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Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-1
Campo Magnético Estacionario
Campos Estacionarios
Los campos electromagnéticos estacionarios aparecen cuando no hay variaciones temporales, d/dt=0, pero se permite la existencia de corrientes.
Las corrientes consideradas en estas condiciones reciben el nombre de corrientes estacionarias y deben cumplir la condición de no modificar las distribuciones de carga existentes.
Se puede expresar matemáticamente esta condición partiendo de la ecuación de continuidad:
0=+⋅∇t∂
∂ρJv
0=t∂
∂0=⋅∇ J
v
Las corrientes estacionarias tienen divergencia nula.
Ya se vio en el capítulo anterior que no pueden tener su origen en campos electrostáticos o culombianos.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-2
Campos Estacionarios
( ) ( )
( ) ( ) ( )
HB
ED
B
Dt
trDtrJtrH
ttrBtrE
rr
rr
r
r
rrrrrr
rrrr
µ
ε
ρ∂
∂∂
∂
=
=
=⋅∇
=⋅∇
+=×∇
−=×∇
0
,,,
,, ( )( )
HB
ED
B
D
JrH
rE
rr
rr
r
r
vrr
rr
µ
ε
ρ
=
=
=⋅∇
=⋅∇
=×∇
=×∇
0
0
∂∂t
= 0
Con las condiciones mencionadas las ecuaciones de Maxwell quedan :
Se puede apreciar la existencia de dos sistemas de ecuaciones independientes:
( )
ED
D
rE
rr
r
rr
ε
ρ
=
=⋅∇
=×∇ 0 ( )
HB
B
JrH
rr
r
vrr
µ=
=⋅∇
=×∇
0
El del campoEléctricoestacionario:
Y el del campoMagnético estacionario(magnetostático):
Campo Magnetostático
• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, puesto que el campo eléctrico estacionario se puede estudiar independientemente, como ya se ha hecho.
• Conviene recordar que en la naturaleza no existen situaciones estacionarias, al igual que no existían situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente lenta como para que la aproximación de despreciar las variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para conducir a buenos resultados.
– La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.
0=⋅∇ Br
( ) JrHvrr
=×∇
HBrr
µ=
– La ecuación de la divergencia postula que las líneas de campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que no existen fuentes escalares (cargas magnéticas aisladas).
– La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-3
• Utilizando el grado de libertad de que se dispone se puede escoger:
El Potencial Vector Magnetoestático
• El que la divergencia de un rotacional sea siempre nula y que ladivergencia del campo magnético sea siempre nula permite suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial vector:
( ) ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=×∇⋅∇
=⋅∇
0
0
A
Br
r
• Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.
ABrr
×∇=
( ) AAABHJrrrrrr
∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇=×∇= µµ
0=⋅∇ Ar
JArr
µ−=∆
• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal, homogéneo e isótropo:
• con ello se obtiene:
El Potencial Vector Magnetoestático
• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación del potencial vector se puede descomponer en ecuaciones similares a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:
JArr
µ−=∆
( )
( )
( )⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
′−′′
=⇒−=∆
′−
′′=⇒−=∆
′−′′
=⇒−=∆
⇒−=∆
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
V
zzzz
V
yyyy
V
xxxx
rrVdrJAJA
rrVdrJ
AJA
rrVdrJAJA
JA
rr
r
rr
r
rr
r
rr
πµµ
πµµ
πµµ
µ
4
4
4
( ) ( )∫∫∫ ′−
′′=⇒−=∆
V rrVdrr rr
rv ρ
πεφ
ερφ
41
( )∫∫∫ ′−
′′=
V rrVdrJA rr
rrr
πµ
4
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-4
– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución diferencial paralela a dirección de la corriente.
dA
dA
dA
dAdI
El Potencial Vector Magnetoestático
– Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes superficiales y lineales:
( )∫∫ ′−
′′=
S
S
rrSdrJA rr
rrr
πµ
4 ∫ ′−′
=C rr
ldIA rr
rr
πµ4
– La interpretación de su significado físico es difícil.
ldAdrv
∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=ΦCSS
B ldASdASdBrrrrrr
– En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la corriente es constante.
– En algunos casos es muy útil para calcular el flujo del campo magnético y representar las líneas de campo:
Potencial Vector: Ejemplo
• Sea una línea de corriente Io que circula a lo largo del eje z en sentido positivo.
zAA z ˆ=r
( ) Kr +=ρπε
λφ 1ln2
r
( ) zKIozArA z ˆ1ln2
ˆ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+==
ρπµrr
( ) ( ) ϕπρ
µ∂ρ∂ϕ
∂ϕ∂
ρρ ˆ
2ˆ1ˆ IoArArB z =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=×∇=
rrrr
• Como la corriente sólo tiene componente z:
• Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal sobre el eje z. La solución a este problema electroestático es:
• Por analogía:
• En este caso, al igual que en el problema electrostático, no se puede definir de forma unívoca el potencial vector.
• Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:
Se obtendrá de forma más simple utilizando la ley de Ampere
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-5
Campo M-E a partir de A
– Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la definición:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′
′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
′−×∇=
′−′′
×∇=×∇=VV
VdrJrrrr
VdrJrArB rrrrrr
rrrrrr 1
44 πµ
πµ
( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′
′′×′−
′−−=′′×⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′−
∇=VV
VdrJrrrrVdrJ
rrB rr
rr
rrrr
rrr
341
4 πµ
πµ
VUVUVUrrr
×∇+×∇=×∇( ) 0=′×∇ rJ rr
r′r
( ) ( )∫∫∫
′
′′−
′−×′=
V
Vdrr
rrrJB 34 rr
rrrrr
πµ
31
rrrr
rr ′−
′−−=
′−∇ rr
rr
rr
– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.– Aplicando que
– donde se ha aplicado:
– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión definitiva:
y quepuesto que el rotacional se aplica sobre
Ley de Biot-Savart
• Adaptando para corrientes superficiales:
( ) ( )∫∫ ′
′−
′−×′=
S
S Sdrr
rrrJB 34 rr
rrrrr
πµ
( )∫ ′−
′−×′=
C rrrrldIB 34 rr
rrrr
πµ
• Y para corrientes filiformes:
• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.
– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y cerrada y la forma poco formal de colocar el diferencial de longitud dentro de la expresión subintegral.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-6
Campo M-E creado por un elemento de corriente.
• Si se considera un elemento de corriente del tipo que sea:
dB
dB
dB
dBdI
( )( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′
′′
′′
=′
ldrI
SdrJ
VdrJ
rId Srr
rr
rr
rr
( )34 rrrrIdBd
′−
′−×′= rr
rrvr
πµ
– Regla del dedo gordo de la mano derecha
• Su contribución al campo será:
• Perpendicular a la corriente.• Perpendicular al vector que une el elemento de
corriente y el punto donde se calcula el campo.• Proporcional al seno del ángulo formado por la
corriente y el vector del punto anterior.– No hay campo en la línea definida por el elemento
de corriente.• Inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia.
Espira Circular
• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en
a
I
z0zz =
( )∫ ′−
′−×′=
C rrrrldIB 34 rr
rrrr
πµ
( )( )
( ) ( )[ ] ϕρϕϕ
ρ
ρ
′−+=′−×′⇒′=′
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+=′−
−+−=′−⇒
⎭⎬⎫
+=′=
adzzzarrldadld
zzarr
zzzarr
zzarzzr
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
0
20
2
0
0
rrrr
rr
rr
r
r
a
z
Or'
r
ρ'^
φ'
• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de Biot-Savart
• En este caso:
• Sustituyendo ....
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-7
Espira Circular
• Sustituyendo:
( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′−+′
−+=′
−+
−+= ∫∫∫
πππ
ϕρϕπ
µϕρπ
µ 2
00
2
0232
02
02
0 232
02
00 ˆˆ4
ˆˆ4
ˆ dzzdzazza
aIdzza
azzzaIzzBv
( ) 0ˆsenˆcosˆ2
0
2
0
=′′+′=′ ∫∫ππ
ϕϕϕϕρ dyxd
( )( )[ ]
zzza
aIzzB ˆ2
ˆ2
320
2
20
−+=
µv
1rr vv ′−
2Bdv
1Bdv
2rr vv ′−
1ldv
2ldv
21 BdBdvv
+
• Y considerando que:
• Finalmente:
se cancelan las componentes radiales, ver figura.
