Ecuatia Lui Schrodinger

7/25/2019 Ecuatia Lui Schrodinger

1/32

1

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

FACULTATEA DE FIZIC

APLICAII ALE ECUAIEI LUI SCHRDINGER

COORDONATOR,

prof. univ. dr.

ABSOLVENT,

CRAIOVA

2015


2/32

2

CUPRINS

Introducere ................................................................................................................. 3

Capitolul 1. Bazele experimentale ale fizicii cuantice .............................................. 4

1.1 Dualismul und-corpuscul ................................................................................. 11

1.2 Relaiile de nedeterminare................................................................................. 13

Capitolul 2. Ecuaia lui Schrdinger....................................................................... 15

2.1 Semnificaia fizic a funciei de und................................................................ 18

2.2 Ecuaia Schrdinger pentru particula liber....................................................... 20

2.3 Descrierea cuantic a atomului de hidrogen....................................................... 21

2.3.1 Rezolvarea ecuaiilor momentului cinetic................................................... 23

Capitolul 3. Aplicaii ale ecuaiei lui Schrdinger................................................. 26

3.1 Groapa de potenial de adncime infinit.......................................................... 26

3.2 Bariera de potenial de lrgime i nlime finit.............................................. 29

Bibliografie ........................................................................................................... 32


3/32

3

Introducere

Am ales aceast lucrare datorit importanei deosebite pe care o are ecuaia lui

Schrdinger. Aceast ecuaie a stat la baza verificrii multor efecte sau fenomene fizice cum

ar fi efectul fotoelectric, efectul Compton, emisia la rece a electronilor din metale,

dezintegrarea ,reaciile termonucleare, etc.

Dup cum timstarea unui sistem fizic care se supune relaiilor de nedeterminare ale

lui Heisenberg nu poate fi descris cu ajutorul coordonatelor de poziie i impuls deoarece

acestea nu mai pot fi msurate simultan cu o precizie orict de mare.

Ca atare, micarea unui astfel de sistem, pe care l vom numi sistem cuantic, nu mai

poate fi studiat cu ajutorul legilor mecanicii clasice, impunndu-se formularea unei mecanici

noi care s rspund acestor cerine.

Aceasta este mecanica cuantic, fondat ntre anii 1925 i 1930 de W. Heisenberg iM. Born, pe de-o parte, i E. Schrdinger, pe de alt parte i, nu n ultimul rnd, de P. A. M.

Dirac care a dat o formulare general care conine cele dou formulri alternative anterioare

drept forme particulare.

n cele ce urmeaz voiprezenta elementele eseniale ale mecanicii cuantice n

formularea aparinnd lui E. Schrdinger i vom ilustra cele prezentate prin tratarea ctorva

cazuri simple dar sugestive dinpunct de vedere cognitiv i care sunt, n acelai timp, de un

interes practic real.


4/32

4

Capitolul 1. BAZELE EXPERIMENTALE ALE FIZICII

CUANTICE

Mecanica cuantic se ocup cu studiul legilor de micare ale microparticulelor (de

exemplu, electroni, protoni, mezoni) sau al sistemelor de astfel de microparticule (de

exemplu, nuclee atomice, atomi, molecule, ioni) i a interaciunilor care guverneaz aceast

micare. Pentru a nelege necesitatea i aria de interes a mecanicii cuantice, vom prezenta

cteva fapte experimentale din care ea decurge.

Radiaia termic este emisia de energie n mediul ambiant, sub forma undelor

electromagnetice, pe care o realizeaz orice corp, indiferent de temperatura la care se afl.

Aceast emisie se face pe seama energiei interne a corpului i are loc n mod continuu, pe tot

spectrul de lungimi de und, dar cu intensitate diferit pentru diferite lungimi de und i ea

depinde n mod esenial de temperatura absolut T la care se aflcorpul.

Deoarece toate corpurile emit energie electromagnetic sub form de radiaie termic,

se ajunge la un moment dat ca dou sau mai multe corpuri s aib aceeai temperatur, adic

s fie la echilibrul termodinamic. n aceast situaie, fluxul de energie emis de corp sub

form de radiaie termic este egal cu fluxul de energie absorbit de acesta.

n general, orice corp poate emite energie i poate absorbi energie, raportul dintre

capacitatea sa de emisie i capacitatea de absorbie este acelai pentru toate corpurile, fiind o

constant universal f(, T) care depinde de lungimea de und i de temperatura absolut a

corpului. Acesta este coninutul legii lui Kirchhoff.

Pentru o studiere mai uoar a radiaiei termice s-a imaginat un model de corp ideal,

numit corpul absolut negru, care absoarbe toate radiaiile ce cad asupra sa, indiferent de

lungimea lor de und, iar constanta universal din legea lui Kirchhoff este chiar capacitatea de

emisie a corpului absolut negru.

n studiul radiaiei termice (deci i a radiaiei corpului absolut negru) se utilizeaz o

serie de mrimi fizice. Cele mai uzuale sunt:

Fluxul energetic radiant integral sauputerea radiant reprezint energia total W

emis (radiat) de un corp n unitatea de timp, adic viteza (rata) de transmisie n timp a

energiei radiate:


5/32

5

fig. 1.1

= , cu unitatea de msur = 1 = 1 (1.1)

Fluxul energeticspectral reprezintenergia emis sau absorbit de un corp n unitatea

de timp, dar numai n intervalul de lungimi de und (,+ d):

= , de unde = 0 (1.2)Aceast mrime arat faptul c energia radiat (radiaia termic) este distribuit n

funcie de lungimea de und.

Intensitatea energetic a unei surse punctiforme reprezintfluxul de radiaie emis n

unitatea de unghi solid:

=

, cu unitatea de msur:

= 1

(1.3)

Unghiul solid este elementul geometric sub care se vede dintr-un punct Oo anumit

suprafa de arieAi normal exterioar . n SI se msoar n steradiani (sr). Elementul deunghi solid este:

= 3 = 2 , (1.4)unde este unghiul fcut de vectorul de poziieal punctului de observaie cu

normala exterioara suprafeei elementare dAdinjurul acestui punct (fig. 1.1).

