分枝限定法データ構造

• 初期値G=∞，Z＝∞– A｛P0｝，N｛P0｝，O＝φ

– X[0]={#,#,#,#, G, Z}

• 節点０– Aリスト｛P0｝– Nリスト｛P0｝– P0＝S・・・アクセス済み

– O ＝φ

– X[0]={#,#,#,#, -10, Z}– P0を分枝

節点１ s # #– Aリスト｛P0, P1, P2｝– Nリスト｛P0, P1, P2｝– O ＝φ

– X[0]={#,#,#,#, -10, Z}– X[1]=｛1,0,#,#, G, Z}– X[2]=｛1,1,#,#, G, Z}

最適解が一個の場合A:既に生成されているがまだ分解も終端もされていない部分問題の集合N:既に生成されている部分問題の集合．ｚ：最適値の暫定値O:最適解の集合

Step1初期設定： A={P0}, N={P0}, z=∞, および，O=∅（空集合）．Step2探索処理： A=∅ならStep9へ，A≠∅ならPi=s(A)としてStep3へ．Step3暫定値更新：ｘ∈Sかつｆ（ｘ）＜ｚの解ｘがあれば，ｚ＝ｆ（ｘ），O={x}としStep4へ．Step4緩和問題によるテスト：次のいづれかが成り立てば，Step8へ，それ以外はStep5へ

．（１）Piの緩和問題P~iが許容解を持たない．（２）ｇ（Pi）=f(Pi)，すなわち，P~iの最適値がPiの最適値に一致する．

Step5下界値テスト：ｇ（ｘ）≧ｚが成立すれば，Step8へ，それ以外はStep6へ．Step6優越テスト：Piより優越するPjが既にあれば，Step8へ，それ以外はStep７へStep7分枝処理：Piの子節点Pi1,Pi2,....Pinを作り，

A = A∪｛Pi1,Pi2,....Pin｝－｛Pi｝，N = N∪｛Pi1,Pi2,....Pin｝としてStep2へ．Step8部分問題Piの終端処理： A = A-{Pi} としてStep2へStep9停止

ｚ = ∞のとき，与えられた問題P0は許容解を持たない．ｚ < ∞のとき，最適値＝ｚ，最適解は，Oに記憶されている．

分枝限定法の処理手順（Procedure of Branch and Band）

グラフとネットワークの基礎（組み合わせ 適化問題の数学的バックグラウンド）

• 1736年に数学者オイラーが解法を示したのが学問の始まり．

• 参考書：グラフ理論入門，R.J.ウィルソン著，齋藤・西関訳，近代科学社

• グラフ– 頂点，節点(Vertex) V– 辺，枝(Edge) E– グラフ G = (V, E)

グラフとは？定義

辺eが点対(u,v)のとき

辺eはuとvを結ぶ(joint)

辺eはuおよびvに接続する(incident)

uおよびvは辺eの端点(end)と呼ばれる

u=vなる辺はループ(loop)と呼ばれる

同じ点対の辺は多重辺(multiple edge)と呼ばれる

辺に向きがないグラフを無向グラフ(undirected graph)

辺に向きがあるグラフを有向グラフ(directed graph)

単純グラフ

多重グラフ

有向グラフ

無向グラフ

http://coolee.at.infoseek.co.jp/graphtheory.html#1

グラフの例

ループあり 単連結

グラフの種類と応用例

• ネットワーク– 最大流量問題（ネットワークフロー）

• ツリー（根付き木）– 巡回セールスマン問題

– 最短路問題

– 最大流量問題

• 2部グラフ– 分類問題

グラフの定義

• 互いに素（ = 交わらない ）な有限集合 V ，E と写像 μ：E → P(V) に対して， ペア G = (V, E) = (V, E; μ) を グラフ Gと定義する．ここでP(V) は V のベキ集合である．

•V={v1, v2, v3, v4}•E={e1, e2, e3, e4, e5, e6}•μ(e1)={v1, v2}•μ(e2)={v1, v2}•μ(e3)={v2, v3}•μ(e4)={v3, v4}•μ(e5)={v4, v1}•μ(e6)={v2, v2}