Problema
(Sept-92) Considere una espira cuadrada de lado 2a, contenida en z=0, centrada en el origen de coordenadas, con los lados paralelos a los ejes X e Y, y por la que circula una corriente I0 . a) Calcule el campo magnético que crea sobre los puntos del eje Z. Si se sustituye esta espira por otra espira circular de radio a construida con el mismo tipo de hilo, situada en la misma posición y por la que circula la misma corriente: b) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en el origen de coordenadas? c) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en puntos lejanos ?
x
y
z
I2(1)
(2)(3)
(4)
aa
Pa) Para obtener el potencial en el eje aplicamos la ley de Biot y Savart por tramos, comenzando por el (1).
zzryaxxrdxxld ˆ,,ˆˆ,,ˆ =+=′−=rrr
( ) adxzzdxyzax
dxzyx
rrld ˆˆ00ˆˆˆ
+=−−
−=′−×rrr
Por simetría solo quedara, al final, componente z que es la que nos interesa obtener:
( ) ( )( ) ( )( ) 21
21
23 2222
2
22222222121
244 zazaIa
zaxzaxIa
zaxadxIB
a
ax
a
axz++
=+++
=++
=−=
−=∫ πµ
πµ
πµ
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-8
Problema
Al superponer los cuatro tramos la componente z se cuadruplica:
b) El campo creado por la espira circular es:
( )( ) 212222
2
212
zazaIaBz
++=
πµ
( ) 2322
2
O 2 zaaIBz+
=µ
Por tanto en z=0 será:2
2)0( aIBz π
µ=
aIBz 2
)0(Oµ
=<
c) En puntos lejanos creará un campo mayor la espira que tiene mayor superficie porque es la que tienen un momento dipolar magnético mayor.En este caso la espira cuadrada.
Potencial y Campo fuera del eje
En un punto arbitrario, para la espira circular, el potencial vector es:
( )( )[ ]
( )[ ]∫∫ ′−++
′′=
+′+′−
′′=
π
πϕϕρρ
ϕϕπ
µ
ϕϕρ
ϕϕπ
µ0 2222 2222 2
12
1
cos2cos
2cos
cos4 aza
daI
zsenaa
dIaA
Haciendo el cambio de variable ϕ=π-2θ se tiene: ( )( )[ ]∫
−++
−= 2
210 222
2
4
12π
θρρ
θθπµ
ϕsenaza
dsenaIALa función subintegral puede rescribirse como:
( )( )[ ]
( )( )( ) ( ) 2
121
21
2222
2
222
2
1
12
4
12
θρ
θ
θρρ
θ
senkza
sena
senaza
sena
−++
−=
−++
−
donde:( )[ ]22
2 4za
ak++
=ρ
ρ
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫∫ kEkKk
kaIdsenk
senkdk
kaIA
2111
1211 2
0
2
0 2
222
ρπµθθ
θθ
ρπµ ππ
ϕ
siendo K(k) y E(k) las integrales elípticas completas de 1ª y 2ª especie.
Aún puede operarse un poco más y obtenerse:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-9
Líneas de Inducción Magnética
2 1 0 1 21
0.5
0
0.5
1
B
Dado que el potencial solo tiene componente ϕ y es independiente de ϕ, tomando circunferencias concéntricas con el eje, la circulación de A será2πρAϕ que es el valor del flujo de B.
Representando las líneas de flujo constante se obtiene una representación de las líneas de campo como se indica en la figura.
Variación del Campo
Como puede verse en la figura anterior el campo crece en las proximidades de la corriente. La inducción B puede obtenerse como:
( )∂ρρ∂
ρ∂∂ ϕ
ϕϕ
ρ
ABB
zA
BAB z1,0, ==−=⇒×∇=
rr
Y teniendo en cuenta que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
akkkk
azk
zk
kkK
kkkE
kkK
kkK
kkE
kkE
442,,
4
1,,
333
2
−−=−=
−−
=−=
ρρ∂ρ∂
ρ∂∂
∂∂
∂∂
Se obtienen:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−−
+++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++
+−++
= kEzazakK
za
IBkEzazakK
za
zIB z 22
222
2222
222
22
12
,,2 ρ
ρ
ρπµ
ρρ
ρρπµ
ρ
En el eje solo hay componente z que vale (K(0)=E(0)=π/2):( ) 2
322
2
2 zaaIB
ejez+
=π
µ
En el plano de la espira solo hay componente z de valor:
( ) ( )( )
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
++
== kEaakK
aIzBz 2
2212
0ρρ
ρπµ
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-10
Variación del Campo
2 1 0 1 2
0.5
1
Beje( )z
z
0 0.5 1 1.5 2
0
50
B( )r
r
Variación en el eje z Variación radial en z=0
Programando las expresiones anteriores se obtienen las variaciones del campo, normalizado, según z en ρ = 0 y según ρ en z=0 (a=1).
Lineas de Campo de Tres Espiras Coaxiales
2 1 0 1 21
0.5
0
0.5
1
B
Aplicando superposición se obtienen las líneas de flujo de tres espiras coaxiales iguales.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-11
Solenoide Cilindrico
0 0.5 1 1.5 22
1
0
1
2
H0 0.5 1 1.5 2
2
1
0
1
2
Hρ ρ
z z
Por integración del potencial de una espira se obtiene el potencial y el flujo de un solenoide. Se ha superpuesto la sección del solenoide. Se observa una importante imprecisión numérica debida a que en las proximidades del eje las integrales elípticas tienen valores muy próximos que hay que restar.
Solenoide Cilindrico
0 1 22
1
0
1
2
Hρ/a
z/aPara evitar las imprecisiones numéricas se haprogramado directamente el cálculo del potencialvector sin utilizar las integrales elípticas.
La figura presenta las líneas de flujo en un semiplanoϕ constante. Puede observarse el quiebro de las líneasde flujo al atravesar la corriente superficial del solenoidey la tendencia hacia la uniformidad del campo en elinterior del mismo.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-12
Solenoide Cilíndrico
• Se trata de un arrollamiento sobre un cilindro de radio a en forma de hélice de paso p(distancia entre dos hilos a lo largo de la generatriz).
• Las ecuaciones paramétricas de la hélice son
( )∫ ′ ′−
′−×′=
C rrrrldIB 34 vv
vvrv
πµ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==
πϕ
ϕϕ
2
sincos
pz
ayax
Usando la Ley de Biot y Savart
En el eje z:zpar
zzrˆ
2ˆ
ˆ
πϕρ
′+=′
=v
v
zpzarr ˆ2
ˆ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−+−=′−πϕρvv
zpdadld ˆ2
ˆπϕϕϕ
′+′=′
r-1
-0.50
0.51
-1
-0.5
0
0.5
10
2
4
6
8
10
12
14 z
yx
ldr′
zpd ˆ2π
ϕ′
ϕϕ ˆ′adϕ′d
( ) ϕπϕρ
πϕϕϕ ˆ
2ˆ
2ˆ2 ′
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−′+′=′−×′pdapzadzdarrld vvr
rv
r ′v
p
Solenoide Cilíndrico
• Al integrar en cada vuelta (p.e entre 0 y 2π) solo queda la componente según z y las otras dos se anulan.
( ) ϕπϕρ
πϕϕϕ ˆ
2ˆ
2ˆ2 ′
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−′+′=′−×′pdapzadzdarrld vvr
• La componente según z es igual que la de la espira plana.
( )[ ]z
za
anIB ˆ2 2
322
2
+=
µv
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-13
Solenoide Cilíndrico Finito
• Se trata de un apilamiento de espiras por las que circula la misma corriente I.
• Se define por el radio de las espiras, a, el número de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.
• Normalmente se construye enrollando un hilo sobre un núcleo y se desprecia el efecto del paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.
• Si los hilos están muy juntos se puede suponer que la corriente está distribuida uniformemente sobre la superficie lateral. Así, suponiendo que el eje del solenoide es el eje z:
a
h
I
nhIdzJIh
ST =⋅= ∫ ϕv
ϕϕϕ ˆˆ nIJJS ==v
( ) ( )∫∫ ′
′−
′−×′=
S
S Sdrr
rrrJB 34 vv
vvvvv
πµ
( )[ ]z
zza
aznIdBd ˆ2 2
322
2
′−+
′=
µvTambién puede considerarse el solenoide como un apilamiento de espiras de radio a y corriente dI=nIdz´ que producen un campo en el eje:
• Por todo ello se puede aplicar:
Solenoide Cilíndrico Finito
a
z
Or'
r
ρ'^
φ'
• Limitando el cálculo al eje z:
( )( )
( ) ( ) ( )[ ]nIzzzarrrJ
zzarr
zzzarr
zzarzzr
ρ
ρ
ρ
′′−+=′−×′
⎪⎩
⎪⎨⎧
′−+=′−
′−+′−=′−⇒
⎭⎬⎫
′+′=′=
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆ
22
rrrv
rr
rr
r
r
( )( )[ ]
zzza
zdInazzBh
h
ˆ2
ˆ2
2 2322
2
∫− −′+
′=
µv
( ) ( )( )[ ]∫ ∫
−
′′′−+
′′−+=
2
2
2
0 2322
ˆˆ4
ˆh
h
zdadzza
zzzanIzzBπ
ϕρπ
µv
0ˆ2
0
=′′∫π
ϕρ d
Siguiendo el primer procedimiento:
Con el segundo procedimiento se plantea esta ecuación.