Radiana sau emitana energetic reprezint fluxul energetic radiat (emis) n toate

direciile de o suprafa oarecareA, raportat la unitatea de suprafa:

= , cu unitatea de msur: = 1 2 (1.5)Radiana spectralreprezint fluxul energetic emis n toatedireciile de o suprafa

oarecare, raportat la unitatea de suprafa, darnumai n intervalul de lungimi de und

(,+d):

R

=

, de unde R =

R

0

(1.6)

Densitatea de energie radiatreprezint energiaelectromagnetic medie radiat de un


6/32

6

corp, n toate direciile, raportatla unitatea de volum:

= , cu unitatea de msur: = 1 3 (1.7)Densitatea spectral de energie radiatreprezint energiaradiat de un corp, n toate

direciile i n unitatea de volum, dar numain intervalul de lungimi de und (, +d):

w = , de unde w = w0 (1.8)Ultima relaie arat faptul c radiaia termic este de fapt osuprapunere infinit de

radiaii monocromatice (cu= const). Studiul experimental al corpurilor (i a modelului de

corp absolut negru) a condus la formularea a o serie de legi care vizau, pe de o parte,

stabilirea naturii i a mecanismului intim al radiaieitermice, iar pe de alt parte, deducerea

expresiei dependenei densitiispectrale de energie de lungimea de und i de temperatur.

Vom aminti numai cele mai semnificative legi.

Legea lui StefanBoltzmannprecizeaz c radiana integral acorpului absolut negru

depinde de puterea a patra a temperaturii sale absolute, adic:

= 4cu = 5,6687 108 2 4 (1.9)unde se numete constanta lui Stefan-Boltzmann.

Se poate demonstra c ntre radiana integralRi densitateaintegral de energie

radiat wexist relaia:

= 4 (1.10)

deci o alt variant a legii lui Stefan-Boltzmann este:

= 4 4 = 4 , = 7,56 1016 3 4 (1.11)unde aeste noua constant universal, cu valoarea de mai sus. Aceastlege a fost

verificat experimental, dovedindu-se foarte corect.

Legea lui Wienstabilete pe cale semiempiric c densitateaspectral de energie este

o funcie care depinde de produsul dintrelungimea de und i temperatur, adicT, mprit

la puterea a cincea a lungimii de und:

= 15 (1.12)Din aceast lege rezult legea lui Stefan Boltzmann:


7/32

7

w = w0 = 15 0 4 4 (1.13)unde, paranteza mare fiind o integral definit, am notat-o cu ai eaeste tocmai

constanta lui StefanBoltzmann.

Importana legii lui Stefan Boltzmann este evideniat iatunci cnd se calculeaz

maximul densitii spectrale de energie:

= 16 5 16 = 0 (1.14)Funcia din paranteza mare, notat cu G(T),are o singursoluie real, pe care o

notm astfel:

= , = 2,89782 103 (1.15)unde valoarea constantei bse determin experimental.

Raionamentul de mai sus constituie tocmai deducerea teoretica legii de deplasare a

lui Wien: produsul dintre lungimea de undcorespunztoare maximului densitii spectrale de

radiaie itemperatura absolut a corpului radiant este o constant (fig. 1.2).

Se observ c, dac temperatura absolut a unui corp radiantcrete, atunci lungimea

de und corespunztoare maximului de radiaietermic scade, adic se va deplasa nspre

lungimi de und mai mici(nspre ultraviolet).

Legea lui Plancka fost obinut pornind de la ipoteza conformcreia corpul negru

este format din oscilatori elementari (atomi, molecule, ioni), care emit energie sub form de

radiaie termic deechilibru. Distribuia dup energii a numrului de oscilatori se admitec

este o distribuie Maxwell-Boltzmann. ns, Planck consider cemisia de energie nu are loc

n mod continuu, ci discontinuu saudiscret, sub form de porii minime de energie, numite

cuante de energie:

= = (1.16)

fig. 1.2


8/32

8

unde h= 6,62517 10-34Js este constanta lui Planck, iar , respectivsunt frecvena,

respectiv lungimea de und a oscilatorului.

Deoarece energia unui oscilator se emite sub form de cuante(porii elementare), ea

nu poate avea orice valoare, ci doar valori care sunt multiplii ntregi ai cuantei elementare: = = (1.17)cu n= 0, 1, 2, ..., unde =

2se numete constanta redus a luiPlanck, iar estepulsaia oscilatorului. Din acest motiv, energiamedie a unui oscilator nu se va calcula cu

ajutorul unei integrale, ci cu ajutorul unei sume:

= =0

=0

= =0

=0

= =0 (1.18)unde am utilizat notaia:x=h. Suma infinit este tocmai o progresiegeometric,

astfel c energia medie a unui oscilator va fi:

= 1

= 1 1 (1.19)

Aici am indicat totodat i expresia n funcie de variabilalungime de und. Pentru a

afla densitatea de energie corespunztoareintervalului de lungimi de und (, +d), vom

nmuli energia medie aunui oscilator cu numrul de oscilatori care au lungimea de undsituat n acest interval. Se poate demonstra c acest numr este:

= 84 (1.20)Astfel, expresia densitii spectrale de energie radiat, expresiecunoscut i sub

numele de legea de distribuie a lui Planck, este:

= 15 8

1

(1.21)

Aceast expresie, dedus din considerente pur teoretice, aretocmai forma cerut de

legea lui Wien. Din ea va putea fi obinutvaloarea exact a constantei a din legea lui Stefan

Boltzmann i aconstantei b din legea de deplasare a lui Wien. n plus, concordanafoarte

bun dintre datele experimentale i dependena densitiispectrale de energie de lungimea de

und, justific pe deplin ipotezacuantelor de energie a lui Planck.

Ipotez cuantelor de energie permite, deci, explicarea completa fenomenelor legate

de radiaia termic de echilibru.


9/32

9

Efectul fotoelectric reprezint emisia de electroni de ctre unmetal iradiat cu radiaii

monocromatice din domeniul ultraviolet (sau din domeniul vizibil, pentru metalele alcaline).

Experimental se deduc urmtoarele legi:

Legea I: Intensitatea de saturaie a curentului fotoelectric (decicnd toi fotoelectroniiemii ajung la anod, fr a se crea o sarcinspaial n jurul catodului) este proporional cu

fluxul radiaieimonocromatice:IS~ .

Legea a II-a: Energia cinetic a fotoelectronilor extrai estedirect proporional cu

frecvena radiaiei monocromatice:Ec~ inu depinde de fluxul radiaiei incidente:

Ec f().

Legea a III-a: Efectul fotoelectric apare doar peste o anumitfrecven de prag p,

specific fiecrui metal: = p.

