Elementarna matematika 1Oblici matematickog mišljenja

2007/2008

Elementarna matematika 1

Teorem (poucak)Teorem (poucak) = matematicki sud (unekoj matematickoj teoriji) cija seistinitost utvrduje dokazom, odnosnologickim zakljucivanjem iz aksioma,definicija i vec dokazanih teorema (teteorije).

Pod teoremom se uvijek podrazumijevaistiniti sud.

Elementarna matematika 1

Teoremi proširuju i produbljuju znanje onekom podrucju matematike i njegovimobjektima.Posebna imena za neke teoreme:propozicija = teorem za kojeg postojikratak i jednostavan dokaz (propozicijaje cesto tehnicka tvrdnja);

Elementarna matematika 1

Teoremi proširuju i produbljuju znanje onekom podrucju matematike i njegovimobjektima.Posebna imena za neke teoreme:lema = teorem koji (obicno) sam zasebe nije od posebnog znacaja negosluži kao etapa u dokazu nekogvažnijeg i složenijeg teorema;

Elementarna matematika 1

Teoremi proširuju i produbljuju znanje onekom podrucju matematike i njegovimobjektima.Posebna imena za neke teoreme:korolar = neposredna i jednostavnaposljedica nekog prethodno dokazanogteorema (dokaz korolara cesto je tolikoocit da ga ni ne pišemo).

Elementarna matematika 1

U teoremu mora biti jasno istaknuto:uz koje se uvjete u njemu razmatraodredeni objektšto se o tome objektu tvrdi.

U formulaciji teorema razlikuju se dvadijela:

pretpostavka (uvjet, hipoteza) Ptvrdnja (zakljucak, posljedica) Q

Elementarna matematika 1

Pretpostavka teorema (P) = jedan iliviše sudova koji se smatraju istinitima.Tvrdnja teorema (Q) = sud kojeg trebadokazati.

Logicki zapis teorema:P =⇒ Q

Elementarna matematika 1

Kljucne rijeci u iskazu teorema:Ako P, onda Q.

Bitno je u teoremu naucitirazlikovati pretpostavku i tvrdnju.

Elementarna matematika 1

Primjeri teorema (1)I Umnožak dvaju uzastopnih parnihprirodnih brojeva a i b djeljiv je s 8.P = a i b su uzastopni parni prirodnibrojevi.Q = umnožak ab djeljiv je s 8.I Dijagonale romba medusobno suokomite.P = Cetverokut je romb.Q = Dijagonale romba su medusobnookomite.

Elementarna matematika 1

I U svakom trokutu nasuprot dvijustranica jednakih duljina leže jednakikutovi.P = Dan je trokut cije su dvije stranicejednakih duljina.Q = Kutovi nasuprot tih stranica sujednaki.

Elementarna matematika 1

I (Talesov teorem o kutu nadpromjerom) Svaki obodni kut nadpromjerom kružnice je pravi kut.P = Dan je obodni kut nad promjeromkružnice.Q = Taj kut je pravi kut.

Elementarna matematika 1

I (Pitagorin teorem) Zbroj kvadrataduljina kateta svakog pravokutnogtrokuta jednak je kvadratu duljinenjegove hipotenuze.P = Dan je pravokutni trokut.Q = Zbroj kvadrata duljina njegovihkateta jednak je kvadratu duljinenjegove hipotenuze.

Elementarna matematika 1

Primjeri teorema (2)

I Ako su a i b dva uzastopna parnaprirodna broja, onda je umnožak abdjeljiv s 8.I Ako je dani cetverokut romb, onda sunjegove dijagonale medusobno okomite.I Ako su u nekom trokutu dvije stranicejednakih duljina, onda su njimanasuprotni kutovi jednaki.

Elementarna matematika 1

I (Talesov teorem o kutu nadpromjerom) Ako je dan obodni kut nadpromjerom kružnice, onda je taj kutpravi.I (Pitagorin teorem) Ako su a i b duljinekateta, a c duljina hipotenuzepravokutnog trokuta, onda vrijedijednakost a2 + b2 = c2.I Ako je niz realnih brojevakonvergentan, onda je on Cauchyjev.

