Upload
others
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Elektrostatika
Elektrostatički fluks Gaussova teorema
2
Šta smo do sada pominjali, naučili...Elektrostatsko polje je poseban slučaj stacionarnog
eletromagnetnog polja, ona koja se ne menjaju u funkciji vremena.
U sistemu tačkastih naelektrisanja ukupna jačina električnog polja dobija se vektorskim sabiranjem polja pojedinih naelektrisanja:
021 10
1
4
n n
ii i
i i i
QE E r
r
Ukoliko se traži numerički rezultat onda je često najprikladniji način:• odrediti pripadne komponente (x, y, z) pojedinih vektora,• sabrati komponente i• odrediti ukupnu jačinu električnog polja.
3
E
Intenzitet (modul) vektora električnog polja
Intenzitet vektora električnog polja se pojačava približavanjem naelektrisanju, i na mestu samog naelektrisanja ima beskonačnu
vrednost.
Budući da je tačkasto naelektrisanje fikcija, ni polje ne može biti beskonačno u realnom svetu.
4
E
E
-Vektor jačine elektrostatičkog polja se grafički predstavlja linijama vektora jačine elektrostatskog polja.
Linije vektora jačine elektrostatičkog polja se ne mogu međusobno seći.
Pravac i smer vektora se pruža duž radijalnih zraka, koje imaju svoj izvor u centru naelektrisanjog tela.
Polje pozitivnog naelektrisanja usmereno je od naelektrisanja, a poljenegativnog naelektrisanja usmereno je prema naelektrisanju.
E
5
Raspodele naelektrisanja u prostoru
1.Skup diskretnih tačkastih naelektrisanja Q, q2.Linijska (=const)
3.Površinska 4.Prostorna r
Pri analizi raspoređenog naelektrisanja pristupa se u principu jednako kao kod polja dva jednaka tačkasta naelektrisanja.Ukupno polje u nekoj tački prostora jednako je zbiru doprinosa svih pojedinačnih naelektrisanja. Taj princip superpozicije možemo koristiti zbog toga, što su osobine prostora konstantne i ne zavise od jačine ili smera polja.
Prostor je dakle homogen.
6
Linijska gustina naelektrisanja
(=const)
Približna linijska gustina naelektrisanja je:
C
m
7
Površinska gustina naelektrisanja
Kod površinski raspoređenog naelektrisanja uvodi se pojam površinske gustine naelektrisanja koja je definisana kao:
Površinski raspoređeno naelektrisanje
20lim
m
C
dS
dQ
S
QS
S
dSQ0
Za poznato ukupna količina naelektrisanja na površini može se dobiti integriranjem svih elementarnih naelektrisanja na toj površini
8
Zapreminska gustina naelektrisanja r
Rezultani vektor električnog polja u proizvoljnoj tački, koji je posledica zapreminski raspoređenog naelektrisanje
dQ dVr
0
V
Q dVr
Ukupna količinu naelektrisanja Q na uočenoj zapremini V
za poznatu promena r može se dobiti integriranjem svih elementarnih naelektrisanja na toj zapremini,tj.
U središtu centralno raspoređenog naelektrisanja E=0.
9
Fluks vektora jačine električnog poljaFluks vektora jačine električnog polja definiše se u opštem slučaju kao skalarni proizvod vektora površine vektora polja
E E S
cosE E S E S
fluks homogenog vektorskog polja kroz neku uočenu površinu Sjednak je proizvodu intenziteta vektora jačine električnog polja i
projekcije posmatrane površine na ravan polja.
E
S
S
10
Fluks vektora jačine električnog polja
Fluks nehomogenog električnog polja kroz zakrivljenu površinu posmatramo diferencijal toka
Ukupan ELEKTRIČNI FLUKS kroz neku površinu S , u vakuumu
Ed E d S
0
S
E E d S
Jedinica mere za fluks vektorajačine električnog polja je:
cosE E S
2 1E
Vm V m
m
11
Vektor dielektričnog pomeraja kolinearan sa vektorom E i dielektričnom konstantom
Skalarni proizvod se sreće pod nazivom Vektor deplasmana ili vektor elektrostatičke indukcije
Integral po celoj zatvorenoj površini S naziva se ELEKTRIČNI FLUKS kroz površinu S
u drugim dielektričnim sredinama
Ed D d S E
D E
0 0 0
S S S
E Ed D d S E d S
dielektrična konstanta
E
12
SLIČNO Fluks vektora brzine protoka tečnosti
• Pojam fluksa može biti objašnjen razmatranjem ravnomernog konstantnog protoka tečnosti.
n
nv
je vektor brzine tečnosti, vektor normale površine.
v
Najviše tečnosti će proticati kroz ram koji se nalazi u ravni normalnoj na pravac brzine.
Ako se ram postavi u ravan paralelnu vektoru brzine, tečnost će da klizi preko rama, pa će protok biti jednak nuli.
n
v
n v
S
vdt
Čestice tečnosti koje su se u trenutku t nalazile u ravni rama, u trenutku t+dt nalaze se na rastojanju v·dt od rama u pravcu brzine. Ukupna količina tečnosti koja za vreme dt protekne kroz površinu S jednaka je onoj količini tečnosti koja se nalazi u zapremini označenog kvadra.
dtvSdV
13
Brzina protoka tečnosti, koja predstavlja fluks vektora kroz površinu S, označava se grčkim slovom (psi), i iznosi:
v
/sm3Svdt
dVv
• Nekad je potrebno znati na koju stranu protiče tečnost. Zato se vrši orjentisanje površi, pa se površina, iako je skalar, tretira kao vektorska veličina.
