El concepto de desarrollo proacuteximo y la ZDP

En la teoriacutea de VYGOTSKY y en relacioacuten con el desarrollo del nintildeo aparece un concepto clave muy importante la ZONA DE DESARROLLO POTENCIAL (ZDP)

VYGOTSKY distingue entre

1 Nivel de Desarrollo Real (NDR) que se corresponde con el momento evolutivo del nintildeo y lo define como el conjunto de actividades que el sujeto puede hacer por siacute mismo de un modo autoacutenomo sin la ayuda de los demaacutes

2 Nivel de Desarrollo Potencial (NDP) que hace referencia al nivel que podriacutea alcanzar el sujeto con la colaboracioacuten y guiacutea de otras personas es decir en interaccioacuten con los otros

La Zona de Desarrollo Potencial (ZDP) seriacutea pues en palabras de VYGOTSKY (1979) la distancia entre el nivel real o actual de desarrollo determinado por la capacidad de resolver independientemente un problema y el nivel de desarrollo potencial determinado a traveacutes de la resolucioacuten de un problema bajo la guiacutea de un adulto o en colaboracioacuten con otro compantildeero maacutes capaz

La accioacuten conjunta (interactividad) del nintildeo y de los que le rodean en el espacio de esta ZDP es justamente el factor que hace posible que los mediadores externos lleguen a convertirse en procesos internos

El concepto de ZPD se relaciona asiacute con la LEY DE LA DOBLE FORMACION DE LAS FUNCIONES PSICOLOacuteGICAS (VYGOTSKY 1979) seguacuten la cual toda la funcioacuten aparece dos veces primero entre las personas interpsicoloacutegica y despueacutes en el interior del propio nintildeo intrapsicoloacutegica Esta doble formacioacuten supone que el aprendizaje en sentido estricto y el aprendizaje en sentido amplio interactuacutean de modo que el primero posibilita la internalizacioacuten de los instrumentos externos los cuales una vez internalizados se transforman en procesos de desarrollo que hacen posible la reestructuracioacuten el aprendizaje precede de este modo al desarrollo

Vygotsky estaba convencido de que la asimilacioacuten de las actividades sociales y culturales eran la clave del desarrollo humano y que la asimilacioacuten era lo que distinguiacutea a los hombres de los animales

BIBLIOGRAFIacuteA

Entre su bibliografiacutea traducida al espantildeol podemos destacar

Pensamiento y lenguaje Buenos Aires La Pleacuteyade 1972Los procesos psicoloacutegicos superiores Barcelona Criacutetica 1979

Copyright copy 2000-2012 ORIENTAREDcom Reservados todos los derechos

22 Ensentildeanza y Aprendizaje de las Matemaacuteticas

En las diversas situaciones educativas que se le presentan al docente cuando ensentildea Matemaacuteticas adopta meacutetodos y estrategias de ensentildeanza que muchas veces ha aprendido de sus profesores en su eacutepoca de estudiante o algunos que ha llevado a la praacutectica y que la experiencia le ha dicho que funcionaba en ese contexto y con esas audiencias pero que al intentarlas con otros grupos las cosas no han resultado como lo esperaba ldquoParece que la tarea docente no puede realizarse sin aceptar unas opiniones teoacutericas aunque tales teoriacuteas (asiacute se afirmaraacute) deberaacuten estar firmemente basadas en datos empiacutericosrdquo (Orton 1990 12) no queremos decir que las decisiones que ha tomado el docente debido a su experiencia de trabajo con los nintildeos(as) observando sus conductas y estrategias de aprendizaje no sean uacutetiles maacutes bien queremos llamar su atencioacuten sobre lo no adecuadas que resultariacutean en determinadas situaciones de aprendizaje por ejemplo iquestcoacutemo podriacutea un nintildeo organizar los nuacutemeros de dos cifras o maacutes para sumarlos o restarlos si no comprenden el concepto de valor posicional En muchas situaciones de aprendizaje hemos visto a nintildeos de 4deg grado con problemas para restar dos nuacutemeros cuando el minuendo es menor que el sustraendo muchos de ellos restan el mayor menos el menor sin importar el orden de los teacuterminos (64 - 27 = 43 por ejemplo) otros lo haraacuten correctamente entonces no basta con decirles por ejemplo que debe colocarlos uno debajo del otro y restar no basta con explicarles el procedimiento en cada actividad matemaacutetica estaacuten involucradas la comprensioacuten conceptual los conocimientos previos los estilos cognoscitivos etc

Quizaacutes lo que ha sucedido es que no se les han proporcionado experiencias de aprendizaje distintas a las que involucran el cuaderno y el laacutepiz no se ha reconocido la importancia de ldquoensentildear las Matemaacuteticas como una materia integradardquo no se ha visto al nintildeo como un creador de significados que aporta sus vivencias a los procesos educativos donde se involucra (Bishop 1999 19) o no se presta la atencioacuten adecuada a la forma personal (o propia) de pensar y aprender de los nintildeos(as)

No queremos ser negativos maacutes bien queremos aportar ideas que puedan ayudar a los educadores a conseguir salidas idoacuteneas que les permitan tomar decisiones con conocimiento de causa sobre la ensentildeanza de las matemaacuteticas por ejemplo los educadores podriacutean idear situaciones que incluyan los principios del

Capiacutetulo 2 105 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

aprendizaje acotando no soacutelo lo referente al medio sino tomando en cuenta que los nintildeos(as) ya poseen estados mentales antes de iniciar su aprendizaje esto implica que los docentes necesitan tener el conocimiento de ldquoun marco psicoloacutegico soacutelido que pueda ofrecer una explicacioacuten precisa del aprendizajerdquo (Baroody 1988 21) coacutemo disentildear un curriacuteculo integrado tomando en cuenta que ldquocuanto maacutes abstracto es un tema maacutes sencillo resulta lograr la integracioacutenrdquo (Martinello y Cook 2000 91) y tener presente que el aprendizaje debe ser significativo para los nintildeos(as)

La intervencioacuten del docente durante el acto educativo puede estudiarse desde diferentes perspectivas si seguimos a la Escuela Claacutesica y sus derivaciones conductistas el profesor ensentildea para que los alumnos aprendan sin preocuparse del coacutemo aprenden (o la preocupacioacuten es soacutelo muy indirecta) y se centra en el queacute aprenden (contenidos) pero descuida el coacutemo aprenden (procesos cognitivos y afectivos) y sobre todo el para queacute aprenden (capacidades y valores utilizables en la vida cotidiana) Mientras que la Escuela Activa y muchas de sus secuencias constructivistas se interesa maacutes del coacutemo entendieacutendolo como forma de hacer no como accioacuten mentalrdquo (Romaacuten y Diacuteez 2000)

Las teoriacuteas del aprendizaje tratan de explicar como se constituyen los significados y como se aprenden los nuevos conceptos En la teoriacutea conductista se afirma que ldquoel conocimiento se imprime en la mente desde el exteriorrdquo y en la teoriacutea cognitiva se aduce que ldquoel conocimiento significativo no puede ser impuesto desde el exterior sino que debe elaborarse desde dentrordquo (Baroody 1988 22) Dos posturas opuestas para las que el objetivo de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas es la memorizacioacuten de datos y procedimientos aritmeacuteticos (en la primera) y la comprensioacuten y el pensamiento matemaacutetico (en la segunda) Vamos a desarrollar los puntos de esta seccioacuten siguiendo el enfoque de la teoriacutea cognitiva

Si promocionamos el aprendizaje a traveacutes de la comprensioacuten del entorno motivando a los nintildeos(as) para que descubran las relaciones existentes entre los elementos de informacioacuten y luego los abstraemos de ese contexto con actividades y estrategias de ensentildeanza que procuren o que den importancia al correcto manejo del lenguaje matemaacutetico contribuiriacuteamos a que el manejo de la notacioacuten surja desde dentro evitando el uso de meacutetodos memoriacutesticos no soacutelo por lo ineficaz que pueden resultar sino por evitar que las Matemaacuteticas carezcan de significado para ellos(as) pues ldquolos individuos aprenden la teoriacutea del conocimiento de su cultura mediante el

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 106 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN

978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 107

aprendizaje de los pormenores del lenguajerdquo (seguacuten Lancy 1983 citado en Bishop 1999 87) en nuestro caso del lenguaje matemaacutetico

El rigor del lenguaje de esta aacuterea acadeacutemica cuya simbologiacutea podriacutea confundir o aburrir a los nintildeos(as) debe tomarse en cuenta dentro de ese entorno acadeacutemico creado por los docentes en el cual haraacuten que los chicos piensen actuacuteen planteen preguntas resuelvan problemas y discutan sus ideas estrategias y soluciones matemaacuteticamente

Ello no podriacutea ser posible sin la planificacioacuten previa de los contenidos de aprendizaje y en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 43) debe tomarse en cuenta que ldquosu seleccioacuten y secuenciacioacuten no han de diferir de la forma en que se estructura cientiacuteficamente la disciplina aunque esto no quiere decir que el disentildeo de la ensentildeanza no ha de partir de situaciones realesrdquo

