− ttttt YeXYY βαγ

2º Se multiplica el modelo retardo por ( 1 - ), nos da:

3º Restamos el modelo menos el modelo retardado, dando:

4º Simplificando y reemplazando por la formación de expectativas, nos queda elmodelo transformado siguiente:

Dado que el modelo transformado involucra una regresión de sobre

, esto se conoce como modelo autorregresivo.

Bº Modelo de Ajuste Parcial de Nerlove

Las variables exógenas determinan el valor óptimo o deseado de la variableXtendógena. . Por ejemplo:Yt

*

Sólo se alcanza una parte del valor óptimo en cada periodo, matemáticamente:

Sustituyendo la primera expresión en la segunda:

Despejando el valor corriente de la endógena:

8

tttt eYXY γγγβγα +−++= −110 )1(

K Y ut t t* ( )= + +β β1 2 1

K K K Kt t t t− = − < <− −1 1 0 1 2δ δ( ) ( )*

K K K

KK K

t t t

tt t

= + −

=− −

−

−

δ δδ

δ

*

*

( )( )

11

1

1

K Y K ut t t t= + + − +−δβ δβ δ δ1 2 11 3( ) ( )

EJEMPLO:

Supongamos que el nivel de capital deseado en la economía, , es una funciónKt*

del nivel de producto :Yt

Si un investigador quisiera proceder a estimar cómo varía el stock de capitaldeseado u óptimo, según la economía transcurre a través de una época de recesión ode expansión, tendría el grave problema de no disponer de observaciones de .Kt

*

Añadimos al modelo anterior una ecuación que describe el mecanismo por el queel stock de capital se ajusta a su nivel deseado. Supongamos:

postula que el stock de capital observado varía de un período a otro en una proporciónde su distancia con respecto al stock deseado.

Si En cada período el stock de capital es igual a su valor deseado.δ = 1 ⇒(Economía donde el stock de capital no está sujeto aimportantes costes de ajuste).

El stock de capital no cambia.δ = 0 ⇒

La ecuación ( 2 ) se puede rescribir:

donde el stock de capital es una combinación lineal convexa del valor deseado y desu valor previo.

Al reemplazar ( 1 ) en ( 2 ) tenemos:

Una vez estimado el modelo, el parámetro se obtiene del coeficiente de ,δ Kt−1

mientras que se obtendría dividiendo el coeficiente de por el valor de yβ2 Yt δ β1

a partir del término independiente estimado.

9

ttt eXY ++= *10 βα

)( 1*

−= ttt XEX θ

...**...** 22112211 ++++++= −−−− tttttt bbXaXaX εεε

ttttttt ebbXaXaY ++++++++= −−−− ...)**...**(* 2211221110 εεεβα

Y Y ut t t= + <−β β1 1 1( )

~ ( )β

ββMCO

t t

T

t

Tt t t

t

t t

T

t

T

TY Y

Y

Y u YY

Y u

Y= =

+= +

−

−

− −

−

−

−

∑

∑

∑

∑∑

12

12

2

1 1

12

12

12

2

2

La ecuación ( 3 ) es la demanda de capital a corto plazo y la ecuación ( 1 ) es lademanda de capital a largo plazo.

Cº Modelo de Expectativas Racionales de Munth

El nivel de la variable endógena depende de las expectativas racionalesYtformadas sobre el valor de la exógena , así:Xt

*

Las expectativas racionales se forman con toda la información disponible hastael periodo anterior:

La esperanza condicional viene representada por un proceso ARMA:

El modelo inicial se convierte en un modelo dinámico:

2. VARIABLE ENDÓGENA REZAGADA

Si aparecen valores retardados de la variable endógena, dejaría de cumplirse uno de lossupuestos bajo los que desarrollamos las teorías de estimación e inferencia del modeloeconométrico, pues algunas de las variables explicativas serían variables aleatorias (ya queYtlo es).

El modelo:

donde u es un proceso de ruido blanco y el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es:

10

E Y u Y E Y Y E uS S t

T

S t

T

S( / ) ( / ) ( )− − − −∑ ∑= =1 12

21 1

2

20

Y utst s

s= −

=

∞

∑ β0

Y Y uu ut t t

t t t

= + <= +

−

−

β βρ ε

1

1

1

Var e er ada E X u sVar Exogena E X u s

t S t

t S t

.Pr det min ( )

. ( )⇒ = ≥⇒ = ∀

−

−

0 00

el estimador será insesgado si y sólo si se cumple: .EY u

Y

t t

T

t

T

−

−

∑

∑

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=1

2

12

2

0

Si la distribución de u fuera independiente de para todo par (t,s), entonces se tendríaYspara s = 2, ..., T

entonces, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios sería insesgado.

Sin embargo, (1) muestra que las distribuciones de y no son independientes,Yt uspuesto que si el valor absoluto de es inferior a la unidad, entonces:β

como depende de y de valores retardados de ; por lo tanto, el estimador de mínimosYt ut utcuadrados del modelo (1) será, en general, sesgado.

El problema se complica sustancialmente cuando aparecen valores retardados de lavariable endógena como variables explicativas y, además el término de error tieneautocorrelación:

la variable explicativa está correlacionada con , y a su vez, está correlacionada con ;Yt−1 ut−1 utentonces una de las variables explicativas del modelo está correlacionada con el término deerror, por lo que ya no se tiene . No podemos garantizar la consistencia delE Y ut t( )− =1 0estimador de mínimos cuadrados ordinarios.

Por lo tanto, el estimador mínimo cuadrado de los coeficientes del modelo para que seaconsistente es que se tenga para todo y para todas las variablesE X ut S t( )− = 0 s ≥ 0explicativas del modelo se tiene:

11

Y Y X ut t t t= + + + <−β β β β1 2 1 3 2 1 1( )

′ =

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

− −

∑ ∑

∑ ∑

∑

X X

T Y X

Y Y X

X

t

T

t

T

t

T

t t

T

t

T

1 12 2

12

21

2

2

2

~ ( ) ( )β βMCO X X X u= + ′ ′−1 2

p pX XT

X uT

pX XT

pX uTMCOlim ~ lim lim limβ β β= +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −1 1

2.1. EL TÉRMINO DE ERROR NO TIENE AUTOCORRELACIÓN

El modelo especificado es:

cuyas variables explicativas y término de error satisfacen las siguientes propiedades:

1º No existe autocorrelación, es decir: .E u E uu IT u T( ) , ( )= ′ =0 2σ

2º es determinista, es decir: .Xt E X u tt t( ) ,= ∀0

3º aunque es estocástica, si , depende de , , ...,E Y ut t( )− =1 0 Yt−1 β 2 1< Yt−1 ut−1 ut−2

pero no de , y si este proceso es un ruido blanco, entonces se tiene el resultadoutcitado.

4º matriz simétrica, definida positiva, donde:p X XT XXlim ′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= Σ

Esta condición se satisface bajo el supuesto , siempre que existan las varianzasβ2 1<y covarianzas de las variables explicativas e .Xt Yt−1

Sabemos que:

aplicando probabilidad límite nos da:

12

1 Si , entonces seE u E uu I E X u y pX XTu T i XX( ) , ( ) , ( ) lim= ′ = ′ =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = < ∞0 02σ Σ

tiene que : .pX uT Klim

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0

2 Si , entonces se tieneE u E uu I E X u y pX XTu T i XX( ) , ( ) , ( ) lim= ′ = ′ =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = < ∞0 02σ Σ

que: ′⎯ →⎯

X uT

NDu XX( , )0 2σ Σ

p MCO XX Klim ~β β β= + =−Σ 1 0

( ~ )β βMCO

X XT

X uT

− =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

TX XT

X uTMCO( ~ )β β− =

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

( ) ( ) ( )( )T N NMCOD

XX u XX u XX( ~ ) , ,β β σ σ− ⎯ →⎯⎯ =− −

Σ Σ Σ1 2 2 1

0 0

( )~ ,β βσ

MCOD u

XXNT

⎯ →⎯⎯⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−2

1Σ

según el teorema de Mann-Wald1 nos queda:

por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es consistente.

A veces no se está interesado en la distribución de un estimador, sino en la de unafunción del mismo. De la ecuación (2) deducimos:

multiplicando por la raíz de T nos da:

aplicando el teorema de Mann-Wald2 tenemos:

Esta distribución sólo es rigurosamente válida según tienda el tamaño muestral a infinito.

En la práctica, se realiza la aproximación siguiente:

1º Pasando y a la derecha, entonces:T β

en muestras grandes.

2º Para muestras suficientemente grande, el límite de es ; entonces, laΣ XX′X XT

matriz puede sustituirse por .Σ XX′X XT

13

( ) ( )Var X XMCO u~β σ= ′ −2 1

GCP SYS GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

Por lo tanto, la matriz de covarianzas se aproxima a:

En cuanto el término de error esté libre de autocorrelación, está justificado el uso demínimos cuadrados en un modelo que incluye retardos de la variable endógena. Puede utilizarsela matriz de covarianzas habitual de dicho estimador, quien tiene además una distribuciónnormal en muestras grandes, por lo que los resultados de inferencia estadística sonaproximadamente válidas.

Lo anterior es válido con independencia del número de retardos de la variable endógenaque aparecen como variables explicativas.

EJEMPLO 1:

Se tiene información trimestral para el periodo 1959 - 1996 de las variablessiguientes:

GCP Gasto de consumo personal.IPD Ingreso personal disponible.SYS Sueldos y salarios.R Tasa de interés activa promedio

especificamos la función consumo siguiente:

se estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================== C -9.587087 2.659345 -3.605055 0.0004 SYS 0.173464 0.020306 8.542600 0.0000 GCP(-1) 0.891955 0.014170 62.94613 0.0000 ==========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999934 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 11.97949 Akaike info criteri 7.824331 Sum squared resid 20808.68 Schwarz criterion 7.885085 Log likelihood -576.0005 F-statistic 1108462. Durbin-Watson stat 1.992817 Prob(F-statistic) 0.000000 ==========================================================

14

$..

.ρ = − = − =12

11 99281692505

20 00359153747518

DW

( )h =−

= <0 00359153747518148

1 148 0 0002007925183780 0443569947499 1645.

.. .

( )QBP = = <148 0 001 0 000184 3842. . .

para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuado debemosverificar autocorrelación:

h de Durbin:

.H Ausencia de autocorrelacion orden0 1: º

se estima el rho:

se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la formasiguiente:

Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula

Box Pierce:

.H Ausencia de autocorrelacion orden m0:

se obtiene del Eviews:

Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|. | .|. | 1 0.001 0.001 0.0002 0.989 .|* | .|* | 2 0.083 0.083 1.0538 0.590 ============================================================== m = 1

se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente:


15

( )QBP = + = <148 0 001 0 083 1025685 5992 2. . . .

LM = <0 000186 384. .

LM = <1071686 599. .

m = 2



Breusch-Godfrey:


m = 1


Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ===================================================== F-statistic 0.000181 Probability 0.989287 Obs*R-squared 0.000186 Probability 0.989120 =====================================================

se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente:


m = 2


Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ===================================================== F-statistic 0.521517 Probability 0.594744 Obs*R-squared 1.071686 Probability 0.585176 =====================================================


Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula.

Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es eladecuado.

16

GCP SYS R GCP ut t t t t= + + + +−α α α α0 1 2 3 1

$..

.ρ = − = − =12

11 9974120053

20 00129399735245

DW

( )h =−

= <0 00129399735245148

1 148 0 000571070246960 0164527854599 1645.

.. .

EJEMPLO 2:

Especificamos la función consumo siguiente:


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C -8.224413 2.632759 -3.123876 0.0022 SYS 0.256588 0.034484 7.440758 0.0000 R -1.823686 0.619578 -2.943434 0.0038 GCP(-1) 0.834550 0.023897 34.92267 0.0000 =========================================================R-squared 0.999938 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999937 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 11.67493 Akaike info criteri 7.779419 Sum squared resid 19627.77 Schwarz criterion 7.860425 Log likelihood -571.6770 F-statistic 778035.5 Durbin-Watson stat 1.997412 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================

para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuadodebemos verificar autocorrelación:

h de Durbin:


se estima el rho:



17

( )QBP = − = <148 0 002 0 000793 3842. . .

( )( )QBP = − + = <148 0 002 0 088 1142607 5992 2. . . .

Box Pierce:



Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|. | .|. | 1 -0.002 -0.002 0.0008 0.977 .|* | .|* | 2 0.088 0.088 1.1739 0.556 ==============================================================

m = 1



m = 2



Breusch-Godfrey:


m = 1


Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ========================================================= F-statistic 0.000834 Probability 0.977003 Obs*R-squared 0.000863 Probability 0.976564 =========================================================

18

LM = <0 000863 384. .

LM = <1241676 599. .

Y Y X ut t t t= + + + <−β β β β1 2 1 3 2 1 1( )

u ut t t= +−ρ ε1

Y Y ut t t= +−β 2 1



m = 2




Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula.

Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es el adecuado.

2.2. EL TÉRMINO DE ERROR TIENE AUTOCORRELACIÓN


y sigue un patrón de autocorrelación de primer orden, es decir:

donde es ruido blanco.ε t

La existencia de autocorrelación en el término de error hace que la propiedad del casoanterior no se satisfaga. . Por ejemplo: Asumamos en (1) que ,( )( )E Y ut t− ≠1 0 β β1 3 0= =entonces el modelo queda:

tenemos:

19

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

E Y u E Y u u E Y u E u u

E Y u E Y u E u u

E Y u E Y u E u E u

E Y u E Y u

E Y u E Y u

E Y

t t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t t

t t t t u

t t t t t u

− − − − −

− − − −

− − − −

− −

− − −

= + = +

= + +

= + +

− =

− + =

1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 1 1

1 2 2 12

1

1 2 22

1 2 2 12

β β

β ρ ε

β ρ ε

β ρσ

β ρ ε ρσ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

t t t t t t u

t t t t u

t t u

t tu

u E Y u E Y

E Y u E Y u

E Y u

E Y u

− − − −

− −

−

−

− − =

− =

− =

=−

1 2 2 1 2 22

1 2 12

2 12

1

2

2

1

1

ρβ β ε ρσ

ρβ ρσ

ρβ ρσ

ρσρβ

( )p

pY u

T

pY

T

MCO

t t

T

t

Tlim ~

lim

lim

β β2 2

12

12

2

= +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

−

∑

∑

como depende de a través del modelo, pero y están relacionados con laYt−1 ut−1 ut−1 utestructura autoregresiva del término de error. En consecuencia y están correlacionados;Yt−1 utpor lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados es sesgado.

Sabemos que:

y si los momentos muestrales convergen en probabilidad a sus análogos poblacionales, elnumerador y el denominador son diferentes de cero; por lo tanto, el estimador de mínimoscuadrados no es consistente. Es decir, el sesgo no desaparece al aumentar el tamaño muestral.

El procedimiento para obtener estimaciones consistentes de un modelo de este tipo seconoce como estimador de variables instrumentales.

Una variable instrumental es una variable que satisface tres condiciones:Zt

1º No está incluida en el modelo como variable explicativa.

