Upload
hoangcong
View
241
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ekuazio jaraunskorrak:
I. Erradiazio elektromagnetikoa II. Osin-muga fraktalak
Jakintza-arloa: Fisika
Egilea: JOSE RAMON ETXEBARRIA BILBAO Urtea: 1986 Zuzendaria: JUAN MARIA AGIRREGABIRIA AGIRRE Unibertsitatea: UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-145-7
Hitzaurrea Urrun geratu da tesia aurkeztu nuen garaia, hogeita bat urte ez baitira alferrik pasatu ordutik honaino. Denbora-tarte horretan asko aldatu da nire bizimodua; hainbat zirkunstantzia direla tartean, orduan hasitako bidetik urrun samar nabil egunotan. Tesiaren beraren gaia parafraseatuz, nagoen punturaino iristeko bide aski kaotikoa eraman dudala esan daiteke, nahiz horretara behartu nauen prozesua determinista izan den, nik hala nahita izan ez izanik ere, bestelako indar boteretsuen eraginez halabeharrez ibili beharrekoa. Horregatik, lasai eta dolurik gabe esan dezaket, tesiarekin abiaturiko bidea burutu ezinik gelditu naizela, eta nire gaur egungo interesak ordukoetatik urrun samar daudela. Horrek ez du esan nahi, ordea, halabeharrez ibilitako bidea alferrekoa izan denik, ezta tesiaren beraren ikuspuntutik ere, jarraian azaltzen saiatuko naizenez. Nolabaiteko interesa badu orduko lanak, edozelan ere, era digitalean bildu, gorde eta argitaratzeko erabakia hartu denean. Nago interes hori euskaraz pentsatua eta sortua izan zelako datorkiola tesi honi, behinenik, zientziaren ikuspegitik izan zuen balio ahantzi gabe. Garai hartan “kaos determinista” deritzon gaia erakargarria zen, eta hainbat ikerkuntza egin ziren hura ulertu eta argitu nahian. Guk geure ahalegintxoa egin genuen, geure txikian, eta lorturiko emaitzen fruitu modura, lau artikulu argitaratu genituen maila desberdinetako aldizkarietan, eta zenbait hitzaldi eta ponentzia ere eskaini genituen gaiaren inguruan. Ziurrenik ez da goren mailako emaitza, baina ezer baino gehiago bada. Gero, bizitzako zirkunstantziengatik, alde batera utzi behar izan nuen ikerkuntza-lerro hori. Urteen joana ez zen gelditu, noski. Zernahi gisaz, kaos deterministarenaz gain, tesiak bazeukan beste bide bat, askok alde batera utzia eta baztertua zutena, neurri batean mezpretxatua, baina gero, bizitzaren gorabeherengatik, oraingo nire langintza-modu eta ikerketa-lerroarekin zerikusirik duena. Izan ere, tesia euskaraz sortua eta landua izanik, garrantzitsua izan baitzen bertan terminologiaren eta testugintza teknikoaren arloan eginiko ahalegina, tesia aurkeztean eta aldeztean agerian geratu ez zena; zeren, bere sorrera-prozesuan tesia euskaraz egina eta eztabaidatua izan arren (zorionez, zuzendaria euskalduna baitzen, hizkuntza landuaren jabe), tesiaren defentsan modu testimonial samarrean erabili behar izan bainuen hizkuntza hori, epaimahaikoak ez baitziren gai defentsa hura euskara hutsez segitu ahal izateko. Nolanahi den, nahiz eta tesiaren defentsarako aurkezturiko dokumentazioan jarri ez, tesia idaztean hiztegi bat osatu nuen bertan erabilitako terminoekin, eta ondo gorde nuen, inoiz behar izanez gero eskura izateko moduan. Gauzak zer eta nolakoak diren, oraingo argitalpen digital honek aukera eskaini dit orduan eginiko lan argitaratu gabea berreskuratzeko, eta tesiaren jatorrizko dokumentazioarekin batera aurkezteko. Hori egitean, egia esanda, nire satisfazioa bikoitza da, hogeita bat urte geroago lanean dihardudalako euskara tekniko-zientifikoaren arloan, eta momentuz horixe dudalako ikergai. Eta hori guztia, tesia bera aurkeztu nuen irakastegi berean Bilboko Ingeniaritza Eskolan hain zuzen. Baze, bitxia bada ere, fisika teorikoaren arlokoa zen tesia eskola
horretan aurkeztu behar izan nuen, nire lizentziaturako ikasketak bertan eginak bainituen. Aipaturikoa kontuan harturik, pozik esan dezaket, parentesi luzearen ostean berrartzen ari naizen irakaskuntza eta ikerkuntzareko trenean lagungarri gertatzen ari zaidala tesian egindako lana, eta de facto terminologia eta fraseologia berezituaren arloko euskarazko corpusaren parte ere bada. Ez da gutxi, beraz. Emaitza hori kontabilitatearen alde positiboan jarri behar dudalakoan nago, eta are positiboagoa litzateke, testu digital hau kontsultatu, aztertu, baliatu, ikertu edo, hitz batez, nola edo hala erabiltzen duen inor balego. Hala izango ahal da!
Bilbon, 2007ko azaroaren 19an
eman ta zabal zazu
1 11EUSKAL HERRIKO UNIBERTSITATEA
INDUSTRI INGENIARIEN 601 ESKOLA
EKUAZIO JARAUNSKORRAK:
1 . ERRADIAZIOELEKTROMAGNETIKOA
H . OS IN-MUGAFRAKTALAK
JOSE RAMON ETXEBARRIA BILBAO-K
DOKTORE-GRADUA LORTZEKO
JUAN MARIA AGIRREGABIRIA AGIRRE
DOKTOREAREN ZUZENDARITZAPEANAURKEZTEN DUEN TXOSTENA .
BiLBO, 1986
Neure eskerrik beroenak eman nahi dizkiet Ian hau burutzen
lagundu didaten guztiei .
Berez1ki,,
Lanaren zuzendaria izan den Juan Maria Agirregabiria Agirre- ri,
labor esanda, denagatik .
Fisika Teorikoa Sofia egia bihurtu nahi duten lank.ideei, etengabe
adore-hitzak izan baitituzte nireganako, eta prezeski Martin Rivas
Perez-i, erdal itzulpena ongi orrazten lagundu didalako .
Euskara Zientifikoa Sailean diharduten adiskideei, sarri nire
estuasunak ulertu baitituzte eta, agian berek jakiteke, kemena eman
baitidate lana burutzeko.
AURKIBIDEA
Sarrera orokorra 1
I . Erradiazio elektromagnetikoa 11
1 .1 . Partikula bakarraren erradíazio elektromagnetikoa . 13
I.2 . Bi partikularen tetramomentu lineal erradiatua.
20
1.3. Bi partikularen tetramomentu angeluar erradiatua .
25
1 .3.1 . Tetramomentu angeluar erradiatuarenproportzioa
1.3.2. Tetramomentu angeluar erradiatuarenekarpen mixtoaren proportzioarenkalkulua
1.3.3. Ekarpen mixtoaren proportzioarenbestelako adierazpena
25
34
44
1.3.4 . Denbora-unitatean erradiaturikotetramomentu angeluarra48
1.3.4.1 . Ekarpen mixtoaren proportzioarengarapena partikulen kargen berreduren
arauera 54
1.3.4.2. Erradiaturiko tetramomentuangeluarraren partikula batenekarpenaren proportzioarengarapena partikulen kargenberreduren arauera59
V
1 .3.4.3. Denbora-unitatean erradiaturiko
tetramomentu angeluarra60
1.3.5. Tetramomentu lineal erradiatu osoa . . .
65
1.3.6. Tetramomentu angeluar erradiatu osoa . .
79
1 .3.7. Tetramomentu angeluar intríntseko
erradiatua 84
1 .3.8. Erradiazio nulurako baldint2ak89
1.3.9. Limíteko zenbait arazo97
II. Osin-muga fraktalak 103
11.1 . Sarrera 105
11.2. Sistema dinamiko ez-linealetako erakarleak .
106
11.2.1 . Sistema dinamiko ez-lineal iraungikorrak . 107
11.2.2. Erakarpen-osinak 107
11.2.3. Sentikortasuneko eskualdea109
11.3 . Ekuazio jaraunskorren erakarleak eta
erakarpen-osinak
11.3. 1 . Ekuazio jaraunskorrak112
VI
112
11.3.2. Ekuazio jaraunskorren erakarleak .
.
.
114
11 .3.3. Erakarpen-osinak ekuazio jaraunskorretan . 115
11 .4 . Ekuazio jaraunskor baten azterketa116
11 .4.1 . Duffing-en ekuazioa 116
11.4 .2. Aukeraturiko ekuazio jaraunskorra
(MLA ekuazioa) 118
11 .4.3. MLA ekuazioaren integrazioa118
11 .4.4 . Biegonkortasuna MLA ekuazioaren kasuan .
119
11.4.5 . MLA ekuazioaren erakarle-motensailkapena
11.4.6. MLA ekuazioaren erakarpen-osinak . . . . 130
11.4.7 . Parametroek mugen fraktaltasunean
duten eragina
11 .4.7.1 . f eta c parametroen eragina . . . . 137
11.4.7.2. Osin-muga fraltalen dimentsioaren
neurketa
11.2.7.3.Beste parametroen eragina . . . . 156
11 .4.8 . Bestelako zenbait faktoreren eragina . . .
160
VII
120
. 137
152
11 .4.8.1 . Erizpideen eragína160
11 .4.8.2 . Hasierako baldintzen eragína . . . 163
11.4.8.3. Gal bortxatuaren izaeraren eragina .
166
11.4.8.4 . Gai atzeratuaren ez-linealtasunaren
eragina 168
Ondorioak eta aurrikuspenak 171
A eranskina. Idazkera orokorra 177
B eranskina. Integralen taula 183
C eranskina. Programak 191
MLA2 programa 195
MLAOSI programa 201
MLADIM programa 209
Bibliografia 217
VIII
SARRERA
OROKORRA
Txosten honetan era desberdineko ekuazio jaraunskorrak aztertzen
dira: Batetik interakzionatzen ari diren bi partikula puntualen
elkarrakzio elektromagnetikoa adierazten dutenak eta, bestetik, bi
putzutako potentzial baten eta kanpoko indar bortxatu baten eraginpean
higituz, horretaz gainera gai jaraunskor baten eragina ere jasaten duen
oszilatzailea adierazten duena .
Izenak berak adierazten duenez, ekuazio jaraunskorretan sistema
dinamikoak aurreko aldiune batetan izan duen egoerak ( gai atzeratuak,
hots, jaraunskorrak) eragina du sistemaren eboluzioan, eboluzio hori
adierazten duen ekuazioan expreski parte hartuz. Era honetako
ekuazioak aztertuak izan dira ikuspuntu matematikotik/ 1,2+ 3,4,5,6/ eta
Fisikaren arlo desberdinetan ageri dira, hala nota, elektrodinamikan,
grabitazioan, optikan, plasmen dinamikan eta abarretan. Fisikaz aparte
Zientziaren beste arlo askotan ere agertzen dira era honetako
ekuazioak /1 / .
Txostenak bi atal nagusi ditu . Lehenengo atalean bi partikulak
erradiaturiko tetramomentu angeluar elektromagnetikoaren azterketa
erlatibista kobariantea egin dugu . Ikus dezagun zein izan den horretara
eraman gaituen motibazioa, eta zeintzu izan diren geure azterketan
burutu ditugun pausoak.
Partikula-sistemen kasuan dagoen erradiazio elektromagnetikoa
aztertzeko erabili ohi den metodoa, abiadura txikietako hurbilketa izan
da, 1/c delakoaren berreduren arauerako garapenetan finkatuz
alegia/7/. Dena den, Erlatibitatearen Teoriatik abiatuz, duela zenbait
urte burutu egin zen jadanik partikula baten kasuko erradiazioaren
3
azterketa kobariantea/8'9/ .
Hala ere, azkenengo azterketa hori partikula-sistemen kasurako
hedatzeko, egiteke zegoen partikula-sistemen dinamikaren teoria
erlatibista ; behar-beharrezkoa zen. Azken urteotan, interakzionatzen
ari diren partikulen sistemen azterketa erlatibista garatu da/ 10/, eta
horri esker gaur egun ba ditugu tresna eta kontzeptu egokiak, aipaturikoazterketa kobariantea egiteko .
Arestian, azken tresna hauek eta Eremuen Teoria Klasikoarenak
erabiliz, bi partikularen sistemak erradiaturiko energia eta momentulinealari buruzko lehenengo kalkulu kobarianteak egin dira/i 1/, eta
lehenengo atalean izan dugun helburua , azkenengo azterketa hau
zabaltzea eta hedatzea izan da, hain zuzen, tetramomentu angeluar
erradiatua kalkulatuz .
Horretarako, 1.1 . puntuan partikula bakarraren erradiazioaren
azterketa berrikusi ondoren, 1.2. puntuan /11/ erreferentzian aipaturiko
lanaren berrikuspen ]aburra egin dugu. Hortik abiatuz, geure kalkuluak
egin ditugu, bi partikulak erradiaturiko tetramomentu angeluar
elektromagnetikoa erdiesteko (1.3.) .
Lehenengo pauso batetan, 1.3.1 ., tetramomentu angeluar
erradiatuaren proportzioa nola defini daitekeen aztertu dugu, geroago
magnitude honen kalkulua burutzeko. Horretarako, bi partikularen kasua
aztertzen ari garelarik, Maxwell-en tentsore elektromagnetikoa hiruosagaitan bana dezakegula kontutan hartuz, era berean banatu dugu
tetramomentu angeluarraren dentsitatea, ondorioz, partikula
bakoitzaren ekarpenez erradiaturiko tetramomentu angeluarraren
proportzioa (jadanik ezaguna/ 9/) emanez, eta tetramomentu angeluar
erradiatuaren ekarpen mixtoaren proportzioa kalkulatuz (1 .3.2.). Hemen
azpimarratzekoa da, egindako kalkulua kobariantea eta zehatza dela, eta
Minkowski-ren espazioan bi partikularen koordenatuak, abiadurak eta
azelerazioak emanik zehazki kalkula ditzakegula tetramomentu angeluar
4
erradiatuaren proportzioak. Halaber, 1.3.3 . puntuan azelerazioetarakoohizkoak diren hipotesiak onartuz, ekarpen mixtoaren proportzloarenbestelako adierazpen bat lortu dugu.
Bigarren pausoan denbora unitatean erradiaturiko tetramomentuangeluarra kalkulatzera salatu gara . Proportzioen kalkuluan ez bezala,oraingoan ez da nahikoa Minkowski-ren espazioko bi puntueninformazioekin, eta horretaz gainers informazio gehiago behar dugu bipartikulen unibertso-lerroei buruz, hain zuzen ere partikulen posizioatzeratuetatikoa . Arazo hori gainditzeko, Mekanika ErlatibistaAurresankorreko hipotesiak onartu ditugu" 11,12/ eta hortik abiatu gara.Beraz, onartu egin dugu ezen kargen unibertso-lerroak sistemaaurresankor aldaezin baten ebazpena direla. Horrela, tetramomentulinealarekin lehenagoko lanetan egin den bezala1l l / tetramomentuangeluar erradiatu osoaren definizioa eman ondoren, beraren kalkuluperturbatiboa burutu dugu (1.3.6.), ekarpen desberdinen proportzioakpartikulen kargen arauera garatu ondoren (1 .3.4.) . Bide batez, metodoberean finkatuz, tetramomentu lineal erradiatu osoaren kalkulua ereegin dugu, garapenaren ordena baxuenetan (1.3.5.) .
Azterketa horren bidetik, hurrengo pausoan tetramomentuangeluar intrintseko erradiatu osoa aztertu dugu (1.3.7.) eta bertan erekargen berreduren arauerako garapenaz, ordena baxueneko osagaiaklortu ditugu . Higidura osoari dagozkion (3,1) eta (1,3) osagaiak batdatoz, beste Ian batetan metodo zinematikoaz lorturikoekinhl 3/.
Bukatzeko, eta ekarpenen proportzioen balio zehatzak abiapuntutzatharturik, erradiazio nulurako baldintzak" 14" aztertu ditugu 1 .3.8 .puntuan, ondorioztatuz ezen, egitura gabeko bi partikula puntualkargaturen kasuan energia erradiaturik ez egoteko posibilitate bakarra,partikula biek azelerazio nulua izatearena dela .
Erradiazio elektromagnetikoari dagokion atala osotzeko, 1.3.9 .puntuan limiteko zenbait arazo aipatu eta aztertu ditugu, prezeski bi
5
partikulen abiadurak berdinak direneko kasuari dagozkionak.
Bigarren atalean ekuazio jaraunskor baten biegonkortasuneko
kasuko erakarpen-osinen banaketako mugen fraktaltasunaren azterketa
egin dugu.
Fluidoen turbulentzia aztertzen ari zela, 1963 .ean E.N. Lorenz-ek
konportamolde kaotikoa aurkitu zuen hiru dimentsiotako sistema
dinamiko batetan/ 15/ . Izatez, berak erabili zituen ekuazioak,
Navier-Stokes-en ekuazioen trontzaketa latz baten emaitza ziren, eta
fluidoaren fluxua deskribitzeko zuten ahalmena, ez zen guztiz zuzena .
Hala ere, beraien garrantzia horretan datza, alegia, bertan ikusten dela
ezen kaosa agertzeko ez dela infinitu dimentsio behar Landau-ren
ereduan bezala/ 16/, eta aski dela hiru dimentsiotako sistema ez-lineal
batekin .
Geroago, 1971 .ean, Ruelle-k eta Takens-ek/ 17/ iradoki zuten ezen
kaoseranzko bidean ondoko bifurkazioen segida ager zitekeela : puntu
finkoak, muga-zikloak, bi dimentsiotako toruak eta erakarle kaotikoak,
eta ez geroago eta dimentsio handiagotako erakarle kuasiperiodikoen
segida, Landau-k proposatu bezala .
Orduandanik, gai honen inguruko lanak biderkatu egin dira eta,
nolabait esateko, kaos deterministaren azterketa garatu da/18,19,20/
/21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32/ . Azal dezagun zer esan nahi dugun
horrekin ; has gaítezen determinista hitzarekin . Guk denborarekiko
menpekotasun determinista duten sistema fisikoak aztertuko ditugu; hau
da, hasierako baldintza batzu emanez, printzipioz, bide bat dugu,
etorkizunean sistemak izango duen eboluzioa kalkulatzeko . Dena den,
ohar bat egin behar da. Besterik gabe, higidura deterministak
erregularra izan behar duela pentsa daiteke, baina duela ia ehun urte H.
Poincare-k (1892) frogatu egin zuen, Hamilton-en ekuazioen arauerako
zenbait higidura kaotiko izan zitezkeela. Hain zuzen, lehen aipaturiko
lanean Lorenz-ek sistema iraungikorretako kaos deterministaren
6
lehenengo adibidea aurkitu zuen. Beraz, kaos determinista izenarekin,
sistema dinamiko ez-linealetan agertzen den higidura kaotikoa
adieraziko dugu, baina beti ere kontutan edukiz, sistema horren eboluzio
denborala guztiz finkaturik geratzen dela, beraren aurreko historia
zehazki ezagutuz. Bestalde, kaosa definitzeko, bide desberdinak erabil
daitezke (1k . 18-32 erreferentz1ak) .
Azken urteotan argi geratu denez, kaos determinista nonahi ageri
da naturan eta ondorioak dauzka zíentziaren arlo desberdinetan/ 33":
fluidoen mekanikan, astronomian, meteorologian, optikan, 1aserretan,
partikulen azeleragailuetan, pendulu bortxatuetan, kimikan, eredu
biologikoetan, medikuntzan, populazioen dinamikan, . . . Ohar gisa diogun
ezen, ez-linealtasuna baldintza beharrezkoa dela, nahiz eta nahikoa ez
den. Nolabait esanez, zientzia ez-lineal izenaz ezagutzen den arloaren
zati interesgarrienetarikoa dugu kaos deterministaren azterketa .
Bestalde, kaosaren agerpenari dagokionez, era desberdinetako
agertokiak daude saükaturik iiteraturan : Feigenbaum-ena/34,35/
Manneville eta Pomeau-rena /36/, Ruelle eta Takens-ena/37/ eta arestian
bestelako agertokiak ere aipatu dira/38/ ekuazio diferentzial arrunten
kasuan . Gainers, errenormalizazio-taldearenaren antzeko tekniken
bidez, unibertsaitasunaren teoria interesgarria garatu da /18,19,20,21,
25,28,29,39/ .
Matematikaren ikuspuntutik, mota desberdinetako sistema dinamiko
ez-linealetan aztertu da eboluzio kaotikoa: iterazio unidimentsional
ez-alderanzkarrietan /25/, iterazio bidimentsional alderanzkarrietan/25,40,41/,
ekuazio
diferentziai
arrunten
sistemetan/25,42,43/
(gutxienez
hiru
askatasun-gradurekin),
deribatu
partziaietako
ekuazloetan /25/
eta
ekuazio
jaraunskorretan/44,45,46,47,48,49 / .
Bistakoa denez, geure lanean azken erako ekuazioak hartu ditugu
aztergai . Ekuazio jaraunskorrek garrantzi handia dute arlo askotan,
optika ez-linealetik has¡ eta medikuntzaraino. Dimentsio infinitudunak
izan arren, zenbait kasutan oso sinpleak izan daltezke . Gainera,
7
kaosaren azterketari dagokionez, ezaugarri bereziak dituzte. Horregatik
hartu ditugu geure azterketaren oinarri gisa .
Dena den, higidura kaotikoarekin ez dira bukatzen, sistema
ez-linealen aurresankortasunerako ditugun oztopoak . Sistema dinamiko
iraungikorrek erakarle arruntak (hots, ez-kaotikoak) eduki arren,
bestelako arazoak izan ditzakegu, erakarle horien erakarpen-osinak
banatzen dituzten osin-mugen izaera fraktalaren/ 50,51 / kausaz. Hain
zuzen, biegonkortasuneko kasutik abiatuz, aztertuta daude osin-muga
fraktalen Inguruko sentlkortasun-eskualdeak/40,42/ eta bertan ikusten
denez, hasierako baldintzen determinazíoan zehaztasun osoa behar da,
azken egoera ziurtasunez aurresateko. Bestela esanda, bukaerako
egoera prezisioz ezagutzeko, hasierako datuak askoz ere zehaztasun
handiagoz ezagutu behar dira. Bukaerako prez1síoa bi aldiz hobatzeko,
hasierako datuena neurri handiagoan hobatu behar da. Eta, horí,
azpimarra dezagun, nahiz erakarle arruntak eduki gertatzen da.
Sentikortasun-eskualdeen arazoa aztertuta zegoen iterazioen
kasuan /40,52/ eta ekuazio diferentzial arrunten kasuan/42,53/ baina
egin gabe ' zegoen ekuazio jaraunskorren kasuan . Horixe izan da geure
lana egitera bultzatu gaituen arrazoia .
Geure txostenaren bigarren atalean, hortaz, horrelako arazo baten
azterketan abiatu gara. Lehenengo azpiatalean (11.2.) sistema dinamiko
ez-linealetako erakarleen aurkezpena egin ondoren, hurrengo
azpiatalean (11.3.) ekuazio jaraunskorren erakarleen eta
erakarpen-osinen berrikuspena egin dugu, azken azpiatalean ekuazio
jaraunskor baten (MLA deituko dugunaren) azterketa burutzeko .
Aukeratu dugun ekuazio jaraunskorra, 1918. urtean Duffing-ek
proposaturiko ekuazio baten/S4/ aldaketa da. Ekuazio horrek hirugarren
ordenako zurruntasun-gaia duen osziladorearen dinamika adierazten du.
Geure aldetik gai jaraunskor bat gehitu diogu (11.4 .2.) .
8
Ekuazio jaraunskor horren integrazioa era numerikoan eta
ordenadorearen laguntzaz nola egin den azaldu ondoren {11.4.3.),
biegonkortasuneko kasuak aukeratu ditugu geure ikerketa aurrera
eramateko (11 .4.4.) . Horrelatan, ba, geure ekuazioaren erakarle-moten
sailkapena egin dugu (11.4.5.) . Eta hemen erakarle arruntak
(ez-kaotikoak) kontutan hartuz, biegonkortasuneko kasuko bi erakarpen
osinak marraztu ditugu (11 .4.6.), osin-mugak ardura bereziz aztertuz,
eta prezeski mugak leun edo fraktalak izan daitezkeela ikusiz . Nabaria
denez, osin-muga fraktalak direnean, sentikortasun-eskuaideak izango
ditugu .
11.4.7 . puntuan, ekuazioaren parametroek osin-mugen
fraktaltasunean duten eragina aztertu dugu, bide batez zenbait muga
fraktalen dimentsioa kalkulatuz (11 .4 .7.2.) .
Bukatzeko, 11.4.8. puntuan beste zenbait faktoreren eragina aztertu
dugu, hala nola, hasierako baldintzena (11.4.8.1 .), gai bortxatuaren
izaerarena (11 .4.8.2.) eta gai jaraunskorraren ez-linealtasunarena
(11.4. 8.3. ) .
9
L ERRAD1AZIOELEKTROMAGNETIKOA
Helburu bezala bi partikula puntualek erradiaturiko tetramomentu
angeluarra definitzea eta kaikulatzea dugularik, lehenengo bi
azpiataietan orain arteko emaitza ezagunen berrikuspena egingo dugu .
Hasteko, partikula bakarraren erradiazio elektromagnetikoaren
berrikuspenetik abiatuko gara, ondoren bi partikulak osotzen duten
sistemari dagokionez eginda dauden azterketak berrikusiz, eta,
bukatzeko, guk eginiko definizio eta kaikulu berriak aurkeztuz .
,,
?, .,, :!
nn
^n e.nl
Aspa1d41d-3ni : ezagutzen da,
Dart ikula bakarraren erradiazicri
dagokion Larmor-en formula ez-erlatibista
d W,ddt
2
3
2e
2a
c 3
13
non
Wad erradiaturiko energia, e par ;kularen karga, a azelerazica ata
argiaren abiadura diren .
Halaber, ilinkowski-ren espazioan, adierazpen horren orokorpen
erlatibista ere ezaguna da'Sb' . Al oaturiko orokorpen hori ,nr`zeke
segituriko prozesu bat aztertzea, interesgarri gerta dakiguke, geroago
segituko dugunaren abiapuntutzat . Hori dela eta, partikula bakarraren
azterketa egingo dugu espazio horretan .
Demagun, partikularen unibertso-ierroa (L)
xa = `, ( z)
akuazioaran bidez adierazten dela, non t cartikularen denbora propioa
den (ikus 1 . irudia) . Kalkuluak errazteko, argiaren abiadura c=1 egingo
uugu eta bestetik 7~~ = diac, (- 1, 1, 1, 1) metrika erabiliko dugu .
A)diuneko abiadura honda adieraziko dugu :
n :n - !.;nflAk denb
^rooit_lar_.
klko derT ba
S°r?zte
d en e_
~ora..
: .
~a
d : :
.a K ne : era honetara
on.^o a ^
r
a Uc~ = ~ (t) ~,(t)
~estaide, azelerazioa ondokoa izanc_o da :
C ( t) =
l t)
Partikula horri dagokion eremu elektromagnetikoa aztertzeko,
ohizko bideari lotuko gatzaizkio . rspazioko edozein puntu harturik, X0<
eta Lienard-Wiechert- en adierazpenaren arauera,honela eman dezakegu
Dertako tetraootentziala ;57,53/ .
o!Á (t)
er-
-Cr
14
non zr puntuaren posizio atzeratuari dagokion denbora propioa den,
alegia, x~ puntuaren iraganeko argi-konoak partikularen unibertso
lerroa ebakitzen dueneko puntuar í dagokion denbora propioa (¡k . 1 .
irudía) .
1 . Irudia
etrapotentzialetik
eremu
elektromagnetikoa
tetratentsorea
deribatzen da
F°`~ = a[°` A r3 = aa A ~ - a ~A° `
( 7
15
eta beronetik Maxwell -en tentsore elektromagnetikoa, hots, eremu
elektromagnetikoak garraiaturiko energia-momentuaren dentsitatea
adierazten digun tentsorea/ 59/ .
T a ~ = A FF/' . 47
~ Fr sás
(3)4 Ti 4
AzKen
rentsore
honek,
nc1ae,a1t
esateko,
gor(det_en
:,uen
n ormaz''caren bide' tetramomentu Peal _'ek.'_romagnet oarerr
oef inizioa aman dezakegu. Ham. zuzen ere, ria tetrabiaaura ;duen
erreferentzi sistema inertzialar en kasuan, era honetafa ¿ ef ni dai eke
t?
_
,~r;r`(`rraren
ñ
^+aenco a
oroo , r,ar
mago ion
1etr
'amnmC~n.`_ ..
nea(~telektromagner'{:oa /JD/ :
Pa r ) _ -
T "l~ d 3 o-
1a)
non Tai Maxwell-en tentsore elektromagneti oa den, 2(n, ~~ áe a .ca
ondoKo ekuazioa Guen mota espaziale0 n oerTanoa Gen
3 _
aC
eta dcra136 n delakoa (n, A) hiperplanoko bolurnen-elerr,entua
den . Argi utzi behar da, ezen horrela definituriko tetramomentua ez
dela benetako tetrabektor ea, lau ŕurtzioen multzoa baizik, `bau da,
aukeratutako Z(n, ~)
planoaren menpekotasuna dute .
16
2 . irudian aurreko integrazioa egiteko bide bat adierazten da
grafikoki, bertako aldagaiak banatzeko eta, zehazkiago esateko,
partikularen denbora propioarena agirian jartzeko rnodua azalduz .
d 6a = dti d201
Z(n,~) / ~~
..
/ ~(n,A)
2 . Irudia
eginez,
t
,a)
dL
i °`/-~ d2 -
,7(n,A,z)
t(n,))
«
=
dz ~ póL
Oo
17
Z(n,,k,-r)
yX
eta bertatik :
-9p (n ~ ) z) = -a-r
Z,,.aitza honetan z , ri eta ~ direlakoen menpekotasuna adierazi
behar da. Baina Schild-ek ŕrogatu zueaezl51 ', infinituan denbora^^ 'r'_are ko mencek.ctasuna geratzen da soilik, hots,
-r °`13 d 2a-
2:
i~m
aPw (n,a z+ oo á z
ta ^ain zuzen ere, gal hori partikuia horrer erradiaturikotetrarnomentu ?inealaren proportzio modura uler daiteke . Emaitza
r,onetan adierazten dena, benetako -entsorea da eta, gainera, ecozein°<
ik, emaitza h:,erb~-e,r,a lortzen u-+a,• ^flrt :1
t n
berarenm
har" ur,
k da~v
esanguraz egiten dugun interpretazioa. Bestalde, esan benar da, metodo
honen
bidez
lortutako
emaitza,
ohizko
deŕinizioaz
lortutakoaren
bal?oK?cea aela, a?egia, errad c In and,ko esteran Terarreko fluxua
ralkulatuz
1ortzen
denaren
baliokidea .
<aikuiuak
burutuz
ikus
daiteKeenez, armor-en formularen orflkcrpen er?atibísta lortzer, da
borrela 5c/ :
ad pr- ( .u
)_ 2 e 513(Z) 5 (z)
u ~(z)áz
3
mod, berean, aurretik harturiko bide beret ;k, tetramomentu
angeiuarraren dentsitatea dei1,uriko tentsorea CÁetini dezakegu
espaz¡ o-denborako puntu bakoitzean, berau ere Maxwell-en tentsorean
o narr1tuz :
18
x °` T~'r - x~T ° ` '~ = x[a T 33 1
(15)
eta definiziotik bertatik dakusagunez, hirugarren ordenako tentsore hau
antisimetrikoa da lehenengo bi indizeekiko . Tentsore honen bidez, ritetrabiadura duen erreferentzi sistema inertzialaren kasuan, beraren
denbora propioari dagokion tetramomentu angeluar elektromagnetikoosoa defini ezakegu,
J«~(n~ ~)
-
/ ' a3
¡ , r
A)
kasu honetan ere tetramomentu linealerako egindako o~arrak egin
ditzakegularik . Antzerako prozesuari loturik,
r Z (7-, ^ )
J C< (n,~~ _ -
cfz
a~d 2ci
z (n, ),) ad-u- a J ~( n 1 a / r)
19
19 10< ~
f1r¡
a I
d
i
(13)
eta Schild-en bidetik froga daitekeenez' y/ , adierazpen honek n, -ren
menpekotasunik ez duen limitea du ).--+ +oc egitean :
Cl (T) = Im
(n 1 1 T)
J)d
A
+ o0 '3T:
gehiago oraindik, emaitza hau lortzen da:
d -Trz = 4 e 5 (z) 5 (Z) ~ ( r) A z) f ¿ (r) (r)~
-F-
3
eta
hauxe
da
partikula
horrek
erradiaturiko
tetramomentu
angeluarraren proportzioa .
