El Modelo EstÆndar: Fundamentos e Inovaciones

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Física y Matemáticas

El Modelo Estándar: Fundamentose Inovaciones

Tesis que para obtener el grado deMaestro en Ciencias con especialidad en Física

Presenta:

Damasio Morales Cruz

Directora de Tesis:Dra. S. Rebeca Juárez Wysozka

ESFM-IPN

México D.F., 31 de marzo de 2008

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Índice general

1. Introducción 1

11.1. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Partículas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Introducción al Modelo Estándar (ME) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Aceleradores de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Presentación del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. El Modelo Estándar 82.1. Simetría de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Teorías de Norma Abelianas: U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2. Teoría de Norma No Abeliana: SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Modelo Electrodébil (GWS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. El Mecanismo de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. El Modelo con dos dobletes de Higgs 213.1. El Modelo 2HDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. La simetría Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Rompimiento de Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Las Masas de los Bosones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5. La Matriz de Masas en el sector escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6. Los Eigenestados de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Escenario Actual 354.1. Supersimetría (SUSY) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Modelo Estándar Mínimo Supersimetríco (MSSM) . . . . . . . . . . . . . 364.3. Dimensiones Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4. Higgs Invisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1

ÍNDICE GENERAL 2

4.5. Higgs Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6. Higgs Pequeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.7. Tecnicolor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Conclusiones Finales 40

40

Apéndices 41

A. Desarrollos 42A.1. El potencial escalar de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.2. El Mínimo del Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3. Diagonalización y Eigenestados de la Matriz de Masas . . . . . . . . . . 44A.4. Eigenvalores de las Submatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.5. Ángulo de Mezcla y las Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Bibliografía 50

ResumenEl sector de Higgs del modelo estándar requiere estudio y cuidado especial , ya que a

través de éste, es posible ofrecer una explicación natural a la gran diferencia en los valoresde las masas de los quarks (jerarquía de masas) y a la posible generación de corrientesneutras con cambio de sabor (inspirada en la creciente evidencia acerca de las oscilacionesde neutrinos), además de ser admitida la posibilidad de que algunos modelos con simetríasmás complicadas que las del modelo estándar, se ajusten en el ámbito de bajas energías aun modelo ampliado. La extensión más simple del modelo estándar consiste en considerarun segundo doblete de Higgs. La extensión del modelo estándar con dos dobletes de Higgs(2HDM) predice la existencia de cinco partículas escalares: tres neutras (A0),(h0; H0) y doscargadas (H�). El propósito de este trabajo es determinar las masas de las cinco partículas,en términos de los nuevos parámetros �i que se introducen en el potencial del sector deHiggs mínimamente extendido y discutir un caso particular de la mezcla de campos de Higgsque da lugar a una parametrización sencilla del potencial de Higgs en términos de las masasde Higgs.

AbstractThe Higgs sector of the standard model requires special attention and study, since

through it, a natural explanation can be o¤ered to the great di¤erences in the values ofthe masses of the quarks (hierarchy of masses) and to the possible generation of �avourchanging neutral currents (inspired by the increasing evidence about the oscillations ofneutrinos), besides the possibility that some models, with more complicated symmetriesthan those of the standard model, �t within the limit of low energy to a model extended. Thesimplest extension of the standard model involves a second Higgs doublet. The two-Higgs-doublet extension of the standard model predicts the existence of �ve scalar particles: threeneutral (A0), (h0, H0) and two charged (H�). The purpose of this work is to determinethe masses of these �ve particles, in terms of the new parameters �i that are introducedin the minimal extended Higgs sector potential and to discuss a particular case of Higgsmixing that give a simple parametrization of the Higgs potential by the Higgs masses.

i

Dedicatoria

A mis padres

Damasio y Anastasia

A mis hermanos

Antelma, Máximo, Gumaro y Fidencio

ii

Agradecimientos

Antes que nada, le doy gracias a mí hermano Gumaro y su esposa Mariana por la ayudaincondicional que me han dado durante todo este tiempo que he estado en México. Leagradezco con gran aprecio a la profesora Dra. S. Rebeca Juárez W. por el apoyo en larealización de éste trabajo y los trabajos presentados en el Congreso de la Sociedad Mexicanade Física y el Workshop de Partículas y Campos. Le doy gracias a los miembros del colegiode profesores de la ESFM y en especial al Dr. Alfonso Queijeiro Fontana por habermeaceptado en el Instituto Politécnico Nacional. Al Dr. Piotr Kielanowski por su ayuda en lapreparación de los trabajos presentados en el Congreso de la Sociedad Mexicana de Físicay el Workshop de Partículas y Campos.Agradezco a los doctores por la revisión de este trabajo, Dra. S. Rebeca Juárez W.,

Dr. Piotr Kielanowski, Dr. Rubén Cordero Elizalde, Dr. Jesús García Ravelo, Dr. Víctor D.Granados García, Dr. Alfonso Martínez Valdez. Agradezco al M.C. José Halim Montes deOca por sus sugerencias.También le agradezco al CONACYT por el tiempo que me otorgó la beca de estudios.

Agradezco al Instituto Politécnico Nacional por la beca PIFI en el último semestre.

iii

Capítulo 1

Introducción

En las últimas cuatro décadas la física de partículas ha tenido grandes progresos, tantoen la parte teórica, y experimental, como en la tecnológica. El desarrollo del modelo estándar(SU(3)C�SU(2)L�U(1)Y ) de la física de partículas ha sido en gran medida un triunfo parala física en tratar de uni�car las interacciones básicas de la naturaleza. Una de las primerasuni�caciones que se dieron en la física fue el electromagnetismo (electricidad y magnétismo)gracias a Maxwell. Posteriormente, en la década de los sesenta S. Weinberg, A. Salam,y S. Glashow, uni�caron las interacciones débiles con el electromagnetismo (electrodébil:SU(2)L�U(1)Y ). Ellos fueron galardonados con el premio Nobel por esta gran contribucióna la física de partículas elementales. De acuerdo al modelo estándar los leptones y quarksson los constituyentes fundamentales de la materia.

El modelo estándar de interacciones débiles (modelo de S. Glashow, S. Weinberg, y A.Salam, GWS), es consistente teóricamente y está de acuerdo con todos los experimentosrealizados hasta el momento. El único ingrediente faltante de la teoría que no ha sidoencontrado todavía es la partícula de Higgs. Los valores de expectación de vacío (vev) yla partícula de Higgs son esenciales para realizar el rompimiento espontáneo de la simetría(SSB), el cual es el mecanismo de generación de masa para las partículas.Pero, a todo esto el modelo estándar tiene algunas limitaciones, especialmente el pro-

blema de la jerarquía que ha motivado extensiones al modelo estándar. El problema de lajerarquía se re�ere al pequeño valor de la escala electrodébil comparada con la escala dePlanck ( escala electrodébil � 250 GeV y la escala de Planck � 1019 GeV ). En la décadade los setenta surgieron nuevas áreas de investigación que han tratado de resolver este tipode limitaciones. Uno de los modelos más notables es el modelo supersimétrico. Entonces,hay grandes motivaciones para estudiar el modelo de dos dobletes de Higgs (2HDM), yaque éste tiene una gran similitud con el modelo mínimo supersimétrico del modelo estándar(MSSM).

Uno de los grandes avances de la tecnología de la física de partículas son los aceleradoresde partículas, y uno de los más prominentes es el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) delCERN (European Organization for Nuclear Research). En el 2008, los primeros experimentos

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

del LHC empezarán a arrojar datos con una energía de centro de masa de 14 TeV . Así,la partícula de Higgs podría ser descubierta en el LHC , veri�car la supersimetría de bajasenergías, y probablemente podría surgir nueva física más allá del modelo estándar en laescala de TeV´s. El LHC empezó su funcionamiento a mediados del 2007 y es el sucesordel LEP II. En los experimentos realizados anteriormente en el LEP II (Large Electron-Positron collider) se obtuvieron constricciones de exclusión mínimas sobre la masa de lapartícula de Higgs: mH � 114;4 GeV.A continuación se presenta una reseña histórica, señalando los acontecimientos más

relevantes según mi punto de vista.

1.1. Reseña HistóricaDesde tiempos antiguos los hombres y mujeres dedicados a la ciencia han tratado de

descifrar el mundo que los rodea. Una de las primeras culturas en visualizarlo fueron losGriegos, ellos consideraban que la materia estaba compuesta de entes elementales quellamaron átomos, y pensaban que estos entes no se podían dividir en partes más pequeñas.Con el tiempo se demostró que el átomo no era indivisible, sino que estaba compuesto dealgunas partes más pequeñas.Así, la época moderna de la física de partículas empezó con Henri Becquerel en 1896

con el descubrimiento de la radiactivadad en investigaciones de �uorescencia.Ha pasado ya más de un siglo en que J.J.Thomson descubriera el electrón (1897). Thom-

son, Crookes y otros estudiaron las descargas eléctricas a través de gases, estableciendo queen dichas descargas existían partículas cargadas de ambos signos. El electrón es consideradouna partícula puntual sin estructura (primera partícula fundamental encontrada) y uno delos elementos esenciales de la naturaleza.En 1905, basandose en la idea de Planck del cuanto, Einstein asumió que la luz existe

como cuanto, posteriormente llamado fotón, con energía por cuanto h� 1. Esté fue elnacimiento de la segunda partícula elemental.En 1919, Rutherford demostró en su experimento de dispersión de partículas alfa que

la carga positiva estaba concentrada en el núcleo en el centro del átomo. El denotó a lacarga positiva dentro del átomo con el nombre de protón.Hasta los años treinta las únicas partículas conocidas eran: electrón, protón, neutrón

(dentro del núcleo), �neutrino� (ahora anti-neutrino) en el decaimiento beta, y fotón (elcuanto del campo electromagnético).En 1931, el electrón positivo (positrón) fue descubierto por Carl Anderson.En 1933, se formula la teoría del decaimiento beta de Fermi (interacciones débiles).En 1935, se formula la hipótesis del mesón de Yukawa, para explicar la fuerza nuclear

como intercambio de partículas con masa (mesones).En 1937, el lepton � (muón) fue descubierto por Carl Anderson y Seth Nedermayer.

1h es la constante de Planck, y � es la frecuencia


En 1946, el mesón cargado � (pión) fue descubierto por Cecil Powell.En 1947, el descubrimiento del kaón (mesón K), partículas extrañas de larga vida des-

cubiertas en eventos de rayos cósmicos, realizado por Cli¤ord Butler y George Rochester.Esto generó el surgimiento de un nuevo número cuántico la �extrañeza�.En 1950, el pión neutral (�0) fue descubierto (vía �0 ! + ), y la formulación de

la teoría cuántica del electromagnetismo (electrodinámica cuántica �QED�), que estableceque las partículas cargadas interactúan vía el intercambio de fotones . Esta teoría fueformulada por Richard Feynman, Julian Schwinger y Shinichiro Tomonaga.En 1955, el descubrimiento del antiprotón fue realizado por Owen Chamberlain y Emilio

Segré.En 1957, la violación de paridad fue observada. Wu y colaboradores observaron que la

paridad se violaba en el decaimiento nuclear �:En la década de 1960-70, cientos de partículas fueron descubiertas. Todas éstas eran

explicadas por combinaciones de quarks y antiquarks.En 1964, se descubrió la omega menos �, en Brookhaven.En 1970, se formula la teoría de interacciones fuertes (cromodinámica cuántica �QCD�),

que establece que los quarks interactúan por medio de los gluones. S. Weinberg, A. Salam,y S. Glashow mejoran el entendimiento de las interacciones débiles (teoría electrodébil),que predice el intercambio de partículas W� y Z como mediadoras de la fuerza débil.En 1974, el cuarto quark llamado �charm�c, fue descubierto en Stanford y Brookhaven

(USA).En 1975, el tercer lepton (tau) fue descubierto en Stanford.En 1978, el quinto quark �bottom� b, fue descubierto en el Fermilab (USA).En 1979, el gluón, mediador de la interacción fuerte fue descubierto en DESY Hambur-

go.En 1983, los bosones W� y Z mediadores de la interacción electrodébil fueron descu-

biertos en el CERN, Geneva.En 1990, fue establecido que el número de neutrinos es limitado a 3 por resultados en

el LEP, CERN. Implicando un total de 6 quarks.En 1995, el sexto quark �top� t es descubierto en el Fermilab.En 1998, surgen evidencias para la existencia de la masa del neutrino (Super-Kamiokande

Japan).En el 2000 en adelante continua la búsqueda de la partícula de Higgs, (en el colisionador

LHC, inicios de operación 2007).Los datos anteriores fueron obtenidos del �Handbook of Particle Physics�, [1], y [2].

