I KVA ZISTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE 1. FENOMEN ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJE1.1. USLOV KVAZISTACIONARNOSTI POLJAUokviru elektrostatike (I deo) i magnetostatike (II deo) razmatrana su polja nepokretnih naelektrisanja, odnosno stacionarnih struja. Odgovarajua polja: elektrostatiko i magnetostatiko polje opisuju se vektorima( ) r E i( ) r B nezavisnim od vremena. Pokretna naelektrisanja i nestacionarne struje formiraju jedinstveno elektromagnetno polje (III deo).Elektromagnetno polje se opisuje jainomelektrinog polja ( ) t r E,i jainom magnetnog polja( ) t r B,. Za raziliku od elektrostatikog i magnetostatikog polja, funkcije EiBelektromagnetnog polja su vremenski zavisne. Takoe, ovi vektori su meusobno spregnuti, tako da elektrino i magnetno polje vie ne mogu da se razmatraju nezavisno jedno od drugog.Specijalnu klasu elektromagnetnih polja ine takozvanakvazistacionarna polja. Kod ovakvih polja se pretpostavlja da se sinhrono menjaju sa promenom svog uzroka. Funkcije kvazistacionarnog elektromagnetnog polja su u svakomtrenutku vremena t odreene raspodelom naelektrisanja (( ) t r,) i struja ( ( ) t r,j ) u tom istom trenutku, vidi sliku 1.Slika 1.Dakle, u posmatranom sluaju imamo:( ) ( ) ( ) ( ) t t t r EEj, , F(1.1a)( ) ( ) ( ) ( ) t t t r BBj, , F(1.1b)Primetimodauoptemsluajuodzivpoljanapromenustanjanaelektrisanjai strujanije trenutna, tako da postoji kanjenje u reakciji polja na promene gustine naelektrisanja i gustine struje. Zbog ovog efekta jaina elektrinog polja( ) t r E, i jaina magnetnog polja( ) t r B, zavise od raspodele naelektrisanja u struja u nekom prethodnom trenutku t , gde je vreme potrebno da se polje prenese od date take uzroka do posmatrane take polja (vidi sliku2.). elektromagnetno polje uvakuumuse prenosi brzinomsvetlosti c, takoda je R c , gde smo sa R oznaili odgovarajue rastojanje, vidi sliku 2.Kvazistacionarno polje se u nekim svojim aspektima ponaa kao stacionarno polje, pri emu vremetpreuzima ulogu parametra.Tako, na primer, u uslovima kvazistacionarnosti, 1elektrino polje struje u provodniku( ) t r E, i gustina kvazistacionarne struje( ) t r,jostaju proporcionalni, to jest i dalje vai Omov zakon u diferencijalnom obliku:( ) ( ) t r E t rR, , j .(1.2)Slika 2.Kodkvazistacionarnihstrujaukvazi-linijskimprovodnicima, jainastruje() t Izavisi od veremena, ali i daljeimaistuvrednost usvimtakamanerazgranatogstrujnogkola. Za razgranato kolo, u svakom trenutku, ostaju u vanosti Kirhofovi zakoni.Usutini, kvazi-stacionarnost poljaseostvarujeuuslovimaukojimasupromene raspodela naelektrisanja i struja dovoljno spore, tako da polje uspeva da prati (skoro trenutno) ove promene. Takoe, kvazistacionarno polje se ostvaruje samo u ogranienom delu prostora oko struja i naelektrisanja, to jest u takama ija rastojanja (R) nisu previe velika.PrimerRazmotrimo uslov kvazistacionarnosti magnetnog polja takozvanih naizmeninih struja koje se menjaju sa vremenom periodino:( ) t I t I0 cos.(1.3)Ovakvastrujaseuspostavljaukoluukomedelujeperiodinaelektromotornasila. Jaina magnetnog polja() t B du taki M od elementad strujnog provodnika proporcionalna je jaini struje ( ) t I gde je R c , vidi sliku 3(a). Uslov stacionarnosti magnetnog polja ebiti ostvarenakoje( ) ( ) t I t I , tojest akojevremeznatnomanjeodperioda 2 T oscilovanja struje, slika 3(b): >> T .(1.4)2Slika 3.Zaprocenuvrednosti granineuestanostiaruzmimamodasepoljeprostireu vakuumu na udaljenost R manju od 3 km. U tom sluaju vreme bie manje ods 106 , tako da je granini periods 10 T6gr. Ovaj period odgovara krunoj uestanosti gr grT 2 , odnosno frekvenciji Hz 10 T 1 26gr gr gr .Svedoovih uestanostistrujumoemosmatratikvazistacionarnom.Za ovakvestruje vai Omovzakoni Kirhofovapravila. Meutim, trebauzeti uobzir daseuprovodnicimasa nestacionarnom strujom javljaju i dodatni fenomeni, to jest dolazi do indukovanja struje. Ovaj nestacionarni efekat predstavlja bitno novukarakteristiku nestacionarnih polja, i upravo njegovim izuavanjem bie rnogue generalizovati teoriju stacionarnih polja na nestacionarni sluaj.1.2. ELEKTROMAGNETNA INDUKCIJAUstrujnimkontura koje se pomeraju u magnetnompolju ili u kojima tee nestacionarnastrujadolazi dopojaveindukovanjadodatnestruje. Ovaj efekat nazivase elektromagnetna indukcija.Jo je 1831. godine Faradej ustanovio da pri promeni magnetnog fluksa:( ) ( ) SmS d t r B t,(1.5)kroz povrinu S naleglu na strujnu konturu dolazi do pojave struje u ovom provodniku.3Slika 4.Na sici 4(a) prikazana je promena magnetnog fluksa kroz povrinu naleglu na konturu (1) usled promene jaine magnetnog polja. Kao izvor promenljivog magnetnog polja( ) t B uzeta je promenijiva struja jaine () t I kroz konturu (2). Na slici 4(a) je prikazan sluaj kada I raste sa vremenom (tako to se smanjuje otpornost R). U kolu (1) se, pomou galvanometra G, registruje indukovana struja jaine I . Do indukovanja struje moe doi i kada je jaina struje u provodniku (2) konstantna, ali se provodnik (1) pomera (na primer, pribliava) u odnosu na provodnik (2), slika 4(b).Sutinu pojave lako uoavamo iz navedenih eksperimenata. Kad god postoji promena magnetnog fluksa mu toku vremena kroz povrinu ogranienu strujnom konturom (1), u konturi se pojavljuje struja. Pojava struje znai da se u posmatraniom provodniku indukuje elektromotorna silaikoju nazivamoindukovana elektromotorna sila. Eksperimenti pokazuju da jeiproporcionalna brzini promene magnetnog fluksamkroz povrinu S naleglu na konturu:i~dtdm .(1.6)Znak minus ukazuje na smer indukovane struje. Naime, pri definisanju ve1iinem, jednaina (1.5), povrina S je orijentisana u skladu sa orijentacijom strujne konture. Pritom se orijentacija konture (1) usklauje sa smerom struje kroz konturu (2).U sluajevima prikaznim na slikama 4(a) i 4(b) smer indukovane ektromotorne sile, to jest indukovane struje je suprotan smeru struje I. Usluaju prikazanomna slici 4(a) pretpostavili smodajainastrujeIrastetakodarastei fluksmkrozkonturu(1), ako usvojimopredloenuorijentacijukonture. Toznai daje0 dt dm> ,paje, prema(1.6) 0i< . PrematomezaindukovanustrujuI imamo 0 I < takodajeindukovanastruja suprotnog smera od smera orijentacije konture. U sluaju sa slike 4(b) pretpostavili smo da se kontura(1) primiekonturi (2). Ponovosepoveavamagnetni fluksmkrozpovrinu konture (1), orijentisane kao na slici 4(b), to jest ponovo imamo 0 dt dm> . Indukovana elektromotorna sila je ponovo negativna (0i< ) tako daje 0 I < to jest ponovo se indukuje struja u smeru suprotnom od smera orijentacije konture.4Smerindukovanestrujemoeseodrediti naosnovutakozvanogLencovogpravila: indukovana struja u konturi ima takav smer da sopstvenim magnetnim poljem tei da vrati fluks vektoraBnaprvobitnuvrednost. Takojeuprimerimasaslika4(a) i 4(b) smer indukovane struje suprotan smeru struje I da bi magnetno polje B indukovane struje Ibilo suprotnog smera od polja B struje I i tako (delimino) kompenzovalo poveanje fluksa ovog polja.Analizomprikazaniheksperimenatadolazimodozakljukadajeindukcijastrujeu zatvorenoj provodnoj konturi umagnetnompoljuefekat koji je analoganinertnosti tela odreene mase na delovanje sile. Naime, i strujni provodnik se protivi promeni svog stanja, to jest tei da odri magnetni fluks m stalnim.1.3. INDUKOVANJE STRUJE U POKRETNOM PROVODNIKUEksperimentalno uspostavljenu proporcionalnost (1.6) (kao i taan faktor proporcionalnosti) moe se relativno lako dobiti u sluaju indukcije struje u provodniku koji se kree u stacionarnommagnetnompolju. Polazna taka objanjenja elektromagnetne indukcijeuovomsluajulei uLorencovoj sili kojadelujenaslobodnanaelektrisanjau provodniku.Pretpostavimodasekvazi-linijski strujni provodnik(kontureC)ukomenedeluje strana elektromotorna sila, kree uspoljnjemmagnetnompolju const Bodreenorn brzinom pV. Zajedno sa provodnikom kreu se i njegova slobodna naelektrisanja (elektroni). Uporedosaovimkretanjemtrebauzeti uobziri komponentuupravcuprovodnikazbog indukovanjastrujeupokretnomprovodniku, slika5(b).Prematome, posleusrednjavanja, nalazimo da se i-ti elektron kree brzinom:e pU V + ,(1.7)gde je eUsrednja vrednost usmerene komponente brzine elektrona.S obzirom na usvojeni tehniki smer struje, brzina eU je u sprotnom smeru od I . Na svaki usrednjeni elektron deluje Lorencova sila:( ) ( ) ( ) B e B e B e Fe p m U V.