ELEKTROTEHNIKA 1ELEKTROTEHNIKA 1ELEKTROSTATIKA

ELEKTRIČNI KAPACITET I KONDENZATORI

1

ELEKTROSTATIKA

SADRŽAJElektrički kapacitet i kondenzatori

2

3

ELEKTRIČKI KAPACITET I KONDENZATORI

Uvodna razmatranja

Elektrostatika je dio nauke o elektricitetu koji govori o pojavama koje nastaju u prostoru u kojem električni naboji miruju.U poglavlju o naponu, struji i otporu opisani su naboji i sile koje djeluju u okolnom prostoru. Govori se o tijelima koji su suprotno nabijeni. Takva se dva tijela mogu dobiti tako da se na izvor istosmjernog konstantnog napona U priključe dvije, prethodno električki neutralne, metalne ploče, prema slici .

4

5

U metalnim pločama, s obzirom da se radi o vodičima, ima veliki broj slobodnih elektrona koji nisu međuatomskim silama vezani za svoje jezgre a mnoštvo je i valentnih elektrona na koje djeluju i najmanje privlačne sile.U neutralnom stanju dakle, obije ploče imaju isti broj slobodnih elektrona, kao što pokazuje slika 1a.Priključivanjem navedenih ploča na izvor napajanja napona U (VS), slika 1b, dolazi do putovanja elektrona sa lijeve ploče prema „+“ polu izvora, pa na toj ploči prevladava (zbog manjkaelektrona) pozitivan naboj, dok sa “ –„ pola izvora prema desnoj ploči teče upravo isti taj broj elektrona kako bi se uspostavila električna ravnoteža na obim pločama.

6

Dakle, bez obzira što je strujni krug otvoren u jednom kratkom trenutku strujnim krugom poteče struja. Uspostavljenom ravnotežom, jednak broj pozitivnog i negativnog naboja na pločama, slika 1c, prestaje teći struja a na pločama se uspostavi napon Uc , koji je po iznosu jednak naponu izvora a po smjeru suprotan. Ako se nakon toga odspoje te dvije metalne ploče između kojih je neko izolacijsko sredstvo (zrak, vakum ili neki drugi materijal) u idealnim uvjetima, nagomilani pozitivni i negativni naboji ostaju i dalje međusobno vezani, naboji su pohranjeni a između ploča vlada i dalje napon, slika 1d. Napunjene ploče mogu djelovati kao privremena baterija.

7

8

Jedinica kojom se mjeri kapacitet C slijedi iz jednadžbe (1):

Jedinica F naziva se farad a manje jedinice su microfarad (µF=10–6F),nanofarad (nF =10–9F) picofarad (pF=10–12F).

Kapacitet od jednog farada ima onaj kondenzator koji pri naponu od jednog volta primi na sebe električki naboj od jednog kulona (ampersekunda).

Q AsC FU V

9

S kapacitetom treba računati uvijek gdje su električni vodiči ili električki vodljivi dijelovi pod naponom odvojeni izolatorom. Međutim, u mnogim je uređajima često potreban neki točno određeni kapacitet pa se u tom slučaju ugrađuju posebni elementi koji se nazivaju kondenzatori.

Električni kondenzatori su u biti, sustav dviju vodljivih ploča (elektroda) odvojenih izolatorom. Omjer na kondenzatoru razdvojenog naboja Q i pri tom uspostavljenog napona U je karakteristika koja se naziva, kao što je prethodno već rečeno, električni kapacitet C. Simbol za kondenzator prikazan je na slici.

10

1. Karakteristične veličine i podjela kondenzatora

Karakteristične veličine kondenzatora su:•radni napon: vrijednost istosmjernog ili efektivna vrijednost izmjeničnog napona određene frekvencije kojim kondenzator smije biti opterećen u trajnom radu,•maksimalni napon: najveća vrijednost napona između obloga kondenzatora koju on podnosi bez oštećenja,•temperaturno područje rada: područje između najviše i najniže temperature okoline u kojemu kondenzator još radi zadovoljavajuće,•kut gubitaka: gubici u kondenzatoru izraženi kutem gubitaka (δ = 900 – φ ) pri kružnoj frekvenciji ω. Gubici su posljedica nesavršenosti dielektrika između obloga kondenzatora te gubici izolatora zbog njegove polarizacije.