Legea a IV-a: Efectul fotoelectric se produce ntr-un timp foarte scurt, practic

instantaneu.

n anul 1905, Albert Einstein d o explicaie teoretic corectacestor patru legi

experimentale. El extinde i asupra radiaiei ipotezacuantelor a lui Planck i admite c nu

numai emisia de radiaie estediscontinu, ci i radiaia nsi, fiind format din particule

numite fotoni. Energia fotonului este dat de expresia lui Planck:

= = (1.22)Fotonul este o particul care se mic cu o vitez egal cuviteza luminii n vid c. Deci,

avnd viteza v= c, fotonul nu se poate gsi n repaus ci doar n micare, adic masa sa de

repaus este egal cuzero:

= 0 122, deci rezult m0f= 0 (1.23)Impulsul fotonului, conform teoriei relativitii, este:

= = 2 = = (1.24)Einstein a explicat efectul fotoelectric astfel: fotonii radiaieiincidente ptrund n

metal i se ciocnesc cu electronii liberi ai atomilor metalului, fiind absorbii de acetia.

Energia absorbit de electroniservete la scoaterea electronului din metal, efectundu-se un

lucru mecanic de extracieLex, iar restul de energie este transformat nenergie cinetic a

fotoelectronului extras.


10/32

10

Legea de conservare a energiei n cazul efectului fotoelectric sepoate scrie astfel:

= + 022 (1.25)Aici apare masa de repaus m0a fotoelectronului, ceea ce nseamn c efectul

fotoelectric este un efect nerelativist, adic vitezava fotoelectronului extras este cu mult mai

mic dect viteza luminii nvid, adic este o vitez nerelativist.

Cu legea de conservare scris de Einstein se pot explica foarteuor legile

experimentale ale efectului fotoelectric.

Legea I : Deoarece fiecare foton al radiaiei incidente scoatenumai un singur electron

din metal, la saturaie numrul acestora fiindNs, putem scrie:

= = = (1.26)Dar fluxul radiaiei incidente se poate scrie i astfel:

= = = (1.27)Radiaia incident fiind monocromatic, frecvena ei esteconstant i se obine tocmai

dependena cutat:

=

, de unde:

~

(1.28)

Legea a II-a se obine uor:

= 22 = , de unde: ~ (1.29)Deci energia cinetic este proporional cu frecvena.

Legea a III-a se obine innd cont c energia minim afotoelectronului trebuie s

asigure doar extragerea acestuia din metal. Punnd condiia ca energia cinetic a

fotoelectronului scos s fie nul,din legea conservrii rezult valoarea frecvenei de prag:

= 0, = , de unde: = (1.30)nlocuind aceast valoare n legea conservrii energiei, obinem condiia:

= 22 0 (1.31)ceea ce arat c efectul fotoelectric are loc doar pentru o frecven maimare dect

frecvena de prag:


11/32

11

= (1.32)Legea a IV-a se explic prin faptul c procesul de absorbie a energiei fotonului de

ctre electronul metalului dureaz extrem de puin (cteva nanosecunde), ceea ce d impresia

de instantaneitate a producerii efectului fotoelectric.

Efectul Compton reprezint difuzia sau ciocnirea unui foton dindomeniul razelor X cu

o int fix (un electron liber sau o alt particul), proces n care o parte din energia

fotonului incident este transferat intei. De la un tub Rntgen se trimite un fascicul de raze X

spre un sistem de fante (cu rol de colimare), pentru a se obine un paralelism ct mai bun al

razelor X. Dup colimare, fascicolul de raze X cade pe un cristal de grafit i sufer o devia ie

de unghi fa de direcia iniial. Fascicolul deviat (difuzat) este captat de un detector care

nregistreaz un curent a crui intensitate este proporional cu intensitatea fascicolului

difuzat.

n concluzie, efectele fotoelectric i Compton confirm faptul c radiaia

electromagnetic are i o natur corpuscular, fiind format din particule numite fotoni, care

posed energie i impuls, la fel ca i oricare alt corp.

1.1 Dualismul und-corpuscul

Radiaia electromagnetic are o natur dubl sau dual: ondulatorie i corpuscular. n

unele fenomene (de exemplu, interferena i difracia) se manifest mai pregnant caracterul

ondulatoriu al radiaiei electromagnetice, iarn alte fenomene (de exemplu, efectele

fotoelelectric i Compton), iese n eviden caracterul corpuscular, adic faptul c radiaia este

format din fotoni, particule cu masa de repaus zero. Aceste consideraii sunt cunoscute sub

denumirea de dualismul und-corpuscul.

Fiecrei microparticule i se asociaz o und (numit, ulterior, unda de Broglie), care

are lungimea de und i, respectiv frecvena:

= = , = (1.32)n mod cu totul analog ca i pentru foton.

Deci microparticulei cu caracteristicile corpusculare: masa m, impulsulp= mvi

energiaE, i se asociaz unda de Broglie, care este o und plan monocromatic, de forma:


12/32

12

, = = (1.33)Am inut cont de relaia dintreimpulsulpal microparticulei idintre modulul

vectorului de und k:

= = 2 2 = (1.34)Cnd se calculeaz viteza de propagare a undei de Broglie(adic viteza de faz), se

constat o contradicie cu teoria relativitii.

Faza undei este:

, = 1 = ., deci: , = 0 (1.35)Deci, viteza de faza undei monocromatice de Broglie este definit n mod obinuit,

innd cont de relaia precedent:

= = = 2 = 2 > (1.36)Acest rezultat contravine teoriei relativitii: nici un corp (i,deci, nici unda asociat

lui) nu se poate mica cu o vitez mai maredect viteza luminii n vid. Pentru rezolvarea

acestei contradicii s-a asociat unei microparticule nu o und monocromatic plan deBroglie,

ci o mulime infinit de unde monocromatice plane, foartepuin diferite una de alta, prinvaloarea modulului vectorului de und,mulime infinit numitgrup de undesaupachet de

unde. Drept urmare, particula va avea o micare rectilinie i uniform cu viteza:

= = (1.37)numit viteza de grup. innd cont de relaia dintre energie i pulsaie,respectiv dintre

impuls i modulul vectorului de und, viteza de grupva fi:

= = = 2

2 + 0

2

4

12 =

2

= < (1.38)unde am utilizat expresia relativist a energiei.

Deci, viteza de grup este egal cu viteza de micare aparticulei nsi, ceea ce

dovedete justeea ipotezei de a asocia uneiparticule nu o singur und de Broglie, ci un grup

de unde.