(1.8)Druga komponenta sile:( ) B e Fe 2 m U(1.9)normalna je na vektor eU, tako da ne moe da promeni intenzitet ove brzine, to jest ne utie na jainu struje I , nego samo zakrivljuje putanju elektrona u provodniku. Sumarno ove sile stvaraju Amperovu silu koja pomera provodnik u celini. Ovaj ekefat na dalje zanemarujemo. Prva komponenta sile:( ) B e Fp 1 m V(1.10)potieodkretanjasamogprovodnika. Ovasila, uoptemsluaju, zaklapaneki ugaosa brzinom eU i utie na promenu brzine elektrona u odnosu na provodnik. Upravo ova sila i izaziva indukovanu struju. Tako, na primer, u delu provodnika prikazanom na slici 5(b), sila 1 mF deluje na gore i u tom smeru se indukuje struja.5Slika 5.Pojava indukovane struje u provodniku znai da se u njemu indukuje elektromotorna sila i. Po analogiji sa elektromotornom silom generatora stacionarne struje, veliina i se definie kao cirkulacija jaina stranog polja *E po konturi C: Cid E *. (1.11)Formula (1.11) predstavlja takozvanu algebarsku definiciju, to jest0i>< .Usvojena definicija je pogodna pri razmatranju indukovane struje. Naime, u tom sluaju nije unapred jasno u kom se smeru indukuje struja. Ako pri proizvoljnoj orijentaciji konture struju orijentiemokaoi konturu, i pretpostavimodasuzadovoljeni uslovi kvazistacionarnosti struje, na osnovu Omovog zakona imamo:RIi , (1.12)gde je Rtermogena otpornost strujnogprovodnika.Pri0 I > smer indukovane struje poklapa se sa smerom konture, a pri 0 I < ovaj smer je suprotan.Strano elektrino polje *E povezano je sa silom 1 mF relacijom:( )BeFEp1 m V*. (1.13)Primetimo da je polje*Elokalizovano du itavnog provodnika. Kako je ovo polje neelektrostatikog porekla, njegova cirkulacija du konture C je razliita od nule, tako da je i 0i . Zamenom (1.13) u (l.11) nalazimo:( ) Cp id B V. (1.14)Indukovana elektromotorna sila idirektno je povezana sa fluksom mvektora Bkroz povrinu naleglu na konturu C. Zaista, primenom jednaina iz vektorske algebre( ) ( ) ( ) a b c a c b c b a nalazimo:( ) Cp iB d V . (1.15)Kako je pVbrzina pomeranja elementad , slika 5(a), imamo dt dps Vgde jesd(virtuelno) pomeranje elementad . Dakle:6( )dtdd B ddt1mCi ~s. (1.16)Veliina md~ predstavlja fluks vektora B kroz povrinu koju prebrie kontura C pri svom pomeranju zasd :( ) ( ) C C CmB S d B d d d B d d s s~, (1.17)gdeje d d S d s rafiranapovrinasaslike5(a). KakojefluksvektoraBkrozproizvoljnu zatvorenu povrinu i u nestacionarnom polju jednak nuli, imamo:( ) ( ) + + dt t S t SmSS d B S d B d S d B 0 ~, (1.18)gde smo sa ( ) t S oznaili povrinu ogranienu konturom C u trenutku t. Na osnovu jednaine (1.18) imamo:( ) ( )m m m md t dt t d + ~(1.19)gdejemdpromenamagnetnogfluksakrozpovrinunaleglunakonturuC. Zamenom (1.19) u (1.16) nalazimo:dtdmi .(1.20)Formulom(1.20) dokazanjezakonelektromagnetne indukcije dobijeneksperimentalnim putem, vidi jednainu (1.6).Sobziromna definiciju (1.14) indukovane elektromotorne sile, kao i definiciju magnetnogfluksa, jednaina(1.5), zakonelektromagnetneindukcijemoedasenapieu obliku: S CS d Bdtdd E *.(1.21)Primer Kaoprimer indukovanjaelektromotornesileupokretnomprovodnikurazmotrimo indukovanje naizmenine elektromotorne sile u rotirajuem pravougaonom provodnom ramu, koji rotira u homogenom magnetnom polju, slika 6.Slika 6.7Magnetni fluks kroz povrinuS je dat sa:( ) cos S B S B tm (1.22)gdejeugaoizmeuvektoraBi S. Pri rotaciji ramaimamot . Indukovana elektromotorna sila je:t S Bdtdmi sin . (1.23)Vidimo da se posmatrano strujno kolo ponaa kao generator naizmenine i, slika 6(b).1.4. INDUKOVANJE STRUJE U PROVODNIKU U PROMENLJIVOM MAGNETNOM POLJUU prethodnom odeljku objasnili smo poreklo indukovane elektromotorne sile za sluaj dadopromenemagnetnogfluksakrozpovrinukonturedolazi usledkretanjakontureu stacionarnommagnetnorn polju. Meutim, magnetnifluks semoe menjatii kada kontura miruje u vremenski promenljivom magnetnom polju. Priroda indukovane elektromotorne sile u ovom sluaju je razliita od prethodne. U sutini, promenljivo magnetno polje (0 t B ) izaziva vrtolono elektrino polje BE pod ijim delovanjem dolazi do usmeravanja kretanja elektrona u povodniku, to jest do indukovanja struje. Do zakona elektromagnetne indukcije u ovom sluaju, moe se, meutim doi polazei od principa relativnosti kretanjai zakljuaka prethodnog odeljka.Poimo zato od prethodno razmotrenog sluaju pokretnog kvazi-linijskog provodnika ustacionarnommagnetnorn polju, i pretpostavimo da se kontura (1) kree uniformno, konstantnombrzinomV,(slika7(a)). Kakosumirovanjeikretanjerelativni pojmovi, to interakcijadvekonture koje sejednauodnosu nadrugukreu uniformnomoezavisiti samo od njihove relativne brzine. Prema tome, ako bi se provodnik (2) kretao brzinomV , a kontura (1) mirovala, indukovana struja Iu konturi (1) ostala bi nepromenjena, slika 7(b). Ovimsmopokazali daseunepokretnoj strujnoj konturi indukujeelektromotornasilapo zakonu (1.20):dtdmi , 0p V. (1.24)Slika 7.Pokazuje se da zakon (1.20), to jest (1.24) moe da se uopti i na sluaj neuniformnog kretanja. Takoe ovaj zakon vai i u sluaju kada se promenljiv magnetni fluks kroz povrinu 8konture (1) ostvaruje promenljivom strujom kroz konturu (2), pri emu kontura (2) moe i da miruje. Dakle, izraz:dtdmi (1.25)vai nezavisno od toga ta je uzrok promenljivom magnetnom fluksu m.Napomenimo, na kraju, da zakon elektromagnetne indukcije vai i u sluaju kada se strujniprovodnicinalazeumagnetiku(1r ).Utomsluaju, meutim, magnetni fluks m potie kako od spoljnjeg polja 0B, tako i od polja B indukovanih mikrostruja.2. INDUKTIVNOST STRUJNIH PROVODNIKA2.1. KOEFICIJENT SAMOINDUKCIJE, LStrujni provodnik u kome tee nestacionarna struja se u pogledu svojih geometrijskihsvojstavakarakterietakozvanimkoeficijentomsamoindukcije, L. Uovom odeljku bie definisana veliina L za kvazi-linijski provodnik.Slika 1.UvoenjekoeficijentaLsezasnivanainjenici daizmeujainestruje() t Ikroz provodnik i sopstvenog magnetnog fluksa ( ) tm s , kroz povrinu naleglu na konturu C, vidi sliku 1, postoji proporcionalnost. Koeficijent proporcionalnosti izmeu ove dve veliine je po definiciji koeficijent samoindukcije L. Dakle:( )( ) t ItLm s ,,(2.1)gde je:( ) SS mS d B t s ,(2.2)U SI sistemu jedinica za indukovanost je Henri (H):( ) H L .Indukovanost od 1H ima kontura kroz koju struje od 1A izaziva fluks od 1Wb.Primetimo da linearna veza izmeumi I vai samousluaju kada je magnetna propustljivostsredine koja okruuje konturu nezavisna od jaine polja. Drugim reima, formula I Lm vai samo u odsustvu feromagnetika. Formalno, formula (1.26) se moe primeniti i u prisustvu feromagnetnih materijala, ali je tada L sloena funkcija odI .9U odsustvu feromagnetika, koeficijent samoindukcije L zavisi sarno od geometrijskih svojstava konture i od magnetnih svojstava sredine oko konture.PrimerNaimokoeficijent samoindukcijesolenoidaduine r >> (gdejer poluprenik navojka) sa N gusto namotanih navojaka.Pretpostavimoda kroz navojke solenoida tee struja jaine I. Polje beskonanog solenoida je koncentrisanounutar njegove zapremine i iznosiI n B , gde je nbroj navojaka po jedinici duine solenoida. Priblino isti izraz vai i za konaan solenoid kod koga je N n akosuzadovoljeni navedeni uslovi. Ukupanfluks(krozsvihNnavojaka solenoida) je:S I n n S B Nm ,(2.3)gde je S povrina jednog navojka, slika 2.Slika 2.Kako je zapremina solenoida S V, to je:I V n2m ,(2.4)tako da formula (1.26) daje:V n L2 .