INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICA(continuación)Física IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER

Ecuación de Schrödinger en una dimensión Es la ecuación de onda que rige el

movimiento de los electrones (y otras partículas con masa).

Relaciona las derivadas temporales y espaciales de la función de onda.

No puede deducirse (al igual que las leyes de Newton del movimiento).

Ecuación de onda clásica 2

2

22

2 1

t

y

vx

y

∂∂=

∂∂

Para los fotones: v=c

Reemplazamos y(x,t) por E(x,t): 2

2

22

2 1

t

E

vx

E

∂∂=

∂∂

Solución:

)cos(),( 0 tkxEtxE ω−=

),()cos( 20

22

2

txEtkxEt

E ωωω −=−−=∂∂

),(22

2

txEkx

E −=∂∂

2

22

ck

ω−=− kc=ωω(k): relación de dispersiónComo:

E=ω y kp =

RELACIÓN ENTRE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA DE UN FOTÓN

pcE =

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

t

txitxxV

x

tx

m ∂Ψ∂=Ψ+

∂Ψ∂− ),(

),()(),(

2 2

22

La ecuación que buscamos relaciona la primera derivada temporal y la segunda espacial y la energía potencial

Vm

k +=2

22ω

ω(k): relación de dispersión

Utilizando las relaciones de de Broglie

E=ω y kp =

ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA DE MASA mV: energía potencial

Tenemos un factor k cuando derivamos respecto de la posición

Tenemos un factor ω cuando derivamos respecto del tiempo

Vm

pE +=

2

2

Función de onda de la partícula libre En el caso en que no existen fuerzas: la

energía potencial es constante.V(x)=V0

La forma exponencial de la función de onda armónica satisface la ecuación de Schrödinger:

)(),( tkxiAetx ω−=Ψdonde A = cte

t

txitxV

x

tx

m ∂Ψ∂=Ψ+

∂Ψ∂− ),(

),(),(

2 02

22

Sustituyendo en la ecuación:

O sea:

Este resultado coincide con la ecuación vista anteriormente.

Las funciones de onda que satisfacen la ecuación de Schrödinger no son necesariamente reales

La función de onda Ψ(x,t) no es una función medible ya que las medidas siempre producen números reales.

)(),( tkxiAetx ω−=Ψ

Probabilidad de hallar al electrón La probabilidad de que un electrón esté en la

región dx es:

que toma un valor real. Como el electrón debe estar en algún punto,

la suma de las probabilidades en todos los valores posibles de x debe ser igual a 1.

Condición de normalización

dxdxtxdxtxP ΨΨ=Ψ= *2),(),(

∫+∞

∞−=ΨΨ 1* dx

Si la función de onda describe una partícula en un estado de energía definida, conviene escribirla como:

Sustituyendo Ψ(x,t) en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

En este caso:

Entonces:Condición de normalización

Condiciones que debe cumplir la función de onda para ser aceptable1- ψ(x) debe satisfacer la ecuación de Schrödinger.2- ψ(x) y ψ´ (x) deben ser monovaluadas.3- ψ(x) debe ser continua (ya que la probabilidad de hallar

una partícula no puede ser discontinua de un punto a otro).

4- ψ´(x) debe ser continua ya que en la ecuación de Schrödinger interviene ψ´´(x). Esto puede no cumplirse cuando V(x) sea infinita: En este caso ψ(x)=0 porque ninguna partícula puede tener energía infinita. En el límite de la región en que esto ocurre ψ´puede ser discontinua.

5- ψ(x) →0 cuando x →±∞, de modo que ψ(x) pueda normalizarse.

Pozo cuadrado infinito (Problema de la partícula en una caja)

V(x)=0 si 0<x<LV(x)=∞ si x<0 ó x>L

Como la energía potencial es infinita fuera del pozo, ψ=0 allí y la partícula debe estar dentro del pozo.

Como ψ(x) debe ser continua, ψ(x)debe ser nula en x=0 y x=L.

De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

O sea: donde:

k: número de onda

Esta ecuación tiene soluciones de la forma:

y A y B son constantes

Condición límite: ψ(x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos 0=1

Condición límite: ψ(x)=0 para x=L → ψ(L)=A senkL=0 → kL= nπ

n=1,2,3,…

Sustituyendo en la ecuación del número de onda:

Clásicamente: una partícula puede tener cualquier valor de energía.

Mecánica Cuántica: Sólo algunos valores de En conducen a soluciones con buen comportamiento de la ecuación de Schrödinger.

Diagrama de niveles energéticos

Para encontrar A usamos la condición de normalización:

Integrando obtenemos que:

Por lo tanto:

n=1,2,3,…número cuántico

Funciones de onda para un pozo infinito

Funciones de onda y funciones de distribución de probabilidades para el estado fundamental (n=1) y los dos primeros estados excitados.