•V の要素: 頂点（vertex）もしくは点、

•E の要素: 辺（edge）

•V (G): G の頂点集合

•E (G): G の辺集合

•μ : 接合写像

•|V(G)| = p ，|E(G)| = q のとき (p, q) グラフ

e1

e3

e4

e5 v4

v2

v3

v1

e2

e6Vのべき集合

グラフの用語１（単純グラフ）

• 端点：辺 eの両端の点といい，端点は eに接合している

• 隣接：辺と辺がある頂点を共有しているとき、その辺同士

• ループ（自己ループ）：ある辺の両端点が等しいとき

• 多重辺：2 頂点間に複数の辺があるとき

• 単純グラフ：ループも多重辺も含まないグラフ

• 重み付きグラフ：辺に重み（コスト）を付与したグラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア (Wikipedia)』

10

5 5

20

μ(e6)={v2, v2}

μ(e1)={v1, v2}

•μ(e1)={v1, v2}•μ(e2)={v1, v2}

W(e1)={v1, v2, w}

ループ|μ(e)| = 1

リンク|μ(e)| = 2

グラフの用語２（部分グラフ）

• G‘は Gの部分グラフ： G’の頂点集合と辺集合が共に Gの頂点集

合と辺集合の部分集合になっているとき（逆：拡大グラフ）

• 全域部分グラフ（生成部分グラフ・因子）：頂点集合が等しい部分グラフ

• 誘導部分グラフ： Gの頂点集合 Vの部分集合 Sを取り出して、両端点が Sに属する全ての辺を辺集合とする Gの部分グラフ

• 縮約グラフ（商グラフ）： グラフ Gからある辺を取り除き、その辺の両

端点を一つの頂点に縮約したとき

G ⊂ G’

部分グラフ

拡大グラフ 縮約グラフ

誘導部分グラフ辺の除去

グラフの用語３（正則グラフ）

• 次数： 頂点 vに接続する枝の数d(v) （入次数，出次数）

• k-正則： すべての vについて、d(v) = kが成り立つとき

• 正則グラフ： ある kについてk-正則なグラフ

• δ(G)： グラフ G中の 小次

数の頂点の次数

• Δ(G) 大次数の頂点の次数

• 孤立点： 次数 0 の頂点

{d(v)}

d(v) = 3 ∀ v∈V正則グラフ

グラフの用語４（閉路）

• 歩道（鎖）： 隣接している頂点同士をたどった v1, e1, v2, e2, ..., en-1, vnの系列

• 路（小径）： 辺の重複を許さない場合

• 道： 頂点の重複も許さない場合

• 閉路（回路・サイクル）： 始点と終点が同じ路

• 完全グラフ（完備グラフ）： 任意の 2 頂点間に枝があるグラフ

• クリーク： 完全グラフになる誘導部分グラフ• サイズ nのクリークを含むグラフは「n-クリークである」と言う。辺を持つグラ

フは必ず 2 頂点の完全グラフを含むので 2-クリークである。また n-クリークであって、直径が n未満となるグラフを n-クランと言う。

木の性質

• グラフにおいて，単連結で閉路を持たないグラフ

（単連結とは，辺を削除すると2つに分かれてしまうグラフ）

4つの主な性質（定理）がある。

• １．（T の辺の個数）=（T の節点の個数）- 1 ||T|| = |T| - 1

• ２．任意の2点 x,y に対して、x,y を結ぶただ一つの道がある。

• ３．T の2点を結ぶ T に含まれない辺 e に対して、T+e には e を通るただ一つの閉路があり、この閉路上の任意の辺 f に対して T+e-f は木となる。