Tambieacuten se lograriacutea incluyendo tareas que motiven la curiosidad de los nintildeos no soacutelo por hallar las respuestas sino por la escogencia de la estrategia adecuada tareas que los conecten con su mundo real o dentro de contextos puramente matemaacuteticos yo a traveacutes de medios tales como los informaacuteticos donde muchos de los programas (el Clic por ejemplo) le permitiraacuten al docente crear entornos de aprendizaje de las Matemaacuteticas que conduzcan a los nintildeos(as) por caminos un poco maacutes atractivos (matemaacuteticamente hablando) que les llene de curiosidad el transitar por ellos donde el trabajar colaborativamente con el compantildeero promueva discusiones y decisiones matemaacuteticas aumento de la comprensioacuten matemaacutetica y diversioacuten iquestpor queacute no si el juego es una excelente estrategia que contrarresta los niveles de ansiedad que las Matemaacuteticas originan en muchos de nuestros alumnos(as)

En resumen se trata de proporcionarle al docente de los conocimientos sobre una herramienta (el medio informaacutetico) con la cual podraacute proporcionarle a sus alumnos(as) experiencias de aprendizaje de las Matemaacuteticas ricas gratas motivadoras significativas creativas y aplicadas a la toma de decisiones y a la solucioacuten de problemas sin esperar que eacutesta sea la uacutenica estrategia de ensentildeanza o que remplace otras como apunta la NCTM (2000 25) ldquoTechnology should not be used as a replacement for basic understandings and intuitions rather it can and should be used to foster those understandings and intuitionsrdquo UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

221 Principios de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas

Las Matemaacuteticas lenguaje formal con sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas es un medio riguroso para expresar el pensamiento (Nesher 2000) que resulta difiacutecil de aprender para muchos estudiantes quienes por ejemplo no consiguen determinar a queacute operacioacuten aritmeacutetica se refiere el enunciado de alguacuten problema (dificultades en la transicioacuten del lenguaje natural al lenguaje matemaacutetico) o no comprenden alguacuten concepto (la interaccioacuten social y la comunicacioacuten son componentes esenciales en los procesos de conceptualizacioacuten) Es aquiacute donde el papel que juega el docente es primordial ayudando a los estudiantes a crear viacutenculos entre su lenguaje informal y nociones intuitivas y el lenguaje abstracto y simboacutelico de las Matemaacuteticas

A los docentes debemos como formadores de formadores proveerlos de oportunidades de formacioacuten en las cuales ellos puedan conocer nuevas estrategias de ensentildeanza mejorar su conocimiento matemaacutetico y enriquecer su capacidad de expresar o comunicar en Matemaacuteticas Pero no hay recipes que conduzcan a los docentes en la mejora de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a juicio de Alsina y otros (1998 90) ldquola experiencia en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en primaria pone de relieve una serie de dificultades que se traducen en errores que persisten mucho tiempo y que dificultan aprendizajes posterioresrdquo es por ello que el docente debe proporcionarle al nintildeo actividades que los guiacuteen en la obtencioacuten de viacutenculos entre el lenguaje informal o no formal y el lenguaje matemaacutetico y llenarlos de experiencias que le permitan percibir el mundo fiacutesico que le rodea y que luego a traveacutes de analogiacuteas vaya comprendiendo conceptos maacutes generales (generalizaciones) maacutes abstractos pues ldquola percepcioacuten y la accioacuten parecen constituir el binomio sobre el que se desarrolla el aprendizaje matemaacuteticordquo (Aacutelvarez 2001 153)

En opinioacuten de Bishop (2000 38) la ensentildeanza formal de las Matemaacuteticas deberiacutea ofrecer a los alumnos

ldquoAlgo distinto a lo que les aporta la ensentildeanza de las matemaacuteticas no formal e informal pero que esteacute relacionado con ello

Algo baacutesico fundamental y generalizable pero que incluya conocimientos matemaacuteticos que ellos hayan adquirido fuera de la situacioacuten formal

Algo profundo y bien estructurado tanto desde un punto de vista matemaacutetico como desde un punto de vista psicoloacutegico

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 108 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 109

Algo motivador enriquecedor y estimulante

Algo relevante para sus vidas presentes que para ellos tenga significado aprenderlo y sea uacutetil para sus vidas futurasrdquo

Seguacuten lo acotado y la opinioacuten de Holmes (1985 en Hernaacutendez y Soriano 1999) podremos considerar cuatro principios en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en Educacioacuten Baacutesica desde un punto de vista cognitivo estos son La promocioacuten del uso de los procesos cognitivos el aprendizaje de conceptos y generalizaciones considerar la motivacioacuten intriacutenseca y la atencioacuten a las diferencias individuales los cuales exponemos a continuacioacuten

A Promover el uso de los procesos cognitivos

Muchos procesos cognitivos ocurren cuando los estudiantes piensan y se comunican matemaacuteticamente el docente debe estar al tanto de ello para incentivarlos en ir de lo maacutes concreto a lo maacutes abstracto y viceversa aunque los conceptos de concreto y abstracto son relativos en efecto la asimilacioacuten de una nocioacuten cualquiera en particular de una nocioacuten matemaacutetica pasa por distintas etapas en las que lo concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente Lo que es abstracto para una etapa pasa a ser la base concreta para la siguiente De acuerdo con eacutesto los docentes organizariacutean las producciones de sus alumnos y les ayudariacutean asiacute a organizar sus pensamientos pues ldquoaprender Matemaacuteticas implica pensar formar y reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemaacuteticosrdquo en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 27)

En los nintildeos existe una zona de desarrollo potencial que indica sus posibilidades de aprendizaje la cual es mejorable y entrenable con la ayuda adecuada de los adultos (aprendizaje mediado por adultos compantildeeros o por medios informaacuteticos por ejemplo) Este desarrollo posibilita la construccioacuten de herramientas internas para aprender (procesos cognitivos capacidades habilidades) las cuales se ven favorecidas con el uso de materiales didaacutecticos matemaacuteticos entendidos como modelos concretos tomados del entorno que rodea al nintildeo o elaborados a partir de eacutel y con los cuales se pueda traducir o motivar la creacioacuten de conceptos matemaacuteticos (Bujanda 1981) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela

Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 110

Este principio se nutre a nuestro entender de los principios de ensentildeanza y aprendizaje en una educacioacuten matemaacutetica realista

como los llama Goffree (2000) En el Cuadro 215 podemos apreciar los principios a los que hacemos referencia

APRENDIZAJE

ENSENtildeANZA

Construccioacuten

El nintildeo no soacutelo repite o rehace sino que adapta y construye su conocimiento

Bases concretas para la orientacioacuten

Crear contextos reconocibles por los nintildeos de acuerdo a sus propios significados

Subiendo el nivel Modelos

El aprendizaje de cada nintildeo se da a diferentes niveles de formalizacioacuten

Herramientas manipulables por los nintildeos para vincular las Matemaacuteticas informales y formales

Reflexioacuten

El nintildeo es capaz de resignificar en situaciones nuevas

Momentos de reflexioacuten

Crear un clima pedagoacutegico para cuestionar estrategias y soluciones y propiciar conflictos cognitivos

Contexto social

Los nintildeos aprenden maacutes en compantildeiacutea de adultos o de otros nintildeos

Lecciones de Matemaacuteticas interactivas

Propiciar la intervencioacuten de los nintildeos sin inhibiciones en un campo en el que no se conocen resultados y donde el trabajo puede cambiar o modificarse

Estructuracioacuten

La estructura cognitiva existente en el nintildeo se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden

Entretejer los hilos del aprendizaje

Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemaacuteticas

Pues bien capacidades destrezas y habilidades constituyen los procesos cognitivos de un aprendiz los cuales son presentados por Hernaacutendez y Soriano (1999) en seis categoriacuteas Recibir interpretar

organizar aplicar recordar resolver problemas y luego incluyen el planteamiento de problemas Para dar una idea de coacutemo los hemos introducido en nuestro estudio damos en el Cuadro 216 algunos ejemplos de actividades incluidas en el Prototipo y en algunos de los paquetes disentildeados por los docentes participantes (ver Anexo 8) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS

MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 111 PROCESOS COGNITIVOS

CATEGORIacuteA PROCESO EJEMPLO

Recibir

Aceptar los estiacutemulos del entornoAtender Multi3sop - OPERACpac

InterpretarUsar las ideas previas para comprender las

nuevas y hacerlas significativas

Traducir Lfrass - PACHECpac

Comparar Conm14ass ndash PROPIE2pac

Clasificar Numass ndash ANApac

Ordenar Multi2puz - OPERACpac

OrganizarEstructuracioacuten de las ideas matemaacuteticas

Relacionar Multi7ass - OPERACpac

Preguntar Funiass ndash JOSEFIpac

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

aprendizaje acotando no soacutelo lo referente al medio sino tomando en cuenta que los nintildeos(as) ya poseen estados mentales antes de iniciar su aprendizaje esto implica que los docentes necesitan tener el conocimiento de ldquoun marco psicoloacutegico soacutelido que pueda ofrecer una explicacioacuten precisa del aprendizajerdquo (Baroody 1988 21) coacutemo disentildear un curriacuteculo integrado tomando en cuenta que ldquocuanto maacutes abstracto es un tema maacutes sencillo resulta lograr la integracioacutenrdquo (Martinello y Cook 2000 91) y tener presente que el aprendizaje debe ser significativo para los nintildeos(as)