Solución clásica de este problema:

Dentro del pozo: V=0.La partícula se mueve con velocidad constante dentro del pozo.En los bordes, una fuerza muy grande hace rebotar la partícula con la misma velocidad (en módulo). Clásicamente está permitida cualquier velocidad y cualquier energía.La probabilidad de hallar la partícula en una cierta región dx es proporcional al tiempo empleado en dx. Este tiempo es dx/v.Como v es constante, la función de distribución es constante dentro del pozo.

LP

1=

Si n es grande, los picos de ψn2(x) están

muy próximos y sólo se observa el valor medio:

Coincide con la distribución clásica

Pozo cuadrado finito

E>V0 Estudiaremos luego la solución. Consideraremos ahora E<V0

E<V0

Dentro del pozo: V(x) =0

Fuera del pozo: V(x) =V0

Condición: ψ(x) y ψ (́x) deben ser continuas en los límites del pozo.

Resolviendo las ecuaciones diferenciales y exigiendo esta condición podemos obtener las funciones de onda y las energías permitidas.

Las longitudes de onda dentro del pozo son ligeramente mayores que las correspondientes longitudes de onda del pozo infinito, de modo que las energías son ligeramente menores.

Existe sólo un número finito de energías permitidas (dependiendo del valor de V0). Si V0

es pequeño existe sólo un nivel de energía permitido, es decir, sólo puede existir un estado ligado.

Física Clásica: la partícula no puede hallarse fuera de la caja.

Física Cuántica: Existe cierta probabilidad de hallar la partícula fuera de la caja (x<0; x>L)En estas regiones E<V0

¿Podríamos medir en este caso una energía cinética negativa?

NO

Consideremos x>L entonces ψ disminuye como e-αx

resulta muy pequeña en una distancia del orden ∆x≈α-1

xe αψ 22 −=

Consideramos ψ(x) despreciable más allá de x=L+α-1, entonces encontrar la partícula en la región x>L es aproximadamente equivalente a localizarla en una región ∆x≈α-1

Usando el principio de incertidumbre:

y la energía cinética mínima será del orden de:

Esto impide que se mida una energía cinética negativa

Valores esperados

Cuando nos interesa conocer la probabilidad de medir un cierto valor de la posición x, usamos:

El valor esperado coincide con el valor medio de x que deberíamos obtener a partir de una medida de las posiciones de un gran número de partículas con la misma función de onda Ψ(x,t).

Valor esperado de x

Valores esperados

Para una partícula en un estado de energía definida la distribución de probabilidad es independiente del tiempo.

En este caso:

El valor esperado de cualquier función f(x) es:

El oscilador armónico simple El sistema vibra alrededor de una configuración

de equilibrio. Ejemplo: un objeto soportado por un resorte, un

átomo en una red cristalina, una molécula diatómica, etc.

Fuerza recuperadora: viene dada por la ley de Hooke (para desplazamientos pequeños) F=-kx

La energía potencial es:

dx

xdVkxF

)(−=−= kxdxxdV =)( 2

2

1)( kxxV =

Reemplazando en la ecuación de Schrödinger:

Para simplificar la ecuación conviene introducir magnitudes adimensionales:

Reemplazando queda:

02

1

22

2

22

=

−+ ψψ

kxEdx

d

m

xm

xkmy

νπ21 2

1

=

=

να

h

E

k

mE 22 ==

ν: frecuencia clásica

m

k

πν

2

1=

0)( 22

2

=−+ ψαψy

dy

d

Para que ψ sea una función de onda bien comportada ψ→0 cuando y→±∞

0)( 22

2

=−− ψαψy

dy

dψαψ)( 2

2

2

−= ydy

d

( ) 12

2

2

=− ψα

ψ

ydyd

Cuando y→±∞, y²>>a y queda:

Una función que satisface esta condición es:

Forma asintótica para ψ

( ) 12

2

2

=−∞→ ψα

ψ

ydyd

límy

12

2

2

=∞→ ψ

ψ

ydyd

límy

2

2y

e−

∞ =ψ

La función que buscamos es:

Entonces:

donde f(y) es la función que debemos determinar ahora

2

2

)()(y

eyfyf−

∞ == ψψ

0)1(22

2

=−+− fdy

dfy

dy

fd α

Para resolver esta ecuación diferencial debemos desarrollar f(y) como una serie de potencias de y.

