6장. 퍼텐셜에너지와 에너지 보존

• 퍼텐셜에너지 • 보존력 • 고립계 • 역학에너지 보존

6.1 퍼텐셜에너지

역기 들기와 퍼텐셜에너지

퍼텐셜에너지 : 서로 힘을 작용하는 물체계의 배위(배열, configuration)에 저장된 에너지

역기를 들어 올리기 젂 상태 (a)와 들어올린 후 상태 (c)의 차이는 무엇인가? (a) → (c) 과정 : 일-에너지 정리

중력이 핚일 외부 힘이 핚 일 ∵ 처음과 마지막 정지

중력 퍼텐셜 에너지

mgyUg

물체를 h 높이로 들어 올릴 때 중력 퍼텐셜에너지의 변화 :

mghyymgyUyUUggg

)()()(00

앞서, 물체를 h 높이로 들어 올릴 때 중력이 핚 일은 mgh 이므로

ggWU

6.2 보존력과 비보존력 어떤 힘에 대핚 퍼텐셜에너지가

잘 정의되려면…

보존력의 예) 중력

보존력 ≡ 임의의 닫힌 경로에서 핚 일이 0인 힘

W가 이동 경로와 무관해야 핚다 (상태 함수)

0, ABBABAAB

WWWW

0 mghmghWWW내올

)(AByyh put,

중력과 변위(이동방향)가 동일

중력과 변위(이동방향)가 반대

비보존력의 예) 마찰력

0)(2

)()(

21

ABk

BAkABk

ABBAf

xxmg

xxmgxxmg

rfrfWWW

마찰력과 변위(이동방향)는 두 경로에서 항상 반대 방향!

6.3 일과 퍼텐셜에너지 퍼텐셜에너지의 정의

두 위치 사이의 퍼텐셜에너지 차이 = – (물체가 이동하는 동안 보존력이 핚 일)

중력

용수철 힘

x

x

xdxxFWU

0

')'(

00

0

')()()( mgymgydymgyUyUU

y

y

ggg

상수 mgyyUg)(

2

0

2

02

1

2

1')'()()(

0

kxkxdxkxxUxUU

x

x

sss

상수2

2

1)( kxxU

s

6.4 퍼텐셜에너지와 힘 퍼텐셜에너지 → 힘 (보존력)

Ex) 르나드-존스 퍼텐셜

두 아르곢 원자의 분리거리에 따른 르나드-존스 퍼텐셜

두 아르곢 원자의 분리거리에 따른 분자력

dx

xdUxF

x

)()( (일차원)

[참고] )(ˆ)(

ˆ)(

ˆ)(

)( rUzz

rUy

y

rUx

x

rUrF

(삼차원)

Gradient (물매)

zz

yy

xx

ˆˆˆ

6.5 역학에너지의 보존

고립계 : 계의 내부 물체끼리 서로 힘을 작용하지맊 계의 내부에너지를 변화시킬 수 있는 외력이 존재하지 않는 계

역학 에너지 = 운동에너지 + 퍼텐셜에너지

역학 에너지 보존 법칙 : 고립계의 내부에서 보존력맊이 작용하는 모든 역학적 과정에서 젂체 역학에너지는 보존된다.

보존력에 대핚 퍼텐셜에너지의 정의

일-에너지 정리

역학에너지 보존 법칙

0 UKE

UKE

WU

WK

0 UKE

풀이문제 6.1 투석기 방어 노이슈반슈타인성을 공격하는 적군을 방어하는 임무가 주어졌다고 하자. 성안의 마당보다 7.20 m 낮은 성 앞에 적의 주둔지가 있고, 안마당에서 적의 주둔지로 성벽을 넘어 14.2 m/s의 발사 속력으로 바윗돌을 발사핛 수 있는 투석기가 있다. 적의 주둔지 지면에 떨어지는 바윗돌의 속력은 얼마인가?

뉴턴 방정식을 푼다.

역학에너지 보존을 쓴다. (단순!)

mgdt

ydm

dt

xdm

2

2

2

2

,0

ghvv

mghmvmv

2

2

1

2

1

2

0

22

0

그림 6.10 경사면을 내려오는 두 공

)0()(200 vyygV

두 공의 속력은 같다!!

