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Contenido
Introducción al Cálculo SimbólicoIntroducción al Cálculo SimbólicoCálculos Algebraicos
Representación simbólica o algebraica de expresiones matemáticasSuma y resta algebraicaMultiplicación y división algebraicaMultiplicación y división algebraicaExpansión algebraicaFactorización de números enterosFactorización de expresiones algebraicasCálculos en modo simbólico y en modo numérico
2
Contenido
Cálculos SimbólicosCálculos SimbólicosSolución de ecuacionesCálculo de límitesCálculo de derivadasCálculo de integralesCálculo de sumatoriasCálculo de productos
Solución gráfica de ecuaciones
3
Cálculo Simbólico
El cálculo simbólico reproduce desdeuna computadora los conceptos, lasreglas y las notaciones utilizadas enreglas y las notaciones utilizadas enel álgebra tradicional.
4
Representación simbólica o algebraica de expresiones matemáticasexpresiones matemáticas
En un lenguaje de cálculo simbólico se utilizan los g jmismos símbolos que en el álgebra tradicional.
3 x 2 y− 1+ x2 y2+ 25+(1) (3)
x 1+( )2
1( ) 1( )(2) (4) 2x 3y+ 16
x 1+( ) x 1−( )
6
Suma y resta algebraicay g
El los siguientes ejemplos se muestra la solución g j psimbólica dada a la suma y resta de expresiones algebraicas.
(1) 12x 3x+ 7x− 8 x⋅→
(2) 3a 2 b⋅+( ) a b−( )− 2 a⋅ 3 b⋅+→
2a
3a
+2b
−5b
+5a
3b
+→(3)
7
Multiplicación y división algebraicap y g
Ejemplos de multiplicación, manejo de exponentes j p p , j py simplificación de cocientes
3 x 2+( ) 3 x⋅ 6+→ 32
c⋅⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
3c2⋅
278
c5⋅→(1) (3)
x 1+( )2
1( ) 1( )x 1+( )
1( )→(2) (4)5 a2 10+( ) 5 a2⋅ 50+→x 1−( ) x 1+( ) x 1−( )
8
Expansión algebraicap g
Ejemplos de multiplicación algebraica utilizando j p p gtécnicas de expansión simbólica.
3a 2a b+( )⋅ expand 6 a2⋅ 3 a b⋅⋅+→(1)
(2) a b+( ) a c+( ) expand a2 a c⋅+ a b⋅+ b c⋅+→
(3) 3aa b+( )
a2⋅ expand
3 a⋅ 3 b⋅+a
→
10
a
Expansión algebraicap g
Los siguientes ejemplos muestran el uso de las reglas g j p gde expansión algebraica aplicadas a binomios
x y+( )2 expand x2 2 x⋅ y⋅+ y2+→(1)
x y+( )3 expand x3 3 x2⋅ y⋅+ 3 x⋅ y2
⋅+ y3+→(2)
x y+( )4 expand x4 4 x3 y⋅⋅+ 6 x2 y2⋅⋅+ 4 x y3⋅⋅+ y4+→(3)
11
Factorización de números enteros
Los siguientes ejemplos muestran la factorizaciónLos siguientes ejemplos muestran la factorización de números enteros
125 factor 53→(1)
130 factor 2 5 13⋅⋅→(2)
150 factor 2 3 52⋅⋅→(3)
13
Factorización de expresiones algebraicasp g
Ejemplos de factorización de polinomiosEjemplos de factorización de polinomios
3 3 6 2 f 3 2 2( )(1) 3a3 6a2− factor 3 a2 a 2−( )⋅⋅→
5 4 3 2 4 3 2( )
(1)
x5 x4− x3+ x2− x+ factor x x4 x3− x2 x−+ 1+( )⋅→(2)