(2.5)Primetimo da na osnovu formule (2.5) za magnetnu propustljivost vakuuma dobijamo sledeu dimenziju:( ) ( ) ( )mH LV nL20 ,(2.6)to jest dimenzija 0 je Henri po metru. 2.2. KOEFICIJENT UZAJAMNE INDUKCIJEU sluaju sistema kvazilinijskih provodnika, pored koeficijenta samoindukcije pojedinih kontura uvode se, kao mera njihovih karakteristika takozvani koeficijenti uzajamne indukcije.10Slika 3.Posmatrajmo dva kvazilinijska provodnika (kontura C1 i C2) kao na slici 3. Ako kroz konturuC1tee struja jaine ( ) t I1onda sekroz povrinuS2nalegluna konturuC2 pojavljuje magnetni fluks( ) t12 m :( ) ( ) 2S2 1 12 mS d t B t ,.(2.7)Ovaj fluks je proporcionalan struji 1I. Pri definiciji fluksa 12 m, smer obilaska konture C2 usklaen je sa smerom struje 1I. Takoe, ako kroz provodnik C2 tee struja( ) t I2, onda se kroz povrinu S1 ogranienu konturom C1 javlja magnetni fluks:( ) ( ) 1S1 2 21 mS d t B t ,.(2.8)Poslednji fluks je proporcionalan jaini struje( ) t I2.Pomenute proporcionalnosti ( ) t12 m ~ ( ) t I1i ( ) t21 m ~ ( ) t I2, se koriste za definiciju koeficijenata L12 i L21:( )( ) t ItL112 m12, ( )( ) t ItL221 m21(2.9)Pokazuje se da su koeficijent L12i L21u odsustvu feromagnetika meusobno jednaki, to jest vai: 21 12L L (2.10)Koeficijent uzajamne indukcije L12 (to jest L21) zavisi samo od geometrije i uzajamnog odnosa provodnika i od sredine koja ih okruuje. Dimenzija L12 je isto kao i dimenzija L:( ) H L12 .PrimerNaimokoeficijente uzajamne indukcije L12iL21dvajukalemova namotanih na toroidalno gvozdeno jezgro, slika 4.11Slika 4.Magnetno polje posmatranog sistema je koncentrisano unutar torusa. Za tanak torus srednjeg obimai poprenog preseka S primenom uoptene Amperove teoreme za jainu magnetne indukcije od N1 navojaka struje I1 imamo:111INH , (2.11)dokjeodgovarajuajainapolja1 F 1H B . Magnetni flukskrozN2navojakadrugog kalema jednak je:( )1 2 1 1 F 1 2 12 mISN N H B S N (2.12)Analogno, jaina magnetne indukcije od N2 jednaka je:222INH , (2.13)tako da je:( )2 2 1 2 F 2 1 21 mISN N H B S N . (2.14)Primenom definicije (2.8), nalazimo:( )SN N H L2 1 1 F 12 (2.15a)( )SN N H L2 1 2 F 21 (2.15b)Dakle, obakoeficijentauzajamneindukcijeimajuisti oblik. Meutim, veliine ( )1 FH i ( )2 FH su meusobno razliite i zavise od jaine struja I1odnosno I2. Uodsustvu feromagnetnog jezgra ( ) ( )0 2 F 1 FH H , imamo:SN N L L2 1 0 21 12 . (2.16)Primetimo, na kraju, da se koeficijenti L, L12i L21mogu definisati i za zapreminske provodnike. Takoe, kada se razmatraju ovi koeficijenti u prisustvu feromagnetika esto se koristi optija (takozvana energijska) definicija.3. SAMOINDUKCIJA I UZAJAMNA INDUKCIJA U STRUJNIM KOLIMA3.1. STRUJA U KOLU SA SAMOINDUKCIJOM12Kada kroz povrinu naleglu na strujnu konturu postoji promenljivi magnetni fluks,u konturi se javlja efekat indukcije. Specijalni sluaj ove pojave je kada promenljivi magnetni fluks izaziva sopstvena, vremenski zavisna struja jaine ( ) t I I .Slika 1.Dakle, akoje ukvazi-linijskomprovodnikupromenljivsopstveni magnetni fluks s , m, zbog promenljivog magnetnog polja ( ) t Bs, vidi sliku 1(a), u provodniku se indukuje elektromotorna sila samoindukcije s po zakonu (1.25):dtdm ss, .(3.1)Kako je, na osnovu definicije koeficijenta samoindukcije, jednina (2.1), I Lm s , , imamo:( )dtdLIdtdIL I Ldtd s.(3.2)U sluaju nedeformabilne konture smetene u neferomagnetnu sredinu, koeficijent L ne zavisi od vremena, tako da se anulira lan dt dL Iu jednaini (3.2). Tada je elektromotorna sila samoindukcije data formulom:dtdIL s.(3.2)injenicu da u strujnoj konturi (elektrine otpornosti R) uporedo sa stranom elektromotornomsilom( ) t koja predstavlja izvor struje deluje i elektromotorna sila samoindukcije ( ) ts moe ematski da se predstavi kao na slici 1(b). Takoe, esto se koristi i ematski prikaz kao na slici 1(c) u kome je eksplicitno prikazan parametar kola (zavojnica odnosno solenoid) kome se u prikazu kola sa koncentirsanimparametrima pridruuje koeficijent sarnoindukcije L. Napomenimo da je elektromotorna sila samoindukcije s data izrazom (3.3) pod uslovom da struja I (izlazi iz pozitivnog pola elementa sna slici 1(b). Zaista,u sluaju da struja I u kolu raste, imaemo 0 < su odnosu na prikazan polaritet i struja samoindukcije e biti suprotnog smera od smera struje I.Ukoliko su u posmatranom kolu ostvareni uslovi kvazistacionarnosti, za kolo e vaiti Omov zakon koji sada moemo da napiemo u obliku:s + I R. (3.4)Pri pisanju gornjeg zakona uzeli smo da se smer struje I i smer obilaska konture pokapaju i primenili konvencijuusvojenuzaznakelektromotornesile. Zanedeformabilnekontureu slabommagnetiku, elektromotornasilasamoindukcijejedatajednainom(3.3). Zamenom ovog izraza u jednainu (3.4) nalazimo:13dtdIL I R .(3.5)Poslednjaformulapredstavljaoptujednainuzastruju() t Iukolusasamoindukcijom. Pomou ove jednaine moe se odrediti jaina struje u kolu sa promenljivim izvorom ( ) t . Najvanija klasa ovakvih elektromotornih sila su periodine elektromotorne sile. Nalaenje struje u kolima sa ovakvim izvorima ( ) t bie odloeno za odeljak u kome se razmatra opti sluaj oscilatornih strujnih kola. Uovomodeljku razmotriemo jedan specifian sluaj nestacionarnosti struje koji nastaje ukljuivanjem i iskljuivanjem konstantne elektromotorne sile u strujnom kolu.Primer 1.Efekat samoindukcijejevrloizrazit priiskljuivanjustrujeukoluukomedeluje konstantna strana elektromotorna sila .Slika 2.Posmatrajmo kvazilinijsko strujno kolo otpornosti R i samoindukcije L ukomesepomoupreklopnikaPmoeiskljuiti struja(slika2(a)). Kadajepreklopniku poloaju 1 kroz kolo tee stacionarna struja:RIs. (3.6)Pretpostaviemo da smo u trenutku 0 t preklopnik P prebacili u poloaj 2 i tako iskljuili izvorizkola. strujaukolunee trenutnoieznuti jer sejavlja elektromotorna sila samoindukcije (slika 2(b)) koja tei da odri struju u kolu. Posle iskljuenja izvora, jednaina kola je data izrazom (3.5) u kome treba uzeti 0 :dtdIL I R , (3.7a)to jest:0 I1dtdI+(3.7b)gde smo uveli takozvanu vremensku konstantu kola:RL . (3.8)Jednaina (3.7b) predstavlja takozvanu linearnu i homogenu diferencijalnu jednainu prvog reda sa konstantnim koeficijentima u kojoj se razdvajaju promenljive:dt1IdI (3.9)Neposrednom integracijom jednaine (3.9) nalazimo:14te K I, (3.10a)gde je K proizvoljna konstanta. Primenom poetnog uslova: 0 t , 0I I , nalazimo da je 0I K, tako da je:t0e I I.(3.10b)Dakle,matematikigledano,tekpri tstruja u koluiezava. Meutim, kako jainastrujeopadasavremenompoeksponencijalnomzakonutoebrzodostii vrednost blisku nuli, slika 2(c). Tako, na primer, za vreme jaina struje opadne e puta u odnosu na svoju vrednost 0I u trenutku 0 t . Primer 2.Analogna analiza moe da se izvri i pri ukljuivanju kola prebacivanjem preklopnika P iz poloaja 2 u poloaj 1 (slika 3(a)). Sada je u poetnom trenutku (0 t ) struja 0 I . Posle prebacivanja preklopnika u poloaj 1 u kolu deluje strana elektromotorna sila kao i elektromotorna sila samoindukcije s koja onemoguava trenutno uspostavljanje struje, slika 3(b). Slika 3.Jednaina kola je sada data sa (3.5):dtdIL I R . (3.11a)Poslednji izraz se moe napisati u obliku:LI1dtdI +.(3.11b)Ponovo smo dobili linearnu diferencijalnu jednainu prvog reda sa konstantnim koeficijentima koja je sada nehomogena (0 L ). Njeno reenje jednako je zbiru opteg reenjaodgovarajuehomogenejednaine(kojeimaoblik(3.10a))i partikularnogreenja nehomogene jednaeine (na primer, R Ip ):Re K It+ . (3.12a)Odredivi K iz poetnog uslova (0 t , 0 I ), nalazimo:

,_

t0e 1 I I, (3.12a)gde jeR I0 stacionarna vrednost struje. Grafik uspostavljanja struje u kolu dat je na slici 3(c). 153.2. STRUJE U MAGNETNO SPREGNUTIM KOLIMADvabliska, kvazilinijskastrujnaprovodnika1i 2promenljivih(kvazistacionarnih) struja jaine 1Ii2Iostvaruju uzajamnu magnetnu spregu. Usled ove sprege, u njima se, pored elektromotornih sila samoindukcije1 si2 sindukciju i elektromotorne sile1 ii 2 i koje nazivamo elektromotorne sile uzajamne indukcije.Slika 4.Posmatraemo dva kvazilinijska strujna provodnika kao na slici 4(a) konture C1 i C2. Ako je struja 1I promenljiva, onda se u njoj bliskoj konturi C2 indukuje elektromotorna sila:( )1 1212 m2 iI Ldtddtd ,. (3.13a)Pri pisanju gornjeg izraza iskoristilismo definiciju (2.9): 1 12 12 mI L , . Analogno, ako je struja 2I promenljiva, u kolu 1 se indukuje elektromotorna sila:( )2 2121 m1 iI Ldtddtd ,. (3.13a)Usluajukada seuzajamni poloaji kontura C1i C2nemenjaju, koeficijenti L12i L21 uzajamnih indukcija bie nezavisni od vremena, tako da je:dtdIL112 2 i (3.14a)dtdIL221 1 i .(3.14b)Spregnutakola1i 2suematski prikazananaslici 4(b). Polariteti indukovanihelektromotornih sila 1 i i 2 i su odreeni tako da iz pozitivnog pola 1 i izlazi struja 2I i obratno. Polariteti elektromotornih sila 1 s i 2 s su, kao i ranije, odreeni tako da struje 1I i2Iizlazeizpozitivnihpolovaovihizvora. Ukupneindukovaneelektromotornesileu magnetno spregnutim kolima (slika 4(b)), su:1 i 1 1 ind + s , (3.15a)2 i 2 2 ind + s , .(3.15b)U neferomagnetnoj sredini, pod uslovom konstantnih geometrijskih karakteristika (const L1, const L2, const L L21 12 ), imamo:dtdILdtdIL22111 1 ind ,(3.16a)16dtdILdtdIL11222 2 ind ,.(3.16b)Ukoliko su struje u sistemu kvazistacionarne, na svaku od kontura se moe primeniti Omov zakon:1 ind 1 1 1I R, + (3.17a)2 ind 2 2 2I R, + .(3.17b)Zamenom (3.16a,b) u (3.17a,b), nalazimo:dtdILdtdIL I R22111 1 1 1 (3.18a)dtdILdtdIL I R11222 2 2 2 .(3.18b)Do sada smo pretpostavili da su struje u spregnutim konturamaparalelne,slika 4(a). To su takozvano saglasnospregnute konture. Ukoliko jedna od struja promeni smer (nesaglasna sprega, slika 5(a)) treba ponovo primeniti konvenciju o polaritetima izvora indukovanih elektromotornih sila,tako da dobijama emu prikazanu na slici 5(b). Primenom Omovog zakona na svaku od kontura sada nalazimo:dtdILdtdIL I R22111 1 1 1+ (3.18a)dtdILdtdIL I R11222 2 2 2+ .(3.18b)Slika 5.PrimerRazmotrimo jedno jedinstveno razgranato strujno kolo sa saglasno spregnutim granama, prikazano na slici 6.17Slika 6.Svaka odgrana karakterie se otpornouRii samoindukcijomLi(2 1 i , ), a magnetnoj sprezi odgovaraju koeficijenti samoindukcijeM L L21 12 . S obzirom da se kolo moe predstaviti ekvivalentnom emom sa slike 6(b), kao i da vae Kirhofova pravila (pod uslovima kvazistacionarnosti struja) imamo:dtdILdtdIL I R22111 1 1 (3.18a)dtdILdtdIL I R11222 2 2 .(3.18b)Vidimo da se dobija sistem spregnutih diferencijalnih jednaina za struje( ) t I I1 1i ( ) t I I2 2 . Poduslovomdajepoznataelektromotornasila() t , uzzadatepoetne uslove, reavanjem ovog sistema diferencijalnih jednaina dobijamo obe struje:( ) t I1 i( ) t I2. 4. ENERGIJA ELEKTROMAGNETNOG POLJA4.1. MAGNETNA ENERGIJA Wm SISTEMA KVAZILINIJSKIH STRUJNIH PROVODNIKAU okviru magnetostatike nije bilo u potpunosti mogue definisati magnetnu energiju strujnihsistema. Razlogjeuefektuelektromagnetneindukcijeiji doprinos energijskom bilansuusistemunijemoguezanemariti. Jedinotojebilomogueumagnetostatici je definisanje potencijalne funkcijemW~koja u izvesnomsmislu igra ulogu potencijalne energije sistema. Uovomodeljku bie razmotrena magnetna energija sistema od dva kvazilinijska provodnika.Slika 1.Posmatrajmo dva magnetna spregnuta kvazilinijska strujna provodnika (konture C1i C2)koji senalazeuneferomagnetnoj sredini. Utrenutkut, slika1, sistemsekarakterie strujama( ) t I1 i( ) t I2, stranim elektromotornim silama( ) t1i( ) t2i otpornostima R1 i R2. Za struje u kolima se pretpostavlja da su kvazistacionarne. Razmotrimo ta se sa stanovita energije deava u sistemu za vreme dt. Uzeemo u obzir da se za ovo vreme konture mogu meusobno pomerati i da se pritomsvaka ponaosob moe deformisati. Utomsluaju koeficijenti samoindukcijeL1i L2kaoi koeficijenti uzajamnihindukcijaM L L21 12 predstavljaju funkcije vremena.18Slika 2.Za vreme dt,slika 2(a), u posmatranom sistemu oslobodi se toplota,dQ koja je na osnovu Dul-Lencovog zakona data sa:( ) dt I R I R dQ22 221 1+ (4.1)Za isto vreme strane sile izvora elektromotornih sila izvre rad:( ) dt I I A d2 2 1 1 + *.(4.2)U magnetostatici smo imali da se ukupan rad stranih sila generatora transformie u toplotu, to jest0 dQ A d *. Zbog toga je magnetostatiko polje u pogledu energije neaktivno; koliko primi energije, toliko isto i vrati sistemu, slika 2(b). Primetimo da je u elektrostatici ukupan izvren rad bio jednak potencijalnoj energiji sistema, odnosno odgovarajuoj energiji polja, slika 2(b).Uelektrodinamici magnetnospregnutihkontura0 dQ A d *. Energijski bilans u sistemu ima oblik:( )2 1I I m mW d dW dQ A d~* (4.3)gde je dWm prirataj magnetne energije sistema, odnosno, kao to emo videti odgovarajueg polja za vreme dt, dok je mW d~ promena potencijalne funkcije za isto vreme. Naime, usled promene uzajamnog poloaja kontura, a i zbog njihovih eventualnih deformacija za vreme dt u sistemu se javlja i prirataj mehanike energije koji je jednak ( )2 1I I mW d~ (pri konstantnim strujama I1 i I2).Na osnovu jednaina (4.1) i (4.2) imamo:( ) ( ) dt I R I dt I R I dQ A d2 2 2 2 1 1 1 1 *, (4.4)dok je na osnovu Omovog zakona primenjenog na strujne provodnike 1 i 2:1 ind 1 1 1I R, + (4.5a)2 ind 2 2 2I R, + (4.5b)19gde su1 ind, i2 ind, ukupne elektromotorne sile indukovane u strujnim konturama 1 i 2:dtdILdtdIL22111 1 ind ,(4.6a)dtdILdtdIL11222 2 ind ,.(4.6b)Zamenom (4.5a,b) i (4.6a,b) u jendainu (4.4) nalazimo:( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1I L d I I L d I I L d I I L d I dQ A d + + + *, (4.7)odnosno:12 2 1 222 21 2 1 121 1 2 12 2 2 2 2 1 21 1 1dL I I dL I dL I I dL I dI I L dI I L dI I L dI L dQ A d + + + + + + + *.(4.8a)Ako uzmemo u obzir da je 21 12L L , nalazimo:222 12 2 1 12122 2 2 1 1221 1dL I21dL I I dL I21I L21I I L I L21d dQ A d + + +

,_

+ + *.(4.8b)Da bi nali prirataj magnetnog polja, potrebno je izraunati emu je jednaka promena potencijalne funkcije( )2 1I I mW d~, za posmatrani sistem od dva magnetno spregnuta provodnika. S obzirom da potencijalna funkcija u mehanikom smislu odgovara potencijalnoj energiji u elektrostatici, opti izraz za mW~se moe nai po analogiji sa sistemom od dva takasta naelektrisanja. U tom sluaju smo imali:( )2 e 1 e21 ii i eW W21q21W + (4.9)gde je1 1 1 eq W energija naelektrisanja1qu polju naelektrisanja2q, dok je 2 2 2 eq W energija naelektrisanja 2q u polju naelektrisanja 1q.Po analogiji sa (4.9) imamo:( )2 m 1 m mW W21W~ ~ ~+ , (4.10)pri emuje1 m 1 1 mI W ~, dokje2 m 2 2 mI W ~. Kakosu1 mi2 mukupni magnetni fluksevi kroz povrine nalegle na konture C1 i C2, imamo:2 21 1 1 21 m 1 ms 1 mI L I L + + (4.11a)1 12 2 2 12 m 2 ms 2 mI L I L + + .(4.11b)Zamenom (4.11a,b) u (4.10), nalazimo:( ) ( )1 12 2 2 2 2 21 1 1 1 mI L I L I21I L I L I21W + + ~, (4.12a)odnosno:22 2 2 1 1221 1 mI L21I I L I L21W ~, (4.12a)tako da je:( )222 12 2 1 121 I I mdL I21dL I I dL I21W d2 1 ~. (4.13)Dakle, zbog rada stranih sila generatora, rada mehanikih sila, a kada se uzme u obzir energijaosloboenauoblikutoplote, dobijasedausistemuzavremedtpostoji prirataj energije:( )2 1I I m mW d dQ A d dW~*+ . (4.14a)20Zamenom izraza (4.8b) i (4.13) u poslednju jednainu nalazimo:

,_

+ + 22 2 2 1 1221 1 mI L21I I L I L21d dW.(4.14b)Dakle, za magnetnu energiju sistema dva kvazilinijska strujna provodnika nalazimo:22 2 2 1 1221 1 mI L21I I L I L21W + + .(4.15)4.2. MAGNETNA ENERGIJA Wm USAMLJENE STRUJNE KONTUREIzraz (4.15) za magnetnu energiju dve uzajamno magnetno spregnute strujne konture lako se uoptava na proizvoljan broj kontura. Takoe, kao specijalan sluaj ovog izraza dobija se magnetna energija Wm usamljene strujne konture.Za sistem od N strujnih kontura imamo: N1 iN1 jj i ij mI I L21W(4.16)gde sui iiL Lodgovarajui koeficijenti samoindukcije. Na osnovuposlednjeg izraza, pri 1 N, zaI I1iL L11nalazimo:2mI L21W.(4.17)Poslednji izraz predstavlja traenu energiju Wmusamljenog kvazilinijskog strujnog provodnika sa nestacionarnom strujom jaine ( ) t I I , slika 3.Slika 3.Primetimodasmousvimrazrnatranjimaovogodeljkaimplicitnopretpostavili da sistemstrujanemakapacitivnost. Zbogtogauenergijskombilansunismouzimali uobzir elektrinu energiju. U optem sluaju ukupna energija sistema jednaka je zbiru elektrine i magnetne energije i one se mogu meusobno transformisati. Prvi ovakav sluaj sreemo ve kod takozvanih RLC-kola u petom odeljku ove knjige.PrimerKao primer kola sa samoindukcijomve smo razmatrali proces ukljuivanja i iskljuivanja strujnog kola.Razmotrimosada ta se deava saenergijomu sistemu utoku procesa ukljuivanja strujnog kola.21Pretpostavimo da smo u trenutku 0 t ukljuili strujno kolo, vidi primer 2 odeljka 3.1. Stacionarna vrednost 0I se ne uspostavlja trenutno, ve I tei ovoj vrednosti po zakonu (3.12b). Da bismo nali energijski bilans u ovomkolu, za koje pretpostavljamo da je nedeformabilno, pomnoimo jednainu (3.11a) ovog kola sa I.Tako dobijamodtdII L I RI2 , (4.18a)to jest:

,_

2 2I L21d dI I L dt RI dt I.(4.18b)Izraz na levoj strani jednaine (4.18b) jednak je dQ A d * gde je *A d rad koje izvre strane izvora elektromotorne sile zavreme dt, dok je dQ energija koja se u obliku toplote izrai iz sistema za vreme dt. Ova razlika jednaka je porastu magnetne energije dWm strujnog kola, jednaina (4.3.), tako da na osnovu (4.18b) dobijamo:2mI L21dW. (4.19)4.3. GUSTINA ENERGIJE MAGNETNOG POLJAVideli smodastrujnakonturaindukovanosti Lnestacionarnestruje( ) t I I ima magnetnu energiju2mI L21W, jednaina (4.17). Pri analizi energijskog bilansa u ovakvom sistemu ve je bilo napomenuto da se ova energija moe interpretirati kao energija magnetnog polja koja je sa gustinom m rasporeena u celom prostoru.Opti postupak pomou koga dolazimo do gustine energijemanalogan je odgovarajuem postupku u elektrostatici. Polazimo od izraza:2mI L21W(4.20a)koji je na osnovu definicione formule za koeficijent samoindukcije L,jednaina (2.1): I Lm s , , svodi na:s , m mI21W .(4.20b)U okviru magnetostatike videli smo da se sopstveni magnetni flukss , mmoe izraziti u obliku cirkulacije vektorskog potencijala A. Kako u elektrodinamici definicija vektorskog potencijala A ostaje ista kao u magnetostatici ( A rot B ), i izraz zas , m ostaje isti: Cmd A s ,, (4.21)gde je Ckontura posmatranog kvazilinijskog provodnika. Zamenomjednaine (4.21) u jednainu (4.20b) nalazimo: Cmd I A21W . (4.22)U najoptijem sluaju zapreminskog strujnog provodnika imamodV d I j , tako da za energiju Wm dobijamo: VmdV A21W j , (4.23a)22gdejeVzapreminastrujnogprovodnika, ajgustinastrujeunjemu. Kljunomestopri prelaskusa energije provodnika na energiju polja, predstavlja injenica da se poslednji integral moe proiriti na zapreminu V celog (beskonanog) prostora. Naime, izvan strujnog provodnika imamo 0 j. Dakle: Vu mdV A21W j .(4.23b)Pri pisanju poslednje formule uzeli smo u obzir da se u sluaju nestacionarnog magnetnog polja ( ) t B, obaveznopojavljujeinestacionarnoelektrinopolje () t Ekojedaje doprinos gustini struje, tako da u izrazu (4.23b) figurie ukupna gustina struje uj.Sledei korakutransformaciji izraza(4.23b)jeeliminacijavektoraujnaosnovu jednaine:u 0B rot j . (4.24)Poslednjujednainusmopreuzeli iz magnetostatike; samoje umestojstavljenouj. Detaljnije razmatranje jednaine(4.24)biedatousledeoj glavi ukojoj serazmatraju jednaine elektromagnetnog polja. Uvrstivi jednainu (4.24) ujednainu (4.23b) nalazimo:V 0mdV B rot A21W . (4.25)Koristei optu relaciju:( ) B rot A A rot B B A div (4.26)kao i vezuA rot B , dobijamo:( ) V 0 V20mdV B A div21dV B21W . (4.27)Drugi lanuizrazu(4.27) se naosnovuGaus-Ostrogradskijeve teoreme transformie u povrinski integral po povriniS koja ograniava ceo prostorV:( ) ( ) 0 S d B A dV B A divS V . (4.28)Naime, ukoliko je strujni sistem lokalizovan u konanom delu prostora, pri r imamo B~2r 1, A~r 1, S~2r, tako da je integral (4.28) jednak nuli. Dakle:V20mdV B21W. (4.29)Izraz (4.29) ukazuje na to da je energija Wmrasporeena u celom prostoruVsa gustinom:20mB21 (4.30a)pri emu je: Vm mdV W.(4.30b)Izrazi (4.29) i (4.30a,b) imaju opti karakter i vae za proizvoljni strujni sistem u vakuumu (lokalizovan ukonanomdeluprostora), pri emujeBjaina magnetnogpolja ovog sistema. Utomsmislu, jednaina(4.29) moedaseiskoristi zanalaenjeenergijepolja sistema od dva strujna provodnika. Iskoristivi opti princip superpozicije polja, imamo:2 1B B B + , (4.31)tako da je magnetna energija sistema (to jest odgovarajueg polja):23( )+V22 10mdV B B21W , (4.32a)odakle sledi: ++V2 10 V220 V210mdV B B1dV B21dV B21W .(4.32b)Dakle ukupna energija Wm jednaka je:12 m 2 m 1 m mW W W W + + , (4.33a)gde su Wm1 i Wm2 energije pojedinih provodnika dok je Wm12 energija njihove interakcije:V2 1012 mdV B B1W .(4.33b)PrimerNaimomagnetnuenergijusolenoidazakoji pretpostavljamodajegustomotani dugaak. Za jainu polja u ovakvom solenoidu imamoI n B0 gde je n broj navojaka po jediniciduine, a I struja kroz navojke. Unutar solenoida,energija polja je rasporeena sa gustinom m, tako da je:V I n21dV B21W2 20V20m , (4.34)gde je Vzapremina solenoida. Izraz za gustinu energijemmoe se izraziti preko koeficijenta samoindukcije V n L20 , jednaina (2.5). Imamo:2mI L21W, (4.35)to jest, dobili smo ve poznat izraz za magnetnu energiju usamljenog strujnog provodnika, jednaina (4.17). Sva dosadanja razmatranja energijskih aspekata nestacionarnog magnetnog polja odnosila su se na strujne sisteme u vakuumu. Ova razmatranja se relativno lako prenose i na sisteme uslabimmagneticima. Naime, udijamagneticima i paramagneticima zagustinu energije magnetnog polja dobija se izraz:H B21B212m (4.36)gdejesaHoznaenajainamagnetneindukcije(vektor koji seuvodi analognokaou magnetostatici).Problem nastaje kada se razmatra energijski bilans u prisustvu feromagnetika. Naime, u tom sluaju vie ne vai formula (4.3), to jest:m mW d dW dQ A d~* .(4.37)Naime, sadamW d dQ A d~*+ nije jednakopriratajuenergije magnetnogpolja. Deo energije se nepovratno gubi u procesu namagnetisavanja feromagnetika.U feromagnetiku zapremine V, za vreme dt imamo:V Q d V dB H dWm~ , (4.38)gde jeQ d~gubitak energije pri namagnetisavanju feromagnetika za vreme dt. Pri jednom histerezisnom ciklusu, ukupan gubitak energije jednak je: dB H Q~. (4.39)24Veliina Q~ naziva se zagrevanje po histerezisu. Brojna vrednost ove veliine poklapa se sa povrinomhisterezisnepetlje, aposvomfizikomsmislupredstavljaprirataj unutranje energije jedinice zapremine feromagnetika pri jednom histerezisnom ciklusu. Ova unutranja energija ide na zagrevanje feromagnetika.5. OSCILATORNA KOLA KVAZI-STACIONARNIH STRUJA5.1. OPTA JEDNAINA RLC-KOLADo sada smo razmatrali kvazistacionarne struje kroz zatvorene strujne provodnike koji su se karakterisali svojom otpornou R i koeficijentom samoindukcije L. U ovom odeljku emo proiriti nae razmatranje na najoptiji sluaj takozvanih otvorenih elektrinih kola. To su, na primer, kola u kojima postoji kondenzator. Ovakva kola se pored parametara R i L karakteriu i svojom kapacitivnou i nazivaju se RLC-kola.Promenljiva struja kroz RLC-kola predstavlja izvor elektromagnetnog polja. Energija Wemovogpolja predstavlja zbir elektrine energije Wei magnetne energije Wm. Usled uzajamne transformacije ovih energija, pod izvesnim uslovima, sve veliine u kolu kao to su naelektrisanja na kondenzatoru, struja u kolu i tako dalje, osciluju sa vremenom. Zato se ova kola zovu jo ioscilatorna kola. Ukoliko u kolu ne deluje strana elektromotorna sila, zbog otpornosti kola ove oscilacije supriguene. Meutim, ukolikoukoludeluje periodina elektromotorna sila, u kolu se uspostavljaju trajne elektrine oscilacije.S obzirom da je RLC-kolo otvoreno elektrino kolo, Omov zakon za ovakvo kolo gubi smisao ak i pod uslovima kvazistacionarnosti struje. Naime, zbog elektromagnetne indukcije elektrino polje u provodniku nije potencijalno, to jest pojam potencijala gubi smisao.DabinalioptujednainuRLC-kolapoimoodenergijskogbilansaukolu, slika 1(a).Slika 1.U posmatranom kolu javlja se struja ( ) t I I . Oznaimo sa( ) t q1 i( ) t q2 naelektrisanja na oblogama kondenzatora u trenutku t (2 1q q ), i orijentiimo struju kao na slici 1(a). Pri ovoj orijentaciji imamo:25( )dtdqdtdqt I2 1 . (5.1)Elektromagnetna energija u sistemu jednaka je zbiru elektrine i magnetne energije:m e emW W W + . (5.2)Magnetna energija sistema data je jednainom (4.17):2mI L21W, (5.3a)dokse, poduslovimakvazistacionarnosti, energijaWesvodi naenergijukondenzatora(ili polja u kondenzatoru) dobijenu u elektrostatici:21 eqC 21W. (5.3b)Zamenom (5.3a) i (5.3b) u (5.2) nalazimo:212emqC 21I L21W + . (5.4)Energijski bilans u posmatranom RLC-kolu je sada dat sa, vidi sliku 1 (b),emdW dQ A d *(5.5)gde je dt I A d *rad stranih sila generatora, dok jedt I R dQ2 osloboena toplota (za vreme dt), dok je dWemprirataj elektromagnetne energije sistema (polja). Pri pisanju jednaine (5.1) pretpostavili smo da je kolo nedeformabilno ( 0 W dm~,const L, const R, const C). Zamenom jednaine (5.4) u jednainu (5.5) nalazimo:1 12dq qC1dI I L dt I R dt I + . (5.6a)Kako je dt I dq1 , to se deljenjem jednaine (5.6a) sa Idt dobija:CqdtdIL I R1 , (5.6b)odnosno: + dtdILCqI R1.(5.7)Dobijena jednaina predstavlja optu jednainu RLC-kola.Formalno, ona ima oblik Omovog zakona:12 2 1I R + , (5.8)gde je ukupna elektromotoma sila + s 12pri emu je dt dI Ls elektromotorna silasamoinudukcije, dokjezarazlikupotencijalauzetoC q1 2 1 (tojeformalno napon na kondenzatoru Uc). Drugim reima,RLC-kolo se moe opisati Omovim zakonom (5.8) pod uslovomda se2 1 uzima du puta koji u celini lei izmeu obloga kondenzatora.Ekvivalentna ema RLC-kola prikazana je na slici 1(c) u kojoj su parametri R, L i C prikazani odgovarajuim simbolima, a takoe i strana elektromotorna sila ( ) t .5.2. SLOBODNE OSCILACIJE U KOLU BEZ OTPORNOSTI26Nalaenje zavisnosti struje od vremena u oscilatornimRLC-kolima zapoinjemo razmatranjemkola u kojima ne deluje strana elektromotorna sila (0 ). Prvo emo razmotriti sluaj kada se otpornost provodnika moe zanemariti (0 R).Jednainu kola nalazimo iz izraza (5.7) u kome je 0 i 0 R:dtdILCq01 . (5.9)S obzirorn na (5.1) imamo:212dtq ddtdI . (5.10)Zamenom (5.10) u (5.9) i deljenjem dobijenog izraza sa L dobijamo diferencijalnu jednainu:0 qdtq d120212 +(5.11a)gde smo uveli oznaku:LC10 .(5.11b)Jednaina(5.11a) predstavljalinearnuhomogenudiferencijalnujednainudrugogredasa konstantnim koeficijentima u kojoj je nepoznata funkcija( ) t q q1 1 . Reenje ove jednaine je:( )2 0 1 1K t K q + cos(5.12a)gde su K1i K2dve integracione konstante. Pretpostavimo da je u trenutku0 t naelektrisanjena kondenzatorumaksimalno(m 1q q ).Tada imamodaje( ) 0 0 I . Pod ovim uslovima za integracione konstante nalazimo:m 1q K, 0 K2 ,(5.12b)tako da je:( ) t q q0 m 1 cos. (5.12c)lz poslednje jednaine vidimo da se naelektrisanje na kondenzatoru menja po harmonijskom zakonusakrunomuestanou0(slika2(a)). Veliina0sezatonazivasopstvena uestanost kola.Slika 2.27Ostale funkcije kola, kao to su struja I i napon na kondenzatoru Uc, slede direktno iz jednaine (5.12c). Za jainu struje dt dq I1 nalazimo:

,_

2t I I0 mcos(5.13a)gde je maksirnalna vrednost struje:LCqq Imm 0 m ,(5.13b)dok je napon C q U1 c dat sa:( ) t U U0 m c cos(5.14a)gde je maksimalna vrednost naponaCqUmm .(5.14b)Promene struje I i napona Uc sa vremenom prikazane su na slikama 2(b) i 2(c), respektivno. Primetimo da izmeu Um, Im i qm postoji veza:CLUm m mqC1I (5.15)Struja() t I, slika 2(b); koja po svojoj definiciji predstavlja struju pranjenja kondenzatora, i napon na kondenzatoru ( ) t Uc, slika 2(c), razlikuju se po fazi za 2 . Sa slike 2. vidimo da kad 1q postaje jednako nuli (kada je i napon Uc jednak nuli), struja ima svoje ekstremne vrednosti (take na graficima slike 2.).Slika 3.Oscilatorni proces u posmatranom kolu lako je razumeti na osnovu energijske analize procesa. Upoetnorntrenutku0 t (m 1q q ,0 I ) prikazanomnaslici 3(a), sva energija Wem elektromagnetnog polja je skoncentrisana u kondenzatoru:2m c emqC 21W W , 0 t (5.16a)posle toga, kondenzator poinje da se prazni: 1q opada, a struja I raste. Pritom, energija Wc opada, a energija magnetnog polja raste.Kako je u razmatranom sluaju otpornost kola0 R, ukupna energija Wemostaje konstantna. Zbog toga, u trenutku 1t kada naelektrisanje na kondenzatoru padne na nulu (pa prema tome i energija elektrinog polja), struja I, odnosno energija magnetnog polja, dostiu svoje maksimalne vrednosti, slika 3(b). Tada je:2m L emI L21W W , 1t t .(5.16b)Ova energija mora biti jednaka Wc. Zaista, na osnovu jednaine (5.15) imamo:28c2m LW qLC1L21W . (5.16c)Usledeojetapi procesa,za vreme2 1t t t < + ~cos.(5.28b)Zamenom (5.28a,b) u jednainu (5.27b) nalazimo:( ) ( ) [ ] + + + t t e q It0 0 m~cos cos~sin sin,to jest:( ) + t e I It0 m~cos, (5.29a)gde je:0 0 m 0 mq I .(5.29b)Sobziromdaveliinafiguriekaokonstantauargumentukosinusnefunkcije,se naziva fazom struje.Dakle, u RLC-kolu (bez izvora strane elektromotorne sile), napon na kondenzatoru Uc i struja I prigueno osciluju sa vremenom. Na osnovu jednaina (5.20) i (5.29a) vidimo da je fazna razhka izmeu struje I i napona Uc jednaka .Energijski bilans u RLC-kolu bez izvora strane elektromotorne sile u uslovima priguenog oscilovanja prikazan je na slici 6. Na osnovu opte jednaine (4.3), sada imamo:emdW dQ ,(5.30)to znai da je pri 0 dQ>, 0 dWem , tojest za C 1 L > , a prednjai po fazi (0 < ) kada je C 1 L < . Maksimalna vrednost struje m mq I , na osnovu jednaine (5.38a) iznosi:22mmC1L RUI

,_

+. (5.43c)Oscilatorno kolu u stacionarnorn reimu moe se okarakterisati i naponimaRU, LU i CU koji se definiu na sledei nain:I RR U(5.44a)dtdILL U(5.44b)CqC U. (5.44c)Preko uvedenih veliina, opta jednaina RLC-kola, jednaina (5.32) ima oblik: + +C L RU U U. (5.45)U stacionarnom reimu, za uvedene napone dobijamo sledee izraze:( ) t URm Rcos U , (5.46a)

,_

2t UCm Ccos U,(5.46b)34

,_

+ 2t ULm Lcos U, (5.46c)gde su:m RmI R U , CIUmCm , m LmI L U ,(5.46d)pri emu je Im dato jednainom (5.43).Maksimalna vrednost struje, kao i maksimalne vrednosti svih napona u RLC-kolu zavise od uestanostiizvora elektromotorne sile.Na osnovu jednaine (5.43c) nalazimo da Imima maksimum za 0 C 1 L , to jest pri 0LC 1 , vidi sliku 8(a).Slika 8.Zbog toga se uestanost0naziva rezonantna uestanost. Slinu zavisnost od imaju i ostale funkcije kola. Na slici 8(b) je prikazana zavisnostCmU od . Vidimo da se rezonantna uestanost za napon na kondenzatoru takoe jednaka 0.Napomenimo, nakraju, dasestrujakojasemenjasavrernenompoharmonijskom zakonu (kosinusnom, na primer) naziva naizmenina struja. Termin ukazuje na injenicu da struja u pravilnim vremenskim razmacima menja smer (jaina struje menja znak).5.6. SLOENO RLC-KOLO (METOD KOMPLEKSNIH STRUJA)Ustacionarnomreimusve vremenske funkcije RLC-kola sukosinusnefunkcije vremena. PokazujesedajezanaLaenjestrujaurazgranatom(sloenom)RLC-koluvrlo pogodan metod kompleksnih struja.Poimo od nerazgranatog (prostog) RLC-kola, slika 9(a). U stacionarnom reimu ovo kolo se moe zameniti ekvivalentnim kolom sa konstantnom, ali kompleksnom jainom struje Iu kome deluje konstantna elektromotorna sila Um. pritorn se i elementi R, L i C moraju zameniti odgovarajuim kornpleksnim otpornostima, slika 9(b).Transformacja kola sa vremenski zavisnom strujom () t I i kolo sa kompleksnom, vremenski nezavisnom strujomI ostvaruje se vezom:( ) ( ) I e t It iRe , (5.48)gde je sa Re oznaen relani deo odgovarajue kompleksne veliine. Pritom se pretpostavlja da za kolo kornpleksne struje (sa kompleksnim parametrimaR, LR i CR vai Omov zakon:( )m C LU R R R I + + . (5.49)35Mogunost transformacije kola u kompleksni domen dokazuje se reavanjem jednaine(5.49)i dokazomdasevraajemnavremenski zavisnustruju() t Idobijaba zakon (5.43a). Naime, na osnovu jednaine (5.49) imamo:C i1L i RUR R RUImC Lm+ ++ + (5.50)Slika 9.Dobijena kompleksna struja se moe napisati u obliku:RC1Li22meC1L RUI

,_

+arctg . (5.51a)Vidirno da je moduo kompleksne strujeIba jednak maksimalnoj vrednosti jaine struje, jednaina(5.43c),doksefazakompleksnestrujepoklapasa pri cemujedato jednainom (5.43b). Dakle, ime I I.(5.51b)Trenutna vrednost struje je na osnovu jednaine (5.48) jednaka:( ) ( ) imt ie I e t I Re (5.52a)to jest:( ) ( ) t I t Imcos .(5.52b)Dakle, metod kompleksnih struja daje pravilno reenje pri tretmanu nerazgranatog RLC-kola u stacionarnom reimu.KornpleksnaotpornostLRsenajeeizraavaprekoveliineL XL kojasenaziva reaktivna induktivna otpornost i ima dimenziju( ) LX . Analogno, kompleksna otpornost CRse izraava preko veliinaC 1 XC koja se naziva reaktivna otpornost kondenzatora, ili kree kapacitivna otpornost; i ova veliina ima dimenzije otpornosti: ( ) CX. Razlika C LX X se naziva reduktivna otpornost kola, ili reaktansa:C1L X X XC L (5.53a)Ukupna kompleksna otpornost nerazgranatog RLC-kola je:( ) iX R X X i R R R R ZC L C L+ + + + (5.53b)Kompleksna struja u kolu je preko jednaine (5.50) jednaka:36ZUiX RUIm m+ , (5.53c)pri emu je: ie Z Z(5.54a)gde je:2 2Y X Z + , RXarctg (5.54b)U teoriji koloZ se naziva impedansa kola. Zamenorn (5.54a) u (5.53c) dobijamo imi me I eZUI(5.55)to je ponovo jednaina (5.51b).Metodkompleksnihstrujapostajenaroitoefikasanuprimeni narazgranataRLC-kola. Utomsluajunakompleksnestrujepojedinihgranatrebaprimeniti prvoi drugo Kirhofovo pravilo. Kao posledica ovih pravila dolazi se do odgovarajuih algebarskih jednaina za struje, ijim se reavanjem dobijaju sve struje u kolu u kompleksnom obliku.Transformacija u realan domen data je jednainom (5.48).PrimerPosmatrajmo razgranato RLC-kolo prikazno na slici 10(a).Slika 10.Transformacijomkolaukompleksandomendolazimodoemeprikazanenaslici 10(b). Ovo kolo se dalje pojednostavljuje uvoenjem kompleksnih otpornosti:+ + 11 1 1iC1iL R Z(5.56a)+ + 22 2 2iC1iL R Z(5.56b)Ovedvekompleksneotpornosti suvezaneparalelno, i mogusezameniti ekvivalentnom kompleksnom otpornou eZ:2 1 eZ1Z1Z1 + . (5.56c)Ovim se razgranato kolo svodi na prosto kolo. Primenom Omovog zakona dobijamo:ZUIm . (5.57a)Odgovarajua trenutna vrednost struje jednaka je:37( ) ,_

