Ecuaciones Trabajo 222

8/18/2019 Ecuaciones Trabajo 222

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Ecuación de densidad de los fluidos

1. Fluido compresible:

Todos los fluidos son compresibles, incluyendo los líquidos. Cuando estos cambios de volumen

son demasiado grandes se opta por considerar el flujo como compresible (que muestran una

variación significativa de la densidad como resultado de fluir.

La compresibilidad de un flujo es básicamente una medida en el cambio de la densidad. Los

gases son en general muy compresibles, en cambio, la mayoría de los líquidos tienen una

compresibilidad muy baja. or ejemplo, una presión de !"" #a provoca un cambio de densidad

en el agua a temperatura ambiente de solamente ","$%&, en cambio esta misma presión aplicada

al aire provoca un cambio de densidad de $!"&. or esto normalmente al estudio de los flujos

compresibles se le conoce como dinámica de gases.

1.1. Densidad de fluidos compresibles:

'n general, la densidad de una sustancia varía cuando cambia la presión o la temperatura, y en

los cambios de estado.

Cuando aumenta la presión, la densidad de cualquier material estable tambin aumenta.

Como regla general, al aumentar la temperatura, la densidad disminuye (si la presión permanece

constante). *in embargo, e+isten notables e+cepciones a esta regla. or ejemplo, la densidad

del agua crece entre el punto de fusión (a " C) y los % C- algo similar ocurre con el silicio a bajas

temperaturas.

'l efecto de la temperatura y la presión en los sólidos y líquidos es muy pequeo, por lo que

típicamente la compresibilidad de un líquido o sólido es de /" 01

bar 0/

(/ bar2",/ 3a) y elcoeficiente de dilatación trmica es de /" 0! 4 0/.

or otro lado, la densidad de los gases es fuertemente afectada por la presión y la temperatura.

La ley de los gases ideales describe matemáticamente la relación entre estas tres magnitudes5

6onde es la constante universal de los gases ideales, es la presión del gas, su masa

molar y la temperatura absoluta.

'so significa que un gas ideal a 7"" 4 ($8 C) y / atm duplicará su densidad si se aumenta lapresión a $ atm manteniendo la temperatura constante o, alternativamente, se reduce su

Temperatura a /!" 4 manteniendo la presión constante.

Trabajo

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2. Fluido incomprensible:

9n fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el

tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.

'sto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido pueden cambiar. 'l agua es un fluido casi

incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán

prácticamente iguales, a:n bajo presión. 6e ;ec;o, todos los fluidos son compresibles, algunos

más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad

de líquido cuando se somete a una presión e+terior .

Densidad de fluidos incomprensibles:

'n física y química, la densidad (símbolo ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad

de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la ra.

9nidades de densidad en el *istema >nternacional de 9nidades (*>)5

Kilogramo entre metro cúbico (#g=m7).

Gramo entre centímetro cúbico (g=cm7).

Kilogramo entre litro (#g=L) o kilogramo entre decímetro cúbico.

'l agua tiene una densidad pró+ima a / #g=L (/""" g=dm 7 2 / g=cm7 2 / g=mL).

Gramo entre mililitro (g=mL), que equivale a (g=cm7

).

ara los gases suele usarse el gramo entre decímetro cúbico (g=dm7) o gramo por litro (g=L), con la

finalidad de simplificar con la constante universal de los gases ideales.

Actiidades

1. Encuentre una ecuación !ue indi!ue la ariación de la presión en agua salda

"fluido incompresible# en función de la profundidad $ si se considera !ue la

presión a niel del mar es igual a cero "es decir se trabajara con presiones

relatias#.%resiones relatias: &on presiones por encima de las presiones atmosf'ricas.

Pabsoluta= Prelativa+ Patmosferica

Prelativa= Pabsoluta− Patmosferica

dp

dy=− ρg

Ecuación base.

http://es.wikipedia.org/wiki/Mililitrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mililitro


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ρ=m

v Es la densidad de un fluido incompresible.

La densidad de la típica agua del mar (agua salada con un 7,!& de sales disueltas) suele ser de

/."$?/@ #g=L a los A$ C, /."$?// a los " C, /."$88? a los % C, etc.