Elementarna matematika 1

I Prirodni broj djeljiv je s 10 ako mu jeznamenka jedinica jednaka 0.P = Znamenka jedinica nekogprirodnog broja je 0.Q = Taj broj je djeljiv s 10.I (K – S – K sukladnost) Dva su trokutasukladna ako se podudaraju u jednojstranici i dva kuta uz tu stranicu.P = Dva se trokuta podudaraju u jednojstranici i dva kuta uz tu stranicu.Q = Ti su trokuti sukladni.

Elementarna matematika 1

Teorem se može iskazati (formulirati) itako da se pretpostavka i tvrdnja odvoje

u posebne recenice.

Kljucne rijeci u tom slucaju:Neka P. Tada Q.

Elementarna matematika 1

Primjeri teorema (3)I Neka su a i b dva uzastopna parnaprirodna broja. Tada je njihov umnožakab djeljiv s 8.I Neka je dani cetverokut romb. Tadasu njegove dijagonale medusobnookomite.I (Pitagorin teorem) Neka su a i bduljine kateta, a c duljina hipotenuzepravokutnog trokuta. Tada vrijedijednakost a2 + b2 = c2.

Elementarna matematika 1

I Neka su a1, a2, . . . , an, an+1 razlicitiprirodni brojevi manji od 2n. Tada medunjima postoje barem tri broja, takva daje jedan od njih jednak zbroju druga dva.I Neka su a, b, c i d redom ostaci pridijeljenju prirodnog broja n s 2, 3, 5 i 11.Tada je broj 15a + 10b + 6c + 30d − ndjeljiv s 30.

Elementarna matematika 1

Zapamtimo dobroKljucne rijeci u iskazivanju teorema su:

Ako ... , onda ...ili

Neka ... . Tada ... .

Uocimo:U iskazu teorema nema mjesta frazi

kažemo da je ...

Elementarna matematika 1

Obrat teorema

Uz teorem P =⇒ Q važan je iobrat tog teorema, Q =⇒ P .

Iako teorem P =⇒ Q vrijedi, njegovobrat Q =⇒ P ne mora (ali može!) biti

istinit.

Elementarna matematika 1

Primjeri obrata teorema (1)

I Neka su a, b, c ∈ N. Ako c dijeli aonda c dijeli i umnožak ab.P = c dijeli a.Q = c dijeli umnožak ab.Obrat (Q =⇒ P):Neka su a, b, c ∈ N. Ako c dijeliumnožak ab, onda c dijeli a.Obrat nije istinit! Npr. a = 5, b = 27,c = 3.

Elementarna matematika 1

Primjeri obrata teorema (1)

I Neka su a, b, c ∈ N. Ako c dijeli aonda c dijeli i umnožak ab.P = c dijeli a.Q = c dijeli umnožak ab.Obrat (Q =⇒ P):Neka su a, b, c ∈ N. Ako c dijeliumnožak ab, onda c dijeli a.Obrat nije istinit! Npr. a = 5, b = 27,c = 3.

Elementarna matematika 1

I Ako je u ravnini pravac p okomit napravac q, onda se pravci p i q sijeku.P = U ravnini je pravac p okomit napravac q.Q = Pravci p i q se sijeku.Obrat (Q =⇒ P):Ako se pravci p i q u ravnini sijeku,onda su oni medusobno okomiti.Obrat nije istinit.

Elementarna matematika 1

I Ako je u ravnini pravac p okomit napravac q, onda se pravci p i q sijeku.P = U ravnini je pravac p okomit napravac q.Q = Pravci p i q se sijeku.Obrat (Q =⇒ P):Ako se pravci p i q u ravnini sijeku,onda su oni medusobno okomiti.Obrat nije istinit.

Elementarna matematika 1

U oba prethodna primjera konstruiralismo kontraprimjer (protuprimjer) kojim

smo opovrgli obrat teorema.

(negacija univerzalnog kvantifikatora!)

Elementarna matematika 1

Primjeri obrata teorema (2)

I (Talesov teorem o kutu nadpromjerom) Neka je AB dijametarkružnice, a T bilo koja tocka te kružnice,razlicita od A i B. Tada je kut ^ATBpravi.Obrat: Ako je ^ATB pravi kut, ondatocka T leži na kružnici s dijametromAB.Obrat je istinit.

Elementarna matematika 1

Primjeri obrata teorema (2)

I (Talesov teorem o kutu nadpromjerom) Neka je AB dijametarkružnice, a T bilo koja tocka te kružnice,razlicita od A i B. Tada je kut ^ATBpravi.Obrat: Ako je ^ATB pravi kut, ondatocka T leži na kružnici s dijametromAB.Obrat je istinit.

