1

Egy sajátos ábrázolási feladatról

Régen volt, ha volt egyáltalán. Én bizony nem emlékszem a ferde gerincvonalú túleme -

lés ~ átmeneti megoldásra – 1. ábra – az ( erdészeti ) útépítésben.

1. ábra – forrása:

http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2011-0023_Utak/html/section-

0059.html

Szinte biztos, hogy még máshol sem akadtam rá eddig erre, bár talán nem is kerestem.

Az jutott eszembe, hogy meg kellene próbálni megrajzoltatni a számítógéppel az 1. ábra

egy kissé módosított saját változatát. E feladatomat leginkább egy kis matekozással és

felületábrázoló program használatával igyekszem megoldani.

Ehhez tekintsük a 2. ábrát! Itt két síkot láthatunk: az O*A*B* kétirányban ferde síkot,

valamint az A*B*C* vízszintes síkot; továbbá ezek A*B* metszésvonalát is.

Most messük el e két síkot az ONN*O* függőleges síkkal, mely merőleges a két sík met -

szésvonalára! Ez a két síkból kimetszi az O*N* és az N*M* egyeneseket.

Azt kell most belátnunk, hogy e két egyenesből álló töröttvonal alkalmas a geometriai

helyzet jellemzésére, leírására. Ha ez megvan, akkor nekiláthatunk az ábrázoláshoz szük -

séges összefüggések felírásához. E belátás így is történhet: a ferde síkot megadhatjuk egy

O* pontjával és esésvonalával. Esetünkben az A*B* egyenes egy szintvonala, az O*N*

egyenes pedig egy esésvonala a ferde síknak.

2

2. ábra

Mivel a ferde sík minden esésvonala párhuzamos egymással, elegendő egyet megadni

közülük, pl. az O* pontjával és φ hajlásszögével.

A vízszintes sík átmegy az N* ponton, hajlásszöge pedig zérus, vagyis ezekkel adott.

Látjuk, hogy az O*N*M* töröttvonal tényleg alkalmas a két síkból álló felület geometriai

leírására. Így oda jutottunk, hogy ezt a töröttvonalat kell megadnunk, azaz matematikailag

egyetlen függvénnyel leírnunk. Ez azért fontos, mert az ingyenesen letöltött / kölcsönvett

felületábrázoló programunk egyszerre csak egy, függvényének képletével megadott felü -

letet tud ábrázolni. Ez azonban nem jelent gondot, hiszen egy régebbi dolgozatunkban már

foglalkoztunk a töröttvonalak egy függvénnyel történő leírásával. Ennek jele és címe:

KD - 1: Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról;

ez is megtalálható honlapunkon.

Mielőtt a töröttvonal függvényével foglalkoznánk, írjunk fel a 2. ábráról leolvasható né -

hány érdekes és hasznos összefüggést!

A ferde sík egyenlete:

( 1 )

ahol:

. ( 2 )

3

A vízszintes sík egyenlete:

( 3 )

Metszésvonaluk egyenletéhez ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) - mal is:

rendezve:

végigosztva z1 – z0 ≠ 0 - val:

( M )

Az ( M ) egyenlet a két sík metszésvonalának egyenlete, tengelymetszetes alakban.

Ehhez lásd a 2. ábra mellékábráját is!

A szögek közti összefüggések: ismét a 2. ábra mellékábrája alapján, ( 2 ) - vel is:

tehát:

( 4 )

Továbbá:

( 5 )

majd a 2. ábra mellékábrája szerint, ( 2 / 1 ) és ( 4 ) - gyel is:

( 6 )

majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:

, tehát:

( 7 )

A bekeretezéssel kiemelt képleteket már levezettük egy nemrégen írt korábbi dolgoza -

tunkban is, melynek jele és címe:

KD - 2: Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről?

Most lássuk a töröttvonalat leíró függvényt! Ezt a 2. ábra szerint egy O*ξζ k. r. - ben

4

írjuk fel. Ennek egyenlete KD - 1 felhasználásával:

( 8 )

A ( 8 ) egyenlettel adott függvény görbéje, mely a

( a )

adatokkal készült, a 3. ábrán látható.

3. ábra

Ezután koordináta - transzformációt végzünk: 4. ábra. Ugyanis keressük az

kapcsolatot, annak érdekében, hogy ( 8 ) - at alkalmazhassuk. A 4. ábrán mutatott k. r. - re

fennáll, hogy O*x’y’║ Oxy , így egy tetszőleges, ámde egyazon függőleges egyenesen

elhelyezkedő P’ és P pontra:

( 9 / 1 )

( 9 / 2 )

Most a P’ pont koordinátái:

( 10 )

( 11 )

5

4. ábra

Most ( 11 / 1 ) - et kifejtve, ( 10 ) - zel is:

( 12 )

Majd ( 9 ) miatt, a „P” indexet elhagyva:

( 13 )

Ezután ( 8 ) és ( 13 ) - mal:

( 14 )

most a 2. ábra és ( 5 ) szerint:

( 15 )

majd ( 14 ) és ( 15 ) - tel:

( 16 )

Ezután alkossuk meg z ( x , y ) végleges kifejezését!

A 2. ábra szerint:

( 17 )

most ( 16 ) és ( 17 ) - tel:

6

( 18 )

Ábra készítéséhez felvesszük az alábbi adatokat:

( A )

most ( 2 ) - vel:

( A1 )

( A2 )

majd ( 4 ), ( A1 ) és ( A2 ) - vel:

( A3 )

trigonometriai összefüggésekkel:

( A4 )

( A5 )

most ( A1 ), ( A2 ) és ( 7 ) - tel:

( A6 )

Majd ( A )… ( A6 ) és ( 18 ) - cal:

tehát:

( A7 )

Az ( A7 ) nem lineáris függvény képe az 5. ábrán szemlélhető.

7

5. ábra – forrása: http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/graph3d/

Ezzel feladatunkat megoldottuk.

Megjegyzések:

M1. Bár a töröttvonalat alkotó egyeneseket külön - külön lineáris függvények írják le, a

két töröttvonalat együttesen leíró abszolútértékes függvény már nem lineáris.

Az abszolútértékes függvényekkel – mint amilyen ( 8 ) is – szinte sehol sem találkozunk,

pedig nagyon hasznosak; itt is ez képezi a megoldás alapját.

M2. A 4. ábrán is feltüntetett η koordinátát nem használtuk, hiszen – amint már mondtuk –

a geometriai helyzet ebben az irányban változatlan: minden O*ξ ζ - val párhuzamos met -

szősík ugyanolyan metszetet ad, tehát geometriailag η mentén nincs változás: síkprobléma.

M3. Az ( M ) egyenlet nem csak a két sík metszésvonalának – pontosabban: a metszés -

vonal Oxy síkra vett vetületének – egyenlete, hanem egy AB nyomvonalú függőleges

vetítősík egyenlete is.

8

M4. Az az állítás, hogy a 3. ábra szerinti töröttvonallal jellemezhető feladatunk geometriai

helyzete, még azáltal is erősíthető, hogy a két sík metszésvonalára merőleges metszősík

által a két síkból kimetszett, a fenti töröttvonal elemeiként megjelenő egyenesek zárják be

a két sík hajlásszögét.

M5. Az 1. ábra sraffozása nem túl szerencsés; jobb lett volna esésvonal mentén megoldani

ezt a ferde síknál.

M6. Fenti feladatunk nem útépítési / szakmai, hanem inkább csak geometriai / ábrázolás -

technikai vonatkozásban lehet érdekes.

M7. A saját, módosított változatunk abban tér el az 1. ábráétól, hogy az 1. ábra szerinti,

kétirányú ferdeséggel bíró sík az átmeneti szakasz végére már csak egyirányban ferde.

Ezzel szemben a 2. ábra szerinti helyzet az, hogy itt az átmeneti szakasz vízszintes síkba

vezet át, nem egyirányban ferdébe. Eszerint tehát itt nem az 1. ábrát rajzoltuk újra meg,

hanem – ahogyan azt rögtön az elején említettük – annak egy saját, módosított változatát.

Az átvezetés tekintetében a 6. ábra informatívabb az 1. ábránál:

6. ábra – forrása: http://bmeeokepito-

cd.bmeeok.hu/CD/%C3%96ssze_vissza_t%C3%A1rgyak/%C3%9Atterv/EA_14A_U.pdf

M8. Javasoljuk, hogy az érdeklődő Olvasó oldja meg a 6. ábra fentiekhez hasonló, ámde

már nem módosított ábrázolási feladatát!

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. június 24.