1.2. Partículas ElementalesEl desarrollo de la física y en especial de las partículas elementales no se ha detenido a lo

largo de la historia, y ha ido cambiando conforme los avances tecnológicos han evolucionado.


Existen dos clases de partículas elementales en la naturaleza, los fermiones que son losconstituyentes materiales y los bosones que sirven de mediadores de las fuerzas. A cadapartícula corresponde una antipartícula.Los fermiones básicos son partículas de espín semientero (1

2; 32; :::) y están clasi�cados

en leptones y quarks y se agrupan en tres familias o generaciones (Tabla 1.1). Los quarksno existen como partículas libres en la naturaleza, estos están agrupados en ternas paraformar los bariones (q1q2q3), y en pares para formar los mesones (q1�q2); a los bariones ymesones se les conoce como hadrones. Los quarks contienen una carga de color de QCD,el color es un grado de libertad de los quarks, y cada tipo de quark viene en tres diferentescolores: rojo, verde y azul. Los leptones son partículas indivisibles. Los leptones no llevancarga de color, es decir, no se ven afectados por la fuerza fuerte.La materia ordinaria está constituida por las partículas de la primera familia: los quarks

u y d junto con electrones y sus neutrinos asociados. Las familias restantes están formadaspor partículas con propiedades semejantes a la primera familia, pero éstas son mucho máspesadas, y por lo tanto, solamente se producen en procesos de altas energías. Estas dosfamilias tienen la cualidad de ser inestables (excepto los neutrinos), y se desintegran paraterminar solamente en partículas de la primera familia.

Partícula Carga (e) 1ra Generación 2da Generación 3ra Generación

Leptones �1 Electrón (e) Muón (�) Tau (� )� 0 Neutrino Electrón (�e) Neutrino Muón (��) Neutrino Tau (�� )

Quarks 2=3 Up (u) Charm (c) Top (t)� �1=3 Down (d) Strange (s) Bottom (b)

Tabla 1.1: Familias de Leptones y Quarks.

Los bosones son partículas de espín entero que sirven de intermediarios entre las cuatrofuerzas (Fotón , Gluones G, Bosones W� y Z, Gravitón g).En la naturaleza se conocen cuatro tipos de interacciones: Gravitacional, Fuerte, Débil

y electromagnética, (Tabla 1.2).

Interacción Gravitacional Electromagnética Fuerte Débil

Rango (m) 1 1 10�15 10�17

Int. Relativa 5;9� 10�39 1137

1 1;02� 10�5Mediadoreses Gravitón Fotón Gluones (8) W�; ZCarga Asociada Energía Carga Eléctrica Color Sabor

Part. Afectadas Todas Cargadas Quarks y Gluones Quarks y Leptones

Tabla 1.2: Tipos de campos de interacción.

Estas cuatro interacciones, están caracterizadas por los diferentes rangos e intensidades.La fuerza nuclear fuerte tiene un rango de alrededor de 10�15 m y una intensidad rela-tiva de 1 medida en una escala de energía de 1 GeV. La fuerza débil responsable del


decaimiento radiactivo, tiene un rango de 10�17m y tiene una intensidad relativa de alrede-dor 10�5comparada con la fuerte. La fuerza electromagnética comparada con la fuerte tieneun rango in�nito y una intensidad relativa determinada por la constante de estructura �na10�2 y es la que gobierna el mundo físico microscópico. La fuerza gravitacional tiene unrango in�nito y una intensidad relativa de alrededor de 10�39 comparada con la fuerzafuerte. La fuerza gravitacional es la única que no está comprendida en el modelo estándar.

1.3. Introducción al Modelo Estándar (ME)La teoría aceptada en la actualidad para describir los componentes últimos de la materia

es la denominada del Modelo Estándar (ME). El ME asegura que los constituyentes deluniverso están formados por fermiones elementales interactuando a través de los campos,de los cuales ellos son las fuentes. Las partículas que son asociadas con la interacción delos campos son los bosones.El ME está incorporado en una teoría de campo cuántico relativista basado en campos

asociados con el grupo SU(3) � SU(2) � U(1), de fermiones representando quarks yleptones y por lo menos un multiplete escalar de Higgs necesario para generar las masasde los bosones vectoriales y fermiones. Las interacciones de norma SU(3) estan asociadacon la fuerza fuerte descrita por la cromodinámica cuántica (QCD), y las interaccionesSU(2) � U(1), describen el isoespín más la hipercarga electrodébil del modelo GWS. Elmodelo GWS es consistente teóricamente y está de acuerdo con todos los experimentos defenómenos conocidos de interacciones electrodébiles. El único elemento faltante predichopor el ME y que no ha sido observado, es la partícula de Higgs.La teoría de GWS fue un gran avance en la búsqueda de una uni�cación de todas las

fuerzas de la naturaleza después de la teoría electromagnética de Maxwell (1864). Para laconstrucción de la teoría el principio más importante que debe satisfacerse es la invarianciabajo transformaciones de norma local. Debe empezarse considerando la invariancia de normaglobal y local U(1) en la electrodinámica cuántica (QED). Las partículas que aparecen enlaQED son los bosones de norma sin masa, el fotón. Enseguida se utilizan transformacionesde norma local SU(2) sobre los campos isodobletes (Teoría de Yang-Mills), aquí se obtienenpartículas vectoriales sin masa, cargadas y neutras. Un término de masa explícito en la teoríade norma violaría rotundamente la invariancia de norma.Entonces, la manera para generar las masas de estos bosones vectoriales es conocido

como el mecanismo de �rompimiento espontáneo de la simetría �(Mecanismo de Higgs).Este mecanismo es aplicado a un doblete de campo escalar complejo (doblete de Higgs).Esta es una de las maneras que se conoce para generar las masas de los bosones de norma,quarks y leptones del ME sin violar la invariancia de norma.


1.4. Aceleradores de PartículasEl progreso en el entendimiento de la naturaleza ha tenido lugar a través de la intera-

cción entre la teoría y el experimento. En la actualidad, los experimentos dependen de losgrandes aceleradores de partículas y de los ingeniosos y complejos detectores de partículas.Los aceleradores empiezan a construirse en la década de los años 30 con el acelerador li-neal Cockroft-Walton en Cambridge (UK), y el ciclotrón Lawrence en Berkeley (USA). Elacelerador de Cambridge aceleró protones a 0.7 MeV; el primer ciclotrón en Berkeley ace-leró protones a 1.2 MeV. Tiempo después (1945) resultados importantes fueron obtenidosusando radiación cósmica como fuente de partículas de altas energías, los eventos erandetectados en emulsiones fotográ�cas. En la década de los 50 nuevos aceleradores suminis-traron haces de partículas con más altas energías. El TEVATRÓN en el Fermilab es dondeel quark top fue observado en 1995. El LEP II en el CERN mejoró su calidad y fue capaz decrear pares W+W�y permitió estudios detallados de las interacciones débiles. En Stanford,el PEP II y el detector BaBar se designó para estudiar la violación de conjugación cargaparidad (CP).La máquina más ambiciosa que se haya construido es el LHC en el CERN. El LHC es un

colisionador protón-protón, con una energía de 7 TeV por haz, es decir, tiene una energíatotal de centro de masas de 14 TeV. Con éste se espera sea posible observar el bosón deHiggs, si es que tal partícula existe. El bosón de Higgs es una clave esencial en el ME.Las tabla 1.3 muestra algunos de los descubrimientos más sobresalientes que se han

hecho en física de partículas elementales en los últimos 100 años.

Año Detector Descubrimiento Créditos Naturaleza

1895 T. de Rayos Catódicos Rayos X W.Roentgen Fotón de Altas Energías

1897 T. de Rayos Catódicos Electrón J.J.Thomson Portadores de Carga

1898 Plato Fotográ�co Elem. Radiactivos P. y M Curie Núcleo Inestable

1911 Disp. de Partículas � Núcleo Atómico E. Rutherford Mod. Atómico Moderno

1932 Cámara de Niebla Neutrón J.Chadwick Const. Neutral del Núcleo

1932 Cámara de Burbuja Positrón C. Anderson Anti-Materia

1956 Anti-Neutrino Anti-Neutrino Cowan y Reines Interacción Débil

1964 UA1 Quarks CERN Interacción Fuerte

1979 JADE Gluones DESY Mediador de Int. Fuerte

1983 UA1 Boson W CERN Mediador de Int. Débil

1995 CDF Top Quark Fermilab 3ra Gener. de Quarks

2000 DONUT Tau Neutrino Fermilab 3ra Gener. de Leptones

Tabla 1.3: Los descubrimientos más sobresalientes en los últimos 100 años.


1.5. Presentación del trabajoLa estructura de la tesis es la siguiente:En la primera parte se plantea el ME en una forma muy general, donde se comenta la

diferencia entre las teorías de norma Abeliana y las No-Abelianas. Se considera el modeloelectrodébil de GWS de manera especi�ca. Se hace énfasis en el rompimiento espontáneode la simetría conocido como mecanismo de Higgs. Se comentan los grandes aciertos ylimitaciones del modelo estándar.En la segunda parte se habla de la extensión mínima del modelo estándar (modelo

no supersimetríco), conocido como el modelo de dos dobletes de Higgs (2HDM), quees la parte principal de este trabajo. Tratamos el rompimiento de simetría en el modelo,encontramos la matriz de masas necesaria para obtener el espectro de masas de las partículasinvolucradas en esté modelo, y detallamos la forma como se diagonaliza la matriz de masas.Describimos la relación entre los parámetros del potencial de Higgs y sus eigenestados denorma. Resumimos todos los resultados obtenidos.En la última parte se consideran algunos modelos alternos al modelo estándar, especí-

�camente modelos de origen supersimétrico. Estos temas se abordan de una manera muygeneral.Se incluye en el apéndice los desarrollos matemáticos del capítulo del modelo de dos

dobletes de Higgs.

Capítulo 2

El Modelo Estándar

El modelo estándar (ME) de la física de partículas elementales, es una teoría de cam-po cuántico relativista que describe las interacciones electromagnéticas, débiles y fuertesentre las partículas elementales, el cual uni�ca las interacciones electromagnética y débil(electrodébil), [3], [4]. La teoría está basada en un principio de norma, en el cual todaslas fuerzas de la naturaleza son mediadas por un intercambio de campos de norma delcorrespondiente grupo de simetría local. El grupo de simetría del ME es la simetría lo-cal SU(3)C � SU(2)L � U(1)Y . El único ingrediente fundamental predicho por el modeloestándar que no ha sido encontrado en el laboratorio es la partícula de Higgs.

2.1. Simetría de norma

2.1.1. Teorías de Norma Abelianas: U(1)La invariancia de los sistemas bajo transformaciones de simetría implica un conjunto

apropiado de leyes de conservación. Esta conexión entre simetrías y leyes de conservaciónestá descrita por el teorema de Noether (1918). Las simetrías que tienen gran importanciaen las leyes de la física son las llamadas simetría global y local. Estas simetrías son la basede la teoría de relatividad de Einstein y el modelo estándar de física de partículas. Con esto,el principio más importante en la construcción de toda teoría fundamental es que ésta debeser invariante bajo ciertas transformaciones de norma local. De los dos tipos de simetrías,la simetría local es mucho más importante, ya que ésta nos conduce a una descripciónapropiada de las fuerzas de la naturaleza.Se inicia diferenciando la invariancia de norma U(1) global y local. Una transformación

de la forma

�(x)! U�(x); U = e�i�; (2.1)

es llamada transformación de norma global si � es una constante real arbitraria. Entonces,

8

CAPÍTULO 2. EL MODELO ESTÁNDAR 9

cualquier teoría que satisfaga la transformación de la Ec.(2.1) es llamada invariante de nor-ma global bajo el grupo U(1). Las transformaciones de norma locales son las que dependendel espacio-tiempo y son expresadas como

�(x)! U(x)�(x); U = e�i�(x); (2.2)

donde � (x) es una función real arbitraria. La lagrangiana de un fermión libre Llibre =� (i /@�m) 1 no es invariante bajo transformaciones locales, sin embargo esta invariancialocal puede ser restaurada si se introduce en la lagrangiana una derivada covariante D�

D� = @� + ieA�: (2.3)

El concepto de derivada covariante tiene una gran importancia en la formulación de lasteorías de norma, ya que éste generaliza las transformaciones de fases globales a las trans-formaciones de fases locales. A� es un cuadrivector de campo (potencial vectorial electro-magnético) que se transforma como A� ! A�� 1

e@�� (x), y da origen a un término cinético

en la lagrangiana Lcinetico = �14F ��F��

2. Así, construimos una lagrangiana que respetala simetría de norma U(1), entonces, LQED = � (i /@ �m) � 1

4F ��F�� , es la lagrangiana

de QED, por lo tanto, es un ejemplo de una teoría de norma Abeliana. La característicadel grupo Abeliano, es que tales transformaciones conmutan una con otra, es decir, no hayinteracción entre fotones a nivel árbol.