11

Kondenzatori se dijele na stalne i promjenljive a karakteristično im je da se kapacitet (kapacitivnost) stalnog kondenzatora ne može mijenjati nakon što je proizveden dok se kapacitet promjenljivog kondenzatora može mijenjati tijekom rada u određenim granicama.Karakteristične veličine kondenzatora su površina ploča (S), razmak između ploča, debljina izolacije (d) i dielektrična konstanta izolacije (ε).

12

Površina ploča

Kapacitet kondenzatora je direktno proporcionalan površini ploča što znači da se povećanje kapaciteta može ostvariti povećanjem ploča dok se smanjenje kapaciteta kondenzatora postiže sa smanjenjem površine ploča.

13

Gornja granica površine ploča određena je, najčešće, veličinom uređaja u koji se kondenzator ugrađuje.

14

Razmak između pločaKapacitet kondenzatora obrnuto je proporcionalan s razmakom između ploča, odnosno debljinom izolacije,pri čemu je donja granica debljine izolacijskog sloja ograničena tehnološkim postupcima (slika).

15

Dielektrična konstanata.Kapacitet kondenzatora ovisi također o materijalu odnosno dielektriku između ploča. Ta se veličina naziva dielektrična konstanta i obilježava se sa ε. Kapacitet je direktno proporcionalan dielektričnoj konstanti materijala, što znači da uz nepromjenjive dimenzije ploča i razmaka između njih kapacitet raste s povećanjem dielektrične konstante ε. Dielektrična konstanta ili dielektrična permitivnost vakuma ε0mjerenjima je ustanovljena i iznosi:

120 8.854 10 ( )As F

Vm m

16

Mjerenjima se za različite izolacione materijale također odredila veličina koja se naziva relativna dielektrična konstanta εr ili relativna permitivnost (tablica).Apsolutna dielektrična konstanta ε ili apsolutna permitivnostmože se izračunati pomoću izraza:

120 8.854 10r r

17

Tablica: Relativna dielektrična konstanta nekih materijala (εr)

18

Na slijedećem primjeru na slici, vidi se da s povećanjem relativne permitivnosti gdje se umjesto zraka između ploča kondenzatora umetne staklo, povećava kapacitet.

19

Formula za proračun kapaciteta pločastog kondenzatoraNa osnovu prethodno iznijetog može se napisati formula za proračun kapaciteta pločastog kondenzatora:

gdje je: C … kapacitet (kapacitivnost) u (F)ε0 …dielektrična konstanta vakuma ili

permitivnost vakuma 8.854∙10-12 (F/m)εr … relativna dielektrična konstanta ili relativna

permitivnostS ….površina ploča u (m2)d… udaljenost između ploča u (m).

0SCd

20

PrimjerIzračunati kapacitet pločastog kondenzatora čija površina ploče iznose 0.001 m2 a debljina papira kao dielektrika iznosi 2.54 ∙ 10-5 m. Relativan dielektrična konstanta papira iznosi εr = 5.0.

2 120

5(0.01 )(5.0)(8.854 10 / ) 0.017

2.54 10rS m F mC F

d m

21

Stalni kondenzatori

Papirnati kondenzatoriVišeslojni papirnati kondenzatori konstantnog kapaciteta našli su veliku primjenu u praksi s obzirom da imaju veliki kapacitet uz razmjerno male dimenzije. Povećanje površine obloge, odnosno kapaciteta, postiže se oblogama u obliku dugih i tankih folija (traka) od staniola ili aluminija debljine od oko 7 µm. Kao dielektrik koristi se papir impregniran uljem ili parafinom debljine od oko 10 µm s najmanje dva sloja. Debljina papira određena je visinom radnog napona kondenzatora. Da bi papir zadržao dobra izolacijska svojstva impregnira se mineralnim uljima, parafinom i slično.

22

Papirnati se kondenzatori proizvode u vrlo širokom opsegu, slika, nazivnih vrijednosti od 1 pF do 0.1 µF i naponske opteretivosti od 100 V do 2500 V istosmjernog napona. Relativna dielektrična konstanta papira iznosi 5.0.