13/32

13

1.2 Relaiile de nedeterminare

Fie un grup de unde cu deplasare de-a lungul axei Ox. Se poate stabili o relaie ntre

localizarea spaial a grupului de unde (deci i aparticulei), adic x i intervalul pxunde se

situeaz valorileimpulsului acesteia. Produsul acestor mrimi, numite nedeterminrisau

imprecizii nu poate lua orice valoare, ci este de ordinul de mrimeal constantei lui Planck:

~ (1.39)Aceast relaie se mai poate scrie i astfel:

= , sau = 2 (1.40)Relaii asemntoare se pot scrie i pentru celelalte variabilespaialeyizi ele se

numesc relaiile de nedeterminaresau relaiile de incertitudinesau relaiile de imprecizie alelui Heisenberg.

Ne arat c produsul dintre nedeterminrile sau impreciziile demsurare simultana

poziiei i impulsului microparticulei trebuie sfie de ordinul de mrime al constantei lui

Planck.

n fizica clasic, msurarea mrimilor fizice nu este limitatprincipial, ci doar de

precizia instrumentelor de msur utilizate. Deci,cel puin din punct de vedere teoretic,

imprecizia de msurare poate fiegal cu zero, adic se obine valoarea exact a mrimii de

msurat. nfizica microparticulelor aceast concluzie este valabil, n principiu,atunci cnd

se msoar o singur mrime fizic. Dar dac dorim smsurm simultan dou mrimi fizice,

numite mrimi canonicconjugate, atunci situaia este principial diferit. Dup concepia lui

Heisenberg, nu este posibil msurarea simultan, cu orice precizie dorit, a dou mrimi

canonic conjugate, cci, prin msurarea oricreiadin aceste dou mrimi, se ajunge la un

contact cu sistemul fizic (particula), cu care ocazie are loc o interaciune ntre aparatul de

msur i particul, ceea ce face ca s se modifice starea sistemului (starea particulei), deci se

modific i valoarea mrimii canonicconjugate. De exemplu, prin msurarea poziiei

particulei (a coordonatei sale) are loc un transfer de energie (impuls) ctre particuli,

evident, se perturb determinarea exact a valorii impulsuluiparticulei.

Considernd o und monocromatic (deci cu= const, adic cux= 0, sau px= 0),

din relaiile de nedeterminare rezult x ,deci particula nu poate fi localizat spaial

(poate fi situat oriunde nspaiu). nseamn c unda monocromatic nu poate descrie un

proces localizat n spaiu, deci nu este adecvat pentru a fi asociat uneimicroparticule.


14/32

14

n mod analog, presupunnd c am putea localiza perfectpoziia microparticulei (n

sens clasic), deci x= 0, din relaiile denedeterminare rezult c px , deci impulsul

microparticulei ar fi complet nedeterminat, n sensul c am ti nimic despre valoareaposibil

a impulsului, imprecizia fiind orict de mare. Acesta nseamnc, n mecanica cuantic,

datorit valabilitii relaiilor denedeterminare, noiunea clasic de traiectorie nu are sens,

adic nuputem vorbi n mecanica cuantic de o linie oarecare ce ar reprezentaurma drumului

strbtut de particul (traiectoria particulei).

Relaiile de nedeterminare sub forma precedent (referitoare laperechea de variabile

canonic conjugate coordonat-impuls), conduc la relaiile de nedeterminare n variabilele

canonic conjugate energie-timp:

(1.41)

Aceasta nou form a relaiilor de nedeterminare arat cprodusul dintre

nedeterminarea de msurare a energiei particulei Enmulit cu intervalul de msurare t

este de ordinul de mrime al constantei lui Planck. Intervalul de timp tse interpreteaz

uneori i ca timp de via al microparticulei (timpul ct microparticula se situeaz pe un

anumit nivel energetic).

Relaiile de nedeterminare trebuie privite n ideea c microparticulele au un caracter

dual (corpuscular i ondulatoriu). Ele nu arat c este imposibil de determinat simultan

coordonata i impulsul particulei (ceea ce ar fi nsemnat c particula nu poate fi cunoscut n

ntregime), ci arat c este imposibil s determinm cele dou mrimi simultan i cu orice

precizie dorit(ca n mecanica clasic). Precizia nu este determinat de posibilitile tehnice

limitate ale aparaturii de msurat, ci are caracter principial, fiind legat de existena constantei

lui Planck. La limita h 0, s-ar ajunge la relaia xpx 0, adic lasituaia din mecanica

clasic.


15/32

15

Capitolul 2.ECUAIA LUI SCHRDINGER

Deoarece micarea microparticulelor nu putea fi descris cu ajutorul ecuaiei lui

Newton din mecanica clasic (am vzut c noiunea clasic de traiectorie nu are sens n

mecanica cuantic), se punea problema gsirii unei ecuaii creia s i se supun micrile

microparticulelor. Aceasta este ecuaia lui Schrdinger.

Schrdinger a asociat micrii microparticulelor o funcie de coordonate i de timp, pe

care a denumit-ofuncie de undsaufuncie de stare(pentru c ea nglobeaz informaiile n

legtur cu starea microparticulei). Ea este chiar funcia grupului de unde de Broglie:

, = + (2.1)S gsim ecuaia diferenial a crei soluie ar fi chiar funciade und de mai sus.

innd cont de relaia:

= + + (2.2)iar pe de alt parte, de faptul c pulsaia undei este legat de energiatotal a particulei

(energia cinetic plus energia potenial U), care esteo mrime constant (se conserv):

= 1 = 1 22 + = 1 22 2 + (2.3)putem deriva funcia de und a grupului de unde o dat n raport cutimpul, apoi,

separat, de dou ori n raport cu fiecare variabil spaial.

Dup calcule elementare, vom ajunge la urmtoarea relaientre derivatele pariale ale

funciei de und:

, = 22 + , (2.4)Aceast relaie este tocmai ecuaia temporal a lui Schrdinger, care este ecuaia

fundamental a mecanicii cuanticenerelativiste.

Se observ c n ecuaia lui Schrdinger apar doi operatori:unul de derivare parial n

raport cu variabila temporal, precum ioperatorul lui Laplace , care are urmtoarea

semnificaie:


16/32

16

= 2 2 + 22 + 22 (2.5)adic este egal cu suma derivatelor pariale de ordinul doi ale funcieide und, dup

toate cele trei variabile spaiale.

