Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN
MATEMATİKSEL BİR MODEL
LOKMAN YÜNLÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI
ISPARTA 2008
T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN
MATEMATİKSEL BİR MODEL
Lokman YÜNLÜ
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Melek USAL
YÜKSEK LİSANS TEZİ MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİMDALI
ISPARTA- 2008
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne
Bu çalışma jürimiz tarafından MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI’ nda oy
birliği/oy çokluğu ile YÜKSEK LİSANS tezi olarak kabul edilmiştir.
Başkan: Yrd. Doç. Dr. Ümran ESENDEMİR
Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Müh.-Mim. Fakültesi Makine Mühendisliği
Üye: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL
Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Eğitimi
Üye: Yrd. Doç. Dr. Melek USAL (Danışman)
Kurum: Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makine Eğitimi
ONAY
Bu tez 23 / 01 / 2008 tarihinde yapılan tez savunma sınavı sonucunda, yukarıdaki jüri
üyeleri tarafından kabul edilmiştir.
…/…/20…
Prof. Dr. Fatma GÖKTEPE
Enstitü Müdürü
i
İÇİNDEKİLER
Sayfa
İÇİNDEKİLER. .................................................................................................. i
ÖZET .................................................................................................................. iii
ABSTRACT........................................................................................................ iv
TEŞEKKÜR........................................................................................................ v
ŞEKİLLER DİZİNİ............................................................................................. vi
SİMGELER DİZİNİ .......................................................................................... vii
1. GİRİŞ .............................................................................................................. 1
1.1. Sürekli Ortam Modeli .................................................................................. 9
1.2. Sürekli Ortam Hareketi ................................................................................ 10
1.3. Şekil Değiştirme........................................................................................... 12
1.4. Hareket ......................................................................................................... 22
1.4.1. Yay ve Hacim Elemanlarının Maddesel Türevi........................................ 25
1.4.2. Green- Gauss (Diverjans) Teoremi ........................................................... 28
1.5. Elektrostatik Denge Denklemleri................................................................. 32
1.5.1. Yük, Elektrik Alan ve Elektriksel Potansiyel ........................................... 32
1.5.2. Elektriksel Yer Değiştirme – Polarizasyon............................................... 33
1.5.3. Elektrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi ................................................ 34
1.6. Elektro – Termomekanik Denge Denklemleri ............................................ 36
1.6.1. Kütlenin Korunumu .................................................................................. 38
1.6.2. Lineer Momentum Denkliği...................................................................... 39
1.6.3. Açısal Momentum Denkliği...................................................................... 42
1.6.4. Enerji Denkliği .......................................................................................... 46
1.6.5. Termodinamiğin İkinci Kanunu (Clausius – Duhem Eşitsizliği).............. 52
2. KAYNAK ÖZETLERİ ................................................................................... 56
3. MATERYAL VE YÖNTEM .......................................................................... 62
3.1. Materyal ....................................................................................................... 62
3.1.1. Elastik Piezoelektrik Ortamların Termodinamiği ..................................... 62
3.1.2. Bünye Aksiyomları ................................................................................... 68
3.1.2.1. Nedensellik (Kozalite) Aksiyomu.......................................................... 68
3.1.2.2. Determinizm Aksiyomu......................................................................... 68
ii
3.1.2.3. Eşbulunma Aksiyomu ............................................................................ 69
3.1.2.4. Uygunluk Aksiyomu .............................................................................. 69
3.1.2.5. Objektivite Aksiyomu ............................................................................ 69
3.1.2.6. Maddesel Simetri Aksiyomu.................................................................. 71
3.1.2.7. Yöresellik Aksiyomu ............................................................................. 72
3.2. Yöntem......................................................................................................... 79
3.2.1. Anizotropik Ortamlarda Simetrik Gerime ve Polarizasyonun
Bünye Denklemlerinin Tayini................................................................. 79
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ......................................................................... 87
4.1. Asimetrik Gerilmenin Tayini ....................................................................... 87
4.2. Yarı-Lineer Teori ......................................................................................... 87
4.2.1. Yarı-Lineer Bünye Denklemlerinin Uzaysal Koordinatlardaki İfadeleri.. 88
4.3. Yarı – Lineer Teoride Asimetrik Gerilmelerin Tayini................................. 92
4.3.1. Maddesel Koordinatlarda.......................................................................... 92
4.3.2. Uzaysal Koordinatlarda............................................................................. 93
5. TARTIŞMA VE SONUÇ ............................................................................... 97
6. KAYNAKLAR ............................................................................................... 99
ÖZGEÇMİŞ ........................................................................................................ 102
iii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
ELASTİK PİEZOELEKTRİK BİR CİSMİN ELEKTRO-TERMOMEKANİK DAVRANIŞI İÇİN MATEMATİKSEL BİR MODEL
Lokman YÜNLÜ
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Makine Eğitimi Anabilim Dalı
Juri: Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL Yrd. Doç. Dr. Ümran ESENDEMİR
Yrd. Doç. Dr. Melek USAL (Danışman)
Bu çalışmada elastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışı modern sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarak incelenmiştir. Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve ikinci kanunlarının birleştirilmiş şekli, serbest enerji fonksiyonunun zamana göre maddesel türevi cinsinden ifade edilmiştir. Serbest enerji fonksiyonunun bağımsız değişkenleri; Green deformasyon tansörü ve elektrik alan vektörü olarak belirlenmiştir. Termodinamik kısıtlamaların neticesi olarak serbest enerji fonksiyonunun bir simetrik tansör ile bir polar vektöre bağlı olduğu görülmüştür. Maddesel ortamın malzemeden kaynaklanan esas yapısı itibariyle anizotrop olduğu varsayılmıştır. Maddesel simetri aksiyomu kullanılmış ve ortamın sıkışabilirliği göz önüne alınarak gerilme ve polarizasyona ait bünye denklemleri bulunmuştur. Malzemenin anizotrop olma durumunu dikkate alıp, gerilme potansiyeli yaklaşık teorilerden bulunmuş, mekanik ve elektromekanik etkileşimler nonlineer kabul edilerek seri açılımı yapılmıştır. Bu seri açılımda dikkate alınan terimlerin türü ve sayısı ortamın nonlineerlik mertebesini belirlemiştir. Seri açılımıyla ortaya konulan gerilme potansiyeli bünye denklemlerinde yerine yazılıp deformasyon tansörüne ve elektrik alan vektörüne göre türevi alınarak gerilme ve polarizasyon alanı denklemleri nonlineer formda elde edilmiştir. Elde dilden bünye denklemleriyle problem çözmek zor olacağından dolayı bünye denklemleri belli ölçülerde lineerleştirilmiştir. Elde edilen lineer bünye denklemleri balans denklemlerinde yerlerine konularak alan denklemlerine ulaşılmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Piezoelektrik, Polarizasyon, Anizotropi, Bünye Denklemleri, Gerilme, Lineerleştirme, Alan denklemleri.
2008, 102 sayfa
iv
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
A MATHEMATICAL MODEL FOR THE ELECTRO-THERMOMECHANICAL BEHAVIOR OF AN ELASTİC PİEZOELECTRIC
BODY
Lokman YÜNLÜ
Süleyman Demirel University School of Applied and Natural Sciences Machine Education Department
Thesis Committee: Asst. Prof. M. Reşit USAL
Asst. Prof. Ümran ESENDEMİR Asst. Prof. Melek USAL (Supervisor)
In this study, in the frame of modern continuum mechanics, the electro-thermomechanical behavior of an elastic piezoelectric body has been systematically studied. Second law of thermodynamics, combined with the fırst law and consistent with mechanical balance laws, has been written in terms of the time rate of free energy function. Its arguments have been furnished with Green deformation tensor and electric field in the reference state. After the thermodynamical constraints, it has been seen that free energy function depends on a symmetric tensor and one polar vectors. The materialistic medium is supposed to be anisotropic due to its main structure sourced from the material. Material symmetry axioms have been used and by considering compressibility of medium constitutive equations of stress and polarization fields have been obtained. Considering the state of being anisotropic of the material, stress potential have been found out from the approximate theories, by being accepted of the mechanical and electro mechanical interactions to be nonlinear, the series expansion has been done. The kind and number of terms, in this series expansion, determine the nonlinearity - degree for material. The stress potential that is appeared by the series expansion is written in the place of it in the constitutive equations and stress and polarization field equations have been obtained in the form of nonlinear by taking its rate according to the deformation tensor and the electrical field vector. The constitutive equations have been linearized in certain degrees because solving problems with the obtained constitutive equations are very hard. By putting the obtained linear constitutive equations in their places in the balance equations, field equations have been reached. KEY WORDS: Piezoelectric, Polarization, Anisotropy, Constitutive Equations, Stress, Linearization, Field Equations. 2008, 102 pages
v
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans çalışmamın yapılmasında yardım ve desteklerini esirgemeyen,
çalışmayı titizlikle yöneten ve beni yönlendiren değerli Danışman Hocam Yrd. Doç.
Dr. Melek USAL’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Tez çalışmalarımda karşılaştığım problem ve engellerde bilgi ve tecrübelerine
başvurduğum değerli Hocam Yrd. Doç. Dr. M. Reşit USAL’a sonsuz şükranlarımı
sunarım. Ayrıca, tezin yazılması esnasında yardımlarını esirgemeyen mesai
arkadaşlarım Arş. Gör. Ahmet KABUL ve Arş. Gör. Benek HAMAMCI ya teşekkür
ederim.
Bugünlere gelmemde büyük emekleri bulunan Annem, Babam ve Kardeşlerime
şükranlarımı sunuyorum.
Lokman YÜNLÜ ISPARTA, 2008
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa
Şekil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi............................................................. 10
Şekil 1.2. Maddesel ve uzaysal koordinatlar......................................................... 11
Şekil 1.3. Sürekli ortamda belli bir andaki şekil değiştirme ................................. 14
Şekil 1.4. Maddesel türev...................................................................................... 23
Şekil 1.5. Yay elemanındaki değişim.................................................................... 25
Şekil 1.6. Süreksizlik yüzeyi içeren bölge ............................................................ 29
Şekil 1.7. Hareketli süreksizlik yüzeyi.................................................................. 31
vii
SİMGELER DİZİNİ
EC Birim hacim başına elektrostatik kuvvet çifti
1, −KLKL CC Green – Piola deformasyon tansörleri
1, −klkl cc Cauchy – Finger deformasyon tansörleri
D Elektriksel yer değiştirme alanı
kld Şekil Değiştirme (genleme) hızı tansörü
dS, ds Deformasyondan önceki ve sonraki köşegen uzunluğu
∇⋅+∂∂
= vtDt
D Zamana göre hareketi takip eden türev
E Elektrik alan vektörü
klKL eE , Maddesel (lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme tansörü
klKL eE ~,~ Sonsuz küçük Lagrange ve Euler genleme tansörleri
f Birim kütle başına mekanik hacimsel kuvvet
[ ] −+ −= fff f ’ in süreksizlik yüzeyi boyunca sıçraması
EF Birim hacim başına düşen elektrostatik gövde kuvveti
K
kKkkK X
xxF∂∂
== , Deformasyon gradyanı
h Birim kütle başına ısı kaynağı
Eh Elektrostatik enerji kaynağı
Ii (i=1, 2, …..31) İnvaryant değerler
)3,2,1,(, =kKiI kK Maddesel ve uzaysal koordinatlardaki birim vektörler
FJ det= Deformasyon gradyanına ait matrisin determinantı
n Dış birim normal vektör
P Polarizasyon vektörü (elektrik dipol yoğunluğu)
viii
P Hidrostatik basınç
p P noktasının t anında uzaysal koordinatlardaki yeri
Q Maddesel koordinat sisteminin tam- ortogonal
transformasyon matrisi qf Birim hacme düşen serbest elektrik yükü
QK (X)=XK,k qk Maddesel koordinat sisteminde ısı vektörü
S Simetri grubuna ait dönüşüm matrisi
t Asimetrik gerilme tansörü
t Simetrik gerilme tansörü
)(nt n yüzeyine tesir eden gerilme vektörü
TT , T tansörü, T matrisi
kllLkKKL tXJXT ,,≡ Maddesel koordinatlarda antisimetrik gerilme tansörü
kllLkKKL tXJXT ,,≡ Maddesel koordinatlarda simetrik gerilme tansörü
u Yer değiştirme vektörü
vV , Deformasyondan önceki ve sonraki hacim
l
klk x
vV∂∂
=, Deformasyon hızı tansörü
,...)2,1(, =iii βλ Denklemleri kısaltmak için kullanılan kısaltmalar
ω Açısal hız vektörü
fw Yüzeysel serbest elektrik yük yoğunluğu
klw Spin tansörü
klKL δδ , Maddesel ve uzaysal koordinatlarda kronecker delta
ω Açısal hız vektörü
ix
ε Birim kütle başına iç enerji
0ε Boşluğun elektriksel permitivitesi
klmKLM εε , Maddesel ve uzaysal koordinatlarda permütasyon sembolü
η Birim kütle başına entropi yoğunluğu
θ (X,t) Bir t anında X maddesel noktasının mutlak sıcaklığı
ργ Birim kütle başına entropi üretimi
ρρ ,0 Deformasyondan önceki ve sonraki kütle yoğunluğu
σ Sürekli ortam içinde yer alan süreksizlik yüzeyi
ψρ0≡Σ Gerilme potansiyeli
kK xX , (K,k=1,2,3) Maddesel ve uzaysal koordinatlar
x,X Maddesel noktanın deformasyondan önce ve sonraki
konum vektörleri
ii PE1−−−≡ ρθηεψ Genelleştirilmiş serbest enerji yoğunluğu
∇ Gradyan operatörü
ρP
≡Π Birim kütle başına polarizasyon
Γ Toplam entropi üretimi
1
1. GİRİŞ
Bu çalışma, elastik piezoelektrik özellik taşıyan ortamların elektro-termomekanik
davranışlarını temsil eden bünye denklemlerine ait matematiksel bir modelin
oluşturulması amacını taşımaktadır. Modern sürekli ortamlar mekaniğinin temel ilke
ve aksiyomları, bu çalışmanın gerçekleştirilmesinde yol gösterici ve belirleyici
olmuştur. Hazırlanan bu tezin bilimsel bütünlük içindeki özel yerini tespit etmek için
gerekli görülen kavramlarla ilgili genel bilgiler aşağıda sistematik olarak verilmiştir.
Günümüzde mekanik ve malzeme bilimindeki gelişmeler ve eş zamanlı olarak ortaya
çıkan dizayn ve imalat teknolojilerindeki ilerlemeler çok sayıda yeni ve ileri
derecede mühendislik malzemesi üretti. Bu fonksiyonel malzemeler, mekanik,
elektrik, magnetik alan veya ısınma gibi bir dış fiziksel olayın etkisinde kaldığı
zaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme konusunda farklı davranışlar
sergilerler. Akıllı bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere
reaksiyon gösterebilen, kendisinden beklenen bir davranışı tüm kullanım süresi
boyunca optimum bir şekilde yerine getirebilen malzemelerdir. Piezoelektrik gibi
yarı iletken malzemeler, akıllı malzemeler sınıfına girmektedir. Gelişen ve yenilenen
teknolojide akıllı malzemelere olan talep her geçen gün daha da artmaktadır. Akıllı
malzemeler içinde piezoelektriğin yeri, mevcut kullanım alanlarının yoğunluğu
bakımından gelecekte de en çok ihtiyaç duyulan malzemelerden olacağının bir
göstergesidir. Bu tür malzemelerin nonlineer termomekanik davranışının bilinmesi
uygulama alanlarının genişlemesi bakımından faydalı olacaktır.
Piezoelektrik kelimesi Latince bastırmak-press anlamındaki “piezo” ön ekinden
türetilen bir kavramdır. Piezoelektrik iletken olmayan billurdan yontulmuş bir levha
belli bir doğrultuda uygulanan bir baskı (çekme ya da sıkıştırma) sonunda, billur
levhanın iki yüzünde ters işaretli yüklerin (+q ve -q) çıkmasıyla nitelendirilen bir
olaydır. Bilindiği gibi katı maddeler, yüklü parçacıklardan oluşur ve bir katı madde
içindeki negatif ve pozitif yüklü parçacıklar dengededir (yani katı madde elektriksel
olarak yüksüzdür). Ancak mekanik bir yolla malzeme üzerine mekanik bir kuvvet
uygulanarak, yüzey yüklerinin oluşması sağlanabilir. Bir kristalde piezoelektrik
2
özelliğin gözlenmesi bu yüzey yüklerinin oluşmasına bağlıdır. Fakat simetri
özellikleri bu yüklerin oluşması için gerekli koşulları kısıtlamaktadır. Bu nedenle
simetri merkezi olmayan kristaller bu iş için en uygun malzeme gurubunu
oluşturmaktadır. Elektriksel olarak yüksüz ve yapısal simetri merkezi bulunmayan
bir kristalde uygulanan basınç artı yüklerin merkezi ile eksi yüklerin merkezinin
birbirinden hafifçe ayrılmasına ve kristalin karşılıklı yüzeylerinde zıt yüklerin ortaya
çıkmasına neden olur. Yüklerin bu şekilde ayrılması bir elektrik alnı yaratır. Ve
kristalin karşılıklı yüzeyleri arasında ölçülebilir bir potansiyel fark oluşur.
Piezoelektrik etkiyi ifade eden bu sürecin terside geçerlidir. Ters piezoelektrik etkide
de karşılıklı yüzeylerin arasındaki bir elektrik gerilimi uygulanan kristalde boyutsal
bir şekil değişikliği oluşmaktadır.
Piezoelektrik etki 1880’de Pierre ve Jacgues Curie kardeşler tarafından
keşfedilmiştir. Pierre Curie önceleri Piroelektrik ve kristal simetrisi arasındaki ilgi
üzerine çalışmıştır. Bu çalışma, kardeşleri sadece basınçtan meydana gelen
elektriklenmeyi aramak zorunda bırakmış, fakat tahmini olarak basıncın ne yönde
uygulanabileceği ve kristal sınıflarının etkisi açıklanmamıştır. Aynı olay, turmalin ve
Rochelle tuzu gibi birçok diğer kristalde de bulunmuştur. Hankel “piezoelektrik”
ismini önermiştir. Piezoelektrik elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki bir
etkileşimdir. Doğrudan (direkt) piezoelektrik etki mekanik gerilme tarafından
üretilen elektrik kutuplanmasıdır. Piezoelektrik özellik malzemenin kristal yapı
yöneliminin bir sonucudur. Bu özellik, mekanik gerilmelerin etkisinde kaldığı zaman
bir elektrik alanı üretebilen veya tersine elektrik alana sokulduğu zaman deforme
olabilen belirli kristal yapıdaki malzemelerin bir yeteneği olarak ta tanımlanabilir
(Yünlü, 2006).
Piezoelektrik malzemeler, gösterdikleri hızlı davranıştan dolayı titreşim kontrolü ve
aktif yapısal akustik kontrol gibi küçük strokların gerekli olduğu yüksek frekans
uygulamalarında tercihli bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bir tetikleyicide veya
sensörde kullanılan piezoelektrik davranış bir elektrik alanın sebep olduğu gerinmeyi
hesaplayarak önceden tahmin edilebilir veya bu prosesin terside kullanılabilir.
Genellikle, gerinme ve elektrik alan arasındaki bağıntı nonlineerdir ve çevrim
3
esnasında gerinme-elektrik alan düzleminde bir histerisis olarak gözlenir. Bu
bağıntıyı tesis etmek için, tasarımcı zamanla, sürtünme etkisiyle, yaşlanma ve
piezoelektrik etkinin azalması ile değişen malzeme özelliklerini belirlemek zorunda
kalacaktır. Piezoelektrik malzemeler elektrik enerjisini mekanik enerjiye, mekanik
enerjiyi elektrik enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemeler oldukların için bu
özelliklerden yararlanılarak algılayıcı (sensör) ve tetikleyici (actuator) olarak sıkça
kullanılmaktadır. Elektrotlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında mekanik bir
hareketle cevap vermesi veya mekanik bir baskı sonucunda bünyesine bağlanan
elektrotlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelikli olarak yapısal
sistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıkarmıştır (Doğrukol, 2002).
Malzemelerin incelenmesi genellikle mikromekanik ve makromekanik olmak üzere
iki ana sınıfa ayrılır. Mikromekanik analiz, matris ve takviye elemanların fiziksel ve
mekanik özelliklerinden yola çıkarak malzemenin genel davranışına ait mekanik
özelliklerin bulunmasını hedefler. Mikromekanik metotlar, enerji metodu ve
malzeme mekaniği metodu olmak üzere üç kısım’a ayrılabilir. Enerji metodu,
malzemenin bütününe ait elastik özellikler için alt ve üst sınırları belirlemeye çalışır.
Elastisite metodu, elastisitenin alan denklemlerini, matris malzemesi ve takviye
elemanları arasındaki sınır şartlarını kullanarak elastik modülleri bulmaya yönelir ve
genellikle sayısal çözümleme tekniklerini kullanır. Malzeme mekaniği metodu ise
elemanter mukavemetin basitleştirici kabullerini kullanarak daha kolay yoldan
sonuca gider ve genellikle deneysel verilere uyum sağlayan sonuçlara ulaşmayı
hedefler. Makromekanik metotlar da üç temel sınıfa ayrılır. Bunlar, Lineer
Anizotropik Elastisite, Nonlineer Anizotropik Elastisite Teorisi ve Sürekli Ortamlar
Teorisidir. Lineer Anizotropik Elastisite genellikle tabakalı yapıların incelenmesinde
kullanılır ve tabakaya ait genelleştirilmiş hooke yasasını belirlemeye çalışır. Sonlu
elastisite yaklaşımında malzemenin bir deformasyon enerjisi dağılımına sahip olduğu
ve bu dağılımın deformasyon dağılımından etkilendiği, gerilme dağılımının ise bu
enerjinin deformasyon gradyanına göre türevinden elde edildiği bilinmektedir (Usal,
2001).
4
Mekanik, genel anlamda Kuantum Mekaniği ve Sürekli Ortamlar Mekaniği olarak
ikiye ayrılmaktadır. Kuantum Mekaniği fizikçilerin ilgi alanına girmekte, atomik ve
atom altı parçacıkların davranışını incelemektedir. Sürekli Ortamlar Mekaniği ise
daha çok mühendislerin ilgilendiği ve uygulamasını yaptığı bir alan olup kendine
özgü alt dallara ayrılmaktadır. Bunların arasında katılar Mekaniği ve Akışkanlar
Mekaniği önemli bir yer işgal etmektedir. Günümüzde mevcut olan gelişmiş
teknoloji farklı bilim dallarının işbirliği sonucunda ortaya çıkmıştır. Mekanik,
sistemlerin denge ve hareket şartlarını, sistemin tersinmezlik derecelerini, sistemin
mikro ve makro davranışlarını inceleyen bir bilim dalıdır. Mekanik, sistemleri ve
sistemlerin çevreleri ile etkileşimlerini incelerken kuvvet, hareket, deformasyon
analizi, ömür tahmini, boyutlandırma, işe yaramama koşulları, ekonomiklik,
dayanım, estetik gibi kavramları bir arada kullanır. Tüm bunlar olurken disiplinleri
işbirliğine zorlar ve dolayısıyla diğer bilim dalları ile ilişki kurarak gerek teorik
gerekse uygulamalı alanlarda temel ilkelerini onların paylaşımına sunar (Usal, 2001).