2.1.2. Teoría de Norma No Abeliana: SU(2)La teoría que contiene transformaciones no conmutativas son llamadas teorías de nor-

ma no abelianas. Este tipo de transformaciones fueron consideradas primero por Yang yMills (1954). Los grupos que son relevantes en el contexto de las teorías de norma noabelianas consiste de transformaciones representadas por matrices, que son parametrizadasen términos de un número �nito de parámetros. Tales grupos son llamados grupos de Lie.La teoría de norma de Yang-Mills es invariante bajo un grupo de Lie G con N gene-

radores de grupo T a (a = 1:::N), y se puede expresar los generadores como matriceshermíticas (de traza nula), satisfaciendo las relaciones de conmutación siguientes

�T a; T b

�= ifabcT c; (2.4)

donde fabc son las constantes de estructura del grupo G. Una transformación de normalocal debe ser expresada como

1 /@ = �@� y es un espinor de Dirac de cuatro componentes2F�� = @�A� � @�A� , F�� es el tensor de campo de electrodinámica


� (x)! exp (i�a (x)T a) � (x) ; (2.5)

donde �a (x) es el parámetro de transformación local. La derivada covariante se transformacomo

@� ! D� = @� � igTaAa�: (2.6)

donde g es una constante de acoplamiento. Aa� se transforma como

TaAa� ! exp (i�a (x)T a)

�TbA

b� (x) +

i

g@�

�exp (�i�c (x)T c) : (2.7)

El tensor de campo del término cinético de la lagrangiana está dado por

F a�� = @�Aa� � @�A

a� + gfabcAb�A

c� ; (2.8)

el cual es invariante de norma.

2.2. Modelo Electrodébil (GWS)Los ingredientes esenciales para construir el modelo electrodébil (SU(2)L � U(1)Y )

son la teoría de Yang-Mills, y el rompimiento espontáneo de la simetría . En vista quelas interacciones débiles no conservan paridad, los fermiones son descritos en términos decampos quirales los cuales son eigenestados de 5. El modelo tiene como campos materialeslos dobletes izquierdos L y singuletes derechos R del grupo SU(2) de leptones que tienecomo representación

��ee

�L

; eR;

��

�L

; �R;

��

�L

; �R; (2.9)

donde el subíndice L y R son las componentes izquierda y derecha, respectivamente. Comolos neutrinos son asumidos sin masa, los campos derechos de los �`s no son introduci-dos. Similarmente, las tres generaciones de los quarks son representadas como dobletes ysinguletes

�u�d�

�L

; u�R; d�R;

�c�s�

�L

; c�R; s�R;

�t�b�

�L

; t�R; b�R: (2.10)


donde � es el índice para el color (� = rojo, verde y azul).También se agrega un campo escalar complejo doblete de Higgs, donde '+ y '0 son

campos complejos descritos de la siguiente forma

� =

�'+

'0

�=

1p2

�'1 + i'2'3 + i'4

�: (2.11)

donde 'i (i = 1; :::; 4) son campos reales.La carga está dada por la formula de Gell-Mann-Nishijima:

Q = T3 +Y

2; (2.12)

donde Y es la hipercarga débil y T3 es la tercera componente del isoespín débil. A conti-nuación se muestran los números cuánticos para leptones y quarks en la representación delmodelo estándar.

Campos T T3 Y Q�e; ��; ��

12

12

�1 0eL; �L; �L

12

�12�1 �1

eR; �R; �R 0 0 �2 �1uL; cL; tL

12

12

13

23

dL; sL; bL12

�12

13

�13

uR; cR; tR 0 0 43

23

dR; sR; bR 0 0 �23�13

'+ 12

12

1 1'0 1

2�12

1 0'0� 1

212

�1 0'� 1

2�12�1 �1

Tabla 2.1: Números cuánticos para los campos

El grupo de norma SU(2)L � U(1)Y requiere de cuatro bosones de norma: tres paraSU(2), (W a

� ; a = 1; 2; 3) y uno para U(1), (B�). La Lagrangiana invariante de norma delmodelo SU(2)L � U(1)Y es de la forma:

LGWS = LG + LF + LS + LY ; (2.13)

donde LG es la Lagrangiana de los campos de norma, LF es la Lagrangiana de los fermiones,LS es la Lagrangiana del campo escalar y LY es la Lagrangiana del sector de Yukawa.Para la parte de los campos de norma tenemos


LG = �1

4B��B

�� 14W a��W

a�� ; (2.14)

donde

B�� = @�B� � @�B�;

W a�� = @� W

a� � @� W

a� + g�ajkW

j�W

k� ; (2.15)

y g es la constante de acoplamiento de norma de SU(2)L. Los campos de norma se trans-forman bajo el grupo de norma SU(2)L como

TaWa� ! exp

�i�a (x)

�a

2

�TaW

a� exp

��i�a (x)

�a

2

�+i

gexp

�i�a (x)

�a

2

�@� exp

��i�a (x)

�a

2

�;

B� ! B�; (2.16)

donde �a son las matrices de Pauli, que son los generadores del grupo SU(2), de�nidascomo

� 1 =

�0 11 0

�; � 2 =

�0 �ii 0

�; � 1 =

�1 00 �1

�: (2.17)

Para U(1)Y la Ec.(2.15)se transforma de la siguiente manera, donde g0 es la constantede acoplamiento de U(1)Y

B� ! B� +1

g0@�� (x) ;

W a�� ! W a

�� ; (2.18)

cuando el rompimiento de simetría es realizado, resulta una mezcla de los campos B� yW 3� . El siguiente término representa la Lagrangiana de los fermiones,

LF = �Ri �D�R + �Li �D�L: (2.19)

Para la Lagrangiana del campo escalar tenemos


LS = (D��)y (D��)� V

��+�

�; (2.20)

donde, D� es la derivada covariante y V��y�

�es el potencial escalar del doblete de Higgs.

La �2 es el parámetro masa y � es el acoplamiento de Higgs.

V��y

�= �2��y + �

��y

�2;

D� = @� �ig0

2B�Y �

ig

2W a� �a: (2.21)

Para la parte del sector de Yukawa

LY = �l�lL�eR + �u�qL ~�uR + �d�qL�dR + h:c; (2.22)

donde ~� = i� 2�� es un doblete SU(2)L y tiene hipercarga opuesta a �. Los parámetros

�l; �u; �d en la Ec.(2.22) son matrices 3�3 conocidas como acoplamientos de Yukawa y h:c:es hermitico conjugado. Hasta aquí todas las partes de la Lagrangiana en la Ec.(2.13) debenentrar sin algún término de masa, ya que esté violaría la invariancia de norma. Entonces, sedebe buscar alguna manera para generar las masas. La manera para dar masa a los bosonesy fermiones es conocido como mecanismo de Higgs.

2.3. El Mecanismo de Higgs

Como comentamos anteriormente, la manera de generar la masa de los bosones ylos fermiones es el rompimiento espontáneo de la simetría o mecanismo de Higgs. Esterompimiento de simetría ocurre cuando se elige un estado base único, el cual rompe espon-táneamente la simetría original de la Lagrangiana. Este mecanismo es una de las manerasconocida para dar masa a las partículas del modelo estándar sin violar la simetría de normaSU(2)L�U(1)Y . Para estudiar el rompimiento de la simetría consideremos la LagrangianaLS del campo escalar �; con potencial V

��y

�:

LS =1

2(D��)

yD�� V��y

�;

V��y

�= �2��y + �

��y

�2: (2.23)

Para encontrar, el espectro de excitación de la Lagrangiana encontramos el mínimo delpotencial V (�), los términos de orden superior de �n donde n > 4 deben ser excluidosde la lagrangiana, ya que producen in�nitos y no son renormalizables, [5], [6]. Entonces,


tenemos dos casos para el estudio del potencial, cuando �2 > 0 y �2 < 0 , con � siemprepositiva, para asegurar la estabilidad del vacío.Para el caso �2 > 0 y � > 0 , (Fig. 2.1). El potencial tiene el mínimo en � = 0; por

lo tanto, el valor de expectación del campo vale h0 j�j 0i � 0, se preserva la simetría de laLagrangiana. Entonces, la lagrangiana describe partículas con masa y de espín cero, y porlo tanto no es útil para el estudio de generación de masa.Ahora, para el caso �2 < 0 y � > 0, (Fig.2.2). Utilizando la condición de mínimo3,

podemos ver que el potencial tiene un mínimo distinto de cero, y no solo uno, sino que elsistema tiene una in�nidad de estados de vacío, es decir, el vacío es degenerado

��y = ��2

2�=v2

2: (2.24)

La cantidad v corresponde al vev del campo escalar �. De esta manera se elige de lain�nidad de estados un solo vacío de tal forma que rompemos la simetría de la lagrangianaoriginal, manteniendo la invariancia de la carga, es decir, elegimos de tal manera que loscampos reales sean '1 = '2 = '4 = 0 y '3 6= 0. Así, '3 la componente neutra del doblete� adquiere un vev distinto de cero, esto es

�vac�{o =1p2

�0v

�: (2.25)

Realizando, una expansión de la Ec.(2.25) alrededor del estado de vacío se puede escribir

� =1p2

�0

v +H

�; (2.26)

y utilizando la norma conocida como norma unitaria, se puede remover toda referenciaque exista de los bosones de Goldstone en la lagrangiana, [7]. Los bosones de Goldstoneson campos escalares sin masa, que aparecen cuando una simetría de norma global es rotaespontáneamente. Esto da origen al teorema de Goldstone.Teorema: Si una simetría global es rota espontáneamente, por cada generador del

grupo roto debe de aparecer en la teoría una partícula sin masa.En el caso de una simetría de norma local los bosones de Goldstone no aparecen en el

rompimiento de simetría, estos son absorbidos para dar masas a los bosones de norma.Entonces, la simetría es rota espontáneamente, de tal manera que se conserva la carga

(es decir, que la simetría de norma U(1)em de la QED se mantiene sin romper), así enforma simbólica puede representarse de la siguiente forma

3 @V@�y

= ��2 + 2��y

�= 0


Figura 2.1: Caso cuando �2 > 0 y � > 0 para el potencial de Higgs.

Figura 2.2: Caso cuando �2 < 0 y � > 0 para el potencial de Higgs.


SU(2)L � U(1)Yh�i! U(1)em: (2.27)

Los términos de masa para los bosones de norma surgen de la derivada covariante de laparte de la lagrangiana escalar, los fermiones consiguen su masa a través de los acoplamien-tos de Yukawa, de los fermiones y el doblete de Higgs. Para el caso de la lagrangiana escalarEc.(2.20) se sustituye la Ec.(2.26) en la derivada covariante Ec.(2.21), y se obtiene

(D��)y (D��) =

��@� � ig0

2B�Y �

ig

2W a� �a

��

��2 ; (2.28)

con esto se genera la masa de los bosones de norma, con excepción del fotón que debepermanecer sin masa. Los campos B� y W a

� aparecen mezclados. Usando el ángulo demezcla, se pueden expresar los campos B� y W a

� en términos de los campos rotados A� yZ� como

�A�Z�

�=

�cos �W sin �W� sin �W cos �W

��B�W 3�

�; (2.29)

donde �W es el ángulo de mezcla conocido como ángulo de Weinberg. Introducimos camposvectoriales cargados W�

� de�nidos como

W�� =

�W 1� � iW 2

�

�p2

: (2.30)

Después de la diagonalización obtenemos

e =g0gpg02 + g2

= g0 cos �W = g sin �W : (2.31)

Con esto se obtienen los siguientes resultados para las masas de los bosones W�� , Z y A

MW� =vg

2; MZ =

vpg02 + g2

2=

MW�

cos �W; MA = 0; (2.32)

v =1�p2GF

� 12

' 246 GeV, (2.33)

donde GF ' 1;166639� 10�5 (GeV )�2 es conocida como constante de Fermi.