Dac energia potenial a particulei (sau, n general, asistemului cuantic) nu depinde

explicit de timp, atunci funcia de undse poate scrie ca un produs de dou funcii care depind

separat de timp, respectiv de variabilele spaiale. Se demonstreazuor c n acest cazavem

de a face, din punct de vedere matematic, cu o ecuaie cuvariabile separabile, iar partea de

dependen temporal va fintotdeauna de tip armonic, adic:

, = (2.6)Dac nlocuim aceast expresie n ecuaia temporal a luiSchrdingeri efectum

operaiile corespunztoare, vom obine tocmaiecuaia atemporal a lui Schrdingersau

ecuaia lui Schrdinger a strilor staionare:

22 + = (2.7)

unde meste masa particulei, iarEeste energia sa total.

Ecuaia lui Schrdinger, sub ambele forme prezentate, este o ecuaie diferenial de

ordinul doi cu derivate pariale. Rezolvarea eiine cont de condiiile iniiale i la limit i

conduce la gsirea soluiei,adic a expresiei concrete a funciei de und (sau, cum se mai

numete,a funciei de stare) , corespunztoare problemei examinate.

n fiecare stare a sistemului cuantic, o mrime fizic oarecareA, ce caracterizeaz

sistemul, mrime numit observabil, are oanumit valoare. Aceste stri n care mrimea

observabil are oanumit valoare, se numescstri propriiale observabileiA, iar valoarea a

pe care o are observabila se numete valoare proprie.

Funcia de stare se numetestare propriei se noteaz cu a. Ea este o soluie a unei

ecuaii de forma urmtoare, numit ecuaia valorilorpropriisau ecuaia de valori proprii:

= (2.8)Dintre toate funciile matematice care satisfac ecuaia valorilorproprii, nu toate au

sens fizic, adic nu toate pot fi funcii de stare, cinumai acele funcii care satisfac condiiile

standard:

1. s fie univoce (n fiecare punct s aib o singur valoare);


17/32

17

2. s fie funcii continue i s aib derivate continue;

3. s fie funcii mrginite, iar la infinit s se anuleze;

4. s fiefuncii de ptrat integrabil.

De aceea parametrul adin ecuaia de valori proprii nu poateavea orice valoare, cinumai anumite valori, numite valori proprii. Fiecrei valori proprii i corespunde una sau mai

multe funcii proprii, deci una sau mai multe stri ale sistemului.

Dac unei singure valori proprii i corespunde o singur funcie proprie, starea se

numete nedegenerat, iar dac unei singure valori proprii i corespund mai multe funcii

proprii, aceste stri se numesc stri degenerate, iar numrul lor se numete multiplicitate sau

grad de degenerare.

n mecanica cuantic este valabilprincipiul de coresponden, conform cruia,

fiecrei mrimi observabileAdin mecanica clasic i corespunde n mecanica cuantic un

operator care satisface o ecuaie de valori proprii de tipul indicat mai sus.

Observm c i ecuaia lui Schrdinger a strilor staionarepoate fi scris sub

forma unei ecuaii de valori proprii:

22 + = (2.9)

unde n membrul stng al ecuaiei apare operatorul energiei totalesau operatorul lui

Hamiltonsau operatorul hamiltonian, notat cu H:

= 22 + (2.10)

primul termen reprezentnd operatorul energiei cinetice:

= 22 = 22 = 12 (2.11)iar cel de al doilea este operatorul energiei poteniale

.

Acesta din urm coincide cu nsi energia potenial, deciaciunea lui asupra funciei

de und reprezint o simpl nmulire.

Energia potenial depinznd numai de variabila vectorul de poziie,este lesne de tras

concluzia c operatorul coordonat este egal cu elnsui, deci tot un operator de nmulire.

Din modul cum am scris expresia operatorului energiei cinetice se poate observa c operatorul

impuls se exprim n funcie de operatorul vectorial

(nabla):


18/32

18

= = + + (2.12)n felul acesta, apelnd la coninutul principiului decoresponden, se pot deduce

operatorii tuturor mrimilor observabilece caracterizeaz sistemul cuantic examinat.

Produsul scalar a dou funcii de stare, notat (1, 2) este un numr egal cu integrala

de mai jos:

1, 2 = 1+ 2 (2.13)unde simbolul * reprezint operaia de conjugare complex, adicnlocuirea unitii

imaginare icui, iar integrala de volum se face peste tot spaiul variabilelor spaiale.

innd cont de aceast definiie, s punctm i o proprietateimportant a operatorilor

cuantici: ei trebuie s fie operatori autoadjuncisau operatori hermitici, adic trebuie s

satisfacurmtoarea relaie referitoare laprodusul scalar:

(1,A2) = (A1, 2) (2.14)

relaie n care n primul produs scalar operatorul acioneaz numaiasupra funciei

notat cu indicele 2, iar n cel de al doilea produs scalaroperatorul acioneaz numai asupra

funciei notat cu indicele 1.

2.1 Semnificaia fizic a funciei de und

Ptratul modulului funciei de und reprezint densitatea deprobabilitate , de agsi particula la un moment oarecare de timptn domeniul delimitat de coordonatele, +, , + , , + , adic n volumul elementar (infinitezimal) dV = dx dy dz:

,

=

,

2 =

2

(2.15)

Condiia de normare a probabilitilor va conduce la condiiade normare a densitii

de probabilitate:

= = 110 (2.16)Deci, funcia de und sau funcia de stare nu are o interpretarefizic nemijlocit, ci

sens fizic are doar ptratul modulului acesteia.Din sensul fizic al funciei de und rezult c

mecanica cuantic are uncaracter statistic. Ea nu permite s se determine locul exact din


19/32

19

spaiun care se gsete o microparticul sau traiectoria ei. Cu ajutorulfunciei de und se

poate doar prevedea cu ce probabilitate se poate gsi microparticula n diferite puncte

(regiuni) ale spaiului.

Avnd n vedere caracterul statistic al mecanicii cuantice, dacasupra uneiobservabileAse efectueaz mai multe msurtori,obinndu-se valoarea a, cu o densitate de

probabilitate, atunci valoarea medie de apariie a acestui rezultat este dat de integrala:

= = (2.17)innd cont de ecuaia de valori proprii, aceast relaie se maipoate scrie ca i cum

am nlocui, formal, valoarea proprie acu operatorulAasociat observabilei respective:

=

(2.18)

Relaia de mai sus reprezint valoarea medie a unui operator nstarea . Se observ c

putem identifica valoarea medie a operatorului ntr-o stare cu valoarea medie a msurtorilor

n acea stare i carereprezint chiar valoarea proprie a operatorului n acea stare:

= = (2.19)Valorile medii, fiind valori msurabile, sunt valori reale, deci:

a= a*, de unde rezult: =

. (2.20)

Aceast condiie este ndeplinit numai de operatorii hermiticii de aceea este nevoie

ca operatorii cuantici s fie operatori hermitici,iar funcia de stare n care se face

msurtoarea s fie neaprat ofuncie proprie a operatoruluiA.