• Tomando el origen de coordenadas en el centro del solenoide:
• Integrando en ϕ’ considerando que:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-14
Solenoide Cilíndrico Finito
y aplicando:
( )( ) ( ) ( )
zzha
zh
zha
zhnIzzza
zznIzzB
h
h
ˆ2
2
2
22
ˆ2
ˆ2222
2
2
22 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
−+
−=
−′+
−′=
−
µµr
( ) 2222322 axax
axdx
+=
+∫
( )( ) ( )
zzzha
zzh
zzha
zzhnIzBc
c
c
c ˆ2
2
2
22 2222 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+
+−+
−++
−+=
µr
zc
α
β
h
O
z
( ) ( )znIzB ˆcoscos2
βαµ−=
r
• Si el solenoide estuviera centrado en zc :
• Donde los términos del corchete se pueden interpretar como los cosenos de los ángulos de la figura:
se obtiene finalmente:
• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campo en un punto de su eje dentro de él y alejado de los extremos tiende a:
Solenoide Cilíndrico Finito
( ) ( ) znIznIzBhzzhzh
cc
ˆˆcoscos2
limlim0
22
µβαµ
πβα
=−=→→+<<−∞→
r
zc
α
β
h
O
z
( ) ( ) znIznIhzB chˆ
2ˆcoscos
2lim2lim
2
µβαµ
πβπα
=−=+→=∞→
v
( ) ( ) znIznIhzB chˆ
2ˆcoscos
2lim2lim
2
0
µβαµ
πβα
=−=−=→∞→
v
0 5 10 15 200
1
2
B( )z
z
a=1h=20
• Mientras que el campo en en centro de sus extremos tiende justo al valor mitad:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-15
Otros Tipos de Solenoides
Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un ejepueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.
II
I I
La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad delongitud a lo largo de la generatriz.
Campo M-E a partir de la Ley de Ampère
• Algunos problemas con determinadas geometrías pueden resolverse directamente a partir de la ley de Ampère en forma integral:
ISdJldHSdHJHSCS
=⋅=⋅=⋅×∇⇒=×∇ ∫∫∫∫∫vvvvrrrr
• De forma similar a lo que ocurría en Electrostática con la ley de Gauss, para poder calcular el campo a partir de la ley de Ampère es necesario que el campo tenga una variación sencilla a lo largo del contorno escogido.
• Los casos que se van a estudiar son:– Distribuciones de corriente con simetría de translación en una
dirección y simetría de revolución alrededor de un eje con esa dirección.
– El solenoide indefinido.– Hoja indefinida de corriente.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-16
• Normalmente se escoge que el eje de simetría coincida con eje z.
• Por la simetría de translación no puede haber variación con z:
• Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera campo con componente z:
$ϕ• Por la simetría de revolución el campo no es
función de ϕ, salvo la variación propia de :
– Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial.
• En definitiva:
• No puede haber componente radial porque no se cumpliría:
Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución
0=⋅∇ Br
( )ϕρ ,HHrr
=
( ) ( )ϕϕρρϕρ ϕρ ˆ,ˆ, HHH +=r
( ) ( )ϕρρρ ϕρ ˆˆ HHH +=r
( )zJJ z ˆρ=v
( )ϕρϕ ˆHH =r
Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución
• Escogiendo contornos que sean circunferencias en planos z=cte y centradas en el eje z:
( )
( )πρρ
ρρρπ
πρϕρϕϕ ϕ
ρ
ϕ
π
ϕ 2
2
2ˆˆ
0
2
0
IH
IdJSdJ
HdH
SdJldH
zS
SC
=⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
==⋅
=⋅
⋅=⋅
∫∫∫
∫
∫∫∫
rr
rrrr
( )ϕπρρ ˆ
2IH =
r
( )zJJ z ˆρ=v
Z
( )ϕρϕ ˆHH =v
( ) ρρπρρ
dJI z∫=0
2
• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:
• Por tanto:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-17
Línea de Corriente Indefinida
• En el caso de una linea de corriente indefinida de valor I que circule sobre el eje z: I(ρ)=I.
– Por lo tanto: ϕπρ
ˆ2
IH =r
a
Z
I
( )⎩⎨⎧
<<≤
==ρρπ
ρa
azaIzJJ z ;0
0;ˆˆ
2r
La corriente encerrada en la región interior es I(ρ) = I (ρ/a)2 y por tanto:
ϕρπ
ˆ2 2aIHi =
rϕ
πρˆ
2IHe =
r
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
B( )r
r
• En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en un hilo de radio a:
Cable Coaxial
• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos contrarios en cada conductor.
• Suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor:
– I
I
ba
Zc
I( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<<−−<<<≤
==
ρρπρρπ
ρ
ccbzbcIbaazaI
zJJ z
;0;ˆ;0
0;ˆ
ˆ22
2
r
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-18
Coaxial
• Y el resultado final es:
( ) ( ) ( )
( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤
≤≤−
−
≤≤
≤≤
===
ρ
ρϕρ
ρπ
ρϕρπ
ρϕρπ
ϕπρρϕρϕ
c
cbbc
cI
baI
aa
I
IHrH
;0
;ˆ2
;ˆ12
0;ˆ2
ˆ2
ˆ
22
22
2
rr
( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤
≤≤−−
≤≤
≤≤
==⋅= ∫∫∫
ρ
ρρρ
ρρ
ρρπρρ
ρ
c
cbbc
cI
baI
aa
I
dJSdJI zS
;0
;
;
0;
2
22
22
2
2
0
rr
• La corriente que fluye en el interiorde la circunferencia de radio ρ es:
• Obsérvese que no se genera campo en su exterior.
– n es el número de espiras por unidad de longitud (altura en la figura).
• Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco:
• La simetría de rotación garantiza la independencia respecto de φ:
• El campo no puede tener componente ϕ: la circulación a lo largo de una circunferencia de z constante centrada en el eje z debe ser cero porque no pasa corriente a través de ella (I es circunferencial, no tiene componente z).
Solenoide Indefinido
• Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide indefinido la distribución de corriente puede representarse por una densidad de corriente superficial:
I
Z
aϕϕϕ ˆˆ nIJJS ==
r
0=⋅∇ Br
( ) ( )ρHrHrrr
=
( ) ( )zHrH z ˆρ=rr
( )ϕρϕ ˆH
• Si el campo tuviera componente radial no se cumpliría que:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-19
I
a
• Análogamente, con contornos como el Cb , interior
• Y con contornos como el Cc , uno de los lados paralelos dentro del solenoide y el otro fuera:
Solenoide Indefinido
• Escogiendo contornos como el Ca , exterior al solenoide, rectangular y con dos lados paralelos al eje z:
Cc
( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==⇒=−=⋅>∫ eazizez
C
HHLHHldHa
ρρρρ
rr
( ) ( )[ ] ( ) cte0 ==⇒=−=⋅<∫ iazizez
C
HHLHHldHb
ρρρρ
rr
Ca
Cb
[ ] nIHHnLILHHldH eieiCc
=−⇒=−=⋅∫rr
Solenoide Indefinido
• Recordando que el límite del campo creado por un solenoide en su centro cuando su longitud tiende a infinito es: ( ) znIzB
ctezhc
ˆlim µ==∞→
r
0; == ei HnIH
( )⎩⎨⎧
<<≤
=ρ
ρa
aznIrH
;00;ˆrr
• Resulta que:
• Y por tanto:
• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, y este campo es constante, con componente axial y con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-20
Hoja Indefinida de Corriente
• Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección constantes que fluye sobre un plano indefinido.
• Supongamos que el plano es el z=0 y que lacorriente lleva dirección +x.
• Como las corrientes no varíanni con x ni con y,el campo tampoco lo hará.
• Al estar los elementos de corrienteorientados según x el campogenerado solo podrá tener componentes y y z.