23

Keramički kondenzatoriTijelo kondenzatora, koji je ujedno i njegov dielektrik, sačinjeno je od keramičke pločice ili šupljeg valjka. Obloge kondenzatora čini tanak sloj metala, najčešće je to srebro, koje se nanosi na keramiku obradom pri visokim temperaturama, zbog čega su kondenzatori termički vrlo stabilni. Keramički kondenzatori su najčešće načinjeni na osnovi magnezijevog silikata ili titan dioksida (s malom dielektričnošću εr = 6 – 500), i na osnovi feroelektričnih materijala, najčešće od barijevog titanata (s velikom dielektričnošću εr = 500 – 1000).Kondenzatori s malom dielektričnošću imaju kapacitet od 1 pF do 1 nF dok oni s velikom dielektričnošću imaju kapacitet od 1 nF do 100 nF.

24

Keramički kondenzator – srebrne elektrode

25

Keramički kondenzator – titan dioksid ili magnezijev silikat

26

Keramički kondenzator – barijev titanat

27

Elektrolitski kondenzatoriElektrolitski kondenzator čine dvije obloge i dielektrik. Jedna od obloga je načinjena od aluminijskog šupljeg valjka dok je druga obloga elektrolit. Kao elektrolit služi vodena otopina boraksa. Ulogu dielektrika preuzima tanak sloj aluminijskog oksida koji se dobije elektrokemijskim postupkom nazvanim anodna oksidacija. Ovakvi oksidni slojevi su neprozirni, dobrih su dielektričkih svojstava (velika dielektričnost εr = 8 – 30) a imaju i ispravljačko djelovanje. Upravo zbog činjenice da je dielektrik sloj oksida vrlo male debljine, ostvaruju se vrlo veliki kapaciteti uz relativno male dimenzije (od 1µF do iznad 200.000 µF).

28

Elektrolitski kondenzator – boraks kao elektrolit

29

Na slici prikazani su razni tipovi elektrolitskog kondenzatora.

30

Elektrolitski kondenzator u obliku suze – tantalov pentoksid kao dielektrik

31

Izgled elektrolitskog kondenzatora u obliku suze.

32

Promjenjivi kondenzatoriOgraničenje u povećanju površine ploča kondenzatora može se riješiti paralelnim spajanjem jednakih kondenzatora kao na slici.

33

Svaka od njihovih obloga sastoji se od paralelno spojenih ploča međusobno jednakih površina. Dvije susjedne ploče (iste pripadaju različitim oblogama) tvore pločasti kondenzator. Za slučaj da se ploče mogu zakretati jedna prema drugoj (jedna ploča je nepomična a druga se zakreće) govori se o tzv. zakretnom kondenzatoru. Kapacitet takvog kondenzatora ovisi o kutu zakretanja jedne ploče prema drugoj, odnosno o međusobnom prekrivanju ploča.

34

Izgled tipični zakretnih kondenzatora prikazan je na slici

35

36

Načini spajanja kondenzatora

Kondenzatori se u mrežama mogu spajati na dva osnovna načina:•serijski•paralelnoKombinacijom ova dva načina spajanja nastaje mješoviti spoj.

37

Serijski spoj kondenzatoraKondenzatori, čije su oznake stezaljki A i B, se kao i otpornici, serijski spajaju na način da se stezaljka B prvog spaja sa stezaljkom A drugog kondenzatora i tako redom. Ako se sada takav serijski spoj n kondenzatora priključi na istosmjerni napon U, prema slici, dolazi do uspostavljanja naboja Q na ploči A prvog i ploči B zadnjeg kondenzatora, istog polariteta kao i na polovima izvora. Tako ploča A prvog kondenzatora pohranjuje, zbog manjka elektrona, količinu naboja Q pozitivnog predznaka a ploča B zadnjeg kondenzatora, zbog viška elektrona, pohranjuje istu količinu negativnog naboj Q.

