一门古老而又新兴的数学分支 — 组 合 学 漫 谈 ─

Combinatorics1

Combinatorial Theory2

Combinatorial Mathematics3

•Object Configuration (组态,构形)存在与性质

计数与分类

构作与枚举

算法与优化

•BranchesCombinatorial Enumeration

(组合计数)

Combinatorial Design (组合设计)Graph Theory (图论)Coding Theory (码论)Combinatorial Geometry (组合几何) Combinatorial Matrix (组合矩阵)Combinatorial Sets (组合集合)Combinatorial Algorithm (组合算法)Combinatorial Optimization (组合优化)Combinatorial Topology (组合拓扑)Algebraic Combinatorics (代数组合)Combinatorics on Words

(字的组合)…

2216:48:2216:48:22

起源阶段 （2000 BC—1665）洛书

2000BC

（大禹治水时代）

排列

1100BC组合,二项式系数

1100—1665 (贾宪、杨辉、Pascal）

草创阶段 （1666—1900）Leibnitz

1666

Disertatio de Arte Combinatoria

de Moivre

1730

母函数（生成函数）Euler, LaplaceEuler

1736 Könisberg 的七桥问题

Euler 1779 36 军官问题

Legendre

1798 容斥原理

JordanKirkman 1847 15 个女学生问题

Sylvester, Cayley

Hamilton 1859

周游世界问题Lucas 1891 夫妇问题

组组 合合 数数 学学 简简 史史

3316:48:2216:48:22

成长阶段 （1901—1965）Netto 1901

《组合学教程》

MacMahon 1916

《组合分析》Ramsey 1930

Ramsey 理论

Hall 1935

婚配定理（相异代表系理论）Weisner, Hall 1936 Möbius 反演König 1936 图论专著Polya 1937 Polya 计数定理Dilworth 1950

偏序集分解定理

Rota

1964

广义Möbius 函数及其反演新兴阶段 （1965—）

《Journal of Combinatorial Theory》1966,《Combinatorial Theory》1967,《Graph Theory》1968,《Discrete Mathematics》1971, JCT(A), JCT(B), JGT, JCD, JCMCC, JSPI, European, Australia, Asia,…

4416:48:2216:48:22

Magic square

1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16

5516:48:2216:48:22

神农幻方

神农幻方

4 9 23 5 78 1 6

2000BC

6616:48:2216:48:22

纵横图传到欧洲后也吸引了西方的数学家.他们称纵 横图为幻方,意为幻妙的方阵.欧洲最早的幻方是1514年德 国画家Albrecht Dure在他著名的铜板画Melencolia上作的一个 4行4列幻方,独具匠心地将创作年代1514 也镶在幻方中,而 且它的上下左右4个小方阵的和皆為34.

数学家Euler 和

Hamilton 都对幻方有过深入的探讨.在16,17世纪甚至更晚, 构造幻方非常盛行,诞生了各种特色的幻方.1759 年,Euler 发表了独具一格的马步幻方法,1901年法国数学家里利发 明了平方幻方.大发明家富兰克林更是一个幻方迷,当他 在宾夕法尼亚洲议会任职时,为了消磨乏味的办公时间, 曾填出一些特殊的幻方,甚至一些幻圆. 他的幻圆彩色作 品曾在纽约的一次拍卖中被一个私人收藏家高价买去. 美国1977 年发射的寻求外星文明的宇宙飞船—旅行者1 号、2号上,除载有向宇宙人致意的问候讯号外,还带有 一些携带地球文明的图片.其中就有一张是4 阶幻方图. 它也是用不同数量的图点布局成的,而且又具有多种奇 妙性质,向可能存在的外星文明昭示了地球人的智慧.