• De momento pues:
z
y
x
xJJS ˆ0=
( ) ( ) ( )zzHyzHrH zy ˆˆ +=rr
( )⎩⎨⎧
<>−
=0;2ˆ0;2ˆ
0
0
zJyzJy
rH rr
Hoja Indefinida de Corriente
• La componente z tampoco puede existir: dado un elemento de corriente y un punto de cálculo de campo, siempre se puede encontrar el punto simétrico que cancela la componente z
1Idv2Bd
v2Idv
1Bdv
21 BdBdvv
+
zy
x
zy
xJs ˆ//v
L
Ca
Cb
L
Cc
( ) ( )[ ] cte00
==⇒−=⋅= +
>
+−∫ yzyyC
HHLzHzHldHa
rrr
( ) 00 JHHLHHldHLJ yyyyCc
=−⇒−=⋅= +−+−∫rr
( ) ( )[ ] cte00
==⇒−=⋅= −
<
+−∫ yzyyC
HHLzHzHldHb
rrr
−+ = yy HH
• La componente y es constante a ambos lados de la hoja y tiene una discontinuidad en la hoja:
• Por simetría cabe suponer:
• Finalmente:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-21
Campo Magnético en Puntos Alejados
• El estudio de los campos magnéticos estacionarios en puntos alejados tiene un interés aún mayor que el de los campos eléctricos estáticos en situaciones similares: las magnitudes asociadas pueden aplicarse en muchos casos, con sólo pequeños cambios, a los problemas de variación temporal arbitraria.
V( )rJ ′vv
( ) 0=′⋅∇′ rJ vv
v′r
vr
O
v vr r− ′
– Obsérvese que se ha escogido el origen próximo a la distribución de forma que:
rr vv <<′max
• La situación de partida es la representada en la figura siguiente:
Campo magnético en puntos alejados
• Partiendo de la expresión general del potencial vector:( ) ( )
∫∫∫ ′−′′
=V rr
vdrJrA rr
rrrr
πµ
4rr rr
<<′max
( ) ( )[ ] [ ]
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ′⋅+≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ′⋅−′−≈
≈⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ′⋅−′+=′⋅−′+=′−⋅′−=′−
−−−−
22
2
21
2
22
1222
11
1122111
2112
rrr
rr
rrrr
r
rrrr
rrrrrrrrrr
r
rr
rr
rrr
r
r
rrr
rrrrrrrrrrr
( ) xxn
xxx xn
2112
1
83
2111 122
1−⎯⎯ →⎯+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+++−=+ <<−
KK
2
2 2
r
rrrx r
rrr ′⋅−′=
r′r 2 2r rr r⋅ ′
• Y aplicando que al tratarse de un punto alejado:
donde se ha aplicado que:
siendo en este caso:
también se ha despreciado frente a
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-22
Campo magnético en puntos alejados
• Aplicando esta simplificación, válida para puntos alejados:
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ′′⋅′+′′≈′−
′′=
VVV
vdrrrJr
vdrJrrr
vdrJrA rrrrr
rrrrr
rrrr
3444 πµ
πµ
πµ
( ) ( )( )
( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
′′⋅′+′⋅′+′′⋅′−′⋅′=
=′′⋅′≈
VV
V
vdrJrrrrrJr
vdrJrrrrrJr
vdrrrJr
rA
rrrrrrrrr
rrrrrrrrr
rrrrr
rr
21
421
4
4
33
3
πµ
πµ
πµ
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]∫∫∫ ′×′×′≈
×′×′=′⋅′−′⋅′
V
vdrrJrr
rA
rrJrrJrrrrrJrrrr
rrr
rrrrrrrrrrrr
21
4 3πµ ( ) ( )[ ] rvdrJr
rrA
V
rrrrr
rr×
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′′×′≈ ∫∫∫ 21
4 3πµ
• La primera de las integrales se cancela (demostración a continuación)
• El segundo integrando se puede rescribir como:
• La segunda integral es nula (se demuestra más adelante) y la primera se simplifica:
debe existir un escalar U tal que
en nuestro caso
Campo magnético en puntos alejados
Demostración de que si V encierra a todas las corrientes, entonces: 0=∫∫∫V
dVJr
0=⋅∇ Jr
( ) JUJUJUrrr
⋅∇+⋅∇=⋅∇
0ˆ =⋅nJS
r
0=×∇ ar
Ua ∇=r
∫∫∫ ⋅∇=V
dVJUr
0
∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=VV
dVJadVJarrrr0
∫∫∫=V
dVJr
0
Tomando como punto de partida la siguiente igualdad:
Tomando ahora un vector constante arbitrario a
Al ser a arbitrario la única posibilidad para que se verifique la expresión anterior es que:
ya que como el volumen encierra a todas las corrientes no pueden existir componentes normales a su superficie: ello implicaría que la corriente saldría del volumen y, por tanto, no estaría encerrada en el volumen.
( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∇+⋅∇=⋅=⋅∇VSV
dVJUJUdSJUdVJUrrrr
resulta:
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-23
Empecemos por calcular los términos en ax del integrando:
Campo magnético en puntos alejados
Demostración de: ( )( ) ( )[ ] 0=′′⋅′+′⋅′∫∫∫V
VdrJrrrrrJ rrrrrrrr
( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∫∫∫V
dVJarraJrrrrrr
Para simplificar la nomenclatura demostraremos que si a es un vector constante y arbitrario, y es nulo fuera de V:0=⋅∇ J
rJr
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] xxzxyx
xxzyxxxxxa
azzJxJyyJxJxxJ
zzyyxxJaJzJyJxxarJaJxaJarraJx
ˆˆˆ2
)ˆˆˆ(ˆˆˆ
++++=
=+++++=+=⋅+⋅rrrrrrrr
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) zx
yx
x
xJzJJzxxzJxzJxzJxzJxz
xJyJJyxxyJxyJxyJxyJxy
xJJxxJxJxJxJx
+=⋅+=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇
+=⋅+=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇
=⋅=⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇
rrrrr
rrrrr
rrrrr
ˆˆ
ˆˆ
2ˆ22222
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] xaazJxzyJxyxJxJarraJ
x
ˆˆˆ2rrrrrrrrr
⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅+⋅
observando que:
o sea:
Campo magnético en puntos alejados
• El resultado anterior se puede generalizar para las otras componentes de
• Integrando al volumen y aplicando el teorema de Gauss:
• Y puesto que , ya que el volumen V contiene a todas las corrientes, todas las integrales se cancelan.
ra
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] z
y
x
ayJzyxJzxzJz
axJyxzJyzyJy
azJxzyJxyxJxJarraJ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
2
2
2
rrr
rrr
rrrrrrrrr
⋅∇+⋅∇+⋅∇+
+⋅∇+⋅∇+⋅∇+
+⋅∇+⋅∇+⋅∇=⋅+⋅
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )∫∫∫∫
∫∫∫∫∫⋅+++⋅+++
+⋅++=⋅+⋅
Syxz
Sxzy
Szyx
V
SdJzyaJzxaJzazSdJyxaJyzaJyay
SdJxzaJxyaJxaxdVJarraJ
vrrrvrrr
vrrrrrrrrr
22
2
ˆˆ
ˆ
0ˆ =⋅nJS
r
( ) ( )[ ] 0=⋅+⋅∫∫∫V
dVJarraJrrrrrr ( )( ) ( )[ ] 0=′′⋅′+′⋅′∫∫∫
V
vdrJrrrrrJ rrrrrrrr
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-24
Campo magnético en puntos alejados
• Habiendo demostrado que para puntos alejados:
• se observa que la dependencia del potencial vector respecto de queda fuera de la integral y, que por tanto, se puede definir una magnitud que sólo depende de la distribución. Esta magnitud recibe el nombre de momento magnético de la distribución de corrientes y se define como:
• El potencial para puntos alejados de la distribución se puede expresar ahora como:
( ) ( ) ( )[ ] rvdrJrrrr
vdrJrAVV
rrrrrrr
rrrr
×⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′′×′≈′−
′′= ∫∫∫∫∫∫ 2
144 3π
µπµ
( )[ ] ( )2A/m21∫∫∫ ′′×′=
V
vdrJrm rrrr
( ) 34 rrmrA r
rrrr ×
≈πµ
rv
Campo magnético en puntos alejados
• Una vez conocida una expresión del potencial vector para puntos alejados resulta inmediata la obtención de una expresión del campo magnético:
• donde se ha aplicado que es independiente del punto donde se
calcula el campo y que siempre que no se calcule en el origen,
que por otra parte no es un punto alejado dado que consideramos que el
origen está próximo a la distribución.