Para la parte de Yukawa en la Ec.(2.13)

LY = �l�lL�eR + �u�qL ~�uR + �d�qL�dR + h:c

donde �l; �u; �d son matrices 3� 3 conocidas como acoplamientos de Yukawa. Cuando �adquiere un vev con la ecuación anterior se obtiene los términos masa para los quarks

Ml =�lvp2; Mu =

�uvp2; Md =

�dvp2

(2.34)

y para la masa escalar se tiene

MH = vp2�; (2.35)

En el caso de SU(3) se suma en la Lagrangiana un término adicional �14Ga2�� , con gc

la constante de acoplamiento del sector fuerte (QCD), entonces

Ga�� = @� Ga� � @� G

a� + gcfajkG

j�G

k� : (2.36)

y fajk es la constante de estructura del grupo SU(3) y la derivada covariante se modi�cacon�igcTaGa�, aquí hay 8 generadores del grupo SU(3) que son las matrices de Gell-Mann4.A continuación se muestran algunas cotas para la masa del Higgs MH que fueron

obtenidas mediante la solución analítica y númerica de las ecuaciones del grupo de renor-malización para el acoplamiento cuártico �H , [8].

153;5 � MH � 191;1GeV para un lazo.

148;5 � MH � 193;1GeV para dos lazos. (2.37)

Algunos resultados experimentales para las masas, obtenidos de Review of ParticlePhysics, [9].

4Ta =�a2 , a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8,

�1 =

0@ 0 1 01 0 00 0 0

1A ; �2 =

0@ 0 �i 0i 0 00 0 0

1A ; �3 =

0@ 1 0 00 �1 00 0 0

1A ; �4 =

0@ 0 0 10 0 01 0 0

1A ;

�5 =

0@ 0 0 �i0 0 01 0 0

1A ; �6 =

0@ 0 0 00 0 10 1 0

1A ; �7 =

0@ 0 0 00 0 �i0 i 0

1A ; �8 =1p3

0@ 1 0 00 1 00 0 �2

1A


< 6� 10�17eVg 0W 80;403� 0;029 GeVZ 91;1876� 0;0021 GeVH0 > 114;4 GeV 95%

e 0;5109� 4� 10�8MeV� 105;6583� 9� 10�6MeV� 1776;90� 20MeV�e < 17 eV�� < 270 keV�� < 35MeV

u 1;5 a 3;0MeVd 3 a 7MeVs 95� 25MeVc 1;25� 0;09 GeVb 4;20� 0;07 GeVt 174;2� 3;3 GeV

Tabla 2.2: Algunos Resultados Experimentales.

La Lagrangiana electrodébil debe ser escrita en forma diagonal antes del rompimientode simetría como

Lint = �gp2

��U 0L

�W+� D

0L + h:c

�; (2.38)

donde U 0 � (u0; c0; t0) y D0 � (d0; s0; b0) son vectores columna que describen eigenestadosdébiles. La mezcla de quarks surge porque términos de masa en la lagrangiana son permitidospara conectar los eigenestados débiles uno con otro. Las matrices MU;D en

Lm = ��U 0RMUU

0L + �D0

RMDD0L + h:c

�; (2.39)

contienen términos fuera de la diagonal. Diagonalizando estas matrices por medio de trans-formaciones unitarias separadamente sobre los campos izquierdos y derechos

R+QMQLQ = L+QM+QRQ = �Q; (2.40)

donde Q0L = LQQL ; Q0R = RQQR con Q = U;D. Usando la relación entre eigenestadosde masa y eigenestados débiles: U 0L = LUUL , D0

L = LDDL, se encuentra

Lint = �gp2

��UL

�W�V DL + h:c�; (2.41)

donde U � (u; c; t) y D � (d; s; b) son los eigenestados masa, y V � L+ULD. V es lamatriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa.En el caso de las tres generaciones, hay tres ángulos de mezcla más un ángulo de fase, el

cual genera violación de simetría CP . La simetría CP se basa en la uni�cación de la simetríaC y la simetría P (carga C y paridad P ). Las transiciones de cambio de carga a travésde las generaciones son descritas por la matriz unitaria de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa(CKM).


VCKM =

0@ Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

1A (2.42)

=

0@ c12c13 s12c13 s13e�i�13

�s12c23 � c12s23s13ei�13 c12c22 � s12s23s13e

i�13 s23c13s12s23 � c12c23s13e

i�13 �c12s23 � s12c23s13ei�13 c23c13

1A ;(2.43)

aquí cij � cos �ij, sij � sin �ij son etiquetadas por i,j = 1; 2; 3, �13 es la responsable detoda violación de CP . La contribución de Kobayashi y Maskawa fue predecir mucho antesdel descubrimiento de la tercera generación, que un ángulo de fase distinto de cero podríaser responsable de la violación CP . Otra forma de la matriz sugerida por Wolfenstein [5],[9] es:

V =

0@ 1� 12�2 � �3A(�� i�)

�� 1� 12�2 �2A

�3A(1� �� i�) ��2A 1

1A+O��4�; (2.44)

está introduce parámetros que en cierto modo aislan la fase de violación CP para transicionesimplicando la tercera generación. Donde los parámetros �; � y A son alrededor de 1 y� � Vus ' 0;22. Los resultados experimentales, [9], son

jVudj= 0;9728� 0;0030jVcdj= 0;230� 0;011

jVtdj=(7;4� 0;8)�10�3

jVusj= 0;2250� 0;0027jVcsj= 0;957� 0;017

jVtsj=(40;6� 2;7)�10�3

jVubj=(4;31� 0;30)�10�3jVcbj=(41;6� 0;6)�10�3

jVtbj> 0;78

Tabla 2.3: Resultados Experimentales de los Elementos de la Matriz de C-K-M.

2.4. ResumenComo se puede ver, el modelo estándar es una teoría de norma basada en el grupo de

simetría SU(3)C � SU(2)L � U(1)Y . Esta teoría tiene gran aceptación por sus grandesaciertos y predicciones. Entre sus grandes aciertos se encuentran el descubrimiento de losbosones W�y Z. También se tiene el descubrimiento de los quarks pesados charm, bottomy el top, y la predicción de las corrientes neutras.A pesar de todos estos grandes aciertos, el modelo estándar tiene limitaciones y por lo

tanto, el modelo estándar no se ha consolidado como la teoría �nal de física de partículas.Una de sus principales limitaciones es el bosón de Higgs, el cual es importante para elrompimiento de la simetría, esencial para la generación de las masas de las partículas, y elcual no ha sido descubierto todavía. El modelo contiene 19 parámetros �libres�: nueve masas


de fermiones, tres ángulos y una fase contenidas en CKM, tres constantes de acoplamiento(gc; g; g0), dos parámetros contenidos en el potencial de Higgs (mH ; �) y un ángulo defase que caracteriza el estado de vacío de QCD. El modelo no explica por qué hay tresgeneraciones, no explica la jerarquía de las masas. Tiene problemas de uni�cación de lasfuerzas. Experimentalmente hay evidencia de que los neutrinos tienen masa y el modeloestándar no considera masa para los neutrinos.Algunos problemas son resueltos en extensiones al modelo estándar, especialmente su-

persimétricas y se comentan en un capítulo posterior

Capítulo 3

El Modelo con dos dobletes deHiggs

Hay grandes motivaciones para extender el modelo estándar, primero, todas las partícu-las han sido descubiertas experimentalmente excepto la partícula de Higgs. No obstante, asus grandes aciertos, el modelo estándar tiene algunas limitaciones, que no son explicadas,por ejemplo:�Un número grande de parámetros�El mecanismo de rompimiento electrodébil no es claro�No se sabe si el Higgs es una partícula fundamental o compuesta�No explica el problema de la jerarquía de las masas.Es por estas causas que se ha decido estudiar algunas extensiones al modelo estándar, en

este caso la extensión mínima del modelo estándar conocido como el modelo estándar condos dobletes de Higgs (2HDM , no supersimétrico), el modelo 2HDM predice la existenciade un bosón de Higgs neutro ligero en bajas energías. El modelo 2HDM también tieneimportantes consecuencias cosmológicas (asimetría barionica), [10].Pero también, una gran motivación es la similitud del modelo 2HDM con el mode-

lo mínimo supersimétrico del modelo estándar (MSSM), posteriormente se comentaráalgunos otros modelos en un capítulo posterior.En el modelo de dos dobletes de Higgs lo que se hace es agrandar el sector escalar del ME

agregando un segundo doblete escalar SU(2) de Higgs, con idénticos números cuánticos,el cual suministra más bosones de Higgs cargados y neutros. Este tipo de modelo 2HDMapareció por primer vez en 1973 en un estudio hecho por T.D.Lee del fenómeno de violaciónde CP; [11].Aquí se muestra el método para obtener el espectro de masas de los bosones de Higgs

en el modelo 2HDM , que da la posibilidad de obtener las masas de los bosones de Higgsmediante la evolución de los parámetros �i`s en las ecuaciones del grupo de renormalización.

21

CAPÍTULO 3. EL MODELO CON DOS DOBLETES DE HIGGS 22

3.1. El Modelo 2HDMEl modelo de dos dobletes de Higgs es la mínima extensión del sector electrodébil del

ME. En el modelo 2HDM a diferencia del modelo más simple del ME se introducen doscampos escalares complejos dobletes de Higgs, que contienen 8 campos escalares reales, elmodelo predice la existencia de cinco partículas, tres neutras (A0) ; (h0; H0) y dos cargadas(H�). El potencial de Higgs se construye considerando estos dobletes:

�1 =

��+1�01

�=

��1 + i�2�3 + i�4

�; �2 =

��+2�02

�=

��5 + i�6�7 + i�8

�; ambos con (Y = +1) :

(3.1)

El potencial escalar de Higgs más general renormalizable e invariante de norma que sepuede construir con estos dos dobletes de Higgs esta dado por:

V = �21�y1�1 + �22�

y2�2 + �1

��y1�1

�2+ �2

��y2�2

�2+�3

��y1�1

��y2�2

�+ �4

��y1�2

��y2�1

�+1

2�5

��y1�2

�2+��y2�1

�2+ h:c

�+nh�6

��y1�1

�+ �7

��y2�2

�i��y1�2

�+ h:c

o+n�212

��y1�2

�+ h:c

o; (3.2)

donde �1; �2 y �i (i = 1; 2; 3; 4) son parámetros reales, y solamente �12 y �i (i = 5; 6; 7)son complejos en general, [14], [15].La corriente neutra de intercambio de sabor (FCNC) es suprimida en el sector leptóni-

co, y en el sector de quarks estan prohibidas por el mecanismo GIM [16] en la aproximaciónde un loop (GIM, Glashow, Iliopoulos y Maiani, 1970), y la violación de CP en el sector deHiggs es eliminada imponiendo una simetría conocida como simetría discreta Z2,

3.2. La simetría Z2Como se menciona anteriormente, la violación de CP y la corriente neutra de inter-

cambio de sabor son eliminadas posiblemente imponiendo la simetría Z2 en la Lagrangiana,esta simetría requiere que

�1 �! �1; �2 �! ��2 ó �1 �! ��1; �2 �! �2: (3.3)


Este tipo de simetría prohibe la transición �1 �! �2 . Esta simetría implica que �6 =�7 = �212 = 0 y mediante un cambio de fase se puede hacer que �5 sea real. También,esta el caso donde se puede eliminar los efectos FCNC peligrosas si las trasformacionesde la simetría discreta Z2 del potencial de Higgs es levemente rota, esto se consigue si�6 = �7 = 0 pero �212 6= 0: Y por último, el caso cuando la simetría Z2 es difícilmente rota,que implica que no exista base donde �6 = �7 = 0 . En este trabajo se examina el casodonde �6 = �7 = �212 = 0, donde el potencial está de acuerdo con las referencia [13], [12].La lagrangiana de interés no considerando los términos leptonicos tiene la forma

L = LKin +LY � V; (3.4)

donde LKin representa el término cinético que contiene la derivada covariante, que es laparte que genera las masas de los bosones y está representado como

LKin = (D��1)y (D��1) + (D��2)

y (D��2) ; (3.5)

donde la derivada covariante es D� = @� +ig0

2B�Y +

ig2W i��

i.LY contiene a los acoplamientos de Yukawa, que dan lugar a las masas de los fermiones.