Dac funcia de stare n care se face msurtoarea, notat cu ,nu este o funcie

proprie a operatoruluiA, atunci sigur nu se va obine,drept rezultat al msurtorii, valoarea

proprie a, ci o alt valoare.

Aceasta este cu att mai "deprtat" de valoarea a, cu ct este mai"deprtat" funcia

de funcia . Ca o msur a acestei deosebiri seutilizeaz incertitudinea sau

nedeterminarea mrimiiA, definit cardcina ptrat din abaterea ptratic medie:

= 2 = 2 2 (2.21)Funciile proprii ale operatorilor hermitici trebuie s fie funciiortogonale, adic

produsul lor scalar s fie egal cu zero.

Aceasta nseamn c putem scrie relaia de ortonormare:


20/32

20

= (2.22)unde nmeste simbolul lui Kronecker, ale crui valori sunturmtoarele: dac n = m,

atunci nm= 1 i avem relaia de normare, iardac n m , atunci nm= 0 i avem relaia de

ortogonalitate.

2.2 Ecuaia Schrdinger pentru particula liber

S considerm o particul liber nerelativist de mas mavnd impulsul = 1 ienergiaE. Particula poate fi descris de o und plan monocromatic de pulsaie = ivector de und = 1 , cu = :

, = (2.23)Calculnd derivata temporal i derivata spaial pentru funcia de und ataat

particulei obinem:

=

= (2.24)Ecuaiile de acest tip n care un operator matematic (n cazul de fa i )

acionnd asupra unei funcii reproduce funcia pn la o constant multiplicativ (n acest caz

sau ) au o semnificaie major n ceea ce privete nelegerea comportrii sistemelorcuantice.

Pentru funcia de und (2.23) calculnd derivata a doua dupxobinem:

22 = 22 (2.25)innd cont de (2.24) i de faptul c 2 = 2, ecuaia (2.25) devine: 2

2 2 , 2 = , (2.26)

Aceasta este ecuaia Schrdinger temporalpentru o particul liber care se mic de-

a lungul axei Ox. Aceast ecuaie este o ecuaie liniar i omogen care, n msura n care


21/32

21

funcia , este cunoscut la un moment de timp oarecare 0permite obinerea funciei la orice moment de timp.

n cazul n care particula se deplaseaz liber dup o direcie oarecare n spaiu, avnd

impulsul

, de modul

=

2 +

2 +

2, bine determinat i energia

= 2

2, aceasta estedescris de unda plan:

, = (2.27)avnd vectorul de und = i pulsaia = .Analog cu cazul unidimensional, se poate verifica faptul c funcia de und (2.27)

satisface ecuaia cu derivate pariale:

22 2 2 + 22 + 2 2, = , (2.28)Cu ajutorul operatorului lui Laplace:

= 2= 22 + 2 2 + 2 2ecuaia (2.28) se scrie:

2

2 ,

=

,

(2.29)Aceasta este ecuaia Schrdinger tridimensional pentru o particul liber.

Ecuaia (2.29) este satisfcut i de o suprapunere liniar de unde plane de tipul (2.27),

n particular de un pachet de unde de forma:

, = 123 2 (2.30)care descrie o particul liber a crei nelocalizare depinde de funcia

-

reprezentnd amplitudinea undei plane corespunztoare impulsului al particulei.

2.3 Descrierea cuantic a atomului de hidrogen

n atomul de hidrogen un singur electron se mic n cmpul de fore a nucleului

atomic. Acest cmp de fore are o simetrie sferic. Energia electronului, potenial, depinde


22/32

22

numai de distana pn la centru de atracie, nucleul, care se presupune a fi plasat n originea

sistemului de coordonate.

n tratarea acestei probleme se vor face doua ipoteze:

1) nucleul este n repaus fa de un sistem de referin inerial.

Nucleul atomic avnd masa mai mare dect a electronului, centru de mas

nucleuelectron coincide cu nucleul.

2) cmpul electric al nucleului va fi asimilat cu cmpul electric creat de o

sarcin punctiform, aceasta datorit dimensiunilor foarte mici ale nucleului1014ncomparaie cu distana electron nucleu1010.

Micarea electronului n jurul nucleului este determinat de interaciunea coulombiandintre electron i nucleu, care se manifest ca o for de atracie asupra electronului i a crei

expresie este dat de legea lui Coulomb:

= 2402 (2.31)

ntre electron i nucleu se manifest interaciuni electrostatice, astfel nct energia

potenial electrostatic a sistemului este:

= 2

40 (2.32)Pentru a determina strile staionare ale unui atom de hidrogen se va folosi ecuaia lui

Schrdingerindependent de timp, care se va scrie sub forma:

22 + 22 +

22 + 20 + 240 = 0 (2.33)Datorit simetriei sferice a cmpului de fore al nucleului se consider un sistem de

coordonate sferice (r, , ) cu originea n punctul n care se afl nucleul.

Ecuaia lui Schrdinger n coordonate sferice devine:

12 2 + 12 ++

1

2222 +

20 + 240 = 0 (2.34)

i se rezolv prin metoda separrii variabilelor.

Se presupune c funcia de und poate fi scris ca un produs a trei funcii ce depindfiecare de cte o variabil:

,

,

=

=

,

(2.35)

Atunci:


23/32

23

2

2 R + 2 1 Y + 12 2Y2 +

+20 + 240 = 0 (2.36)

nmulind aceast relaie cu

2se obine:1 2 R + 1 1 Y + 1 2 2Y2 +

+202 + 240 = 0 sau

1 2 R + 202 + 240 = (2.37)= 1 1 Y + 12 2Y2 =

unde este o constant de separare, introdus deoarece variabilele r, , suntindependente.

Ecuaia (2.37) poate fi scris sub forma a dou ecuaii independente:

1 2 R + 202 + 240 = (2.38)1 Y + 1 2 2Y 2 + = 0 (2.39)

Utiliznd notaiile:

2 = 20 + 240 (2.40)r =

1

2 2 (2.41)

obinem:

r + 2 2 = 0 (2.42)Aceasta este ecuaia radial pentru atomul de hidrogen.