03 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅∇
rrr
rrrmr
( )
( ) ( ) ( ) 33333
3
44
4
rrmm
rr
rrm
rrmm
rr
rrmArB
r
rrr
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
r
rrrrr
∇⋅−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅∇−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅∇+∇⋅−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛∇⋅=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ××∇≈×∇=
πµ
πµ
πµ
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-25
Campo magnético en puntos alejados
• Desarrollado los términos en de la última expresión:
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=∇⋅−=
354333
3333
ˆ34
3ˆ4
1ˆ4
1144
ˆ4
rxm
rrxm
rx
rr
rxm
dxrd
rrr
rxm
rxr
xr
rm
rr
xm
rrxmB
xxxx
xxxmx
rr
r
rrr
r
r
rrv
r
rv
r
rr
r
r
rr
πµ
πµ
∂∂
πµ
∂∂
∂∂
πµ
∂∂
πµ
πµ
xm
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
35
35
35
ˆ34
ˆ34
ˆ34
rzm
rrzmB
r
ym
r
rymB
rxm
rrxmB
zzm
yy
m
xxm
z
y
x
rr
vr
rr
rr
rr
rr
πµ
πµ
πµ
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
⋅= 35
34 r
mr
rrmrB r
r
r
rrrrr
πµ
• Expresión análoga a la de electrostática.
• Trabajando con el resto de componentes:
Campo magnético en puntos alejados
• El desarrollo anterior presenta la limitación de que el origen debe estar cerca de la distribución. Así no serían utilizables respecto del origen . Pero si se escoge como origen provisional un punto de la distribución o muy próximo a ella, entonces:
• Y con solo trasladar el origen de coordenadas:
OO1
drrr vvv −=1
( ) [ ] ( ) 31
1113
15
1
1111 4
;34 r
rmrArm
rrrmrB ×
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
⋅=
vvvvv
πµ
πµ
( ) ( )[ ]( ) ( )335 4
;34
d
d
dd
dd
rrrrmA
rrm
rrrrrrmrB vv
vvvvvv
v
vv
vvvvvvv
−
−×≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−
−−⋅=
πµ
πµ
VJv
rv1O
O
1rv
drv
– La condición de punto lejano es ahora:
Vr dedimensiónmáxima>>v
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-26
• Su valor es independiente del origen de coordenadas escogido: si llamamos y a los momentos magnéticos de una misma distribución con respecto a los orígenes y , unidos por el vector , resulta:
Momento magnético
• El momento magnético de una distribución caracteriza totalmente la misma desde el punto de vista de campo en puntos alejados.
• Su unidades son Amperios/m2
• La expresión ya vista se puede generalizar sin problemas al caso de distribuciones superficiales y lineales:
∫∫∫∫∫∫ ×=×=×=CS
SV
ldrImdSJrmdVJrmrrrrrrrrr
2;
21;
21
vm1vm2
1O 2ORv
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 222222222222
221211111
21
21
21
21
21
21
mdVrJrdVrJRdVrJr
dVRrJRrdVrJrm
VVV
V
Rrr
V
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrr rrr
=×=×+×=
=+×+⎯⎯ →⎯×=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫ +=
1O 2ORv
1rv
2rv
Jv
V
Momento magnético de una espira plana
• El momento magnético de una espira plana tiene una interpretación muy simple:
• el producto representa una contribución en la dirección normal de valor igual al área sombreada en la figura superior. Luego su mitad se puede hacer corresponder con el área más oscura.
• Al integrar se van sumando las áreas asociadas con el resto de los diferenciales dando como resultado el área total de la espira.
• Considerando que el producto va en el sentido positivo de la normal:
• Este resultado es válido aunque el origen no esté en el plano de la espira.
dlv
Ovr
dlv
Ovr
r rr d l×
∫ ×=C
ldrImrrr
2
nISm ˆ=r
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-27
Regularidad en el infinito
• A pesar de que una simple inspección de las expresiones del potencial vector y del campo magnético podría llevar a pensar en unas condiciones de regularidad en el infinito similares a las de electrostática, esto no es así.
( ) ( )[ ] ( ) rmr
rAmrrmr
rB ˆ4
;ˆˆ34 23
1
×=−⋅=r
rvrr
rrr
πµ
πµ
( ) ( ) 0lim;0lim 112 ==
∞→∞→rrArrB
rr
rrrrrrrr
( ) ( ) ctelim;ctelim 211
3 ==∞→∞→
rrArrBrr
rrrrrrrr
• Pero si una distribución de corrientes estacionarias puede ser encerrada dentro un volumen finito, el campo que generará a grandes distancias será el de un dipolo magnético:
• Luego el comportamiento del campo en el infinito podría describirse como:
• Serán:
( )∫∫∫ ′−
′′=
V rrVdrJA rr
rrr
πµ
4( ) ( )
∫∫∫′
′′−
′−×′=
V
Vdrr
rrrJB 34 rr
rrrrr
πµ
Energía del Campo Magnético Estacionario
Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético como
( ) ( )∫∫∫ ′′⋅′=Vm vdrHrBW rrrr
21
siendo V la región de existencia de campo magnético, que en general es todo el espacio. Resulta pues conveniente obtener una expresión de la energía en términos de las fuentes de campo, que en general solo se extenderán a regiones limitadas del espacio. Para ello hay que tener en cuenta que:
( ) JABHHAAHHAHAHArrrrrrrr(rrr(rrr
⋅−⋅=×∇⋅−×∇⋅=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ×⋅∇+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ×⋅∇=×⋅∇
( ) ∫∫∫∫∫∫ ⋅+×⋅∇=VVm dvJAdvHAW
rr44 844 76 rr
21
21
0
La primera integral se anula porque con el teorema de Gauss puede transformarse en una integral sobre la superficie del infinito, y teniendo en cuenta el comportamiento asintótico de A como 1/r2 y de H como 1/r3 la integral se anula. Si hubiera densidades superficiales de corriente estas aparecerían de las discontinuidades de H. Queda pues:
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=S sVm dSJAdvJAW
rrrr
21
21
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-28
Energía del Campo Magnético Estacionario
Las integrales para obtener la energía habrán de extenderse únicamente a las fuentes.
El potencial vector puede a su vez expresarse en función de las densidades de corriente. Así en el caso de solo densidades volumétricas :
( ) ( )∫∫∫ ′
′′−
′=
Vvd
rrrJrA rr
rrrr
πµ4
y sustituyendo en la integral de la energía resulta:
( ) ( )∫ ∫∫∫∫ ′
′′−
′⋅=⋅=
V VVm dvvdrr
rJrJdvJAW rr
rrrrrr
πµ
821
Sistema de Corrientes Lineales
Una situación práctica frecuente es la de que el campo se genere, voluntaria o involuntariamente, por las corrientes existentes en diversos circuitos próximos.
I1
C1
Ik
Ck
IN
CN
Transformando las expresiones generales para corrientes filiformes, la energía puede expresarsecomo:
∑ ∫∑∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=k
C kkk
VVmkk
ldAIdvJAdvJAWrrrrrr
21
21
21
Pero: ( ) kSSC kkkk
SdBSdAldA Φ=⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫rrrrrr
donde Φk es el flujo de B a través de la espira Ck. Por lo tanto:
∑∑ ∫ Φ=⋅=k
kkk
C kkm IldAIWk 2
121 rr
Es frecuente que las corrientes puedan considerarse filiformes en cuyo caso se tiene lo que se denomina un sistema de corrientes lineales. En general se tendrán N circuitos Ck y por cada uno de ellos circulará una corriente total Ik
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-29
Coeficientes de Inducción
Usando la segunda expresión de la energía, para el sistema de conductores, resulta: ( ) ( ) ∑∑ ∫ ∫∫ ∫ ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡′−
⋅=′
′−′⋅
=′
k lC C
lklkV Vm
k l rrldldIIdvvd
rrrJrJW rr
rr
rr
rrrr
πµ
πµ
421
8Puede verse que los términos entre corchetes solo dependen de la geometría y de los sentidos de circulación de las corrientes pero no de los valores de estas. Reciben el nombre de coeficientes de inducción Lkl .
∫ ∫ ′−⋅
=k lC C
lkkl rr
ldldL rr
rr
πµ4
Cuando k=l los coeficientes se denominan de autoinducción y de inducción mutua en caso contrario. La expresión se conoce con el nombre de fórmula de Neumann. La energía será:
∑∑=k l
kllkm LIIW21
Y por comparación : ∑=Φl
kllk LI
Para el caso de un solo conductor: 2
21
21 LIIWm =Φ= LI=Φ
Energía de Formación y de Interacción
Para el caso de un solo conductor: 2
21
21 LIIWm =Φ= LI=Φ
Y la podemos considerar como la energía de formación de la distribución de corriente.