BI, PAR T iKULAREN TETRAMOMENTU LINE .-^,i_ ERRADiATUA
Partikula bakarrarekin egindako azterketa orokorturik dago
partikula
kargaturen
kasurako/ l }/, baina tetramomentu lineaiaren
erradiazioari dagokion atalean soilik. Diogun, bestaide, 'tan berean
aioatzen denez, oi partikulatatik N partikulatako sistemarako pausoa
guztiz zuzena dela . Dena den, geroko azterketaren carrera gisa, lan
norretan urraturiko urratsak adieraziko ditutu .
Oraingoan bi partikula puntual ditu (z u, e a kargaounak, a = 1,2 ,
eta beraien unibertso-ierroek, L a , ondoko adierawenak izango dituzte
MimKowski -ren espazioan :
.a
(T--
~ t ) _ 1~
! Q ~ q
20
(20)
non z a a partikulari dagokion denbora propioa den eta abladurek
ondoko eriazioa
LLJ
betetzen duten .
Gainezarmenaren printzipioaren ondorioz, eremu elektromagnetiko
osoa partikula biek sorturiko eremuen (eremu atzeratuen) batura dela
joko dugu, hau da, sistemara heltzen den kanpoko errad!azio-eremurik
ez dagoela suposatzen dugu :
F``b = F a~ + F °`~4
2
ondor'oz
Maxwell-en
tentsore
elektrornafanetikoa
era
honetara
.,eskonoOsa dezakegu arik :
2
T a ~ _
T~~ + ~ ?
( 24 )
non
diren .
°~
t t
a i
ref rá zi
+
+
i !a e
,
pn.
etrabiadur .. ~.uen er~
e, nt~ ; sis~ema ,nertz .a . . .r .kik~ berar~n
denbora propioari dagokion tetrarnomentu lineal osoa, honelaxe defini
dezakegu :
ca = 4
«~
O<~
J ~ ~ FIS Fá -- 4~~ `Q F~ t 4
a a ió
21
l2S)
~z~ --
F«~ i ~+ z<1 F ~ + 2 7aPF 1 FZ~ b I
/
(25)
5<
P(n, j A) = -
T ° `f' XT
(27)
A)
partikula bakarrarekin egin dugunaren antzera . Tetramomentua fonda
deskonposa daiteke :
P«~n,
pe‹~n,
p«
a=+ a
12
non 3 1arT K.u aren eremuari exKiu5 boK1 oagokion ekaroena
T (n- I A )a
Á (n, ñ) _
-ca
TA / d Z~a
'61
C'}a
za
, Q )
den' eta ai noni dagokionez, aurreKo puntuko hedakuntza oeroera egin
dezakegu harik eta a partikulari exkIusiboki dagokion tetramomentu
lineal erradiatuaren proportzioa iortu arte :
d Par ta )
2 e 2 5a(á) a l~A) ~a (Ta )
(30)d zQ
3
~
Arazoa korapilatu egiten da, bi eremuen ekarpen mixtoari dagokion
atala aztertzean . Aipaturiko autoreen lanaren arauera , modu
honetara kalkuia dezakegu ekarpen mixtoa :
(lt , >') V- (-n, A)
P2 (n, M =
dz2
T1 2P cio42'3
(3l )
E2 1 k-ci, zz )00
22
3non á =d 1 2 d 423 den eta 72 (n ' a1z Z2} delakoa 2-1(n,a,t1 ) eta I2 (n,direlakoen ebakidura den 3. irudian adierazten den bezala .
L2
L,
3. Irudia
3eren lanean, Agirregabiria-k eta Bet-ek '3child-en frogapenarenorokorpena egin dute, ondoko pausoak emanez, hots,
2 ap
12
( r` 1 ~ ) Z',
121 da-
( 32)2 a-EZ
" .f-1
Z1z ( rt, )\, e ) z2)N
integralak n -ren menpekotasunik ez duen limitea duela ŕrogaturik, etaemaitza hori zera dela, bi partikulen sistemak erradiaturikotetramomentu linealaren proportzioaren ekarpen mixtoa bí partikulend enbora propioen unitateko, alegia . Argi utzi ~uten bestalde, ekarpenhori zero dela, kontigurazio horretan bi partikulen arteko +~(_CI
(2'2)11
Z12(n,X,t1 , t2)
23
tetrabektorea denbora motakoa denean .
Aurreko limitea existitzen dela frogatu ondoren, aipaturiko
autoreek beraren balio zehatza kaikulatu zuten, espazio motako
konfigurazioen kasurako, horretarako bi partikulen posizio eta
abiaduretan oinarrituriko sistema ortonormala aukeratuz (ikus 5
eranskina), emaitza konfigurazio horretako posizio, aciadura eta
azeierazioen bidez eman zutelarik .
-- .;arren
rauso
,~c .a. te an
!e~rbora-u,j ni tarex.o
_errarvia?ioareny ,.,,
~
,~
K a lu,ua,
Pt
, g+n ru :en , i ,ex.an,ka Er •Q S,LI,s .a r ui
sank3 re
_rimkak erabiliz, zeren croo erra hau eb3zte~o oerarnei<oa baita
- -s- -r, L re,, zail zat e `-aa ut - a! - C_,_enaz< :' .ago esanda, beharrezKoa ca konfigurazio rrr_ak pc3 z1o
azzeratuetararteko unibertso-lerroak ezagutzea . <,.on, icurazicarekin
bakarrik ezagutza hori posiblea ez denez, metodo pertürnaticoa erabi i
zuren, Den ere agertzen airen magnitudeak --+naia nc'a en_z-en
'ncarra- partikulen kargen berreduren arauera gar3tL : eta leper
cr eena ez nuluko galak soilik hartuz . Era norretan 1121, 12, eza 3,g aiak kalkulatu zituzten, tetramomentu lineal erradiatuarer casari
aacokior ez .
Esandakotik ondorioztatzen denez, azterketa norretan zeri
tetramomentu angeluarraren arazoa ukitu eta, zer e anik ez,
tetramomentu angeluar intr ;ntsekoarena, eta horixe ca prezeski jure
lararen iehenengo atalaren helburua .
24
1 .3 . Bi PARTIKULAREN TETRAMOMENTU ANGELUAR ERRADIATUA.
Lehenago partikula bakarrarekin egin dugunaren antzera .
tetramomentu angeluar elektromagnetikoaren dent sitatea delako
tentsorearen definiziotik abiatuz, bi partikularen kasuan aauden era
esberaineiaKo eKarpenak aztertuKo ctt —igu.
! .~ .'etramomentu angeluar erraoiatuaren orooor z,ea
J . .M
^r; .r t3ra
ce'IFfi t7en
ua
tutra^ o .mer:t :
an .a ;z I- arraren
entSit3tea :
33)
Bi partikularen kasua aztertzen ari garelarik, eta gainezarrnenaren
FT
aorint_ipioa erernuetan aplikatzen cela, FT , "P+ FZ 1
, hats, ino1ako
erradiazio- are ez dagoela, eta bestetik Maxwell-en tentsore
a f5a a 0',(6elektromagnetikoa hlrutan bana dezakegula, T = T 1 + z 0',(6
+ ~2 ,kontutan hartuz, honela adieraziko dugu hirugarren ordenako tentsore
hori :
j
)C Ca ( T1í"] ó t T ~j ~ t T ~3 1)
(34)2
12
a=1~a
J 42
25
15
partikula bakoitzaren ekarpenak eta ekarpen mixtoa gai desberdinetan
adieraziz .
Partikula bakarraren kasuan azaldurikoaren antzerako bideari
jarraikiz, nm¿ behatzaile inertziaiaren X denbora propioari dagokion
tetramomentu angeluar elektromagnetiko osoa ondokoa da:
6ertatl
2
Ta~`~(n, a) + 42
3
3non
= 6 yi
irud kC (
i
Y ~n
~'o me :.er,
al ,aia, ~,enatzalie norren
derbora proDloan espazlo osoari '~agoŕ:i ~n
tegrazioa egir ez .
Hemen ere arg? A V oehar ca ezen none a deiinituriko maGmt :-Idea
3z d eia tentsorea, erreferentzi sistemaren dependentzia duten 5 ŕuntz7,o
aesberdinen mu'=Toa baizik .
3arbi dagoanez, integrazioa agitean hiru gai banatu ahalko ditu ;;u .
Partikula bakoitzaren ekarpenari dagozkion kalkuluak ezagunak dira •~ a'
eta honeia ]abrir ditzakegu :
ra(n, A
~!
a
2JQ
a a
aYj(0,1)
á (n i A)
-Oo
0
dz asa 1(7, A z )ó =a
26
(37 1,
(38)
á
Ó(
1r)
eta frogatzen denez'9', adierazpen horrek limitea dauka denborapropioa infiniturantz eramatean, hain zuzen, limite hori a partikularenerradiazioari dagokiolarik :
á J r~( za
= ,~,,m,
a •raad -Ca
it
+ o0 ó ra
~~n?,r,~ oralndjw, ondoko emaitzW lor?zen da:
áTaá
4 á2 ~~á a l za~ ~ ( za) á~J(á)+ a~~a~ ~~](\ ( 40)3
nori ;<e deiarik a oartikulak ~rr~catu't'ŕra
má +~ an, ararenmon .. .~.~ :ur::r.oortz?oa .
Ekarpen mixtoari dagokionez, azterketa hori ecin cabe zegoen .prezeski,
geure
lanean
ni
partikulen
denbora
propioarekikotet, amomentu angeluarraren prcportzioa aztertuz, ekar en mixtorenkasuan ere adierazpen horrek limitea duela frogatuko dugu, ondorenlimitearen balioa kalkulatzeko . Horretarako, tetramomentu angeluarelektromagnetikoaren ekarpen mixtotik abiatuko gana:
z (n, ~) r,(r1
J2~(n, a) _ -
d zr
d
~z~d 62 á
15'!z (nI ~,t 11 Zz)
~) zz(n ~~)a2 d/3Jd r2 42- (n, ~, r,, zz)
a7~ a z
27
(4l
Bertan ondoko intégrala bereiz dezakegu :
2 a~
a `T12 l n.~A t 1 í )
-
j ~~ ~~
(42)
a7-1 9tz `
a12
~12(~,~~zt~zz)
eta hor
behatzailearen í~
den ;ora propioaren menoaKotasuna
1zt`uki 8 gertZen den arren,
- +oo jotzean, int°Qral horreK "Mite
.~:~Jela 'ooatuKo ~Jugu,
a2 T12
-c~ z2 , _
~Z `T+Zf3
_ ni ~~ z zZ-Dr a zz
-.+ oo Ó T1 a L21
hain zuzen, emaitza honek tetrarnomentu aneieluar erradiat,.:aren
orooortzoko ekaroen' mixtoa agertzen ddi :au1 :af ik, limite horet n n °~be~ctorearen menoekotasuna cesagerru -,elarik .
rogapena aurrera erarrateko . - as teko ~12 1 j-- n+ sorear en
diber']entzia nulua dela -unibertso-lerroetan izan ezik- gogoratu
enar du gu, oncoren egiten den lecez .
ai--( =)<' TY
- X~ T 242
2
a~ .a[5y_
rry +. xa a Í~Y_S Ta1_x (ba T °`Y
,:45;Ó a42.
1 42
1 12
1 42
0 42
eta hemen 9
n lela kontutan hartuz,1 49
a~~ 2 = ~:d _T2í= o
`
26
zeren T2~ tentsorea simetrikoa balta . Hots,
a~ '42ó
= 0
f.n.g.
(47)
L2
4. rudia
Tetramomentu angeluarrarer dentsitatearen dibergentzia nulua
dela ikusi ondoren, aurreko integralak
no bektorearen menpekotasunikc
_ duen
ea duela frogatzek^, Gauss-en teorema
^eraúl? KO
'T~mit
~
1y .:,
29
L1
dV
ondoko se¡ hipergainazalek inguratzen duten
áV(z~ , rz , n1 4 nz , A2~
tetrabolumenean:
tá (za ) a partikularen ó
denbora propioari dagokion etorkizuneko
argi-konoa. Horrelako lau hipergainazal hartzen ditugu, z,
t r tdr z +dr denbora propioetan .z i 1
1 ) L
Z
- ~ (na ~ a )
na behatzailearen á denbora oropioari dagokion
hi^
y,,perplano ,r ._,U
iorr~, hako ~ i dau i e .
-iiz.erboiur^eni hore rren
adierázpen era, +koa 4 . irud4 lan~
e°r+ate^ a. Bcstalde, diogun
^a.-.5 e a bate n
-
et~inao -Juoun af; en, cer _ 1 --++ oc eta AZ --
_ nao :ugu a,
r.?¡
~. ~,i-1 o , a zen ,a n flux n
dn : .~an
,r .,, xn~etn
ar
,:ua u + a .~e+a
:~ . {.o .
. nibertso-lerroetatik Kanpo gaudelarik, dibergentzia nuiua denez,
d~x. 0
48)
dV
;auss-en teorernaren arauera,
/`~~~ 3
a~~ s
a'(~á 30=
~42dy
12d ~-
r - ~q2át~ t
jr(n 212)
2 (n 11 A 1)
1t(7, )
dr ~d c
-l- I
~ 13
+
~~ Id3c
~12
2'
J1Z
4 1
4 12
2~icZ(r2)
, C'(trtdr,)
CZ (-C2t~ 2)
non azkenengo lau integralek argi-konoetan zehar dauden fluxuak
adierazten dituzten . Bertan agertzen diren argi-k.onoetaKo
,,ipergainazal-eiementu diferentzialak, Dndok.o erara eman datezke/11
30
11 -+y
non
d3
r2 j 2
Lau argi- kono ditugula ahantz i gabe, har dezagun WOMANN& bat
02~d3c
.00 k
ar , Ir »
'1
J47 a
cl
c4
a
Azken .n * egrakizuna a zte r t ulk C, ;.,g : :, Alinnitean nU 1 ,-; a a la
fragat2sko, horrvarako r 3 dsiakoaran berreduren arauerwo w. ovan
oanavuz eta verresura negatiboz 0500a lag Oela *USM WaMr ere 7 :
altaalak 2 (7i I 'I ) eta 70 A A2) ;D i anoen artean duen bari.azi.c - tartea,
fimm,tua ~enez gero, mtegralla nullua ,zango ila .
c's7pavoc - dencoran aijkeratutako
x
7,, tj,-,tuan ballo hau ¡-.u
a
partikularen eremiu elektromagnetikoaK"621,
q
w5 2)
ct
a
a
a
r = j u) ,
{,1a= ~a ~ZQ,
5 "< =
a
(51
a
,-a
31
«~ a = x
De~
tal (t_a ) 1
(50)
da :
Sestalde, ekarpen mixtoari dagokion Maxwell-en tentsorea hauxe
T2~ = _
íF a yZ ~ + Zdó 1 13 fi á p Frs F
(54)4n
2 7
216'
al.-Jre noriek gogoan ditu .uiari
honeiaxe garatuko dugu lel,,engo
ap~
2_(x T ~ Y k -X 7-a?k ) r 2
_q~
r
5_'412 ay a
12
oY
12
a~ a
uazúera erraztearren ondoko tentsoreak de` ;nltuz,
Rd - r 2 T ai ka
a
12
a~
S« P =. ~ a R f - x /S R o(a
a
a
ata aurreko (52), (53) eta (541 adierazpenen didez kelkuiu zuzenake,,inez, emaitza hau lortzen dugu :
_2
( ~,,
(
a
i3 )Cl u
A1+1a'/a') \aQ,~U -(Ka a,l 4a
4 ~ á) A'-~Q %,'
=,
Q
Tenzsore hau ra delakoaren berreduren arauerako galetan bara. azarayü :
32
ROL
= R0<
(-f) +- á(2)
(59)
C<non
R ( 1) gaiak r-1
erako gaiak bill-en dituen ( r a zein ra • )
eta
l~( 2) delakoakr-2
erakoak.
r
a a
r
m r
finítua dela jorik, eta bestalde
x«=r, k,+ ~Q, denez,t
,
a (3
<2 a
niru gaitan bana dezaKegu Sa
5
= r (I~ k
~ R
-
Ro(
- . r'k C~ R ti]
~50 )a(o)
a ' l a , a(-1)
a'
a'
a(-1)
s
_ r k L°` R ~7
~[~rR
~]
()
a(t )
a' a' a(-a) +
a'
c (- f)
a(-2)
a'
cz(-2)
0, - , z a
ordenako gaiak orderatuz .
-i'ru gai{~tarik,
5
da aztertu behar augun baKarra, zeren
r --A 00
e+,itean beste biak anulatu egiten baitira . (58) adierazpenaz1
baliatuz,
a(a _ e e
'
',~
[le J31
( 63)a(o) - ~ 2
(
á
aJ'a' a
a' } a' F7 , j4n
gestalde . ~-.+oc limitean, geroago ikusiko dugunez (ka á,,=0
a, eta,
ŕortaz, S~o = D
dela ikusten da . 3eraz, frogaturik geratzen
, ezen
in`inituan argi-Konoetan zehar f'u ur k ez da cela.
33
Honekin batera, berriro ere (49) adierazpenera itzuliz,
) - to
limitean Z(n. { )
eta Z(nz) hiperplanoetan zehar fluxu berbera dugula
ikusten da, hots,
o(f 0 d3
1
Oo
~12
0
2r00
Z(n„ X,)
modu horretan onaorio hau ateratzen duuuiarik, alegia,
2 a/
2Jaf3af2r
I Z z)_ AZ ~n ~
r2) _97, az2 , f '
*0 azr 2z2
)z~
412
12~
~~2(~i z T2)
34
delako limitea kalkulatzeko edozein n hiperplanoz balia gaitezkeela .
1 .3 .2 . Tetramomentu anaeluar erradiatuaren ekarpen mixtoaren
oroportzioaren kalkulua
Azpiatal honetan (65) ekarpen mixtoa kaikulatzera saiatuko
gara,espazio motako konfigurazioetarako noski, zeren lehenago aipatu
dugunez, denbora motako konfigurazioekin zero baita, edo bestela
esanda, denbora motako konfigurazioetan ez baitago ekarpen mixtorik,
bi partikulen argikonoek ez baitute elkar ebakitzen. Hots, Z eta _Z'2denbora propioak hartuko ditugu, edonolakoak ondoko bi baidintzengatik
izan ezik:
(b4)
(65)
i) posizio erlatiboa adierazten duen tetrabektorea
oc _
~
a
oC
92
espazio motakoa da, hots,
(66)
X 2 = X d X
>42
12
12o
of oartikulen aoiacuraic e= d~ra der inak, nau da,
( (. u
-
(6131 2
dena den, azkenean muga-i asu honetan wertatzen dena ere
aztertu',o dugu.
2 OEf3a Ti z rB+?stali~e, aurreko azDiatalean k.usitakoaren aranera,
a
a z+ az2^e rrek airulatzen deneko
n
( eiakoaren menpekotasun'k tez duene',
arrazzasunaren mesedetan
'1.
0¿
= U a
(69)1
egingo dugu .
35
Kaikuluak bideratzeko, bi partikulen posizio eta abiaduretan
oinarritutako ondoko sistema ortonormala ( .u.f
de*initzen
dugu l l 1/ :
j a = - A { F a ~r y X4
u4y u 25
- 2, 1 l >C
+ ( X' LLAL ~
aron
~~
-.raoat ant} 7 irr.e t ^'K03 -lán ¿
=QC12 3
2
2
12á a' = X12 +
X12
A2= X1Z 1(u,
-[(x12
u f)+ Z(
U, uZ)(~12 q)(" 12
u2' +(X
f
2~Z)J
dicen. Sistema ortonorma ; honen azalpena / ' l erreferentzi an:n dator .
Bertan ikusien denez, integrazioa egiteko C+
c2 ~z2~
c+eta z (ZZ tiZz argi-konaen ebakiduran
u, -ren hiperplano ortogonalean
dugun bol,.men elementua ondokoa da:
da
-1
a
12 - 2 21 1 d
^emen acertzen den Ce angeiua ondoko giraratzen delar ik :
36
(70)
(71)
Pc-°-:s~ = it(~ 6 + ) = zi~
t E2)
Psr21(~ Q4) = 21~~~2) (76)
Limitara egin behar dugun pausoaren kalkulua errazteko, gaiguztiak rQ distantzien berreduren (berredura negatiboen) arauera
garatuko ditugu . 8estaide, ondoko emaitzak kontutan hartuz :
,¿;r
r2 1_4 = a f-~
CO-5 T
k 1~ - x12 21' ( co .5 i a -r- S ¿ri yj ,) t
~.
k2 = ~« + ~ Gos ~P) 1
k_°`
1-1 -•+a0
qHonela deskonposa dezakegu F
eremu eiektrcmagnetikoa :a
a
a(-1)
a(-2)
r o0
eta ondorioz, (~b) kontutan hartuz, 92~ energia-momentuaren ekarpen
rnixtoa delako tentsore simetrikoa ondoko erara gara dezakegu :
T"f' - TO[
+
T~í
+ T°í
12
~12 (-2)
f2(-3)
12(-4)
Honetara heidurik, ohar gisa diogun ezen tetramomentu l :nealarenazterketan nahikoa dugula
T42~-2)
gaia soilik aztertzea~'
baina
37
(79)
(8r)
tetramomentu angeluarraren kasuan
42 ( 3) ere eduki beharko dugu
kontutan zeren
-x~~ T~~?l
izanik x X-`~- ~a+r k a = x~ + r k°~'
d 2-
12
'
a a a
a
a abektorean ageri den ra hori ere kontutan hartu behar bai*ta .
Aukeratutako sistema ortonormalean honela geratzen zaigu (65)
integrakizuna :
da2 - xC~ h2] 1 r~ 24
~t4 d
r~ r2 (x~~` +r
kfo
J~z'rui ó
d~r
/21
ntegrazio-aidagaiari, `P
dagozkion mugak ( 71 71)
ra. Beraz,
,rt~.grakizunaren onportamoldea azter? beharko dugu --; + oo ;edo
r --~foo ) 1}m7tean .
_imiteko arazoak non eta nola agertzen diren aztertzeko,
intearakizuna r a delakoaren Uerredurstan banatuko d ::gi . '-oni eginik,
ondoko gaiak geratuko zaizKigu :
a)
rr--2 1[ ~2(-2) L Gai hau zuzenki kalkula dezakegu, /111
laneko 2émaitzak erabiliz, zeren x1a horrek ez baitu limitean inolako
arazorik sortzen, limite-prozesuan konstantea baita, behin
unibertso-lerroko puntua ( z, ----• x 1a
) emanik. Hortaz, limitean
honeiaxe adieraz dezakegu :
r, rZx ~` T
(3~u.
- - >C°` ffl
r
9
12 (-2) 11
4 f24
38
(8-')
non
=e eZ
irn{{111
~UuZ~~K5J)( 25~+ ( f§§ (f $) ~(u2C 1)(k2
"(1152)j Kf]
(34)2~ Zt
(P) r1
den,
= 0 izanik /11/ erreferentzian ikus daitekeenez .a
b) r r1 X L T
u.
i~ai nau nuiua egiten da r --; +oo- - ear.ji
(-z
~2(-3) 1 Y
It
d
e)
rz x~ T ) ul
úerd n gertat zen da.r
~ 1 2( `~)
á21a
~+, r r2 r k T~(-Z)
u I
asu nona_an zenbait~z 1
araz sJrtzen1 4
~2(Yzklgu ndeterminazio bat_uren Kausaz . Dena aer, rri':ean
indeterrninazio horiek egokiro ebazten dira, ondoko eran hain
zuzer, :
[~
~~
- i
Ca
¡~]
,U^ r1 k~ k2 = (a ~- g cos Y) 'tvmt
k192
.,35 )l
1 ~tao
rt -~+90
~vrn
r1 k1 k2) _ ~b(4
+~ Cos ~~ .wrn_
12 k1 ) = 0
8^too
1 -• tao
Bestalde, esan beharra dago ezen
T2 -z)
kaikuiatzeko, 26)
adierazpenean F- ~ hartzen dugula soilik, hots:
F~p - e aa (-1) -
Fa
/
a)7a~1 uá a
13_ uá ká +
"()<,L _ "a ka /
87)
39
Ca p] é ~] [d~ ~]
~~Honekin batera eta k l U- , k1 U.Z , k4 `ll , k1 %. Iinituak direla , eta
anti simetrikoasunagatik r k 1 kp 0 dela kontutan harturik, kaikulu
zuzenak eginez ondoko emaitza lortzen da l imitean :
r; r2
[a
(3J-
1 k 1 T2 (-2) . l r21
x[~ í]
eZ2
1 2
~ rr r21
k1~ [(a~ K
k )(~C u.~ -(k )(K u)(XC
)] +2 1~( 1~Z 12 2
1
f 2 12 2
f kfK2~JCCkZ t)` k4
u 1)(x i2 IHK2
l k 1~7+)(12~1J~
tk1a
1~][(KZ
u1)(K,u2)( 1 2~z)
-(kZ ui,)(k1 gZ )(x, 2 u?) +
lk ~ u f)(12 u1) -(k { ~ 1)(X42 1CI J
3 `)
r~ rz
k [a
;~] ye) r
r1 f !2(_3) u,~ 3ai honekin antzerako orozesu bat sPC'` , :24o
dugu , beti erea inde_
rla.Lteerminazioen eba zpena gogoan
i ir4. ir,
edubehark . . .
Dena den, lehenik eta behin Í c~~ kaikulatu beharko dugu, hau da,12(-3)
Tc(p _- 4 Fa ~ F nt F`r~F
13tF"(1
Ff"
+ F°(~ F
í3 +-42 (-3)
4(i( 4~ ( ) 2(-2)j
j(-2) 2(I)y
2(f) 1(2)j
2(-2) í(t)r
+
"F-15 F
t
° F ~~F
(.8g)2 7
1(-,) 2(-2)1b
2 ?
1(-2, 2(-+)~a
40
bertan a(~ (87) adierazpenean emandakoa delarik eta
á(2 ) -eQ
uQ k Q - u.A ká )
(go )
a Fa
Ca?ku?u luze baina zuzenak egin ondoren, azkenean emaitza hau
,IDrtzen (!a :
~,vrn
r'~2
r k ~~ T ~~1
1
iz (-3 )r +Po 21t
-1-
e ¡ e2(a+~ co5~ um
4rr r t
1-y+cbÍ ~7 ~ u ~+ K ~ k
[.eu0]
k~ is, k14 ~
1
g, i!
1
t
{ 2 2 1 z
i t
1 2
r+ r2
erraz eta zuzen K:usten den bezaia .r
1k1
42(-4)u ' = 0
21
veraz, hasierako integraiera ;tzulita, zera dauKagu :
Z lT3
nó '42
C=,Z) _- dp2 ~~(X1~J+x2~~t
e,ez
cosy) d~Q
a Lt~ z
;T
4nr2I
k 1~ u1A1Í(K2,)( ~2)(x,Z uz) - (k2
~1)( k 1
u2)(x,2 2)-(k1 1)(k2 u2)] +
+Kt u2]C(k212)( ktut)(x12gt -~kZ~z~~ki ~~~x12~`+~-(kzz)(kt u t) +
+.<
~~
][(r~u,) (k1 uz)(X12% ) - ( kzut)(Kf~2)(X12 14 2
) +( kz u~(kt u
1f+
+''K I27RKiuf)(kZ UZ)( xf2~t) + ~ K~~h~(K2 2~~x+z
+(1~u2)( K t u)]
gC_
41
badugu.
Baidin eta /11/ erreferentz aren arauera I
tentsorea hartzen
7f
I a ~Y _ -
dy k,
-t
k,1,1
k
y
r,
oo 211 (a + /3 W-5 ~t' ~n)z
- TT
a-. KBnean ::-~ra 'entsorla1 horetan aman ,:ezaKegu tetramomentu anae ;uar
a ~+2r ~ .r
e1 e 2 I
Laz1
at2
' 2
2
r21
~L
non L<~y-ondoko girara ernanda :a` rren :
L
-~
~
- ~~ u1 L42) ~l 2 ~ (u f ~z)51a~Z - (u2 11)ü1 ~2+(1I2) "+~ 2
+ [` X12 u2)
- (X12 52)51 U2 - 51 u2 1
~
-c (
°r Pl .ü . ó t
+ [-(X12u1) 12 ~1I'~(X2 1) 5-uL - ~2 ~1
2~
o(
g+ [- (xt2 u.2) u 1 f]2 + (x12~2)
Lk1 z + u1 "z ,
t
X
~ ¿d u (3 + 11 Z I,L1~ Z~
y+ [(x111)u~2 1
12 ,) 2 1
42
~33
(x~+X2 )+
Argi ikusten denez, L~ r tentsorea t~uztiz definiturik geratzen da
2 eta z2 denbora propioetan bi partikulen posizioak, abiadurak etaFa
azelerazicak ezagutzean, alegia xa1
, xa2,a
U.19"z
a,
~
1, 72 ezagutzean ; eta I <P r
tentsorea kalkulatzeko integratu egin behar den arren, L~l kalkulatzeko
ez da inolako integraziorik egin beharrik .
Gaien berrodenaketa eginez, honelaxe adieraz daiteke
LenLSoreQ:
[-' P Y - - [{u l uz) 5 51a 2 -(u152) i i z - ( 112 C) ui
c< 1*3
~
t£á~Z
t~ ~[ (x ~~ )+i] Li~ - (x U
u~~
~]a=1 ?a aa a'
a'
a aa' a) ~al ~ a ~a
LaP á = u(' Áí[' Y]2
1 51
43
2xá
a .1
4zken adierazDen `'onetan, 21 , 22 par tikuia bien konfiguraz': •_ K
posizlo, abladura eta aze+erazioen msnpekotasunaz gain, argi agert_en
da. b i partikulen azpiindizeekiko simetrikotasuna .
Bestetik, bi oartikuletariko bat ek azeleraziorik eduki ez arren ere,
ba dago ekarpen mixtorik konfigurazio horretan . Adibidez,
= 02
aginez, ond oko ekarpena dugu :
;977
Honetaz, tetramomentu linealarekin ez deia gauza bera gertatzen
gogoratu behar dugu .
1 .3 .3 . Ekarpen mixtoaren oronortzioaren hestelako adierazoenak
Aurreko
atalean
lorturiko
emaitza,
konŕigurazioko
posizio,
abiadura eta azelerazioen funtzioan dator. Dena den, aurrerago egingo"ugun kaikuluak prestatzeko,
bestelako
erara
adieraziko
dugu .
,orretarako, geroago a , . Ko
itugun arrazoiak taŕean direla, birŕ
s-T
-n~
h r n_ .a .ir:~.;~~n +i~idura Minkow k
en ~sraz : .-c~ vf:raKO
'1- riano bat3 .3n
e
ncor o?
~~
ce
era Ko:i f!, a
, :~k.