2.3.1 Rezolvarea ecuaiilor momentului cinetic

innd cont c , = i nmulind ecuaia (2.39) cu 2 , se obine: + 2 = 1 22 = (2.43)undeBeste o alt constant de separare, adic

+ (2 ) = 0 (2.44)i

2

2 + = 0 (2.45)


24/32

24

Acestea sunt ecuaiile unghiulare (polar i azimutal)pentru atomul de hidrogen.

Ecuaia (2.45) este similar oscilatorului armonic clasic i are soluia:

= 0eiB (2.46)Pentru a asigura periodicitatea funciei (ea are o perioad 2, adic, deoarece sistemul

trece n el nsui la o rotaie cu unghiul 2n jurul axei Oz), exponentul din(2.46) trebuie s

fie un numr complex; ca urmare, constantaBtrebuie s fie un numr realpozitiv. De aceea,

se alege:

= 2 (2.47)i atunci (2.46) devine:

= 0eim (2.48)

Amplitudinea 0se obinedin condiia de normare adic:

0 = 12 (2.49)Deoarece = + 2, relaia (2.48) conduce la:2 = cos2 + 2 = 1 (2.50)Partea imaginar a acestei relaii trebuie s lipseasc, deoarece membrul drept este un

numr real. Acest lucru este posibil doar dac m este numr ntreg:

= 0, 1, 2, . (2.51)Acest numr cuantic se numete numr cuantic azimutal. n unele cazuri concrete, n

care particula n rotaie este electrizat, mse numete numr cuantic magnetic.

Introducnd n (2.44) o nou variabilx= cos, considernd derivatele dupxi

innd cont de condiiile ce se impun funciei de und observm c trebuie s fie produsula dou numere naturale consecutive:

= + 1, = 0, 1,2 ,3, . (2.52)unde l este numrul cuantic orbital, iar soluiile sunt de forma:

= 2+12 !+! Plmcos (2.53)unde Pl

m

cos

sunt polinoamele Legendre asociate.


25/32

25

Este necesar ca numerele cuantice mi l, corespunztoare celor dou grade de

libertate, s satisfac condiia l m 0; pentru o valoare dat numrului cuantic orbital l,mpoate avea 2l+ 1 valori,

= 0,

1,

2,

. ,

(2.54)

Lund n considerare toate aceste condiii soluia ecuaiei unghiulare se obine sub

forma:

Y , = 2+14 !+! sin 12 ! d+ sin 2l dcos + expim (2.54)Calculnd soluia ecuaiei lui Schrdinger pentru partea radiala a funcieide und se

observ dependena energiei i a razei de numrul cuantic principal n.


26/32

26

Capitolul 3.APLICAII ALE ECUAIEI LUI SCHRDINGER

Ecuaia lui Schrdinger este implicat n numeroase fenomenecuantice, dintre care

vom examina cteva. Pentru uurina calculelorvom considera doar problema

unidimensional, deci funcia de undva depinde doar de variabila x, iar operatorul lui

Laplace se va reduce laderivata a doua n raport cu x.

3.1 Groapa de potenial de adncime infinit

Prin acest concept se nelege o distribuie de potenial de forma (fig. 3.1):

= 0, 0 , , , 0 , + (3.1)S examinm comportarea unei microparticule de mas m, care se gsete n interiorul

gropii. Deci funciile de und din exteriorulgropii vor fi zero, adic 1(x) = 3(x) = 0, iar

2(x) (x) 0.

Ecuaia lui Schrdinger a strilor staionare, pentru particula aflat n groapa de

potenial este:

22 + 22 = 0 (3.2)Mrimea din faa funciei de und are dimensiunile ptratuluimodulului vectorului de

und i de aceea o vom nota cu k2:

fig. 3.1


27/32

27

2 = 22 (3.3)Se verific prin calcul direct, c soluia ei general este:

=

+

(3.4)

Din punct de vedere fizic, aceast soluie general este osuprapunere de dou unde

armonice plane au acelai modul alvectorului de und (au aceeai pulsaie): una de

amplitudineA, care se deplaseaz n sensul pozitiv ala axeix(unda direct) i cealalt, de

amplitudineB, care se deplaseaz n sensul negativ al axeix(unda reflectat).

Condiia de continuitate n punctulx= 0 (peretele din stnga):

10 = 0 = 0, conduce la:A= -B, (3.5)ceea ce face ca expresia funciei de und s devin:

= = 2 (3.6)unde am inut cont de formulele lui Euler referitoare la exprimareafunciilor

trigonometrice prin exponeniale complexe.

Condiia de continuitate la peretele din dreapta, situat npunctulx= lconduce la

relaia:

= 3 = 0, de unde se obine: 2 = 0 (3.7)Deoarece amplitudineaAa undei directe trebuie s fie diferitde zero, rezult

urmtoarea condiie:

= 0, de unde = , (3.8)unde n= 0, 1, 2, ... este un numr ntreg. Deci modulul vectorului deund nu poatelua

orice valoare, ci numai anumite valori specificate de numrul ntreg n. De aceea, pentru a

deosebi diferitele funcii de und,corespunztoare diferitelor valori ale numrului ntreg n, i

vom ataaacesteia indicele n. Deci funciile de und vor fi:

= = 2 (3.9)Valoarea constanteiAse gsete din condiia de normare:

0 = 1 (3.10)astfel c expresia final a funciei de und va fi:


28/32

28

= 21

2 (3.11)

Ea reprezint o undstaionar (o und a crei amplitudine esteexprimat printr-o

funcie periodic de variabila spaialx), care are un numr de n+ 1 noduri (puncte unde

amplitudinea este egal cu zero),dintre care dou noduri la pereii gropii i restul n interior i

are un numr de n1 ventre (puncte unde amplitudinea este maxim).

Modulul vectorului de und, fiind legat de energia total amicroparticulei:

2 = 22 = 2, rezult: = 12 2 2 (3.12)Ultima relaie arat c energia microparticulei aflate ntr-o groap de potenial infinit

de adnc nu poate lua orice valoare, cinumai anumite valori discontinue sau discrete, caredepind de numrulntreg n. Se spune c energia microparticulei aflate n interiorul gropiide

potenial infinit de adnci este cuantificat, iar numrul ntreg n, care cuantific energia, se

numete numr cuantic principal.