La intervencioacuten del docente durante el acto educativo puede estudiarse desde diferentes perspectivas si seguimos a la Escuela Claacutesica y sus derivaciones conductistas el profesor ensentildea para que los alumnos aprendan sin preocuparse del coacutemo aprenden (o la preocupacioacuten es soacutelo muy indirecta) y se centra en el queacute aprenden (contenidos) pero descuida el coacutemo aprenden (procesos cognitivos y afectivos) y sobre todo el para queacute aprenden (capacidades y valores utilizables en la vida cotidiana) Mientras que la Escuela Activa y muchas de sus secuencias constructivistas se interesa maacutes del coacutemo entendieacutendolo como forma de hacer no como accioacuten mentalrdquo (Romaacuten y Diacuteez 2000)

Las teoriacuteas del aprendizaje tratan de explicar como se constituyen los significados y como se aprenden los nuevos conceptos En la teoriacutea conductista se afirma que ldquoel conocimiento se imprime en la mente desde el exteriorrdquo y en la teoriacutea cognitiva se aduce que ldquoel conocimiento significativo no puede ser impuesto desde el exterior sino que debe elaborarse desde dentrordquo (Baroody 1988 22) Dos posturas opuestas para las que el objetivo de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas es la memorizacioacuten de datos y procedimientos aritmeacuteticos (en la primera) y la comprensioacuten y el pensamiento matemaacutetico (en la segunda) Vamos a desarrollar los puntos de esta seccioacuten siguiendo el enfoque de la teoriacutea cognitiva

Si promocionamos el aprendizaje a traveacutes de la comprensioacuten del entorno motivando a los nintildeos(as) para que descubran las relaciones existentes entre los elementos de informacioacuten y luego los abstraemos de ese contexto con actividades y estrategias de ensentildeanza que procuren o que den importancia al correcto manejo del lenguaje matemaacutetico contribuiriacuteamos a que el manejo de la notacioacuten surja desde dentro evitando el uso de meacutetodos memoriacutesticos no soacutelo por lo ineficaz que pueden resultar sino por evitar que las Matemaacuteticas carezcan de significado para ellos(as) pues ldquolos individuos aprenden la teoriacutea del conocimiento de su cultura mediante el

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 106 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN

978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 107

aprendizaje de los pormenores del lenguajerdquo (seguacuten Lancy 1983 citado en Bishop 1999 87) en nuestro caso del lenguaje matemaacutetico

El rigor del lenguaje de esta aacuterea acadeacutemica cuya simbologiacutea podriacutea confundir o aburrir a los nintildeos(as) debe tomarse en cuenta dentro de ese entorno acadeacutemico creado por los docentes en el cual haraacuten que los chicos piensen actuacuteen planteen preguntas resuelvan problemas y discutan sus ideas estrategias y soluciones matemaacuteticamente

Ello no podriacutea ser posible sin la planificacioacuten previa de los contenidos de aprendizaje y en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 43) debe tomarse en cuenta que ldquosu seleccioacuten y secuenciacioacuten no han de diferir de la forma en que se estructura cientiacuteficamente la disciplina aunque esto no quiere decir que el disentildeo de la ensentildeanza no ha de partir de situaciones realesrdquo

Tambieacuten se lograriacutea incluyendo tareas que motiven la curiosidad de los nintildeos no soacutelo por hallar las respuestas sino por la escogencia de la estrategia adecuada tareas que los conecten con su mundo real o dentro de contextos puramente matemaacuteticos yo a traveacutes de medios tales como los informaacuteticos donde muchos de los programas (el Clic por ejemplo) le permitiraacuten al docente crear entornos de aprendizaje de las Matemaacuteticas que conduzcan a los nintildeos(as) por caminos un poco maacutes atractivos (matemaacuteticamente hablando) que les llene de curiosidad el transitar por ellos donde el trabajar colaborativamente con el compantildeero promueva discusiones y decisiones matemaacuteticas aumento de la comprensioacuten matemaacutetica y diversioacuten iquestpor queacute no si el juego es una excelente estrategia que contrarresta los niveles de ansiedad que las Matemaacuteticas originan en muchos de nuestros alumnos(as)

En resumen se trata de proporcionarle al docente de los conocimientos sobre una herramienta (el medio informaacutetico) con la cual podraacute proporcionarle a sus alumnos(as) experiencias de aprendizaje de las Matemaacuteticas ricas gratas motivadoras significativas creativas y aplicadas a la toma de decisiones y a la solucioacuten de problemas sin esperar que eacutesta sea la uacutenica estrategia de ensentildeanza o que remplace otras como apunta la NCTM (2000 25) ldquoTechnology should not be used as a replacement for basic understandings and intuitions rather it can and should be used to foster those understandings and intuitionsrdquo UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

221 Principios de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas

Las Matemaacuteticas lenguaje formal con sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas es un medio riguroso para expresar el pensamiento (Nesher 2000) que resulta difiacutecil de aprender para muchos estudiantes quienes por ejemplo no consiguen determinar a queacute operacioacuten aritmeacutetica se refiere el enunciado de alguacuten problema (dificultades en la transicioacuten del lenguaje natural al lenguaje matemaacutetico) o no comprenden alguacuten concepto (la interaccioacuten social y la comunicacioacuten son componentes esenciales en los procesos de conceptualizacioacuten) Es aquiacute donde el papel que juega el docente es primordial ayudando a los estudiantes a crear viacutenculos entre su lenguaje informal y nociones intuitivas y el lenguaje abstracto y simboacutelico de las Matemaacuteticas

A los docentes debemos como formadores de formadores proveerlos de oportunidades de formacioacuten en las cuales ellos puedan conocer nuevas estrategias de ensentildeanza mejorar su conocimiento matemaacutetico y enriquecer su capacidad de expresar o comunicar en Matemaacuteticas Pero no hay recipes que conduzcan a los docentes en la mejora de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a juicio de Alsina y otros (1998 90) ldquola experiencia en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en primaria pone de relieve una serie de dificultades que se traducen en errores que persisten mucho tiempo y que dificultan aprendizajes posterioresrdquo es por ello que el docente debe proporcionarle al nintildeo actividades que los guiacuteen en la obtencioacuten de viacutenculos entre el lenguaje informal o no formal y el lenguaje matemaacutetico y llenarlos de experiencias que le permitan percibir el mundo fiacutesico que le rodea y que luego a traveacutes de analogiacuteas vaya comprendiendo conceptos maacutes generales (generalizaciones) maacutes abstractos pues ldquola percepcioacuten y la accioacuten parecen constituir el binomio sobre el que se desarrolla el aprendizaje matemaacuteticordquo (Aacutelvarez 2001 153)

En opinioacuten de Bishop (2000 38) la ensentildeanza formal de las Matemaacuteticas deberiacutea ofrecer a los alumnos

ldquoAlgo distinto a lo que les aporta la ensentildeanza de las matemaacuteticas no formal e informal pero que esteacute relacionado con ello

Algo baacutesico fundamental y generalizable pero que incluya conocimientos matemaacuteticos que ellos hayan adquirido fuera de la situacioacuten formal

Algo profundo y bien estructurado tanto desde un punto de vista matemaacutetico como desde un punto de vista psicoloacutegico

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 108 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 109

Algo motivador enriquecedor y estimulante

Algo relevante para sus vidas presentes que para ellos tenga significado aprenderlo y sea uacutetil para sus vidas futurasrdquo

Seguacuten lo acotado y la opinioacuten de Holmes (1985 en Hernaacutendez y Soriano 1999) podremos considerar cuatro principios en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en Educacioacuten Baacutesica desde un punto de vista cognitivo estos son La promocioacuten del uso de los procesos cognitivos el aprendizaje de conceptos y generalizaciones considerar la motivacioacuten intriacutenseca y la atencioacuten a las diferencias individuales los cuales exponemos a continuacioacuten

A Promover el uso de los procesos cognitivos

Muchos procesos cognitivos ocurren cuando los estudiantes piensan y se comunican matemaacuteticamente el docente debe estar al tanto de ello para incentivarlos en ir de lo maacutes concreto a lo maacutes abstracto y viceversa aunque los conceptos de concreto y abstracto son relativos en efecto la asimilacioacuten de una nocioacuten cualquiera en particular de una nocioacuten matemaacutetica pasa por distintas etapas en las que lo concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente Lo que es abstracto para una etapa pasa a ser la base concreta para la siguiente De acuerdo con eacutesto los docentes organizariacutean las producciones de sus alumnos y les ayudariacutean asiacute a organizar sus pensamientos pues ldquoaprender Matemaacuteticas implica pensar formar y reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemaacuteticosrdquo en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 27)

