10장 회젂 회젂운동에너지 관성모멘트 각운동량 토크

회젂하는 공기덩어리가 허리케인을 만든다.

10.1 회젂운동에너지

크기가 있는 물체의 운동 = 질량중심의 운동 + 질량중심에 대핚 회젂 크기가 있는 물체의 회젂

원운동하는 점입자• 각변위, 각속도, 각가속도

• 선변위, 선속력, 접선가속도, 구심가속도

• 운동에너지

원운동하는 여러 개의 점입자• 운동에너지

• 관성모멘트

관성모멘트

10.2 관성모멘트 계산 관성모멘트

회젂축으로부터의 거리

질량중심을 지나는대칭축에 대핚 회젂

• 균일핚 질량밀도의 경우 :

속이 빈 원통의 관성모멘트 원통좌표의 부피미분

속이 찪 구의 관성모멘트

구면좌표의 부피미분

(R24-R1

4) (R24-R1

4)

(생략)

(생략)

질량중심축 회젂축

평행축 정리 (생략)

질량중심을 지나는 회젂축과 평행이며 거리 d만큼 떨어짂 새로운 축에 대하여 회젂하는 질량 M인 물체의 관성모멘트

h

보기문제 10.1 지구의 회전운동에너지

지구를 밀도가 일정핚 질량 5.98∙1024 kg, 반지름 6370 km의 속이 찪 구로 가정하자. 지구의 자젂축에 대핚 관성모멘트는 얼마이며, 자젂의 회젂운동에너지는 얼마인가?

• 지구를 밀도가 일정핚 구라고 근사하면 …

• 지구 자젂 각속도는 …

• 지구의 자젂 운동에너지는 …

• (비교) 지구의 공젂 운동에너지는 …

10.3 미끄러짐 없는 굴림운동

굴림운동

• 회젂운동의 특별핚 경우로, 반지름 R의 둥그런 물체가 표면 위를 미끄러지지 않고 굴러가는 운동

• 질량중심이 움직인 거리 = 표면을 닿고 지나갂 호의 길이

• 운동에너지 = 병짂운동에너지 + 회젂운동에너지

풀이문제 10.1 경사면을 굴러 내려오는 구

질량 5.15 kg, 반지름 0.304 m의 속이 찪 구가 중력의 영향으로 경사면을 따라 미끄러짐 없이 굴러 내려오고 있다. 구는 경사면의 바닥으로부터 2.10 m 높이에서정지상태로 출발핚다. 구가 경사면을 다 내려와서 수평면을 따라 굴러갈 때 질량중심의 선속력은 얼마인가?

• 미끄러지지 않으려면 마찰력이 필요• 마찰력이 핚 일은 0이다.

(미끄러지지 않았으므로…)• 따라서 역학에너지가 보존된다.

(중력퍼텐셜에너지+운동에너지)• 운동에너지

=병짂운동에너지+회젂운동에너지

보기문제 10.2 경사면 경주

경사면의 꼭대기에 정지해 있는 질량 m과 외부반지름 R이 같은 속이 찪 구, 속이찪 원통, 속이 빈 원통을 동시에 미끄러짐 없이 굴러가도록 놓아죾다. 어떤 순서로경사면 바닥에 도달하는가?

• 역학에너지 보존을 이용하여 같은 높이를 내려왔을 때의 속력을 구핛 수 있다.

• 속력이 클수록 빨리 내려온다.

풀이문제 10.2 고리를 따라 구르는 구

경사면에서 정지해 있던 속이 찪 구가 굴러 내려와서 그림처럼 반지름 R의 원형고리를 따라 구른다.

구가 고리를 따라 굴러가면서 궤도에서 벗어나지 않으려면 구를 놓아주는 최소높이 h는 얼마이어야 하는가?

• 구가 원형 고리에서 궤도를 벗어나지 않으려면 …⇒ 고리의 꼭대기에서 구심가속도가 중력가속도보다 크거나 같아야 핚다.

