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8/18/2019 Ejercicios y Cuestiones
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INTRODUCCIÓN TEÓRICA
En 1936, Terzaghi enunció para suelos saturados el “principio de las tensiones
efectivas”, sentando las bases teóricas de la Mecánica de Suelos y explicandoproblemas hasta entonces no resueltos.
Este principio consta de dos partes:
Primera parte
Las tensiones en un punto de una sección a través del suelo pueden calcularse a partir
de las “tensiones totales” (σ) actuantes en ese punto.
Si los huecos del suelo están llenos de agua con una presión u (“presión intersticial”,
“presión neutra” o “presión de poro”), las presiones principales totales consisten en
dos partes. Una parte (u) actúa en el agua y en el sólido en todas direcciones con igual
intensidad, y el balance σ’ = σ – u representa un exceso sobre la presión neutra y se
localiza exclusivamente en la fase sólida del suelo. Esta fracción de las presiones
totales se llama “presión efectiva”.
Segunda parte
Todos los cambios apreciables y medibles debido a un cambio de tensiones, comocompresión, distorsión o variación de la resistencia, se deben exclusivamente al
cambio de estado de tensiones efectivas.
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CUESTIONES TEÓRICAS
1. Define los siguientes conceptos
Fuerzas de filtración.
Son fuerzas volumétricas de valor wi que el agua ejerce sobre el terreno al circular
por sus poros en la dirección y sentido de la corriente, y que nos permiten calcular las
tensiones efectivas cuando el agua está en movimiento z i z w ''
Presión efectiva
Presión en exceso sobre la presión neutra u ' que se localiza exclusivamente
en la fase sólida del suelo. Todos los cambios apreciables y medibles debido a un
cambio de tensiones, como compresión, distorsión o variación de resistencia, se deben
exclusivamente al cambio de estado de las tensiones efectivas.
Índice de succión pF
La succión ejercida por un suelo se define mediante el llamado índice de succión
ch pF 10log siendo la altura capilar hc (cm) una medida de la succión ejercida por el
suelo. El pF suele variar entre 0 y 7 decreciendo para un mismo suelo, al aumentar la
humedad.
Gradiente
Considerando un elemento diferencial en una línea de corriente de longitud l y en
donde se produce un pérdida de carga h , se define gradiente comol
hi
l
0lim .
El signo menos produce que el gradiente sea positivo en la dirección de la corriente. El
gradiente es una magnitud vectorial y adimensional, con igual dirección y sentido que
la corriente.
Coeficiente de seguridad frente al sifonamiento
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Cociente entre el gradiente crítico (gradiente a partir del cual se produciría
sifonamiento de valor cercano a la unidad) y el gradiente existente.
Nivel freático
Lugar geométrico de los puntos donde la presión del agua es la atmosférica. Por
debajo del él las presiones son positivas (agua freática) y por encima negativas (agua
capilar, si está en comunicación con el agua freática, o agua de contacto si no lo está).
La altura que alcanza el agua al perforar un pozo, define un punto del nivel freático.
Nivel piezométrico
Si tenemos un acuífero confinado donde la presión del agua es mayor que la
atmosférica, llamamos nivel piezométrico al lugar geométrico de las alturas alcanzadas
por el agua en pozos excavados hasta el acuífero. Si este nivel piezométrico se sitúa
por encima de la superficie del terreno, se dice entonces que existen condiciones
artesianas.
Pérdida de carga
El agua no es un fluido perfecto y a lo largo de una línea de corriente la carga no
permanece constante, se produce lo que llamamos una pérdida de carga.
Tensión superficial
Fuerza atractiva ejercida en la superficie de separación entre materiales en diferentes
estados físicos (sólido/líquido, líquido/gas).
Altura de ascensión capilar
Altura hasta la que asciende el agua dentro de un tubo capilar debido a la tensión
superficial, representa una medida de la succión ejercida por el suelo. Se expresa como
10 De
chc
donde
10 D es el diámetro eficaz, e, el índice de poros y C varía entre 10 y
40 mm2.
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Ley de Darcy
El caudal por unidad de superficie es proporcional a la pérdida de carga e
inversamente proporcional a la longitud recorrida de la conducción. Se escribe como ,
siendo v la velocidad de filtración, q el caudal a través de la sección A perpendicular a
la dirección del flujo, K un coeficiente denominado “coeficiente de permeabilidad” e i
el gradiente hidráulico en la dirección de la corriente.