Donde g(u;d)ij representa los acoplamientos de Yukawa, los superíndices (u; d) se re�ere alsector quark up y down, (L;R) son la parte izquierda y derecha de los quarks.

LY =Xi:j

�g(u)ij Li�

c2uRj + g

(d)ij Li�1dRj

�: (3.6)

LY no es el único tipo de lagrangiana de Yukawa que se conoce, mencionaremos los demása continuación.En la literatura [12], [19], [20], [21], [22] los tipos de modelos que más se discuten son

los siguientes: El Modelo tipo-I solo �2 acopla a todos los fermiones,

LY =Xi:j

�g(u)ij Li�

c2uRj + g

(d)ij Li�2dRj

�+ sector leptonico + h:c; (3.7)

en el Modelo tipo-II �2 acopla a los quarks up y �1 a los quarks down y leptones cargados

LY =Xi:j

�g(u)ij Li�

c2uRj + g

(d)ij Li�1dRj

�+ sector leptonico + h:c; (3.8)

en el Modelo tipo-III se consideran todos los términos en la Lagrangiana


LY =Xi:j

�g(u)1ij Li�

c1uRj + g

(d)1ij Li�1dRj + g

(u)2ij Li�

c2uRj + g

(d)2ij Li�2dRj

�+sector leptonico + h:c: (3.9)

En este estudio se considera la notación usada por Kominis, Chivukula, Ec.(3.6), [12].Y por último, el potencial escalar V invariante de norma y renormalizable, a partir del

cual se evalúan las masas de los Higgs resultantes,

V = �21�y1�1 + �22�

y2�2 + �1

��y1�1

�2+ �2

��y2�2

�2+�3

��y1�1

��y2�2

�+ �4

��y1�2

��y2�1

�+1

2�5

��y1�2

�2+��y2�1

�2�: (3.10)

3.3. Rompimiento de SimetríaLos dos dobletes de Higgs adquieren valores de expectación distintos de cero, después

del rompimiento de la simetría. Entonces, los valores de expectación de vacío (vev) puedenser introducidos de la siguiente manera en una forma general, [17]:

h�1i =1p2

�0v1

�; h�2i =

1p2

�u

v2ei�

�: (3.11)

Este tipo de vacío es conocido como el vacío cargado (u 6= 0). Este tipo de vev�s violala simetría U(1)em , es decir, viola la conservación de la carga. En este caso no es posibleextender la matriz de masa de los bosones de norma entre un sector neutral y cargado, lainteracción de los bosones de norma con los fermiones no preservan la carga eléctrica, asíeste tipo de vacío da algunas propiedades no físicas (fotón pesado), [18], [17], además violala simetría CP , donde � (0 � � < 2�) es el ángulo de violación CP explícito.Se tiene también el vacío neutro. Este vacío preserva la carga eléctrica (u = 0). Por lo

tanto, aquí se suprime la violación de CP , utilizando la simetría Z2, así que los vev�s quese utilizan son los siguientes

h�1i =1p2

�0v1

�; h�2i =

1p2

�0v2

�; (3.12)

donde v21 + v22 � v2 = (246 GeV)2, v1; v2 son reales y positivos, este tipo de vev conserva

la simetría U(1)em. Estos son los vev�s que se consideramos en este trabajo.


Para simpli�car el potencial Ec.(3.10) se introducen los siguientes operadores:

A = �y1�1; B = �y2�2; C0 = �y1�2; D0 = �y2�1; �21 = �m2

1; �22 = �m2

2; (3.13)

con esto el potencial tiene la forma:

V = �m21A�m2

2B + �1A2 + �2B

2 + �3AB + �4C0D0 +

1

2�5�C 02 +D02� : (3.14)

Ahora bien, de los ocho campos escalares que se tienen, solamente los valores deexpectación de los campos h�3i y h�7i son reales y diferentes de cero.

�1 =

��1 + i�2�3 + i�4

�; �2 =

��5 + i�6�7 + i�8

�; h�3i =

v1p2; h�7i =

v2p2; (3.15)

donde, después de la ruptura de simetría obtenemos

hAi = 1

2v21; hBi =

1

2v22; hC 0i =

1

2v1v2; hD0i = 1

2v1v2; (3.16)

h�1i = h�2i = h�4i = 0; h�5i = h�6i = h�8i = 0: (3.17)

Explícitamente los operadores tienen la siguiente forma

A = �21 + �22 + �23 + �24 , B = �25 + �26 + �27 + �28;

C 0 = �1�5 + i�1�6 � i�2�5 + �2�6 + �3�7 + i�3�8 � i�4�7 + �4�8;

D0 = �1�5 + i�2�5 � i�1�6 + �2�6 + �3�7 + i�4�7 � i�3�8 + �4�8: (3.18)

Entonces, la condición de mínimo del potencial requiere que

@V

@�1jh�1i;h�2i= 0;

@V

@�2jh�1i;h�2i= 0; (3.19)

esto es, la derivada evaluada en el vacío e igualada a cero. También para tener un mínimo,se requiere que la segunda derivada del potencial sea positiva, @2V

@�i@�j

��m��n

> 0. Entonces, la

forma de la derivada del potencial en términos de los operadores es:


@

@�iV

��h0j�ij0i

= h0j �m21

@

@�iA�m2

2

@

@�iB + 2�1A

@

@�iA+ 2�2B

@

@�iB

+�3B@A

@�i+ �3A

@B

@�i+ �4D

0@C0

@�i+ �4C

0@D0

@�i

+�5

�C 0

@

@�iC 0 +D0 @

@�iD0�j0i = 0: (3.20)

Así, esto condiciona los valores de los parámetros que en ella intervienen. Después derealizar todas las derivadas y simpli�car se obtienen las siguientes condiciones:

�21 + �1v21 + � v

22 = 0; ó v1 = 0; (3.21)

�22 + �2v22 + � v

21 = 0; ó v2 = 0; (3.22)

� � 1

2[�3 + �4 + �5] : (3.23)

De las dos expresiones anteriores se puede obtener restricciones importantes para loscuadrados de los valores de expectación en términos de los parámetros del potencial. Re-solviendo para v21 y v

22 se obtienen

v21 =��22 � �2 �

21

�1�2 � �2y v22 =

��21 � �1 �22

�1�2 � �2: (3.24)

Del requerimiento del potencial que �1 > 0 y �2 > 0, se tiene la siguiente restricción�1�2 � �2 > 0; lo cual implica

�1�2 > �2: (3.25)

Aquí se di�ere en la restricción que impone Kominis y Chivukula en la referencia [12],donde ellos están considerando el signo � en la Ec.(3.25).

3.4. Las Masas de los Bosones VectorialesLas masas de los bosones vectoriales se obtienen aplicando la derivada covariante al

campo de Higgs de la siguiente forma


2Xk=1

��@� + igT �W� +1

2ig0Y B�

��k

��2 ; (3.26)

donde Y es la hipercarga débil del campo de Higgs. Para el campo de Higgs constante setiene

�yk

��igT �W� +1

2ig0Y B�

��2�k = �yk ��igTiW i� +

1

2ig0Y B�

��2�k; (3.27)

��igTiW i� +

1

2ig0Y B�

��2 =

�gTiW

i� +

1

2g0Y B�

��gT jW �

j +1

2g0Y B�

�= g2W i

�W�j TiTj + g0gY TiW

i�B

� +1

4(g0)

2Y 2B�B

�;(3.28)

entonces

�yk

��igT �W� +1

2ig0Y B�

��2�k= g2W i

�W�j �

ykTiTj�k + g0gW i

�B�Y��ykTi�k

�+1

4(g0)

2Y 2B�B

� j�kj2

= g2W i�W

�j �

yk

�1

4�ij +

i

2"ijkTk

��k + g0gW i


�+1

4(g0)

2Y 2B�B

� j�kj2

=1

4

�g2W i

�W�i + (g

0)2Y 2B�B

��j�kj2 + g0gW i


�=

1

4

�g2W� �W� + (g0)

2Y 2B�B

��j�kj2 + g0gW�B

�Y ��ykT�k

�; (3.29)

donde se uso

TiTj =1

4�ij +

i

2"ijkTk; "ijkW

i�W

�j = 0: (3.30)

Los vev´s de la Ec.(3.29)

k h0j j�kj2 j0ik =1

2v2k; k h0j

��y2T�2

�j0ik =

1

2v2kTvac�k; (3.31)

Tvac�k =k h0j

��ykT�k

�j0ik

jk h0j�k j0ikj2 k = 1; 2: (3.32)

jTvac�kj2 =1

4: (3.33)


Explicitamente se tiene

k h0j�yk��igT �W� +

1

2ig0Y B�

��2�k j0ik=

1

4

�g2W� �W� + (g0)

2Y 2B�B

��kh0j j�kj2 j0ik

+g0gW�B�Y �k h0j

��ykT�k

�j0ik ;

=1

8v2k

�g2W� �W� + (g0)

2Y 2B�B

��k+1

2v2kg

0gW�B�Y �Tvac�k: (3.34)

Expandiendo el campoW� en componentes paralelas y perpendiculares a Tvac�k, [7],

W� � Wk� +W

?� ; Wk

� =W� �Tvac; W?� �Tvac = 0; (3.35)

W��W� = Wk��Wk� +W?��W?�; W� �Tvac =Wk

� �Tvac; (3.36)

W?� =

�W1

�;W2�

; Wk

� =W3�; Tvac = (0; 0; T3)vac ; (3.37)

W?� �W?

� = W 1�W

1� +W 2�W

2�: (3.38)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la Ec.(3.34)

k h0j�yk��gT �W� +

1

2g0Y B�

��2�k j0ik=

1

8v2k

�g2Wk��Wk� + g2W?��W?� + (g

0)2Y 2B�B

��+1

4v2kg

0gB�YWk�;(3.39)


1

2g0Y B�

��2�k j0ik=

1

8v2k

ng2Wk�Wk� + g2W?��W?� + (g

0)2Y 2B�B

� + 2g0gB�YWk�

o=

1

8v2kg

2

(W?��W?� +W

k�Wk� +

�g0

g

�2Y 2B�B

� + 2g0

gB�YWk

�

)

=1

8v2kg

2

"W?��W?� +

�Wk� +

g0

gB�Y

�2#: (3.40)

Ahora utilizando las relaciones siguietes


W (�)� =

W 1� � iW 2

�p2

; Z� =gW

k� + g0Y B�qg2 + (g0)2

; (3.41)

W?� �W?

� = W 1�W

1� +W 2�W

2� = 2W (+)� W (�)�; (3.42)

y remplazando en la Ec.(3.40) obtenemos


1

2g0Y B�

��2�k j0ik=

1

8v2kg

2

"2W (+)

� W (�)� + Z�Z�

1 +

(g0)2

g2

!#: (3.43)

Finalmente, el término cinético del campo de Higgs es

h0j2Xk=1

��@� + igT �W� +1

2ig0Y B�

��k

��2 j0i=

1

8v2g2

"2W (+)

� W (�)� + Z�Z�

1 +

(g0)2

g2

!#; (3.44)

donde

v2 =�v21 + v22

�; e = g sin � = g0 cos �; (3.45)

y como en el ME tenemos

1 +(g0)2

g2= 1 + tan2 � =

1

cos2 �;

MW =1

2vg; MZ =

MZ

cos �; A� =

Y g0�W

k� � gB�

�qg2 + (g0)2

;

donde A� es ortogonal a Z�; y se mantiene sin masa.