Deo orjentisane ravne površi, površine S, može se tretirati kao vektor čiji je intenzitet jednak površini S, pravac normalan na S, a smer se poklapa sa usvojenim smerom normale na S.
14
Neka pravougaona površ, predstavljena vektorom , zaklapa ugao savektorom brzine . U tom slučaju će kroz nju, za interval vremena dt proteći onoliko tečnosti koliko se nađe u zapremini kosog paralelopipeda:
dtv
S
v
v S
dtvSdV cosFluks vektora brzine je tada:
/smcos 3Svdt
dVv
15
Proizvod intenziteta dva vektora i kosinusa ugla između njih predstavlja skalarni proizvod dva vektora.
Svv
Ukoliko brzina nije homogena onda se, nakon orjentacije površine S, ona izdeli na fizički male površi , koje su dovoljno male da se mogu smatrati ravnim, a vektor na svakoj od njih konstantnim.
v
Sd
v
S
Sd
v Fluks dv kroz uočenu površ računa
se po formuli za skalarni proizvod:Sd
Sdvd v
Ukupan fluks v kroz celu površ S, dobija se sumiranjem svih flukseva dv:
SS
vv Sdvd
16
Gaussov zakon
Najelegantnija definicija Gausovog zakona bi bila: Električni fluks kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je ukupnom naelektrisanju koje je obuhvaćeno tom površinom, podeljenog dielektričnom konstantom 0.
17
Integral se zove fluks vektora jačine električnog polja kroz površinu S, označava se E, a proporcionalan je broju linija električnog polja koje prodiru kroz tu površinu:
Konvencija: Fluks je pozitivan ako linije električnog polja izlaze iz površine S, a negativan ako utiču (ulaze) u nju.
Gausov zakon je naročito važan za određivanje električnog polja generisanih raspodelama naelektrisanja koje imaju neku simetriju.
0
ii
E
S
Q
E dS
2q , ,E E E
SS S
Cd D d S C D
m
Uopšteni Gaussov zakon: važi i za dielektrične sredine i vakum:
18
Dokaz da je fluks vektora Ē tačkastog naelektrisanja Q isti ne samo za sferu čiji je centar u tom naelektrisanju, nego i kroz proizvoljnu zatvorenu površ koja obuhvata naelektrisanje Q
E
19
20
Primene Gaussovog zakona
Zamišljena lopta sa središtem na mestu taškastog naelektrisanja
Električno polje tačkastog naelektrisanja
Već poznat rezultat
21
Električno polje naelektrisane šuplje kugle
Obuhvaćeno naelektrisanje =0
r < a
r > a
Obuhvaćeno naelektrisanje =Q
22
Već poznat rezultat
Električno polje naelektrisane šuplje kugle
23
Električno polje naelektrisane kugle sa homogenom prostornom raspodelom
Zbog homogenog prostora polje će izvan i unutar kugle biti simetrično i radijalno
Bez računanja ne možemo zaključiti o intenzitetu polja ni unutar ni izvan kugle
24
Električno polje naelektrisane kugle sa homogenom
prostornom raspodelom
25
Električno polje naelektrisane kugle sa homogenom prostornom raspodelom
Polje van kugle i na površini jednakog je intenziteta
kao da je svo naelektrisanje u središtu kugle
26
Električno polje naelektrisane beskonačno dugačkog valjka
Primenimo Gaussov zakon za spoljašni zamišljeni
valjak
27
Električno polje naelektrisane beskonačno dugačkog valjka
28
Električno polje
naelektrisane ravne ploče
Polje je normalno na ravan i jednako u svim
tačkama polja
Primenimo Gaussov zakon za
spoljašni zamišljeni valjak
29
Električno polje naelektrisane ravne ploče
x komponenta jačine polja pozitvno naelektrisane
ploče
Polje naelektrisane ravni normalno je ravan i konstantnog iznosa
Pole ne zavisi od udaljenosti od ploče
Polje menja smer na mestu položaja same ravni
Pri pozitivnom naelektrisanju polje je usmereno od ravni,
A pri negativnom naelektrisanju prema ravni
30
Dve paralelne ravne ploče
naelektrisane jednakim ali suprotnim
površinskim naelektrisanjem
Superpozicija dva naelektrisana tela
31
Još jedna superpozicija
Primer tri različito naelektrisana tela
32
Odredite smjer sile na naelektrisanje q:
33
Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva točkasta naelektrisanja Q1 Q2 .
Odredite odnose tih naelektrisanja
34
Električno polje prikazano linijama sila stvaraju dva točkasta naelektrisanja Q1 Q2 .
Odredite predznake tih naelektrisanja
35
Negativno naelektrisano tačkasto naelektrisanje -q nalazi se u blizini pozitivog naelektrisanja +Q i negativnog naelektisanja –4Q. Njihov prostorni raspored dat je na slici. Sila koja deluje na -q ima smjer:
36
Ako znamo da vektor električnog polja u tački A ima prikazani smer, odredite predznake naelektrisanja:
37
Naelektrisana ravan i tačkasto naelektrisanje u tački T svaki za sebe stvaraju električno polje jednakog intenziteta. Odredite smjer rezultantnog vektora ja’ine električnog polja u tački T.