2.2. Az egyenes és a sík egyenlete

Mire kell az analitikus geometria?

• Geometriai modell:pontok, vonalak, felületek és testektárolása (reprezentációja)

• Átalakítások: geometriai számításoktranszformációk

• Rajzolás: geometrikus képek;vetületek - transzformációk

Egy alakzat egyenlete …

• 3x + 4y = 6 : egy egyenes egyenlete;

egyenlőség,

az egyenes pontjaira, másra nem

• ax + by + c = 0: az egyenes (általános) egyenlete;

paraméteres egyenlőség,

minden (a,b,c)-re egy egyenes egyenlete,

és minden egyeneshez van ilyen (a,b,c)

• De y = m x + b : nem minden egyeneshez van (m,b) !

Egy alakzat egyenlete …

• ax + by + c < 0 : egy félsík egyenlőtlensége

• y = f( x ), z = g( x, y ) : explicit (kifejezett) egyenletek

• h( x, y ) = 0, : implicit egyenlet

pl. x2 + y2 -1 = 0

• x = u( t ), y = v( t ); a t b : paraméteres egyenletrendszer

pl. x = r ∙ cos t, y = r ∙ sin t, z = v ∙ t 0 t < T

2.2.1. Egyenesek egyenlete (E 2, 3)

hogyan adjuk meg?hogyan tároljuk?hogyan számolunk vele?

2009.08 6

Két pontjával adott egyenes (E 2, 3)

• Hogyan adhatjuk meg? (például)

type Gxyz = real; // vagy double ?

type Gpoint = record x, y [, z] : Gxyz; end;

type Gline_pp = record P, Q : Gpoint; end;

-------

type Gvector = record x, y [, z] : Gxyz; end;

2009.08 7

Az egyenes paraméteres egyenlete (E 2, 3)

• Adott: P = (px, py [,pz] ) és Q = (qx, qy [,qz] )

• Az egyenes minden X pontjához van olyan t R hogy:

X = P + t · (Q - P) = (1 - t) · P + t · Q ;

- és minden ilyen t-hez tartozik egy X PQ

• Az összetevőkre hasonlóan: x = px + t · (qx – px), azaz: x = (1 – t) · px + t · qx, y = py + t · (qy – py), y = (1 – t) · py + t · qy,[ z = pz + t · (qz – pz), z = (1 – t) · pz + t · qz ]

X = (1 – t) · P + t · Q ;

::: t értéke a szakaszon és azon kívül !

::: egyenlőközű t értékek: egyenlőközű pontok,

::: t és (1 – t): X baricentrikus koordinátái az egyenesen, a P,Q alappontokra vonatkozóan::: a baricentrikus koordináták affin invariánsak !

P

Q

t < 0 t = 0

t > 1

0 < t < 1t = 1

2009.08 9

Példa: két egyenes metszéspontja (E 2)

– Adott egy egyenes P = (px, py) és Q = (qx, qy) pontjával

– Adott egy másik; R = (rx, ry) és S = (sx, sy) pontjával

– metszéspontjuk: M = (mx, my)

2009.08 10

Példa: két egyenes metszéspontja (E 2)

– PQ: mx = px + t · (qx - px); RS: mx = rx + t’· (sx - rx)

my = py + t · (qy - py) my = ry + t’· (sy - ry)

– px + t · (qx-px) = rx + t’· (sx-rx),

py + t · (qy-py) = ry + t’· (sy-ry)

– innen: t = …, (és t’ = …),

majd ezzel mx = …, és my = …

2009.08 11

Példa: két egyenes metszéspontja (E 2,3)

– A síkban: 4 egyenlet, 4 ismeretlen: mx, my, t, t’;

– mx = px + t · (qx - px); mx = rx + t’· (sx - rx)

my = py + t · (qy - py) my = ry + t’· (sy - ry)

– Nincs megoldás, ha PQ || RS, vagy PQ = RS (det. = 0)

– A térben: 6 egyenlet, 5 ismeretlen: mx, my, mz, t, t’;

– Az egyenesek a térben lehetnek kitérők !

– Megoldás: először egy síkvetületben oldjuk meg, pl. z=0 ezzel kapunk: t és t’

ezzel kiszámítjuk a két egyenesen a z-t

Példa: egyenes metszése szakasszal (E 2 ):

• Két egyenes metszéspontját számoljuk

• és M a szakaszon van, 0 t 1

Az egyenes „irányvektoros” egyenlete (E 2, 3)

• v = Q – P: az egyenes irányvektora

• Ha adott P és v :

X = P + t · v, x = px + t · vx , y = py + t · vy , [ z = pz + t · v]

Az egyenes normálegyenlete

és ennek változatai (E 2)

pontjával és normálisával adott egyenes (E 2)

• Hogyan adjuk meg?

• type Gline_np =

record P : Gpoint; n : Gvector, end;

Az egyenes normál-egyenlete (E 2)

• Adott P = (px, py) és n = (nx, ny)

Az egyenesen bármely X = (x, y) -re:

( X – P ) · n = 0, azaz:

(x - px) · nx + (y - py) · ny = 0,

• Az egyenesen ( X – P ) · n = 0

egyik oldalán > 0, a másikon < 0.

• Átrendezve:

X · n = P · n azaz: x · nx + y · ny = px · nx + py · ny

( x · a + y · b + c = 0 )

Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2)

• Az egyenes X = (x, y) pontjára (E 2):

a · x + b · y + c = 0; a2 + b2 0;

(a, b) az egyenes egy normálvektora

• Bármely (a,b,c) egy egyenes paraméterei, ésbármely egyeneshez van ilyen (a,b,c) számhármas.

• Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c) (a,b,c) · h; h 0

(a,b,c)-vel adott egyenes (E 2)

• Hogyan adjuk meg?

• type Gline_a,b,c =

record a, b, c : Gxyz; end;

A homogén, implicit egyenlet … (E 2) – olv.

• Hesse-féle normál alakban : a’ · x + b’ · y + c’ = 0;

a’2 +b’2 =1; (a’; b’) egy normál-egységvektor

• Salmon féle alakban: x / a” + y / b” = 1

• Homogén koordinátákkal; az X = [x, y, w] pontokra (H 2):

a · x + b · y + c · w = 0; a2+b2 0;

• Egy egyenes megadása: [a,b,c] h ·[a,b,c]; a2+b2 0;

Az egyenes egyenlete determináns alakban (E 2)- olv

• Adott: P = (px, py) és Q = (qx, qy) a síkban (!!!)

• és egy tetszőleges X = (x, y) pontja

d(PQX) = | x y 1 | a háromszög területe x 2. | px py 1 | | qx qy 1 |

• Ha P, Q, X egy egyenesbe esik, akkor:

d(PQX) = 0, azaz

(py - qy)x + (qx - px)y + (px qy - py qx) = 0

Az egyenes iskolai „egyenlete” (E 2) - olv

• y = M · x + B; korlátozott; az x = c egyenesekre nem,

Ha lehet kerüljük !!! y2 – y1

• Két adott pontján át: y = --------- · (x – x1) + y1; x2 x1!!

x2 – x1

• átalakítva használható:

(x2 – x1) · (y – y1) = (y2 – y1) · (x – x1)

Félsík megadása (E 2)

• (1) Homogén lineáris egyenlőtlenséggel:

a · x + b · y + c < 0; a2 + b2 0;

• (2) a határ-egyenese: (R, n) „normál-egyenlőtlensége”: ( X – R ) · n < 0,

a félsík minden X pontjára

R

n

R

2.2.2. Síkok egyenlete (E 3)

A sík paraméteres egyenlete

(E 3)

Három pontjával adott sík

• Hogyan adjuk meg?

• Például:

type Gplane_ppp =

record P, Q, R : Gpoint; end;

A sík paraméteres egyenlete:

• A síkban adott egy Q pont és az u, v vektor pár :

X = Q + s · u + t · v, (a koordinátákra is)

• A sík három, nem egy egyenesbe eső P, Q és R pontjával

X = Q + s·(P-Q) + t·(R-Q), vagy: X = (1-s-t) · Q + s· P + t · R

x = qx + s·(px-qx) + t·(rx-qx), vagy: x = (1-s-t)·qx +s·px + t·rx

y = qy + s·(py-qy) + t·(ry-qy), vagy: y = (1-s-t)·qy +s·py + t·ry

z = qz + s·(pz-qz) + t·(rz-qz), vagy: z = (1-s-t)·qz +s·pz + t·rz.

A sík paraméteres egyenlete:

X = Q + s·(P - Q) + t·(R - Q), vagy: X = (1-s-t)·Q + s·P + t·R

ha 0 s, t, 1-s-t 1 : a háromszög pontjai,

ha egyik nulla: a háromszög egyik oldala,

ha kettő nulla (és a harmadik 1): egyik csúcsa,

ha valamelyik negatív, vagy >1: a pont kívül van.

s, t, 1-s-t : baricentrikus koordináták a síkban

X = (1-u-v) · Q + u · P + v · R ;

::: A háromszögön belül 0 < u, v, u+v < 1

::: egyenlőközű u,v értékek: egyenlőközű pontok,::: u, v, és (1-u-v): X baricentrikus koordinátái a síkban, a P,Q, R alappontokra vonatkozóan::: a baricentrikus koordináták affin invariánsak !

PQ

u = 0

0 < u, v, u+v < 1

(u = 1)

R

v = 0

(v = 1)

(u+v=0)

Példa: egyenes döféspontja síkkal

– A döféspontot jelöljük így: M = (x, y, z )

– A PQR síkjának egyenlete: M = (1-u-v) · Q + u · P + v · R ;

az ST egyenes egyenlete: M = (1-w) · S + w · T ;

– A 3+3 egyenlet, 6 ismeretlen: x, y, z, u, v, w;

– Megoldás: az M két kifejezése egyenlő egymással.Marad 3 egyenlet az u, v, w ismeretlenekre

– De az egyenes és sík lehetnek párhuzamosak !

A sík egyenlete kifeszítő vektoraival

• a = P – Q és b = R – Q

a síkot kifeszítő két vektor

• Ha adott Q , a és b,

akkor a sík bármely pontjához van u,v:

X = Q + u · a + v · b,

A sík normálegyenlete

és annak változatai (E 3)

pontjával és normálisával adott sík

• Hogyan adjuk meg?

• Például:

type Gplane_np =

record P : Gpoint; n : Gvector, end;

A sík normálvektoros egyenlete :

• A sík adott P pontja és n normálvektora:

(X - P) · n = 0, illetve: (x-px)·nx + (y-py)·ny + (z-pz)·nz = 0;

X · n = P · n, illetve: x·nx+ y·ny+ z·nz = px·nx+ py·ny+ pz·nz

x·a + y·b + z·c + d = 0

A sík implicit, homogén egyenlete

• A sík homogén, implicit egyenlete:

a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c2 0

Egy sík megadása (tárolása): [a,b,c]; a2 + b2 + c2 0

• Homogén koordinátás alakban (H 3):

a · x + b · y + c · z + d · w = 0; a2 + b2 + c2 0

Egy sík megadása: [a,b,c,d] h·[a,b,c,d]; a2+b2+c2 0

• Tömören: s · X = 0; s = [a, b, c, d] és X = [x, y, z, w] T;

A sík implicit, homogén egyenlete - olv

a·x + b·y + c·z + d = 0; a2+b2+c2 0

• Hesse-féle normálalak: a’·x+b’·y+c’·z+d’=0; a’2+b’2+c’2=1

• Salmon féle alak: x / a” + y / b” + z / c” = 1

• determináns alak: 3 nem egy egyenesbe eső adott pont,

P = (px, py,, pz,), Q = (qx, qy, qz,), R = (rx, ry, rz,):

| x y z 1 | = 0 (az első sor szerint kifejtve …)| px py pz 1 || qx qy qz 1 | (Az X, P, Q, R tetraéder | rx ry rz 1 | térfogatának 6-szorosa.)

Lássunk a koordináták mögé – t.i.

• z = 0; mi ez?

Egyenlőség, egyenlet, kié-mié?

0 x + 0 y + 1 z + 0 = 0

sík: z = 0 és akármilyen x, y;

az XY sík

• x + y = 0 mi az? HF !

A sík homogén koordinátás egyenlete

• Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0):

P = [p1, p2, p3, p4]T h·[p1, p2, p3, p4]T; pi nem mind 0

• Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h≠0):

s = [s1, s2, s3, s4] h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0

• Az s sík egyenlete: az s minden X pontjára:

s · X = 0, azaz: s1·x1 + s2·x2 + s3·x3 + s4·x4 = 0

• Az ideális sík homogén alakja: [0, 0, 0, c ]; c 0

(Minden pontja ideális pont: [x, y, z, 0] )

Nevezetes pontok és síkok homogén alakja

• Bármilyen c 0 számmal

[0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja,[0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja,

• [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík,[0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.

További példák …

Egyenes döféspontja háromszöggel (E 3): t.i.

• Adott egy háromszög A, B, C csúcsai,

síkjának egyenlete: X = B + s · (A - B) + t · (C - B)

• Adott egy egyenes P, Q pontjaival.

az egyenes egyenlete: X = P + u · (Q - P).

• döféspont: [ X = ] B + s · (A - B) + t · (C - B) = P + u · (Q - P)

• 3 egyenlet; 3 ismeretlen: t, s, u; ezekből számolható X.

• Ha 0 s, t, 1-s-t 1, akkor X a háromszögben van.

• (Nincs megoldás: párhuzamosak, vagy egybe esnek.)

Áttérés egy másik egyenletre – t.i.

• Adott (a,b,c): a · x + b · y + c · z + d = 0

• Írjuk föl a normál egyenletét: (X – R) · n = 0

• Ehhez kell egy R pontja és egy n normálisa.

• a,b,c nem mind 0, ezért lehet

R = (-d / a, 0, 0), vagy: (0, -d / b, 0), vagy (0, 0, -d / c)

• és egy n := (a, b, c);

Példa: hátsó lapok ritkítása - olv• Egy poliédert a C pontból (kamera) nézünk.

Melyik lapok láthatók, melyek takartak?

• nq (PQ normálisa) és a CQ vektor tompa szöget zár be, CQ · nQ < 0 PQ látható

• np (PT normálisa) és a CP vektor hegyes szöget zár be, CP · nP > 0 PT nem látható

• Egy ABC lap normálisa: n = (A - B) x (C - B); (kívölről nézve KNÓJEI = CCLW)