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三角関数～様々なグラフへの展望～
フーリエさんの偉大な発見すべての関数は三角関数の無限の重ね合わせで表すことができる。• テレビ塔などから送られてくる電波は、データの周波数を変換して送り出されています。受信した側でその電波からデータを復元して画像や音声を再現しているのです。
• コンピュータなどで画像や音声を送受信する際に用いられるデータ圧縮の技術にもフーリエのアイデアが生かされています。たとえば、画像データ圧縮の場合、圧縮する前の画像データは、画像の点一つひとつについてそれぞれ色の3成分（赤、緑、青）の濃淡のデータが含まれています。そのため一般にデータ量が大きくなってしまいます。そこで、各色の濃淡分布を位置の関数とし、その関数に対してフーリエ変換を行うことなどでデータ量を小さくしています。
三角比の復習
A
AA
cos
sintan
1cossin 22 AA
AA
2
2
cos
11tan ③
①
②
r
r
ーrＯ x
ｙ
θ
sinθ＝𝑦
𝑟
cosθ＝𝑥
𝑟
tanθ＝𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
sin 90° − 𝜃 =𝑥
𝑟= 𝑐𝑜𝑠𝜃
cos 90° − 𝜃 =𝑦
𝑟= 𝑠𝑖𝑛𝜃
tan 90° − 𝜃 =1
𝑡𝑎𝑛𝜃例sin62° = sin(90° − 28°) = cos28°cos28°＝sin６２°
覚えた方が早い！
サインとコサインは足して９０°になる関係にあると覚え
る！
まずは各三角比の正負から知る
sinθ（ｙ座標）
cosθ
（ｘ座標）tanθ
（傾き）
＋＋
ー ー
＋ー
ー ＋
＋ー
＋ ー
－１≦sinθ≦１鋭角なら
０≦sinθ≦１
－１≦cosθ≦１鋭角でも
－１≦cosθ≦１
tanθはすべての値をとる
そもそも全ての三角比は「ｘ軸から何度か」
によって全ての値は等しくなる。（同じ三角形ができるから）
変わるのは正負だけ。それだけ考えればよい！
sin（１８０°ーθ）＝sinθcos（１８０°ーθ）＝－cosθtan（１８０°ーθ）＝－tanθとなる。
毎回「ｘ軸から何度か」「第何象限で正負は何か」を考えた方がよい！
３６０°ーθ同様！
三角関数導入への基礎知識
弧度法
さよなら度数法
今日を期に、度数法とはさようなら。
今までは 『直角の１/９０を1度』とする度数法
これからは『１８０°/πを１ラジアン』とする
『弧度法』によって表記します。（約57.3°）
つまり， １８０°＝π（ラジアン） です。
ラジアン（rad）の定義
弧度法表記 30°と45°を覚えよ。
例えば
， なので，306
45
4
60 30 2 26 3
5225 45 5 5
4 4
5300 30 10 10
6 3
慣れてきたら頭の中で換算！自然と出てくるまで練習！
用語の整理正の角、負の角は
向きに注意！
1回転して元に戻る角の
動径は変わらないので，
一般的に動径を表す角は
度 α＋360°×ｎ
弧 α＋２ｎπ（ｎは整数）
と表す。
（例）
－３３０°＝３０°＋３６０°×（－１）
X
P
始線
動径
正の角
負の角 O
扇形の弧の長さと面積
弧の長さＬ
面積Ｓ
L r
21 1
2 2S r rL
サインとコサインは足して９０°になる関係にあると覚える！
sin cos2
cos sin2
1tan
2 tan
sin sin
cos cos
tan tan
三角関数の性質
ｎは整数とする。
sin 2 sin
cos 2 cos
tan 2 tan
n
n
n
これは当たり前！1周したら元に戻る！
２πのｎ倍だから何周もするってこと
三角関数の性質
sin sin
cos cos
tan tan
第1象限⇒第４象限
時計回り（右）に進んだ角度
三角関数の性質
sin sin
cos cos
tan tan
第1象限⇒第3象限
１８０°足す
三角関数の性質（導いてみよう）
sin2
cos2
tan2
第1象限⇒第２象限
sin sin
cos cos
tan tan
