1

Fiók ferde betolása

A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot.

Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra

Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot úgy tolunk be egy c x d méretű

nagy téglalapba, hogy eközben

~ a kis téglalap A csúcsa mindvégig érintkezik a nagy téglalap EF oldalával, valamint

~ a kis téglalap CD oldala mindvégi érintkezik a nagy téglalap G csúcsával.

A feladat: a geometriai helyzet leírása.

A megoldás:

I. Először: állapítsuk meg az xA betolási koordináta változását a φ ferdeségi szög függvé -

nyében! Az 1. ábra jobb oldali része alapján:

2

( 1 )

innen:

( 2 )

Ehhez meg kell állapítani a szög - határokat.

a.) meghatározása:

Az feltétel alapján ( 2 ) - ből:

( 3 )

b.) meghatározása:

Ehhez először írjuk fel C pont yC koordinátájának kifejezését! Az 1. ábra szerint:

( 4 )

Majd írjuk fel a D pont xD koordinátájának a kifejezését is! Ugyanonnan, ( 2 ) - vel is:

( 5 )

Az előírt típusú mozgás addig tarthat, amíg

( 6 )

A ( 6 / 1 ) feltétel határesetében, ( 4 ) - gyel is:

( 7 )

A ( 6 / 2 ) feltétel határesetében, ( 5 ) - tel is:

( 8 )

A határszög az lesz, amelyik a ( 7 ) és a ( 8 ) egyenletek megoldásai közül előbb

következik be. Minthogy a szög a mozgás során csökken, így a mondott megoldások

közül a nagyobb hegyesszög lesz a számunkra megfelelő. Jelölje a ( 7 ) egyenlet megol -

dását φ*, a ( 8 ) egyenlet megoldását φ**, így a megoldás a φ1 = max (φ*, φ**) feltételnek

eleget tevő szögérték lesz.

A ( 7 ), de különösen a ( 8 ) egyenlet elég bonyolult trigonometriai egyenletek, így ezeket

nem általában, hanem a számpélda konkrét adataival numerikusan célszerű megoldani.

3

II. Másodszor: állapítsuk meg a φ ferdeségi szög változását az xA betolási koordináta

függvényében! Ehhez induljunk ki ( 1 ) - ből!

( 1 )

átalakításokkal:

( 9 )

Itt kikötjük, hogy

( 10 )

A ( 9 ) egyenlet egy másodfokú egyenlet tgφ - re, amire a megoldó - képlettel:

( 11 )

vegyük azt az 1. ábrán is szemléltetett esetet, amikor

( 12 )

most ( 11 ) és ( 12 ) - vel:

( 13 )

Egyszerűsítve:

( 14 )

Ezután átalakítjuk a gyökjel alatti kifejezést:

4

( 15 )

most ( 14 ) és ( 15 ) szerint:

azaz:

( 16 )

Innen:

. ( 17 )

Ellenőrzésképpen ( 16 ) - ból:

( 18 )

Most ( 3 ) - mal is:

innen

adódik, ( 18 ) - cal egyezően.

Most oldjuk fel a ( 10 ) kikötést! Ekkor a ( 9 ) egyenletből, xA = b - vel is:

innen pedig:

ahol ( 19 )

( 19 / 1 ) - ből:

( 20 )

5

Most vegyük fel a számpélda adatait, az 1. ábrának megfelelően! Ekkor az adatok:

a = 10 cm; b = 3 cm; c = 6 cm; d = 8 cm. ( A1 )

Most írjuk át a ( 17 ) egyenletet a ξ = xA / b jelöléssel! Ekkor:

( 21 )

A Graph szoftverrel ábrázoltuk ( 21 ) - et: 2. ábra.

2. ábra

Itt a görbe: a ( 21 ) képlet szerinti, a két vízszintes egyenes pedig a ( 7 ) és a ( 8 ) egyenle -

tek egy hegyesszögű megoldásai. Most tekintsük a 3. ábrát is!

Itt a kis téglalap kezdő és a végső helyzetét ábrázoltuk, a kezdő és a végső ferdeségi szög -

gel együtt. Ezek számított eredményei az alábbiak:

φ0 = 60,00° , φ1 = 21,90° xA1 = 6,88 cm. ( E1 )

A 3. ábráról is leolvasható, hogy a ( 8 ) feltétel alapján kapjuk meg a φ1 szöget.

A „szerkesztéssel” – papírsáv beigazításával – kapott eredmények jól egyeznek a számí -

tottakkal.