En el caso de dos circuitos la energía será:
1221222211
21
22222112122111
21
21
21
21
21
21
21
LIILILI
LILIILIILIWm
++=
+++=
En este caso los dos primeros términos corresponden a las energías de formación de las distribuciones de corriente y el tercero a la energía de interacción entre estas.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-30
Propiedades de los Coeficientes de Inducción
1- Los coeficientes de inducción son parámetros meramente geométricos y dependientes del medio, cuyo valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse de su expresión .
2- Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji tal como puede verse de su expresión .
3- En general el cálculo de los coeficientes implica la realización de integralescomplicadas (integración de potenciales fuera de los ejes de simetría aun en elcaso de que esta exista).
4- Los coeficientes de autoinducción de corrientes filiformes son infinitos (las integrales son impropias). Ello implica que la energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita, lo que indica que las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física (se necesita infinita energía para hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula). Sin embargo la energía de interacción entre corrientes (asociada con los coeficientes de inducción mutua) es finita aunque estas sean filiformes.
Problema
Dos espiras cuadradas, una de lado L1 y otra de lado L2, y situadas en los planos x=0 y z=0 respectivamente, soportan unas corrientes I1 e I2 con los sentidos de circulación de la figura. Calcule aplicando la ley de Neumann y razonando sobre ella, el coeficiente de inducción mutua entre las espiras. Si la espira pequeña puede girar según el eje OY, diga, razonando la respuesta, cuál sería la posición de mínimo de energía.
x
y
z
L1
L2
I1
I2
(1)
(1)(2)(2)
(3)(3)
(4)(4)
La ley de Neumann es: ∫ ∫ −⋅
=1 2 21
2112 4 C C rr
ldldL rr
rr
πµ
Los tramos 2 y 4 de la espira 1 son perpendiculares a todos los tramos de la espira 2 y su contribución a la integral es cero. Queda:
04
4
3 311 31
3
0
43
0
211
0
43
0
2112
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡++++
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+++=
∫ ∫∫∫ ∫∫
∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫
πµ
πµL
ya que: ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −=−=3 33 11 31 1
,,
La posición de mínimo de energía es con las dos espiras coplanares y sus corrientes circulando en sentido contrario. Equilibrio -> Wint máxima021 ≤⋅ ldld
rr
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-31
Cálculo de la Autoinducción
El coeficiente de autoinducción puede obtenerse de la energía:
∫∫∫ ⋅==V
m dvHBII
WLrr
22
12
Considerando una distribución finita de corriente habrá campo magnético, y energía asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior de la distribución.
∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=+=+=ei VV
emimei dvHB
IdvHB
IIW
IW
LLLrrrr
222,
2, 1122
A cada una de estas energías se asocia un coeficiente de autoinducción que se denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y coeficiente de autoinducción externa.
Cálculo de la Autoinducción
Por otra parte la energía y L pueden obtenerse también a partir del flujo.
( ) ( ) Φ′⋅=⋅′=′⋅′=⋅ dldHBdSHldldSdHBldvHBrrrrrrr ˆ
Por tanto [ ] ( )∫∫∫∫ ∫∫∫∫ Φ′=Φ′⋅=⋅=′ SS lVm dlIdldHdvHBW
21
21
21 rrrr
En los tubos de flujo exteriores a la distribución (Se) la corriente encerrada es la corriente total pero no así en los interiores (Si). Por tanto:
( ) ( ) ( )I
dlII
dlII
dlII
dvHBII
WL eSSSSV
m
iei
Φ+Φ′=Φ′=Φ′=⋅== ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ + 22222
11112 rr
Considerando un tubo de flujo, cada elemento de volumen puede considerarse como: dv = dS dl´ donde dl´ está alineado con el campo B y dS es el área transversal del tubo de flujo. Se puede entonces poner:
donde I(l´) es la corriente encerrada dentro del tubo de flujo elemental l´.
dSdl´
Br
Jr
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-32
Autoinducción de un Hilo Conductor
El coeficiente de autoinducción puede obtenerse a partir de la energía como:
2
2IWL m=
Considerando un hilo conductor rectilíneo de radio a y supuesta una distribución uniforme de la corriente habrá campo magnético, y energía asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior del hilo.
a
Z
I ϕπρ
ˆ2
IHext =r
∫ ∫∫∞
=
∞
=∞==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
a aext dddI
ImL
ρ
π
ϕ ρρ
πµρϕρ
πρµ
221 2
0
2
2
En el exterior:
A cada una de estas energías se le asocia un coeficiente de autoinducción que se denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y coeficiente de autoinducción externa.
En una longitud infinita de conductor la energía almacenada será infinita por lo que se estudian la energía y autoinducción por unidad de longitud.
Autoinducción Interna
ϕρπ
ˆ2 2aIHi =
r
πµρϕρρ
πµ
ρ
π
ϕ 16221 2
0
2
0
2
2int Idd
aI
metroW a
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ ∫= =
mHenrios
Im
W
mL
πµ
8
2
2
intint ==
En el interior:
Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna porunidad de longitud que puede dar lugar a una impedancia importante en fenómenos de variación rápida con el tiempo.
( )MHzfLX 100101058104
88
70
int =Ω=⋅⋅==== −−
πωπ
πωπ
µωω
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-33
Autoinducción Cable Coaxial
Sea un cable coaxial de conductor interior de radio a y conductor exterior de radio b y espesor despreciable. Por unidad de longitud la energía almacenada en el conductor interior dará lugar a una autoinducción interna igual a la calculada para el hilo. Por otra parte ni en el conductor exterior (de espesor despreciable) ni en la región exterior al mismo hay campos ni en consecuencia energía almacenada ni contribución a la autoinducción .
El campo en la región entre conductores es: ϕπρ
ˆ2
IH =r
∫ ∫∫= =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
b
a
b
aext
abdddI
ImL
ρ
π
ϕ πµ
ρρ
πµρϕρ
πρµ ln
2221 2
0
2
2
y por tanto la autoinducción externa por unidad de longitud:
– I
I
ba
Z
I La autoinducción interna del conductor interior por unidad de longitud será igual que la del hilo: µ/8π.
( )
( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−−
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−= ∫ ∫ ∫= = =
442224222
1
0
2
0
22
222int
41ln
2
211
bcbccbcc
bc
dzddcbcIm
Lz
c
b
πµ
ρϕρρρπ
µρ
π
ϕ
Si el conductor exterior tuviese un espesor c-b su autoinducción interna por unidad de longitud seria:
b
a
Autoinducción Cable Coaxial
El valor de la autoinducción también puede obtenerse a partir del flujo.
Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura.
∫ ∫∫= =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Φ
1
0ln
222z
b
a
b
a abIdIdzdI
πµ
ρρ
πµρ
πρµ
ρ
Y por tanto la autoinducción por unidad delongitud correspondiente resulta:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Φ=
ab
ImL extext ln
2πµ
Si
De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor interior a partir del flujo a través de Si:
( ) ∫ ∫∫∫∫ = ===⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Φ′=
1
0 0
340 22
2
22 82211
z
aa
Si da
dzda
Ia
II
dlII
Li π
µρρπµρρ
πµ
ππρ
ρ
dρ
z=0 z=1
Se
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-34
Línea Bifilar de Conductores Gruesos
La distribución de la corriente estacionaria en el interior de los conductoresserá uniforme. El potencial vector podrá obtenerse como la superposición de los creados por cada uno de los dos hilos. Por tanto se comenzará calculando el potencial vector creado por un hilo de radio a.Aplicando simetría resultan ∂ /∂z =∂ /∂ϕ = 0. Solo hay componente ϕ de B y por tanto:
ϕ∂ρ∂ϕϕ ˆˆ zAABB −=×∇==
rr
Por tanto integrando se obtiene: CdBAz +−= ∫ ρϕ
Para el interior del hilo será: 12
2
12 42C
aICd
aIAz +−=+−= ∫ π
ρµρπ
ρµ
Para el exterior será: 22 ln22
CICdIAz +−=+−= ∫ ρπ
µρπρµ
Las constantes C1 y C2 se obtienen haciendo que el potencial en la superficie ρ = a sea un valor constante A0. Resultan:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−−
<−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=aAaI
aAa
I
Az
ρρπ
µ
ρρπ
µ
,,ln2
,,14
0
02
2
ρ
Az
BϕI
πµ
πµ
44 0112
2
0IACC
aIaA +=⇒+−=
aIACCaIA ln2
ln2 0220 π
µπ
µ+=⇒+−=
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
Sea la línea bifilar formada por dos conductores iguales de radio a y separados una distancia d como se indica en la figura.El cálculo de la energía almacenada por unidad de longitud a partir de la integración de B·H resulta cuanto menos tediosa. Sin embargo puede abordarse a partir de la integración de A·J
x
y
zd
a
1 2
Si el potencial en la superficie del conductor 1 se toma arbitrariamente como A0 su potencial en cualquier punto vale:
La distribución de la corriente estacionaria enlos conductores es uniforme por lo que el potencial puede obtenerse a partir del creado por cada uno de los conductores aislados.