Sürekli ortamlar mekaniği, kütle dağılımı sürekli kabul edilebilen maddesel
cisimlerin mekanik davranışını belirlemekle uğraşan bir bilim dalıdır. Maddesel bir
cisim gerçekte ayrık parçacıklardan oluştuğu için sürekli model ancak bir matematik
soyutlama olarak değerlendirilebilir. Bununla beraber sonlu bir hacimdeki parçacık
sayısının sonlu kalmasına karşın, çok özel durumlar dışında, genellikle çok büyük
olması, bu parçacıkların sayısını sonsuz kabul etmekle yapılan hatayı pek çok,
özellikle teknolojik, uygulamada kabul edilebilir sınırların içine sokar. Ortamın
makroskopik davranışı ile ilgilendiğimiz sürece sürekli model ile elde ettiğimiz
sonuçlar, çoğu zaman, aradığımız büyüklüklerin yerel çalkantılarının sistematik
olarak düzgünleştirilmiş değerlerine karşı gelir ve pratik açıdan gereksinimlerimizi
hemen hemen tümüyle karşılayabilen bilgileri bize sağlar. Ancak ortamı oluşturan
parçacıkların yapısı çok çeşitli türden etkileşmelere yol açtığı için ilke olarak sürekli
ortamların genel mekanik davranışını, çeşitli alanlarla etkileşimini göz önüne
almadan belirlemek mümkün değildir. Çağdaş sürekli ortamlar mekaniği bütün bu
etkileşimleri en genel biçimiyle rasyonel bir çerçeve içine sokabilme çabalarının bir
ürünüdür (Şuhubi, 1994).
5
Sürekli ortamlar mekaniği akışkanları (su, yağ, hava, vb.) ve katıları (kauçuk, metal,
seramik, ahşap ve yaşayan doku gibi) içerir. Süreklilik gibi malzemenin makroskopik
doğasını tanımlamada fenomenolojik yaklaşım tekniği kullanılır. Fenomenolojik
yaklaşım matematiksel denklemler ile deneysel verileri uygun hale getirmeyle
uğraşır ve özellikle katı mekaniğinde başarılı olmuştur (Holzapfel, 2000).
Kısım 1.1’de sürekli ortam modeli tanımlanmıştır. Geometrik ve kinematik temsilde
maddesel noktaların başlangıç anında bulundukları yer ve daha sonra işgal etmiş
oldukları yerlerin tespiti için bir referans sistemine ihtiyaç vardır. Bu nedenle kısım
1.2’de sürekli ortamın hareketi ile koordinat sistemleri hakkında bilgi verilmiştir.
Kısım 1.3’de maddesel ve uzaysal koordinatlarda yer vektörü, hareket deformasyonu
temsili, deformasyon gradyanı, Green, Cauchy, Piola ve Finger deformasyon
tansörleri, gerilmeyi oluşturan genleme (Strain) tansörü hakkında kısa bilgiler ve
ilgili natosyan verilmiştir.
Kısım 1.4’de ortamın hareketi sırasında parçacıklara ilişkin hız ve ivme gibi
kinematik büyüklükler ve daha genel olarak da şekil değiştirme karakteristiklerinin
zamanla değişim hızının nasıl ölçüleceği (maddesel türev) belirlenmeye çalışılmıştır.
Süreksizlik yüzeyi tanımlanarak genelleştirilmiş Green – Gauss (diverjans) teoremi
verilmiştir.
Kısım 1.5’de elektro-termomekanik denge denklemleri verilmektedir. Her bir denge
denklemi hem ortam içinde hem de süreksizlik yüzeyi içinde (veya ortam sınırında)
geçerli olan hali ile birlikte verilmiş olup sırasıyla kütle, lineer momentum, açısal
momentum, enerji dengesi ve entropi üretim eşitsizliğinden oluşmaktadır. Bunlardan
kütle balansı, katı ve akışkanlar mekaniğinden bilinen denklemin aynısıdır. Lineer
momentum dengesinde, mekanik kütlesel kuvvete ilave olarak malzeme içinde
oluşan elektrik dipol dağılımı ile elektrik alanının etkileşiminden ortaya çıkan
elektrostatik kütle kuvveti yer almaktadır. Açısal momentum dengesinde, mekanik ve
elektrostatik gövde kuvvetlerinin momentlerine ilave olarak ponderomotif kuvvet
çifti EPC ×≡E ve süreksizlik yüzeyi üzerinde elektrostatik gerilme tansörünün
zıplamasından kaynaklanan yüzeysel kuvvetin momentinin katkıları gelmektedir.
6
Açısal momentumun yerelleştirilmesinden, mekanik gerilme tansörünün )(t simetrik
olmadığı ortaya çıkmaktadır. Mekanik gerilme tansörü ile polarizasyon tansörünün
toplamından oluşan ve )(t şeklinde gösterilen, simetrik bir gerilme tansörü
tanımlanmıştır. Simetrik tansörlerin matematiksel yapıları önemli olduğu için, bünye
teorisi bu şekilde tanımlanan tansör üzerine kurulacak, neticede mekanik gerilme
tansörü buradan kolayca çekilebilecektir. Termodinamiğin 1. kanunu, yani iş-enerji
dengesi, termomekanik olaylar için serbest cismin toplam iç ve kinetik enerjisinin
zamana göre türevi, serbest cisme çevreden giren termomekanik yüklenme işi ve
serbest cisim içindeki ısı kaynağı ile dengededir. Eğer cisim dielektrik yani yalıtkan
olup bir elektrostatik alan içine konulmuş ise hacimsel ısı kaynağına )( hρ ilave
olarak, hacimsel elektrostatik enerji kaynağına )( Ehρ sahip olacaktır. (1.153) ifadesi
ile verilen )( Ehρ , sürekli ortam parçacığı için enerji kaynak terimi olarak
düşünülebilir. Çünkü sürekli ortamlar teorisinde iç alanların katkısı iç-enerji ve
gerilme tansörü vasıtasıyla ifade edilebildiği için, enerji kaynak terimi olarak; sadece
maddesel noktanın dışında olan faktörlerin katkısı dikkate alınır. Örneğin, parçacığın
kapsadığı uzay boşluğunda oluşan elektrik alanda depo edilen ve )21( 2
0Eε şeklinde
ifade edilen elektriksel enerji, enerji denklemindeki iç enerji )(ε teriminin içinde
olduğu varsayılmıştır. Enerji denkleminin yerel ifadesini veren (1.152)1 denkleminde EC veω ’nin tanımlarından ve )( Ehρ yi veren (1.158) ifadesinden
Π⋅=⋅=+ &&& EEP ρωρ kEk
E Ch olarak bulunmuştur. Burada E elektrostatik alanı, P
birim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olarak tanımlanan polarizasyonu, Π ise
birim kütle başına polarizasyonu göstermektedir. P nin üzerindeki nokta )(⋅ , zamana
göre hareketi takiben türev anlamında maddesel türevi göstermektedir. Balans
denklemlerine ilave olarak da termodinamiğin ikinci kanunu, yani entropi eşitsizliği
termomekanik denge denklemleri için olduğu gibi verilmiştir. Bu beş denge
denklemi daha sonra yerelleştirilerek zıplama şartı ile birlikte cismin herhangi bir
noktası ve süreksizlik yüzeyi üzerinde herhangi bir nokta için geçerli olacak şekilde
elde edilmiştir (Usal, 2001).
7
Kısım 3.1 de elastik piezoelektrik ortamların termodinamiğinden bahsedilmektedir.
Burada termodinamiğin 1. ve 2. kanunlarının birleştirilmesinden elde edilen
Clasusius-Duhem eşitsizliği temel başlangıç noktası olarak dikkate alınmaktadır. Bu
eşitsizlikte; entropi yoğunluğunun, iç enerjinin, polarizasyon yoğunluğunun ve
deformasyonun zamanla sıcaklığında uzaysak koordinatlara göre değişimi
termodinamik prososi temsil etmektedir. Bir termodinamik proseste iç enerji, entropi
ve elektrik polarizasyon değişiminin kontrolü mümkün olmayacağından, (3.2) de
verildiği tarzda bir Legendre transformasyonu uygulanarak, zamanla değişen terimler
iç enerji, entropi ve polarizasyon yerine serbest enerji, sıcaklık ve elektrik alanlarının
değişimi cinsinden yazılmıştır. Daha sonra bu eşitsizlikte yer alan asimetrik gerilme
tansörü yerine, (1.137) ifadesi ile tanımlanan gerilme tansörü yazılmıştır.
Clausius – Duhem eşitsizliğinin kullanılabilir hale getirilebilmesi için serbest
enerjinin zamana göre maddesel türevinin hesaplanıp yerine konulması gerekir.
Ancak bu işlem Σ nın hangi bağımsız değişkenlere bağlı olduğunu tespit etmeden
önce yapılamaz. Burada her şeye ait bilginin serbest enerji fonksiyonuna ait bilgiden
kaynaklandığını göz önünde bulundurarak daha kısa bir yol izlenmiştir. Eringen
(1980) ve Şuhubi (1994) tarafından tüm bünye fonksiyonları için geliştirilmiş olan
bünye aksiyomları tek tek ele alınmış ve bunların neticeleri, Clausius – Duhem
eşitsizliğini temsil eden (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji Σ için dile
getirilmiştir. Kozalite, determinizm, eşbulma, uygunluk, objektivite, maddesel
simetri ve yöresellik aksiyomlarına göre, t anında X maddesel noktasının serbest
enerji yoğunluğu, cismi meydana getiren tüm X maddesel noktalarının hareket,
sıcaklık ve elektrik alan tarihlerine bağlıdır. Buna göre diğer bünye
fonksiyonellerinin argüman dağılımına bir benzerlik oluşturması açısından serbest
enerji fonksiyoneli dikkate alıp, daha sonra da sırasıyla objektivite, yakın civarsallık,
yakın hafıza ve uygunluk aksiyomlarını kullanılarak Σ nın genelde hangi
argümanlara bağlı olması gerektiği (3.45) denkleminde verilmiştir.
Kısım 3.2 de simetrik gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanmıştır. Bunun için
simetrik gerilme ve polarizasyon alanı, gerilme potansiyeli Σ dan elde edildiğinden
Σ doğal durum olarak seçilen referans konumu etrafında, bağlı olduğu argümanların
8
bileşenleri cinsinden bir kuvvet serisine açılmıştır. (3.69) ifadesi ile verilen bu
açılımda Σ nın E tansörüne ve E vektörüne göre türevi alınıp (3.72) ve (3.77)
denklemlerinde yerine yazılarak, sıkışabilir piezoelektrik anizotrop ortamda simetrik
gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer bünye denklemleri (3.75)ve (3.80)
ifadeleri ile verilmiştir.
Kısım 4.1 de asimetrik gerilme ortaya konulmuştur. Daha önce (3.76) ifadesi ile elde
edilen simetrik gerilme (3.80) ifadesi ile verilen polarizasyon alanında uygun indis
değişikliği yapılarak (4.1) denkleminde yerine yazılmıştır.
Kısım 4.2 de şekil değiştirmeler, )( ,Kkx , yer değiştirme gradyanları, )( ,LKU çok
küçük kabul edildiği takdirde (3.76), (3.81) denklemleri ile verilen polarizasyon alanı
ve simetrik gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir ve lineer teoriyi de elde etmek
için ortam şekil değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün; 1<<KLE (K,L=1, 2,
3) şartını sağladığı varsayılmıştır (Şuhubi, 1994).
Kısım 4.3 de asimetrik gerilmenin lineer bünye denklemleri maddesel ve uzaysal
formda elde edilmiştir. (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanının maddesel lineer
bünye denkleminde uygun indis değişikliği yapılarak (4.1) ifadesinde yerine
yazılmasıyla, asimetrik gerilmenin maddesel formda lineer bünye denklemi (4.22)
ifadesi ortaya çıkmıştır. Benzer şekilde asimetrik gerilmenin uzaysal
koordinatlardaki lineer bünye denklemleri (4.25) ifadeleri ile elde edilmiştir. Bu
kısımda en son olarak, kısım 1.5 te verilen toplam elektriksel yer değiştirme vektörü
(4.30) ifadesiyle elde edilmiş ve kısım 1.6 da verilen Cauchy hareket denkleminin
kullanılmasıyla da (4.38) ifadesiyle verilen alan denklemi bulunmuştur.
9
1.1. Sürekli Ortam Modeli
Bir maddesel cismin içinde alacağımız tamamen keyfi her hacim bu cismin
kütlesinin bir kısmını içeriyorsa bu cisim bir sürekli ortam olarak nitelendirilebilir.
Buna göre sürekli bir ortamın bir noktası etrafında keyfi, yani istediğimiz kadar
küçük seçebileceğimiz bir Δv hacmini dikkate alırsak bu hacimde cismin bir Δm
kütlesi bulunacaktır. Bu nokta civarında ortalama yoğunluk,
vm
ort ΔΔ
=ρ (1.1)
olarak tanımlanır (Şuhubi, 1994). Sürekli ortam varsayımına göre Δv ne kadar küçük
olursa olsun içinde kütle bulunacağından yukarıdaki ifadenin Δv → 0 için bir limiti
olacaktır. Dolayısıyla ortamın göz önüne alınan noktadaki yoğunluğu bu limit
işleminin sonucu olarak,
dvdm
vm
v=
ΔΔ
=→Δ
lim0
ρ (1.2)
bulunur. Atomistik ölçeğe indiğimizde madde büyük ölçüde boşluklu bir yapı
sergiler. Buna göre bir noktada tanımlanan yoğunluğun statik olarak anlamlı bir
ortalamaya karşı gelebilmesi için Δv hacminin bir Δv* kritik değerinden büyük
olması gerekir. Δv < Δv* için bir noktada yoğunluk, Δv ye bağlı olarak, büyük
çalkantılar gösterir (Şekil 1.1).
Sürekli ortam modeli, sonlu bir hacimdeki parçacık sayısını sonsuz almaya
eşdeğerdir. Buna göre cismin içinde alınan bir V hacminde bulunan kütle miktarı,
∫=V
dvM ρ (1.3)
integrali ile hesaplanır. (Şuhubi, 1994).
10
Şekil 1.1. Ortalama yoğunluğun değişimi (Şuhubi, 1994)
1.2. Sürekli Ortam Hareketi
Bir sürekli ortamın hareketini belirlemek için bu ortamı oluşturan, sonsuz sayıdaki
bütün parçacıkların zamanla bulundukları uzaysal konumlarının belirlenmesi gerekir.
Ortamın belli bir andaki konumunun tamamen bilindiği varsayılır, bu konum referans
konumu olarak adlandırılır ve oluşturduğu hacimsel bölge V ile gösterilir. Ortamın
referans konumunu belirli kılmak için bir X1, X2, X3 kartezyen koordinat takımı
seçilir. Ortamın bir parçacığı, şimdi referans konumunda işgal ettiği P noktasının
yerini tanımlayan R yer vektörü, ya da eşdeğer olarak XK (K = 1, 2, 3)
koordinatlarıyla tamamen belirlenir. XK koordinatlarına maddesel koordinatlar
(Lagrange Koordinatları) adı verilir.
Sürekli bir ortamın hareketini belirlemek için referans konumundaki herhangi bir P
maddesel noktasının t anında uzayda bulunduğu konumu, yani p noktasının yerini,
belirlemek için x1, x2, x3 kartezyen koordinat takımı seçilir (Şekil 1.2). Bu koordinat
takımında p uzaysal noktası r yer vektörü, ya da xk (k = 1, 2, 3) koordinatlarıyla
belirlenir. Bu koordinatlara uzaysal koordinatlar (Euler koordinatları) adı verilir.
Gerek duyulduğu takdirde maddesel ve uzaysal koordinatlar çakışık olarak
seçilebilir.
Δm/Δv
Δv* Δv
ρ
11
Şekil 1.2. Maddesel ve uzaysal koordinatlar (Şuhubi, 1994)
Bir t anında her P parçacığının işgal ettiği p noktaları zamanla değişen bir v(t)
bölgesini oluşturur. Bu bölge ortamın t anındaki konumunu belirler. Buna göre
sürekli ortamın hareketi, her P noktasına bir t anında hangi p noktasının karşı
geldiğini gösteren bir dönüşüm olarak tanımlanır. Böyle bir dönüşüm,
),(),,( tXxxtRrr Kkk == (1.4)
sürekli bağıntıları yardımıyla tanımlanır. Tersi söylenmedikçe referans konumunun
t=0 anına karşı geldiği kabul edilir. Sürekli ortamın hareketini tanımlayan (1.4)
dönüşümünün bir fiziksel harekete karşı gelebilmesi için sürekli olması gerekir.
Ayrıca bu dönüşümün hacmi sonlu olan bir bölgeyi hacmi sıfır, ya da sonsuz bir
bölgeye dönüştürmemesi için, dönüşümün jakobyeni sıfırdan ve sonsuzdan farklı
olması gerekir. Yani,
∞≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
== ,0)(det),(
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
,
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
xtXJ Kk (1.5)
X3 x3
X2
x2
x1 X1
I1 I2
I3 i2 i1
i3
R
rP
p
V
v(t)
b
12
şartının sağlanması gerekir. Bir J(X,t) fonksiyonunu (1.5) in mutlak değeri,
∞<<== jxtXJtXj Kk 0,)det(),(),( , (1.6)
olarak tanımlanır. Temel varsayımımız uyarınca J ≠ 0 olduğundan j ile J arasındaki
fark çoğu zaman pratik bakımdan ortadan kalkar. Kapalı fonksiyon uyarınca (1.5) ya
da (1.6) koşulu (1.4) dönüşümünün sürekli bir tersinin olacağını ifade eder. Bu ilke
uyarınca (1.4) dönüşümünden,
),(),,( txXXtrRR kKK == (1.7)
Yazılabilir (Şuhubi, 1994). Fiziksel olarak bu bağıntılar, seçilmiş, belli bir uzay
noktasından çeşitli zamanlarda ortamın hangi parçacıklarının geçtiğini belirler ve v(t)
uzaysal bölgeler ailesini tek bir V maddesel bölgesine dönüştürür (Şuhubi, 1994).
1.3. Şekil Değiştirme
Referans konumunda verilen bir V bölgesini dolduran bir sürekli ortamın belli bir t,
örneğin t1, anında v(t) uzay bölgesine dönüştüğünü ve bu sürekli dönüşümün verilen,
),(),( txXXveyatXxx kKKKkk == (1.8)
hareket denklemlerinin t parametresinin t1 değeriyle tamamen belirlenmiş olduğu
varsayılır. Dolayısıyla başlangıçtaki, yani referans konumundaki herhangi bir P
parçacığı t1 anında p uzay noktasına taşınmış olur. P ve p noktalarının yer vektörleri,
kkKK ixrIXR == , (1.9)
ile verilir ve (1.8) bağıntıları yardımıyla birbirlerine bağlanır (Şekil 1.3). Bundan
sonra Einstein toplama uylaşımından yararlanılarak ve tekrarlanan iki indis üzerinde
13
1 den 3 e kadar toplama yapılacağı kabul edilir. Uzaysal ve maddesel koordinat
takımları arasındaki dönüşüm,
kKkKKkKk iIIi Λ== ,λ (1.10)
bağıntıları ile belirlenir. Λveλ katsayı matrisleri birbirinin tersidir ve,
kKKkKkkK iIIi ⋅=Λ⋅= ,λ (1.11)
olarak tanımlanır. Her iki koordinat takımı da dik olduğundan bu dönüşüm
ortogonaldir. Yani,
kKKkT veya λλλ =Λ==Λ −1 (1.12)
yazılabilir. KkΛ matrisi kKλ matrisinin transpozu olarak tanımlanmıştır. Dolayısıyla
bu katsayılar,
KLkLkKkllKkK δλλδλλ == , (1.13)
bağıntılarını gerçeklemek zorundadır. Burada δkl ve δKL büyüklükleri Kronecker delta
olarak adlandırılır ve birim matrisi temsil eder. Yani iki indis birbirine eşitse 1, farklı
ise 0 değerini alırlar. λ matrisi yardımıyla uzaysal koordinat takımında tanımlanmış
bir vektörü kendisine paralel kalarak maddesel koordinat takımına kaydırabilir, ya da
bu işlemin tersi yapabilir. Bu özellikler nedeniyle λkK katsayıları kaydırıcılar
(Shifter) olarak adlandırılır.
Deformasyonu temsil etmek için, şekil 1.3 de P parçacığına çok yakın olan başka bir
P′ parçacığı göz önüne alınır. P′ nün P ye göre konumunu sonsuz küçük dR
vektörüyle belirlenir. P′maddesel noktası hareketle t1 anında p′ uzay noktasına
taşınmış olur. p′ noktasının P nin görüntüsü olan p noktasına göre konumu da yine
sonsuz küçük olan dr vektörüyle belirlenir.
14
Şekil 1.3. Sürekli ortamda belli bir andaki şekil değiştirme (Şuhubi, 1994)
Bu vektörler maddesel ve uzaysal koordinat eksenleri üzerindeki bileşenleri
cinsinden,
kkKK idxdrIdXdR == , (1.14)
şeklinde yazılır. Ayrıca (1.8) bağıntısında zamanın sabit olduğunu göz önünde
tutularak diferansiyeli alınırsa,
kkKKKKkk dxXdXdXxdx ,, , == (1.15)
ifadeleri elde edilir. Bir alt indisten önceki virgül o indisin belirttiği değişkene göre
kısmi türevini gösterir, (1.15) deki xk,K ve XK,k ifadeleri aşağıdaki gibi tanımlanır.
k
KkK
K
kKk x
XXXxx
∂∂
≡∂∂
≡ ,, , (1.16)
Bir P parçacığında, örneğin t1 anında, hesaplanmış xk,K büyüklüklerine o maddesel
noktada ve o andaki şekil değiştirme gradyanı adı verilir ve boyutsuz F matrisi ile
gösterilir.
X3 x3
X2
x2
x1 X1
I1 I2
I3 i2 i1
i3
R
rP
p
V
v(t)
b
u+du
u
P′
p′
dR
dr
Referans konumu
t=t1 anındaki konum
15
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
==
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
,1),(
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
xtXF Kk (1.17)
0det ≠= Fj olduğundan F matrisinin bir F -1 tersi vardır. (1.8) bağıntılarını göz
önüne alır ve belli bir anda kısmi türevin zincir kuralını uygularsak,
KLLkkKkllKKk xXXx δδ == ,,,, , (1.18)
Yazılabilir. Buradan da,
[ ]kKXF ,1 =− (1.19)
ifadesi elde edilir. Bir matrisin tersini hesaplamak için her elemanın yerine
kofaktörünü koyarak oluşturduğumuz matrisin transpozunu matrisin determinantına
bölünmesi gerekir.
[ ]J
xKofaktörX Kk
kK,
, = (1.20)
Bilindiği gibi bir determinantı hesaplarken bir satırdaki elemanları kofaktörleriyle
çarpıp işaret kuralına uygun şekilde toplanır. Buna göre determinantın açılımı o
satırdaki elamanlara göre birinci derecedendir ve determinantın bir elemanına göre
türevini alırsak bu elemanın kofaktörünü elde ederiz. Bu sonuç,
[ ] kKKk
kKKkKk
jXx
jJXxKofaktörxJ
,,
,,,
=∂∂
⇒==∂∂ (1.21)
16
özdeşliğini verir. dR vektörünün boyu dS, dr vektörünün boyu ise ds ile gösterildiği
taktirde,
kkKK dxdxdrdrdsdXdXdRdRdS =⋅==⋅= 22 , (1.22)
şeklinde ifade edilir. (1.15) bağıntılarını kullanarak yukarıdaki ifadeler,
lkkllklKkK
LKKLLKLkKk
dxdxcdxdxXXdS
dXdXCdXdXxxds
==
==
,,2
,,2 ,
(1.23)
şeklinde elde edilir. Burada t anında hesaplanmış bileşenleri,
lKkKklLkKkKL XXtxcxxtXC ,,,, ),(,),( == (1.24)
ile verilen ifadeler sırasıyla Green ve Cauchy şekil değiştirme tansörleri veya
matrisleri adını alır. Bu matrislerin simetrik olduğu ve,
lkklLKKL ccCC == , (1.25)
bağıntılarının sağlandığı görülmektedir. C ve c büyüklüklerini matrisin yanı sıra
tansör olarak ta nitelendirilmesinin nedeni sırasıyla maddesel ve uzaysal
koordinatları dönüştürüp yeni koordinat takımlarına geçildiğinde bileşenlerinin
belirli bir kurala göre değişmesidir. KX koordinat eksenleri yine dik KX ′ koordinat
eksenlerine dönüştürülsün. Bu dönüşüm Q ortogonal matrisi yardımıyla gerçekleşir
ve koordinat eksenleri arasında,
LLKKLKLK XQXXQX ′==′ , (1.26)
ilişkileri yazılabilir. Buna göre C tansörünün yeni koordinat takımındaki bileşenleri,
17
L
N
N
k
K
M
M
k
L
k
K
kKL X
XXx
XX
Xx
Xx
XxC
′∂∂
∂∂
′∂∂
∂∂
=′∂
∂′∂
∂=′
MNLNKMNkMkLNKM CQQxxQQ == ,, (1.27)
şeklinde bulunur. Bu da C nin ikinci mertebe bir maddesel tansör olduğunu gösterir.
