El número real - Desigualdades e inecuaciones · PDF fileUniversidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Económicas y Estadística Ejercicios complementarios del libro “ÁLGEBRA

Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Económicas y Estadística Ejercicios complementarios del libro “ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS” Sagristá R.,Koegel L. y otros autores

Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto

Capítulo 1:“El número real - Desigualdades e inecuaciones” 1. Resuelve los sistemas de inecuaciones y representa en el eje real dichas soluciones.

a)

≤+

−>−

+

8)1(2

22

23

x

xxx

b)

+−+−>

≤+

−+−>−−

3

1

2

4

2

31

2

)1(32

2

31

xxx

x

xx

x

c)

>−

+≤−

462

2534 22

x

xx

2. Encuentra el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones. Expresa dicha solución en forma de intervalo, si es posible y representa en el eje real dichas soluciones.

a) 13

33

5

52 22

+−<−

+−−−x

xx

b) 21

3 ≥−x

c) 213

1 ≤−−−−

x

x

3. Dados los siguientes conjuntos:

<+∈= 1

7/

x

xRxA

≥−∈= 1

2

3.2/ xRxB

≤

−∈= 64

43/

xRxC

Encuentra y representa en el eje real el conjunto solución de:

a) � ∩ � b) � ∪ �



c) C 4. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser

verdadero explica la propiedad utilizada y en caso de ser falso, proporciona un contraejemplo.

a) 2

1120 <⇒<<

xx

b) Rxxx ∈∀=2



Respuestas a los ejercicios propuestos:

1.

a) S =( )1;−∞−

b)S =

− 2;2

1

c) S = φ

2.

a) S =

∞−2

5;

b) S = ( ) [ )+∞∞− ;10; U

c) S =

+∞−

−∞− ;5

1

3

1; U

3.

a) S =( )0;∞−

b) S = ( ] [ )+∞∞− ;21; U

c) S = [ ]12;4−

4.

a) Falso. Considera x=1 2

11210 >⇒<<

b) Falso: xx =2 .Considera por ejemplo x= -2



Ejercicios resueltos.

1. a)

Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2.

Resolvemos la primera inecuación

xxx −>

−+

22

23 ⇔

−−<+⇔ xx

x2

223 ⇔+−<+ xxx 223 ⇔<+ xx 23

⇔−<⇔−<− 2223 xxx 1−<x

Es decir, { } ( )1;1/1 −∞−=−<∈= xRxS

Resolvemos la segunda inecuación

3628228)1(2 ≤⇔≤⇔≤+⇔≤+ xxxx

Es decir, { } ( )3;3/2 ∞−=<∈= xRxS

Luego el conjunto solución del sistema es: { } ( )1;1/21 −∞−=−<∈=∩= xRxSSS

La representación gráfica en el eje real es:

b)

Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2

Resolvemos la primera inecuación

⇔+≤− 22 2534 xx ⇔+≤− 3524 22 xx ⇔≤ 82 2x ⇔≤ 42x ⇔≤ 42x ⇔≤ 2x

22 ≤≤− x



Es decir, { } [ ]2;222/1 −=≤≤−∈= xRxS

Resolvemos la segunda inecuación

5102642462 >⇔>⇔+>⇔>− xxxx

Es decir, { } ( )+∞=>∈= ;55/2 xRxS

Luego el conjunto solución del sistema es: φ=∩= 21 SSS

2.

b) Para encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación debemos primero restar 2 a ambos miembros y luego sacamos común denominador en el primer miembro

01

01

1021

321

3 ≥−⇔≥−⇔≥−−⇔≥−x

x

xxx

Al tener una inecuación fraccionaria mayor o igual a cero debemos pedir que el numerador y denominador tengan el mismo signo o que el numerador sea cero. Así tendremos dos sistemas de inecuaciones que se autoexcluyen.

(I)

>≥−

)2(0

)1(01

x

x ó (II)

<≤−

)4(0

)3(01

x

x

Luego si S es el conjunto de soluciones será la unión de cada una de las soluciones

III SSS ∪= y como 21 SSSI ∩= y 43 SSSII ∩=

Se trata entonces de unir las soluciones de los dos sistemas de ecuaciones: La solución del sistema I es

>≥

0

1

x

x

Es decir, { } [ )+∞=≥∈= ;11/ xRxSI

La solución del sistema II es

<≤

0

1

x

x

Es decir { } ( )0;0/ ∞−=<∈= xRxSII

Luego el conjunto solución es ( ) [ )+∞∪∞−=∪= ;10;III SSS

La representación gráfica es:



3.

Para poder realizar las operaciones pedidas debemos encontrar cada uno de los conjuntos A, B y C

• A=

<+∈ 1

7/

x

xRx

Resolvemos la inecuación

017

17 <−+⇔<+

x

x

x

x 0

7 <−+⇔x

xx0

7 <⇔x

Como el numerador es positivo, la única opción solución posible es:

0<x

Es decir, la solución es { } ( )0;0/ ∞−=<∈= xRxSA entonces A =( )0;∞−

• B=

≥−∈ 1

2

32/ xRx

Resolvemos la inecuación con valor absoluto:

12

32 ≥−x

2

1

2

3 ≥−⇔ x aplicando las propiedades del valor absoluto obtenemos

2

1

2

3

2

1

2

3 −≤−≥− xóx

2

3

2

1

2

3

2

1 +−≤+≥ xóx

12 ≤≥ xóx

Es decir, ( ] [ )+∞∪∞−= ;21;BS entonces ( ] [ )+∞∪∞−= ;21;B



• C=

≤

−∈ 64

43/

xRx

Resolvemos la inecuación, aplicando las propiedades del valor absoluto tenemos:

3

6

4

4

3

66

4

4366

4

43 ≤−≤−⇔≤

−≤−⇔≤

− xxx2

4

42 ≤−≤−⇔ x

4.244.2 ≤−≤−⇔ x

848 ≤−≤−⇔ x 4848 +≤≤+−⇔ x 124 ≤≤−⇔ x

Es decir, [ ]12;4−=CS entonces [ ]12;4−=C

Buscamos ahora los conjuntos pedidos:

a) ( )0;∞−=∩ BA

b) ( ] [ )+∞∪∞−=∪ ;21;BA

c) [ ]12;4−=C

4. a) Es falso. Puedes considerar por ejemplo el caso en que 1=x

210 << sin embargo 2

1

1

1 >

b) Es falso, xx =2

c) Por ejemplo si consideramos el caso en que 2−=x tenemos

( ) 2242 2 −≠==−

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