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−−
<−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=aAaI
aAa
I
Az
101
102
21
1
,,ln2
,,14
ρρπ
µ
ρρπ
µ
siendo ρ1 la distancia del punto considerado al eje del conductor 1.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-35
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
En cuanto al potencial creado por el conductor 2 se obtiene de forma análoga ytomando, también arbitrariamente, potencial cero en este caso en su superficie.Resulta:
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=aaI
aa
I
Az
22
22
22
2
,,ln2
,,14
ρρπ
µ
ρρπ
µ
x
y
z
d
a ρ1 ρ2 ϕ
1 2
En un punto arbitrario del conductor 2, su distancia al eje del conductor 1 es: ϕρρρ cos2 2
22
21 dd ++=
Por tanto el potencial vector en dicho punto será:
( ) ( )0
222
22
2221
cos2ln21
4A
dda
aIAAA zzz −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−−=+=
ϕρρρ
πµ
La densidad de corriente en el conductor 2 vale Jz=I/πa22 por lo que su
contribución a la inductancia será:
( ) ∫ ∫ ∫ ∫= = = ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−−=⋅=
V z
adzdd
IaA
dda
aadvJA
IL
1
0 0
2
0 2220
222
22
22
2222
2 cos2ln21
41
ρ
π
ϕρϕρ
πϕρρρ
πµrr
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
La integral en z da la unidad. La integral restante del tercer término resulta:
∫ ∫∫ ∫ = == = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−
aadd
ddaddd
dda
0
2
0 2
2
0
2
0 2222cos21lnln2
cos2ln2
ρ
π
ϕρ
π
ϕρϕρϕρρ
ρϕρϕρρ
Aquí la integral del segundo término es nula. Por ello resulta la siguiente autoinducción por unidad de longitud:
( )
IA
ada
IaAa
ad
aaa
aL 0
2
20
2
2
42
222 ln
21
81
22
2ln2
4242
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
ππµπ
πππµ
Procediendo de forma análoga con el conductor 1 se obtiene:
( )
IA
adL 01 ln
21
81
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
ππµ
Por tanto: ( ) ( )2
21 ln28
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=
adLL
mL
πµ
πµ
Se ve claramente que el primer término es la autoinducción interna y por tanto el segundo es la autoinducción externa por unidad de longitud.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-36
Linea Bifilar usando el Flujo
Para integrar el flujo a través de la superficie indicada en la figura (de longitud 1 en z) se superpone el flujo de cada uno de los dos hilos.
( ) ( )
aaddzdI
ILL
mL
z
ad
aext −
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+= ∫ ∫=
−
=lnˆˆ
212
1
0
21
πµρϕϕ
πρµ
ρ
x
y
za
1 2
d Para d>>a:2
ln2
ln ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=≅
ad
ad
mLext
πµ
πµ
Linea Bifilar usando el Flujo
A partir del potencial vector con solo componente z se puede obtener el flujo como líneas de Az constante.
4 2 0 2 42
1
0
1
2
B
Línea de integracióndel flujo
Zona de la que no seha tenido en cuentala energía almacenada
En la figura puede observarse como las líneas de flujo cortan la superficie de los conductores por lo que la autoinducción obtenida a partir del flujo no representa exactamente la autoinducción externa.
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-37
8 6 4 2 0 2 4 6 8
1
0
1
B
Linea Bifilar usando el Flujo
Sin embargo cuando la separación entre conductores es mucho mayor que el radio de los mismos las líneas de flujo se ajustan más a la superficie de los conductores como puede verse en la figura adjunta.
Por tanto se comete menos error al obtener la autoinducción por el método del flujo.
Linea Bifilar usando el Flujo
La figura compara los valores normalizados de autoinducción (πL/µ) en función de la relación d/a para las expresiones exacta (Le) y aproximada (La) por unidad de longitud.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
Le( )d
La( )d
d
El error relativo cometido al usarla expresión aproximada es menordel 5% para d/a > 10. 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
15
20
25
30
e( )d
d
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
ad
adLe lnln
2
2
πµ
πµ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=a
adLa lnπµ
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16/01/2008 EyM 5-38
a b
Autoinducción de un Solenoide Toroidal
Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. El arrollamiento es de N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.
a bd
Por simetría y aplicando la regla de la manoderecha el campo solo puede tener componente ϕ en cada punto. Además su valor debe ser constante en cualquier circunferencia ρ = cte.
Aplicando el teorema de Ampere a circunferencias de radios mayores que b o menores que a se ve que el campo es nulo en el exterior del toroide. En el interior se obtiene:
( ) ϕπρ
πρρϕ ˆ2
2 NIHNIH =⇒=⋅r
( )ϕρϕ ˆHH =r
ρ
El flujo en cada espira es:
abNIddzdNId
z
b
aes ln2
ˆˆ20 π
µρϕϕπρ
µρ
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Φ ∫ ∫= =
El flujo de las N espiras será n veces el anterior. La autoinducción por tanto es:
abdN
INL es ln
2
2
πµ
=Φ
=
Superficie de integración para el Cálculo de Flujo del Solenoide
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
10
2
4
6
8
10
12
14En un solenoide cilíndrico de N espiras el flujo es N veces el de una espira.
Suponiendo el campo constante en el interior del solenoide será.
NanIB ⋅=Φ 2πµ
2anNI
L B πµ=Φ
=
Electricidad y Magnetismo Campo Magnético Estacionario
16/01/2008 EyM 5-39
Problema
Sean dos espiras cuadradas de lado L metros, situadas la primera con el centro en el origen y contenida en el plano x=0, y la segunda con centro en el punto P (r,θ,ϕ) y contenida en un plano z=cte., tal como se muestra en la figura. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambas espiras para r>>L.
Consideramos la segunda espira en el campo lejano de la primera, que calcularemos a partir de su momento dipolar. Además se considera que el campo en toda esta espira es igual a su valor en P. Por tanto el flujo del campo de la 1ª en la 2ª será:
( ) ( ) 211 ˆ
2,1LPBdxdyzPB zB =⋅=Φ ∫∫
rL
L
LL
P
x
y
z
θ
ϕ
r1
2
xILm ˆ2=r( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⋅= 351
34 r
mr
rrmBrrrrr
πµ
ysensenxsenzr ˆˆcosˆcosˆ ϕθϕθθ ++=
0ˆ =⋅ zmr
ϕθ cosˆ msenrm =⋅r
Por tanto: 5
22
1coscos3
4 rsenrILB z
θϕθπµ
=
3
4 coscos342,1 r
senILB
ϕθθπµ
=Φ 3
4
12 4coscos32,1
rsenL
IL B
πϕθθµ
=Φ
=
Inducción Mutua entre 2 Espiras
Calcular la inducción mutua entre dos espiras filiformes coaxiales de radios a y b separadas una distancia d como indica la figura.
∫ ∫ −⋅
=1 2 21
2112 4 C C rr
ldldL rr
rr
πµ
z
a
b
d
C2
C1y
x1ldr
2ldr
21 rr rr−
$ϕ1
$ϕ2
ϕθ
Puede verse fácilmente que:
θθϕϕϕθϕϕθϕϕ cosˆˆˆˆ
212122
11 dabddabdldldbdldadld
=⋅=⋅⇒⎭⎬⎫
== rr
r
r
θcos222221 abbadrr −++=−rr
Por tanto:
∫
∫ ∫
=
= =
−++=
=−++
=
π
θ
π
ϕ
π
θ
θθθµ
θθθϕ
πµ
0 222
2
0
2
0 22212
cos2cos
cos2cos
4
abbaddab
abbaddabdL
Que o bien se expresa en términos de integrales elípticas o se integra numéricamente.
La inducción mutua, por la fórmula de Neumann es:
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16/01/2008 EyM 5-40
Inducción Mutua entre 2 Espiras
La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de laseparación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomandocomo parámetro la relación entre sus radios (b/a).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
2
4
6
L12( ),1.01 d
L12( ),1.5 d
L12( ),2 d
dd/a
b/a=1.01b/a=1.5
b/a=2
La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares(d=0). Si las dos espiras son de radios muy parecidos (b/a~1) la inducción mutua crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares (d=0).