Burada (1.26) bağıntısının Q ortogonal bir matris olmasa da, yani koordinatları dik
olmayan bir takıma dönüştürüldüğünde de Q T yerine Q -1 matrisini alma koşuluyla
geçerli kalacağına dikkat edilmeli. Benzer olarak uzaysal koordinatları,
lklk xQx =′ (1.28)
ile dönüştürülürse c nin ikinci mertebe bir uzaysal tansör olduğunu gösteren,
mnkmkl cQQc ln=′ (1.29)
ifadesi elde edilir. Buraya kadar verilen ifadeler matris notasyonu kullanılarak
yazılırsa; dX ve dx sütun vektörleri,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
3
2
1
,dxdxdx
dxdXdXdX
dX (1.30)
şeklinde tanımlanır. (1.15) bağıntıları matris notasyonu ile,
xdFXdXdFxd 1, −== (1.31)
yazılabilir. (1.22) ve (1.31) bağıntılarından,
18
xdFFxdXdXddS
XdFFXdxdxddsTTT
TTT
12
2
1 −−
==
== (1.32)
bulunur. (1.23) bağıntısı göz önünde tutulduğunda Green ve Cauchy şekil değiştirme
tansörlerinin şekil değiştirme gradyanlarına bağlı olarak,
11
, −−
== FFcFFC TT (1.33)
şeklinde ifade edilebileceği görülür. Bazı durumlarda (1.33) ile verilen matrisler
yerine terslerinin kullanılması gerekebilir. Bu matrisler ise,
T
FFCFFc T 1111 , −−−− == (1.34)
veya bileşenleri cinsinden,
kLkKKLKlKkkl XXCxxc ,,1
,,1 , == −− (1.35)
şeklinde ifade edilir. c -1 ve C -1 tansörleri sırasıyla Finger ve Piola şekil değiştirme
tansörleri olarak bilinir. Hareket denklemleri ),( tRrr= şeklinde verilmesi yerine P
parçacığının u yer değiştirme vektörüne bağlı olarak ifade edilir. Yer değiştirme
vektörünü (Şekil 1.3),
bRru +−= (1.36)
olarak tanımlanır. u vektörünü,
KKkk IUiuu == (1.37)
19
şeklinde yazarak uzaysal ve maddesel bileşenleri belirlenir. (1.8) hareket
denklemlerinden yararlanarak uzaysal ve maddesel yer vektörlerini r = r(XK,t) ve
R = R(xk,t) olarak ifade edilirse,
kkKK dxcdRdXCdr == , (1.38)
yazılabilir. Burada CK ve ck vektörleri,
KkKk
kkKkK
K IXxRcix
XrC ,, , =
∂∂
==∂∂
= (1.39)
olarak tanımlanmıştır. Bu vektörler cinsinden şekil değiştirme tansörleri,
lkklLKKL cccCCC ⋅=⋅= , (1.40)
olarak bulunur. (1.39)1 bağıntısından,
LkKkklLlKklLlkKkLK xxxxixixCC ,,,,,, ==⋅=⋅ δ (1.41)
bulunur ve benzer şekilde (1.39)2 bağıntısından da,
lKkKKLlLkKLlLKkKlk XXXXIXIXcc ,,,,,, ==⋅=⋅ δ (1.42)
bağıntısı bulunur. CK ve ck vektörlerinin fiziksel anlamı tanımlardan açıkça
görülmektedir. (1.39) ifadelerine benzer olarak,
kkKKKKkk iXCIxc ,1
,1 , == −− (1.43)
vektörleri tanımlanır. 1−kc vektörlerinin kc vektörlerine karşıt olduğu, yani,
kllk cc δ=⋅−1 (1.44)
20
bağıntısını sağladıkları görülür. (1.39) ve (1.43) bağıntılarından,
kllKKkKLlLKkLlLKKklk XxXxIXIxcc δδ ===⋅=⋅−,,,,,,
1 (1.45)
bulunur. Benzer şekilde 1−KC vektörlerinin de KC vektörlerine karşıt olduğu ve
KLLK CC δ=⋅−1 (1.46)
bağıntılarının sağlandığı gösterilebilir. (1.35) bağıntısı göz önünde tutulursa,
111111 , −−−−−− ⋅=⋅= LKKLlkkl CCCccc (1.47)
yazılabilir. c -1 ile c ve C -1 ile C tansörleri birbirlerinin tersleri olduğu için,
, KL11 δδ == −−
MLKMklmlkm CCcc (1.48)
bağıntılarının da geçerli olacağı açıktır. Cismin şekil değiştirmesinden söz edebilmek
için parçacıkları arasındaki uzaklığın hareketi sırasında değişmesi gerekmektedir.
Ortamın iki parçacığı arasındaki uzaklığın değişmesi için ds ≠ dS olması
gerektiğinden ortamın bir noktasındaki şekil değiştirmenin ölçümü olarak ds2 – dS2
büyüklüğü seçilir. (1.22) ve (1.23) bağıntıları yardımıyla,
lkklLKKL dxdxedXdXEdSds 2222 ==− (1.49)
yazılabilir. Burada EKL ve ekl simetrik tansörleri,
)(21),(),(
21),( klklklKLKLKL ctxeCtXE −=−= δδ (1.50)
21
olarak tanımlanır ve sırasıyla maddesel (Lagrange) ve uzaysal (Euler) genleme
tansörleri adını alır. Bir maddesel noktada E tansörünün değerini bildiğimiz takdirde
bu noktadan geçen sonsuz küçük dXK maddesel vektörünün hareketi sırasında
boyundaki değişim (1.49) bağıntısıyla belirlenir. Aynı boy değişimi bu parçacığın t
anındaki yerinde e tansörünün değeri yardımıyla da hesaplanabilir. (1.50) bağıntıları
matris formunda,
)(21),(
21 cIeICE −=−= (1.51)
yazılabilir. (1.15) bağıntılarından (1.49) da yararlanılırsa maddesel ve uzaysal
genleme tansörlerinin,
LlKkklKLlLkKKLkl xxeEXXEe ,,,, , == (1.52)
eşitlikleriyle birbirlerine bağlandığı görülebilir. (1.36) ve (1.39) bağıntıları, b vektörü
koordinatlara bağlı olmadığı için yer değiştirme vektörü cinsinden,
lkllklklkkk
k
LKLLKLKLKKK
K
iuiuixu
xrc
IUIUIXu
XRC
)(
)(
,,
,,
−=−=∂∂
−∂∂
=
+=+=∂∂
+∂∂
=
δ
δ
(1.53)
sonucu elde edilir. Şekil değiştirme tansörleri için yer değiştirme gradyanlarına bağlı
olarak,
lmkmkllkkl
lmmlkmmkmnlnnlkmmklkkl
LMKMKLLKKLLMMLKMMK
MNLNNLKMMKLKKL
uuuu
uuuuccc
UUUUUU
UUCCC
,,,,
,,,,
,,,,,,
,,
))(())((
,))((
))((
+−−=
−−=−−=⋅=
+++=++=
++=⋅=
δ
δδδδδ
δδδ
δδδ
(1.54)
22
sonuçları bulunur. Maddesel ve uzaysal genleme tansörleri de (1.50) tanımları yer
değiştirme gradyanı cinsinden,
)(21
)(21
,,,,
,,,,
lmkmkllkkl
LMKMKLLKKL
uuuue
UUUUE
−+=
++= (1.55)
şeklinde ifade edilir.
1.4. Hareket
Bu bölümde, ortamın hareketi sırasında parçacıklara ilişkin hız ve ivme gibi
kinematik büyüklükler hesaplanacak ve daha genel olarak ta şekil değiştirme
karakteristiklerinin zamanla değişim hızının nasıl ölçülebileceği belirlenmeye
çalışılacak. Ortamın hareketini tanımlayan maddesel koordinatlarla uzaysal
koordinatlar arasındaki dönüşüm (1.4) bağıntısıyla aşağıdaki şekilde verilmişti.
vXtXxx Kkk ∈= ),,( (1.56)
(1.56) bağıntısı V bölgesindeki belli bir X parçacığı seçildiğinde t parametresine bağlı
bir eğri gösterir. Sürekli ortamın hareketi sırasında X parçacığının izlediği yolu
gösteren bu eğriye göz önüne alınan parçacığın yörüngesi adı verilir. (1.56) bağıntısı
tüm ortam parçacıklarının yörüngeler ailesini tanımlamaktadır. Bunun için ilk olarak
sürekli ortamın parçacıklarına bağlı bir fonksiyonun zamanla değişim hızını ölçmek
gerekir.
Sürekli ortama bağlı bir skaler, vektör ya da tansör değerli bir alan büyüklüğü
≈f (X,t) şeklinde verilebilir. Maddesel gösterilimde böyle bir fonksiyon, ilgili alan
büyüklüğünün bir parçacıkta aldığı değerin bu parçacık yörüngesi üzerinde hareket
23
ederken zamanla nasıl değiştiğini bize verir. (1.56) ifadesinin tersi ≈f fonksiyonunda
kullanılırsa,
( )[ ] ( )txfttxXf ,,, = (1.57)
yazılabilir. ≈f (x,t) fonksiyonu göz önüne alınan alan büyüklüğünün uzaysal
gösterilimi adını alır. Maddesel ve uzaysal gösterilimde bu fonksiyon aynı sembolle
göstermesine karşın birbirine karşı gelen maddesel ve uzaysal noktalarda sayısal
değerleri eşit olmakla beraber ≈f (X,t) ve
≈f (x,t) fonksiyonları tümüyle farklı
fonksiyonlardır. Bir x uzay noktasında ≈f (x,t) fonksiyonu alan büyüklüğünün bu
noktadan çeşitli zamanlarda geçen farklı parçacıklarda aldığı değerleri gösterir.
Uzaysal gösterilimden maddesel gösterilime geçiş,
( ) ( )[ ]ttXxftXf ,,,≈≈
= (1.58)
dönüşümü yardımıyla sağlanır. Bir alan büyüklüğünün sürekli ortamın bir
parçacığını izlerken zamana göre değişim hızı maddesel türev olarak tanımlanır
(Şekil 1.4).
Şekil 1.4. Maddesel türev (Şuhubi, 1994)
Eğer maddesel gösterilim kullanılıyorsa maddesel türev XK koordinatlarını sabit
tutarak zamana göre hesaplanan türev olduğundan,
X x
t f(t
x+dx
t+dt f(t)+(df/dt)dt
24
( )≈
≈≈ =∂
∂= f
t
tXf
dt
fd&
, (1.59)
yazılabilir. Uzaysal gösterilim kullanıldığında (1.57) bağıntısını X değişkenlerini
sabit tutarak t değişkenine göre türetirsek zincir kuralına göre,
( )[ ]
SbtX
k
kSbtxSbtX
tx
x
f
t
f
t
ttXxf
dt
fdf
=
≈
=
≈
=
≈≈
≈ ∂∂
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂==
,,& (1.60)
elde edilir. Bir parçacığın hızı r(R,t) yer vektörüne bağlı olarak,
( )k
kk
k it
xidt
dxt
t,Rrdtdr
∂∂
==∂
∂==v (1.61)
veya bileşenleri cinsinden,
( ) kkkk
k i,t
xdt
dxt,X vvv =∂∂
== (1.62)
şeklinde ifade edilebilir. Buna göre uzaysal gösterilimde ≈f alanının (1.60) ile verilen
maddesel türevi,
kk
ft
f
dt
fdf v
,≈
≈≈
≈+
∂
∂==& (1.63)
olur. (1.63) ifadesinin sağ tarafındaki ilk terim x koordinatları sabit tutularak zamana
göre alınmış türev olduğundan yerel değişme hızını gösterir. İkinci terim ise t anında
x noktasında bulunan parçacığın hareketinden kaynaklandığı için konvektif değişme
hızı adını alır.
25
1.4.1. Yay ve Hacim Elemanların Maddesel Türevi
Şekil 1.5. Yay elemanındaki değişim (Şuhubi, 1994)
Referans konumunda bir P maddesel noktasından geçen sonsuz küçük bir dS yay
elemanı ve bu elemanın t anındaki ds görüntüsü göz önüne alınırsa (Şekil 1.5), t
anına sonsuz yakın t+dt anında bu elemandaki değişim maddesel türevin tanımına
göre dtdsds )(•
+ olur. ds yay elemanının maddesel türevini belirlemek amacıyla önce
p noktasını p′ noktasına birleştiren dx vektörünün maddesel türevi hesaplanmaya
çalışılacak. Bu vektör referans konumundaki dX elemanter vektörünün hareket
altında t anındaki görüntüsü olduğundan KKkk dXxdx ,= yazılabilir. dXK bileşenleri
zamana bağlı olmadığından türetmenin zincir kuralından uygun şekilde
yararlanılarak,
llkllKKkKKk
Kk
KKKkKKkk
dxdxXdX
dXt
xX
dXxt
dXxdtddx
dtd
,,,,
,, )()()(
vvv ===
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
== (1.64)
elde edilir. Dolayısıyla,
ll,kk dxdx v=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •
(1.65)
dS P′ dX P
t=0
ds dx
p′
p
t t+dt
ds+[d/dt](ds)dt
26
yazılabilir. (1.64) de üçüncü ve beşinci ifadelerde dXK bileşenlerinin katsayılarını
eşitlersek şekil değiştirme gradyanının maddesel türevi,
( ) K,ll,kK,kK,kK,k xxxdtd vv ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
•
(1.66)
olarak bulunur. Hız gradyanı tansörü,
klklLL ,, vv =∇= (1.67)
ile tanımlanırsa, (1.65) ve (1.66) bağıntıları,
FLFxdLxd TT ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •
&, (1.68)
şeklinde de ifade edilebilir. Hız gradyanı tansörünün simetrik ve antisimetrik
kısımlarından oluşan iki yeni tansörü,
( ) ( ) lkk,ll,kkllkk,ll,kkl ww,dd −=−==+= vv21vv
21 (1.69)
veya,
( ) ( ) wdLLLwLLd TTT +=−=+= ,21,
21 (1.70)
bağıntılarıyla tanımlanır. d tansörüne şekil değiştirme hızı (bazen de genleme hızı)
tansörü, w tansörüne ise spin veya çevri tansörü adı verilir. (1.21) bağıntısından
yararlanarak önce,
( ) k,kK,ll,kk,KK,kK,k
JxXJxtd
dx
JdtdJ vv ==
∂∂
= (1.71)
27
şeklinde jakobyenin maddesel türevi elde edilir. Bir ortamın hacim elemanının
değişme hızı, jdVdv = olduğundan türetme ile,
( ) dVdtdjdv
dtd
= (1.72)
yazılabilir. jakobyenin maddesel türevinden faydalanılarak,
( ) dvdvdVjdvdtd
k,kk,k vvv ⋅∇=== (1.73)
bulunur. Referans konumunda V hacmi hareketle t anında v(t) hacmine dönüşürse
v(t) hacim integralinin maddesel türevi aşağıdaki şeklide hesaplanır.
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( ) ( )
∫∫
∫∫∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂∂
==
Φ∂∂
=Φ∂∂
=
−•
tvkk
tv
VVtv
dvt
dvjj
dVtXjt
dVjtXt
dvtxdtd
,1
,,,
vφφ
φ
(1.74)
Maddesel türevin tanımından faydalanarak (1.74) ifadesi,
( )( )
( )dv
tdv
dtd
tvkk
tv∫∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂
∂=
,vφ
φφ (1.75)
şeklinde yazılabilir. t ye göre kısmi türevi x değişkenleri sabit tutularak alındığı için
(1.75) bağıntısında sağ taraftaki ilk terimde türev ile integral operatörünün yeri
değiştirilebilir. Son terim de Green – Gauss integral teoremi kullanılarak v(t) hacmini
içine alan S(t) kapalı yüzeyi üzerindeki bir integrale dönüştürülürse,
( ) ( )( )∫ ∫∫ +
∂∂
=tv
ntStv
dadvt
dvdtd vφφφ (1.76)
28
elde edilir. nn ⋅=vv ortam hızının yüzeye dik bileşenidir. nvφ büyüklüğüne
φ alanının yüzey boyunca akısı adı verilir ve ortam hareketiyle bu fiziksel alanın S(t)
yüzeyinin bir tarafından öteki tarafına bu yüzeyin birim alanı başına birim zamanda
aktarılan kısmını gösterir.
1.4.2. Green – Gauss (Diverjans) Teoremi
Doğa yasalarından sürekli ortamların hareketini yöneten denklemlerin çıkartılmasına
olanak sağlayan bazı integral teoremlerinin genelleştirilmesi gerekir. Bilindiği gibi
bir ∂v kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v hacminde tanımlanmış vektör ya da tansör
değerli sürekli bir fonksiyon için Green – Gauss veya diverjans teoremi olarak
bilinen teorem bu alanın diverjansının hacim içindeki integralini normal bileşeninin
yüzey üzerindeki integraline dönüştürür,
∫ ∫∂
⋅=⋅∇v v
dandv φφ (1.77)
n yüzeyin birim dış normalidir. φ bir vektör alanı olduğu takdirde yukarıdaki skaler
denklemin anlamı açıktır. φ ikinci mertebe bir tansör alanı ise (1.77) vektör
değerlidir ve,
lklklkkl inni φφφφ =⋅=⋅∇ ,, (1.78)
olarak tanımlanır. Şimdi v bölgesinde hareketli de olabilen bir σ yüzeyi üzerinde φ
tansör alanının süreksizlik göstermesi halinde diverjans teoreminin genelleştirilmiş
şeklini elde etmeye çalışacağız. v hacmini iki parçaya ayıran σ yüzeyinin dış
normalini keyfi olarak yönleyelim ve v bölgesini σ yüzeyinin dış normalinin
yöneldiği tarafta kalan parçasını v+, öteki parçasını ise v- ile gösterelim. v=v+∪ v-
olduğu açıktır. σ yüzeyi φ alanı için bir süreksizlik yüzeyi ise bu alan σ üzerindeki
29
9bir noktada, bu noktaya v+ ya da v- bölgeleri içinden yaklaşıldığına göre farklı
değerler alır. Bu değerler sırasıyla φ + ve φ - ile gösterilir (Şekil 1.6). φ tansör
alanının σ üzerindeki süreksizliğini ölçen sıçraması,
−+−= φφφ (1.79)
olarak tanımlanır.
Şekil 1.6. Süreksizlik yüzeyi içeren bölge (Şuhubi, 1994)
Doğal olarak bu büyüklük σ yüzeyinin koordinatlarının bir fonksiyonudur. φ alanı
v+∪σ kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v+ ve v-∪σ kapalı yüzeyi ile sınırlanmış v-
bölgelerinde süreklidir. Dolayısıyla bu bölgelerde Green – Gauss teoremi (1.77)
şekliyle uygulanabilir. σ yüzeyinin bu anlamda dış normalinin v+ için –n olduğuna
dikkat edilirse,
∫ ∫∫
∫ ∫∫
− −
+ +
−
∂
+
∂
⋅+⋅=⋅∇
⋅−⋅=⋅∇
v v
v v
dandandv
dandandv
σ
σ
φφφ
φφφ , (1.80)
yazılabilir. Bu iki ifade taraf tarafa toplanırsa genelleştirilmiş Green – Gauss teoremi,
∂ v+ n
v+ n
- n σ
v−
φ+
φ−
∂ v−
30
dandandvvv∫ ∫∫∂
−⋅=⋅∇σ
φφφ (1.81)
şeklinde elde edilir. Sürekli alanlar için σ yüzeyi üzerinde 0=φ olacağı için
(1.81) denklemi (1.77) denklemine indirgenir. v(t) bölgesinin sürekli ortamda bir
maddesel bölge olduğu kabul edilirse ve σ süreksizlik yüzeyinin de verilen bir u hızı
ile hareket ettiği varsayılır (Şekil 1.7). Amaç (1.75) denklemini φ tansör alanının σ
üzerinde süreksizlik gösterdiği hale genelleştirmektir. Bunun için kısmi türev
operatörünü integralin içine sokarak (1.76) denklemini φ alanının içinde sürekli v+
ve v- bölgelerine ayrı ayrı uygulanırsa (Şekil 1.7),
( ) ( )( )
( ) ( )( )∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
−
∂
+
∂
++∂
∂=
−+∂
∂=
− −−
+ ++
)(
)(
,
tn
tvn
tvtv
tn
tvn
tvtv
daudadvt
dvdtd
daudadvt
dvdtd
σ
σ
φφφ
φ
φφφ
φ
v
v
(1.82)
elde edilir. Bu denklem taraf tarafa toplanırsa,
( )( ),
)()(∫∫ ∫∫ −+
∂
∂=
∂ tn
tvn
tvtv
daudadvt
dvdtd
σ
φφφ
φ v (1.83)
31
Şekil 1.7. Hareketli süreksizlik yüzeyi (Şuhubi, 1994)
sonucu elde edilir. kkn n vv = olduğuna dikkat edilerek süreksizlik yüzeyi içeren bir
bölgede diverjans teoremini ifade eden (1.81) denklemi kullanılırsa,
( ) dandvdandatv t
kktv
kktv
kkn∫ ∫∫∫∂ ∂
+==)( )()(
,)( σ
φφφφ vvvv (1.84)
yazılabilir. Bu ifade (1.83) bağıntısına yerleştirilir, v(t) ve σ(t) bölgeleri üzerindeki
integralleri bir araya toplanır ve σ(t) yüzeyinin un normal hızının süreksizlik
gösteremeyeceğine dikkat edilirse sonuç olarak,
( )
∫∫
∫∫∫
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
)()(,
)()(,
)(
ttvkk
ttvkk
tv
daUdvdtd
daUdvdtd
dvdtd
σ
σ
φφφ
φφφ
φ
v
v
(1.85)
elde edilir. Burada σ(t) yüzeyi üzerinde tanımlanan,
n)u(uU nn ⋅−=−= vv (1.86)
∂ v−(t)
∂ v+(t) n
v+(t) n
- n σ (t)
v−(t)
un
32
büyüklüğüne yer değiştirme hızı adı verilir ve σ(t) yüzeyinin sürekli ortama göre
bağıl normal hızını gösterir. 0=nu olduğundan,
nU v−= (1.87)
bağıntısı geçerlidir.
1.5. Elektrostatik Denge Denklemleri
Piezoelektrik özellik mekanik alan ile elektrostatik alanın etkileşiminin sonucu
olarak ortaya çıkar. Bilindiği gibi, Piezoelektrik malzeme bir dış elektrik alana
girdiği zaman deforme olur ve bu elektrik alan cismi polarize eder. Ayrıca
Piezoelektrik malzeme deformasyona uğradığı zaman bir elektrik alan üretir ve yine
polarizasyon görülür. Polarizasyon alanı yalnızca elektrik alan vasıtası ile oluşmaz,
deformasyon alanı da belli bir polarizasyon alanı oluşturur.
