Math. Nachr. 113 (1983) 47-51

Einige Bemerkungen uber Ringe rnit Approximationseigenschaft. I1

Von MARIO ESTRADA in Havanna

(Eingegangen am 22. 12. 1981)

Sei (A , m) ein lokaler Ring. A hat die Approsiinationseigenschaft (kurz A E AE), wenn stets folgendes gilt (vgl. [ 3 ] ) : Es sei Y - (Yl, ..., Y,) Unbestimmte, F = (F,, . .., F,) ein System van in Polynoinen aus A [ Y ] und g = (gl, . . ., g,) E 3 ( A die Konzplet- tierung von A ) gegeben nzit F(g) = 0. Dann existieren yi,c E A , i = 1, ..., n fur jede naturliche Zahl c mit B'(y,,,, . . ., ynBC) = 0 und y i ,c = gi mod me.

Ausgangspunkt fur diesen Artikel ist wie in [2] folgendes Problem:

Sei A E AE, ist Adh (die strenge HENSELisierung won A ) aus AE (vgl. [ l ] ) . Wir verallgeineinern unsere Resultate aus [ 2 ] , indem wir die Voraussetzung, daB

A seinen Restlrlassenkorper enthiilt (bzw. einen entsprechenden diskreten Bewertungs- ring), weglassen. Weiterhin wird gezeigt, daB unter geeigneten Voraussetzungen in Aah der WEIERSTRAsSsche Vorbereitungssatz gilt, wenn er in A gilt. SchlieBlich wird gezeigt :

Ist A E AE lokal und normal, dann ist 8, normal fur jedes p E Spec A .

1. Die strenge Henselisierung von Ringen mit Approximationseigenschaft

1.1. Sat,z. Sei A E AE ein lokaler noetherscher Ring, A/mA = k und b die Charakte- AE.

Beweis. Wir unterscheiden zwei Falle.

ristik w o n k. Se i K der separable Abschlup won k mit [ K : Kb] < 00, dann ist A8h

a) Char A = char k = b b) Char A = 0, char k = 6 > 0.

Bemerkung. Wir setzen nicht voraus, daB A den Restklassenkorper k enthiilt (im Fall a)) bzw. einen exzellenten henselschen diskreten Bewertungsring (in Fall b)).

Beweis a). Sei A = k [X, , .. ., X J a , OL E K und f ( X ) = X" + [n-lX*-l +. - . + to, t i E k, i = 0, . . ., n - 1, das Minimalpolynom von 01 uber k. Sei I,, das von ( F ( X ) / P ( X ) = f,,(X) (m,A[X]) , Gr. P ( X ) = Gr. f ( X ) ) erzeugte Ideal, dann ist A 4 A[&] = : AIX]/Ia. A[&] ist lokal und endlich uber A , also A[&] E AE mit den1 Maximalideal m,A[a] und dem Restklassenkorper A[or]/m,A[or] = k(01). Nun ist K = l& k(01). Wir wollen

Sei k(01) 4 k(y), dann ist A[&] 4 A[y] und A[&] [ y ] = A[y] und somit ist (A[a i ] , v i i } ein induktives System, rpii : A[ni] 4 A [ 9 ] fur k(ari) 6 k(aj) (wegen der Separabilitat

ein analoges induktives System mit den 4 0 1 1 bilden. aEK

48 Estrada, Einige Bemerkungen

von K konnen wir uns auf diese Falle beschranken). Sei a E k(y), d. h. a = cmym + ~ , , - ~ y ~ - l + .. . + co, ci E k, i = 0, ..., m, und g ( X ) = : f,(Y) mit Y = c,X” + + co, so da13 g(X = y ) = f,(Y = a ) = 0 und damit g ( X ) = f v ( X ) . h ( X ) , wobei f,(X) das Minimalpolynom von y iiber I% ist. Nach dem HENsELschen Lemma existieren Polynome G ( X ) , F I ( X ) und H ( X ) iiber A , so daB G ( X ) = F , ( X ) . H ( X ) und

Grad G ( X ) = Grad g ( X ) Grad F , ( X ) = Grad f , ( X )

Grad H ( X ) = Grad h ( X ) .

G(X) = g ( X ) (nz,A[Xl) ;

F,(X) = f , ( X ) (m,A[X]), H ( X ) = h ( X ) (m,A[X]) ,

Damit erhalt man die Einbettung

A [ a ] = A [ Y ] / I , 4 A [ X ] / I , .

Man kann sich leicht uberlegen, daD A[a] [ y ] = A [ y ] ist. Damit erhalten wir ein induk- tives System (A[ai] , pij}, pii : A[ori] 4 A[aj] , k(ai) 4 k(aj). Es gilt auch A[ai]^ = k(ai) x [ X I , . . ., xn]/a. k(ai) 1x1, .. -, X,].

Wir benotigen jetzt folgendes Lemma:

1.2. Lemma.

Der Beweis folgt analog zum Satz 1.1. in [2], in dem man A [ a i ] statt A Tmk k ( n i ) betrachtet.