38

39

Što se događa na ostalim pločama kondenzatora? Sve ostale ploče, prethodno također električki neutralne, zbog pojave električne influencije, odnosno odvajanja naboja na prethodno neutralnim pločama, uslijed električnih privlačnih sila nabijenih ploča, poprimaju istu količinu naboja Q kao i nabijene ploče. S obzirom da se raznoimeni naboji privlače, ploča A prvog kondenzatora, sa količinom pozitivnog naboja Q+ koja je uvjetovana izvorom, privući će na ploči B prvog kondenzatora istu količina negativnog naboja Q–. Zbog tog privlačenja elektrona na ploču B prvog kondenzatora ostat će ploča A drugog kondenzatora bez tih elektrona, pa će u električnoj ravnoteži biti sa istom količinom pozitivnog naboja Q+. Opet dolazi do električne influencije i privlačenja negativnih naboja, odnosno elektrona sa ploče B drugog kondenzatora i postupak sa nastavlja za sve serijski spojene kondenzatore.

40

Očito je da se radi o istoj količini naboja na svim kondenzatorima i da je to ujedno ukupna količina naboja, pa se može pisati:

Q = Q1 = Q2 = … = Qi = … =Qn

Što se tiče naponskih prilika, zbog primljenog naboja na pojedinim kondenzatorima stvorit će se na njima nekakvi naponi, prema slici, čija će suma, zbog statičke ravnoteže, biti jednaka naponu izvora U:

U = U1 + U2 + … + Ui + … + Un

41

Raspodjela narinutog napona u serijskom spoju:

42

Za svaki serijski spojeni kondenzator vrijedi da je:

Ako se prethodne jednadžbe uvrste u gornju jednadžbu, slijedi:

Kako su naboji jednaki može se pisati:

1 21 2

1 2

; ; ; ;i ni n

i n

Q Q Q Q QU U U U UC C C C C

1 2

11 2

1... ...n

i n

ii n i

Q Q Q Q Q QC C C C C C

1 2

1 1 1 1...nC C C C

43

Jednadžba govori o tome da je u serijskom spoju n kondenzatora recipročna vrijednost ukupnog kapaciteta (kapacitivnosti) jednaka sumi recipročnih vrijednosti kapaciteta (kapacitivnosti) pojedinih kondenzatora.Za serijski spoj dvaju kondenzatora može se koristiti i jednadžba:

Ako je C1 = C2, slijedi:

1 2

1 2

C CCC C

1

2CC

44

Kapacitivno djeliloNeka su kondenzatori, prema slici, nabijeni tako da su na njima naponi U1 odnosno U2.

45

Za čvor (a), s obzirom da se radi o serijskom spoju dvaju kondenzatora, vrijedi:

Q1 = Q2

C1 U1 = C2 U2

Odnosno:

Napon izvora razdijeli se na pojedine kondenzatore obrnuto proporcionalno omjeru njihovih kapaciteta, što znači da će uz veći kapacitet biti manji napon i obratno na manjem kapacitetu bit će veći napon.

1 2

2 1

C UC U

46

Paralelni spoj kondenzatoraPrema slici ako se kondenzatori spoje paralelno na izvor napajanja napona U, na svima će se uspostaviti naponi upravo jednaki naponu izvora.

47

Svaki kondenzator pohranjuje na svojim pločama naboj koji je ovisan o njegovom kapacitetu. Ukupan naboj, što ga iz izvora dobiva paralelna kombinacija kondenzatora, jednak je sumi svih naboja na kondenzatorima. To se može napisati pomoću jednadžbi:

Kako je Q = C U može se pisati:

1 2

1 2

... ...

... ...i n

i n

U U U U UQ Q Q Q Q

1 1 2 2 ... ... / 0i i n nCU C U C U C U C U U

48

Slijedi:

U paralelnom spoju kondenzatora, rezultantni kapacitet kombinacije kondenzatora jednak je sumi pojedinih kondenzatora.U usporedbi sa serijskim i paralelnim spojem omskih otpora trošila isti bi se rezultat dobio kada bi se otpori R zamijenili njihovim recipročni vrijednostima, dakle, vodljivostima G. To znači da kapaciteti imaju karakter vodljivosti.