7716:48:2216:48:22

2*23 34 32*13 2*3*17 3*5 22*19 23*52 7*29

19 22*3*5 23*29 55*7 2*33 3*23 32*17 2*3*1323*33 7*23 17 22*13 32*19 2*32*5 2*29 3*52

33*5 2*3*19 2*52 3*29 23*23 33*7 13 22*172*3*52 32*29 32*5 2*19 7*13 23*17 22*23 33

7*17 23*13 22*33 23 2*3*29 32*52 3*19 2*3*522*29 52 7*19 23*3*5 3*17 2*13 2*34 32*233*13 2*17 2*3*23 73 22*52 29 3*5*7 23*19

46 81 117 102 15 76 200 20319 60 232 175 54 69 153 78216 161 17 52 171 90 58 75135 114 50 87 184 189 13 68150 261 45 38 91 136 92 27119 104 108 23 174 225 57 30116 25 133 120 51 26 162 20739 34 138 243 100 29 105 152

幻和数= 840

幻积数= 205806823185600

= 27385371131171191231291

Walter W. Horner,

1955

8816:48:2216:48:22

Seven bridges of Königsberg ( Euler 1736 )

A

B

D

C

A

B C

D

9916:48:2216:48:22

加里宁格勒, Pregel river

腓特烈大帝的阅兵难题

1 22 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 32 3 13 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 4 32 3 1 43 4 2 14 1 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Orthogonal Latin squares 1 2 33 1 22 3 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 32 3 13 1 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 33 1 22 3

1 2 32 3 13 1 12

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

101016:48:2216:48:22

36 officers (Euler

1779)

Latin square----Euler 的困惑

1 2 3 43 4 1 24 3 2 12 1 4 3

1 2 3 42 1 4 3

3 4 1 24 3

1 2 3 44 3 2 12 1 4 33 4 1 22 1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜

⎠⎠⎟

⎝ ⎠

1 2 31 2 3 4 52 3

4 54 5 1 2 34 5 1

3 4 5 1 24 5 1 2 35

2 3 4 5 15 1 2 3 43 4 5 1

1 2 3 4 53 4 5 1 25 1

1 2 3 4 55 1

2 3 42 3 4 5 14 5 11 2 3

2 3 4

2

4 5 1 2 33 4 5 1 22 3 42 5 134

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜

⎠⎠⎟

⎝

1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 11

1

2

2 3

3 4

4 1 2 3

3 4 1 2

4 1 2 3 4 1 2 3

4 3 2 1 2 1 4 3

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4

1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4

44 4

3 3 4 1 2

111116:48:2216:48:22

不存在

6

阶正交拉丁方！ 不存在

4k +2

阶正交拉丁方！

对任意正整数

存在

阶正交拉丁方.2, 6,n ≠ n

EulerEuler’’s conjectures conjecture

现在的结论

2, 6; 2, 3, 6, 10; 2, 3, 4, 6, 10,

2 ( ) 3 ( )4 ( 14, 1) 8, 22;

MOLS nMOLS nMOL

for nfor nforn nS

−≠≠

−∃∃∃ −

≠

121216:48:2216:48:22

Kirkman’s schoolgirl problem (T. P. Kirkman 1847)

SUN MON TUE WED THU FRI SAT

Thomas Penyngton Kirkman（英格兰教会的教区长）

1 2 3 1 4 5 1 6 7 1 8 9 1 10 11 1 12 13 1 14 154 8 12 2 8 10 2 9 11 2 12 14 2 13 15 2 4 6 2 5 75 10 15 3 13 14 3 12 15 3 5 6 3 4 7 3 9 10 3 8 116 11 13 6 9 15 4 10 14 4 11 15 5 9 12 5 11 14 4 9 137 9 14 7 11 12 5 8 13 7 10 13 6 8 14 7 8 15 6 10 12

131316:48:2216:48:22

{a,50,31},{01,41,51},{00,10,11},{20,40,61},{30,60,21}

SUN MON TUE WED THU FRI SAT

(1850 Sylvester , Cayley 1974 Denniston)

