Math. Nsehr. 101,220-2Y2 (1981)

Einige Bemerkungen uber Ringe mit Approximationseigenschaft

Von MARIO ESTRADA in Habana (Cuba)

(Eingegangen a m 26. 10. 1979)

Sei ( A , m ) ein lokaler Ring. A hat die Approximationseigenschaft (kurz A E A E ) , wenn stets folgendes gilt (vgl. [ 2 ] ) : Es seien Y = ( Y , , . . . , Y,) Unbestimmte, F = (PI, . . . , F,) ein System von m Polynomen aus A[ Y ] und ij= (ij,, . . . , jj,) E E (A")" (A" die Komplettierung von A ) gegeben mit F(5) = 0. Dann existieren Y ~ , ~ E A , i = 1, . . . , n,, fur jede naturliche Zahl c mit F(y,,,, . . . , y,,J=O und yi,c- = & mod m'. Ausgangspunkt fur diesen Artikel ist das folgende Problem : Sei A A E , ist dann A"" (die strenge Henselierung von A) aus AE? Dieses Problem kann fur lokale Ringe A , die ihren Restklassenkorper enthalten (bzw. einen entsprechenden diskreten Rewertungsring) gelost werden.

Weiterhin wurde in [ 2 ] die Frage gestellt, ob Ringe mit Approximationseigen- schaft exzellent sind. Die dazu in [ 2 ] erzielten Resultate fur zweidimensionale re- gulare lokale Ringe konnen auf normale ausgedehnt werden.

1. Die strenge Henselierung von Ringen mit Approximationseigenschaft

1.1. Satz. Sei AEAE ein lokaler noetherscher Ring, Alm=k, k s A und p = = Charakteristik von k. Sei weiterhin KI> k eine algebraisch separable Erweiterung und [K : Kp] <-, dann ist A @ k K ein lokaler noetherscher Ring und aus A E .

Reweis . K=lim k[a] . Sei F m ( T ) ~ k [ T ] das Minimalpolynom von a , d a m ist

A@. ,k[a]=A[T] /F , lokal und endlich uber A und hat damit die Approxima- tionseigenschaft (vgl. [ 2 ] ) . Sei A A = k [ [ X l , . . . , X,]]/a, dann ist (A@.,k)^ [a] = =k[a] [[Xi, . . . , X,]]/a - k[a] [[X,, . . . , X,]]. Nun ist A@.,K=lim A@.,k[a]

und Sei G=(G,, . . . , G,)E € (A@&) [ Y I , . . . , Y N ] ein Gleichungssystem und g = ( j j , , . . . , j j N ) , i j i€(AmkK)" gegebenund G(I)=O. Nungibteseina,€K,sodaBdie GiCA@,k[ao] [ Y i , . . . , Y,] sind. Wegen [ 2 ] hat der Ring B = : lim (A@,k)^ [a]=lim k[a] [[Xi, . . . , X J ] /

ak [a] [[X,, . . . , X,]] die Approximationseigenschaft (B^ = Es gibt also

+ UEK

+ u E K

(A@. ,K)^=K[[X , , . . . , X,] ] / aK[[Xi, . . . , X,]].

+ --* EX aEE

230 Estrada, Einige Bemerkungen

y i , cEB, so daB G ( g , , c , . . . , yn-, ,)=O ist und g i , e ~ i j i mod mi. Seien fji,pCA@kk[aI] und ohne Beschrankung der Allgemeinheit zl=ao=a. Da A@kk[a] E AE ist, gibt es yi,eEAC3kk[a] rnit G(yl,, , . . . , y,,,)=O und yi,c=gi,c=& mod m e . Da ( A @ f i ) ^ noethersch ist und ABkKEAE, ist A @ & noethersch. Damit ist der Satz be- wiesen.

1.2. Korollar. Sei A wie in 1.1 ., dann ist Abh E AE. Beweis. Sei K der separable AbschluB von k, dann ist nach 1.1. A@&EAE.