Elementarna matematika 1

I (Pitagorin teorem) Neka su a ≤ b ≤ cduljine stranica nekog trokuta. Ako je tajtrokut pravokutan, onda je a2 + b2 = c2.Obrat: Neka su a ≤ b ≤ c duljinestranica nekog trokuta.Ako jea2 + b2 = c2, onda je taj trokutpravokutan.Obrat je istinit.

Elementarna matematika 1

I (Pitagorin teorem) Neka su a ≤ b ≤ cduljine stranica nekog trokuta. Ako je tajtrokut pravokutan, onda je a2 + b2 = c2.Obrat: Neka su a ≤ b ≤ c duljinestranica nekog trokuta.Ako jea2 + b2 = c2, onda je taj trokutpravokutan.Obrat je istinit.

Elementarna matematika 1

I Broj a je nultocka polinoma f ako je fdjeljiv polinomom g(x) = x − a.P = Polinom f djeljiv je polinomomg(x) = x − a.Q = Broj a je nultocka polinoma f .Obrat: Ako je broj a nultocka polinomaf , onda je polinom f djeljiv polinomomg(x) = x − a.Obrat je istinit.

Elementarna matematika 1

I Broj a je nultocka polinoma f ako je fdjeljiv polinomom g(x) = x − a.P = Polinom f djeljiv je polinomomg(x) = x − a.Q = Broj a je nultocka polinoma f .Obrat: Ako je broj a nultocka polinomaf , onda je polinom f djeljiv polinomomg(x) = x − a.Obrat je istinit.

Elementarna matematika 1

Vrijedi

((P =⇒ Q)&(Q =⇒ P)) ≡ (P ⇐⇒ Q)

U slucaju kad su istiniti i teoremP =⇒ Q i njegov obrat Q =⇒ P, oba taistinita suda možemo zapisati zajednokao jedan teorem, P ⇐⇒ Q.Citamo: P ako i samo ako Q.

Elementarna matematika 1

Dokazati ekvivalenciju P ⇐⇒ Q znacidokazati obje implikacije P =⇒ Q i

Q =⇒ P.

Elementarna matematika 1

Primjeri teorema i obrata

I (Talesov teorem o kutu nadpromjerom i njegov obrat) Kut ^ATB jepravi kut ako i samo ako tocka T leži nakružnici s dijametrom AB.I (Pitagorin teorem i negov obrat) Nekasu a ≤ b ≤ c duljine stranica nekogtrokuta. Taj trokut je pravokutan, ako isamo ako vrijedi jednakost a2 + b2 = c2.

Elementarna matematika 1

Od pojma do teorema —primjeri

I Pojam: nultocka polinomaDefinicija: Nultocka polinoma f skompleksnim koeficijentima je svakikompleksni broj a takav da je f (a) = 0.

Elementarna matematika 1

Od pojma do teorema —primjeri

I Pojam: nultocka polinomaKarakterizacija (teorem - nužan idovoljan uvjet da bi broj a bio nultockapolinoma f ):(Bézoutov teorem) Broj a je nultockapolinoma f ako i samo ako je f djeljivpolinomom g(x) = x − a.

Elementarna matematika 1

Ne miješati definiciju i karakterizaciju!

Elementarna matematika 1

I Pojam: tangencijalni cetverokutDefinicija:Za cetverokut kažemo da jetangencijalan ako su mu sve cetiristranice tangente iste kružnice.Karakterizacija (teorem - nužan idovoljan uvjet da bi cetverokut biotangencijalan):Cetverokut je tangencijalan ako i samoako su mu zbrojevi duljina nasuprotnihstranica jednaki.

Elementarna matematika 1

Pravila zakljucivanja (pravilaizvoda)

U dokazivanju teorema P =⇒ Q koristitcemo osnovna pravila zakljucivanja(pravila izvoda):

pravilo otkidanja (modus ponens)zakon silogizmapravilo generalizacijeprincip iskljucenja treceg (tertiumnon datur)

Elementarna matematika 1

Pravilo otkidanja (modusponens)

((P&(P =⇒ Q)) =⇒ Q) ≡ 1

Elementarna matematika 1

Pravilo otkidanja (modusponens)

P Q P ⇒ Q (P&(P ⇒ Q)) (P&(P ⇒ Q))⇒ Q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

Elementarna matematika 1

Pravilo otkidanja (modusponens)

Iz zadnjeg retka tablice citamo:

Ako je istinita pretpostavka teorema P, iako je istinita implikacija P =⇒ Q, onda

je istinita i tvrdnja teorema Q.