Autoinducción de la Espira
La autoinducción de una espira circular de radio r formada por un conductor de radio a, como se indica en la figura, puede obtenerse a partir del flujo.
r 2a
El campo creado por esta espira de radio a puede obtenerse aproximadamente como el creado por una espira filiforme a lo largo de r.
El coeficiente de autoinducción externo puede pues aproximarse por el coeficiente de inducción mutua entre dos espiras filiformes coplanarias de radios r y r-a. De acuerdo con lo visto anteriormente será:
( )( ) ( )∫ = −−−++
−≅π
θ θ
θθµ0 222 cos2
cos
arrarrd
darrLext
Una aproximación a la anterior expresión, obtenida expresándola en términos de integrales elípticas y aproximándolas para valores grandes de r/a, es:
rLin ππµ 2
8≅Una aproximación para la autoinducción interna será:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≅ 28ln
arrLext µ
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16/01/2008 EyM 5-41
Autoinducción de la Espira
La figura adjunta representa la autoinducción externa normalizada (L11/µa) en función del radio normalizado (r/a) para las dos expresiones anteriores.
1 10 1001
10
100
1000
L11( )r
L11a( )r
rr/a
L11/µa
Autoinducción de la Espira
El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta serepresenta en la siguiente figura:
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
20
e( )r
rr/a
%
El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta es menor del 5% para r/a > 15.
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16/01/2008 EyM 5-42
Efectos Mecánicos
Se recordará la expresión de la fuerza de Lorentz (fuerza del campo electromagnético sobre una carga q en movimiento, con velocidad v) dada por:
( )BvEqFrrrr
×+=Si en un conductor se tienen N cargas por unidad de volumen que constituyen una corriente de densidad J, la fuerza sobre la corriente por unidad de volumen será:
( ) dvBJdSdlBldSdtNqBl
dtdlNqBvNqFd
rrrrrrr×=×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=×=×= ˆˆ
Por tanto la fuerza sobre una distribución de corrientes J en el seno de un campo B es:
∫∫∫ ×=V
dvBJFrrr
En el caso de que la corriente sea filiforme será: ∫ ×=C
BldIFrrr
Por la identificación realizada entre corrientes elementales y dipolos magnéticos, teniendo en cuenta la analogía con electrostática, la fuerza vendrádada por: y el par por:( )BmF
rrr⋅∇= BmT
rrr×=
Completando la analogía, la energía de interacción entre las corrientes de momento m y un campo B será: y la fuerza:BmWm
rr⋅−=int, ( )int,mWF −∇=
r
dSdl
rv
VrJ
rB
Ejemplo 1
Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes filiformes paralelas e indefinidas.
La corriente I1 crea un campo: ( )rurI
rIB rrr
×== 1211
1 2ˆ
2 πµϕ
πµ
I1I2
rr
siendo u1 un vector unitario en la dirección de la corriente I1.
La fuerza sobre un elemento de I2 será:
1222122 BudlIBldIFdrrrrr
×=×=
La fuerza unitaria será por tanto:
( ) ( ) ( )
( ) ( )ruurIIruu
rII
ruuururIIruu
rIIBuI
dlFdf
ˆ22
22
1221
12221
121
0
2221
12221
1222
rrrrr
rrrr876 rrrrrrrr
r
⋅−=⋅−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅−⋅=××=×==
πµ
πµ
πµ
πµ
Si las dos corrientes llevan el mismo sentido la fuerza será de atracción, mientras que si llevan sentidos contrarios la fuerza será de repulsión.
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16/01/2008 EyM 5-43
IE
R
Ejemplo 2
Calcular la fuerza entre una corriente IH por un hilo rectilíneo indefinido y una IE por una espira circular situada en un plano que contiene al hilo.
IH
d
rx$ϕ
α
$u
dlr
Para calcular la fuerza es más fácil obtener elcampo que crea el hilo en los puntos de la espira que lo contrario. Será: ϕ
πµ ˆ2 rIB H
H =r
La fuerza sobre un elemento de corriente de la espira será:
( ) urRdIIRd
rIIBldIFd EHEH
HE ˆ2
ˆˆ2 π
αµϕααπ
µ=×−=×=
rrr
Pero: αcosRdr += zsenxu ˆˆcosˆ αα +=
x
z
La componente z de la fuerza, que debe anularse por simetría:
( ) 0cosln12cos2
2
0
2
0=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
+= ∫ =
ππ
αα
πµ
ααα
πµ Rd
RRII
RddsenRIIF EHEH
z
En cuanto a la componente x: ∫ = +=
π
α ααα
πµ 2
0 coscos
2 RddRIIF EH
x
Ejemplo 2
Haciendo el cambio de variables tg(α/2)=x y descomponiendo en fracciones se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=
+∫ = 22
2
012
coscos
Rdd
RddR π
αααπ
α
Por tanto: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−=
221
RddIIF EHx µ
Si la separación d es mucho mayor que el radio de la espira d>>R, esta podráconsiderarse como un dipolo: ϕπ ˆ2
EIRm =r
( ) 2
222 ˆ
2ˆ1
2ˆ
2ˆ
dxRIIx
xxRII
xIIRBmF EH
dx
EH
dx
HEH
µ∂∂µϕ
πµϕπ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅∇=⋅∇=
==
rrr
Pero si en Fx se desarrolla en serie:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−
−−
L2
2
2
222
211111 2
1
21
dR
ddR
dRd
2
2
2
2
221111
dRII
dR
ddIIF EH
EHxµµ −≅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−= L
que coincide con el resultado anterior.
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16/01/2008 EyM 5-44
Ejercicio
Un cable coaxial tiene un conductor interior cilíndrico de radio a y uno exterior de radio b y espesor despreciable como se indica en la figura. Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε y permeabilidad µ0, el conductor exterior está a masa, el interior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos.
a
b
IV
I
z
Si los conductores son eléctricos perfectos calcule y en la región entre conductores a < ρ < b. (2p).
Er
Hr
Por simetría el potencial solo depende de ρ por lo que
01=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∆ρφρ
ρρφ A=
∂∂ρφρ BA += ρφ ln
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=ρ
φ b
ab
V lnln
Por tanto el campo será:Er
ρρ
ρρ
ρρφφ ˆ1
lnˆˆ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−=∂∂
−=−∇=
ab
VAEr
ContHr
Por otra parte, aplicando Ampere, el campo resulta:Hr ϕ
πρˆ
2IH =
r
Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región a < ρ < b. (2p)
El vector de Poynting se define como HEPrrr
×=
( ) z
ab
VII
ab
VHEP ˆln2
ˆˆ2
1
ln 2ρπϕρ
πρρ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=×=rrr
Por lo tanto el flujo pedido será:
( ) VId
ab
VIddzHESdPb
a
b
a
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅×=⋅ ∫∫ ∫∫∫= =
2
2
0
2ln2
ˆρ
ρρππ
ϕρρρ
π
ϕ
rrrr
Calcule la densidad superficial de carga en el conductor interior. (2p)
Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable. (2p)
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16/01/2008 EyM 5-45
Cont
La densidad de corriente en la región pedida es:
Si la región h < z < h+L, a < ρ < b, 0 < ϕ < α se rellena con un material de conductividad σ calcule el valor de su resistencia. (2p)
ρρσσ ˆ
ln ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
ab
VEJrr
La corriente total es por tanto:⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⋅= ∫ ∫∫∫+
= =
abVLdzad
aab
VSdJILh
hz lnˆˆ
ln0
ασϕρρσα
ϕ
rr
Y la resistencia será Lab
IVR
ασ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==ln
Ejercicio
Una línea biplaca está formada por dos cintas metálicas, planas, paralelas, de espesor despreciable, anchura w, longitud indefinida y separadas d. Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε0 y permeabilidad µ0, el conductor superior está a masa, el inferior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos como se indica en la figura. Suponiendo w>>d pueden despreciarse los efectos de borde.
x
y
z
d
w
I I
V
Si los conductores son eléctricos perfectos calcule y en la región entre conductores (aproxime las placas por hojas indefinidas de carga y de corriente). (2p)
Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región –w/2 < x < w/2, -d/2 < y < d/2. (2p)
Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable (C). (1p)Calcule la energía del campo magnético almacenada por unidad de longitud en la región, la autoinducción por unidad de longitud de la línea (L) y el producto LC. (3p)
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16/01/2008 EyM 5-46
Cont.
Si la región h < z < h+L, –w/2 < x < w/2, -d/2 < y < d/2 se rellena con un material de conductividad σ calcule el valor de su resistencia (R) así como el producto RC. (2p)