ρ=102819 kg

L =1028.19

kg

m3 Densidad del agua salada

g=9.81m

s2

dp

dh=− ρ∗g

dp

1 =− ρ∗g∗dh

∫ dp1 =∫− ρ∗g∗dh

p=− ρ∗g∗h+C

p=−1028.19∗(9.81)∗h+C

p=−(10086.5439 )∗h+C

p (0 )=0 (ondiciones iniciales

0=−(10086.5439)∗0+C

C =0

p=−(10086.5439 )∗h ( N m2 )=( Pa) Ecuación de presión bajo el agua2. Encuentre una ecuación !ue indi!ue la ariación de la presión del aire "fluido

compresible# desde el niel del mar $asta la tropopausa. &uponga primero

!ue la temperatura del aire permanece constante.

dp

dy=− ρg

Ecuación base.


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ρ= P∗ M R∗T Ecuación de densidad fluido compresible,

M ≈28,9 g

mol≈0.028900

kg

mol )asa media molar del aire

T =273,15 K =0C Temp Co!sta!te e! K

P= Presio! h=alturae!m

R=62.36 mm"g∗ L

K ∗ Mol =0.0820546 ( atm∗ L K ∗ Mol )=8.314472( Pa∗m

3

K ∗ Mol )=8.314472( N

m2∗m3

K ∗ Mol )g=9.81

m

s2

P (0 )=1 (ondiciones iniciales

dp

dh=− ρg

dp

dh=−( P∗ M R∗T )∗g

dp

P =−( M R∗T )∗g∗dh

∫ dp P =−∫( M R∗T )∗g∗dh

ln ( p )=−( M R∗T )∗g∗h+c

eln ( p )=e

−( M R∗T )∗g∗h+c

P=e−( M R∗T )∗g∗h∗c


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P=e

−( 0.028900

kg

mol

8.314472(( N

m2 )∗m3 K ∗ Mol

)∗273,15 K )∗9.81 m

s2∗h

∗c

P=e−0.00001272∗h∗c

P (0 )=101325 N

m2=101325 Pa

Condiciones iniciales

101325=e−0.00001272∗0∗c

c=101325

P=e−0.00001272∗h∗101325 ( N m2 )=( Pa)

3. Encuentre una ecuación mejor que la del punto 2 considerandoahora que la densidad del aire cambia tanto con la presión comocon la altura. Utilice la siguiente grafca para encontrarinormación valiosa.

dpdy

=− ρg Ecuación base.

ρ= P∗ M R∗T Ecuación de densidad fluido compresible,

M ≈28,9 g

mol≈0.028900

kg

mol )asa media molar del aire

T =Temp #ariable e! K

h= $ltura variable e! m

P= Presio!

R=62.36 mm"g∗ L

K ∗ Mol =0.0820546 ( atm∗ L K ∗ Mol )=8.314472( Pa∗m

3

K ∗ Mol )=8.314472( N

m2∗m3

K ∗ Mol )


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g=9.81m

s2

P (0 )=1 (ondiciones iniciales

dp

dh=− ρg

dp

dh=−( P∗ M R∗T )∗g

dp

P =−( M R∗T )∗g∗dh

∫ dp P =−∫( M R∗T )∗g∗dh

ln ( p )=−( M R∗T )∗g∗h+c

eln ( p )=e

−( M R∗T )∗g∗h+c

P=e−( M R∗T )∗g∗h∗c

P=e

−( 0.028900

kg

mol

8.314472(( N

m2 )∗m3 K ∗ Mol

)∗273,15 K )∗9.81 m

s2∗h

∗c

P=e

−(0.0340982 )∗hT

( N

m2

)=( Pa)

Ecuación de presión considerando $ * t

+. Tra,a las gr-ficas obtenidas en 2 * * reali,a un an-lisis cr/tico de tus

resultados.


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A menudo se realizan cálculos con literales para hallar una fórmula o ecuación en donde solo

haya que reemplazar datos para obtener el comportamiento sin tener que volver a resolver el

modelo !"#$% !n el e&ercicio ' y ( realizaremos esto) para el modelo de tanque de mezclado

aplicado en la contaminación de un lago por los desechos de una fábrica%

0. n rio !ue tiene un caudal 1 m

3

s es la 3nica fuente de entrada de agua a un lago

cu*a capacidad es de 4 cm del lago sale tambi'n un rio cu*o caudal es 2m

3

s .

suponga !ue una f-brica situada rio arriba antes del lago est- emitiendo

contaminantes a ra,ón de 5kg

s * !ue la concentración inicial del contaminante

en el lago es de D

kg

m3 . &i el caudal de ambos r/os es similar6 encuentre una

fórmula para calcular la concentración de contaminante en lago en cual!uierinstante de tiempo t. 7ealice todos los c-lculos manualmente.

Ri=( Ra%o!de e!trada )∗(Co!ce!tracio!e!trada)

Ro=( Ra%o! de salida)∗(Co!ce!tracio!salida)


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d$

dt = Ri− Ro

Co!ce!tracio!= $

# A8 (antidad de sal 48 4olumen

d$

dt =(& 1∗' )−(& 2∗ $# )

$( =(& 1∗' )−( $∗&2# )

$( +( $∗&2# )=(&1∗' )

P (t )=& 2

# ) (t )=&1∗'

e∫ P(t ) dt =e

∫&2#

dt

=e& 2

# ∗t

d

dt [ e

&2

# ∗t ∗ $ ]=e

& 2

# ∗t ∗(& 1∗')

∫e&2

# ∗t ∗ $∗d=∫e

&2

# ∗t ∗(&1∗' ) dt

e&2

# ∗t ∗ $=(& 1∗' )∗∫ e

& 2

# ∗t ∗dt

e&2

# ∗t ∗ $=(& 1∗' )∗e

& 2

# ∗t ∗(&2# )+C

$=(&1∗' )∗e

&2

# ∗t ∗(&2# )+C e&2

# ∗t

$= (& 1∗' )∗( & 2# )+ C e

&2

# ∗t


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$=( &2∗&1∗'# )+ C e

& 2

# ∗t (antidad de sal en el tan!ue en tiempo t.

(oncentración de salida8 A94

8(oncentración de salida o del lago.

K =

( &2∗& 1∗'# )+ C e

&2

# ∗t

#

K =

& 2∗&1∗'∗e&2

# ∗t +C ∗#

e

& 2

# ∗t

∗# #

K =& 2∗& 1∗'∗e

& 2

# ∗t +C ∗#

# 2∗e

&2

# ∗t

(oncentración inicial es igual a D

8D t8;

*=& 2∗& 1∗'∗e

&2#

∗0+C ∗#

# 2∗e

&2

# ∗0

*=& 2∗& 1∗'∗1+C ∗#

# 2∗1

*=

& 2∗& 1∗'+C ∗#

# 2

*∗# 2=&2∗&1∗'+C ∗#

*∗# 2−&2∗&1∗'#

=C

C = *∗# 2−&2∗&1∗'

# 4alor de la constante (.


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K =& 2∗& 1∗'∗e

& 2

# ∗t +

*∗# 2−& 2∗& 1∗'#

∗#

# 2∗e

&2

# ∗t

K =& 2∗& 1∗'∗e

& 2#

∗t + *∗# 2−&2∗& 1∗'

# 2∗e

&2

# ∗t (ontaminación en el lago en tiempo t

Fórmula para calcular contaminación en el lago.

estable,ca lo mismo del problema 0 pero esta e, considere !ue los caudales de

entrada * salida son diferentes.

K ='∗&1∗&2∗ln (&2∗t −&1∗t +# )−'∗&2∗&1∗ln (# )+ *∗# ∗(&1−&2)

(&1−&2 )∗(&2∗t −&1∗t +# )

Fórmula para calcular la contaminación en el lago en tiempo t6 para un lago de

olumen ariable.


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En un sistema masa resorte están involucradas variables como lamasa, la constante de amortiguamiento y la constante del resorte,

estas variables infuyen directamente sobre el tipo de movimiento quetendrá el sistema. En el ejercicio 7, 8 y 9 se piden un análisis de este particular y luego se pide realizar un cálculo con algunos datos a n detener un movimiento previamente establecido que nalmente seráanalizado.

7. Indique cuales son las relaciones entre la constante del resorte el coefciente de amortiguamiento para obtener un movimientosub!amortiguado" cr#ticamente amortiguado sobre!amortiguado.

m∗ y ( ( +b∗ y ( +k ∗ y=fe+ter!a(t )

*m=masa *b=coefciente de amortiguamiento

*externa (t)=uerza externa *k=constante resorte

$istemas resorte%masa& 'ovimiento libre amortiguado.

(E) *E +,,-E& Supongamos que resorte se suspende verticalmente de un soporterígido y luego se le fa una masa m a su extremo libre! "or supuesto# la cantidad dealargamiento o elongaci$n del resorte depende de la masa% masas con pesos

dierentes alargan el resorte en cantidades dierentes! "or la ley de &ooke# el resortemismo eerce una uerza restauradora ' opuesta a la direcci$n de la elongaci$n yproporcional a la cantidad de elongaci$n expuesta s y expresada en orma simple

como ) =ks # donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante

de resorte. l resorte se caracteriza en esencia por el numero k! "or eemplo si una

masa pesa libras +ace que un resorte ce alargue1

2 pie

# entonces 10=k (1

2)

k =20 lb

pie ! ntonces necesariamente una masa que pesa# digamos , libras alargara

el mismo resorte solo2

5 pie.

$EU/*0 (E) *E /E1,/& -espu.s de que se une una masa m a un resorte#.sta alarga el resorte una cantidad s y logra una posici$n de equilibrio en la cual supeso / se equilibra mediante la uerza llamada restauradora ks! 0ecuerde que el peso

se defne mediante , =mg # donde la masa se mide en slugs# kilogramos o gramos y

g= 32

pies

s2

-9.8 m

s2

-980cm

s2


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# respectivamente! 1omo se indica en la fgura 2!!d# la condici$n de equilibrio esmg=ks o mg3ks=! Si la masa se desplaza por cantidad x de su posici$n de equilibrio#la uerza restauradora del resorte es entonces k(x4s)! Suponiendo que no +ay uerzasrestauradoras que act5an sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre deotras uerzas externas3movimiento libre! se puede igualar la segunda ley de

6e7ton con la uerza neta o resultante de la restauradora y el peso!

m d

2 +

d t 2=−k ( s+ + )+mg=−ks+mg−ks=−k+ ()

*efnición de movimiento libre amortiguado& l concepto es un poco irregular#puesto que el movimiento describe la ecuaci$n () que supone que no +ay uerzas

restauradoras actuando sobre la masa en movimiento! 8 menos que la masa sesuspenda en un vacío perecto# +abr9 por lo menos una uerza de resistencia debida almedio ambiente circundante! 1omo ce muestra en la fgura 2!!2# la masa podría estarsuspendida en un medio viscosa o unida a un dispositivo amortiguador!

E* *E U/ ',I'IE/, (I45E 0',5IU0*,

n el estudio de la mec9nica# las uerzas de amortiguamiento que act5an sobre uncuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instant9nea! nparticular# en el an9lisis posterior se supone que esta uerza est9 dada por un m5ltiplo

constante ded+

dt ! 1uando ninguna otra uerza act5a en el sistema# se tiene de la

segunda :ey de 6e7ton que


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m d

2 +

d t 2=−k+− .

d+

dt # ()

-onde . es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una

consecuencia del +ec+o que la uerza de amortiguamiento act5a en direcci$n opuestaal movimiento!

-ividiendo la ecuaci$n () entre la masa m# se encuentra que la ecuaci$n dierencialdel 'ovimiento libre amortiguado es d2 x/dt 2 + (β+m)dx/dt + (k/m)x = 0

d2 +

d t 2 +2 /

d+

dt +02 +=0 ()

-onde 2λ=β/m, ω2=k/m (12)

l símbolo ;< se usa solo por conveniencia algebraica# porque la ecuaci$n auxiliar esm

2+2 /m+02=0 y las raíces correspondiente entonces

m1=− /+√ /2−02 # m2=− /−√ /2−02

8+ora se pueden distinguir tres caso posibles dependiendo del signo algebraico de

/2−02 !

"uesto que cada soluci$n contiene el actor de amortiguamiento e− /t

# < # los

desplazamiento de la masa se vuelven depreciables conorme avanza t aumenta!

60$, I& /2−02 n esta situaci$n el sistema est9 sobre!amortiguado porque

el coeiciente de amortiguamiento > es grande comparado con la constante del

resorte k! :a soluci$n correspondiente de () es ( + ( t )=C 1e√ /2−02 t +C 2e−√ /

2−02 t ¿ .

(?)

sta ecuaci$n representa un movimiento uniorme y no oscilatorio!

60$, II& /

2−02

= ste sistema cr#ticamente amortiguado porque cualquierligera disminuci$n en la uerza de amortiguamiento daría como resultado un

movimiento oscilatorio! :am soluci$n general de () es + ( t )=C 1em1 t +C 2 tem1 t ¿

+ ( t )=e− /t (C 1+C 2t ) (@)

60$, III& /2−02 A n este caso el sistema esta sub!amortiguado puesto que el

coefciente de amortiguamiento es pequeo comparando con la constante del resorte. Lasraíces m/ y m$ son complejas.


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m1=− /+√ 02+ /2i m2=− /−√ 02+ /2i

Bsí que la ecuación general de la ecuación (//) es5

C 1∗cos(√ 02− /2 t +C 2∗1e!(√ 02− /2 t )) + ( t )=e− / t ¿

Como se indica en la figura el movimiento descrito es oscilatorio5 pero debido al coeficiente

e− / t

, las amplitudes de vibración " cuando t 2

. $i se cuenta con un sistema en donde la masa es de 8.9 :g parallegar al equilibrio ha estirado el resorte 2 cm determine la constantede amortiguamiento para que se produ;ca un movimiento sub!amortiguado.5ealice los c. (a masa se suelta desde el reposo" 28cm por debajo de laposición de equilibrio.

m=B; b=coefciente de amortiguamiento

s=;cm '=k*s ) =4 N 8mplitud 'uerza = @6

'recuencia = C

x ()=;cm

k = 1onstante del resorte

4=k ∗2

k =2 N /s

d2 +

d t 2 +2 /

d+

dt +02 +=0

2λ=β/m, ω2=k/m

2λ=

?. 'uestre las gr


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!o"lema ', se veifca la valide del modelo de la *e de en$iamiento dee-ton%

@8. 6ompruebe el modelo de enriamiento o calentamiento de/eAton reali;ando los c


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C $ /8! s +;? ( B.;B? (

1; $ ??" s 0? ( .C? (

11 7 1"" s 1? ( ;.+C? (

(omprobamos !ue la le* de enfriamiento de e=ton es casi eacta eiste unmargen m/nimo de error * es de muc$a utilidad.

5ibliograf/a:

• ;ttp5==DDD.monografias.com=trabajos/1=densidadAgas=densidadAgas.s;tml

• ;ttp5==quimicaparatodos.blogcindario.com=$""@=/$=""$$%AcalculoAdeAlaAdensidadAdeAunA

gas.;tml• +ttp%BB777!uv!esBqDabB;EFGBdescargasBcuadernillosBq;B1astellanoB;2FEB

EHHF"IgasF1astF2E!pd • +ttp%BBes!7ikipedia!orgB7ikiB'luoFcompresible

• +ttp%BBes!7ikipedia!orgB7ikiB'luoFincompresibleJ:aFecuaci!1?!K?nFdeFKernoulli

FyFunFcriterioFparaFelFDuoFincompresible• +ttp%BBes!7ikipedia!orgB7ikiB"resiL1?LK?nFatmosL1?L8Mrica

• +ttp%BBes!7ikipedia!orgB7ikiB:eyFdeFlosFgasesFideales

• +ttp%BBes!7ikipedia!orgB7ikiB:eyFdeFlosFgasesFidealesJ:aFecuaci!1?!K?nFdeFest

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Trabajo Integrador Ecuaciones Diferenciales

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7eali,ado por:

Euan >drovo

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%rofesor:>ng. Eulio Loja

Fec$a:

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Ecuaciones Trabajo 222