En los nintildeos existe una zona de desarrollo potencial que indica sus posibilidades de aprendizaje la cual es mejorable y entrenable con la ayuda adecuada de los adultos (aprendizaje mediado por adultos compantildeeros o por medios informaacuteticos por ejemplo) Este desarrollo posibilita la construccioacuten de herramientas internas para aprender (procesos cognitivos capacidades habilidades) las cuales se ven favorecidas con el uso de materiales didaacutecticos matemaacuteticos entendidos como modelos concretos tomados del entorno que rodea al nintildeo o elaborados a partir de eacutel y con los cuales se pueda traducir o motivar la creacioacuten de conceptos matemaacuteticos (Bujanda 1981) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela

Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 110

Este principio se nutre a nuestro entender de los principios de ensentildeanza y aprendizaje en una educacioacuten matemaacutetica realista

como los llama Goffree (2000) En el Cuadro 215 podemos apreciar los principios a los que hacemos referencia

APRENDIZAJE

ENSENtildeANZA

Construccioacuten

El nintildeo no soacutelo repite o rehace sino que adapta y construye su conocimiento

Bases concretas para la orientacioacuten

Crear contextos reconocibles por los nintildeos de acuerdo a sus propios significados

Subiendo el nivel Modelos

El aprendizaje de cada nintildeo se da a diferentes niveles de formalizacioacuten

Herramientas manipulables por los nintildeos para vincular las Matemaacuteticas informales y formales

Reflexioacuten

El nintildeo es capaz de resignificar en situaciones nuevas

Momentos de reflexioacuten

Crear un clima pedagoacutegico para cuestionar estrategias y soluciones y propiciar conflictos cognitivos

Contexto social

Los nintildeos aprenden maacutes en compantildeiacutea de adultos o de otros nintildeos

Lecciones de Matemaacuteticas interactivas

Propiciar la intervencioacuten de los nintildeos sin inhibiciones en un campo en el que no se conocen resultados y donde el trabajo puede cambiar o modificarse

Estructuracioacuten

La estructura cognitiva existente en el nintildeo se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden

Entretejer los hilos del aprendizaje

Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemaacuteticas

Pues bien capacidades destrezas y habilidades constituyen los procesos cognitivos de un aprendiz los cuales son presentados por Hernaacutendez y Soriano (1999) en seis categoriacuteas Recibir interpretar

organizar aplicar recordar resolver problemas y luego incluyen el planteamiento de problemas Para dar una idea de coacutemo los hemos introducido en nuestro estudio damos en el Cuadro 216 algunos ejemplos de actividades incluidas en el Prototipo y en algunos de los paquetes disentildeados por los docentes participantes (ver Anexo 8) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS

MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 111 PROCESOS COGNITIVOS

CATEGORIacuteA PROCESO EJEMPLO

Recibir

Aceptar los estiacutemulos del entornoAtender Multi3sop - OPERACpac

InterpretarUsar las ideas previas para comprender las

nuevas y hacerlas significativas

Traducir Lfrass - PACHECpac

Comparar Conm14ass ndash PROPIE2pac

Clasificar Numass ndash ANApac

Ordenar Multi2puz - OPERACpac

OrganizarEstructuracioacuten de las ideas matemaacuteticas

Relacionar Multi7ass - OPERACpac

Preguntar Funiass ndash JOSEFIpac

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

aprendizaje de los pormenores del lenguajerdquo (seguacuten Lancy 1983 citado en Bishop 1999 87) en nuestro caso del lenguaje matemaacutetico

El rigor del lenguaje de esta aacuterea acadeacutemica cuya simbologiacutea podriacutea confundir o aburrir a los nintildeos(as) debe tomarse en cuenta dentro de ese entorno acadeacutemico creado por los docentes en el cual haraacuten que los chicos piensen actuacuteen planteen preguntas resuelvan problemas y discutan sus ideas estrategias y soluciones matemaacuteticamente

Ello no podriacutea ser posible sin la planificacioacuten previa de los contenidos de aprendizaje y en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 43) debe tomarse en cuenta que ldquosu seleccioacuten y secuenciacioacuten no han de diferir de la forma en que se estructura cientiacuteficamente la disciplina aunque esto no quiere decir que el disentildeo de la ensentildeanza no ha de partir de situaciones realesrdquo

Tambieacuten se lograriacutea incluyendo tareas que motiven la curiosidad de los nintildeos no soacutelo por hallar las respuestas sino por la escogencia de la estrategia adecuada tareas que los conecten con su mundo real o dentro de contextos puramente matemaacuteticos yo a traveacutes de medios tales como los informaacuteticos donde muchos de los programas (el Clic por ejemplo) le permitiraacuten al docente crear entornos de aprendizaje de las Matemaacuteticas que conduzcan a los nintildeos(as) por caminos un poco maacutes atractivos (matemaacuteticamente hablando) que les llene de curiosidad el transitar por ellos donde el trabajar colaborativamente con el compantildeero promueva discusiones y decisiones matemaacuteticas aumento de la comprensioacuten matemaacutetica y diversioacuten iquestpor queacute no si el juego es una excelente estrategia que contrarresta los niveles de ansiedad que las Matemaacuteticas originan en muchos de nuestros alumnos(as)

En resumen se trata de proporcionarle al docente de los conocimientos sobre una herramienta (el medio informaacutetico) con la cual podraacute proporcionarle a sus alumnos(as) experiencias de aprendizaje de las Matemaacuteticas ricas gratas motivadoras significativas creativas y aplicadas a la toma de decisiones y a la solucioacuten de problemas sin esperar que eacutesta sea la uacutenica estrategia de ensentildeanza o que remplace otras como apunta la NCTM (2000 25) ldquoTechnology should not be used as a replacement for basic understandings and intuitions rather it can and should be used to foster those understandings and intuitionsrdquo UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

221 Principios de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas

Las Matemaacuteticas lenguaje formal con sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas es un medio riguroso para expresar el pensamiento (Nesher 2000) que resulta difiacutecil de aprender para muchos estudiantes quienes por ejemplo no consiguen determinar a queacute operacioacuten aritmeacutetica se refiere el enunciado de alguacuten problema (dificultades en la transicioacuten del lenguaje natural al lenguaje matemaacutetico) o no comprenden alguacuten concepto (la interaccioacuten social y la comunicacioacuten son componentes esenciales en los procesos de conceptualizacioacuten) Es aquiacute donde el papel que juega el docente es primordial ayudando a los estudiantes a crear viacutenculos entre su lenguaje informal y nociones intuitivas y el lenguaje abstracto y simboacutelico de las Matemaacuteticas

A los docentes debemos como formadores de formadores proveerlos de oportunidades de formacioacuten en las cuales ellos puedan conocer nuevas estrategias de ensentildeanza mejorar su conocimiento matemaacutetico y enriquecer su capacidad de expresar o comunicar en Matemaacuteticas Pero no hay recipes que conduzcan a los docentes en la mejora de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a juicio de Alsina y otros (1998 90) ldquola experiencia en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en primaria pone de relieve una serie de dificultades que se traducen en errores que persisten mucho tiempo y que dificultan aprendizajes posterioresrdquo es por ello que el docente debe proporcionarle al nintildeo actividades que los guiacuteen en la obtencioacuten de viacutenculos entre el lenguaje informal o no formal y el lenguaje matemaacutetico y llenarlos de experiencias que le permitan percibir el mundo fiacutesico que le rodea y que luego a traveacutes de analogiacuteas vaya comprendiendo conceptos maacutes generales (generalizaciones) maacutes abstractos pues ldquola percepcioacuten y la accioacuten parecen constituir el binomio sobre el que se desarrolla el aprendizaje matemaacuteticordquo (Aacutelvarez 2001 153)

En opinioacuten de Bishop (2000 38) la ensentildeanza formal de las Matemaacuteticas deberiacutea ofrecer a los alumnos

ldquoAlgo distinto a lo que les aporta la ensentildeanza de las matemaacuteticas no formal e informal pero que esteacute relacionado con ello

Algo baacutesico fundamental y generalizable pero que incluya conocimientos matemaacuteticos que ellos hayan adquirido fuera de la situacioacuten formal

Algo profundo y bien estructurado tanto desde un punto de vista matemaacutetico como desde un punto de vista psicoloacutegico

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 108 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 109

Algo motivador enriquecedor y estimulante

Algo relevante para sus vidas presentes que para ellos tenga significado aprenderlo y sea uacutetil para sus vidas futurasrdquo

Seguacuten lo acotado y la opinioacuten de Holmes (1985 en Hernaacutendez y Soriano 1999) podremos considerar cuatro principios en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en Educacioacuten Baacutesica desde un punto de vista cognitivo estos son La promocioacuten del uso de los procesos cognitivos el aprendizaje de conceptos y generalizaciones considerar la motivacioacuten intriacutenseca y la atencioacuten a las diferencias individuales los cuales exponemos a continuacioacuten