• ４．少なくとも2個の端末点がある。また、端末点とは次数1の点である。

2部グラフ（分類，クラスタリング）

• ２部グラフ： グラフGのうち、V(G)を二つの頂点集合に分割して各集合

内の頂点同士に枝が無いように分割できるグラフ

• n部グラフ： n個の頂点集合に分割可能なグラフ

• 完全2部グラフ： 二つの頂点集合V1, V2に分割したとき、V1同士・V2同士の頂点間には辺が存在しないが、V1とV2間の任意の2点間に辺が存在するグラフのことである。m頂点の頂点集合とn頂点の頂点集合でできているとき、 Km, nとかく。

n部グラフ

直径の定義

• 径（けい、diameter）あるいは直径（ちょっけい）とは、図形の差し渡しの長さのことである。

• グラフ理論でいう直径とは、グラフ上の任意の 2 頂点間の距離の大値

• 一般に、任意の距離空間の部分集合（つまり図形）に対して、その集合に含まれる二点の距離の上限として直径を考えることができる（上限が存在しないときには直径は無限大とする）。つまり、d(x, y) で二点 x, yの距離を表すとき、集合 Sの直径 diam Sは

• で与えられる。直径が有限な値を持つとき、その集合は有界であるといわれる。ユークリッド空間の部分集合の場合、有界の定義は原点を中心とする十分大きな球にその集合が含まれることであるとしても同じことになる。

同型グラフ

• GとG'が同一の頂点を持ち、同一の辺のつながりかたをしているとき、

「同型」という

• ２つのグラフ G と H が 等しい G = H とは V(G) = V(H)，E(G) = E(H)，μG = μH のときで、

• 同型 G ～ H の定義 全単射θ：V(G)→V(H)，χ ：E(G)→E(H) が存在して，μG(e) = {u , v} ⇔μH(χ(e)) = {θ(u) , θ(v)} となるとき，

連結グラフ

• 連結グラフ： グラフ上の任意の2頂点間に路が存在するグラフ

（極大で連結な部分グラフは、連結成分）

• 有向グラフが強連結であるとは、グラフ上の任意の2点間に有向路

が存在すること（極大で強連結な部分グラフは、強連結成分）

• 切断点または関節点：連結なグラフGから、ある頂点を取り除くと、Gが非連結になるとき、その頂点

• 切断辺または 橋：Gから、ある辺を取り除くと、Gが非連結になるとき、

その辺

• グラフがどの程度、かたく結びついているかを示す尺度として、点連結度（あるいは単に連結度）と辺連結度がある。k連結グラフは、点連結度がk以上のグラフのことを指す。

連結グラフ 非連結グラフ

平面グラフ

• 平面グラフ (plane graph) ： 平面上の頂点集合とそれを

交差なく結ぶ辺集合からなるグラフ

グ ラ フ 理 論

• グラフの基本的性質

• グラフの探索

• ダイクストラ法

12月24日

グラフの基本的な性質（復習）

• グラフの全ての点の次数を合計すると偶数になる（握手問題，オイラー）

• 奇数次の点は偶数個ある

• N部グラフ，木構造には三角形は存在しない

例題：パズル問題グラフ理論を用いた問題解決（急性精神病）

• 4個の立方体の積み木問題

• 立方体は4色に塗り分けられている．

• これらの立方体を積み上げて四角柱を作る

• 四角柱の側面それぞれに4色全部が現れるような積み方を求める問題

➀ ➁

➂ ➃

表裏の色の関係をグラフ化する

➀ ➁

➂ ➃

グラフを重ね合わせる

部分グラフをとると

前後

左右

前後・左右それぞれすべての色を持つことができる

演習問題

１．グラフ G(V, E) について。次の問に答えよ。ただし，V = {A, B, C, D, E, F}, E = {{A,B}, {A,D}, {B,E}, {B,F}, {C,F}, {D,E}} である。

(1) 頂点 A と C の距離 d(A, C) はいくらか。

(2) このグラフの直径を求めよ。

(3) このグラフに切断点はあるか。もしあればすべての切

断点を列挙せよ。なければ『なし』と答えよ。

北海道大学 複雑系工学講座（井上純一先生作成）

解答１．グラフ G(V, E) について。次の問に答えよ。ただし，V = {A, B, C, D, E, F}, E = {{A,B}, {A,D}, {B,E}, {B,F}, {C,F}, {D,E}} である。

(1) 頂点 A と C の距離 d(A, C) はいくらか。

【解答】d(A, C) は，頂点 A から C への 短の道の長さである。そのような 短道は，頂点

の列 (A, B, F, C) で表され，この道には３つの辺が含まれているので，d(A, C) = 3 で

ある。

(2) このグラフの直径を求めよ。

【解答】直径は，このグラフ上の任意の２頂点間の距離の 大値である。 も距離が大きく

なる２頂点の片方は頂点 C となることは分かる。頂点 C から他の頂点への距離を調べると，d(C, D) = 4 が 大となる。よって，このグラフの直径は 4 である。