Nun ist A’ = K [ X , , ..., XJa K [ X , , ..., X,] und A’lm,. = K. A’ ist streng henselsch und erfiillt die Universalitatseigenschaft der strengen HENSELisierung (vgl. [ l ] ) , d. h. A’ - Ash E AE.

b) Char A = 0, char k = b > 0. Sei a = &X,, .. ., X,] (vgl. [ l ] ) , wobei R ein exzellenter HENsELscher diskreter Bewertungsring mit = k (s ein lokal Para- meter) ist. Analog zum Fall a), sei a € K und

f.(X) + X” + 5,-1Xfl-1 + - 1 - + lo,

das Mininialpolynoin von a uber k und Fa das von ( P ( X ) / F ( X ) 3 f . (X) (m,A[X]) Grad F ( X ) = Grad f , (X) } erzeugte Ideal A [ a ] = : A[X]/ I , .

Es gilt A 4 A[&] 4 &a] = A [ a ] ^ = &a] [X,, ..., X,]/&[a] [ X , , ..., X , ] und A[&] ist lokal und endlich iiber A , also A[&] E AE. Ganz analog beweist man, daB A[&] 4 A [ y ] , falls k(a) 4 k(a) ist, und daB ( A [ a i ] , p i j : A [ n i ] 4 A[&,]} ein induktives System bildet mit A[ai] /mA[ni] = k(oci) und A[ai]. = 8 [ a i ] [X , , .. ., X,]/ah[ai] x [X,, . . ., X,].

Zum Beweis benotigt man nun analog das Lemma:

1.3. Lemma.

ti E k ; i = 0, ..., n - 1

A’ = l@ A[ni] E AE. U ‘ E K

Der Beweis folgt analog zum Satz 1.3. von [a], indetn man A [ a J statt A @R R [ a ] betrachtet. Nun ist A’/m,. = K und A’ erfullt analog zii a) die Universalitatseigenschaft der strengen HENSELisierung, d. h. A‘ = A’” E AE.

Damit ist Satz 1.1. bewiesen.

Eatrade, Einige Bemerkungen 49

2. Die slxenge Hense~isiernng von WA-Ringen

2.1. Sei A ein reguliirer lokaler Ring mit Restkhsenkorper Aim, = k c A, A = k [ X l , . . ., X,], mit folgenden Eigenschuften (wir sagen kurz A ist ein WA-Ring). w 1 . w 2 .

A E AE In A gilt deer WEIERSTRASSSC~ Vorbereitungssatz ( W V S ) d. h. es gilt: Sekn g, f E A und f Xi-allgemein (d. h. f(0, ..., X i , 0, ..., 0) = a8Xf + hiihere Glieder in X i , a, + 0 aus k) dann ist

a-1

j-0 9 = qf + 2 gjX<i; gi E A n kl[Xl, ... 9 Xi-1, Xi+l, -.-, Xn]

m i t q , g f E A , j = O ,..., s - 1.

2.1. Satz. Sei A ein WA-Ring und K eine separable Erweiterung von k, so dap [ K : Kb]

Beweis. Wir setzen zur Abkiirzung A K = : A Ok K. Nach [2] ist A K E AE und

< 00 falls char k = b > 0. Dann i8t A @k K iet auch ein WA-Ring.

wir miissen nur noch W 2. nachweisen. Sei

n f c A K u n d f = z f f i y i , y E K , f i E A , i = O ,..., n , d.h.

i = O

I

f = P(Xo = y ) wobei F = : z fix:, X o eine Unbestimmte. i = o

Zunachst beweisen wir das folgende

2.2. Lemma. Seien g, f E A K ; f X,-allqemein, Grad," (1) = 8

m

i = O

F = 2 f jXi j=o

a(x0 = y ) = g, a = zgix; I

P(X0 = 7) = f ,

und 6- 1

0-0 G = H F + z H , , X ;

die entsprechende ,,WEIERSTRAs9SChe" Gleichung in k[Xo, X, , . . ., X,], dann ist r

1=0

1

j = O

H = z h J i , h ,Ekl[X1, . - - ,Xn]

H , = 2 (h,)j X i , (hu)j E kI[Xl, ..., X,] , v = 0, ..., s - 1.

B e w e is von Lemma 2.2 : Sei

= z bu1...anX? - * 12 9 bal ,.... an E MXOI

4 Math. Nachr. Bd. 113

60 Estrade, Einige Bemerkungen

dann gilt Gradxo (buI...un) 5 n2, Gradxo aaI...an 5 n und

H = ,Z hi l...inX) - * . Xk,

Ho = Zb,i l...i,X) . * * Xk,

hi I...i, E ~ [ X O ]

hu,i ,... i, E k[rXo]).

Wir mussen zeigen, daB Grad,, (hil,..iJ 5 t < co und GradxD (k,,,iI,..in) 5 1 Man hat fur a, 2 s = Gradxn ( f ) folgende Gleichung

00 ist.

b u I...um = ,Z auI- i l ..... ..-inhi I...i.

und beweist durch Induktion nach dem Gewicht = : (il + + in), da13 Gradxo (hil...in) 5 m < 00. Analog beweist man, daB Gradx, (h,,,iI...iJ 4 1 < 00, fur v = 0, ..., s - 1. Damit ist das Lemma bewiesen.

