Einführung in die Astronomie ITeil 7

Peter Hauschildtyeti@hs.uni-hamburg.de

Hamburger SternwarteGojenbergsweg 112

21029 Hamburg

24. Januar 2019

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Übersicht Teil 7

I SternaufbauI GrundgleichungenI Nukleare Reaktionen in SternenI Sternmodelle

I SternentwicklungI ZeitskalenI EntstehungI HauptreiheI Endstadien

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Sternaufbau

I SternatmosphäreI ≈ 10−3 SternradiusI ≈ 10−11 Sternmasse

I Rest: SterninneresI EnergieerzeugungI Entwicklung

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Grundgleichungen

I sphärischer, nicht rotierender SternI keine B-Felder, Gezeitenkräfte etc. . .I → Stern ist sphärisch symmetrischI → einzige Variable r

I Zeitentwicklung → s.u.I Materie ist gasförmigI Kräfte:

I GravitationI Druck

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Massenverteilung

I Mr : Masse innerhalb Kugel r

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Massenverteilung

I Massenerhaltung bei Dichte ρ→

dMr

dr= 4πr 2ρ

I ρ(r) hängt auch von T und P abI Zusammensetzung hat auch wichtigen Einfluß

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Hydrostatisches Gleichgewicht

I Früher Abgeleitet:dP

dr= −gρ

I Hierg =

GMr

r 2

I alsodP

dr= −GMr

r 2 ρ

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Energiequellen

I chemische EnergieI 10−19 J pro AtomI L = 3.9× 1026 W oder [J/s]I → 3.9× 1045 Reaktionen/s benötigtI Sonne enthält ca. 1057 AtomeI → reicht für 3× 1011 s → 10.000 Jahre

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Energiequellen

I thermische EnergieI ideales einatomiges GasI →

ET =

∫ M

0

3k2µmH

TdMr

I µ Mittleres MolekulargewichtI Sonne → ET ≈ 5× 1041 JI reicht ca. 107 Jahre

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Energiequellen

I Kelvin-Helmholtz KontraktionI Potentielle Energie (Gravitation)I → Erwärmen durch ZusammenziehenI → AbstrahlungI reicht für ca. 25× 106 Jahre

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Energiequellen !!

I Fusion H → HeI E = mc2

I 1 kg H wird zu 0.993 kg HeI 7 g Materie werden in Energie umgewandeltI das entspricht dem Heizwert von 20.000 Tonnen KohleI ’verbrennt’ 4 Millionen Tonnen / sI reicht Sonne für 1010 − 1011 Jahre. . .

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Energieerhaltung

I erzeugte Energie muss abgeführt werdenI Lr : lokale Leuchtkraft an r

I ε: lokal erzeugte Energie/Massen/sI Energiebilanz:

Lr =

∫ Mr

0ε dMr =

∫ r

0ε4πr 2ρ dr

I differenzieren nach r →

dLrdr

= 4πr 2ρε

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Energietransport

I StrahlungI KonvektionI Wärmeleitung

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Strahlung

I optische Tiefe sehr großI Photonen diffundieren nach aussenI Diffusionsgleichung

j = −13vldn

dr

I j → F = Lr/(4πr 2) Diffusionsfluß (Strahlungsstrom)I n→ u = (4σ/c)T 4 Teilchendichte (Strahlungsdichte)I v → c

I l = 1/χ mittl. freie WeglängeI dn/dr → d((4σ/c)T 4)/dr Konzentrationsgradient

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Strahlung

I damitdT

dr= − 3

64πχ

σ

Lrr 2T 3

I NB: Weigert/Wendker verwendet χ = κρ

I σ ist hier die Stefan-Boltzmann Konstante

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Konvektion

I Materieaustausch heisse-kühle SchichtenI Ideal: adiabatischer Prozess für einatomiges Gas:

dT

dr= −2

5T

P

dP

dr

I erfüllt im Zentrum, falls konvektiv

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Konvektion

I Heisse ’bubbles’ steigen aufI Kühle sinken abI → Energietransport nach aussenI nahezu adiabatischer ProzessI funktioniert wenn

|dT/dr |rad > |dT/dr |ad

(der kleinere T -gradient gewinnt!)I mixing-length ’theory’

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Wärmeleitung

I Nur in Sonderfällen wichtigI z.B. entartetes Elektronengas (WDs)I sieht aus wie DiffusionsgleichungI → formales χWL

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Gesamtsystem !!