UV~.oU
'_a
aL _
raL . ~
_; 11'J'J J
~a I a~ 'I uzte,a Cnaf tuKO , u :J'y 4
~7a = ~a Qa X(2 +baa ~a + baa' ua'
a+-4ertan
-~ ~)
den , edo 7es noosaKeta trúi,ok ;cea
t <N
/a
~Q aa ~~ + ~aa' a'
a
,, -
¿ron t = u - k u eta k = - u. u , diren . Gu azken aeskonposaK:etaz
a
a
a'
( 4 2
a
a
ocbaiiatuko gara nagusiki, hots, C ;narr' sa
t1 t2 sistema ;artukc
cuqu . Sistema honetan ondoko bicerk.adura eskaiarrak ditugu :
(ñ t' ) = o
2
2ta
= k - 1 = A2
44
a, a'
gg,
,Z eta a = a'
(100 i
eta 1-estalde
i _an1K,
X12
~,a
+ z1 u.1 -z2 u2
2
2
2
2=
x12-- Z1
2 k ~1 z + z2
(X12 ~a l ~a k á , - ~a
(x . )12 %7,2
( QQ ~ Z A2 ~ocl, Z- 67 )
,lm (k11 )~ = - R2 4 a 1 Z 2)(a t-~ cos ~) + (t1Z k t z 1 a 1
;ri -+ 00
wm (k2
_(121
k + --2a2)-1~29a,- 0 l thcos~~
t11~1
--P Qo
Aurreko
emaitzak
kontutan
hartuz,
ekarpen
m x o r en
aalerazpenera ,tzul gaitezke:
2a 3, 2
C~P
TV
r C z' 1 z2) _ -
1~ja
~,+ x2p1 +
e, 62-(X I
a -G1a t
4Tf rZt
~lr~cos~Z
n
-Tt2
a
} ~q láQ, a'I + la`á Q, á')(xa' a~ña
0L7 + á~Ja) á~7
45
Kontutan eduki behar da, aurrekoan agertzen diren k a eta k a izatez14m zar, ,ulertu oehar uirela, hots, Lm ka
eta
-~.
k ~`r -• Qo 1
po
23estaide, gai horiek guztiok arduraz integratu behar dira . í' iJerreferentzian erabiltzen den metodo berberaz baliatuz, ondoko modura
berrantola dezakegu ekarpen mixtoaren integrazioa :
2 «13
l ) 2a z°, ó ~z
2a
C~_ - 2 ei e2 Aa a~ - B - ) l x1 XZ t
e+ e2 dn=41
41T
'
A+2 4
(..U.>
Ik ~)(k,,
k 1, c1 +~k 5 4)
11,2 Ka D ~],- K~a E p7
1
2z
1
4 f
2,12
1
Aurreko adierazpenean
A _(k~a+e Vza t~ )a
a s aa' a a'
a' a
2C
a=1 7, (x,al ua)
46
ŕ
T-«_
~3 ¡k~
,
r2
ta ~2~-1 °`
. -1 1a
a aa.'
a a
aa'
a a' aa
aa' a'
`
B=(~zt-2kz, -¿Z ) a1 c~ +2k ~z i4+(z++kz2 )a f 121+
kz+,a2 ¿12
77 -Z r
-4 Z i - -A2a
La
'V_a
aa' a
raa' a. (114 ;
' c ,
integrazioari dagokionez, C , D eta E- , konstanteak dira, z1 eta
2 aduneoropioetako sistemaren egoeraran arauerakoak nain zuzen .
Gtaide, imitean integraleK. ;,ndoi~o balioa dute :
j¡
a{
K~
~ ~ - W a
oC
21T r2 4 i- ,IT a +~605
W
k1~
á`p _ ~a
(11a)
z tT r2 (a +~ COs y) 2
non
a
Da
(a' aa' 5a) ~a
x%a 1 a' aj
-
( 1 16)a
2
aEa = E ~I + 7a (Xaa , Ca,) 7a
a-f
(117)
1
~ad
_~a
H,0)L`J_
1
2
1
K.aikuiu zuzenak baina luze samarrak egin ondoren, emaitza hau
1ortzen dugu tetramomentu anceluar erradiatuaren ekaroen mixtoaren
orooortziorako :
a2 TZr(r T .-
4
2
e e
A ir~`-gwI°` ( X~7 +XZ7 t1) 2)
2 1 2_( a a
a ) 1
)ÓZ1 ór2
a-~
+ _ e e ["¿ pl +
+2' P pJ
Ca [3]1 Z(
á Da2 e
)
(?1)
47
Z
-
-K2 t ,+ a2
71)](WlC
1(112 k + al
a2 Z2) +-(tl2
't' Vr2
f- a
t cz2-z f) ir, - (~ Ik ta,
+a2-=,) v~
( '1 22)-
f
de< _ -(~
"' aa
) CK
+ ( k ~
- *( v-r 0,)
(23)!ja
aal
a
aal
,.) ( ví,1.
l
~
eX =W I -
0(
r 1
,jt U'-2-
24I
mrer.
0.4 . Derror a-un¡tate-anZetramomentu arceluarra_
1
Orain arte --gindako kaiku*it-ietan, e k Iaroe,,n mixtoaren prootDr YziiDart---n
aikuluetan aiepa, p etaprcportáca lortzeko, nahikGa izan da
~orr- etak ,gr, laposimak 5 abiadurak eta azeleralca ezagutzea, unibertso-lerroei
buruzko informato gehiagoren beharrik adué gabe. Baina bi partikulen
sistemak denlúNora- unitatean e rr a d ,, a t ij í-, K ,o tetramomentu angeluarra
kalkulatzeko, informazio gehiago behar dugu unibertso - lerroei buruz .
Ha¡n zuzen ere,
r'.
-r aldiunear
xIZe<
mota espazialekoa bada,f
2erradiaziorako par tikularen ekarpena eta ekarpen mixtoa bilduz, na eu x c-
lortzen Cugu:
9
r
áJ.r,
+
48
J-42r
M4 U1 ^-caal
7 , = -Cct
(125)
non z , delakoa, ~ (-C,) puntuko iraganeko argikonoak (, , unibertso-lerroaQa
a
aecakitzen dueneko puntuko r
a, denbora propioaren balioa den. Alboko 5.
d ua
d -c
dcX-LL
_
dTa
5 . 'srudia
~^' : an adiera-ten den bezala, inte :arazioa egiteko
auni
tso-
ober
lerrok
t z tartea ezagutu behar da.a a' A'
Arazo hau cainditzeko, `?ekanika Eriatibista Aurresankorre?~ . :A
niootesiak / l2 / onartuko ditugu eta nortik abiatuKo gara . Beraz, onartu
egingo dugu ezen kargen unibertso-ierroak sistema aurresankor
aidaezin baten ebazpena direla, hasierako baldintzak emanik noski, hots,
ondoko erako ekuazio diferentzial arrunten sistema baten ebazDena,
49
Y)
i 5 -> .7, l, '~
non
a~x~ u.~
funtzioak ortogonaltasun -baldintza betetzen dutentetrabektoreak diren, hau da,
lJ-La F] a (x6 ) ~G
eta, halaber, Droz-Vincent-en ekuazioak 57,b8,ñ9,70/ .
(127)
~
2 a0
( 1 2°)
?esta lce, isladapen espaziaie= aldaezintasuna onar`'u_ (nau`re da
,ererago
, adlerazpena ja, t :eK.o izan dugun arrazo?a„ none a adleraz~7
egu.~tvLz,_~~ ,~ .~J
` ci
70aa
~oC
"áa! ' Q
50
(129)
Afaseen espazioan bi bektore- eremu ditugu, ekuuazio - sistemaK
berak emanak,
aHa = u.a a
+5a
(xb~ J u~) a
(130)ax~
9u,aa
a
nolabait bakoitzak partikula bateK kofaseen espazioan duen eboluzioa
adierazten due arik (bestea finko jarriz) . Hain zuzen ere,
~Na) ikurrakeremu ~orrekiko Lie-ren deribatua adierazten du.
Ernancako bipotesiekin eta / '! erreferentziaren bide oeret':k, mudu
honetara definituko dugu J~~(x6) LL ) iraganeko infinitutik kofaseen
espazioko (x, u) punturaino erradiaturiko tetramomentu angeluarra,
hots, ondoko aboluzio-funtzioa duen funtzioa :
(H)T"P(x
ru ") = L f` ( X,
u ó)a r
b
o
or b G
= Ma~ (x y U 5) 6) c)
raa'
úe?1nizioa mota espazialeko konfiyuraz o ŕ~K ;~ eiíten da (ha',n zuzen
ere, ces e1a oe'an da integr ala KDr ',~'n r .r'ia tenar ), eta ;amera
ondoko baldintz . asintotikoa ;artzen du{ u :
~vm
R~ (z R2 (z2) J"rP(xe 1 uG) D
z-~ or
~*m09
Cx~ u b )a' z
12 r
6
l~
aiegia, iraganeko infinituan ez dela oraindik tetramomentu angeluarrik
erradiatu.Azal difzagun banan-banan aurreko de"n?z!oan erabilit.ako 'kurrak:
M~~(x~ u b -- 4 e2Y~x u) ~x, . x' u~]+ u
p](x,~.~
(133)ar b) ~) 3 a ~a
a~,
a a
a
hau da, d Ta,-(za
)dagokioal zQ
Map x u5) _ - a
2e e:, ~, (A V~`- B wt~ x ~] f x ~~ f
42F( 6/ c
2 1
Q_'
a a
a /( 1
2
2
+
e~ e2 c~~
(.134)2
a=f
51
.'32)
non gaiak (121) adierazpenean bezala definiturik dauden .
Bestalde, á Q , (X' u. denbora propio atzeratua ondoko baldintzen
bidez definitzen da:
d
1xa - ~Q
°K~Cx, u
aa'))[ ¿le< - 00«
Lj áa)J =
0
`135)
U +O
^ lX -
x - z/> 0
,r_iQ
a'
)
G1 a'
-n
CXUL 'z
~1C~?IYIa ~iir^JC~(~Y-r a
eznarAr ~t-, j~n, :. n ;~ --c-,(X~ LL E)
nasieraKo baldintzak har""au
(x u ~) ~ ~ X u ~~~
37 )Q
Pc¿
~X~U ) 0)
uaa
4ia (X~ u 5 (1) - xa
(131) adierazpenean c~1
delakoak ondoko maparen aplikazio duala esan
nahi du
A~T
oí
~X
X
üy
L1S
)---r
C)(d
~XU'Zl fL~~
CfXU' \ 1t~)
~
a ' a' 1 a 1 a
a ~a' '
» al R` (> >~~
52
(139)
eta baldintza asintotikoan ageri den á(z)
despiazamendu-operadorea
honela +eŕinitzen da:
Q (-C)(á á' ~a , ua'
X t á' ) Xa' ua, , á `)
41 '
E .;an dugun legez, Ja ~(Xb~uG )delakoa, iraganeko inünitutik e mandakokon`ig ,o r az-^rainc erradlaturiko 7etramomentu argeluarra da.
_ehenag:_-J ': :;retan tetramornentu ''(
af Kln eg n denarer !"_Jra 1 I
et;r 1tuko dugu tetramom,entu anaeluar errac atu _.soa :
Jt (Xa ~ ~b
2 r á~~Z -* + oo
eta esan ako bidetik (126) sistemaren tetramomentu angeluarra, hots,
kofaseen espazioko ~x~ U.) konŕigurazioari dagokicn tetramomentu
angeiuarra rnonela definituko dugu :
1)
«P i(
)
~~~
~~: ,r(><a )
f á ~ u~
6- r xa) Gu
t. 3)
hau
da,
iraganeko
intinituko
tetramomentua
ken
kon i~igurazio
horretaraino erradiaturikoa . Aurrekoan,
2
Cot .
T
x~ LA.Sl
~ á ( X, ~; z) ~~(x
~)
l 44 )/ a_4 -C-00
non m a a partikularen masa den .
53
Beraz, bertako funtzioak ezagunak direnez, (131) ekuazioak,
baidintza asintotikoekin batera (132), era integrodiferentzialean jar
daitezke eta ebazpena lor daiteke formalki, perturbazioen teoriaren
barruan teknika ezagunak erabiliz' :4 " .
1 .j .`? .! . Ekarpen mixtoaren oroportzioaren caarapena , oartikuien
karQer berreduren arauera .
`ie troa narniKa
Y:.'iasikoan
bi oartiku-, iaK
osotur!ko
S1stemao, :-_Úal °n e OI'VzÍ n a :Jazter'zea1~n, cenen arTeKn inter •aKz ;Ca LoJr e nz : - en__
V'
~ 1
s
ir :.'ar~ raren b i
eG-í e
Qnt_-D i rac- rn ek 1,~a7 i .o D ar
tar az
tzen ~ i:
Üez e- do
bi
_
.,nar _ .,
.'a kontutan. Honela iorturiko ekuazio dinamiko hauek, ¡araunS arrak
,Jira, hau da, partikuia bakoitzaren azelerazioak sistemaren iraganeko
„istoriaren menpekotasuna dauka . °aina az el erazioak bi oartikuien
argen berreduren arauera gara daitezkeeia onartuz gero, frogat "-t- ti
da4o /o3/ ezen sistema iaraunskorrari atxekiriko sistema aurresankor
bakarra dagoela .
Gainera,
berezko
aurresankortzearen
ondoriozsistema au, + esankor hori da, prezesKi, iKUS[7untJ
Si k.oL
nteresatzen zaiguna. Kasu h;orretan bai _orentz - en indarra eta bai
Lorentz-Dirac-en ekuazioa erabiliz, modu nonetara idatz daizeke,
sistema aurresankor aldaezin atxekiari dagokion aze ;erazioa~b3 / :
4
(~ i)
oc
4 4
o'
( ,
~a= e
aea \ a a a
+ ~a' 't ) + 0 (e4~
45)'
u'
a.'
non
0(e4 )
horrek gutxienez
e4 modura txikitzen dicen gaia .
adierazten dituen, e = e = e --- 0 egitean, eta bestalde
54
r-3
t11
= - rol 7 r-a a'
a a aa'
Austan denez, geure garapen perturbattoan Ilehenengo ordena.z -nulua hartuko dugu so% ; horrela eginik, azelerazioek bi partikulenKarsen merpekwasuna cute eta (I,!) gal ak erablKlo Wtugu WHO
Sescalde /12/ , hanlaxa adieraz oezakegu par-,~,ku.',en
eta
atzeratuaoosizio
honela -a,- ,,eraz i",ezaKeglj :
áa~~x6 u~ , _
+a a'
n i i_,
X~qa'
"6
, uc
a
a/ = - bo u
r a'
55
(146)
(147)
1143)
(149)
(150)
,iurbUketa honen esangura 5. irudian azaltzen la
aliegia,garapeneko lehenengo ordena ez-nul!-ian,
Lai
unibertso-lerroanorabideko lerrozuzena bail tzen hartzen da .
zá,Uá,
La$
6 . frudia
ltzul gaitezen, bada, aurreko ataleko (121) adierazpenera, eta saia
gaitezen beraren kargen arauerako garapeneko lehen ordena ez-nuluko
gaiak kalkuiatzen. Ekarpen mixtoaren adierazpen horretan, kortutan
hartu behar da, bertako gaiek azeierazioekiko duten menpekotasuna,
zeren ordena txikieneko gaiekin geratuko baikara soilik . Azterketa nori
eginik, ondokoa ikus dezakegu :
G
gal guztiek bigarren ordenako menpekotasuna dute
aze!erazioetan .
aUQ ,
aUa
ta
LQ
56
B : bigarren ordenako menpekotasuna azelerazioetan .
Ga : bigarren ordenako menpekotasuna azelerazioetan .
aQ : lehenengo ordenako menpekotasuna azelerazioetan .
K a aaa , Qa, ~Q , C e
ez dute azelerazioen menpekotasunik (zero
ordena) .
Da
.Q
so i l i k hartuko í~itugu kontutan azelerazioekiko lehenengo
or denako ;aiak .
E~` soilik hartuko jiT(jaú k~ntutan azelerazi08kiko iehenena0
ordenako gazaK.
Esandako hurbilket ak eginez, eta azeierazioekiko lehenengo
ordenako gaiak soilik harturlk (hots, karaekiko bigarren ordenakoak)
honela adierazi ahalko dugu ekarpen mixtoaren proportzioaren garapena :
2 d ,3
. _a Taar
a~, +
E~~, + 0 ~e6)
( 15'a z, 2z2
2
a_
a
o(non Da eta E direlakoetan ordena baxueneko gaiak soilik harto diren .
Era horretara eginik, parentesiaren barneko galak e 2 ordenakoak dira .
Bektore guztiak , t4 , t2 oinarrian emanda dauzkagularik,
antisimetrikotasuna gogoan edukiz, azkenean gai guztiak honelako
osagaien bidez adieraz daitezke :
57
Kalkulu luze baina zuzenak egin ondoren, bukaeran emaitza hau
lortu dugu :
a2Ja~42r_ e:eH
~CYt~1} H0 23+ T,t1~~~1)t o( ) ( 152)
,
Z
2
12
non H ,
á - 2 ~a
eta T koefizienteek-
on.doko balioak dituzten :2
Za
k
4
4
A _ 2a _ 441
2a2 -.
-- +~Qa' rl r 3 M , r- , 3
á' ra a'
a 'a
3'
a aa
aaa2
24
d
/ k(Kzj~t - Eai)
Ck ~a~ -~Q }
57
~lZ á4' raá ,
m a'
ma
T _ !
a
Zr
1'
~z
t2A2 n~1
r
m2Z1
2
2 ,!
~Z(k~2 -
(154)
3
3
3 3r12 2 i
m2
I2 2 j
Beraz, argi ikusten dene., tez ramomen" u ange uarraren exarpen
mixtoaren proportzioari dagokionez, lehenengo gal ez-nuluak laugarren
ordenakoak dira kargatan . Gogora gaitezen , bicenabar, tetramom entu
ineaiaren kasuan seigarren ordenako gaiak ditugula /11/ . Bestaide,
azpirnarratzekoa da aurreko koefizienteek partikulekiko duten
simetrikotasuna, adierazpenetan aceran agertzen dena .
58
1 ehenago aipatu dugunez (40), honela adierazten da partikula batenekarpena :
~~
_
z.
á
E
P)
[da ar(X
u)- 3 a ~a ~a1 '< Lt f- LÁ
ci ,
a
a
( i 5,
Jestet'f, gar acena eg'tean era no-rezara .eratzen ara abiaduura eta
a .,elerazioa :
.3.4 .2 . Erradiaturiko tetramomentu angeluarraren oartikulabatenekaroenaren oroportzioaren aaraoena oartikulen karaenberreduren arauera .
-U 0 = - 1~ 2( tá i- k'ta' )
Azkenean
(4,1) • eta 1 (4,1),, aa
uQ direlakoen balioak ordezjarriz, emaitza hau
lortzen dugu :
3(~_ 2 a a Á2(7 k
th+
k2~~t~+
eqtCatŕ?
a
aa
J
15 ,9a ar
3 m
a r3'
a ~ar3 a r 3 a aaa'
a4'
59
(155)
41
1,
~t`el = e e ,C a(, ~ «+
) t
+ o (e 4)
(157)a
a a 7a a
aa'
aeraz,
5a
biderkadura jadanik laugarren ordenakoa da, LL
ordea
bigarren ordenakoa den bitartean . Hau da,
a a
2 2/1(
C`
COT] (4' 1
J
6ár - 3" A l á +ktQ
Jaá,(7a á +
a'
+ O(e,(15$)
Honetaz azpimarratu egin behar da ezen, ekarpen mixtoaren
proportzioarekin gertatzen den bezala, lehenengo gai ez-nuluak
laugarren ordenakoak direla nahiz eta hemen (3,1) eta (1,3) erakoak izan
eta han (2,2) erakoak .
L14 .3 . Denbora unitatean erradiaturiko tetrarrnrnentu an~~eluarra
21raz, berriro ere kofaseen
espaz ,, oko
Y ) u,)
Dun'uraino
_.rraoiaruriko
tetramomentu
angeluarra
de f J, nitzen
duten
~alu_io
.uaziceta a itzu,iz,
_ert_;r
te-~ r oaL oer t, oriare n ara ..era, eta
lener ago U3.4 . 1L eta '.3.4 .2 . -untuetan eginiko garapenez ba'iatuz,
ordena oaxueneko hurbilketan eg.ngo ditugu kalkuiuak. Saaa ;aitezen,
bada, 131) adierazpeneko eskuineko bi .aaien baboa lortzen, lehenengo
ordena ez-nuluko hurbilketan .
MCcr
eta
Mir
lehenagotik kalkulaturik dauzkagua
Ur
kargen araueŕako garapena egitean eta izatez (159) eta (152)
adierazpenetan datozenak lira, hots,
M ao _ ? ea e i'A Z¡ K
kZ
t~`t~~ + 0 (es
(160)ar
a 3
a ~A 3
al
3 a Q 13 n1a
Gal
áal
raal
v1 f - e~ e 2 (
N 2 -~.ja t /~ T ~~ t2 ] ) + D ~ e 6~
(161)42r -
Hortaz, egiteko duguna, azken gai honen integrazioa da, hau da:
Na~
d z
1 2~
(152)
áa'
60
Horrelatan, ba, honelaxe idatz daíteke integraia :
o
Na~=
d -e ~a ' (r) M2-r2
1 2) e, eZ + 0 (e6)
( 163)
J~aa0(n(2,2)
Bestetik,
42r
galan ondoko aldagai-aldaketa egin dezakegu :
1a'w
dz-du.
z, =-a Ra,~~7
k á - áa'aa a
eta ondorioz
2
2 l~2
Q'R= ~~ +
U / =
(LÁ)_ +~
( 157)
Ná13 - e 42
Arai dagoenez, integrazio honetan a partikularen koordenatuak, (za, áa')'finko daude, nots, konstantetzat dauzkagu eta, ordea, a
partikularenak
' á' aa') ' aldakorrak, eta integrazioa 6 . irudiko lerrozuzena corrituzegiten da . Beraz, (162) eta (16B)tik
2
du M K~ (2,2)
42f
61
2Q ' _ íC
(166)
t 0 (e6)
(168)
N~~= e2e2
z
Ea+-
r
a H ciu
~~a t~~ ta
a 2
a
a
a'
a'
al
1
~t
~Za
"a'
+
T d Lx
+ O(e 6)
( 159)u
a a'
~~
Uza,
ntegrazio horieK honela .lortzen lira :
HQa_=
2
Nadu
A-Z k
rna r- 4c, i
Ea ,
ma 1 r4a ' rn a
ic
a'4,
1L- A -2 ~4
2 k 3~G2 -
2 k
rs+
3
r~Q a al
rn0.' Q-3
mq' Qa.7
Za Jl-a 2 K í !~ 2 2 k~~
r 3a a'
t
MQ
a-z K2
2 k
Líz áu
+ -- +- 3
+mQ
Tal-321
rrla, áa+
R3
z
ni
4( 117 0)
herren agertzen diren integralen balioak B eranskinean aurki daitez .e .
62
Modu berean,
-2
2
Za)=u-
2
i f LC, áa'
ma áa l
+ (-A-2 k a. + A 2 k2aa
-a' d
+R3m a a rn 'a'a'a a
}
-2 212 z,,
A z 2 k F-Q
Y~1a r 31
á, raaas
+ K 2k3 A•2 ' r
+-ma mal
3Ma raai_za1
~a'
fu2c~ t
A k
R3
mal A Cza,
a
u. t -rnQ, r- 3
a a'
R3
k2 3
63
2~, ~G
u c¡ ut
tz
rna á4^ A
Ra'
a'2,
Aal
ma' Za,
24
R3i-
Beraz, aurreko emaltzak kontut an hartuz, era honetara eman
dalteKe
c
N
= e, 2 e2 (
~ 15 t I'll 4-H
~[" t ~3 +T ~ t ~])+ O(Efi~~ 173)0-
1 2.
6L
aal
CL O
a 6L a I
;remiazkoa ez denez, ez duclu ernaitza hau zeraztasunez hemen
:alna erraz `or ca lt.eKe B eranskineKiD intlegra llen
Hala
r aZ l m a r ra t u e g
Up e :enTo,
e t a N"Neza gu--:z gerD, ezzagmuri~
mugoa mmaber
1) *CO
( Z4 , -rz )
eta hauen
tetrarnornentU argejUarra Or dezakegula 3 ,. 3~em.a in --rtzial
ca lazar .
64
1 .3.5 . Tetramomentu lineal erradiatu osoa .
Benin eta berriro aipatu dugun erreferentzian'lll", tetramomentulineal osoaren definizioa ematen den arren,
P,G¿
(Xb uc ) _
Pa(x , u_
(1i4r~+00 lZ 2z
alkulu
ez
!a
burutzen.
Gu
3,3 a+u
egingo
gcra,
e 3 1117- I'D
oer turyat o :en arauara ordena a .nef o ka i ; ;ua egiten .
r,
ce_ •o g arapeIla eg ;
rcr
n, -;onela iaat_ a _
:
P ,< (x 1 u fl = ~irrm• R1 (r) ~~) ŕr (x~~~ u¿~) + (es)r~+ 00
tzul gaitezen, ba, abiapuntura eta jar ditzagun tetramomentu ljneai
erradiatua definitzen duten eboluzio-ekuazi oak :
Na) Pr1 ( x6 ~c - Ia ( X6 u~,
hots,
ó Pru (S +
ÓP',
p( r L( . )= I o, X ° u 5\a a
¡1 a
ó ¡~ '7c
b , cl
a
b ' ~~aeta beti ere, esandako erreferentziaren garapenaren aranera,
65
e " ~ ~ a ( ' {) Q,a
+ ~
há + O(e 4~
(178)0<~a ~
ea
aal
4 2
(4,2)
2 4 p,< (2,14)
3
«(3"3)
-~ 0 (e s)
( 179)Pr4
ea , Pr
+ea ec, , f-
+ < c, 1,n ,
lo, = e4 e2 -o< (4,2) e3
e3 1
e<(3 ' 3)
a
Kraz, Wargetan selgarren or denako gaink
1177) e~UaZ l oa.:rea geratzen Ca .'
p c¿
c<r
+
Xa
wren eta beste gaiak, a 1 1
gutxtanez zorizigarren
) r- :~era,Koa~,Koa~, baitira .
310 5a3estalde, hemen ere aren pertijrbat~boa eginez, banatu egingo
dirugu aurreko ekuazioak Targen rerreduren arauera . Daigunez,
4
2
3
-'(3,3)I e e
l
TCL
cL a
a
a ct0 a
beraz, honela geratuko zaigu bi ekuazioen banaketa*.
Pr-< (4,2)
G-< (4,2)
(03)x
aa
13 9 pa(3,3)
o< (3,3)
U
(184)a 9 x ib
a
66
+ O(e g )
(1so)
_j- 0 (C 9)
(!82)
a á Q<, t1 , t2 oŕnarrizko sisteman finkaturik, ondoko baliokidetza daukagu ,
ekuazio hauetan ageri diren eragile diferentzialei dagokienez :
D = LLa a
=
( 185)
a
a axa ó~Q
kontutan hartuz .
°< (4+2)G
delakoaren balioa ordezjarrŕz,a
-((4,2)
2Z
`ó Pr _ - 2
Z 6
k
Z+ ~á tá
tá
(139 )a~a
3 mQ Qa
eta hori Kontutan hartuz, honelaxe eratzen zaigu ekuazio-sistema :
a(4,2)a P
Ga(y12)r _aa zQ
á Po~ ( 3,3)
rJ(3, 3)
_
a
(13i,
a ¿SQ
Lenenen,o bi ekuazioak zuzenean integra ditzakegu, bet, ere bald,
asintot koa, hots,
,;m.
k1 (t) R ( -c) Pr (,<b1,31 LÁ-f) = D
(138)
Z ~-00
(186)
eta baldintza asintotikoa integrasen mugak jartzean konkretatuz,
67
r
3 rna
Dena dela, guri tetramomentu lineal erradiatu osoa interesatzena (4,2)
zaigu, kasu honetan P r
osagaia, hots, á-• +oo egitean lortzen dena :
00
00pa (4,2)
2 1
du
LtZdu
tr
^ _
3 m2
2 6
R 6a
Azh4^ adiaraz;~an honetan B eranskirekoo integr alen :ial iiak úrde arri"
e etar?
tia sZa ^au erdiesten du:~u :
P-e(42' =-
42 s s(3k2+1)(t~+K e )
t r
a
a'2 M
-i,
eh n ;o ekuazíú-sistemako azken bi 'eŕuazioaic inte~ratzean (187), .
bestelako arazoak ditugu, biak batera integratu behar baítitugu, gairera,
baldintza berezia eduki behar da kontutan
I dcl
(3,3)gaian, zeren bia2 P"partikulen arteko distantzia era denboralekoa desean, f2r
baita,-~zeta nain _uzen horregat;k aipatu dugu (67) baldintza, hots, '
2z2
Xf2
X42 x42 oc i O
Ondorioz
J -«3,3)_
0a
x 2
0
-,enean .42
68
(t+kt)á
á,
(190)
(ta +ktá,)
(191)
(193)
Bestetik, honeia adieraz dezakegu baldintza hau :
X42
- i -a + 2kz1
zz2 -~ 2 > 0
(194)1
7-
non
2> 0
den. Mugako baldintzatik (X'2= 0 )
Z= kz1 ±
1 2
('95)
alei, a oos _lo at=eratuari (
_
-q2 .` eta aurreratuari z - k- + )rl~n
t
"'(3,3)
`/y oz en bai oak . ortaz, á
zateko,2~
~z <_ ~Z izan behar dan
( ,,,,do baliokidea dena, 71
z~
of ) . Baldintza hori honeia sar dezakegu
/11/ erreferentziako (4 .26.) adierazpenean :
áal(3,3)
,~
4
~
A Qt
C(
o(
n
vá i ~a~/ m r3 !a Pa + á a á + cl
a
9á' á'~
)
2 a a'
non e delakoa Heaviside-ren funtzioa den .
Beraz, ondoko ekuazio-bikotea ebatzi behar dugu
a Poe(33)
Ja(3,3)
a
non honako integragarritasun-baldintza betetzen den
69
(197)
a J,0((3,3)
a(3,3)
_a T2
(198)
1DI
PcY(3, 3 ~(ohar gisa diogun ezen integrazio-prozesuan Pr jarriko dugula ror.dez) . Integra dezagun, bada, (197) sistema . a = 1 ekuazioa integratuz,
P=
J( u 1 22 ) d
+ F(z2)
i
1
i'cn F(zZ -Ciozein ven Vraingcz . ú úarr er eKuazioan —rdezjarr ,
Z)du
Horren bidez F((2) kaikLia dezakegu
04d F~~2 _
2(~~~~z) á
J( u) ~2
)dk -
dle2
~E2 21E
A
2
~u + J (_~ ~2) d ?- I
01)
a -2
d ~2
eta integrazio-baidintza erabiliz,
dF(zz= Z
d221
A
=i (e+~ Z) - 2 (~~J ~2) + 2(Z1I Z-2)+ J (a~ ~2Z) á ~,
í ,2,
J ZZ
70
+ d F(-a2)T a
(2rn
d ŕ
2 C 1 ' 22
Azken adierazpena integratuz, F(;2) lar dezakegu :
Bestalde,
~1 _
az)
~Z
207)
hots,
F(z2 ) =
P
non k integrazio-konstantea den . Bestalde, kontutan hartu behar da,
ide nt~k.ok1 ,r2(1 -Z2)=0 de'a. Bersz, (201) emaitza ' 1199) ad}erazpenera
er amanik,
( 11 Z-2)
~2) ~'
v
J
Bmaitza honetako bigarren integralean zenbait aldaketa egingo dugu,
osterantzean oso korapilatsua baita zuzenki kaikulatzeko . Horretarako,
ondoko aldagai-aldaketaz bai iatuko gara :
W- Z1 ~V~
(205)
d -¿ ,
J t2
2` ~~ZJ+J C
-1'
ZZ)d~1
a ~2
d :;~.Iv-LL2-Z2=v
d Ir
Z2u
71
áv + K
(203)
Z V
;2aU)
eta, ondorioz, w aidagaiari dagokion goiko muga21
izango da. Beraz,honela geratzen zaigu bigarren integrala :
,,,T,_.maren eoazo~na :
(aI ) ~Z) `~ z '
al v =a 2~
J ŕZ = V
(208)
2 (~)) °~
(209)
,!au da r;odu ncnetara adiera :: cezaKeau ŕasierako bi ekuaz cen
0< ~3,3)
o((3 3)
3,3) vP
=
J (w, 2
4- i ( UF, zz (w» dur+ k ('lo
Emaitza honetan ageri diren Z~ eta ; parame troen balioei bur,-,z,
char oatzu egingo dituyu :
a) Aurreko emaitza bi partikuien arteko distantzia era espazialeKca
denean da baliagarria (57) . Kasu horretan integral biek ondokc
esanaura dute:
nr ~~
o' (3,3)(
yJ4
ur, E,(w)) d ui-
nintegrazioa -oo-tik z puntura egiten da, kontutan edukiz
72
T=
a au_ W-ren argiKondarer
a'de w arte~'.': e~:arpen-a
biitz i-; 4~l ;a, nots, mota
espazia puntu-bikoteena .
