回転型クレーン/倒立振子の制御 回転型クレーンの制御

状態方程式

回転型倒立振子の制御

状態方程式

コントローラ設計

コントローラ設計 (極配置法)

コントローラ設計 (最適レギュレータ)

コントローラの形式：状態フィードバック

P-D コントローラ

目標値

…… アームの P-D

…… 振子の P-D

状態フィードバック制御

回転型クレーン

コントローラ

で

状態フィードバック制御

回転型クレーン

コントローラ

>> rotary_para;

>> h = 0.01; Tf1 = 0.02; Tf2 = 0.05;

>> K = [-10 -10 0 0];

sfbk_crane.slx

状態フィードバック制御

各自で適当にゲイン

ただし，

：アームの比例ゲイン

：振子の比例ゲイン

を与えてみよう

：アームの微分ゲイン

：振子の微分ゲイン

状態フィードバック制御

動画：NXT_crane.wmv

回転型クレーン/倒立振子の制御 回転型クレーンの制御

状態方程式

回転型倒立振子の制御

状態方程式

コントローラ設計

コントローラ設計 (極配置法)

コントローラ設計 (最適レギュレータ)

7.2 節(7.2.2)

モデルベース設計

シミュレーション

評価

実機実験

評価

モデリング

コントローラ設計

開始

終了

Good

Good

Bad

Bad

状態方程式の導出

振子

アーム

振子の角度の基準：真下

振子を真下で静止(振子の振れ止め)

安定

状態方程式の導出

振子

アーム

線形近似 (近似線形化)

状態方程式の導出

振子

アーム

非線形補償

状態方程式の導出

振子

アーム

状態変数：アームの角度

：振子の角度

：アームの角速度

：振子の角速度

状態方程式の導出

状態方程式の導出

状態方程式の導出

状態方程式

回転型クレーン/倒立振子の制御 回転型クレーンの制御

状態方程式

回転型倒立振子の制御

状態方程式

コントローラ設計

コントローラ設計 (極配置法)

コントローラ設計 (最適レギュレータ)

7.4 節(7.4.1)(7.4.2)

コントローラの形式：状態フィードバック

P-D コントローラ

…… アームの P-D

…… 振子の P-D

目標値

コントローラの形式：状態フィードバック

状態フィードバック形式のコントローラ

状態フィードバック制御 状態方程式

コントローラ

状態フィードバック制御

閉ループ系

状態フィードバック制御

閉ループ系の解

閉ループ系

微分信号のラプラス変換

：遷移行列 (行列指数関数)

遷移行列 (行列指数関数) の求め方：例 1

遷移行列 (行列指数関数)

の固有値 (システムの極)

特性方程式

の解 (互いに異なる負の実数)

遷移行列 (行列指数関数) の求め方：例 1

遷移行列 (行列指数関数)

遷移行列 (行列指数関数) の求め方：例 1

の固有値 (システムの極)

(互いに異なる負の実数)

振動せずに収束

遷移行列 (行列指数関数) の求め方：例 2

遷移行列 (行列指数関数)

の固有値 (システムの極)

特性方程式

の解 (実部が負の共役複素数)

遷移行列 (行列指数関数) の求め方：例 2

遷移行列 (行列指数関数)

遷移行列 (行列指数関数) の求め方：例 2

の固有値 (システムの極)

(実部が負の共役複素数)

実部：収束の速さ 虚部：振動周期

振動しながら収束

システムの極と時間応答

の固有値： (実数)

漸近安定性

の固有値の実部がすべて負

で

の固有値： (共役複素数)

過渡特性

固有値の実部が負側に大きい

固有値の虚部が大きい

収束が速い

振動周期が短い

システムの極と時間応答

の固有値

Im

Re

0

収束が速くなる

振動周期が短くなる

コントローラの設計：極配置法

極配置法

制御対象

が与えられたとき， の極 が指定した値 となるようにコントローラ

を設計

MATLAB 関数：acker, place

コントローラの設計：極配置法

rotary_crane_acker1.m

コントローラの設計：極配置法

rotary_crane_acker1.m

rotary_crane_acker2.m

rotary_crane_acker3.m

設計例 1

設計例 2

設計例 3

状態フィードバック制御

>> rotary_crane_acker1

sfbk_crane.slx

>> rotary_crane_acker2

>> rotary_crane_acker3

注）離散化の方法：双一次変換

制御なし

動画：NXT_crane_free.wmv

状態フィードバック制御(極配置)

動画：NXT_crane_acker1.wmv

設計例 1

状態フィードバック制御(極配置)

動画：NXT_crane_acker2.wmv

設計例 2

状態フィードバック制御(極配置)

動画：NXT_crane_acker3.wmv

設計例 3

状態フィードバック制御

各自で適当に固有値

を指定してみよう

回転型クレーン/倒立振子の制御 回転型クレーンの制御

状態方程式

回転型倒立振子の制御

状態方程式

コントローラ設計

コントローラ設計 (極配置法)

コントローラ設計 (最適レギュレータ)

7.5 節(7.5.1)(7.5.2)

コントローラの設計：最適レギュレータ

極配置法の問題点

固有値の選び方が不明瞭

振子の収束性を変えずにアームの収束性を向上させるには

各状態 の収束性を定量的に評価

入力の大きさは

入力 の大きさを定量的に評価

コントローラの設計：最適レギュレータ

状態 の収束の速さの評価

の 0 への収束が速い

二乗面積

が小さい

コントローラの設計：最適レギュレータ

入力 の大きさの評価

のエネルギー消費の抑制

二乗面積

が小さい

コントローラの設計：最適レギュレータ

： (アーム角度) の収束性

： (振子角度) の収束性

： (アーム角速度) の収束性

： (振子角速度) の収束性

： のエネルギー消費の抑制

コントローラの設計：最適レギュレータ

重みの選び方

評価関数

： の収束性に関する重み

･･････ 大きな値に選ぶと の収束性を重視

： の消費エネルギーに関する重み

･･････ 大きな値に選ぶと の消費エネルギーの抑制を重視

コントローラの設計：最適レギュレータ

評価関数

コントローラの設計：最適レギュレータ

最適レギュレータ問題

制御対象

と重み が与えられたとき，評価関数が

を設計

となるようにコントローラ

MATLAB 関数：lqr

コントローラの設計：最適レギュレータ

を最小化する を設計

rotary_crane_lq1.m

状態フィードバック制御

>> rotary_crane_lq1

sfbk_crane.slx

>> rotary_crane_lq2

>> rotary_crane_lq3

>> rotary_crane_lq_final

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

rotary_crane_lq1.m

1 に固定することが多い

設計例 1

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

動画：NXT_crane_lq1.wmv

設計例 1

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

アームの収束が遅いので，

アーム角

の重み を大きくする

設計例 1

設計例 2

設計例 1

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

rotary_crane_lq2.m

設計例 2

負側に大きくなった！

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

動画：NXT_crane_lq2.wmv

設計例 2

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

設計例 2

振子の収束が遅くなった

ので，振子角

の重み を大きくする

設計例 3

設計例 2

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

rotary_crane_lq3.m

設計例 3

負側に大きくなった！

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

動画：NXT_crane_lq3.wmv

設計例 3

まずまずの結果

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

rotary_crane_lq_final.m

設計例 4 最後に重みを微調整

状態フィードバック制御(最適レギュレータ)

動画：NXT_crane_lq_final.wmv

設計例 4

状態フィードバック制御

各自で適当に重み

を与えてみよう

回転型クレーン/倒立振子の制御 回転型クレーンの制御

状態方程式

回転型倒立振子の制御

状態方程式

コントローラ設計

コントローラ設計 (極配置法)

コントローラ設計 (最適レギュレータ)

7.2 節(7.2.1)

回転型倒立振子の数学モデル：状態方程式

振子

アーム振子を真上で安定化

線形近似 (近似線形化)

不安定

回転型倒立振子の数学モデル：状態方程式

振子

アーム

非線形補償

回転型倒立振子の数学モデル：状態方程式

振子

アーム

状態変数

回転型倒立振子の数学モデル：状態方程式

状態方程式

回転型クレーン/倒立振子の制御 回転型クレーンの制御

状態方程式

回転型倒立振子の制御

状態方程式

コントローラ設計

コントローラ設計 (極配置法)

コントローラ設計 (最適レギュレータ)

7.4 節(7.4.3)

7.5 節(7.5.3)

状態フィードバック制御

rotary_ip_acker.m

極配置法

最適レギュレータ

rotary_ip_lq.m

の固有値：

状態フィードバック制御

ビープ音が鳴ったら 10 秒以内に振子を手動で真上に

>> rotary_ip_acker

>> rotary_ip_lq

sfbk_ip.slx

状態フィードバック制御 (最適レギュレータ)

非線形補償 あり 非線形補償 なし

振動抑制

動画：NXT_ip_lq1.wmv 動画：NXT_ip_lq2.wmv