0 2 8 11 12 5 7 4 9 1 10 3 68 9 12 1 6 4 10 3 12 2 5 9 11 7 83 7 10 4 7 11 6 7 9 2 9 10 6 8 10 5 6 12 5 10 112 6 11 3 5 9 1 2 3 1 8 11 1 7 12 3 4 8 2 4 121 4 5 0 10 12 0 5 8 0 4 6 0 3 11 0 2 7 0 1 9

a b b b b b b ba a a a a a

13 { , } Z mod 5) 13 (1 a bLKTS ∪

7 2 { } ( Z ) mod Z15) 7(KT aS ∪ ×

141416:48:2216:48:22

Nonisomorphic MTS(7)s013 124 235 346 450 561 602

310 421 532 643 054 165 206

034 135 236

012 025 056 061

430 531 632

465 416 421 452

013 026 032 045 051 064 124

254 143 156 162 346 235 365

151516:48:2216:48:22

Cycle system

6

11

0

5 65

5−

6−

6

42

02

4 2−

4−31

4

01

1−3

3−

8

3 5

2

11

23

4

5mod 11

5-cycle system of

11K

mod 13 4-cycle system of 13DK

161616:48:2216:48:22

Round the world (Hamilton

1859)

12 20 2 30+ − =

171716:48:2216:48:22

货 郎 担 问 题一个货郎要去若干城镇卖货,然后回到出发地. 给

定各城镇之间所需的旅行时间后,应怎样计划他的路线, 使他能去每个城镇恰好一次而且总时间最短？

用图论的术语说,就是在一个赋权完全图中,找出一个具 有最小权的Hamilton

圈. 这个问题目前还没有有效的算法.

Hamilton 问题是图论的一个重要问题，图论中的许多问 题,包括四色问题,图的因子问题等，最终都与Hamilton

问

题有关.

181816:48:2216:48:22

中国邮递员问题1962 年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国

邮递员问题”: 一个邮递员从邮局出发,要走完他所管辖的 每一条街道,最后返回邮局.那么如何选择一条尽可能短的 路线?

这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图 G，

* 用添加重复边的方法求G

的一个Euler 赋权母图

G*,

使得

尽可能小.

* 求G*的Euler 回路.它可以由Fleury 算法和1973 年著名组合数学家Edmonds

和

Johnson

给出的一个好的算法解决

∑∈ )(\)( *

)(GEGEe

ew

191916:48:2216:48:22

Menage Problem

问题答案= 其中称!2 ,nn U22( 1) ( )!

2

nr

r in

n rn n rrn r

U=

−⎛ ⎞− −⎜ ⎟= − ⎝ ⎠

∑ 为Menage

数

1S

2S

3S

4S

1nS −

nS1S

2S

3S

4S

1nS −

nS

•

•

••

•

对夫妇 围一园桌男女间座入席, 即男宾

任意排入诸座位

中, 而女宾

任意排入诸座位

中. 但任一对

夫妇 不许相邻, 求排法数?

n

kS

(1 ) ,k k k nM L ≤ ≤

1 2, , , nM M ML

1 2, , , nL L LL

kS, kkM L

202016:48:2216:48:22

(3,3) 6, (3,4) 9, (3,5) 14, (3,6) 18, (3,7) 23, (3,8) 28, (3,9 43

) 36, (4,4) 18, (4,5) 25,(5,5) 49, 40 (3,10) 43, 35 (4,6) 41,R R R

R R R R RR R R R≤

= = = = == = = =

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ L

(Frank Plumpton Ramsey, 1903-1930)

Ramsey定理的最简形式可表述为完全图的边染二色问题:

对于正整数

,存在充分大的正整数

,使得对任意 ,将

的边任意染红, 蓝二色, 恒存在红色

或蓝色

. 通常将所存在的

最小的

记为

.