3.5. La Matriz de Masas en el sector escalar

Las masas y eigenestados están de�nidos por los parámetros �i; y �i del potencial deelección. Por lo tanto, para el estudio del espectro de masas, se tiene que calcular la matrizde masas la cual se de�ne como:

M2ij =

1

2

@2V

@�i@�j

��3=v1=

p2;�7=v2=

p2

; (3.46)

en forma explícita se tiene que la segunda derivada del potencial es:

@2V

@�j@�i=

��m2

1 + 2�1A+ �3B� @2A

@�j@�i+��m2

2 + 2�2B + �3A� @2B

@�j@�i

+2�1@A

@�j

@A

@�i+ 2�2

@B

@�j

@B

@�i+ �3

�@A

@�j

@B

@�i+@B

@�j

@A

@�i

�+�5

�@C 0

@�j

@C 0

@�i+@D0

@�j

@D0

@�i

�+ �4

�@C 0

@�j

@D0

@�i+@D0

@�j

@C 0

@�i

�+(�4D

0 + �5C0)

@2C 0

@�j@�i+ (�4C

0 + �5D0)

@2D0

@�j@�i: (3.47)

Después de realizar todas las 64 derivadas y evaluarlas en el mínimo y utilizando laEc.(3.21), los únicos elemento de la matriz de masas distintos cero son los siguientes:

M211 = M2

22 = �1

2(�4 + �5) v

22; M2

33 = 2�1v21; M2

44 = ��5v22;

M255 = M2

66 = �1

2(�4 + �5) v

21; M2

77 = 2�2v22; M2

88 = ��5v21;

M215 = M2

51 =M226 =M2

62 =1

2(�4 + �5) v1v2;

M237 = M2

73 = (�3 + �4 + �5) v1v2; M248 =M2

84 = �5v1v2: (3.48)

En una forma explícita tenemos que la matriz es:

M2ij =

0BBBBBBBBBB@

M211 0 0 0 M2

15 0 0 00 M2

22 0 0 0 M226 0 0

0 0 M233 0 0 0 M2

37 00 0 0 M2

44 0 0 0 M248

M251 0 0 0 M2

55 0 0 00 M2

62 0 0 0 M266 0 0

0 0 M273 0 0 0 M2

77 00 0 0 M2

84 0 0 0 M288

1CCCCCCCCCCA: (3.49)


Para encontrar las masas y eigenestados de masa se tiene que diagonalizar la matrizanterior, la cual se realiza mediante una diagonalización en bloques. Está diagonalizaciónse realiza mediante dos trasformaciones unitarias consecutivas de la forma siguiente:�

M2ij

�B= U2U1M

2ijU

y1U

y2 ; (3.50)

donde U1 = U y1 y U2 = U y2 . Los elementos de matriz distintos de cero de las trasformacionesunitarias son:

(U1)11 = (U1)25 = (U1)33 = (U1)44 = (U1)52 = (U1)66 = (U1)77 = (U1)88 = 1; (3.51)

(U2)11 = (U2)22 = (U2)33 = (U2)47 = (U2)55 = (U2)66 = (U2)74 = (U2)88 = 1: (3.52)

Con estas transformaciones se logra diagonalizar la matriz en bloques y se simpli�canconsiderablemente los cálculos.

�M2ij

�B=

0BBBBBBBBBB@

M211 M2

15 0 0 0 0 0 0M251 M2

55 0 0 0 0 0 00 0 M2

33 M237 0 0 0 0

0 0 M273 M2

77 0 0 0 00 0 0 0 M2

22 M226 0 0

0 0 0 0 M262 M2

66 0 00 0 0 0 0 0 M2

44 M248

0 0 0 0 0 0 M284 M2

88

1CCCCCCCCCCA: (3.53)

�M2ij

�B=

�M211 M2

15

M251 M2

55

��M233 M2

37

M273 M2

77

��M222 M2

26

M262 M2

66

��M244 M2

48

M284 M2

88

�: (3.54)

Ahora hay que proceder a una diagonalización de cada bloque.

3.6. Los Eigenestados de MasaSe considera la siguiente notación para identi�car los nuevos estados de masa:

�1 =

��+1�01

�; �2 =

��+2�02

�; h�3i =

v1p2; h�7i =

v2p2; (3.55)

donde


�+1 = �1 + i�2; �+2 = �5 + i�6; �01 = �3 + i�4; �02 = �7 + i�8;

y

�3 =v1 + h1p

2; �4 =

�1p2; �7 =

v2 + h2p2

; �8 =�2p2;

o en forma explícita la descomposición de los campos �1 y �2 es

�1 =

��+1

v1+h1+i�1p2

�; �2 =

��+2

v2+h2+i�2p2

�: (3.56)

Los campos físicos y los Goldstones se obtiene a través de transformaciones unitariasque diagonalizan a las submatrices correspondientes de la siguiente manera.

U�M2ijU

�1� = diag(m2

1;m22); (3.57)

donde U� es una matriz unitaria que diagonaliza cada matriz Mij de la matriz de blo-ques y m2

1;m22 son las masas, eigenvalores de Mij. Los eigenestados son obtenidos de la

transformación unitaria U� (� = �; �; )

�H0

h0

�= U�

�h1h2

�;

�G+

H+

�= U�

��+1�+2

�;

�G0

A0

�= U

��1�2

�; (3.58)

U y�U� = I; U y�U� = I; U y U = I: (3.59)

Como mencionamos al inicio, el sector de Higgs del modelo está compuesto del si-guiente espectro: dos escalares de Higgs con CP-par (H0; h0), un escalar CP-impar (A0), dosbosones de Higgs cargados (H�), y los bosones de Goldstone (G�; G0) que son absorbidospara dar masa a los bosones W� y Z .

3.7. ResultadosAhora bien, después de la diagonalización de la matriz en bloques, obtenemos las masas.

Las masas para los escalares de Higgs con CP-par (H0; h0), son:

M2H0;h0 =

h�1v

21 + �2v

22 �

��1v

21 � �2v

22

�p1 + x2

i; (3.60)


donde � es el ángulo de mezcla que surge de diagonalizar la submatriz de CP-par.

U� =

�cos� sin�� sin� cos�

�; tan� =

�x

1 +p1 + x2

�; x =

2v1v2�

(�1v21 � �2v22): (3.61)

Para los bosones cargados de Higgs (H�), y los Goldstones G�:

M2G� = 0 ; M2

H� = �1

2(�4 + �5) v

2; (3.62)

U� =

�cos � sin �� sin � cos �

�; y tan � =

v2v1; (3.63)

Como se esperaba los bosones de Goldstone se mantienen sin masa.Para el escalar CP-impar (A0) y el Goldstone neutral (G0), se tiene:

M2G0 = 0; M2

A0 = ��5v2; (3.64)

U =

�cos sin � sin cos

�; tan = tan � =

v2v1: (3.65)

donde v2 � v21 + v22 = (246 GeV)2 ; MW � gv

2; MZ =

vpg2+(g0)2

2: De las masas podemos

obtener las siguientes restricciones para los parámetros �`s. Primero, por requerimiento delpotencial se tiene

�1 > 0; �2 > 0: (3.66)

De la expresión de la masa M2H� Ec.(3.62) se obtienen las siguientes restricciones

(�4 + �5) < 0; �5 < 0: (3.67)

De la Ec.(3.64) se obtiene también una restricción para �5, aunque el signo puede serelegido arbitrariamente por la elección de la fase en �2 que es la causante de violación deCP [20], [12].Y además, con la restricción obtenida anteriormente en la Ec.(3.25)

�1�2 > �2: (3.68)


Por otro lado, invirtiendo las Ecs.(3.60), (3.62), (3.64) se obtiene las siguientes rela-ciones para los parámetros �i .

�1 =M2H0 sin

2 �+M2h0 cos

2 �

2v21; �2 =

M2H0 cos2 �+M2

h0 sin2 �

2v22;

�3 = ��M2H0 �M2

h0

�sin 2�

2v1v2+2M2

H�

v2;

�4 =M2A0 � 2M2

H�

v2; �5 = �

M2A0

v2; (3.69)

donde, las masas se encuentran acopladas.Para el caso especial donde el ángulo de mezcla es � = ��

2las masas se desacoplan,

con excepción de �4 que combina a MA0 ; MH�.

MH0 = v1p2�1; Mh0 = v2

p2�2;

MH� = v

r�32; MA0 = v

pj�5j;

�4 =M2A0 � 2M2

H�

v2; (3.70)

y para este caso

� � 1

2[�3 + �4 + �5] �

1

2

�2M2

H�

v2+M2A0 � 2M2

H�

v2� M2

A0

v2

�= 0: (3.71)

3.8. ResumenSe ha ilustrado el metodo para obtener las masas de los campos de Higgs en la extensión

de dos dobletes de Higgs del modelo estándar, con este procedimiento se evalúan las masasde las cinco partículas físicas predichas por el modelo. Para simpli�car el análisis se haseleccionado de las diferentes formas de las lagrangianas propuestas una en especi�co,correspondiente al modelo tipo-II, [12], también se ha considerado la simetría Z2 paraeliminar la violación de CP, donde los valores de expectación de vacío son reales. A travésde la evaluación de las masas de las partículas, se obtuvo un grupo de condiciones que sonsatisfechas por los parámetros escalares del potencial que determinan los acoplamientospropios de los campos de Higgs introducidos en el potencial.También se mostró que el potencial de Higgs puede ser descrito usando las Ecs.(3.25)

en términos de siete parámetros independientes, tales como v; �; �; y las masasMH0 ; Mh0 ;MH� ; MA0.Se discutió el caso especial donde el ángulo de mezcla es � = ��

2con el cual se logra

un desacoplamiento entre las masas de los bosones de Higgs y puede ser muy interesante.

Capítulo 4

Escenario Actual

El ME está de acuerdo con todos los resultados experimentales obtenidos hasta elpresente, pero tiene las limitaciones mencionadas anteriormente. Algunos problemas sonresueltos parcialmente en modelos alternos al ME, especialmente considerando extensionessupersimétricas. Hay razones generales para suponer que las extensiones del ME son apro-piadas. La primera gran razón es el problema de la jerarquía, [23].Hay diversas maneras de extender el modelo estándar.Hay modelos que utilizan la misma estructura fundamental pero con nuevas intera-

cciones. Aquí entran los modelos supersimétrico, gran uni�cación, dimensiones extra, etc.Otros consideran nuevos campos fundamentales con nuevas interacciones. Así aparecen

los modelos compuestos, tecnicolor, tecnicolor extendido, etc.Aspectos fenomenológicos de supersimetría son discutidos en la extensión supersimétri-

ca mínima del modelo estándar (MSSM). La característica de la extensión supersimétricadel ME es la inclusión de al menos dos dobletes de Higgs, lo que resulta en un sector deHiggs extendido.

4.1. Supersimetría (SUSY)

La supersimetría es una simetría que relaciona a los fermiones y bosones [24], en generalrelaciona partículas de diferente espín. Este tipo de simetría fermión-bosón no ha sidoobservada en la naturaleza. La supersimetría es independiente de alguna simetría internatal como la simetría de norma, y por lo tanto conecta un par de partículas, �superpareja�deuno a otro con diferente espín pero con los mismos números cuánticos como isoespín débil,carga eléctrica, color, etc. Sin embargo, la supersimetría resuelve el problema de jerarquíadebido a la cancelación de divergencias cuadráticas, uni�ca los acoplamientos de normaen la escala de 1016 GeV y en algunas circuntancias suministra un buen candidato paramateria oscura (partícula neutra estable).

35

CAPÍTULO 4. ESCENARIO ACTUAL 36

4.2. Modelo Estándar Mínimo Supersimetríco (MSSM)El modelo estándar mínimo supersimétrico (MSSM) es la extensión supersimétrica del

modelo estándar. Éste contiene al menos dos dobletes de Higgs con hipercarga opuesta(�1

2), como el modelo 2HDM , contiene cinco partículas de Higgs físicas. Contrario al

modelo estándar que tiene 19 parámetros, el modeloMSSM más general tiene un máximode 124 parámetros independientes. Que comprenden: 3 constantes de acoplamiento, 3 masasde gaugino y 2 fases de gaugino, 4 parámetros del sector Higgssino y una fase, 9 masas defermiones, 21 masas de squark y sleptones, 39 ángulos de mezcla y 41 fases y el parámetro� de QCD, [25].ElMSSM establece que cada fermión esté acompañado con un par de bosones (llama-

dos sfermiones) y cada bosón de norma con una correspondiente super-pareja (fotino, wino,bino y gluino) y el bosón de Higgs tiene una super-pareja fermionica llamada el Higgsino(s = 1

2).

El MSSM tiene la misma estructura de grupo de norma como el modelo estándar, elcual especi�ca las interacciones de norma. El superpotencial más general del MSSM es

WMSSM = �uyuQHu � �dydQHd � �eyeLHd + �HuHd +W /B +W /L; (4.1)

donde yu; yd; ye son las matrices de acoplamiento de Yukawa de los leptones y quarks, �el término masa del higgssino. Los términos W /B;W /L son las partes que violan el númerobariónico y leptónico del superpotencial. La solución a está violación se logra imponiendouna simetría, llamada la simetría paridad-R, de�nida como

R = (�1)3B�L+2s ; (4.2)

donde B es el número bariónico, L el número leptónico, y s el espín, [26], [27].Los dobletes de Higgs son

Hu =

�H+u

H0u

�; Hd =

�H0d

H�d

�: (4.3)

Las componentes de isoespín débil de Hu son T3 = (+12;�1

2);con carga eléctrica 1; 0,

para el doblete Hd tenemos T3 = (+12;�1

2), el escalar neutral que corresponde al bosón de

Higgs físico del modelo estándar es una combinación lineal de H0u y H

0d .