A a k K ist streng henselsch und erfullt die Universaleigenschaft der strengen Henselierung (vgl. [l]), d. h. A"=A@&.

1.3. Satz. Sei A ein lokaler noetherscber Ring mit Approximatwnseigenschaft, R ein exzellenter henselscher diskreter Bewertungsring rnit Primelement t und folgen- den Eigenschaften:

(1) R s A und R/t = A/m = : k ( 2 ) Charakteristik R = 0 , Churakteristik k = p > 0 ( 3 ) Sei K der separable Abschlub won k, dann Gt [K : K p ] -= -. Dann ist Aah E AE. Beweis. Sei R die strenge Henselierung von R. Nach [l] ist R=lim R,, R.

eta1 uber R. Dann ist A @ RR, endlich uber A und hat damit die Approximations- eigenschaft. Sei A = (E) [[XI, . . . , X,]]/a (Cohenscher Struktursatz, vgl. [l]), dann ist (A@RR,)A=(R,)^[[Xl , . . . , X,] ] /a(R, )A[[Xl , . . . , X,] ] . Nun kann man analog zu 1.1 und 1 . 2 schlieBen, indem man ausnutzt, daB s m ( A @ I ~ R = ) * C A E ist (das folgt nicht direkt aus [ 2 ] , man kann sich aber leicht uberlegen, daB die Ringe lim R,[[X, , . . . , X,]] unter den oben gemachten Voraussetzungen eine Weier- straB-Kategorie, vgl. [ 2 ] , [4], bilden).

---*

- 2. Zur Exzellenz von Ringen mit Approximationseigenschaft

2.1. Satz. Sei A E AE ein zweidimenswnaler, normaler, lokaler IntegriWsbereich rnit einem RestklassenkBrper der Charakteristik 0, dann ist A exzellent.

Hinweis. Wenn p die Chamkteristik des Restklassenkijrpers k von A ist und p'0 und [k : kP] -=a, dann ist A exzellent, wenn A universell japanisch ist (vgl. [S]). Ringe mit Approximationseigenschaft sind stets universell japanisch (vgl. [ 2 ] ) . Fur diesen Fall ist daa Problem damit allgemein gelost.

Beweis v o n 2.1. Wir mussen zeigen, dal3 AA@.,Q(A) (&()=Quotienten- korper) und (Alp)^ @.,&(Alp) geometrisch reguliir sind fur jedes Primideal p c A mit der Hijhe 1. Letzteres ist klar, weil A universell japanisch ist (vgl. [I]). Es bleibt zu zeigen, daB A* mA&(A) regular ist, d. h., fur jedes Primideal p s k mit p fl A = 0 ist A; regular. Dazu zeigen wir, daI3 A^ normal ist, dann ist wegen p fl A = 0 die Hohe von p gleich 1 und damit A; regular.

2.2. Lemma. Sei A ein Integritatsbereich, A E BE. Dann ist A normal genau dann, wenn 8" normal ist.

Estrada, Einige Bemerkungen 231

Beweis. Wenn A^ normal ist, ist auch A normal (vgl. [2]). Sei A normal und zn+an-, xn-l +. . . +ao=O mit xE&(AA) und aicA^. Wir miissen zeigen, daS xCAn

Y ist. Sei x= - mit y, z C A ^ , dann ist 2

(1) y"+a,_,zy*-'+. . .+aOzn=O.

Nun betrachten wir die Gleichung.