Coeficiente de permeabilidad
Velocidad del flujo producido por un gradiente unidad, que depende no sólo de las
características de las partículas constituyentes del suelo, sino de otros factores tales
como la porosidad, el grado de saturación, la viscosidad del agua, etc. según Hazen
210
)/( Dc smm K , donde el diámetro eficaz viene dado en mm y c es un
coeficiente experimental que depende de la naturaleza del suelo.
Líneas equipotenciales
Lugar geométrico de los puntos de igual potencial que tienen por ecuación
cteh K z x ,
Líneas de corriente
Corresponden físicamente a las trayectorias seguidas por las partículas de agua, y en
cada punto, la línea de corriente que pasa por él, es tangente al vector velocidad en
dicho punto. Su ecuación es cte z x , .
Gradiente crítico
Valor de gradiente a partir del cual se produce sifonamientow
críticoi
' .
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1. Obtener la expresión del principio de Terzaghi en un suelo parcialmente
saturado.
En un suelo parcialmente saturado, los poros contienen dos fluidos: agua con
presión uw y aire con presión ua (se denomina succión a ua-uw).
Si se considera que el agua actúa en un área Aw y el aire actúa en un área Aa,
Bishop propuso considerar un fluido intersticial equivalente con presión u
actuando en el área total A = Aw + Aa, de manera que:
wwaa u Au A Au
Como se verifica que:
A
A
A
A A A A wa
wa 1
Entonces:
www
aww
aa u
A
A
A
Auu
A
Au
A
Au )1(
Llamando:
A
Aw
Que se anula si el grado de saturación es nulo y es uno cuando es la unidad, se
llega a:
waa uuuu
Pudiéndose adoptar una fórmula equivalente al principio de Terzaghi:
waa uuu '
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2. En la excavación mediante muros pantalla que se esquematiza en la figura
adjunta, estímese el caudal que debe bombearse para mantener el nivel de
agua en el fondo de la excavación. Si se detuviese el bombeo ¿Cuál sería la
evolución con el tiempo de la altura de la columna de agua en la excavación?
Se supondrá que la permeabilidad de las gravas es muy elevada, que su nivelpiezométrico coincide con el nivel freático y que el coeficiente de
permeabilidad de las arenas es K.
3. Demuéstrese que, en un suelo con las mismas características geotécnicas, la
permeabilidad horizontal es superior a la permeabilidad vertical.
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EJERCICIOS PRÁCTICOS
1. El permeámetro de carga constante, cuyo esquema se indica en la figura adjunta,
se rellena en una altura de 2,5 m con un arena que presenta un coeficiente depermeabilidad K = 4·10-3 m/s. Se pide calcular:
a) Leyes de alturas geométricas, de presión y piezométricas.
b) Caudal de agua que atravesará el permeámetro.
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2. En la figura adjunta se muestra una presa de hormigón cimentada sobre un
terreno aluvial arenoso que posee una permeabilidad k = 8 10-5 m/s y un peso
específico saturado de 20,5 KN/m3, y en la que se pretende analizar los efectos
de una pantalla de impermeabilización aguas abajo de misma (caso B). para ello,
se pide:
a) Calcular el caudal infiltrado.
b) Obtener l distribución de subpresiones en la cimentación de la presa.
c) Calcular el gradiente máximo de salida.
SOLUCIÓN
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a) Caudal infiltrado
En el problema se proporcionan las redes de flujo para ambos casos.
Conocida la red de flujo, el caudal infiltrado a través de un medio permeable saturado
y una vez establecido el régimen estacionario, se obtiene mediante la siguiente
expresión:
H N
N K Q
e
t
Donde:
K: Permeabilidad del terreno.
t N : Número total de tubos de corriente en la red de flujo.
e N : Número total de intervalos o saltos existentes entre equipotenciales, desde la
equipotencial inicial hasta la equipotencial última del problema.
H : Pérdida de carga total o diferencia de potencial entre la primera y la última
equipotencial del problema.
En ambas situaciones, la primera equipotencial es la superficie sumergida del terrenoaguas arriba; la última equipotencial es la superficie sumergida del terreno aguas
abajo.
En los dos casos, el potencial en el punto A, que pertenece a la equipotencial inicial del
problema, es conocido ya que la presión intersticial es la correspondiente a una
columna de agua de 8 metros de altura.