I MassenerhaltungdMr

dr= 4πr 2ρ

I HydrostatikdP

dr= −GMr

r 2 ρ

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Gesamtsystem !!

I EnergieerhaltungdLrdr

= 4πr 2ρε

I Energietransport (Diffusion)

dT

dr= − 3

64πχ

σ

Lrr 2T 3

I 4 Gleichungen für 4 Unbekannte!

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Randbedingungen !!

I r = 0I Mr = 0I Lr = 0

I r = RI T → 0I P → 0

I gemischtes RandwertproblemI Parameter: M , ZusammensetzungI Lösung per Computer

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Zustandsgleichung !!

I ρ = ρ(T ,P ,Zusammensetzung)I muss bekannt sein!I Sterne → Gas (normalerweise)I Zentrum der Sonne T = 15× 106 K, ρ = 100 g cm−3

I hohe Drücke → vollständige IonisationI aber noch ideales Gas! →

n =1k

Pg

T

ρ =µmu

k

Pg

T

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Zustandsgleichung (EOS) !!

I µ (dimensionsloses) mittl. MolekulargewichtI teilweise Ionisation → zählen →

µ =Zahl der Nukleonen pro cm3

Zahl aller Teilchen pro cm3

I vollst. Ionisation, 1 Element →

µ =A

Z + 1!!

I H → 0.5I He → 1.433I schwere Elemente µ ≈ 2

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Strahlungsdruck

I muss in P berücksichtigt werden!I im TE

Pr =4σ3c

T 4

I P = Pg + Pr

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Entartung !!

I Fermionen (Teilchen mit (n/2)~ Spin) folgenPauli-Prinzip

I extremer Druck →I Phasenraum der Elektronen ’voll’I → EOS nicht mehr T abhängig!I kann enorme Drücke liefern

P ∝ men5/3e

P ∝ me

(ρ

µe

)5/3

I Beispiel: Weißer Zwerg

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Zustandsgleichung (EOS)

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nuclear reactions

I overview about most important nuclear reactions in starsI historically:

I thermonuclear reactions in stars: 1929, Atkinson &Houtermans (after Gamov’s tunnel effect)

I 1938: Bethe & Critchfield discover the pp-chain, Bethe &Weizsäcker discover the CNO cycle

I 1952: Salpeter: He burningI 1958: Burbidge2, Fowler, Hoyle: Synthesis of elements in

stars

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nuclear reactions

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nuclear reactions

I fusion requires that the particles are close to each otherso that nuclear forces can operate

I “nuclear radius”

r0 ≈ 1.44× 10−13A1/3

I for d < r0 nuclear forces dominate!I Coulomb forces:

ECoul =Z1Z2e

2

r

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nuclear reactions

I height of the Coulomb barrier:

ECoul(r0) ≈ Z1Z2 MeV

I particle with kinetic energy E1 can reach a distance ofE1 = ECoul(r1) from the nucleus

I kinetic energy from thermal motions (thermonuclearreactions)

I stars generally do not explode through thermonuclearreactions→ average energy Eth < ECoul(r0)

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nuclear reactions

I T ≈ 107 K→ kT ≈ 103 eV→ Eth too small by about a factor of 1000!

I classical high-end tail of the MB distribution→ number of particles drop by exp(−1000) ≈ 10−434

→ “only” 1057 protons in the Sun→ no reactions! (even for the 1080 protons in theuniverse)

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nuclear reactions !!

I solution: tunnel-effect (G. Gamov)I tunneling probability:

P0 = p0E−1/2 exp(−2πη), η =

(m2

)1/2 Z1Z2e2

~E 1/2

where m is the reduced mass and p0 depends only on theproperties of the 2 colliding nuclei

I for Z1Z2 = 1 and T = 107 K→ P0 ≈ 10−20 for particleswith average kinetic energies (rising steeply towardshigher energies!)

I → chance of reactions enormously increased!

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nuclear reactions

I higher Z will require higher temperatures for reactions totake place→ well separated phases of nuclear burning!

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nuclear reactions

I Typical parametrization:

ε ∝ T ν

I but ν = ν(T ,Z1,Z2)

I Typical abbreviations: Tn =T

10nK

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proton-proton chain !!

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proton-proton chain

I pp1: goes through 2 3He producing chainsI other 2 branches use existing 4He as catalystI branching exists because 7Be can react with e− or protonsI released energies are slightly different depending on the

channel taken1. pp1: 26.2MeV2. pp2: 25.67MeV3. pp3: 19.2MeV

I relative frequency of branches depends on abundances, Tand ρ

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CNO cycle !!

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CNO cycle

I main cycle (upper) completes when 12C is reproduced in15N+ 1H

I this can branch through 16O (must be pre-existing) whichis 10−4 times as likely

I transforms 16O to 14N!I β+ decays lifetimes 102 . . . 103 sI low T → detailed calculations of paths requiredI usually stars change slowly and if T > 1.5× 107 K so that

equilibrium is established

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CNO cycle

I slowest reaction: 14N+ 1H controls the overall energyproduction (bottleneck reaction)

I all CNO nuclei will be transformed to 14NI energy gain of the CNO cycle: 24.97MeV

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helium burning

I gradual fusion of 4He to 12C, 16O etc.I requires temperatures T8 ≥ 1I first and key reaction: 3 4He to 12C: the triple α processI proceeds in 2 steps

4He+ 4He↔ 8Be

8Be+ 4He↔ 12C+ γ

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helium burning

I first reaction: 8Be is ≈ 100 keV above ground state →can decay back with a lifetime of ≈ 10−16 s

I about 105 times the duration of a normal encounter (longenough to build up 8Be to 10−9)

I therefore another reaction can occur during the lifetimeI high densities produce enough α captures to produce 12CI energy released per 12C: 7.275MeVI per unit mass, this is 0.1 times the energy production of

the CNO cycleI very T sensitive: T8 = 1 . . . 2→ ν ≈ 40 . . . 19

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helium burning

I with enough 12C around, further α captures can occursimultaneously:

12C+ 4He→ 16O+ γ

16O+ 4He→ 20Ne+ γ

I going beyond 20Ne in this way is rare in normal starsI energy release for 12C(α, γ)16O is 7.162MeVI 16O(α, γ)20Ne releases 4.73MeVI during He burning these reactions occur simultaneously

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carbon burning

I He burning leaves mostly 12C and 16OI C burning will set in for T8 ≈ 5 . . . 10I reactions become quickly highly complex and only

estimated reaction rates are availableI first problem: initial reaction 12C+ 12C produces an

excited 24Mg nucleus that has a number of channels fordecay:

12C+ 12C→

24Mg+ γ, (13.931MeV)23Mg+ n, (−2.605MeV)23Na+ p, (2.238MeV)20Ne+ α, (4.616MeV)16O+ 2α, (−0.114MeV)

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oxygen burning

I 16O+ 16O requires T9 > 1I several channels:

16O+ 16O→

32S+ γ, (16.541MeV)31P+ p, (7.677MeV)31S+ n, (1.453MeV)28Si+ α, (9.593MeV)24Mg+ 2α, (−0.393MeV)

I Si-burning → FeI end-of-the-line. . .

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