1 2

1

... ...i nn

ii

C C C C C

C C

49

Mješoviti spoj kondenzatoraRezultantni kapacitet cijelog mješovitog (kombiniranog) spoja serijsko – paralelno vezanih kondenzatora, prema slici, nalazi se tako da se, prema prijašnjim pravilima, mješovit spoj postepeno reducira na osnovne spojeve. Kako se u ovom primjeru radi o serijskom spoju kondenzatora C1 s paralelnim spojem kondenzatora C2 i C3, slijedi da je naboj na prvom kondenzatoru jednak zbroju naboja na drugom i trećem kondenzatoru:

1 2 3Q Q Q

50

Mješoviti spoj kondenzatora

51

Naponi na drugom i trećem kondenzatoru su jednaki, a općenito, različiti od napona na prvom kondenzatoru:

Rezultantni kapacitet spoja može se izračunati pomoću izraza:

gdje je C23 = C2 + C3 kapacitet paralelnog spoja drugog i trećeg kondenzatora.

1 23 23 2 3;U U U U U

1 23

1 23

1 23

11 1

C CCC C

C C

52

Elektrostatske mrežeOsim mješovito serijsko – paralelnih kombinacija mogu se zamisliti i složeniji spojevi s više izvora i kondenzatora, čije se rješavanje vrši u biti jednakim načinom koji je primijenjen u rješavanju linearnih strujnih mreža. Takvi se spojevi nazivaju elektrostatske mreže. Osnova svih metoda, su prema tome, dva Kirchhoffova zakona i to prvi za čvorove a drugi za konture. Međutim, razlika između rješavanja linearnih strujnih i elektrostatskih mreža postoji i ona se odnosi upravo na ono što navedene mreže karakterizira. Kod elektrostatskih mreža nema trajnih struja već se radi o mirujućim nabojima koji su rezultat kratkotrajnih udaraca struja nabijanja.

53

Zbog toga, se prvi Kirchhoffov zakon u elektrostatskim mrežama može izreći na slijedeći način:algebarska suma naboja na pločama svih kondenzatora koji su spojeni u nekom čvoru jednaka je nuli ako kondenzatori prilikom uključivanja na izvore napajanja nisu bili većotprije nabijeni nekim nabojem. Ako su kondenzatori imali već otprije neki naboj, tada zbog principa konzervacije naboja, algebarska suma naboja u jednom promatranom čvoru nakon priključka na izvore nije jednaka nuli, već točno sumi početnih naboja priključenih kondenzatora.

54

Jednadžba prvog Kirchhoffova zakona se prema tome može napisati na slijedeći način:

gdje su: Qi - konačni nabojiQ0 – početni naboj

Drugi Kirchhoffov zakon koji se odnosi na napone pojedinih kontura, jednak je u svom smislu kao i u strujnim mrežama. Prema tome, za stacionarno stanje kad su kondenzatori potpuno nabijeni postignuta je ravnoteža aktivnih napona izvora i protunapona na kondenzatoru:

0lg ia Q Q

55

lg lg ca E a U

a kako je:

slijedi:

Kao što su u linearnim strujnim mrežama na osnovi Kirchhoffovih zakona izvedeni razni teoremi za rješavanje tih mreža, tako se i kondenzatorski elektrostatski krugovi mogu rješavati odgovarajuće modificiranim teoremima.

cQUC

lg lg Qa E aC

56

Na primjer, Millmanov teorem za kondenzatorske mreže piše se jednadžbom:

Pri čemu su vodljivosti u granama strujnih mreža zamijenjene kapacitetima u granama elektrostatskih mreža.

Slično se dobiju i jednadžbe za transformaciju spoja zvijezda –trokut i trokut – zvijezda, prema slici:

i iab

i

E CU

C

57

1 2 12 3112 1 12 31

1 2 3 23

2 3 23 1223 2 23 12

1 2 3 31

3 1 31 2331 3 31 23

1 2 3 12

C C C CC C C CC C C C

C C C CC C C CC C C C

C C C CC C C CC C C C

58

Zadaci za vježbu

1. Dva pločasta kondenzatora C1 i C2 istih dimenzija S = 110 cm2

i d = 0.1 cm spojena su u seriju i priključena na izvor napona U = 100 V. Ako pri nabijanju izvor daje naboj Q = 65 ∙ 10–10 As, a C1 je zračni kondenzator, odredite εr2kondenzatora C2.