20

( )~βVI Z X Z Y= ′ ′−1

[ ] [ ]X Y X Z X Xt t t t= =− −1 11 1

~~~

βββ

1

2

3

12 2

12

1 12

12

21

2

2

2

1

2

12

2

1⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

− − − −

−

−

−

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑VI

t

T

t

T

t

T

t t

T

t t

T

t

T

t t

T

t

T

t

T

t t

T

t t

T

T Y X

X X Y X X

X X Y X

Y

X Y

X Y

2º Está incorrelacionada con el término de error .( )( )E Z ut t = 03º Está correlacionada con la variable para la cual hace de instrumento.

En cuanto a la correlación que debe existir entre una variable instrumental y la variableexplicativa para la que se utiliza, como instrumento, cabe observar lo siguiente:

1º Es importante que dicha correlación exista, porque la variable instrumental sustituyeparcialmente a la variable endógena rezagada en la estimación del modeloeconométrico.

2º Dicha correlación no puede ser muy importante, sino también existiría una correlaciónapreciable entre la variable instrumental y el término de error (esto motivó la necesidadde la variable instrumental).

El primer retardo de la variable exógena satisface estas tres condiciones,( )Xt−1

también podría utilizarse el segundo retardo como variable instrumental; la diferencia( )Xt−2

es que la relación entre esta variable y se hace más indirecta.Yt−1

En general, en el vector X tan sólo habrá unas variables que no satisfagan la condición, y son estas variables las que necesitan de variables instrumentales. Es decir, los( )E Xu = 0

vectores X y Z tendrán en común aquellas variables que están incorrelacionadas con el términode error. El estimador de variables instrumentales viene dado:

donde Z denota la matriz T x K de observaciones muestrales de las variables que componen elvector Z y suponemos que es invertible. Para el ejemplo:′Z X

el estimador de variables instrumentales es:

la matriz dista de ser simétrica.′Z X

El estimador de variables instrumentales del modelo, en general, es sesgado porque lavariable aparece en la matriz ; pero el estimador es consistente bajo las condicionesYt−1 ′Z Xde la proposición siguiente:

21

( )E Z u t

pZ XT

pZ ZT

t K

ZX ZZ

′ = ∀

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

0

lim , lim

( )p pZ XT

Z uT

pZ XT

pZ uTVIlim ~ lim lim limβ β β= +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −1 1

( )p VI ZX Klim ~β β β= + ∑ =−1 0

( )E Z u t

pZ XT

simetrica definida positiva

pZ ZT

no gular

t K

ZX

ZZ

′ = ∀

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

0

lim ,

lim sin

( )pZ uT

yZ uT

NK K u ZZlim ,′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

′≈ ∑0 0 2σ

Sea Z una matriz T x K de observaciones de las variables , quizáZ Z ZK1 2, ,...,aleatorias. Sea la fila t de Z y supongamos que se tiene:′Zt

ambas matrices son singulares y finitas, entonces tenemos:

reemplazando por los supuestos nos da:

la consistencia de proviene de la ausencia de correlación entre instrumentos y término de~βVIerror, con independencia de que éste tenga o no autocorrelación.

En ausencia de autocorrelación, podemos caracterizar la distribución asintótica de ~βVIde la forma siguiente:

Dado el modelo , donde es el vector de variables explicativas, queY X ut t t= ′ +β Xtpuede incluir algunos retardos de la variable endógena, y , el término de error es un ruidoutblanco, sea X la matriz T x K de observaciones de las variables , y supongamosZ Z ZK1 2, ,...,que:

el teorema de Mann - Wald asegura que bajo los tres supuestos mencionados se tiene:

y como:

22

( )TZ XT

Z uTVI

~β β− =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

T N

T N

NT

VI ZX K u ZZ

VI K u ZX ZZ ZX

VIu

ZX ZZ ZX

~ ,

~ ,~ ,

β β σ

β β σ

β βσ

− ≈ ∑ ∑

− ≈ ∑ ∑ ∑′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

≈ ∑ ∑ ∑′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

− −

− −

1 2

2 1 1

21 1

0

0

( ) ( ) ( )[ ]VarTVIu

ZX ZZ ZX~β

σ= ∑ ∑ ∑

′− −

21 1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]VarT

Z XT

Z ZT

Z XT

Z X Z Z Z XVIu

u~β

σσ=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ′ ′ ′

′− −− −

2 1 12 1 1

( ) ( )~~ ~

σβ β

uVI VIY X Y XT K

2 =−

′−

−

converge en distribución a:

Por lo tanto, este resultado justifica que en muestras grandes se utilice como matriz decovarianzas del estimador de variables instrumentales:

y se utiliza las matrices de momentos muestrales , para aproximar sus límites′Z XT

′Z ZT

respectivos de ; reemplazando nos da:∑ ∑ZX ZZ,

El parámetro se estimaría dividiendo la suma residual por el número de grados deσ u2

libertad ( T-K ). Los residuos deben calcularse utilizando las variables originales del modelo,es decir:

Este resultado no puede generalizarse fácilmente al caso en que el término de errortiene autocorrelación, por lo que suele utilizarse la matriz de covarianza anterior incluso en talcaso, aun a sabiendas que no es sino una aproximación.

Se ha presentado el estimador de variables instrumentales como si se dispusiese de unnúmero de instrumentos igual al número de variables explicativas, entonces no existe diferencia

23

entre instrumentos y variables instrumentales.

Generalmente, se dispondrá de un número mayor de instrumentos que de variablesinstrumentales, situación que se denomina " sobreidentificación"; por lo tanto, habría muchasformas de construir las variables instrumentales que precisamos para obtener consistencia.

La matriz de covarianzas del estimador de variables instrumentales depende de losvalores de éstas, por lo que el modo en que los instrumentos se “combinan” para generarvariables instrumentales influye sobre la eficiencia de un estimador de variables instrumentalesrespecto a otro estimador de su misma clase.

Consideremos el modelo siguiente:

en el que las variables , supuestos deterministas, están incorrelacionados conel término de error, y son instrumentos válidos. Pero sólo necesitamos una variable instrumentalpara , y se trataría de buscar cuál de todas las posibles minimiza la varianza del estimadorresultante. Además cualquier combinación lineal de losinstrumentos es asimismo un instrumento válido.

Una posibilidad consiste en generar la variable instrumental que presente mayorcorrelación con , entonces estimamos una regresión auxiliar de esta variable sobre los tresYt−1

instrumentos de que disponemos, para obtener la variable generada , que será una~Yt−1

combinación lineal de , y y, como tal, una variable instrumental válida.X t1 1− X t2 1− X t3 1−

La utilización del vector genera el denominado estimador de( )′ = −Z Y X X Xt t t t t~ , , ,1 1 2 3

mínimos cuadrados en dos etapas .( )~βMC E2

El estimador de mínimos cuadrados bietápicos es el estimador lineal de variablesinstrumentales eficiente, en el sentido de tener mínima matriz de covarianza entre losestimadores que utilizan como variables instrumentales combinaciones lineales de losinstrumentos disponibles.

La aplicación del método de mínimos cuadrados bietápicos requiere los siguientespasos:

1º Estimar una regresión auxiliar de sobre los tres instrumentos de que

disponemos, para obtener la variable predicha , que será una combinación lineal~Yt−1

de y, como tal, es una variable instrumental válida.

2º Se sustituye en el modelo original por y se estima el modelo transformado~Yt−1

24

GCP IPD GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

$.

.ρ = − = − =12

117096162998

20145191850101

DW

( )h =−

= >0145191850101148

1 148 0 0006172052005891852993577 1645.

.. .

por mínimos cuadrados ordinarios.

EJEMPLO 3: Especificamos la función consumo siguiente:


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000 =========================================================R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095 Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888850 Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297. Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================


h de Durbin:


se estima el rho:


Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula

25

( )QBP = = <148 0145 3106615 3842. . .

( )QBP = + = >148 0145 0168 7 285250 5992 2. . . .

Box Pierce:



Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|* | .|* | 1 0.145 0.145 3.1700 0.075 .|* | .|* | 2 0.168 0.150 7.4631 0.024 ==============================================================

m = 1



m = 2



Breusch-Godfrey:


m = 1



26

LM = <3208674 384. .

LM = >6 741162 599. .

( )~~~~

...

αααα

VI Z X Z Y=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= ′ ′ =−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−0

1

2

1

41916030 2985470 686558

( ) ( )~~ ~

.σβ β

uVI VIY X Y X

2

148 31654665=

−′

−−

=



m = 2




Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.

Concluimos que mínimos cuadrados ordinarios no es el método de estimaciónadecuado y debemos aplicar el método de variables instrumentales de la siguiente forma:

Primero creamos los grupos y a continuación se convierten en matrices, tenemos losgrupos siguientes:

G1 = [ 1 IPD GCP(-1) ] X ≡

G2 = [ GCP ] Y≡

G3 = [ 1 IPD IPD(-1) ] Z≡

Obtenemos el estimador de los coeficientes de variables instrumentales, así:

a continuación se calcula el estimador de la varianza de la perturbación, de la siguientemanera:

27

( ) ( ) ( )( )Var Z X Z Z Z XVI u~ ~

. . .. . .

. . .β σ= ′ ′ ′ =

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

− −2 1 1

6861411 0 093411 01011530 093411 0 002198 0 002403

0101153 0 002403 0 002628

( )t

ttt VARVI

i

i

~

~

~

~

~α

α

α

α

α

α=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

0

1

2

-1.60019686721 6.36810211651 13.3934789812

GCP IPD R GCP ut t t t t= + + + +−α α α α0 1 2 3 1

ahora se estima la varianza de los estimadores de variable intsrumental, así:

con esta información podemos calcular el t estadístico para cada estimador de variableinstrumental, de la forma siguiente:

EJEMPLO 4:



Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 2.046243 2.649849 0.772211 0.4413 IPD 0.214902 0.032202 6.673643 0.0000 R -0.495999 0.517889 -0.957733 0.3398 GCP(-1) 0.778189 0.035086 22.17975 0.0000 =========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00548 Akaike info criteri 7.835259 Sum squared resid 20754.96 Schwarz criterion 7.916265 Log likelihood -575.8092 F-statistic 735778.3 Durbin-Watson stat 1.679188 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================


28

$..

.ρ = − = − =12

11 67918769606

20160406151972

DW

( )h =−

= >0160406151972148

1 148 0 00123099578102215786848852 1645.

.. .

( )QBP = = <148 016 37888 3842. . .

( )( )QBP = + = >148 016 018 8591901 5992 2. . . .

h de Durbin:


se estima el rho:



Box Pierce:



Correlogram of Residuals===========================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148=========================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob =========================================================== .|* | .|* | 1 0.160 0.160 3.8730 0.049 .|* | .|* | 2 0.180 0.158 8.8008 0.012 =========================================================== m = 1



m = 2



29

LM = >4 341279 384. .

LM = >9 252508 599. .

Breusch-Godfrey:.H Ausencia de autocorrelacion orden m0:

m = 1





m = 2





La estimación de mínimos cuadrados ordinarios presenta autocorrelación y el modelotiene dos variables exógenas, entonces el método adecuado es mínimos cuadrados en dosetapas.

En el Eviews escribimos el comando siguiente:

TSLS GCP C IPD R GCP(-1) @ C IPD IPD(-1) R R(-1)


30

Y X X X ut t t S t S t= + + + + +− −β β β β1 2 2 3 2 1 2...

Dependent Variable: GCP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints Instrument list: C IPD IPD(-1) R R(-1) ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 1.645073 2.834786 0.580316 0.5626 IPD 0.194944 0.059191 3.293451 0.0012 R -0.269375 0.765920 -0.351701 0.7256 GCP(-1) 0.799938 0.064501 12.40185 0.0000 =========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.02149 Sum squared resid 20810.34 F-statistic 733707.8 Durbin-Watson stat 1.711471 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================

3. VARIABLE EXÓGENA REZAGADA

Si el modelo es del tipo:

no se incumplen las hipótesis básicas del modelo lineal general, porque las distintas variablesexplicativas del modelo de regresión son todas deterministas.

En este modelo aparecen tan sólo dos posibles dificultades:

1º Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionadosentre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable.Cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de , más importante será laXtpresencia de alto grado de multicolinealidad.

2º Cuando la estructura de retardos es de orden infinito, entonces es imposible estimardirectamente el modelo, porque no tendríamos observaciones suficientes para ello.Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricciónentre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con unnúmero reducido de variables explicativas.

En la formación de expectativas, otros modelos utilizan el total de la historia,asignando pesos específicos que decrecen a los valores anteriores, a medida que se retrocedehacia el pasado distante. Estos se conocen como modelos de expectativas de rezagosdistribuidos.

31

YXkIXXk ')'()(ˆ 1−+=β

)1/(0

+=∑=

− rXZr

iitt ∑∑

==−=

r

ii

r

iitit pXpZ

00

∑=

−=r

iitt XZ

0

rrt LLLLW ωωωωω +++++= ...3

32

210

ttt eXLWY += )(*α

π γ πt i t ii

K

+ −=

= ∑10

*

Las posibles soluciones al problema de estimación en presencia de variables exógenasretardadas son los siguientes:

1º Utilizar estimadores adecuados en el caso de multicolinealidad severa(ESTIMADORES CRESTA).

2º Elaborar una única variable transformada, por ejemplo:

3º Estimar con distribuciones de retardos.

3.1. RETARDOS FINITOS

Consideremos el siguiente modelo de Demanda de saldos reales:

el mecanismo de expectativas adaptativas es:

también se puede expresar de la siguiente forma:

Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valoresrezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignan aestos valores pasados.

El modelo de rezago distribuido finito se obtiene sustituyendo la ecuación de ajustede expectativas en el modelo original, el resultado es el siguiente:

32

MP

u u ut

ti t i

i o

K

t i t ii o

K

t i t ii o

K

t= + + = + + = + +−=

−=

−=

∑ ∑ ∑β β γ π β β γ π β β π1 2 1 2 1*

∑=

−+=r

i

iLirLW0

)1()(

2/)1()1()(1

0

rsconLirLiLWr

si

is

i

i =−+++= ∑∑=

−

=

∑=

++++=r

i

iqq LiiiLW

0

2210 )...()( γγγγ

),0()...()(0

22210∑

=

≈+++++=r

ii

ii

qq NconLiiiLW υσυυγγγγ

multiplicando y simplificando se obtiene:

en términos de sumatoria sería:

Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionadosentre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable; porlo tanto, cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de , más importante será lapresencia de alto grado de multicolinealidad.

Existen planteamientos alternativos de distribuciones de retardos finitos, por ejemplo:

1º Aritmética:

2º V Invertida:

3º Almon:

4º Shiller:

33

jkn

conLBALW kji

q

kkjkkjk .

12)cossen()(

0 +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∑

=

πθθθβ

5º Armónicas:

Consideraremos a Almon que generalizó para el caso en que sigue un polinomiode grado r en i. Esto se conoce como rezago de Almon o polinomial. Se denota como PDL(K, r), donde PDL significa una distribución polinomial de rezagos, K es la longitud derezagos y r es el grado del polinomio. Por ejemplo, si r = 2, escribimos:

Sustituyendo el PDL en el modelo transformado, se obtiene:

definiendo:

reemplazando en el modelo anterior, nos queda:

se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene los estimados de , luego

a partir del polinomio se calcula los valores de .

Al reducir el número de parámetros a estimar, se simplifica el modelo original ydisminuye el riesgo de alto grado de multicolinealidad en el modelo auxiliar, aunque al seréste más restrictivo, cabe la posibilidad que el modelo resultante auxiliar no esté bienespecificado, lo que originaría sesgos en las estimaciones de sus parámetros.

Aunque todos los desarrollos se han realizado considerando una sola variable exógena Xtcon varios retardos, los polinomios anteriores se pueden aplicar a estructuras más complejasde retardos distribuidos en distintas variables exógenas y en la endógena.

Los rezagos polinomiales suponen tres tipos de problema:

1º Problemas de distribuciones de cola prolongada.- es difícil captar distribuciones deretardo de colas prolongadas, como la que se observa en el gráfico.

34

GCP IPD ut i t ii

m

t= + +−=∑α β

0

Para resolver este problema puede utilizarse un polinomio por tramos, o bienun polinomio para la inicial y un rezago de Koyck o geométrico para la últimaparte.

2º Problema en la elección de la longitud del retardo K.- Schmidt y Waud sugierenescoger K con base en la máxima: Frost efectuó una simulación experimentalutilizando este criterio y descubrió un importante sesgo hacia arriba en la longitud delrezago. Por lo tanto, para corregir el sesgo Frost sugiere utilizar relaciones F mayoresque 1, es decir, F = 2.

3º Problemas para escoger r, el grado del polinomio.- Si se especifica en forma correctala longitud K del rezago, entonces lo que se hace es iniciar con un polinomio de gradolo suficientemente alto (cuarto o quinto grado) e ir hacia atrás (forma secuencial) hastarechazar la hipótesis nula (no significancia).

EJEMPLO 5:


primero se elige el retardo óptimo, estimando por mínimos cuadrados ordinarios la funciónconsumo con cero retardos, un retardo, dos retardos y así sucesivamente; finalmenteelegimos la mejor estimación. mediante los criterios de información.

En el Eviews se escribe los comandos siguientes:

LS GCP C IPD

LS GCP C IPD IPD(-1)

LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2)

LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3)

35

LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3) IPD(-4)

.............................................................

De las estimaciones de Eviews construimos el siguiente cuadro:

================================================

M T AKAIKE SCHWARZ R 2

================================================ 0.000000 148.0000 0.999459 9.916938 9.957441 1.000000 148.0000 0.999550 9.739763 9.800517 2.000000 147.0000 0.999595 9.640053 9.721425 3.000000 146.0000 0.999625 9.568611 9.670790 4.000000 145.0000 0.999656 9.489712 9.612887 5.000000 144.0000 0.999687 9.399949 9.544315 6.000000 143.0000 0.999712 9.323912 9.489665 7.000000 142.0000 0.999728 9.270235 9.457576

8.000000 141.0000 0.999739 9.236198 9.445330 9.000000 140.0000 0.999744 9.221678 9.452807 10.00000 139.0000 0.999755 9.185458 9.438794 11.00000 138.0000 0.999768 9.136352 9.412107 12.00000 137.0000 0.999772 9.122193 9.420585 13.00000 136.0000 0.999779 9.097349 9.418598 14.00000 135.0000 0.999786 9.072103 9.416432 15.00000 134.0000 0.999789 9.063944 9.431580 16.00000 133.0000 0.9998067 8.978877 9.370052 17.00000 132.0000 0.9998066 8.984089 9.399037 18.00000 131.0000 0.999804 9.003127 9.442089 19.00000 130.0000 0.999801 9.023694 9.486911 20.00000 129.0000 0.999797 9.045514 9.533234 ===============================================

elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado, el menor Akaike y el menor Schwarz.

Se aplica el polinomio de retardos distribuidos y se estima por mínimos cuadradosordinarios, empezamos el proceso utilizando un polinomio de grado alto (sexto grado); y severifica si el coeficiente correspondiente a este grado es significativo.

Si no lo es, entonces disminuimos un grado el polinomio y se vuelve a verificar lasignificancia.

Si lo es, entonces esa es la estimación adecuada.

El comando para estimar es:LS GCP C PDL(IPD, 16, 6)

el eviews nos muestra el resultado siguiente:

36

( )t tPDLβ 07

1832573 19791240 95 125= < =. .. ,

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -6.339855 3.600894 -1.760634 0.0807 PDL01 -0.012270 0.030316 -0.404748 0.6864 PDL02 -0.005282 0.013266 -0.398128 0.6912 PDL03 0.009811 0.009862 0.994854 0.3217 PDL04 0.000367 0.000950 0.386271 0.7000 PDL05 -0.000659 0.000472 -1.396955 0.1649 PDL06 -9.23E-06 1.30E-05 -0.709186 0.4795 PDL07 9.78E-06 5.33E-06 1.832573 0.0692 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 07 0:β =

Por lo tanto, no es significativo.

Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cinco del polinomio.

El comando para estimar es:LS GCP C PDL(IPD, 16, 5)


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -6.050610 3.630943 -1.666402 0.0981 PDL01 0.034509 0.016505 2.090798 0.0386 PDL02 -0.008626 0.013262 -0.650385 0.5166 PDL03 -0.007747 0.002358 -3.286186 0.0013 PDL04 0.000644 0.000946 0.680622 0.4974 PDL05 0.000202 4.09E-05 4.943113 0.0000 PDL06 -1.32E-05 1.30E-05 -1.016531 0.3113 ==================================================

37

( )t tPDLβ 06

1016531 197897060 95 126= − < =. .. ,

Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 06 0:β =


Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cuarto del polinomio.

El comando para estimar es:

LS GCP C PDL(IPD, 16, 4)


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ========================================================= C -5.808098 3.623573 -1.602865 0.1114 PDL01 0.035690 0.016467 2.167386 0.0321 PDL02 0.003547 0.005701 0.622171 0.5349 PDL03 -0.007954 0.002349 -3.386001 0.0009 PDL04 -0.000308 0.000135 -2.278716 0.0244 PDL05 0.000206 4.08E-05 5.052374 0.0000 =========================================================R-squared 0.999819 Mean dependent var 2025.369 Adjusted R-squared 0.999812 S.D. dependent var 1456.228 S.E. of regression 19.97692 Akaike info criterion 8.871096 Sum squared resid 50682.82 Schwarz criterion 9.001487 Log likelihood -583.9279 F-statistic 140257.9 Durbin-Watson stat 0.484322 Prob(F-statistic) 0.000000 ========================================================= Lag Distribution of IPD i Coefficie Std. Error T-Statistic ============================================================ . *| 0 0.49948 0.04026 12.4056 . * | 1 0.22122 0.01176 18.8102 . * | 2 0.06149 0.01836 3.34862 *. | 3 -0.01368 0.02152 -0.63571 *. | 4 -0.03333 0.01861 -1.79085

38

( )t tPDLβ 05

5052374 197881953470 95 127= < =. .. ,

GCP IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD

t t t

t t t

t t t

t t t

t t t

t

= − + ++ − −− + ++ + +− + −− +

−

− − −

− − −

− − −

− − −

−

5808098244 0 4994778688 0 2212198230 06149146821 0 01368081228 0 03332815580 02153941711 0 00253887094 0 024702497440 03568957339 0 03118053171 0 011798127250 01689256324 0 04438414106 0 05522688560 02902875434 0

1

2 3 4

5 6 7

8 9 10

11 12 13

14

. . .. . .. . .. . .. . .. .05954461717 0 240769915315 16IPD IPDt t− −+ .

GCP R IPD ut t i t ii

m

t= + + +−=∑α α β0 1

0

*. | 5 -0.02154 0.01451 -1.48436 * | 6 0.00254 0.01370 0.18539 * | 7 0.02470 0.01553 1.59095 .* | 8 0.03569 0.01647 2.16739 .* | 9 0.03118 0.01536 2.03015 * | 10 0.01180 0.01400 0.84292 *. | 11 -0.01689 0.01589 -1.06299 *. | 12 -0.04438 0.02046 -2.16924 * . | 13 -0.05523 0.02297 -2.40470 *. | 14 -0.02903 0.01876 -1.54705 .* | 15 0.05954 0.01324 4.49886 . * | 16 0.24077 0.04599 5.23524 ============================================================ Sum of Lags 0.97433 0.00304 320.727 ============================================================

Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 05 0:β =

Por lo tanto, es significativo.

La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente:

EJEMPLO 6:


se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior.

39

Determinamos el retardo óptimo:

================================================

M T AKAIKE SCHWARZ R 2

================================================ 0.000000 148.0000 0.999708 9.307039 9.367793 1.000000 148.0000 0.999729 9.240432 9.321438 2.000000 147.0000 0.999726 9.256498 9.358214 3.000000 146.0000 0.999724 9.270765 9.393379 4.000000 145.0000 0.999724 9.275053 9.418758 5.000000 144.0000 0.999730 9.258455 9.423444 6.000000 143.0000 0.999735 9.245726 9.432199 7.000000 142.0000 0.999739 9.236356 9.444513 8.000000 141.0000 0.999744 9.225159 9.455204 9.000000 140.0000 0.999746 9.222191 9.474332 10.00000 139.0000 0.999755 9.192085 9.466532 11.00000 138.0000 0.999767 9.147645 9.444613 12.00000 137.0000 0.999771 9.135508 9.455214

13.00000 136.0000 0.999777 9.111658 9.454324 14.00000 135.0000 0.999784 9.086885 9.452734 15.00000 134.0000 0.999787 9.078252 9.467514 16.00000 133.0000 0.9998052 8.993054 9.405961 17.00000 132.0000 0.9998051 8.998324 9.435112 18.00000 131.0000 0.999802 9.017919 9.478829 19.00000 130.0000 0.999799 9.038893 9.524168 20.00000 129.0000 0.999795 9.060936 9.570825 ===============================================

elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado y el menor Akaike; si se considerará el criterio Schwarz el óptimo sería 1.

Elección del grado de polinomio óptimo:

El comando para estimar es:

LS GCP C R PDL(IPD, 16, 6)