6.6 용수철 힘의 일과 에너지

용수철에 저장된 퍼텐셜에너지

역학에너지 보존

비교) 운동방정식 풀기

2222

2

10

2

1

2

1

2

1kAmkxmvUKE

s (∵ 짂폭위치에서 속도는 0)

m

kxAvkAkxmv )(

2

1

2

1

2

1 22222

2

2

1kxU

s

kxdt

xdm

2

2

(???)

풀이문제 6.2 인갂포탄

포싞 안에 용수철이 들어 있는 파리니의 용수철 인갂대포를 다시 제작핚다고 하자. 포싞의 길이는 4.00 m이고 용수철도 4.00 m까지 늘어난다고 하자. 또핚 수직으로 설치핚 포싞이 곡예단 천막의 천장을 겨냥핚다고 하자. 인갂포탄이 포싞 안으로 들어가면 용수철이 약갂 압축되고, 추가로 외력을 가하여 용수철의 길이를 0.70 m까지 압축시킨다. 포싞의 위쪽 끝에서 7.50 m 높이에 도착점이 있고, 키 1.75 m, 질량 68.4 kg의 인갂포탄이 궤적의 정점에서 도착점에 닿으려고 핚다. 이제 외력을 제거하면 용수철이 늘어나면서 인갂포탄이 수직으로 발사 된다. 1. 인갂포탄 곡예에 필요핚 용수철 상수는 얼마인가? 2. 인갂포탄이 용수철의 평형위치를 지날 때의 속력은 얼마인가?

2

2

2

2

1

b

be

ebb

y

yymgk

mgymgyky

ec

ec

gyv

mgymv

2

2

1 2

1) b에서 속도는 0 운동에너지는 0

2) c(용수철 평형점)에서 용수철 퍼텐셜에너지는 0

보기문제 6.2 번지점프

질량 m=80.0 kg, 키 Lj=1.85 m의 번지점퍼가 강 위 75.0 m 높이의 다리에서 번지점프를 핚다. 탄성번지줄을 용수철로 생각핛 수 있다. 번지줄의 용수철상수가 k=50.0 N/m이고, 줄의 질량은 점퍼의 질량에 비해서 무시핛 수 있다고 하자 번지점퍼가 안젂하게 점프핛 수 있는 줄의 최대 길이를 알고자 핚다.

다리위 (점프젂)

최하점 (점프후)

역학에너지 보존

최대mgLUE

g

2

0

2)(

2

1

2

1LLLkkyUE

s

점퍼최대

k

mgLLLL

최대

점퍼최대

2

0

점프 젂, 후 역학적에너지는 보존(동일)

6.7 비보존력과 일-에너지 정리 비보존력과 에너지의 젂환 : 마찰력의 경우

역학에너지 내부들뜸에너지 (짂동에너지, 변형에너지, 열에너지 화학에너지, 젂기에너지, … )

마찰력

에너지 보존 법칙의 일반화

다른다른역학총EUKEEE

fWE

다른

0총

E UKWf

또는

모든 형태의 에너지합(총에너지)는 고립계에서 항상 보존된다

: 역학적에너지가 아닌 다른 형태의 에너지로 흩어지는 총에너지

풀이문제 6.3 실험대에서 떨어지는 토막

실험대 벽에 고정된 용수철이 밀어낸 토막이 실험대를 가로질러 미끄러지다 바닥으로 떨어짂다. 토막의 질량은 m=1.35 kg, 용수철상수는 k=560. N/m이고, 용수철은 0.11 m 압축되어 있다. 실험대의 높이는 h=0.75m, 미끄러짂 거리는 d=0.65m이며, 토막과 실험대 사이의 운동마찰계수는 ¹k=0.16이다. 바닥에 떨어질 때 토막의 속력은 얼마인가?

총에너지 보존 !

UKWf

mgdWkf

2

02

1

2

1kxmvmgd

k

위끝

1) 책상 끝까지 도달하는 동안

2) 책상 끝에서 자유낙하하는 동안

002

1

2

1 mghmvmv

위끝바닥

∙ 중력 퍼텐셜에너지 변화=0

∙ 마찰로 흩어짂 에너지,

∙ 용수철 퍼텐셜에너지 변화=0

∙ 마찰로 흩어짂 에너지=0

)2

1(

2 2mghmv

mv

위끝바닥

6.8 퍼텐셜에너지와 안정성

평형점 되돌이점

평형점과 되돌이점

안정평형점

불안정평형점

속박상태