En algunos modelos SUSY la partícula supersimétrica ligera (LSP, por sus siglas eninglés), es el neutralino ligero (~�01). Estas partículas ligeras son la combinación de gau-ginos neutros y higgssinos, los cuales son mezclados después del rompimiento de simetríaelectrodébil.


El neutralino ligero es una partícula masiva interactuando débilmente (WIMP, por sussiglas en inglés) y es un buen candidato para materia oscura. Los neutralinos no interaccio-nan electromagneticamente, por lo mismo no pueden ser detectados en colisionadores. Solouna pérdida energía de 2m~�01

es observada como dos LSP dejando el detector. Solamente lapérdida de energía asociada a la componente transversal del momento puede ser observadaen el colisionador de hadrones.Después del rompimiento de la simetría, de los ocho grados de libertad de los dobletes

de Higgs, tres son las componentes longitudinales de los bosones de norma Z0 y W� queadquirieron masa. Los otros cinco son los eigenestados masa de las partículas de Higgs: dosescalares (h0; H0), un pseudoescalar (A0), dos cargados (H�).ElMSSM tiene propiedades fenomenológicas importantes si las superpartículas adquie-

ren masas no mayores a un 1 TeV cuando la SUSY se rompe levemente. ElMSSM tienepredicciones para experimentos de altas energías que pueden ser examinados en el LHC, éstesuministra la existencia de a lo menos un bosón de Higgs neutral ligero con una masa límitedel orden de Ô(140 GeV). La supersimetría está conectada al concepto de dimensionesextras en el modelo de dos branas de Randall y Sundrum.

4.3. Dimensiones ExtrasEl objetivo de introducir dimensiones extras es para simpli�car la estructura de una teoría

uni�cada. El primero en introducir la quinta dimensión para uni�car el electromagnetismo yla teoría escalar de la gravedad, fue el físico �landés Gunnar Nordström en 1914. Está ideafue redescubierta por el matemático alemán Theodor Kaluza alrededor de 1920 y el físicosueco Oskar Klein en 1926.La idea de dimensiones extras tiene características atractivas: (1) éstas deben reinter-

pretar el problema de la jerarquía y (2) los efectos gravitacionales podrán ser examinadosen colisionadores en la escala de TeV. Uno de los modelos de dimensiones extras que hasido introducido es el modelo Arkani-Hamed, Dimopoulos y Dvali (ADD) en 1998, [28]. Ensu modelo hay en principio cierto número de dimensiones extras y la materia ordinaria eslocalizada sobre la brana. Los campos del modelo estándar están sobre una brana contenidaen 2 a 6 dimensiones extra. Entonces, el límite superior del tamaño de la dimensión extraes colocado por interacción gravitacional. La escala fundamental MD de la teoría es identi-�cada con la escala electrodébil, MD � TeV y MPl � 1019GeV (MPl =MD (rMD)

D�42 ),

r es el radio de compacti�cación.Alrededor de un año después, Randall y Sundrum propusieron el modelo de dimensión

extra deformada (RS), [29]. En este modelo hay solamente una dimensión extra, peroesta fuertemente curvada debido a la constante cosmológica negativa grande. Este tipode espacio es conocido como espacio anti de Sitter (AdS). La métrica del modelo RS esescrita como


ds2 = e�2krc��dx�dx� � r2cd�

2 (4.4)

donde k es la escala del orden de Mp, x es la coordenada de la métrica cuatro-dimensionalordinaria y � es la coordenada de la dimensión extra, limitada al intervalo 0 � � � �.Esta métrica no es factorizable, ya que no es independiente de �. Aquí, la jerarquía grandeentre la escala de Planck M p y la escala de uni�cación electrodébil es debida al factorexponencial de un número pequeño rc, lo que resuelve el problema de la jerarquía.

4.4. Higgs InvisibleEn los colisionadores los efectos de intensidad gravitacional son usualmente nulos cuando

se comparan con las interacciones de norma, si la escala fundamental no es muy baja. Porotro lado, los modos de Kaluza-Klein del gravitón que resultan de la compacti�caciónde la dimensión extra ofrecen una manera de contactar con la dimensión extra espacial.Una manera es ver a las partículas que tienen los mismos números cuánticos como lasmismas excitaciones de Kaluza-Klein. Entonces, el bosón de Higgs es un candidato: este esun escalar sin número leptónico o bariónico, color o carga. Lo mismo se aplica al campograviescalar H(n̂): Así, esto es posible que el bosón de Higgs pueda decaer invisiblementepor oscilaciones a un graviescalar Kaluza-Klein. Entonces, esto es posible que el bosón deHiggs pueda tener una sustancial razón de decaimiento (branching ratio) para decaer entreestados �nales invisibles, [30].Los efectos de dimensiones extra sobre los modos de decaimiento del campo de Higgs

depende del tamaño de la dimensión extra.

4.5. Higgs CompuestoOtra manera de resolver el problema de la jerarquía es hacer el bosón de Higgs de un

tamaño �nito. Esto sería posible si el bosón de Higgs es un objeto compuesto de algunosconstituyente elementales, [26]. Aquí se introduce una nueva fuerza de norma llamada�ultracolor�, y un nuevo conjunto de ultrafermiones sin masa. Entonces, surgen bosonespseudo-Goldstones cuando la simetría global está rota, correspondientes a los generadoresrotos. Sin embargo, la simetría electrodébil se mantiene sin romper. En particular, se puedegenerar las masas de los leptones y quarks de un tamaño apropiado, y a la vez se suprimenlas FCNC, [21]. Este es similar al modelo tecnicolor.

4.6. Higgs PequeñoEn los últimos 6 años nuevas soluciones al problema de la jerarquía han surgido, tales

como el modelo del Higgs pequeño. Este es un modelo con la posibilidad de encontrar nueva


física en escala de energías del orden de TeV. Las ideas del modelo del Higgs pequeño sonestabilizar la masa del bosón de Higgs, haciendo del Higgs un bosón pseudo-Goldstoneresultado de un rompimiento de simetría global, [31]. Las primeras ideas sobre el pseudo-Goldstones fueron propuestas en 1974 por Georgi y otros, [32]. El primer modelo quecancela toda divergencia cuadrática relevante basado sobre la idea de pseudo-Goldstonefue realizado por Arkani-Hamed, Cohen y Georgi en el 2001. Estos tipos de modelos estanbasados en simetrías complejas y mecanismos de rompimiento de simetría.

4.7. TecnicolorEl modelo tecnicolor fue introducido en la década de los setenta por Weinberg y

Susskind, [33]. Estas teorías no contienen un campo escalar de Higgs y la simetría elec-trodébil se rompe dinámicamente. Aquí en este modelo, aparecen interacciones de norma(tecnicolor) actuando entre nuevos tecnifermiones sin masa. Estos tecnifermiones tienennúmeros cuánticos de SU(3)C�SU(2)L�U(1)Y , más su carga tecnicolor. La interaccióntecnicolor es asintoticamente libre, y esta en una escala de energía de un TeV.En modelos tecnicolor extendidos (ETC) el rompimiento de simetría SU(2)L � U(1)Y

se transmite a los quarks y leptones mediante bosones de norma. De esta manera estaes una teoría renormalizable sin escalares fundamentales, el problema de la naturalidad essuprimido. Sin embargo, los modelos ETC que dan surgimiento a las masas correctas defermiones tiene problemas con FCNC grandes, bosones pseudo-Goldstone y medidas deprecisión electrodébil.Tecnicolor fue introducido primero como un mecanismo para el rompimiento de simetría

electrodébil, el cual no depende de la existencia de campos fundamentales escalares, pero esposible construir modelos tecnicolor conteniendo escalares fundamentales. La fenomenologíade estos modelos es aceptable para un rango de parámetros grande. Existe otra manera enque los dobletes escalares no tengan masa, aunque los estados escalares físicos adquieranmasa de correciones radiativas, [34].

4.8. Resumen

En vista que el modelo estándar tiene algunas limitaciones, en la década de 1970 em-pezaron a surgir distintas extensiones al modelo tratando de resolver algunos de estosproblemas. Aquí, se resumen algunos de los escenarios distintos alternos al modelo están-dar, los modelos se consideran en una forma muy general, sin profundizar en desarrollosmatemáticos. La idea es dar una vista panorámica de las ideas diferentes de investigaciónque se están realizando en la actualidad.A pesar de los grandes adelantos teóricos de la actualidad, todavía estamos limitados

por los experimentos. Pero en esta última generación de aceleradores se espera obtenerresultados relevantes.

Capítulo 5

Conclusiones Finales

Como vimos en el capítulo dos, uno de los elementos básicos e importantes del modeloestándar es el bosón de Higgs. Conociendo el valor de la masa podria descubrirse en ellaboratorio. Esta masa puede ser determinada mediante la solución de las ecuaciones delgrupo de renormalización, [8], con el acoplamiento cuártico �. Aquí se pueden resaltardos preguntas, ¿Qué pasaría si el bosón de Higgs no es encontrado en el LHC? ¿ya nofuncionaría el modelo estándar?.Primero, estamos de acuerdo en que el ME es consistente tanto teórica como experi-

mentalmente, por este lado, el ME no tendría que cambiar. Segundo, si el bosón de Higgsno es encontrado se tendría que buscar otro mecanismo para la de generación de las masas.Como vimos se han propuesto varios escenarios alternos al ME, desde los supersimétricos

hasta los no supersimétricos. Algunas de estas extensiones resuelven el problema de lajerarquía, la uni�cación de las fuerzas, otros incorporan la fuerza de gravedad, pero noexiste todavía una teoría del todo. Hay modelos que consideran que el Higgs es compuesto.En el caso de Tecnicolor se resuelve la jerarquía, debido a que no la considera. La versiónmínima de los modelos sin Higgs, son inconsistentes con las observaciones ya que predicennuevos bosones de norma, con masas igual a nW , (n > 2).No obstante, la supersimetría es el modelo que sigue siendo el predilecto teóricamente,

aunque experimentalmente no se ha observado alguna super-partícula. Las predicciones deestos modelos se encuentran en la escala de los TeV�s. Mientras no se observen, no dejande ser más que puros modelos matemáticos.Se tendrá que esperar a los primeros resultados experimentales que arroje el LHC , en

el año 2008, donde se podría encontrar la partícula de Higgs o nueva física.

40

Apéndices

41

Apéndice A

Desarrollos

A.1. El potencial escalar de HiggsEl potencial más general, renormalizable, invariante de norma y conservando CP(simetría

Z2), que se puede construir con dos dobletes de Higgs es de la forma:

V = �21�y1�1 + �22�

y2�2 + �1(�

y1�1)

2 + �2(�y2�2)

2 + �3(�y1�1)(�

y2�2)

+�4(�y1�2)(�

y2�1) +

�52[(�y1�2)

2 + (�y2�1)2]; (A.1)

los dobletes de Higgs tiene la forma:

�1 =

��1 + i�2�3 + i�4

�; �2 =

��5 + i�6�7 + i�8

�; (A.2)

sustituyendo �1 y �2 en el potencial.