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mmm z u
h A
w
A A 1028
Del mismo modo, en ambos casos, cualquier punto de la equipotencial última del
problema, como B, posee un potencial hidráulico:
mmm z u
h B
w
B B 321
La pérdida de carga total en ambos casos es:
mmmhh H B A 7310
Para cada uno de los casos, los datos existentes y el caudal obtenido con la expresión
anterior son los siguientes:
CASO k (m/s) nt ne ΔH (m) Q
(m3/s/m)
A 8·10-5 4 12 7 1,86·10-4
B 8·10-5 4 14 7 1,6·10-4
b) Distribución de subpresiones
La “subpresión” es la presión intersticial existente en los puntos del cimiento de la
presa. En el problema se pide una distribución o ley que proporcione la presión
intersticial en cualquier punto del cimiento. La metodología a emplear es la obtención
de los valores de presiones intersticiales en algunos puntos del cimiento y se supondrá
la variación de presiones intersticiales entre dos puntos consecutivos como lineal.
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Puesto que las redes de flujo han sido dibujadas de manera que las figuras
conformadas entre equipotenciales y líneas de corriente son aproximadamente
“cuadrados curvilíneos”, la pérdida de carga entre dos equipotenciales sucesivases
siempre la misma e igual a:
en
H h
Así, pues se tendrá:
CASO ne ΔH (m) Δh (m)
A 12 7 0,583
B 14 7 0,5
Conocido el potencial del punto A, el potencial en un punto cualquiera Z es igual al
potencial del punto A menos la pérdida de carga existente entre ambos puntos.
Si el punto Z se sitúa en la cimentación de la presa (Z=0) y pertenece a una
equipotencial dibujada en el problema, se debe verificar que:
hnhnhu
z u
h A
w
z
w
z z 10
Donde n es el número de saltos existentes entre la equipotencial del punto A y laequipotencial del punto z. Esta expresión permite obtener la presión intersticial en el
punto Z:
hnhnu w z 1010010
En los puntos de intersección de las equipotenciales con el cimiento, la expresión
anterior proporciona los siguientes valores de la subpresión:
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Punto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
An 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,5
uz 91,3 88,34 82,51 76,68 70,85 65,02 59,19 53,36 47,53 41,7 38,78
Bn 1,5 2 3 4 5 6 7 8 8,3
uz 92,5 90 85 80 75 70 65 60 58,5
Puesto que también se conoce el potencial de la última equipotencial, el problema
podría haberse resuelto diciendo que el potencial en el punto Z es el potencial del
punto B más la pérdida de potencial entre ambos puntos:
hnhnh
u
z
u
h Bw
z
w
z
z
3
c) Gradiente máximo de salida
Cuando se viaja a lo largo de una línea de corriente, pasando de un punto situado en
una equipotencial a otro punto situado en la siguiente equipotencial, el gradiente
medio existente entre dichos puntos es.
l
hie
Donde h es la pérdida de carga existente entre ambas equipotenciales y l es la
distancia recorrida a lo largo de la línea de corriente.
Si se observan las redes de flujo, las distancias recorridas desde la penúltima
equipotencial hasta la última (situada en la superficie del terreno sumergida de aguas
abajo) varían según la línea de corriente seguida. Puesto que el problema pide el
gradiente máximo y siendo h constante e independiente de la línea de corriente
seguida, según la expresión anterior se deberá tomar la distancia mínima existente
entre la penúltima y la última equipotencial y ello se produce en la línea de corrienteque sigue el contorno del paramento de la presa.
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Aplicando estos conceptos, se obtiene los siguientes resultados:
CASO Δh(m) L (m) ie
A 0,583 1,2 0,485
B 0,5 3 0,166
Como conclusión del problema, la colocación de la pantalla produce los siguientes
efectos:
1. Disminuya el caudal infiltrado.
2.
El gradiente de salida será menor.
3. Las subpresiones en la cimentación de la presa aumentan ligeramente.
3. Durante un periodo de lluvias, se produjo la filtración dibujada en el muro
indicado en la figura adjunta y el cual presentaba un drenaje vertical en su
trasdós. Sabiendo que la permeabilidad de la arena es K = 3·10-1 m/s, que en
ningún momento entró en carga el sistema de drenaje y que la presión intersticial
en el punto M es igual a 60 KN/m2, se pide:
a) Caudal circulante por la sección CC’ del dren.
b) Distribución de presiones intersticiales en el plano π
SOLUCIÓN
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a) Caudal circulante por la sección CC’ del dren.
Las presiones en el punto A (presión nula) y en el punto M () son conocidas y
ambos están situados en equipotenciales (primera y tercera).
Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geométricas en la
superficie impermeable, los potenciales de los puntos A y B son:
m z u
h A
w
A A 88
10
0
m z u
h M
w
M M 60
10
60
La diferencia de carga es: mhh M A 268
Esto implica que la diferencia de carga entre dos equipotenciales consecutivas es
mh 1
El caudal infiltrado se obtiene a partir de la siguiente expresión:
H N
N K Q
e
t
El caudal circulante por la sección CC’ del dren es el correspondiente a dos tubos
de corriente:
m smQ //10612103 311
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b) Distribución de presiones intersticiales en el plano π
Las presiones intersticiales en el plano se obtienen en los puntos de intersección de
dicho plano con las distintas equipotenciales. Las cotas de dichos puntos se miden en
la figura respecto al plano horizontal de comparación situado en el cimiento del muro.
Los valores que se obtienen son los siguientes:
PUNTO A B C D E F G H I
z(m) 8 6,5 5,2 4 2,9 1,9 1,1 0,5 0
u (KN/m2) 0 5 8 10 11 11 9 5 0
Como el drenaje no entra en carga, es decir, las presiones del agua son nulas, se puede
demostrar que la separación vertical entre equipotenciales en el dren es siempre la
misma.
4. Obtener y representar gráficamente las leyes de presiones totales, intersticiales y
efectivas en el terreno indicado en la figura adjunta.
Las propiedades geotécnicas del terreno son:
ϒsat (KN/m3) ϒd (KN/m3) GRAVA 22 19
ARENA 20
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5.
En el terreno esquematizado en la figura adjunta, se sabe que el nivelpiezométrico en las gravas se sitúa 3 m por encima del nivel freático superficial.
Se pide:
a) Nivel piezométrico en las gravas que provocaría el levantamiento de los
paquetes de arcillas.
b) Leyes de presiones efectivas en los paquetes de arcillas suponiendo que
se ha establecido el flujo uniforme.
Las propiedades geotécnicas del terreno son:
TERRENO w (%) Gs K (m/s)
Arcilla 1 25 2,75 10-7
Arcilla 2 30 2,75 2·10-7
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6. El terreno que se muestra en la figura adjunta se pretende realizar una
excavación al abrigo de pantallas apoyadas en el nivel de gravas. El nivel freático
se encuentra en la superficie del terreno.
Suponiendo que el nivel piezométrico en las gravas coincide con el nivel freático
y suponiendo que ambos permanecen constantes durante toda la excavación, se
pide:
a) Calcular la máxima profundidad de excavación d que se puede alcanzar si en
todo momento se mantiene con bombeo el nivel de agua en el fondo de la
excavación.
b)
Para una profundidad d = 5 m, determinar el tiempo que tardaría el agua en
alcanzar una altura de 4,5 m en la excavación si se deja de bombear.
Las características del terreno son:
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7. Un campo de fútbol está asentado sobre un terreno cuyo corte se adjunta en
la figura siguiente. Si el estrato de calizas tiene una gran potencia y una alta
permeabilidad, se pide:
a) Intensidades horarias en mm/h, suponiendo una lluvia constante, que inician
el encharcamiento del campo de fútbol si:
i. No están saturadas las arenas limosas superiores.
ii. Cuando se ha establecido ya el flujo hacia las calizas.
Se supondrá que la permeabilidad de las arenas limosas es independiente de su
grado de saturación y no existe capilaridad.
Las características del terreno son:
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8. En el terreno indicado en la figura adjunta, se quiere realizar una excavación
al abrigo de unas pantallas que alcancen el nivel inferior de gravas.
Suponiendo que la presión intersticial en el plano AB es constante e igual a
150 KN/m2, se pide:
a)
Máxima profundidad de excavación que puede realizarse con uncoeficiente de seguridad de 3 frente al sifonamiento.
b) Para la situación anterior, calcúlese la distribución de presiones
intersticiales en el intradós de la pantalla.
Las características del terreno son:
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9. En el tablestacado indicado en la figura adjunta, ejecutado en un nivel de
arena que tiene una permeabilidad de 4,5·10-5 m/s, una densidad saturada de
2 t/m3. Se sabe que la presión intersticial en el punto 4 vale 71 KN/m2. Se
pide:
1. Calcular el nivel de agua en la excavación y el caudal que se está
bombeando.
2. Mínimo coeficiente de seguridad frente al sifonamiento de la
excavación.