1.5.1. Yük, Elektrik Alan ve Elektriksel Potansiyel
Deformasyon alanı ile elektrostatik alanın etkileşimi mikro düzeydeki kütle ve yük
etkileşimlerinin bir sonucudur. Elektrik yükünün mevcudiyeti fiziğin temel
postülatlarından biridir ve deneysel gözlemlerle kanıtlanmaktadır. Elektrik akımının
varlığı yüklerin hareketinden kaynaklanmaktadır. Modern fiziğe göre, malzeme
temel partiküllerin bir bileşimidir ve bu partiküllerden bazıları partiküller arası
kuvvetlerle birbirine bağlıyken bazıları da serbestçe hareket edebilirler. Bu temel
partiküllerden bazıları kütleye ilaveten yük denilen başka bir özelliğe sahiptir.
e = 1.6 10 19− Coulomb ile ifade edilen elektronik yük, yükün mümkün olan en küçük
kısmını temsil etmektedir. Herhangi bir uzaysal hacimde bulunan toplam yük
elektronik yükün tam katmanlarından meydana gelmektedir. Bu çalışmada, sürekli
ortam hipotezi gereğince yükün sonsuz bir şekilde bölünebileceği, ya da
incelediğimiz mikro hacim elemanı ne kadar küçük olursa olsun yeterli sayıda yük
içerdiği kabul edilecektir. Maddenin, pozitif ve negatif olarak nitelendirilen iki farklı
33
yük içerdiği düşünülmektedir. Deneysel gözlemler, izole edilmiş bir sistemde toplam
yükün korunduğunu ifade eden hipotezi destekler. Sistem içerisinde pozitif bir yük
miktarı meydana çıkar ve kaybolursa, buna eşit miktarda negatif yük miktarı açığa
çıkar veya kaybolur. Böylece yükün cebirsel toplamı sabit kalır. Yük aynı zamanda
serbest veya bağlı olarak da karakterize edilebilir. Serbest elektronlarla taşınan
yükler ve bir atomun iç elektron kabuklarında yer alan negatif yükler serbest ve bağlı
yüklere örnek olarak verilebilir (Eringen, 1963; 1972; Eringen ve Maugin, 1990).
Eğer V + S bölgesinde yük mutlak olarak sürekli ise, bir hacimsel yük yoğunluğu q
ve bir yüzeysel yük yoğunluğu w mevcuttur. Böylece V + S bölgesinde yer alan
toplam yük aşağıdaki gibi ifade edilebilir,
∫∫ +=SV
dawdVqQ [ ] 3LQq = [ ] 2L
Qw = (1.88)
1.5.2. Elektriksel Yer Değiştirme – Polarizasyon
Yüklere sahip partiküller bir dış elektrik alana girdiği zaman yükleri ile orantılı bir
şekilde belirli kuvvetlerin etkisi altında kalırlar. Ortamdaki serbest elektronlar bu dış
kuvvetlerin etkisi ile harekete geçerler. Pozitif ve negatif yüklü bağlı partiküller ise
birbirlerine göre bağıl bir yer değiştirmeye uğrarlar. Bu şekilde gerinmiş olan
malzemenin polarize olduğu kabul edilmektedir. Polarizasyon basit bir şekilde
aşağıdaki gibi açıklanmaktadır. Malzeme başlangıçta, çekirdeği +q0 yüküne sahip
olan ve çekirdek etrafında hareket eden elektronları eşit miktarda –q0 yüküne sahip
olan atomlardan meydana gelmiş bir yapı olarak düşünülmektedir. Bu durumda
yüklerin efektif merkezleri çakışıktır. Malzeme bir elektrik alanın etkisinde kaldığı
zaman, pozitif yükler negatif yüklere göre yer değiştirir. Bir V hacminin S yüzeyi
boyunca toplam yük transferi,
addqNQS∫= .0 (1.89)
34
şeklinde ifade edilir. Burada N birim hacimde polarize olan atomların sayısı d ise
pozitif yüklerin negatif yüklere göre yer değiştirme vektörünü göstermektedir. V deki
toplam bağlı yük orijinal olarak sıfır olduğundan, V de kalan toplam polarizasyon
yükü Qp aşağıdaki gibi ifade edilebilir,
∫ ∫ ∫∇−=−=−=S S V
p dVPdaPdadqNQ ...0
Pqp .−∇= (1.90)
burada,
dqNP 0= (1.91)
Polarizasyon vektörü olarak bilinir.
1.5.3. Elektrostatiğin Maxwell- Faraday Teorisi
Bu teori iki temel postülat ve bir bünye denklemi üzerine kurulmuştur:
1- Elektrostatik alan konservatif olduğundan kapalı bir C – eğrisi üzerindeki
sirkülasyonu sıfırdır (Faraday Yasasının özel hali).
∫ =G
dxE 0. (1.92)
2- Ortamın hacmi içindeki ve −σ süreksizlik yüzeyi üzerindeki serbest elektrik
yükleri cismin içindeki ve yüzeydeki elektrik deplasman alanı oluşturur (Gauss-
Coulomb Yasası).
∫∫ ∫ +=σ
dawdVqdaD fS V
f. (1.93)
35
Burada elektriksel deplasman alanı;
PED += 0ε (1.94)
Şeklinde tanımlanmakta olup, 0ε boşluğun elektriksel permitivitesi, P ise
polarizasyon alanıdır. P, birim hacim başına elektrik dipol yoğunluğu olup bünye
denklemi ile tayin edilmesi gereken bir alandır. Bu alan rijid cisimlerde yalnız
elektrik alanına bağlı olarak, şekil değiştirebilen cisimlerde ise aynı zamanda
deformasyon alanına da bağlı olarak ortaya çıkar.
Genelleştirilmiş Stokes teoremi kullanılarak (1.92) ifadesinin sol tarafındaki terim
aşağıdaki gibi yazılabilir.
[ ]∫∫ ∫ +×∇=⋅γ
dsEhdaEndxEC S
.)(. (1.95)
Genelleştirilmiş Greeen – Gauss Diverjans teoremi kullanılarak (1.93) denkleminin
sol tarafındaki terim ise aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
[ ]∫∫ ∫ ⋅+⋅∇=⋅σ
daDndVDdanDS V
)( (1.96)
(1.96) denklemi (1.92) ifadesinde kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirse
aşağıdaki denklemler yazılabilir.
)(tV İçinde; fqD =⋅∇
)(tσ Üzerinde; [ ] fwnD =⋅ (1.97)
Ayrıca ortam ideal dielektrik kabul edilirse, hacımsal elektrik yük yoğunluğu 0=fq
alınır ve (1.97)1 denklemi aşağıdaki gibi ifade edilir.
36
)(tV İçinde; 0=⋅∇ D (1.98)
(1.95) denklemi, (1.92) ifadesinde kullanılarak bilinen usullerle yerelleştirilirse
aşağıdaki denklemler elde edilir.
)(tV İçinde; 0=×∇ E , φ−∇=E
)(tσ Üzerinde; [ ] 0=× En (1.99)
Buradaki φ skalerdir ve Elektrostatik potansiyel olarak adlandırılır. φ ’ nin
sonsuzdaki etkisi sıfırdır.
Bir dielektrik ortamın lokal durumu kısmen polarizasyonun değeri ile karakterize
edilebilir. Polarizasyon elektrik alanın bir fonksiyonudur. Böylece elastik bir
dielektrik ortamın bağımsız durum değişkenlerinden biri olarak elektrik alan vektörü
seçilebilir. İleride belirlenecek olan bünye denklemlerinden görüleceği gibi bu
çalışmada elektrik alan bağımsız bünye değişkeni olarak ele alınmaktadır (Eringen
ve Maugin, 1990; Erdem, 1975; Usal, 1994).
1.6. Elektro – Termomekanik Denge Denklemleri
Bu kısımda, bütün sürekli ortamların mekanik davranışlarını yöneten temel
ilkelerden söz edilecektir. Bu çalışmada ele alınan sürekli ortama ait bir serbest
cisme etki eden elektrostatik alan, bu cismin maddesel noktalarına hacimsel bir
kuvvet çifti uygular ve cismin enerjisine elektrostatik enerji olarak katkıda bulunur.
Termomekanik denge denklemleri şeklinde yazılması gerekmektedir. Bu çalışmada
sözü edilen denklemler önce global olarak yazılmış sonrada genelleştirilmiş Green-
Gauss ve Stokes teoremleri yardımı ile yerelleştirilerek yazılmıştır. Global
denklemlerde )(tV maddesel hacmi, )(tσ maddesel yüzeyi göstermektedir. Ayrıca
ortamın bir süreksizlik yüzeyi içerdiği kabul edilmiştir.
37
Korunum denklemlerinde sırasıyla aşağıda verilen genelleştirilmiş Gren-Gauss
teoremi ve hacim integrallerinin maddesel türevi kullanılacaktır, bu ifadelere ait
detaylı bilgiler Eringen (1980) ve Şuhubi (1994) adlı kaynaklarda yer almaktadır.
[ ]∫∫ ∫ ⋅−⋅=⋅∇∂ )()( )( ttV tV
dandandVσ
φφφ (1.100)
[ ]∫∫ ∫ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
)()( )(,),(
ttV tVkk daUdvv
dtddvtx
dtd
σ
φφφφ (1.101)
Bu denklemlerde φ herhangi bir alan büyüklüğü, )(tσ süreksizlik yüzeyi, u
süreksizlik yüzeyinin hızı, v sürekli ortamın hızı, U ise süreksizlik yüzeyinin sürekli
ortama göre bağıl yer değiştirme hızı olup aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
nvuvuU nn ⋅−=−≡ )( (1.102)
İntegral denklemlerde yer alan φ ve φU gibi alan büyüklüklerinin σ üzerindeki
süreksizliğini ölçen sıçrama değerleri
[ ] −+ −≡ φφφ ve [ ] )( −+−−++ −=−≡ φφφφφ UUUU (1.103)
Şeklinde tanımlanmaktadır. Sık kullanılan operatörlerden biri olan maddesel türev
operatörü, ∇⋅+∂∂
= vtdt
d ifadesiyle tanımlanarak bir φ fonksiyonu üzerine
uygulanışı
kk vt
vtdt
d,φ
φφφφφ+
∂∂
=∇⋅+∂∂
=≡⋅
(1.104)
Şeklinde verilir.
38
1.6.1. Kütlenin Korunumu
Kütlenin korunumu, bir maddesel hacmin toplam kütlesinin hareketi sırasında
değişmediğini ifade eder. Matematiksel olarak bu ilke, ),( txρ yoğunluk fonksiyonu
olmak üzere aşağıdaki eşitlikle verilir.
0),()(
== ∫ dvtxdtd
dtdM
tV
ρ (1.105)
(1.101) denkleminde φ yerine yoğunluk fonksiyonu ρ alınarak (1.105) denklemi
aşağıdaki gibi elde edilir,
[ ] [ ] 0),()()( )(
, =−+= ∫∫ ∫ttV tV
kk daUdvvdvtxdtd
σ
ρρρρ (1.106)
olur. Burada v(t) sürekli ortamın t anında doldurduğu uzay bölgesini, σ(t) ise bu
ortamda hareketli bir süreksizlik yüzeyini göstermektedir. Maddesel türevin
tanımından faydalanarak ρ nun maddesel türevi,
kkvtdt
d,ρ
ρρρ +∂∂
=≡⋅
(1.107)
Şeklinde yazılır. (1.107) denkleminde integral altındaki ifadelerin sürekli olduğu
kabul edilirse, integrandların sıfır olması gerekir. Buna göre süreklilik denkleminin
yerel formu için,
v(t) içinde 0v =+ k,kdtd ρρ veya 0v =+
∂∂
k,k )(t
ρρ
σ(t) üzerinde; [ ] 0=ρU (1.108)
39
Eşitlikleri elde edilir. Kütlenin korunumu bir parçacığı içine alan bir elemanter
maddesel hacim için aşağıdaki gibi yazılabilir.
),(),()()(0 txdvtxXdVX ρρ = (1.109)
Daha önce tanımlandığı gibi dv = JdV ye göre (1.109) denklemi,
),()(
),( 0
txJX
txρ
ρ = (1.110)
şeklinde ifade edilir. Bu denklemde, ρ0 (X); referans konumundaki ortamın bilinen
yoğunluğudur, J (x,t); jakobyendir. (1.101) denkleminde ψρφ ≡ alınarak ve
kütlenin korunumundan yararlanarak aşağıdaki ifade elde edilir.
∫∫∫ −=)t()t(v)t(v
daUdvdt
ddvdtd
σ
ψρψρψρ (1.111)
burada ψ birim kütle başına herhangi bir alan büyüklüğüdür.
1.6.2. Lineer Momentum Denkliği
Bu ilke herhangi bir maddesel cismin toplam lineer momentumunun zamana göre
değişme hızının, bu cismin üzerine etkiyen toplam kuvvete eşit olduğunu ifade eder.
Sürekli ortamın bir dm = ρdv elemanter parçacığının hızı v ise elemanter momentum
vdm = ρ vdv ve t anındaki toplam momentum,
∫=)(
)(tv
dvtP vρ (1.112)
olur. Ortamın üzerine etkiyen toplam kuvvet F ise bu ilkeye göre,
40
dtdPF = ise ∫==
)(tv
dvdtd
dtdPF vρ (1.113)
eşitliği geçerlidir.
Newton mekaniğinin temel varsayımları uyarınca F yalnız cisme etkiyen dış
kuvvetlerin toplamını gösterir. Bu kuvvet genellikle iki parçadan oluşur. Bunlardan
biri herhangi bir fiziksel dış alanın madde ile etkileşimi nedeniyle ortamın
parçacıklarına etkiyen, ortamda yayılı kütle kuvvetidir. Bu kuvvet cismin birim
kütlesi başına f yoğunluğuyla verilebilir. Dış kuvvetlerin diğer parçası ortamın
çevresiyle yüzeyi aracılığı ile etkileşiminden kaynaklanan, değme kuvveti türünden,
yüzeyinde yayılı yüzey kuvvetlerinden oluşur. Bu kuvvet, birim dış normali n
vektörü olan bir alan elemanına birim alanı başına etkiyen t(n) vektörü ile belirlenir.
Bu çalışmada sürekli ortam olarak düşünülen, Piezoelektrik özelliği olan ve elastik
davranış gösteren bir malzeme ele alınmıştır. Böylece bir malzemeye etkiyen dış
kuvvetlerin toplamını gösteren F tanımlamalardan faydalanılarak,
∫ ∫∂
++=)( )(
)()(tv tv
nE datdvFfF ρ (1.114)
(1.114) denklemindeki F üç parçadan oluşur. Bunlar; fρ birim hacim başına etkiyen
mekanik gövdesel (kütlesel) kuvvet. EF birim hacim başına etkiyen elektrostatik
gövdesel kuvvet yoğunluğu olup
EF E ∇⋅= P (1.115)
Şeklindedir (Eringen ve Maugin, 1990). )(nt , herhangi bir noktada yönelimi n normal
vektörüyle belirlenmiş bir alan elemanına etkiyen gerilme vektörü olup aşağıdaki
gibi ifade edilir.
41
tn ⋅=)(nt veya kllkn tnt =)( (1.116)
Bu durumda lineer momentum denkliği,
∫∫ ∫∂
⋅++=)()( )(
)(tVtV tv
E datndvFfdvdtd ρρ v (1.117)
şeklinde yazılabilir. Lineer momentum denkliğinin (1.117) k. bileşeni,
∫∫ ∫∂
++=)()( )(
)(tV
klltv tv
Ekkk datndvFfdv
dtd ρρ v (1.118)
olarak ifade edilir. (1.118) bağıntısının sol tarafındaki ifade (1.111) bağıntısında ψ
yerine vk alınarak aşağıdaki gibi yazılır,
[ ]∫∫∫ −=)()()( t
ktv
k
tVk daUdv
dtddv
dtd
σ
ρρρ vvv (1.119)
şeklinde yazılabilir. (1.118) denkleminin sağ tarafında yer alan yüzey integrali terimi
Green – Gauss teoreminden faydalanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
[ ]∫∫∫ +=∂ )()(
,)( t
klltv
llktv
lkl datndvtdatnσ
(1.120)
(1.119) ve (1.120) ifadeleri (1.118) denkleminde yerine yazılıp eşitliğin sağ
tarafındaki ifadeler sol tarafa geçirilirse aşağıdaki denklem elde edilir.
[ ] 0)()(
, =+−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−− ∫∫ daUtndvFft
tkkll
tv
Ekkllkk
σ
ρρρ vv& (1.121)
42
(1.121) eşitliğinin sağlanabilmesi için integrandların sıfıra eşit olması gerekir. Bu
durumda aşağıdaki ifadeler yazılabilir.
v(t) içinde; Ekkllkk Fft ++= ρρ ,v&
σ(t) üzerinde [ ] 0=+ Utn klkl vρ (1.122)
(1.122)1 denklemindeki v& terimi ivme olarak adlandırılır ve maddesel türevin
tanımından aşağıdaki şekilde ifade edilir.
vvvvv ∇⋅+∂∂
===tdt
da & (1.123)
1.6.3. Açısal Momentum Denkliği
Bu korunum yasası, herhangi bir maddesel cismin sabit bir noktaya göre açısal
momentumunun zamana göre değişme hızının cisme etkiyen dış kuvvetlerin aynı
noktaya göre toplam momentine eşit olduğunu ifade eder. t anında ortamın bir
elemanter parçacığının sabit O noktasına göre yer vektörü x ise aynı noktaya göre
açısal momentumu, veya momentumunun momenti, dvxdmx vv ×=× ρ olur.
dolayısıyla O noktasına göre toplam açısal momentum,
∫ ×=)(
0 )(tv
dvxH ρv (1.124)
Şeklinde yazılabilir. O noktasına göre dış kuvvetlerin toplam momenti 0M , açısal
momentumun ilkesinden aşağıdaki gibi yazılabilir.
∫ ×==)(
00 )(
tV
dvvxdtd
dtdHM ρ (1.125)
43
Bu çalışmada ele alınan malzeme için, dış kuvvetlerin dağılımına göre 0M aşağıdaki
gibi yazılabilir.
[ ] ∫∫∂
×+++×=)(
)()(
0 )(tV
ntV
EE datxdvCFfxM ρ (1.126)
(1.126) denklemindeki EC terimi elektrostatik gövdesel kuvvet çifti olup aşağıdaki
gibi tanımlanır (Eringen ve Maugin, 1990).
EPC ×≡E (1.127)
(1.126) denklemindeki )(nt terimi (1.116) denklemleriyle verilen ifadenin aynısıdır.
Bu durumda (1.125) ve (1.126) ifadelerinden aşağıdaki denklem yazılabilir.
[ ] ∫∫∫∂
×+++×=×=)(
)()()(
)(tV
ntV
EE
tV
datxdvCFfxdvvxdtd ρρ (1.128)
(1.128) denkleminin sol tarafındaki ifade (1.111) denkleminde ψ terimi yerine vx×
alınarak, aşağıdaki ifade elde edilir.
[ ]∫ ∫∫ ×−×=×⋅
)( )()( tV ttV
davxUdvvxdvvxdtd
σ
ρρρ (1.129)
(1.128) denkleminin sağ tarafında yer alan )(tV∂ yüzey integrali Gren-Gauss
integral teoremi yardımıyla hacim integraline dönüştürülüp gerekli işlemler
yapıldığında aşağıdaki denklem elde edilir.
( ) ( )∫ ∫∂
++=)( )(
.tv tv
krprlplkprprkkprlplkr dvitxtdaitxn εεε
[ ]∫)(t
kprlplkr daitxnσ
ε (1.130)
44
(1.129) ve (1.130) denklemleri, (1.128) denkleminde yerine yazılır, sağ taraftaki
ifadeler sol tarafa geçirilirse, (k) bileşeni cinsinden aşağıdaki ifade elde edilir.
−+−−−− ∫∫ •
)()(, )()(
tV
Ekprprk
tvrpr
EPpplplk dvCtdvtFfx ερρε v
[ ] 0)(
=+∫t
pprrlplk daUtnxσ
ρε v (1.131)
(1.131) denklemindeki birinci ve üçüncü integraller lineer momentumun yerel
denkliğini gösteren (1.122) denklemi gereğince sıfırdır. Dolayısıyla (1.131) denklemi
aşağıdaki gibi ifade edilir,
0)()(
=+∫tv
Ekprprk dvCtε (1.132)
Şeklinde elde edilir. (1.132) denkleminden açısal momentumun yerel denge
denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
V(t) içinde; 0=+ Ekprprk Ctε (1.133)
(1.127) ifadesindeki vektörel çarpım yapılarak EkC bileşeni (1.133) denkleminde
yerine yazıldığında
0)( =+ prprprk EPtε (1.134)
Olduğu görülür. (1.134) denklemindeki permütasyon tansörü prkε antisimetrik
olduğundan eşitliğin sağlanması için aynı denklemin parantez içinde yer alan
ifadenin ( prpr EPt + ) simetrik olması gerekir. Bu simetrik ifade aşağıdaki gibi
tanımlanmıştır ve simetrik özelliğinden dolayı ileride görüleceği üzere bünye
denklemlerinin bulunmasında kolaylık sağlar (Maugin, 1991)
45
prprrprp tEPtt =+≡ (1.135)
(1.135) ifadesindeki pr EP terimi polarizasyon gerilme tansörü olarak adlandırılır ve
aşağıdaki şekilde ifade edilir (Eringen ve Maugin,1990; Parkus,1979).
EPtE= veya prrp
EEPt = (1.136)
(1.135) ifadesinden rpt tansörü çekilirse aşağıdaki ifade elde edilir.
prrprp EPtt −= (1.137)
(1.137) ifadesinin r’ ye göre türevi alınırsa aşağıdaki ifade yazılabilir.
rprprrrrprrp EPEPtt ,,,, ( +−= (1.138)
(1.122)1 denklemi uygun indis değişimi yapılarak, (1.115) ve (1.138) ifadeleri
yerlerine yazılırsa lineer momentumun balansı aşağıdaki şekle indirgenir.
V(t) içinde; prrprrppp EPtfv ,, −+= ρρ & (1.139)
Burada rrpt , simetrik bir tansördür. (1.131) denkleminden zıplama şartı olarak
aşağıdaki ifade bulunur.
σ(t) üzerinde; [ ] 0=+ prprlklp Utnx νρε (1.140)
(1.140) denklemi, (1.122)2 denklemi ile verilen lineer momentumun korunumundaki
sıçrama şartı ile aynı olduğundan, denge denklemlerine ilave bir katkı getirmez.
46
1.6.4. Enerji Denkliği
Bu ilke; herhangi bir maddesel cismin toplam kinetik enerjisi ile toplam iç enerjisinin
toplamının zamana göre değişme hızının, cisme etkiyen dış kuvvetlerin gücü ile
birim zamanda cisme giren ya da cisimden çıkan tüm enerjilerin toplamına eşit
oluğunu ifade eder. Enerji denkliği matematiksel olarak aşağıdaki eşitlikle verilir.