A Promover el uso de los procesos cognitivos

Muchos procesos cognitivos ocurren cuando los estudiantes piensan y se comunican matemaacuteticamente el docente debe estar al tanto de ello para incentivarlos en ir de lo maacutes concreto a lo maacutes abstracto y viceversa aunque los conceptos de concreto y abstracto son relativos en efecto la asimilacioacuten de una nocioacuten cualquiera en particular de una nocioacuten matemaacutetica pasa por distintas etapas en las que lo concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente Lo que es abstracto para una etapa pasa a ser la base concreta para la siguiente De acuerdo con eacutesto los docentes organizariacutean las producciones de sus alumnos y les ayudariacutean asiacute a organizar sus pensamientos pues ldquoaprender Matemaacuteticas implica pensar formar y reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemaacuteticosrdquo en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 27)

En los nintildeos existe una zona de desarrollo potencial que indica sus posibilidades de aprendizaje la cual es mejorable y entrenable con la ayuda adecuada de los adultos (aprendizaje mediado por adultos compantildeeros o por medios informaacuteticos por ejemplo) Este desarrollo posibilita la construccioacuten de herramientas internas para aprender (procesos cognitivos capacidades habilidades) las cuales se ven favorecidas con el uso de materiales didaacutecticos matemaacuteticos entendidos como modelos concretos tomados del entorno que rodea al nintildeo o elaborados a partir de eacutel y con los cuales se pueda traducir o motivar la creacioacuten de conceptos matemaacuteticos (Bujanda 1981) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela

Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 110

Este principio se nutre a nuestro entender de los principios de ensentildeanza y aprendizaje en una educacioacuten matemaacutetica realista

como los llama Goffree (2000) En el Cuadro 215 podemos apreciar los principios a los que hacemos referencia

APRENDIZAJE

ENSENtildeANZA

Construccioacuten

El nintildeo no soacutelo repite o rehace sino que adapta y construye su conocimiento

Bases concretas para la orientacioacuten

Crear contextos reconocibles por los nintildeos de acuerdo a sus propios significados

Subiendo el nivel Modelos

El aprendizaje de cada nintildeo se da a diferentes niveles de formalizacioacuten

Herramientas manipulables por los nintildeos para vincular las Matemaacuteticas informales y formales

Reflexioacuten

El nintildeo es capaz de resignificar en situaciones nuevas

Momentos de reflexioacuten

Crear un clima pedagoacutegico para cuestionar estrategias y soluciones y propiciar conflictos cognitivos

Contexto social

Los nintildeos aprenden maacutes en compantildeiacutea de adultos o de otros nintildeos

Lecciones de Matemaacuteticas interactivas

Propiciar la intervencioacuten de los nintildeos sin inhibiciones en un campo en el que no se conocen resultados y donde el trabajo puede cambiar o modificarse

Estructuracioacuten

La estructura cognitiva existente en el nintildeo se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden

Entretejer los hilos del aprendizaje

Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemaacuteticas

Pues bien capacidades destrezas y habilidades constituyen los procesos cognitivos de un aprendiz los cuales son presentados por Hernaacutendez y Soriano (1999) en seis categoriacuteas Recibir interpretar

organizar aplicar recordar resolver problemas y luego incluyen el planteamiento de problemas Para dar una idea de coacutemo los hemos introducido en nuestro estudio damos en el Cuadro 216 algunos ejemplos de actividades incluidas en el Prototipo y en algunos de los paquetes disentildeados por los docentes participantes (ver Anexo 8) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS

MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 111 PROCESOS COGNITIVOS

CATEGORIacuteA PROCESO EJEMPLO

Recibir

Aceptar los estiacutemulos del entornoAtender Multi3sop - OPERACpac

InterpretarUsar las ideas previas para comprender las

nuevas y hacerlas significativas

Traducir Lfrass - PACHECpac

Comparar Conm14ass ndash PROPIE2pac

Clasificar Numass ndash ANApac

Ordenar Multi2puz - OPERACpac

OrganizarEstructuracioacuten de las ideas matemaacuteticas

Relacionar Multi7ass - OPERACpac

Preguntar Funiass ndash JOSEFIpac

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

221 Principios de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas

Las Matemaacuteticas lenguaje formal con sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas es un medio riguroso para expresar el pensamiento (Nesher 2000) que resulta difiacutecil de aprender para muchos estudiantes quienes por ejemplo no consiguen determinar a queacute operacioacuten aritmeacutetica se refiere el enunciado de alguacuten problema (dificultades en la transicioacuten del lenguaje natural al lenguaje matemaacutetico) o no comprenden alguacuten concepto (la interaccioacuten social y la comunicacioacuten son componentes esenciales en los procesos de conceptualizacioacuten) Es aquiacute donde el papel que juega el docente es primordial ayudando a los estudiantes a crear viacutenculos entre su lenguaje informal y nociones intuitivas y el lenguaje abstracto y simboacutelico de las Matemaacuteticas

A los docentes debemos como formadores de formadores proveerlos de oportunidades de formacioacuten en las cuales ellos puedan conocer nuevas estrategias de ensentildeanza mejorar su conocimiento matemaacutetico y enriquecer su capacidad de expresar o comunicar en Matemaacuteticas Pero no hay recipes que conduzcan a los docentes en la mejora de la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a juicio de Alsina y otros (1998 90) ldquola experiencia en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en primaria pone de relieve una serie de dificultades que se traducen en errores que persisten mucho tiempo y que dificultan aprendizajes posterioresrdquo es por ello que el docente debe proporcionarle al nintildeo actividades que los guiacuteen en la obtencioacuten de viacutenculos entre el lenguaje informal o no formal y el lenguaje matemaacutetico y llenarlos de experiencias que le permitan percibir el mundo fiacutesico que le rodea y que luego a traveacutes de analogiacuteas vaya comprendiendo conceptos maacutes generales (generalizaciones) maacutes abstractos pues ldquola percepcioacuten y la accioacuten parecen constituir el binomio sobre el que se desarrolla el aprendizaje matemaacuteticordquo (Aacutelvarez 2001 153)

En opinioacuten de Bishop (2000 38) la ensentildeanza formal de las Matemaacuteticas deberiacutea ofrecer a los alumnos

ldquoAlgo distinto a lo que les aporta la ensentildeanza de las matemaacuteticas no formal e informal pero que esteacute relacionado con ello

Algo baacutesico fundamental y generalizable pero que incluya conocimientos matemaacuteticos que ellos hayan adquirido fuera de la situacioacuten formal

Algo profundo y bien estructurado tanto desde un punto de vista matemaacutetico como desde un punto de vista psicoloacutegico

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 108 UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 109

Algo motivador enriquecedor y estimulante

Algo relevante para sus vidas presentes que para ellos tenga significado aprenderlo y sea uacutetil para sus vidas futurasrdquo

Seguacuten lo acotado y la opinioacuten de Holmes (1985 en Hernaacutendez y Soriano 1999) podremos considerar cuatro principios en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en Educacioacuten Baacutesica desde un punto de vista cognitivo estos son La promocioacuten del uso de los procesos cognitivos el aprendizaje de conceptos y generalizaciones considerar la motivacioacuten intriacutenseca y la atencioacuten a las diferencias individuales los cuales exponemos a continuacioacuten

A Promover el uso de los procesos cognitivos

Muchos procesos cognitivos ocurren cuando los estudiantes piensan y se comunican matemaacuteticamente el docente debe estar al tanto de ello para incentivarlos en ir de lo maacutes concreto a lo maacutes abstracto y viceversa aunque los conceptos de concreto y abstracto son relativos en efecto la asimilacioacuten de una nocioacuten cualquiera en particular de una nocioacuten matemaacutetica pasa por distintas etapas en las que lo concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente Lo que es abstracto para una etapa pasa a ser la base concreta para la siguiente De acuerdo con eacutesto los docentes organizariacutean las producciones de sus alumnos y les ayudariacutean asiacute a organizar sus pensamientos pues ldquoaprender Matemaacuteticas implica pensar formar y reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemaacuteticosrdquo en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 27)

En los nintildeos existe una zona de desarrollo potencial que indica sus posibilidades de aprendizaje la cual es mejorable y entrenable con la ayuda adecuada de los adultos (aprendizaje mediado por adultos compantildeeros o por medios informaacuteticos por ejemplo) Este desarrollo posibilita la construccioacuten de herramientas internas para aprender (procesos cognitivos capacidades habilidades) las cuales se ven favorecidas con el uso de materiales didaacutecticos matemaacuteticos entendidos como modelos concretos tomados del entorno que rodea al nintildeo o elaborados a partir de eacutel y con los cuales se pueda traducir o motivar la creacioacuten de conceptos matemaacuteticos (Bujanda 1981) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela

Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 110

Este principio se nutre a nuestro entender de los principios de ensentildeanza y aprendizaje en una educacioacuten matemaacutetica realista

como los llama Goffree (2000) En el Cuadro 215 podemos apreciar los principios a los que hacemos referencia

APRENDIZAJE

ENSENtildeANZA

Construccioacuten

El nintildeo no soacutelo repite o rehace sino que adapta y construye su conocimiento

Bases concretas para la orientacioacuten

Crear contextos reconocibles por los nintildeos de acuerdo a sus propios significados

Subiendo el nivel Modelos

El aprendizaje de cada nintildeo se da a diferentes niveles de formalizacioacuten

Herramientas manipulables por los nintildeos para vincular las Matemaacuteticas informales y formales

Reflexioacuten

El nintildeo es capaz de resignificar en situaciones nuevas

Momentos de reflexioacuten

Crear un clima pedagoacutegico para cuestionar estrategias y soluciones y propiciar conflictos cognitivos

Contexto social

Los nintildeos aprenden maacutes en compantildeiacutea de adultos o de otros nintildeos

Lecciones de Matemaacuteticas interactivas

Propiciar la intervencioacuten de los nintildeos sin inhibiciones en un campo en el que no se conocen resultados y donde el trabajo puede cambiar o modificarse

Estructuracioacuten

La estructura cognitiva existente en el nintildeo se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden

Entretejer los hilos del aprendizaje

Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemaacuteticas

Pues bien capacidades destrezas y habilidades constituyen los procesos cognitivos de un aprendiz los cuales son presentados por Hernaacutendez y Soriano (1999) en seis categoriacuteas Recibir interpretar

organizar aplicar recordar resolver problemas y luego incluyen el planteamiento de problemas Para dar una idea de coacutemo los hemos introducido en nuestro estudio damos en el Cuadro 216 algunos ejemplos de actividades incluidas en el Prototipo y en algunos de los paquetes disentildeados por los docentes participantes (ver Anexo 8) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS

MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 111 PROCESOS COGNITIVOS

CATEGORIacuteA PROCESO EJEMPLO

Recibir

Aceptar los estiacutemulos del entornoAtender Multi3sop - OPERACpac

InterpretarUsar las ideas previas para comprender las

nuevas y hacerlas significativas

Traducir Lfrass - PACHECpac

Comparar Conm14ass ndash PROPIE2pac

Clasificar Numass ndash ANApac

Ordenar Multi2puz - OPERACpac

OrganizarEstructuracioacuten de las ideas matemaacuteticas

Relacionar Multi7ass - OPERACpac

Preguntar Funiass ndash JOSEFIpac

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

Algo motivador enriquecedor y estimulante

Algo relevante para sus vidas presentes que para ellos tenga significado aprenderlo y sea uacutetil para sus vidas futurasrdquo

Seguacuten lo acotado y la opinioacuten de Holmes (1985 en Hernaacutendez y Soriano 1999) podremos considerar cuatro principios en la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en Educacioacuten Baacutesica desde un punto de vista cognitivo estos son La promocioacuten del uso de los procesos cognitivos el aprendizaje de conceptos y generalizaciones considerar la motivacioacuten intriacutenseca y la atencioacuten a las diferencias individuales los cuales exponemos a continuacioacuten

A Promover el uso de los procesos cognitivos

Muchos procesos cognitivos ocurren cuando los estudiantes piensan y se comunican matemaacuteticamente el docente debe estar al tanto de ello para incentivarlos en ir de lo maacutes concreto a lo maacutes abstracto y viceversa aunque los conceptos de concreto y abstracto son relativos en efecto la asimilacioacuten de una nocioacuten cualquiera en particular de una nocioacuten matemaacutetica pasa por distintas etapas en las que lo concreto y lo abstracto se alternan sucesivamente Lo que es abstracto para una etapa pasa a ser la base concreta para la siguiente De acuerdo con eacutesto los docentes organizariacutean las producciones de sus alumnos y les ayudariacutean asiacute a organizar sus pensamientos pues ldquoaprender Matemaacuteticas implica pensar formar y reelaborar esquemas o estructuras de conocimientos matemaacuteticosrdquo en opinioacuten de Hernaacutendez y Soriano (1999 27)

En los nintildeos existe una zona de desarrollo potencial que indica sus posibilidades de aprendizaje la cual es mejorable y entrenable con la ayuda adecuada de los adultos (aprendizaje mediado por adultos compantildeeros o por medios informaacuteticos por ejemplo) Este desarrollo posibilita la construccioacuten de herramientas internas para aprender (procesos cognitivos capacidades habilidades) las cuales se ven favorecidas con el uso de materiales didaacutecticos matemaacuteticos entendidos como modelos concretos tomados del entorno que rodea al nintildeo o elaborados a partir de eacutel y con los cuales se pueda traducir o motivar la creacioacuten de conceptos matemaacuteticos (Bujanda 1981) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela

Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 110

Este principio se nutre a nuestro entender de los principios de ensentildeanza y aprendizaje en una educacioacuten matemaacutetica realista

como los llama Goffree (2000) En el Cuadro 215 podemos apreciar los principios a los que hacemos referencia

APRENDIZAJE

ENSENtildeANZA

Construccioacuten

El nintildeo no soacutelo repite o rehace sino que adapta y construye su conocimiento

Bases concretas para la orientacioacuten

Crear contextos reconocibles por los nintildeos de acuerdo a sus propios significados

Subiendo el nivel Modelos

El aprendizaje de cada nintildeo se da a diferentes niveles de formalizacioacuten

Herramientas manipulables por los nintildeos para vincular las Matemaacuteticas informales y formales

Reflexioacuten

El nintildeo es capaz de resignificar en situaciones nuevas

Momentos de reflexioacuten

Crear un clima pedagoacutegico para cuestionar estrategias y soluciones y propiciar conflictos cognitivos

Contexto social

Los nintildeos aprenden maacutes en compantildeiacutea de adultos o de otros nintildeos

Lecciones de Matemaacuteticas interactivas

Propiciar la intervencioacuten de los nintildeos sin inhibiciones en un campo en el que no se conocen resultados y donde el trabajo puede cambiar o modificarse

Estructuracioacuten

La estructura cognitiva existente en el nintildeo se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden

Entretejer los hilos del aprendizaje

Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemaacuteticas

Pues bien capacidades destrezas y habilidades constituyen los procesos cognitivos de un aprendiz los cuales son presentados por Hernaacutendez y Soriano (1999) en seis categoriacuteas Recibir interpretar

organizar aplicar recordar resolver problemas y luego incluyen el planteamiento de problemas Para dar una idea de coacutemo los hemos introducido en nuestro estudio damos en el Cuadro 216 algunos ejemplos de actividades incluidas en el Prototipo y en algunos de los paquetes disentildeados por los docentes participantes (ver Anexo 8) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS

MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 111 PROCESOS COGNITIVOS

CATEGORIacuteA PROCESO EJEMPLO

Recibir

Aceptar los estiacutemulos del entornoAtender Multi3sop - OPERACpac

InterpretarUsar las ideas previas para comprender las

nuevas y hacerlas significativas

Traducir Lfrass - PACHECpac

Comparar Conm14ass ndash PROPIE2pac

Clasificar Numass ndash ANApac

Ordenar Multi2puz - OPERACpac

OrganizarEstructuracioacuten de las ideas matemaacuteticas

Relacionar Multi7ass - OPERACpac

Preguntar Funiass ndash JOSEFIpac

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

El aprendizaje de cada nintildeo se da a diferentes niveles de formalizacioacuten

Herramientas manipulables por los nintildeos para vincular las Matemaacuteticas informales y formales

Reflexioacuten

El nintildeo es capaz de resignificar en situaciones nuevas

Momentos de reflexioacuten

Crear un clima pedagoacutegico para cuestionar estrategias y soluciones y propiciar conflictos cognitivos

Contexto social

Los nintildeos aprenden maacutes en compantildeiacutea de adultos o de otros nintildeos

Lecciones de Matemaacuteticas interactivas

Propiciar la intervencioacuten de los nintildeos sin inhibiciones en un campo en el que no se conocen resultados y donde el trabajo puede cambiar o modificarse

Estructuracioacuten

La estructura cognitiva existente en el nintildeo se ajusta para reacomodar las nuevas ideas que se aprenden

Entretejer los hilos del aprendizaje

Basarse en situaciones reales que permitan conectar con otras ideas matemaacuteticas

Pues bien capacidades destrezas y habilidades constituyen los procesos cognitivos de un aprendiz los cuales son presentados por Hernaacutendez y Soriano (1999) en seis categoriacuteas Recibir interpretar

organizar aplicar recordar resolver problemas y luego incluyen el planteamiento de problemas Para dar una idea de coacutemo los hemos introducido en nuestro estudio damos en el Cuadro 216 algunos ejemplos de actividades incluidas en el Prototipo y en algunos de los paquetes disentildeados por los docentes participantes (ver Anexo 8) UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI LA ENSENtildeANZA DE LAS

MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE Mariela Sarmiento Santana ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007 Capiacutetulo 2 111 PROCESOS COGNITIVOS

CATEGORIacuteA PROCESO EJEMPLO

Recibir

Aceptar los estiacutemulos del entornoAtender Multi3sop - OPERACpac

InterpretarUsar las ideas previas para comprender las

nuevas y hacerlas significativas

Traducir Lfrass - PACHECpac

Comparar Conm14ass ndash PROPIE2pac

Clasificar Numass ndash ANApac

Ordenar Multi2puz - OPERACpac

OrganizarEstructuracioacuten de las ideas matemaacuteticas

Relacionar Multi7ass - OPERACpac

Preguntar Funiass ndash JOSEFIpac

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

Inferir Mul93ass - OPERACpac

Resumir Aso13ass - PROPIEpac

AplicarUsar contenidos matemaacuteticos aprendidos

en situaciones educativas propuestas

Predecir Jon2ass ndash JONELEpac

Evaluar Eje3practtxa ndash NUMJGpac

Plantear hipoacutetesis

Mitad3ass ndash DIVIDE3pac

Comprobar Eje2practtxa - NUMJGpac

RecordarTraer a la memoria

Ensayar M4puz ndash MTIPLOpac

Imaginar Jon4ass - JONELEpac

Retener Jon6txa - JONELEpac

Resolver Problemas Combinacioacuten de los anteriores

Proble1ass ndash PROBLEpac

Planteamiento de Problemas

B

Aprendizaje de conceptos y generalizacioness

El nintildeo accede al concepto a traveacutes de sus sentidos (primera etapa concreta de la que parte el nintildeo para construir sus abstracciones) y estas sensaciones resultan reforzadas con sus experiencias anteriores en opinioacuten de Lovell (1986 24) la entrada de las sensaciones y la actividad perceptiva no son dos procesos separados maacutes auacuten el aprendizaje juega un papel importante en la interpretacioacuten de tales sensaciones las cuales son afectadas ldquopor nuestros modos de pensar por nuestras actitudes estados emocionales apetencias o deseos en un momento dadordquo Asiacute para Gagneacute y Briggs (1999 54) ldquoel concepto es una capacidad que le permite al individuo identificar un estiacutemulordquo

Para el aprendizaje de los conceptos matemaacuteticos es necesario partir de lo concreto (material didaacutectico contextos reales juegos etc) seguacuten Alsina y otros (1998) es lo que Gagneacute y Briggs (1999) llaman aprendizaje concreto (requisito para aprender ideas abstractas) para luego establecer las relaciones conducentes a la buacutesqueda de regularidades que les permitan a los nintildeos enunciar conjeturas establecer propiedades razonar inductivamente etc en este proceso de ldquoabstraccioacuten tiene lugar una generalizacioacuten por medio de la cual se origina el conceptordquo (Lovell

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

1986 25) Para que el nintildeo pueda fijar estos conceptos y que ademaacutes pueda expresarlos oral graacutefica o simboacutelicamente tendriacuteamos que facilitarle su aplicacioacuten en actividades que tambieacuten le permitan el uso de los conceptos previamente adquiridos

Pero en opinioacuten de Piaget el nintildeo no llega a realizar abstracciones por el mero hecho de manejar objetos concretos La abstraccioacuten comienza a producirse cuando el nintildeo llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material cuando puede clasificar por ejemplo nuacutemeros atendiendo a si son naturales o fraccionarios deshace la agrupacioacuten y puede despueacutes ordenarlos atendiendo a su valor numeacuterico

Asiacute el desarrollo de los conceptos e ideas matemaacuteticas provienen de nuestro entorno (experiencia concreta) las experiencias concretas se validan (observacioacuten reflexiva) se hace una abstraccioacuten matemaacutetica de los conceptos involucrados (conceptualizacioacuten abstracta) luego se aplican (experimentacioacuten activa) y se produce el feedback con el contexto para asiacute iniciar de nuevo el proceso Seguacuten De Lange (1996) los estudiantes necesitan desarrollar y confrontar esas cuatro habilidades para obtener nuevos conocimientos destrezas yo actitudes (ver la Figura 21)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Los conceptos estaacuten continuamente sujetos a un proceso de transformacioacuten son creados y vueltos a crear no son entidades independientes a ser adquiridas o transmitidas y de alguna manera los estudiantes en este cambio de juicios o ideas se ajustan al modelo mostrado en la Figura 28 En muchas ocasiones el nintildeo no tiene conciencia de este proceso de abstraccioacuten pero a medida que se hace mayor su conciencia y deliberacioacuten tambieacuten aumentan y si les proporcionamos actividades estimulantes y paralelas a su desenvolvimiento neurofisioloacutegico las abstracciones y generalizaciones se alcanzaran con facilidad y rapidez (Lovell 1986)

Figura 28 Modelo esquemaacutetico del proceso de aprendizaje (De Lange 1996 57)

En las dos uacuteltimas habilidades especialmente tendriacuteamos que cuidar el correcto uso del lenguaje matemaacutetico el cual posee sus propias reglas semaacutenticas y sintaacutecticas porque hay palabras familiares que se utilizan en distinto modo (en lenguaje matemaacutetico y en lenguaje natural) o de un modo especiacutefico en Matemaacuteticas por ejemplo la raiacutez cuadrada de 4 es 2 De igual modo las frases (proposiciones en Matemaacuteticas) responden a una sintaxis distinta que el nintildeo aprenderaacute en la escuela por ejemplo 4 + 3 = 7 estaacute bien escrito en Matemaacuteticas pero + 4 3 = 7 no lo estaacute Si desde temprana edad en la escuela hacemos eacutenfasis en el correcto uso del lenguaje matemaacutetico le evitariacuteamos al nintildeo problemas en su futuro desenvolvimiento porque ldquoel lenguaje matemaacutetico es independiente de la variacioacuten del contexto y expresa el pensamiento en forma exacta y concisardquo

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

(Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 109) y ademaacutes lograriacuteamos que comprendieran los conceptos matemaacuteticos y los aplicaran sin enfatizar en su aplicacioacuten mecaacutenica o en la memorizacioacuten de sus Capiacutetulo 2 113

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

significados porque ldquocomprender el lenguaje es entender el concepto que una determinada palabra simbolizardquo (Orton 1990 16)

ldquoEl lenguaje y los siacutembolos matemaacuteticos intervienen ciertamente en la conceptuacioacuten porque capacitan al individuo para captar y aclarar los conceptos o actuacutean como un marco de referenciardquo (Lovell 1986 26) le permiten comunicar lo que ya han comprendido aunque en ocasiones muchos nintildeos expresan correctamente un concepto sin comprenderlo o al contrario comprenden un concepto pero no saben como comunicarlo o quizaacutes lo hagan en forma descriptiva

Asiacute seguacuten Lovell (1986 33) los conceptos matemaacuteticos pueden definirse como ldquogeneralizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datosrdquo o como lo expresa Hernaacutendez y Soriano (1999 32) un concepto ldquoes una idea que representa una clase de objetos o hechos que tienen ciertas caracteriacutesticas en comuacuten llamadas atributos criacuteticos que se aprenden a traveacutes de un procesordquo y para que el concepto sea operativo ldquotiene que llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto independiente del material y de la situacioacutenrdquo (Lovell 1986 35) requirieacutendose para su comunicacioacuten un viacutenculo entre la semaacutentica del lenguaje de las matemaacuteticas y la semaacutentica del lenguaje del mundo en que se quiere aplicarrdquo (Gorgorioacute Deulofeu y Bishop 2000 112) y esto permitiraacute que los conceptos y las generalizaciones (reglas o principios matemaacuteticos) fluyan sin dificultad

Luego para la ensentildeanza de los conceptos y generalizaciones los profesores deben facilitar a los alumnos experiencias que los conduzcan a crear sus propios conceptos y generalizaciones que les permitan moverse (luego de conocer el lenguaje y los siacutembolos) entre lo concreto y lo abstracto y viceversa Desde luego deben cuidar la estrategia de ensentildeanza no soacutelo del concepto o generalizacioacuten que lo ocupa en ese momento sino pensando en el futuro desenvolvimiento del alumno por ejemplo si se plantean a los alumnos problemas tales como resolver 2 x 1048576 = 14 el alumno por ensayo y error calcula el nuacutemero que multiplicado por 2 de 14 luego al presentaacutersele problemas tales como resolver la ecuacioacuten 3x + 6 = 4x en la transicioacuten de la Aritmeacutetica al Aacutelgebra el alumno pudiera interpretar el siacutembolo x como 1048576 haciendo analogiacutea con el problema anterior lo cual origina una inapropiada interpretacioacuten de los siacutembolos empleados y los conceptos involucrados Otros errores que pueden observarse en el caso de la multiplicacioacuten es la creencia que al multiplicar el producto es ldquomaacutes granderdquo en el caso de productos con nuacutemeros naturales si