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.162016 5.836322 -1.398486 0.1645 R 0.499054 1.255326 0.397550 0.6916

40

( )t tPDLβ 05

1804222 197928011660 95 124= < =. .. ,

( )t tPDLβ 06

0 970754 1979124109420 95 125= − < =. .. ,

PDL01 -0.010006 0.030947 -0.323329 0.7470 PDL02 -0.005299 0.013311 -0.398116 0.6912 PDL03 0.009571 0.009914 0.965390 0.3362 PDL04 0.000355 0.000954 0.372635 0.7101 PDL05 -0.000650 0.000474 -1.371854 0.1726 PDL06 -8.85E-06 1.31E-05 -0.676314 0.5001 PDL07 9.67E-06 5.36E-06 1.804222 0.0736 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 07 0:β =

Por lo tanto, el coeficiente del grado sexto del polinomio no es significativo,entonces estimamos el modelo considerando un polinomio de quinto grado y los resultadosdel Eviews son:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.290242 5.888299 -1.407918 0.1616 R 0.612332 1.265014 0.484052 0.6292 PDL01 0.036662 0.017143 2.138648 0.0344 PDL02 -0.008603 0.013303 -0.646677 0.5190 PDL03 -0.007808 0.002368 -3.297102 0.0013 PDL04 0.000626 0.000950 0.659165 0.5110 PDL05 0.000202 4.11E-05 4.912057 0.0000 PDL06 -1.27E-05 1.30E-05 -0.970754 0.3335 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 06 0:β =


El coeficiente del grado quinto del polinomio no es significativo, entonces estimamosel modelo considerando un polinomio de cuarto grado y los resultados del Eviews son:

41

( )t tPDLβ 05

501515 1978970601990 95 126= < =. .. ,

GCP R IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD

t t t

t t t

t t t

t t t

t t t

t

= − + ++ + −− − ++ + ++ − −− −

− − −

− − −

− − −

− − −

−

8 423678855 0 7121166325 0 48741923420 214724703 0 05901103723 0 013431585550 03139067077 0 01873140654 0 0056033362770 02759300405 0 03813936043 0 033066486290 01312077977 0 01602904374 0 043791951610 05465459393 0 0281813035

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13

. . .. . .. . .. . .. . .. . 8 0 06098590386

0 2431273314 15

16

IPD IPDIPD

t t

t

− −

−

++

..

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.423679 5.885348 -1.431297 0.1548 R 0.712117 1.260543 0.564929 0.5731 PDL01 0.038139 0.017071 2.234169 0.0272 PDL02 0.003023 0.005791 0.521900 0.6027 PDL03 -0.008015 0.002358 -3.399155 0.0009 PDL04 -0.000286 0.000141 -2.024389 0.0450 PDL05 0.000205 4.09E-05 5.015150 0.0000 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 05 0:β =

Por lo tanto, es significativo.

La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente:

3.2. RETARDOS INFINITOS

Consideremos el modelo de Demanda de saldos reales:

el mecanismo de expectativas adaptativas es:

42

π γ πt i t ii

+ −=

∞

= ∑10

*

LLW

λλ

−−=

11)(

positivoyenterorconL

LW r

r

)1()1()(

λλ

−−=

nymdodepolinomiosLVyLUconLVLULW gra)()(

)()()( =

en forma de sumatoria se expresa:

cuando el número de retardos es infinito es imposible estimar directamente el modelo,porque no tendríamos observaciones suficientes para ello.

Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valoresrezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignana estos valores pasados.

Los modelos de rezago distribuido recibieron mayor atención en la década de 1950,cuando Koyck, Cagan y Nerlove sugirieron utilizar una distribución infinita de rezagos, conpesos específicos que se reducen en forma geométrica.

Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricciónentre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con un númeroreducido de variables.

Algunos planteamientos alternativos de distribuciones de retardos infinitos son:

1º Geométrica:

2º Pascal:

3º Racional:

4º Gamma:

43

∑∞

=

− −Γ

=0

1 )exp()(

1)(i

is Liis

LW

0exp)(0 1

<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∑ ∑∞

= =m

i

m

k

kk pconipLW

5º Exponencial:

Si los decrecen de manera geométrica, es posible escribir:

entonces la suma de la serie infinita es , y si esta suma es igual a 1, se deberá tener

. Así,

Al sustituir esta expresión en el modelo original, nos da:

esto abarca una serie infinita y los valores infinitos anteriores de no se observan , espreciso resolver este problema de alguna forma. Lo que se hace es dividir la serie en dospartes : el pasado observado y el no observado. Las series infinitas se escriben:

La primera parte se observa y se denota por medio de , la segunda parte puedeescribirse:

sustituyendo en el modelo, queda:

44

MP

Z ut

tt

tt= + + +β β γλ1 2 1

( )u N It u T≈ 0 2,σ

ln , , , , ln lnLMP

ZT T M

PZt

tt u

u

t

tt

t

t

T

1 1 22

2 1 21

2

22

21

2β β γ λ π σ

σβ β γλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − − − − − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑

( )

( )

~~

~

ββγ

λ λλ

λ

λ λλ

λ

1

2

11

12

11

12 2

2

1

1

11

1

11

11

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

= =

−

=

=

=

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

T Z

Z Z

Y

Z Y

Y

tt

T T

tt

Tt

tt

T

T

tt

T

t tt

T

tt

t

T

en realidad el parámetro c no interesa, dependen de .

Aplicaremos el método de estimación de máxima verosimilitud al modelo:

suponemos:

El logaritmo de la función de verosimilitud es:

se maximiza la función de verosimilitud con respecto a es equivalente aβ β γ λ1 2, , yminimizar la suma residual. Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud coincide conel estimador de mínimos cuadrados ordinarios.

Como el parámetro debe tomar valores en el intervalo (-1,1), entonces es posibleλhacer una partición de dicho intervalo, por ejemplo: -1, -0.9, ..., 0, 0.1, 0.2, ..., 1 y estimarel modelo por mínimos cuadrados ordinarios bajo cada uno de estos valores de ,λobteniendose:

45

( )

( )I

T ZZ

t

Z ZZ

t Z

Zt

u

u

tt

T Tt t

t

T

tt

Tt

tt

Tt t

tt

T

Tt t−

=

−

=

= =

−

=

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

−−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

+

∑ ∑

∑ ∑ ∑1

1

2

2

2

11

21 1

1

12

11

12

1 11

12 2

2 21 1

11

0

0

11

~~

~~

~

ββγλ

σ

σ

λ λλ β

∂∂λ λ γ

λ β∂∂λ λ γ

λ λλ

β∂∂λ λ γ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

−

=

−

∑

∑

λ

β∂∂λ λ γ

σ

t

t

T

t t

t

T

u

Zt

T

1

21 1

2

1

2

1

0

0

2

En general, no tiene mucho sentido suponer que los coeficientes del modeloβ ioriginal alternan en signo, por lo que se supone inferior a la unidad en valor absoluto,λpero positivo; entonces, es el intervalo (0,1) el que se particiona.

Tras estimar el modelo suponiendo los diferentes valores de , se escoge aquelλvalor de que generó una suma residual menor o un coeficiente de determinación más alto.λLas estimaciones de y son las que se obtuvieron con dicho valor de .β1 β2 λ

Si queremos afinar más en los valores numéricos estimados, puede hacerse unasubdivisión de un intervalo alrededor del valor de inicialmente estimado, y repetir elλproceso.

La matriz de covarianzas apropiada es la inversa de la matriz de información, puesel estimador que se ha obtenido es, en realidad, el de máxima verosimilitud.

Para ello, habría que obtener la matriz de segundas derivadas de la función deverosimilitud con respecto al vector de parámetros , puesto que ahora se( )β β γ λ σ1 2

2, , , , u

estiman todos simultáneamente. Dicha matriz de covarianzas es:

algunas observaciones:

1º La varianza del estimador es igual a , y es independiente de .~σu2 2 2σ u

T~ , ~ , ~ ~β β γ λ1 2 y

2º La submatriz superior de orden 3 x 3 coincide con la matriz que se utilizó paraobtener el estimador de mínimos cuadrados ordinarios.

Para la estimación del modelo transformado se sigue el procedimiento siguiente:

1º Para cada valor de en el rango ( 0 , 1 ) se construyen las variables:

46

( )GCP IPD ut i t ii

t= + +−=

∞

∑α β0

1

( ) ( )GCP IPD uti

t ii

t= + − +−=

∞

∑α λ λ1 20

es decir:

y así sucesivamente; y .

2º Estimamos el modelo transformado por el método de mínimos cuadrados ordinariosy obtenemos la suma de cuadrados residual.

3º Se escoge el valor de para el que la suma residual es mínimo y obtenemos losvalores correspondientes de como los estimados de mínimos cuadradosque se desean.

4º Si queremos afinar más en los valores numéricos estimados, puede hacerse unasubdivisión de un intervalo alrededor del valor de inicialmente estimado, y repetirel proceso anterior.

Obsérvese que, dado que son funciones no lineales de , la estimación delmodelo transformado involucra el método de mínimos cuadrados no lineales. Sin embargo,para un valor dado de , tenemos un modelo lineal de mínimos cuadrados. Así, utilizamosun procedimiento de búsqueda sobre . En la práctica, se elige en intervalos de 0.1 enel primer paso y de 0.01 en el segundo.

EJEMPLO 7:


Si los decrecen de manera geométrica, es posible escribir:

entonces la suma de la serie infinita es , y si esta suma es igual a 1, se deberá tener

. Así,

47

( ) ( )λ αλ λ λ λGCP IPD uti

t ii

t−+

− −=

∞

−= + − +∑11

10

11 3

( ) ( )GCP IPD GCP u ut t t t t= + − + + −− −α λ λ λ1 1 1

GCP IPD GCP ut t t t= + + +−α λ λ* *1

Y X u Y Z u= + = + +β α δ1 1

( ) ( ) ( )[ ] ( )~ ~ ~ ~ ~ ~β β β β β β χMCO VI VI MCO MCO VI rVar Var−′

− − ≈−1

2

rezagamos un periodo el modelo y multiplicamos por :λ

restando (3) de (2):

o

el resultado es el modelo del ejemplo 3 y el proceso de estimación ya se conoce.

4. CONTRASTE DE EXOGENEIDAD DE HAUSMAN Y WU

Es aconsejable cuestionarse acerca de las propiedades de exogeneidad de las variablesexplicativas, pues, de no satisfacerse, obtendríamos estimadores inconsistentes.

Hausman (1978) y Wu (1973) sugieren escribir el modelo a estimar, distinguiendoentre las r variables explicativas que pueden estar coorrelacionadas con el término deY1

error de aquellas K-r variables cuya ortogonalidad a no se cuestiona:Z1 ut

y supongamos que se dispone de una lista de instrumentos para , en caso de que seY1

necesitasen.

El contraste consiste en:

1º Estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios.

2º Estimar el modelo por el método de variables instrumentales o mínimos cuadradosen dos etapas.

3º La hipótesis que se plantea es:: Todas las variables explicativas del modelo original son exógenas.H0

4º El estadístico es:

Un valor elevado del estadístico rebatirá tal supuesto y mostraría la necesidad deutilizar un procedimiento de estimación de variables instrumentales.

48

GCP IPD GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

EJEMPLO 8:


se quiere verificar si la variable se puede tratar como exógena. Siguiendo elGCPt−1procedimiento, primero se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ============================================================

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================

C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000

============================================================R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095 Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888849 Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297. Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

A continuación se estima el modelo por el método de variables instrumentales omínimos cuadrados en dos etapas:

Dependent Variable: GCP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints Instrument list: C IPD IPD(-1) ============================================================

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================

C -4.191603 2.619429 -1.600197 0.1117 IPD 0.298547 0.046882 6.368102 0.0000 GCP(-1) 0.686558 0.051261 13.39348 0.0000

============================================================R-squared 0.999925 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999924 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.86338 Sum squared resid 23992.65 F-statistic 960998.7 Durbin-Watson stat 1.358172 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

49

( ) ( ) ( )[ ] ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ . .β β β β β β χMCO VI VI MCO MCO VIVar Var−′

− − = > =−1

126 61844563805 384

Y X X Y Y Yt t t q t t p t p t= + + + + + + + + +− − − −δ β β β α α α ε0 1 1 1 1 2 2..... .....

( ) ( )A L Y B L Xt t t= + +δ ε

( )( )( ) ( )Y

A LB LA L

XA Lt tt= + +δ ε

( )Y D L X ut t t= + +γ

La hipótesis que se plantea es:: Todas las variables explicativas del modelo original son exógenas.H0


5. INTERPRETACIÓN DE LOS MODELOS DINÁMICOS

Un modelo dinámico más general, representado por:

aplicando el operador de retardos se tendrá:

dividimos por A(L) el modelo y se obtiene:

se puede expresar:

Un modelo es estable cuando cumple alguna de las dos condiciones siguientes:

1º Ante una variación puntual en el valor de una variable explicativa, la variabledependiente retorna a su valor de equilibrio.

2º Ante una variación permanente en el valor de una variable explicativa, la variabledependiente evoluciona hacia un nuevo valor de equilibrio.

Se demuestra que para que un modelo dinámico sea estable las raíces del polinomioA(L) deben ser en valor absoluto mayores que la unidad.

Esta condición de estabilidad nos asegura que la suma de los coeficientes delpolinomio D(L) es finita, es decir, la serie es convergente. Por tanto el impacto sobre lavariable endógena es finito, pasado un tiempo se retorna al equilibrio o bien, se tiende haciaun nuevo equilibrio.

MULTIPLICADORES Y RETARDOS

Estos conceptos son importantes al analizar el efecto que, sobre la variable explicada,

50

m YXt

t0 0= =∂

∂β

m YXjt

t jj= ≠

−

∂∂

β

m YXjt

t jj= =

−

∂∂

δ

m mT jj

==

∞

∑0

R Mj j

j

jj

. .= =

∞

=

∞

∑

∑

δ

δ

1

1

tiene una variación unitaria de la variable explicativa.

1º Multiplicador de Impacto o Contemporáneo: representa el cambio que se( )m0

produce en la variable endógena ante una variación unitaria de la exógena en( )Ytel período actual .( )Xt

2º Multiplicador de Retardo j: cuantifica el efecto que sobre la variable( )jmendógena tiene una variación unitaria de la exógena en el período t-j .( )Yt ( )Xt j−

en este caso no coincide, porque existe una dependencia implícita de las variablesdependientes retardadas.

Considerando el polinomio D(L) se tendrá que:

3º Multiplicador Total: es la suma de todos los multiplicadores.( )mT

para que un modelo tenga sentido económico el multiplicador total debe ser finito.Esto ocurrirá siempre que el proceso sea estable y viceversa.

4º Retardo Medio: se define como la media ponderada, por el retardo, de todos loscoeficientes del polinomio D(L) es decir,

La idea del retardo medio es informarnos si el impacto, sobre la variableendógena de una variación de la exógena, está muy concentrado o diluido en el

51

GCP SYS GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

( )

( ) ( ) ( )

GCP GCP SYS uGCP LGCP SYS u

L GCP SYS u

GCPL L

SYSuL

t t t t

t t t t

t t t

t tt

− = + +− = + +

− = + +

=−

+−

+−

−α α αα α α

α α ααα

αα α

2 1 0 1

2 0 1

2 0 1

0

2

1

2 2

1

1 1 1

GCP SYS R GCP ut t t t t= + + + +−α α α α0 1 2 3 1

tiempo.

5º Retardo Mediano: se define como el instante en que se alcanza el 50 % del impactototal que se produce en debido a una variación en .Yt Xt

EJEMPLO 1:

Se tenía la función consumo siguiente:

el modelo se puede transformar de la forma siguiente:

deducimos los multiplicadores, a saber:

M1MI = = 0.173464.α1

M1MD1 = = c(2)*c(3) = 0.154722.α α1 2

M1MD2 = = c(2)*c(3)^2 = 0.138005.α α1 2

2

..............

M1MLP = = c(2)/(1-c(3)) = 1.605471.α

α1

21−

Retardo Medio = = c(3)/(1-c(3)) = 8.2554.( )( )

( )( )

′−

′= −

−−

=−

BB

AA

11

11

01 11

2

2

2

2ααα

αα

EJEMPLO 2:

Teníamos la función consumo siguiente:

el modelo se puede transformar de la forma siguiente:

52

( )

( ) ( ) ( ) ( )

GCP GCP SYS R uGCP LGCP SYS R u

L GCP SYS R u

GCPL L

SYSLR

uL

t t t t t

t t t t t

t t t t

t t tt

− = + + +− = + + +

− = + + +

=−

+−

+−

+−

−α α α αα α α α

α α α ααα

αα

αα α

3 1 0 1 2

3 0 1 2

3 0 1 2

0

3

1

3

2

3 3

1

1 1 1 1

deducimos los multiplicadores, a saber:

M2MISYS = = 0.256588.α1

M2MD1SYS = = c(2)*c(4) = 0.214135.α α1 3

M2MD2SYS = = c(2)*c(4)^2 = 0.178707.α α1 3

2

..............

M2MLPSYS = = c(2)/(1-c(4)) = 1.550845.α

α1

31−

M2MIR = = -1.823686.α2

M1MD1 = = c(3)*c(4) = -1.521957.α α2 3

M1MD2 = = c(3)*c(4)^2 = -1.270149.α α2 3

2

..............

M1MLP = = c(3)/(1-c(4)) = -11.02256. α

α2

31−

Retardo Medio = = c(4)/(1-c(4)) = 5.0441.( )( )

( )( )

′−

′= −

−−

=−

BB

AA

11

11

01 12

3

3

3

3ααα

αα

( )Y f X u t Tt t t= + =, , ,...,β 1 2

C Y ut t t= + +β β β1 2

3

Z e y Z X XtX

t t tt

2 3 3 42= =

Y Z Z ut t t t= + + +β β β1 2 2 3 3

CAPITULO II

MODELOS NO LINEALES

1. INTRODUCCIÓN

El modelo econométrico es del tipo:

donde es una función no lineal de los componentes de los vectores y .( )f X t ,β Xt β

Una especificación no lineal de un modelo econométrico puede estar indicandola incertidumbre del investigador acerca de la verdadera relación entre las variables delmodelo. Por ejemplo:

la estimación del parámetro permitiría contrastar la hipótesis de dependencia linealβ3

o propensión marginal a consumir constante , frente a otras alternativas (la de( )β3 1=una menor sensibilidad del gasto en consumo a variaciones en la renta disponible

). Este modelo puede interpretarse como una primera especificación, para pasar( )β3 1<a estimar un modelo lineal si la hipótesis se acepta en una primera estimación delβ3 1=modelo.

Conviene distinguir entre varios tipos de no linealidades que pueden presentarseen la práctica. Por ejemplo:

1º Y e X X utX

t t tt= + + +β β β1 2 3 3 4

2

La no linealidad del modelo afecta únicamente a sus variables, pero no asus coeficientes. Asumimos que:

remplazamos en el modelo, nos da:

Por lo tanto, siempre que la no linealidad del modelo afecte únicamente

54

( )g Y X u t Tt t t, , , ,..., .β = = 1 2

Y X ut t t= + +β β1 2 2*

Y X ut t t= + +β β1 2*

a sus variables explicativas, entonces queda resuelto mediante una transformaciónde datos.

2º Y X Y X ut t t t t+ = +β β1 2ln

La no linealidad del modelo afecta también a la variables endógena quehaga imposible expresarla de modo explícito como función de los vectores Xty . La forma funcional de tales modelos es una función implícita:β

3º Y e X ut t t= + +β β β1 2 2

3

La no linealidad del modelo afecta tan sólo a sus coeficientes pero no a susvariables. Podría el modelo expresarse de la siguiente forma:

pero no podrían recuperarse estimaciones de los coeficientes y , a no serβ2 β3

que se contara con información adicional acerca de sus valores numéricos(Ejemplo: suma o cociente fuesen conocidos).

4º ( )Y X ut t t= + +β β1 2ln

La no linealidad del modelo es en los coeficientes sin que ello presentedificultades serias de estimación; el modelo se expresa:

luego se recupera el valor de . Pero el valor de así obtenido( )β β β2 2

2$ $*= e β2

no heredaría las propiedades estadísticas que pudiera tener el estimador de .eβ2

5º Y X ut t t= + +β β β1 2

3

Este modelo es otro modelo no lineal que no puede tratarse por métodoslineales.

A diferencia de los modelos lineales, en modelos no lineales el número deparámetros no coincide necesariamente con el número de variables explicativas, comoocurre en los modelos segundo, tercero y quinto.

55

( )Y f X u t Tt t t= + =, , ,..., .β 1 2

( ) ( ) ( )Y f Xf X

u t Ttt

t≈ +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

− + ==, $, $ , ,..., .$β

∂ β∂β

β ββ β 1 2

( ) ( ) ( )Y f X

f X f Xu t Tt

t tt− +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

≈⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

+ == =, $, $ ,

, ,..., .$ $β∂ β

∂ββ

∂ β∂β

ββ β β β 1 2

( )Y

f Xu t Tt

tt

*$

,, ,..., .≈

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

+ ==

∂ β∂β

ββ β 1 2

( ) ( )Y Y f X

f Xt t t

t*$, $

, $= − +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=β∂ β

∂βββ β

2. UNA APROXIMACIÓN LINEAL AL MODELO NO LINEAL

El modelo:

consistiría en obtener la mejor aproximación lineal (mediante un desarrollo en serie deTaylor) de la función alrededor de un estimador inicial y estimar el modelo( )f X t ,β $βlineal resultante mediante mínimos cuadrados ordinarios.

Dicha aproximación es:

desplazando lo conocido al primer miembro, nos queda:

obteniéndose el modelo lineal:

donde,

denotamos por el vector gradiente en cada período dimensión K x 1 y por∂∂βf t ( )∂ β

∂βf X t ,

su valor en el punto .( )∂ β

∂β

f t $

β β= $

Dada una primera aproximación al estimador , se trata de construir la variable$β, así como las K variables que componen el valor del gradiente de la funciónYt

* ( )f X t ,β

56

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ $ $ $ $ $ $

, $$

$*β∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂ββ

∂ β

∂ββ=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

− +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− −

f f fY

f f fY f X

f1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ $ $ $$

$$ $

$ $ $$β

∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂ββ β

∂ β

∂β

∂ β

∂β

∂ β

∂β=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′− −

f f fu

f f f fu

1 1

( ) ( )( )( )

( )

∂∂β

∂ β

∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

∂∂β

β

ββ

β

f f

f f f

f f f

f f f

f X

f Xf X

f X

K

K

T T T

K

T

= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

$

.....

.....

..... ..... ..... .....

.....

,

,,

.....,

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1 2

1

2

en el punto .β β= $ ∂∂βfi Kt

i, , ,...,=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2

Las “observaciones muestrales ” correspondientes a estas variables son funciónde las observaciones muestrales de y del vector . A continuación se estima porY Xt t, $βmínimos cuadrados ordinarios el modelo lineal:

remplazando y simplificando nos da:

donde, es el residuo obtenido con la estimación inicial de . Asimismo( )$ , $u Y f X= − β $βtenemos que:

La estimación del parámetro se obtiene similar a un modelo lineal, es decir:σ u2

donde .$~ ~

σ uu uT K

2 =′− ( )~ , ~u Y f X= − β

Si existe la matriz inversa de , entonces la distribución de( ) ( )∂ β∂β

∂ β∂β

f f~ ~⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

probabilidad del estimador de mínimos cuadrados de esta aproximación lineal es:

57

( ) ( )~ ,~ ~

β β σ∂ β∂β

∂ β∂βMCO uN

f f≈

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

2

1

( )T K u

uT K

−≈ −

$σσ

χ2

22

( )GCP f IPD u e ut t tIPD

tt= + = +, ,β β β β

0 1 01

( )∂∂β

∂∂β

ββ βf fe IPD et t IPD

tIPDt t

0 10

1 1, ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Y f Xf f

f fu

GCP IPD e e IPD e

t tt t

t tt

t tIPD IPD

tT T

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+

+ ≈ +

= =

= =

, ,, $ , $

, ,

$ $ $

$ $

$ $

$ $

β β∂ β β

∂ββ

∂ β β∂β

β

∂ β β∂β

β∂ β β

∂ββ

β β β β β

β β β β

β β β β

β β

0 10 1

00

0 1

11

0 1

00

0 1

11

0 1 0 1 01 1

$β1IPDt

T u+

y

independiente de la distribución normal del vector .~β

Ejemplo 1:

Consideremos la estimación del modelo no lineal:

se tiene el vector gradiente:

si los valores iniciales son: y .β0 = GCP β1 0=

El modelo puede aproximarse linealmente, así:

reemplazando los valores iniciales y aplicando mínimos cuadrados ordinarios nos da elresultado de la primera iteración, éstos parámetros estimados vienen a ser la condición

58

( )GCP f IPD u IPD ut t t t t= + = + +, , ,β β β β β β0 1 2 0 1

2

inicial para la estimación de la segunda iteración, así sucesivamente. Para elegir la mejorestimación tenemos:

APROXIMACIÓN APLICANDO TAYLOR ================================================= I T R2 AJUSTADO AKAIKE SCHWARZ ================================================= 1 149.00 0.9994612 9.9134183 9.9537398 2 149.00 0.9266390 14.414373 14.454694 3 149.00 1.0000000 17.463923 17.504244 4 149.00 0.9999888 17.463906 17.504228 5 149.00 0.9999185 17.383859 17.424181 6 149.00 0.9983820 17.112626 17.152947 7 149.00 0.9439979 14.579590 14.619912 8 149.00 -1.3941428 18.374217 18.414538 =================================================

La mejor estimación es la primera iteración, cuyo resultado es:

Dependent Variable: _Y+B01*B11*_X*EXP(B11*_X) Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ======================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ======================================================= EXP(B11*_X) -30.23673 4.542309 -6.656688 0.0000 B01*_X*EXP(B11*_X) 0.000502 9.59E-07 523.9418 0.0000 =======================================================R-squared 0.999465 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.999461 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 34.16168 Akaike info criteri 9.913418 Sum squared resid 171552.0 Schwarz criterion 9.953740 Log likelihood -736.5497 Durbin-Watson stat 0.351869 =======================================================

Este procedimiento sólo dará buenos resultados si las condiciones iniciales estánpróximos a los verdaderos valores de y . (a priori no tenemos mucha información).α β

Ejemplo 2:

Consideremos la estimación del modelo no lineal:

59

( )( )∂∂β

∂∂β

∂∂β

ββ βf f fIPD IPD IPDt t t

t t t0 1 2

11 2 2, , , , ln⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Y f Xf f f

f f

t tt t t

t t

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

≈

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= = =

=

, , ,, , $ , , $ , , $

, , , ,

$ $ $

$

β β β∂ β β β

∂ββ

∂ β β β∂β

β∂ β β β

∂ββ

∂ β β β∂β

β∂ β β β

∂β

β β β β β β

β β β

0 1 20 1 2

00

0 1 2

11

0 1 2

22

0 1 2

00

0 1 2

1

( )

( ) ( )

= =

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+

+ ≈ + + +

$ $

$ $ $

, , $

$ $ ln $ ln

β β β

β β β

β∂ β β β

∂ββ

β β β β β β

10 1 2

22

1 2 0 1 2 12 2 2

fu

GCP IPD IPD IPD IPD IPD u

tt

t t t t t t t

se tiene el vector gradiente:

se asume que y estimamos por mínimos cuadrados ordinarios el modelo lineal yβ2 1=nos da:.

Dependent Variable: _Y Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ==================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ==================================================== C -30.23673 4.542309 -6.656688 0.0000 _X 0.926281 0.001768 523.9418 0.0000 ====================================================R-squared 0.999465 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.999461 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 34.16168 Akaike info criteri 9.913418 Sum squared resid 171552.0 Schwarz criterion 9.953740 Log likelihood -736.5497 F-statistic 274515.0 Durbin-Watson stat 0.351869 Prob(F-statistic) 0.000000 ====================================================

Por lo tanto, los valores iniciales son: ,β0 = -30.2367319005 β1 = 0.926280822995y . .β2 1=

El modelo puede aproximarse linealmente, así:

reemplazando los valores iniciales y aplicando mínimos cuadrados ordinarios nos da elresultado de la primera iteración, éstos parámetros estimados vienen a ser la condicióninicial para la estimación de la segunda iteración, así sucesivamente. Para elegir la mejorestimación tenemos:

60

( ) ( )( )SR Y f Xt tt

T$ , $β β= −

=∑

2

1

APROXIMACIÓN APLICANDO TAYLOR ================================================= I T R2 AJUSTADO AKAIKE SCHWARZ ================================================= 1 149.00 0.9999972 9.2161800 9.2766621 2 149.00 0.9999964 9.2114934 9.2719756 3 149.00 0.9999975 9.2114927 9.2719748 4 149.00 0.9999974 9.2114927 9.2719748 5 149.00 0.9999974 9.2114927 9.2719748 6 149.00 0.9999974 9.2114927 9.2719748 =================================================

La mejor estimación es la tercera iteración, cuyo resultado es:

Dependent Variable: _Y+M2B13*M2B23*_X^M2B23*LOG(_X) Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ========================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================== C 51.69951 7.023200 7.361247 0.0000 _X^M2B23 0.556281 0.023068 24.11473 0.0000 M2B13*_X^M2B23*LOG(_X 1.058673 0.004776 221.6437 0.0000 ==========================================================R-squared 0.999997 Mean dependent var 16939.23 Adjusted R-squared 0.999997 S.D. dependent var 15017.00 S.E. of regression 23.97097 Akaike info criteri 9.211493 Sum squared resid 83892.67 Schwarz criterion 9.271975 Log likelihood -683.2562 F-statistic 29041974 Durbin-Watson stat 0.755780 Prob(F-statistic) 0.000000 ==========================================================

3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES

El procedimiento de mínimos cuadrados no depende en modo alguno de lalinealidad del modelo, por lo que es aplicable en condiciones más generales.

La lógica del método de mínimos cuadrados es escoger valores de los

parámetros de modo que se minimice la suma residual:β

61

( ) ( )( )( ) ( )( )

SISTEMADE

ECUACIONESNORMALES

SRY f X

f

SRY f X

f

SR

t tt

Tt

t tt

Tt

∂ β

∂ββ

∂∂β

∂ β

∂ββ

∂∂β

∂

$

$ , $ $

$

$ , $ $

.............................................................

1 1 1

2 1 2

2 0

2 0

= − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

= − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=

=

∑

∑

( ) ( )( )$

$ , $ $

β

∂ββ

∂∂βK

t tt

Tt

K

Y f Xf

= − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

=∑2 0

1

( )( ) ( )Y f X

ft t

t

Tt

K− ==∑ , $

$

β∂ β

∂β10

( ) ( ) ( )∂ β

∂β

∂ β

∂ββ

fY

ff X

$ $

, $⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

( )∂ β

∂β

fu i K

t

it

T

t

$$ , ,..., .

=∑ = ∀ =

10 1 2

( ) ( )∂ β

∂β

∂ β

∂β

fu

fu

t

t

T

t K

$$

$$

=∑ =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

=1

0

Tomando derivadas con respecto a cada uno de los componentes del vector se$βtiene:

siendo y escalares.∂∂βf ti$ ( )( )Y f Xt t− , $β

Este sistema se abrevia:

en forma matricial:

Como , entonces rescribimos:( )$ , $u Y f Xt t t= − β

o matricialmente:

62

La solución al sistema de ecuaciones normales es el estimador de mínimoscuadrados no lineales (MCNL).

El estimador de mínimos cuadrados del modelo para t = 1, 2,( )Y f X ut t t= +,β

..., T. es aquel vector de coeficientes que genera un vector de residuos ortogonal a cada$β

uno de los componentes del vector gradiente de la función evaluado en .( )f X t ,β$β

Una diferencia muy importante con el modelo lineal es que, en modelos en quela función no dependen linealmente del vector , sus derivadas parciales( )f X t ,β βtampoco serán, en general, funciones lineales de los componentes del vector .β

Esta peculiaridad de los modelos no lineales genera, a su vez, una serie dedificultades:

1º El hecho de que el estimador de MCNL dependa del vector Y, y en consecuenciadel vector u en forma no lineal; entonces, en general, será sesgado. Laspropiedades del estimador de MCNL vendrán de su posible relación con elestimador de máxima verosimilitud.

2º La solución a un sistema de ecuaciones no lineales puede no ser única y, por tanto,un modelo no lineal puede poseer varios estimadores mínimo cuadráticos. Pudieraser que el estimador de mínimos cuadrados no existiese, pues un sistema deecuaciones no lineales no siempre tiene solución (diferente al caso lineal).

Hay que resolver el sistema de ecuaciones normales o el problema de optimizacióndel que éstas proceden por métodos numéricos (algoritmos), como por ejemplo:

1º De Búsqueda.-

Es aplicable cuando K, número de parámetros a estimar, es pequeño (unoo dos) y el rango de sus valores admisibles está acotado.

El algoritmo consiste:i) Construir una partición de dicho intervalo.ii) Evaluar la función en cada uno de los puntos de la partición.( )F βiii) Elegir como estimador aquel punto que proporciona un valor numéricoβ

más pequeño de la función .( )F β

2º Del Descenso Más Rápido.-

Una estrategia posible para tratar de minimizar el valor de la función ( )F θ

63

( )$ $ $θ θ λ θ λ1 0 0 0= − ∇ >F

( )[ ] ( )$ $ $ ln $θ θ θ θn n n nI L= + ∇− −

−

−1 1

1

1

consiste en desplazarnos de un vector inicial a otro , de acuerdo con laθ 0 θ1

expresión:

donde la elección del parámetro , que se conoce como longitud de paso, esλ > 0crucial para reducir efectivamente el valor de . En efecto, si el valor de( )F θ λ

fuese excesivamente grande, entonces pudiera ser que , lo cual( ) ( )$ $ $ $F Fθ θ1 0>implicaría que el algoritmo podría no converger.

3º Newton - Raphson.-

Supongamos que disponemos de una estimación del mínimo de una$θ n $θfunción continuamente diferenciable. Si consideramos un entorno pequeño delpunto el valor numérico de F en un punto de dicho entorno puede aproximarse$θ nmediante un desarrollo en serie de Taylor de orden 2.

Este algoritmo se utiliza de un modo iterativo, utilizando la nuevaestimación como punto de partida en cada etapa del algoritmo y llevando a caboiteraciones hasta que se satisfagan los criterios de convergencia que elinvestigador haya estipulado.

Lo utilizan los mínimos cuadrados general y máxima verosimilitud.

4º De Scoring.-

Diseñado para el caso en que se pretende obtener el estimador de máximaverosimilitud, este algoritmo se basa en la propiedad de que la esperanzamatemática de la matriz hessiana de la función de verosimilitud (matriz deinformación cambiada de signo) tiene una expresión analítica más sencilla que lapropia matriz de derivadas segundas.

Como aproximación, se ha sugerido sustituir la matriz de derivadassegundas por la matriz de información, teniéndose el llamado algoritmo de “scoring ”:

Las ventajas son:i) Converge más lentamente que el algoritmo de Newton - Raphson.ii) La matriz de información es siempre definida positiva, entonces no hay

problema en seguir una dirección inapropiada.

64

( ) ( ) ( )[ ]F SR Y f Xt tt

T

θ β β= = −=∑ ,

1

2

∂∂β

∂∂β

f ft

t

Tt⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥=

∑1

$ $β β∂∂β

∂∂β

∂∂βn n

t

t

Tt

n

t

t

T

tn

f f fu= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−

=−

−

= −

∑ ∑11

1

1

1 1

( )Varf f

ut

t

Ttβ σ

∂∂β

∂∂β

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟′⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥=

−

∑2

1

1

Una vez lograda la convergencia, el estimador alcanzado tiene como matrizde covarianzas la inversa de la matriz de información.

5º Gauss - Newton.-

Es una variante del algoritmo de Newton - Raphson, útil cuando se trata deestimar por mínimos cuadrados un modelo no lineal, en el que la función objetivoes:

el algoritmo de Gauss - Newton consiste en ignorar el término que contiene lasegunda derivada de en el hessiano (Porque su contribución es muy pequeña);f tentonces se sustituye el hessiano por la matriz simétrica, definida positiva:

por lo que el algoritmo de Gauss - Newton resulta:

Si se logra la convergencia del algoritmo, el estimador resultante tienedistribución asintótica normal, con esperanza igual a , y matriz de covarianzas:β

donde el parámetro se estima mediante , donde K denota elσ u2 ( )

$$

σβ

u

SRT K

2 =−

número de coeficientes estimados.

En el caso de un modelo de regresión lineal, la expresión anterior delalgoritmo Gauss- Newton se reduce, como es lógico, a la que proporciona elestimador de mínimos cuadrados ordinarios:

65

$β = ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

−

=∑ ∑X X X Yt tt

T

t tt

T

1

1

1

( ) ( ) ( )Var

f X f Xu

t

t

Tt$

, $ , $β σ

∂ β

∂β

∂ β

∂β=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

−

∑2

1

1

( )$$ $

$ , $σ βu

u uT K

donde u Y f X2 =′−

= −

( ) ( )p

Tf f

Tlim

$ $1 ∂ β

∂β

∂ β

∂β

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

∂ α β

∂αα

∂ α β

∂βα

β β

β β

SRY e e

SRY e X e

tX X

t

T

tX

tX

t

T

t t

t t

$, $$

$, $$

$ $

$ $

= − − =

= − − =

=

=

∑

∑

2 0

2 0

1

1

Cuando el tamaño muestral crece, el estimador de mínimos cuadrados obtenidopor alguno de los algoritmos numéricos tiene una distribución normal, con esperanza βy matriz de covarianza:

donde el parámetro se estima:σ u2

Los habituales contrastes de hipótesis mediante estadísticos t o F son válidos, sinmás que utilizar las expresiones anteriores en el cálculo de la matriz de covarianzas. Lascondiciones bajo las que los resultados anteriores son válidas incluyen la existencia deun único mínimo global de la función y la no singularidad de la matriz límite.( )SR β

Ejercicio:

Las condiciones de optimalidad para la obtención del estimador MCNL serían:

que carecen de solución explícita. Suponiendo que el sistema pudiera resolverse, lamatriz de covarianzas estimada de las estimaciones sería:

66

( ) ( ) ( )Var f fe X e

X e X eu t t

t

T

u

X

t

T

tX

tX

t

T

tt

TX

t t

t t

$, $ $, $ $, $α β σ α β α β σα

α α

β β

β β

= ∇ ∇′⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

−

=

= =

∑∑ ∑

∑ ∑2

1

12

2

1

2

2

1

2 2

1

2

( )$

$$

σα β

u

tX

t

T

Y e

T

t

2

2

1

2=

−

−=∑

GCP IPD ut t t= + +β β β0 1

2

β β β0 1 230 23673 0 926281 1= − = =. .

donde,

Ejemplo 2:

Estimar el modelo siguiente:

si la condición inicial es:

Aplicando mínimos cuadrados no lineales en el Eviews se obtiene el resultadosiguiente:Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Convergence achieved after 24 iterations GCP=C(1)+C(2)*IPD^C(3) ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 51.69854 7.024917 7.359310 0.0000 C(2) 0.556285 0.023101 24.08103 0.0000 C(3) 1.058672 0.004783 221.3328 0.0000 ============================================================R-squared 0.999738 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999735 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 23.97097 Akaike info criteri 9.211493Sum squared resid 83892.66 Schwarz criterion 9.271975Log likelihood -683.2562 Durbin-Watson stat 0.755779============================================================

67

GCP e utIPD

tt= +β β

01

( )( )( )

L euu

TY f X

ut t

t

T

β σπσ

σβ

,,

22

21

212

22

1=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∑−−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

Ejemplo 1:

Estimar el modelo no lineal siguiente:

si los valores iniciales son: y . Aplicando mínimos cuadrados no linealesβ0 = GCP β1 0=en el Eviews se obtiene el resultado siguiente:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Convergence achieved after 4 iterations GCP=C(1)*EXP(C(2)*IPD) ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 1844.284 121.1642 15.22136 0.0000 C(2) 0.000156 1.96E-05 7.966532 0.0000 ============================================================R-squared 0.446024 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.442256 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 1099.070 Akaike info criteri 16.85565 Sum squared resid 1.78E+08 Schwarz criterion 16.89597 Log likelihood -1253.746 Durbin-Watson stat 0.000443 ============================================================

4. EL ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD

La obtención del estimador de máxima verosimilitud precisa de un determinadosupuesto acerca de la distribución de probabilidad del término de error.

Supongamos que , la función de verosimilitud muestral es:( )u N Iu T≈ 0 2,σ

y su logaritmo, evaluado en es:( )$, $β σ u2

68

( ) ( )ln $, $ ln ln $$

$LT T

SRu uu

β σ π σσ

β2 222

22

12

= − − −

( ) ( )( )SR Y f Xt tt

T$ , $β β= −

=∑

1

2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

∂ β σ

∂β σ

∂ β

∂β σβ

∂ β

∂β

∂ β σ

∂σ σ σβ

ln $, $$ $

$

$, $

$

ln $, $$ $ $

, $

L SRY f X

fK ecuaciones

L TY f X ecuacion

u

u ut t

t

Tt

K

u

u u ut t

t

T

2

2 21

2

2 2 41

2

12

10

21

20 1

= − = − =

= − + − =

=

=

∑

∑

( )$

$

σβ

u

SRT

2 =

donde,

Por lo tanto,

! Si el parámetro no depende de ninguno de los parámetros , entonces escoger elσ u2 β

vector de parámetros que maximice la función de verosimilitud (o su logaritmo) es$β

equivalente a escoger el vector que minimice la suma residual .$β ( )SR $β

! Si el término de error sigue una distribución de probabilidad Normal y si su varianzaes independiente de los componentes del vector , entonces los estimadores deβmáxima verosimilitud y de mínimos cuadrados, si existen, coinciden.

Las condiciones necesarias para la maximización de la función de verosimilitud son:

cuyas soluciones proporcionan las estimaciones de máxima verosimilitud del vector y elβparámetro bajo la hipótesis de normalidad.σ u

2

La última ecuación genera la estimación de máxima verosimilitud de :σ u2

después de la estimación del vector .β

La matriz de covarianzas del estimador de máxima verosimilitud puede aproximarse,

69

( )

( )

( )

∂∂β∂β σ

∂ β∂β∂β

∂∂β∂β σ

∂∂β

∂∂β

∂∂β∂σ σ

∂ β∂β

∂∂β∂σ

∂∂σ ∂σ σ

βσ

∂∂σ ∂σ σ

2

2

2 2

21

2

2 4

2

2

2

2 2 4 6

2

2 2 4

12

12

12

0

2 2

ln ln

ln ln

ln ln

L SRE

L f f

L SRE

L

L T SRE

L T

u u

t

i

t

jit

T

u u uK

u u u u u u u

′= −

′⇒

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

= ⇒⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

= ⇒⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

=∑

( )( ) ( )

I

f f

Tu

uK

Ku

β σ σ

∂ β

∂β

∂ β

∂β

σ

,

$ $

22

4

10

02

=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

′

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

( )( ) ( )

Var

f f

T

u MV

u K

Ku

$, $

$ $

β σσ

∂ β

∂β

∂ β

∂β

σ

2

2

1

4

0

02

=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

′

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

para muestras grandes, por la inversa de la matriz de información. Para calcular dicha matriz,se obtiene las derivadas de segundo orden del logaritmo de la función de verosimilitud y secalcula su esperanza matemática. Es decir:

donde, y es el gradiente de la suma residual y su matriz hessiana,( )∂ β

∂βSR ( )∂ β

∂β∂β

2SR′

formada por las derivadas de segundo orden.

De la segunda esperanza se concluye, que las estimaciones de máxima verosimilituddel vector y del parámetro son independientes según crece el tamaño muestral.β σ u

2

La matriz de información es:

si invertimos y sustituimos los parámetros desconocidos por sus estimaciones, se obtiene:

70


2

β β β0 1 230 23673 0 926281 1= − = =. .

si se cumple que:

1º el término de error siga una distribución de probabilidad normal.2º el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.

3º la matriz sea no singular.( ) ( )∂ β

∂β

∂ β

∂β

f f$ $⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

En la práctica sólo se dispone de muestras finitas, por lo que la matriz anterior es sólouna aproximación a dicha matriz de covariazas.

Ejemplo 2:


si la condición inicial es:

Aplicando máxima verosimilitud en el Eviews se obtiene el resultado siguiente:

System: SYS01 Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt) Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Total system (balanced) observations 149 Convergence achieved after 32 iterations ============================================================= Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================= C(1) 51.76558 16.63088 3.112619 0.0022 C(2) 0.556083 0.035386 15.71498 0.0000 C(3) 1.058713 0.007116 148.7785 0.0000 =============================================================Log Likelihood -683.2562 Determinant residual covariance 563.0384 =============================================================Equation: GCP=C(1)+C(2)*IPD^C(3) Observations: 149 R-squared 0.999738 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999735 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 23.97097 Sum squared resid 83892.72Durbin-Watson stat 0.755801 =============================================================

71

GCP e utIPD

tt= +β β

01

Y X u= + +α β λ

XXλ

λ

λ=

− 1

Ejemplo 1:

Estimar el modelo no lineal siguiente:

si los valores iniciales son y .β0 1844= =GCP . β1 0=

Aplicando mínimos cuadrados no lineales en el Eviews se obtiene el resultado siguiente:

System: SYS02 Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt) Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Total system (balanced) observations 149 Convergence achieved after 15 iterations ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 1844.290 122.1742 15.09558 0.0000 C(2) 0.000156 2.69E-05 5.792957 0.0000 ============================================================Log Likelihood -1253.746 Determinant residual covariance 1191749. ============================================================Equation: GCP=C(1)*EXP(C(2)*IPD) Observations: 149 R-squared 0.446020 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.442252 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 1099.074 Sum squared resid 1.78E+08 Durbin-Watson stat 0.000443 ============================================================

5. TRANSFORMACIÓN DE BOX - COX

El modelo es:

que se encuentra en un gran número de estudios recientes es la transformación Box - Cox,

72

( )λ

λ

λ

λ

λ

λ

= ⇒ =

= ⇒ =

= − ⇒ =

01

11

X Log XX X

XX

( )lim lim lim ln lnλ

λ

λ

λ

λ

λ

λλ

→ → →

−=

−= =

0 0 0

1 11

X d X dX X X


2

Si es conocido entonces es una regresión lineal que puede estimarse por mínimosλcuadrados. Por ejemplo, si:

otros valores de dan lugar a otras muchas formas funcionales diferentes.λ

Si se toma como un parámetro desconocido, la regresión se convierte en no linealλen los parámetros. Aunque ninguna transformación la reduciría a la linealidad, los mínimoscuadrados no lineales no plantean complicaciones. En la mayoría de los casos, podemosesperar que el valor estimado por mínimos cuadrados de esté entre -2 y 2. Por tanto,λhabitualmente se estima buscando en este rango con incrementos de 0.1.λ

Cuando es igual a cero, la transformación se efectúa utilizando la regla de L’Hopital:λ

Si se encuentra un mínimo de la suma de cuadrados y se desea mayor precisión, sepueden examinar las áreas a derecha e izquierda del óptimo actual con incrementos de 0.01y así sucesivamente. Una vez que se ha localizado el valor óptimo de las estimaciones deλmínimos cuadrados, el residuo medio cuadrático y este valor de constituyen lasλestimaciones por mínimos cuadrados no lineales de los parámetros (y, si se da normalidad enlos errores, las de máxima verosimilitud).

Una vez que se ha determinado el valor óptimo de , a veces es tratado como si fueseλun valor conocido en los resultados de mínimos cuadrados. Pero es una estimación de un$λparámetro desconocido; entonces los errores estándar de mínimos cuadrados siempreinfraestimarán los errores estándar asintóticos correctos.

Ejemplo 2:


aplicando el algoritmo de búsqueda tenemos el cuadro siguiente:

73

GCP IPD ut t t= + +β β0 1 ln

GCPIPD

ut tt= +−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +β β

λ

λ

0 1

1

GCP IPD ut t t= + +β β0 1

GCPIPD

ut tt= +−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +β β

λ

λ

0 11

MODELO λ S. R.

0 34267075

0.1 27992884

0.2 22300599

0.3 17235346

0.4 12827798

0.5 9093879.

0.6 6035293.

0.7 3640734.

0.8 1887626.

0.9 744174.1

1 171552.0

1.1 126052.1

1.2 561070.0

1.3 1428841.

se elige la estimación con menor suma residual siendo el resultado:Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 104.4731 3.722355 28.06639 0.0000 (IPD^1.1-1)/1.1 0.427658 0.000700 611.2752 0.0000 ============================================================R-squared 0.999607 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999604 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 29.28306 Akaike info criteri 9.605227Sum squared resid 126052.1 Schwarz criterion 9.645549Log likelihood -713.5894 F-statistic 373657.4Durbin-Watson stat 0.523119 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================

74

GCPIPD

ut tt= +−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +β β

λ

λ

0 1

1

Aplicando el algoritmo de búsqueda para el intervalo ]1.0,1.1[ tenemos los resultadossiguientes:

MODELO λ S. R.

1.01 144034.0

1.02 121743.7

1.03 104635.3

1.04 92662.35

1.05 85778.41

1.06 83936.76

1.07 87090.47

se elige la estimación siguiente:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 53.99643 3.089224 17.47896 0.0000 (IPD^1.06-1)/1.06 0.582905 0.000778 749.1422 0.0000 ============================================================R-squared 0.999738 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999736 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 23.89557 Akaike info criteri 9.198595Sum squared resid 83936.76 Schwarz criterion 9.238917Log likelihood -683.2953 F-statistic 561214.1Durbin-Watson stat 0.756293 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================

6. CONTRASTE DE RESTRICCIONES

6.1. RESTRICCIONES LINEALES

Si ( elemento de holgura o discrepancia ) incluso si la hipótesis fueseH d R r0: $= −βcierta, no debe esperarse que el vector de discrepancia fuese exactamente igual a cero, almenos debido al error muestral. Por lo tanto, la tarea del investigador debe decidir si dicho

75

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

E d E R r RE r R r

Var d Var R r RVar R R X X R

q

u

= − = − = − =

= − = ′ = ′ ′−

$ $

$ $

β β β

β β σ

02 1

( )[ ]W d Var d d q= ′ ≈−1 2χ

vector de discrepancia es suficientemente grande como para hacer imposible el mantenimientode la hipótesis nula.

El vector de discrepancia es una función lineal del estimador , que tiene una$βdistribución normal; entonces d tendrá una distribución normal, bajo la hipótesis nula.

Si es cierta, se tiene:H0

Estos resultados sugieren la realización del contraste de utilizando el criterio deH0

Wald:

En la práctica se desconoce el valor de , por lo que se divide W, que depende tanσ u2

sólo de la estimación de mínimos cuadrados ordinarios del vector de coeficientes, por otraforma cuadrática que depende sólo de la estimación de ; como ambas estimaciones sonσ u

2

independientes entre sí, el cociente de ambas formas cuadráticas se distribuyen como F.

6.2. RESTRICCIONES NO LINEALES

Si y suponemos que la matriz de orden q x K, con tiene( )H R r0: β =( )∂ β

∂βR

q K<

rango igual a q (menos restricciones que parámetros, y que las restricciones no sonredundantes).

El contraste se lleva a cabo en función del tamaño del vector de discrepancia

, existiendo algunas diferencias:( )( )d R r= −$β