(3) このグラフに切断点はあるか。もしあればすべての切断点を列挙せよ。なければ

『なし』と答えよ。【解答】切断点は B と F の２つ。C は切断点ではないことに注意せよ。

A

B

E

C

D

F

オイラー路（数学者レオンハルト・オイラー（スイス・バーゼル））

• オイラー路：グラフの全ての辺を1度だけ通る路

• オイラー閉路：全ての辺を1度だけ通る閉路

• オイラーグラフ：オイラー閉路を含むグラフ

• 準オイラーグラフ：オイラー閉路は持たないがオイラー路を持つグラフ

性質

• オイラーグラフと準オイラーグラフは、一筆書き可能である。

• オイラーグラフ⇔全ての頂点の次数が偶数のグラフ

• 準オイラーグラフ⇔奇数の次数の頂点を二つだけ含むグラフ

• 参考：オイラーの等式，オイラーマクローリン展開，変分法，一巡閉路

オイラーグラフ

準オイラーグラフ

オイラー路の判定法

条件1）有限グラフ(辺の数も頂点の数も）で連結(connected)なグ

ラフに限定．

において，

１）始点終点以外の全ての頂点において，入ってくる辺の数と出て行く辺の数が同じはずなので，その頂点の次数は偶数

２）始点と終点は次数が奇数である(出発のときの出るだけの辺

が一つ半端だから．終点についても同様）

オイラー路の存在条件： １），２）オイラー閉路の存在条件：全ての頂点が偶数の次数をもつこと．

オイラー路（例題）例題V={A,B,C,D,E,F,G}, E={s,t,u,v,w,x,y,r}, T(s)={A,E}, T(t)={E,B}, T(u)={B,C}, T(v)={C,F}, T(w)={F,D}, T(x)={A,D}, T(y)={E,F}, T(z)={E,G}, T(r)={G,F},のときオイラー回路は存在するか。

答え ：E,F の次数は４，他は２。全て偶数

なのでオイラー回路が存在する．

アルゴリズム1 （枚挙法）Step1 始点を選ぶStep2 Sからｔまでを並べ替える

（M！通り）Step3 閉路になるかどうか調べる

アルゴリズム２ （グラフ理論の応用）Step1 点の次数が偶数か奇数か？Step2 調べていない点があればS1へ

（M通り）

ハミルトン路（ウィリアム・ローワン・ハミルトン（英国））

• ハミルトン路：グラフ上の全ての頂点を 1 度だけずつ通る

路

• ハミルトン閉路：グラフ上の全ての頂点を 1 度だけずつ通

る閉路

• ハミルトングラフ：ハミルトン閉路を含むグラフ

• 準ハミルトングラフ：ハミルトングラフではないがハミルトン路を含むグラフ

• 与えられたグラフがハミルトン路を含むかどうか判定する問題は、NP困難。

ハミルトングラフの性質１

1. |V(G)| ≥ 3、δ(G) ≥ |V(G)|/2 を満たす単純グラフ Gは、ハミルトングラフ (Dirac, 1952年)

低次数 δ(G)

頂点の数 |V(G)|

単純グラフ G

ハミルトングラフの性質２

1. グラフ G (|V(G)| ≥ 3) がハミルトングラフ ⇔ d(u) + d(v) ≥ V(G) を満たす隣接していない頂点 u, vについて、G+ (u, v) がハミルトングラフ

2. グラフ G (|V(G)| ≥ 3) がハミルトングラフで、(u, v) ∈E(G) かつ d(u) + d(v) ≥ n + 2 ならば、G - e もハミルトン

グラフ。

G

d(u) + d(v)

(u, v)