K.us 7 . rudia.
.1
(3 3),Tia
(u, a1~.dw
Kasu honetan gauzy berg egiten
da, baina soilik 2 -etik Z,
-era eta beti ereE2
T_
-,z( L,- )
delako adierazpenean 22 finkoa
izaniK. IKus 8 . irudia .
L2
7 . rudia
Li
73
8 , irudia
b) Bi partikulen arteko distantzia era denboralekoa denean (x22 0 ),
da eta orduan 22) dw ez da kontutan hartu behar .
bestea bakarrik geratzen delarik, beraren goiko integrazio-muga
7- 1 izanik. ikus 9. irudia .
Hots,
P=
B'StaK.Oa iienez,bateracarria
::a
mota
espazia eko KaSuarekin .
v(ur))dut+- K
€r^:aitza hau
74
9. irudia
a
)c) Bai baldintza asintotikoa ezartzean ( Z»t
~r (~„ ~2 = D
)00
eta` bai momentu angeluar osoaren ekarpen m^ixtoa kaikulat_ean
( Ptr = -&w
PrW (Z1, z2) ), limitea lortzerakoan arau bat eman behar,?'Zdugu, 2: 1 eta zZ parametroen eboluzioa zehazteko . Hain zuzen, arauhau ohiturazkoa da arlo honetako lanetan114,22/ , eta honela eman
daiteke :
1_~ 1
A
(211a)
non ñ parametro bakarra den r
etaI Z
dauden,
~rd~Y.o ba dintza betez :
k/ -A i~- -2 G k +A21
(212)
Azken batez, baidintza honen esangura zera da, bi partikuien
arteko posizio-bektorea mota espazialekoa dela i imite-prozesuan
zehar .
d) Baldintza asintotikoa erabiliz, k
konstantearen balioa zehatz
dezakegu:
ur 2 ~w))dw K (213)
Bigarren integrala nabariki emaitza nulukoa da . Bestetik, lehenengo
integralean , eta z parametc(roak, c oharrean azaidu den madura,
batera doaz-O limitera . Eta J (a1 , ~2)
gaiaren izaera aztertuz,
75
nabariki ikusten da integral nor! ere nulua dela. Ondorioz,
K=0
Beraz, ecindako oharrak baliatuz, honela adieraz dezakegua (~, 3)
3Zkenean p
gaia, nots, (a {) z2 ) konfigurazioraino,(Z , t2), erradiaturiko
°r .momen-u 1irea1aren ~ 3,3) _ .acaía :
d (3,3)P(z11 ~2) =
76
A
u, z2 ) áu +
J4 (w ZZ(w» d W- 2'3)
(214)
E dozertara, ata] honetan gurí interesarzen
Fonfigurazio honetarainokoa, tetramomentu lineal erradiatu osoa baizik,
aleola
d (3,3)
a (3,3)Ptr
{~
(
~2~
i21^i
0 11 22 --rcw
eta lehengo arrazonamendu berberari loturik, lehenengo integralaren
limitea nulua dela ikusten da . Hau da, azken emaitza modura, gisa
honetara eman dezakegu tetramomentu lineal erradiatu osoaren (3,3)
osagaia:
Ptr(3 3) -
«(3,3)(wZ\
v<r1, dW-
(217 )
Dena den, notazio-aldaketa
batez,
/11/ erreferentzian ageri«(3, 3 )
den
Jcl
(a , 2Q,)
galaren 4txura gogoan dugularik, hone la idatz
dezakegu:
r
z2
10 . lrudia
Bestaide, (218) adierazpena kontutan hartuz, ondoko ema¡tza
lortzen da (217) adierazpeneko inteQraia egitean:
77
z1
(218)
eta orduan integral ponen esangura, 101 . irudian ageri dena deia onar
:!ezake! u :
00
~oo ~3 P1
~Z )12
guztien emaitza nulua
- Ostera,JL3 0- 1 (-=4 , i2 ) dz, eta r3 a- (z -')áz, egitean,
ntJ
~„grakizun - °'guztiak b ;
~'.
~koitiak dira. B Jéani
kineko intet^, ala.,n balioa
kentutan hartuz eta kalkulu oso luze baina zuzer:ak egin ondoren,
K.asu bietan emaitza berbera lortzen da, ondokoa haln zuzen ere:
00
r3a1
( e 1, í'2)
Ja,
_~ 12
egitean, bakoititasunaren kausaz, integral
Q- f E+)a2)
~ -a 1 =¡- 3
1212
A (3 k3-4k 2 -+9k-4) -(3K 2+1)Pn
o«3,3)Beraz, honelaxe adierazi chal dugu
osagaia :
a(3,3)
a
1rPr
m14
~ 3n62
Denetara, osagai desberdinak kontutan hartuz, oeni^ koniigurazioa
ezagutuz eta garapen perturbatiboaren ordena baxuenean, era honetan
eman dezakegu tetramomentu lineal erradiatu osca :
P~` = e4 e2 P«( 2)~-
2e4 P°~(2 ` 4)+ ~3e3 p '(313)+ 0
e g
(221)(
)t~ 1 2 t ~
1 2 ~f~ 2 í=("
(4,2) K(2, 4
4(3,3)non
Lr , 1r
eta Pr
direlakoak (10.2) eta (220) adierazpenetakoakdiren, hurrenez hurren .
~3 k3- u k2+ 9k - 4~ -(3 kt 1)~r,,(K+I~)
78
+n) (Ll~)
~i:ci+ t2
(220)
1 .3 .6 . Tetramomentu angeluar erradiatu osoa.
Atal honetan aurrekoaren prozesu berberari lotuko gatzaizkio,baina oraingoan tetramomentu angeluar erradiatu osoa kalkuiatzeko .
Mekanika Erlatíbista AurresanKorreko hipotesiak egin ondoren,ondoko eboluzio-ekuazioa definitzen genuen koiaseen espazioan (131) :
F~' . da
"%
s'
x~
°~~ a Jr (b L.`c -Lar ~ x b u c)
2 J-
µ +2J,
P
5µ-
D x k` a.
á L t
a
a
b 1 c>a
Q
(222)
(223)
Kasu honetan ere, garapen perzurbatiboa egingo dugu . Ordenaa¡~
baxueneko gaia_k hartuz,-ú~ a gaia ez dugu konttutan * hartuko, zeren
a norreK bi ordena gehitzen baititu. 6estaide, LQ delakoaren osagaienordena baxuena e4 da (150), (l01), eta, ondorioz, zera idatz dezakegu :
0 ( e )
( 224)')xP- Q
ar
cZr
a
Garapen perturbatiboa eginez, banatu egingo ditugu aurreko
ekuazioak karcen berreduren arauera, (183), (184) adierazpenetan egingenuenaren antzera. Dakigunez,
Ldy = e 3 e Ma,S (3,l) e2 e 2, N o(f (2, 2)+ 0 (e 6)a
225)a a, a r
a a ar
79
beraz, honela geratzen zaigu ekuazioen banaketa, (182) adierazpena ere
erabiliz :
a J~~(3+)
Ma~(3
' +)
.r
r
(226Q
)a ~a
a T~ (2 ' 2)
~~,
( z, 2)
227 )
ó ~
Nar
a
~ nerengc bi
-.e -.r= ~l~d~tk int g~ ..ratL nY
`J,I a,
l_ I .iL1
iC O
o(p(3,1)~all ir za ds}ntot koa erabiljz . t
ati e~3zpenetj
M
e akoarenza oa ~ .-,, ;._1ar-17 :Vv JI J
.-
13 r(~(3 -)2 4
f K 4 [0 tPI
K Z ~R pj + 2a t~K t '1a
3
a a'/2 F- Q
3 a 2 a LI
3
áa'
a '
áa3
'
Saldintza asintotikoa integralen beneko muga aukeratzean jarrjz gero :
1 k1,
d-zq, ~ ["t7
f-r
3á~2
á 3
aa
+
d z
r 3
a'aa'
Edonola ere, gure helburua tetramomentu angeluar erradiatu osoa
kaikulatzea denez,a pl (9, 1)
Jtr
aurreko emaitzak baino areago, z 1 ---+-ao
egitean lortzen denak ardura digu, hots,
J ~~ (31) 2 1
`~ día
4 ~t o £a d ;?-a tEOIpi
tr
_3 M
k
a
a'
3 a a'aAz
a3a'
Faa3, raa,-00
-00
-00
80
228)
12/91
( 23n)
8 eranskineko integralen balioak kontutan hartuz, azkenean emaitza
hau lortzen dugu :
4
k
~-ñ Ca t~~ f k ~, tPI
, (231)3 rn eA3
Aa
fá bektoreen ordez
u.á
bektoreak jarriko bagenitu,a
tQ = uá _ k á, delarik, emaitza hau lortuko genuke :
Jo~(3' f)
_
4
4
k
[a ¡3J
L r
3rn ~
2A -ñ ua
` )
a
Beste bí ekuazioei dagokienez (a = 1,2),
9,7r P (2, 2)-N
c~/3C2, 2
25 za
a
- tntegragarritasun-baldintza betetzen da :
(233)
((137) ekuazio-bikotearekin segituriko bidea hartuko dugu . Ebazketan nasi
aurretik, hemen ere kasu hartan egiten genituenen antzeko oharrak
egingo ditugu .
- Bi partikulen artekQ oosizio-bektorea mota denboralekoa denean,
XZ<0 orduan°
. O da. Ondorioz, gauza berbera gertatzen da4,2
gr, 2 z2N I funtzioekin. tzatez honelaxe idatzi beharko genituzke :ar
(23 )
á'
81
~~ 0<~ (2,2)
2~o(g2,z)
4
2
9 --;-z
D ;z 4
!ntegrazioa 1 .3.5 . atalean erabilitako metodo berberaz egin
ondoren, eta bertan egindako char berberekin, azkenean honela adieraz
dezakegu,(Zi ) Zz) konfigurazioraino erradiaturiko tetramomentu
ange'uarraren ; 2,2) osagaia :
A
«~, (2 2)
a0 (2,2)
a' 0( 3(2,2)
r
á, 2a') - Nar (u , á') d L`
Nar(V, á'(~`))dw' (236)
Baina guri tetramomentu angeluar erradiatu osoa interesatzen
zaigu, eta hori honakoa da:
+aoel f9 2)
o(~ (2, 2)J-~
1 , 1
-
Nar
(á) á' ) d~a
1237)
(173) adierazpenetik,
Ñ 0 212)= H
t~j~H ~,1 tpl +T tF( tp1
(238)a r
a a
a
aa' .
a'
a a a'
Beraz, (170), (171) eta (172) adierazpenak ordezjarriz, (237)
adierazpenaren integrazioa egin dezakegu . B eranskineko integralen
balioak kontutan hartuz, emaitza hauek lortzen dira :
f1+00
- 00
H
z
Iz - 2 kA-in. (k+A) 1 k 2 _ kaa a) a, a
2A
(i,
82
(235)
( 239)
.+ o0
2k~ ~n(K+~)
k
k2 \
(240)áa(
~ 2 j~6
ma ri, /J 00
eta bestaide, azkenengo gaian ageri diren integrakizun guztiak bakoitiak
direlarik,
- o0
Hots, denetara,
O
Ta~(2, 2 ) 2 k~ - ~n (k+n)
tr
p 2 ~6
edo beste era batetara idatzita,
dp (2 ,2 )(= r
(241)
K Z kQCaá~,+
l K - k 2 1 D 1 tá1(242)
rva Ma ,
n14 ma,-h
/
2
kA- k4(k+A)/m
EA
/;J- Y1
&u
nJ(243)
mamQ,
83
Honelatan, ba, osagai desberdinak bilduz, modu honetara eman
dezakegu tetramomentu angeluar erradiatu osoa :
J a~ _ e 3 e 1d~ (3 ~ 1fi e e 3 f
e2~2 J (f (2J2 0(~)(244)
tr
1 2 tr
1 2 tr
4 2 tT
~2A4
a
a
a'
a'
d~(3' 1) ,Yp(1,3)
c (212)
,non ,Ttr , J-tr
eta Jtr
direlakoak (231) eta (242) adierazpenetakoak
diren, hurrenez hurten .
1 .3 .7 . Tetramomentuangeluarmiintseko erradiatua .
Lan egiten ari gareneko sistema isolaturik dagoela joz gero,
beraren tetramomentu angeluar intrintsekoa aztertu ahalko dugu .
Prezeski, tetramomentu angeluar intrintsekoa sistemaren
masa-zentruarekiko momentua denez, gogora gaitezen beraren
deiimz oaz ~`,
s`ema Co!aturik dagoenez, beraren tet r amomentu
neaí os oa
eKa, oer ^ ekar ikoa bar ne
kor stan ea da,
P =kzea.
e a ~:orrela
berar , I masa
M = C- P°` P)2. KteG .
(245)
eta sistemaren masa-zentruaren abia c ura
p (24h)
p r`pt
definitzen ditugu, hasteko. Ondoren, era honetara defini dezakegu
tetramomentu angeluar intrintsekoaren dentsitatea :
Woeh= 1 6-(~óC 11 -~~
s~
( 247)
2
eta hiperplano espazial bat hartuz, na , sistema inertziai horretako
aldiune batetan, , espazio osoko tetramomentu angeluar intrintsekoa
definituko dugu :
84
W0((Ti ) A)
-
ur~~ ci-
( 248)114-
~3
3
C<non d O-tA,_d u- it,, den. Dena dela,integral hori egitean, U tetrabektorea
konstantea dela eduki behar da gogoan . Beraz,
2
p
á'
~`Z(n,a)
85
(249)
.^~ . ,rekoa tetramomentu angeluar intr intse+ o osca izan da, baina
gu tetramomentu angeluar intrintseK_o erradiatua iortu nahi dugu . Hon
er iesteko, 1,3.1 . atalean erabilitako metodoaren ant_ekoaz baliatuko
para, baina Jc<~ deiakoaz egin ordez MF a tetrabektorea erabiliz .
(249) integrala honela ebatz dezakegu partikula bakarraren kasuan :
r(n, a)
1rIÍ(n , ñ,
E~~~~
dz
óµd 2a-
(250)2
r.
/z(n, a / -c)2
2
non
d- =
n1 d 0" delakoak (11) kasuko esangura duen . Hortik
niaW(n ,1 r) _-4 F-~
µd2a_
(251)D -
1
2
Ys
t.-j(n,A r)
Lehen egindako modu berean,9-
(n i ñ, z)
horrek limitea duela, limite9 -c
hori benetako tentsorea dela eta Yt -ren menpekotasunik ez duela
frogatzen da eta horixe da hain zuzen, partikula bakarraren kasuko
tetramomentu angeluar in' rintseko erradiatuaren proportzioa :
dwra~(~
) _ -L
U dJrrB ~t)
(252)dz
2
dz
apnon
(t) tetramomentu angeluar erradiatuaren proportzioa den .
Bi partikularen kasuan tetramomentu angeluarraren dentsitatea
(35)
a=4
1a
d 12
de r ; :
~ti fm z
t ;neaTat'asunaz7, noelak ,D banak.eta eg, n z~ L ,a ? .,
~e {, ~ioaren ~~iie l
dee _ 3KerLi
tetramomer:?u angeluar intrintsekoaren d-ntsitatean'
2
w '/3 . = 2 aa~ + u42
Gauza bera egin dezakequ, ín
erreferentzi sistemako A
aldiuneko
tetramor entu angeluar intrintseko osoarekin :
2 áa (n .¡ t12ar-i
(254)
(255)
ntegrazioan 1 .3 .1 . ataleko bideari jarraikiz,r u d 2
2 13J-°O
( n i
t1)
i
~~~~b
d z2
á2~á Kd
-o,
12(n,A,r2)z n,a) r2(n,a
µ
25b )f ~(_2
15
at, dz2
j 121ó d o
~00
4:11 (17 ,a,z,1tL)
86
a
+ oo limitean ondoko emaitzak dauzkagu :
hau da,
d War(za)
_ )
aWaa ~,,~~, zQ
(257)dz
ñ ~ttoo óz;a
á w-ózW2r
CzJ , z =,úm, 1z
z)
(n1 ñ) 4 i TZI
(258)'D -r, 9 -CI.
~ _ ._ . t0. áz, á zZ
alar
) _
ŕ~ ÜdJar~~ z
(259)d Q
a
2
d z
a~G
2V a
~-
24zr
Cri,-=2
f zr ó~1 z1 ) T
2 ) ( 260)
aL~ 2z2
2
2-C
f2
Emaitza hauek kontutan hartuz, etazE " Üf konstantea denez,
Mekanika Erlatibista Aurresankorraren barnean honela defini dezakegu
tetramomentu angeluar intrintseko erradiatua kofaseen espazioan :
c(/ ! ub) _2
~0 5
1~Ü
(~f
I
(xá u6 )
( 261)
eta, ondorioz, tetramomentu angeluar intrintseko erradiatu osos :
Wtr
UT~~.2
Berau kalkulatzeko, garapen perturbatiboa erabiliko dugu, eta
87
(262)
q(3,1)
0((1,3)
c (212)beronen bide , Wt r
,
tr eta
tr
lortu ahalko ditugu. Dena den,
lehenengo U °` tetrabiadura lortzera saiatuko gara .
88
Sistema osoaren masa-zentruaren abiadura lortzeko,
tetramomentu lineal osos kontsideratu beharko dogo, ale( -,¡a, parte
elektromagnetikoaz gain parte materiala ere. Bestalde, sistema
isolaturik dagoenez, tetramomentu osoa kontserbatu egiten da higiduran
zehar, p = konstantea. Beraz, U kaikulatze%o, iraganeko baldintza
asintotik :_;a hartuo dugu eta -e kargen arauerako garapena dugu .
(144) a~'era% e^e _ k,
2
Poo (x6 1 u1= ~'
nrta ~q ( x6) Uc ; z)
253)U=1 Z-; -co
«
mua+m'2uz°~ + () (e 2)
( 2h4)
V ~+" +2km~«n
~~ (3, 1)Ja~~Be az, honekin batera (231) eta (242) adierazpenetako J~r
eta
tr
oalioak (252) adierazpenera eramanez eta kalkulu zuzenak. eginez,
ondoko emaitzak lortzen dira :
Ea~rF4 u
Lt
(255)Wtr - 3 LAA r
/M . f má, + 2 k ma á,
i r (2)2)
4
k2/t - k ~^' ~ktll) ~°~~ Ó
á~ á'b
( 265 )
I l
itr
V~á+ má t2k ma m
2,/~ 4a,
-~,
4
(265) ados dago /13/ erreferentzian beste metodo bate.,
lortutakoarekin ; (266) emaitza berria da. Ohar gisa diogun ezen,
aipaturiko erreferentzian metodo zinematikoa erabiltzen zela, eta,
bestetik, ezen bertan emaitza globala lortzen zela, tarteko pauso bezala
proportzioak kalkulatu gabe .
Beraz honela eman dezakegu tetramomentu angeluar erradiatu
osoa, garapen perturbatiboko lehenengo osagaien bidez:
Wtr = 23 z ,S, 't e + e3 ~r(1'3+e2e2 ta(212) + 0 e6)
(267)
noon
W 3,1) etar
to((2,2)direlakoak, (16~5) eta 256) a ierazpenetakoak
1 .3 .B . =rradiazlo nulurako baldintzak .
Ezaguna da ezen, erradiazioari dagokionez, partikulen azelerazioak
nuluak izanik erradiazioa nulua dela, orain arteko emaitza guztietan
modu nabarian ikus daitekeen bezala. Dena den, hemen pianteatzen dugun
arazoa, alderantzizkoa da. Prezeski, bi partikularen sistemari
dagokionez, galdera hau egiten dugu, alegia, ea egon daitekeen higidura
oso bat (kanpoko bortxaketaz sortija izan daitekeena) zeinean
azelerazioak egon arren denetara erradiaz.i o osoa nulua den. Ohar gisa
diogun, sistema jarra¡ makroskopikoetan horrelako kasuek aipatu
direla /73,74,751
Partikula bakarraren kasuan ezaguna da, halaber, erradiazio nulua
izateak azelerazio nuiua halabehartzen duela . Baina bí partikularen
kasuan kontutan hartu behar da ekarpen mixtoaren eragina eta hauxe da
hemen arduraz aztertuko duguna, partikulen ekarpenari buruz partikula
bakarrari buruz esandakoak errepika baitaitezke . Sarrera hau beste
ohar batez bukatzeko, diogun ezen tetramomentu lineal erradiatua
aztertuko dugula soilik .
89
Behin eta berriro aipaturiko /11/ erreferentzian, tetramomentulineal erradiatuaren ekarpen mixtoaren azterketan, honela adierazten da`~ angelu-unitateko eta bi partikulen denbora propinen unitateko, ('r,, -CtZ)
,
erradiatzen den tetramomentuaren eKarpen mixtoaren proportzioa :
-42 d7,2( 1k 1a d`f4 -,dv2
411 92 (a ~-~Cos ~)(253
,~ _ e~Z(c( +~C°sT)2C~2-~
{ h)2J +ez(~+~cos~)z[ z -
(K2 2)z+
+ 2e e2[~u~ w2)(Ki51)(K252)+(ut5z)(K+ 1~ + (2 1;(L2 z) +( 5z)]
en eta
t
eTa
zten a rean 4vm IC
eta
2
1.J1 rr'J .ber an k~
a z 1 /L .
-
A~+cb 1
~y to, 2
'eŕar cielarik. (253) adieraz en nc-~r. :
Onf~ jur~"n caicoitzj~' dac;~K~o,
eta,
noski,
konfigurazic
bakoitza
eta
guztiak
ezagutzeko,
uníbertso-lerroak osorik ezagutu behar dira .
ueure arazoa ebazteKo eraoiii dugun me odoa, honelaxe laburbil
aezaKegu . Energía erradiaturik, edota momentu lineal erradiaturik ez
egoteko, / t delakoak~nulua izan behar du, , 21 eta Z2 a~dagalen balio
guztietarako, 4 ~r at co (Q) > 0 f -> d eta, adibidez, k1 > 0 betetzen
baita . Frogatuko augunez, fi=0 berdintza ~-ren balio guztietarako
nulua dela suposatzea, nahikoa da 5,N = 52 = 0 izan benar dela
ondorioztatzeko .
Azelerazioei dagokienez, lehenengo
pauso
batetan
( 99adierazpeneko hipotesia onar dezakegu, eta horretan oinarrituz, kaikulunahiko zuzenen bidez azter dezakegu azeierazio nuluen halabeharketa .
Hala ere, azterketa oroKortzeko, ez dugu inclako trabarik jarrikc
90
azelerazioetan, eta aurreko hipotesiKoez gain beste osagai bat sartuko
dugu.
Oinarri modura
t1 ~~ t2 , j ) sistema erabiliko dugu . Eta ( aua,=0
baldintzak kontutan hartuz, honetara idatz ditzakegu azelerazioak :
a _a ~a+~
ta+ C
o(
_O5
)a
a
o a , a'
a
, ,tieto a ..~art~~~:
a,ako era( 2 5 ' . ? ai r azpena :
non
= R 2 = R °`R _~
Ro~
C4( k
4[4u~ f +
uá~ k~ ~l
den . Erradiazio nulurako baldintzen azterketa, beste gaidera honetara
itzul dezakegu: Zeintzu baldintzatan bete
adaiteke
Nabariki ikus daitekeenez,
eta, ondorioz, R 2= 0
izan dadin, ha'acoeharrez
IK
ai+ e2(k2 u1) IZ
+ uL Ck2~2
91
1273)
C<
k 1° `
bektore nulua baita .
). koetizientearen baiioa erraz aurki daiteke, (?72) eta (274)
adierazpenak u ~ delakoaz biderkatuz, berdinduz eta (k4
delao(
erabili' .
horrela kaikuiatuz, R fietrabektorea honela eman dezakegu :
R ~1 (k~ u2)(k 1 1 ) k~ - Zt K2 ~1)
Cera:, = o denean eta Crduan soilik, R` -~en 272) eta (27J)
adierazpenak berdinak dira . 3erdintza horretatik, ga ak berrordenatuz,
hauxe lortzen dugu :
e1(11 u2) [ 510(
+ ~k4
1 ) ~~ - (ki~4)
k 1 f
+- 2(k2~1) 2+(kZ 2)u2 +j( 2 it 1)~(u,uZ-)ck2~2)~k
1
(2 U4)+(U1
~,c2)(kz 52)
92
4
(274)
aV2ÍJi
0
(276)
Adierazpen honetako gaiak osagaitan banatuko ditugu, horretarako
C~t1 ~2, q_ á ) sistema erabiliz. izatez, unibertso-ierroak emanez eta
bertako ~puntu-bikote bakoitzerako, aurreko adierazpenean
askatasun-gradu bakarra dugu, T angeluari dagokiona hain zuzen.
Bestetik, T -ren balio guztietarako bete behar denez, baldintza hori
erabiliko dugu azelerazioen osagaiak lortzeko . Honeiatan, ba, osagaien
arauerako banaketa eginez, emaitza hau erdiesten dugu (bertan
L = a+~cos~Q delarik) :
0= 4 0' a, {- elL(1-(~~-L.
2 ~+ a2{- e2L~'(l+k12L~2)2L~} }
+~12 el L(k-L)(~1-L~2~+~ j e2 L'{-A2+k(k-L1~~~~~-L~2~+
+ e 1 e i L ŕ12 s¿n, `~ (~1-L~5)+ iiL1k
12s¿n `P L {(~4-L~)]+
21
51
+ Z a1 {e,L(~f -L )~~Z(k-L)~faZezL'~2M(2,-L~Z)(-L- ' +k)+-
+ ~12~-P-f
L(4 - (k-L) kXZ + (K-L) LA 2)}
+-
+ ~24 {e2 L (`k-L- JAZ f L - A-2(K-L-')KL)~ +
+ C1 { e1 L ŕ s~n 11 2 (k-L + Z{e2 L r1 S,n~112(J<-L') +
21
Zf
+011a,
e1 L ~a1-L -?-2) ~2 X{Z sí tC + a2 f C2 LA1k 42 (a+-
Xf2 sinef0
Zf
+~42 e1 L~K-L)r2sl~~ f~21 ez L-'~-
S (rnq -i-1~
Zi
+C{ e1 L(f _ X+Z sin2~ +CZ -e2 L f(1-kL i Xf2 ~ . 2(~~
(`77)
1
1)
22ii
24
eta oinarrizko bektoreen osagaiak zein bere aldetik anulatu behar
direlarik, era honetara idatz dezakegu aurrekoa, bí partikulen
azeierazioen osagalak berdintzaren alde bietan banatuz :
93
{-2 L' -9+K~Z ~
ZL~ á+ eZ L ' ~ltk~K-L (e- 1) ~+ 1LkY~5in~L(-L 2;278a)~~
ru
Lzl Á2(K-L)~q,+~-e, L[1 Á2(k-L)
2
]~~42t~e1L x{Z Sí Y1C-L)}C
1
-eZL Z Z~ ' - L~ k-L' a +{e L2 ~ f~2 K-l' (+-KL)fL~~21 +{-~L{ X+ 2 sín~~t~x-L') C2 ."8b))J 2
{e,L(L;) 2..~i2 sín 1Fa 1,,-~}+4e, L (K-L) X12 SínLC.
z11
= e21 1 i,
~Z~L
íx~sin~ át~eZ -( 2 kí -C X2 si
F,
z,2
Es-an bezala, adierazpen hauek Y an geluaren ball- uz, (0
bete ehar dira. 8estaide, parametroa agertzen c nckc turtz oenbakoititasuna ado bikoititasuna kontutan hartuz, zehazki sin y cbakoitiaeta cos T eta L = K +1 CDs T bikoitiak direla, (2-78a) adieraz^eneko tuntzlobakoitiak aztertuz, emaitza hau lortzen dugu :
e1 ~c< +~ cos')3c - 2 k c2 = 0
(279)
-ren edozein baiiotarako bete behar dela kontsideratuz, ondorio hauaterat_en dugu:
94
2L [i -~ sf h2~] ~ ci
21
-,
2-KL~
12-1z
lsín2~, C 278c)z
C _ e = 0
(230)1
2
Hortaz. Ca- 0 eginez, (278) adierazpenak honela geratzen zaizkigu :
2
2e~L[~
>ó7=; eZ L
tC-i + k~2~
Z L ~] A Z +~ zL~~-h+k~K-C')J~z~-l )~i1 ~ ( 281a)
fe1L(L 2~2(k-L)a~~ - .j l
a
e-7-
1
2az
I- e, (cl+p ¿es tf)
)~2,
(281b)
{e1 (1-L2)2~
íñ 2 sin~}a1 +~e, L(x-L) ? sín 9 j12
_ e2 L'k~ 2~~1 L~1)L' Xf2 sin~P?a + e2 L~[ .Z 1X'Zsí 1D (281c)z1
F21
1
Ekuazio-sistema honetako lehenengo eta hirugarrena hartuz, a1 eta % 2
kaikulatzeko Cramer-en erregela erabiliz, ebazpen bakarra dugula
dakusagu :
(282)
Hemen ere, T -ren edozein baliotarako bete behar da baidintza hori .
Baina, behin cL 1 emanik, a2 bakarra izan beharko genuke . Hots,
baldintza betetzeko aukera . bakarra,
izatea da .
Prozesu berberari jarraituz, erraitza hau lortzen dugu beste bi
osagaiei dagokienez :
~ =- e2
1~2
2Z" -L42 e z (Z, 2
o = a = 0z
eta arra_~~i óer-erenaatik :
= ~ = 042
21
Hots, dene _ara . err adiazio nuiurarc baldintzak
izatera garamatza .
Beraz, ez da ez higidura osorik eta ez
konfiguraziorik,
zeinean
egonik
bi
partiku?aren
erradiazioa
aelektromagnetikoa nuiua izan daitekeen,
' # 0 edota52
~ 0 betetzen
delarik .
96
( 2> 83)
Limiteko zenbait arazo .
Aurreko kaikuluak egitean, bi partikuien abiadurak berdinak ez
airelako baldintza jarri dugu (á ), alegia :
~d , u2)-~-1
ó¿
0<
• v ¿ V
i,V~nC~an l 1 i1 - L; ri ' nCtaN ,
k _ - (-u.4 u2)= ~
A2 = k2-1 = 0
eta . ondorioz, lehenago lorturiko emaitzetan c1oer4entzl arazoak a_uer
daitezke . Hain zuzen arazo horiek dira at& honetan aztertuko ditugunak .
«
a
!k.us dezagun, ba, nolakoak diren limiteko arazoak -ti2 -- u~ egitean .t-,
a erreferentzi sistema erabiliko dugu zeineanha,ku íuak bideral. .ek.-, u .~
,
,u. 22
_ ( k j
(k - ~[4 + A2)
?g2 )
97
C; (YX tribektore unitarioa econolakoa den. u2
- ren forma hau eraD ililliKo auqu
O egite<o . Horren arauera, modu honetara geratzen zaizk ,,*gil, guk
erablitako sistemako oina,-riz é<o bektoreak :
= (- 2
I
A j - kAA")
(293)
2e< = ( 0
1jl nA
)~
x120,= ( K)
IZII .
X-,',-)
non
eta
tribektoreak Wren. Argi ikusten da. (293) eta 1294)
adierazpenetan dibergentziagat ,,k
sortzen
eta,A
gairera, /n
horrek ez du limite bakarri~ '.295),efjonoliakoa deltarik,
u2nots, Lk~- L'L lCIA, nuroilketa nola egiten den arauera lo,-*zen !a. 5estal ;C e,
g1
2
leta ; parametroak eta r- ,2-
r-1
dis t antzliaK honeia geratzen dina .z
1<
X
2g7)
12
12
4 -
Z2= -
AX12
twx, r- = í¿ »'L r-= ~ 742-12
~k--- 4
k-- 4
98
1296)
(299)
hau da, 1 2 eta 1j ongi definiturik dauden arren, E i , Z2 parametroetan
dibergentzi arazoak ditugu eta gainera
-ren indeterminazioa dugu .