1º es función no lineal, entonces no es igual a , pero por la( )R $β ( )( )E R $β ( )RE $βconsistencia del estimador de mínimos cuadrados ordinarios, podemos afirmar:

( ) ( )p R R plim $ lim $β β=

2º no se puede mantener la distribución en muestras finitas para la forma cuadráticaχ 2

76

( ) ( )[ ]

( ) ( )F

SR SR

qSRT K

F

R

q T K=

−

−

≈−

$ $

$ ,

β β

β

( ) ( ) ( ) ( )R RR$ $β β

∂ β∂β

β β≅ +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

( )( ) ( ) ( ) ( )Var R

RVar

R$ $β∂ β∂β

β β∂ β∂β

≅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

′

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]R r VarR R r q$ $ $β β β χ− −

′≈

−12

utilizada en la construcción de los estadísticos t o F. (Debido a la no linealidad).

6.3. CONTRASTE F

Si se estima el modelo por mínimos cuadrados mediante la aproximación lineal vista(serie de Taylor) la distribución del estadístico:

no es conocida en muestras finitas.

6.4. CONTRASTE WALD

La dificultad reside en el cálculo de la varianza de la diferencia , que es( )R r$β −

función no lineal del estimador . Para calcular, se obtiene una aproximación lineal:$β

siendo matriz q x K y la varianza de se aproxima:∂∂βR ( )R $β

El estadístico:

para cuyo cálculo sólo precisamos del estimador sin restringir, y que es asintóticamenteequivalente a q veces el estadístico F.

CAPITULO III

VARIABLE DEPENDIENTE CUALITATIVA Y LIMITADA

1. MODELOS DE ELECCION DISCRETA

Los modelos de elección discreta consideran una variable indicadora dependiente.Esta variable indicadora podrá tomar dos o más valores, si toma sólo dos valores (ceroo uno) se trata de una variable dicotómica.

Existen numerosos ejemplos de variables explicadas, a saber:

o

Existen también muchos métodos de analizar los modelos de regresión en lo queel valor de la variable dependiente es cero o uno. Por ejemplo: el modelo de probabilidadlineal, la función discriminante, modelo probit y modelo logit.

1.1. MODELO DE PROBABILIDAD LINEAL

Se utiliza para denotar un modelo de regresión en el que la variable dependienteY es dicotómica, y toma el valor de uno o cero. Por simplicidad, asumiremos una solavariable explicativa (X).

La variable Y es una variable indicadora que denota la ocurrencia o no ocurrenciade un evento.

El modelo se describe como:

con .

La esperanza condicional , se interpreta como laprobabilidad de que ocurre el evento, dado .

El valor calculado de Y a partir de la ecuación de regresión ( ) nos dala probabilidad estimada de que ocurre el evento, dado un valor específico para X. Enla práctica, estas probabilidades estimadas pueden encontrarse fuera del rango admisible(0, 1).

78

Las razones por las cuales no se puede aplicar mínimos cuadrados ordinarios son:

1º La no normalidad de las perturbaciones.-

Dado que toma los valores de 1 o 0 entonces los errores en laregresión tomará los valores siguientes:

En realidad los siguen una distribución binomial. Aunque el método demínimos cuadrados ordinarios no requiere esto, se asumen con fines de inferenciaestadística. Por lo tanto, existe un problema con la aplicación de las pruebasusuales de significancia.

El supuesto de normalidad no es tan crítico, porque las estimacionespuntuales de mínimos cuadrados ordinarios siguen siendo insesgados; además,a medida que aumenta indefinidamente el tamaño de la muestra los estimadoresde mínimos cuadrados ordinarios tienden por lo general a tener una distribuciónnormal.

Por lo tanto, para muestras grandes, la inferencia estadística de losmodelos de probabilidad lineal seguirá el procedimiento usual de mínimoscuadrados ordinarios bajo el supuesto de normalidad.

2º La varianza de la perturbación es heterocedástica.-

Las probabilidades respectivas de los eventos son:

se tiene que:

sacando factor común ( ) y simplificando nos da:

también se puede expresar de la siguiente forma:

79

La varianza de es heterocedástica porque depende de la esperanzacondicional de , que depende del valor que tome .

Los estimados de mínimos cuadrados ordinarios de no serán eficientes.Es posible utilizar el procedimiento siguiente para estimar el modelo:

I.- Se estima el modelo (ecuación 1) por mínimos cuadrados ordinarios y acontinuación se calcula .

II.- Se estima por mínimos cuadrados ponderados el modelo transformadosiguiente:

se soluciona el problema heterocedástico, pero subsiste los otros.

3º La predicción cae fuera de los limites ( 0 , 1 ).-

La crítica más importante se refiere a la propia formulación, que laesperanza condicional puede estar fuera de los límites (0,1).

El gráfico de la siguiente página revela la acumulación de puntos sobre y . Es fácil que los valores predichos se encuentren fuera del

intervalo (0,1) y que los errores de predicción sean muy grandes.

Existen dos métodos para saber si los estimadores están efectivamenteentre 0 y 1; son:

80

1.- Estimar el modelo de probabilidad lineal por mínimos cuadradosordinarios y ver si los se encuentran entre 0 y 1, si alguno de ellos es

menor a cero entonces se supone que para estos casos es cero; si sonmayores a 1, se suponen iguales a uno.

2.- Diseñar una técnica de estimación que garantice que las probabilidadescondicionales estimadas de estén entre 0 y 1. Los modelos Logit yProbit garantizarán que todas las probabilidades estimadas se encuentrenentre los límites lógicos 0 y 1.

4º La medida de bondad de ajuste.-

El coeficiente de determinación considerado tiene un valor limitado en losmodelos de respuesta dicotómica.

El coeficiente de determinación será alto, únicamente cuando la dispersiónespecífica esté muy cercana a los puntos A y B del gráfico anterior, puesto queen este caso es fácil fijar la línea recta uniendo los dos puntos. En este caso el predicho está muy cerca de 0 o 1.

John Aldrich y Forrest Nelson plantean que el uso del coeficiente dedeterminación como un estadístico resumen debe evitarse en aquellos modelosque contengan variables dependientes cualitativas.

1.2. EJEMPLO


Las variables se definen:

NOMBRE DEFINICIÓN UNIDAD DEMEDIDA

CAPAGO CAPACIDAD DE PAGO NUEVOS SOLES

CLIENTE CONDICIÓN DEL CLIENTE PUNTUAL = 1MOROSO = 0

EDAD EDAD DEL CLIENTE AÑOS

GARANTÍA MONTO DE LA GARANTÍA NUEVOS SOLES

INTERÉS TASA DE INTERÉS EFECTIVAMENSUAL

PORCENTAJE

81

NOMBRE DEFINICIÓN UNIDAD DEMEDIDA

NUMCUOTA NÚMERO DE CUOTAS

PERÍODO DURACIÓN DEL PRÉSTAMO MESES

PRÉSTAMO MONTO DEL PRÉSTAMO NUEVOS SOLES

SEXO SEXO MASCULINO = 1FEMENINO = 0

VALCUOTA VALOR DE LA CUOTA NUEVOS SOLES

Para estimarlo se dispone de información estadística recopilada de una instituciónfinanciera del Departamento de Piura.

El método de estimación es mínimos cuadrados ponderados y el procedimientoa seguir es el siguiente:

1º Estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios

Se escribe en el Eviews:LS CLIENTE C EDAD PRESTAMO SEXO PERIODO

a continuación se oprime ENTER y nos da el resultado siguiente:

Dependent Variable: CLIENTE Method: Least Squares Sample: 1 60 Included observations: 60 =========================================================== Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. =========================================================== C -0.815473 0.306770 -2.658258 0.0103 EDAD 0.014550 0.005161 2.819315 0.0067 PRESTAMO 1.89E-05 9.95E-06 1.895651 0.0633 SEXO 0.159441 0.110854 1.438297 0.1560 PERIODO 0.064383 0.022997 2.799581 0.0070===========================================================R-squared 0.332861 Mean dependent var 0.516667Adjusted R-squared 0.284341 S.D. dependent var 0.503939S.E. of regression 0.426316 Akaike info criteri 1.212381Sum squared resid 9.995971 Schwarz criterion 1.386910Log likelihood -31.37144 F-statistic 6.860387Durbin-Watson stat 1.511575 Prob(F- statistic) 0.000149===========================================================

82

2º Se realiza la estimación de la probabilidad de la siguiente forma:

Abrir la ecuación Procs Forecast OK y se muestra un gráfico y el⇒ ⇒ ⇒software crea un icono con el nombre que se le colocó a la estimación(CLIENTEF).

Para observar los resultados de la variable CLIENTEF se da dos clic ypaquete nos muestra lo siguiente:

CLIENTEF==========================================================

Modified: 1 60 // fit(f=actual) clientef 1 0.417364 1.104751 0.155492 0.803627 0.554091 6 0.814965 0.515421 0.486014 0.909758 0.899076 11 0.475652 0.765374 0.770710 1.321578 0.987106 16 0.536256 0.575847 1.014905 0.341672 0.405989 21 0.230938 0.643846 0.488985 0.437800 0.606510 26 0.259805 0.262450 0.206271 0.085420 0.620479 31 0.717948 -0.136817 0.397171 0.315820 0.243069 36 0.389929 0.804237 0.755200 0.045541 0.188897 41 0.618349 0.155769 0.417060 0.830059 0.278586 46 1.075758 0.486799 0.248942 0.408926 0.518848 51 0.317095 0.186445 0.067943 0.465541 0.483412 56 0.673622 0.643638 0.507839 0.651220 0.545000==========================================================

3º Estimamos la varianza generándola de la siguiente forma:GENR W = CLIENTEF * ( 1 - CLIENTEF )

y el Eviews nos da el siguiente resultado:

W=====================================================

Modified: 1 60 // w=clientef*(1-clientef) 1 0.243171 -0.115724 0.131314 0.157811 0.247074 6 0.150797 0.249762 0.249804 0.082099 0.090738 11 0.249407 0.179577 0.176716 -0.424990 0.012728 16 0.248686 0.244247 -0.015127 0.224932 0.241162 21 0.177606 0.229308 0.249879 0.246131 0.238656 26 0.192306 0.193570 0.163723 0.078124 0.235485 31 0.202498 -0.155536 0.239426 0.216078 0.183987 36 0.237884 0.157440 0.184873 0.043467 0.153215 41 0.235993 0.131505 0.243121 0.141061 0.200976 46 -0.081498 0.249826 0.186970 0.241706 0.249645 51 0.216546 0.151683 0.063327 0.248813 0.249725 56 0.219855 0.229368 0.249939 0.227132 0.247975=====================================================

83

4º Por último, se estima el modelo transformado por mínimos cuadrados ordinarios,es decir, se aplica mínimos cuadrados ponderados. El comando que se aplica esel siguiente:

Quick Estimate Equation escribir en la pantalla en blanco lo siguiente:⇒ ⇒CLIENTE C EDAD PRESTAMO SEXO PERIODO, luego clic en OPTIONS

se marca WEIGHTED LS / TSLS y en Weight se escribe: 1 / SQR( W ) ⇒ ⇒OK OK y se muestra el siguiente resultado:⇒

Dependent Variable: CLIENTE Method: Least Squares Sample: 1 60 Included observations: 55Excluded observations: 5Weighting series: 1/SQR(W) ========================================================== Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. ========================================================== C -0.861520 0.236827 -3.637769 0.0007 EDAD 0.014138 0.005080 2.782852 0.0076 PRESTAMO 2.84E-05 1.09E-05 2.597112 0.0123 SEXO 0.187273 0.106147 1.764279 0.0838 PERIODO 0.064795 0.019214 3.372355 0.0014==========================================================Weighted Statistics==========================================================R-squared 0.639966 Mean dependent var 0.496512Adjusted R-squared 0.611163 S.D. dependent var 0.632757S.E. of regression 0.394567 Akaike info criteri 1.064452Sum squared resid 7.784153 Schwarz criterion 1.246937Log likelihood -24.27243 F-statistic 13.15823Durbin-Watson stat 1.394854 Prob(F- statistic) 0.000000==========================================================Unweighted Statistics==========================================================R-squared 0.290121 Mean dependent var 0.490909Adjusted R-squared 0.233330 S.D. dependent var 0.504525S.E. of regression 0.441760 Sum squared resid 9.757613Durbin-Watson stat 1.391563==========================================================

Las variables edad, préstamo y periodo son significativas al 5% (Prob < 0.05) yla variable sexo es significativa al 10 % (Prob < 0.10) y el modelo es estadísticamentesignificativo al 5 % (Prob < 0.05).

84

Se predice dentro de la muestra con la instrucción siguiente:

Abrir la ecuación Procs Forecast OK y se muestra un gráfico y el software⇒ ⇒ ⇒crea un icono con el nombre que se le colocó a la estimación (CLIENTEF1).

Para observar los resultados de la variable CLIENTEF1 se da dos clic y paquetenos muestra lo siguiente:

CLIENTEF1========================================================= Modified: 1 60 // modproblin.fit(f=actual) clientef1 1 0.453183 1.264643 0.135592 0.836835 0.598836 6 0.850146 0.519971 0.488047 1.081373 0.993891 11 0.530495 0.822073 0.907713 1.590984 0.994447 16 0.531559 0.572147 0.991846 0.311970 0.395700 21 0.185995 0.640793 0.466289 0.421358 0.568752 26 0.200522 0.216839 0.177498 0.057164 0.580712 31 0.705757 -0.186881 0.349757 0.259422 0.188732 36 0.333220 0.805080 0.713630 0.020425 0.178108 41 0.585508 0.103903 0.390143 0.822291 0.239000 46 1.073549 0.468637 0.223544 0.397997 0.464635 51 0.294014 0.161586 0.019346 0.446526 0.426291 56 0.618380 0.623329 0.494666 0.619459 0.525189=========================================================

y los resultados se comparan con los valores observados de la variable endógena,obteniendose 42 predicciones correctas ( 20 para CLIENTE = 1 y 22 PARA CLIENTE= 0) y nos da un Coeficiente de Bondad de Conteo de 70 %.

1.3. MODELO LOGIT Y PROBIT

Un enfoque alternativo es suponer un modelo de regresión:

no se observa ( se conoce como variable " latente " ).

Lo que se observa es una variable indicadora definida por:

La diferencia entre la especificación (2) y el modelo de probabilidad lineal es queen este último se analizan las variables dicotómicas tal como son, en tanto que en (2) sesupone la existencia de una variable latente subyacente para la que se observa una

85

evidencia dicotómica. Ejemplo:

1º la persona tiene o no empleo.

la propensión o capacidad de encontrar empleo.

2º si la persona compra o no un automóvil.

el deseo o capacidad de adquirir un automóvil.

por lo tanto, las variables explicativas de (2) contendrán variables que expliquen amboselementos.

Supongamos que , esto nos permite fijar la escala de .Combinando (2) y (3) obtenemos:

donde F es la función de distribución acumulada de u.

Si la distribución de u es simétrica, entonces , la expresiónanterior se puede escribir:

Los Observados son sólo realizaciones de un proceso binomial cuyasprobabilidades están dadas por (4) y que varían de un ensayo a otro (de pendiendo de

), entonces la función de verosimilitud se puede escribir:

La forma funcional para F en (4) dependerá de la suposición en torno al términode error u.

Se ha creado un problema de estimación porque es no lineal no solamente en sino también en los ; entonces, no se puede estimar mediante mínimos cuadradosordinarios. En esta situación, es preciso recurrir al método de máxima verosimilitud paraestimar los parámetros.

El método de máxima verosimilitud consiste en la maximización de la función deverosimilitud (ecuación 5) para el modelo LOGIT y PROBIT y ésto se logra por mediode métodos no lineales de estimación. La función de verosimilitud es cóncava (no tiene

86

Cliente X ui i i= + +α β

múltiples máximos) y, por lo tanto, cualquier valor inicial de los parámetros será útil. Escostumbre comenzar las iteraciones para el modelo logit y probit con los estimados delmodelo de probabilidad lineal.

Si la información disponible es sobre familias individuales, donde si una

familia posee una casa y si no la posee; entonces el modelo a estimar es (5) porel método de máxima verosimilitud.

1.3.1. CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO LOGIT O PROBIT

Los requisitos para la construcción de un modelo logit o probit son:

1º Contar con una muestra representativa de clientes cumplidos e incumplidos, cuyotamaño mínimo se establece vía criterios estadísticos.

2º Contar con suficiente información de los clientes contenida en sus solicitudes decrédito o expedientes.

3º Seleccionar las posibles variables explicativas de la probabilidad de default de losclientes, en base al conocimiento o experiencia previa y a procedimientosestadísticos (test de significancia individual).

4º Escoger el modelo más apropiado en base a tests estadísticos sobre la "bondad deajuste" o "calidad predictiva" del modelo.

El procedimiento a seguir es:

1º El significado de las variables aparece en el ítem 1.2.

2º Buscar el mejor modelo explicativo de la probabilidad de default (cumplimiento)de los clientes, en base al siguiente procedimiento general:

2.1. Realización de regresiones bivariables y selección de variables explicativas segúnsigno y significancia estadística individual (escogemos las de probabilidad menordel 10 por ciento).

Se estiman varias regresiones de la siguiente forma:

para seleccionar la variable se requiere analizar: el signo correcto, la significanciade (si es altamente significativo, significativo o relativamente significativo)βy el (debe estar entre 0.2 y 0.6).R2

2.2. Comparación de correlaciones entre variables a fin de eliminar el problema de

87

multicolinealidad. Entre las variables correlacionadas optamos por la de mayorR2 de Mc Fadden.

Una vez identificadas las variables más relevantes a partir de modelosbivariables, podemos descartar algunas de ellas en base a su correlaciones.Variables altamente correlacionadas (con coeficientes de correlación mayores a0.5) resultan redundantes, es decir, basta con que me quede con una de ellas enel modelo, ya que si las incluyo todas sus significancias estadísticas individualestienden a ser bajas (no se puede distinguir el impacto de cada una de ellas sobrela variable dependiente). El criterio práctico es eliminar las variablescorrelacionadas con menor significancia estadística individual en las regresionesbivariables, con menor R2 (Mc Fadden).

Para obtener la Matriz de Correlaciones entre variables, aplico:Quick/Group Statistics/Correlations

y se escribe el nombres de las variables seleccionadas en el ítem anterior.

2.3. Construcción de modelos multivariables en sus versiones logit, probit y linealincorporando las variables escogidas luego de los pasos 1 y 2. Los modelos sevan perfilando para dejar sólo las variables estadísticamente significativas(probabilidad menor del 10 por ciento).

Con las variables explicativas escogidas, luego de los pasos 2.1. y 2.2. seestima el modelo en su versión logit, probit o lineal. El modelo se perfila paradejar sólo las variables con signos adecuados y estadísticamente significativas(prob < 0.10).

2.4. Evaluación de los modelos alternativos en base a siguientes criterios arrojadospor el programa E-views:

1.- Signo correcto de los coeficientes.2.- Significancia estadística individual de los parámetros de acuerdo al

z-statistic y su probabilidad correspondiente.3.- Significancia conjunta del modelo.4.- Bondad de ajuste en base a R2 de Mc Fadden, Expectation-Prediction

Table, Goodness-of-Fit Test (Hosmer-Lemeshow).

A) Bondad de ajuste: La regla práctica nos dice que este valor debeencontrarse entre 0.2 y 0.6 para considerarseaceptable en el contexto de la modelación deprobabilidades.

Se han sugerido varias medidas de bondad de ajuste paraeste tipo de modelos, por ejemplo:

1.- La correlación entre CALF y CALFF al cuadrado:

88

2.- Basada en la suma de cuadrados residual:

3.- Amemiya:

4.- Mc - Fadden:

= Función de Máxima Verosimilitud conrespecto a todos los parámetros.

= Función de Máxima Verosimilitud cuando sehace con la restricción

5.- Cragg - Uhler:

6.- R2 de conteo:

B) Expecation-Prediction Table: Esta prueba nos permite averiguarcuál es el porcentaje de acierto en laspredicciones que obtiene el modelo.

89

C) Goodness-of-Fit Test: (test de Hosmer-Lemeshow). Esta pruebaparte de agrupar las observaciones enquantiles y evalúa el desempeño del modeloen cada uno de ellos en términos del númerode observaciones que predice el modelo quedeben ubicarse en cada quantil vs el númerode observaciones real.

Por defecto, me indica que lainformación se va a agrupar en 10 quantiles ogrupos según niveles. Lo ideal es que elnúmero total de observaciones por quantil seael más grande posible (prueba para muestrasgrandes).

Se recomienda hacer esta prueba conel mayor número posible de observacionesposible en cada quantil.

5.- Criterio de Hannan Quinn (por ser una "función de pérdida", convieneminimizarlo frente a los modelos alternativos).

Este es un criterio para comparar modelos alternativos. La regla esescoger el modelo con menor H-Q (no se aplica al MLP).

6.- Curva de Respuesta de Probabilidad de cada variable explicativa del

modelo.

Esta prueba es ratificatoria del test de significancia estadísticaindividual de las variables explicativas. Nos permite evidenciar medianteun gráfico ad hoc si cada una de estas variables tiene poder paradiscriminar entre buenos y malos pagadores, partiendo de un valor "c"como parámetro de corte entre quienes se consideran dentro de ambascategorías; usualmente este valor se sitúa en 0.5, es decir, quienes tienenuna probabilidad de cumplir menor o igual que 0.5 (50 por ciento), seasumen como malos clientes y los que tienen una mayor, buenos clientes.

2.5. Selección del modelo final en base a la perfomance relativa de éste al comparar,entre modelos alternativos, los resultados de los test sugeridos en el ítemanterior.

Lo primero que cabe destacar es que, en el caso del MLP, los efectosmarginales de las variables explicativas son constantes para todos los individuos,mientras que en los casos del logit y el probit, estos efectos son diferentes paracada individuo, dependiendo de los valores de las variables explicativas que locaracterizan.

Usualmente, en los modelos logit y probit se calculan los efectos

90

marginales de una variable o regresor para cada individuo, a fin de tener una ideadel rango de variación de dichos efectos y se asume que el promedio de estosefectos individuales es una buena aproximación al "efecto marginal global" dela variable (si se quiere tener un número - resumen), lo cual, desde luego, partede la premisa de que se cuenta con una muestra suficientemente representativa.

Pese a que los parámetros j de cada regresor, en los modelos logit yprobit, no nos miden, por sí solos el, efecto marginal de dicho regresor, si nosindican la dirección (signo) del cambio inducido en la probabilidad por lavariable explicativa.

2.6. Una vez elegido el modelo final, cálculo de los efectos marginales respectivos

Los efectos de los cambios en las variables explicativas sobre lasprobabilidades de que cualquier observación pertenezca a uno de los dos grupos,son proporcionados por:

donde: y es la función de densidad normal

estándar.

1.3.2. MODELO LOGIT PARA DATOS AGRUPADOS

Si la distribución acumulada de es logística, se tiene el llamado modeloLOGIT, es decir:

donde

Las probabilidades son:

91

El cociente entre ambas probabilidades es:

aplicando logaritmo neperiano, nos da:

En el modelo de probabilidad lineal se supone como función lineal de lasvariables explicativas; aquí, la razón logarítmica de momios o logit es una función linealde las variables explicativas.

Tiene las siguientes características:

1.- Dado que P va de 0 a 1, es decir, a medida que Z varía entre y el logitestá entre y . En otras palabras, aunque las probabilidades se encuentranentre 0 y 1, los logit no tienen estos límites.

2.- Aunque el logit es lineal en X, las probabilidades mismas no lo son, en contrastecon el modelo de probabilidad lineal, donde las probabilidades aumentanlinealmente con X.

3.- La interpretación del modelo logit es: mide el cambio en logit por un cambiounitario en X, es decir, nos muestra cómo varía la factibilidad del logit en favorde poseer una casa a medida que X cambia en una unidad.

Si es relativamente grande y si cada observación en una clase de , estádistribuida en forma independiente como una variable binomial, entonces:

por lo tanto, el término de perturbación en el modelo logit es heterocedástico y el métodode estimación adecuado es mínimos cuadrados ponderados.

El procedimiento para estimar una regresión logit (7) es:

92

( 1 ) Para cada nivel de , se calcula la probabilidad estimada de poseer una casa

como .

( 2 ) Para cada valor de , obténgase el logit como:

( 3 ) Para solucionar el problema de heterocedasticidad, se transforma así:

donde las ponderaciones , porque se distribuye normal

con varianza igual a si es suficientemente grande.

( 4 ) Estimar el modelo transformado utilizando mínimos cuadrados ordinarios (es unmodelo sin intercepto).

( 5 ) Establecer los intervalos de confianza y/o las pruebas de hipótesis en el marcousual de mínimos cuadrados ordinarios, pero manteniendo en mente que todas lasconclusiones serán validas, si la muestra es razonablemente grande. Parapequeñas muestras los resultados estimados deben interpretarse cuidadosamente.

1.3.3. MODELO PROBIT PARA DATOS AGRUPADOS

Si los errores siguen una distribución normal, se tiene un modelo PROBIT (oNORMIT), es decir:

donde es un índice de conveniencia no observable que está determinado por una ovarias variables explicativas, así:

y t es la variable normal estandarizada, es decir, t se distribuye .

Es razonable suponer que para cada familia hay un nivel crítico o umbral delíndice, , tal que si excede a , ocurre el evento, de lo contrario no sucederá. El