ハミルトングラフの性質３

1. 完全グラフ K2n+1 は、n個のハミルトン閉路に分解できる。

2. 完全グラフ K2nは、n-1 個のハミルトン閉路と 1 個の 1-正則な全域部分グラフに分解できる。

K５

K６

1-正則な全域部分グラフ

演習問題（つづき１）

グラフ V = {A, B, C, D, E, F}, E = {{A,B}, {A,D}, {B,E}, {B,F}, {C,F}, {D,E}}

(4) このグラフはオイラーグラフか？また，ハミルトングラフ

か？

(5) このグラフは２部グラフか？

(6) このグラフから何本かの辺を除去して木にするには，何本

を除去すればよいか。

解答グラフ V = {A, B, C, D, E, F}, E = {{A,B}, {A,D}, {B,E}, {B,F}, {C,F}, {D,E}}

(4) このグラフはオイラーグラフか？ また，ハミルトングラフか？次数が奇数である頂点（奇頂点という）が B と C の２個あるので，オイラーグラフでは

ない。（周回可能小道はあるが，閉じていないのでオイラー小道ではない。）また，頂点 C は次数が１であるので C を通るような閉路（閉じた道なので，その通り

道の次数は２以上でないといけない）は存在しない。従って，ハミルトン閉路は存在しない。つまりハミルトングラフでもない。［頂点 C を通る閉路がないのだから，もちろんオイラー小道がないということもでき

る。］

(5) このグラフは２部グラフか？

【解答】２部グラフである。頂点 A，E および F を左側に書き，残りの頂点を右側に書けば，

すべての辺は左側の頂点と右側の頂点を結ぶことになる。

(6) このグラフから何本かの辺を除去して木にするには，何本を除去すればよいか。

【解答】１本を除去すれば木になる。ただし，辺 {A,B}，{B,C}，{C,D} または {D,A} のいず

れかを除去すると木になるが，これ以外の辺を除去しても木にはならない。つまり，このグラフに閉路がなくなるように辺を除去しなくてはならない。

A

B

E

C

D

F

隣 接 行 列

• 隣接行列：隣接関係を表す行列

• n 頂点のグラフGに対して，

A(G) = a11 a12 ・ ・ ・ a1na21 a22 ・ ・ ・ a2n

............ an1 an2 ・ ・ ・ ann

• 頂点vi から頂点vj への辺がある⇒ aij = 1• 頂点vi から頂点vj への辺がない⇒ aij = 0• 無向グラフ⇒ aij = aji 行の和= 次数

根つき木の探索法• 節点vから枝分かれする点の集合T(v)• 0) A = {v0， v１， v2 ・・・ vｎ}, B = {v0}• 1) ※Aから一つの成分vを取り出し，T(v)の中でBに入っ

ていないものをAとBに入れる．

• 2) Aが空なら終了

• そうでなければ1)へ

– ※ 先にいれたものを先に取り出す

… キュー（queue）– 後にいれたものを先に取り出す

… スタック（stack）

幅優先探索キュー

深さ優先探索スタック

評価値優先

v0

最短路問題

• 長さつきネットワークG=(E,V,W)

1

2

3

4

5

s

50

80

20

15

15

30

s → t への最短路

例

•自宅の 寄り駅から四ッ谷駅までの鉄道の 短時間(もしくは安)ルートを求める(駅ナビなど）

•カーナビを使って現在地から目的地までの 短経路を調べる

•一般的な解法

•動的計画法DP•分枝限定法

•ダイクストラ法

ダイクストラ法（Dijkstra Method）

短経路問題は，やさしい部類の問題であり，全経路を調べることなく効率的に 短経路が求められるアルゴリズムが存在する．

ダイクストラ法の特徴

• 出発点を１つに固定して、そこから他のすべての頂点への 短路を求める方法

• 出発点に近い頂点への 短経路を次々に求める方法

ダイクストラ法の手順

1. 出発点に隣接する頂点の、出発点-頂点間の距離を求め、

小の値をもつ頂点にマークを付けて確定する

2. マークのついた頂点に隣接する

頂点までの距離を求め、この時点で計算されている頂点（マークの付いていない）の距離の中で 小の値をもつ頂点をマークして確定する

3. 以上の操作をすべての頂点に

マークがつくまで繰り返すと、各頂点に得られる値が出発点からの 短路となる

1

2

3

4

5

s

50

80

20

15

15

30

∞→50

∞→80→70

∞→65

∞→95→85

V={1, 2, 3, 4, 5} : 頂点集合N={∞, 50, ∞, 80 , ∞ | ：隣接行列

∞, ∞, 15, 20, ∞ |∞, ∞, ∞ , 30, 15|∞, ∞, ∞, ∞, 50|∞, ∞, ∞, ∞, ∞}

ダイクストラ法のアルゴリズム

0) d(s) = 0, d(i) = ∞ （i ≠ s）

1) A = Vならば終了

そうでなければ

,A A Vφ= =

{ }( ) min ( ) |d v d i i A= ∈

{ }{ }

A A vA A v=

= −

∪

( )T v A∩

2)

の節点jに対し

d(j) > d(v) + avjならば

d(j) = d(v) + avj

p(j) = v

1) へ

iからjへの長さ aij≧0

d(i)：sからiへの最短長さの上限

p(i)：iへの最短路へのポインタ

T(v)：vから出る節点の集合

手続き(Procedure)

http://www.me.sophia.ac.jp/or/lab/ishizuka/OC/spath_00.html

演習問題（つづき２）２．グラフ G が与えられているとする。G の補グラフ G‘ は，G と同じ頂点

集合をもち，G において２頂点 u と v の間に辺が存在しないとき，かつそのときに限り，G’ において u と v の間に辺が存在するようにしてできるグラフである。次の問に答えよ。

(1) グラフ G(V, E) の補グラフ G‘ を書け。ただし，V = {A, B, C, D, E}, E = {{A,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {D,E}} である。（このグラフを図に描いてから考えてください。）

(2) 上のグラフ G の隣接行列 A およびその補グラフ G' の隣接行列 A' を完成せよ。

(3) 頂点数４のグラフ G で，G と G‘ が同形であるようなグラフを書け。

(4) 頂点数８のグラフ G で，G と G' が同形であるとすれば，このグラフG には辺が何本あるか。

解答２．グラフ G が与えられているとする。G の補グラフ G‘ は，G と同じ頂点集合をもち，G において２頂点

u と v の間に辺が存在しないとき，かつそのときに限り，G’ において u と v の間に辺が存在するようにしてできるグラフである。次の問に答えよ。

(1) グラフ G(V, E) の補グラフ G‘ を書け。ただし，V = {A, B, C, D, E}, E = {{A,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {D,E}} である。（このグラフを図に描いてから考えてください。）【解答】補グラフ G’ の辺集合 E‘ は E’ = {{A,B}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {C,E}} となる。

(2) 上のグラフ G の隣接行列 A およびその補グラフ G' の隣接行列 A' を完成せよ。【解答】... 行列は，いつものように書く。

A = [ 0 0 1 0 0 | 0 0 0 1 1 | 1 0 0 1 0 | 0 1 1 0 1 | 0 1 0 1 0 ]A' = [ 0 1 0 1 1 | 1 0 1 0 0 | 0 1 0 0 1 | 1 0 0 0 0 | 1 0 1 0 0 ]

(3) 頂点数４のグラフ G で，G と G‘ が同形であるようなグラフを書け。【解答】長さ３の道。（図 5-26 の (d) のグラフ）

『練習問題：頂点数５のグラフ G で，G と G’ が同形であるようなグラフは２種類ある。考えてみよ。また，頂点数６や７の場合はどうかも考えよ。』

(4) 頂点数８のグラフ G で，G と G' が同形であるとすれば，このグラフ G には辺が何本あるか。【解答】辺が n 本あるとすると，G' にも n 本ある。これらの和 2n は頂点数８の完全グラフの辺の本数

8×(8－1)／2 = 28 に等しい。すなわち，2n = 28 であるから，n = 14 である。

ファイル名の書式• 学生番号 名前 課題番号．Doc• (数字） （漢字） （数字）

• 課題番号については，

• １．ランダム探索（TSP)• ２．分枝限定法（ナップザック）

• ３．分枝限定法（TSP)• ４．ダイクストラ法（ 短経路） ← ボーナス点

レポートの書き方

表紙：学生番号 名前 課題番号，日時

課題内容

方法論

実現方法（プログラム・解説）

解析結果

考察

感想