Zum Beweis des Satzes mussen wir zeigen, daB H = 2 hjX4, h, E A , d. h. h = H r

j -0 x (X, = y ) E A,, und Hv(Xo = y ) E AK, v = 0, ..., s - 1.

Nach dem Lemma 2.2. ist

F H R mit

gi E A , i = 0, ..., m h,, rt E A , p = 0, ..., T

f i E A , j = 0, ..., n t = 0, ..., a. Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir ein Gleichungssystem in den Variablen h,, rt (die Koeffizienten hangen von den f i , gi ab). Dieses System besitzt eine Losung aus A = k[X,, ..., Xn]) also auch aus A, weil A E AE ist. Sei (hk, 41, p = 0, ..., r, t = 0, . . ., d eine Losung aus A. Nach der Eindeutigkeit der Losung der ,,WEIERSTRASS- schen" Gleichung folgt h, = hi E A ; rl = 4 A. Also h = H ( X o = y ) E A,; r = R

x (Xo = y ) E AK. Man zeigt nun analog, daB in R = H,X: fur die H,,, H,, = Z (hu)i XA

mit (h,,)i E A gilt, also h, = H,,(Xo = y ) E A, fur alle v = 0, ..., s - 1.

8-1 r

0-0 0-0

Damit ist der Satz 2.1. bewiesen. Als Polgerung wollen wir folgende Korollar formulieren :

2.3. Korollar. Sei ein WA-Ring dann is. die strenge HENsELierung Ad* auch ein WA-Ring.

3. Einige Bemerkungen zur Exzellenz von Ringen mit AE

3.1. Satz. Sei A E AE lokul und normal. Dann ist (Ap)* normal fur alle p E Spec A. Beweis. Wenn A normal iat, ist A normal (vgl. [2]). Wir wenden den folgenden

Satz an (Satz 2.10.7 in [3]): 1st A ein noetherscher semilokaler Integritatsbereich und A @ A &(A) normal, p ein Primideal aus A , so ist (A,) . @ &(A) normal.

Estrada, Einige Bemerkungen 51

Da in unserem Fall A normal ist, ist auch A @ A Q(A) normal, also (Ap) - @ A Q(A)

Jetzt benutzen wir folgende Aussage (Hilfssatz 2.10.1. in [3]): normal.

A sei nullteilerfrei. Ist fur alle p E Spec A der Ring A k ( p ) geometrisch reduziert uber k ( p ) (hier ist k ( p ) = Q(A/p)) und A @ A Q(A) norml, SO ist A @ A B die Normalisie- rung von d (wobei 2 die Normali&erung von A ist). Wenn A universell japanisch ist und normal, impliziert die Normalitat von A @ A Q(A) die von 8. Da A, in unserem Pall universell japanisch ist und normal, und (Ap)- @ A Q(A) normal ist, ist auch (AJA normal.

3.2. Bemerknngen. Um zu beweisen, da13 der regullre 01% von Ringen rnit AJ3 offen ist, ist folgendes Lemma nutzlich:

M e y e ) dunn ist A E J - 1 (a. h. Reg A ist offen in Spec A) (vgl. [4]).

p,ESIngA

3.3. Lemma. Sei A E AE und A E J - 0 (d. h. Reg A enthalt eine nichtleere offene

Beweis. (vgl. [ 5 ] ) Sei a = n p i ; A E J - 0, d. h. es existiert einenichtleere

offene Menge U c Reg A definiert durch ein Ideal a. + 0 aus A, V(a,,) 3 Sing A. Nun ist 0 =+ a,, c a d. h. a =+ 0 und V(a) 3 Sing A. Es ist zu zeigen, da13 V(a) =SingA, d.h. fur alle pcS ingAfo lg t p 2 a . Da a + O ist, ist a=q,n...nq, fur bestimmte Primideale qi, i, ..., s. Wegen ad n A = a und aA 3 6, wobei V(b) = Sing A (vgl. [6 ] ) , gilt pid 3 6, i = 1, . . ., s, also qiA E Sing d und damit pi E Sing A, i, . .., s. Wenn p a, existiert ein qi , pi 3 qi, d. h. p E Sing A und damit ist das Lemma bewiesen.

Literstnr

[l] GROTHENDIECK, A., DIEUDONN~, J., Elements de Geometrie algebrique IV 1-4 Publ. math.

[2] ESTRADA, M., Einige Bemerkungen iiber Ringe mit Approximationseigenschaft, Math.

[3] KURKE, H., PFISTER, G., ROCZEN, M., Henselsche Ringe und algebraische Geometrie, Berlin

[4] MATSUHURA, H., Commutative Algebra, New York 1970 [6] PFISTER, G., Die Approximationseigenschaft lokaler hemelsoher Ringe, Habilitationsschrift

IHES 17, 20,28, 32 (1969)

Nachr. 101, 229-232 (1981)

1976

Berlin 1976

Akademie der Wieeenaohften Abteilung Mathemtik Capitolio National Havannu, Cuba

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