Elementarna matematika 1

Zakon silogizma

(((A⇒ B)&(B ⇒ C))⇒ (A⇒ C)) ≡ 1

Domaca zadaca: Uvjerite se sami u ovutautologiju!Ovaj zakon tumacimo ovako:Ako su istinite obje implikacije A =⇒ B iB =⇒ C, onda je istinita i implikacija A =⇒ C.(tj. ako iz A slijedi B, a iz B slijedi C, onda iz Aslijedi C)

Elementarna matematika 1

Pravilo generalizacije

(∀∀∀x)P(x)

Ovo pravilo tumacimo ovako:Neka je P(x) izjavna funkcija. Ako jesud P(a) istinit za po volji odabran(proizvoljan) a koji dolazi u obzir, ondaje istinit i sud (∀∀∀x)P(x)

Elementarna matematika 1

Princip iskljucenja treceg(tertium non datur)

A ∨ (¬A) ≡ 1

Elementarna matematika 1

Dokaz teoremaZacetnik postupka dokazivanja je Tales, a umatematiku ga uvodi Pitagora.Dokaz teorema P =⇒ Q u nekoj teoriji jekonacan niz istinitih tvrdnji Q1, Q2, . . . , Qn teteorije u kojem:

svaka tvrdnja niza je ili aksiom ili definicijaili je dobivena iz prethodno dokazanihteorema toga niza po nekom praviluzakljucivanja;

posljednja tvrdnja niza je Q.

Elementarna matematika 1

Dokazati teorem P =⇒ Q znaci pronacikonacan niz tvrdnji Q1, Q2, . . . , Qn teorije ilogickim zakljucivanjem prijeci od pretpostavkeP, preko tvrdnji Q1, Q2, . . . , Qn−1, do tvrdnjeQn = Q.Shematski prikaz dokaza:

P ⇒ Q1 ⇒ Q2 ⇒ · · · ⇒ Qn−1 ⇒ Qn = Q.

Pri tome oznaka A⇒ B ⇒ C znaci kraci zapissuda (A⇒ B)&(B ⇒ C).

Elementarna matematika 1

Dokazati teorem P =⇒ Q znaci pronacikonacan niz tvrdnji Q1, Q2, . . . , Qn teorije ilogickim zakljucivanjem prijeci od pretpostavkeP, preko tvrdnji Q1, Q2, . . . , Qn−1, do tvrdnjeQn = Q.Shematski prikaz dokaza:

P ⇒ Q1 ⇒ Q2 ⇒ · · · ⇒ Qn−1 ⇒ Qn = Q.

Dokazana tvrdnja Q nakon toga postajesastavni dio svakog daljnjeg postupkadokazivanja.

Elementarna matematika 1

Osnovne vrste dokaza

I direktni dokazI indirektni dokaz

Elementarna matematika 1

Osnovne vrste dokaza

I direktni dokazDirektni dokaz teorema P ⇒ Q = dokazteorema P ⇒ Q na vec opisani nacin.

Elementarna matematika 1

Osnovne vrste dokaza

I indirektni dokazIndirektni dokaz teorema P ⇒ Q =direktni dokaz ekvivalentne tvrdnjeteoremu P ⇒ Q (koja nije taj teorem).

Elementarna matematika 1

Najvažniji oblici indirektnog dokazateorema P ⇒ Q:obrat po kontrapoziciji

¬Q =⇒ ¬P

(Znamo: (¬Q ⇒ ¬P) ≡ (P ⇒ Q)))

Elementarna matematika 1

Najvažniji oblici indirektnog dokazateorema P ⇒ Q:dokaz svodenjem na kontradikciju(reductio ad absurdum)

P&(¬Q) =⇒ L,

L = ocigledno lažni sud.

Tada je ¬(P ⇒ Q) ≡ P&(¬Q) lažansud pa je sud P ⇒ Q istinit (principiskljucenja treceg). Zato je Q istinit(modus ponens).

Elementarna matematika 1