Arazo honen zergatikoa 6. irudian ikus daiteke, zeren uq eta LZparaleloak izatean, 2, eta zZ ez baitaude ongi definiturik .
etrarromentu lineal erradiatuari dagokionez, ondoko irazkinak
eg,.n ditzak.egu :
Y'r3momen ±' :
ne& :'rradiatu osoaren
~) ~~?
!
ao raz .eneLat ; ;;,':'e-urozesuak segituz, arg, ;KU.3Len aa, gu:t ;aK
t~ oergenteaK dlr u a, diherQentzla -L er-acoa de ar'K, adibide7,
tr
1 3 M Z 2 ~3A1
d (9.3)era berdin
Ptr
Gainera ñ .
ere ageri _aigu, eta (2 )
adierazpenean ikuSi c ugunez, nori ere ez dago ongi aef niturik .
-Hala ere, aldiuneko croportzioak kalkulatzean, balio finituak
ortzen ditugu :
«(u, 2)J., 19
Pr
_2 d
2
4
Al o á ~1
3 rn11 7,21
y
apra~2~~~
2
u~ (302)
-A-0 a ~2
3 mz 7~2I
~karpen mixtoaren propcrtzica honda adieraz daiteke
99
aaz
` 303)TT ó z1z
non 'fza delakoak 1.t2 --• LL° limitean ondoko balioa duen :
1= ele2
[ (~~)- (k2 Tf ~
, z
Z4WIPt 2r ¡ z z
)_ e, e,
-,k,o
' z1 D E2» z
2T-
,-Tr
[(5,5z)-(k~,)( 2)
k <
dela.o magnitudea it xuraz 'iniuua da, ez baitago inolaK.o arazor'Kin terrazloar. Hala pre , ar a z o a K d auz
rme
r - -, , .
.
~ ..~~ . .
. :, :
ge ,_- ._r 'ce
de aKooarekin, (2Q5) adierazpenean ik'usi dugunez, -- ^a tag , --)ni; ,,
deiiniturik .
Beraz, era desberdinetako orooorzroaK integratzean, aicergent_ ,oa
T en dira, zeren, b~i abi adurak b~ d inak
:a" ear,ara~~ .;~k sortL
e,T
--
,
integrazioan etengabe prcccrtzioen balio berúerak marzentzen
baitira ; eta, horregatik, dibergentzia !ehenengo ordenakoa ca.
Tetramomentu angeluar erradiatuari dagokionez, antzerako _erbait
esan dezakegu:
- Tetramomentu angeluar oscaren csagai guztiek lehen ordenako
dibergentz~a dLte, alegia, 4 piaren arauerakoa .
Ir
3 m1 12 A
i n
100
T"~~(A, '3) =
3 1
4 ~,Ia ,upl
(307)m2~ 2 /l.
.T3(212)
=rn~
rmZ
{
-~,R u/37
( J~ 3Í
Tatr amomentu ange ll iar lntrintseko errad atua aztertzean 8r e,
antz°ra gertatzen da, hau da, e radiazio osoaren Dalla CBÍ~{UÍatzen,
ehener G~ '~1 denaŕr~
ber^en"'a a a rf '~a, ~
'r Jv 'Ja . J~rr *az calnera,L
?ra t. oat €r'e inri : ra?_en _a''; J. _eren
~c~
~~
u , ~í 5 - (0
X12 A m /
A'j-. j} .:aK 4t norab dearen merceK.otas~ .~na b '
101
H . OS1N-MUGA
FRAKTALAK
11 .1 . SARRERA.
Sistema dinamikoak aztertzean, ohiturazkoa dugu sistema
linealekin aritzea, horiekin ebazpen akademikoak lortu ahal baitaitezke.
Irakaskuntzan behinipehin, aide batetara utzi ohi ditugu sistema
ez-linealak, horien kasuan ebazpena gehiegi korapilatzen baits, edota
ezina bihurtzen baitzaigu metodo arruntez.
Hala ere, azken urteotan garrantzi handia hartu du zientzia
ez-linealak eta, haiaber, bertan ager daitekeen kaosaren azterketak .
Kaosaren beraren agertokiak ere sailkatu egin dira/34,35,36,37,38/
Guk sistema ez-lineal baten azterketa egingo dugu bigarren ata¡
honetan; baina kaosa aipatu dugunez gero, ohar bat egin behar dugu
geure kasuari dagokionez . Nahiz eta - gure ekuazioan ere erakarle
kaotikoak ager daitezkeen (parametroen zenbalt ballotarako noski), geuk
aztertuko ditugun biegonkortasuneko kasuetako erakarleak, ez dira
kaotikoak izango, bestelako eratako erakarle arruntak baizik
(muga-zikloak, adibidez) .
Bestetik, diogun ezen, aukeratu dugun sistema, jaraunskorra deis .
Sistema jaraunskorrak, fisikaren arloaz gaínera, zíentziaren beste arlo
desberdinetan ere agertzen dira, hala nola ekonomian, populazioen
azterketan edota medikuntzan/ 1,46/ eta beralen azterketan asko
aurreratu da.
Honelatan,ba, ekuazio jaraunskor baten biegonkortasuneko kasua
aztertzean, bi erakarleen erakarpen-osinen arteko mugaren izaera
aztertzera saiatuko gara; zehatzago esanik, osin-muga horrek zeintzu
baldintzatan duen izaera fraktala/ 50,51 / aztertuko dugu.
105
11 .2 . SISTEMAEZ-LINEALETAKOERAKARLEAK.
Sistema dinamikoa faseen espazioko puntuen eboluzioa arautzen
duen ekuazio-multzoa da, eboluzio-parametroa jarraia edo diakretua
izan daitekeelarik .
Sistema linealen azterketa ongi finkaturik dago, eta bertan,
existentzia eta bakartasunaren teoremaren bidez, hasierako baldintzak
ezagutuz, sistemaren eboluzioa zein izango den jakin daiteke,
determinismoari buruz inolako arazorik eduki gabe. Gainera, sistemaren
eboluzioa sinplea da eta funtzio ezagunen bidez adierazi ahal izaten da.
Sistema dinamiko ez-linealen kasuan, ordea, arazoak agertzen dira
eta eboluzioa asko korapilatzen da. Horrela, era desberdinetako sistema
ez-linealetan eboluzio kaotikoa agertzen zaigu, hala nola iterazio
unidimentsional ez-alderanzkarrietan/ 25/, iterazio bidimentsional
alderanzkarrietan /25,40,41/9
ekuazio
diferentzial
arrunten
sistemetan/25,42,43/, deribatu partzialetako sistemetan/ 25/ eta ekuazio
jaraunskorretan '44,45,46,47,48,49/ •
Horrelako
sistema
iraungikor
guztiotan
erakarle
kaotikoak
ager
daitezke,
ekuazioen
kontrol-parametroen bailo batzutarako .
Dena den, aurrera baino lehen diogun ezen, sistema dinamikoak
kontserbakorrak edo iraungikorrak izan daitezkeela, faseen espazioko
eskuaide baten bolumena sistemaren eboluzioan zehar kontserbatzen den
ala ez kontutan hartuz. Izatez, guri sistemak denbora luzetara (t--- oo )
duen eboluzioa (ebóluzio-parametroari denbora deituko diogu)
interesatzen zaigu, eta halaber, sistema iraungikorren kasua, hauexek
baltira erakarleak edukiko dituztenak .
106
11 .2.1 . Sistemadinamikoez-lineal iraungikorrak .
Esan bezala, sistema iraungikorretan faseen espazioko eskualde
baten bolumena uzkurtuz doa eboluzio-parametroa handitzean . Ondorioz,
hasierako baldintza desberdinak dituzten ibilbide desberdinek,
denborarekin bolumen txikiagoko eskualde berean higituko dira .
Hasierako baldintza desberdinetako ibilbideak biltzen dituen eskualde
horri, erakarlea deritzo'28/ . Erakarleen definizio zehatzagoa /76/
erreferentzian aurki daiteke.
Mota desberdinetako erakarleak ageri dira sistema dinamiko
ez-lineal iraungikorretan eta berorien artean, puntu finkoak, muga-ziklo
arruntak, n-zikloak (hemen bifurkazioen turrusta letorke) eta erakarle
kaotikoak.
11 .2.2 . ErakarDen-osinak .
Sistema dinamiko ez-lineal iraungikorrek erakarle bat baino
gehiago eduki dezakete, alegla, denbora handitzean bat baino azken
egoera asintotiko gehiago . Zer esanik ez, azken egoera horrek hasierako
baldintzen menpekotasuna ízango du.
Ondoko definizioa eman dezakegu: Hasierako baldintza modura
hartuta azken egoera edo ibilbide asintotikoan erakarle batetara
eboluzionatzen duten faseen espazioko puntuen multzoari, erakarle
horren erakaroen-osina , deritzo . Definizio matematikoagoa /77/
erreferentzian aurki daiteke.
Geure lanean, nagusiki, bieaonkortasuneko kasuak aztertuko ditugu,
107
hau da, erakarle bi dauzkaten sistema dinamiko ez-linealak. Grebogi eta
lankideen bidetik/40", biegonkortasuneko erakarpen-osinak eta
osin-mugak definituko ditugu .
A
11 . Irudia
Demagun bi erakarle ditugula A eta B. Faseen espazioko eskualde
batetako puntuak hasiernko baldintza modura hartuz, sistema
dinamikoak bere eboluzioan A erakarlera joko du. Eskualde hori zuritan
adierazten da 11 . irudian eta A erakarlearen erakarpen-osina da.
Beste eskualdeko (marraturik dagoena) puntuen eboluzioa B erakarlera
zuzenduko da, eskualde hori B erakarlearen erakarpen-osina delarik . Bi
eskualdeen arteko banaketako mugar¡, 2-ri, osin-muaa , deritzo .
Osin-muga era desberdinetakoa izan daiteke . Batetik, nolabait
esateko, osin-muga arrunta edo leuna dago eta, kasurako, faseen
espazioaren dimentsioa D baldin bada, osin-muga leunaren dimentsioad = D-1 izango da. Baina, bestetik, osin-muga fraktala ere izan daiteke
108
eta, orduan, beraren dimentsioa d > D-1 izango dal 40/ .
Osin-mugen dimentsio fraktalez gain, erakarleen dimentsioa ere
azter daiteke/46,78/. Edozertára, esan beharra dago ezen erakarle
ez-kaotikoekin ere ager daitezkeela osin-muga fraktalak, eta hain zuzen
horixe da gure hemengo aztergaia . Prezeski, erakarle arruntak dituzten
biegonkortasuneko kasu desberdinetan ezagutzen dira osin-muga
fraktalak, gutxienez iterazioekin/40,52/ eta ekuazio
diferentzialekin /42,53,88,89/ . Gure kezka, ea ekuazio jaraunskorretan
antzekorik ageri den aztertzea da.
11 .2.3 . Sentikortasuneko eskualdea .
Aurrera baino lehen, aurreko atalean aipaturiko dimentsioen
esangura azalduko dugu140/. Demagun hasierako baldintzak doitasunez
ezagutzen ditugula (ikus 12 . irudia) . Mugatik urrun samar bagabiltza, ez
da arazorik agertuko; adibidez, hasierako baldintzak 1 puntuari
dagozkionak badira, E errorea egon arren sistemak beti joko du B
erakarlera . Hala ere, mugaren inguruko puntuen kasuan, zalantzak eduki
ditzakegu, zein erakarlera joko duen jakiteko ; adibidez, 2 puntuaren
finkapena ¿ doitasunez egiten badugu, sistemak A zein B erakarlera jo
dezake. Horreiako baidintzetan, faseen espazioko eskualde ez-ziurraren
bolumenak kontsideraturiko espazioaldearen bolumenarekiko frakzioa, f,
azter dezakegu. Irudiko kasuari dagokionez, muga leuna delarik, argi
dago ezen f -E dela. Dena den, hau ez da beti horrela gertatzen, eta ez
hori soilik, sistema dinamiko ez-linealetan bestelako erlazio hau
agertzen da sarri :
109
non
a < 1 den. Hain zuzen horixe gertatzen da osin-muga fraktala
denean. Horrelako kasuetan azken egoerarekiko sentikortasun-eskualdea
A
B
12 . irudia
dagoela esaten da, eta orduan, unítatea baino nahiko txikiagoa denean
adibidez, hasierako baldintzen doitasuna, E. , asko hobatu arren, ez da
horrenbeste hobatzen azken erakariearen ezagutzan dagoen
ziurgabetasuna, berau f frakzioaren bidez nolabait adierazita
dagoelarik.
Era honetara definitzen dugu, bestalde, osin-mugaren dimentsioa,
kapazitatea ere deitua/40,46,50,51,81/ , Demagun faseen espazioaren
dimentsioa D dela. Baldin osin-muga osoa 6 luzeratako erradioa duten
bola D-dimentsi,onalen bidez estaltzeko, behar diren bolen kopurua NW
110
bada, ondokoa da osin-mugaren dimentsioa:
hots,
In N( ,E)
d = lim (2)F-~0
In (1/E)
hau da, N(E )
~d (E--- 0). B e raz, lehen aipaturiko f frakzioa honelaxe
eman ahalko dugu:
muga estaltzeko bolen kopurua
k E -d
f=
faseen espazioa estaltzeko bolen kopurua
k' E -D
oC = D-d
(4)
da. Osin-muga fraktalen kasuan d > D-1 da (muga leunen kasuan, d = D-1) .
Eta hortik argi ikusten da, osin-muga fraktalen kasuan, oc < 1 denez,
sentikortasun-eskualdea izango dugula. Beraz, muga fraktalekin
oztopoak izango ditugu azken egoera asintotikoko erakarlea zein den
aurresankortzeko .Adibide modura, horrelako osin-muga fraktalak
iterazioen kasuan nola ager daitezkeen ikusteko, /40/ edo /52/
erreferentz¡etara jo daiteke.
11.3. EKUAZIO JARAUNSKORREN ERAKARLEAK
ETAERAKARPEN-OSINAK.
Jokamolde kaotikoa eduki dezaketen sistema dinamikoen artean,
ekuazio jaraunskorrak dauzkagu . Orain arte, horrelako ekuazloetan ez
dira aztertuak izan erakarpen-osinak eta zer esanik ez are gutxiago
osin-mugak.Beraz, ezezaguna zen, ekuazio jaraunskorretan osin-muga
fraktaiík agertzen ote den . Hortik datorkigun kezka, bertako erakarleak
eta erakarpen-osinak aztertzearena da. Dena den, Ikusiko dugunez,
ekuazio jaraunskorretako faseen espazíoa infinitu dimentsiotakoa izanik,arazo bereziak azalduko zaizkigu, baí hasierako baldintzak definítzean
eta bai osin kontzeptua aztertzean ere.
II. 3.1 . Ekuazio jaraunskorrak .
Nolabaiteko definizio bat emateko, honelaxe zehatz dezakegu
ekuazio jaraunskorra zer den : Izatez, ekuazio diferentziai bat da, baina
bertako funtzioak eboluzio-parametroaren bailo desberdinetarako
hartzen dira batera; zehazki, eboluzio-parametroa t izanik, honela
adieraz dezakegu n ordenako ekuazio jaraunskorra :
dnx
dn-1 x
dn-1 x(t) = Wit, X(t), x(t-r), . . .,
(t),
(t-r)]
(5)
dtn
dtn-1
dtn- 1
non r balioa atzerapena deituko dugun. Arrazoi horregatik ekuazio
jaraunskorrei argumentu atzeratudun ekuazloak ere deritze. Ohar gisa
diogun ezen atzerapena konstantea edo aldakorra izan daitekeela .
112
Si ekuazio diferentzial arrunten kasuan,
dx
dv- = v
- = g( t;x,v)dt
dt(O)
t = t o baliorako . x(to) = xo ; dx/dt ( to ) = y o emanik. existentzia eta
bakartasuneko teorema d ugu eta horrela ehazpen bakarra, 'f (t ;x o,v o ),
_era betetzen duena .
d P
dv
dc-l.t ;x0 ,v 0} = 'v
(t ;x o,v 0 ) = ; Pi
.- (,t;xo,'vo)]
(7)dt
dt
dt
non
? +,t,- ;'(o .,lo) = x o
("'3)
_ t,t0; :io,'1o' = vo
dtt
Baina ekuazio jaraun3 korretan ez da horrela bakartasuna
bermatzen. Hain zuzen, hasierako baldintzak denbora - tarte batetan
eman behar dira, r atzerapenari dagokion tartean; adibidez, hasierako
baidintza madura `?,(t) funtzioa eman beharko da -r L t L 0 tartean .
lntegrazioa pausoz pauso egin ahalko da, zeren o +~tti funtzioa erabiliz
0 - t :!i~ r tartean integra baitaiteke ekuazioa, jadanik ekuazio arrunt
bihurturik baitago. Horrela, pausoz pauso t > 0 tarterako ebazpena
lortuko dugu, zeina bakarra den; hots, denboran aurreranzko ebazpena
lor dezakegu .
Dena den, gurí ardura digun adora itzuliz, hasierako baldintza
madura funtzioen espazio batetako funtzio bat giman behar dugu, hau da,
113
infinitu dimentsio dituen espazioko elementu bat. Zentzu horretan, eta
existentzia eta bakartasuneko teorema zutik utziz (egia esan,
aurreranzko ebazpenei dagokienez soilik), gure hasierako baldintzenespazioa infinitu dimentsiotakoa dela esango dugu .
11.3.2 . Ekuazio iaraunskorren erakarleak.
Aurreranzko ebazpenak azter ditzakegularik, sistemairaungikorren eremuan abiatuz, denbora handiagotzean lortzen diren
ebazpen asintotikoak aztertuko ditugu, ekuazio jaraunskorren
erakarleak alegia .
Mota desberdinetako ekuazio jaraunskorren erakarleak aztertudira/44,45,46,47,48,49/ eta ]an horietan ikusi denez, kasu honetan ere
lehen aipaturiko erakarle-mota guztiak (puntu finkoak, zikloak,bi-zikloak, . . ., erakarle kaotikoak) agertzen dira . Hain zuzen, erakarle
moten kaoseranzko bilakabidea ageri da, ekuazio horietako parametroen
aldaketaren arauera, parametro horien artean, atzerapena adierazten
duena oso kontutan hartzekoa delarik. Erreferentzia
desberdinetan /46,49/ erakarle horien sailkapena egiten da, eta erakarle
kaotikoei dagokienez, zenbait kasutan beren dimentsioa ere neurtuda/ 46/, dimentsio ez-osokoak (fraktalak) direla ondorioztatuz .
114
11 .3 .3. Erakarpen-osinak ekuazio iaraunskorretan .
Ekuazio jaraunskorretan egoera asintotikoan erakarleak agertzenbadira, sistema determinista izanik, bistakoa da, erakarle bakoitzakbere osina izango duela, alegia, hasierako baldintzen multzo bat izango
dela zeinetatik hasirik sistemak erakarle horretara joko duen. Arazoamaila praktikoagokoa da ordea. Nola adieraz ote daiteke grafikoki osina,hasierako baldintzen espazioa infinitu dimentsiotakoa izanik? Gukezagutzen ditugun osinen adierazpenak140,42,52,88,89,90,91/ beti egin
ohi dira bi dimentsiotako irudian .
Arazo hori neurri batez gainditzeko, hasierako baldintzen
espazioko azpiespazio bat hartuko dugu, prezeski bi dimentsiotakoazpiespazio bat eta, horrela, azpiespazio horretan osinak definitu ahalkoditugu grafikoki .
Labur esanda, -r t :!r= 0 tartean emango ditugunY O (t) funtzioen mota murriztuko dugu, bi parametroren bidez
definitzeko modukoak soilik hartuz.- Hala ere, hori modu askotara egin
daiteke eta lehenengo maila batetan, ondoko erara definituriko hasierakobaldintza linealak hartuko ditugu:
Y O (t)=xo +vot
-r :!:-~ t :!1~- 0
(10)
eta gero , (xo,vo) grafiko cartestarrean jarriz, holako hasierako
baldintza bakoitza puntu batez adierazi ahalko dugu, bide batezosin-mugak aipaturiko azpiespazioarekin duen ebakidura irudikatuz .
115
11.4 . EKUAZIO JARAUNSKOR BATEN AZTERKETA .
Oraín arte II . ata] honetan esandakoak, kontzeptu orokorrak izan
dira. Ideia horiek konkretatzeko, geure lanean ekuazio jaraunskor bat
aukeratu dugu eta beraren azterketa zehatza egitera saiatu gara .
111 .4.1 . Duffina-en ekuazioa .
Abiapuntu modura, behin eta berriro azterturiko ekuazio bat
aukeratu dugu'921 . 1918 . urtean Duffing-ek hirugarren ordenako
zurruntasun-gala duen osziladore baten proposamena egin zuen . Gu
ekuazio horren forma berriago batetik abiatuko gara, zehazki esanda,Moon-ek eta Holmes-ek'93,94/ eta Moon-ek eta Li-k/42/ proposaturiko
ondoko ekuaziotik:
1x +~x - - x(1-x2 ) = f coses t
(11)2
Eredu honen garrantzia eta egokitasuna, jadanik beraren dinamika
kaotikoa eta ez-kaotikoa ondo aztertuta daudelako dator, eta hori ongi
ezagutzen da simulazio numerikoaren bidez eta ordenadore analogikoen
bidez /93, 94/ . Gainera, Moon-ek experimentalki aztertua da, habe
elastiko baten pandeoan'801 .
Aurrera baino lehen azal dezagun, ekuazio hori zein sistema
fisikori dagokion. Moon-ek eta Holmes-ek erabilitako muntaia
experimentala, 13. irudian adíerazten dena da. Bertan ikusten denez,
altzairuzko habe mehe bat, behekaldean imanak dituen sistema zurrun
116
batí finkaturik dago. Berauen erakarpenez, habea baterantz etabesterantz abia daiteke . Horretaz gainera, sistema zurrun osoak
kanpoko indar sinusoidal baten eragina jasan dezake eta, bestalde,habeak indargetzea pairatzen du, inguruko airearen biskositatearen etaimanen indargetzearen kausaz. Beraz, fisikoki honela uler ditzakeguekuazioan ageri diren parametroak:
Ó: indargetzearen neurria adierazten duen parametroa .
f : kanpo-indarraren eraginez sorturiko oszilazíoaren anplitudea .
(o : kanpo-indarraren maiztasun angeluarra .
Én dar bortxatuI habea
si nusoidata
1 1
II
imanak
H
Heuskarri zurruna
13. Irudia
117
seinate elektrikoa
Bestetik, geroagoko Ian batetan/42" Moon-ek eta Li-k ekuazio
horren biegonkortasuneko kasuko erakarpen-osinak aztertu zituzten,
denbora berean mota desberdinetako osin-mugak arakatuz, hots, muga
leun eta fraktalak. Beraz, egoki eritzi diogu ekuazio honetatik abiatzeari,
geure emaitzak zerekin konparatu izango baitugu .
11.4 .2 . Aukeraturiko ekuazio iaraunskorra: MLA ekuazioa.
Agerikoa denez, Duffing-en ekuazioa ez da jaraunskorra. Baina
kontutan hartuz, bestelako konportamoldeak aztertzeko,ekuazio horrek
lehenagotik ere zenbait lanetan aldaketa batzu jasan dituela, geure
aldetik argumentu atzeratuak dituen gai bat gehitu diogu, c z = c x(t-r),
horrela Moon eta Li-ren ekuazio aldatua deituko duguna lortuz, MLA
ekuazioa alegia:
1x+ix--x(1-x2)+cx = fcos cut
(12)2
Ekuazio jaraunskor honetan, c parametroak gai jaraunskorraren
garrantzia neurtuko digu eta r parametroak, atzerapena, hots, xdelakoak posizio atzeratua adieraziko du, beste parametroek Duffing-en
ekuazioko esangura berbera dutelarik .
11.4 .3. MLA ekuazioaren intearazioa .
MLA ekuazioaren integrazioa modu numerikoz egingo dugu, batetik
Hermite-ren interpolazioa eta bestetik Runge-Kutta-ren metodoa
118
erabiliz 195", prezeski laugarren ordenakoa (ikus C eranskina) .
Lehenago aipatu dugunez, ekuazio jaraunskorretan arazoa dugu
hasierako baldintzak ematerako orduan . Gero, erakarpen-osinenadierazpen bidimentsionala egin ahal izateko, 11.3.3. atalean azaldu
ditugun arrazolak tartean direla, bí parametroren bídezko baldintza
linealak aukeratuko ditugu, zehazki (10) adierazpenekoak:
TOM =xo +vot
-r!!!= tG0
t = 0 denean posizioa eta abiadura x o eta vo izan daitezen hurrenez
hurren. Edozertara, 11 .4.9.2. atalean hasierako baldintzen linealtasun
ezak eduki dezakeen eragina ere aztertuko dugu .
111 .4 .4. Bieaonkortasuna MLA ekuazioaren kasuan .
Berriro ere ( 12 ) ekuaziora itzuliz, diogun ezen sistemaren higiduraarautzen duen potentziala,
1V(x) _ - (x4 -2x2)
(13)8
bi putzutako potentziala dela eta eskuin-ezkerrean bí oreka-posizio
dituela, x = ± 1, x = 0 puntuetan. Ondorioz, kanpo-indarraren eraginez
sortutako oszllazloen anplltudea, f , txiki samarra bada,
biegonkortasuna ageri da denbora luzeetarako, alegia bi lekudesberdinetan ageri zaizkigu erakarleak (puntu finkoak edo zikloak),
119
lehen esandako puntuen inguruan. Anplitudearen balio handietarako,
higidura kaotikoak ageri diraJ42l . Dena den, Moon-ek eta Li-k erakarle
arruntei dagozkien biegonkortasun kasuen osinak aztertu dituzte . Ohar
gisa diogun, ezen biegonkortasuna bi eratako erakarleak (batak eskuin
aldean x = +1 , z = 0 puntuaren inguruan, eta besteak ezker aldean x =
-1, x = 0 puntuaren Inguruan kokaturik daudenak) egoteari esaten
diogula, nahiz eta aide bakoitzean mota desberdinetako erakarleak egon
daitezkeen. Horrela, f = 0.1 eginez, bai eskuinean eta bai ezkerrean
bat-zikloak eta sei-zikloak ageri direla frogatzen da (gero 14 . irudian
ikusiko den legez) .
Ekuazio jaraunskorren kasuan, faseen espazioko dimentsioa
infinitua delarik, ezin ahalko dugu grafikoki erakarlea osorik adierazi
eta, orduan, (x,x) azpiespazioko projekzioa hartuko dugu erakarlearen
itxura nolabait adierazteko, eta projekzio horretan oinarrituz,
biegonkortasuneko kasuak aztertuko ditugu, horrela hasierako
baldintzen parametroen espazioan bi erakarleei dagozkien osinak
irudikatzeko .
11 .4.5. MLA ekuazioaren erakarle-moten sailkapena .
120
Erakarleen irudikapena lortzeko, C eranskinean datorren MLA2
programaz baliatu gara. Lehenengo pauso batetan, jadanik aztertuta
dagoen Moon-ek eta Li-k egindako kasuko erakarleak aztertu ditugu,
emaitza horiek 14 . irudian agertzen direlarik.
Bertako sei-zikloei buruz ohar bat egin behar da. Zenbait kasutan
oso higidura iragankor luzeak ageri d1ra, eta azken egoerara heldu
aurretik, hiru-ziklo batetara iritsi garela dirudi, Moon-ek eta Li-k aipatu
bezala. Dena dela, sasi-hiru-ziklo hori ez da egonkorra eta, nahiz tarte
iragankor luzea eduki, denborarekin sei-zikloa ageri da. Higidura
iragankor horren adierazpena eta sasi-hiru-ziklotik seí-ziklorako
pausoa, 15. irudian ageri dira. Bertan ikusten denez, denbora oso luzea
behar da, zikioa egonkortzeko . Prozesu iragankor batzu horren luze
izateak, sistema bere eboluzioan erakarlerantz iritsi denentz
erabakitzeko erizpideak gogortzera garamatza.
MLA ekuaziora itzuliz, (x,x) projekzioan ageri diren erakarleen
sailkapena aurkeztuko dugu. Hemen ere lehenengo interesatzen
zaizkigunak, biegonkortasuneko kasuak dira, aide bietako
oreka-posizioen inguruan, hau da, zikloak, bi-zikloak, bifurkazioen
turrusta eta, azkenean, erakarle kaotikoak. Honelatan, ba, 16. irudian
horrelako erakarle batzu adierazten dira.
Ohar berezia egin behar dugu, erakarle hauei dagokienez . Beren
arteko osin-mugak leunak direnean, normalean, erakarlera iritsi
aurreko higidura iragankorra ]aburra ohi da. Ostera, osin-mugak
fraktalak direnean edo egoera horretatik hurbil, oso higidura iragankor
luzeak ager daitezke, nahiz eta azkenean erakarle arrunt batetara iritsi .
Horixe da, hain zuzen, 17. irudietan adierazten den egoera .
Antzerako zerbait esan daiteke, bifurkazioen turrustari
dagokienez . Zikloaren izaera korapilatuz doan neurrian, prozesu
iragankorra luzatuz doa ( ikus 17. irudiko bi-zikloaren kasua), eta,
horrela, parametroak aldatuz, erakarle kaotikoa edukitzera heltzen gara
(ikus 18 . irudia) .
121
L.
5
u O
N
Ñ
mNm N
Ox -I
H
T 31m -11 M
.~ N
C -
x
II
m
4Om. ti
,m
M11 ~ ••
H!~V
N O
•
C1
u m
°g eN 6
~
!V
W
yy%
11Ñ
>!
N
N
N
. MII
OI
14 . Irudia : 6ai jaraunskorrik aabeko kasu batetakomota desberdineko erakarleak (bat eta sei-zikloak),bi oreka-posizioen inauruan .
122
rtLA2 :
g = 8.158 f = 8.100 c = 8.800 o = 8 .833 r = 1.808 h : 0.100Ha:ierako baldintzak : -6 .371 • t 8 .875
(-r <- t <- 8)
281 .480 <- t 1 302.900
Leihoa :
-2.40 S x S
2.48
-1.28 <_ dx/dt S
1 .28Pantalla ezabatzeko, jo 'E' . Hurrengo kalkulurako, jo 'W .
t1]A2 :
g = 8.158 f = 8.100 c = 0 .888 o = 8.933 r = 1 .886 h = 8 .108Hasierako baldintzak : -8 .374 • t 8 .875
(-r <_ t 1 8)
1585.280 1- t 111681 .788
ti
iiwWP~~
tLeihoa :
-2.48 S x S
2.48
-1.28 S dx/dt í
1.28Pantaila ezabatzeko, jo 'r . Hurrengo kalkuluraho, jo 'H' .
15 . Irudia : Goiko irudiko erakarlea, hiru-zikloarenantza eduki arren, prozesu iragankor luzearenondoren se¡-zikloa bihurtzen da .
123
x
x
16.
Irudia :
Ekuazio
jaraunskorrari
dagozkionzenbaít erakarle, biegonkortasuneko kasuan.
tt1A2 :
q = 8. L58 t = 8.188 e : 8.188 o = 8.833 r = 1 .888 h = 8.188Hasieralio baIdiassak: 1 .888 • t 8 .888
(-r i t i 8)
8.888 1 t 1 582 .288r
18. Irudia: Erakarle kaotikoa .
Erakarle kaotiko honen kasuan ikusten denez, higidura hau
potentzíalaren bi oreka-puntuen inguruan gertaten da. Izan ere, MLA
ekuazioaren ebazpena ez baíta beti biegonkortasunaren erakoa eta,
parametroen balioen arauera, erakarleek x koordenatuaren aide
positiboa eta negatiboa biak hartzen dituzte . Horrelakoetan arazoak
sortuko zaizkigu, erakarpen-osinak definitzerako orduan, ezingo baitugu
erabakí, erakarlea zein aldetan dagoen, aide bietan baltago ; edo bestela
esanda, biegonkortasuna desagertu egin da.
Edozertara, holako erakarleak ez dira guztiak mota berekoak. Guk
bi multzotan sailkatuko ditugu . Lehenengo multzokoak c parametroaren
-hots, gai atzeratuaren garrantzia adíerazten duena- balio
txikietarako ematen dira, c < 0.15 , eta ondoko grafikoetan ¿ ikurraz
adieraziko ditugu . Honelako erakarleetan, higidura iragankorrean
nolabaiteko zalantza ageri da behin eta berriro aide batera edo bestera
joateko, eta nahiz sarritan aide batean higidura luzea egin, higidura
iragankor oso luzearen ostean, azkenean, erakarlea aide bietatik dabil .
iQa. Irudia : Aldebietatiko erakarle peridikoak ; motadesberdinetako zikloak. Grafikoetan p ikurrazadieraziko ditugu.
IQb . Irudia: Aldebietatiko erakarle periodikoak .Azkena bederatzi-zikloa da . Hauek ere Q - ikurrazadieraziko ditugu.
Bestaide, denbora luzetara agertzen diren erakarleak, oso eradeberdinetakoak izan daitezke, 19 . irudian ikusten den bezala :simetrikoak, asimetrikoak, n-zikloak, eta erakarle kaotikoak . Esanbeharra dago, halaber, ezen erakarle horiekin batera, parametroenbailo berberetarako, erakarle arruntak ere ageri direla aide bietan .Hortik datoz, hain zuzen, erakarpen-osinak erabakitzeko oztopoak .
Bigarren multzokoak, gal atzeratuak garrantzi handia duenean
agertzen dira, c > 0.15 , eta geure grafikoetan A ikurraz adierazikoditugu. Kasu hauetan ez dago horiekin batera bestelako erakarle arruntik
eta gainera ez da zalantzarik agertzen bi aldeen artean, sistemadinamikoa era periodikoan batera eta bestera baitabil ; eta prozesuiragankorra luzea izan arren, sistema zuzenean doe erakarlerantz . 20 .irudian holako bi adibíde erakusten dire, gal bortxatua nulua denekokasuan. irudi honetan higidura osoaren (x,z) projezioa ematen dugu.Lehenengo irudia c = 0.16 balioari dagokio, eta beste biak c = 0.17balioari, nahiz hasierako baldintzak desberdinak izan, erakarleranzko
hurbilketak kanpo eta barne aldetik direlarik ; baina erakarlea bat berada.
11.4.6. MLA ekuazioaren erakarpen-osinak .
Pasa gaitezen, bada, blegonkortasuna agertzen deneko kasuetako
erakarpen-osinak aztertzera. Lehenago beste zenbait lanetan
jarraitutako adierazpen grafikoari/ 40,42/ lotuko gatzaizkio . Bi aldeetan
dauden erakarleak ditugularík, eskuin eta ezker aldean, eta hasierako
baidintzen espazloan hasierako poslzioa, x o , eta hasierako abladura, vo,
parametro bezala harturik, espazio horretako puntu bakoitzari
1 30
dagozkion hasierako baldintzekin sistemak zein erakarlerantz jotzen
duen aztertuko dugu. Eskuin aldeko erakarlera jotzen badu, puntu hori
beltz margotuko dugu; ezker aldeko erakarlera jotzen badu, zuri utziko
dugu, margotu gabe. Beraz, azkenean grafiko edo irudi bat lortuko dugu,
hasierako baldintzen espazioaren (xo, vo) adierazpen cartestarrean .
Hori guztiori ordenadorearen bidez egiteko, C eranskinean datorren
MLAOSi programaz baliatu gara .
Bizpahiru ohar egin behar dugu programaren erabileraz. Batetik,
diogun ezen, lehenago esan dugun legez, hasierako baldintza linealak
erabili ditugula ( Po (t) = xo + vto) , expreski bestelakorik azaltzen ez
bada behinipehin .
Bestetik, sistema erakarle batera edo bestera doan erabakitzeko
erizpide egokia hartu beharra dago . Hasiera batetan, Moon-ek eta Li-k
behin eta berriro aipaturiko lanean erabilitakoa aukeratu genuen,
ondokoa alegia : Lehenengo bost periodo zuzeni zegokien prozesu
iragankorra pasatzen utzi, horrela prozesu iragankorra desagertzeko,
eta ondoren ibilbideak eskuin edo ezker , aldean bost orbita egin arte
itxaron, x(t) posizioaren batezbestekoa kontutan hartuz, zein erakarlera
joan den erabakitzeko . Hala ere, horrela beren emaitza
errepikatzerakoan, konturatu egin ginen, ballo horiek muga inguruan
zeudela, eta erizpideak behin baino gehiagotan emaitza okerra ematen
zuela, hots, erizpide horren arauera erakarle batera zihoanean,
sistemak benetan beste erakarlera jotzen zuela. Hori u = 0.833 eginez,
5 2W = 37.5 denean, nola gertatzen den ikusteko, 21 . irudiko eboluzioa
azter dezakegu . Bertako 1, 2, eta 3 irudiak ikusita, aurreko erizpidearen
arauera, sistemak ezker alders jo duela erabakiko genuke; baina 4 eta 5
irudietan ikusten denez, denborarekin, egiatan sistema eskuin aldera
dos.
1 3 1
21 .Irudia :
1 . W maiztasunaren lehenengo bost períodoei (x,X)projekzioan dagokien ibilbidea .
2. Hurrengo bost periodoetan ezker aldean higitzenda.
3. Eskuin aldetik itzuli bat egin ondoren, berriro ereezker aldetik dabíi.
4 . Hamabost períodoren ondoren, eskuin alderairagaten da.
S. Eta denborarekin eskuin aldeko erakarlera iritsida.
Beraz, bertako erizpidea gogortu beharra eduki dugu eta horixe da
MLAOSI programan egin duguna. Dena dela, zenbalt aproba egin ondoren,
nahikoa izan dugu honelaxe egitea: Lehenengo t = 40 tartea pasatzen
utzi eta gero t = 40 tarte oso batetan sistema posizio positiboan ( edo
negatíboan) egon arte itxaron, eta orduan, jadanik eskuin (edo ezker)
aldeko erakarlera iritsi dela erabaki dugu . Horrela, aukeratutako
denbora-tarte bat pasatu arte behatzen egon gara gehienean.
Denbora-tarte horretara iristean oraindik erabaki gabe egon denean,
puntu hori erabaki gabekotzat kontatu eta kontabilizatu dugu eta aurrera
segitu dugu . Esan beharra dago ezen, hemen aurkeztutako kasu
guztíetan, erabakí gabe geratu diren puntuen kopurua, beti izan dela
aztertutako puntuen kopuruaren milako bat baíno gutxiagokoa.
Dena den, erizpidea hortik gora gogortzean, emaitzak ez dira ia
aldatzen, geroago 11.4.8.1 . azpiatalean ikusiko dugunez .
Gauzak modu honetara eginda, erakarpen-osin desberdinak
irudikatu ditugu. Hori egítean, bí eratako osinak agerí zaizkigu :
a) Osin-muga leuna dutenak, hau da, bí osinen arteko mugatzat
lerro arrant bat dutenak. Geroko grafikoetan • erara adieraziko
ditugu . MLA ekuazloari dagozkion zenbait osin leun 22. irudian agerí
dira, parametroen bailo desberdinetarako .
134
---.,.YV .V LV . .VVI< W- -VV ,VV„.
Hauetariko irudi
bakoitzean
10.000 hasierakobaldintza desberdin aztertu ditugu (100x100) .
135
LLU. 11 UUIO . £. IJUall vanrliiuya faun .
Ikusten denez, gero eta fraktaltasunetik hurbilagodaude muga hauek.
b) Osin-muga fraktala dutenak, hots, bi osinen arteko muga ez da
lerro arrunta, dimentsio fraktala (1 < d < 2) duen muga korapilatsua
baizik. Grafikoetan O ikurraz adieraziko ditugu kasu hauek .
Horrelako hiru osin-muga fraktal 23., 24 . eta 25. irudietan
agertzen dira .
Hala ere, erizpideak bailo ez duen kasuetan, bestelako arazoak
sortzen zaizkigu . Lehenagoko 11.4.5 . atalean azaidu bezala, p
ikurrarekin batetik besteranzko prozesu iragankor luzeak dituztenak
adieraziko ditugu, eta At ikurrarekin aide bietatik era periodikoan
dabiltzan erakarleak dituztenak .
11.4.7 . Parametroek muaen fraktaltasunean duten eraaína .
Aurreko atalean azaidutako metodo eta erizpidearen arauera, MLA
ekuazioaren biegonkortasuneko kasuetako osin-mugak aztertzera
saiatuko gara, eta batez ere, muga fraktalak zeintzu baldintzatan ageri
diren ikustera . Gainers, fraktaltasuna agertzean, mugaren dimentsioa
neurtzera saiatuko gara .
11. 4.7.1 . fetac Darametroeneraaina .
Lehenengo pauso batetan, kanpoko indar oszilatzailearen eta gal
atzeratuaren eragina aztertuko dugu, beste parametroetarako ondoko
balioak hartuz : Ó = 0.15, w = 0.833, r = 1 .0 . Lorturiko emaitzak 26.
irudian ikus daitezke.
137
23. Irudia: Osin-muga fraktala.
Irudi honetan 160.000 hasíerako baldintzadesberdinen adierazpena egín da (400x400) .Parametroen balíoak hauexek dira :
f = 0.04
c =0.1
Ó=0.15 w=0.833
r = 1 .0
Bestalde, hasierako baldintzak muga hauen arteanaldatu dira :
-2.44 xo :C- 2.4
-1 .2---l v . 1 .2
lntegrazioan erabilitako pausoa h = 0.25 izan da.
24. Irudia: Osin-muga fraktala .
Kasu honetan ere 23. irudiko ohar berberak eginditzakegu.
Parametroen balioak hauexek dira :
f=0.1
c=0.1
Ó=0.15
w=1.5
r=1 .0
Irudi hau egitean, denetara 206 puntu geratu diraerabaki gabe .
25. Irudia: Osin-muga fraktala .
Aurreko bi irudietako ohar berberak egin ditzakegu .
Parametroen balioak ondokoak dira :
f=0.15
c = -0.08
Ó=0.15 w=0.833
r = 1 .0
Irudi hau egitean, denetara 19 puntu geratu diraerabakí gabe.
lkusten denez, hemengo fraktaltasuna aurrekokasuetakoa baino askoz handiagoa da.
26. Irudía
f eta c parametroen eragína.
•
osin-muga leuna
osin-muga fraktala
L prozesu iragankor oso luzeak
A bi aldetatiko erakarleak
Agerikoa denez, hiru eskuaide bereiz ditzakegu : osin-muga
leunekoa, • , (f eta c-ren bailo txikíetarako), osin-muga fraktalekoa, O ,eta prozesu iragankor oso luzeak ditueneko edota biegonkortasuna
existitzen ez deneko eskualdea ( L eta A eratako kasuena) . Zatika
irudikaturik dauden lerroek, eskualde horien arteko gutxi gorabeherako
mugak adierazten dituzte.
Interesgarria da, c-ren bailo batetarako f aldatzean osin-mugak
pairatzen duen aldakuntza ikustea . Adibidez, c - 0 denean (atzerapenik
gabeko kasua), f = 0.08 baliorako muga leuna daukagu, f = 0.088
balioaren inguruan fraktaltasuna agertzen da (nahiz eta, 27. irudian
ikusten den bezala, oraindik muga leuna den) , eta jadanik f = 0.10
baliorako guztiz fraktala da, 27. irudian jarritako handipenean ikus
daitekeen bezala .
Irudi honetan izaera fraktalaren funtsa agertzen da. f = 0.08
denean ez dago inoiako zaiantzarik mugaren leuntasunaz . f = 0.088
denean, ordea, lehenengo unean zalantza ager daiteke ; baina fraktal
itxura duten eskualdeen handipena egitean, mugak leunak direla ikus
daiteke, hots, oinarrian ez dagoeia txikitan errepikatzen den egiturarik .
Ostera, f = 0.10 egitean, fraktaltasuna nabariki ageri da; gero eta
eskualde txikiagoen handipena egitean, oinarrian dagoen egitura fraktala
agertzen da beti . f = 0.11 egitean, muga oso fraktala da, geroago
azalduko den dirnentsioaren neurketaz ikus daitekeenez .
28. irudian f-ren eraginaren beste adibide bat jarri dugu, baina
oraingoan gal jaraunskorra ere ba dugularik. Kasu honetan c = 0.1
delarik, f parametroaren bailo txikietarako (f = 0.0, 0.2) muga leuna da,
baina píxka bat handiagoa egitean (f = 0.04, 0.06) fraktal bihurtzen da.
142
¿u. iruaia
f-ren eragina, ekuazio jaraunskor baten kasuan145
f-ren balio finko batetarako c parametroaren aldaketak duen
eragina 29. irudian ikusten da. Kasu honetan f = 0.1 egin dugu eta c-ren
balío negatiboetarako (c =-0.1,-0.05) muga leuna da, c parametroa nulua
edo positiboa denean fraktaia delarik . c =-0.01 denean, hasieran zalantza
izan dezakegu. Zalantza hori argitzeko gero eta eskualde txikiagoen
handipena egin dezakegu, 30. írudia adierazten den bezala, eta orduan
argi ikusten da kasu fraktal batetan gaudela, egitura frkatala ageri
baitzaigu .
Esan dugun legez, handipenak oso baliagarri gertatzen dira
zalantzazko kasuetan . Baina halaber, argiro fraktalak diren kasuetan ere
egin ditzakegu, mugaren egitura sakonki ikusteko . Mugaren fraktaitasuna
areagotuz doan neurrian, mugaren egitura ere korapilatuz doa . Egitura
gero eta korapilatsuago horren adibide gisa, 31 . 32. eta 33. irudietako
mugak ikus dítzakegu. Horietan eskualde txikí baten handipena egin dugu,
bakoitzean 160.000 hasierako baidintza desberdin emanez (400x400
puntu). Lehenengoan fraktaltasuna oso txikia da, nolabait esateko,
hasiberría, bígarrenean handia eta hirugarrenean oso handia den
bitartean.
146
Gai jaraunskorraren eragina (c parametroarena)147
fraktaltasun txikiko kasu honen eskualde txikienhandipenean, egitura fraktala ageri da behin etaberriz.
148
31 . Irudia
Fraktaltasun txikiko eskualde baten handipena .Parametroen balioak ondokoak dira :
f=0.04 c=0.11=0.15 w=0.833 r=1 .0
Hasierako baldintzak muga hauen artean aldatu dira :
-0.375 il xo tt-~ -0.275
0.045 i!!:-~ v, :!51 0.075
32. Irudia
Muga fraktal baten eskualde txikiaren handipena .Parametroen balioak ondokoak dira :
f=0.1 c=0.0 Ó=0.15 w=0.833 r=1 .0
Hasierako baldintzak muga hauen artean aldatu dira :
-0.375 6 xo :!5~ -0.275 0.045 6 vo :!EP- 0.075
Gai jaraunskorrik gabeko kasu bat da hau .
33. Irudia
Muga fraktal baten eskualde txikiaren handipena .Parametroen balloak ondokoak dira :
f=0.15
c=-0.08
0=0.15 w=0.833
r = 1 .0
Hasierako baldintzak muga hauen artean aldatu dira :
-0.375
xo 4 -0.275
0.045 4 vo I!Ei~ 0.075
Adíbide hau ekuazio jaraunskor bati dagokio .
11 .4.7.2 . Osin-munafraktalen dimentsioarenneurketa .
Hurrengo pauso batetan, (xo, vo ) espazioko osin-muga fraktalen
dimentsioa neurtzera saiatuko gara. Horretarako, lehenago Grebogi-k
eta lankideek iterazio bidlmentsionalen kasuan erabilitako metodoaren
antzeko bidea hartuko dugu"401. Metodo hau, bestalde, 11 .2.3 . atalean
emandako dimentsioaren definizioan oinarritzen da. Ikus dezagun, bada,
nola abiatu garen.
Demagun hasierako baldintzen espazioko puntu bat hartzen dugula,
(xo, vo) . Koordenatu horietan e balioko aidaketa txiki bat egiteak zer
eragin daukan ikusi nahi dugu . Horretarako, hasierako puntutik sistemak
zein erakarlera jotzen duen eta puntu aldatutik zein puntutara jotzen
duen konparatzen dugu. Kasu bietan erakarle berberera joz gero, ez
dugu kontutan hartzen; baina erakarle desberdinetara joz gero
kontabilizatu egiten dugu. Gauzak horrela, puntu pilo bat hartzen dugu
azarean, hasierako baldlntzen espazíoan aukeratu dugun - leihoan, eta
puntu bakoitzetik azareko norabidean E delakoaren balioaz urrundurik
dagoen beste puntu bana aukeratzen da prozesu hori aurrera
eramateko . Hortxe dugu, hain zuzen, Grebogi eta lankideen
metodoarekiko aldakuntza, han beti ere norabide bakarrean eta hiru
punturekin egiten baitzen aldaketa (prezeski, (x o, vo ) puntua hartu
ondoren, (x o+ E , v o) eta (xo- 6,vo ) puntu bi aukeratzen dituzte haiek).
Esandako erara puntu-bikoteak aukeratu ondoren, erakarle
desberdinetara jotzen dutenen frakzioa kalkulatzen dugu : f . Lehenago
dimentsioari buruz esandakoak kontutan hartuz, pentsatzekoa da f (Ikus
(3) adierazpena) eta f elkarren proportzionalak izango direla, hots,
TI ,E D d
(14)
152
dela joko dugu. Horretan finkaturik, osin-muga bakoitzaren kasuan,
gehikuntzaren bailo desberdinetarako, f delakoaren balioak kalkulatu
ditugu . log f eta log E balioen arteko erregresio-kurba kalkulatuz,
D - d berretzailearen balioa lor dezakegu, eta gure espazio berezian
D = 2 dela kontutan hartuz, osin-mugaren d dimentsioa (hasierako
baldintzen espazio berezi horretan) erdiets dezakegu .
Kalkulu hauek guztiok ordenadorearen bidez burutzeko, C
eranskinean datorren MLADIM programa prestatu dugu. Esan beharra
dago, programa honen bertsio desberdinak egin ditugula, horien artean
Grebogi eta lankideen erizpidearekin eginikoa ere, eta guztietan oso
antzeko emaitzak lortu ditugula, emaitzen arteko desberdintasuna
errorea baino txikiagoa izan delarik.
Bízpahiru ohar egin behar dira erabilitako metodoari buruz.
Lehenengoa, azarean egindako neurketen errore estatistikoari dagokiona
da. Batetik, E bakoitzerako lortzen den frakzioan dagoen errorea dugu .
Horretaz experimentu desberdinak egin ditugu, errore horren maila
estimatzeko, puntu-bikoteen kopuru hauek hartuz : 512, 2048, - 4096.
Halaber, integrazio numerikoan erabiltzen dugun pausoa aldatuz ere
zenbait aproba egin ditugu . Dena dela, oso kalkulu eta salo luzeak gertatu
izan dira eta, horregatik, erroreak txikíak izan ez arren, ez dugu
sakondu arlo hau, hurrengorako utziz, zeren oraingoz informazio
erdi-kuantitatiboaz askí dugula uste izan baitugu.
Bestetik, E desberdinei dagozkien f frakzioak kaikulatu ondoren
lortzen dugun erregresio-kurbaren maldan daukagun errorea dugu,
zeina estatistikaren metodo arrunten bidez kalkulatu dugun/96/.
Horretarako, parametroari ondoko bost balioak eman dizkiogu : 10-3,10-4s 10-5,
10-6,
10-7,
eta kasu bakoitzean 512 puntu-bikote aztertu
ditugu. Beraz, E bakoitzerako f frakzioak kalkulatu ondoren, bost bailo
153
horiei dagokien erregresio-zuzena kalkulatu dugu karratu minimoen
metodoaren bidez ; eta zuzen horren maldari dagokion balioaren a
kalkulatu ondoren, balío hori 2,58 faktoreaz biderkatu dugu, horrela
99%-ko konfidantza-maila lortzeko . Modu honetara erdietsiriko errore
emaitzak dira dimentsioen neurketan emandakoak, gure irudietan
agertzen direnak.
Bukatzeko diogun ezen, izatez, hartutako espazioaldean dagoen
osin-mugaren batezbesteko dimentsioak kalkulatu ditugula, hasíerako
baldintzen espazioan aukeraturiko leiho edo eskualdeari dagozkion
batezbesteko dímentsioak prezeski .
Ohar horiek egin ondoren, kasu fraktai batzuri dagozkien
dimentsioak ematen dira 34. irudian . Irudi honetan ikusten denez,
dimentsio fraktala handituz doa leuntasuneko eskualdetik urruntzean, eta
hori bai f parametroa zein c parametroa handitzean .. Bestalde, erroreen
tamaina aztertzean, orohar, dimentsioa zenbat eta handiagoa izan
errorea txikiagoa dela ikusten da. Nolabait esateko, muga fraktala gero
eta korapilatsuagoa egitean, egitura hori espazio osoan zabaldurik dago,
gero eta uniformekiago, eta horregatik eskualde desberdinen arteko
fraktaltasunean dagoen desberdintasuna txikiagoa da. Bestetik,
dimentsioa handitzean puntu gehiago daude sentikortasun-eskualdean eta
ondorioz maida kaikulatzeko daukagun lagina handiagoa da, eta horrek
azkenean dugun errorea txikiagotzen laguntzen du.
154
34. Irudia
Zenbaít osin-muga fraktalen dimentsioa, f eta cparametroen arauera .
Beste parametroen balioa ondokoa da:
Ó =0.15
W = 0.833
r = 1 .0
11.4.7.3. BesteDarametroeneraaina .
MLA ekuazioan, f eta c parametroez gain, beste hiru parametro
ditugu: w , Ó eta r . Atal honetan bakoitzaren aldaketak erakarleen
osin-mugan duen eragina aztertuko dugu. Horretarako, bakoitzaren
eragina bere aldetik aztertzeko, beste lau parametroen balioak
konstante gordez, parametro bakarrarena aldatuz joango gara.
35. irudian w -ren eragina aztertzen dugu adibide batetan. Beste
parametroen balioak hauexek dira : c = 0.1, f = 0.1, y = 0.15, r = 1 .0 .
Ikusten denez, cc -ren balio txikietarako ( w = 1 .0) osin-muga oso
fraktala da (d = 1 .85 dimentsiokoa), baina handituz doan neurrian
fraktaltasuna galduz doa ( w = 1 .5 denean, d = 1 .56) eta ondoren leun
bihurtzen da ( w = 3.0 denean), erregulartasun-prozesuak aurrera
egitean .
36. irudian y-ren eragina aztertzen da. Dakigunez, y honek
indargetzea ordezkatzen du, eta horregatik ez da harrigarria,y
handitzean osin-mugak leuntzea, hots, Ó handiago eta mugak leunago.
Irudiko osinak, beste parametroen ondoko balioei dagozkíe : c = 0.05,
f = 0.03, cu = 0.833, r = 1.0.
Bukatzeko, 37. irudian r atzerapenaren eragina aztertzen da. Kasu
honetan, c - 0.1, f = 0.04, (y - 0.15, w = 0.833 izanik, r handitzean
fraktaltasuna ere handituz doala ikusten da, alegia, gai atzeratuak
erraztu egiten duela muga fraktalen agerpena. Bestalde, r
parametroaren handitzearekin osinen itxura orokorraren deformazioa
ere ageri da, gai jaraunskorrean atzerapenak duen garrantziaren
adierazgarrí .
156
35. Irudia
cu parametroaren eragina
157
36. Irudia
parametroaren eragína
158
159
11 .4.8 . Bestelakozenbaitfaktorereneraaina.
Aipaturiko bost parametroez gain, MLA ekuazioan nabariki ageri
direnak bestalde, ba dira beste zenbait faktore, osinen izaeran eragina
izan dezaketenak . Horietarlko batzu dira, haín zuzen, atal honetan
aztertuko ditugunak.
11.8.4.1 . ErizDideen eraaina .
11.4.6 . atalean erakarle batera edo bestera noiz eta nola iritsi den
erabakitzeko erizpideei burruzko zenbait ohar eginda dauzkagu jadanik .
Hale ere arazo hau pixka bat gehiago azpimarratzea komeni da.
Batetik integrazio numerikoan erabili dugun integrazio-pausoari
dagokion azaipena dugu (gure programetan h izendatu dugunari
buruzkoa) . Balio desberdinekin zenbait salo egin ondoren, h = 0.25 balioa
hartu dugu, hots, neurketa gehienetan r = 1 .0 dela kontutan harturik,
pausoen kopurua 4 izan da gehienetan (p.k. = 4). Aipaturiko
pauso-kopuru hori hartzea nahikoa dela ikusteko, 38. irudiko osinak ikus
ditzakegu. Bertan ageri denez ez da aldaketa kualitatiborik somatzen .
Beraz, eta pausoen kopurua aldatzeak ekuazloaren integrazioa asko
luzatzen duela kontutan edukiz, esandako balioa aukeratu dugu .
Bestetik, erakarlera noiz iritsi den erabakitzeko erizpideari
dagokionez, 39. irudian denbora-tarte (edo atzerapen-kopuru, a.k. )
desberdinak erabiliz lorturiko emaitzak ageri dira. Azkeneko irudian
Moon-ek eta Li-k/42/ azaldutako erizpideekin lorturiko emaitza
dugu.Azken irudiak nahiko desberdintasun dauka besteekin . 37tik 40ra
pasatzean ere zerbait igarri da. Baina 40tik gora ez da ia ezer aldatzen
eta horregatik geure lanean aken erizpidea hartu dugu .
160
38. Irudia
Integrazioan erabilitako pausoen kopuruaren (p.k.)eta erizpide modura harturiko atzerapenenkopuruaren (a. k.) eragina .
161
39. Irudia
Erizpide modura harturikoatzerapenen kopuruareneragina .
Beheko irudian /42/erreferentzian azaldutakoerizpidea erabíli dugu.
11 .4.8.2. Hasierakobaldintzen eraaina .
Ekuazio jaraunskorrak infinitu dimentsionaiak izatean, arazoa dugu
hasierako baldintzak ematean, hauek ere funtzio-espazio batetako
puntuak baitira. Dena den, 11.3.3 . eta 11.4.3. ataletan azaldu dugunez,
adierazpen grafikoa egin ahal izateko . azpiespazio bateko funtzioak
hartu ditugu soilik, hots, (xo, vo) parametroen bidez definituriko funtzio
linealak,
?O (t) = xo + vo t
-r - t :C- 0
(15)
hartu ditugu hasierako baldintzatzat. Edozertara, bí parametro horien
bidez, linealak ez diren bestelako funtzioak ere har dítzakegu. Horixe da,
prezeski, egín duguna, beste hiru funtzio-mota hauek hartuz:
r
21T t
xo + v o- sin21T
r
2nt
r
2Tftxo cos
+ vo sinr
27
r
-rGt :!i-~ O
(16)
-r t:-:~ t t!! 0
(17)
xo + v o (t + t2 )
-r L t L 0
(18)
Ikusten denez, emaitzak nolabait konparagarriak izan daítezen,
funtzioak definitzean ardura izan dugu, hasierako aldiunean (t = 0)
163
40. frudia
Hasierako baldintzen eragina
41 . Irudia
Hasierako baldintzen eragina
sistema dinamikoa egoera berean egon dadin, x(0) = xo , x(0) = vo .
Hasierako baldintza desberdin horiekin zertzu osin-muga agertzen diren
ikusteko, ondoko balioen kasua aztertu dugu : c = 0.1, f = 0.04, y = 0.15,
cu =0.833, r = 1 .0. Emaitzak 40. irudian daude. Agerikoa denez, osinak
oso antzekoak dira guztiak fraktaltasunari eta itxurari dagokionez, nahiz
eta batetik bestera aldaketa txiki batzu dauden.
Beste horrenbeste esan daiteke 41 . irudiari buruz. Hemengo kasuan
parametroen balioa hauxe da: c =-0.08, f = 0.15,y
= 0.15, w = 0.833,
r = 1 .0 . Dimentsioak ere neurtu ditugu eta, ikusten denez, emaitza
guztiak berdinak dira, elkarren arteko desberdintasunak erroreen
mallaren barnean daudelarik.
11 .4.8.3. Gai bortxatuaren izaeraren eraaina .
MLA ekuazioan erabilitako gal bortxatua, f cos w t izan da . Zergatik
cos w t eta ez sin w t, adibidez ?. Egia esan, oinarritu gareneko lanean
/42/, Moon-ek eta Li-k gal hori hartu zutelako izan da, beste arrazoi
berezirik ez baitago, zeren, azken batez, bien artean desfase finko bat
beste desberdintasunik ez baitago . Dena den, aproba modura, f sin w t
funtzioaren eragina aztertu dugu, c = 0.0, f = 0.1, y = 0.15, w = 0.833
direnean, hau da, atzerapenik gabeko kasu batetan . Emaitzak 42. irudian
daude . Ikusten denez, osinen itxura aldatu arren, maila bereko
fraktaltasuna dute biek, dimentsioen neurketan agertzen den bezala,
desberdintasun txiki hori errorearen mailakoa baita.
166
42. Irudia
Gaí bortxatuaren izaeraren eragina
11 .4 .8.4 . Gal atzeratuaren ez-linealtasunareneragina.
MLA ekuazioa jaraunskorra izanik, bertan berebiziko garrantzia du
gal atzeratuak, c x delakoak alegia. Edonola ere, pentsa daiteke ezen c x
gai lineal eta sinplea hartu ordez bestelako motako gai atzeratua hartuko
bagenu, ondorio desberdinak lortuko genituzkeela . Izan ere, horrelaxe
da, adibide modura hartu dugun kasuan argi ikusten den legez .
Parametroen balioak c = 0.1, f = 0.04, = 0.15, c' =0.833, r = 1 .0
direnean, ondoko gai atzeratu desberdinak aztertu ditugu :
•
x
•
sinx
A•
Cosx
c x2
Emaitzak 43. irudian agertzen dira eta bertan ikusten denez, gal
atzeratuaren ez-linealtasunak erabateko eragina du osinen izaeran,
zeina fraktala izatetik (c z), leun izatera (c cos x) pasatzen baita . Gal
atzeratu karratikoaren kasuan ia desegin egiten da erakarle baten osina .
168
4 , z
Gai jaraunskorraren ez-linealtasunaren eragina
ONDORIOAK
ETA
AURR I KUSPENAK
1 .- Azterketa erlatibista kobariantea eginez, bi partíkula kargatupuntualek erradiaturiko tetramomentu angeluarelektromagnetikoaren ekarpen mixtoaren proportzioa definitu etakalkulatu dugu. Proportzioa bi partikulen denbora propioenunitatekoari dagokio, eta lorturiko emaitza zehatza da.
2.- Mekanika Erlatibista Aurresankorreko hipotesietan oinarrituz,tetramomentu angeluar erradiatuaren definizioa eman dugu etahorretarako behar diren kontzeptuen garapena egin dugu,partikulen kargen berreduren arauera .
3.- Tetramomentu lineal erradiatuaren era desberdineko ekarpenenproportzioen garapen perturbatibotik abiatuz, tetramomentu linealerradiatu osoaren hirugarren ordenako osagaiak kalkulatu ditugu(kargetan (4,2), (2,4) eta (3,3) osagaiak) .
4.- Modu berean, Tetramomentu angeluar erradiatu osoaren bigarrenordenako osagaiak lortu ditugu, hots, kargetan (3,1), (1,3) eta (2,2)osagaiak.
5.- Bide beretik, tetramomentu angeluar intrintsekoaren bigarrenordenako osagaiak kaikulatu ditugu, eta horietariko batzu bestelakometodo batez lorturikoen berdinak direla ikusi dugu .
6.-
Eskema erlatibista kobariante honetan, konprobatu egin duguzehazki, ezen erradiazio nulurako baldintzak, partikula bien
173
azelerazioak nuluak izatea halabehartzen duela .
7.-
Ekuazio jaraunskorretan ere erakarleen erakarpen-osinen arteanosin-muga fraktalak ageri direla frogatu dugu .
8.- Hasierako baldintzen azpiespazio bidimentsional batetan,
biegonkortasuneko kasuan erakarle arruntei dagozkien erakarpenosinen arteko muga fraktaien dimentsioa kalkulatu dugu kasu
batzutan.
9.-
Aukeratutako ekuazio jarauskorraren parametroen aldaketek
osin-mugen fraktaltasunean duten eragina aztertu dugu :
9a) Ekuazioan explizituki ageri díren parametroen eragina
aztertu dugu .
9b) Integraziorako erabili ditugun hasierako baldintzen
eragina aztertu dugu.
9c) Aukeratutako ekuazioa osziladore bortxatu batí
dagokiolarik, gai bortxatuaren izaerak osin-mugaren
fraktaltasunean duen eragina aztertu dugu .
9d) Ekuazioa jaraunskorra izanik, gai jaraunskorraren
ez-linealtasunak duen eragina aztertu dugu.
10.- ikerkuntza luzeagoa merezi duten puntuen artean, hurrengoak aipa
ditzakegu :
10a) Ekuazio jaraunskorren osin-mugei dagokien atalean,
azterketa deskriptibo-experimentala egin dugu nagusiki.
Horren inguruko teoría ez dago oraindik finko eraikirik eta,
ekuazio jaraunskorren infinitu-dimentsionaltasuna dela medio,
arazoak daude sistema dínamikoaren eremu egonkor eta
174
ez-egonkorrak definitzean eta halaber mugenfraktaltasunaren azalpena orbita homokllnikoen definizloarenbidez egitean.
10b) Fisikan (Optikan, Akustikan eta abarretan) agertzen diren
beste ekuazio jaraunskor ezagunen kasuetan ere osin-mugafraktalak agertzen direnentz aztertzeko dago .
175
A ERANSKI NA
IDAZKERA OROKORRA
a)
I atalean Eremuen Teorian ohizkoa den idazkera erabili dugu .
b)
o~, ,~
,ó
, . . . indize greziarren aldaketa-barrutia 0,1,2,3 da etaMinkowski-ren espazio-denborari dagozkion osagaiak adieraztendituzte .
c) Einstein-en batuketa hitzarmena edonon erabili dugu . Beraz, aldiberean posizio kobariante eta kontrabariantean agertzen den indizebakoitza, bere bailo guztiekiko baturik dagoela ulertu behar da.Indize greziarrak, Minkowski-ren espazioko tentsore metrikoarenbitartez joaten dira posizio batetik bestera.Beste indizeak ezer egingabe ipini dira komeni den lekuan .
d)
Minkowski-ren espazioko tentsore metrikotzat, honako hauaukeratu dugu:
-1 0 0 0`~~
0 1 0 0
0 0 1 0`0 o o i/
e)
Argiak hutsean duen abiadura c = 1 izateko moduan hautatu diraunitateak.
f)
Funtzio baten gainean agertzen den puntuak, i parametroarekikoderibatu partziala adierazten du I atalean, eta t-rekikoa II atalean .
179
IKURRA
BALIOA - IZENA - ESANGURA
a'
= a
a ez den beste balioa
aC« b p]
= a b - at'b
(antisimetrikoa)
7a
= (-1)a+1
F eremu elektromagnetikoa
Ó 12r
9-t, 37-2
tetramomentu angeluarraren dentsitateaa
d Tr
denbora propioaren unitateko erradiaturiko
z
tetramomentu angeluarra
«pz12r
ó2 I ót2
Maxwell-en tentsore elektromagnetikoa
(energia-bulkada .tentsorea)
denbora propioaren unitateko erradiaturiko
tetramomentu lineala
bi partikulen denbora propioen unitateko
sistemak erradiaturiko tetramomentu
linealaren ekarpen mixtoa
bi partikulen denbora propioen unítateko
sistemak erradiaturiko tetramomentu
angeluarraren ekarpen mixtoa
á~
Ha eremuarekiko Lie-ren deríbatua
RQ (t)
desplazamendu-operadorea
180
IKURRA
BALIOA - IZENA - ESANGURA
1,~a
Er
P ~xá u1)
iraganeko infinitutik (x,u) konfiguraziorainoerradiaturiko tetramomentu lineala
aIr
tetramomentu lineal erradíatu osoa
bJ x~~ u-61
iraganeko infinitutik (x,u) konfiguraziorainoerradiaturiko tetramomentu angeluarra
wa~
tetramomentu angeluar ŕntrintsekoarendentsitatea
aCa1)~b l
iraganeko infinítutik (x,u) konfigurazioraino/
erradiaturiko tetramomentu angeluarintrintsekoa
tetramomentu angeluar intrintseko erradiatuosoa
181
e
8 ERANSK I NA
INTEGRALEN TAULA
Erradiazio elektromagnetikoari dagokion atalean hainbesteIntegralen ebazpena egin behar izan dugu . Horretarako, integralenebazpena daukaten zenbait liburu erabili ditugu'97,98", eta halaber,ordenadorean integrazio sinbolikoa eta bestelako kalkuluak egitekomerkatuan dagoen MUMATH programaz baliatu gara.
Besterik gabe, lehenengo zerrenda batetan aipaturiko eskuliburuezbaliaturik ebatzitako integralak adieraziko ditugu :
Bestalde, tetramomentu lineal osoa kalkulatzean, MUMATH programa
erabiliz, ondoko adierazpenean bil daitezkeen integralak ebatzi ditugu :
IP
Jao\f2.+ jL Zll)
`
k 2„2 t Az,i \r
Horrelaxe definituriko integral hauexek ebatzi ditugu :_
Ó12 1
1021 J
1104 )1112 ) I121 1 14 31 , I20,q ) 242. '
1214 ) 123 1
Tetramomentu lineal osoa kalkulatzean, zenbait integralen kasuandibergentzi arazoak agertu zaizkigu . Era horretakoak binaka bilduzdibergentzi arazo horiek gainditu egiten dira .
Ondoko kasuetan gertatzen da hori:
n-a r
á ar fc
~Zd 1
(i )42
~2
Integral biak batera eginez, eta tartean zenbait aldagai-aldaketa
eginez, kalkulu luze samarren ondoren, azkenean emaitza hau lortzenda:
Z TT
Antzera gertatzen da beste bi integral hauen kasuan, eta antzerako
prozesuaz emaitza hau lortzen da:
f- 00
r
ola 9 ar ~-c,
¡( 22
3
3._ 00 92
12
2P91
2n
-~ 2( 0
187
Bestetik tetramomentu angeluar intrintseko erradiatu osoa
kalkulatzean, era honetako integralak agertu zaizkigu:
Jmn.~
Horrelakoak ere MUMATH programaz ebatzi ditugu, ondokoak hain
zuzen :
J0-+2 ) 004 ) 002, , 010 , 011 ) f 02 )J441
Modu berean, tetramomentu angeluar intríntseko erradiatu osoa
kalkulatzean zenbait dibergentzi arazo sortzen dira . Dena den, kasu
honetan ere ondoko hiru integral hauek batera ebaztean dibergentzi
arazoak gainditurik geratzen dira :
Zmd~4
122n+1)( r12 + l~Z >~ Z) ~-
= 2 ,2
V22
I R]^ = 2AZ z1
22
(46)
3r~2 c~1
12t1L2~2)2
Z~A3
42_A-. lZ
1
Esandakoaz gainera, integralak egitean integrakizunetan behin eta
berriro ondoko gaiak ageri zaizkigu ( R(u) = Y h2 + A2 u2
izanik) :
188
(49)
C ERANSKINA
PROGRAMAK
Kalkulu numeriko guztiak egiteko, Intel 8087 koprozesadore
numerikoa duten Olivetti M24 mikroordenadore bi erabili ditugu .
Programak Pascal lengoaiaz idatziak izan dira, batipat Turbo Pascal
3.01A delakoaz baliatu izan garelarik .
Kalkulu guztiak zehaztasun bikoitzaz egin dira .
Ondoan agertzen dira gehien erabili ditugun programen iturriak,
eta berauetan lau liburutegi erabilkor sartu dira, $1 konpiladore-
direktibaren bidez. Guk makinaren lengoaiaz idatzitako liburutegi hauen
azalpen arina emango dugu orain .
UNDERZER delakoan UnderflowZero prozedura definitzen da.
Azken honi dei eginez, Pascal-en liburutegi estandarrari adabaki bat
egiten dio, hortik aurrera koprozesadorearen underflow direlakoak era
zuzenean kontrolatzeko.
FETXORDU moduluan definituriko fetxa eta ordua funtzioek,
sistema operatibotik lortutako fetxa eta orduari dagozklen kateak
ematen dituzte .
TURBOGRA eta TURBOGPR liburutegietan, M24 mikroordenadoreen
grafikoak (lehenengo kasuan) eta inpresoreak egindako grafikoak
(bigarrenean) lortzeko behar diren prozedurak aurki daitezke . Bertan
definitzen dira pict_type mota, picture aldagaia eta hurrengo
prozedurak: SuperRes, View, 6raphWindow, Box, Line, Pset,
Líneto, Lcopy eta Dset.
193
MLA2 programa
*Fitxategia : m1a2 .pas
Orria : 1*
program mla2 (input,output) ;
{ Ondoko ekuazioaren eboluzio grafikoa :
d2x(t)/dt2 + g dx(t)/dt - 1/2 x(t) C1- :<(t)2) = f cos (o t) - c :<(t-r)
}
.$I turbogra )
{(Interface) grafikoa}{$I underzer )
(8087 kontrolatzeko)
constf : real = 0,1 ; {8ifurkazio-parametrva}x0 : real = 1 .0 ;
+:Hasierako baldintzak}YO
real = 0 .0 ;g
= 0 .15 ;
{Parametroak}
o
= 0 .333 ;
': omegar
= 1,0 ;
pt~arao9na".100 = 1 ;
':Leiho grafikoa1 1 J = 3,5 i101 = 630 ;it 364 ;uO
real = -2 .4 ;
::Hasier .ako baldintcen leihoav0 . real = -1 .2 ;ul real = 2,4 ;vl real = 1 .2 ;pk
= 10 ;
Tartearen p •a usoen kopurua
typebektorea = record pos, abi
real end ;
~.Posi-iaa eta abiedura>
varif, n : integer ;og, 1h : array CO .,pkj of bektorea ;
y
real ;real ;
k char ;h, h2, hó, h8 : real ;
197
CKontatzaileak ,ttboluzio-aldagaiak}{Oraingo pasizioa eta abiadurai{Denbora}{Teklatuan idat , ia}{Pausoa eta azpimultiploak}
x *Fit:<ategia : mla2,pas
Orria : 2* *
procedure markoa ;
(Pantaila)var pos, luzera : real ;
{Oreka-puntuak}begin
SuperRes ;
{Modu grafikoa : 640 :<400}gotoxy (1,I) ;
write (' MLA2 :
g l-',9 :6 :3,'
f =',f :6 :3,'
C
0 =' ,0 :6 :3,r =' ,r :6 :3,'
hgotoxy (1,2) ;
write ('Hasierako baldintzak : ',<0 :6 :3,' + t',yO :á :3,'
(-r 4 t 4 0)
,t :6 :3,' 6 t 4 ') ;
gotoxy (80,23) ;
write (' ;<') ;gotoxy (1,24) ;
write ('LeihoauO :12 :2,' b ;< 4
,u1 :7vO :12 :2,' i: dx/dt -' ',vl :7 :2) ;
gotoxy (1,25) ;
write ('Pantaila ezabatzeko, jo "E" . ' ,'Hurrengo kalkulurako, jo
View (100,110 ) 101,111) ;
{Leiho grafikoa}3raphwindow (uO,vO,ul,vl) ;
(Hasierako baidintzen leihoa).ox
(100-1,110-1,101+1,111+1,1) ;
(Markoa}pos := 1 .0 ;
(Oreka-puntuak}luzera : _ (vi-v0) / (111-11.0) *5 ;Line (0,vO,0,vl,1) ;
{Ardatzak
}Line (uO,0,u1,0,1) ;
(
segmentuen bide :)Line (pos,-luzera,pos,luzera,l) ;
(Oreka-puntuak}Line (-pos,-luzera,-pos,luzera,1) ;Pset ( :<,y,1)
(Lehen puntua}end { inarkoa) ;
procedure inkey ;begin
if keypressed thenbeginread (Kbd,k' ;k := UpCase(k) ;if k = 'E' then markoa
endelse k
'end {inkey} ;
function W (t,x,xr,y :real) : real ;
{MLA ekuazioa}begin
W := 0 .5*x*(1 .0-sgr(x))-g*y-c*xr+f*cos(o*t)end (W) ;
198
(Irakur teklatua)
* *Fitxategia : mla2 .pas
Orria : 3* •*
procedure puntua ;
( Integrazioa)var xr,xl,x2,x3,x4,yl,y2,y3,y4 :real ;begin
x
ogCnJ .pos ;
{Runge-Kutta-ren i,ntegrazioa}y
ogCnJ .abi ;
{eta Hermite-ren interpolazioa}xr
0 .5*(lhCnJ .pos+lhCn+lJ .pos ) +(lhCnJ .abi-lhCn+IJ .abi)*h8 ;x1
y
yl
W (t
, ;< -
, 1hCnL , pos
, y
) ;x2 := y+h2*yl ;
y2 := W (t+h2, x+h2*xl, xr
y+h2*yl)x3
y+h2*y2 ;
y3
W (t+h2, ;<+h2 * :<2, xr
, y+h2*y2) ;x4 := y+h *y3 ;
y4
W (t+h , x+h *x3, lhCn+lJ .pos, y+h *y3) ;gotoxy (71,2) ;
(Idat: denbora}write
(t :6 :3) ;L ineto ( :<,y,l) ;
{Aurreko puntutiko lerro :uzena}x
x+h6*(x1+2 .0*x2+2 .O*x3+x4) ;y
y+h6*(yl+2 .0*y2+2 .0*y3+y4) ;ogCn+ll,pos := x ;ogCn+ll,abi := y ;t
t+h ;
inkey
{Amaitu ala e :abatu ?}end {puntua } ;
r
199
* *Fitxategia : mla2,pas
Orria : 4* *
procedure bat ;
( r-ren balore bat)beginwriteln ('Ekuazioa :') ;
( Parametroen baloreak)writeln ;write in C d'-"<(t) /dt= + g dx(t)/dt - ~ x(t) C1-x(t)23 = f ccs (o t) - c x(t-r)') ;writeln ;writeln ('Sar itzazu hurrengo parawetroak (espazioez banaturik),') ;writeln ('(Parametro bat sartzen ez hada, aurreko balorea gordetzen du),') ;writeln ,write
(' f C' , f :8-3,'3readln (f) ;write
(' x0 C' ,xO :8 :3,' J, YO C' ,yO :8 :3,' J
) ;readln
(xO,yO) ;write In ;writeln ('Oraingo leihoa : ' ,uO :12 :2,'
:< < ' ,ul :7 :2,vO :12 :2,'
dx/dt b ',vI :7 :2)write
('Leihoaren xO, xl, yO, yl koordenatuakreadln
(uO,u1,vO,vl) ;for n := 0 to pk do
{Hasierako baldint z ak)begin
ogCnJ .pos := xO+(n-pk)*r/pk*yO ;ogCnl,abi := YO
end ;x
ogCpkJ,pos ;
(Soluzioare n jarraitasuna)y
ogCpk] .abi ;t
0 .0 ;markoa ;repeat
{Integrazio-tarte osoa)lh
og ;ogCO] := lhCpkJ ;n := 0 ;repeat
puntuauntil (n )= pk) or (k = 'HI)
until k = ' HI ;
TextModeend (bat) ;
begin { programa nagusi a )Underflowzero ;
{8087 kontrolatzeko)LowVideo ;h := r/pk ;
(Integrazio-pausoa)h2 h/2 ;h6 h/6 ;h8 h/8 ;repeat
batuntil false
end {programa nagusia) .
200
MLAOSI programa
* *Fitxategia : mlaosi .pas
Orria : 1* *
progran mlaosi (input,output), .
(Moon-Li-ren ekuazio aldatuaren "osinak" ,narrazteko>
(**) {Lst delakoa bere hartan uzteko, kendu aurreko <*)> }var (Emaitzak idazteko fitxategia}
Lst : text ;
(**)
{$K-}<SI underzer }
(8087 kontrolatzeko>{$I turbogpr )
("Interface" grafikoa}{$I fetxordu }
{Fetxa eta ordua}
label irteera ;
const<Programaren izena)(Hasierako baldintzen mota){gamma>{f)(omega }{c}{r){Tarte bateko pausoen kopurua)(Azkeneko tartea){Aukeraturiko leiho grafikoa}{ beraz, lxl x lyl karratua}{Aukeratutako parametro-leihoa}{ beraz :
}{
p:.0 - x0 c px 1
}
t
py0
v0 6 py1
}{2 n / o * 5
){ Datuen fitxategiaren izena}{Hasierako lerroa (izena+l)}{Haiztasuna}
izena
= ' ailaosi' ;hasbal = ' linealak' ;g
= 0 .15 ;0,1 ;
•
= 0 .833 ;•
= -0 .05 ;•
= 1 .0 ;pk
= 4 ;tarmax = 500 ;lx!
100 ;lyl
= 100 ;px0
= -2 , 4 ;pxl
=
2 .4 ;PY0
= -1 .2 ;pyl
=
1 .2 ;kopu
= 40 ;ize
= ' mla52' ;lerO
= 0 ;ma iz
= 25 ;
type{Posizio eta abiadura)
bektorea = record pos, abi
real end ;
var{Hasierako baldintzen parametroak}
haspos, hasabi, hasabih : real ;(Pausoa eta erdia)
h, h2, h6, h8, oh, oh2, pit : real ;<Oraingo eta lehenengo ppos . eta ab .) og, lh : array CO „ pkl of bektorea ;(omega * t, balore atzeratua,
}
ot, xa, x, y,{ oraingo posizio eta abiadura,)
x1, x2, x3, x4,{ eta Runge-Kutta-ren metodoa }
yl, y2, y3, y4 : real ;(Pausoa, eta tartea)
paus, tartea
integer ;(Gehikuntzen baloreak)
gehix, gehiy
real ;{Lerro eta zutabea)
pix, piy : integer ;{Amaiera)
amaia : boolean ;{Zein aldetan dagoen)
positiboa : boolean ;tHasierako ordua eta fetxa)
hasord, hasegun : stringCSI ;(Marraztu ez diren puntuak)
eziru : integer ;{Pantaila gordetzeko fitxategia)
pantaila
file of pict_ ,. Ype ;(Purrekoaren izena eta hedapena)
na, hed : string C32) ;(Saiakeraren zenbakia)
saia : byte ;{Orado grabatu da?}
grabatu
boolean ;(Laguntzaileak)
ler, i : integer ;
* *Fitxategia : mlaosi .pas
Orria : 2 *
function W (ot, x, xa, y : real)
real ;
(MLA ekuazioa)begin
W := 0 .5*x*(1 .0-sqr( :<))-g*y-c*xa+f*cos(ot)end {W) ;
procedure gorde ;
(Gorde pantaila)begin
($I-)Str (piy,na) ;saia := O ;repeat
saia
saia+l ;Str (saia,hed) ;assign (pantaila,i :e+na+' .'+hed) ;if IOresult = 0 then ;rewrite (pantaila),grabatu := IOResult = 0 ;if grabatu then
beginwrite (pantaila,picture) ;grabatu := IOResult = 0
enduntil grabatu or (saia ) 10) ;Close (pantaila) ;if ?0result = 0 then ;Rename (pantaila,ize+na+',dat') ;if IOResult = 0 thenbegin
if piy > maiz thenbegin
Str (piy-maiz,na) ;assign (pantaila,ize+na+',dat') ;if IOresult = 0 then ;Erase (pantaila) ;if IOResult = 0 then
endend
($I+)end (gorde) ;
function amaitzeko : boolean ;
(Amaitu?}var c : char ;begin
writeln ('Lerroa
,piy+l,'
Puntua :
,pi:<+1) ;write ('Amaitzea nahi al duzu? (B/E)
) ;readln (c) ;amaitzeko := UpCase(c)
end (amaitzeko) ;
204
* *Fitxategia : mlaosi,pas
Orria : 3* *
procedure ernaitzak ;
{Azkeneko emaitzen inpresioa)begin
gorde ;(**) {Lst delakoa here hartan uzteko, kendu aurreko <*)) )assign
(Lst,ize+' .1st') ;
( Birdeiinitu Lst){$I-) rewrite (Lst) ; (3I+)if IOResult = 0 then
(**)begin
writeln (Lst,izena,hasegun,' , ' ,hasord,' --) ' , fetxa,' , ' ,ordua,' )') ;
writeln
(Lst,'
.1~
*7taE~E .IF~F***lE~klE3f*1E .lF .if .1FXr .IEaE**lé .1F .lE .IE ***lé*IE .IE*léll~lF9ŕ**A~* .1F .
.1F . .3~1é ') ;
writeln (Lst,'H -asierako baldintzak
',hastial,' . Pausoen kopurua
',pk) ;writeln (Lst,'g
r
: ',c :9 :6) ;writeln (Lst,'f
0
o :6 :3,',
h . ',h :6 :3) ;writeln (Lst,'Leiho grafikoawriteln (Lst,'Baldintzen leihoa
p :<0 :6 :3,' ,' ,pyO :6 :3,' ,' ,px1 :6 :3,' ,' ,py1 :6 :3,writeln (Lst,'Atzerapenen kopurua : ',kopu) ;writeln (Lst,' Tarteen kopuruu maximoa : ' , tarma :<) ;writeln (Lst,'Erabaki gabeko puntuen kopurua : ',eziru) ;writeln (Lst,'Amaierako ;< eta y : ' ,pi :<+1,' ,' ,piy+1) ;write in (Lst) .writeln (Lst) ;lcopy ;
( Pantailaren kopia)writeln (Lst,chr(12)) ;
{Page (Lst)}close (Lst),write (chr(7))
(Beep)end
end ( emaitzak) ;
procedure integrazioa ;
(Atzerapen batzu)begin
amaia := true ;positiboa := x > 0 .0 ;for i := 1 to kopu dobegin
lh := og ;for paus := 0 to pk-t do
(pk pauso)beginogtpausl,pos
x ;
(Runge-Kutta-ren integrazioa)cgCpaus] .abi
y ;
(eta Hermite-ren interpolazioa)xa
0 .5*(lhCpaus7,pos+lhtpaus+l),pos)+(lhCpaus],abi-lhtpaus+ll,abi)*h8 ;
;<1
y
;.
yl
W (ot
lhCpausl, pos
, ;<1) ;X2
y+h2*yl ;
y2
W(ot+oh2,x+h2* :<1,xa
x2) ;x3 .= y+h2*y2 ; y3 .= W(ot+oh2,x+h2*x2,xa ,x3) ;x4
y+h *y3 ;
y4
W(ot+oh
<+h *x3,1hCpaus+l7 .pos,x4) ;;<
x+hb*(x1+2,0*x2+2,0*x3+ :<4) ;y
y+h6*(yl+2 .0*y2+2,0*y3+y4) ;of
ot+oh ;if of > pit then of := of-pi2 ;
(Zehaztasuna gordetzeko)if ( ;< ) 0,0) xor positiboa then amaia := false
COY ard, zeharkatu7}end ;
ogCpkJ . pos
205ogCpkl,abi
yend
end {integrazioa) ;
* *Fitxategia : mlaosi,pas
Orria : 4* *
.begin (programa nagusia)UnderflowZero ;
{8087 kontrolatzeko}hasord
ordua ;
{Hasierako ordua}hasegun
fetxa ;
{ eta fetxa}h
r/pk ;
{Pausoaren luzera}h2 h/2 .0 ;h6 h/6 .0 ;hS := h/8,0 ;oh := o*h ;
{omega * h}oh2
oh/2 .0 ;pi2
2 .0*pi ;eziru
0 ;InitPicture ;
(Modu grafikoa}View (1,1,lx1,lyl) ;
{Pantaila erabilia}Box
(0,0,1x1+l,lyl+1,1) ;
(Markoa)GraphWindow (pxO,py0,pxl,pyl) ;
(H, baldintzen tarteak}if ParamCount = 0 then ler := lerO
(Nondik hasi)else begin
Val (ParamStr(1),ler,i) ;if i () 0 then ler
ler0end ;
if ler ) 0 then
(Bazeuden emaitzak}begin
Str (1er-l,na) ;assign (pantaila,ize+na+',dat') ;Reset (pantaila) ;read (oantaila,picture) ;close (pantaila)
end ;
206
* *Fitxategia : mlaosi .pas
Orria : 5* *
gehix :_ (px1-px0)/(1x1-1) ;gehiy
(py1-pyO)/(lyl-1) ;
{Hasierako baldintzak}for piy := ler to lyl-1 do
(OY ardatzean, abiadura)begin
hasabi := pyl-piy*gehiy ;hasabih
hasabi*h ;for pix
0 to lx1-1 do
(OX ardatzean, posizioa)begin
haspos := px0+pix*gehix-r*hasabi ;for paus := 0 to pk do
{ (-r
t s 0) )beginogCpausL pos := haspos+hasabih*paus ;
_{ x = xO + t * v0 }ogCpausl .abi := hasabi
( v = v0 }end ;
tartea := 1 ;x
ogCpkJ .pos ;
(Soluzio iarraia}y
ogCpkl .abi ;of
0,0 ;repeat
integrazioa ;if tartea = 1 then amaia := false ;
{Lehenengoan ez da amaitzen}tartea := tartea+kopu ;if keypressed then if amaitzeko then (Amaitu?)begin
if p-ix <•> 1x1-1 then piy := piy-l ;goto irteera
'end
until amaia or (tartea > tarmax) ;if not amaia then eziru := eziru+l
(Marraztu puntua?}else if positiboa then Oset (pix+l,piy+1,1)
end ;if (piy+1) ∎od maiz = 0 then if (piy ) 0) and (piy ( lyl) then gorde
end ;irteera :eaaitzak
end (programa nagusia} .
207
HLADIM programa
*Fitxategia : aladia .pas
Orria : 1* *
prvgraa m1adin (input,output) ;
(Moon-1_i-ren ekuazio aldatuaren."osinen" dimentsio fraktala kalkulat:eko>
(**) (Lst delakoa bare hartan uzteko, kendu aurreko (*))}var (Eaaitzak idazteko fitxategia)
Lst : text ;
(**)
($K-)<SI underzer )
(8087 kontrolatzeko)(SI. fet .(ordu )
(Fet:<a eta ordua )
const(Programaren izena)
izena
= ' ;n1adim' ;
(*(0)*)(E bakoitzeko puntuak)
nmax = 512 ;(E baloreen koourua )
ekop = 5 ;(E balorerik txikiena )
emin = IE-7 ;(E baloreen arteko zatidura}
ebid = 10 .0 ;( Fase-espazioaren dimentsioa )
dime = 2 ;(Hasierako baldintzen aota )
hasbal = 'linealak',{gamma)
g
= 0,15 ;(f)
f
= 0 .15 ;(omega)
o
0 .833 ;( c )
c
= -0 .08 ;( r)
r
= 1 .0 ;(íarte- bateko pausoen kopurua )
pk,
= 4;{Azkeneko tartea}
tarmax = 300 ;(Aukeratutako oaraaetro-ieihoa)
:<arin
=:<max
= 2 . 4 ;ymin
= -1,2 ;yma;<
=
1 .2 ;{ 2 R / O * 5 ti >
kopu.
= 4-0 ;(Datuen f it-,<ategiaren izena)
ize
= 'alado' ;{Hasierako lerroa (izena+l)}
lerO .
= 0 ;
type(Posizio eta abiadura)
bektorea = record pos, abi : real end ;(Eaaitzak go-rdetzeko)
gar = array Cl„ ekop,1 .,3 of real ;
var(Lorturiko evait_ak)
ema : gor ;{Une honetako puntua)
unea, n : integer ;(E)
e
real ;(Dudan geratzen diren puntuak)
d
integer ;(Hasierako baldintzen parametroak)
haspos, hasabi : real ;{Pausaa eta erdia)
h, h2, hb, h8, oh, oh2, pit : real ;(Oraingo eta lehenengo pos . eta ab .) og, lh : array CO, .pk3 of bektorea ;(Balare lagungarriak)
ot, ;<a,
y,:<1, x2, x3, x4,y1, y2, y3, y4 : real ;
(Angelua>
ang : real ;(Puntuari dagokion emait :a)
_ : integer ;(Pausaa eta tartea)
paus, tartea : integer ;(Aaaiera)
amaia : boolean ;(Zein aldetan dagoen)
positiboa : boolean ;(Hasierako ordua eta fetxa)
hasard, hasegun : stringC83 ;(Irudikatu ez diren puntuak)
eziru : integer ;(Pantaila gordetzeko fitxategia)
gorderik
file of gor ;{Aurrekoaren izena eta hedapena)
na, hed : string C323 ;(Saiakeraren zenbakia)
saia : byte ;(Onda grabatu da?)
grabatu : boolean ;(Laguntzaileak)
ler, i : integer ;
* *Fitxategia : mladim .pas
Orria : 2* *
function W (ot, x, xa, y : real) : real ;
{MLA ekuazioa)begin
W := 0 .5*x*(1 .0-sgr(x))-g*y-c*xa+f*cos(ot)end (W) ;
procedure gorde ;
(horde emaitzak)begin
( 1-)Str (unea-1,na) ;saia := 0 ;repeat
saia := saia+1 ;Str (saia,hed) ;assign (gorderik,ize+na+' .'+hed) ;if IOresult = 0 then ;rewrite (gorderik) ;grabatu := IOResult = 0 ;if grabatu thenbegin
write (gorderik,ema) ;grabatu := IOResult = 0
enduntil grabatu or (saia ) 10) ;Close (gorderik) ;if IOresult = 0 then ;Rename (gorderik,ize+na+',dat') ;if IOResult = 0 then
beginif unea > I then
beginStr (unea-2,na) ;assign (gorderik,ize+na+',dat') ;if IOresult = 0 then ;Erase (gorderik) ;if IOResult = 0 then
endend
($I+)end (gorde) ;
function amaitzeko : boolean ;
{Amaitu?)var c : char ;
beginwriteln ('E : ',unea,'
Funtua : ' ,n)write ('Amaitzea nahi al duzu? (B/E)
') ;readln (c) ;amaitzeko := UpCase(c)
end {amaitzeko} ;
function log (x :real) : real ;
(Logaritmo arrunta)begin
log := ln(x)/ln(10 .0)end (log) ;
212
*Fitxategia : mladim .pas
Orria : 3 *
procedure euaitzak ;
{Azkeneko emaitzen inpresioa}var
(Koefizienteak)
xx, xb, xy, yb,aa, bb, de, si : real ;begin
gorde ;(**) {Lst delakoa bere hartan uzteko, kendu aurreko (*))}assign
(Lst,ize+' .1st') ;
(Birdefinitu Lst}{SI-} rewrite (Lst) ; {$I+}if IOResult = - O then
(**)beginwriteln (Lst,izena,' (',ize,
'hasegun,' , ' ,hasord,' --) ' , fetxa,' , ' ,ordua,' )') ;
writeln (Lst,' *********~t******************************* *~r **************') ;writeln (Lst,'Hasierako baldintzak : ',hasbal,', Pausoen kopurua : ',pk) ;writeln (Lst,'g . ',g :6 :3,',
r .