6

3. ábra

Látjuk, hogy a számítások elvégzéséhez numerikus segítségre van szükség.

Nézzük, hogyan boldogultunk a számpéldával!

Először: ( A ) és ( 7 ) szerint jártunk el, grafikusan oldva meg az előálló

( a )

egyenletet – 4. ábra. A megoldás:

φ1,1 = 0.32077555 x 180°/π =18,37908519°.

Ez a 2. ábrán az alsó / kék vízszintes vonal ordinátája. A görbe és ezen egyenes

metszéspontja:

xA / b = 2.84800129 xA = 3 cm x 2.84800129 = 8,54400387 cm > 8 cm = d,

így ez nem lehet megoldás.

A hullámvonal és a vízszintes egyenes másik metszéspontjához tartozó szög értéke:

128, 2224261° lenne, ami használhatatlan érték, hiszen a keresett szög csak hegyesszög

lehet.

Másodszor: ( A ) és ( 8 ) szerint jártunk el, grafikusan oldva meg a ( 8 ) átalakításával

előálló

( b )

egyenletet – 5. ábra. A megoldás:

φ1,2 = 0.38228973 x 180°/π =21,90358808°.

Ez a 2. ábrán a felső / lila vízszintes vonal ordinátája. A görbe és ezen egyenes metszés -

pontja:

7

4. ábra

5. ábra

8

xA / b = 2.29362076 xA = 3 cm x 2.29362076 = 6,88086228 cm < 8 cm = d,

tehát ez a megoldás.

Egy másik eset „pillanatfelvételei” szemlélhetők a 6. ábrán.

6. ábra

Látjuk, hogy itt annyi az eltérés az előző esethez képest, hogy az A1 és az A^ pontok

között egy Δ hosszúságú szakasz van, melyen változatlan φ1 szöggel mozdulhat el a kis

téglalap. Ekkor a számítások az alábbiak szerint alakulnak.

A kezdőszög ( 3 ) szerint:

( 3 )

A végszög a ( 7 ) egyenlet ( 22 ) megoldásaként adódik – [ 1 ] – :

( 7 )

( 22 )

A Δ eltolás számítása a 6. ábra szerint:

( 23 )

ahol ( 2 ) szerint

( 24 )

9

A 6. ábra szerint az új adatok:

a = 10 cm; b = 3 cm; c = 8 cm; d = 10 cm. ( A2 )

A kezdőszög ( 3 ) - ból:

( E2 / 1 )

A végszög ( 22 ) szerint:

( E2 / 2 )

Az xA1 koordináta ( 24 ) szerint:

( E2 / 3 )

A Δ eltolás ( 23 ) szerint:

1,643849604 cm ( E2 / 4 )

Az ( E2 ) számított eredmények jól egyeznek a 6. ábráról lemérhető eredményekkel.

Ezzel a számpélda megoldását befejeztük.

Megjegyzések:

M1. A ( b ) egyenlet a következőképpen állt elő:

( 8 ) - cal:

átalakítva:

végül

( c )

Az ( A ) és (c ) sorok együttesen ( b ) - re vezetnek.

M2. A ( 22 ) egyenlet levezetése az alábbiak szerinti – [ 1 ] .

Kiindulás a ( 7 ) egyenlet:

( 7 )

kiemeljük a bal oldalon a tényezőt:

10

( 25 )

mivel

ezért létezik olyan szög, amelyre – 7. ábra – :

( 26 )

7. ábra

Most ( 25 ) és ( 26 ) szerint:

( 27 )

az ismert trigonometriai összefüggéssel ( 27 ) jobb oldala:

( 28 )

így ( 27 ) és ( 28 ) szerint:

( 29 )

ahol ( 26 ) - ból:

( 30 )

Majd ( 29 ) inverz függvényét képezve:

( 31 )

végül ( 30 ) és ( 31 ) - gyel:

( 22 )

M3. Látjuk, hogy a 6. ábra szerinti fiók - kialakítás valószerűbb, mint a 3. ábra szerinti,

hiszen a fiók betolása után az nemigen szokott „kilógni”, normális működés esetén.

M4. Az idők során megjelent már több hasonló típusú dolgozatunk.

Érdemes lehet ezeket összevetni.

M5. A fiók erőtani működésével egy másik dolgozatban foglalkozunk.

11

Irodalom:

[ 1 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika

15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998.

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2015. 01. 01.