( ) ∑++=+α
αUQWEKdtd (1.141)
Bu denklemde yer alan terimler; K kinetik enerji, E cismin iç enerjisi, W cisme
etkiyen kuvvetlerin birim zamanda yaptıkları toplam iş, Q birim zamanda cisme
giren veya çıkan ısı enerjisi, αU büyüklükleri ise çeşitli etkileşimler nedeniyle
cismin birim zamandaki enerji bilançosuna katkıda bulunan elektromagnetik veya
kimyasal kaynaklı diğer enerjileri gösterir. Burada toplam kinetik enerji K, elemanter
parçacıkların 2v2v 22 dvdm ρ= elemanter kinetik enerjilerinin toplamıdır. Bu
büyüklükler sırası ile aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.
dvKtV∫=
)(
2
21 vρ (1.142)
W cisme etkiyen kuvvetlerin birim zamandaki toplam işi, başka bir deyişle toplam
gücüdür. Dolayısıyla W büyüklüğü,
∫∫ ⋅+⋅=∂ )()(
)(tvtv
n dvfdatW vv ρ (1.143)
olarak tanımlanır. Q birim zamanda cisme giren, ya da cisimden çıkan ısı enerjisidir.
Q iki türlü oluşur. Uygun bir etkileşim mekanizmasıyla, örneğin kimyasal, nükleer
reaksiyonlarla ya da elektrik akımıyla cismin içinde ısı enerjisi üretilir veya cisimden
ısı enerjisi çekilebilir. Böyle bir enerji birim zamanda cismin birim kütlesi başına h
47
büyüklüğü ile belirlenebilir. Radyasyon ve ısı iletimi yoluyla da cismin yüzeyinden
cisme giren veya cisimden çıkan ısı enerjisi ise q ısı akısı vektörü ile belirlenir. Bu
vektör doğrultusuna dik olan bir birim alandan birim zamanda geçen ısı enerjisini
gösterir. Buna göre,
∫ ∫∂
++⋅−=)( )(
)()(tv tv
E dvhhdanqQ ρ (1.144)
yazılabilir. Gerçekten cismin ∂v(t) yüzeyinde bir alan elemanından cisme giren ya da
cisimden çıkan ısı enerjisi buradaki ısı akısı vektörünün alan elemanının normali
doğrultusundaki bileşeni ile ölçülür. Zira q vektörünün yüzeye teğet olan bileşeni
cismin yüzeyini yalayıp geçen, dolayısıyla cismin enerji bilançosuna katkıda
bulunmayan bir ısı enerjisine karşı gelir. Toplam ısı enerjisi (1.144) ifadesi ile
tanımlandığında, n yüzeyin birim dış normalini gösterdiği takdirde 0>⋅nq
olduğunda bu durumun cismin içinden dışına doğru bir enerji akısına karşı
geleceğine dikkat edilmelidir. Uα büyüklükleri çeşitli etkileşimler nedeniyle cismin
birim zamandaki enerji bilançosuna katkıda bulunan elektromagnetik, kimyasal gibi
başka kaynaklı enerjileri gösterir ve bu çalışma çerçevesinde bu tür etkileşimler göz
önüne alınmayacak. E iç enerji ise, gözlemler ve deneyler cisme etkiyen dış
kuvvetlerin yaptığı işin, ısı enerjisinin v.s. yalnız cismin kinetik enerjisini
değiştirmeye harcanmadığını açıkça göstermektedir. Bu farkın, cismin iç enerjisini
değiştirmekte kullanıldığı kabul edilecek. İç enerji varlığı, kabaca, cismin
parçacıkları arasında çeşitli etkileşimlerden kaynaklanan iç kuvvetlerin yaptığı işe
bağlanabilir. Cismin sıcaklığının değişimi iç enerji değişiminin en belirgin
göstergesini oluşturur. Cismin iç enerjisi genellikle birim kütlesi başına ε iç enerji
yoğunluğu yardımıyla belirlenebilir,
∫=)(tV
dvE ερ (1.145)
∫ ∫∑ ⋅+⋅=)( )(
EC)(tV tV
E ddFU νωννα
α (1.146)
48
İlk defa bu denklemlerde ortaya çıkan büyüklüklerin anlamı aşağıda verilmiştir:
ε : birim kütle başına iç enerji yoğunluğu
q : birim zamanda ve alanda sistem sınırlarından giren veya çıkan ısı akısı vektörü
h : birim kütle başına ısı kaynağı
Eh : elektrostatik enerji kaynağı
ω : açısal hız
(1.142) - (1.146) eşitlikleri ile verilen ifadeler (1.141) enerji denkleminde yerine
konursa enerji denkliği aşağıdaki formda ortaya çıkar;
[ ] +⋅+⋅+++⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∫∫
)()(
2 )(21
tv
EEE
tv
dvCFhhfdvdtd ωνρρερ vv
( )∫∂
⋅−⋅)(
)(tv
n danqt v (1.147)
(1.111) denkleminde ψ terimi yerine 2v21
+ε alınır ve (1.147) denkleminin sol
tarafındaki ifade,
∫∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
)(
2
)()(
2
21
21
ttvtv
daUdvdvdtd
σ
ερεερ vvvv && (1.148)
şeklinde elde edilir. (1.148) denklemindeki, vve &&ε terimleri iç enerji ve hızın
maddesel türevlerini göstermektedir. (1.147) denkleminin sağ tarafındaki ∂v(t)
üzerideki yüzey integrali Green – Gauss teoremi yardımıyla hacim integraline
dönüştürülerek gerekli işlemler yapılırsa,
∫ ∫∂
+−+=−)( )(
,,, )()(tV tV
kkklkllkklklklk dvqvtvtdaqvtn
[ ] daqvtnt
klklk∫ −)(σ
(1.149)
49
ifadesi elde edilir. (1.148) ve (1.149) denklemleri (1.147) denkleminde yerine
yazılırsa aşağıdaki ifade bulunur.
dvFftChhqttv
Ellkklllk
Ek
Ekkklkl∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−−+−+−+−
)(,,, )())( ρρωρερ vvv &&
021
)(
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++− ∫ daqtnU
tklklk
σ
ερ vv (1.150)
(1.149) denkleminde (1.122)1 ifadesiyle verilen lineer momentumun korunumu
dikkate alınarak gerekli sadeleştirme yapıldığında,
dvChhqttv
kE
kE
kkkllk∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+−
⋅
)(,, )( ωρερ v
021
)(
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+− ∫ daqvtnU
tkllkk
σ
ερ v (1.151)
İfadesine ulaşılır ve gerekli yerelleştirilme işlemleri sonucunda,
v(t) içinde; kE
kE
kkklkl Chhqt ωρρερ +++−= ,,v&
σ(t) üzerinde; 021 2 =−++ klklk qtnU vvερ (1.152)
Denklemleri elde edilir. (1.152)1 denklemindeki Ehρ terimi birim hacim başına
elektrostatik enerji kaynağı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir.
klE
klllEE dtPEdtPEh +=+⋅= && :ρ (1.153)
(1.153) ifadesi sürekli ortam parçacığı için enerji kaynağı terimi olarak düşünülebilir.
Çünkü sürekli ortamlar teorisinde içi alanların katkısı iç-enerji ve gerilme tansörü
vasıtasıyla ifade edileceği için, enerji kaynağı terimi olarak sadece maddesel
50
noktanın dışında olan faktörlerin katkısı dikkate alınır. Örneğin; parçacığın kapladığı
uzay boşluğunda oluşan elektrik alanda depo edilen )21( 2
0 Ehε şeklindeki
elektriksel enerji, iç-enerji )(ε teriminin içinde olduğu düşünülür. (1.153)
denklemindeki P& terimi aşağıdaki tanımla verilir (Eringen ve Maugin, 1990).
νν ∇⋅−⋅∇+≡ PPPP )(&& (1.154)
(1.153) denklemindeki E
t terimi, polarizasyon gerilme tansörü olarak adlandırılmış
ve (1.136) denklemiyle ifade edilmiştir. (1.153) denklemindeki simetrik bir tansör
olan d, şekil değiştirme hızı (genleme hızı) tansörü olarak adlandırılır ve aşağıdaki
gibidir.
lkkllkkl dd =+= )(21
,, νν (1.155)
(1.154) ve (1.155) de verilen ifadeler (1.153) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki
ifade elde edilir.
)(21
,,,, kllklkklklkkE EPPEPEPEh ννννρ ++−⋅+⋅= & (1.156)
Birim kütle başına polarizasyon Π ile gösterilerek aşağıdaki gibi tanımlanmıştır
(Eringen ve Maugin, 1990).
ρP
≡Π (1.157)
(1.157) ifadesinden yararlanarak P vektörünün maddesel
türevi ρρρ Π+Π=Π•
&& şeklinde alınıp süreklilik denklemi de göz önünde
51
bulundurularak (1.156) ifadesi uygun indis değişiklikleri ve sadeleştirmelerden
sonra,
kllklklkkllkE EPEPEPEh ,,, 2
121 νννρρ ++−Π⋅= & (1.158)
Şeklinde elde edilir. (1.152)1 denklemindeki CE terimi (1.127) denklemiyle
tanımlanmıştı. Açısal hız ω terimi de aşağıdaki gibidir.
νω ×∇=21 (1.159)
(1.127) ve (1.159) ifadelerinin sağ tarafında yer alan vektörel çarpım işlemleri
yapılarak, (1.152)1 eşitliğinin sağ tarafında yer alan en son terim mmEC ω aşağıdaki
gibi elde edilir.
lklkkllkmmE VEPVEPC ,, 2
121
−=ω (1.160)
(1.152)1 denklemindeki mmEE Ch ωρ + terimi, (1.158) ve (1.160) ifadelerinden
gerekli sadeleştirmeler yapılarak aşağıdaki gibi bulunur.
Π⋅=+ &ECh EE ρωρ (1.161)
(1.161) ifadesi (1.152)1 denkleminde yerlerine yazıldığında,
v(t) içinde; Π⋅++−= && Ehqt kkklkl ρρερ ,,v (1.162)
Şeklinde yerelleştirilmiş enerji denklemi elde edilir.
52
1.6.5. Termodinamiğin ikinci kanunu (Clausius – Duhem Eşitsizliği)
Entropi eşitsizliği veya Clausius – Duhem eşitsizliği de denilen bu kanuna göre,
serbest cisim içindeki entropinin zamana göre artışı, cisme hacim kaynaklarından ve
yüzeyden giren entropiden daha büyüktür veya en az ona eşittir. Termodinamiğin
ikinci kanunu, matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir.
( ) ( )( )0≥Γ≡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−− ∫ ∫∫
∂tV tVtV
daqndvhdvdtd
θθρηρ (1.163)
(1.163) denkleminin sol tarafındaki ilk terim, (1.111) denkleminde ψ yerine )(η
yazılarak
( )[ ]
( )( )∫ ∫∫ −−
tV ttV
daUdvdvdtd
σ
ηρηρηρ & (1.164)
şeklinde elde edilir. (1.163) denkleminde son integral terimi Green – Gauss
teoreminden faydalanılarak aşağıdaki şekilde yazılır.
( ) ( )daqndvqdaqn
ttv tV∫∫ ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅∇=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
∂ σ θθθ)(
(1.165)
(1.164) ve (1.165) denklemleri (1.163) eşitsizliğinde yerlerine yazılırsa aşağıdaki
ifade elde edilir.
( ) ( )0≥⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅∇+− ∫∫ daqnUdvqh
ttV σ θηρ
θθρηρ & (1.166)
(1.166) denkleminin yerelleştirilmesi sonucunda,
53
v(t) içinde; 0112 ≥≡∇⋅−⋅∇+− γρθ
θθθρηρ qqh
&
σ(t) üzerinde; 0≤⋅−
θηρ qnU (1.167)
denklemleri elde edilir. Burada ifade edilen denge denklemleri aşağıdaki gibi
özetlenerek maddeler halinde yazılabilir.
1. Kütlenin Korunumu (1.108) ve (1.110)
v(t) içinde; 0, =+ kkvρρ& veya 0)( , =+∂∂
kktvρρ
σ(t) üzerinde; 0=ρU
),()(
),( 0
txJX
txρ
ρ = (1.168)
2. Lineer Momentumun Korunumu (1.122)2 ve (1.139)
v(t) içinde; prrrrppp EPtf ,, −+= ρρ v&
σ(t) üzerinde; [ ] 0=+ Utn klkl vρ (1.169)
3. Açısal Momentumun Korunumu (1.133), (1.137) ve (1.140)
v(t) içinde; 0=+ Ekrpkrp Ctε , prrprp EPtt −=
σ(t) üzerinde; 0=+ pprrlplk Utnx vρε (1.170)
54
4. Enerjinin Korunumu (1.152)2 ve (1.162)
v(t) içinde; Π⋅++−= && Ehqt kkklkl ρρερ ,,v
σ(t) üzerinde; 021 2 =−++ klklk qtnU vvερ (1.171)
5. Entropi Eşitsizliği (1.167)
v(t) içinde; 0112 ≥≡∇⋅−⋅∇+− ργθ
θθθρηρ qqh
&
σ(t) üzerinde; 0≤⋅−
θηρ qnU (1.172)
6. Gauss Kanunu (1.98)
v(t) içinde; 0=⋅∇ D , PED += 0ε
σ(t) üzerinde; [ ] fDn ω=⋅ (1.173)
7. Faraday Kanunu (1.99)
v(t) içinde; 0=×∇ E , ϕ−∇=E
σ(t) üzerinde; [ ] 0=× En (1.174)
Yukarıda liste halinde verilen denge denklemlerinde yer alan ve bilinmeyen olarak
göz önüne alınacak büyüklükler sayılarıyla birlikte aşağıdaki gibi sıralanabilir.
)1(,)3(,)3(,)1(,)1(,)3(,)6(,)3(,)1( εηθνρ kkkklk Eqt Π (1.175)
55
(1.169)1 ve (1.171)1 denklemlerindeki f ve h gibi dış kaynakların bilindiği kabul
edilmiştir. (1.175) ifadesinden görüldüğü gibi bilinmeyen sayısı 22 tanedir. Buna
karşılık bu bilinmeyenleri tespit etmek için mevcut olan (1.168) - (1.174)
ifadelerinden 1+3+3+1+1+1+3 = 13 tane denklem elde edilebilmektedir. Bilinmeyen
sayısı, denklem sayısından çok olduğu için ilave denklemlere ihtiyaç duyulmaktadır.
İleride görüleceği üzere, aradaki farkı kapatacak olan 9 tane denklemin 6 tanesi
simetrik gerilme tansörüne 3 tanesi de polarizasyon vektörüne ait skaler bileşenler
şeklinde ortaya çıkacaktır. Bu denklemler, sürekli ortam olarak kabul edilen, elastik
Piezoelektrik bir maddesel cismin karakterini belirleyen bünye denklemleri olacaktır.
56
2. KAYNAK ÖZETLERİ
Modern sürekli ortamlar mekaniğine ait temel kavram, aksiyom ve denklemler
çalışmamızın her aşamasında kullanılmıştır. Sürekli ortalar mekaniği alanında
Eringen (1967, 1980), ve Şuhubi (1994)’nin kitapları temel kaynaklar olarak
kullanılmıştır. Eringen (1967), modern sürekli ortamlar mekaniğinin ana iskeletini
oluşturduğu bu eserinde sırasıyla gerinme, hareket, gerilme, sürekli ortamın
termodinamiği, bünye denklemleri ve elastisite teorisi, akışkanların dinamiği ve
termoelastisite konularını sistematik bir tarzda işlemiştir. Eringen (1980)’ de
yukarıdaki konulardan farklı olarak sürekli ortamların elektrodinamiğini ayrı bir
bölüm olarak vermiştir. Şuhubi (1994)’nin eseri ise Eringen (1967)’nin paralelinde
ancak daha detaylı yazılmış ve sürekli ortamlar mekaniği konusunda Türkçe
literatüre kazandırılmış bir başyapıt mahiyetindedir. Sürekli ortamlar mekaniği
konusunda yabancı literatürde çok sayıda yayın bulunmaktadır. Bunlar arasında
Jaunzemis (1967), Malvern (1969), Dawson (1976), Spencer (1980),
Chandrasekharaih ve Debnath (1994) önemli eserler olarak görülmektedir.
Termoelastisite ve uygulamaları konusunda Nowacki (1975)’ nin kitabı büyük bir
boşluğu doldurmaktadır. Nowacki bu eserinde termoelastisitenin temel denklemlerini
oluşturmakta, termoelastik ortamda harmonik dalgalar, peryodik olmayan
kaynaklardan doğan termoelastik dalgaların yayılması, düzlem termoelastisite
problemleri, anizotropik ve piezoelektrik cisimlerin termoelastisitesi,
magnetotermoelastisite konularını büyük bir titizlikle incelemektedir. Bu kaynak
özellikle uygulamalar yönünden oldukça zengindir (Usal, 2001).
Singh vd. (2006), yayınlamış olduğu makalesinde, Cr3+ katkılı basit PZN kristalinin
dielektrik ve piezoelektrik özelliklerini incelemiştir. %0.5 mol Cr2O3 katkılı PZN
kristallerini akış metoduyla üretmiştir. <001> merkezli tekli kristallerin dielektrik ve
piezoelektrik özellikleri incelemiş ve sonuçlar saf PZN tekli kristaliyle
karşılaştırılmıştır. Kromiyumla birleştirildiğinde dielektrik geçişi ve artık
kutuplaşması ve d33 değerlerinin düşüş gösterdiğini ve aksi bir durum olan zorlayıcı
alanı ile nitelik faktörü (qm) nin arttığını bulmuştur.
57
Zong vd. (2006), yayınlamış olduğu makalesinde Pb3O4 ile kuvvetlendirilmiş PZT-
PFW – PMN piezoelektrik seramiğinin yapısına WO3 ilave edilmesinin etkileri ve
elektriksel özelliklerini incelemiştir. WO3’ ün yapıya eklenmesiyle hacim yoğunluğu
ve seramiğin elektriksel özellikleri belirgin oranda değişmiş, Seramiğin
yoğunlaşmasını sağlayan likit- sıvı safhası oluşturulmuş ve kırılgan yapı değişmiştir.
WO3’ ün aşırı miktardaki karışımında ise dielektrik ve piezoelektrik özellikleri en
uygun elektriksel özellikler olarak belirlenmiştir.
Erdem vd. (2005), yayınlamış oldukları makalede, keyfi bir fiber ailesi ile takviye
edilmiş viskoelastik ve piezoelektrik bir malzemenin dış çevreden maruz kaldığı
elektromekanik yükler karşısında davranışını Sürekli Ortamlar Mekaniği kapsamında
sistematik bir şekilde incelemiştir. Cismin matris kısmının viskoelastik ve
piezoelektrik anizotropiye sahip olduğu buna ilaveten fiber takviyesi nedeniyle de
cismin tüm ortam olarak anizotropik bir yapıya sahip olduğunu varsaymıştır. Genel
yaklaşım tarzı olarak elastik gerilme ve elektriksel polarizasyon alanlarını, işlemler
içinde tanımlanan bir termodinamik potansiyelden (gerilme potansiyeli) türetmiştir.
Gerilme potansiyelinin ve dissipatif gerilme fonksiyonunun analitik olduğunu
varsayarak bağlı oldukları argümanları cinsinden Taylor serisinde açmıştır. Mekanik
etkileşimleri lineer, elektriksel etkileşimleri nonlineer olarak kabul etmiş ve bünye
denklemlerindeki fonksiyonları veren kuvvet serilerinin terimlerinin mertebelerini
buna göre tesbit etmiştir. Sonuç olarak ta elde edilen bünye denklemlerini denge
denklemlerinde yerine yazarak alan denklemlerini bulmuştur.
Ray vd. (2005), yayınlamış olduğu makalesinde, işlevlerine göre sınıflandırılmış
tabakaların, PFRC (Piezoelektrik Fiber takviyeli kompozit) malzemesiyle
birleşmesinin statik analizi için sınırlı sonlu eleman modeli türetilmesiyle
ilgilenmiştir. PFRC malzemesinin katmanı, FG (işlevsel olarak sınıflandırılmış)
tabakalarının dağıtımlı aktuatörü (dağıtımına neden olan) olarak görev yaptığını
kabul etmiştir. PFRC katmanındaki piezoelektrik fiber açısı değişkenliğinin FG
tabakalarını harekete geçirme kabiliyeti üzerinde önemle durmuştur. Sonlu elaman
modeli (FEM) ile kalın ve ince tabakalar için tam/doğru çözümlerle, katman FG
58
tabakasının yüzeyine minimum sertlikte bağlı olduğu zaman, maksimum sertlikte
bağlı olduğu zamandan daha etkili olduğunu gözlemlemiştir.
Yang vd. (2005), “ PZT – PZM – PZN Piezoelektrik seramiğinin yapısı ve elektriksel
özelliği ” konulu çalışmasında farklı içeriklere sahip olan Pb(Zr0.52 Ti0.48)O3 –
Pb(Mn1/3 Sb2/3)O3 – Pb(Zn1/3Nb2/3)O3 piezoelektrik seramiğini, erimiş tuz bireşimi ile
sentezlemiş, PZN içeriğinin; yapı, mikroyapı, dielektrik ve piezoelektrik özellikleri
üzerindeki etkisini detaylı bir şekilde incelemiştir. PZN içeriğinin %2 den %7 ye
kadar olduğu aralıklarda içerik arttıkça malzemenin tane boyutunun yavaş bir şekilde
azaldığını, malzemenin dielektrik ve piezoelektrik özelliklerinin önemli ölçüde
değiştiğini saptamışlardır.
Çalışkan (2002), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde piezoelektrik seramikler gibi
akıllı yapıların havacılık ve uzay mühendisliğindeki uygulama alanları üzerine bir
çalışma yapmıştır. Çalışmasında kullandığı akıllı yapılar; düz, sonlu kiriş ve plak
geometrisindeki alüminyum yapılardan ve bunların yüzeylerine yapıştırılan PZT
(Lead- Zirconate- Titanate) yamalardan oluşmaktadır. Bu çalışmada öncelikle akıllı
kiriş ve plakaların yapısal modellemeleri yapılmış ve elde edilen bu modeller, akıllı
elemanların boyut, yerleşim ve piezoelektrik uyarı gerilimi gibi etkileri düşünülerek,
akıllı yapıların statik ve dinamik davranışlarının detaylı analizleri için kullanmıştır.
Çalışkan, bu tez çalışmasında yapısal modellemeler için ANSYS yazılımından
yararlanarak tasarım ve analiz esnasında sonlu elemanlar yaklaşımı ve deneysel
sistem tanımlama tekniklerini kullanmıştır.
Gözen (2002), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde yüzeyine piezoelektrik malzeme
yapıştırılmış bir çubuğu analitik ve nümerik olarak incelemiş ve piezoelektrik
kullanımı olarak bir robot eli modeli oluşturmuştur. Bu çalışması yapılarda şekil
kontrolünün sağlanması ve dinamik davranışlarının anlaşılması açısından büyük
kolaylık sağlamıştır. Her iki yüzeyine simetrik olarak piezoelektrik malzeme
yapıştırılmış sonlu bir katılığa sahip yapıştırma katmanı varsayılan çubuğun statik bir
modelini oluşturmuş ve kayma gerilmelerin piezoelektrik malzemeden ana yapıya
nasıl iletildiğini incelemiştir. Ayrıca çalışmasının ikinci bölümünde akıllı yapılar,
59
uyarıcı malzemeler, smart kompozit yapılar ve uyarıcı malzemelerin kıyaslanması
gibi konularda da bilgi vermiştir.