ZUe t Im t i Re(5.57b)Konkretan oblik za () t I se dalje nalazi algebarskim metodama.5.7. SNAGA U KOLU NAIZMENINE STRUJEU RLC-kolu u slacionarnom reimu jaina struje je vremenski zavisna: ( ) ( ) t I t Imcos . Zbog toga i snaga ove struje zavisi od vremena, tako da se u ovom koludefinie takozvana trenutna snaga( ) t P. Poredove veliine kolose karakterie i srednjom snagom P.Trenutnavrednost snagejednaka je (poduslovimakvazistacionarnosti) proizvodu trenutne vrednosti struje i elektromotorne sile:( ) ( ) ( ) t I t t P , (5.58a)to jest:( ) ( ) t I t U t Pm mcos cos .(5.58b)Izraz (5.58b) za snagu moe dalje da se transformie uz pomo relacije:( ) ( ) + + cos cos cos cos2121, (5.59)tako da nalazimo:( ) ( ) + t 2 I U21I U21t Pm m m mcos cos. (5.60)Srednja snaga P predstavlja srednju vrednost po vremenu funkcije ( ) t P; pri emu se ovo usrednjavanje svodi na usrednjavanje po periodu T:( )T0dt t PT1P. (5.61)Prvi lan u izrazu (5.60)ne zavisi od vremena, tako da je njegova srednja vrednost upravo sam taj mlan. Drugi mlan u izrazu za ( ) t P je periodina funkcija vremena, srednja vrednost (po jednom periodu T) ove funkcije jednaka je nuli. Dakle, za srednju snagu irnamo: cosm mI U21P,(5.62)gde je R X tg, vidi jednainu (5.54b). Dakle,ZRX RR112 2 2+ + tgcos. (5.63)Uvrstivi poslednji izraz u (5.62) i iskoristivi vezu m mI Z U , nalazimo:2mI R21P.(5.64)Primetimo da se srednja snaga P moe nai i direktno, preko kompleksne snage:I U P (5.65a)kao:P21PRe .(5.65b)38Snaga jednaka 2mI R21 ostvaruje stacionarna struja jaine:2IImef . (5.66a)Zbogtoga seveliinaefInaziva efektivna (aktivna) jaina struje. Analogno, moe se definisati i efektivna vrednost napona efU relacijom:2UUmef .(5.66b)Srednja vrednost snage P izraena preko efU i efI ima oblik: cosef efI U P(5.67)Vidimo da srednja snaga P pored veliina efU i efI zavisi i od cos. Ovaj faktor se naziva faktor snage. Kolo je utoliko efikasnije ukoliko mu je faktor snage vei. Pri veem cosistasnagaseostvarujesamanjomjainomefI, asamimtimsumanji i gubici energije u obliku toplote.II NESTACIONARNO ELEKTROMAGNETNO POLJE6. NESTACIONARNO ELEKTRINO POLJE6.1. UOPTENI ZAKON ELEKTROMAGNETNE INDUKCIJERazmotrimo sada opti sluaj nestacionarnog elektromagnetnog polja.U prethodnoj glavivesmozapoeli razmatranjebitnihkarakteristikaovakvihpoljakojasebazirajuna efektu elektromagnetne indukcije.Naime, u toku vremena mogua je transformacija elektrine u magnetnu energiju i obrnuto.Elektromagnetno polje se opisuje jainom elektrinog polja () t Ei jainom magnetnogpolja ( ) t B. Obeovefunkcijepoljasuzavisneodvremena, ameusobnosu povezane takozvanimMaksvelovim jednainamakoje predstavljaju opte jednaine elektromagnetnog polja. Konstrukciju ovih jednaina zapoinjemo analizom nestacionarnog elektrinog polja.Elektrina komponenta elektromagnetnogpolja sebitnorazlikuje odstacionarnog elektrinog polja. Stacionarno eklektrino polje, na primer elektrostatino ili elektrino polje stacionarnih struja, uvek je bezvrtlono. Ako jainu ovog polja oznaimo sa qE, gde indeks q oznaava da su izvori ovakvih polja naelektrisanja, imamo:0 E rotq .(6.1)Bezvrtlonost ovog polja je povezana sa njegovom potencijalnou, to jest0 d ECq . U optem sluaju, u okviru elektrodinamike, elektrino polje E je vrtlono; ovakvo polje pored komponenteqEiji su izvor naelektrisanja ima i komponentuBEkoja potie od promenljivog magnetnogpolja:39B qE E E + .(6.2)Polje BE je vrtlono, to jest:0 E rotB .(6.3)Slika 1.Mogunost da nestacionarno magnetno polje izaziva vrtlono elektrino polje ve smo sreli pri razmatranju efekta elektromagnetne indukcije. Videli smo da kad god postoji promenljivi magnetni fluksmkroz povrinu S naleglu na strujnu konturu (slika 1(a)), u konturi se indukuje elektromotorna sila dt dm i , jednaina (1.25). Elektromotorna sila se pojavljuje kao rezultat delovanja stranih sila na naelektrisanje u provodniku. Ove sila nisu ni hemijske ni toplotne, a ni magnetostatike. Indukovanje elektromotorne sile u ovom sluaju je u vezi sa pojavom elektrinog polja BE u provodniku, slika 1(a), pri emu je: CB id E . (6.4)Zamenom ovog izraza u opti oblik zakona elektromagnetne indukcije nalazimo: S CBS d Bdtdd E .(6.5)U sluaju da do indukcije dolazi zbog nestacionarnosti magnetnog polja pri nepokretnoj (i nedeformabilnoj) konturi, poslednju jednainu moemo napisati u obliku: S CBS dtBd E .(6.6)(parcijalni izvod u jednaini (6.6) je stavljen zato to u optem sluaju B moe da zavisi i od koordinata).Bitna pretpostavka pri konstruisanju Maksvelovih jednaina je da jednaina (6.6) ima opti karakter. Naime, poljeBEsenejavljasarnouprovodnikunegoiusvimtakama nestacionarnog magnetnog polja, slika 1(b).6.2. VRTLONO ELEKTRINO POLJE40Ukoliko se zakon (6.6) generalie na proizvoljnu (zamiljenu) konturu C u prostoru, onda se primenom Stoksove teoreme dobija: S SBS dtBS d E rot .(6.7)Poslednja jednaina mora da vai za svaku povrinu S, odakle sledi jednakost podintegralnih funkcija:tBE rotB .(6.8)Dakle, rotor vektora BE u proizvoljnoj taki polja jednak jet B .Pretpostavka uinjena pri izvoenju jednaine (6.8) potie od Maksvela. On je pretpostavio da promenljivo magnetno polje izaziva pojavu BEnezavisna od toga da li je prisutna provodna kontura.Slika 2.PoljeBEjeposvojoj prirodi razliitoodpoljaqE. DoklinijepoljaqEuvek poinjuupozitivnimnaelektrisanjima i zavravajusenanegativnimnaelektrisanjima ili odlaze u beskonanost, slika 2(a). tako da je 0 E rotq , polje BE je vrtlono, slika 2(b), to jest0 E rotB .Uproizvoljnojtakiprostora,ukupnoelektrino poljeEpredstavlja superpoziciju (6.2). Uzimajui u obzir da je 0 E rotq , za ukupno polje E vai:tBE rot .(6.9)Jednaina (6.9) je jedna od osnovnih jednaina u Maksvelovoj teoriji elektromagnetizma.Postojanje uzajamne veze izmeu elektrinog i magnetnog polja ukazuje da razdvajanje na elektrino i magnetno polje ima uslovni karakter. Tako, na primer, moemo rei da je sistem nepokretnih naelektrisanja izvor elektrinog polja. Meutim, naelektrisanja nepokretna u jednom koordinatnom sistemu postaju pokretna u odnosu na drugi (inercijalni) sistem, pa predstavljaju izvor i elektrinog i magnetnog polja. Isto tako, nepokretni provodnik stacionarne struje izvor je magnetnog polja, dok u odnosu na pokretni koordinatni sistem on postaje izvor nestacionarnogelektromagnetnogpolja. Dakle, elektrinoi magnetnopolje predstavljaju jedinstveno, elektromagnetno polje.417. NESTACIONARNO MAGNETNO POLJE 7.1. STRUJA POMERANJAUzajamna veza izmeuEiBdata jednainom(6.9) nije jedina osobenost nestacionarnog elektromagnetnog polja. I jednaina za rotor vektora H trpi promenu.Naime, u proizvoljnoj taki magnetostatikog polja rotor vektora H jednak je gustini struje j u istoj taki. Ova jednakost je naruena u nestacionarnom elektromagnetnom polju, to jest:j H rot .(7.1)Videemo da se u sluaju nestacionarnog polja na desnoj strani jednaine (7.1) pojavljuje jo i takozvana gustina struje pomeranja.Potreba za modifikacijomjednaina j H rot javlja se u sluajevima polja nestacionarnih struja. Podsetimo se da je na osnovu jednaine kontinuiteta:tdiv j,(7.2)uslov stacionarnosti bio izraen relacijom0 t div j, tako dasu linije vektora j stacionarne struje uvek zatvorene linije. Tipian primer kada ovaj uslov nijezadovoljenjesluaj otvorenihstrujnihkola(tojest kolakojasadrekondenzatore). Pokaimo , na primeru punjenja kondenzatora, da jej H rot .Slika 1.Neka je kondenzator vezan za izvor konstantne elektromotorne sile U . Sve dok senaponnakondenzatoruCUneizjednai sa U ukolupostoji promenljivastruja ( ) dt dq t I , gde je sa ( ) t q oznaeno naelektrisanje na oblozi kondenzatora u koji uvire struja I, vidi sliku 1(a). Strujna linija (linije vektora j) prikazane isprekidanim linijama na slici 1(a), imaju prekid u prostoru izmeu kondenzatorskih obloga.Lako je videti da je u posmatranom sluaju zadovoljena nejednakost (7.1). Da bi to pokazali zamislimo konturu C koja obuhvata provodnik kroz koji se napaja kondenzator, slika 1(a), i uoimo dve povrine 1S i 2S nalegle na ovu konturu. Neka 1S see provodnik, a 2S ne. Ako jednainaj H rotvai, onda bi vaile i jednaine: 1 1S SS d S d H rot j(7.3a) 2 2S SS d S d H rot j(7.3b)Na osnovu Stoksove teoreme leve strane ovih jednaina transformiu se u isti linijski integral:42 C S Sd H S d H rot S d H rot2 1 (7.4)Meutim, desnestranenisumeusobnojednake. Dokje 1SS d j jednakojaini struje napajanja () t I, dotle je 0 S d j2S . To znai da su jednaine (7.3a) i (7.3b) meusobno kontradiktorne, tako da ni polazna jednainaj H rotne moe da vai.Razreenje ove protivrenosti takoe potie od Maksvela. On je gustinu struje provodnosti j dodao novu veliinupomj, tako da bude zadovoljena jednaina:pomH rot j j + (7.5)Vektorpomj oigiedno ima dimenzije gustine struje i naziva se gustina struje pomeranja.Ukupna gustina struje uj, koja se sada pripisuje proizvoljnoj taki polja jednaka je:pom uj j j + (7.6)Izmeu gustine struje j i novouvedene veliine postoji veza koja se nalazi na osnovu jednaine (7.5 ). Naime, ako uzmemo divergenciju leve i desne strane ove jednaine, i uoimo da je:( ) ( ) 0 H H rot div , (7.7)imamo:j j div divpom . (7.8a)Kako je, na osnovu jednaine kontinuiteta (7.2) t div j, jednainu (7.8a) moemo da napiemo u obilku:tdiv pomj. (7.8b)Jednaina (7.8b) izraava lokalnu vezu izmeu pomji gustine naelektrisanjau proizvoljnoj taki prostora. Primetimo da je na osnovu jednaine (7.8a):0 divu j, (7.9)to znai da su linije vektora uj zatvorene linije, slika 1(b).Gustinastrujepomeranjamoedasepoveesaelektrinomindukcijom D, koja predstavlja elektrinukomponentuelektromagnetnogpolja udielektriku. Naime, izmeu gustine naelektrisanja i vektora D postoji ista veza kao i u elektrostatici: D div .(7.10)Jedina razlika u odnosu na elektrostatiku je u tome to su i D i sada funkcije vremena t. Akojednainu(7.10)diferenciramopovremenu, i promenimoredosleddiferenciranjapo vremenu i koordinatama (div), nalazimo:t tDdiv