Para que la solución satisfaga las diversas exigencias que debe cumplir ψ, la condición necesaria y suficiente es:

α=2n+1 donde n=0,1,2,….. Entonces:

Para cada n hay una energía diferente y una función de onda diferente

122 +== nh

En ν

α

νhnEn

+=

2

1

La función de onda para cada valor de n se obtiene como el producto de:

Un polinomio de Hermite Un factor exponencial e-y²/2 Un coeficiente numérico (para que la función

cumpla la condición de normalización)La fórmula general para la n-ésima función de onda es:

( ) 2214

12

)(!22 y

nn

n eyHnm −

=

νψ

Algunos polinomios de Hermite

Conclusiones

1- No habrá un espectro continuo de energías permitidas, sino un espectro discreto. Los niveles de energía están igualmente espaciados (a diferencia del pozo infinito).

2- La energía más baja permitida no es E=0 sino un valor mínimo permitido:

νhE2

10 =

Energía del punto cero

3- Hay una cierta probabilidad de que la partícula pueda atravesar la barrera de potencial (es decir, salir de los límites clásicos permitidos x=-A y x=+A).

4- Si comparamos las densidades de probabilidad clásica y cuántica; tenemos: Probabilidad clásica: máxima en los extremos (donde se mueve más lentamente) y mínima cerca de la posición de equilibrio (donde se mueve con mayor rapidez).

Discrepancia con el resultado clásico

Al promediar sobre x tenemos aproximadamente el comportamiento general de la probabilidad clásica

Reflexión y transmisión de ondas

Consideremos ahora ejemplos de estados no ligados para los que E es mayor que V(x).

En estos casos: ψ´´(x) tiene signo opuesto a la función de onda. ψ(x) en todas partes se curva hacia el eje Está permitido cualquier valor de energía.

Potencial escalón

V(x)=0 para x<0 V(x)=V0 para x>0

Consideremos una partícula de energía E que se mueve desde la izquierda hacia la derecha.

Potencial escalón: resultado clásico x<0: la partícula se mueve con velocidad x=0: actúa una fuerza impulsiva sobre la

partícula E<V0: retrocede con su velocidad original, es

decir que es reflejada por el escalón. E>V0: continúa moviéndose hacia la derecha tal

que x>0: la velocidad disminuye a

Potencial escalón: mecánica cuántica E<V0: la función de onda no se anula en x=0 sino que

disminuye exponencialmente. La onda penetra en la región prohibida clásicamente, pero luego se ve completamente reflejada.

E>V0: el resultado difiere de la predicción clásica: x<0 x=0: la longitud de onda varía abruptamente entonces parte de

la onda se verá reflejada y parte transmitida. x>0

Para calcular las probabilidades de reflexión y de transmisión, se resuelve la ecuación de Schrödinger y se obtiene que:

R: coeficiente de reflexiónk1 y k2: números de onda original y finalT: coeficiente de transmisión

Se puede demostrar que:

1=+ RT

Efecto túnel

Una partícula de energía E incide sobre una barrera rectangular de altura V0 y ancho a, siendo E<V0.

Existe cierta probabilidad de que la partícula (representada por la función de onda) se encuentre del otro lado de la barrera, aunque clásicamente nunca podrá atravesarla.

Una variación del problema: considerar dos de dichas barreras separadas una distancia L, es decir, un pozo cuadrado con paredes de altura finita V0 y espesor finito a.

Una partícula dentro del pozo, cada vez que choca contra una barrera tiene una posibilidad pequeña pero finita de atravesarla por efecto túnel y escapar.

Ejemplo: diodo túnel; desintegración α.

Ecuación de Schrödinger en tres dimensiones

En coordenadas rectangulares, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

donde la función de onda y la energía potencial son generalmente función de tres coordenadas x, y y z.

Pozo de potencial infinito cúbico

V = 0 0<x<L0<y<L0<z<L

V=∞ fuera de esa región

En este caso:

donde ψn es una función sinusoidal como en el caso de una dimensión.

Y la energía será:

Utilizando las restricciones sobre los números de onda que se obtiene usando la condición ψ=0 en las paredes:

Tenemos:

L

nk ii

π=

La función de onda y la energía están caracterizadas por tres números cuánticos, cada uno de los cuales surge a partir de la condición límite de cada una de las coordenadas.

Estados de energía:

n1=n2=n3=1 Estado fundamental

n1=2; n2=n3=1 n2=2; n1=n3=1 Primer estado excitado n3=2; n1=n2=1

Cada uno conduce a una función de onda diferente. Ejemplo:

Un nivel energético que tenga asociada más de una función de onda se dice que es degenerado.

La degeneración está relacionada con la simetría del problema:

E211=E121=E112 degeneración triple

Pozo de potencial infinito no-cúbico

V = 0 0>x>L1

0>y>L2

0>z>L3

V=∞ fuera de esa región

Las condiciones límites en las paredes conducen a:

Entonces:

Diagrama de niveles energéticos

Pozo infinito cúbico

L1=L2=L3

Pozo infinito no-cúbico

L1<L2<L3