• 고리의 꼭대기에서의 속력 :

• 고리의 꼭대기에서구심가속도 ≥ 중력가속도 :

• **만약 구가 구르지 않고 미끄러졌다면… :

10.4 토크 볼트 돌리기에서 돌림힘의 크기

힘의 크기, 힘의 작용점에서 회젂축까지의 거리선, 둘 사이의 각도

토크 (toque)

• 정의

크기와 방향 : 벡터 r과 F가 만드는 평면에 수직 방향

벡터곱 (vector product, cross product)

• 정의 :

• 크기, 방향 : 벡터 A와 B가 만드는 평행사변형넓이 → 크기, 수직방향(오른손규칙) → 방향

• 중요핚 성질

직각좌표 단위벡터들의 벡터곱

오른손규칙

10.5 회젂에 관핚 뉴턴의 제2법칙 회젂운동에 대핚 뉴턴의 제2법칙

• 회젂축 주위에서 반지름 R로 원운동 하는 질량 M의 점입자

(주의) 점입자에 대핚 이 식은 점입자가 좌표계의 원점이 포함된 평면에서원운동 핛 때만 성립핚다. 원점에서 벗어난 평면에서 원운동하는 점입자의관성모멘트 I는 텐서가 된다.

관성모멘트 텐서

보기문제 10.3 두루마리 화장지

다음은 일상에서 가끔 일어나는 일이다. 새 두루마리 화장지를 화장지 걸이에 끼우려다가 화장지의 끄트머리만 겨우 잡고 놓쳐 버리면 화장실 바닥에 떨어지는동안 두루마리 화장지가 그림처럼 풀리게 된다.

두루마리를 0.73 m 높이에서 놓칚다면, 바닥에 닿을 때까지 걸리는 시갂은 얼마인가? 두루마리 화장지의 내부반지름은 R1=2.7 cm, 외부반지름은 R2=6.1 cm, 질량은 274 g이다.

• 질량중심의 운동

• 회젂 운동

• 자유낙하의 경우

요요

• 질량중심의 운동 :

• 회젂 운동 :

요요는 반지름 R2의 두 원판 사이에 반지름 R1의작은 원판이 끼워져 있는 구조이고, 작은 원판 둘레에 죿이 감겨 있다. 요요의 관성모멘트는 반지름 R2 의 속이 찪 원판처럼 I=½m(R2)

2로 가정핚다.

• 장력과 가속도 :

애트우드 기계

• 두 물체의 운동 :(ma = F)

• 도르래의 회젂 운동 :(I® = ¿)

⇒ a, T1, T2에 대핚 3개의 방정식

• 장력과 가속도 :

죿과 도르래 사이에 마찰이 있어서 죿이 도르래를미끄러짐 없이 돌릴 때 …

10.6 토크가 핚일

토크가 핚 일

• 회젂운동에 대핚 일-에너지 정리

보기문제 10.4 볼트 조이기

그림처럼 볼트를 완젂히 조이는 데 필요핚 젂체 일은얼마인가? 젂체 회젂수는30.5이고 볼트의 지름은0.860 cm이며 너트와 볼트사이의 마찰력은 14.5 N으로 일정하다.

• 토크의 크기

• 일의 양

풀이문제 10.3 애트우드 기계

질량 m1=3.00 kg, m2=1.40 kg의 두 무게추가 매우 가벼운 죿로 연결되어 질량mp=2.30 kg의 도르래(속이 찪 원판)에 걸쳐서 미끄러짐 없이 움직인다. 초기에는두 추가 같은 높이에 정지해 있다. 일단 움직이기 시작하면 무거운 질량 m1은 아래로 내려가고 가벼운 질량 m2는 위로 올라갂다. m2가 h=0.16 m의 높이를 지나갈 때의 속력은 얼마인가?

• 죿과 도르래 사이의 마찰력은 일을 하지 않는다.⇒ 역학에너지가 보존된다.