Usal (2001), yapmış olduğu doktora tezinde, tek fiber ailesi ile takviye edilmiş
viskoelastik ve piezoelektrik özellik taşıyan bir biyolojik yapı elemanının nonlineer
davranışını, modern sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde sistematik olarak
incelemiştir. Mekaniğin denge kanunları ile tutarlı olan termodinamiğin birinci ve
ikinci kanunlarının birleştirilmiş şeklini, serbest enerji fonksiyonunun bağımsız
değişkenleri cinsinden ifade etmiştir. Matris malzemesinin izotrop olma özelliğini
dikkate almış, invaryantlar teorisini kullanarak fiber takviyeli, viskoelastik ve
dielektrik özellikli bir ortamın nonlineer elektromekanik davranışını belirleyen bünye
denklemini elde etmiştir. Daha sonra matris ortamın izotrop olma kısıtlamasını bir
tarafa bırakarak genel anizotrop bir ortam için simetrik gerilme, polarizasyon alanı
ve dissipatif gerilme için nonlineer bünye denklemlerini elde etmiştir. Tezinde
mekanik ve elektromekanik etkileşimleri nonlineer olarak kabul etmiş ve anizotrop
ortamlar için elde ettiği bünye denklemlerinde 5. ve 6. mertebeden malzeme
tansörlerine ulaşmıştır. Elde ettiği bu ifadelerin pratikte kullanılabilmesi için bünye
denklemlerini lineerleştirmiş ve en sonun da bu denklemleri Cauchy hareket
denklemi ve toplam elektriksel yer değiştirme vektörü ifadesinde yerine yazıp alan
denklemine ulaşmıştır. Tüm bunların sonucunda fiber takviyeli viskoelastik ve
piezoelektrik özellikler taşıyan ortamların elektro- termomekanik davranışlarını
temsil eden bünye denklemlerine ait matematiksel bir model oluşturmuştur.
Holmes vd. (2000), sensör uygulamaları için yeni piezoelektrik yapılar hakkında
ilginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoelektrik seramik
cihazlar helisel bir yay şeklinde sinterlenmiş bir seramik tüp formunda oluşturulmuş,
tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine elektrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşük elastik
uygunluk ve düşük doğal rezonans frekanslarına sahiptir. Cihazların rezonans
frekanslarını önceden belirleyebilen denklemler geliştirilmiş, bu denklemlerden elde
edilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenen
cihazın frekans davranışı belirlenmiş ve klasik elektromagnetik jeofonlarla
kıyaslanmıştır. Klasik piezoelektrik sensörler piezoelektrik malzemeden yapılmış
60
bloklar veya diskler şeklindedir, hidrofonlarda veya ivmeölçerlerde basınç
dalgalarının ölçülmesi amacıyla kullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensör
uygulamaları için seramiklerin kesin şekli veya formu üzerinde bir inceleme yapmak
bu formların avantajlarını net bir şekilde belirlemektir. Kullanılan malzeme PZT
cinsinden bir piezoelektrik malzemedir.
Tauchert vd. (2000), akıllı kompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisite
teorisindeki gelişmeler hakkında teorik incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezo-
termo-elastik ortamın lineer davranışını yöneten denklemler belirlenmiş, potansiyel
fonksiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenen
termal yükler ve elektriksel potansiyel dağılımlarının sonucunda sensör
uygulamalarının sonuçları belirlenmiş kiriş, plak ve kabuk gibi kompozit yapıların
piezoelektrik tetikleyicilerle nasıl kontrol edileceği anlatılmıştır.
Yağcı (1998), yapmış olduğu yüksek lisans tezinde, üzerine piezoelektrik malzeme
yapıştırılmış bir kirişin denetimini incelemiştir. Euler-Bernoulli kiriş varsayımını
kullanmış ve kirişleri değişik yapıştırıcı varsayımları kullanarak modellemiştir.
Analitik çözüm ile daha önce elde ettiği sayısal çözümler kullanılarak modelleri
doğrulamıştır. Algılayıcı ve eyleyici denklemleri statik ve dinamik durumlarda
denetlemiştir. Model konusunda daha fazla bilgi sahibi olmak için parametrik
çalışmalar yapmış, iki farklı yapıştırma modelini parametrik bir çalışma ile
kıyaslamıştır.
Ikeda (1990), yaptığı çalışmada piezoelektrik özelliğin temelleri konusunda çok
önemli sonuçlara ulaşmıştır. Bu çalışmasında elektrik, mekanik ve termal sistemler
arasındaki etkileşim proseslerini belirlemiş malzemenin piezoelektrik ve piroelektrik
özelliklerinin nasıl ortaya çıktığını anlatmıştır. Elektromekanik etkileşim ve
piezoelektrik bağlantıların termodinamik açıdan incelenmesini sağlamıştır. Kristal
simetri ve fiziksel sabitleri incelemiş, piezoelektrik ortamda sesin yayılımı, mekanik
ve dielektrik kayıpları ele almıştır. Ayrıca yaptığı bu çalışmada piezoelektrik
malzemeler ve elektromekanik transduserleri detaylı bir şekilde incelemiştir.
61
Mindlin (1972), yaptığı çalışmada, elastisite, piezoelektrik özellik ve kristal kafes
dinamiği hakkındaki çalışması bu tarihe kadar yapılan çalışmalara bir özet teşkil
etmekte ve malzemelerin mikro davranışlarını temsil eden atomik ölçekten makro
düzeyde elastik ve piezoelektrik davranışları temsil eden denklemleri elde
etmektedir. Tiersten (1971), bu alanda yapılan bir başka önemli çalışmaya imza
atmıştır. Çalışmasında termo- elektroelastisitenin nonlineer denklemlerine ulaşmak
için birisi elektronik yük sürekli ortamı, diğeri ise kafes (maddesel) sürekli ortamı
olmak üzere iki sürekli ortam etkileşimini göz önüne almıştır. Bu çalışmasında
elektrostatik gerilme tansörünü çok açık bir şekilde ortaya koymuştur.
62
3. MATERYAL VE YÖNTEM
3.1. Materyal
Bu çalışmada, materyal olarak elastik-piezoelektrik bir cisim ele alınmış ve ortamın
sıkışabilir olduğu kabul edilmiştir. Elektro-Termomekanik yükleme sonucunda ele
alınan ortamda ortaya çıkan gerilme ve polarizasyon alanı ifadelerinin hesabını
sağlayan bünye ve alan denklemleri çıkartılmıştır. Öncelikle tüm ortamlar için
geçerli olan genel balans denklemleri, Termodinamiğin ikinci prensibi (Clausius –
Duhem eşitsizliği), Elektrostatik alanların davranışı, bünye teorisinin aksiyomları ve
özellikle objektivite, maddesel simetri aksiyomları ve malzemenin simetri grubuna
ilişkin kavramlar bünye denklemlerinin ortaya konulmasında bir yöntem olarak
kullanılmıştır.
3.1.1. Elastik Piezoelektrik Ortamların Termodinamiği
Kısım 1.6’ nın sonunda bahsedildiği gibi denge denklemleri herhangi bir fiziksel
ortam için geçerli olan denklemlerdir. Bu bölümde termodinamiğin birinci ve ikinci
kanunu birleştirilip, bünye aksiyomları da kullanılarak gerilme, polarizasyon, entropi
yoğunluğu, iç enerji ve ısı akısı yoğunluğu tayin edilecektir. Çalışmanın bu
kısmında, ilk önce yukarıda adı geçen büyüklükler üzerindeki termodinamik
kısıtlamaları kullanarak, ortamın fiziksel ve topolojik özellikleri de dikkate alınıp
bünye denklemlerine de ait genel formüller çıkarılacak daha sonra da bünye
aksiyomlarının ilgili olanları kullanılarak bu formüller somutlaştırılacaktır.
Kısım 1.6’ daki (1.167)1 ifadesini pratik kullanım bakımından daha yararlı şekillerde
yazmak için, (1.162) ifadesinden ısı kaynağı )( hρ çekilir, (1.167)1 ifadesinde yerine
yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
011)( ,2, ≥−+Π−−−≡ kkklkl qtE θθ
νθ
ηθεθρργ &&& (3.1)
63
Bu ifadedeki entropi yoğunluğunun ve polarizasyonun maddesel türevi
termodinamik bir proses içinde kontrol edilemeyeceğinden dolayı bu büyüklüklerin
türevini, yukarıda verilen (3.1) ifadesinde kontrol edilebilen θ ve E büyüklüklerine
intikal ettirmek için aşağıdaki gibi tanımlanan bir Legendre transformasyonu
kullanılabilir.
Π⋅−−≡ Eθηεψ veya kk PE1−−−≡ ρθηεψ (3.2)
Yukarıdaki ifadede ψ , genelleştirilmiş Helmholtz serbest enerjisi adını alır ve
termodinamik bakımdan enerjinin kullanılabilir kısmını temsil eder. Daha ileride
belirtileceği gibi, serbest enerji yoğunluğunun hangi büyüklüklere bağlı olduğunu
malzemenin bünyesi belirleyecektir.
(1.157) tanımıyla verilen )(Π ’nin ve (3.2) ifadesindeki )(ε ’ nun maddesel türevi
(3.1) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, kontrol edilebilir bağımsız değişkenler cinsinden
Entropi eşitsizliği (Termodinamiğin ikinci kanunu) aşağıdaki şeklini alır (Eringen ve
Maguin, 1990).
011)( ,2,1 ≥−+++−≡ −
kkkllkkk qtPE θθ
νθ
ρηθψθρργ &&& (3.3)
)(θ pozitif değerli olduğundan, (3.3) eşitsizliği )(θ ile çarpılırsa eşitsizlik
değişmeyecektir. (3.3) eşitsizliği )(θ ile çarpılıp gerekli sadeleştirmeler yapıldığında
aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.
011)( ,,1 ≥−+++− −
kkkllkkk qtPE θθ
νθ
ρηθψρ &&& (3.4)
(3.4) eşitsizliğinde yer alan gerilme tansörü mekanik ve elektrik yüklemelerden
kaynaklanmaktadır ve simetrik değildir. Bu gerilme tansörünün yerine (1.137) ifadesi
ile verilen gerilme ifadesi yazılırsa, elde edilen yeni entropi eşitsizliği sadece
64
simetrik bir gerilme tansörünü ihtiva edeceğinden, simetrik tansörün avantajlarından
yararlanmayı sağlayacaktır. Dolayısıyla (3.4) eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazılabilir.
01)( ,,, ≥−−−++− kkkkkllkklkl EPqEPt &&& θθ
ννηθψρ (3.5)
(3.5) eşitsizliğindeki kl ,ν terimi hız gradyanı tansörü olarak bilinir ve aşağıdaki gibi
tanımlanmıştır (Şuhubi, 1994).
lkkl L≡,ν veya vL ∇≡ (3.6)
Hız gradyanı tansörünün transpozu, simetrik olan şekil değiştirme hızı tansörü d ile
antisimetrik olan spin tansörü w ’nun toplamı olarak tanımlanmaktadır (Şuhubi,
1994).
ddL +≡T veya klkllk wd +≡,ν (3.7)
(3.7) ifadesinin transpozu alınırsa, hız gradyanı tansörü aşağıdaki gibi yazılabilir.
TT ddL += veya lklkkl wd +=,ν (3.8)
(3.6) eşitsizliğindeki klklt ,ν terimi (3.8) ifadesinden, klt gerilme tansörünün simetrisi
ve lkw spin tansörünün antisimetrisi nedeniyle aşağıdaki gibi elde edilir.
klklklkl dtt =,ν (3.9)
(3.9) ifadesi (3.5) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, aşağıdaki eşitlik elde edilir.
01)( ,, ≥−−−++− kkkkkllkklkl EPqEPdt &&& θθ
νηθψρ (3.10)
65
(1.24)1 denklemiyle verilen Green deformasyon tansörünün maddesel türevi alınırsa, dkl cinsinden aşağıdaki gibi yazılır.
LlKkklKL xxdC ,,2=& (3.11)
(3.11) eşitliğinde bilinen işlemler tekrarlanırsa, dkl simetrik şekil değiştirme hızı
tansörü KLC& cinsinden aşağıdaki gibi bulunur.
lLkKKLkllk XXCdd ,,21 &== (3.12)
(3.10) eşitsizliğinde; ρ yerine (1.110) ifadesi, )( lkd yerine de (3.12) ifadesi yazılır
ve eşitsizlik (J) ile çarpılırsa aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.
−−++− kllklLkKKLkl
EJPXXCtJ ,,,0 21)( νηθψρ &&
01, ≥− kkkk EPJqJ &θ
θ (3.13)
ψ ye bağlı gerilme potansiyeli aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
ψρ0≡Σ (3.14)
Σ bundan böyle serbest enerji adı ile anılacaktır. (3.14) deki tanımıyla verilen
serbest enerjinin (3.13) de yerine yazılmasıyla eşitsizlik aşağıdaki yeni formuna
kavuşur.
−−++Σ− kllklLkKKLkl
EJPXXCtJ ,,,0 21)( νθηρ &&&
01, ≥− kkkk EPJqJ &θ
θ (3.15)
66
Σ ’nın objektif olması istendiğinden, argümanların tümü aşağıdaki (3.16) - (3.17)
ifadelerindeki tanımlarla maddesel koordinatlara göre yazılmıştır. Böylece (3.16)
ifadesiyle, (3.15) eşitsizliğinde yer alan serbest enerji yoğunluğunun, bu çalışmada
ele alınan ortam için hangi argümanlara bağlı olduğu ortaya çıkmıştır.
kllLkKkl tXXJT ,,≡ (3.16)
kkKK qXJQ ,≡ (3.17)
kkKk
kKkkK XPXPXJ Π==≡Π ,0,0, ρρ
ρ (3.18)
kKkK ExE ,≡ (3.19)
kKkK x ,,, θθ ≡ (3.20)
(3.16) - (3.20) tanımlarından aşağıdaki ifadeler yazılabilir.
KLLlKkkl TxxJt ,,1−= (3.21)
KKkk QxJq ,1−= (3.22)
KKkK xJP Π= −,
1 (3.23)
KkKk EXE ,= (3.24)
KkKk X ,,, θθ = (3.25)
(3.15) eşitliğinde, (3.16), (3.20), (3.22), (3.23) ifadeleri kullanılır ve gerekli işlemler
yapılırsa aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.
67
0)(121)( ,,,,0 ≥+Π−−++Σ− kKklklKkKKKKLKL ExExQCT &&&& νθ
θθηρ (3.26)
(3.26) eşitsizliğinde parantez içindeki ifade, klKkx ,, ν terimi, şekil değiştirme
gradyanının maddesel türevi dikkate alınarak, •
== KlKlKkkl xx ,,,, νν şeklinde ve
kKk Ex &, terimi ise indis değişikliği yapılarak lKl Ex &
, şeklinde, ayrıca KlKl EEx &=•
,
şeklinde yazılabileceğinden, (3.26) eşitsizliği maddesel koordinatlardaki bileşenleri
cinsinden aşağıdaki formda ifade edilir.
0121)( ,0 ≥Π−−++Σ− KKKKKLKL EQCT &&&& θ
θθηρ (3.27)
(3.15) eşitliği elektrostatik bir alanın etkisinde bulunan ve elastik bir davranış
gösteren termomekanik alanlar için entropi üretiminin genel bir ifadesidir. Bu
eşitsizliğin kullanılabilmesi için Σ ’nın hangi bağımsız değişkenlere ne şeklide bağlı
olduğunun bilinmesi gerekir. Buna göre Σ ’nın argümanlarını seçmek formal olarak
belli bir malzeme seçmek demektir.
Bu çalışmada elektro- termomekanik bir alanın etkisinde bulunan, elastik davranış
gösteren bir maddesel cisim malzeme olarak seçilmiştir. Seçilen bu malzemeye göre
Σ ’ nın argümanları ve bağlı olduğu değişkenler, Eringen (1980) ve Şuhubi (1994)
daha genel ve sistematik bir yaklaşım izleyerek tüm bünye fonksiyonları için
geliştirdikleri bünye aksiyomlarını kullanarak bulunacaktır.
68
3.1.2. Bünye Aksiyomları
Şimdiye kadar elde ettiğimiz ve sürekli ortamlarda geçerli olan denge denklemleri
ortamın davranışını belirlememize yetmeyecektir. Bir malzemenin davranışını
bilebilmemiz için o malzemeyi başka malzemelerden ayıran özellikleri
denklemimizin içine almamız gerekir. Bir malzemenin fiziksel olarak geçerli bütün
davranışlarında etkili olacak tüm özelliklerini yansıtıcı genellikte ilişkilere çoğu
zaman gerek yoktur. Malzemenin incelenmek istenen davranışını belirleyen, daha
sade ilişkiler yeterli olacaktır. Çeşitli alan büyüklükleri arasında geçerli olan ve göz
önüne alınan malzemelerin yapısal özelliklerinden kaynaklanan bağıntılara bünye
bağıntıları veya bünye denklemleri adı verilir. Elastik malzemelerin bünye teorileri
üzerinde çalışırken yedi adet aksiyomu işleme katacağız. Bu denklemlerin cisimlerin
gözlenen ve de incelenmesi arzu edilen özeliklerini yansıtacak şekilde rasyonel ve
sistematik olarak üretilmesi ile uğraşan teori de bünye teorisi adını alır. Her
aksiyomda olduğu gibi bünye aksiyomları da doğadan elde edilen ilkel izlenimlere ve
rasyonel bir dönüşüm sistemine uyumlu bazı önermelerdir (Şuhubi, 1994).
3.1.2.1. Nedensellik (Kozalite) Aksiyomu
Bu aksiyom yalnız termal etkileşimlerin göz önüne alındığı ortamlarda
gözlemlenebilir yada ölçülebilir kabul edeceğimiz hareket ),( tXx ile sıcaklık
),( tXθ alanlarının bağımsız bünye değişkenler olarak seçilmesi gerektiğini ve
verilmiş kabul edilecek dış kuvvetlerle ısı kaynağı dışında denklik denklemlerine ve
entropi eşitsizliğine giren öteki alanların bağımlı bünye değişkenleri olduğunu ifade
eder. Başka bir deyişle bağımlı bünye değişkenleri, bağımsız bünye değişkenleri olan
hareket, elektrik alan ve sıcaklığın neden olduğu, yani bu değişkenlerden türeyen
büyüklüklerdir.
3.1.2.2. Determinizm Aksiyomu
Bu aksiyom bir sürekli ortamın belli bir parçacığındaki bağımlı bünye
değişkenlerinin, ya da bundan sonra kullanmayı tercih edeceğimiz deyimle sadece
69
bünye değişkenlerinin, ortamın bütün parçacıklarındaki hareket, elektrik alan ve
sıcaklığın ortamın tüm geçmişinde aldıkları değerler ile belirleneceğini ifade eder.
Yani cismin belli bir anda belli bir noktasındaki davranışı bütün parçacıklarının o
andan önceki tüm zamanlardaki hareket, elektrik alan ve sıcaklıklarının bilinmesiyle
kestirilebilmelidir. Buna göre X maddesel noktanın t anındaki gerilme potansiyeli,
[ ]XXXXxX ,),(,),(,),(),( tEttt ′′′′′′Σ=Σ θ VX ∈ tt ≤′<∞− (3.28)
şeklinde olur. Malzemenin hafızası olmadığından
[ ]XXXXxX ),,(,),(,),(),( tEttt ′′′Σ=Σ θ (3.29)
şeklini alır.
3.1.2.3. Eşbulunma Aksiyomu
Bu aksiyom bir malzemenin bünye denklemlerini geliştirirken başlangıçta bütün
denklemlerin aynı bağımsız bünye değişkenlerini içermesi gerektiğini ifade eder.
3.1.2.4. Uygunluk Aksiyomu
Bu aksiyom her türlü bünye denkleminin sürekli ortamlar mekaniğinin temel
ilkelerine, yani kütlenin korunumuna, lineer ve açısal momentumun denkliğine,
enerji denkliğine ve her bağımsız termodinamik süreç altında entropi eşitsizliğine
uyumlu olması gerektiğini ifade eder.
3.1.2.5. Objektivite Aksiyomu
Bu aksiyom bünye denklemlerinin uzaysal koordinat takımının her hangi bir rijid
hareketi altında form-invaryant kalması gerektiğini, başka bir deyişle bünye
fonksiyonellerinin biçiminin objektif olarak eşdeğer hareketler altında değişmeden
kaldığını ifade eder. Dolayısıyla birbirlerine göre rijid hareket eden koordinat
70
takımlarına yerleşmiş gözlemcilerin ortamın bu bünye denklemlerine göre
gözlemledikleri ya da ölçtükleri davranışlarının birbirinin aynısı olması gerekir.
Burada )(tH uygun bir ortogonal transformasyon matrisi )( IHHHH TT == ,
det 1+=H , =I birim matris, =)(tb Öteleme matris, t ise zaman orjininin t den
sabit bir a kayması ile elde edilen zaman dilimidir. Objektif olarak eşdeğer x ve x
hareketli,
atttbtXxtHtXx −=+′=′ ,)(),()(),( (3.30)
bağıntısı ile tanımlanmaktadır. Skaler değerli gerilme potansiyeli,
[ ] [ ]XXXXxXtXtXtXx ),,(,),(,),(),,(),,(,),( tEttE ′′′Σ=′′′Σ θθ
veya
[ ]
[ ]XXXXx
XtXtXtXx
),,(),,(,),(
),,(),,(,)(),()(
tEtt
EtbtH
′′′Σ
⇒+Σ
θ
θ
(3.31)
bağıntısı şeklinde olmak zorundadır.
A. Uzaysal koordinatların ötelenmesi
Bu durum için ItH =)( , ),()( tXt xb −= alınır. Bu değerler (3.30) de yerine
yazılırsa,
),(),(),( ttt XxXxXx −′=′ (3.32)
elde edilir. (3.32) denklemini (3.31) de yerine yazarsak gerilme potansiyeli aşağıdaki
şekilde olur.
[ ]XXXXxXxX ),,(,),(,),(),(),( tEtttt ′′−′Σ=Σ θ (3.33)
71
B. Uzaysal koordinatların rijid dönmesi
Bu durum için 0=b , 0=a , :)( tH keyfi olarak alınır. Bu değerler (3.30) de yerine
yazılırsa,
),()(),( tXtHt ′=′ xXx (3.34)
elde edilir. (3.34) denklemi (3.31) ifadesinde yerine yazılırsa gerilme potansiyeli
aşağıdaki şekilde elde edilir.
[ ]XXXXxX ),,(,),(,),()(),( tEtttHt ′′′Σ=Σ θ (3.35)
3.1.2.6. Maddesel Simetri Aksiyomu
Bir sürekli ortamın bir parçacığına bağlı fiziksel özellikler o maddesel noktadan
geçen doğrultulara bağlı değilse ve bu özellik ortamın bütün parçacıkları için geçerli
ise ortam izotroptur. Fiziksel özellikler doğrultuya göre değişiyorsa anizotroptur.
Ortamın fiziksel özellikleri parçacıktan parçacığa değişmiyorsa ortam homojendir,
değişiyorsa heterojendir. Bu durumda bünye denklemleri, maddesel koordinat
sisteminin B kadar ötelenmesi ve H ortogonal transformasyonuna göre form
invaryanttır.
BXHX +=′ (3.36)
Bu ifade (3.33) ifadesinde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
[ ]XXXXX ),,(,),(,),()(),( tEttxBXHxt ′′−+Σ=Σ θ (3.37)
72
3.1.2.7. Yöresellik aksiyomu
X noktasındaki bağımlı bünye değişkenlerinin ( ηε ,,,qt ) değerinin ancak o
parçacığın yakın yöresindeki bağımsız bünye değişkenlerinden ( θ,x ) etkileneceğini
ifade eder. Bir bakıma ortamı oluşturan parçacıklar arasındaki etkileşimlerin kısa
erişimli olduğu anlamına gelir. Matematiksel bir yapı kazanabilmesi için ortamın
X noktası civarındaki hareketi Taylor serisinde açarsak,
+−+= )(),(),(),'( ', KKKKkKkKk XXtXxtXxtXE
...)()(),(21 ''
, +−− LLKKKKLk XXXXtXx (3.38)
şeklinde yazılabilir.
(3.38) ifadesinin ilk iki teriminin alınmasıyla oluşan malzemeye basit termomekanik
malzemeler denir (Eringen, 1980). Yöresellik aksiyomuna göre Σ nın argümanlarına
olan bağımlılığı KX ′ ve KX arasındaki mesafe arttıkça hızla sönümlenmektedir.