1 2 1(3) 13
a2 26
a3⋅+ factor13
a2 1 a+( )⋅⋅→
14
Factorización de expresiones algebraicasp g
Factorización de diferencia de cuadradosFactorización de diferencia de cuadrados
2 2 f ( ) ( )(1) x2 y2− factor x y+( ) x y−( )⋅→
2 2
(1)
4x2 y2− factor 2 x⋅ y−( ) 2 x⋅ y+( )⋅→(2)
( ) ( )(3) 14
m4⋅ n6− factor14
m2 2 n3⋅−( ) m2 2 n3⋅+( )⋅⋅→
15
Factorización de expresiones algebraicasp g
Factorización de trinomios cuadrados perfectosFactorización de trinomios cuadrados perfectos
2 2 2(1) x2 2x y⋅+ y2+ factor x y+( )2→
2 2
(1)
9 6x− x2+ factor x 3−( )2→(2)
(3) a2 4 a b⋅⋅+ 4 b2⋅+ factor a 2 b⋅+( )2→
16
Factorización de expresiones algebraicasp g
Factorización de trinomios de la forma: x2 b x⋅+ c+Factorización de trinomios de la forma: x b x+ c+
2(1) x2 7x+ 10+ factor x 5+( ) x 2+( )⋅→
2
(1)
x2 5x− 6+ factor x 2−( ) x 3−( )⋅→(2)
(3) a2 5 a⋅+ a b⋅+ 5 b⋅+ factor a b+( ) a 5+( )⋅→
17
Cálculos en modo simbólico y en modo numériconumérico
Los lenguajes computacionales de cálculo simbólico g j ptambién pueden desarrollar soluciones de cálculo numérico
2 17
+ 2.1428571429=Cálculo numérico:(1)
2 1+
15→Cálculo simbólico:(2) 7 7Cálculo simbólico:(2)
18
Cálculos en modo simbólico y en modo numériconumérico
Para el cálculo de factorial de 30 tenemos los siguientes gresultados:
32
Cálculo numérico(1)
30! 2.653 1032
×=
30! 265252859812191058636308480000000→
Cálculo simbólico:(2)
19
30! 265252859812191058636308480000000→
Solución de Ecuaciones
Ejemplos en la solución de ecuaciones de primer grado.Ejemplos en la solución de ecuaciones de primer grado.
Resolver la ecuación Solución
6 x⋅ 7− 2 x⋅ 1+ 6 x⋅ 7− 2 x⋅ 1+ solve x, 2→(1)
5 5 3 5 5 3
Resolver la ecuación Solución
xx 1+
58
+5
2 x 1+( )⋅34
+x
x 1+58
+5
2 x 1+( )⋅34
+ solve x, 3→(2)
21
Solución de Ecuaciones
Ejemplos en la solución de ecuaciones de segundo grado.Ejemplos en la solución de ecuaciones de segundo grado.
Resolver la ecuación Solución
x2 7 x⋅− 10+ 0 x2 7 x⋅− 10+ 0 solve x,2
5⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
→(1)
Resolver la ecuación Solución
1⎛⎜
⎞⎟
3x2 7x− 2+ 0 3x2 7x− 2+ solve x, 3
2
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
→(2)
22
Solución de Sistemas de Ecuaciones
Ejemplos en la solución de un sistema de ecuacionesj p
2 3 16⎛ ⎞2x 3y+ 16
3x 7y− 1⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
solve x, y, 5 2( )→(1)
x y− 3z− 10
x y− 2z+ 5⎛⎜⎜
⎞⎟⎟ solve x, y, z, 7 0 1−( )→(2) y
x y+ z+ 6
⎜⎜⎝
⎟⎟⎠
, y, , ( )(2)
23
Cálculo de Límites
Ejemplos de cálculos de límites básicosj p
2 2 1( )li 19(1)
x2 x−li 3
3x2x2 1+( )lim
→19→(1)
1x
x xx 1−
lim→
3→
x2 4
(2)
2x
x 4−x 2−
lim→
4→(3)
25