r : ',c :9 :6) ;writeln (Lst,'F
',f :6 :3,',
o
',o :6 :3,',
h . ',h :6 :3) ;writein (Lst,'Baldintzen leihoa : (', ;<min :6 :3,'
x ~- ' ,xmax :6 :3,ymin :6 :3,'
y
fma ;< :6 :3,writeln (Lst,'Atzerapenen kopurua : ',kopu) ;writein (Lst,'Tarteen kopuru maximoa : ',tarmax) ;writeln (Lst,'E bakoitzeko ',nmax,' punty-bikote kalkulat>>ko dira,') ;writeln (Lst,'E-en baloreak ',ekop,' izango dira . Txikiena :',emin) ;writeln (Lst,'Bakoitzean ',ebid :ó :3,' balorearekin biderkatzen da aurrekoa .')writeln (Lst,'Amaierako E(-1) eta n : ',unea,',',n) ;writeln (Lst) ;xx
0 .0 ;
(sz delakoaren kalkulua}(b
0 .0 ;xy .= 0 .0 ;yb := 0 .0 ;n
0 ;for unea := 1 to ekop do if ema Cunea,3J )= 0 .0 thenbegin
x
emaCunea,tJ ;y
emaCunea,2J ;writeln (Lst,unea :2,'
log(E)log(N(E)) _ I ,y :6 :3,
Erabaki Babe : ',Round(emaCunea,3J)) ;< :< : = xx+sqr (x) ;<b = xb+x ;xy
xy+x*y ;yb
yb+y7n := n+1
end ;writeln (Lst) ;i f n ) 1 thenbegin
de : n* :<,<-sqr (xb) ;as (n*xy-xb*yb)/de ;bb
( ;(:<*yb-xb*xy) /de ;Si := 0 .0 ;for unea := 1 to ekop do if ema Cunea,3J )= 0 .0 then
si := si+sqr(as*emalunea,ll+bb-emaCunea,2J) ;writeln (Lst) ;writeln (Lst,'d =',dime-aa :6 :3) ;if n > 2 then writeln (Lst,'6=
si/(n-2) :8 :5)end ;
close (Lst) ;write (chr(7)) ;
(Beep)Halt
end
*Fitxategia : mladim .pas
Orria : 4* *
procedure integrazioa ;
(Tarte bat --u)begin
amaia := true ;positiboa :_ x ) 0,0 ;for i := I to kopu do
beginlh := og ;for paus := 0 to pk-1 do
(pk pauso)begin
ogCpaus),pos
x ;
(Runge-Kutta-rem integrazioa)ogCpausl .abi
y ;
(eta Hermite-ren interpolazioa)xa
0 .5*(lhEpaus) .pos+lhCpaus+ll,pos)+(lhCpausJ .abi-lhCpaus+l] .abi)*hB ;
XI
y
;
y1
W(ot
, :<
1h(paus] .pos
,xl) ;x2
y+h2*y l ;
y2 : = W (ot+oh2, x+h2* :<1 , xa
, ;:2) ;X3 = y+tit*y2
y3
W (ot+oh2, ;<+h2* ;<2 , :<a
, x3) ;x4 := y+h *y3 ;
y4
= W(ot+oh , ;<+h * ;<3, lhCpaus+lJ,pos, ;<4) ;x _ :<+hó* (xl+2 .0* :<2+2 .0*x3+x4) ;y
y+hb*(y1+2 .0*y2+2 .0*y3+y4) ;of
of+oh ;if of ) pit then of := of-pit ;
{Zehaztasuna gordetzeko)if (x ) 0 .0) xor positiboa then amaia := false
(OY ard . zeharkatu?)end ;
ogCpkJ .pos
x ;ogCpkJ .abi := y
endend (integrazioa) ;
function zeinua (xO, yO : real)
integer ;
(Nora doa puntua?}begin
x0 := xO-r*y0 ;
(Hasierako baldint--ak)for paus := 0 to pk do
{ (-r L t
0) }begin
ogtpausJ,pos :_ xO+paus*yO*h ;
( x = x0 + t * v0 )ogtpaus7 .abi := yO
( v = v0 )end ;
tartea := 1 ;x
ogCpkJ .pos ;
{Soluzio jarraia}y
ogCpk] .abi ;of
0 .0 ;repeat
integrazioa ;if tartea = 1 then amaia := false ;tartea := tartea+kopu ;if keypressed then if amaitzeko then emaitzak
(Amaitu?)until amaia or (tartea ) tarmax),if not amaia then begin
{Erabaki gabe)eziru
eziru+l ;zeinua
0end
else if positiboa then -einua = 1
__ uin ---- t3raelse zeinua
-1
_z'cerr?tar3}end ( ;ein+ja} ;
214
Fitxategia : mladim,pas
Orria
5* *
begin (programa nagusia)UnderflowZero ;
{8087 kontrolatzeko}hasord := ordua ;
(Hasierako ordua)hasegun
fetxa ;
( eta fetxa)h
r/pk ;
{Pausoaren luzera)h2 : h/2 .0 ;h6 := h/6 .0 ;h8 h/8 .0 ;oh
o*h ;
(omega * h}oh2 oh/2 .0 ;pit 2,0*pi ;if ParamCount = 0 then ler := lerO
(Nondik hasi}else begin
Val (ParamStr(1),ler,i) ;if i (> 0 then ler
lerOend ;
if ler ) 0 then
(Bazeuden emaitzak}begin
Str (ler,na) ;assign (gorderik,ize+na+',dat') ;Reset (gorderik) ;read (gorderik,ema) ;close (gorderik)
end ;e := emin*e :<p(ler*ln(ebid)) ;
{Hasierako E)for unea
ler+1 to ekop do ema Cunea,33 :_ -1 ;for unea
ler+1 to ekop do
(E bakoitzeko)begin
if unea ) ler+1 then gorde ;eziru
0 ;d
0 ;for n := 1 to nmax do
{nmax puntu-bikote)beginhaspos
xmin + random*( :<max-xmin) ;hasabi
ymin + random*(ymax-ymin) ;z := zeinua(haspos,hasabi) ;
(**)
ang := pi2*random ;if z (> zeinua(haspos+e*cos(ang),hasabi+e*sin(ang)) then
d := d+1
(**)(*
if (z (> zeinua(haspos+e,hasabi)) or(z (> zeinua(haspos-e,hasabi)) then d := d+1
(**)end ;
if d ) 0 then
(Gorde emaitzak)begin
ema Cunea,11 := log(e)sema Cunea,21
log(d/nmax) ;ema Cunea,37
eziruend ;
e := e*ebid
{Hurrengo E}end ;
enaitzakend (programa nagusia) .
215
BIBLIOGRAFIA
1 .- R.D . DRIVER: "Ordinary and Delay Differential Equations" . Springer(1977).
2.-
R. BELLMAN and K.L. COOKE: 'Differential-Difference Equations'.Academic Press (1963) .
3.- L.E.EL'SGOL'C and S.B. NORKIN: 'Introduction to the theory ofDifferential Equations with Deviating Argument' . Academic Press(1971) .
4.- J. HALE : "Functional Differential Equations" . Springer (1971) .
5.- J. KAPLAN and J.A. YORKE: ' Functional Differential Equations andApproximation of Fixed Points" . H.O. Peitgen and H.O. Walther Eds.,Springer, Berlin (1979).
6.- 'Differential-Difference Equations . Applications and NumericalProblems'. L. COLLATZ, G. MEINARDUS and W. WETTERLING Eds.,Birkhauser Verlag, Basel (1983) .
7.- L.D. LANDAU and E.M. LIFSHITZ: 'Teoría Clasica de los Campos' .Reverte, Barcelona (1966) .
8.-
F.R. ROHRLICH: "Classical Charged Particles". Addison-Wesley,Reading, Mass. (1965) .
9.- C. TEITELBOIM, D . VILLARROEL and CH.G. VAN WEERT, Rivista delNuovo Cimento, 3 9 (1980) .
10.- "Relativistic Action at a Distance : Classical and Quantum Aspects" .J. LLOSA Ed., Springer, Berlin (1982).
11 .- J.M. AGUIRREGABIRIA and L. BEL, Phys. Rev.D, 29. 1099 (1984) .
219
12.- L. BEL and X. FUSTERO, Ann. Inst. Henri Poincare XXV. 411 (1976) eta
bertako erreferentziak .
13 ..- R. LAPIEDRA and A . MOLINA, J. Math. Phys. 20. 1308 (1979) .
14.- Arazo honen planteamendua B . COLL doktoreari zor diogu.
15.- E.N. LORENZ, J. Atmos. Sci. 2 130 (1963) .
16.- L.D. LANDAU and E.M. LIFSHITZ: "Fluid Mechanics' . Addison-Wesley,
Reading, Mass. (1968) .
17.- D. RUELLE and F. TAKENS, Comm. Math. Phys . 20 167 (1971) .
18.-
H. G.
SCHUSTER :
'Deterministic
Chaos.
An
Introduction" .
Physik- Verlag, Weinheim (1984) .
19.- 'Universality in Chaos'. P. CITANOVIC Ed., Adam Hilger, Bristol
(1984).
20.- "Chaos in Nonlinear Dynamical Systems'. J. CHANDRA Ed., Siam,
Philadelphia (1984) .
21 .- HAO BAI-LIN : "Chaos". World Scientific, Singapore (1984) .
22.- 'Stochastic Phenomena and Chaotic Behaviour in Complex Systems' .
P. SCHUSTER Ed., Springer-Verlag, Berlin (1984) .
23.- 'Chaos and Statistical Methods' . Y. KURAMOTO Ed., Springer-Verlag,
Berlin (1984).
24.- P.C.H. MARTENS, Phys. Rep., 115. 315 (1984).
220
25.- E. OTT, Rev. Mod. Phys., 53 . 655 (1981) .
26.- J.-P. ECKMANN, Rev. Mod. Phys., 53. 643 (1981).
27.- R. SHAW, Z. Naturforsch, 36a . 80 (1981) .
28.- J.-P. ECKMANN and D. RUELLE, Rev Mod. Phys., 57 . 617 (1985).
29.- "Chaos and Ordre in Nature'. H. HAKEN Ed., Springer-Verlag, Berlin
(1984 ) .
30.- I. GUMOWSKI and C. MIRA: 'Dynamique Chaotique . Transformations
Ponctuelles . Transition Ordre-Desordre' . Cepadues, Toulouse
(1980) .
31 .- V. CROQUETTE, Pour la Science, 12 . 62 (1982) .
32.- P. BERGE, Y, POMEAU and CH. VIDAL: 'L'Ordre dans le Chaos. Vers uneAproche Deterministe de la Turbulance', Hermann, Paris (1984) .
33.- 1k. 18. lib . . 199. orrialdean horrelako arazoak aztertzen direneko
erreferentzien zerrenda luzea dator .
34.- M.F. FEIGENBAUM, J. Stat. Phys., 19 . 25 (1978) .
35.- M.F. FEIGENBAUM, J. Stat. Phys., 21, 669 (1979) .
36.- Y . POMEAU and P. MANNEVILLE, Comm. Math Phys., 74 . 189 (1980) .
37.- D. RUELLE and F. TAKENS, Comm . Math Phys., a 167 (1971) ; ~ 343.
38.- J.M. GAMBAUDO, I . PROCACCIA, S. THOMAE and CH . TRESSER, Phys.
Rev Lett., 57 . 925 (1986) .
221
39.- B. HU, Phys. Rep., 91 . 233 (1982) .
40.- C . GREBOGI, S. McDONALD, E. OTT and J.A. YORKE, Phys. Lett., 99A.
415 (1983) .
41 .- P. COLLET and J.-P. ECKMANN: 'Iterated Maps on the Interval as
Dynamical Systems" . Birkhauser, Boston (1980) .
42.- F.C. MOON and G.-X. LI, Phys. Rev. Lett., 55 1439 (1985) .
43 .- J. GUCKENHEIMER and P . HOLMES : " Nonlinear Oscillations, Dynamical
Systems, and Bifurcations of Vector Fields" . Springer-Verlag, New
York (1983) .
44.- M.C. McKEY and L. GLASS, Science, 197, 287 (1977) .
45 . - K. IKEDA, H. DAIDO and 0. AKIMOTO, Phys Rev Lett ., 45 . 709 (1980) .
46 .- J.D. FARMER, Physica D, 336 (1982) .
47.- M. KITANO, T. YABUZAKI and T . OGAWA, Phys. Rev Lett. 50. 713
(1983).
48.- K. IKEDA and 0. AKIMOTO, in "Chaos and Statistical Methods', Y.
KURAMOTO Ed., Springer (1984) .
49.- Y. UEDA and H. OHTA, in 'Chaos and Statistical Methods', Y KURAMOTO
Ed. , Springer (1984).
50.- B.B. MANDELBROT : 'The Fractal Geometry of Nature" . W.H. Freeman,
New York (1977) .
51 .- B.B . MANDELBROT : "Fractals : Form, Chance and Dimension' .
222
Freeman. San Francisco (1977) .
52.- Y. YAMAGUCHI and N. MISHIMA, Phys. Lett. 109A 196 (1985) .
53.- E.G. GWINN and R.M. WESTERVELT, Phys . Rev. A, 33. 4143 (1986).
54.- Ik. 43. lib., 82. or.
55 . - J.D. JACKSON: 'Electrodinamica Clasica' . Alhambra, Madrid (1966) .
670. or.
56.- 1k. 8. lib., 111 or.
57 .- Ik. 8. lib., 83. or.
58.- W.K.H. PANOFSKY and M. PHILLIPS: "Classical Electricity and
Magnetism". Addison-Wesley, Reading, Mass. (1972) . 327. or.
59.- Ik. 8. Jib. 88. or.
60.- Ik. 8.lib., 106. or.
61 .- A. SCHILD, J. Math. Anal. Appl . 1 127 (1960).
62 . - 1k. 8. lib. 84. or.
63.- L . BEL, A. SALAS and J.M. SANCHEZ, Phys . Rev. D, 7 1099 (1973) .
64 .- L. BEL, in "Relativistic Action at a Distance : Classical and Quantum
Aspects'. J. LLOSA Ed., Springer, Berlin (1982) .
65.- L. BEL, C. R. Acad. Sci., 294 . 463 (1982) .
223
66.- L. BEL . 'Predictivizacion Espontanea de los Sistemas Dinamicos
Hereditarios', in Actas de los E .R.E. 82, Bilbo (1982) .
67 .- PH. DROZ-VINCENT, Lett. Nuovo Cimento, 1 839 (1969).
68.- PH. DROZ-VINCENT, Phys . Scr., L 129 (1970) .
69.- PH. DROZ-VINCENT, R. Arens, Arch. Ration. Mech. Anal . 47 . 255
(1972) .
70.- L.BEL, Ann. Inst. Henri Poincare, XII . 307 (1970) .
71 .- L.BEL and J. MARTIN, Ann . Inst. Henri Poincare XXII, 173 (1975) .
72.- C.W. MISNER, K.S. THORNE and J. A. WHEELER. 'Gravitation'. W. H.
Freeman, San Francisco (1973), 158. or.
73.- T. A. ABBOT and D. J. GRIFFITHS, Am. J. Phys., 53. 1203 (1985) .
74 .- S. RAMO, J.R. WHINNERY and T . VAN DUZER: 'Campos y Ondas .
Aplicacion a las Comunicaciones Electronicas. Ed. Piramide, Madrid
(1974), 248. or .
75.- B.B. LAUD: 'Electromagnetics'. 'Wiley Earsten Ld., New Delhi (1983),
231 . or.
76.- Ik. 43. lib., 5.4.1 . definizioa, 256 . or.
77.- Ik. 43. lib., 34. or.
78.- N.B . ABRAHAM, A.M. ALBANO, B. DAS, G. DE GUZMAN, S. YONG, R.S.
GIOGGIA, G.P. PUCCIONI and J.-R. TREDICCE, Phys. Lett, 11_A
217(-1986) .
224
79.-C. GREBOGI, E .OTT and J.A. YORKE, Phys. Rev. Lett . 56 . 1011 (1986).
80.- F.C. MOON, Phys. Rev. Lett., 53. 962 (1984) .
81 .- Ik. 43. lib., 285. or.
82.- M. LE BERRE, E. RESSAYRE, A. TALLET and H.M. GIBSS, Phys . Rev.
Lett., 56. 274 (1986) .
83.- K. IKEDA and M. MIZUNO, Phys Rev Lett ., 51 1340 (1984) .
84.- H.M. GIBSS, F.A. HOPF, D.L. KAPLAN and R.L . SHOEMAKER, Phys. Rev.
Lett., 46. 474 (1981) .
85.- F.A. HOPF, D .L. KAPLAN, H.M. GIBSS and R.L . SHOEMAKER, Phys. Rev .
A, 25 . 2172 (1982).
86.- J.Y . GAO, L.M. NARDUCCI, L.S. SCHULMAN, M. SQUICCIARINI and J.M.
YUANG, Phys. Rev A, 2, 2910 (1983) .
87 .- P. NARDONE, P. MANDEL and R. KAPRAL, Phys. Rev. A, 33, 2465
(1986) .
88.- R.G. HOLT and I.B. SCHWARTZ, Phys. Lett ., 105A 327 (1984) .
89.- I.B. SCHWARTZ, Phys. Lett., 106A. 339 (1984) .
90.- C . GREBOGI, E.OTT and J.A. YORKE, Phys. Rev. Lett., 50. 935 (1983) .
91 .- S.W . McDONALD, C. GREBOGI, E.OTT and J.A. YORKE, Phys.Lett., 107A
51 (1985) .
92.- Ik. 43. lib., 8Z. or.
225
93.- F.C. MOON and P.J. HOLMES. J. Sound Vib., 65 . 285 (1979).
94.- F.C. MOON and P.J. HOLMES, J. Sound Vib ., 69 . 339 (1980) .
95.- C.-E. FROBERG: "Introduction to Numerical Analysis' AddisonWesley, Reading, Mass . (1965) .
96.- N.C. BARFORD: 'Experimental Measurements: Precision, Error andTruth'. Addison-Wesley, London (1967) .
97 .- LS. GRADSHTEYN and I .M. RYZHIK: 'Table of Integrals, Series and
Products' . Academic Press, Orlando, Florida (1983) .
98.- I. BRONSTEIN and K. SEMENDIAEV: "Manual de Matematicas paraIngenieros y Estudiantes" . Mir, Moscu (1982) .
226
EKUAZIO JARAUNSKORRAK:
1 . ERRAD I AZ I O ELEKTROMAGMET I KOA
II . OSIN-MUGA FRAKTALAK
a0&~[Eo OGI
EUSKARA
GAZTELANIA .
MELESA
A
adierazpen
expresión
expression
agertoki
escenario
scenario
a1daezin
invariante
invariant
aldegaii (iz)
variable (n)
variable (n)
a1dagai-banaketa
separación de
variable changevariables
a1daketa-barruti
dominio de
range,variación
variation domain
aldekor (adj),
variable (adj)
variable
aideranzkarri
invertible
invertible
anplitude
amplitud
amplitude
antisimetriko
antisimkrico
skew-symmetric
argikono
cono de luz
light cone
argumentu
ecuación con
retarded argumentatzeratudun ekuazio argumentos retardados equation
atzerapen
retardo
retard
atzeratu (adj)
retardado,a
retarded
aurreranzko ebazpen solución hacia delante
forward solution
aurresankor (adj)
predictivo,a
predictable,predictive
1
EUSKARA
GAZTELAN I A
IMGELESA
aurresankortasun
predi cti bi l i dad
predictability
azpiespazio
subespacio
subspace
azpiindize
subíndice
subindex
azterkete
aWisis
covarianterlatibista
relativista
relativistickobariante
covariante
analysis
a
bakortesun
unicidad
unicity
baldintza
condición
asymptoticasintotiko
asintótica
condition
baldintza ez-lineal
condición no lineal
nonlinear condition
baldintza lineal
condición lineal
linear condition
be deretzi-ziklo
nueve-ciclo
nine-cicie
berezko
predictivización
spontaneouseurresenkortze
espontánea
predictivization
bermatu
garantizar
to guarantee ._
berredura
potencia (Mat)
power (Math)
bi dimentsiotako
toro bidimensional
two dimensionaltoru
torus
bi putzutekopotentzial
biegonkortasun biestabilidad
potencia] de dospozos
two-well
potential
bistability
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
bifurkozío
bifurcación
bifurcation
bifurkazioen
cascade de
bifurcationturrusta
bifurcaciones
cascade
biskositote
viscosidad
viscosity
D
denbora propio
tiempo propio
proper time
denbora motako
configuración de
timelike
konfigurazio
tipo temporal
configuration
desplazamendu-
operador de
shift operator
operadore
desplazamiento
determinista
determinista
determinist
dibergentzia
divergencia
divergence
di mentsio
dimension
dimension
dimentsio froktal
dimension fractal
fractal dimension
diskretu
discreto
discrete
doitasun
precision
precision, accuracy
E
ebakidura
intersección
intersection
ebezpen
solución
solution
choluzio-porametro parámetro de evolución evolution parameter
egi turn
estructura
structure
3
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
egitura fraktal
estructura fractal
fractal structure
egitura gabeko
partícula sin
structureless
partikula
estructura
particle
egoera asintotiko
situación asintótica
asymptotic situation
egonkor
estable
stable
egonkortasun
estabilidad
stability
egonkortu
estabilizar(se)
to stabilize
ekarpen
contribución
contribution
ekarpen mixto
contribución mixta
mixed contributionjoint contribution
ekuazio
ecuación
equation
ekuazio jeraunskor
ecuación hereditaria
delay differential
equation,functionaldifferential equation,differentialdifference equati on
ekuazioen
truncamiento de las
equation truncation
trontzaketa
ecuaciones
elkarrakzio
interacción
interaction
el karrakzi o
interacción
electromagnetic
elektromagnetikoa
electromagnética
interaction
elektromagnetiko
electromegnetico
electromagnetic
emaitze
resultado
result, answer4
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
energía
energía
energy
energía
energía
electromagnetic
elektromagnetiko
electromagnética
energy
energía erradjetu
energía radiada
radiated energy
energía-bulkada
tensor de
energy-momentum
tentsore
energía-impulso
tensor
energía-momentuaren densidad de
density of
dentsitate
energía-momento
energy-momentum
erckarte
atractor
attractor
orakerle-arrunt
atractor normal
normal (noncheotic)
(ez-kaotiko)
(no caótico)
attractor
erakerle kaotiko
atractor caótico
chaotic attractor
erakerpen
atracción
attraction
erakarpen-osin
cuenca de atracción
attraction basin
eredu
modelo
model
eremu
campo
field
eremu
campo
electromagnetic
elektromagnetiko
electromagnético
field
eremuen teoría
teoría clásica de
classical fieldklesiko
campos
theory
erizpide
criterio
criterion
erlatibista
relativista
relativistic
5
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
erl azi o relación relation
erradiatu (ad j) radiado,a radiated
erradiazio
radiación
radiation
erradiazlo
radiación
electromagnetic
elektromag netiko
electromagnética
radiation
errad¡ azi o-eremu
campo de radiación
radiation field
erradiaboaren
proporción de
radiation rate
Proportzi0
radiación
erregresio-kurba
curva de
regresión
regression curve
erregulartason-
proceso de
regularization
prozesu
regularización
process
errenormalízazio
renormali2ación
renorm~alization
er-renormalizazio-
grupo de
renormalizati on
taldea
renormalización
group
errare
error
error
eskUalde
región
region
espaboalde
región del espacio
space region
espazio-denhora
espacio-tiempo
space-ti me
espezio motako
configuración
spacelikekonfigurazi0a
tipo espacio
configuration
espazio motako
hiperplano de tipo
spacelikehiperpleno
espacial
hyperplane
EUSKARA
GAZTELAMIA
IMGELESA
etorkizuneko
cono de luz del
future
argikono
futuro
light cone
euskarri zurran
armazón rígido
rigid freme
existentzin eta
teorema de
existence and
bakertasunaren
existencia y
unicity theorem
teorema
unicidad
ez-aideranzkorri
no invertible
noninvertible
ez-egonkor
no estable (inestable)
instable
ez-lineal
no lineal
nonlinear
ez-lineattasun
no 1inealidad
nonlinearity
F
f aseen espazi o
espacio de (las) fases
phase space
fraktal
fractal
fractal
fraktaltesun
fractalidad
fractality
frakzio
fracción
fraction
f untzi oen espazi o
espaci o de 1 es f unciones function space
6
gai
término
term
gai etzeratu
término retardado,
retarded term
gai bortxatu
término forzado
forced term
gel jaraunskor
término hereditario
hereditary term
7
EUSKARA
6AZTELANIA
INGELESA
gainezarmen
superposición
superposition
geinezermeneren
principio de
superposition
printápio
superposición
principle
garapen (Mat) desarrollo (Mat)
expansion (Math)
bebe
viga, varilla
beam, rod
bebe elestiko
varilla elástica
elastic beam
hendipen
ampliación
enlargement
hasiereko baldintza
condición inicial
initial condition
Hermite-ren
interpolación
Hermite
interpolazio
de Hermite
interpolation
higidura iregankor
movimiento transitorio transient motion
hiperpi anon
hi perpi ano
hgperplane
hipergoinazal
hipersuperficie
hgpersurface
hiru-zIk1o
tres-ciclo
three-cicle
1
Ibilbide esintotiko
trayectoria asintáti ca
asymptotic trajectory
Sur
símbolo
symbol
indargetze
amortiguación
damping
indize
índice
index
8
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
i ntegreki zun
integrando
i ntegrand
integrazio numeriko integración numérica
numerical integration
integrezio-pauso
paso de integración
integration step
interpolezio
interpolación
interpolation
intrintseko
intrínseco
intrinsic
iregeneko
cono de luz
past light coneargikono
del pasado
ireganeko infinitu
infinito pasado
past infinity
i raungi kor
di si pati vo
dissi pati ve
isladopen espeziel
reflexión espacial
space reflection
i terazi o
iteración
iteration
iterazio
iteración
two-dimensionalbidimentsional
bidimensianal
invertiblealderanzkarri
invertible
iteration (map)
iterazio
iteración
one-dimensionalunidimentsional
unidimensional
noninvertibleez-olderenzkarri
no invertible
iteration (map)
izeera
i zeera f raktal
j eraunskor (ad j)
heredi t ari o,a
hereditary
jarroi (adj)
carácter
character
carácterfractal
fractal character
con tínuo,a
continuous9
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
jokamolde
comportamiento
chaotic comportmentkootiko
caótico
(behaviour)
K
kaikuiu kobariante
cálculo covariante
covariant calculus
kaos
caos
chaos
kaos determinista
caos determinista
deterministic chaos
kopazitate
capacidad
capacity
karratu minimoen
método de los
least squaresmetodo
mínimos cuadrados
method
kobariante
covariante
covariant
kofaseen espazio
espacio de (las) cofases cophase space
konfidantze-maiia
nivel de confianza
confidence level
konfigurazio
configuración
configuration
konpi i adore
compilador
compiler
konpi l adore-
directiva de
compilerdi rekti ba
compilador
directive
kontrabariante
contravariante
contravariant
kontrol-parametro
parámetro de control
control parameter
kontserbakor (adj)
conservativo,a
conservative
koordenatu
coordenada
coordinate
koprozesadore
coprocesador
coprocessor
10
EUSKARA
6AZTELANIA
MELESA
koprozesadore
coprocesador
numerical
numeriko
numérico
coprocessor
L
Larmor-en
fórmula de
Larmor formula
formula
Larmor
lengoaja
lenguaje
language
líburutegi estandar
librería standard
standard library
Lie-ren deribatu
derivada de Lie
Lie derivative
Li6nard-Viechert- en expresión de
Liénard-Wiechert
adierazpen
Liénerd-Wiechert
expression
linealtasun
linealidad
linearity
Lorentz-en indar
fuerza de Lorentz
Lorentz force
lorentz-Direc-enekuazlo
angular f recuency
slope
mapa dual
mapa dual
dual map
Maxwell-en
tensor
electromagnetic
tentsore
electromagnético
Maxwell
elektromagnetiko
de Maxwell
tensor
maiztesun angeluar frecuencia angular
malda
pendiente
ecuación de
Lorentz-Dirac
Lorentz-Dirac
equation
11
EUSKARA
6AZTELANIA
INGELESA
mekanika
mec6nica
predictiveerlatibista
relativista
relativistic
aurresenkor
predictiva
mechanics
menpekotasun
dependencia
dependence
metriIka
métrica
metric
mProordenadore
micrordenador
microcomputer
Mi nkowski-ren
espacio-tiempo
Mi nkowski
aspazio-denbora
de Minkowski
space-time
mote denhoral
tipo temporal
timelike
mota espazial
tipo espacial
spacelike
muga
frontera
boundary
muga-Sk1o
ciclo límite
limit cicle
multzo
conjunto
set
N
n-ordenako
ecuación hereditaria
nth order delay
ekuazio jarau=or
de orden n
differential equation
n-ziklo
n-ciclo
n-cicle
normalizatu
normalizado,a
normalizated
nulu
nulo,e
null
0
ordenadore
ordenadore
analoganalogiko
analógico
computer
12
EUSKARA
GAZTELANIA
MELESA
orokorpen
generalización
generalization
orokorpen
generalización
relativistic
erlatibista
relativista
generalization
ortogonaltasun-
condición de
orthogonality
baldintza
ortogo nail dad
condition
ortonormel
ortonormal
orthonormal
osin
cuenca de atracción
basin
osin-muga
frontera entre cuencas basin boundary
osin-muga
frontera normal (lisa)
normal (smooth)arrant (lean)
entre cuencas
basin boundary
osin-muga fraktal
frontera fractal
fractal basin
entre cuencas
boundary
osziladore Oz)
oscilador
oscillator
oszilatzaile (adj)
oscilador,a
oscillating
p
pandeo (gilbordura)
pandeo
buckling
partikula puntual
partícula puntual
pointlike particle
periodo
período
period
perturbaToen
teoría de
perturbationteoria
perturbaciones
theory
poliTo
posición
position
posizio atzeratu
posición retardada
retarded position13
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
projekzio
proyección
projection
proportzi o
proporción (ratio)
rate
prozedure
procedimiento
procedure
prozesu iregenkor
proceso transitorio
transient process
puntu finko
punto fijo
fixed point
R
Funge-Kutte-ren
método de
Runge-Kutta
metodo Runge-Kutta
method
sellkepen
clasificación
classification
.sari-hiru-ziklo
pseudo-tres-ciclo
pseudo-three-cl de
sei-ziklo
seis-ciclo
six-cicle
sentikortasun
sensibilidad
sensitivity
sentikortasun-
región de
sensitivity
eskual de
sensibilidad
region
simulazio numeriko simulación numérica
numerical simulation
sistema
sistema
system
sistema sistema invariant
aurresankor predictivo predictive
aldeezin
invariante
system
sistema di nami ko
sistema dinámico
nonlinear
ez-lineal
no lineal
dynamical system
14
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
sistema dinamiko
sistema dinámico
dissipativeiraungikor
disipativo
dgnamical system
sistema inertzial
sistema inercia]
inertial system
sistema ortonormel sistema ortonormal
orthonormal system
tentsore
tensor
tensor
tentsore metriko
tensor métrico
metric tensor
tetrabektore
tetravector
four-vector
tetrabiadura
tetravelocidad
four-velocity
tetrabolumen
tetravolumen
four-volume
totrapotentzial
tetrapotencial
four-potential
tetramomentu
tetramomento
angularangeluar
angular
four-momentum
tetramomentu tetramomento radiatedangeluar - angular angularerradiatu
radiado
four-momentum
tetramomentu
tetramomento
total radiatedangeluar
angular
angularerradiatu oso
radiado total
four-momentum
tetramomentu
proporción de
radiation rateengeluar
tetramomento
of angularerrediatuaren
angular
four-momentumproportzio
radiado
1 5
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
tetramomentu
densidad de
angularangeluarraren
tetramomento
four-momentumdentsitate
angular
density
tetramomentu tetramomento intrinsicangeluar angular angular .1ntrintseko
intrínseco
four-momentum
tetramomentu lineal tetramomento lineal
ii near four-momentum
tetramomentu lineal tetramomento lineal
electromagnetic linearelektromagnetiko
electromagnético
four-momentum
tetramomentu línea] tetramomento lineal
radiated linearerredietu
radiado
four-momentum
tetramomentu lineal tetramomento lineal
total radiated linearerredi etu oso
radiado total
f our-momentum
tetramomentu
densidad de
linearlineal aren
tetramoment o
four-momentumdentsitate
lineal
density
tetramomentu lineal proporción de
radiation rateerredi etuoren
tetramoment o lineal
of linearproportzio
radiado
four-momentum
toru bidimentsional toro bidimensionel
two-dimensionaltorus
trontzakete
truncamiento
truncation
turruste
unibertso-lerro
cascada
cascade
lí ea de universo
world line
1 6
EUSKARA
GAZTELANIA
INGELESA
unibertsaltasun
universalidad
universality
unibertsaltasunaren teoría de la
universalityteoría
universalidad
theory
uzkurtu
contraerse
to contract
z
zehaztasun MAU
precision doble
double precision
Surgabetasun
incertidumbre
uncertainty
zurrun
rígido
rigid
zurruntasun
rigidez
rigidity
zurruntasun-gai
termino de rigidez
rigidity term
1 7
1