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

pero al pasar al conjunto de las fracciones o de los nuacutemeros decimales no Por ejemplo 2 x 3 =6 La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 114

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

Capiacutetulo 2 115

pero 2 x ⅓ = ⅔ oacute 2 x 03 = 06 donde 2 es menor que 6 pero 2 es mayor que ⅔ y que 06

C

Favorecer la motivacioacuten intriacutensecaa

Muchos factores intervienen en el proceso de ensentildeanza-aprendizaje siendo la motivacioacuten (fuerza que activa y dirige el comportamiento) uno de los maacutes importantes La motivacioacuten del alumnado de cara a las actividades de aprendizaje de las Matemaacuteticas es una de las cuestiones a tener en cuenta al momento de planificar la ensentildeanza de esta ciencia porque permite que se mantenga el nivel de atencioacuten y concentracioacuten miacutenimo requerido para aprender y ademaacutes hay ldquoprocesos mediadores ligados al aprendizaje que no se operariacutean de manera adecuada sin la presencia de la motivacioacuten como es el caso de la memoria la capacidad de anaacutelisis y siacutentesis (procesos mentales superiores) entre otrosrdquo (Andara sf)

El docente preocupado por mejorar diacutea a diacutea el desarrollo de su praacutectica educativa debe cuidar (a parte de los intereses personales los estilos de aprendizaje la capacidad general y los conocimientos previos de sus alumnos) la desmotivacioacuten a traveacutes de la ansiedad causada por una ensentildeanza antipaacutetica de esta aacuterea acadeacutemica entendiendo que ldquolos individuos estaacuten desmotivados cuando no perciben contingencias entre los resultados y las propias acciones Perciben sus conductas como causadas por fuerzas fuera de su propio controlrdquo (Bali Caacutezares y Wisniewski 1998) y entre otros detalles con respecto a las actuaciones de los alumnos ldquohay que tener cuidado en no juzgar continuamente sus ideas y frustrar las participaciones en futuras discusionesrdquo (Alsina y otros 1998 89) maacutes bien hay que potenciar sus reflexiones previas ldquoanticipando problemas y consecuencias de las ideas expresadasrdquo

ldquoLa motivacioacuten es una energiacutea que loacutegicamente debe emanar de alguna fuenterdquo como acota Andara (sf) si la fuente es un elemento ambiental externo al sujeto se denomina motivacioacuten extriacutenseca como es el caso de las conductas cuya causa es conseguir un premio o evitar un castigo Si al contrario ldquola fuente de la energiacutea que impulsa a la accioacuten proviene de factores internos como lo son los intereses valores actitudes expectativas pensamientos entre otros se

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

denomina motivacioacuten intriacutensecardquo Nos encontramos asiacute con dos tipos de motivacioacuten la motivacioacuten extriacutenseca y la motivacioacuten intriacutenseca (ver Cuadro 217)

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

La Ensentildeanza de las Matemaacuteticas y las NTIC 116

Cuadro 217 Tipos de Motivacioacuten Inspirado en Bali Caacutezares y Wisniewski (1998)

La motivacioacuten extriacutenseca se refiere a aquella que podemos lograr a traveacutes de medios externos es decir debe proporcionaacutersele a los nintildeos actividades en las que ellos puedan interactuar con materiales fiacutesicos o concretos como lo expresa Aacutelvarez (2001 154) ldquolo que se aprende con experiencias es maacutes difiacutecil de olvidar que para conocer algo es preciso ensayar analizar lo que ocurre en distintas situaciones y en definitiva experimentarrdquo en forma similar Orton (1990 13) asegura que existe una opinioacuten ecleacutectica seguacuten la cual ldquolos chicos no necesitan desarrollar su propia comprensioacuten desde dentro sino que puede existir un lugar muy soacutelido para la praacutectica e incluso quizaacutes para alguacuten elemento de aprendizaje memoriacutesticordquo contraria a estas opiniones hay autores como Alonso (1995 en Hernaacutendez y Soriano 1999) que menciona entre los inconvenientes de fomentar este tipo de motivacioacuten a su poca durabilidad y la posibilidad de causar un efecto contrario al deseado

Tomando en cuenta lo anterior pensamos que el aprovechamiento de los materiales disentildeados o seleccionados para motivar el aprendizaje de las Matemaacuteticas promoveraacute en el nintildeo la buacutesqueda de retos personales y la superacioacuten personal lo

MOTIVACIOacuteN

EXTRIacuteNSECA

INTRIacuteNSECA

Regulacioacuten Externa

La conducta es regulada a traveacutes de medios externos tales como premios y castigos

Para saber

Se realiza una actividad por el placer y la satisfaccioacuten que uno experimenta mientras aprende explora o trata de entender algo nuevo

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

Regulacioacuten Introyectada

El individuo comienza a internalizar las razones para sus acciones pero no verdaderamente autodeterminada puesto que estaacute limitada a la internalizacioacuten de pasadas contingencias externas

Hacia la realizacioacuten

El sujeto se enfoca maacutes sobre el proceso de logros que sobre resultados

TIPOS

Identificacioacuten

Es la medida en que la conducta es juzgada importante para el individuo especialmente lo que percibe como escogido por eacutel mismo

Hacia experiencias estimulantes

Opera cuando alguien realiza una accioacuten a fin de experimentar sensaciones

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

cual beneficia al nintildeo y puede ser un factor importante en la promocioacuten del entendimiento de esta aacuterea Para el profesional la ensentildeanza es importante conocer coacutemo dirigir apropiadamente las energiacuteas existentes en cada sujeto (su motivacioacuten) para asiacute regular su propio comportamiento y poder ensentildear a otros en forma correcta

Si la promocioacuten de la motivacioacuten se hace sin tomar en cuenta aspectos tales como el aprendizaje significativo corremos el riesgo de que el nintildeo aprenda de modo memoriacutestico por ejemplo para lograr buenas notas en alguacuten examen Si les planteamos los ejercicios dentro de su contexto haciendo uso de elementos visuales explorando situaciones matemaacuteticas significativas o les disentildeamos actividades donde el nintildeo juegue con las Matemaacuteticas podremos cubrir la ensentildeanza de habilidades especiacuteficas que se necesitan en esta aacuterea en este orden de ideas recordamos a TMA4 que con pocos materiales (hojas y laacutepices de colores) motivoacute la introduccioacuten del nintildeo en el mundo de las fracciones soacutelo doblando y coloreando cintas de papel en una actividad dinaacutemica alegre e inolvidable para los nintildeos quienes al otro diacutea pediacutean realizar una actividad similar

Asiacute el disentildeo de actividades motivadoras apuntan Hernaacutendez y Soriano (1999 33) depende de tres factores ldquoLa conviccioacuten con la que el maestro asuma su importancia la intencionalidad

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los

motivadora considerada en sus diversos elementos constitutivos y su concrecioacuten en la praacutectica de cada diacuteardquo

Por otro lado la motivacioacuten intriacutenseca se ocupa de la tendencia natural de procurar los intereses personales y ejercer las capacidades y al hacerlo buscar y conquistar desafiacuteos (Deci y Ryan 1985 en Andara sf) La motivacioacuten intriacutenseca estaacute bajo el control del que aprende y para lograrla han de proporcionarse al alumno situaciones de ensentildeanza con actividades adecuadas a su edad capacidad intereses etc ni muy faacuteciles ni muy difiacuteciles nutridas de desafiacuteos que los incite a crear estrategias que los conduzcan a las soluciones que a su vez los envuelvan en una buacutesqueda de mayores retos que hagan gratificantes estas experiencias educativas

Como las Matemaacuteticas representan baacutesicamente una creacioacuten de la mente humana (Orton 1990) y su objetivo es hacer posible que se logre una argumentacioacuten abstracta a traveacutes de la manipulacioacuten de siacutembolos entonces se busca involucrar el intereacutes personal que aporta ldquouna motivacioacuten intriacutenseca para descubrir y perseverar cuando el aprendizaje se vuelve difiacutecilrdquo (Martinello y Cook 2000 232)de aquiacute que la importancia de la motivacioacuten intriacutenseca radique en que no se necesitan premios o castigos que nos hagan trabajar porque la actividad es recompensada por siacute misma

Capiacutetulo 2 117

UNIVERSITAT ROVIRA I VIRGILI

LA ENSENtildeANZA DE LAS MATEMAacuteTICAS Y LAS NTIC UNA ESTRATEGIA DE FORMACIOacuteN PERMANENTE

Mariela Sarmiento Santana

ISBN 978-84-690-8294-2 DL T1625-2007

En esta buacutesqueda para contribuir a la mejora de la relacioacuten afectiva entre el contenido matemaacutetico y los alumnos se nos presenta el uso del medio informaacutetico como una alternativa que libera al nintildeo de las tareas memoriacutesticas y de manipulacioacuten numeacuterica repetitiva (Hernaacutendez y Soriano 1999) con el uso adecuado de este medio introducimos el elemento visual mucho maacutes potente que en los