Egyenes egyenlete a síkban

Pitágorász utódai:Pap Rachel

Baricsán NorbertTóth Péter

Darabont Melánia

“Cserey-Goga” Iskolacsoport Kraszna

Editura:Pitagorasz 2010-2011

Mi a szerepe a  matematikának a mindennapi életben?

• A mindennapi elétben oly sokszor találkozunk

matematikával, hogy néha már észre se vesszuk

jelenlétet.Fontos,hogy jártasak legyunk benne a megélhetéshez. Már az

ókorban is rájottek arra,hogy milyen fontos

szerepet játszik az ember életeben. A matematika

könnyebbé teszi az emberek életet!

A matematika

minden tudományt

befolyásol,de a

matematikát

egyiksem.

Jakob Bernoulli

Használt kifejezések

d – egyenes md – iránytényező mAB – az AB egyenes iránytényezője - alfa - az alfa szög tangenseA(x1,y1) – az A pont koordinátáiB(x2,y2) – a B pont koordinátái

tg

Az egyenes iránytényezője

• Egy egyenes iránytényezőjén az egyenesnek az Ox tengellyel bezárt szögének a tangensét értjük.

m tg

Aszerint,hogy az mekkora, a következő esetek lehetségesek:

• I eset:

• II eset:

• III eset:

Két pont által meghatározott egyenes iránytényezője

• Az A(x1,y1)és B(x2,y2), pontokon áthaladó egyenes iránytényezője:

• Két pont által meghatározott egyenes iránytényezője:Az ordináták különbségének és az abszcisszák különbségének az aránya.

2 1

2 1AB

y ym

x x

1 2x x

Példák•

2 1

2 1

1. (2,3); ( 1, 1)

1 3 4 4

1 2 3 3AB

A B

y ym

x x

2 1

2 1

2. (0, 3); ( 2,4)

4 3 7

2 0 2CD

C D

y ym

x x

Két egyenes szöge a síkban

• Két egyenes szöge a síkban:A (d2) és (d1) egyenesek szöge az a α E [0°,90°) szög,amellyel a (d2) egyenest elforgatva a (d1)-gyel párhuzamos, vagy vele egybeeső egyenest kapunk.

1 2

1 21

m mtg

m m

Példa a)m1=1 m2=-3

b)m1=1 m2=-2

1 2

1 2

1 23 27

1 1 1 ( 2)

m mtg

m m

1 2

1 2

42 18

1 2

m mtg

m m

Megjegyzés

1)Ha akkor 2)HA

1 2 1 2 12

11 0 1m m m m m

m

1 290 d d

1 2 0 1 2 0 1|| 2m m m m d d

Egy pont és egy iránytényező által meghatározott egyenes egyenlete

Az (x1,y1) ponton áthaladó és m iránytényezőjű egyenes egyenlete.

11 1

1

( )d

y ym y y m x x

x x

A(1,3) d; m=2

1 1 1: ( )

3 2( 1)

3 2 2

2 1 0

d y y m x x

y x

y x

x y

Példa

KÉT PONTON ÁTHALADÓ EGYENES EGYENLETE:

1 1

2 11 2 12 1

2 12 1

1 2 1 2 1 1

1 1

2 1 2 1

: ( )

1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d y y m x xy y

y y x x x xy ym x x

x x

y y x x y y x x

y y x x

y y x x

Példa(1,3); (2;1)

1 1 3 1:2 1 2 1 1 3 2 1

3 12 ( 1) 3

2 1

2 2 3 2 5 0

A B

y y x x y xAB

y y x x

y xx y

x y x y

Egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja

Egy tetszőleges d egyenesnek a tengellyel való metszéspontjait tengelymetszetnek nevezzük.

Pld:: ( 2,0)

: (0,1)

10 2 2 0

2 1 1

d Ox C

d Oy D

x yx y

; ( ;0)

; (0; )

: 1 0

d Ox M a

d Oy M b

x yda b

Egyenes egyenletének általános alakja

• Minden síkbeli egyenes egyenlete felírható ax+by+c=0, a,b,c e R,alakban, ahol a és b nem

lehet egyidejűleg 0 . Ezt az egyenletet nevezzük egyenes általános egyenletének.

-általános alak

-iránytényező

0ax by c 0 ( 0)a x b y c b y a x c b

a cy x

b b

d

am

b

Példák1

1

: 2 3 1 0

2

3

2 2

3 3d

d x y

a

b

am

b

2

2

: 2 3 0

1

2

1

2d

d x y

a

b

am

b

3 : 2 1 0

2

1

23 2

1

d x y

a

b

amd

b

Két egyenes kölcsönös helyzete a síkban

• Adott a d1 es d2 egyenes: -d1:a1x+b1y+c1=0

-d2:a2x+b2y+c2=0

a)d1 azonos d2-vel ha:

b) d1 || d2 ha :

c) ha:

d)

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

1 2d d 1 21 2 1 2 1 2

1 2

1 1d d

a am m a a b b

b b

1 2 11 2

1 2 2d d

a a cm m

b b c

1 2

1 1 1

2 2 2

0( ; )

0

d d M

a x b y cM x y

a x b y c

Példa1

2

1 2

: 3 2 0

: 6 0

?

3 2 0

6 0

\4 4 0

4 4

1

d x y

d x y

d d M

x y

x y

y

y

y

1 6 0

5

x

x

(5;1)M

Feladatok

1)Tekintsük az A(5,-4) B(-1,3) C (-3,-4)pontokat. Határozd meg : a) az AB,BC,CA egyenes iranytényezőjét; (eredmény)

b) az AB,BC,CA egyenes egyenletét ; (eredmény)

7

65

21

4

AB

BC

CA

m

m

m

: 7 6 11 0

: 5 2 11 0

: 2 8 22 0

AB x y

BC x y

CA x y

2)A felsorolt egyenespárok közül melyek: a)párhuzamosak? 1)(d1):3x-2y+1=0, (d2 ):9x-6y+10=0;

2)(d1):-x+5y+3=0, (d2):x-2y+4=0; ( eredmény) 1)párhuzamos

2)nem párhuzamos

b)merőlegesel? 1) (d1):3x+y-5=0, (d2):x-3y+1=0;

2)(d1):2x+y-1=0, (d2):5x+4y-1=0; (eredmény) 1)merőleges 2)nem merőleges

Alkalmazás más területen

1.A méhecskék a lépekbe egyenes sorokba rakják a mézet.A méhkirálynő megbetegedett ezért nem tudja megnézni h alatvaloi négyzet alakba rakják-e a mézet. Te segíthetsz neki!Milyen alakot alkotnak a lépsorok

ha d1:5x+y+13=0

d2:5y-x-13=0

d3:5x+y-13=0

d4:x-5y-13=0

Számold ki,hogy mennyi területet foglal el a lépnégyzet.

2.Petya egy egérkedvelő

kisfiú.Háromszög alakú sajtot akart

faricskálni egerének

karácsonyra.Végul addig faricskálta

míg lap vékonyságú lett.A csúcsok

koordinátái:A(-1,3) B(5,7)

C(0,8).Igazold hogy derékszögű

háromszög e a sajt majd számitsd ki a

területét.

Tartalomjegyzek

Könyvészet

• Matematika tankönyv a X. osztály számára• www.google.hu/képek

Pitágorász utódai

Ráhi

Melcsy

Petya

Barics