Spectrul energetic nu este, deci, n acest caz, un spectrucontinuu, ci unspectru

discontinuusau unspectru discret. Nivelele energetice nu sunt echidistante, ci distana dintre

ele crete aproximativproporional cu numrul cuantic principal n:

= +1 =1

2

2

2 + 1 1039 +1

2 J (3.13)Ultimul calcul numeric l-am fcut pentru masa ma unei microparticule de ordinul de

mrime al masei unei molecule (~10-26kg ), iar lrgimea gropii lde ordinul de mrime al unui

vas obinuit (~ 0,1m). Se observ c distana Endintre dou nivele energetice vecine,

exprimat n J, este extrem de mic, cu mult mai mic dect eroarea demsurare a energiei cu

ajutorul celor mai pretenioase aparate. Ori,pentru a putea fi evideniat cuantificarea

energiei, deci pentru a putea distinge dou nivele energetice vecine, trebuie ca diferena dintredounivele energetice vecine s fie cel puin de acelai ordin de mrime cai eroarea de

msur a aparatului de msur. Nivelele energetice suntfoarte apropiate, ele sunt practic

percepute ca o distribuie continu deenergie. De aceea, chiar dac cuantificarea energiei n

principiu are loc i la nivel macroscopic, ea nu are influen asupra micrii uneiparticule

macroscopice. Deci, cu att mai mult, pentru corpurilemacroscopice cuantificarea energiei nu

se poate observa.

Exemplu. Pentru un electron de mas m = 9,110-31 kg situat ntr-o groap de

potenialde lrgime L = 1 cm, se obine:


29/32

29

fig. 3.2

En= n21015eV E = En+1En= (2n + 1) 1015eV

Diferena dintre dou nivele energetice succesive este att de mic, nct se poate

considera c - n mod practic - avem de-a face cu un ir continuu de energii.

Dac groapa de potenial are dimensiuni atomice, L = 10 , atunci :

En= 0,1n2eV E = (2n + 1) 0,1 eV o diferen de ordinul eV care estesesizabil. Caracterul discret al energiei nivelelor este mai evident pentru corpuri cu mase

mici i pentru dimensiuni mici ale domeniului n care are loc micarea.

3.2 Bariera de potenial de lrgime i nlimefinit

Bariera de potenial de lrgime i nlime finit este odistribuie de potenial de

forma ():

= 0, 0 , 0 , , 0 , + (3.14)

S considerm c o microparticul de mas mse mic nsensul pozitiv al axei Ox,

venind din regiunea I, situat n parteastng. Din punctul de vedere al mecanicii clasice,

dac energia totalEa microparticulei este mai mic dect nlimea U0a barierei de

potenial, particula nu poate ptrunde n interiorul barierei de potenial(regiunea II), ci sufer

fenomenul de reflexie total la peretele dinstnga a barierei, situat n punctulx= 0.

Din punctul de vedere al mecanicii cuantice, exist oprobabilitate diferit de zero ca

microparticula, dei are energia maimic dect nlimea barierei, adicE< U0, s traverseze


30/32

30

bariera depotenial i s ajung n regiunea III, dincolo de peretele din dreapta, situat n

punctul de coordonatx= l. Acest fenomen de traversare abarierei de potenial se numete

efectul tuneli a fost descoperit n1928 de George Gamow. Ecuaiile lui Schrdinger pentru

regiunile I iIII, unde potenialul este zero, respectiv regiunea II unde este situatbariera de

potenial, sunt:

21,32 + 22 1,3 = 0 (3.15)222 + 22 2 = 0 (3.16)Utiliznd notaiile consacrate pentru cazul de interes practic,cnd energia

microparticulei este mai mic dect nlimea barierei,atunci mrimea k2este imaginar, iar

partea ei real se noteaz cu 2:

1 = 22 ; 2 = 2 = 22 0 (3.17)astfel c soluiile generale ale acestor ecuaii vor fi:

1 = 1d + 1r = 11 + 11 2 = 2t + 2r = 22 + 22 (3.18)3 = 3t = 3

1

n care indicii 1, 2 i 3 se refer la regiunea respectiv de potenial, iardse refer la

unda direct (incident), rla unda reflectat, iar tunda transmis (refractat).

S scriem condiiile de continuitate n punctelex= 0 ix= l ale funciilor de und i

ale derivatelor acestora:

10 = 20 ; 2 = 3 (3.19)

1 =0 = 2 =0 ;

2 = = 3 = (3.20)

Acestea conduc la urmtorul sistem de ecuaii algebrice:

1 + 1 = 2 + 222 + 22 = 3 111 1 = 22 2222 + 22 = 1 3 1 (3.21)

n acest sistem algebric de 4 ecuaii, amplitudineaA1a undei directe (incidente) este omrime cunoscut, iar cele 4 amplitudininecunoscute sunt:B1amplitudinea undei reflectate


31/32

31

de peretele din stnga al barierei;A2amplitudinea undei transmise nregiunea barierei de

potenial;B2amplitudinea undei reflectate de peretele din dreapta al barierei iA3

amplitudinea undei transmise n regiunea III,dincolo de bariera de potenial. Sistemul este

compatibil, ns, pentrustudiul efectului tunel ne intereseaz s exprimm doar raportul dintre

amplitudinea undei transmise n mediul III i amplitudinea undeiincidente:

31 =4 1212+1222122 (3.22)

O mrime caracteristic pentru descrierea efectului tunel este transparenabarierei de

potenial, definit ca modulul raportului dintredensitatea superficial a curentului de

probabilitate transmis nregiunea a III-a i densitatea superficial a curentului de probabilitate

incident:

= 31 = 312 = 31 31 (3.23)relaie n care am indicat c este necesar i conjugarea complex araportului

amplitudinilor.

n practic, efectul tunel se produce dac este realizat condiia22l 1, caz n care

exponeniala cu acest exponent este cu mult maimare dect 1 i acesta poate fi neglijat.

Condiia de mai sus nu esteartificial impus, ci ea este legat de relaiile de nedeterminarecoordonat - impuls. Consecina direct a valabilitii ei este osimplificare considerabil a

expresiei transpareneibarierei depotenial:

= 16122222+122 22 022 (3.24)Se observ, deci, c transparena barierei scade exponenial culimea acesteia i,

bineneles, cu energia microparticulei.

Expresia de mai sus a transparenei bariereipoate fi generalizat i pentru o barier deo form oarecare, descris de funciaenergiei poteniale de forma general, U= U(x), definit

pe domeniul [x1,x2]. Dup calcule similare, se ajunge la formula integral:

= 0 exp 2 2 21 (3.25)Cu ajutorul efectului tunel pot fi explicate o serie de fenomene cum ar fi: emisia la

rece a electronilor din metale, dezintegrarea ,reaciile termonucleare, sisteme de memorie,

etc.


32/32

Bibliografie

Documents

Ecuatia Lui Schrodinger