93

umbral al igual que no es observable, pero si se supone que esta distribuidonormalmente con la misma media y varianza. Por lo tanto, es posible estimar losparámetros y los valores del índice no observable. Es decir, la probabilidad sería:

Como representa la probabilidad de que un evento ocurra, P se mide por elárea de la curva normal estándar desde hasta . Para obtener la información de , como también de y , tomamos el inverso de la función de distribuciónprobabilística acumulada normal.

Se ha creado un problema de estimación porque es no lineal no solamente en sino también en los ; entonces, no se puede estimar mediante mínimos cuadradosordinarios.

Si es relativamente grande y si cada observación en una clase de , estádistribuida en forma independiente como una variable binomial, entonces:

por lo tanto, el término de perturbación en el modelo probit es heterocedástico y elmétodo de estimación adecuado es mínimos cuadrados ponderados.

El procedimiento para estimar una regresión probit es:

( 1 ) Para cada nivel de , se calcula la probabilidad estimada de poseer una casa

como .

( 2 ) Dado , obténgase el índice de utilidad como:

( 3 ) Para solucionar el problema de heterocedasticidad, se transforma así:

94

donde las ponderaciones , porque se distribuye normal

con varianza igual a si es suficientemente grande.

( 4 ) Estimar el modelo transformado utilizando mínimos cuadrados ordinarios (es unmodelo sin intercepto).

( 5 ) Establecer los intervalos de confianza y/o las pruebas de hipótesis en el marcousual de mínimos cuadrados ordinarios, pero manteniendo en mente que todas lasconclusiones serán validas, si la muestra es razonablemente grande. Parapequeñas muestras los resultados estimados deben interpretarse cuidadosamente.

Si la información esta agrupada o replicada (observaciones repetidas), entoncesse puede obtener información sobre la variable dependiente y el índice de utilidad; porlo tanto, el modelo a estimar se aplica mínimos cuadrados ponderados.

1.3.4. MODELO LOGIT VERSUS MODELO PROBIT

Desde el punto de vista teórico, la diferencia entre ambos modelos es ladistribución de probabilidades (normal para el modelo probit y logística para el modelologit); ambas distribuciones están muy próximas entre sí, excepto en los extremos, lalogística tiene colas ligeramente más planas, es decir, la curva normal o probit se acercaa los ejes más rápidamente que la curva logística. Por esta razón, no es probable obtenerresultados muy diferentes, a menos que las muestras sean grandes.

Sin embargo, los estimados de los parámetros de ambos métodos no son

directamente comparables; porque la distribución logística tiene una varianza y la

distribución normal tiene una varianza de 1. Entonces ambos coeficientes se relacionande la siguiente forma:

Amemiya sugiere multiplicar los estimados LOGIT por 1/1.6 = 0.625 porque estatransformación produce una aproximación más cercana entre la distribución logística yla función de distribución normal estándar. Es decir, la relación sería:

También sugiere que los coeficientes del modelo de probabilidad lineal

95

y los coeficientes del modelo logit se relacionan así:

Aplicando regla de tres simple logramos encontrar la relación entre loscoeficientes del modelo probit y el modelo de probabilidad lineal, que nos da:

Si se tiene muestras de tamaños desiguales, no se afectan la estimación de loscoeficientes de la variables explicativas del modelo logit, pero si se afecta el términoconstante. Este resultado no es valido para el modelo probit ni para el modelo deprobabilidad lineal. Si el modelo estimado se utiliza para propósitos de predicción, esnecesario ajustar el término constante.

Desde el punto de vista práctico, es generalmente utilizado con preferencia elmodelo logit sobre el modelo probit.

2. MODELOS DE ELECCIÓN MÚLTIPLE

Existen varias formas en que se pueden analizar este problema:

1º Con datos no ordenados: se utiliza cuando las alternativas que presenta lavariable endógena no indican ningún orden. Puedenser:

1.1. Multinomial, se utiliza cuando los regresores del modelo hacen referencia a lasobservaciones muestrales, por lo que varían entre observaciones pero no entrealternativas.

1.2. Condicional, se utiliza cuando los regresores del modelo hacen referencia a lasalternativas, por lo que sus valores varían entre alternativas pudiendo hacerlo ono entre observaciones.

2º Con datos ordenados: se utiliza cuando las alternativas de la variableendógena representan un orden entre ellas.

Generalizaremos los resultados anteriores a casos en los que los individuos hacenelecciones entre tres o más alternativas mutuamente excluyentes.

Un modelo multinomial de respuesta cualitativa se define de la siguiente forma:

96

( ) ( )P Y j F X i n y j mi Y i= = = =* , ; , ,..., , ,..., .θ 1 2 1 2

Ysi Y jsi Y j i n y j mij

i

i i

= == ≠ = =⎧⎨⎩

10 1 2 1 2; , ..., , ,..., .

ln lnL Y Fijj

m

i

n

ij

i

===∑∑

01

∂∂θln .L = 0

( ) ( )P Y j X p S j= =,θ

Asume que la variable dependiente toma valores {0, 1, 2, ..., }, entoncesYi mi + 1 miel modelo multinomial vendrá dado:

donde y son vectores de variables independientes y parámetros respectivamente.X * θDe esta forma, depende de un i en particular cuando los individuos tienen diferentesmiconjuntos de elección. Para definir el estimador de en el modelo usualmente seθdefinen variables binarias, de la forma:Σ i

n = 1 ( )mi + 1

La función de verosimilitud viene definida como:

donde el estimador insesgado de se define como una solución a la ecuación:$θ θ

Los modelos multinomiales de respuestas cualitativas se pueden clasificar enmodelos ordenados y no ordenados.

2.1. MODELOS ORDENADOS

Un modelo ordenado se define como:

para alguna medida de probabilidad p, sobre X y , y una secuencia finita de intervalosθsucesivos que depende sobre X y tal que .{ }S j θ U Sj j = ℜ

En los modelos ordenados, los valores que Y toma, corresponden a una particiónsobre la línea real. A diferencia de modelo no ordenado, donde la particióncorrespondería a particiones no sucesivas sobre la línea real o a particiones dedimensiones mayores sobre el espacio euclidiano. En la mayoría de las aplicaciones, elmodelo ordenado toma la forma:

97

( ) ( ) ( )P Y j X F X F X j mj j j j m= = − ′ − − ′ = = −∞ ≤ = ∞+ + +, , ; , ,..., ; ; ;α β α β α β α α α α1 0 1 10 1

( ) ( ) ( )P Y j X X i n y j mi ijk

m

ij i

i

= = ′⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ′ = =

=

−

∑ exp exp ; , ,..., , ,...,β β0

1

1 2 0 1

U con jij ij ij= + =µ ε , , ,0 1 2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

P Y P U U U U

P Y P

P Y

i i i i i

i

ii

i i i

= = > >

= = + − > + − >

= =+ +

2

2

2

2 1 2 0

2 2 1 1 2 2 0 0

2

0 1 2

,

,

expexp exp exp

ε µ µ ε ε µ µ εµ

µ µ µ

Para alguna distribución F, se puede definir un modelo Logit ordenado o Probitordenado.

2.1.1. MODELO LOGIT

El modelo logit multinomial se define como:

Mc Fadden (1974) considera el siguiente modelo multiecuacional derivado delproblema del consumidor. Considere a un individuo i cuyas utilidades están asociadascon tres alternativas, de la forma siguiente:

donde no es una función estocástica sino deterministica. Por otro lado, es el usualUij ε ijtérmino aleatorio de error. De esta forma, el individuo elige aquella alternativa en la queobtiene la mayor utilidad. El multinomial logit se puede derivar del problema demaximizar la utilidad sí y sólo sí los son independientes y la función de distribuciónε ijde viene dada por De esta manera, la probabilidad de que el iε ij ( )[ ]exp exp .ε ijindividuo elija una alternativa j, será:

y tomará una forma parecida a la definición del modelo logit multinomial sí hacemos y .µ µ βi i iX2 0 2− = ′ µ µ βi i iX1 0 1− = ′

2.2. MODELOS NO ORDENADOS

Se enfocara el caso en que las alternativas no están ordenadas.

98

P X P X P Xi i i i i i1 1 1 2 2 2 3 3 3= + = + = +α β α β α β

( )Prob Y j P e

ei ij

X

X

j

j

j i

j i

= = =′

′

=

−

∑

β

β

0

1

Pe e

P ee e

P ee e

X X

X

X X

X

X X

i i

i

i i

i

i i

0 0

0

11 1

1

1 1 2 2

1 1

1 1 2 2

1 1

1 1 2 2

=+ +

=+ +

=+ +

+ +

+

+ +

+

+ +

α β α β

α β

α β α β

α β

α β α β

2.2.1. MODELO LINEAL DE PROBABILIDAD

Si asumimos que hay tres opciones j = 1, 2, 3, escribimos el modelo:

es la probabilidad de que el individuo i elegirá la j ésima opción, mientras que Pji Xies el valor de X para el j ésimo individuo.

Para estimar cada una de las tres ecuaciones en el modelo por mínimos cuadradosordinarios, no es necesario ejecutar las tres regresiones lineales de probabilidad.

Dado que las probabilidades estimadas están restringidas para sumar 1, losinterceptos estimados para sumar 1 y los parámetros de pendiente para sumar 0.

Entonces, sólo se necesita ejecutar dos de las tres regresiones de mínimoscuadrados. La solución para los parámetros de la tercera ecuación se deriva de lasprimeras dos.

2.2.2. MODELO LOGIT

En este tipo de modelos las alternativas de la variable respuesta indican lapertenencia de las observaciones a un determinado grupo sin incorporar informaciónordinal. La formulación de un Logit Multinomial queda recogida a través de la siguienteecuación:

Donde para el caso sencillo de un modelo en el que la variable endógena presentatres posibles alternativas de elección y sólo existe una variable explicativa en lamodelización, la probabilidad asociada a cada una de las alternativas posibles de eleccióntomarían las siguientes expresiones:

con .P P P0 1 2 1+ + =

99

( ) ( )( )f X X af Xob X a

> =>Pr

( ) ( )Prob X a a> = − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −1 1Φ Φµσ

α

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )f X X af X e

XX

> =−

=−

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

− − − −

12

1

1

1

21

2 2

2

2

Φ Φ Φαπσ

ασ

φ µσα

µσ

3. MODELO CON VARIABLE DEPENDIENTE LIMITADA

Existen un gran número de datos cuya observación nos muestra que estánlimitados o acotados de alguna forma. Este fenómeno lleva a dos tipos de efectos: eltruncamiento y la censura.

El efecto de truncamiento ocurre cuando la muestra de datos es extraídaaleatoriamente de una población de interés, por ejemplo, cuando se estudia el ingreso yla pobreza se establece un valor sobre el cual el ingreso se encuentra por encima o pordebajo del mismo.. De esta forma, algunos individuos podrán no ser tenidos en cuenta.

Por otro lado, censurar es un procedimiento en el cual los rangos de una variableson limitados a priori por el investigador; este procedimiento produce una distorsiónestadística similar al proceso de truncamiento.

3.1. MODELO TRUNCADO

Una distribución truncada es la parte de una distribución no truncada antes odespués de un valor específico; imagínese por ejemplo que nosotros deseamos conocerla distribución de los ingresos anteriores a 100,000 o el número de viajes a una zonamayores de 2, ésta será tan sólo una parte de la distribución total.

Si una variable continua aleatoria X, tiene una función de densidad deprobabilidades, y a es una constante, entonces:

si X tiene una distribución normal con media y desviación estándar , entonces:µ σ

donde y es función de densidad acumulativa, entonces laα µσ

= −a ( )Φ α

distribución normal truncada será:

donde será la función de densidad de probabilidades normal estándar. La distribuciónφnormal estándar truncada con y para a igual a -0.5, 0 y 0.5, será:µ = 0 σ = 1

100

[ ] ( )E X truncamiento = +µ σλ α

[ ] ( )( )var X truncamiento = −σ δ α2 1

( ) ( )( )

( ) ( )( )

λ αφ α

α

λ αφ α

α

=−

>

=−−

<

1

1

Φ

Φ

si el truncamiento ocurre en X a

si el truncamiento ocurre en X a

( )( ) ( )ln ln ln lnL n Y Xa X

i ii

i

n

i=

−+ − − ′ − −

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=∑∑2

2 12

122

2

1π σ

σβ β

σΦ

Si con constante, entonces la media vendrá dada por:[ ]X N≈ µ σ, 2 µ

y la varianza por:

donde . Por otro lado, nosotros observamos que:( )α µ σ= −a /

Tomando el logaritmo de la distribución normal truncada, y al realizar la suma delos logaritmos de estas densidades, se obtiene:

Las condiciones necesarias para maximizar ln L serán:

101

( )

∂∂β

βσ

λσ

∂∂σ σ

βσ

ασ

ln

ln

L Y XX

L Y X X

i i i

i

n

i

i i i i

i

n

=− ′ −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

=

=−

+− ′

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

=

=

∑

∑

21

2 2

2

4 21

0

12 2 2

0

Y si Y Y Y si Y= ≤ = >0 0 0* * *

( ) ( )Pr Pr *ob Y ob Y= = ≤ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 0 1Φ Φµσ

µσ

donde y .α βσii ia X= − ( )

( )λφ α

αii

i=

−1 Φ

3.2. MODELO CENSURADO

Un procedimiento normal con datos microeconómicos, consiste en censurar lavariable dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los valores en undeterminado rango son todos transformados a un valor singular. De esta forma, sidefinimos una variable aleatoria y transformada de la variable original como:

El gráfico de la distribución censurada es:

La distribución correspondiente a será: ( )Y N* ,≈ µ σ 2

si y tiene la densidad de , entonces la distribución tiene partes discretas yY * > 0 Y *

102

( ) ( )( )E Y a= + − +Φ Φ1 µ σλ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]Var Y = − − + −σ δ α λ2 21 1Φ Φ

y x u si mi

i i i= + + ≥⎧⎨⎩

β β0 1 ym si y < m

i*

i i*

i

continuas, donde la probabilidad total será de 1como se requiere. Para lograr esto, seasigna la probabilidad total en la región censurada al punto de censuramiento.

La media de una variable censurada vendrá dada por:

y la varianza:

d o n d e : ; ;( ) ( )Φ Φ Φa ob Y a−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= = ≤ =µσ

α Pr * λ φ=−1 Φ

.δ λ λα= −2

3.3. MODELO TOBIT

El modelo Tobit se originó en el estudio de consumo de bienes no perecederos porparte de las economías domésticas; el importe dedicado al consumo de estos bienes seanula en el caso de familias que no pueden dedicar un mínimo de renta a la adquisiciónde este tipo de productos. Así, el modelo Tobit es de la forma:

en el que el valor es el límite mínimo por debajo del cual la variable endógena nomipuede caer. Este modelo puede considerarse como uno de elección binaria, en el que lavariable endógena toma valores dependientes de las exógenas o bien un mínimo que nodepende de éstas.

Supongamos que se observa si , y no si . Entonces, sedefinirá como:

asume que .

103

Se le llama modelo Tobit o probit de Tobin o modelo censurado de regresiónnormal, debido a que se censura (no se permite observar) algunas observaciones de (aquellas que ). El objetivo es estimar los parámetros y .

Ejemplo

1.- Se especifica la demanda de automóviles de la siguiente forma:

donde Son los gastos en automóviles y x el ingreso. En la muestra habríaun gran número de observaciones para las cuales los gastos en automóviles soncero. El modelo censurado de regresión se puede especificar como:

2.- Si existen observaciones sobre varias personas, de las cuales sólo algunas tienenempleo, podemos especificar el modelo:

Caso horas trabajadas,•

Caso salarios,•

Método de estimación

La estimación de y mediante mínimos cuadrados ordinarios no se puedeβ σutilizar con observaciones positivas , pues cuando se escribe el modelo:

el término de error no tiene media cero. Dado que las observaciones con se omiten, esto supone que sólo se incluyen en la muestra las observaciones para las

104

cuales . Por lo tanto, la distribución de es normal truncada y su media noes cero. La Distribución normal truncada es:

donde la función de densidad estándar normal es:

y la función de distribución acumulada estándar normal es:

Un método de estimación que se sugiere comúnmente es el de máximaverosimilitud, que es el siguiente:

si maximizamos la función de verosimilitud con respecto a y , obtendremos losβ σestimados de máxima verosimilitud de estos parámetros.

Los modelos Tobit se refiere a modelos censurados o truncados donde el rangode la variable dependiente se restringe de alguna forma.

Dado el creciente uso de los modelos tipo Tobit, Amemiya realizó la laboriosatarea de clasificar, los modelos Tobit de acuerdo con similitudes en la función deverosimilitud. La caracterización de los tipos de modelos Tobit es la siguiente:

105

TIPO VARIABLE DEPENDIENTE

Y1 Y2 Y3

1 CENSURADO - -

2 BINARIO CENSURADO -

3 CENSURADO CENSURADO -

4 CENSURADO CENSURADO CENSURADO

5 BINARIO CENSURADO CENSURADO

y x x x ut t t k kt t= + + + +β β β1 1 2 2 ....

y X ut t t= +β

CAPITULO IV

MODELOS MULTIECUACIONALES

1. INTRODUCCIÓN

En el modelo básico de regresión y para cualquier punto muestral t tenemos:

expresándolo en matrices nos da:

donde,escalar del valor de la variable endógena en el punto t. yt ⇒vector fila 1 x K de los valores de todas las exógenas en el puntoXt ⇒t.

vector columna K x 1 de parámetros del modelo.β ⇒u escalar de la variable aleatoria en el punto t.⇒

Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t = 1, 2, ..., T), lacorrespondiente expresión matricial, es:

siendo,Y vector columna T x 1 de valores de la endógena.⇒X matriz T x K de valores de las exógenas. ⇒

vector columna K x 1 de parámetros del modelo.β ⇒U vector columna T x 1 de las perturbaciones aleatorias.⇒

En el contexto de un modelo multiecuacional con g variables endógenas y kexógenas (o predeterminadas), una ecuación cualquiera que incluyese todas las variablesy en la que la endógena cuyo comportamiento quisiésemos explicar fuera (ecuaciónh-ésima) adopta la siguiente expresión:

considerando nulo el coeficiente de en el segundo miembro, es decir, .

En forma matricial resulta:

108

donde,vector fila de los valores de todas las endógenas en el punto t. ⇒vector columna de los valores de los parámetros de las variables⇒endógenas del modelo.vector fila de los valores de todas las exógenas en el punto t.⇒vector columna de los parámetros de las variables exógenas del⇒modelo.

Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t=1,2,...,T), puede expresarsela misma ecuación matricialmente de la siguiente forma:

siendo,vector columna de todos los valores muestrales de la variable⇒endógena h.

Y matriz de todos los valores muestrales de las variables endógenas⇒del modelo, excepto la variable h.

vector columna de los valores de los parámetros de las variables⇒endógenas del modelo.

X matriz de todos los valores muestrales de las exógenas del modelo.⇒vector columna de los parámetros de las variables exógenas del⇒modelo.

vector columna de las perturbaciones aleatorias.⇒

Para el modelo en su conjunto, referido a todos los valores muestrales, laexpresión matricial será:

que viene a ser la FORMA ESTRUCTURAL del modelo, pasamos al primermiembro y nos queda:

sacamos factor común Y por la derecha, tenemos:

despejándose las g endógenas del sistema de g ecuaciones, da:

109

viene a ser la FORMA REDUCIDA del modelo.

1.1. TIPOS DE MODELOS MULTIECUACIONALES

Los modelos multiecuacionales se clasifican:

1º Modelos Recursivos (o en cadena causal (Wold) o recurrente)

Cada variable endógena depende, además de las variables predeterminadasespecíficas de cada ecuación, de otras endógenas, pero sin que existan relacionesrecíprocas de causalidad; así:

o sea, influye sobre , pero no se da la relación de causalidad inversa, de sobre . Es adecuado el procedimiento de estimación de los mínimos cuadradosordinarios, porque los términos de error de las ecuaciones están incorrelacionadasentre sí.

2º Modelos Bloque Recursivo o Bloque Recurrente

Las ecuaciones pueden repartirse en grupos tales que entre ellas surelación es de carácter recursivo; ejemplo:

la tercera ecuación (un bloque) determina a partir de y (otro bloque),sobre las que no influye, aunque éstas si lo hagan simultáneamente entre sí. Si elprimer bloque está identificado, estas ecuaciones pueden estimarse utilizando latécnica de los mínimos cuadrados en dos etapas y para el segundo bloque espreciso utilizar el procedimiento de los mínimos cuadrados ordinarios.

3º Modelos interdependientes o de ecuaciones simultáneas

Existen relaciones causales múltiples entre todas las variables endógenasdel sistema. Ejemplo:

110

La simultaneidad de ecuaciones no permite un tratamiento aislado de cadauna de las ecuaciones. En este caso, que existe correlación entre los términos deerror de varias ecuaciones, es conveniente proceder a una estimación conjunta deparámetros. El método adecuado de estimación depende de la identificación decada ecuación del modelo.

4º Modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas

Se trata típicamente de ecuaciones similares referidas a diversas partes deun total (por ejemplo, tasas de actividad por grupos de sexo y edad, demanda dediferentes productos, etc.), que impide una independencia total entre lasperturbaciones de cada ecuación y las de las restantes del sistema. Ejemplo:

Los modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas (Seeminglyunrelated equations) presentan correlación entre los términos de error de lasecuaciones del modelo; por lo tanto, el método adecuado de estimación esmínimos cuadrados trietápicos.

Si las perturbaciones de cada ecuación no están relacionadas entre sí (estánincorrelacionadas) no existirá, evidentemente, ninguna relación entre las tresecuaciones; entonces la estimación minimocuadrática ordinaria es perfectamenteapropiada.

2. ESPECIFICACIÓN DE UN MODELO MULTIECUACIONAL

En el proceso de construcción de un modelo multiecuacional es convenienterealizar un diagrama causal, esto es, un grafo en el que mediante flechas se indicancuáles son las variables causa y cuáles las efecto o explicadas (endógenas). Lasperturbaciones aleatorias son variables latentes o no observables, de naturaleza aleatoria,que influyen sobre las variables endógenas y que se representan dentro de un círculopara indicar que no son medibles directamente. Las interrelaciones entre las variablespredeterminadas, o entre las perturbaciones aleatorias se representan mediante líneas queunen las variables relacionadas.

Las variables endógenas son aquellas a las que apunta alguna flecha en undiagrama causal, y las predeterminadas son aquellas variables medibles de las que partealguna flecha pero a las que no apunta ninguna.

El modelo se formula a partir del diagrama causal, y, si las relaciones son lineales,

111

( )r I g− =Γ

Y Y X U= + +Γ Β

( )E uh = 0

( )Var u Ih h T= σ 2

( )u N Ih h T∈ 0 2,σ h = 1,2,...,g

( )Var ut = ∑ t = 1,2,...,T

resulta la forma estructural, así:

Antes de proceder a la estimación de los parámetros estructurales, es necesariopresuponer que se cumplen una serie de hipótesis a priori o unas condiciones por partedel modelo para que sean válidas las distintas técnicas estadísticas de estimación y decontrastes diagnósticos. Las hipótesis a priori sobre cada ecuación son idénticas a las quese formulan sobre los elementos de un modelo uniecuacional y las hipótesis sobre elmodelo en su conjunto, se refieren a la compatibilidad del sistema y a las relaciones entrelas perturbaciones aleatorias de distintas ecuaciones.

1º Hipótesis sobre las variables predeterminadas,

C Las variables exógenas no son variables aleatorias y están medidassin error.

C No existe multicolinealidad entre éstas.

2º Hipótesis sobre los parámetros estructurales,

C Los parámetros estructurales son constantes para todas lasobservaciones.

C Las ecuaciones del modelo son compatibles entre sí, o sea esposible hallar la forma reducida a partir de la estructural, lo queexige que:

3º Hipótesis sobre las perturbaciones aleatorias,

C Para cada ecuación, las perturbaciones deben ser centradas:

de varianza constante y sin autocorrelación:

y su distribución debe ser Normal, es decir:

C Entre las perturbaciones de la misma observación t-ésima pero de

las g ecuaciones pueden existir relaciones, pero éstas debenmantenerse constantes en todas las observaciones. La matriz decovarianzas:

112

σh2 h = 1,2,...,g

no depende de t y es de dimensión g x g; su diagonal principal estáformada por las varianzas:

de las perturbaciones de cada ecuación. Esta hipótesis se denominade homocedasticidad entre ecuaciones.

4º Hipótesis sobre la identificabilidad del modelo,

Para poder estimar las distintas ecuaciones es necesario imponer algunasrestricciones sobre las matrices de parámetros estructurales y . Estasα βrestricciones se denominan condiciones de identificabilidad, y se deben cumplirpara que los parámetros sean estimables a partir de los datos e interpretableseconómicamente.

Pueden existir en el modelo ecuaciones de definición (identidades), éstasse consideran eliminadas, por sustitución, a efectos metodológicos.

Sólo en el caso de los modelos recursivos, la matriz será diagonalindicando precisamente la ausencia de autocorrelación entre los términos de errorde ecuaciones diferentes; también se caracterizan por tener una matriz triangular indicativa de las relaciones en cadena causal.

2.1. IDENTIFICACIÓN