V = �21(�21 + �22 + �23 + �24) + �22(�

25 + �26 + �27 + �28)

+�1(�21 + �22 + �23 + �24)

2 + �2(�25 + �26 + �27 + �28)

2

+�3(�21 + �22 + �23 + �24)(�

25 + �26 + �27 + �28)

+�4[�1�5 + �2�6 + �3�7 + �4�8 + i(�1�6 + �3�8 � �2�5 � �4�7)]

�[�5�1 + �6�2 + �7�3 + �8�4 + i(�5�2 + �7�4 � �6�1 � �8�3)]

+�52[(�1�5 + �2�6 + �3�7 + �4�8 + i(�1�6 + �3�8 � �2�5 � �4�7))

2

+(�5�1 + �6�2 + �7�3 + �8�4 + i(�5�2 + �7�4 � �6�1 � �8�3))2]: (A.3)

Para simpli�car los cálculos se introducen los siguientes operadores:

42

APÉNDICE A. DESARROLLOS 43

A = �y1�1 = �21 + �22 + �23 + �24;

B = �y2�2 = �25 + �26 + �27 + �28;

C 0 = �y1�2 = �1�5 + �2�6 + �3�7 + �4�8 + i(�1�6 + �3�8 � �2�5 � �4�7);

D0 = �y2�1 = �5�1 + �6�2 + �7�3 + �8�4 + i(�5�2 + �7�4 � �6�1 � �8�3);(A.4)

con estos operadores el potencial se reduce a la siguiente forma:

V = �21A+ �22B + �1A2 + �2B

2 + �3AB + �4C0D0 +

�52[C 02 +D02]: (A.5)

A.2. El Mínimo del PotencialPara encontrar el mínimo hay que considerar la siguiente condición:

@V

@�ijh�3i;h�7i= 0; donde (i = 1::;8); (A.6)

donde se tiene que evaluar la derivada en los valores de expectación de vacío:

h�3i =v1p2; h�7i

v2p2: (A.7)

Explícitamente la derivada del potencial tiene la forma:

@V

@�i= �21

@A

@�i+ �22

@B

@�i+ 2�1A

@A

@�i+ 2�2B

@B

@�i+ �3[A

@B

@�i+B

@A

@�i] (A.8)

+�4[C0@D

0

@�i+D0@C

0

@�i] + �5[C

0@C0

@�i+D0@D

0

@�i]:

Evaluando en el valor de expectación inmediatamente se puede observar que las derivadascon i = 1; 2; 4; 5; 6; 8 son cero, entonces, tenemos que:

@V

@�1=@V

@�2=@V

@�4=@V

@�5=@V

@�6=@V

@�8= 0; (A.9)

así, se obtiene como resultados de las derivadas:


@V

@�3= 2�3f�21 + 2�1�23 + (�3 + �4 + �5)�

27gh�3i;h�7i = 0;

@V

@�7= 2�7f�4�23 + �5�

23 + (�

22 + �3�

23 + 2�2�

27)gh�3i;h�7i = 0: (A.10)

Evaluandolas en el mínimo se consiguen dos condiciones:

�21 + �1v21 + �v

22 = 0 ó v1 = 0;

�22 + �2v22 + �v

21 = 0 ó v2 = 0; (A.11)

donde � � 12(�3 + �4 + �5). Resolviendo para v21 y v

22, se tiene

v21 =��22 � �2 �

21

�1�2 � �2y v22 =

��21 � �1 �22

�1�2 � �2: (A.12)

A.3. Diagonalización y Eigenestados de la Matriz deMasas

Para encontrar los eigenestados se realiza una diagonalización de matriz de masas,donde, la matriz de masas esta de�nida como:

M2ij =

1

2

@2V

@�j@�ijh�3i;h�7i : (A.13)

La segunda derivada con todos sus elementos tiene la forma:

@2V

@�j@�i= (�21 + 2�1A+ �3B)

@2A

@�j@�i+ (�22 + 2�2B + �3A)

@2B

@�j@�i

+(2�1@A

@�j+ �3

@B

@�j)@A

@�i+ (2�1

@B

@�j+ �3

@A

@�j)@B

@�i

+(�4@C 0

@�j+ �5

@D0

@�j)@D0

@�i+ (�4

@D0

@�j+ �5

@C 0

@�j)@C 0

@�i

+(�4C0 + �5D

0)@2D0

@�j@�i+ (�4D

0 + �5C0)@2C 0

@�j@�i: (A.14)


Efectuando las derivadas y sustituyedo los valores de expectación, los únicos términosno nulos son 16 elementos de matriz. Sustituyendo los valores de las �`s de las Ecs.(A.11),se tienen los siguientes resultados:

M211 = M2

22 = �21 + �1v21 + �3

v222;

M233 = �21 + 3�1v

21 + (�3 + �4 + �5)

v222;

M244 = �21 + �1v

21 + (�3 + �4 � �5)

v222;

M255 = M2

66 = �22 + �2v22 + �3

v212;

M277 = �22 + 3�2v

22 + (�3 + �4 + �5)

v212;

M288 = �22 + �5v

22 + (�3 + �4 � �5)

v212;

M215 = M2

51 =M262 =M2

26 = (�4 + �5)v1v22;

M237 = M2

73 = (�3 + �4 + �5)v1v2;

M248 = M2

84 = �5v1v2: (A.15)

Simpli�cando resulta

M211 = M2

22 = �(�4 + �5)v222;

M233 = 2�1v

21;

M244 = ��5v22;

M255 = M2

66 = �(�4 + �5)v212;

M277 = 2�2v

22;

M244 = ��5v21;

M248 = M2

84 = �5v1v2;

M215 = M2

51 =M262 =M2

26 = (�4 + �5)v1v22;

M237 = M2

73 = (�3 + �4 + �5)v1v2: (A.16)

La forma de la matriz explícitamente es:


M2ij =

0BBBBBBBBBB@

M211 0 0 0 M2

15 0 0 00 M2

22 0 0 0 M226 0 0

0 0 M233 0 0 0 M2

37 00 0 0 M2

44 0 0 0 M248

M251 0 0 0 M2

55 0 0 00 M2

62 0 0 0 M266 0 0

0 0 M273 0 0 0 M2

77 00 0 0 M2

84 0 0 0 M288

1CCCCCCCCCCA: (A.17)

Se tiene que diagonalizar la matriz anterior. Para lograrlo se realizan dos transforma-ciones unitarias para poder diagonalizar en bloques la matriz. Las trasformaciones unitarias(donde U1 = U y1 ; U2 = U y2) tienen la forma:

�M2ij

�B= U2U1M

2ijU

y1U

y2 : (A.18)

U1 =

0BBBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCA; U2 =

0BBBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1


Con estas transformaciones unitarias se logra diagonalizar en bloques a la matriz ysimpli�car los cálculos

M2ij =

0BBBBBBBBBB@

M211 M2

15 0 0 0 0 0 0M251 M2

55 0 0 0 0 0 00 0 M2

33 M237 0 0 0 0

0 0 M273 M2

77 0 0 0 00 0 0 0 M2

22 M226 0 0

0 0 0 0 M262 M2

66 0 00 0 0 0 0 0 M2

44 M248

0 0 0 0 0 0 M284 M2

88


Con esta diagonalización en bloques, se puede diagonalizar completamente la matriz diag-onalizando cada submatriz.


M2ij =

�M211 M2

15

M251 M2

55

��M233 M2

37

M273 M2

77

��M222 M2

26

M262 M2

66

��M244 M2

48

M284 M2

88

�: (A.21)

Explícitamente, cada submatriz tiene la forma:

�M211 M2

15

M251 M2

55

�=

�(�4 + �5)

v222

(�4 + �5)v1v22

(�4 + �5)v1v22

�(�4 + �5)v212

!=

��v

22

2�v1v2

2

�v1v22

��v21

2

!;�

M233 M2

37

M273 M2

77

�=

�2�1v

21 (�3 + �4 + �5)v1v2

(�3 + �4 + �5)v1v2 2�2v22

�=

�2�1v

21 2�v1v2

2�v1v2 2�2v22

�;�

M222 M2

26

M262 M2

66

�=

�(�4 + �5)

v222

(�4 + �5)v1v22

(�4 + �5)v1v22

�(�4 + �5)v212

!=

��v

22

2�v1v2

2

�v1v22

��v21

2

!;�

M244 M2

48

M284 M2

88

�=

��5v22 �5v1v2�5v1v2 ��5v21

�; (A.22)

donde � = (�4 + �5); y � = 12(�3 + �4 + �5):

A.4. Eigenvalores de las Submatrices

Las ecuaciones seculares de cada una de las submatrices son

��M2ij � wijI

�� = 0; (A.23)

�� v22

2� w12 �v1v2

2

�v1v22

��v21

2� w12

�� = w212 + w12�

2(v21 + v22) = 0; (A.24)

�� 2�1v21 � w34 2�v1v22�v1v2 2�2v

22 � w34

�� = w234�2w34(�1v21+�2v22)+4v21v22(�1�2��2) = 0; (A.25)

�� v22

2� w56 �v1v2

2

�v1v22

��v21

2� w56

�� = w256 + w56�

2(v21 + v22) = 0; (A.26)

�� 5v22 � w78 �5v1v2�5v1v2 ��5v21 � w78

�� = w278 + w78�5(v21 + v22) = 0: (A.27)


Resolviendo para cada w12; w34; w56; w78 resultan los siguientes eigenvalores

w12 ! w1 = 0; w2 = ��

2(v21 + v22); (A.28)

w34 ! w3 = (�1v21 + �2v

22) +

q(�1v21 + �2v22)

2 � 4v21v22(�1�2 � �2);

w4 = (�1v21 + �2v

22)�

q(�1v21 � �2v22)

2 + 4v21v22�

2; (A.29)

w56 ! w5 = 0; w6 = ��

2(v21 + v22); (A.30)

w78 ! w7 = 0; w8 = ��5(v21 + v22): (A.31)

A.5. Ángulo de Mezcla y las MasasPara encontrar el ángulo de mezcla y las masas se diagonaliza cada submatriz. Esto se

consigue de la siguiente manera

�m2i 00 m2

j

�=

�cos � sin �� sin � cos �

��M211 M2

12

M212 M2

22

��cos � � sin �sin � cos �

�: (A.32)

Haciendo c� = cos �, y s� = sin �:

�m2i 00 m2

j

�=

�Ec� + Fs� Gc� +Hs�

E (�s�) + Fc� G (�s�) +Hc�

�; (A.33)

donde

E = (M211c� +M2

12s�); G = (�M211s� +M2

12c�);

F = (M212c� +M2

22s�); H = (�M212s� +M2

22c�);

�m2i 00 m2

j

�=

�M211c

2� + 2M212s�c� +M2

22s2� M2

12 (c2� � s2�) + (M2

22 �M211) s�c�

M212 (c

2� � s2�) + (M222 �M2

11) s�c� M211s

2� � 2M212s�c� +M2

22c2�

�;


(A.34)

se tienen cuatro ecuaciones

m2i = M2

11c2� + 2M2

12s�c� +M222s

2�;

m2j = M2

11s2� � 2M2

12s�c� +M222c

2�;

0 = M212

�c2� � s2�

�+�M222 �M2

11

�s�c�;

0 = M212

�c2� � s2�

�+�M222 �M2

11

�s�c�: (A.35)

Resolviendo las dos últimas, obtenemos

tan 2� =2M2

12

M211 �M2

22

; (A.36)

entonces

sin 2� =2M2

12

x; cos 2� =

M211 �M2

22

x:

Sumando

�2M2

12

x

�2+

�M211 �M2

22

x

�2= 1;�

2M212

�2+�M211 �M2

22

�2= x2;q

4 (M212)

2+ (M2

11 �M222)

2= x; (A.37)

por lo tanto llegamos a

sin 2� =2M2

12q4 (M2

12)2+ (M2

11 �M222)

2; cos 2� =

M211 �M2

22q4 (M2

12)2+ (M2

11 �M222)

2: (A.38)

Las masas se obtienen de las otras dos ecuaciones. Para m2i se tiene


m2i = M2

11c2� + 2M2

12s�c� +M222s

2�;

m2i = M2

11

�1 + cos 2�

2

�+M2

12 sin 2� +M222

�1� cos 2�

2

�;

m2i = M2

12 sin 2� +M211 +M2

22

2+

�M211 �M2

22

2

�cos 2�;

m2i = M2

12

24 2M212q

4 (M212)

2+ (M2

11 �M222)

2

35+ M211 +M2

22

2

+

�M211 �M2

22

2

�24 M211 �M2

22q4 (M2

12)2+ (M2

11 �M222)

2

35 ;m2i =

1

2

8><>:4�M212

�2+ (M2

11 �M222)

2q4 (M2

12)2+ (M2

11 �M222)

2+M2

11 +M222

9>=>; ;

m2i =

1

2

�M211 +M2

22 +

q4 (M2

12)2+ (M2

11 �M222)

2

�: (A.39)

Entonces, para m2j hay un signo distinto a m

2i , pero se puede escribir como

m2i;j =

1

2

�M211 +M2

22 �q4 (M2

12)2+ (M2

11 �M222)

2

�: (A.40)

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Documents

El Modelo EstÆndar: Fundamentos e Inovaciones