,_

. (7.11a)Kako jepomdiv t j , jednaina (7.8b), jednaina (7.11a) postaje:

,_

tDdiv divpomj.(7.11b)Na osnovu poslednje relacije dobijamo:tDpomj(7.12)43.U sluaju kondenzatora struja pomeranja se javlja izmeu obloga, slika 1(c).7.2. JEDNAINA ZAH rot Jednainom (7.12) gustina struje pomeranja povezana je sa promenom vektora D sa vremenom. S druge stranepomj predstavlja jednu od komponenti ukupne struje uj koja je, na osnovu jednaine (7.5) jednaka rotoru vektora H.Zamenomedn. (7.12) u jednainu (7.5) dobijamo:tDH rot+ j.(7.13)Jednaina (7.13) predstavlja jednu od osnovnih jednaina elektromagnetnog polja. U njoj, kao i u jednaini (6.9), dolazi do povezivanja elektrinog i magnetnog poija. Analizom jednaine (7.13) vidimo da je termin gustina struje pomeranja uslovan. Po svojoj sutini, to je drugi lan na desnoj strani jednaine (7.13) i karakterie brzinu promene elektrine indukcije. lan t D se naziva gustina struje pomeranja samo zbog svoje dimenzije. Od fizikih osobina struje ima jo i osobinu da stvara magnetno polje.Dakle, promenljivo elektrino polje u proizvoljnoj taki polja, izaziva vrtlono magnetno polje, takoe je zadovoljava jednaina (7.13).PrimerRazmotrimo sada detaljnije sluaj punjenja kondenzacije sa stanovita ukupne gustine struje pom uj j j + .Posmatrajmoploastkondenzator, slika2, ioznaimosaSpovrinu jedne odploa, a sa qpovrinskugustinunaelektrisanja na njoj. Jaina struje punjenja dt dq I je tada jednaka dt d S I . Ova struja je ravnomerno, sa gustinom S I j rasporeena po ploi kondenzatora. Dakle, za gustinu struje provodnosti imamo:dtd j. (7.14a)Primetimo da je u ploama0 t D , tako da je 0pom j, pa je dt du j j.Slika 2.U prostoru izmeu ploa gustina struje provodnosti je 0 j. Meutim u ovom delu prostorapostoji promenljvoelektrinopolje ( ) t D. Naosnovujednaine(7.10), odnosno 44odgovarajueintegralneforme(Gausovateoremazadilektrik)imamodaje D. Ovo polje izaziva struju pomeranja t Dpom j:tpom j(7.14b)Ukupna gustina struje u rpostoru izmeu ploa je: dt dpom u j j.Jednakost ukupne gustine struje u dovodima (dt du j j) i u prostoru izmeu ploa (dt dpom u j j) pokazuje da strujne linije (j) neprekidno prelaze u linije struje pomeranja ( pomj). Usled toga su linije ukupne struje (uj) zatvorene kao to tvrdi jednaina (7.9), isprekidane linije na slici 2. 8. MAKSVELOVE JEDNAINE8.1. DIFERENCIJALNI OBLIK MAKSVELOVIH JEDNAINAUoptavanjemdosadanjihrazmatranja onestacionarnomelektromagnetnompolju moe daseformira kompletanskupjednaina nakojima poiva (Maksvelova) klasina elektrodinamika. Ova teorija objanjava ogroman broj makroskopskih pojava. U vreme kada je nastala ak je i predvidela neke nove pojave. Tako, na primer, elektromagnetni talasi su se prvo pojavili kao reenja formiranih jednaina, a tek potom su otkriveni eksperimentalno. Ove jednaine se nazivajuMaksvelove jednaine, i one za elektromagnetizamimaju ulogu analognu Njutnovoj jednaini u mehanici ili termodinamikim zakonima u termodinamici.Prvi par Maksvelovih jednainau diferencijalnom obliku obrazuju jednaina (6.9.) i jednaina0 B div preuzeta iz magnetostatike:tBE rot (8.1a)0 B div (8.1b)Jednaina(8.1a) povezujejainuelektrinogpoljaEsavremenskompromenomjaine magnetnogpoljaBi predstavljauoptenjezakonaelektromagnetneindukcije. Jednaina (8.1b) ukazujenaodsustvomagnetnihmonopolakoji bi, poput naelektrisanja, bili izvori bezvrtlonogmagnetnogpolja. UoimodauprvornparuMaksvelovihjedinainafiguriu samo osnovne veliine( ) t r E, i( ) t r B,: jaina elektrinog polja i jaina magnetnog polja.Drugi par Maksvelovih jednainaine jednaina (7.13) i jednaina (7.10) preuzeta iz elektrostatike:tDH rot+ j(8.2a) D div (8.2b)Jednaina (8.2a) daje vezu izmeu gustine struje provodnostiji gustine struje pomeranja t Dpom jodgovarajuimmagnetnimpoljem. Jednaina(8.2b)ukazujedasuizvori vektoraDstrana naelektrisanja. Udrugomparumaksvelovihjednaina figuriusamo pomone funkcije polja( ) t r D, i( ) t r H,: elektrina indukcija i magnetna indukcija.45Jednaine(8.1a,b) i (8.2a,b) sunapisaneuvektorskomobliku. Njimaodgovara8 skalarnih jednaina sa nepoznatim funkcijama Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz; Dx, Dy, Dzi Hx, Hy, Hz. Konkretno, iz jednaine (8.la) u Dekartovim koordinatama slede tri skalarne jednaine:tBzEyExyz (8.3a)tBxEzEyz x (8.3b)tByExEz xy . (8.3c)Jednaina (8.1b) predstavlja jednu sklarnu jednainu:0zByBxBzyx++. (8.4)Analogno,jednaina (8.2a) prelazi u tri skalarne jednaine:tDzHyHxxyz+ j(8.5a)tDxHzHyyz x+ j(8.5b)tDyHxHzzxy+ j. (8.5c)dok jednaina (8.2b) glasi: ++zDyDxDzyx. (8.6)Vidimo da se dobija sistem od 8 jednaina sa 12 nepoznatih funkcija polja. preostale etiri jednainesledeizodgovarajuihvezaizmeuEiDkaoiBiH. Zalinearnei izotropne sredine, imamo:E Dr 0 (8.7a)H Br 0 .(8.7b)Gornjimjednainama pridruuje se i vezajiEkoja ima oblik Omovogzakona u diferencijalnom obliku:ER j . (8.8)Dobijen sistemsklarnih jednaina (8.3a,b,c), (8.4), (8.5a,b,c) i (8.6) upotpunjen sistemom veza, jednaina (8.7a,b) i (8.8), predstavlja osnovni sistem jednaina elektrodinamike nepokretnih sredina.8.2. INTEGRALNI OBLIK MAKSVELOVIH JEDNAINAVeza izmu integralnih i diferencijalnih oblika jednaina polja ostvaruje se primenom Gaus-Ostrogradskijeve i Stoksove teoreme (kao to je vie puta eksplicitno navoeno).Prvom paru Maksvelovih jednaina (8.1a,b) odgovaraju integralni oblici: S CS d Bdtdd E (8.9a)0 S d BS (8.9b)46Jednaina (8.9a) se dobija integracijom jednaine (8.1a) po proizvoljnoj povrini S pri emuse leva strana takodobijenogizvora transformie uz pomo Stoksove teoreme u krivolinijski integral pokonturi CnakojunaleepovrinaS. Jednaina(8.9b) sedobija integracijomjednaine(8.1b)poproizvoljnoj zapremini Vpri emuseutakodobijenom izvoru primenjuje Gaus-Ostrogradskijeva teorema radi transformacije zapreminskog integrala u povrinski integral po povrini S koja obuhvata ovu zapreminu.Drugi parMaksvelovih jednaina u integralnomobliku dobija se integracijom jednaina (8.2a,b). Tako je, postupkom analognim kao pri formulisanju prvog para, dolazi do sledeeg sistema jednaina: + S S CS d DdtdS d d H j(8.10a) V SdV S d D .(8.10b)Pokaimo na kraju jedno vano svojstvo elektromagnetnog polja. Naime, ako je ovo polje stacionarno, to jest ( ) t E E i () t B B , desna strana jednaine (8.9a) se anulira, a takoe i drugi lan na desnoj strani jednaine (8.10a). Zbog toga se Maksvelove jednaine raspreu, tojest dobijamodvasistemanezavisnihjednaina: jednaine(8.9a)i (8.10b)za elektrino polje i jednaine (8.10a) i (8.9b) za magnetno polje. Ovo svojstvo elektromagnetnog polja nam je upravo i omoguilo da elektrostatioko polje (I deo kursa) i magnetostatiko polje (II deo kursa) posmatrano odvojeno. Tek u sluaju nestacionarnin polja elektrino i magnetno polje se spreu u jedinstveno elektromagnetno polje (III deo kursa).Slika 1.Na slici 1. ematski su prikazate veze jaina elektrinog i magnetnog polja u nestacionarnom elektromagnetnom polju slika 1(a) i stacionarnom polju slika 1(b).-KRAJ-47