Cálculo de Límites
Cálculos de límites por la izquierda y por la derechaCá cu os de tes po a qu e da y po a de ec a
1f x( )
1
1 x2−:=
1xf x( )lim
+→∞−→
f x( )lim ∞→
(1)
1xf x( )lim
−→∞→
(2)
26
Cálculo de derivadas
Ejemplos de cálculo de derivadas
x5 3x4+ x3+ 10+( )d 5 x4⋅ 12 x3⋅+ 3 x2⋅+→(1)
Ejemplos de cálculo de derivadas
xx 3x+ x+ 10+( )
d5 x 12 x+ 3 x+→
x3 3x2−d 3 x2⋅ 6 x⋅− x3 3 x2⋅−
( )
xx 3x−
x2 x−
dd
3 x⋅ 6 x⋅−
x2 x−
x 3 x⋅−
x2 x−( )22 x⋅ 1−( )⋅−→(2)
3 x2⋅ 6 x⋅−2
x3 3 x2⋅−
( )22 x⋅ 1−( )⋅− simplify
x2 2 x⋅− 3+2
→
Simplificando el resultado obtenido
28
x2 x− x2 x−( )2 x 1−( )2
Cálculo de integrales indefinidasg
Ejemplos de cálculos de integrales indefinidas
2⌠⎮ 1 3
Ejemplos de cálculos de integrales indefinidas
(1) xx2⎮⎮⌡
d13
x3⋅→
⌠
(1)
xx2 5+( )2⌠⎮⎮⌡
d15
x5⋅103
x3⋅+ 25 x⋅+→(2)
xex⌠⎮⎮⌡
d ex→(3)
30
Cálculo de integrales definidasg
Ejemplos de cálculos de integrales definidasEjemplos de cálculos de integrales definidas
(1)3
2⌠⎮(1)
0xx2⌠
⎮⌡
d 9→
(2)1−
1
xx2 1+( )2⌠⎮⌡
d5615
→
(3)0
1xex⌠
⎮⌡
d e 1−→
31
0
Cálculo de sumatorias
Sumatoria simbólica de los primeros cinco números naturales.
1
5
i
ni∑=
n1 n2+ n3+ n4+ n5+→
1i
Sumatoria simbólica del inverso de los primeros cinco
51ni∑ 1
n1
1n2
+1n3
+1n4
+1n5
+→números naturales:.
1ini∑
=n1 n2 n3 n4 n5
Sumatoria numérica de los5
∑Sumatoria numérica de los primeros cinco números naturales 1x
x∑=
15→
33
Cálculo de productosp
5Producto simbólico de los primeros cinco números naturales: 1
5
i
ni∏=
n1 n2 n3 n4 n5⋅⋅⋅⋅→
Producto simbólico del inverso de los primeros cinco números
51ni∏ 1
n1 n2 n3 n4 n5⋅⋅⋅⋅→
naturales:
Producto numérico de los
1i =
5i∏ 120Producto numérico de los
primeros cinco números naturales: 1i
i∏=
120→
35
Solución gráfica de ecuacionesg
Encontrar la solución de la siguiente función por el métodoEncontrar la solución de la siguiente función por el método
gráfico: f x( ) 4x 8+:=
16
24
El comando solve da la
f x( ) solve x, 2−→8
16
f x( )
El comando solve da la siguiente solución:
4 2 0 2 4
8
37x
Solución gráfica de ecuacionesg
Encontrar la solución de la siguiente función por el métodoEncontrar la solución de la siguiente función por el método
gráfico: f x( ) x2 x− 2−:=
Utilizando el comando solve::
2 1 0 1 2f x( ) f x( ) solve x,
1−
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
→2⎝ ⎠
38x
Solución gráfica de un sistema de ecuacionesecuaciones
Encontrar la solución gráfica para el siguiente par de ecuacionesEncontrar la solución gráfica para el siguiente par de ecuaciones
simultáneas:
x y− 1 11
x y+ 56.5
f1 x( )
2 5
2f1 x( )
f2 x( )Representación funcional del par de ecuaciones:
6 3 0 3 67
2.5
f1 x( ) 5 x−:=
f2 x( ) x 1−:=
39
x