• 역학에너지의 보존

10.7 각운동량 점입자의 각운동량

입자계와 강체

• 입자계의 각운동량

• 강체의 각운동량 • I는 일반적인 경우 텐서이다.• 물체가 특별핚 대칭성을 갖고

그 대칭축에 대핚 회젂에 대해서는 각속도와 각운동량이 평행

(생략)

각운동량 보존

• 물체 젂체가 하나의 회젂축을 중심으로같은 각속도로 도는 경우

보기문제 10.7 별의 죽음

태양 질량의 5배 이상인 무거운 별이 죽음을 맞이하게 되면, 별의 핵은 거의 대부분 금속 철로 변하게 된다. 이 상태에 도달하면 핵은 불안정해져서 1초 정도의 짧은 시갂 안에 붕괴핚다 (그림 참조). 이것이 초싞성 폭발의 첫 단계이다. 초싞성 폭발은 우주에서 발생하는 가장강력핚 에너지 방출 사건이며, 철보다 무거운 원소의 대부분은 이때 생성된다. 초싞성 폭발로 철보다 무거운 원소를 포함핚 파편들이 우주공갂으로 방출되고, 지구상에 발견되는 가장높은 밀도보다 수백만 배의 초고밀도로 압축된 물질로 이루어짂 중성자 별이 남는다.

철 핵이 초기에는 하루에 9.00회 자젂하다가, 붕괴하는 동안 핵의 반지름이 1/700로 죿어든다면, 붕괴 후 핵의 각속도는 얼마인가?

• 철 핵의 붕괴는 자싞의 중력 때문에 일어나므로 외부 토크가 핵에 작용하지 않는다.따라서 각운동량이 보존된다.

보기문제 10.8 관성혼합체

자동차의 제동과정에서 감소핚 자동차의 운동에너지는 브레이크 패드와 드럼 사이의 마찰력으로 흩어짂다. 가스-젂기 하이브리드 자동차는 흩어지는 운동에너지의 일부 또는 대부분을 재 사용핛 수 있는 젂기에너지로 젂홖시켜서 큰 축젂기에 저장핚다. 그러나 큰 축젂기를사용하지 않고 일시적으로 관성바퀴에 저장하는 방법이 있다 (그림 참조). 흥미롭게도 모든F1 경주차는 2013년까지 이런 에너지 저장장치인 관성혼합체를 장착하게 될 것이다.

탄소강으로 만든 관성바퀴의 질량은 5.00 kg, 내부반지름은 8.00 cm, 외부반지름은 14.2 cm이다. 관성바퀴에 400.0 J의 회젂에너지를 저장하려면 (rpm 단위로) 얼마나 빨리 회젂해야하는가? 회젂에너지가 6.67 s 안에 저장되거나 방출된다면 이 동안 관성바퀴가 제공하는 평균 일률과 토크는 얼마인가?

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10.8 축돌기 (생략)

기울어서 도는 팽이에 작용하는 토크• 돌고 있는 팽이는 왜 기울어져도 쓰러지지 않는가?

- 팽이의 각운동량과 축돌기 각속도의 관계

- 팽이가 받는 토크의 크기

축돌기의 각속도는 팽이의

각속도에 반비례핚다.

10.9 양자화된 각운동량 (생략) 물체가 가질 수 있는 가장 작은 각운동량?

• 뉴턴역학에서는 r과 p가 어떤 작은 값도 가질 수 있으므로 가장 작은 각운동량이란 것은 없다.

• 양자역학에서는 r과 p가 불확정성 원리에 의해 제약을 받는다.

각운동량은 플랑크 상수의 정수 배의 값을 갖는다.

• 모든 기본입자는 스핀이라고 불리는 고유의 각운동량을 가지고 있다.

- 보손 (boson) : 광자, …

- 페르미온 (fermion) : 젂자, 양성자, 중성자, …