59

2. Pločasti kondenzator (εr = 1), razmaka ploča d = 1 mm,uz napon između ploča U = 400 V, nabijen je nabojem

Q = 0.7µF.a) Koliki je kapacitet kondenzatora ?b) Što se dogodi s kapacitetom kondenzatora, ako mu prostor između ploča ispunimo dielektrikom s εr = 2 ?c) Ako pri promjeni dielektrika napon ostane nepromijenjen,

što se dogodi pri tom s nabojem?Kako bismo postigli da napon na kondenzatoru ostane nepromijenjen ?

60

3. Pločastom kondenzatoru može se zakretanjem mijenjati efektivna površina ploča S. Kako se promijeni kapacitet kondenzatora, ako se površina ploča smanji na polovinu ?

4. Kombinacija nenabijenih kondenzatora prema slici priključena je na izvor napona U = 100 V. Ako je UAB = + 55 V, C1 = 15 nF i C2 = C3 = 5 nF, odredite naboj na C4.

61

5. Tri nenabijena kondenzatora kapaciteta C1 = 10 µF, C2 = 6 µF

i C3 = 4 µF spojena su u kombinaciju prema slici a) i priključena na napon U = 100 V. Nakon toga kondenzator C3se odspaja, preokreće i uz očuvan naboj ponovo priključuje paralelno kondenzatoru C2, kao što je pokazano na slici b). Koliku promjenu napona na C1 uzrokuje takav postupak ?

Kada kombinaciju nenabijenih kondenzatora priključujemo na izvor napona U, oni će se u skladu s pravilima nabijanja serijsko – paralelnih kombinacija, nabiti na određene napone. Odspoji li se kondenzator C3, električna ravnoteža se neće poremetiti, jer naponi na C1 i C2, zbrojeni, drže ravnotežu naponu izvora U. Okrene li se C3, pa se ponovo priključi paralelno kondenzatoru C2, prouzrokovat će se smanjenje napona na paralelnoj kombinaciji C2 i C3.

62

E

U

C1

C2 C3

a

b

EU

C1

C2 C3

b

a

a) b)

63

Kako su na susjednim elektrodama kondenzatora C2 i C3

raznoimeni naboji nejednakih iznosa, doći će do međusobne neutralizacije naboja, pa će na C2 i C3 ostati razlika početnih iznosa naboja, koja će se zatim rasporediti na oba kondenzatora.

Smanjenjem napona na C1 i C2 poremetit će se električna ravnoteža kruga, i zato će izvor dati serijskoj kombinaciji kondenzatora paralelnog spoja C2 i C3 dodatne naboje, koji će ponovo uspostaviti ravnotežu. Čitav opisani proces teče istovremeno i rezultira konačnim povećanjem napona na C1.

Ekvivalentni kapacitet čitave kombinacije iznosi:

1 2 3123

1 2 3

( ) 5C C CC FC C C

64

Prilikom prvog nabijanja izvor daje naboj:

Naponi na kondenzatorima:

Naboji:

6123 1 23500 10Q C U As Q Q

1 231 23

1 23

50 50Q QU V U VC C

62 2 23

63 3 23

300 10

200 10

Q C U AsQ C U As

65

Okretanjem kondenzatora C2 , na paralelnoj kombinaciji C2 i C3 , prikazanoj ekvivalentnim kapacitetom C23 , ostat će naboj:

Koji će stvarati napon:

Tako da u ovoj fazi rada naponi na C1 i C23 imaju zajedno 60 V.Početni naboji nakon prespajanja:

6230 2 3 100 10Q Q Q As

230230

23

10QU VC

610

6230

500 10

100 10

Q AsQ As

66

Izvor će izvršiti nabijanje kondenzatora dok se ne postigne da je ukupan napon iznosa 100 V. Do tog iznosa preostalo je još 40 V, koji će se raspodijeliti u omjeru:

pa konačni naponi iznose:

1 23C : 1:1C

1

23

7030

U VU V

67

6. U spoju prema slici 3 gornja elektroda kondenzatora C1 ima početni pozitivan naboj od 20 µAs. Odredite konačne iznose naboja i napona na svim kondenzatorima ako je: C1 = 5 µF, C2 = 3 µF, C3 = 2 µF, E1 = 16 V, E2 = 20 V i E3 = 30 V.

68

7. U kombinaciji prema slici poznati su kapaciteti C1 = 25 nF i C2 = 15 nF. Kod kojih iznosa C2 i C4 će napon na C3 biti tri puta veći od napona na C1 ?