, 2p q ≥

,p qN

,p qn N≥

nK pK qK

( , )R p q

,p qN

Ramsey Theorem

Ramsey number

212116:48:2216:48:22

论形式逻辑中的一个问题（伦敦数学会1928）

数学常常被称做关于秩序的科学,根据这种观点,Ramsey理论的 主导精神也许可以用Motzkin的一句格言来作最好的概括:完全的

无序是不可能的. (Graham)

毫无疑问,Ramsey理论现在是组合学中一个业已确定而且兴旺 发达的分支,其结果(在被发现后)往往易于陈述但难以证明,这些

结果既精巧多采又十分优美.尚未解决的问题不可胜数,而且有意 义的新问题还在以超过老问题获解的速度不断涌现.

(Harary)

假如要求在组合学中举出一个而且仅仅一个精美的定理,那么 大多数组合学家会提名Ramsey定理. (Rota)

222216:48:2216:48:22

( , )3 3 :5R >

阿基米德手稿—

Tiling 问题

这是一份用希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿.科学 家借助现代科技手段破译的结论是:

这篇被称作Stomachion

的论文解决的是组合数学问题. 是在计算有多少种不同方法把14 条不规则的纸带拼成正 方形.这在现在被称为铺砌(tiling

)问题.借助计算机得出

的答案是17152

种拼法，这在当时是相当困难的.

232316:48:2216:48:22

一些铺砌的例子

242416:48:2216:48:22

http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/penrose.htmlhttp://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/nonperiodic.htmlhttp://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/periodic.htmlhttp://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/symmetry.html

完 全 正 方 形

252516:48:2216:48:22

网络流问题如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大—

这就是一个网络最大流问题.1956 年,Ford 和Fulkerson 提出了最 大流最小割定理：

在任何网络中，最大流的值等于最小割的容量.由这个定理可以引出求网络最大流的一个算法——标号法.

1970

年,Edmonds 和Karp 对标号程序加以改进，使之成为一 个好的算法.

262616:48:2216:48:22

著名的世界难题---四色猜想若对一个地区着一种色，那么任一张地图都只需要四若对一个地区着一种色，那么任一张地图都只需要四

种颜色就能保证相邻的地区颜色不同种颜色就能保证相邻的地区颜色不同!!1852年,刚从伦敦大学毕业的Francis Guthrie提出了四色猜想;

1878年,著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答;

1890年,数学家

Heawood 证明了五色定理;

1976年6月，美国数学家

K.Appel与W.Haken

在3台

不同的电子计算机上耗费

1200小时,完成了这个猜想

的计算机证明.但是, 人们

还期待着四色猜想的一个

纯理论证明!

272716:48:2216:48:22

A0 15 46 2334 A1 26 5061 45 A2 30

02 56 A3 4152 13 60 A4

63 24 01 A504 35 12 A6

67 14 58 2324 57 13 6838 47 25 1615 26 37 48

28 46 17 3536 18 45 27

Howell DesignH(6,8)

Room squareof order 7

282816:48:2216:48:22

##

##

##

##

#

##

##

##

#

Costas array

292916:48:2216:48:22

Hadamard Matrix

( ) 4 41 2 4 84 4

1 1 1 11 1 1 1 1 1

1 , , , 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

H HH H H H

H H

⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Tn n nH H nI=

: 1,2 or 4 |nHadamard conj Hu ne nct re ∃ ⇔ =

1, 2 or 4 |nH n n∃ ⇒ =

a (1,-1)-matrix Hn of order n, satisfying

303016:48:2216:48:22

Happy End

问题

对于任意n≥3,恒存在最小整数g(n),使得平面上任意 的(三个顶点不共线的)g(n) 个顶点中,一定有

n 个顶

点组成一个凸

n 边形.例如,5 顶点中一定含有一个凸 四边形:

1935

年Erdos

和Szekeres

证明了g(n)一定存在,并且有

2 2 42 ( ) 1 2

n ng nn

− −⎛ ⎞≤ ≤ +⎜ ⎟−⎝ ⎠

55个顶点时的情形个顶点时的情形

16:48:2216:48:22 3131

古代加密学墓碑铭文（古埃及、古希腊）

军用密码本

(11世纪, “武经总要”, 40个条目)

拉丁文通信密码

(1722，被雍正放逐的康熙第九子与其儿子的通信)

专职密码秘书

(16世纪末, 文艺复兴时期的欧洲)

黑屋

(18世纪, 欧洲维也纳—秘密内阁办公室,破译拿破伦信件)

40

号房间（一次大战期间, 英国曾破译德国 15000份电报）我国的行帮会话……

古典密码体制文字替换体制

用读法改变文字书写顺序（古希腊的天书）单字符单表代换（凯撒密码）单字符多表代换（维吉尼亚密码）矩阵变换（希尔密码，几何图案改变顺序）多字符单表代换（漏格板）

机械密码体制转轮密码机（美国密码之父，1790)M-209密码机（二次世界大战中美国陆军使用）

符号替换体制，数字替换体制

A

a

Z

N MLK J

IH

FG

ED

C

B

TS

RQ P

O

YXW

VU z

fe

dc

b

m l k j i h g

qpo

n

tsr

yxwvu

16:48:2216:48:22 3232

HF G I JEDCBA

Q RPO SK L NM T

WV XU Y Z

一次大战中间谍使用的五线谱音符

电报诞生（1845）无线电诞生（1895）无线电通讯在军事上的加密需求紫密体系的破译（二战中日本“九七式欧文印字机”）中途岛战役（1942）截击山本五十六（1943.4.18）

333316:48:2216:48:22

组合数学应用的范例

组合数学界的泰斗——

Thomas Tutte他曾从德军的两条情报密码出发,

用组合数学的方法,重建了敌人的密 码机,确定了德军密码的内部结构,从 而获得了极为重要的情报.对提前结 束第二次世界大战作出了突出的贡 献.

343416:48:2216:48:22

3535

数据加密标准体制DES（Data Encryption System）国际数据加密算法IDEA(International Data Encryption Algorithm)公钥密码体制PKC (Public Key Cryptosystem)

RSA 体制（R.L.Rivest, A.Shamir, L.Adleman 1978）背包体制（Merkle, Hellman 1978）二次剩余系统（Goldwasser, Micali 1982）离散对数系统（ElGamal 1985）椭圆曲线系统，McEliece 系统…

信

息 源

密钥匙

普通信道接

收 者

加密器 kE 解密器 kD

密钥k

明文m密文c

攻击窃听者

明文m

安全通道k

近代密码体制Shannon

理论—-保密系统的通信理论（1949）

16:48:2216:48:22

Brualdi

组合数学发源于数学消遣和游戏，无论是为了消遣还是由于它们的

美学兴趣，过去所研究过的问题对于当代的纯粹科学与应用科学都是非常重要 的。

Harary

组合数学中的计数方法与其说是一种科学，还不如说是一种艺术。

Birkhoff

对代数系统的系统结构的研究终将让位于对离散系统的关系结构

的研究。Halmos

在不久的将来，离散数学对我们的研究工作，对了解世界将成为一

个重要的工具。相反，分析（连续数学）则只会起到次要的作用了。Gelfand

几何学和组合数学将是 21世纪数学研究的前沿领域。

Frances Bacon ----历史使人聪明, 诗歌使人机智, 数学使人精细,

哲学使人深邃, 道德使人严肃, 逻辑与修辞使人善辩。

H. Biliingsley

----许多艺术能够美化人们的心灵，但却没有哪一种艺术能比数学更有成效地

去美化和修饰人们的心灵。De Morgan -----数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。

Isaac Todhunter

----数学的另一个伟大而又特殊的优点是要求数学工作者必须自觉地努力和勤奋。

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