La identificación constituye un paso previo a la estimación del modelo.

El modelo visto antes, sólo tiene su verdadero sentido si unas ecuaciones puedenmatemáticamente distinguirse de las otras o, en términos econométricos, si todas lasecuaciones son identificables.

2.1.1. INTUITIVO

Tenemos el Modelo de Mercado, donde cada una de sus ecuaciones son funciónlineal del precio, es decir:

Vemos que con T pares de valores de las cantidades y precios a que se hace cadatransacción en el mercado , no es posible determinar ninguna de las dosecuaciones, ya que sólo se dispone de una nube de puntos que pueden corresponder a unpunto de equilibrio de oferta y demanda, con las desviaciones producidas por los efectos

113

de las perturbaciones aleatorias y .

Un ajuste estadístico a dicha nube de puntos nos proporciona una estimaciónúnica de una función que es una combinación lineal de las dos anteriores y que carecede toda significación económica.

En general, una ecuación de un modelo no es identificable si no puededistinguirse de las otras ecuaciones del modelo o de cualquier combinación lineal de lasmismas. En el ejemplo planteado, la función demanda y la función oferta no sedistinguen, por lo tanto, no están identificadas.

La inclusión de una variable exógena en una sola de las dos ecuaciones delmodelo permite identificar a una de las ecuaciones (aquella que la excluye).

Ejemplo:

Añadimos la variable renta o ingreso ( I ) en la función demanda.

Disponemos de una nube de puntos dispuesta aleatoriamente alrededor dediferentes puntos de equilibrio obtenidos para los distintos niveles de renta diferenciadas,lo que permite identificar la función de oferta. En términos econométricos, tal situaciónse califica de exactamente identificada y el modelo está no identificado porque lafunción demanda no está identificada.

Si añadiésemos ahora una nueva variable exógena a la segunda ecuación,tendríamos para resolver exactamente el sistema de relaciones entre ambos tipos deparámetros; es decir, se identifica la función demanda. En términos econométricos, talsituación se califica de exactamente identificada y el modelo esta exactamenteidentificado porque la función oferta sigue estando exactamente identificada por nohaber cambiado.

Si aún seguimos añadiendo nuevas variables exógenas diferentes en ambasecuaciones, iríamos disponiendo de nuevos motivos de " identificación ", nuevos signosde identidad, en forma tal que en el sistema de relaciones entre parámetros habría másecuaciones que incógnitas. En términos econométricos, tales situaciones se califican desobreidentificada, referidas bien al modelo en su conjunto, bien a cada una de susecuaciones.

Podemos adelantar que en la práctica econométrica:

1º Sólo en modelos muy reducidos (Ej. dos ecuaciones) pueden darse situacionesreales de no identificación, y ésta puede resolverse no limitándose a una relación

114

entre tan sólo las variables endógenas. Basta en todas estas situaciones con añadirnuevas variables exógenas o endógenas desplazadas, diferentes para cadaecuación, para eliminar la falta de identificación.

2º En modelos con un número relativamente elevado de ecuaciones, la situación reales prácticamente siempre de sobreidentificación, ya que unas ecuaciones sediferencian de otras por la exclusión de un gran número de variables distintas. Noobstante, el problema planteado es importante desarrollarlo en todas susimplicaciones teóricas, ya que tiene decisivas incidencias en la elección de losmétodos de estimación a utilizar en los modelos de ecuaciones simultáneas.

2.1.2. MEDIANTE LA CORRESPONDENCIA DE PARÁMETROS ENTRE LA FORMAESTRUCTURAL Y LA FORMA REDUCIDA

El problema de si podemos determinar las ecuaciones estructurales, siendoconocida la forma reducida, recibe el nombre de problema de identificación.

Pero, hay que decir que el conocimiento de los parámetros estructurales no esabsolutamente necesario cuando el propósito primordial es la predicción, porque esposible obtener pronósticos directamente a partir de las ecuaciones de la forma reducida.

Diremos:

1º Que una ecuación está no identificada si no hay forma de estimar todos losparámetros estructurales a partir de la forma reducida.

2º Una ecuación está identificada si es posible obtener valores para los parámetrosa partir del sistema de ecuaciones de la forma reducida

El procedimiento consiste: en primer lugar, obtener la forma reducida del modelo:

donde,

resulta un sistema de ecuaciones con G x K ecuaciones y G x (G+K) incógnitas. Ensegundo lugar hay que resolver este sistema de ecuaciones.

EJEMPLO : Se tiene el siguiente modelo de mercado:

115

matricialmente es:

despejando las variables endógenas, se tiene:

calculando la inversa, nos da:

efectuando las operaciones, tenemos la forma reducida del modelo:

o, expresada así:

resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y los parámetros de la formareducida, se obtiene:

116

Para encontrar los dos parámetros que faltan se tiene que resolver el siguientesistema de dos ecuaciones:

matricialmente se expresa:

despejando las incógnitas:

resolviendo tenemos:

simplificando:

se obtiene los dos últimos parámetros, a saber:

117

La demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente se haobtenido un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto, el modelo de

mercado está exactamente identificado.

2.1.3. SEGÚN LAS RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROS ESTRUCTURALESDE LA ECUACIÓN

Partiendo de la forma estructural del modelo:

dejamos solamente en el segundo miembro las perturbaciones:

se puede reescribir:

donde,A matriz de (G+K) x G de todos lo coeficientes estructurales.⇒Z vector de 1 x (G+K) de observaciones de todas las variables.⇒

La i - ésima ecuación se puede escribir como:

donde es la i - ésima columna de A.

Generalmente, la teoría económica impone restricciones sobre los elementos de , esto se expresa:

donde es la matriz de restricciones de la primera ecuación; siendo el orden de lamatriz de R x ( G + K ) y R es el número de restricciones de la ecuación.

118

También habrá restricciones sobre que surjan a partir de las relaciones entrelos coeficientes estructurales y los coeficientes de la forma reducida, esta relación seexpresa:

post-multiplicando la ecuación por , nos queda:

matricialmente sería:

se reescribe:

donde,A matriz de (G+K) x G de todos lo coeficientes estructurales.⇒W matriz de K x (G+K) de observaciones de todas las⇒

variables.

La i - ésima ecuación se puede escribir como:

donde es la columna i de la matriz A.

Combinando las restricciones de la i - ésima ecuación ( 3 ) con la i - ésimaecuación de la relación ( 4 ), se obtiene:

donde, vector de (G+K) x 1 de todos lo coeficientes estructurales de la⇒

primera ecuación.

matriz de (K+R) x (G+K) de todos los coeficientes de la forma⇒

reducida y de las restricciones de la primera ecuación.

Si es conocida entonces la matriz es conocida; luego, tenemos un sistema

de ecuaciones con K+R ecuaciones y G+K incógnitas. Por lo tanto, para la identificación

119

1 La mormalización consiste en simplificar el modelo expresando el coeficiente de la variable endógenadependiente con el valor de uno.

de la primera ecuación se requiere que el rango de la matriz sea G+K-1. Es decir:

esto es suficiente para determinar los coeficientes de la primera ecuación de forma única,porque ésta está normalizada1.

La dificultad es que se requiere la construcción de la matriz , que incluso paramodelos pequeños es complicada. Entonces es necesario tener una condición equivalenteen términos de los coeficientes estructurales, así:

1º Como tiene K+R filas, una condición necesaria para que se cumpla es:

simplificando:

"El número de restricciones a priori no debe ser menor que el número deecuaciones del modelo menos uno".

S i solamente se tiene restricciones de exclusión, entonces las restricciones son:

donde,R número de restricciones de la ecuación.⇒G número de variables endógenas corrientes del modelo.⇒g número de variables endógenas corrientes incluidas en la⇒

ecuación.K número de variables exógenas y endógenas rezagadas del⇒

modelo.k número de variables exógenas y endógenas rezagadas⇒

incluidas en la ecuación.

Reemplazando en la condición necesaria y reordenando, y la condiciónnecesaria se transforma:

120

"El número de variables excluidas de la ecuación debe ser como mínimo tangrande como el número de ecuaciones del modelo menos uno".

Simplificando G en ambos lados de la desigualdad, nos queda:

"El número de variables predeterminadas (exógenas y endógenas rezagadas)excluidas de la ecuación debe ser como mínimo tan grande como el número devariables endógenas incluidas menos 1".

A la condición necesaria se le conoce como condición de orden para laidentificabilidad. Con frecuencia, para modelos grandes esta es la únicacondición que se aplica, puesto que la aplicación de la de rango se hace difícil,si no es imposible.

2º La condición de rango o condición suficiente se puede establecer como:

Cuando las restricciones son todas del tipo de exclusión, la i - ésimacolumna de es un vector de ceros y las restantes G - 1 columnas constande los coeficientes de las otras ecuaciones estructurales de las variables que noaparecen en la primera ecuación.

Si la condición de orden da igualdad y la condición de rango se cumple(existe una sola submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuaciónesta exactamente identificada.

Si la condición de orden es R > G - 1 y la condición de rango se cumple(hay más de una submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primeraecuación esta sobreidentificada.

Si la condición de orden es R > G - 1 y la condición de rango no se cumple(no existe ninguna submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primeraecuación no esta identificada.

Si la condición de orden es R < G - 1 no se cumple (no existe ningunasubmatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuación no estaidentificada.

EJEMPLO:

1º RESTRICCIONES DE EXCLUSIÓN

Significa que ciertas variables no aparecen en determinadas

121

ecuaciones. Replantemos el modelo de mercado de la siguiente forma:

Despejando las perturbaciones del modelo y expresandolomatricialmente, nos da:

en forma general, es:

sujeto a las restricciones siguientes:

La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelose tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I yW) y cada ecuación tiene una sola restricción ; elprocedimiento es el siguiente:

Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

122

Nos indica que es probable que la ecuación este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condicion derango, primero obtenemos la matriz:

A continuación, aplicamos la condición:

Por lo tanto, concluimos que la demanda está exactamenteidentificada.

Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

Nos indica que es probable que la oferta este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condicion derango, primero obtenemos la matriz:


123

Por lo tanto, concluimos que la oferta está exactamenteidentificada.

Como todas las ecuaciones del modelo están exactamenteidentificada, entonces el modelo de mercado está exactamenteidentificado.

2º RESTRICCIONES LINEALES HOMOGÉNEAS

Son las que afectan a dos o más coeficientes de la ecuación.Consideremos el modelo de mercado siguiente:

La matriz de coeficientes A sigue siendo la misma y la restricciónlineal homogénea se considera, así:

Luego la matriz de restricción queda:

La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelose tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I yW); el procedimiento es el siguiente:


124

Nos indica que es probable que la ecuación este sobreidentificada.Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primeroobtenemos la matriz:


Por lo tanto, concluimos que la demanda está sobreidentificada.


Nos indica que es probable que la oferta este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición derango, primero obtenemos la matriz:


125


Como todas las ecuaciones del modelo están identificada, entoncesel modelo de mercado está identificado.

3º RESTRICCIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS

Son las que afectan a dos o más coeficientes de la ecuación y sondiferentes de cero. Consideremos el modelo de mercado siguiente:

La matriz de coeficientes A sigue siendo la misma y la restricciónlineal homogénea se considera, así:

Luego la matriz de restricción queda:

La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelose tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I yW); el procedimiento es el siguiente:


Nos indica que es probable que la ecuación este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de

126

rango, primero obtenemos la matriz:


Por lo tanto, concluimos que la demanda está exactamenteidentificada.


Nos indica que es probable que la oferta este sobreidentificada.Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primeroobtenemos la matriz:


Por lo tanto, concluimos que la oferta está sobreidentificada.

Como todas las ecuaciones del modelo están identificada, entonces

127

el modelo de mercado está identificado.

2.1.4. CUANDO SE TIENE IDENTIDADES EN EL MODELO

Las identidades por sí mismas no plantean problema de identificación puesto que,en general, los coeficientes se conocen y hecho normalmente son la unidad.

Se puede formular dos procedimientos a seguir:

1º Todas las identidades aparecen en forma explícita en el modelo.

2º Las identidades se pueden sustituir en las otras ecuaciones estructurales, por loque se reduce de forma efectiva el tamaño del modelo.

La eliminación de las identidades no cambia ninguna de las conclusiones enrelación a la identificabilidad de cualquier ecuación de comportamiento o cualquier otraestructural tanto en su forma original como en la revisada.

EJEMPLO:

1º MODELO DE MERCADO

Se tiene 3 variables endógenas ( ( cantidad demandada ), (cantidadofrecida), ( precio ) ) y 2 variables exógenas (1 (intercepto ), ( rentao ingreso ) ) y la matriz de coeficientes (A) es:


128

Nos indica que es probable que la oferta esta exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición derango:

Por lo tanto, concluimos que la oferta este exactamenteidentificada.


Nos indica que la demanda no está identificada. La tercera ecuaciónes una identidad no es necesario identificarla.

Como solo una de las ecuaciones del modelo está identificada,entonces el modelo de mercado no está identificado.

2º MODELO DE MERCADO TRANSFORMADO

Se tiene 2 variables endógenas ( ( cantidad demandada ) y (precio) ) y 2 variables exógenas ( 1 ( intercepto ), ( renta o ingreso ) )y la matriz de coeficientes ( A ) es:


129

Nos indica que es probable que la oferta este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición derango:



Nos indica que la demanda no está identificada.

Como solo una de las ecuaciones del modelo está identificada,entonces el modelo de mercado no está identificado.

2.1.5. CUANDO SE TIENE RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROSESTRUCTURALES ENTRE ECUACIONES

Hay casos en los que la teoría económica sugiere restricciones entre ecuaciones.

Estas restricciones también pueden servir para asegurar la identificabilidad.

La imposición de restricciones entre ecuaciones requiere que cada ecuación esténormalizada, pues en caso contrario la restricción es ambigua.

La identificabilidad se puede examinar por los siguientes métodos:

1º Empleando la relación entre los parámetros estructurales y los de la formareducida.

2º Investigando el conjunto de estructuras transformadas admisibles que satisfaganla restricción.

130

EJEMPLO: MODELO DE MERCADO

1º Expresando el modelo matricialmente:

despejando las variables endógenas, nos da:

resolviendo se tiene:

nos da la forma reducida, que en términos generales se expresa:

resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y losparámetros de la forma reducida, se obtiene:

Para encontrar los dos parámetros que faltan se tiene que resolver

131

el siguiente sistema de dos ecuaciones:

matricialmente se expresa:

despejando las incógnitas:

resolviendo tenemos:

se puede expresar:

simplificando:

se obtiene los dos últimos parámetros, a saber:

132

2 La matriz de transformación admisible es la matriz que nos permite transformar el modelo cumpliendolas restricciones del mismo.

La demanda y la oferta están exactamente identificada porquesolamente se ha obtenido un solo valor para sus coeficientes estructurales;por lo tanto, el modelo de mercado está exactamente identificado.

2º Expresando el modelo de demanda y oferta matricialmente de la siguienteforma:

Hacemos la identificación del modelo analizando la matriz detransformación admisible2, esta se define:

Se premultiplica el modelo por la matriz de transformaciónadmisible, así:

realizando las operaciones nos da:

Los coeficientes del modelo transformado debe satisfacer lasmismas restricciones que el modelo original, luego tenemos:

133

1º el coeficiente de la variable ingreso en la oferta es nulo:

2º las condiciones de normalización del modelo:

3º la restricción entre ecuaciones:

reemplazando los valores de f11 y f12 nos queda:

Compatibilizando esta ecuación con la segunda condición denormalización se obtiene:

Por lo tanto, la matriz de transformación admisible es:

y es la única que se ha obtenido, entonces el modelo de mercado estáexactamente identificado.

134

2.1.6. CUANDO SE TIENE RESTRICCIONES SOBRE LA MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA

Supongamos que consideramos restricciones a la matriz de varianzas y

covarianzas de las perturbaciones de las G ecuaciones estructurales, ésta se expresa:

Estas restricciones también pueden servir para asegurar la identificabilidad.

La imposición de restricciones entre ecuaciones requiere que cada ecuación esténormalizada, pues en caso contrario la restricción es ambigua.

La identificabilidad se puede examinar por los siguientes métodos:

1º Empleando la relación entre los parámetros estructurales y los de la formareducida.

2º Investigando el conjunto de estructuras transformadas admisibles que satisfaganla restricción.

EJEMPLO: MODELO DE MERCADO

sujeto a:

1º Expresando el modelo matricialmente:

despejando las variables endógenas, nos da:

135

resolviendo se tiene:

nos da la forma reducida, que en términos generales se expresa:

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y losparámetros de la forma reducida, podemos obtener:

Ahora trabajamos con las perturbaciones de la forma reducida dela siguiente forma:

1.- La varianza de la perturbación de la primera ecuación de la formareducida, es:

considerando los valores de la matriz de varianzas y covarianzas,nos queda:

136

2.- La varianza de la perturbación de la segunda ecuación de la formareducida, se expresa:

reemplazando las restricciones de la matriz de varianzas ycovarianzas, nos da:

3.- La covarianza entre la perturbación de la primera y segundaecuación de la forma reducida, es:

empleando las restricciones de la matriz de varianzas ycovarianzas, nos da:

Si juntamos todas las ecuaciones obtenidas, excepto lacorrespondiente a B2, tenemos:

Se tiene un sistema de ecuaciones con 6 ecuaciones y 6incógnitas que tiene solución única, por lo tanto,la demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente

137

se obtiene un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto,el modelo de mercado está exactamente identificado.

2º Expresando el modelo matricialmente de la siguiente forma:

Hacemos la identificación del modelo analizando la matriz detransformación admisible, esta se define:

Se premultiplica el modelo por la matriz de transformaciónadmisible, así:

realizando las operaciones nos da:

Los coeficientes del modelo transformado debe satisfacer lasmismas restricciones que el modelo original, luego tenemos:

1º el coeficiente de la variable ingreso en la oferta es nulo:

138

2º las condiciones de normalización del modelo:

Por lo tanto, la matriz de transformación admisible queda:

La matriz de varianza - covarianza de las perturbaciones de laestructura transformada es:

Es decir:

Considerando la restricción de la matriz de varianza - covarianza,se tiene:

Se tenía:

Por lo tanto, la matriz de transformación admisible es:

y es la única que se ha obtenido, entonces el modelo de mercado estáexactamente identificado.

139

3 Johnston, J. pág. 538 - 539. Pulido San Román, Antonio pág. 382 - 387.

3. MÉTODOS DE ESTIMACION

Los métodos de estimación se utilizan para cuantificar los parámetrosestructurales de un modelo basándose en los valores de las variables endógenas yexógenas del modelo.

Se clasifican de la siguiente forma:

1º Enfoque Directo

Se estima ecuación por ecuación, sin distinguir entre exógenas yendógenas y sin considerar la existencia de otras variables del modelo y no de laecuación. Tenemos el método de mínimos cuadrados ordinarios.

2º Enfoque de Información Limitada

La estimación es ecuación por ecuación, pero distinguiendo entreexógenas y endógenas y considerando la existencia de otras variables del modelo.Se denomina de información limitada porque considera qué variables estánincluidas en la ecuación y cuáles excluidas de ella, pero pertenecientes al modelo.Se tiene mínimos cuadrados indirectos, mínimos cuadrados bietápicos, mínimoscuadrados de clase k y máxima verosimilitud con información limitada.

3º Enfoque de Información Completa

Estimación del modelo en su conjunto e información total sobreespecificación de todas las ecuaciones. Tenemos mínimos cuadrado trietápicosy máxima verosimilitud con información completa.

3.1. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS3

Es una técnica con información limitada que puede ser usada para obtenerestimaciones consistentes de una ecuación exactamente identificada.

Comprende dos pasos:

1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimoscuadrado ordinario.

2º La estimación de los parámetros de la forma estructural y utilizando lasrelaciones entre estos parámetros y los parámetros de la forma reducida y lasrestricciones de la identificación.

140

Supongamos que se pretende estimar la primera ecuación del modelo deecuaciones simultáneas:

donde,y vector de observaciones, T x 1, de la variable endógena⇒

dependiente. matriz de observaciones, T x (G1-1), de las demás variables⇒

endógenas corrientes incluidas en la ecuación.vector, (G1-1) x 1, de los coeficientes estructurales⇒correspondientes a las variables de .matriz de observaciones, T x k1, de las variables predeterminadas⇒o exógenas que aparecen en la ecuación.vector, k1 x 1, de coeficientes relacionados con .⇒vector, T x1, de perturbaciones de la ecuación.⇒

Es inconveniente aplicar mínimos cuadrados ordinarios porque las variables de están correlacionados con .

Podemos rescribir la forma estructural de la primera ecuación de la siguiente

forma:

matricialmente sería:

y si consideramos las variables excluidas de la ecuación, se tiene:

sujeto a: y .

El modelo multiecuacional en su forma estructural sería:

141

donde,Y matriz de observaciones, T x G, de las variables endógenas⇒

corrientes del modelo.matriz, G x G, de los coeficientes de las variables endógenas del⇒modelo.matriz, K x G, de los coeficientes de las variables exógenas y/o⇒predeterminadas del modelo.

X matriz de observaciones, T x K, de las variables exógenas y/o⇒predeterminadas del modelo.

U vector, T x G, de las perturbaciones de cada ecuación del modelo.⇒

La forma reducida del modelo multiecuacional es:

donde,Y matriz de observaciones, T x G, de las variables endógenas⇒

corrientes del modelo.matriz, K x G, de los coeficientes de la forma reducida⇒correspondientes a las variables de X.

X matriz de observaciones, T x k, de las variables exógenas o⇒predeterminadas del modelo.

V vector, T x G, de las perturbaciones de la forma reducida.⇒

El primer paso del método de mínimos cuadrados indirectos consiste en estimarpor mínimos cuadrados ordinarios los coeficientes de la forma reducida, así:

verificaremos la propiedad del estimador, es decir:

concluimos que el estimador de mínimo cuadrado ordinario de la forma reducida esinsesgado. Asimismo, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de los coeficientesde la forma reducida es el estimador de mínima varianza.

En el segundo paso, primero requerimos obtener la relación de los coeficientesde la forma estructural y los coeficientes de la forma reducida, de la siguiente forma:

despejando Y se llega a la forma reducida:

donde:

142

que viene a ser la relación que existe entre los coeficientes de la forma estructural y loscoeficientes de la forma reducida.

Se puede expresar de la siguiente manera:

empleando las estimaciones de la forma reducida ( primer paso ) se tiene:

y para los coeficientes estimados de la primera ecuación puede escribirse:

premultiplicando por la inversa de la matriz de segundo momento de las variablesexógenas, tenemos:

como:

obtenemos los productos de matrices así:

Reemplazando en la ecuación ( 1 ) los producto de la matrices y los vectores de loscoeficientes de la primera ecuación, obtenemos:

multiplicamos las matrices y sabemos que los coeficientes de las variables endógenas y

143

exógenas excluidas de la ecuación son cero, resultando:

reordenando, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

matricialmente:

solucionando el sistema de ecuaciones normales, obtenemos los estimadores de mínimoscuadrados indirectos de los parámetros estructurales:

El estimador de mínimos cuadrados indirectos de los parámetros estructurales essesgado porque es una función no lineal de las estimaciones de la forma reducida delmodelo; pero es consistente porque es una función continua del estimador de mínimoscuadrados ordinarios de la forma reducida, que es consistente.

EJEMPLO: Consideremos el mercado del arroz:

Primero estimamos la forma reducida del modelo, el comando a usar para estimarla primera ecuación es el siguiente:

LS LOG(Q) C LOG(I) LOG(SC)

y nos da:

144

LS // Dependent Variable is LOG(Q)Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C -6.456057 1.009296 -6.396595 0.0000

LOG(I) 0.471472 0.142853 3.300412 0.0030 LOG(SC) 1.096387 0.073695 14.87732 0.0000 ============================================================

R-squared 0.943998 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.939331 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.085910 Akaike info criter-4.804465 Sum squared resid 0.177134 Schwarz criterion -4.660483 Log likelihood 29.54894 F-statistic 202.2774 Durbin-Watson stat 0.489152 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

para la segunda ecuación, el comando es:

LS LOG(P) C LOG(I) LOG(SC)

y el computador, nos muestra:

LS // Dependent Variable is LOG(P) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable CoefficienStd. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C -271.6388 66.63900 -4.076273 0.0004 LOG(I) 13.35560 9.431877 1.416007 0.1696 LOG(SC) 12.54997 4.865742 2.579251 0.0165 ============================================================R-squared 0.426972 Mean dependent var-12.32868 Adjusted R-squared 0.379220 S.D. dependent var 7.199230 S.E. of regression 5.672244 Akaike info criter 3.575609 Sum squared resid 772.1845 Schwarz criterion 3.719591 Log likelihood -83.58206 F-statistic 8.941394 Durbin-Watson stat 0.444570 Prob(F-statistic) 0.001253 ============================================================

Por último, se emplea la relación entre los parámetros estructurales y losparámetros de la forma reducida para obtener los estimadores de los parámetrosestructurales, ésta es:

de aquí se deduce:

145

4 Johnston, J. pág. 576 -593.Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág. 345 -349.Pulido San Román, Antonio pág. 389 -394.

3.2. MÍNIMOS CUADRADOS BIETAPICOS4

Este método forma parte de los que hemos denominado de información limitada,ya que el método se aplica ecuación a ecuación y sólo exige conocer la lista de variablespredeterminadas del modelo, pero no la especificación concreta de todas las restantesecuaciones.

El procedimiento consta:

1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimoscuadrado ordinario, luego se obtiene la estimación de las variables endógenas.

2º Estimar por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros de la forma estructural y sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimacionesobtenidas en la primera etapa.

La forma estructural de la primera ecuación del modelo es:


dependiente. matriz de observaciones, T x (G1 - 1), de las demás variables⇒

endógenas corrientes incluidas en la ecuación.vector, (G1-1) x 1, de los coeficientes estructurales⇒correspondientes a las variables de .matriz de observaciones, T x k1, de las variables predeterminadas⇒

146

o exógenas que aparecen en la ecuación.vector, k1 x 1, de coeficientes relacionados con .⇒vector, T x 1, de perturbaciones de la ecuación.⇒

En la primera etapa estimamos la regresión siguiente:

aplicando mínimos cuadrados ordinarios se obtiene:

a continuación calculamos la predicción de las variables endógenas explicativas de laprimera ecuación, resultando:

Para la segunda etapa se estima la ecuación transformada siguiente:

utilizando las ecuaciones normales de mínimos cuadrados ordinarios, se tiene:

debemos obtener otra forma que contenga únicamente las matrices de las observacionesreales. Sabemos que:

considerando el supuesto:

empleando lo mencionado anteriormente podemos simplificar la siguiente expresión:

Considerando este resultado y las estimaciones de la variable endógenaexplicativa de la primera etapa, las ecuaciones normales de la segunda etapa se puedenreescribir:

147

resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los estimadores de mínimos cuadradosbietápicos, que son:

Para demostrar que los estimadores de mínimos cuadrados bietápicos son

consistentes, reemplazamos el supuesto:

en la forma estructural del modelo, se tiene:

agrupando las variables explicativas y los coeficientes en matrices, obtenemos:

se expresa de la siguiente forma:

aplicando mínimos cuadrados ordinarios se obtiene el estimador de mínimos cuadradosbietápicos, así:

reemplazando y, queda:

considerando el supuesto , la expresión anterior se reduce:

aplicando límite probabilístico:

148

y el estimador de mínimos cuadrados bietápicos será consistente si:

uno de los supuestos del modelo es que X no están correlacionadas en el límite con lasperturbaciones, entonces se tiene:

Sabemos que la forma reducida estimada es:

reemplazando en el primer límite probabilístico tenemos:

Como los mínimos cuadrados ordinarios dan estimaciones consistentes de loscoeficientes de la forma reducida, por lo tanto, el estimador de mínimos cuadradosbietápicos es consistente.

La matriz de varianza asintótica es:

reemplazando , nos queda:

lo podemos expresar de la siguiente forma:

introduciendo el límite probabilístico, nos da:

considerando que y sustituyendo en la expresión anterior, nosqueda:

149

Es el de mínima variancia de entre todos los estimadores de variablesinstrumentales que utilizan como instrumentos combinaciones lineales de las variablespredeterminadas del modelo.

EJEMPLO : Existen varias formas de aplicar en el Eviews el método de mínimoscuadrados en dos etapas.

1º ESTIMAR EL MODELO ETAPA POR ETAPA

En la primera etapa estimamos la forma reducida del modelo y generamosla variable endógena estimada, así:

Primera ecuación:LS LOG(Q) C LOG(I) LOG(SC)

con la ecuación abierta se ejecuta : Procs Forecast QE y Static Ok.⇒ ⇒ ⇒

Segunda ecuación: LS LOG(P) C LOG(I) LOG(SC)

con la ecuación abierta se ejecuta : Procs Forecast PE y Static Ok.⇒ ⇒ ⇒

Para la segunda etapa se estima el modelo transformado (sustituyendo lasvariables endógenas explicativas por las estimaciones de la primera etapa) de lasiguiente forma:

Primera ecuación: LS LOG(Q) C LOG(PE) LOG(I)

el computador nos muestra:

LS // Dependent Variable is LOG(Q)Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 17.27477 1.659509 10.40956 0.0000 LOG(PE) 0.087362 0.005872 14.87732 0.0000 LOG(I) -0.695296 0.196755 -3.533807 0.0017============================================================R-squared 0.943998 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared 0.939331 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.085910 Akaike info criter-4.804465Sum squared resid 0.177134 Schwarz criterion -4.660483Log likelihood 29.54894 F-statistic 202.2774Durbin-Watson stat 0.489152 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================

150

Segunda ecuación:

LS LOG(Q) C LOG(PE) LOG(SC)

nos da:

LS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 3.133192 2.343432 1.337010 0.1938 LOG(PE) 0.035301 0.010696 3.300412 0.0030 LOG(SC) 0.653354 0.184887 3.533807 0.0017============================================================R-squared 0.943998 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared 0.939331 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.085910 Akaike info criter-4.804465Sum squared resid 0.177134 Schwarz criterion -4.660483Log likelihood 29.54894 F-statistic 202.2774Durbin-Watson stat 0.489152 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================

2º ESTIMACION MEDIANTE EL COMANDO DE EVIEWS

Primera ecuación:

TSLS LOG(Q) C LOG(P) LOG(I) @ C LOG(I) LOG(SC)

o se ejecuta:

Quick Estimate Equation TSLS Equation Specification: LOG(Q)⇒ ⇒ ⇒C LOG(P) LOG(I) , Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Ok.⇒

El resultado es:

TSLS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 17.27477 8.554325 2.019419 0.0547 LOG(P) 0.087362 0.030269 2.886148 0.0081 LOG(I) -0.695296 1.014222 -0.685546 0.4996============================================================R-squared -0.488048 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared -0.612052 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.442844 Akaike info criter-1.524635Sum squared resid 4.706665 Schwarz criterion -1.380653F-statistic 7.612638 Durbin-Watson stat 0.602571Prob(F-statistic) 0.002753 ============================================================

151

Segunda ecuación:

TSLS LOG(Q) C LOG(P) LOG(SC) @ C LOG(I) LOG(SC)

o se ejecuta:

Quick Estimate Equation TSLS Equation Specification: LOG(Q)⇒ ⇒ ⇒C LOG(P) LOG(SC), Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Ok.⇒

obtenemos:

TSLS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 3.133192 4.270803 0.733631 0.4703 LOG(P) 0.035301 0.019493 1.810969 0.0827 LOG(SC) 0.653354 0.336948 1.939035 0.0643============================================================R-squared 0.813997 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.798497 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.156568 Akaike info criter-3.604094Sum squared resid 0.588323 Schwarz criterion -3.460113F-statistic 60.90219 Durbin-Watson stat 0.963343Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

3º ESTIMACION MEDIANTE UN SISTEMA DE ECUACIONES

La estimación mediante un sistema de ecuaciones nos proporciona la covarianciaentre la perturbación de una ecuación con respecto a otra ecuación del modelo,lo que nos permite analizar la correlación que existe entre las perturbaciones entreecuaciones del modelo. El Eviews nos puede proporcionar esta informaciónporque nosotros le proporcionamos la especificación del modelo multiecuacional,a diferencia de los dos casos anteriores que solamente se le proporciona laespecificación de una ecuación del modelo.

Debemos crear un sistema de ecuaciones con la siguiente instrucción:

Objects New Objects System Ok se escribe:⇒ ⇒ ⇒ ⇒

INST C LOG(I) LOG(SC)LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I)LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC)

Name Ok Estimate Two - Stage Least Squares la pantalla⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒nos muestra:

152

5 Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág. 351 -354.

System: SYS1 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1970 1996 Instruments: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C(1) 17.27477 8.554325 2.019419 0.0490 C(2) 0.087362 0.030269 2.886148 0.0058 C(3) -0.695296 1.014222 -0.685546 0.4963 C(4) 3.133192 4.270803 0.733631 0.4667 C(5) 0.035301 0.019493 1.810969 0.0764 C(6) 0.653354 0.336948 1.939035 0.0584============================================================Determinant residual covariance 0.000282 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared -0.488048 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared -0.612052 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.442844 Sum squared resid 4.706665 Durbin-Watson stat 0.602571 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared 0.813997 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.798497 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.156568 Sum squared resid 0.588323 Durbin-Watson stat 0.963343 ============================================================

3.3. MÁXIMA VEROSIMILITUD CON INFORMACIÓN LIMITADA5

Este enfoque fue desarrollado por Anderson y Rubin, la aplicación del métodosólo exige conocer, aparte de la especificación de la ecuación que se va a estimar, quévariables predeterminadas aparecen en las otras ecuaciones del modelo, al igual que conlos mínimos cuadrados bietápicos.

El enfoque de máxima verosimilitud con información limitada consiste enmaximizar la función de verosimilitud para las variables endógenas sujeto a la restricciónde que el modelo tenga solución.

El desarrollo matemático del método es largo y complicado, pero se puededemostrar que en definitiva se reduce a hallar los coeficientes de las variables endógenasque minimicen un cociente de variancias.

Asumamos que queremos estimar la primera ecuación del modelo de ecuaciones

simultáneas:

153


dependiente. matriz de observaciones, T x (G1-1), de las demás variables⇒

endógenas corrientes incluidas en la ecuación.vector, (G1-1) x 1, de los coeficientes estructurales⇒correspondientes a las variables de .matriz de observaciones, T x k1, de las variables predeterminadas⇒o exógenas que aparecen en la ecuación.vector, k1 x 1, de coeficientes relacionados con .⇒vector, T x 1, de perturbaciones de la ecuación.⇒

despejando la perturbación, tenemos:

matricialmente, sería:

la rescribimos, así:

definimos que es el vector de combinación lineal de las variables endógenasque aparecen el la ecuación, entonces la expresión queda:

o, así:

Calculamos la suma de cuadrados de los residuos de la primera ecuación y nosda:

donde,

154

reemplazando el valor de Z y sacando factor común, tenemos:

se puede rescribir:

donde es una matriz de residuos de la regresión.

Ahora regresionamos Z respecto a todas las variables exógenas y predeterminadas(X) y calculamos la suma de cuadrados de los residuos, obteniendose:

se reemplaza Z y se simplifica, quedando:

reexpresandolo, sería:

donde es una matriz de residuos de la regresión.

El Principio de la razón mínima de variancias sugiere que la estimación de se elija de modo que conserve esta reducción en la suma de los cuadrados de los residuoslo más pequeña posible, es decir, que minimice la razón:

la segunda suma de cuadrados no será superior a la primera, porque la segunda regresióncontiene todas las variables explicativas de la primera regresión ( ) más el conjunto( ); por lo tanto, .

Para minimizar se obtiene la derivada parcial de respecto a :

simplificando:

155

6 Johnston, J. pág. 593 -599.Pulido San Román, Antonio pág. 400 -406.

igualando a cero la derivada parcial y simplificando, nos da:

Este sistema de ecuaciones tiene una solución no trivial, si se cumple la ecuaciónsiguiente:

resolviendo esta ecuación se obtiene el estimador de .

Este resultado se sustituye en (2) y se reemplaza , nos queda:

se obtiene el estimador de .

Reemplazamos en la ecuación (1) el valor de Z y nos da:

Con las ecuaciones (3) y (4) calculamos los estimadores de máxima verosimilitud

con información limitada, los cuales son sesgados y consistentes por la misma razón queel estimador de mínimos cuadrados en dos etapas.

3.4. MÍNIMOS CUADRADOS TRIETAPICOS6

Las tres etapas que justifican el nombre del método son:

1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimoscuadrado ordinario, luego se obtiene la estimación de las variables endógenas.

2º Estimar por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros de la forma estructural y sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimacionesobtenidas en la primera etapa.

156

3º La estimación por mínimos cuadrados generalizados del sistema utilizando comovariables instrumentales la matriz de todas las predeterminadas con la matriz decovarianzas de las perturbaciones previamente estimada a través de los residuosde mínimos cuadrados en dos etapas.

Utilizamos para expresar el conjunto de las g ecuaciones para todos los valoresmuestrales, la notación:

donde,Y vector de observaciones, T x G, de las variables endógenas. Así:⇒

vector, G x G, de los coeficientes estructurales correspondientes a⇒las variables de Y. Tenemos:

X matriz de observaciones, T x K, de las variables ⇒predeterminadas o exógenas que aparecen en la ecuación.Expresado:

± vector, K x G, de coeficientes relacionados con X. Representado:

157

U ± vector, T x G, de perturbaciones de la ecuación. Así:

Esta notación no recoge las restricciones de nulidad de parámetros en cadaecuación y no resulta útil para una formulación generalizada de los estimadores de unmodelo.

Para posibilitar determinadas operaciones matriciales, se ha propuesto lautilización de matrices definidas como variables "apiladas" unas encima de otras y quees habitual caracterizar con un asterisco.

El modelo multiecuacional se puede rescribir:

es decir:

utilizando las matrices con variables apiladas, para las T observaciones muestralesdisponibles, el modelo multiecuacional quedaría expresado:

donde,Y* vector de observaciones, (TxG) x 1, de las variables endógenas.⇒

Así:

158

a* vector, K* x 1, de los coeficientes estructurales correspondientes a⇒las variables de Y y X. Siendo K* el número total de parámetrosno nulos del sistema, es decir:

El vector sería:

159

Z* la matriz de observaciones de las variables explicativas, distinta⇒para cada ecuación según las restricciones a priori del modelo, esconveniente expresarla en forma de matriz diagonal de orden (TxG)x K*. Expresado:

la matriz Z también se puede escribir de la siguiente forma:

U* vector, (TxG) x 1, de perturbaciones de la ecuación. Así:⇒

Definamos la matriz de covarianzas de las perturbaciones aleatorias de diferentesecuaciones que incluya para cada caso las T valores constantes:

160

todas las submatrices tienen como factor común , sacándolo nos queda:

el resultado es un producto Kronecker que se obtiene multiplicando cada elemento de lamatriz de la izquierda por la matriz entera de la derecha.

Ahora estamos en condiciones de plantear el método de mínimos cuadradostrietápicos. Este procedimiento realiza una estimación conjunta de todos los parámetrosdel modelo, en lugar de ecuación a ecuación. Es decir, se tiene en cuenta la correlaciónexistente entre las endógenas explicativas de una ecuación y las perturbaciones aleatoriasno sólo de ésa, sino también de las restantes ecuaciones ( ).

Cuando la matriz es diagonal no existe forma de mejorar la eficiencia demínimos cuadrados bietápicos, pero para el caso general un planteamiento más profundoteóricamente se presenta con los estimadores de mínimos cuadrados trietápicos , quepresentarán varianzas asintóticas tanto más reducidas con relación a mínimos cuadradosbietápicos cuanto mayor sea la correlación entre las perturbaciones de las diferentesecuaciones.

Los estimadores de mínimos cuadrados en tres etapas pueden obtenersealternativamente como:

1º Estimación de Mínimos cuadrados generalizados del modelo en su conjuntopreviamente premultiplicada por la matriz X*’. El modelo transformado quedaría:

161

la matriz de covarianza de las perturbaciones sería:

el estimador de mínimos cuadrados generalizados es:

reemplazando obtenemos el estimador de mínimos cuadrados trietápicos:

2º Estimación de Variables instrumentales, se considera una matriz de variablesinstrumentales de la siguiente forma:

el estimador de variables instrumentales es:

reemplazando se obtiene el estimador de mínimos cuadrados en tres etapas:

3º Estimación en tres etapas, cuyas dos primeras coincidirían con las de mínimoscuadrados en dos etapas, y la tercera consistiría en la estimación de la matriz a partir de los residuos de la etapa anterior y aplicación de mínimos generalizadospara estimar los parámetros.

El estimador de mínimos cuadrados en dos etapas es:

la matriz de covarianzas es y se obtiene el estimador de mínimos cuadradosen tres etapas siguiente:

EJEMPLO:

Se crea un sistema de ecuaciones siguiendo el siguiente procedimiento:

162

7 Johnston, J. pág. 599 - 601.Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág. 355 - 356.Pulido San Román, Antonio pág. 407 - 410.


INST C LOG(I) LOG(SC)LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I)LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC)

Name Ok Estimate Three - Stage Least Squares la pantalla nos⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒muestra:

System: SYS2 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1970 1996 Instruments: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 17.27477 8.065095 2.141918 0.0373 C(2) 0.087362 0.028538 3.061222 0.0036 C(3) -0.695296 0.956217 -0.727132 0.4707 C(4) 3.133192 4.026551 0.778133 0.4403 C(5) 0.035301 0.018378 1.920822 0.0607 C(6) 0.653354 0.317678 2.056657 0.0452 ============================================================Determinant residual covariance 0.000282 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared -0.488048 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared -0.612052 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.442844 Sum squared resid 4.706665 Durbin-Watson stat 0.602571 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared 0.813997 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.798497 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.156568 Sum squared resid 0.588323 Durbin-Watson stat 0.963343 ============================================================

3.5. MÁXIMA VEROSIMILITUD CON INFORMACIÓN COMPLETA7

En el modelo de regresión generalizado, caracterizado por una matriz de

covarianzas no escalar, para u ~ N( 0, ), la función logarítmica de verosimilitud es:

obteniéndose de aquí los estimadores de mínimos cuadrados generalizados.

El modelo multiecuacional en su forma estructural es:

163

y Z a u* * * *= +

con u* ~ N( 0, ), la función logarítmica de verosimilitud de las perturbaciones es:

Existe una dificultad teórica adicional en el planteamiento de la función amaximizar, ya que ésta debe hacerse para las variables endógenas y no para lasperturbaciones aleatorias, es decir, sobre las variables transformadas.

Sabemos que la función de densidad es:

donde, J(y*) es el determinante Jacobiano de la transformación, definido sobre la matrizde derivadas parciales de u* respecto a y*.

En un modelo multiecuacional se puede verificar que el Jacobiano es la potenciaT- ésima del determinante de los coeficientes de las variables endógenas del modelo, esdecir:

reemplazando en la función de densidad, se tiene:

Aplicando logaritmos a la función de densidad, nos queda:

ahora sustituimos la función logarítmica de verosimilitud resultando:

el método de máxima verosimilitud con información completa consiste en maximizar estafunción, es decir:

generalmente el resultado son relaciones no lineales que afectan simultáneamente a todaslas ecuaciones del modelo y que no pueden resolverse conjuntamente con la estimación

164

de , al menos en forma analítica.

La dificultad de resolución del caso general ha llevado al desarrollo de diversasaplicaciones del cálculo numérico para la optimización de sistemas no lineales.

Si triangular y diagonal el método se simplifica a tal punto de que nos llevaa unos estimadores que coinciden a los mínimos cuadrados ordinarios.

EJEMPLO:

Se crea un sistema de ecuaciones siguiendo el siguiente procedimiento:


INST C LOG(I) LOG(SC)LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I)LOG(P) = C(4) + C(5) * LOG(Q) + C(6) * LOG(SC)

Name Ok Estimate Full Information Maximun Likelihood la⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒pantalla nos muestra:

System: UNTITLED Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 Total system (balanced) observations 54 Convergence achieved after 82 iterations ============================================================ Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 8.741497 1.170212 7.470013 0.0000 C(2) 0.074163 0.028098 2.639471 0.0112 C(3) 0.332937 0.132536 2.512050 0.0154 C(4) -192.7177 81.67943 -2.359440 0.0224 C(5) 0.369662 0.063454 5.825698 0.0000 C(6) 14.70918 6.690139 2.198637 0.0328 ============================================================Log Likelihood 1.159558 Determinant residual covariance 0.106812 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2)*LOG(P) + C(3)*LOG(I) Observations: 27 R-squared -0.118954 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared -0.212200 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.384015 Sum squared resid 3.539227 Durbin-Watson stat 0.597556 ============================================================Equation: LOG(P) = C(4) + C(5)*LOG(Q) + C(6)*LOG(SC) Observations: 27 R-squared 0.382789 Mean dependent var-12.32868 Adjusted R-squared 0.331354 S.D. dependent var 7.199230 S.E. of regression 5.886864 Sum squared resid 831.7241 Durbin-Watson stat 0.430471 ============================================================

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