)(),(),(),( , KKKKkKkKk XXtXxtXxtXx −′=−′ (3.39)
Buna göre gerilme potansiyeli indeks notasyonuyla yazılırsa,
],),(,),(,),([),( , KKKKKKk XtXtXEtXxtX θΣ=Σ (3.40)
şeklini alır.
Objektivite aksiyomu, (3.40) ifadesine bir kısıtlama daha getirir. Bu kısıtlamaya göre
gerilme potansiyeli, deforme olmuş malzemenin rijit hareketleri altında invaryant
kalmalıdır. Bu durumda, uzaysal koordinat sisteminin zamana bağlı
transformasyonları altında, Σ ’nın invaryant kalması gerekir. Cauchy teoremine göre
bu şartın sağlanması veΣ ’nın ilk argümanının tek değerli bir fonksiyonu olabilmesi
73
için kKkK x ix ,, = ya olan bağımlılığı, K,x vektörlerinin aşağıda belirtildiği gibi ikişer
ikişer skaler ve üçlü karışık çarpımlarına bağımlılığı şeklinde olması demektir
(Şuhubi, 1994).
KLLK C=,, .xx (3.41)
MLK ,,, . xxx × (3.42)
(3.40) ifadesindeki diğer argümanlar, maddesel koordinatlarda ifade edildiğinden
Cauchy teoremi bu argümanlar için söz konusu değildir ve bu argümanlar aynen
yerinde kalır. (3.41) ifadesi Green deformasyon tansörünün tanımıdır ve (3.35)
ifadesi ile verilmiştir (Şuhubi, 1994). (3.42) ifadesi ise deformasyon gradyanının
determinantını tanımlamakta olup (1.6) ve (1.168) denklemlerinde gösterildiği gibi
aşağıdaki gibi ifade edilir (Şuhubi, 1994).
MmLlKkklmKLM xxxt
XtedJ ,,,0
!31
),()( εε
ρρ
==≡X
(3.43)
(1.24)1 ve (3.43) ifadesinden faydalanarak (3.40) ifadesi aşağıdaki şekilde yazılabilir.
[ ]),(,),(,,),(,),(),( 1 tXEtXXttCt KKKKL θρ XXX −Σ=Σ (3.44)
Tutarlılık aksiyomuna göre, daha önce kütlenin korunumu yasasını
KLCtedt
J ==),(
0
Xρρ
şeklinde belirtmiştir, (3.44) ifadesinde de KLC nin mevcut
olması nedeniyle 1−ρ değişkenler listesinden çıkartılabilir.
Bu durumda mekanik bir yüklemeye maruz, elastik-piezoelektrik bir ortamın gerilme
potansiyelinin hangi argümanlara bağlı olduğu aşağıdaki denklem ile ortaya
çıkmıştır.
74
[ ]),(,),,(,),(),( tXXtXEtXCtX KKKKKKLK θΣ=Σ (3.45)
Bu eşitsizliğin bağımsız değişkenlerinin değişiminin bir lineer kombinezonu olarak
ifade edebilmek için Σ ’nın (3.45) ifadesiyle belirtilen argümanların maddesel
türevinin bilinmesi gerekir. Malzemelerin homojen olduğu kabul edilerek (3.45)
ifadesine verilen Σ ‘nın bağlı olduğu argümanlardan X kaldırılır. (3.45) ifadesinin
maddesel türevini alırsak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.
θθ&&&&
∂Σ∂
+∂Σ∂
+∂Σ∂
=Σ KK
KLKL
EE
CC
(3.46)
Bu ifadeyi (3.27) eşitliğinde yerine yazarsak aşağıdaki eşitsizlik elde edilir.
0)()1()2(21
00 ≥
∂Σ∂
+Π−∂Σ∂
+−∂
Σ∂− K
KKKL
KLKL E
EC
CT &&& θ
θρηρ (3.47)
(3.47) ifadesiyle verilen Entropi eşitsizliğindeki termodinamik proses, aşağıdaki gibi
bir sütun vektörüyle gösterilebilir.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
θ&
&
&
K
KL
EC
S (3.48)
(3.48) ifadesiyle verilen sütun vektör, elastik ve piezoelektrik bir malzeme için
termodinamik prosesi temsil eden keyfi bir vektör olarak düşünülmüştür.
(3.47) eşitsizliğindeki argümanları, sağdan başlayarak θ ’ yı θ& şeklinde KLC ’yi KLC&
şeklinde KE ’ yı KE& şeklinde keyfi olarak değiştirebileceğimizden (3.47)
eşitsizliğinin sağlanabilmesi için θ& ’ nın KLC& ’ nın katsayıları sıfır olacaktır. KLC& ’
nın KE& ’ nın θ& ’ nın katsayıları sıfıra eşitlenecek aşağıdaki ifadeler elde edilir
(Şuhubi, 1994).
75
KLKL C
T∂
Σ∂= 2 (3.49)
θρη
∂Σ∂
−=0
1 (3.50)
KK E∂
Σ∂−=Π (3.51)
0=KQ (3.52)
elde edilir.
Diğer taraftan bünye denklemlerinden olan iç enerji )(ε ; (3.2) ve (3.14)
ifadelerinden aşağıdaki gibi yazılabilir.
kk PE1
0
1 −++Σ= ρηθρ
ε (3.53)
Bu ifade 0
1ρ
parantezine alınırsa,
)(10
0KKE Π++Σ= ηθρ
ρε (3.54)
ifadesi elde edilir. Bu ifadede η ve KΠ terimi yerine (3.50) ve (3.51) ifadesi yerine
yazılırsa, iç enerji )(ε aşağıdaki formda ortaya çıkar.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Σ∂
−∂Σ∂
−Σ=K
K EE
θθ
ρε
0
1 (3.55)
76
Maddesel koordinatlarda ifade edilmiş olan simetrik gerilme tansörü, (3.21) göz
önüne alınarak uzaysal koordinatlarda aşağıdaki gibi yazılabilir.
LlKkKLkl xxTJt ,,1−= (3.56)
Bu ifadede, kütlenin korunumu 0
1
ρρ
=−J tarzında kullanılır ve KLT terimi yerine
(3.49) de ifadesi yazılırsa simetrik gerilme tansörü aşağıdaki tarzda yazılır.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Σ∂
= LlKkKL
kl xxC
t ,,0
2ρρ (3.57)
Benzer işlemler (3.23) ile verilen polarizasyon bünye denklemleri ile
gerçekleştirilirse,
KkK
k xE
JP ,1
∂Σ∂
−= − (3.58)
İfadesi elde edilir.
(1.137) ifadesi ile verilen asimetrik gerilme tansörü klt yukarıdaki listede doğal
olarak gözükmemektedir. Bütünlüğü sağlamak amacıyla bu gerilme ifadesinde yer
alan simetrik gerilme polarizasyon terimleri (3.58) ve (3.57) de verilen formlar ile
yerine yazılırsa,
lkklkl EPtt −= (3.59)
İfadesi elde edilir. Bu ifade asimetrik gerilmenin uzaysal koordinatlardaki formudur.
(3.59) denkleminin maddesel koordinatlardaki formu aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
1
,,−Π−=Π−= MLMKKLMlLlMKKLKL CETEXXTT (3.60)
77
Bu durumda asimetrik gerilmenin hesaplanması için; simetrik gerilme ve
polarizasyon alanına ait bünye denklemlerinin bulunması gerekmektedir. Simetrik
gerilme ve polarizasyon alanının serbest enerji fonksiyonu Σ ’ ya bağlı olduğu
(3.49) ve (3.51) denkleminde açıkça görülmektedir.
Bu aşamada, incelenen malzemenin uymak zorunda kaldığı maddesel simetri
kısıtlamalarından bahsetmek uygun olacaktır. ℑ , tercihli doğrultulara karşılık gelen
bir maddesel koordinat takımını yeni bir maddesel koordinat takımına dönüştüren ve
yapının fiziksel özelliklerini invaryant bırakan ortogonal matrislerden oluşmuş sonlu
bir grup olsun. Bu gruba incelenen kristal yapının simetri grubu denir ve ortogonal
grubun bir alt grubunu oluşturur, dolayısıyla )3(O⊆ℑ yazılabilir. Simetri grubu tam
ortogonal gruba eşitse malzeme izotroptur. ℑ simetri grubunun üyesi olan ve sonlu
sayıda ℑ∈=S matrislerinden oluşmuş bir simetri grubu dikkate alındığında, bünye
fonksiyonellerinin aşağıdaki koordinat dönüşümleri altında şeklen değişmez kalması
gerektiği görülmekledir (Şuhubi, 1994).
LKLK XSX =' ,
''KKLK
TLKL XSXSX ==
TSS
=
−
==1
ℑ∈∀=S (3.61)
(3.61) ile verilen maddesel simetri kısıtlaması, ),,( θECΣ=Σ bünye
fonksiyonellerini aşağıdaki gibi ifade etmeyi gerektirir.
Σ=Σ ' ⇒ ),,( '' θECΣ = ),,( θECΣ (3.62)
78
Bu bünye fonksiyonellerinin argümanları ise (3.61) ile verilen dönüşüm dikkate
alınarak aşağıdaki gibi yazılır.
T
MNLNKMKL SCSCCSSC =⇒= ''
ESEESE MKMK =⇒= '' (3.63)
(3.63) de verilen ifadeler (3.62) bünye fonksiyonellerinde yerine yazıldığında
aşağıdaki ifadeler elde edilir.
),,(),,,( θθ ECESSCS T Σ=Σ (3.64)
Bu çalışmada incelenen malzeme anizotroptur. Bu sebepten anizotropik yapıyı temsil
etmek için bünye fonksiyonellerinin seri açılımı yapılacaktır.
79
3.2. Yöntem
Bu çalışmada, tüm ortamlar için geçerli olan genel balans denklemleri,
Termodinamiğin 2. prensibi (Clausius-Duhem eşitsizliği ), Elektrostatik alanların
davranışı, bünye teorisinin aksiyomları ve özellikle objektivite, maddesel simetri
aksiyomları ve malzemenin simetri grubuna ilişkin kavramlar kaçınılmaz bir yöntem
olarak kullanılmıştır. Ele alınan malzemenin piezoelektrik özelliğinden dolayı
anizotrop bir ortam olduğu düşünülmüştür. Anizotrop bir ortamda bünye
fonksiyonelinin (gerilme potansiyeli) açık formunun elde edilmesi için yaklaşık
teorilerden faydalanılacaktır. Yaklaşık teoriler elde etmede en sistematik yaklaşım;
ortamın referans konumunu doğal durumu olarak seçmek ve bu durumda E=0 olduğu
için gerilme potansiyelini doğal durum etrafında genleme tansörünün bileşenleri
cinsinden bir MacLaurin serisine açmaktır. Lastik gibi bazı elastomerler dışındaki
katı cisimlerin çoğu ancak çok küçük genlemeler için elastik davranış
gösterdiklerinden böyle bir serinin ilk birkaç mertebeden terimi ile yetinmek
genellikle yeterli olur. Seri açılımıyla ortaya konulan gerilme potansiyeli, bünye
denklemlerinde yerlerine yazılıp, deformasyon tansörüne ve elektrik alan vektörüne
göre türevi alınarak gerilme ve polarizasyon alanı denklemleri non-lineer formda
elde edilecektir. Elde edilen bünye denklemleriyle problem çözmek zor olacağından
dolayı bünye denklemleri lineerleştirilmesi gerekmektedir. Lineer teoriyi elde etmek
için yer değiştirmeler, yer değiştirme gradyanları ve genleme hızları çok küçük kabul
edilir. Elde edilen lineer bünye denklemleri balans denklemlerinde yerlerine
konularak alan denklemlerine ulaşılacaktır.
3.2.1. Anizotropik Ortamlarda Simetrik Gerilme ve Polarizasyonun Bünye
Denklemlerinin Tayini
Bu çalışmada ele alınan malzemenin Piezoelektrik özelliğinden dolayı genel anlamda
anizotrop olduğu düşünülmüştür. Bu kısımda simetrik gerilme ve polarizasyon için
bünye denklemleri bulunacaktır. Bunun için bir yaklaşım olarak; ortamın referans
konumu doğal durum olarak seçilip gerilme potansiyeli bu doğal durum etrafında,
80
bağlı olduğu argümanların bileşenleri cinsinden bir kuvvet serisine açılarak gerilme
potansiyeline bağlı olan simetrik gerilme ve polarizasyon alanı hesaplanabilir.
C tansörü, E tansörü cinsinden KLKLKL EC 2+= δ şeklinde ifade edilebildiğinden
aşağıdaki ifade geçerlidir.
),,( θKKL EEΣ=Σ (3.65)
KLKL EC ∂Σ∂
=∂Σ∂2 (3.66)
KLE ve KE maddesel koordinatlara bağlı olduğundan, koordinat dönüşümlerinden bu
terimler etkilenir. Dolayısıyla notasyon kolaylığı sağlamak için Σ ’ nın θ ya olan
bağımlılığı gösterilmeyecektir. Buna göre (3.65) ifadesi, aşağıdaki gibi yazılabilir.
),( KKL EEΣ=Σ (3.67)
(3.67) fonksiyonu EE , cinsinden analitik kabul edilerek 0,0 == EE civarında bir
Taylor serisine açılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
KLKL
QKL EE
EE
EE00
)0,0(),(∂Σ∂
+∂Σ∂
+Σ=Σ
⎪⎭
⎪⎬⎫
∂∂Σ∂
+∂∂Σ∂
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∂∂Σ∂
+ QKLQKL
NQNQ
MNKLMNKL
EEEE
EEEE
EEEE
0
2
0
2
0
2
!21
⎪⎩
⎪⎨⎧
∂∂∂Σ∂
+∂∂∂
Σ∂+ SNQ
SNQSQMNKL
SQMNKL
EEEEEE
EEEEEE
0
3
0
3
!31
⎪⎭
⎪⎬⎫
∂∂∂Σ∂
+∂∂∂
Σ∂+ NQKL
NQKLQMNKL
QMNKL
EEEEEE
EEEEEE
0
3
0
3
(3.68)
81
(3.68) seri açılımındaki kısmi türevler, X parçacığına ve sabit θ bağlı birer katsayı
olduklarından,
++Σ+Σ=Σ QQKLKLQKL EXEXXEE ),(),(),(),( 0 θβθθ
+++Σ QKLKLQNQQNMNKLKLMN EEXEEXEEX ),(),(21),(
21 θλθβθ
++Σ SNQQNSSQMNKLKLMNSQ EEEXEEE ),(31),(
31
~θβθ X
NQKLKLQNQMNKLKLMNQ EEEXEEEX ),(),(21
~~θλθλ + (3.69)
İfadesi yazılabilir. Ortam homojen olduğunda (3.69) ifadesindeki katsayı
fonksiyonlarının X ’e olan bağımlılığı kalkar. Bundan böyle katsayı fonksiyonlarının
argümanları yazılmayacaktır. (3.68) ve (3.69) ifadelerinden bu katsayılar aşağıdaki
gibi tanımlanır.
)0,0(0 Σ≡Σ
0KL
KL E∂Σ∂
≡Σ
0
0QE∂Σ∂
≡β
0
2
MNKLKLMN EE ∂∂
Σ∂≡Σ
0
2
NQQN EE ∂∂
Σ∂≡β
82
0
2
21
QKLKLQ EE ∂∂
Σ∂≡λ
0
3
21
SQMNKLKLMNSQ EEE ∂∂∂
Σ∂≡Σ
0
3
61
SNQQNS EEE ∂∂∂
Σ∂≡β
0
3
31
QMNKLKLMNQ EEE ∂∂∂
Σ∂≡λ
0
3
61
NQKLKLQN EEE ∂∂∂
Σ∂≡λ (3.70)
E tansörünün simetrisi ve (3.70) ifadesindeki tanımlarda türevlerin sıraya bağlı
olmaması nedeniyle, bu katsayılar aşağıda verilen simetri özelliklerini taşır.
LKKL Σ=Σ
MNKLKLNMLKMNKLMN Σ=Σ=Σ=Σ
NQQN ββ =
LKQKLQ λλ =
SQMNKLKLSQMNMNKLSQKLNMSQLKMNSQKLMNSQ Σ=Σ=Σ=Σ=Σ=Σ
SNQQSNNQSQNS ββββ ===
83
MNKLQKLNMQLKMNQKLMNQ λλλλ ===
KLNQLKQNKLQN λλλ == (3.71)
(3.66) ve (3.49) denklemine göre
PRPR E
T∂Σ∂
= (3.72)
Şeklinde tanımlanabilir.
(3.72) denklemindeki PRE∂Σ∂ terimi, (3.69) denkleminden aşağıdaki gibi hesaplanır.
++Σ+Σ+Σ=∂Σ∂
QPRQKLKLPRMNPRMNPRPR
EEEE
λ)(21
+Σ+Σ+Σ )(31
MNKLKLMNPRSQKLKLPRSQSQMNPRMNSQ EEEEEE
NQPRQNQKLKLPRQQMNPRMNQ EEEEEE λλλ ++ )(21 (3.73)
(3.73) denklemindeki Katsayıların indisleri uygun şekilde değiştirilir, (3.71)
ifadesiyle verilen simetri özellikleri de dikkate alınırsa, (3.73) ifadesi aşağıdaki gibi
yazılır.
+Σ++Σ+Σ=∂Σ∂
SQMNPRMNSQQPRQMNPRMNPRPR
EEEEE
λ
NQPRQNQMNPRMNQ EEEE λλ + (3.74)
84
(3.74) bağıntısı (3.72) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
+Σ++Σ+Σ= SQMNPRMNSQQPRQMNPRMNPRPR EEEET λ
NQPRQNQMNPRMNQ EEEE λλ + (3.75)
0=E doğal durumda, ortamın gerilmesiz olduğu kabul edilirse 0=ΣPR sonucuna
varılır. Buna göre, (3.75) denklemi aşağıdaki gibi yazılır ve elde edilen denklem
piezoelektrik anizotrop bir ortamda gerilmenin bünye denklemidir.
+Σ++Σ= SQMNPRMNSQQPRQMNPRMNPR EEEET λ
NQPRQNQMNPRMNQ EEEE λλ + (3.76)
(3.1) kısmında polarizasyon alanı (3.51) ifadesiyle aşağıdaki gibi verilmişti.
R
R E∂Σ∂
−=Π (3.77)
RE∂Σ∂ terimi, (3.69) denkleminden aşağıdaki gibi hesaplanır.
++++=∂Σ∂
KLKLRQQRNRNRR
EEEE
λβββ )(21
+++ )(31
NQQNRSQQRSSNRNS EEEEEE βββ
QKLKLQRNKLKLRNMNKLKLMNR EEEEEE λλλ ++21 (3.78)
(3.78) denklemindeki katsayıların indisleri uygun şekilde değiştirilir. (3.71)
ifadesiyle verilen simetri şartları göz önüne alınarak (3.78) ifadesi aşağıdaki gibi
yazılabilir.
85
++++=∂Σ∂
NQRQNKLKLRQRQRR
EEEEE
βλββ
QKLKLQRMNKLKLMNR EEEE λλ 221
+ (3.79)
(3.79) ifadesi (3.77) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
{ ++++−=Π NQRQNKLKLRQRQRR EEEE βλββ
⎭⎬⎫+ QKLKLQRMNKLKLMNR EEEE λλ 2
21 (3.80)
0E = doğal durumda, ortamda polarizasyon olmadığı kabul edilirse 0=Rβ
sonucuna varılır. Bu durumda mekanik ve elektromekanik etkileşimler nonlineer
kabul edilerek anizotropik özellik taşıyan ortamlarda polarizasyon alanı aşağıdaki
şekilde ifade edilmiştir.
[ +++−=Π NQRQNKLKLRQRQR EEEE βλβ
]QKLKLQRMNKLKLMNR EEEE λλ 221
+ (3.81)
(3.76) ve (3.81) denklemleri piezoelektrik bir anizotrop ortamda, ortamın sıkışabilir
kabul edildiği, mekanik ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer kabul edildiği
durumda polarizasyon alanının ve gerilmenin maddesel bünye denklemleridir.
Polarizasyon alanının bünye denklemini veren (3.81) ifadesine dikkat edilirse, bu
çalışmada mekanik ve elektriksel etkileşimler ile ilgili yapılan kabuller altında
elektrik alanının, genleme tansörünün, elektrik alanının ikinci dereceden terimlerinin,
genleme tansörü ile elektrik alan vektörünün birlikte etkileşiminin polarizasyon
alanının oluşumuna katkıda bulundukları görülmektedir. Eğer mekanik ve elektriksel
etkileşimler lineer kabul edilirse, (3.81) ifadesinin ilk iki terimi dışında kalan terimler
ortadan kalkar. Ortamın sıkışabilir, mekanik ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer
kabul edildiği piezoelektrik bir anizotrop ortamlarda simetrik gerilmenin bünye
denklemini veren (3.76) ifadesine dikkat edilirse ilk terim genleme tansörünün, ikinci
86
terim elektrik alandan kaynaklanan elektrostriktif etkinin, üçüncü terim genleme
tansörünün nonlineer etkisinin, dördüncü terim genleme tansörü ile elektrik alanının
birlikte etkileşiminin ve son terim ise elektrik alanın nonlineer etkisinin simetrik
gerilmeye olan katkılarını ifade etmektedir. Buna göre, (3.76) ve (3.81)
ifadelerindeki terimler bu çalışmada söz konusu kabuller altında ortaya çıkmış olup
özel hallerde bilinen klasik ifadelere indirgenmektedir. Oluşturulan bu matematiksel
model polarizasyon alanı ve simetrik gerilme bünye denkleminin maddesel
koordinatlardaki ifadeleridir.
87
4. ARAŞTIRMA BULGULARI
4.1. Asimetrik Gerilmenin Tayini
Bu kısımda, ele alınan malzemede ortaya çıkan asimetrik gerilme tansörü hem
maddesel hem de uzaysal koordinatlarda bulunacaktır. Asimetrik gerilme tansörü
(3.61) ifadesiyle aşağıdaki gibi verilmişti.
1−Π−= MRMPPRPR CETT (4.1)
(3.75) ile verilen simetrik gerilme denklemi ile (3.80) ifadesiyle verilen polarizasyon
alanı denklemi, (4.1) denkleminde yerine yazılırsa asimetrik gerilme aşağıdaki gibi
elde edilir.
++++Σ= NQPRQNQMNPRMNQQPRQMNPRMNPR EEEEEET λλλ
+++Σ −− 11MRMKLKLRMRMQRQSQMNPRMNSQ CEECEEEE λβ
++ −− 11
21
MRMMNKLKLMNRMRMNQRQN CEEECEEE λβ
12 −MRMQKLKLQR CEEEλ (4.2)
(4.2) ifadesi mekanik etkileşimlerin ve elektriksel etkileşimlerin nonlineer kabul
edildiği durumda ele alınan malzemede ortaya çıkan asimetrik gerilmenin maddesel
koordinatlardaki bünye denklemidir.
4.2. Yarı -Lineer teori
Şekil değiştirmeler, )( ,Kkx , yer değiştirme gradyanları, )( ,LKU ve çok küçük kabul
edildiği takdirde (3.76), (3.81) denklemleri ile verilen polarizasyon alanı ve simetrik
gerilme belli ölçülerde lineerleştirilebilir. Lineer Teoriyi elde etmek için ortam şekil
değiştirdiğinde oluşan genleme tansörünün;
88
1<<KLE (K,L=1, 2, 3) (4.3)
Şartını sağladığı varsayılacaktır (Şuhubi, 1994). Buna göre (3.81) ifadesiyle verilen
polarizasyon alanının bünye denklemindeki NQ EE terimi asimetrik gerilmede 3.
mertebeden elektrik alan vektörü ortaya çıkardığından ihmal edilebilir. (3.76) ile
verilen simetrik gerilmenin bünye denklemindeki QMN EE teriminin katsayısı 5.
dereceden malzeme tansörü olduğu için ihmal edebiliriz. Bu durumda, simetrik
gerilme ve polarizasyon alanının bünye denklemlerini aşağıdaki hale indirgenebilir.