(2) iiber A . Diese Gleichung hat wegen ( 1 ) eine Losung in A". Da ACAE ist, hat (2) Losungen ye, a,,,, z,(A fur alle natiirlichen Zahlen c mit y,=y mod me,

Yc =ai mod mc und z,=z mod me. Sei zc=- , dann ist 2,

Y"+ W1ZY"-l+ W2Z*Yn-2 + wozn= 0

z: +a, - 1,py + . . . + = 0 . Damit ist z , ~ A, da A normal ist. Nun ist y=x, * z mod me (da y, =xc * z, ist und yC=y mod me, z,=z mod m"). Wir betrachten die Gleichung y = X z uber A . Sei 6 eine SAE-Funktion von dieser Gleichung (d. h. eine Funktion 6 : N - N , N die na- turlichen Zahlen, mit der folgenden Eigenschaft : Wenn die Gleichung modulo rn*(') eine Losung in A^ hat, dann besitzt sie eine Losung in A^, die rnit der angenii- herten modulo me ubereinstimmt, vgl. dazu [2], [5 ] ) . Sei c = 6(1), dann ist y=zc - x

modm"", es gibt also ein ~ c A ^ mit y = z - 2 , d. h.-CA^. yzCAA. Damit iat das Lemma bewiesen.

2.3. Satz. Sei A CAE ein lokaler Ring der Dimension s 3 mit Restklussenk6rper der Claarakteristik 0 , dann ist der regullire Ort von A offen.

Bemerkung. I n [2] kann man diesen Satz ohne einschriinkende Voraussetzungen finden. Der Beweis ist dort jedoch unvollstandig. so daS das Problem allgemein ungelost ist.

Im Fall des Restklassenkorpers der Charakteristik p kann man analog zum Hinweis nach 2.1. Resultate erhalten.

Beweis v o n 2.3. Wegen [3] (Seite 246) geniigt es, folgendes zu beweisen: Fur jedes Primideal p C Spec A und jede rein inseparable Erweiterung K' von &(A&) gibt es eine endliche A-Algebra A', so daI3 (1) A I p S A ' s K ' und&(A')=K' ist und (2) der regullire Ort von A' eine nichtleere offene Menge enthiilt.

Sei p E Spec A, dann ist A/@ c A E und damit universe11 japanisch. Sei A' der ganze AbschluB von Alp in K' (einer endlichen Erweiterung von &(A/p)). Dann ist A' eine endliche Alp-Algebra (und damit aus AE) und normal.

Es genugt also, folgendes zu beweisen : Sei A C A E ein normaler lokaler Inte- gritlitsbereich der Dimension s 3 mit Restklassenkorper der Charakteristik 0, dann enthlilt der regullire Ort von A eine nichtleere offene Teilmenge.

Wenn A die Dimension 1 hat, ist das trivial. Wenn A die Dimension 2 hat, folgt das Resultat aus Satz 2.1., da bei exzellentsn Ringen der regulare Ort offen

Y 2

232 Estrada, Einige Bemerkungen

ist. Wenn A die Dimension 3 hat, schlieBen wir folgendermaBen: Sei P der singu-

lare Ort von A^. P ist nach [i] eine abgeschlossene Menge. Eei V = V(b) und 1 b =

=$i,n. . . n#, die Darstellung des Radikals von b als Durchschnitt von Prim- idealen. Da A und damit nach 2.2. A^ normal ist, haben alle p i die Hohe 2. Damit ist der singulare Ort von A^ endlich. Nun gilt nach [2], [4] : Ein Primideal p E Spec A liegt im singularen Ort von Spec A genau dann, wenn PAA im singularen Ort von A^ liegt. Damit ist der aingulare Ort von A endlich und der Satz hewiesen.

i-

Literatur

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[Z] KURKE, H., MOSTOWSKI, T., PFISTER, G., POPESCU, D., ROCZEN, M., Die Approxiniations-

[3] MATSUMURA, H., Commutative Algebra, New York 1970. [4] PFISTER, G., Die Approxirnationseigenschaft lokaler henselscher Ringe, Habilitationssclwift

[5] PFIBTER, G., POPESCU, D., Die strenge Approximationseigenschaft lokaler Ringe, Inv. ninth. 30

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lnstituto de Muternatica, Cibernetica y Computation rlcadenria de Cieneias de Cuba Capitolio Nacional Habana, Cuba