使用する材料
サインとコサインは足して９０°になる関係
で等しくなる
導いてみる
sin cos cos2
cos sin sin2
1 1tan
2 tan tan
足して９０°の関係
理解できれば導ける！
正弦曲線について（y=sinθのグラフ）
円を回転させたときの点の移動ｙの値の変化
正弦曲線について（y=sinθのグラフ）
こんな感じ
https://rikeilabo.com/trigonometric-function-graph より拝借
コサインのグラフも「正弦曲線」と言われる。
なぜ？
偶関数と奇関数
偶関数など。
のようなものも偶関数。
『偶数乗』と覚えるよりは
となるものと理解する。
2 4 2, , , ny x y x y x 2 62 6y x x
f x f x
偶関数
とすると，
となるので，
を満たす。
f x f x
2f x x
2 2f x x x
f x f x
aa
『ｙ軸に関して対称』ということ。
は
を満たすので，偶関数 である。
cosf x x
cos cosf f
『ｙ軸対称』
偶関数と奇関数
奇関数など。
のようなものも奇関数。
『奇数乗』と覚えるよりは
となるものと理解する。
3 2 1, , , ny x y x y x 2 32 6y x x
f x f x
奇関数
とすると，
となるので，
を満たす。
f x f x
f x x
f x x
f x f x
aa『原点に関して対称』
ということ。
は
を満たすので，奇関数 である。
sinf x x
sin sinf f
『原点対称』
tanθも奇関数
偶関数・奇関数まとめ
偶関数・・・ｙ軸に関して対称
を満たす。
（例） など。
奇関数・・・原点に関して対称
を満たす。
（例） など。
2 , cosny x y x
f x f x
f x f x
2 1, sin , tanny x y x y x
漸近線（ぜんきんせん）あるグラフが一定の直線に限りなく近づくとき，その直線を，そのグラフの漸近線という。漸近線には限りなく近づくが、交わることはない。
反比例（双曲線）の漸近線は （ｘ軸）
（ｙ軸）
ay
x
0y
0x
いろいろなグラフに向けて ～振幅～
のグラフsiny A
0
2
3
2
2
A
A
ｙの値がＡ倍されている
この値を振幅という
いろいろなグラフに向けて ～周期～
三角関数のグラフは
『同じ形を繰り返す』
この『一つの形の幅』を『周期』といい，
周期のある関数を『周期関数』という。
の周期は ２π
の周期は πsin , cosy x y x
tany x
いろいろなグラフに向けて ～周期～
のグラフ
≪代入してみて探ってみる≫
ということは
，
代入して点をとっていくと，
sin 2y
sin 2 sin 02
sin 2 sin 14 2
sin 2 sin 2 0
いろいろなグラフに向けて ～周期～
のグラフsin 2y
0
2
3
2
2
1
1
周期がπになった
4
2
3
4
いろいろなグラフに向けて ～周期～
のグラフsin 2y
0
1
1
4
2
3
4
5
4
3
2
7
4
2
１/２倍に縮まった！
周期２π⇒周期π
いろいろなグラフに向けて ～周期～
の周期は
の周期は
の周期は
sin , cosy k y k
tany k
2
k
k
元の周期×１/ｋ
sin2
y
2
41
2
いろいろなグラフに向けて ～位相～
のグラフ
≪通常の関数と同じように考える≫
ということは
だけ平行移動したグラフ
sin3
y
3
3
いろいろなグラフに向けて ～位相～
のグラフsiny
0
2
3
2
2
1
1
いろいろなグラフに向けて ～位相～
のグラフsin3
y
0 2
3
2 2
1
1
5
6
3
2 3
4
3
3
7
3
23
11
6
3
2 3
いろいろなグラフに向けて ～位相～
のグラフsin3
y
0
1
1
5
6
3
4
3
7
3
11
6
三角関数のグラフ（ほぼ最終形）のグラフ
☆ の形へ変形する。
※ と似た作業
2sin 23
y
siny A k
2sin 26
y
周期を知るためにΘの係数を前に出す
2 2
2 4 4 2y x x
において周期の決定は
ｋの部分だけ！位相のずれは関係しない！
つまり
の周期は
siny A k
2sin 26
y
2
2
☆グラフを書く手順
0
2
2
①位相のずれを考慮した概形をかく
2sin 26
y
振幅は書いちゃおう！
☆グラフを書く手順
0
2
2
②周期を元に最初と最後の角をかく
2sin 26
y
6
6
7
6
周期πなので，最後はπで終わる
☆グラフを書く手順
0
2
2
③最初と最後の中点！
2sin 26
y
6
7
6
7
6 6
2
2
3
☆グラフを書く手順
0
2
2
④さらに中点！
2sin 26
y
6
7
6
2
6 3
2
2
35
12
☆グラフを書く手順
0
2
2
④さらに中点！
2sin 26
y
6
7
6
2 7
3 6
2
2
3
5
12
11
12
☆グラフを書く手順
0
2
2
⑤完成
2sin 26
y
6
7
6
2
3
5
12
11
12
もう一つ挑戦！
のグラフ
☆まず変形
☆周期 ☆位相のずれ
cos2 2
y
1
cos2
y
4
基本情報の整理
0
1
1
2 3
グラフを書く
4
周期４π
ずらす前が完成
－πずらす
1
cos2
y
三角方程式
問
のとき，方程式 を解け。
問
方程式 を解け。
0 2 ≦1
sin2
1sin
2
違いは，Θの範囲に制限があるかないか！
≪ の解答方法≫
☆ のとき
☆範囲の制限がないとき
0 2 ≦
1sin
2
何周しても同じということ。
5,
6 6
5
2 , 26 6
n n n
は整数
≪ の解答方法≫
☆ のとき
☆範囲の制限がないとき
tan 3
0 2 ≦ 4,
3 3
3n
なんで？？
２４０°＝６０°＋１８０°
であるから，
２４０°は
６０°＋１８０°×ｎ
に含まれる！
だから２４０°
は書かない
６０°
２４０°
3n
三角不等式のとき，不等式 を解け。
は の値
の値が より
大きくなるのは
0 2 ≦1
cos2
3
5
3
cos x
x1
2
50 , 2
3 3
≦
1
2
三角不等式の発展（ハイレベル）
のとき，不等式
①まずは範囲の置き換え
より
② とおき を解く。
0 2 ≦1
sin3 2
≧
0 2 ≦7
3 3 3
≦
3A
1sin
2A≧
慣れてきたら省略可
③単位円からＡの範囲を求める。
は の値
の値が 以上
になるのは
1sin
2A≧
4
3
4
sin y
y 1
2
3
4 4
≦A≦
1
2
こうではない！！
③単位円からＡの範囲を求める。
Ａの元々の範囲は
この条件下で範囲！
1sin
2A≧
7
3 3A
≦ 3
7
3
スタート
3
4
3
3 4A
≦ ≦
9
4
24
1周
ゴール
9 7
4 3A ≦
④範囲をθに戻す。
， であるから，
，
よって5 23
0 , 212 12
≦ ≦ ≦
3
3 4A
≦ ≦
9 7
4 3A ≦
3
3 3 4
≦ + ≦
9 7
4 3 3
≦ +
基本事項、手順を理解して繰り返し
演習する！
三角関数の最大最小≪重要知識≫
☆2次関数の知識
☆sinθなどを文字（ｔ）で置き換える
☆置き換えたらｔの範囲を求める。
⇒三角不等式を解く（θの範囲重要）
※０≦θ≦２πならー１≦ｔ≦１
☆場合分けして最大最小 ☆三角方程式
０≦θ＜２πのとき，関数の最大値と最小値を求めよ。また，そのときのθの値を求めよ。≪手順≫①sinθ＝ｔ とおく②ｔの範囲を求める。（置き換えたら範囲！）０≦θ＜２πよりー１≦ｔ≦１
③グラフを書いて場合分け（2次関数）④三角方程式を利用してθの値を求める
2sin 2siny
０≦θ＜２πのとき，関数
≪解答≫
sinθ＝ｔ とおくと，
０≦θ＜２πよりー１≦ｔ≦１
2sin 2siny
22 2 1 1y t t t
グラフは
で
最大値３
で
最小値－１
22 2 1 1y t t t
2 O
1
1
1t
3
y1t
1t
０≦θ＜２πにおいて，
つまり となるのは
つまり となるのは
よって，
のとき最大値３をとり，
のとき最小値－１をとる。
1t sin 1 2
1t sin 1 3
2
2
3
2