NQPRQNQPRQMNPRMNPR EEEET λλ ++Σ= (4.4)
[ ]QKLKLQRKLKLRQRQR EEEE λλβ 2++−=Π (4.5)
Bu ifadeler (4.1) denkleminde yerine yazılırsa asimetrik gerilmenin yarı-lineer bünye
denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.
++++Σ= −1MRMQRQNQPRQNQPRQMNPRMNPR CEEEEEET βλλ
11 2 −− + MRMQKLKLQRMRMKLKLR CEEECEE λλ (4.6)
4.2.1. Yarı - Lineer Bünye Denklemlerinin Uzaysal Koordinatlardaki İfadeleri
Lineer teoride Kkx , ve LKU , çok küçük olduğu kabul edildiğinden sürekli ortamların
bilinen bağıntılarından aşağıdaki ifadeler yazılabilir.
lLkKLlKk xx λλ≡,,
lLkKLlKk XX λλ≡,,
89
( )kllklkkl uuee ,,, 21~ +=≅
( )kllklkklkl uueed ,,, 21~ &&&& +=≅≅
( )kllklLkKkllLkKKLKL uueEE ,,21~~
+=≡≅ λλλλ
( )kllklLkKkllLkKKL uueE ,,21~ &&&& +=≡ λλλλ
kkKrRpPKKkRrPpKRrPp EExxxExx λλλ≡= ,,,,,
)1( ,1
kkuJ −=− (4.7)
Şeklindedir (Şuhubi, 1994).
Simetrik gerilmenin polarizasyon alanının lineer bünye denklemleri (4.4) ve (4.5)
ifadeleri ile maddesel formda elde edilmiştir. Bu lineer bünye denklemlerini uzaysal
formda elde etmek için kısım 3.1.1 de verilen aşağıdaki ifadelerden yararlanılır.
PRRrPppr TxxJt ,,1−=
RRrr xJP Π= −,
1
rpprpr EPtt −= (4.8)
(4.7)8 denklemine göre (4.8)1-2 denklemi tekrar yazılırsa
PRRrPpkkpr Txxut ,,, )1( −= (4.9)
90
RRrmmr xuP Π−= ,, )1( (4.10)
Şeklinde ifade edilir.
yazılır. (4.4) denklemi ile (4.7) ifadeleri kullanılarak (4.9) ifadesi,
[ ++Σ−= qPRQqQrRpPmnPRMNnNmMrRpPkkpr Eeut λλλλλλλλ ~)1( ,
]nqPRQNnNqQrRpP EEλλλλλ (4.11)
Şeklinde bulunur. (4.12) ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
[ ]nqprqnqprqmnprmnkkpr EEEeut λλ ++Σ−= ~)1( , (4.12)
(4.12) denklemindeki prmnΣ , prqλ uzaysal malzeme tansörleri, PRMNΣ , PRQλ tansörleri
ile aynı simetri özelliklerini taşır ve (4.11) ifadesinden aşağıdaki gibi tanımlanır.
PRMNnNmMrRpPprmn Σ≡Σ λλλλ
PRQqQrRpPprq λλλλλ ≡
PRQNnNqQrRpPprqn λλλλλλ ≡ (4.13)
(4.5) denklemi, (4.10) ifadesinde yerine yazılır (4.7) ifadeleri de kullanılırsa, uzaysal
polarizasyon alanının lineer bünye denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
( ++−−= klKLRrRlLkKqRQqQrRmmr eEuP ~)1( , λλλλβλλ
)qklKLQRrRqQlLkK Ee~2 λλλλλ (4.14)
91
(4.14) ifadesi aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir.
( )qkklqrklklrqrqkkr EeeEuP ~2~)1( , λλβ ++−−= (4.15)
(4.15) denklemindeki rqβ , klrλ , klqrλ uzaysal malzeme tansörleri, RQβ , KLRλ , KLQRλ
tansörleri ile aynı simetri özelliklerini taşır ve (4.14) denkleminden aşağıdaki gibi
tanımlanır.
RQqQrRrq βλλβ ≡
KLRrRlLkKklr λλλλλ ≡
RKLQrRqQlLkKkqlr λλλλλλ ≡ (4.16)
(4.12) ifadesindeki prmnΣ (4.15) ifadesindeki klrλ ve klqrλ katsayıları
prnmprmn Σ=Σ
lkrklr λλ =
lkqrklqr λλ = (4.17)
Bu durumda (4.12) ve (4.15) bünye denklemleri, yer değiştirme gradyanının ve
türevinin bileşenleri cinsinden aşağıdaki ifadelere dönüşmüş olur.
[ ]nqprqnqqrpnmnmrpkkpr EEEuut λλ ++Σ−= ,, )1( (4.18)
)2)(1( ,,, qlkklqrlkklrqrqmmr EuuEuP λλβ ++−−= (4.19)
gerekli işlemler yapıldıktan sonra (4.18) ve (4.19) denklemleri aşağıdaki şekli alır.
92
nqkkprqnqkkprqnqprqnqprqnmprmnpr EEuEuEEEut ,,, λλλλ −−++Σ= (4.20)
qmmrqqlkklqrlkklrqrqr EuEuuEP ,,, 2 βλλβ +−−−= (4.21)
Yukarıdaki nmrpΣ , qrpλ , prqnλ rqβ , klrλ , klqrλ katsayıları, X parçacığına ve sabit θ
sıcaklığına bağlıdır.
(4.20) ve (4.21) denklemleri simetrik gerilmenin, polarizasyon alanının, ortamın
sıkışır, piezoelektrik bir ortamda uzaysal koordinatlardaki yarı lineer bünye
denklemleridir. (4.20) ifadesi sıkışabilir Piezoelektrik ortamlarda gerilme ifadesini
vermektedir.
Bundan sonraki kısımda asimetrik gerilmelerin lineer bünye denklemleri, maddesel
ve uzaysal koordinatlarda elde edilecektir. Daha sonra da kısım 1.5 ve 1.6 da verilen
elektriksel yer değiştirme vektörü ile alan denklemi bulunacaktır.
4.3. Yarı – Lineer Teoride Asimetrik Gerilmelerin Tayini
4.3.1. Maddesel Koordinatlarda
Daha önce kısım 4.1 de (4.1) denklemiyle asimetrik gerilmenin maddesel
koordinatlardaki hali ifade edilmişti.
(4.4) ve (4.5) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denkleminde uygun indis
değişikliği yapılarak (4.1) ifadesinde yerlerine yazılırsa, toplam asimetrik gerilmenin
maddesel lineer formu aşağıdaki gibi elde edilir.
+++Σ= NQPRQNQPRQMNPRMNPR EEEET λλ
111 2 −−− ++ MRMQKLKLQPMRMKLKLPMRMQPQ CEEECEECEE λλβ (4.22)
93
Gerilme ile bir arada gözükmesi açısından kısım 4.2 de (4.5) ifadesiyle verilen
polarizasyon alanının bünye denklemi aşağıda tekrar yazılmıştır.
[ ]QKLKLQRKLKLRQRQR EEEE λλβ 2++−=Π (4.23)
4.3.2. Uzaysal Koordinatlarda
Asimetrik gerilme kısım 1.6 da uzaysal koordinatlarda (1.137) ifadesi ile aşağıdaki
gibi verilmişti.
rpprpr EPtt −= (4.24)
(4.18) ve (4.19) ifadesiyle verilen polarizasyon alanı denkleminde uygun indis
değişikliği yapılarak (4.24)denkleminde yerlerine yazılırsa, asimetrik gerilmenin
lineer uzaysal formu aşağıdaki gibi elde edilir.
+−−++Σ= nqkkprqnqkkprqnqprqnqprqnmprmnpr EEuEuEEEut ,,, λλλλ
rqmmpqrqlkklqprlkklprqpq EEuEEuEuEE ,,, 2 βλλβ −++ (4.25)
Buraya kadar yapılan işlemlerde uzaysal koordinatlarda gerilme tansörüyle (simetrik
olmayan) polarizasyon vektörü (4.25)ve (4.21) denklemleriyle deplasman
vektörünün gradyanları elektrik alan cinsinden ifade edilmiş oldu. Bundan sonra ise,
(4.21) bünye denklemi, kısım 1.5 te (1.98) ifadesiyle verilen toplam elektriksel yer
değiştirme vektörünün diverjansını veren ifadede, elektrik alan vektörü yerine de
kısım 1.5 te verilen (1.99)1 ifadesi yazılarak, yani genel anlamda bünye denklemleri
balans denklemlerinde yerine konularak alan denklemleri bulunacaktır.
Kısım 1.5 te (1.94) ifadesiyle tanımlanan toplam elektriksel yer değiştirme vektörü,
PED += 0ε veya rrr PED += 0ε (4.26)
94
Şeklinde ve Gauss kanunu ile Faraday kanunu da kısım 1.5 te sırasıyla (1.98) ve
(1.99)1 ifadeleriyle aşağıdaki gibi verilmişti.
)(tV İçinde; 0, ==⋅∇ rrDD veya 0,,0 =+ rrrr PEε (4.27)
)(tV İçinde; rrE ,φ−= (4.28)
(4.21) denklemi (4.26) ifadesinde yerine yazılır ve elektrik alan yerine (4.28) ifadesi
yazılırsa toplam elektriksel yer değiştirme vektörü aşağıdaki gibi bulunur,
( )qmmrqqlkklqrlkklrqrqrr uuuD ,,,,,,,0 2 φβφλλφβφε −+−+−=
qmmrqqlkklqrlkklrqrq uuu ,,,,,, 2 φβφλλφ −+−∈−=
rqrqrq βδε −≡∈ 0 (4.29)
Ortamın homojen ve izotermal olduğu göz önünde bulundurularak, (4.29) ifadesinin
diverjansı alınır ve (4.27)1 denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki ifade elde,
−++−∈−== )(0 ,,,,,,, qrlkqlrkklqrlrkklrqrqrr uuuD φφμλφ
)( ,,,, qrmmqmrmrq uu φφβ +
klqrklqr λμ 2= (4.30)
Kısım 1.6 de (1.169)1 ifadesiyle verilen Cauchy hareket denkleminde elektrik alanı
yerine (4.28)ifadesi yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
prrrrppp Ptf ,,, φρνρ ++=& (4.31)
95
Kütlenin korunumundan 10
−= Jρρ ve (4.7)8 ifadesinden )1(/ ,01
kkuJ −==− ρρ
olduğunu dikkate alarak
)1( ,0 kku−= ρρ (4.32)
Yazılabilir. Ayrıca;
tu
uut
uuv p
kkpp
pp ∂
∂≅+
∂
∂=≅ ,& (4.33)
Şeklindedir. (Şuhubi, 1994). Buna göre (4.31) ifadesindeki pνρ & terimi (4.32) ve
(4.33) ifadelerinden aşağıdaki gibi yazılabilir.
2
2
02
2
,0 )1(tu
tu
u ppkkp ∂
∂≅
∂
∂−= ρρνρ & (4.34)
Bu durumda çok küçük hareketler yapan sıkışabilir, piezoelektrik bütün ortamlarda
hareket denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.
prrrprpkkp Ptfu
tu
,,,,02
2
0 )1( φρρ ++−=∂
∂ (4.35)
(4.35) denklemindeki rprt , terimi (4.18) denkleminden ortamın homojen ve izotermal
olduğu göz önünde bulundurularak,
++−−Σ= )( ,,,,,,, nrqnqrprqnqrprqnrmprmnrpr ut φφφφλφλ
[ ])()( ,,,,,,,,,,,, nrqnqrkknqkrkprqnqrkkqkrkprq uuuu φφφφφφλφφλ ++−+ (4.36)
şeklinde ifade edilebilir.
(4.35) denklemindeki ( rrP , ) terimi (4.21) ve (4.28) ifadelerinden,
96
−++−= )(2 ,,,,,,, qrlkqlrkklqrlrkklrqrrqrr uuuP φφλλφβ
)( ,,,, qrmmqmrmrq uu φφβ + (4.37)
Şeklinde elde edilebilir. Bu durumda (4.36) ve (4.37) ifadeleri (4.35) hareket
denkleminde yerlerine yazılırsa aşağıdaki denklem elde edilir.
++−−Σ+−=∂
∂)()1( ,,,,,,,02
2
0 nrqnqrprqnqrprqnrmprmnpkkp ufu
tu
φφφφλφλρρ
[ ]+++−+ )()( ,,,,,,,,,,,, nrqnqrkknqkrkprqnqrkkqkrkprq uuuu φφφφφφλφφλ
−++− )(2 ,,,,,,,,,, pqrlkpqlrkklqrplrkklrpqrrq uuu φφφφλφλφφβ
)( ,,,,,, pqrmmpqmrmrq uu φφφφβ + (4.38)
(4.30) ve (4.38) ifadeleri ile φ,ku bilinmeyenlerini ihtiva eden alan denklemleri
bulunmuş olur. Bu alan denklemlerinin probleme uygun olarak verilen ilk ve sınır
şartları altındaki çözümü, göz önüne alınacak sınır değer probleminin matematiksel
yapısını oluşturur.
Bu şekilde (4.30) ve (4.38) alan denklemlerinden oluşan sistem; (1.97)2, (1.122)2 ve
(1.99)2 zıplama şartlarının muhteviyatı içinde bulunan sınır şartları ile birlikte
anizotropik, nonlineer, elastik ve Piezoelektrik ortamlar ile ilgili sınır – değer
problemlerinin yönetici denklemleri oluşturulur. Adı geçen sınır şartları açıkça
yazılacak olursa,
fn DD ω−= +
+= klkl ttn
+= kk EE (4.39)
şeklinde olduğu kolayca gösterilebilir.
97
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu çalışmada elastik piezoelektrik bir cismin elektro-termomekanik davranışını
matematiksel modellemek için modern sürekli ortamlar mekaniği kapsamında bir yol
izlenmiştir. Bu modellemeyi gerçekleştirirken genel termodinamik balans
denklemleri, Clausius-Duhem eşitsizliği, elektrostatik alanların davranışlarını
yöneten denklemler, bünye teorisi aksiyomlarına ilişkin kavramlar, gerilme
potansiyelinin (bünye fonksiyonelinin), ve alan denklemlerinin bulunması
malzemenin nonlineer davranışının modellenmesinin teorik temelleri
oluşturulmuştur. Böyle bir malzeme için bünye fonksiyonelleri; Green deformasyon
tansörü ve elektrik alan olarak ortaya çıkan serbest enerji fonksiyonu olarak
belirlenmiştir. Bu bünye fonksiyoneli ile vasıtasıyla ele alınan malzemede elektro-
termomekanik yükleme ile oluşan gerilme tansörü ve polarizasyon vektörü elde
edilmektedir. Malzemede ortaya çıkan gerilme tansörü ortamın polarize olmasından
dolayı asimetrik bir formda ortaya çıkmıştır. Simetrik bir tansörün avantajlarından
yararlanmak için (1.134)’e dayanarak (1.135) ile simetrik bir gerilme tansörü
tanımlanmıştır. Simetrik gerilme hesaplandıktan sonra asimetrik gerilme (1.137) den
bulunabilmektedir. Simetrik gerilme ve polarizasyon alanı argümanları belli olan
serbest enerji fonksiyonundan türetilmiştir. Çalışmanın 3.2 kısmında mekanik ve
elektriksel etkileşimler nonlineer kabul edilmiş, malzemenin özelliğinden dolayı
ortam anizotrop alınarak simetrik gerilmenin ve polarizasyon alanının nonlineer
bünye denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlerin elde edilmesinde seri açılıma
gidilmiştir. Seri açılımında alınan terimlerin türü ve sayısı belirlenirken mekanik ve
elektriksel etkileşimlerle ilgili kabuller dikkate alınmıştır. Polarizasyon alanı ve
simetrik gerilme serbest enerji fonksiyonundan türetildiği için kısım 3.5 de serbest
enerji fonksiyonu Taylor serisinde açılmış ve incelenen malzemede oluşan
polarizasyon alanının ve simetrik gerilmenin bünye denklemleri (3.75) ve (3.81)
ifadeleriyle belirlenmiştir.
Bulunması hedeflenen asimetrik gerilmeler çalışmanın 4. kısmında verilmiştir. Kısım
3.5 te bulunmuş olan polarizasyon alanı ve simetrik gerilme ifadelerini kullanarak
asimetrik gerilmenin bünye denklemleri elde edilmiştir (4.2).
98
Elde edilen bünye denklemlerinin uygulamaya dönük problemlerin çözümünde
kullanılması çok zor olduğundan, bünye denklemlerinde belli ölçülerde
lineerleştirme yapılmıştır. Lineer teoride şekil değiştirme ve yer değiştirme
gradyanları çok küçük olduğu kabul edilerek işlemlere başlanmış simetrik gerilmenin
ve polarizasyon alanının maddesel koordinatlarda yarı-lineer bünye denklemleri elde
edilmiştir.
Çalışmanın 4.3 kısmında daha önce kısım 4.2 de kısmen lineerleştirilen simetrik
gerilme ve polarizasyon alanı ifadeleri kullanılarak asimetrik gerilmenin lineer bünye
denklemleri maddesel koordinatlarda (4.22) ile, uzaysal koordinatlarda ise (4.25)
ifadeleri ile elde edilmiştir. Alan denklemlerine ulaşmak için (4.21) polarizasyon
bünye denklemi kısım 1.5 te verilen (4.27) denkleminde, (4.20) simetrik gerilme
bünye denklemi kısım 1.6 da verilen (4.31) Cauchy hareket denkleminde yerine
yazılmıştır. Bu yerine koyma işlemi sonucunda (4.30) ve (4.38) alan denklemleri
bulunmuştur.
99
6. KAYNAKLAR Akdoğan, E.K., 1994. Dielectric and Piezoelectric Properties of Doped PZT
Ceramics. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 163p. Chandrasekhariah, D.S., Debnath, L., 1994. Continuum Mechanics, Academics Pres,
595p., Boston. Çalışkan, T., 2002. Piezoelectric Ceramics and Their Applications İn Smart
Aerospace Structure. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 279p.
Dawson, T.H., 1976. Theory and Practice of Solid Mechanics. Plenum Pres, 281p.,
New York and London. Doğrukol, S., 2002. Piezoelektrik Malzemelerin Bünye Denklemleri. Süleyman
Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 107s., Isparta.
Erdem, A. Ü., Usal, M.R., Usal, M., 2005. Keyfi Fiber Takviyeli Viskoelastik
Piezoelektrik Bir Cismin Elektro-Termomekanik Davranışı İçin Matematiksel Bir Model. Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, 20, 3, 305- 319.
Eringen, A.C., 1967. Mechanics of Continua. John Wiley and Sons. Inc, 502 p.,
New York. Eringen, A.C., 1980. Mechanics of Continua. Robert E. Krieger Pub. Co.,
Hungtington, 590p., New York. Gözen, Ş., 2002. Effects of surface-bonded piezoelectirc on beam structures. M.Sc.
Thesis, İstanbul Technical University, 57s. Hamamcı, B., 2006. Fiber Takviyeli Termoelastik Malzemeler İçin Matematiksel Bir
Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 90s., Isparta.
Holmes, J. E., 2000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journal
of the European Ceramic Society, 20, 2697- 2701. Holzapfel, A.G., 2000. Nonlineer Solid Mechanics. John Wiley and Sons Ltd, 455p.,
Chichester. Ikeda, T., 1990. Fundamentals of Piezoelectricity. Oxford University Pres, 263p. Jaunzemis, W., 1967. Continuum Mechanics. The Macmillan Company, 602p.,
New York.
100
Kabul, A., 2004. Fiber Takviyeli Hiperelastik Malzemeler İçin Matematiksel Bir
Model. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, 100s., Isparta.
Malvern, L.E., 1969. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium.
Prentice-Hall, 713p., New Jersey. Mindlin, R.D., 1972. Elasticity, Piezoelectricity and Crystal Lattice Dynamics. J.
Elasticity, 2, 217- 282. Nowacki, W., 1975. Dynamic Problems of Thermoelasticity. Noordhoff International
Publishing, 436p., Netherlands. Petterman, H. E., ve Suresh, S., 1999. A Comprenshive Unitcell Model: A study of
Compled Effect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37, 5447- 5464.
Ray, M.C., Sachade, H.M., 2005. Finite element analysis of smart functionally
graded plates. İnternational Journal of Solids and Structures, 43, 5468- 5484. Serra, Ç., 2000. Compositional Modifications of PZT Based Piezoelectric Ceramics.
M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 150p. Singh, G., Bhaumik, I., Ganesamoorthy, S., Karnal, A.K., Tiwari, V.S., 2006.
Dielectric and piezoelectric properties of the Cr+3 doped PZN single crystals. Materials Letters, 60, 3307- 3310.
Spencer, A.J.M., 1980. Continuum Mechanics. Longman Inc, 182p. Spencer, A.J.M., 1972. Deformasyon of Fibre-Reinforced Materials. Clarendon
Press, 182p., Oxford. Suresh, S., 1999. Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7,
2153-2164. Şuhubi, S.E., 1994. Sürekli Ortamlar Mekaniği – Giriş. İ.T.Ü. Fen Edebiyat Fakültesi
Yayını, 243s. Tauchert, T.R., 1999. Developments in Thermopiezo Elasticity with Relevance to
Smart Composite Structure. Composite Structures, 48, 31- 38. Taşpınar, E., 1997. Production and Characterization of Lead Zirconate Titanate and
Lead Magnesium Niobate-Lead Titanate Piezoceramics. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 169p.
Tiersten, H.F., 1971. On The Nonlinear Equations of thermoelectro – Elasticity. Int.
J.Engng. Sci., 9, 587- 604.
101
Timoshenko, S.P., Goodier, J.N., 1970. Theory of Elasticity. Mcgraw Hill, 567p. Usal M., 2001. Biyolojik Bir Konstrüksiyon Elemanı için Matematiksel Modelleme.
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 232s., Isparta.
Usal, M.R., 2007. A Constitutive Formulation of Arbitrary Fiber- Reinforced
Viscoelastic Piezoelectric Composite Materials- I. İnternational Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8 (2), 257-275.
Usal, M.R., 1993. Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro–
Termomekanik Davranışına ait Matematiksel bir Model. Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 108s., Kayseri.
Yağcı, B., 1998. Modeling and Control of Beam Type Structures With Surface
Bonded Piezoelectric Sensors and Actuators. M.Sc. Thesis, The Middle East Technical University, 143p.
Yang, Z., Li, H., Zong, X., Chang, Y., 2005. Structure and electrical properties of
PZT-PMS-PZN piezoelectric ceramics. Journal of the European Ceramic Society, 26, 3197- 3202.
Yünlü, L., 2006. Piezoelektrik Malzemeler ve Teknolojideki Kullanım Alanları.
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Semineri, 40s., Isparta.
Zong, X., Yang, Z., Li, H., Yuan, M., 2006. Effects of WO3 addition on the structure
and electrical properties of Pb3O4 modified PZT-PFW-PMN piezoelectric ceramics. Materials Research Bulletin, 41, 1447- 1454.
102
ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Lokman YÜNLÜ
Doğum Yeri ve Yılı: K.Maraş 1981
Medeni Hali: Bekar
Yabancı Dili: İngilizce
Eğitim Durumu
Lise: 1995–1997 Osmaniye Endüstri Meslek Lisesi
Lisans: 1999–2003 Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi
Tesisat Öğretmenliği
Çalıştığı Kurum ve Yıl: 2005-… Arş. Gör. (Süleyman Demirel Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü)